View
225
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
1/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 76 - CHELBI Hassen
Unit denseignement : Automatique 1
ECUE n 1 : Signaux et Systmes Linaires
Chapitre 8
Analyse et Synthse des Systmes Asservis Linaires par la Mthode Temporelle
Nombre dheures/chapitre : 3h
Cours intgr
Systme dvaluation : Continu
OBJECTIFS DE LENSEIGNEMENT :
-Savoir manipuler les techniques de reprsentation des systmes.
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on sintresse la raction temporelle de tout systme automatis tout en tudie les
trois critres dun systme asservis qui sont, la stabilit, la rapidit et la prcision.
Pour le critre de stabilit on dfinie leur conditions ainsi que la mthode modale pour tudi tous
systme qui est le critre de Routh.
En second lieu, on dfinie la condition de rapidit tout en dtaillant sa condition dapplication pour un
systme de 2meordre tout avec le critre algbrique damortissement : Critre de Naslin
Enfin en dfinie la prcision dun systme asservi tout en tudie la mthode de sa dtermination pour
un systme retour unitaire ou bien pour des systmes plusieurs entres ou bien retour non unitaire.
-Connatre les notions des signaux.
-Connatre les notions des systmes et plus particulirement les systmes asservis.
-Matriser les outils de transformation des signaux.
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
2/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 77 - CHELBI Hassen
Chapitre 8
Analyse et Synthse des Systmes Asservis Linaires
par la Mthode Temporelle
1. Gnralits
1.1.Rappel
E(p) S(p)
1
H1(p)
G(p)R(p)
Fig.8.1
E (p) : entre principale
Z (p) : perturbation
S (p) : sortie
1.2. But de lentre temporelle
Ltude temporelle consiste tudier les trois caractristiques fondamentales dun systme asservi
linaire
Rapidit Stabilit
Prcision
Un systme est dit performant sil est rapide, stable et prcis
2. Stabilit
Un systme linaire asservi est stable si abandonn lui-mme partir de conditions initiales quelconque
il revient son tat dquilibre.
Z (p)
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
3/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 78 - CHELBI Hassen
2.1. Condition de stabilit :
Un systme asservi linaire est caractris par :
)(
)(
.....
.....)(
01
1
1
01
1
1
pD
pX
apapapa
bpbpbpbpH
n
n
n
n
m
m
m
m=
++++
++++=
-Equation caractristique :
D (p) =0
anpn+ an-1p
n-1++ a1p1+ a0= 0
Un systme est stable si les parties relles des ples (solution de D (p) = 0) sont ngatifs.
Remarque :
Cette condition ncessaire et suffisante ncessite un calcul des racines ce qui rend cette condition
inacceptable lorsque lordre du systme est important >2
Il suffit de dterminer le signe de la partie relle des ples en utilisant le critre de Routh.
Critre de Routh : parties relles < 0.
2.2. Critre de Routh :
D (p) = anpn+ an-1p
n-1 + an-2pn-2+..+ a1p
1+ a0
Table de Routh
pn an an-2 an-4 a0
pn-1
an-1 an-3 an-5 a1
pn-2
b1 b2 b1 bn
.. . .
P0 q1 q q3 qn
Tab.8.1
n+1 lignes
1
3211
=
n
nnnn
a
aaaab ;
1
5412
=
n
nnnn
a
aaaab ;
1
7613
=
n
nnnn
a
aaaab
1
21311
b
baabc nn = ;
1
21512
b
baabc nn = ;
1
41713
b
baabc nn =
..
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
4/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 79 - CHELBI Hassen
La condition ncessaire de stabilit sexprime par le tableau de Routh comme suit :
Tous les ai existent et de mme signe (>0).
Tous les coefficients de la 1recolonne sont strictement positifs.
Remarques
le nombre de changement de signe dans la 1recolonne du tableau de Routh est gal au nombre
des racines (des ples) de D (p) partie relle positive.
Si le systme est dordre n, on a (n+1) cfficients sur la 1recolonne du tableau de Routh.
Si lun des lments de la 1re colonne est gale zro, le systme est asymptotiquement
marginalement stable.
