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¿Como se podría ganar un millón de dólaresgracias a los números p-ádicos?
Daniele Casazza
ICMAT-CSIC
11 de Mayo de 2018
Un rápido dibujo de la teoría de números algebraica relacionada con las curvaselípticas y sus aritmética
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 1 / 35
Mi motivación inicial
Definición: Una ecuación diofántica es una ecuación cuyos coeficientesson enteros (o racionales) de la cual se buscan soluciones enteras (oracionales).
Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 2 / 35
Mi motivación inicial
Definición: Una ecuación diofántica es una ecuación cuyos coeficientesson enteros (o racionales) de la cual se buscan soluciones enteras (oracionales).
Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 2 / 35
Mi motivación inicial
Definición: Una ecuación diofántica es una ecuación cuyos coeficientesson enteros (o racionales) de la cual se buscan soluciones enteras (oracionales).
Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III
Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 2 / 35
Mi motivación inicial
Definición: Una ecuación diofántica es una ecuación cuyos coeficientesson enteros (o racionales) de la cual se buscan soluciones enteras (oracionales).
Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 2 / 35
Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo
Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?
David Hilbert Julia Robinson, Yuri Matiyasevich
Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 3 / 35
Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo
Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?
David Hilbert Julia Robinson, Yuri Matiyasevich
Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 3 / 35
Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo
Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?
David Hilbert
Julia Robinson, Yuri Matiyasevich
Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 3 / 35
Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo
Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?
David Hilbert Julia Robinson, Yuri Matiyasevich
Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 3 / 35
Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo
Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?
David Hilbert Julia Robinson, Yuri Matiyasevich
Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 3 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
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Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
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Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Algunos ejemplos
x2 = 2;
ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;
a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;
1x + 1
y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;
2n = x2 + 7y2, en enteros;
x2 + y2 = 1, en racionales;
xp + yp = pz , con p primo, en enteros.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 4 / 35
Otros ejemplos
ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;
x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;
y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;
xp + yp = zp, con p primo, en enteros;
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 5 / 35
Otros ejemplos
ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;
x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;
y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;
xp + yp = zp, con p primo, en enteros;
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 5 / 35
Otros ejemplos
ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;
x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;
y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;
xp + yp = zp, con p primo, en enteros;
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 5 / 35
Otros ejemplos
ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;
x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;
y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;
xp + yp = zp, con p primo, en enteros;
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 5 / 35
Otros ejemplos
ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;
x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;
y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;
xp + yp = zp, con p primo, en enteros;
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 5 / 35
Formas cuadráticas y principio de Hasse
TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.
Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.
Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).
Es el prototipo de principio local-global.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 6 / 35
Formas cuadráticas y principio de Hasse
TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.
Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.
Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).
Es el prototipo de principio local-global.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 6 / 35
Formas cuadráticas y principio de Hasse
TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.
Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.
Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).
Es el prototipo de principio local-global.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 6 / 35
Formas cuadráticas y principio de Hasse
TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.
Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.
Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).
Es el prototipo de principio local-global.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 6 / 35
Formas cuadráticas y principio de Hasse
TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.
Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.
Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).
Es el prototipo de principio local-global.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 6 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 7 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2
= (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]
. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK
= Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD)
⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos
±1 = x2 − Dy2 = (x −√
Dy)(x +√
Dy)
Consideramos K := Q[√
D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .
Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.
Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −
√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 8 / 35
Un principio local-global cuando D > 0
Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;
TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;
existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):
FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;
FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;
FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35
La importancia de la ecuación xp + yp = zp
Tengo una demostración muy bonita, pero el margen es demasiadopequeño para poderla escribir...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 10 / 35
La importancia de la ecuación xp + yp = zp
Tengo una demostración muy bonita, pero el margen es demasiadopequeño para poderla escribir...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 10 / 35
La importancia de la ecuación xp + yp = zp
Tengo una demostración muy bonita, pero el margen es demasiadopequeño para poderla escribir...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 10 / 35
La importancia de la ecuación xp + yp = zp
Tengo una demostración muy bonita, pero el margen es demasiadopequeño para poderla escribir...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 10 / 35
El trabajo de Kummer
(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.
TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).
Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por
algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ... encontrar una contradicción por medio decongruencias!
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 11 / 35
El trabajo de Kummer
(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.
TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).
Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por
algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ... encontrar una contradicción por medio decongruencias!
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 11 / 35
El trabajo de Kummer
(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.
TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).
Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por
algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ... encontrar una contradicción por medio decongruencias!
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 11 / 35
El trabajo de Kummer
(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.
TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).
Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por
algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ...
encontrar una contradicción por medio decongruencias!
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 11 / 35
El trabajo de Kummer
(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.
TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).
Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por
algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ... encontrar una contradicción por medio decongruencias!
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 11 / 35
La prueba de Wiles (y los otros!)
Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.
Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)
Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 12 / 35
La prueba de Wiles (y los otros!)Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.
Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)
Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 12 / 35
La prueba de Wiles (y los otros!)Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.
Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)
Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 12 / 35
La prueba de Wiles (y los otros!)Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.
Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)
Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 12 / 35
La prueba de Wiles (y los otros!)Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.
Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)
Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 12 / 35
Curvas elípticas E/Q: el problema
E : y2 = x3 + ax + b
con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0
Problema: Por cada cuerpo de números K |Q, nos interesa encontrartodas las soluciones K -racionales:
E (K ) := (x , y) ∈ K 2 | solución de E
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 13 / 35
Curvas elípticas E/Q: el problema
E : y2 = x3 + ax + b
con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0
Problema: Por cada cuerpo de números K |Q, nos interesa encontrartodas las soluciones K -racionales:
E (K ) := (x , y) ∈ K 2 | solución de E
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 13 / 35
Curvas elípticas E/Q: el problema
E : y2 = x3 + ax + b
con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0
Problema: Por cada cuerpo de números K |Q, nos interesa encontrartodas las soluciones K -racionales:
E (K ) := (x , y) ∈ K 2 | solución de E
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 13 / 35
Los puntos de E (C)
Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 14 / 35
Los puntos de E (C)
Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 14 / 35
Los puntos de E (C)
Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 14 / 35
Los puntos de E (R)
Además, (E (R),+) es un grupo abeliano.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 15 / 35
Los puntos de E (R)
Además, (E (R),+) es un grupo abeliano.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 15 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
¿Y los puntos racionales, E (Q)?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35
Una relación mágica
Conjetura BSD:∏
p<X
#E (Fp)p ∼ C logr (X )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 17 / 35
Una relación mágica
Conjetura BSD:∏
p<X
#E (Fp)p ∼ C logr (X )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 17 / 35
Una relación mágica
Conjetura BSD:∏
p<X
#E (Fp)p ∼ C logr (X )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 17 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):
BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;
BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;
BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 18 / 35
¿Os acordáis?Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:
L(K , s) :=∏p
(1− app−s)−1, <(s) > 1
RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .
Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK
.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 19 / 35
Formalización con funciones L
Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).
L(E , s) :=∏p
(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 20 / 35
Un dibujo impresionante
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 21 / 35
Un dibujo impresionante
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 21 / 35
BSD
Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:
L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE
(#TE )2
.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 22 / 35
Resultados para BSD0
BSD0 = teorema de modularidad
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas X0(N)→ E sobre Q por la cual elpullback del diferencial invariante de E da una forma modular f t.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 23 / 35
Resultados para BSD0
BSD0 = teorema de modularidad
Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas X0(N)→ E sobre Q por la cual elpullback del diferencial invariante de E da una forma modular f t.q.:
L(E , s) = L(f , s)
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 23 / 35
Resultados hacia BSD1
Pocos resultados y solo cuando r ≤ 1, por medio de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 24 / 35
Resultados hacia BSD1
Pocos resultados y solo cuando r ≤ 1, por medio de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 24 / 35
Resultados hacia BSD1
Pocos resultados y solo cuando r ≤ 1, por medio de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 24 / 35
Resultados hacia BSD2
Pocos resultados en consecuencia de las técnicas para BSD1.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 25 / 35
Resultados hacia BSD2
Pocos resultados en consecuencia de las técnicas para BSD1.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 25 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:
(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζan)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),
con ζn = e2πi/pn ;(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;
(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);
(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
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Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Sistemas de Euler
Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.
Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa
n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;
(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).
Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:
Norm(ESn+1) = ESn
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 26 / 35
Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas
Mundo complejo, (C, | · |)
Función L clásica:L(E , s)
Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)
Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)???
La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 27 / 35
Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas
Mundo complejo, (C, | · |)
Función L clásica:L(E , s)
Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)
Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)???
La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 27 / 35
Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas
Mundo complejo, (C, | · |)
Función L clásica:L(E , s)
Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)
Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)???
La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 27 / 35
Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas
Mundo complejo, (C, | · |)
Función L clásica:L(E , s)
Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)
Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)???
La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 27 / 35
¿Os acordáis?
Teorema (Mordell-Weil)
E (Q) ' Zr ⊕ T
Observaciones:
el teorema no es efectivo!
0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0
divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;
hay muchos resultados para calcular T ;
el problema es calcular r ;
quizás suena un poco como Z×K ' Zr ⊕ TK ...Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 28 / 35
Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas
Mundo complejo, (C, | · |)
Función L clásica:L(E , s)
Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)
Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)
La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).
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Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:
(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
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Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );
(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)
⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD
Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.
Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).
Pero, lo más importante:
Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 30 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Otras aplicaciones
Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:
M = M1 ⊕M2;
L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);
Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);
Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).
descomposición de sistemas de Euler.
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 31 / 35
Mis resultados
Teorema (C.-Rotger)
LHidap · LKatz
p = LBDPp
Corolario ∫γ
f · g = log2(PK )log(uK )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 32 / 35
Mis resultados
Teorema (C.-Rotger)
LHidap · LKatz
p = LBDPp
Corolario ∫γ
f · g = log2(PK )log(uK )
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 32 / 35
En curso de realización con Carlos de Vera Piquero
ConjeturaExiste una factorización de funciones L p-ádicas:
LGarrettp = Lp(f ,Ad g) · LMK
p
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 33 / 35
¡Gracias por vuestra atención!
Grotte di Nettuno, Alghero, Sardegna
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 34 / 35
¿Preguntas?
Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 35 / 35
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