Cálculo Diferencial e Integral 2: Aproximações Lineares ... · Regra da Cadeia C alculo Diferencial e Integral 2: Aproxima˘c~oes Lineares. Regra da Cadeia. Jorge M. V. Capela

Aproximacoes lineares. Diferenciais.Regra da Cadeia

Calculo Diferencial e Integral 2:Aproximacoes Lineares. Regra da Cadeia.

Jorge M. V. Capela

Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP

[email protected]

Araraquara, SP - 2017

Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017


1 Aproximacoes lineares. Diferenciais.

2 Regra da Cadeia



Planos tangentes

Equacao de um plano tangente em (x0, y0, z0):

A(x−x0)+B(y−y0)+C (z−z0) = 0⇔ z−z0 = a(x−x0)+b(y−y0)

A intersecao com o plano y = y0 e uma reta com coeficienteangular a = fx(x0, y0) e a intersecao com o plano x = x0 e umareta com coeficiente angular b = fy (x0, y0).

Plano tangente a z = f (x , y) em (x0, y0, z0)

z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0)



Exemplo 1

Plano tangente a superfıcie f (x , y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 1, 3){fx(x , y) = 4x

fx(1, 1) = 4e

{fy (x , y) = 2y

fy (1, 1) = 2

z − 3 = 4(x − 1) + 2(y − 1)⇔ z = 4x + 2y − 3

(ver figura no proximo slide)



Figura do exemplo 1



Aproximacoes lineares

Aproximacao linear em (a, b, f (a, b)):

f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

Diferenciabilidade

Se∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆x

onde ε1 e ε2 → 0 quando (∆x ,∆y) → 0, entao z = f (x , y) ediferenciavel em (a, b)



Aproximacoes lineares e diferenciabilidade

Para ser diferenciavel em (a, b, f (a, b)) e preciso que o plano tan-gente seja uma boa aproximacao do grafico de z = f (x , y) quando(x , y) esta proximo de (a, b).

Continuidade das derivadas parciais e diferenciabilidade

Se as derivadas parciais fx e fy existem e sao contınuas em (a, b)entao f e diferenciavel em (a, b).



Exemplo 2

Mostre que f (x , y) = xexy e diferenciavel em (1, 0). Use a linea-rizacao para aproximar f (1.1,−0.1)

Solucao:{fx(x , y) = exy + xyexy

fx(1, 0) = 1e

{fy (x , y) = x2exy

fy (1, 0) = 1

As derivadas parciais sao contınuas e, portanto, a funcao e dife-renciavel.

L(x , y) = f (1, 0) + fx(1, 0)(x − 1) + fy (1, 0)(y − 0) = x + y

f (1.1,−0.1) ≈ L(1.1,−0.1) = 1.1− 0.1 = 1



Figura do exemplo 2



Diferenciais

Diferencial total

Definimos os diferenciais dx e dy como variaveis independentes eo diferencial dz como sendo o diferencial total dado por:

dz = fx(x , y)dx + fy (x , y)dy =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy



Interpretacao geometrica do diferencial total



Exemplo 3

Determine o diferencial dz para z = x2 + 3xy − y2. Se x varia de 2a 2.05 e y varia de 3 a 2.96 compare os valores de dz e ∆z .

Solucao:

dz =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy

x = 2, dx = ∆x = 0.05, y = 3, dy = ∆y = −0.04

dz = [2(2) + 3(3)]0.05 + [3(2)− 2(3)](−0.04) = 0.65

∆z = f (2.05, 2.96)− f (2, 3) = 0.6449



Exemplo 4

Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circularreto obtendo-se 10 cm e 25 cm respectivamente com possıvel erronessas medidas de no maximo 0.1 cm. Utilize o diferencial paraestimar o erro maximo cometido no calculo do volume do cone.

Solucao:

V =1

3πr2h⇒ dV =

2πrh

3dr +

πr2

3dh

dV =2π(10)(25)

3(0.1) +

π102

3(0.1) = 20π ≈ 63cm3



Regra da Cadeia

Para funcoes de mais do que uma variavel a regra da cadeia temvarias versoes. Por exemplo, seja z = f (x , y), sendo x = g(t) ey = h(t). Entao

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt

Se z = f (x , y), x = g(s, t) e y = h(s, t), entao

∂z

∂s=∂z

∂x

∂x

∂s+∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t=∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t



Exemplo 5

Se z = x2y + 3xy4, onde x = sen2t e y = cos t, determine dz/dtquando t = 0

Solucao:

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt= (2xy+3y4)(2 cos 2t)+(x2 +12xy3)(−sent)

dz

dt

∣∣∣∣t=0

= (0 + 3)(2) + (0 + 0)0 = 6



Exemplo 5 (continuacao)

A derivada do Exemplo 5 pode ser inter-pretada como sendo a taxa de variacaode z = f (x , y) em relacao a t quando oponto (x , y) se move ao longo da curva Ccom equacoes parametricas x = sen2t ey = cos t.



Exemplo 6

Se u = x4y + y2z3, onde x = rset e y = rs2e−t e z = r2s sent,determine ∂u/∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.

Solucao:

∂u

∂s=∂u

∂x

∂x

∂s+∂u

∂y

∂y

∂s+∂u

∂z

∂z

∂s

∂u

∂s= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2 sent)

Em r = 2, s = 1 e t = 0 tem-ae x = 2, y = 2 e z = 0. Portanto

∂u

∂s= (64)(2) + (16)(4) + (0)(0) = 192



Exercıcios

1) Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f e diferenciavel, determine

t∂g

∂s+ s

∂g

∂t

2) Determine y ′ se x3 + y3 − 6xy = 0.

3) A temperatura em um ponto (x , y) e dada por uma funcaoT (x , y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo quesua posicao depois de t segundos seja x =

√1 + t, y = 2 + t/3,

onde x e y sao medidos em centımetros. A funcao temperaturasatisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty (2, 3) = 3. Quao rapido a temperaturaaumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?



4) O comprimento `, a largura ω e a altura h de uma caixa variamcom o tempo t. A certo instante as dimensoes sao ` = 1m eω = h = 2m. Sabendo que ` e ω estao aumentando a uma taxade 2m/s e que h esta diminuindo a taxa de 3m/s determine, nesseinstante, a taxa na qual o volume esta variando.

5) A pressao de um mol de um gas ideal e aumentada a taxa de 0.05kPa/s e a temperatura e aumentada a taxa de 0.15 K/s. Utilizea equacao PV = 8.31T para achar a taxa de variacao do volumequando a pressao e 20 kPa e a temperatura e 320 K.

6) Mostre que qualquer funcao da forma z = f (x + at) + g9x − at)e uma solucao da equacao de onda

∂2z

∂t2= a2 ∂

2z

∂x2

Dica: u = x + at, v = x − at



7) O comprimento e a largura de um retangulo foram medidos como30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro na medida de nomaximo 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o erro maximocometido na area do retangulo.

8) A pressao, o volume e a temperatura de um mol de um gas idealestao relacionados pela equacao PV = 8.31T , onde P e medidoem quilopascals, v em litros e T em kelvins. Utilize diferenciaispara determinar a variacao aproximada da pressao se o volumeaumenta de 12 L para 12.3 L e a temperatura diminui de 310 Kpara 305 K.


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