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Ce manuel de cours d’Electrotechnique avancé ; traite la modélisation et la commande des
machines électriques. Puisque actuellement ces deux secteurs qui ont envahit le monde
industriel, tel que le secteur des entraînements à vitesse variable, on citre les T.G.V, les
métros …etc.
Il s’adresse également aux étudiant de la section B.T.S et ingénieurs préparant des concours
d’agrégation ou technologique, Il est recommandé aux étudiants préparant leurs mastère.
Par ailleurs, il est utile pour les enseignants qui désirent améliorer, progresser et posséder
un fondement en cette matière.
Ce manuel de cours est complémenté par un CD ROM, propriétaire de l’auteur sur
demande, comportant toutes les simulations existantes dans ce manuel en utilisant le
logiciel Matlab, qui permettent aux étudiants de d’assimiler et comprendre certains points
existants dans ce manuel.
Sommaire
i
Liste de matières
CHAPITRE 1 : TRANSFORMATIONS MATHEMATIQUES POUR L’ETUDE DES MACHINES ELECTRIQUES TOURNANTES _____________________________ 1
1. NECESSITE DES MATRICES DE TRANSFORMATIONS______________________ 2
2. CHOIX DU REFERENTIEL A L’INTERIEUR DE LA MACHINE TOURNANTE________ 2
3. MATRICES DE TRANSFORMATIONS USUELLES___________________________ 3
3.1. Matrice de Park ______________________________________________________________________ 3
3.2. Matrice de Charle Concordia __________________________________________________________ 5
3.3. Matrice de Clarke ____________________________________________________________________ 7
3.4. Relation entre les matrices de Concordia et de Park _____________________________________ 9
4. NOTIONS DE VECTEUR D’ESPACE ____________________________________ 10
CHAPITRE 2 : MODELISATION ET COMMANDE DE LA MACHINE ASYNCHRONE TRIPHASEE EN REGIME VARIABLE_____________________ 12
1. DESCRIPTION DE LA MACHINE ASYNCHRONE TRIPHASEE A CAGE__________ 13
2. REPARTITION DU CHAMP MAGNETIQUE DANS L’ENTREFER DE LA MACHINE __ 14
3. REPRESENTATION DE LA MACHINE DANS LE REPERE (DQ0) _______________ 15
4. HYPOTHESES ____________________________________________________ 15
5. REPRESENTATION DE LA MACHINE PAR LEURS AXES____________________ 15
6. RELATION DES FREQUENCES _______________________________________ 16
7. EQUATIONS DE FONCTIONNEMENT REELLES DE LA MACHINE ASYNCHRONE _ 16
8. EQUATIONS DE FONCTIONNEMENT DE LA MACHINE DANS LE REPERE DE PARK18
9. REPERES USUELS ________________________________________________ 20
10. EQUATIONS COMPLEXES DE LA MACHINE DANS LE REPERE DU PARK ______ 22
Sommaire
ii
11. SCHEMAS ELECTRIQUES EQUIVALENT EN REGIME QUELCONQUE __________ 23
12. EXPRESSIONS DU COUPLE ELECTROMAGNETIQUE ______________________ 24
13. MODELES D’ETAT DE LA MACHINE ASYNCHRONE ALIMENTEE EN TENSION___ 25
13.1. Simulation du modèle dans un repère lié au stator ______________________________________ 30
13.2. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au champ tournant _______________ 33
14. COMMANDE EN COURANT DE LA MACHINE ASYNCHRONE TRIPHASEE_______ 36
14.1. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au stator_________________________ 38
15. MODELISATION DE L’ONDULEUR TRIPHASE DE TENSION _________________ 41
16. TECHNIQUES DE COMMANDE DE L’ONDULEUR TRIPHASE DE TENSION ______ 43
16.1. MLI intersective _____________________________________________________________________ 43
16.2. MLI vectorielle ______________________________________________________________________ 44
16.3. MLI multinivaux ____________________________________________________________________ 46
17. COMMANDE DU MOTEUR ASYNCHRONE TRIPHASE PAR ONDULEUR MLI DE TENSION EN BOUCLE OUVERTE DANS LE REPERE DE CONCORDIA ____________ 48
18. COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE ASYNCHRONE A FLUX ORIENTE__ 50
18.1. Orientation du flux rotorique _________________________________________________________ 50
18.2. Estimateur de flux du rotor__________________________________________________________ 51
18.3. Estimateur de l’ange de Park p_______________________________________________________ 52
18.4. Modèle de la machine asynchrone à flux orienté ________________________________________ 52
18.5. Modèle de la machine asynchrone à flux rotorique orienté_______________________________ 53
CHAPITRE 3 : MODELISATION DYNAMIQUE DE LA MACHINE SYNCHRONE TRIPHASEE _______________________________________________________ 54
1. MODELISATION ET COMMANDE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANT PERMANENT _______________________________________________________ 55
1.1. Description de la machine synchrone triphasée à aimant ________________________________ 55
1.2. Hypothèses __________________________________________________________________________ 55
1.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)______________________ 56
1.4. Relation des fréquences ______________________________________________________________ 57
Sommaire
iii
1.5. Equations de fonctionnement réelle de la machine ______________________________________ 57
1.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park ______________________ 58
1.7. Modèles d’état de la machine synchrone _______________________________________________ 59
2. MODELISATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A ROTOR BOBINE ___________ 62
2.1. Description de la machine synchrone à rotor bobine ____________________________________ 62
2.2. Hypothèses __________________________________________________________________________ 62
2.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)______________________ 62
2.4. Relation des fréquences ______________________________________________________________ 63
2.5. Equations de fonctionnement réelles de la machine _____________________________________ 63
2.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park ______________________ 65
2.7. Modèles d’état de la machine synchrone à rotor bobiné _________________________________ 65
3. CONCLUSION ____________________________________________________ 66
4. CRITERES DE CHOIX D'UN VARIATEUR ________________________________ 66
5. APPLICATIONS ___________________________________________________ 66
BIBLIOGRAPHIE ___________________________________________________ 67
ANNEXE 1 ________________________________________________________ 69
ANNEXE 2 ________________________________________________________ 70
ANNEXE 3 ________________________________________________________ 70
LOGICIELS UTILISES _______________________________________________ 71
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 1 Proposé par M : SOYED Abdessami
Chapitre 1 : Transformations mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Objectifs:
Comprendre et manipuler les transformations matricielles utilisées pour l’étude des
convertisseurs d’énergies tournants,
Savoir manipuler le vecteur espace utilisé pour l’étude des convertisseurs d’énergies
tournants.
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 2 Proposé par M : SOYED Abdessami
1. Nécessité des matrices de transformations
En régime transitoire, les équations primitives décrivant le fonctionnement des machines
électriques tournantes, sont des équations différentielles à cœfficient variables (contenant des
termes périodiques). Ces cœfficients périodiques ( sin(θ) ; cos(θ) ) sont fonction de l’angle ( θ ),
qui provient du mouvement relatif entre les bobinages statoriques et rotoriques.
L’étude analytique du comportement des convertisseurs tournants devient alors relativement
lourde, vu le grand nombre de variables.
La solution numérique est possible, mais demeure compliquée et demande un temps de calcul
très important pour la résolution des équations différentielles primitives.
On recourt alors à des transformations mathématiques permettant de décrire le comportement
des machines électriques par des équations différentielles à coefficients constants.
En général on utilise les transformations qui conservent la puissance instantanée ainsi que la
réciprocité des inductances mutuelles.
2. Choix du référentiel à l’intérieur de la machine tournante
En général le flux principal magnétisant est radial à l’intérieur de la machine électrique
tournante. Il est situé dans un plan perpendiculaire à l’axe de la machine.
Le référentiel à l’intérieur de la machine est en général choisi suivant la figure.1.1.
Fig.1.1: Choix du référentiel d’une machine tournante
d
q
0
B
ehomopolair Axe :0
qudratureen Axe:q
direct Axe:d
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 3 Proposé par M : SOYED Abdessami
3. Matrices de transformations usuelles
3.1.Matrice de Park
L’idée de cette transformation est inventée par Park, elle est utilisée pour la machine synchrone
à pôles saillants, plus une excitation continue.
L’axe direct « d » coïncide avec l’axe longitudinal, l’axe en quadrature « q » coïncide avec
l’axe transversal, et l’axe homopolaire « O » coïncide avec l’axe de la machine (arbre).
Fig.1.2: Naissance du repère de Park
Le flux total crée par la machine vaut alors :
f f sf d f f sf d2π 4πΦ=L .i +M .[cos(θ)+cos(θ- )+cos(θ- )]i =L .i +m .i3 3
1.1
Le repère de Park n’est pas nécessairement fixe, mais tournant à une vitesse angulaire dénoté par
( pp
dθω =
dt).
d
q
O
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 4 Proposé par M : SOYED Abdessami
Les bobines du stator sont portées par leurs axes.
