¿Comosepodríaganarunmillóndedólares graciasalosnúmeros ...matematicas.uc3m.es/images/dpto-docs/Slides/casazza.pdf · ¿Comosepodríaganarunmillóndedólares graciasalosnúmerosp-ádicos?

¿Como se podría ganar un millón de dólaresgracias a los números p-ádicos?

Daniele Casazza

ICMAT-CSIC

11 de Mayo de 2018

Un rápido dibujo de la teoría de números algebraica relacionada con las curvaselípticas y sus aritmética

Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 1 / 35

Mi motivación inicial

Definición: Una ecuación diofántica es una ecuación cuyos coeficientesson enteros (o racionales) de la cual se buscan soluciones enteras (oracionales).

Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII








Selfie de Diofanto de Alejandría, siglo III

Selfie de Pierre de Fermat, siglo XVII






Hilbert y la razón por la cual tengo un trabajo

Hilbert 10th problem: ¿hay una manera general para resolver unaecuación diofántica cualquiera?

David Hilbert Julia Robinson, Yuri Matiyasevich

Teorema (Y. Matiyasevich, J. Robert, 1970)¡NOOOOOOOOO! (en respuesta a la cuestión de Hilbert)









David Hilbert

Julia Robinson, Yuri Matiyasevich













Algunos ejemplos

x2 = 2;

ax + by = m, con a, b,m ∈ Z, en enteros;

a! + b! + c! = d!, en enteros positivos;

1x + 1

y = 1n , con n ∈ Z>0, en enteros positivos;

2n = x2 + 7y2, en enteros;

x2 + y2 = 1, en racionales;

xp + yp = pz , con p primo, en enteros.


Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Algunos ejemplos

x2 = 2;



1x + 1






Otros ejemplos

ax2 + 2bxy + cy2 = m, a, b, c,m ∈ Z, en enteros o racionales;

x2 − Dy2 = ±1, con D ∈ Z>0, en enteros;

y2 = x3 + d , con d ∈ Z, en enteros o racionales;

xp + yp = zp, con p primo, en enteros;


Otros ejemplos






Otros ejemplos






Otros ejemplos






Otros ejemplos






Formas cuadráticas y principio de Hasse

TeoremaUna forma cuadrática tiene solución en Q si y solo si tiene solución enR = Q∞ en Qp por todo primo p.

Una familia de ecuaciones satisface el principio de Hasse si el teoremafunciona para esta familia.

Remarque: solución sobre Qp SSI solución módulo p (módulo 4, si p = 2).

Es el prototipo de principio local-global.


























Ecuación de Pell-Fermat: x 2 − Dy 2 = ±1, con D ∈ Z>0














Ecuación de Pell-Fermat y cuerpos cuadráticos

±1 = x2 − Dy2

= (x −√

Dy)(x +√

Dy)

Consideramos K := Q[√

D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .

Teorema (caso especial del teorema de las unidades de Dirichlet)Si D > 0, tenemos Z×K ' Z× TK , con #TK = 2.Si D < 0, tenemos Z×K ' TK , con #TK ∈ 2, 4, 6.

Entonces x2 − Dy2 = ±1, D > 0, tiene infinitas soluciones... una(ε = x0 −

√dy0) más pequeña que las otras! (unidad fundamental)



±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)








±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)


D]

. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD) ⊃ Z×K .






±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)


D]. Tenemos K ⊃ ZK

= Z[X ](fD) ⊃ Z×K .






±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)


D]. Tenemos K ⊃ ZK = Z[X ](fD)

⊃ Z×K .






±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)








±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)








±1 = x2 − Dy2 = (x −√

Dy)(x +√

Dy)







Un principio local-global cuando D > 0

Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:

L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1

RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .

Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:

L′(K , 0) = RegK ·# ClK#TK

.


Un principio local-global cuando D > 0Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:

L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1




.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1

RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;

TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .



.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1

RegK := ln(ε) describe la parte libre de Z×K ;TK := (Z×K )tors = ±1, y #TK = 2;

existe un grupo ClK que describe la factorización en ZK .



