Classifying Customer-Provider Relationships in the Internet

1東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻TOKUYAMA Lab.

Classifying　 Customer-Provider Relationships in the Internet

Thomas Erlebach,Alexander HallComputer Engineering and Networks Lab.,ETH Z richű

Thomas SchankDep.of Computer & Information Science,Universität Konstanz

2東北大学 情報科学研究科 システム情報科学専攻TOKUYAMA Lab.

wang@dais.is.tohoku.ac.jpから中村　先生（ nakamura@umunhum.stanford.edu.us ）にメールを送信する場合では

dais

is

tohoku

ac

jp us

edu

stanford

umunhumriec

berkeley

AS AS

customer provider

AS AS

peer peer

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PreliminariesGiven a simple,undirected graph G=(V,E) and a set P of simple ,undirected

paths in G.

validisppathationclassificaaFor

Definition

,

:1

•if it starts with zero or more customer-provider edges

•followed by zero or one peer-peer edge

•followed by zero or more provider-customer edges

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:ap

:bp

:cp

:dp

:ep

:fp××

Examples

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Lemma 　2

for a given edge classification ,

is vaild no source node in it

peer-peer edges can be completely disregarded.×

Pp

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The problems in this paperType-of-Relationship problem(ToR)given a graph G=(V,E) and a set P of simple,undirected paths in G,classifying the edges of the graph into customer-provider relationships such that as many of the paths in P as possible are valid.

ALLToRdecide of G s.t. are valid,and

compute it if it exists.

MAXToRcompute an orientation of G s.t. ,

norientatio P ip

)max(k } validis { Ppk i

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The ALLToR Problem ---------solve ALLToR in linear time by reducing it to 2SAT

Lemma 3:① of length k can be split up into k-1 paths , of length 2 and② Of G , p is valid all are valid.ip

11 kiip

:p:1p :2p

1e 2e 3e1e 2e

2e 3e

1path directed p 1e 2e valid1p clause 2SAT1e 2e in in

ininout

outout out

yes

yesyes

no

21 ee 21 ee

21 ee 21 ee

Note:edge appears negated if it is pointing away from the internal node of path and not negated if it is pointing towards

iev

v

v

p

Ppn orientatio

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SAT problemvariables:clauses:a literal is a variable or the negation of a variable and a clause is a set of literals. A clause is true is one of the literals in the clause is true. the input to SAT is a collection of clausesthe output is the answer to: Is there an assignment of true/false to the variables so that every clause is satisfied (satisfied means the clause is true)?

when all clauses ,we call it 2SAT problem.

nxxx ......,2,1

mCCC ......,2,1

The ALLToR Problem ---------what is 2SAT problem

miCi 1,2

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1.Orient the edges of G=(V,E) arbitrarily.

2.Split all paths into paths of length 2,where is the length of path .

3.Construct a 2SAT instance where each edge corresponds to a variable and each path (of length 2) corresponds to a clause .

4.Solve the resulting 2SAT instance.

5. If the 2SAT instance is not satisfiablethe ALLToR is not solvable. otherwise,flip :whose corresponding variable has been assigned false by 2SAT

The ALLToR Problem ---------solve ALLToR in linear time by reducing it to 2SAT

p P

1-)(p

p )( pp

Eei p

Eei

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The MAXToR Problem ---------prove that MAXToR is NP-hard

To prove that MAXToR is NP-hard,we wil give an reduction from the well known NP-hard maximum independent set problem(MAXIS) to MAXToR.

Lemma 4 with two paths s.t. 同時に valid できな

い),( EVG

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The MAXToR Problem ---------prove that MAXToR is NP-hard

What is MAXIS problem?・ INSTANCE: Graph . ・ SOLUTION: An independent set of vertices s.t. arenot joined by an edge

max( )

),( EVG VV '

'V

', Vvv ji

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The MAXToR Problem ---------prove that MAXToR is NP-hard

MAXIS の instance 　　　　　　　 から MAXToR の instance 　　　　を作る

),( HH EVH ),( PG

PpVvpv iHiii , ,

Pppts ji , ..

