View
228
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
1/19
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES
FUNCIONES VECTORIALES
Una función f : D⊂ Rn→ R
m
, con m>1 se llama una función vectorial
de varias variables. Si n=m>1 , la función se llama campo vectorial.
Una función f : D⊂ Rn→ R
m
se puede estudiar de forma natural por medio
de m campos escalares:
f : D⊂ Rn
→ Rm
x →( f 1 ( x ) ,… .. f n ( xn ))
Sin más que considerar las componentes de vector f ( x) , estos campos
escalares se llaman las funciones componentes de f . Por lo tanto una
función vectorial no es más que un vector de m funciones escalares:
f =(f 1 , f 2 , f 3 , ….. f m)
Con esta aclaración queda entendido que el dominio de una función
vectorial debe estar contenido en la intersección de los dominios de
cada uno de sus componentes.
Ejemplo:
Si consideramos la función vectorial R2
en R3
denida como
f ( x , y )=( x2+ y , sin x ,− x+e2 )
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
2/19
Sus componentes de f son:
f 1 ( x , y )= x2+ y
f 2( x , y )=sin x
f 3 ( x , y )=− x+e2
En el caso de los campos vectoriales, a!n es posible idear una
representación. Para campos vectoriales en el plano "o en el espacio# a
cada punto ( x , y ) del dominio le corresponde el vector (u , v )=f ( x , y ) .
FUNCIONES CONVEXAS
Defnición: un conjunto S de puntos es un conjunto conve$o si todos los
puntos del se%mento de recta que unen cualquier par de puntos del conjunto
tambi&n pertenecen a dic'o conjunto S .
(esde un punto de vista %ráco, podemos caracteri)ar las funciones conve$as
como aquellas para que los se%mentos de rectas que unen cualquier par de
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
3/19
puntos de su %ráca, nunca se sit!en por debajo de la misma. Sabiendo que a
tales se%mentos de la recta se le denomina cuerda de la función.
Defnición: una función f ( x) denida en un conjunto conve$o S de
Rn
es una función conve$a si
∀ x1
, x2
∊ S y ∀ λ ∊ R ,0≤ λ ≤1
Se verica:
f ( λ x2+(1− λ ) x1 ) ≤ λf ( x2 )+(1− λ ) f ( x1 )
(1 )(2)
Podemos observar que el termino * no es más que la altura de la función en un
punto intermedio entre x1 y x2 , mientras que el termino + es la altura, en ese
punto, de la cuerda que une los puntosf ( x1 ) y f ( x2) .
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
4/19
a función es estrictamente conve$a si la anterior denición se verica con la
desi%ualdad estricta cuando - * / x
1≠ x
2
Condiciones de convexidad
*.0 Para que una función sea conve$a 'acia abajo la condición es que
f ´ ´ ( x )>0
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
5/19
+.0 Para que una función sea una l1nea recta la condición es f ´ ´ ( x )=0
2.0 Para que la función sea conve$a 'acia arriba la condición es que f ´ ´ ( x )
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
6/19
3qu1 podemos observar al%unas de las propiedades de las funciones conve$as
que se verican independientemente de su diferenciabilidad.
*.0 Si la función y=f ( x ) es conve$a, la función
y=−f ( x ) es concava y viceversa
+.0 Un punto cualquiera donde la función conve$a y= f ( x ) alcan)a su m1nimo
es el mismo donde la función cóncava y=−f ( x ) alcan)a su má$imo, estando
relacionados los valores de ambas funciones en este punto por la i%ualdad.
2.0 Combinaciones lineales no ne%ativas de funciones conve$as %eneranfunciones conve$as. Es decir, si:
f 1 ( x ) , f
2( x ) , … . f n ( x )
Son funciones conve$as, la función:
g ( x )=∑i=1
n
λi f i ( x )( λi ≥0, i=1,… … n)
4.0 Si la función y=f ( x) es conve$a, el conjunto:
S= { x|f ( x)≤ K |}→ es xonvexo para toos!os va!ores e! parametro K
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
7/19
P56P7E(3(ES (E 8U9C769ES C69E;3S (78E5E9C73
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
8/19
8ormali)ando esta interpretación podemos enunciar las si%uientes propiedades
que e$tienden la interpretación cualquiera sea el n!mero de variablesf ( x)
.
Si y=f ( x) tiene derivadas primeras / se%undas continuas, se verican las
si%uientes implicaciones:
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
9/19
=,
8rente a estas propiedades nos sentimos tentados a suponer que, si la
funcion es estrictamente conve$a, su 'essiano es denido positivo /viceversa. Es decir
Sin embar%o conviene saber que esto no es asi,des%raciadamente / que esta version mas fuerte que lasanteriores implicaciones no se verica mas que en uno de sussentidos. Es decir
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
10/19
CONCAVIDAD Y EL SINO DE LA SEUNDA DERIVADA!