Fig.1.3: Représentation des tensions triphasées et leurs équivalences de systèmes de tensions
diphasées tournant (dq0)
La matrice condensée des tensions dans le repère (dq0), est exprimée en fonction des matrices
condensée des tensions dans le repère (abc) par la relation 1.2.
dq0 p abcv P(θ ) . v 1.2
Par conséquent, les expressions des matrices de Park et Park inverse sont données par les
relations 1.3 et 1.4
p p p
p p p p
2π 2πcos(θ ) cos(θ - ) cos(θ + )3 3
2 2π 2πP(θ ) = . -sin(θ ) -sin(θ - ) -sin(θ + )3 3 3
1 1 1 2 2 2
1.3
p p
-1 T
p p p p
p p
1cos(θ ) -sin(θ )2
2 2π 2π 1P(θ ) = P(θ ) = . cos(θ - ) -sin(θ - )3 3 3 2
2π 2π 1cos(θ + ) -sin(θ + )3 3 2
1.4
pω
a
bc
d
O
pθ
av
bvcv
dv
qv
q
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 5 Proposé par M : SOYED Abdessami
Remarques
La matrice de Park est normée, par conséquent son inverse est égale à sa transposée.
La transformation de Park est utilisée pour toute grandeur d’espace (flux, courants….).
Si le système des tensions est équilibré, la matrice de Park, se réduit à :
p p p
32
p p p
2π 2πcos(θ ) cos(θ - ) cos(θ + ) 2 3 3P = .
2π 2π3 -sin(θ ) -sin(θ - ) -sin(θ + ) 3 3
1.5
3.2.Matrice de Charle Concordia
Cette transformation est un cas particulier de la transformation du Park, ou le repère de Park est
fixe (lié au stator). Elle est connue par le repère (0), cette transformation conserve la
puissance et non pas les amplitudes.
Fig.1.4:Transformations de Concordia (0)
La matrice condensée des tensions dans le repère (0), est exprimée en fonction de la matrice
condensée des tensions dans le repère (abc) par la relation 1.6.
abc0 v.C)v 1.6
β
a
bc
O
av
bvcv
αv
βv
α
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 6 Proposé par M : SOYED Abdessami
Par conséquent les expressions des matrices, de Concordia et Concordia inverse, sont données
respectivement par les relations 1.7.
1 11 - -2 2
2 3 3C = . 0 -3 2 2
1 1 12 2 2
; -1 T
11 02
2 1 3 1C = C = . -3 2 2 2
1 3 1- -2 2 2
1.7
Simulation temporelle et vectorielle des tensions sinusoïdales à l’aide du Matlab dans le
repère (abc) et le repère de Concordia:
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-400
-200
0
200
400
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-400
-200
0
200
400
Temps(s)
vb vcva
v v
Fig.1.5: Représentation temporelle des tensions (vabc) et (v0)
-200 -100 0 100 200 300 400-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
va
vb
vc
v
v
Fig.1.6: Représentation vectorielle des tensions (vabc et v)
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 7 Proposé par M : SOYED Abdessami
Remarques
La matrice de Concordia est normée par conséquent, son inverse est égal à sa transposée.
La transformation de Concordia est utilisée pour toute grandeur d’espace (flux, courants….).
Si le système des tensions est équilibré, la matrice de Concordia, se réduit à :
32
1 11 - - 2 2 2C = .3 3 30 -
2 2
1.8
3.3.Matrice de Clarke
Cette transformation (0) n’est pas normée, par conséquent elle ne conserve pas la puissance,
mais conserve les amplitudes.
Fig.1.7: Représentation vectorielle des tensions (vabc) et (v )
β
a
bc
0
av
bvcv
αv
βv
α
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 8 Proposé par M : SOYED Abdessami
Par conséquent les expressions des matrices de Clarke et Clarke inverse, sont données
respectivement par les relations 1.9.
L
1 11 - -2 2
2 3 3C = . 0 -3 2 2
1 1 12 2 2
; -1L
1 0 1
1 3C = - 12 21 3- - 12 2
1.9
Simulation temporelle et vectorielle des tensions sinusoïdales à l’aide du Matlab dans le
repère (abc) et le repère Clarke:
0 2 4 6 8 10 12 14-400
-200
0
200
400vabc
0 2 4 6 8 10 12 14-400
-200
0
200
400
v
Fig.1.8: Représentation temporelle des tensions (vabc) et (vO )
-200 -100 0 100 200 300 400-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
va
vb
vc
v
v
Fig.1.9: Représentation vectorielle des tensions (vabc) et (v)
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 9 Proposé par M : SOYED Abdessami
Remarques
La matrice de Clarke n’est pas normée par conséquent, son inverse n’est pas égale à sa
transposée.
La transformation de Clarke est appliquée pour toute grandeur d’espace (flux, courants….).
Si le système des tensions est équilibré, la matrice de Clarke, se réduit à :
L
1 11 - -2 2 2C = .3 3 30 -
2 2
1.10
3.4.Relation entre les matrices de Concordia et de Park
Lorsque l’angle p(θ ) prend la valeur zéro, la transformation de Park ainsi particulière, porte le
nom de Concordia [C] et les axes seront nommés (0). Le passage aux axes (dq0) s’effectue
par une matrice de rotationpR(θ ) , sur la matrice de Concordia.
Fig.1.10: Passage du repère du Park vers le repère de Concordia
C.RP 1.11
0pθ
d
dvqv
q
ββv
αv
α
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 10 Proposé par M : SOYED Abdessami
αβ0 abc
1 11 - -2 2
2 3 3v = . 0 - . v3 2 2
2 2 22 2 2
1.12
p p
dq0 p p αβ0
cos(θ ) sin(θ ) 0v = -sin(θ ) cos(θ ) 0 . v
0 0 1
1.13
Simulation du passage des grandeurs tension du repère du Park vers le repère de Concordia :
. -200 -100 0 100 200 300 400-50
0
50
100
150
200
250
300
350
V
V
Vq
Vd
V
Fig.1.11: Passage du repère de Concordia vers le repère de Park
Remarque:
On peut aussi passer du repère du Park, vers le repère de Concordia en utilisant la matrice
rotationnelle inverse
4. Notions de vecteur d’espace
La notion de vecteur d’espace est inspirée des repères de Park et de Concordia. Par ailleurs on
note par (0) =(DQ0). La notion de vecteur d’espace noté ici par X peut être de type courant,
tension ou flux….etc. Il offert une meilleure vue dynamique de la machine tournante et surtout
lorsqu’elle est alimentée par un onduleur de tension ou de courant. Il permet de réduire l’espace
de travail.
Chapitre 1 : Transformation mathématiques pour l’étude des machines électriques tournantes
Electrotechnique avancée Page : 11 Proposé par M : SOYED Abdessami
Fig.1.12: Passage d’un repère vers un autre
Dans le repère fixe le vecteur est désigné par ( X ).
12
D Q 2
3
x2X=X +jX = . 1 a a . x3
x
; 2πj3a=e 1.14
Dans le repère en mouvement de rotation d’angle (p) est désigné par ( x ). p-jθ
d qx=x +jx =X.e 1.15
Il en résulte que les composants du vecteur ( x ) valent
d Dp p
p pq Q
x xcos(θ ) sin(θ )= .
-sin(θ ) cos(θ )x x
1.16
La dérivée temporelle du vecteur ( x ), vaut
jθpp
dX dx dxe- . = +jω .dt dt dt
; pp
dθω =
dt 1.17
D
d
DX
QX
dxqx
0
X ou x
pθ
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 12 Proposé par M : SOYED Abdessami
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Objectifs:
Modéliser la machine asynchrone dans le repère de Park,
Etablir les différents modèles de la machine en fonction des vecteurs de commande
choisis,
Etudier les différentes techniques de commande de l’onduleur de tension,
Simuler quelques grandeurs de la machine
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 13 Proposé par M : SOYED Abdessami
1. Description de la machine asynchrone triphasée à cage
La machine asynchrone triphasée est constituée d’un stator fixe et d’un rotor mobile séparé par
un entrefer. Dans des encoches internes réparties sur la face interne du stator sont logés trois
enroulements (phases) identiques, comportant 2p pôles, et sont déphasés d’un angle électrique
de (3
2π ).
Fig.2.1: Constitution de la machine asynchrone triphasée
Fig.2.2: Vue éclaté d’un moteur asynchrone triphasé à cage
1
1'
2'
3
3'
11'
2
3
3'
2'
2
θ
Rotor
Entrefer
Stator
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 14 Proposé par M : SOYED Abdessami
N° Désignation N° Désignation
1 Stator bobiné 27 Vis de fixation du capot
2 Carter 30 Roulement côté accouplement
3 Rotor 33 Chapeau intérieur côté accouplement
5 Flasque côté accouplement 38 Circlips de roulement côté accouplement
6 Flasque arrière 39 Joint côté accouplement
7 Ventilateur 50 Roulement arrière
13 Capot de ventilation 54 Joint arrière
14 Tiges de montage 59 Rondelle de précharge
21 Clavette 70 Corps de boîte à bornes
26 Plaque signalétique 74 Couvercle de boîte à bornes
Tableau 1 : Nomenclature des organes du moteur de la figure.2.2
2. Répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine
Fig.2.3: Répartition du champ magnétique dans l’entrefer
1 1' 11'
θ)(B1
2 2'2 22'
θ)(B2
3' 33 3' 3θ)(B3
θ
θ
θ
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 15 Proposé par M : SOYED Abdessami
3. Représentation de la machine dans le repère (dq0)
Fig.2.4: Machine asynchrone triphasé dans le repère (dq0)
4. Hypothèses
On suppose que :
Le circuit magnétique de la machine asynchrone n’est pas saturé et qu’il n y a pas présence des
phénomènes d’hystérésis, donc les inductances deviennent constantes,
La répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine est sinusoïdale,
L’effet de peau (pelliculaire) est négligeable, donc les résistances de la machine sont considérées
comme des constantes.
