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Conversão de Energia II
Aula 2.4
Departamento de Engenharia Elétrica
Aula 2.4
Máquinas Rotativas
Prof. João Américo Vilela
Torque nas Máquinas Síncronas
Os anéis coletores da máquina síncrono servem para alimentar oenrolamento de campo (rotor) com corrente contínua.
Conversão de Energia II
Anéis coletores de uma máquina síncronaEnrolamento de campo no rotor da
máquina síncrona.
Torque nas Máquinas Síncronas
Corrente nos enrolamentos do rotor e do estator produzem forçasmagnetomotriz. Essa condição corresponde ao surgimento de pólosmagnéticos em ambos o estator e o rotor (veja figura abaixo). Oconjugado é produzido pela interação da força magnetomotriz do estator(campo girante) com a corrente no rotor.
Conversão de Energia II
O torque pode ser calculado pela relação entre densidade de fluxo ecorrente no condutor, sendo sempre a corrente perpendicular ao fluxo.
iBsenliBF ,α⋅⋅⋅=
Dessa forma a corrente em todosos fios contribui para o movimentodo motor.
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
Força Fmmrotor
A defasagem entre a Fmm do rotor e do estator interfere no torque, poiscom um ângulo menor que 90º alguns condutores geram torque contrário.
O torque é função do módulo dasFmm e do ângulo entre elas,conforme pode ser visto no gráficoabaixo.
Fmmrotor
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
Força
Como existe uma relação direta entre corrente no rotor e Fmm produzidapelo rotor. Assim, podemos calcular o torque em função das Fmms dorotor e estator, conforme equação abaixo.
( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅−=
Quando δer é positivo o conjugado énegativo e a máquina estáfuncionando como gerador. De modo
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
funcionando como gerador. De modosemelhante, um valor negativo de δercorresponde a um conjugadopositivo é, correspondentemente,funciona como motor.
A constante k na equação do torque é obtida pelo método da co-energia,ficando a equação de torque da seguinte forma:
( )erre senFFg
lDpT δ
πµ⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅
−=
22
0
Onde:
l = comprimento axial do entreferro;
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
l = comprimento axial do entreferro;
D = diâmetro médio;
g = comprimento total do entreferro;
Fe = Fmm produzida no estator (composição das três fases), onda senoidal espacial.
Fr = Fmm produzida no rotor, onda senoidal espacial.
δer = ângulo de fase entre os eixos magnéticos em graus elétricos das ondas de Fmm do estator e do rotor
Um gerador de 60 [Hz] síncrono trifásico de dois pólos ligado em Y erotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com Nr espiras distribuídase um fator de enrolamento kr. O enrolamento de armadura tem Nfs espiraspor fase e fator de enrolamento ka. O comprimento do entreferro é g, e oraio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do enrolamento dearmadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são:
Exercício
Nr = 68 espiras em série;Nfs = 18 espiras em série/fase;r = 0,53 [m];
kr = 0,945;ka = 0,933;g = 4,5 [cm];
Conversão de Energia II
l = 3,8 [m];
Para uma corrente contínua de campo de Ir = 720 [A] e as correntes noestator são de 100 A/fase eficaz, calcule:a) O torque máximo produzido pelo motor nas condições especificadas?
Torque no motor de Indução
No motor de indução todas as barras do rotor estão em curto circuito.
Campo girante induzindo tensão nas barras do rotor
Fluxo máximo na espira destacada.
Conversão de Energia II
dt
dNe
φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 0.
Torque no motor de Indução
Quando o fluxo é máximo a tensão induzida é zero, quando o fluxo é zeroa variação do fluxo é máxima e por consequência a tensão induzida émáxima.
Conversão de Energia II
dt
dNe
φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 90.
Torque no motor de Indução
Rotor com características puramente resistiva
- Corrente em fase com a densidade de fluxo (tensão induzida)
Conversão de Energia II
Fmmrotor
Rotor com elevada reatância indutiva
- Corrente defasada da densidade de fluxo.
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
Fmmrotor
O campo girante produzido noestator induz uma tensão nasbarras do rotor girantetambém.
Essas barras em curto-circuitoproduzem uma corrente quenão esta totalmente em fasecom a tensão induzida devidoa indutância do rotor
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
O valor de Φ2 é função darelação entre reatância eresistência no rotor.
Fmm do rotor está defasadade mais de 90º graus elétricosda tensão induzida na barra,prejudicando o torque domotor.
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
A tensão no rotor é induzida pelo campo girante produzido no estator, eestá sempre 90º defasada do campo girante. A corrente pode estardefasada da tensão induzida devido a característica reativa das barras dorotor.
( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅=
Torque no motor de Indução
Fmmestator
Reescrevendo a equação em funçãodo ângulo ψ.
Conversão de Energia II
Fmmrotor
( )ψcos⋅⋅⋅= re FFkT
do ângulo ψ.
Torque no motor
Pela lei circuital de Ampère o percursoapresentado na figura “a” representa aFmm produzido pela corrente nas barrasdo rotor.