Application 1
1-3343
1)(
2341++++
=pppp
pH
2-cbpapp
ppH
+++
+=
23
2
2
1)(
3-papp
pH++
=23
1)(
Question : Etudier la stabilit des systmes par le critre de Routh en fonction de a, b et c.
Correction
1. 03343)( 234 =++++= pppppD
p4 1 4 3
p3 3 3 0
p2 3 3
p1 0 0
p0 3 0
Tab.8.2
Polynme auxiliaire
033 2 =+p 012 =+p 12 =p jp =1 ou jp =2
le systme est marginalement stable (juste oscillant).
2. cbpapp
p
pH +++
+
= 23
2
2
1
)(
cbpapppD +++= 23)(
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
5/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 80 - CHELBI Hassen
p3 1 b
p2 a c
p1a
cab 0
p
0
cTab.8.3
Le systme soit stable si tous les lments de la 1recolonne >0a>0, c>0, ab-c>0
3)bapp
pH++
=23
1)(
bapppD ++= 2)(
p2 1 b
p1 a 0
p0 b 0
Tab.8.4
le systme soit stable ssi a>0 et b>0.
Application 2
E(p) S(p)
Fig. 8.2
1-
Calculer)(
)()(
pE
pSpH = .
2-
Etudier la stabilit en fonction de K.
Correction
1-
Kpp
pKpH
215,84
)5,01(2)(
2+++
+=
2-
KpppD 215,84)(2
+++=
Kp81
2
+
p8,01
2
+
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
6/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 81 - CHELBI Hassen
Tab.8.5
Pour que le systme soit stable il faut que 1+2K >0 K>-1/2.
Application3
E (p) S(p)
Fig. 8.3
1-
Gpppp
pG
ppG
pp
G
pH
1033
)1(10
)1(101
)1(
10
)(234
3
2
++++
+=
++
+=
Tableau de Routh :
Tab.8.6
Application 4
KpPpp
ppH
++++
+=
245
2
34
1)(
Etudier la stabilit en fonction de K.
p2 4 1+2K
p1 8,5 0
p0 1+2K 0
p4 1 3
p3 3 1
p23
8 10G
p1
3
8
103
8G
p0 10G
G2)1(
10
pp +
p+1
1
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
7/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 82 - CHELBI Hassen
Correction
a3=0, le systme est instable pour tout valeur de K.
3.Rapidit dun systme asservi
3.1. Dfinition :
ts : le temps de stabilisation cherch 5% (ou 2%) de s() pour les systmes oscillants amortis.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
1,1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9.95
1
1,1
1,2Temps de stabilisation ts
ts
Fig. 8.4
tr : le temps de rponse 95% de s() pour les systmes apriodiques.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
1,1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
1,1
1,2Temps de monte tm=t2-t1
t2t1
tm=t2-t1
Fig. 8.5
tm : le temps mis pour passer de 10% de s() 90% de s() Cest le temps de monte.
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
8/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 83 - CHELBI Hassen
tp : Cest le temps mis pour atteindre le 1erdpassement Cest le temps de pic.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
1,1
1,2
tpic
Fig. 8.6
La rapidit sexprime par le temps de stabilisation qui correspond au temps ncessaire pour que lerreur
r une consigne constante devient 5% de la consigne
%5)(
c
c
y
tyy
3.2. Rappel sur le systme de 2me ordre
2
0
2
12
2
01
2
2
2
00
2
2
0
2)(
)(
a
ap
a
ap
a
b
apapa
b
pmp
K
pE
pS
++
=++
=++
=
2
00
a
a= ,
2
2
2
12
0
2
2
10 42
aam
aam == ,
2
02
2
2
1
2
0
2
2
2
124
a
aa
a
a
am ==
,
02
2
124aa
am = ,
2
0
1 mtp
=
0
3
mts = ( 5%).
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
9/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 84 - CHELBI Hassen
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tpic
Tm
Fig. 8.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ts en fonction de "m"
Fig. 8.8
On constate que le temps de pic et le temps de monte diminue.
Le temps tsdiminue si m croit de 0 0.7 puis augmente avec m.