5. Représentation de la machine par leurs axes
Fig.2.5: Machine asynchrone dans le repère (abc)
d
0
q
2v
3v
0av
1v
θa
b
c
12
3
cv
bv
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 16 Proposé par M : SOYED Abdessami
6. Relation des fréquences
Fig.2.6: Représentation des champs magnétiques
Le champ magnétique tournant sH
crée par les phases du stator tourne à la pulsation (vitesse
électrique) dénotée pω . Alors que le champ magnétique tournant rH
crée par les phases du rotor
tourne par rapport à lui-même à la pulsation (vitesse électrique) dénotée rw .
Le rotor glisse par rapport au champ de synchronisme à une vitesse électrique relative notée gω .
La condition des fréquences de la machine asynchrone en régime quelconque vaut
électriquement: p r gω =ω +ω , et vaut mécaniquement: p grω ωω= +p p p
.
La condition des fréquences de la machine asynchrone en régime permanent sinusoïdale vaut
électriquement r gω=ω +ω , et vaut mécaniquement: gs
ωΩ =Ω+
p.
7. Equations de fonctionnement réelles de la machine asynchrone
Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de faraday sont :
Au stator :
aa s a
bb s b
cc s c
dΦv =R i +dt
dΦv =R i +dt
dΦv =R i +dt
2.1
pω
gω
rdθω =dt
Stator
me)synchronis de (Champ
(Rotor)
sH
rH
)(Reférence0
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 17 Proposé par M : SOYED Abdessami
Au rotor:
11 r 1
22 r 2
33 r 3
dΦv =0=R i +dtdΦv =0=R i +dt
dΦv =0=R i +dt
2.2
L’écriture des équations précédentes sous une forme réduite (matricielle) est :
a a a
b s b b
c c c
v i Φdv =R . i + Φdt
v i Φ
2.3
1 1 1
2 r 2 2
3 3 3
v i Φdv = 0 =R . i + Φdt
v i Φ
2.4
Les équations des flux sont données par :
abc s abc sr 123
123 rs abc r 123
Φ = . i + M . i
Φ = M . i + . i
2.5
Avec
a a 1s s s a1 a2 a3
abc b s s s b b1 b2 b3 2
s s s c1 c2 c3 3c c
Φ i iM M M M MΦ = Φ = M M . i + M M M . i
M M M M M iΦ i
2.6
a1 1a1 b1 c1 r r r
123 2 a2 b2 c2 b r r r 2
a3 b3 c3 r r r3 3c
iΦ iM M M M MΦ = Φ = M M M . i + M M . i
M M M M MΦ ii
2.7
La matrice de la mutuelle inductance est :
sr sr
2π 2πcos(θ) cos(θ+ ) cos(θ- )3 3
2π 2πM =M . cos(θ- ) cos(θ) cos(θ+ )3 32π 2πcos(θ+ ) cos(θ- ) cos(θ)3 3
2.8
Remarque: On a donc : Trs sr srM (θ) = M (-θ) = M (θ) .
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 18 Proposé par M : SOYED Abdessami
Les équations réduites du moteur en fonction des inductances et courants sont:
abc s abc s abc sr 123
123 r 123 123 rs abc
d dv R . i i M . idt dt
d dv 0 R . i i M . idt dtr
2.9
8. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park
Le repère de Park (dq0) tourne à une vitesse angulaire ( pp
dθω =
dt). Les bobines du stator ainsi
que le rotor sont portées par leurs axes.
Fig.2.7: Modèle équivalent de la machine asynchrone dans le repère diphasé tournant (dq0)
q
d
dsv
dsi
drv
dri
qrv
qri
qsv
qsi
a
av
cv
bvb
c
1v
3
2 1
3v
2v
pθ
pω
θ0
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 19 Proposé par M : SOYED Abdessami
La matrice de Park est donnée par :
p p p
p p p p
2π 4πcos(θ ) cos(θ - ) cos(θ - )3 3
2 2π 4πP(θ ) = -sin(θ ) -sin(θ - ) -sin(θ - )3 3 3
1 1 1 2 2 2
2.10
Equations des tensions et courants du stator:
La matrice de passage des grandeurs statoriques vers le repère de Park est )P(θ p .
Alors que La matrice de passage des grandeurs rotoriques vers le repère de Park est pP(θ -θ) .
ds a
sdq0 qs p b p abc
c0s
ds a
sdq0 qs p b p abc
c0s
v vv = v = P(θ ) . v = P(θ ) . v
vv
i ii i P(θ ) . i P(θ ) . i
ii
2.11
On substitue les équations 2.11 dans 2.9, on obtient :
-1
sdq0 s sdq0 p s p abc
-1 -1
p sr p rdq0
dv =R i + P(θ ) P(θ ) i +dt
d + P(θ ) M P(θ ) idt
2.12
Tout calcul fait, on trouve:
ds drds s ds s p s qs qr
qs qrqs s qs s p s ds dr
0s0s s 0s s0
di div =R i +L +M -ω (L i +Mi )dt dt
di div =R i +L +M +ω (L i +Mi )
dt dtdiv =R i +Ldt
2.13
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 20 Proposé par M : SOYED Abdessami
Equations des tensions et courants du rotor
Un raisonnement analogue au précédent, tout en utilisant la matrice passage pP(θ -θ) , conduit
à :
dr dsdr r dr r p r r qr qs
qr qsqr r qr r p r r dr ds
0r0r r 0r r0
di div =0=R i +L +M -(ω -ω )(L i +Mi )dt dt
di div =0=R i +L +M +(ω -ω )(L i +Mi )
dt dtdiv =0=R i +Ldt
2.14
Equations des flux de la machine asynchrone
ds s ds dr
dr r dr ds
qs s qs qr
qr r qr qs
Φ =L i +MiΦ =L i +MiΦ =L i +Mi
Φ =L i +Mi
2.15
9. Repères usuels
Repère fixe lié au stator:
Ce repère est connu sous le nom référentiel de Concordia. La pulsation de Park vaut alors pω =0 .
Ce référentiel permet d'étudier la variation importante de la vitesse de rotation associée ou non
avec la variation de la fréquence d'alimentation. Les équations respectivement du stator et du
rotor deviennent:
ds drds s ds s
qs qrqs s qs s
0s0s s 0s s0
di div =R i +L +Mdt dt
di div =R i +L +M
dt dtdiv =R i +Ldt
2.16
dr dsdr r dr r r r qr qs
qr qsqr r qr r r r dr ds
0r0r r 0r r0
di div =0=R i +L +M +ω (L i +Mi )dt dt
di div =0=R i +L +M -ω (L i +Mi )
dt dtdiv =0=R i +Ldt
2.17
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 21 Proposé par M : SOYED Abdessami
Repère lié au rotor:
Ce référentiel peut être intéressant dans les problèmes de régimes transitoires où la vitesse de
rotation est considérée comme constante. La pulsation de Park vaut alors p rω =ω .
Les équations respectivement du stator et du rotor deviennent:
ds drds s ds s r s qs qr
qs qrqs s qs s r s ds dr
0s0s s 0s s0
di div =R i +L +M -ω (L i +Mi )dt dt
di div =R i +L +M +ω (L i +Mi )
dt dtdiv =R i +Ldt
2.18
dr dsdr r dr r
qr qsqr r qr r
0r0r r 0r r0
di div =0=R i +L +Mdt dt
di div =0=R i +L +M
dt dtdiv =0=R i +Ldt
2.19
Repère synchrone (lié au champ tournant):
Ce référentiel est utilisé pour l'étude des moteurs asynchrones alimentés par des tensions à
fréquence variable. La pulsation vaut alors ( p sω =ω ). Les équations respectivement du stator et
du rotor deviennent:
ds drds s ds s s s qs qr
qs qrqs s qs s s s ds dr
0s0s s 0s s0
di div =R i +L +M -ω (L i +Mi )dt dt
di div =R i +L +M +ω (L i +Mi )
dt dtdiv =R i +Ldt
2.20
dr dsdr r dr r s r r qr qs
qr qsqr r qr r s r r dr ds
0r0r r 0r r0
di div =0=R i +L +M -(ω -ω )(L i +Mi )dt dt
di div =0=R i +L +M +(ω -ω )(L i +Mi )
dt dtdiv =0=R i +Ldt
2.21
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 22 Proposé par M : SOYED Abdessami
10. Equations complexes de la machine dans le repère du Park
Fig.2.8: Modèle de la machine asynchrone dans le repère diphasée tournant (dq0)
L’axe « d » est considéré comme axe réel, alors que l’axe « q » est considéré comme axe
imaginaire. Par conséquent on peut écrire respectivement les équations du stator et du rotor par :
s ds qs
s ds qs
s ds qs
r r qr
r dr qr
r dr qr
v =v +jv
i =i +ji
Φ =Φ +jΦ
v =v +jv
i =i +ji
Φ =Φ +jΦ
2 .22
Les équations précédentes en fonction des flux de la machine dans le repère de Park s’écrivent
alors :
ss s s p s
rr r r p r r
dΦv =R i + +jω Φdt
dΦv =0=R i + +j(ω -ω )Φdt
2.23
pω
d
q
0
qsv
qsi
qrv
qriM
sL
rL
dsv
dsidrv
dri
M
rL sL
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 23 Proposé par M : SOYED Abdessami
Ou bien encore en fonction des courants s’expriment par:
s rss s s s p s r
srr r r r p r r r s
d i d iv =R i +L +M +jω (L i +M i )dt dt
d id iv =0=R i +L +M +j(ω -ω )(L i +M i )dt dt
2.24
11. Schémas électriques équivalent en régime quelconque
Circuit d’axe direct « d » :
ds dmds s ds sf p qs
dr dmdr r dr rf p r qr
di dΦv =R i +L + -ω Φdt dt
di dΦv =0=R i +L + -(ω -ω )Φdt dt
2.25
Circuit d’axe transversal « q » :
qs qmqs s qs sf p ds
qr qmqr r qr rf p r dr
di dΦv =R i +L + +ω Φ
dt dtdi dΦ
v =0=R i +L + +(ω -ω )Φdt dt
2.26
dridsi sR p qsω ΦsfL
mdi
rR
p r qr(ω -ω )Φ
rfL
dsvdt
d dm
qriqsi sR p dsω ΦsfL
qmi
rR
p r dr(ω -ω )Φ
rfL
qsv qmddt
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 24 Proposé par M : SOYED Abdessami
Circuit d’axe homopolaire «0 » :
12. Expressions du couple électromagnétique
Le couple électromagnétique est né suite à l’interaction entre les champs magnétiques du rotor et
du stator. Il est définit à partir de la puissance mécanique.
