View
302
Download
15
Category
Preview:
Citation preview
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
99
INTEGRASI VEKTOR
Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa
dari vektor.
Integral Biasa
Pada buku kerja 3, kita telah mengetahui
hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan
percepatan. Kecepatan merupakan turunan
dari perpindahan sebagai fungsi waktu.
Percepatan merupakan turunan kecepatan
sebagai fungsi waktu.
Bagaimana jika kita ingin mencari kecepatan
dan perpindahan dengan diketahui
percepatannya? Percepatan adalah turunan dari kecepatan, berarti
kecepatan adalah anti turunan dari percepatan. Sedangkan, kecepatan adalah
turunan dari perpindahan, berarti perpindahan adalah anti turunan dari
kecepatan. Oleh karena itu, untuk mencari kecepatan berarti kita harus
mengintegralkan percepatan dan untuk mencari perpindahan berarti kita
harus mengintegralkan kecepatan.
Perhatikan definisi integral biasa dari fungsi vektor, sebagai berikut.
Definisi Integral Biasa
Misalkan , dimana sebuah vektor yang
bergantung pada variabel atau parameter t dan kontinu
dalam suatu selang yang ditentukan. Maka, integral tak tentu dari
didefinisikan sebagai berikut.
Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
100
Jika terdapat sebuah vektor , sehingga
maka :
dimana adalah vektor konstanta.
Sedangkan integral tentu dengan batas antara dan t , dapat ditulis
Jadi, misalkan fungsi percepatan diberikan oleh
, yang bergantung pada parameter t (waktu). Maka, kecepatan
adalah integral dari percepatan diberikan oleh.
Setelah Anda mempelajari integral biasa dari fungsi vektor, selanjutnya Anda
pelajari integral garis dari fungsi vektor.
Integral Garis
Dalam buku kerja 2 telah dijelaskan
bahwa usaha merupakan hasil dari
perkalian titik antara gaya yang
dilakukan dengan perpindahan yang
terjadi.
Rumusnya adalah
Selanjutnya, coba perhatikan gambar berikut.
A
B
objek
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
101
Apa yang bisa Anda kemukakan dari gambar tersebut? Ada objek yang
bergerak dari titik A ke titik B namun objek tersebut bergerak tidak lurus.
Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak
tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah
Jika perubahannya kontinu, maka perumusan di atas berubah menjadi
integral
untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang
dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor .
Untuk lebih jelasnya, berikut definisi integral garis.
Definisi Integral Garis
Integral garis dari suatu fungsi vektor sepanjang kurva C yang
terdefinisi pada , didefinisikan sebagai berikut.
Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah ini!
Gambar di samping tampak bahwa
objek bergerak sepanjang lintasan C
yang tidak lurus yang berawal dari titik
A dan berakhir pada titik B, dimana
A=B. Jadi, objek tersebut bergerak
sepanjang lintasan tertutup.
Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup di atas adalah
A
B
Objek
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
102
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1
Jika , carilah (a) dan (b)
Penyelesaian
(a)
(b)
di mana c adalah vektor konstan
Contoh 2
Jika dan , hitunglah
Penyelesaian
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
103
Contoh 3
Jika , hitunglah
dari (0, 0, 0) sampai (1, 1, 1) sepanjang lintasan berikut.
(a)
(b) Garis lurus dari (0, 0, 0)sampai(0, 0, 1), kemudian sampai (0, 1, 1)
dan setelah itu sampai (1, 1, 1)
(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 1) dan (1, 1, 1)
Penyelesaian
(a) Jika , titik (0, 0, 0)dan (1, 1, 1) masing-masing
dengan t = 0 dan t = 1 yang diperoleh dengan menggunakan persamaan
parameter. Maka
Metode lain
Sepanjang C, dan
. Maka
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
104
(b) Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) sampai (0, 0, 1),
sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang
bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1),
sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang
bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (0, 1, 1) sampai (1, 1, 1),
sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang
bagian lintasan ini adalah
Jadi
(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk
persamaan parameter adalah Maka
Contoh 4 Carilah usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam
medan gaya yang diberikan oleh sepanjang kurva
dari t =0 hingga t =2
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
105
Jadi, usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam
medan gaya adalah 100/3.