.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1


Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):

FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1


Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;

FNC1 ords=0L(K , s) = 1;FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1


Teorema (Fórmula de número de clases de Dirichlet):FNC0 L(K , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 1− s;FNC1 ords=0L(K , s) = 1;

FNC2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


.



L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1




.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 9 / 35

La importancia de la ecuación xp + yp = zp

Tengo una demostración muy bonita, pero el margen es demasiadopequeño para poderla escribir...











El trabajo de Kummer

(x + y)(x + ζy) · · · (x + ζp−1y) = zp, donde ζ = e2πi/p.

TeoremaEl último teorema de Fermat es verdadero cada vez que p - #ClQ(ζ).

Idea: x + ζ iy , x + ζ jy coprimos por i 6= j , entonces x + ζ iy = εizpi , por

algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ... encontrar una contradicción por medio decongruencias!


















algún εi ∈ Z[ζ]×, por cada i ...

encontrar una contradicción por medio decongruencias!








La prueba de Wiles (y los otros!)

Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.

Considero la curva elíptica E : y2 = x(x − ap)(x − bp)

Gracias a mi fantástico teorema, esa curva elíptica no puede existir!

Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas sobre X0(N)→ E sobre Q, por lacual el pullback del diferencial invariante de E da una forma modular ft.q.:

L(E , s) = L(f , s)


La prueba de Wiles (y los otros!)Considero (a, b, c) tal que ap + bp = cp.




L(E , s) = L(f , s)






L(E , s) = L(f , s)






L(E , s) = L(f , s)






L(E , s) = L(f , s)


Curvas elípticas E/Q: el problema

E : y2 = x3 + ax + b

con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0

Problema: Por cada cuerpo de números K |Q, nos interesa encontrartodas las soluciones K -racionales:

E (K ) := (x , y) ∈ K 2 | solución de E



E : y2 = x3 + ax + b

con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0





E : y2 = x3 + ax + b

con a, b ∈ Z, 4a3 + 27b2 6= 0




Los puntos de E (C)

Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.


Los puntos de E (C)

Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.


Los puntos de E (C)

Además, (E (C),+) es un grupo abeliano.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 14 / 35

Los puntos de E (R)

Además, (E (R),+) es un grupo abeliano.


Los puntos de E (R)

Además, (E (R),+) es un grupo abeliano.


¿Y los puntos racionales, E (Q)?

Teorema (Mordell-Weil)

E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:

el teorema no es efectivo!

0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0

divide el problema en 2 trozos, parte libre y parte de torsión;

hay muchos resultados para calcular T ;

el problema es calcular r ;

quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...




E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0








E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0




quizás se parece un poco a Z×K ' Zr ⊕ TK ...Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 16 / 35

Una relación mágica

Conjetura BSD:∏

p<X

#E (Fp)p ∼ C logr (X )



Conjetura BSD:∏

p<X




Conjetura BSD:∏

p<X



Formalización con funciones L

Sea E/Q una curva elíptica. Definimos ap := p + 1− E (Fp).

L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2

Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:

L(r)(K , 1)/r ! = ΩE ·RegE ·#ShaE

(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2



(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2



(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2

Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):

BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2

Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;

BSD1 ords=1L(E , s) = r ;BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2

Conjetura (de Birch y Swinnerton-Dyer):BSD0 L(E , s) admite extensión entera y ecuación funcional entre s y 2− s;BSD1 ords=1L(E , s) = r ;

BSD2 Tenemos fórmula para el primer factor de la expansión de Taylor:


(#TE )2.




L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2



(#TE )2.


¿Os acordáis?Ponemos ap = #fD(X ) = 0 mod p − 1 y definimos:

L(K , s) :=∏p

(1− app−s)−1, <(s) > 1




.Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 19 / 35



L(E , s) :=∏p

(1− app−s + p1−2s)−1, <(s) > 3/2



(#TE )2.


Un dibujo impresionante


Un dibujo impresionante


BSD



(#TE )2

.


