View
327
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Autor: Benedito Peixoto.Dissertação de Mestrado em Física de partículas e teoria de campos.Espero contar com asua contribuição de pelo menos R$ 1,00 pelo arquivo.Escreva para mim: bplhc@yahoo.com.brResumo:Nesta dissertação estudamos algumas características dos aspectos do eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 dimensões com quebra da identidade de Bianchi.Particularmente analisamos como obter a condição de quantização de Dirac.Damos atenção à formulação de dois fótons para o eletromagnetismo com monopolosmagnéticos a partir das diversas abordagens da formulação dada na literaturaem 3+1 dimensões (3+1 D). Esta formulação se caracteriza pela duplicação depotenciais para os campos, evitando a utilização de variáveis singulares (cordasde Dirac) na eletrodinâmica clássica. A introdução de um novo potencial nãoaumenta o número de variáveis independentes. Além de evitar a singularidadeexistente no potencial, esta formulação tem a vantagem de permitir a implementação da rotação dual para os potenciais, o que não é possível na formulaçãousual.Fazemos uma crítica da condição de quantização feita por abordagemsemi-clássica, e procuramos obter a condição de quantização de Dirac de umaforma simples utilizando a álgebra su(2) para o momento angular total (eletromagnético + mecânico) da partícula de carga e em interação com um monopolo magnético, bem como a representação unitária das rotações.Além disso, através de uma redução dimensional, conseguimos escreveruma formulação para o caso de 2+1 dimensões (2+1 D), com fontes magnéticas,sem a necessidade da quebra da identidade de Bianchi.PALAVRAS-CHAVE: Eletromagnetismo; Quantização de Dirac; Monopolo magnético; Duplicação de potenciais; Rotação dual; Identidade de Bianchi.AbstractHere we have studied some aspects of the electromagnetism in 3+1 and2+1 dimensions with the breaking of Bianchi Identity. Particularly we analyzehow to obtain the Dirac quantization condition. We give special attention tothe “two-photons” formulation for the electromagnetism according to the severalapproaches found in the literature. The main feature of this formulation isthe duplication of the potentials - from which we obtain the fields strengths -,avoiding singular variables (Dirac strings) in the Classical Electrodynamics. Theintroduction of a new potential does not increase the number of degrees of freedom.Besides this formulation allows the dual notation for the potentials what isnot possible in the usual formulation. We criticize the semi-classical quantizationcondition and look for a way of obtain the Dirac quantization condition by usingthe su(2) algebra of angular momentum (electromagnetic + mechanical) of theparticle of charge e interacting with a magnetic monopole.Besides we get a formulation in 2+1 dimensions with magnetic sourcewithout breaking the Bianchi identity. This is obtained by means of a dimensionalreduction.Key-Words: Electromagnetism; Dirac quantization; Magnetic monopole;Potential duplication; Dual rotation; Bianchi Identity.Espero contar com asua contribuição de pelo menos R$ 1,00 pelo arquivo.Escreva para mim: bplhc@yahoo.com.brOutros Liros do autor publicados:Aspectos do Eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 Dimensões com quebra da identidade de Bianchi, ed. UNESP;Imagens : Ed. Papel Virtual;A origem do homem moderno: Ed. CBJE;Missa - Diálogo Supremo: Ed. CBJEAntologias: Estudantes do rasil 2000, Ed. Litteris/ Casa do Novo Autor ed,;Anuário de escritores 2001, ed. Litteris/ Casa do Novo Autor ed,;Grandes escritores do Interior de SP, Casa do Novo Autor ed.