・ ー > と　　は edge-disjoint.

・ ー > と　　は同時に valid にしないように。

ip

jp Hji Evv ,

Hji Evv ,

ip

jp

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しかし、 MAXIS は NP- 困難である、そして任意の　　　　に対して近似率は　　　の近似アルゴリズムは存在しないことは既に知られている。

The MAXToR Problem ---------conclusion

11n

0

もし MAXToR は多項式時間で解ける或いは近似解を求められるならば、 MAXIS に対しても同じことを言える。

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Approximating MAXToR instances with bounded path length

a path of length is valid with probability

k

k

k

2

1

a simple approximation algorithm各 edge に対して勝手に方向をつける。

:1p

:2p

:1kp

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ならば

　　　：近似解、　　　：最適解

Approximating MAXToR instances with bounded path length

the most length of paths approximatio ratio2 0.753 0.54 0.3125

iiii ppkpPp oflength the:)(,)(,

,2

1

2

1)E(Arand Opt

kn

kkk

OptrandA

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符号の定義：

Approximating MAXToR instances with bounded path length

MAX2SAT を用い、もっと良い近似率を得られる。

SATMAXMAXToR 2 　帰着方

針：

kpPpPPPg

MAXToRA

MAXToROpt

iik

K

)(:,,

:

:

'''

の近似解の最適解

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① パスの長さ＝２のとき，

MAXToR の近似率＝ 0.931(MAX2SAT の近似率 )

Approximating MAXToR instances with bounded path length

:p 1e 2e

2221,1121 ,, ,C eeee 　節

validpC はを充足できる

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② パスの長さ＝３のとき，:p:1p :2p

1e 2e

2e3e

1e 3e2e

,211 C

,322 C 333222111 ,,,,,, eeeeee

validpCC はを同時に充足できると 21

Approximating MAXToR instances with bounded path length

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Approximating MAXToR instances with bounded path length

同様に

② パスの長さ＝３のとき，　 32 gOptSATMAXOptMAXToR の最適解はの最適解は

333 2 gASATMAXAMAXToR の近似解はの近似解は

931.0,3

33

rrgOpt

gA既存研究によっ

て

OptA 818.03

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③ パスの長さ＝４のとき，

② の場合と同じ方法で評価する

Approximating MAXToR instances with bounded path length

OptA 352.04

④ パスの長さ＞４のとき，以上の方法は助からない。

の節を充足できる４３の解は常にSATMAX 2

でない可能性があるはvalidPpi

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Approximating MAXToR instances with bounded path length

最大パス長 algo.ランダム近似 MAX2SAT algo.を用いる近似2 0.75 0.9313 0.5 0.8184 0.3125 0.352

>4 k

k

2

1k

k

2

1

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MAXToR は APX- 完全・すべてのパス長＝２の場合でも、 MAXToR はある定数を超える近似率を　得られない。

方針：を作る。のからの ),instance(MAXToRinstance2 PGSATMAX

:instance2 のSATMAX

'

'

....1,,,,,

....1,

mkxxxxc

nix

jjjiiijik

i

節

変数

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．

．．

MAXToR は APX- 完全

に加える。とに対してノード

G

xxeedgexxx iiiiii

, ,

に加える。をに対して Geedgec jikjik ,

に加える。をP)( jjjkiiik eeeppath

作られた MAXToR の instance の解に対して、 は充足は kk cvalidp

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)(''

)(

)('

jjjkik

jkiiik

jjjkiiik

eep

eep

eeep

validppc kkk はとは充足 '''

MAXToR は APX- 完全パス長＝２の場合に対応するため、

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MAXToR は APX- 完全'2 mOptSATMAXOptMAXToR の最適解はの最適解は

'22 2 mASATMAXAMAXToR の近似解はの近似解は

同様に

既存研究によって

955.0 ,'

'2

qqmOpt

mA

OptA 980.02