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Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia
Calculo Diferencial e Integral 2:Aproximacoes Lineares. Regra da Cadeia.
Jorge M. V. Capela
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
capela@iq.unesp.br
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia
1 Aproximacoes lineares. Diferenciais.
2 Regra da Cadeia
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia
Planos tangentes
Equacao de um plano tangente em (x0, y0, z0):
A(x−x0)+B(y−y0)+C (z−z0) = 0⇔ z−z0 = a(x−x0)+b(y−y0)
A intersecao com o plano y = y0 e uma reta com coeficienteangular a = fx(x0, y0) e a intersecao com o plano x = x0 e umareta com coeficiente angular b = fy (x0, y0).
Plano tangente a z = f (x , y) em (x0, y0, z0)
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0)
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Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia
Exemplo 1
Plano tangente a superfıcie f (x , y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 1, 3){fx(x , y) = 4x
fx(1, 1) = 4e
{fy (x , y) = 2y
fy (1, 1) = 2
z − 3 = 4(x − 1) + 2(y − 1)⇔ z = 4x + 2y − 3
(ver figura no proximo slide)
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Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia
Figura do exemplo 1
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Aproximacoes lineares
Aproximacao linear em (a, b, f (a, b)):
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
Diferenciabilidade
Se∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆x
onde ε1 e ε2 → 0 quando (∆x ,∆y) → 0, entao z = f (x , y) ediferenciavel em (a, b)
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Aproximacoes lineares e diferenciabilidade
Para ser diferenciavel em (a, b, f (a, b)) e preciso que o plano tan-gente seja uma boa aproximacao do grafico de z = f (x , y) quando(x , y) esta proximo de (a, b).
Continuidade das derivadas parciais e diferenciabilidade
Se as derivadas parciais fx e fy existem e sao contınuas em (a, b)entao f e diferenciavel em (a, b).
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Exemplo 2
Mostre que f (x , y) = xexy e diferenciavel em (1, 0). Use a linea-rizacao para aproximar f (1.1,−0.1)
Solucao:{fx(x , y) = exy + xyexy
fx(1, 0) = 1e
{fy (x , y) = x2exy
fy (1, 0) = 1
As derivadas parciais sao contınuas e, portanto, a funcao e dife-renciavel.
L(x , y) = f (1, 0) + fx(1, 0)(x − 1) + fy (1, 0)(y − 0) = x + y
f (1.1,−0.1) ≈ L(1.1,−0.1) = 1.1− 0.1 = 1
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Figura do exemplo 2
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Diferenciais
Diferencial total
Definimos os diferenciais dx e dy como variaveis independentes eo diferencial dz como sendo o diferencial total dado por:
dz = fx(x , y)dx + fy (x , y)dy =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy
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Interpretacao geometrica do diferencial total
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Exemplo 3
Determine o diferencial dz para z = x2 + 3xy − y2. Se x varia de 2a 2.05 e y varia de 3 a 2.96 compare os valores de dz e ∆z .
Solucao:
dz =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy
x = 2, dx = ∆x = 0.05, y = 3, dy = ∆y = −0.04
dz = [2(2) + 3(3)]0.05 + [3(2)− 2(3)](−0.04) = 0.65
∆z = f (2.05, 2.96)− f (2, 3) = 0.6449
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Exemplo 4
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circularreto obtendo-se 10 cm e 25 cm respectivamente com possıvel erronessas medidas de no maximo 0.1 cm. Utilize o diferencial paraestimar o erro maximo cometido no calculo do volume do cone.
Solucao:
V =1
3πr2h⇒ dV =
2πrh
3dr +
πr2
3dh
dV =2π(10)(25)
3(0.1) +
π102
3(0.1) = 20π ≈ 63cm3
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Regra da Cadeia
Para funcoes de mais do que uma variavel a regra da cadeia temvarias versoes. Por exemplo, seja z = f (x , y), sendo x = g(t) ey = h(t). Entao
dz
dt=∂z
∂x
dx
dt+∂z
∂y
dy
dt
Se z = f (x , y), x = g(s, t) e y = h(s, t), entao
∂z
∂s=∂z
∂x
∂x
∂s+∂z
∂y
∂y
∂s
∂z
∂t=∂z
∂x
∂x
∂t+∂z
∂y
∂y
∂t
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Exemplo 5
Se z = x2y + 3xy4, onde x = sen2t e y = cos t, determine dz/dtquando t = 0
Solucao:
dz
dt=∂z
∂x
dx
dt+∂z
∂y
dy
dt= (2xy+3y4)(2 cos 2t)+(x2 +12xy3)(−sent)
dz
dt
∣∣∣∣t=0
= (0 + 3)(2) + (0 + 0)0 = 6
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Exemplo 5 (continuacao)
A derivada do Exemplo 5 pode ser inter-pretada como sendo a taxa de variacaode z = f (x , y) em relacao a t quando oponto (x , y) se move ao longo da curva Ccom equacoes parametricas x = sen2t ey = cos t.
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Exemplo 6
Se u = x4y + y2z3, onde x = rset e y = rs2e−t e z = r2s sent,determine ∂u/∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.
Solucao:
∂u
∂s=∂u
∂x
∂x
∂s+∂u
∂y
∂y
∂s+∂u
∂z
∂z
∂s
∂u
∂s= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2 sent)
Em r = 2, s = 1 e t = 0 tem-ae x = 2, y = 2 e z = 0. Portanto
∂u
∂s= (64)(2) + (16)(4) + (0)(0) = 192
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Exercıcios
1) Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f e diferenciavel, determine
t∂g
∂s+ s
∂g
∂t
2) Determine y ′ se x3 + y3 − 6xy = 0.
3) A temperatura em um ponto (x , y) e dada por uma funcaoT (x , y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo quesua posicao depois de t segundos seja x =
√1 + t, y = 2 + t/3,
onde x e y sao medidos em centımetros. A funcao temperaturasatisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty (2, 3) = 3. Quao rapido a temperaturaaumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?
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4) O comprimento `, a largura ω e a altura h de uma caixa variamcom o tempo t. A certo instante as dimensoes sao ` = 1m eω = h = 2m. Sabendo que ` e ω estao aumentando a uma taxade 2m/s e que h esta diminuindo a taxa de 3m/s determine, nesseinstante, a taxa na qual o volume esta variando.
5) A pressao de um mol de um gas ideal e aumentada a taxa de 0.05kPa/s e a temperatura e aumentada a taxa de 0.15 K/s. Utilizea equacao PV = 8.31T para achar a taxa de variacao do volumequando a pressao e 20 kPa e a temperatura e 320 K.
6) Mostre que qualquer funcao da forma z = f (x + at) + g9x − at)e uma solucao da equacao de onda
∂2z
∂t2= a2 ∂
2z
∂x2
Dica: u = x + at, v = x − at
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7) O comprimento e a largura de um retangulo foram medidos como30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro na medida de nomaximo 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o erro maximocometido na area do retangulo.
8) A pressao, o volume e a temperatura de um mol de um gas idealestao relacionados pela equacao PV = 8.31T , onde P e medidoem quilopascals, v em litros e T em kelvins. Utilize diferenciaispara determinar a variacao aproximada da pressao se o volumeaumenta de 12 L para 12.3 L e a temperatura diminui de 310 Kpara 305 K.
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