Le temps de rponse le plus court est obtenu pour m=0.7. En particulier m=0.7 est considr comme la
valeur optimale pour des nombreux systmes.
La rapidit dun systme de second ordre est troitement lie m.
Pour un systme asservi dordre quelconque, on va tudier de mme lamortissement.
m
ts
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
10/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 85 - CHELBI Hassen
3.2.1. Critre algbrique damortissement : Critre de Naslin
01
1
1 .....)(
apapapa
bpH
n
n
n
n ++++=
Par analogie avec les systmes de second ordre, on dfinit les rapports caractristiques :
20
2
11
aa
a= ;
42
2
33
aa
a= ;
32
2
11
=
nn
nn
aa
a
11
2
+
=
ii
ii
aa
a
Le critre algbrique damortissement :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
2
4
6
8
10
12
14
16
Fig. 8.9
Le critre algbrique damortissement impose aux valeurs i dtre une valeur bien dtermine.
1 ,6 1,75 2 2,4
D% 40% 20% 6% 1%
m 0.3 0.45 0.7 0.9
Tab.8.7
Pour un systme dordre 2 on a :
=
=
2
0
1
1
100%2
mt
eD
p
m
=
=
2
1
2,2
28,4%
a
a
t
D
p
Systmes dordre levs.
1
2
3
1< 2< 3
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
11/14
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
12/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 87 - CHELBI Hassen
4.1. Systme retour unitaire
Fig. 8.11
)()()](1[
)()()(
pEppT
pSpEp
=+
=
)(1
)()(
pT
pEp
+=
Ainsi, on dfinit deux rgimes de fonctionnement :
Rgime statique : erreur statique.
Rgime transitoire : erreur dynamique.
Un systme est prcis si lerreur statique est nulle.
)()(1
)(
)()()(
=+
==
pTpEpim
ppimtim
t
tt
Remarques
- 0)( =si le systme est totalement prcis.
- lerreur statique dpend de lentre et dpend aussi du systme.
Classe dun systme asservi
01
1
1
01
1
1
.....
.....)(
apapapa
bpbpbpbpT
m
m
m
m
m
m
m
m
++++
++++=
...)1(
...)1()(
+
+=
p
KpT est appel classe du systme (nombre dintgration).
Si 0p p
KpT =)(
p
K
pE
ppT
pE
p pp+
=+= 1
)(
lim)(1
)(
lim)( 00
T(p)
E(p) (p) S(p)
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
13/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 88 - CHELBI Hassen
Application
1=
p
EpE
0)( =
0lim)( 0 =+
= Kp
E
p 0)( =
Entre0 1 2 3
Impulsion )()( 0 tEte = 0 0 0 0
Echelon de position )()( 0 tuEte =
K
E
+1
0 0 0 0
Echelon de vitesse )()( 0 ttuEte = K
E0 0 0
Echelon dacclration )(2
)( 20 tutE
te = K
E0 0
Tab.8.8
Remarques
La prcision augmente si augmente.
Lerreur statique pour une entre impulsionelle est nulle pour tout valeur de.
Pour une classe donne, la prcision se dtriore si le signal dentre plus dur.
On appelle erreur statique de position dans le cas o lentre est un chelon de vitesse.
4.2. Calcul de )( pour diffrents systmes
4.2.1. Systme 2 entres
S(p)E(p)
z(p)
1
T2(p)T1(p)
Fig. 8.12
)()()( pSpEp =
Or )]()()()[()( 12 pzppTpTpS =
)()()()()()()( 212 pzpTppTpTpEp +=
)()(1)()(
)()(1)()(
21
2
21 pTpTpzpT
pTpTpEp
++
+=
7/23/2019 Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle
14/14
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 89 - CHELBI Hassen
4.2.2. Systme retour non unitaire :
Fig. 8.13
)()(1
)()(
)()]()(1)[(
)()()()()()()(
21
12
12
pTpT
pEp
pEpTpTp
ppTpTpEppEp
+=
=+
==
S (p)E (p)
(p)
)(1 pT
)(2 pT
(p)
Recommended