Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR Derivadas: introdução

Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I

Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR

Derivadas:introdução

Objetivo:Objetivo: Dada uma função Dada uma função f e um f e um ponto P(xponto P(x00,y,yoo) no seu gráfico, ) no seu gráfico, determine o coeficiente angular da determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em Preta tangente ao gráfico em P

DerivadaDerivada

DerivadaDerivada

DerivadaDerivada

A reta em vermelho é a reta tangente ao

gráfico da função?

Mas ela está tocando o gráfico da função em mais do que um

ponto! E agora?

Devido as dúvidas surgidas anteriormente, Devido as dúvidas surgidas anteriormente, devemos ter uma definição mais precisa devemos ter uma definição mais precisa

do conceito de reta tangente ao gráfico da do conceito de reta tangente ao gráfico da função num ponto dado.função num ponto dado.

DerivadaDerivada

DerivadaDerivada

P(x0, y0)

Q(x, y)

0

0sec

)()(

xx

xfxfm

Coeficiente angular da reta secante:

DerivadaDerivada

Quando o ponto Q se aproxima do ponto P, a reta secante vai inclinando até atingir uma posição limite. Essa posição limite é o que chamamos de reta tangente.

tangenteretasecante)(retalim PQ

DerivadaDerivada

Portanto definimos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P(x0,y0) por:

0

0

sectan

)()(lim

lim

xx

xfxf

mm

o

o

xx

xx

DerivadaDerivada

0

0tan

)()(lim

xx

xfxfm

oxx

Como vimos, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma equação num ponto é P(x0,y0)

Usando a mudança de variável h=x-x0 , temos:

h

xfhxfm

h

)()(lim 00

0tan

DerivadaDerivada

Definição: A função f’ definida pela fórmula

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

0

é chamada de derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste de todo x para o qual o limite existe.

Exemplo 1: Exemplo 1: Dado o gráfico da função y=f(x), conforme Dado o gráfico da função y=f(x), conforme a figura abaixo, determine o gráfico de a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x)f’(x)..

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Observe o comportamento do coeficiente angular Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:da reta tangente ao gráfico da função:

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Variação do coef. angular da reta tangente ao gráfico da

função

Gráfico de f ’(x)

Exemplo 2: Exemplo 2: Dado o gráfico da função y=f(x), conforme Dado o gráfico da função y=f(x), conforme a figura abaixo, determine o gráfico de a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x)f’(x)..

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Observe o comportamento do coeficiente angular Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:da reta tangente ao gráfico da função:

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada

Variação do coef. angular da reta tangente ao gráfico da

função

Gráfico de f ’(x)

Adaptado de:Wellington D. Previero