Citation preview
Conteudo
Lista de Figuras 8
Resumo 9
Abstract 10
1 Introducao 11
2 Introducao ao eletromagnetismo 14
2.1 Acao para a partıcula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Interacao partıcula-campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Quadri-corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Equacoes de movimento de uma carga em um campo . . . . . . . 19
2.5 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Transformacao de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Algumas formas para os potenciais e quantizacao semi-classica 28
3.1 Formas de potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Singularidade do potencial vetor . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 A corda de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Quantizacao semi-classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Analise da condicao de quantizacao de Dirac . . . . . . . . 35
4 Formulacoes com dois potenciais 41
4.1 Eletromagnetismo com carga magnetica e dois potenciais . . . . . 42
4.1.1 Forca de Lorentz a partir de um princıpio variacional . . . 45
1
2
4.1.2 Momento angular e condicao de quantizacao . . . . . . . . 52
4.2 Uma acao para a eletrodinamica com 2 potenciais . . . . . . . . . 54
5 Condicao de quantizacao 60
6 Equacoes de Maxwell e a reducao para 2+1 D 72
6.1 Uma nova visao para a dualidade de Hea-
viside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.1 A dualidade revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Magnetodinamica em 2+1 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2.1 Reducao dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Analise do 1o setor com e sem CS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Introducao de um termo de Chern-Simons no 2o setor . . . . . . . 82
7 Conclusao 83
A Notacao 85
B Formulacao tipo fermion 87
B.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C Solucao classica para uma carga eletrica em interacao com um
monopolo magnetico 92
D Carga eletrica na presenca de um dipolo magnetico 98
Bibliografia 103
Lista de Figuras
3.1 Fluxo magnetico atraves de uma area hachurada . . . . . . . . . . 29
3.2 Corda de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Regioes de contorno do monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Representacoes de um monopolo. O primeiro como uma linha de
dipolos e o segundo como um solenoide. . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Duas cordas diferentes L e L ’, fornecendo potenciais vetores diferindo
por uma transformacao de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Carga e passando por um monopolo magnetico g. . . . . . . . . . 36
3.7 Dipolo de Thomson (cargas eletrica e e magnetica g em repouso). 37
C.1 Energia em funcao da coordenada r. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.2 Trajetoria da partıcula na presenca de um monopolo. . . . . . . . 96
9
PEIXOTO, B. Aspectos do Eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 Dimensoes
com Quebra da Identidade de Bianchi.
Guaratingueta, 2002, 105p. Dissertacao (Mestrado em Fisica) - Facul-
dade de Engenharia, Campus de Guaratingueta, Universidade Estadual Paulista.
Resumo
Nesta dissertacao estudamos algumas caracterısticas dos aspectos do
eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 dimensoes com quebra da identidade de Bianchi.
Particularmente analisamos como obter a condicao de quantizacao de Dirac.
Damos atencao a formulacao de dois fotons para o eletromagnetismo com monopo-
los magneticos a partir das diversas abordagens da formulacao dada na literatura
em 3+1 dimensoes (3+1 D). Esta formulacao se caracteriza pela duplicacao de
potenciais para os campos, evitando a utilizacao de variaveis singulares (cordas
de Dirac) na eletrodinamica classica. A introducao de um novo potencial nao
aumenta o numero de variaveis independentes. Alem de evitar a singularidade
existente no potencial, esta formulacao tem a vantagem de permitir a implemen-
tacao da rotacao dual para os potenciais, o que nao e possıvel na formulacao
usual.
Fazemos uma crıtica da condicao de quantizacao feita por abordagem
semi-classica, e procuramos obter a condicao de quantizacao de Dirac de uma
forma simples utilizando a algebra su(2) para o momento angular total (eletro-
magnetico + mecanico) da partıcula de carga e em interacao com um monopolo
magnetico, bem como a representacao unitaria das rotacoes.
Alem disso, atraves de uma reducao dimensional, conseguimos escrever
uma formulacao para o caso de 2+1 dimensoes (2+1 D), com fontes magneticas,
sem a necessidade da quebra da identidade de Bianchi.
PALAVRAS-CHAVE: Eletromagnetismo; Quantizacao de Dirac; Monopo-
lo magnetico; Duplicacao de potenciais; Rotacao dual; Identidade de Bianchi.
10
PEIXOTO, B. Aspects of the electromagnetism in 3+1 and 2+1 dimen-
sions with the breaking of Bianchi Identity.
Guaratingueta, 2002, 105p. Dissertacao (Mestrado em Fisica) - Facul-
dade de Engenharia, Campus de Guaratingueta, Universidade Estadual Paulista.
Abstract
Here we have studied some aspects of the electromagnetism in 3+1 and
2+1 dimensions with the breaking of Bianchi Identity. Particularly we analyze
how to obtain the Dirac quantization condition. We give special attention to
the “two-photons” formulation for the electromagnetism according to the sever-
al approaches found in the literature. The main feature of this formulation is
the duplication of the potentials - from which we obtain the fields strengths -,
avoiding singular variables (Dirac strings) in the Classical Electrodynamics. The
introduction of a new potential does not increase the number of degrees of free-
dom. Besides this formulation allows the dual notation for the potentials what is
not possible in the usual formulation. We criticize the semi-classical quantization
condition and look for a way of obtain the Dirac quantization condition by using
the su(2) algebra of angular momentum (electromagnetic + mechanical) of the
particle of charge e interacting with a magnetic monopole.
