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Sucesiones
Calculo InfinitesimalGrado en Matematicas
Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla
http://euler.us.es/˜renato/clases.html
Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones
Sucesiones numericas: Definicion
Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:
an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...
¡O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !
Por ejemplo: La sucesion constante an = 1
{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}
La sucesion de los numeros naturales an = n
{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1
n{1
1,
1
2,
1
3,
1
4...,
1
n − 1,
1
n,
1
n + 1, ...
}
Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones
Sucesiones numericas: Definicion
Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:
an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...
¡O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !
Por ejemplo: La sucesion constante an = 1
{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}
La sucesion de los numeros naturales an = n
{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1
n{1
1,
1
2,
1
3,
1
4...,
1
n − 1,
1
n,
1
n + 1, ...
}
Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones
Sucesiones numericas: Definicion
Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:
an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...
¡O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !
Por ejemplo: La sucesion constante an = 1
{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}
La sucesion de los numeros naturales an = n
{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1
n{1
1,
1
2,
1
3,
1
4...,
1
n − 1,
1
n,
1
n + 1, ...
}Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones
Monotonıa
Definicion
Una sucesion {an} es monotona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an.
Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an.
Por ejemplo, la sucesion an =1
nes monotona decreciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona no decreciente si ∀n ∈ N,an+1 ≥ an. y monotona no creciente si ∀n ∈ N, an+1 ≤ an.
Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.
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Monotonıa
Definicion
Una sucesion {an} es monotona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an.
Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an.
Por ejemplo, la sucesion an =1
nes monotona decreciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona no decreciente si ∀n ∈ N,an+1 ≥ an. y monotona no creciente si ∀n ∈ N, an+1 ≤ an.
Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.
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Monotonıa
Definicion
Una sucesion {an} es monotona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an.
Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an.
Por ejemplo, la sucesion an =1
nes monotona decreciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona no decreciente si ∀n ∈ N,an+1 ≥ an. y monotona no creciente si ∀n ∈ N, an+1 ≤ an.
Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.
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Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente si∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.
Por ejemplo, la sucesion bn =1
n2esta acotada superiormente pues
bn ≤ 1, ∀n ∈ N.
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente si∀n ∈ N, existe un m ∈ R tal que an ≥ m.
Por ejemplo, la sucesion bn = n2 esta acotada inferiormente puesbn ≥ 1, ∀n ∈ N .
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Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente si∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.
Por ejemplo, la sucesion bn =1
n2esta acotada superiormente pues
bn ≤ 1, ∀n ∈ N.
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente si∀n ∈ N, existe un m ∈ R tal que an ≥ m.
Por ejemplo, la sucesion bn = n2 esta acotada inferiormente puesbn ≥ 1, ∀n ∈ N .
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Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si ∀n ∈ N, existe un M ∈ R talque |an| ≤ M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)n esta acotada pues |bn| ≤ 1,∀n ∈ N.
Definicion
Se dice que una sucesion {an} es no acotada si ∀M ∈ R, existe unn ∈ N tal que |an| > M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)nn2 no esta acotada.
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Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si ∀n ∈ N, existe un M ∈ R talque |an| ≤ M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)n esta acotada pues |bn| ≤ 1,∀n ∈ N.
Definicion
Se dice que una sucesion {an} es no acotada si ∀M ∈ R, existe unn ∈ N tal que |an| > M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)nn2 no esta acotada.
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Lımite de una sucesion
Definicion
Una sucesion {an} tiene lımite a ∈ R si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que∀n > N, entonces |an − a| < ε y se denota lım
n→∞an = a. O sea,
lımn→∞
an = a⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε.
Geometricamente significa que ∀ε > 0, en el intervalo a− ε, a + εse encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n ≥ N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.
a︸ ︷︷ ︸ε
|︸ ︷︷ ︸ε
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Lımite de una sucesion
Definicion
Una sucesion {an} tiene lımite a ∈ R si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que∀n > N, entonces |an − a| < ε y se denota lım
n→∞an = a. O sea,
lımn→∞
an = a⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε.