Tsrm me s r
m
dM (θ)dP dPT = =p =p i idθ dθ dθ
2.27
Expression du couple en fonction des courants
*e m s r qs dr ds qrT =pM I ( i i ) =pM(i i -i i ) 2.28
Expression du couple en fonction des grandeurs du rotor
*e m r r qr dr dr qrT =p I (Φ i ) =p(Φ i -Φ i ) 2.29
Expression du couple en fonction des grandeurs du stator
*e m s s ds qs qs dsT =-p I (Φ i ) =p(Φ i -Φ i ) 2.30
Expression du couple en fonction des grandeurs du stator et du rotor
*e m r s dr qs qr ds
r r
*e m r s dr qs qr ds
s r s r
pM pMT = I (Φ i ) = (Φ i -Φ i )L LpM pMT = I (Φ Φ ) = (Φ Φ -Φ Φ )
σL L σL L
2.31
0si sR
s0L0sv
0ri rR
r0L0rv
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 25 Proposé par M : SOYED Abdessami
13. Modèles d’état de la machine asynchrone alimentée en tension
La mise en équation d’état de la machine asynchrone est liée au type d’alimentation et au choix
de vecteur d’état. En général, on alimente la machine par une source de tension si elle est de
moyenne puissance, et on l’alimente par une source de courant si elle est de forte puissance.
Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire
dans le repère de Park. Toute en transformant les équations 2.13 et 2.14 de la machine
asynchrone sous la forme d’équation d’état de la manière suivante:
•X = A X + B U
Y = C X
Avec
:A Matrice d’état du modèle;
:B Matrice de commande d’état du modèle ;
:C Matrice d’observation du modèle ;
:U Vecteur des entrées de commande et des perturbations ;
:X Vecteur des variables d’état du modèle ;
:Y Vecteur de mesure du modèle.
Fig.2.9: Schéma bloc du modèle de la machine asynchrone
asynchrone machine la de
étatd' Modèle
U YrT
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 26 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état : T
ds qs dr qrX = i ; i ; i ; i
ds p r rs r s s
dsqsp r r
qss s r s
dr drr p r
r s r r qr
qrr p r
r s r r
1 M Mdi - (σω +(1-σ)ω ) ωτ τ L Ldt
i1 M Mdi - (σω +(1-σ)ω ) - - ω iτ L τ L1dt =di M M 1 iσ - ω - σω -ω
L τ L τdt idi M M 1ω -σω + ω - dt L τ L τ
s
dss
qs
s r
s r
1 0L
10vL1+vMσ - 0
L LM0 -
L L
Vecteur de mesure du modèle:
ds
qsds
qs dr
qr
iii 1 0 0 0
Y = = .i 0 1 0 0 i
i
Couple électromagnétique de la machine: e qs dr ds qr dr qs qr dsr
MT =pM(i i -i i )=p (Φ i -Φ i )L
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 27 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état: T
ds qs dr qrX = Φ ; Φ ; Φ ; Φ
ds ps s r
dsqsp
qs dss s r
qsdr drp r
r s r qr
qrp r
r s r
1 MdΦ - σω 0τ τ Ldt
Φ 1 01 MdΦ -σω - 0 Φ vτ τ L 0 11dt = +vdΦ M 1 Φ 0 0σ 0 - σ(ω -ω )
τ L τdt 0 0ΦdΦ M 10 -σ(ω -ω ) -
dt τ L τ
Vecteur de mesure du modèle:
ds
qsds s
qs dr
s qr
Φ1 1-σ0 0Φi L M1Y = =
i 1 1-σ Φσ 0 0L M Φ
Couple électromagnétique de la machine: e qs dr ds qrs r
pMT = (Φ Φ -Φ Φ )σL L
.
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
.
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique: r
.
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 28 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état: T
ds qs ds qsX = Φ ; Φ ; i ; i
ds
p s
dsp sqs
qsrp r
r s s r s sds ds
r qsp r
qs ss r s r s
dΦ0 σω -σR 0 1 0dt
Φ-σω 0 0 -σR 0 1dΦΦω1 1 1 11dt -( + ) σ(ω -ω ) 0= +
τ L L τ τ σLdi iσdt ω 11 1 1 i 0- σ(ω -ω ) -( + )di σLL τ L τ τdt
ds
qs
vv
Vecteur de mesure du modèle:
ds
qsds
qs ds
qs
ΦΦi 0 0 1 0
Y = =i 0 0 0 1 i
i
Couple électromagnétique de la machine: e qs ds ds qsr
pT = (i Φ -i Φ )L
.
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux statorique: sΦ
.
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 29 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état : T
ds qs dr qrX = i ; i ; Φ ; Φ
ds p rs r r
dsqsp r
qss r r
dr drp r
r r qr
qrp r
r r
1 1 (1-σ) (1-σ)di -( + (1-σ) ) σω ωτ τ Mτ Mdt
i1 1 (1-σ) (1-σ)di -σω -( +(1-σ) ) - ω iτ τ M Mτ1dt =dΦ ΦσM σσ 0 - σ(ω -ω )
τ τdt ΦdΦ σM σ0 -σ(ω - ω ) -
dt τ τ
s
ds
s qs
1 0L
v11 0+L vσ
0 00 0
Vecteur de mesure du modèle:
ds
qsds
qs dr
qr
iii 1 0 0 0
Y = =i 0 1 0 0 Φ
Φ
Couple électromagnétique de la machine: e qs dr ds qrr
pMT = (i Φ -i Φ )L
.
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
.
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique: r
.
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 30 Proposé par M : SOYED Abdessami
13.1. Simulation du modèle dans un repère lié au stator
Les équations de la machine asynchrone (fonctionnement moteur), tout en supposant qu’elle est
symétrique et équilibrée. Après un développement du calcul, on trouve:
αs r rs r s s s
αsβsr r
βss s r s s
αr αrr r
s r r r s rβr
βrr r
r s r r
1 M M 1di - (1-σ)ω ω 0τ τ L L Ldt
i1 M M 1di -(1-σ)ω - - ω 0iτ L τ L L1 1dt = +
di M M 1 i Mσ σ- ω - -ω -τ L L τ L Ldt i
di M M 1ω ω - dt L τ L τ
αs
βs
s r
vv
0
M0 -L L
Vecteur de mesure du modèle:
ds
qsds
qs dr
qr
iii 1 0 0 0
Y = =i 0 1 0 0 i
i
Matrice de passage (Concordia):
aαs
bβs
c
1 1 v0 - - v 2 2 2= vv 3 3 31 - v
2 2
Couple électromagnétique de la machine: e αr βs βr αs αr βs βr αsr
pMT =pM(i i -i i )= (Φ i -Φ i )L
.
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
.