Resultados para BSD0

BSD0 = teorema de modularidad

Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas X0(N)→ E sobre Q por la cual elpullback del diferencial invariante de E da una forma modular f t.q.:

L(E , s) = L(f , s)


Resultados para BSD0

BSD0 = teorema de modularidad

Teorema (de Modularidad)Existe una parametrización de curvas X0(N)→ E sobre Q por la cual elpullback del diferencial invariante de E da una forma modular f t.q.:

L(E , s) = L(f , s)


Resultados hacia BSD1

Pocos resultados y solo cuando r ≤ 1, por medio de sistemas de Euler.









Pocos resultados en consecuencia de las técnicas para BSD1.



Pocos resultados en consecuencia de las técnicas para BSD1.


Sistemas de Euler

Un sistema de Euler es un objeto que relaciona el mundo algebraico con elmundo analítico.

Ejemplos conocidos:(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζa

n)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),con ζn = e2πi/pn ;

(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).

Observación: ESn ∈ cn, un,Pn, . . . , entonces el sistema de Euler esES = (ES)n, con:

Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler






Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler


Ejemplos conocidos:

(1) unidades ciclotómicas cn := (1− ζan)/(1− ζn) ∈ Q(ζn),

con ζn = e2πi/pn ;(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).


Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler






Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler




(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;

(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).


Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler




(2) unidades elípticas un ∈ H×n ;(3) puntos de Heegner Pn ∈ E (Hn);

(4) otros... (ciclos especiales en grupos de Chow, K-teoria, etc.).


Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler






Norm(ESn+1) = ESn


Sistemas de Euler






Norm(ESn+1) = ESn


Funciones L clásicas VS funciones L p-ádicas

Mundo complejo, (C, | · |)

Función L clásica:L(E , s)

Mundo p-ádico, (Cp, | · |p)

Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)???

La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).





















La función Lp(E , s) se relaciona a Sel(E ).Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 27 / 35

¿Os acordáis?


E (Q) ' Zr ⊕ T

Observaciones:


0→ E (Q)→ Sel(E )→ Sha(E )→ 0




quizás suena un poco como Z×K ' Zr ⊕ TK ...Daniele Casazza (ICMAT-CSIC) ¿Como se podría ganar un millón de dólares gracias a los números p-ádicos?11 de Mayo de 2018 28 / 35





Función(es) L p-ádica(s):Lp(E , s)



Sistemas de Euler, funciones L p-ádicas y BSD

Sistema de Euler de puntos de Heegner P := (Pn)n≥0,PK := Norm(P0), con K |Q cuadrático imaginario.

Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).

Pero, lo más importante:

Lp(E , s) = LOG(P)⇐⇒ Sel(E )










Se relacionan con todo:

(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).






Se relacionan con todo:(1) Teorema de Gross-Zagier: L′(E , 1) .= h(PK );

(2) Varios (BDP,...): Lp(E , 1) .= log2E ,p(PK ).




















Lp(E , s) = LOG(P)

⇐⇒ Sel(E )








Otras aplicaciones

Hay relaciones directas (¡no siempre fáciles!) entre:

M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);

Sel(M) = Sel(M1)⊕ Sel(M2).

descomposición de sistemas de Euler.


Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Otras aplicaciones


M = M1 ⊕M2;

L(M, s) = L(M1, s) · L(M2, s);

Lp(M, s) = Lp(M1, s) · Lp(M2, s);




Mis resultados

Teorema (C.-Rotger)

LHidap · LKatz

p = LBDPp

Corolario ∫γ

f · g = log2(PK )log(uK )


Mis resultados

Teorema (C.-Rotger)

LHidap · LKatz

p = LBDPp

Corolario ∫γ

f · g = log2(PK )log(uK )


En curso de realización con Carlos de Vera Piquero

ConjeturaExiste una factorización de funciones L p-ádicas:

LGarrettp = Lp(f ,Ad g) · LMK

p


¡Gracias por vuestra atención!

Grotte di Nettuno, Alghero, Sardegna


¿Preguntas?


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