Besides we get a formulation in 2+1 dimensions with magnetic source
without breaking the Bianchi identity. This is obtained by means of a dimensional
reduction.
Key-Words: Electromagnetism; Dirac quantization; Magnetic monopole;
Potential duplication; Dual rotation; Bianchi Identity.
Capıtulo 1
Introducao
Ha muito tempo, vem sendo estudada a questao da dualidade no eletromag-
netismo. Provavelmente, estes estudos ja vem sendo feitos desde a epoca de
Maxwell. De fato, as equacoes de Maxwell no vacuo apresentam simetrias. Pos-
suindo invariancia sob transformacao de Lorentz e sob dualidade eletromagnetica.
A invariancia de Lorentz pode ser verificada ao se escrever as equacoes de Maxwell
em funcao do tensor de intensidade de campo, que mesmo com a presenca de
fontes eletrica e magnetica, a dualidade e preservada. O que relaciona o tensor
de intensidade de campo com o seu dual e uma transformacao de dualidade, a
qual tambem pode ser implementada para as fontes.
A simetria de dualidade presente nas equacoes de Maxwell livres de fontes
[12] tem recebido bastante atencao nos ultimos anos, pois constitui um laboratorio
para entender o comportamento das solucoes e por causa de sua relacao com
as simetrias de dualidade presentes em teoria de cordas [25] e em teorias de
dimensoes espaco-temporais. Um dos objetivos principais e construir uma acao
simetrica sob dualidade e que seja manifestamente invariante de Lorentz, uma
vez que a acao de Maxwell usual, embora respeite a ultima, nao e invariante sob
a primeira. De fato, a lagrangeana que nos conduz as equacoes de Maxwell e
impar sob tal transformacao. Existem algumas maneiras de se construir acoes
que apresentam simetria de dualidade [3, 16, 20, 28, 30] sendo que algumas delas
necessitam duplicar o numero de potenciais [24], [34], [35] e outras tem como
variaveis independentes os proprios campos eletromagneticos [19], [32]. Um dos
12
nossos objetivos e a introducao de fontes para o campo eletromagnetico para duas
lagrangianas propostas na literatura e que usam os campos eletromagneticos como
variaveis independentes procurando generalizar os resultados das referencias [19]
e [32]. A tentativa de generalizar os trabalhos contidos nestas duas referencias,
se encontra no apendice B. Uma das propostas mais estudadas na literatura e
aquela de Schwarz e Sen [24] que, embora nao seja manifestamente covariante
e invariante de Poincare. Recentemente foi proposta uma versao generalizada
da acao de Schwarz-Sen que nao so inclui a extensao da simetria de dualidade,
tratando-a como um caso particular de uma simetria contınua, como tambem
promove a simetria contınua para local [31].
A introducao do monopolo magnetico aparece como uma necessidade
quando se deseja introduzir a dualidade no eletromagnetismo com fontes [12],
por outro lado a manutencao da mesma estrutura de potenciais, como e feito
usualmente no eletromagnetismo, implica em singularidades no potencial vetor.
Para evitar tais singularidades, Cabibbo e Ferrari propuseram o eletromagnetismo
com um potencial adicional [6]. Estudos da dualidade e consequencias da intro-
ducao de um potencial extra (duplicacao de potenciais) tem sido conduzidos por
Naon e colaboradores [37], [34] e por Singleton [26]. Pretendemos analisar como
esta proposta se traduziria no eletromagnetismo em 2+1 dimensoes. Embora nao
haja a simetria de dualidade em 2+1 dimensoes, podemos introduzir o monopolo
magnetico atraves da quebra da identidade de Bianchi, implicando tambem em
singularidades nos potenciais. Consequencias da quebra da identidade de Bianchi
tem sido analisadas recentemente [3], [16-18], [24], [26], [27-32].
O sistema de unidades escolhido e o de Heaviside-Lorentz.