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 31 Proposé par M : SOYED Abdessami
Schéma de simulation:
Fig.2.10: Schéma du modèle de la MAS dans un repère lié au stator alimentée en tension
abcv
rω
p
eT
rT
αsv
23
abci2
3
coupledu Calcul
βsv
Ω
étatd'équation l' de
Résolution
mécaniqueéquation l' de
Résolution
T
αs βs αr βr i ; i ; i ; i
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 32 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d'état : Tsα sβ rα rβ rX = i ; i ; i ; i ; ω
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
Tr(N
m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100
0
100
200
Te(N
m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
100
200
(ra
d/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-500
0
500
vs
Temps(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
is
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
is
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
ir
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
ir
Temps(s)
Fig.2.11: Allures des grandeurs vs ; Tr ; Te ; ; is ; is ; ir et ir
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 33 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d'état : Tsα sβ rα rβ rX = i ; i ; ; ; ω
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
Tr(N
m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
100
200
(ra
d/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100
0
100
200
Te(N
m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-500
0
500
vs
Temps(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
is
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200
0
200
is
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
0
1
r
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
0
1
r
Temps(s)
Fig.2.12: Allures des grandeurs vs ; Tr ; Te ; ; is ; is ; r et r
13.2. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au champ tournant
L’équation d’état du modèle de la machine alimentée en tensions est donnée par:
ds s r rs r s s
dsqss r r
qss s r s
dr drr s r
s r r r qr
qrr s r
r s r r
1 M Mdi - (σω +(1-σ)ω ) ωτ τ L Ldt
i1 M Mdi -(σω +(1-σ)ω ) - - ω iτ L τ L1dt =di M M 1 iσ - ω - (σω -ω )
τ L L τdt idi M M 1ω -σω + ω -dt L τ L τ
s
dss
qs
s r
s r
1 0L
10vL1+vMσ - 0
L LM0 -
L L
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 34 Proposé par M : SOYED Abdessami
Matrice de passage:
as s sds
bqs
s s s c
2π 2π vcos(θ ) cos(θ - ) cos(θ + )v 2 3 3= vv 2π 2π3 -sin(θ ) -sin(θ - ) -sin(θ + ) v3 3
Couple électromagnétique de la machine: e qs dr ds qr qs dr ds qrr
pMT =pM(i i -i i )= (i Φ -i Φ )L
.
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
.
Fig.2.13: Schéma du modèle de la MAS dans un repère lié au champ tournant alimentée en
tension
abcvdsv
23
abci2
3qsv
étatd'équation l' de
Résolution Tqrdrqs ds i i ii
p
eT
rT
coupledu Calcul
Ω
mécaniqueéquation l' de
Résolution
rω
statordu position
la de Calcul
s sθ = ω .dt
sθrωsωsω sθ
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 35 Proposé par M : SOYED Abdessami
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-100
0
100
200
300
400
Temps(s)
vite
sse
wr
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
10
20
30
Temps(s)
Cou
ple
Tr
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200
-100
0
100
200
Temps(s)
v1
Fig.2.14: Allures des grandeurs v1, Tr et wr
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Temps(s)
ids
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-150
-100
-50
0
50
Temps(s)
iqs
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50
0
50
100
150
Temps(s)
idr
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50
0
50
100
150
Temps(s)
iqr
Fig.2.15: Allures des grandeurs ids, iqs, idr et iqr
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 36 Proposé par M : SOYED Abdessami
14. Commande en courant de la machine asynchrone triphasée
Le modèle mathématique de la machine asynchrone alimentée en courant s’écrit sous la forme
d’une équation d’état non linéaire dans le repère de Park ; en fonction du vecteur d’état du
modèle choisi.
Vecteur d’état: Tqrdr Φ ;Φ X
drp r
dr dsr r
qr qr qsp r
r r
1 MdΦ - (ω - ω ) 0Φ iτ τdt = +
dΦ Φ i1 M-(ω - ω ) - 0τ τdt
Couple électromagnétique de la machine : e dr qs qr dsr
pMT = (Φ i -Φ i )L
.
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique: r
.
Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia:
αrr
αr αsr
βr βr βsrr
r
1dΦ - -ωΦ iτ 1 0Mdt = +
dΦ Φ i1 0 1τω -τdt
Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au champ tournant:
drs r
dr dsr
qr qr qsrs r
r
1dΦ - (ω - ω )Φ iτ 1 0Mdt = +
dΦ Φ i1 0 1τ-(ω - ω ) -τdt
Modèle de la machine asynchrone dans le repère lié au rotor:
dr
dr ds
qr qr qsr r
dΦΦ i1 0 1 01 Mdt =- +
dΦ Φ i0 1 0 1τ τdt
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 37 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état: T
dr qrX = i ; i
dr dsp p r
dr dsr r r
qr qr qs qsp p r
r r r
1 M Mdi di- (ω -ω) 0 (ω -ω ) - 0i iT L Ldt dt= . + . + .
di i i di1 M M-(ω -ω) - -(ω -ω ) 0 0 -T L Ldt dt
Couple électromagnétique de la machine: e dr qs ds qrT =pM(i .i -i .i )
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux rotorique: r
.
Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia:
Dans le repère de Concordia on a : sω tjs sI =I e , on obtient alors :
αs
αss
βs βss
dii0 -ωdt =
di iω 0dt
.
Par conséquent le modèle est donné par :
αrr
αr αsrs r
βr βr βsrr
r
1di - -ωi iτ 0 1Mdt = + (ω -ω )
di i i1 -1 0Lω -τdt
Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au rotor:
Dans un repère lié au rotor on a : s rω -ω )tj(s sI =I .e , on obtient alors:
ds
dss r
qs qs
dii0 1dt =(ω -ω )
di i1 0dt
.
Par conséquent le modèle est donné par:
dr
dr dss r
qr qr qsr r
dii i1 0 0 11 Mdt =- +(ω -ω )
di i i0 1 1 0τ Ldt
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 38 Proposé par M : SOYED Abdessami
Vecteur d’état: T
ds qsX = Φ ; Φ
sds dsp r s p r
ds dsr rs
qs qs qs qssp r s p r
r r
L1dΦ di- (ω - ω ) -σL (ω -ω )Φ iτ τ 1 0dt dt= + +σL
dΦ Φ i di1 L 0 1-(ω - ω ) - σL (ω -ω )τ τdt dt
Couple électromagnétique de la machine: e qs qs qs dsT =pM(Φ i -Φ i ) .
Ce modèle est utilisé pour orienter le flux statorique: s
.
Modèle de la machine asynchrone dans le repère de Concordia:
sαs
r s s rαs αsr r
βs βs βssr s s r
r r
L1dΦ - -ω -σL (ω -ω )Φ iτ τdt = +
dΦ Φ i1 Lω - σL (ω -ω )τ τdt
Modèle de la machine asynchrone dans un repère lié au rotor:
sds
s s rds dsr
qs qs qssrs s r
r
LdΦ -σL (ω -ω )Φ iτ1 01dt =- +
dΦ Φ i0 1 Lτ σL (ω -ω )τdt
14.1. Simulation du modèle de la machine dans un repère lié au stator
L’équation d’état de la machine asynchrone alimentée en courants est donnée par:
αrr
αr αsrs r
βr βr βsrr
r
1di - -ωi iτ 0 1Mdt = + (ω -ω )
di i i1 -1 0Lω -τdt
Matrice de passage (Concordia):
aαs
bβs
c
1 1 i1 - -i 2 2 2= i i 3 3 30 - i
2 2
Couple électromagnétique de la machine: e βs αr αs βrT =pM(i .i -i .i ) .
Equation mécanique de la machine: re r e r r
dωdΩJ =T -T -fΩ J =pT -pT -fωdt dt
.
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 39 Proposé par M : SOYED Abdessami
Schéma de simulation:
Fig.2.16: Schéma de simulation de la machine asynchrone dans un repère lié au stator alimentée
en courants
abci
rω
p
eT
rT
αsi
23
coupledu Calcul
βsi
Ω
étatd'équation l' de
Résolution
mécaniqueéquation l' de
Résolution
T
αs βs αr βr i ; i ; i ; i
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 40 Proposé par M : SOYED Abdessami
Résultat de la simulation:
0 0.2 0.4 0.6 0.80
200
400
600
800
Temps(s)
vite
sse
wr
0 0.2 0.4 0.6 0.80
10
20
30
40
Temps(s)
Cou
ple
Tr
0 0.2 0.4 0.6 0.8-100
-50
0
50
100
Temps(s)
idr
0 0.2 0.4 0.6 0.8-100
-50
0
50
100
Temps(s)iq
r
Fig.2.17: Allures des grandeurs Tr, ir , ir et r
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 41 Proposé par M : SOYED Abdessami
15. Modélisation de l’onduleur triphasé de tension
Fig.2.18: Schéma de principe d’un onduleur de tension triphasé alimentant une machine
asynchrone triphasée
L’onduleur triphasé est formé par trois bras, dont chacun comporte deux interrupteurs de
puissance bidirectionnels en courant. Les clés de commande des interrupteurs de puissance sont
notées par Ci.