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1
Hitunglah
Penyelesaian
Latihan 2 Percepatan a dari sebuah partikel pada sebarang t diberikan oleh
. Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah
nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat.
Penyelesaian
Perhatikan
, , maka:
(*)
Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan
substitusi ke persamaan (*), sehingga diperoleh
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
106
Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan
(**)
substitusi ke persamaan (**), sehingga diperoleh
Latihan 3
Jika . Hitunglah
sepanjang
lintasan-lintasan C berikut:
(a) dari t = 0 hingga t = 1
(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan
kemudian ke (2, 1, 1)
(c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1)
Penyelesaian
(a) Jika , dari t = 0 dan t = 1. Maka
(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan
kemudian ke (2, 1, 1).
Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1),
sedangkan z berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian
lintasan ini adalah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
107
Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1),
sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang
bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (0, 1, 1) sampai (2, 1, 1),
sedang berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang
bagian lintasan ini adalah
Jadi
(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) dalam bentuk
persamaan parameter adalah Maka
Latihan 4
Jika , hitunglah
mengelilingi segitiga C
pada gambar berikut
Penyelesaian
Sepanjang garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), sedangkan
berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
(2,1)
)
(2,0) O
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
108
Sepanjang garis lurus dari (2, 0) ke (2, 1), sedangkan
berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (2, 1) ke (0, 0), dalam bentuk persamaan
parameter adalah Maka
Jadi,
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Misalkan , , dan .
Hitunglah
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
109
Latihan 2
Hitunglah
. Jika dan
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
110
Latihan 3 Percepatan a dari sebuah benda pada sebarang titik saat t diberikan oleh a =
- g j, di mana g sebuah konstanta. Pada saat t = 0 kecepatan diberikan oleh
dan perpindahan = 0. Carilah v dan r pada
sebarang saat t > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah peluru yang
ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut terhadap sumbu
positif dengan kecepatan awal yang besarnya .
Penyelesaian
Latihan 4 Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam
medan gaya sepanjang
(a) garis lurus dari (0, 0, 0) ke (2, 1, 3)
(b) kurva ruang dari t = 0 ke t = 1
(c) Kurva yang didefinisikan oleh dari
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
111
Latihan 5
Hitunglah
di mana dan C adalah kurva
tertutup dalam bidang , dari
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
112
Latihan 6
Hitunglah
mengelilingi kurva tertutup C dari gambar di bawah
jika
Penyelesaian
y
x 0
(1,1)
Y=x2
Y2=x
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
113
Latihan 7 Jika . Hitunglah sirkulasi A mengelilingi sebuah
lingkaran C dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2, jika C dilintasi dalam
arah positif.
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
114
Latihan 8 Diketahui
(a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif
(b) Carilah potensial skalar untuk F
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
115
Kunci Jawaban Latihan 1 : 12
Latihan 2 : 10
Latihan 3 :
Latihan 4 : (a) 16, (b) 14,2 (c) 16
Latihan 5 : , jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum
jam)
Latihan 6 : 2/3
Latihan 7 : 8
Latihan 8 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
116
Integral Permukaan
Pernahkah Anda terpikir dari manakah kita mendapat air bersih? Ya, kita
mendapat air tersebut dari PDAM. Bagaimana PDAM menyalurkan air
tersebut? Agar air dapat sampai ke tempat
kita, air disalurkan melalui pipa. Air yang
mengalir melalui pipa tersebut memiliki
kecepatan. Kita dapat mengetahui berapa
volume air yang mengalir melewati pipa
tersebut dengan menggunakan rumus
integral permukaan. Semakin besar
kecepatan yang dimiliki air tersebut, maka
semakin besar pula volume air yang mengalir tersebut.
Jadi, misalkan = kecepatan pada setiap titik dari fluida yang bergerak,
dimana air adalah salah satu jenis fluida
Volume dari fluida yang melewati dalam detik
= volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dan tinggi
atau panjang
Maka volume per detik dari fluida yang melewati
Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S
adalah integral permukaan S dari vektor
Berikut definisi integral permukaan
Definisi Integral Permukaan
Misalkan S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah vektor
normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu)
dari melalui permukaan S adalah
Materi pokok pertemuan ke I1: 3. Integral permukaan
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
117
yang disebut integral permukaan.
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan
memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung
integral lipat 2 dari proyeksinya.
Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral
permukaan diberikan oleh
Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah
Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh:
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1
Hitunglah
dimana , S adalah bagian dari
bidang yang terletak pada oktan pertama dan n adalah
normal satuan pada S.
Penyelesaian
Suatu normal untuk S adalah , sehingga
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
118
maka
Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral
permukaan yang diinginkan adalah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
119
Contoh 2
Hitunglah
melalui permukaan S dari kubus satuan yang dibatasi
oleh bidang-bidang
Penyelesaian
Bidang DEFG : . Maka
Bidang ABCO : . Maka
Bidang ABGF : . Maka
B C
A 0
E D
F G
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
120
Bidang OGDC : . Maka
Bidang BCDE : . Maka
Bidang AFGO : . Maka
= 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
121
Latihan 1
Hitung
jika dan S adalah permukaan bidang
dalam oktan pertama yang dipotong oleh bidang
Penyelesaian
Suatu normal untuk S adalah , sehingga
maka
Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral
permukaan yang diinginkan adalah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
122
Latihan 2
Hitung
jika dan S adalah permukaan
bidang dalam oktan pertama
Penyelesaian
Suatu normal untuk S adalah ,
sehingga
maka
Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang Sehingga integral
permukaan yang diinginkan adalah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
123
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1
Hitunglah
dimana , S adalah bagian dari
bidang yang terletak pada oktan pertama dan n normal
satuan pada S.
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
124
Latihan 2 Jika dan S adalah permukaan silinder parabolik
dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y=4 dan z=6,
hitunglah
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
125
Latihan 3
Hitunglah
melalui seluruh permukaan S dari daerah yang
dibatasi oleh silinder ,
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
126
Latihan 4
Hitunglah integral
jika dan S
adalah permukaan yang dibatasi oleh
Penyelesaian
Latihan 5
Hitunglah
jika , , dan S
adalah permukaan 2x+y+2z=6 yang dibatasi oleh x=0, x=1, y=0, dan y=2,
maka
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
127
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
128
Kunci Jawaban Latihan 1 : 27/4
Latihan 2 : 132
Latihan 3 :
Latihan 4 :
Latihan 5 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
129
Integral volume
Pernahkah terpikir berapa banyak air yang
dapat ditampung oleh sebuah bak mandi?
Anda dapat mencarinya dengan menggunakan
integral volume.
Berikut definisi integral volume
Integral Volume
Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V,
maka
dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Berikut penjelasannya:
Bagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume
seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
Materi pokok pertemuan ke I3: 4. Integral Volume
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
130
Misalkan sebuah titik dalam
kubus ini. Definisikan
Pandang jumlah
yang diambil untuk semua kubus yang
mungkin dalam ruang yang ditinjau.
Limit dari jumlah ini, bila
sehingga kuantitas-kuantitas terbesar akan mendekati nol, dan jika limit
ini ada, dinyatakan oleh
adalah integral volume.
Agar lebih paham, pelajari contoh-contoh berikut!
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1
Misalkan . Hitunglah
dimana adalah ruang
yang dibatasi oleh permukaan-permukaan .
Penyelesaian
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
131
Integral untuk komponen i
Integral untuk komponen j
Integral untuk komponen k
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
132
Maka,
Contoh 2
Hitung
di mana ,V adalah ruang tertutup
yang dibatasi oleh , .
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
133
Jadi,
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1
Hitung
di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh
dengan
Penyelesaian
LATIHAN TERBIMBING
1
1 0
1
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
134
Latihan 2
Hitung
, di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh
silinder dan bidang-bidang
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
135
Latihan 3
Jika , hitunglah
di mana V adalah
ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
136
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan ,
yang terletak dikuadran pertama jika diketahui
.
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
137
Latihan 2 Hitung integral lipat tiga di mana yang dibatasi oleh bidang
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
138
Latihan 3
Jika , hitunglah
di mana V
adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
139
Latihan 4 Tentukanlah volume dan pusat daerah R yang dibatasi oleh silinder
parabolik dan bidang-bidang .
Penyelesaian
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
140
Buku
Kerja 5 Integrasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
141
Kunci Jawaban
Latihan 1 :
Latihan 2 : 11/3
Latihan 3 :
Latihan 4 : 3/2
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Recommended