No Capıtulo 2, apresentamos uma breve introducao ao eletromagnetismo
usual, com as equacoes de movimento da interacao partıcula-campo. Escrevemos
as equacoes de Maxwell e analisamos a invariancia dos campos sob uma transfor-
macao de calibre dos potenciais. No Capıtulo 3 faremos uma analise da condicao
de quantizacao de Dirac utilizando varias abordagens diferentes. Para a quanti-
zacao semi-classica, consideramos primeiramente a interacao entre uma partıcula
carregada eletricamente com o camo de um monopolo magnetico estacionario e
13
obtivemos, da dependencia do momento angular da partıcula com o produto das
cargas eletrica e magnetica, a condicao de quantizacao de Dirac. Em outra abor-
dagem, obtivemos a tal condicao pela interacao da partıcula eletrica com o campo
de um dipolo de Thomson, onde observamos que o momento angular do campo
eletromagnetico e dependente apenas do produto das cargas eletrica e magnetica
e nao da distancia entre elas esta abordagem esta feita no apendice D. Uma outra
abordagem foi feita para uma carga eletrica interagindo classicamente com o cam-
po magnetico de um monopolo magnetico. Aqui, partindo-se da hamiltoniana das
interacoes e da invariancia da equacao de Schrodinger sob uma transformacao de
calibre e da condicao para que a funcao de onda seja unıvoca, tiramos a condicao
de quantizacao de Dirac. No Capıtulo 4, discutimos os varios tipos de formal-
ismos de dois potenciais, em que escrevemos a condicao de quantizacao para o
momento angular, procurando por uma acao que descrevesse a eletrodinamica
usual neste formalismo. No Capıtulo 5, escrevemos sobre a condicao de quan-
tizacao utilizando um formalismo de operadores da Mecanica Quantica para a
interacao de uma partıcula de carga eletrica se movimentando em um campo ger-
ado por um monopolo magnetico. A abordagem que fizemos neste capıtulo, em
principio nao levou em consideracao a forma explicita do potencial vetor. Alem
do mais, tratamos tambem neste capıtulo, do momento angular total do sistema,
que foi importante para a obtencao da condicao de quantizacao, impondo-se uma
condicao de mınimo, conseguiu-se a posteriori, as representacoes para estes po-
tenciais, cujas formas foram do tipo do monopolo de Wu-Yang. Concluımos, no
Capıtulo 6, fazendo uma reducao de 3+1 dimensoes para 2+1 dimensoes do for-
malismo tratado ate o momento e conseguimos analisar a questao da dualidade e
do monopolo magnetico sem a necessidade de se quebrar a identidade de Bianchi.
Dissertamos tambem sobre solucoes planares para os campos e para o potencial
pseudo-escalar. Alem do mais, propusemos uma acao para o caso de 2+1 D e
escrevemos como seria a magnetodinamica neste espaco-tempo, inclusive quando
da introducao de um termo de Chern-Simons.
Capıtulo 2
Introducao ao eletromagnetismo
2.1 Acao para a partıcula livre
Nesta secao, vamos escrever uma acao para a partıcula livre, e utilizando as
equacoes de Euler-Lagrange, vamos escrever a equacao de movimento para a
partıcula.
O princıpio de Hamilton fornece as equacoes de Euler-Lagrange,
d
ds
[∂L
∂ (Uα)
]− ∂αL = 0,
em que (ds)2 = dxαdxα e o elemento infinitesimal de comprimento no espaco
quadri-dimensional.
A acao para a partıcula livre de massa m pode ser escrita em funcao do
tempo proprio τ da partıcula
S = −mc
∫ τb
τa
√UαUαdτ , (2.1)
e a integral se da ao longo da linha de universo da partıcula,
√UαUαdτ =
√dxα
dτ
dxα
dτdτ
√dxαdxα = ds
sendo que ds se relaciona com o tempo proprio da partıcula
15
ds = cdτ .
O quadri-vetor velocidade da partıcula pode ser escrito como
Uα =dxα
ds=
dxα
cdτ
assim, a acao fica sendo escrita em funcao de xα,
S = −mc
∫ b
a
√dxαdxα = −mc
∫ b
a
Uαdxα (2.2)
e a variacao da acao e tal que
δS = −mc
∫ b
a
Uαdδxα = −mcUαδxα |ba +mc
∫ b
a
δxαdUα
dτdτ (2.3)
com a variacao do caminho nos extremos δ (xα)a = δ (xα)b = 0, e tornando-a um
extremo δS = 0. Dessa forma, tem-se
mdUα
dτ= 0; m
d2xα
dτ 2= 0.
que e o esperado para o movimento de uma partıcula livre.
Mas uma partıcula se movendo em um campo eletromagnetico tambem
pode interagir com ele, e a acao agora tera duas partes. Uma referente a partıcula
livre e outra referente a interacao da partıcula com o campo. Isto sera visto na
secao seguinte.