Consideremos la curva que se muestra en la %ura en una vecindad de
los puntos tales " y # la curva está debajo de su tan%ente /, ir de
" a #
a tan%ente %ira en el sentido de las manecillas del reloj
simultáneamente en una vecindad $ o D la curva está arriba de su
tan%ente / al ir de $ a D la tan%ente %ira en sentido contrario a las
manecillas además si la tan%ente %ira en sentido contrario de las
manecillas cuando vamos 'acia la derec'a.
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
11/19
a pendiente de la tan%ente aumenta Si la tan%ente %ira en sentido de
las manecillas la pendiente disminu/e puesto que la pendiente de la
tan%ente en cualquier punto ( x , y ) está daba por f % ( x) , parece ser
que el si%no de D x f % ( x )=f % % ( x) , siempre que f % % e$ista puede usarse
para distin%uir la conducta de la curva en un punto tal como 3 de un
punto tal como C.
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
12/19
>eorema sea f una función qu& se puede derivar dos veces en el
intervalo a
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
13/19
t ( x )= f ( x1 )+ f % ( x1)( x− x1)
Es la distancia diri%ida desde el eje $ 'asta la tan%ente medida
paralelamente al eje y
El teorema si%uiente muestra cómo el si%no de f % % ( x) determina si la
%ráca de f queda arriba o abajo de su tan%ente.
>eorema sea f una función derivable dos veces en el intervalo
a
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
14/19
(i ) f % % ( x)>0 En el intervalo entonces cada $ una n tal que x1 'a/ una
n¿ ( x
1, ' ) tal que x∈n
¿ ( x1, ' )⟹ f ( x )>t ( x ) .
(ii) Si f % % ( x)0 si%nica que f % ( x) crece cuando x crece, es
cierto que para toda x del intervalo.
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
15/19
x> x1⟹ f % ( x )> f % ( x1 )⟹( % ( x)>0
@
x x1⟹( ( x )>( ( x1 )=0.
Simultáneamente (% ( x )>0 implica que ( ( x ) decrece con x as1 que
x(
( x
1
)=0
.
Esto completa la prueba de (i) . a demostración de (ii) diere de
esta solamente en detalles pequeAos / este deja al lector
Defnición: Se dice que la %ráca de una función es cóncava 'acia
arriba en un intervalo si la %ráca queda arriba de su tan%ente en
sentido del teorema se dice que la %ráca es cóncava 'acia abajo si
queda debajo de su tan%ente.
En vista de esta denición el teorema anterior puede enunciarse como
si%ue:
(i) En cualquier intervalo f % % ( x)>0 la %ráca de x es cóncava 'acia
arriba.
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
16/19
(ii) En cualquier intervalo f % % ( x)
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
17/19
El puto ( x0 , f ( x0 )) , en que cambia el
sentido de la concavidad de la gráfica de la
función se llama punto de inflexión para la
abscisa en el punto de inflexión x
0 , de la
gráfica de la función y=f ( x) , la segunda
derivada f )) ( x0 )=0 o f
)) ( x0 ) noexiste se llaman puntos críticos de 2a
especie. El
punto crítico de 2a
especie x
0 es la abscisa del punto de inflexión si f )) ( x)
conserva signos constantes, y contrarios entre sí, en los intervalos
x0−*
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
18/19
Estos puntos dividen al e!e num"rico−+
8/18/2019 Concavidad y Convexidad de Funciones
19/19
Asíntotas verticales: paralelas al e!e y, si existe un n&mero a tal que
lim ¿ x →a f ( x )=+ , x=a¿ es asíntota vertical,
Asíntotas oblicuas: respecto a los e!es de coordenadas, si existen los límites:
lim ¿ x →++f ( x)
x ='
1
¿
lim ¿ x →++ [ f ( x )−' 1 x ]=&1¿
'a recta
y=' 1 x+&
1
será asíntota oblicua a la derecha o bien, si
' 1=0
, hori%ontal
derecha, paralela al e!e x. Si existen los límites:
lim ¿ x →−+f ( x )
x =' 2
¿
lim ¿ x →−+ [ f ( x )−' 2 x ]=&2¿
'a recta y=' 2 x+&2 es asíntota oblicua a la i%quierda o bien, si ' 2=0 , hori%ontal
i%quierda, paralela al e!e x.
Recommended