Considerando a distribuição de correntesenoidal a Fmm no percurso apresentadoé:
JdsenJF ⋅=α⋅α⋅= ∫π
2
Conversão de Energia II
mmp JdsenJF ⋅=α⋅α⋅= ∫ 20
2
Onde:
Jm = valor de pico da densidade da lâmina de corrente no rotor;
F2p = representa a Fmm por par de pólos;
m
p
rotor JF
Fmm ==2
2
Em lugar do condutor e da corrente quecircula nele, aproximamos para uma
O percurso apresentado na figura “a”envolve dois entreferro. Assim, a Fmm depico por pólo (por travessia do entreferro)é:
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
circula nele, aproximamos para umalâmina continua de corrente.
( ) α⋅α⋅=α⋅= dsenJdJi m
Vamos considerar os angulo em grauselétricos.
A densidade de fluxo é produzida pelo campogirante do estator. Lâmina de corrente representa acorrente induzida no enrolamento do rotor.
Considerando uma defasagem ψ entre a densidade de fluxo e a lâmina de
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
( )α⋅ψ+α⋅⋅⋅α⋅== dsenJlsenBBilF mme )())((
Considerando uma defasagem ψ entre a densidade de fluxo e a lâmina decorrente.
Calculo da força elementar (Fe) produzida numa faixa de correnteelementar do enrolamento de armadura.
Obs. a corrente no motor é perpendicular a densidade de fluxo
O torque elementar é obtido multiplicando a força elementar pelo raio domotor.
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅=⋅= dsensenrlJBrFT mmee )()(
Calculo do torque total desenvolvido na lâmina de corrente sobre um póloda distribuição de campo.
∫π
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅= )()( dsensenrlJBT mmP
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
∫0
Para um motor com p pólos o torque total será:
∫π
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅⋅=0
)()( dsensenrlJBpT mm
Utilizando alguns artifícios trigonométricos obtemos:
)cos(2
ψ⋅π
⋅⋅⋅⋅⋅= rlJBpT mm
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
2
A equação é válida para distribuições senoidais da densidade de fluxo e dedensidade de corrente.
Quando o angulo ψ é diferente de zero uma parcela da corrente gera torquecontrário o que produz uma redução do torque total.
lrBlrB ⋅⋅⋅=
⋅⋅π⋅⋅
⋅=φ422
Área associada a um pólo do motor
lrp
Ap ⋅⋅π⋅=2
O fluxo máximo produzido pela bobina do estator (Φpico) é dado por:
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
lrBp
lrp
B mmpico ⋅⋅⋅=
⋅⋅π⋅⋅
⋅
π=φ
Colocando o fluxo por pólo na equação de torque obtemos:
].)[cos(8
2mNJpT mpico ψ⋅⋅φ⋅⋅
π=
Onde:
p = número de pólos;
Φpico = fluxo máximo por pólo [Wb];
Jm = valor de pico da lâmina de corrente equivalente que representa uma distribuição ideal de ampère-condutor [A/rad];
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
distribuição ideal de ampère-condutor [A/rad];
ψ = ângulo de deslocamento de fase entre o início da lâmina de corrente e o início da onda de densidade de fluxo debaixo de um pólo;
A distribuição de ampère-condutores (lâmina de corrente) se relacionacom a Fmm produzida no rotor.
mr JFmm =
Relembrando que o valor de pico da Fmm por pólo é:
Torque no motor de Indução
rr
rr Ip
NkFmm ⋅⋅⋅=
π
4
Conversão de Energia II
Onde:
Ir = corrente de pico no enrolamento do rotor [A];
p = número de pólos;
kr = fator de enrolamento do rotor;
Nr = número de espiras no enrolamento do rotor.
pπ
O principio de geração de torque no motor de indução é semelhante ao domotor síncrono. Contudo, no motor de indução a corrente é induzida norotor.
)cos(8
2 ψφπ
⋅⋅⋅⋅= rpico FmmpT
Torque no motor de Indução
lrB ⋅⋅⋅=4
φ
A relação entre fluxo de pico é densidade de fluxo é:
Conversão de Energia II
lrBp
mpico ⋅⋅⋅=4
φ
Obtendo assim:
)cos(4
8
2 ψπ
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrB
ppT
A equação de torque fica:
Torque no motor de Indução
A relação entre densidade de fluxo produzida no estator e a Fmme docampo girante produzido no estator.
)cos(2
ψπ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrBpT
HBm ⋅= 0µ gHgBm ⋅⋅=⋅⇒ 0µ em FmmgB ⋅=⋅⇒ 0µ
Conversão de Energia II
assim:
HBm ⋅= 0µ gHgBm ⋅⋅=⋅⇒ 0µ em FmmgB ⋅=⋅⇒ 0µ
g
FmmB e
m
⋅= 0µ
)cos(2
0 ψµπ
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅= r
e Fmmlrg
FmmpT
Reorganizando a equação
Torque no motor de Indução
Considerando que o diâmetro dividido por dois é igual ao raio.
)cos(2
0 ψπµ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅= re FmmFmmg
lrpT
)cos(22
0 ψπµ
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅= re FmmFmm
g
lDpT
Conversão de Energia II
)cos(22
ψ⋅⋅⋅⋅
⋅= re FmmFmmg
T
O ângulo entre Fmm do estator edistribuição de corrente no rotor é ψ.Defasado de 90º temos a Fmmproduzida no rotor.
Torque no motor de Indução
Fmmestator
( )090)cos( += ψψ sen
090+=ψδer
Conversão de Energia II
assim:
)(2
0erre senFmmFmm
g
lrpT δ
πµ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
Fmmrotor
Essa equação é idêntica a equação de torque da máquina síncrona.
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