Geometricamente significa que ∀ε > 0, en el intervalo a− ε, a + εse encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n ≥ N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.
a︸ ︷︷ ︸ε
|︸ ︷︷ ︸ε
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Lımite de una sucesion: interpretacion geometrica
lımn→∞
an = a
a−ε a+ ε
x x x x x
a
∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε
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Lımite de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} no tiene lımite a ∈ R cuandon→∞ si existe ε > 0 tal que para todo N ∈ N existe un n > N,que cumple con que |an − a| ≥ ε y se denota lım
n→∞an 6= a. O sea,
lımn→∞
an 6= a⇐⇒ ∃ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, tal que |an−a| ≥ ε.
Ejemplo: la sucesion an = (−1)n no tiene ningun lımite a ∈ R.
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Lımite infinito de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} tiene lımite +∞ si
lımn→∞
an = +∞⇐⇒ ∀M > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, an > M.
xx xx x
M
8
Geometricamente: ∀M > 0, en (M,+∞) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (−∞,M] un numero finito.
Ejemplos: an = n, an = n2.
Ejercicio: Define lımn→∞
an = −∞.
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Lımite infinito de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} tiene lımite +∞ si
lımn→∞
an = +∞⇐⇒ ∀M > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, an > M.
xx xx x
M
8
Geometricamente: ∀M > 0, en (M,+∞) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (−∞,M] un numero finito.
Ejemplos: an = n, an = n2.
Ejercicio: Define lımn→∞
an = −∞.
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Lımite infinito de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} tiene lımite +∞ si
lımn→∞
an = +∞⇐⇒ ∀M > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, an > M.
xx xx x
M
8
Geometricamente: ∀M > 0, en (M,+∞) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (−∞,M] un numero finito.
Ejemplos: an = n, an = n2.
Ejercicio: Define lımn→∞
an = −∞.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Definicion
Una sucesion {an} que tenga lımite (finito) se denominaconvergente y si el lımite no existe o es infinito (±∞) se llamadivergente.
Teorema
La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.
Teorema
(Unicidad del lımite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lımite.
Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lımite es+∞ o −∞.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Definicion
Una sucesion {an} que tenga lımite (finito) se denominaconvergente y si el lımite no existe o es infinito (±∞) se llamadivergente.
Teorema
La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.
Teorema
(Unicidad del lımite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lımite.
Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lımite es+∞ o −∞.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Definicion
Una sucesion {an} que tenga lımite (finito) se denominaconvergente y si el lımite no existe o es infinito (±∞) se llamadivergente.
Teorema
La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.
Teorema
(Unicidad del lımite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lımite.
Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lımite es+∞ o −∞.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema (Condicion necesaria de existencia de lımite)
Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.
Corolario
Toda sucesion {an} no acotada es divergente.
Lemma
Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M ∈ R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lımite cero, o equivalentemente:
Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todosα, β ∈ R, la sucesion αan + βbn tambien tiende a cero.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema (Condicion necesaria de existencia de lımite)
Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.
Corolario
Toda sucesion {an} no acotada es divergente.
Lemma
Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M ∈ R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lımite cero, o equivalentemente:
Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todosα, β ∈ R, la sucesion αan + βbn tambien tiende a cero.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema (Condicion necesaria de existencia de lımite)
Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.
Corolario
Toda sucesion {an} no acotada es divergente.
Lemma
Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M ∈ R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lımite cero, o equivalentemente:
Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todosα, β ∈ R, la sucesion αan + βbn tambien tiende a cero.
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema
Sea {an} una sucesion convergente con lımite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:
1. lımn→∞
an = a, 2. lımn→∞
an − a = 0, 3. lımn→∞
|an − a| = 0.
Teorema (Teorema de las tres sucesiones)
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que
an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N ∈ N.
Si {an} y {bn} son convergentes con lımn→∞
an = l y lımn→∞
bn = l ,
entonces, {cn} es convergente y
lımn→∞
cn = l .
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema
Sea {an} una sucesion convergente con lımite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:
1. lımn→∞
an = a, 2. lımn→∞
an − a = 0, 3. lımn→∞
|an − a| = 0.
Teorema (Teorema de las tres sucesiones)
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que
an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N ∈ N.
Si {an} y {bn} son convergentes con lımn→∞
an = l y lımn→∞
bn = l ,
entonces, {cn} es convergente y
lımn→∞
cn = l .
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Ejemplos
Ejercicio: Demuestra que:
lımn→∞
cos xn = 1, lımn→∞
sin xnxn
= 1.
Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lımite no positivo (no negativo).O sea, si an ≥ 0 ⇒ an → a ≥ 0 y si an ≤ 0 ⇒ an → a ≤ 0.
Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lımite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.
Ejercicio: Probar que si lımn→∞
an = a, y lımn→∞
bn = b, y an ≤ bn para
todo n, entonces a ≤ b.
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Ejemplos
Ejercicio: Demuestra que:
lımn→∞
cos xn = 1, lımn→∞
sin xnxn
= 1.
Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lımite no positivo (no negativo).O sea, si an ≥ 0 ⇒ an → a ≥ 0 y si an ≤ 0 ⇒ an → a ≤ 0.
Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lımite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.
Ejercicio: Probar que si lımn→∞
an = a, y lımn→∞
bn = b, y an ≤ bn para
todo n, entonces a ≤ b.
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Ejemplos
Ejercicio: Demuestra que:
lımn→∞
cos xn = 1, lımn→∞
sin xnxn
= 1.
Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lımite no positivo (no negativo).O sea, si an ≥ 0 ⇒ an → a ≥ 0 y si an ≤ 0 ⇒ an → a ≤ 0.
Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lımite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.
Ejercicio: Probar que si lımn→∞
an = a, y lımn→∞
bn = b, y an ≤ bn para
todo n, entonces a ≤ b.
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Ejemplos
Ejercicio: Demuestra que:
lımn→∞
cos xn = 1, lımn→∞
sin xnxn
= 1.
Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lımite no positivo (no negativo).O sea, si an ≥ 0 ⇒ an → a ≥ 0 y si an ≤ 0 ⇒ an → a ≤ 0.
Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lımite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.
Ejercicio: Probar que si lımn→∞
an = a, y lımn→∞
bn = b, y an ≤ bn para
todo n, entonces a ≤ b.
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Propiedades algebraicas de los lımites
Teorema
Sean dos sucesiones convergentes {an} y {bn} con lımn→∞
an = a, y
lımn→∞
bn = b. Entonces:
1 lımn→∞
an + bn = a + b.
2 lımn→∞
an · bn = a · b. En particular, ∀α ∈ R, lımn→∞
α an = α a.
3 Si ∀n ∈ N, bn 6= 0, b 6= 0, entonces, lımn→∞
anbn
=a
b.
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)
Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lımite de lasucesion es el supremo o el ınfimo del conjunto A = {an, n ∈ N}de los valores de an, i.e.,
lımn→∞
an =
{ınf A si an es decrecientesupA si an es creciente
.
Demostracion: Sea an ↗ y S = supA, sea ∀n > N
S − εaN < an↓ ↓ S︸ ︷︷ ︸ε
|
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)
Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lımite de lasucesion es el supremo o el ınfimo del conjunto A = {an, n ∈ N}de los valores de an, i.e.,
lımn→∞
an =
{ınf A si an es decrecientesupA si an es creciente
.
Demostracion: Sea an ↗ y S = supA, sea ∀n > N
S − εaN < an↓ ↓ S︸ ︷︷ ︸ε
|
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)
Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lımite de lasucesion es el supremo o el ınfimo del conjunto A = {an, n ∈ N}de los valores de an, i.e.,
lımn→∞
an =
{ınf A si an es decrecientesupA si an es creciente
.
Demostracion: Sea an ↗ y S = supA, sea ∀n > N
S − εaN < an↓ ↓ S︸ ︷︷ ︸ε
|
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema
Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lım
n→∞an +∞ (−∞).
Ejemplo: La sucesion an =1
nesta acotada |an| ≤ 1, ∀n ∈ N y es
decreciente, por tanto an es convergente y
lımn→∞
an = ınf A = ınf
{1
n, n ∈ N
}= 0.
La sucesion bn = n no es acotada y lımn→∞
bn = ınf A = +∞
Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:
a1 =√
2, an+1 =√
2 + an.
Demostrar que tiene lımite y encontrarlo.
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema
Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lım
n→∞an +∞ (−∞).
Ejemplo: La sucesion an =1
nesta acotada |an| ≤ 1, ∀n ∈ N y es
decreciente, por tanto an es convergente y
lımn→∞
an = ınf A = ınf
{1
n, n ∈ N
}= 0.
La sucesion bn = n no es acotada y lımn→∞
bn = ınf A = +∞
Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:
a1 =√
2, an+1 =√
2 + an.
Demostrar que tiene lımite y encontrarlo.
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema
Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lım
n→∞an +∞ (−∞).