Modèle de l’onduleur triphasé:
Les trois tensions simples et composées à la sortie de l’onduleur sont données par :
1 1DC
2 2
33
v 2 -1 -1 CVv = -1 2 -1 C
3-1 -1 2 Cv
12 1
23 DC 2
331
u 1 -1 0 Cu =V 0 1 -1 C
-1 0 1 Cu
2.35
Vecteur de tension de l’onduleur dans le repère de Concordia:
s d q DC 1 2 3 2 3
12
s d q DC 2
3
2 1 3V =V +jV = V (2C -C -C )+j (C -C )3 2 2
v2V =V +jV = V 1 a a v3
v
2.36
3D
3Di
3Ti
3T
3D'
3D'i
'3Ti
3T'
N3
1v
1i
12u
i
~3
Masy
1D
1Di
1Ti
1T
1D'
D'1i
1T'i
1T'
1
1C2D
2Di
2Ti
2T
2D'
'2Di
'2Ti
2T'
2
2C 3C
4C 5C 6C
DCV2
0
DCV2
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 42 Proposé par M : SOYED Abdessami
s d qV =V +jV 1C 2C 3C KV
0 0 0 0 1V 0 1 1 1 7V
DC2V3
1 0 0 1V
DC2 1 3V ( +j )3 2 2
1 1 0 2V
DC2 1 3V (- +j )3 2 2
0 1 0 3V
DC2- V3
0 1 1 4V
DC2 1 3- V ( +j )3 2 2
0 0 1 5V
DC2 1 3V ( -j )3 2 2
1 0 1 6V
Le vecteur tension à la sortie de l’onduleur dans le repère lié au stator est donné par:
k DC
0 7
πj(k-1)2 3V = V e ; k (1..6)3V =V =0
2.37
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-300
-200
-100
0
100
200
300
V1 (100)
V2 (110)V3 (010)
V4 (011)
V5 (001) V6 (101)
V0 (000)V7 (111)
Fig.2.19: Les vecteurs des tensions alimentant la machine
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 43 Proposé par M : SOYED Abdessami
L’onduleur délivre six vecteurs de tensions non nuls et deux autres vecteurs nuls.
100
200
300
400
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0V1,
V2V3
V4
V5 V6
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-300
-200
-100
0
100
200
300
V1 (100)
V2 (110)V3 (010)
V4 (011)
V5 (001) V6 (101)
V0 (000)V7 (111)
Fig.2.20: Vecteurs de tensions de l’onduleur de tension
16. Techniques de commande de l’onduleur triphasé de tension
Il existe plusieurs types de commande l’onduleur à savoir :
MLI intersective (MLI avec porteuse ; MLI avec critères harmoniques…..),
MLI vectorielle.
16.1. MLI intersective
Les tensions modulantes (a, b et c) représentent les tensions images de système des tensions
triphasés simples. La porteuse p(t) est un signal triangulaire dont la fréquence (fp>> fa).
Ell est caratérisée par l’indice de modulation (m) et le profondeur de modulation(r) :
p p
a a
f Vm= ; r=
f V
.
Fig.2.21: Principe de la commande d’un MLI intersective
a
b
c
p(t)
2C
3C
1C
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 44 Proposé par M : SOYED Abdessami
16.2. MLI vectorielle
Elle consiste à appliquer à la machine un vecteur de commande (référence) parmi les vecteurs
générés ci-dessous par l’onduleur.
kK DC max
0 7
πj(K-1)2 jθ3V = V .e =V .e ; K (1..6)3V =V =0
Il se trouve que l’application de ce vecteur de référence est située entre deux vecteurs
consécutifs générés par l’onduleur, comme l’indique la figure ci-dessous:
Pour commander la machine, il suffit d’appliquer la valeur moyenne de ces deux vecteurs:
K K K+1 K+1ref
E
T .V +T .VV =T
.
Fig.2.22: Principe de la MLI vectorielle
1Kk TT ; : Temps d’application des vecteurs consécutifs. ET : Période d’échantillonnage,
ref
max
Vρ=V
: Rapport des amplitudes. Les temps de commande des vecteurs consécutifs et le temps
d’application de deux vecteurs nuls sont données par:
EK
EK+1
0
2ρTT = sin(ξ)3
2ρT πT = sin( -ξ)33
T
2 .38
d
ref
1KV
q
KV
refV
3π
ξ
0
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 45 Proposé par M : SOYED Abdessami
La période d’échantillonnage vaut alors E K K+1 0T =T +T +2T
Algorithme de la MLI vectorielle:
Fig.2.23: Algorithme de décision dans le repère (0)
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-300
-200
-100
0
100
200
300
400
V1
V2V3
V4
V5 V6
VD
VQ
Vref
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
V1
V2V3
V4
V5 V6
VrefVD
VQ
Fig.2.24: Vecteur de commande Vref dans le repère (0)
0Vs
0Vsα
2Secteur 1Secteur
sαs .V3V
2Secteur 3Secteur
0Vsα
123456
23 1245 56
sαs .V3V
6Secteur 5Secteur
sαs .V3V
4Secteur 5Secteur
sαs .V3V
Début
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 46 Proposé par M : SOYED Abdessami
16.3. MLI multinivaux
On va traiter le cas d’un onduleur de tension triphasé à trois nivaux.
Fig.2.25: Onduleur de tension triphasé à 3 nivaux
MLI intersective:
Les tensions modulantes (a, b et c) représentent les tensions images de système des tensions
triphasés simples. Les porteuses p(t) et –p(t) sont complémentaires.
La porteuse est caratérisée par l’indice (m) et le profondeur (r).
i
~3
Masy
DCV2
DCV2
0
11C 21C 31C
12C 22C32C
1D 2D 3D
'1D '
2D '3D
1 2 3
12u
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 47 Proposé par M : SOYED Abdessami
Fig.2.26: Commande MLI intersective de l’onduleur à trois nivaux
Résultat de la simulation:
Les grandeurs de la porteuse: pV =50V ; pf =5kHz ,
Les grandeurs des modulantes: mV =5V ; mf =50Hz ,
La tension d’alimentation de l’onduleur: DCV =200V .
p(t)
22C
32C
12C
a
b
c
21C
31C
11C
p(t)-
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 48 Proposé par M : SOYED Abdessami
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-150
-100
-50
0
50
100
150
v1
Temps(s) Fig.2.27: Allure de la tension simple v1
17. Commande du moteur asynchrone triphasé par onduleur MLI de tension en
boucle ouverte dans le repère de Concordia
~3 LI_Onduleur_M
123C
Commande 50Hzf1kHzf
m
p
DSv
rT
QSv
~Masyn_3
23 :tionTransforma
abcv500VVDC
s
sβi
sαi
s
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 49 Proposé par M : SOYED Abdessami
Résultat de la simulation :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-500
0
500
Temps(s)
vds
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1
0
1
Phi
-DS
Temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1
0
1
Phi
-QS
Temps
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200
0
200
iDS
Temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-200
0
200
iQS
Temps
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
100
200
Temps(s) Fig.2.28: Allures des grandeurs Tr ; VDS ; s ; s ; is ; is et
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 50 Proposé par M : SOYED Abdessami
18. Commande vectorielle de la machine asynchrone à flux orienté
Le couple électromagnétique instantané dans le repère (dq0) est non découplé c'est-à-dire, il
s’écrit sous la forme *se m r dr qs qr ds
r r
pM pMT = I (Φ i ) = (Φ i -Φ i )L L
.
On voit bien que c’est le résultat de deux couples d’une machine à courant continu:
Fig.2.29: Modèle de la machine asynchrone
En réalité, il existe plusieurs stratégies de commande, suivant le modèle de la machine adopté et
suivant les grandeurs de référence choisies.
18.1. Orientation du flux rotorique
On va annuler la composante du flux ( qrΦ =0 ), et on considère que le flux réelle de la machine
coïncide avec l’axe « d » du repère de Park, on a donc ( dr rΦ =Φ ).
On obtient donc l’expression du couple d’une machine à courant continu à grandeurs
découplés: e dr qsr
pMT = (Φ i )L
.
synchrone Machine
cc1M cc2M
dsv
rω
eT
qsvpω
dr qsi dsiqr
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 51 Proposé par M : SOYED Abdessami
Fig.2.30: Orientation du flux rotorique suivant l’axe d
18.2. Estimateur de flux du rotor
En général les grandeurs statoriques sont accessibles, pour cette raison, on va déterminer
l’expression du flux du rotor en fonction des grandeurs statoriques.
drdr r dr p r qr
qrqr r qr p r dr
qr r qr qs
dr r dr ds
dΦv =0=R i + -(ω -ω )Φdt
dΦv =0=R i + +(ω -ω )Φ dtΦ =L i +Mi
Φ =L i +Mi
A partir de cette expression on obtient: dr dr ds drr dr r
r
dΦ Φ -M.i dΦR .i + =R .( )+ =0dt L dt
.
D’où : dr-est dsr
MΦ = .i1+τ .p
.
rθ
θ
dr rΦ =Φ
pθ
0
dq
α
β
Axe stator (a)
Axe rotor (1)
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 52 Proposé par M : SOYED Abdessami
18.3. Estimateur de l’ange de Park p
A partir des équations suivantes, on peut déduire les estimateurs de « p et p ».
qr r qr qs
qrqr r qr p r dr
Φ =0=L i +Mi
dΦv =0=R i + +(ω -ω )Φ
dt
On a r qr p r dr qs p r drr
M0=R i +(ω -ω )Φ =- i +(ω -ω )Φτ
. D’où : g-est qsr dr-est
Mω = iτ Φ
.
Soit g-est qsr dr -est
Mθ = ( i )dtτ Φ , soit p-est g-est rθ =θ +θ .
18.4. Modèle de la machine asynchrone à flux orienté
Les flux du stator ont pour expressions: ds s ds drr
MΦ =σL i + ΦL
et qs s qsΦ =σL .i .
