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CF Aula1 19.09
Conceitos Fundamentais
CF Aula1 19.09
~A
^
~e
~~. BA
~~BA
B
~
u
~. A
~ARotacional de um campo vectorial
Vector
Versor
Produto interno
Produto externo
Tensor
Nabla
Gradiente de um campo escalar
Divergência de um campo vectorial
Notação
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Leis do electromagnetismo são regidas pelas equações de Maxwell.
Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).
Força de Lorentz:
~~~~BvEqF
Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais de
campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.
Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico
~E ~
B
~D
~H
~~~~
1 EDBH oo
Em espaço livre:
Permeabilidade magnética , permitividade 17104 mHo 19103/1 mFo
Equações de Maxwell
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A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da
indução magnetica através de A. ~E
A
dsBt
dlEf ~~~~
..
^
~
^
~~
ndSdS
tdldl
A
^
~n
^
~t
f
Lei de Faraday
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Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada
Гf = fluxo do rotacional de através de A.~
U
~U
f A
dsUdlU~~~~
..
t
BE
~
~~
Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e
em todos os pontos do espaço.~
U
~. U
Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)
Teorema de Stokes (cálculo vectorial)
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O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total
contida nesse volume.~D
dvqdsD VSf
~~.
~
.D Sf V dvUdSU~~~~
..
Lei de Gauss
Teorema da divergência (cálculo vectorial)
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A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é ~J
f AdsJdlH~~~
..•
t
D
~ Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo
• Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a
propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as
previsões teóricas).
Campo magnético
Lei de Ampére
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Termo t
D
~
A SdsJds
t
DdlH
f ~~~
~
~~...
t
DJH
~
~~
Teorema de Stokes do cálculo vectorial
fS
dsB 0.~~
~H Divergência de
Não foram encontrados até agora cargas magnéticas
0.~
B
Teorema da divergência
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0.~
t
J Teorema da divergência
t
D
~ Termo
Sf
dVt
dsJ ~~
.
traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.
Como a carga se conserva
~J
Eq. da continuidade
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~I
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oB
D
t
BE
t
DJH
~
~
~
~
~
~~
.
.
Sabendo e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.
Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,
relações Constitutivas.
~J
Eqs. de Maxwell
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Relações constitutivas• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características.
Propriedades dos meios• Homogéneos
• Lineares
• Isótropos
• Anisotropos
• Temporalmente dispersivos
• Espacialmente dispersivos
• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão
espacial.
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Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.
- vector polarização eléctrica
~~0~PED
~P
~.Pp
Meios materiais Comportamento dieléctrico
Resposta do meio a um campo electromagnético
estático e uniforme é descrita em termos de
momentos dipolares eléctricos induzidos.
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Meios materiais Comportamento magnético
Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica um
campo magnético são induzidas pequenas correntes
microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos
às variações do campo aplicado.
Comportamento diamagnético,momentos magnéticos
em oposição ao campo magnético.
Comportamento paramagnético, há a possibilidade de
alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o
campo magnético intensifica-se.
Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos
induzidos são muito mais intensos do que nos materiais
com comportamento magnético ordinário.
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~BMagnetização
Correntes microscópicas induzidas
(Correntes Amperianas).
Magnetização - momento dipolar
magnético por unidade de volume.
A densidade de corrente associada às
correntes microscópicas é dada por
e tem-se
~M
~Mx
)(~~0~
MHB
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Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético
Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).
Regimes variáveis no tempo
Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial relações entre e e entre e
descritas cada uma por uma convolução temporal.
No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de Fourier de e e de e
.
)(~
tD )(~
tE )(~
tB)(
~tH
)(~
tD )(~
tE )(~
tB )(~
tH
)(*)()(
)(*)()(
)(*)(´)'(´)(
~~
~~
~~~
tEttJ
tHttB
tEtdttEtttD
)(.)()(
)(.)()(
~~
~~
HB
ED
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Equações de Maxwell em Meios Materiais
Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre existe
também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos
eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado
(separação de cargas negativas e positivas).
Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade
volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.
A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a
densidade de carga livre.
GaussdeLeiE.o
p
~
~. Pp
~
. D~D
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t
E
t
PMJB
o o
~~
~~~
1
• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é
determinado pela densidade de corrente total.
Corrente livreCorrente Amperiana
Corrente de polarização
Corrente deslocamento de vácuo
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A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna
necessário arranjar um modelo para descrever os meios.~D
~H
~
~
~~
D
t
DJH
Equações de Maxwell em termos de D e H
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Ondas Electromagnéticas
Ondas Planas
O lugar geométrico dos pontos em que os valores das grandezas ondulatórias são constantes,
são planos.
As ondas planas são muito importantes porque:
A grande distância das fontes as ondas esféricas e cilíndricas podem ser localmente
aproximadas por ondas planas
Qualquer tipo de onda pode ser sintetizado (via integral de Fourier em vectores de onda) à
custa de ondas planas elementares.
• A descrição de uma estrutura ondulatória envolve coordenadas espaciais e a coordenada temporal.
Nem todas as funções f(x,y,z,t) são ondas.
Equações de onda
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Equações de Onda
Meio homogéneo, isótropo e sem fontes ou espaço livre. 0J,0
0
00.
0.
2~
2
~
2
2~
2
~
2
~
~
~
~
~
~
t
HH
t
EEB
D
t
BE
t
DH
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Propagação de Ondas Planas e Uniformes
~~HeE
2 2
~ ~2 2
2 2
~ ~2 2
1 2
( )
0
3 .
1
:
: cos
y y
y
k z ct
E E
z t
eqs escalares
E Ec
z t
Solução geral E f z ct f z ct
Funções A k z ct C e z ct
Todas as funções acima representam movimento ondulatório
Admitamos (para simplificar) que só dependem de z.
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O que é uma onda?
É um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante e é reproduzido noutros
lugares em instantes posteriores, sendo o atraso proporcional à distância de cada local à
primeira posição.
Uma onda não é necessariamente um fenómeno repetitivo no tempo.
(Ex: Tsunami).
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Se houver apenas onda incidente: E = f (z – ct)
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Variação Temporal Harmónica
Os geradores produzem tensões e correntes, e portantos campos eléctrico e magnético que variam
sinusoidalmente no tempo.
Qualquer variação periódica pode ser analisada em termos de variações sinusoidais com frequências
que reproduzem o conteúdo espectral do estímulo electromagnético.
)2/sin(
)cos(
0
0
tEE
tEE
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