Ejemplo: La sucesion an =1
nesta acotada |an| ≤ 1, ∀n ∈ N y es
decreciente, por tanto an es convergente y
lımn→∞
an = ınf A = ınf
{1
n, n ∈ N
}= 0.
La sucesion bn = n no es acotada y lımn→∞
bn = ınf A = +∞
Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:
a1 =√
2, an+1 =√
2 + an.
Demostrar que tiene lımite y encontrarlo.
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Calculo practico de lımites
Teorema (Criterio de la raız)
Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal que
lımn→∞
an+1
an= l . Entonces, lım
n→∞n√an = l .
Ejemplo: Calcula los lımites lımn→∞
n
√an
n!, a ∈ R y lım
n→∞n√n.
Teorema (Stolz)
Sea an/bn una sucesion tal que bn ↗, y bn → +∞ y sea
lımn→∞
an − an−1bn − bn−1
= l . Entonces lımn→∞
anbn
= lımn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
=
Ejemplo: Calcula lımn→∞
1 + 2 + · · ·+ n
n2, lımn→∞
1 + 1/2 + · · ·+ 1/n
log n
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Calculo practico de lımites
Teorema (Criterio de la raız)
Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal que
lımn→∞
an+1
an= l . Entonces, lım
n→∞n√an = l .
Ejemplo: Calcula los lımites lımn→∞
n
√an
n!, a ∈ R y lım
n→∞n√n.
Teorema (Stolz)
Sea an/bn una sucesion tal que bn ↗, y bn → +∞ y sea
lımn→∞
an − an−1bn − bn−1
= l . Entonces lımn→∞
anbn
= lımn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
=
Ejemplo: Calcula lımn→∞
1 + 2 + · · ·+ n
n2, lımn→∞
1 + 1/2 + · · ·+ 1/n
log n
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Calculo practico de lımites
Teorema (Criterio de la raız)
Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal que
lımn→∞
an+1
an= l . Entonces, lım
n→∞n√an = l .
Ejemplo: Calcula los lımites lımn→∞
n
√an
n!, a ∈ R y lım
n→∞n√n.
Teorema (Stolz)
Sea an/bn una sucesion tal que bn ↗, y bn → +∞ y sea
lımn→∞
an − an−1bn − bn−1
= l . Entonces lımn→∞
anbn
= lımn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
=
Ejemplo: Calcula lımn→∞
1 + 2 + · · ·+ n
n2, lımn→∞
1 + 1/2 + · · ·+ 1/n
log n
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Calculo practico de lımites
Teorema (Criterio de la raız)
Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal que
lımn→∞
an+1
an= l . Entonces, lım
n→∞n√an = l .
Ejemplo: Calcula los lımites lımn→∞
n
√an
n!, a ∈ R y lım
n→∞n√n.
Teorema (Stolz)
Sea an/bn una sucesion tal que bn ↗, y bn → +∞ y sea
lımn→∞
an − an−1bn − bn−1
= l . Entonces lımn→∞
anbn
= lımn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
=
Ejemplo: Calcula lımn→∞
1 + 2 + · · ·+ n
n2, lımn→∞
1 + 1/2 + · · ·+ 1/n
log n
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Lımites notables.
1 lımn→∞
(1 +
1
n
)n
= e.
2 lımn→∞
n√x = 1, para todo x ∈ R, x > 0.
3 lımn→∞
n√n = 1.
4 lımn→∞
xn = 0, para todo x ∈ R, |x | < 1.
5 lımn→∞
1
nα= 0, para todo α ∈ R, α > 0.
6 lımn→∞
ln n
nα= 0, para todo α ∈ R, α > 0.
7 lımn→∞
nα
an= 0, para todo a > 1, α > 0.
8 lımn→∞
xn
n!= 0, para todo x ∈ R. (n! = 1 · 2 · 3 · · · n)
9 lımn→∞
n!
nn= 0. (n! = 1 · 2 · 3 · · · n)
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Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes si
lımn→∞
anbn
= 1, y se escribe an ∼ bn.
Ejemplo: an =n + 1
n + 2y bn =
n2 + 1
(n + 1)2.
La sucesion an = n! es equivalente a bn =√
2πne−nnn
Definicion
Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lımn→∞
an = 0.
Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an ∼ bn si lım
n→∞an = 0, lım
n→∞bn = 0 y
lımn→∞
anbn
= 1.