Par conséquent les tensions du stator ont pour expressions:
rds s s dr p s qs
r
s rqs s s qs p dr
r
(1+τ p) Mv = (R +σL p) + p Φ -ω σL iM L
σL (1+τ p) Mv =(R +σL p)i +ω + ΦM L
Le flux du rotor et le courant transversal du stator ont pour expressions:
dr ds p s qsr
s sr
sqs qs p r dr
s s r
1Φ = (v +ω σL i )(1+τ p) M(R +σL p) + p
M L
σL1 Mi = v -ω (1+τ p)+ Φ(R +σL p) M L
Elles sont modélisées par le schéma bloc suivant:
Fig.2.31: Bloc du modèle de la machine asynchrone à flux rotorique orienté
dsv
qsv
dr
qsiMAS Modéle
Chapitre 2 : Modélisation et commande de la machine asynchrone triphasée en régime variable
Electrotechnique avancée Page : 53 Proposé par M : SOYED Abdessami
18.5. Modèle de la machine asynchrone à flux rotorique orienté
Fig.2.32: Modèle de la machine asynchrone à flux du rotor orienté
asi
DCV
rθ
pP(θ )
-1
pP(θ )
p-est g-est rθ =θ +θ
dr-est dsr
MΦ = i1+τ p
dsv
qsvPI
MAS
bsiqs-esti
dr-cdeΦ
ds-esti
qs-cdei
p sω σLs rp
r
σL (1+τ p) Mω +M L
PI
dr-est
abc-ondv
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 54 Proposé par M : SOYED Abdessami
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Objectifs:
Modéliser la machine synchrone dans le repère de Park,
Modéliser la machine synchrone à rotor bobiné dans le repère de Park,
Etablir les différents modèles de la machine synchrone à aimant permanant,
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 55 Proposé par M : SOYED Abdessami
1. Modélisation et commande de la machine synchrone à aimant permanent
1.1. Description de la machine synchrone triphasée à aimant
La machine synchrone diffère par rapport à celui de la machine asynchrone au niveau du rotor,
ce dernier est constitué par:
Une à réluctance variable (cas d’une machine synchrone à pôles saillants avec ou sans
excitation),
Un circuit magnétique à réluctance constante (cas d’une machine synchrone à pôles lisses
avec excitation),
Un aimant permanent.
Fig.3.1: Machine synchrone à aimant permanent enterré et superficiel
1.2. Hypothèses
On suppose que :
Le circuit magnétique de la machine n’est pas saturé et qu’il n’y a pas de présence des
phénomènes d’hystérésis, donc les inductances deviennent constantes,
La répartition du champ magnétique dans l’entrefer de la machine est sinusoïdale,
L’effet de peau (pédiculaires) est négligeable, donc les résistances de la machine sont
considérées comme des constantes.
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 56 Proposé par M : SOYED Abdessami
1.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)
Fig.3.2: Représentation de la machine synchrone dans le repère (abc)
Fig.3.3: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (dq0)
0
av
a
b
c
cv
bvq
dpω
N
S
dv
qi
di
a
qv
q
d
0
sR
dL
f
sR
qL
pω
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 57 Proposé par M : SOYED Abdessami
1.4. Relation des fréquences
Le champ magnétique tournant ( sH
) crée par les phases du stator tourne à la pulsation dénotée
( sω ). Le champ magnétique tournant ( rH
) crée par l’aimant permanent (rotor ou roue polaire)
tourne à la pulsation dénotée ( rω ). La condition des fréquences de la machine synchrone en
régime quelconque vaut électriquement: s rω =ω , et vaut mécaniquement: ss
ω =Ωp
.
1.5. Equations de fonctionnement réelle de la machine
Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de faraday sont :
abc s abc abcdv =R . i + Φdt
3.1
Les équations des flux sont données par :
fsrabcsabc ΦMi.Φ 3.2
Avec
m 0 m 0 m 0
a ab ac
s ab b bc m 0 m 0 m 0
ac bc c
m 0 m 0 m 0
2π 2πL +L cos(2θ) M +M cos(2θ- ) M +M cos(2θ+ )3 3L m m
2π 2π= m L m = M +M cos(2θ- ) L +L cos(2θ+ ) M +M cos(2θ)3 3
m m L 2π 2πM +M cos(2θ+ ) M +M cos(2θ) L +L cos(2θ- )3 3
sr sf
cos(θ) 2πM =M cos(2θ- )32πcos(2θ+ )3
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 58 Proposé par M : SOYED Abdessami
1.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park
f
dq0 s dq0 d q 0 dq0 d q 0 dq0 f
dΦdθ0 0dt dt
d dθ dθv =R i + L L L i + L L L - 0 0 i + Φdt dt dt
0 0 0 0
Avec
d m m 0
q m m 0
0 m m
3L = L -M + L 2
3L = L -M - L 2
L = L +2M =0
3.3
Equations des tensions
dd S d r q
qq S q r d
dΦv =R i + -ω Φdt
dΦv =R i + +ω Φ
dt
3.4
Equations des flux
d d d f
q q q
Φ =L i +ΦΦ =L i
3.5
Equations du couple
e d q q d
e d q d q f q
T =p(Φ i -Φ i )T =p[(L -L )i i +Φ i ]
3.6
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 59 Proposé par M : SOYED Abdessami
1.7. Modèles d’état de la machine synchrone
Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire
dans le repère de Park.
qsdr d
ddd dq
sq qd sr f
q qq q
L 1Rdi 0 0- ω vLiL Ldt = + v
Rdi i 1L R 0 -- ω - ΦL LL Ldt
3.7
Machine synchrone à pôles lisses ( )LL(L sqd
sdr d
d ssq
q q ssr f
s ss
R 1di 0 0- ω vi LLdt = + v
di i RR 10 --ω - ΦL LLdt
3.8
Equations du couple
e d q q d
e f q
T =p(Φ i -Φ i )T =p(Φ i )
3.9
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 60 Proposé par M : SOYED Abdessami
Résultat de la simulation : MSAP liée au stator
0 0.1 0.2 0.3 0.4-200
0
200
400
Temps(s)
vite
sse
wr
0 0.1 0.2 0.3 0.44
4.5
5
5.5
6
Temps(s)
Cou
ple
Tr
0 0.1 0.2 0.3 0.4-100
-50
0
50
100
Temps(s)
Tens
ion
va
0 0.1 0.2 0.3 0.4-4
-2
0
2
4
Temps(s)
id
0 0.1 0.2 0.3 0.4-100
-50
0
50
100
Temps(s)
iq
0 0.1 0.2 0.3 0.4-100
0
100
200
Temps(s)
Te
0 0.1 0.2 0.3 0.40
50
100
150
Temps(s)
is
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 61 Proposé par M : SOYED Abdessami
Résultat de la simulation : MSAP liée au champ tournant
0 0.5 1-5
0
5
Temps(s)
vite
sse
wr
0 0.5 14
4.5
5
5.5
6
Temps(s)
Cou
ple
Tr
0 0.5 1-100
-50
0
50
100
Temps(s)
Tens
ion
va
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
100
200
300
Temps(s)
id
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
0
2
4
Temps(s)
iq
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Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 62 Proposé par M : SOYED Abdessami
2. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné
2.1. Description de la machine synchrone à rotor bobine
C’est une machine synchrone dont le circuit magnétique du rotor est à réluctance variable avec
excitation (machine synchrone à pôles saillants avec excitation),
Fig.3.4: Machine synchrone à pôles saillants avec excitation
2.2. Hypothèses
On gardera les mêmes hypothèses de la machine synchrone à aiment permanent.
2.3. Représentation de la machine synchrone dans les repères (abc, dq0)
Fig.3.5: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (abc)
NN
S
S
av
a
b
c
cv
bvq
d
fv
fLfi
0
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 63 Proposé par M : SOYED Abdessami
Fig.3.6: Représentation de la machine asynchrone dans le repère (dq0)
2.4. Relation des fréquences
La condition des fréquences de la machine synchrone en régime quelconque vaut
électriquement: p rω =ω , et vaut mécaniquement: ps
ω=Ω
p
2.5. Equations de fonctionnement réelles de la machine
Les équations de fonctionnement du moteur, par application de la loi de Faraday sont:
Au stator:
abc s abc abcdv =R i + Φdt
3.10
Au rotor:
ff f f
dΦv =R i +dt
3.11
dv
qv
did
q
dL
qL
pω
fi
qi
fL
fv
0
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 64 Proposé par M : SOYED Abdessami
Les équations des flux sont données par :
abc s abc sr f
Tf sr abc f f
Φ = l . i + M .i
Φ = M . i +L .i 3.12
Avec
a afa ab ac
abc ab b bc b bf f
ac bc c c cf
i ML m mΦ = m L m i + M i
m m L i M
3.13
a
f af bf cf b f f
c
iΦ = m m m i +L i
i
3.14
La matrice des inductances est :
m 0 m 0 m 0
a ab ac
s ab b bc m 0 m 0 m 0
ac bc c
m 0 m 0 m 0
2π 2πL +L cos(2θ) M +L cos(2θ- ) M +L cos(2θ+ )3 3L m m
2π 2π= m L m = M +L cos(2θ- ) L +L cos(2θ+ ) M +L cos(2θ)3 3
m m L 2π 2πM +L cos(2θ+ ) M +L cos(2θ) L +L cos(2θ- )3 3
La matrice des mutuelles inductances est :
af
sr bf sf
cf
cos(θ)m2πM = m =M cos(θ- )3
m 2πcos(θ+ )3
3.15
Les équations réduites du moteur en fonction des inductances et courants sont:
fabc s abc s abc s abc sr f sr
f f f sr abc f f
did d dv =R i + i +( ) i +( M )i + M ( )dt dt dt dt
dv =R i + M i +L idt
3.16
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 65 Proposé par M : SOYED Abdessami
2.6. Equations de fonctionnement de la machine dans le repère de Park
Equations des tensions
dd S d r q
qq S q r d
ff f f
dΦv =R i + -ω Φdt
dΦv =R i + +ω Φ
dtdΦv =R i +dt
3.17
Equations des flux
d d d f
q q q
f f f d
Φ =L i +MiΦ =L iΦ =L i +Mi
3.18
Equations du couple
e d q q d
e d q d q f q
T =p(Φ i -Φ i )T =p[(L -L )i i +Mi i ]
3.19
2.7. Modèles d’état de la machine synchrone à rotor bobiné
Le modèle mathématique de la machine s’écrit sous la forme d’une équation d’état non linéaire
dans le repère de Park.
