Bivariate Polynome auf Dreiecken 06. 10. 2011 Janette Schmid Lehrstuhl für Mathematik...

Bivariate Polynome auf Dreiecken

06. 10. 2011

Janette Schmid

Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011

Gliederung:

• 1. Grundlagen: Bivariate Polynome

• 2. Eigenschaften der Approxiamtion

• 3. Eigenschaften der Interpolation

1. Bivariate Polynome

• 1.1 Definition

Für heißt

Bivariates Polynom vom Grad d.

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

j

1.2 Normen

Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.2 Normen

Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm:

• q-Norm: Für 0<q< gilt:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 1.4 Satz

Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle

:

K ist eine Konstante die nur von d abhängt.

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 1.5 Ableitungen

Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt:

mit:

für

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 1.5 Ableitungen

Seien die partiellen Ableitungen von , dann gilt:

mit:

für

Vergleich univariat:

Ableitung:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 1.6 Satz:

Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom :

Für alle

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 1.7 Richtungsableitung:

Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2. Approximation

• 2.1 Aproximation in der Maximumnorm• Seminorm:

• Durchmesser von Ω:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . Dann gibt für jedes ein , sodass gilt

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in .

Dann gibt für jedes ein , sodass gilt

• 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit:

Der Exponent kann nicht erhöht werden.

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 2.3 Durchschnittstaylorpolynom

• Taylorpolynom im univariaten:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 2.3 Durchschnittstaylorpolynom

• Taylorpolynom im univariaten:

• Taylorpolynom im bivariaten:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Durchschnittstaylorpolynom:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Durchschnittstaylorpolynom:

• Gauss‘sche Glocke:

Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt

. Es gilt:

mit

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Satz 2.2:Für jedes und gilt:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Satz 2.2:Für jedes und gilt:

• Satz 2.3:Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• 2.3 Approximation in der q-Norm• Sobolev-Raum:

mit

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Satz 2.4:Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . und sei , dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

3. Interpolation• Univariat:

Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten.• Bivariat:

Interpolation nicht immer möglich.

Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte.

Es ergibt sich folgende Matrix:

Interpolation nur möglich, wenn gilt:

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Beispiel:

Sei d=1 und und die 3 Punkte

liegen auf einer Geraden: y=ax+b.

Dann ergibt sich folgende Matrix:

det(M)=0 Matrix nicht lösbar.

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Mögliche Lage der Interpolationspunkte:

• Satz 3.1: Geradenkriterium

Sei A eine Menge von Punkten und eine

Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i

Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der

Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von .

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

• Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1):

Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei

Dann ist die Punktmenge eine

Interpolationslage von .

1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Literatur:

Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, 1- 17. Cambridge Univ. Press.

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