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Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes si
lımn→∞
anbn
= 1, y se escribe an ∼ bn.
Ejemplo: an =n + 1
n + 2y bn =
n2 + 1
(n + 1)2.
La sucesion an = n! es equivalente a bn =√
2πne−nnn
Definicion
Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lımn→∞
an = 0.
Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an ∼ bn si lım
n→∞an = 0, lım
n→∞bn = 0 y
lımn→∞
anbn
= 1.
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Infinitesimos equivalentes
Teorema
Si {an} es una sucesion infinitesimal, entonces:
1 sen an ∼ an.
2 tan an ∼ an.
3 arc sen an ∼ an.
4 arctan an ∼ an.
5 1− cos an ∼a2n2
.
6 (1 + an)α − 1 ∼ α an.
7 ean − 1 ∼ an, ban − 1 ∼ an ln b .
8 ln(1 + an) ∼ an, logb(1 + an) ∼ an logb e .
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Subsucesiones
Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k ∈ N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk ≥ k y sea {an} una sucesion denumeros reales.
Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k ∈ N} del conjunto{an, n ∈ N}.
La nueva sucesion ası obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.
Por ejemplo, sea an = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k ∈ N} y N2 = {1, 3, ..., 2k − 1, ..., k ∈ N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k−1 = −1.
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Subsucesiones
Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k ∈ N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk ≥ k y sea {an} una sucesion denumeros reales.
Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k ∈ N} del conjunto{an, n ∈ N}.
La nueva sucesion ası obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.
Por ejemplo, sea an = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k ∈ N} y N2 = {1, 3, ..., 2k − 1, ..., k ∈ N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k−1 = −1.
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Subsucesiones
Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k ∈ N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk ≥ k y sea {an} una sucesion denumeros reales.
Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k ∈ N} del conjunto{an, n ∈ N}.
La nueva sucesion ası obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.
Por ejemplo, sea an = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k ∈ N} y N2 = {1, 3, ..., 2k − 1, ..., k ∈ N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k−1 = −1.
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Subsucesiones
Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k ∈ N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk ≥ k y sea {an} una sucesion denumeros reales.
Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k ∈ N} del conjunto{an, n ∈ N}.
La nueva sucesion ası obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.
Por ejemplo, sea an = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k ∈ N} y N2 = {1, 3, ..., 2k − 1, ..., k ∈ N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k−1 = −1.
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Subsucesiones
Teorema
Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si
lımn→∞
an = a =⇒ lımnk→∞
ank = a.
Teorema (Bolzano-Weierstrass)
De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.
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Subsucesiones
Teorema
Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si
lımn→∞
an = a =⇒ lımnk→∞
ank = a.
Teorema (Bolzano-Weierstrass)
De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.
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Sucesiones de Cauchy
Definicion
Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo ε > 0 existe unN ∈ N tal que si n,m > N, entonces |an − am| < ε.
m
∀ε > 0, ∃N ∈ N, t.q. ∀n > N, ∀p ∈ N ⇒ |an+p − an| < ε.
Ejemplo: La sucesion an = 1n es de Cauchy y la sucesion
bn = 1 + 12 + · · ·+ 1
n no es de Cauchy.
Proposicion
1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.
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Sucesiones de Cauchy
Definicion
Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo ε > 0 existe unN ∈ N tal que si n,m > N, entonces |an − am| < ε.
m
∀ε > 0, ∃N ∈ N, t.q. ∀n > N, ∀p ∈ N ⇒ |an+p − an| < ε.
Ejemplo: La sucesion an = 1n es de Cauchy y la sucesion
bn = 1 + 12 + · · ·+ 1
n no es de Cauchy.
Proposicion
1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.
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Sucesiones de Cauchy
Definicion
Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo ε > 0 existe unN ∈ N tal que si n,m > N, entonces |an − am| < ε.
m
∀ε > 0, ∃N ∈ N, t.q. ∀n > N, ∀p ∈ N ⇒ |an+p − an| < ε.
Ejemplo: La sucesion an = 1n es de Cauchy y la sucesion
bn = 1 + 12 + · · ·+ 1
n no es de Cauchy.
Proposicion
1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.
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Sucesiones de Cauchy
Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)
Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.
Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:
Teorema
Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lımite.
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Sucesiones de Cauchy
Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)
Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.
Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:
Teorema
Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lımite.
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