f qf s f f fdr2 2 2 2 2
d f d f d f d f d fd
q d sr r q
q q q qf
f q ds d f2 22 2 2
d f dd f d f d f
L LL R L R L Mdi - ω - 0M -L L M -L L M -L L M -L L M -L Ldt i
di L R M 1= - ω - - ω i + 0 0dt L L L L
idi ML LMMR L R 0 -- ωdt M -L L M -L LM -L L M -L L M -L L
d
q
f
f
vvv
Chapitre 3 : Modélisation dynamique de la machine synchrone triphasée
Electrotechnique avancée Page : 66 Proposé par M : SOYED Abdessami
Machine synchrone à pôles lisses
Pour une machine synchrone à pôles lisses, on a donc: d q sL =L =L .
f s f s f f fdr2 2 2 2 2
s f s f s f s f s fd
q sr r q
s s sf
f s s s f sr 2 2 2 2 2
s f s f s f s f s f
L R L L L R L Mdi - ω - 0M -L L M -L L M -L L M -L L M -L Ldt i
di R M 1= -ω - - ω i + 0 0dt L L L
idi MR ML L R LM- ω 0 -dt M -L L M -L L M -L L M -L L M -L L
d
q
f
vvv
Equations du couple
e d q q d
e f q
T =p(Φ i -Φ i )T =pMi i
11.20
3. Conclusion
Il excite plusieurs types de commande telle que :
La commande directe de couple (D.T.C),
La commande scalaire, par exemple (à flux constant),
En rajoutant la commande adaptatif (sachant que les paramétras de la machine varient
avec la température,
En imposant aussi une loi de commande au démarrage,
En rajoutant des régulateurs numériques de type (algorithmes basé sur la logique
floue, les réseaux de neurones…etc.).
4. Critères de choix d'un variateur
Tension réseau, Tension moteur,
Options (numérique, analogique, possibilité de dialogue...),
Courant.
5. Applications
Régulation de vitesse, Levage, asservissement de position,
TGV, métros ….,
Ascendeurs.
Bibliographie
Electrotechnique avancée Page : 67 Proposé par M : SOYED Abdessami
Bibliographie
[1] Electronique de puissance, études expérimentales, essais de systèmes, Auteurs : Michel
Pinard & Claude Naudet, éditions DUNOD.
[2] Problèmes d’électronique de puissance, Auteur: Jean-Marc Roussel, éditions DUNOD.
[3] Electronique de puissance, Tome1: commande des moteurs à courant continu, Tome2:
commande des moteurs à courant alternatif, par R. Chauprade et Francis Milsant,
collection ingénieurs E.E.A.
[4] Electronique de puissance, conversion de l’énergie, Auteur : Michel Lavabre, éditions
CASTEILLA.
[5] Mesures et essais sur machines électriques et systèmes électroniques Tome2 par P.Garot,
éditions CASTEEILLA.
[6] Systèmes électrotechniques, Applications industrielles, Auteurs : J.P CARON & J.P
HAUTIER, éditions TECHNIP.
[7] Modélisation et commande de la machine asynchrone Tome7, Auteurs : J.P CARON &
J.P HAUTIER, éditions TECHNIP.
[8] Le moteur asynchrone, régimes statiques et dynamique, Auteur : Luc MUTREL, éditions
ellipses.
[9] Commande des moteurs asynchrones, Volume1, Modélisation contrôle vectoriel et DTC,
sous la direction de Carlos Canudas de Wit, éditions HERMES Sciences Europe Ltd
,2000.
[10] Modélisation et commande des moteurs triphasés, commande vectorielle des moteurs
synchrones, commande numérique par contrôleurs DSP, Auteurs : Guy STURITER &
EDDIE SMIGIEL, éditions ellipses.
[11] [Le moteur asynchrone, régimes statiques et dynamique, Auteur : Luc MUTREL,
éditions ellipses.
[12] Electricité Industrielle, Auteur : Michel Girard, éditions EDISCIENCE.
[13] Convertisseurs et électronique de puissance : commande, description et mise en ouvre,
Auteur : Michel Pinard, éditions Dunod.
[14] Méthodologie de conception systémique en Génie Electrique à l'aide de l’outil Bond
Graph. Application à une chaîne de traction ferroviaire, thèse de spécialité, auteur : Grace
GANDANEGARA, année 2003.
Bibliographie
Electrotechnique avancée Page : 68 Proposé par M : SOYED Abdessami
[15] Commande non linéaire d’une machine asynchrone à double alimentation, thèse de
spécialité, auteur : Paul-Étienne VIDAL, Ingénieur en Génie Electrique et Automatique
(ENSEEIHT) DEA Génie Electrique (GEET-TOULOUSE), année 2004.
[16] Etude comparative de chaînes de conversion d’énergie dédiées à une éolienne de petite
puissance, thèse de spécialité, auteur : Adam MIRECKI, année 2005.
[17] Articles de technique de l’ingénieur :
D3 562 : Alimentation par convertisseurs statiques : régimes transitoires, Auteur :
Gilbert PASQUALINI.
D3 563 : Machines asynchrones, à contrôle vectoriel de flux, Auteur : Faouzi BEN
AMMAR.
D3 620 : Alimentation des machines asynchrones, Auteur : Bernard de FORNEL.
D3 630 : Alimentation des machines synchrones, Auteurs : Michel LAJOIE-MAZNC
& Philippe VIAROUGE.
D3 640 : Commande numérique des machines, évolution des commandes, Auteurs :
J.P Louis & Claude BERGMANN.
D3 641 : Commande numérique : convertisseur-moteur à courant continu, Auteurs :
J.P Louis & Claude BERGMANN.
D3 642 : Commande numérique des machines, systèmes triphasés : régime permanent,
Auteurs : J.P Louis & Claude BERGMANN.
D3 643 : Commande numérique : régimes intermédiaires et transitoires, Auteurs : J.P
Louis & Claude BERGMANN.
D3 644 : Commande numérique des machines synchrones, Auteurs : J.P Louis &
Claude BERGMANN.
Annexes
Electrotechnique avancée Page : 69 Proposé par M : SOYED Abdessami
Annexe 1
Notations des grandeurs de la machine asynchrone
rs R ; R Résistances propres du stator et du rotor
rs ; Inductances propres du stator et du rotor
rs L ; L Inductances cycliques du stator et du rotor
rfsf L ; L Inductances de fuites du stator et du rotor
rs M ; M Mutuelles Inductances cycliques du stator et du rotor
srM Mutuelle Inductance entre stator et rotor
M Mutuelle Inductance cyclique entre stator et rotor
p Angle électrique du repère de Park
s Angle électrique du champ tournant
; mθ Angle électrique et angle mécanique du rotor
pω ; rω Vitesse angulaire électrique, du repère de Park et du rotor
sω Pulsation du champ tournant
gω Vitesse angulaire électrique des courants du rotor
p Nombre de paires de pôles de la machine asynchrone
J Moment d’inertie
f Coefficient de frottement visqueux
Coefficient de dispersion de Blondel
mΦ Flux magnétisant de la machine asynchrone
; s Vitesses angulaires mécaniques du stator et du rotor
rs T ; T Couple électromagnétique et couple résistant
s rτ ; τ Constantes de temps du stator et du rotor
abcabcabc i ;v ; Vecteurs tensions ; courants et flux du stator dans le repère (abc)
123123123 i ;v ; Vecteurs tensions ; courants et flux du rotor dans le repère (abc)
dq0sdq0sdq0s i ;v ; Vecteurs tensions ; courants et flux du stator dans le repère (dq0)
dq0rdq0rdq0r i ;v ; Vecteurs tensions ; courants et flux du rotor dans le repère (dq0)
Annexes
Electrotechnique avancée Page : 70 Proposé par M : SOYED Abdessami
Annexe 2
s s s
r r r
so s s
ro r r
sr
L -M L -ML 2M L 2M
2M M3
-1 pp p
0 -1 0dθdP(θ ) P(θ ) = 1 0 0
dt dt0 0 0
Annexe 3
Paramètres de la machine asynchrone simulée
0.6 R s
0.4 R r
61mHL L rs
mH5M 9
23 kgm17.510J
Nm/rad/s1.8710f 3
50HzFn
120VVn
2kW2Pn .
Logiciels
Electrotechnique avancée Page : 71 Proposé par M : SOYED Abdessami
Logiciels utilisés
[1] Matlab
[2] MS Power
Recommended