2.2 Interacao partıcula-campo
Nesta secao e nas duas seguintes, discutiremos o eletromagnetismo usual como e
tratado na literatura [12].
Para uma partıcula movendo-se em um campo eletromagnetico, a acao
se da sob duas partes: a acao S para a partıcula livre, que e igual a(−mc
∫ b
ads
)
e mais um termo possuindo caracterısticas da partıcula e do campo, que descreve
a interacao da partıcula com o campo.
16
A carga e da partıcula interage com o campo eletromagnetico, que possui
propriedades caracterizadas por um quadri-vetor potencial Aµ, cujas componentes
sao funcoes das coordenadas e do tempo.
A acao de uma carga em um campo eletromagnetico possui a seguinte
forma:
S =
∫ b
a
(−mcds− e
cAµdxµ
). (2.4)
O quadri-vetor Aµ e decomposto em duas partes, uma parte temporal,
para µ = 0 usualmente chamada de potencial escalar φ e em uma outra parte,
para µ = 1, 2, 3 chamada de vetor potencial do campo ~A.
Aµ =(φ, ~A
). (2.5)
As equacoes de Maxwell na forma covariante podem ser escritas usando-
se o tensor de campo eletromagnetico Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, em que Fµν e seu dual∼F µν sao dois tensores covariantes de ordem dois, formados por seis quantidades
cada um. Dessa forma, as equacoes de Maxwell escritas na forma covariante
aparecem como: ∂µFµν = Jeν , assim como as equacoes homogeneas ∂µ
∼F µν= 0
A acao e descrita como
S =
∫ b
a
(−mcds +
e
c~A · d~r − eφdt
). (2.6)
Com o vetor velocidade da partıcula ~v e o tempo proprio para este ob-
jeto, e possıvel reescrever a acao para esta partıcula sobre influencia do campo
eletromagnetico.
d~r
dt= ~v e ds = cdt
(1− v2
c2
) 12
,
S =
∫ t2
t1
[−mc2
(1− v2
c2
) 12
+e
c~A · ~v − eφ
]dt (2.7)
O integrando e a lagrangiana para uma carga em um campo eletro-
magnetico:
17
L = −mc2
(1− v2
c2
) 12
+e
c~A · ~v − eφ. (2.8)
Esta funcao difere da lagrangiana para uma partıcula livre
[L = −mc2
(1− v2
c2
) 12
]
pelo termo ec~A · ~v − eφ.
Com a lagrangiana ja pronta, escreveremos a hamiltoniana H para este
sistema em questao.
A derivada ∂L∂~v
e o momento generalizado da partıcula, denotada por ~P ,
tal que:
~P =m~v
(1− v2
c2
) 12
+e
c~A = ~p +
e
c~A. (2.9)
onde ~p e o momento ordinario da partıcula, ou simplesmente seu momento.
A partir da lagrangiana (2.8) encontra-se a funcao hamiltoniana H para
uma partıcula em um campo.
H = ~v · ∂L
∂~v− L
(H− eφ
c
)2
= m2c2 +(
~P − e
c~A)2
. (2.10)
Para baixas velocidades, isto e, para a mecanica classica nao relativıstica,
a lagrangiana (2.8) reduz-se a
L =mv2
2+
e
c~A · ~v − eφ. (2.11)
Nesta aproximacao, ~p = m~v = ~P−e ~A, e encontra-se para a hamiltoniana:
H =1
2m
(~P − e
c~A)2
+ eφ, (2.12)
que e a hamiltoniana da interacao carga-campo.
Na proxima secao mostraremos a corrente escrita no espaco-tempo quadri-
dimensional, com sua parte temporal e sua parte espacial.
18
2.3 Quadri-corrente
Considerando uma distribuicao contınua de carga por todo o espaco, tem-se que
um elemento de volume dV possui uma quantidade de carga ea.
A densidade de carga ρ pode ser expressada atraves de funcoes delta δ
da seguinte forma:
ρ =∑
a
eaδ (~r − ~ra) (2.13)
onde ve-se que a densidade de carga e nula em quase todo lugar que se olhe,
mesmo somando sobre todas as cargas, exceto nos pontos em que ~r = ~ra. Tem-
se que ~ra e o raio vetor da quantidade invariante que e a carga ea. A carga e
invariante porque nao depende do sistema de referencia.
Em geral, a densidade de carga varia conforme a escolha do sistema
de referencia. Mas a carga contida no volume dV dada pelo produto, e uma
quantidade invariante. Dessa forma, tem-se que
de dxµ = ρ dV dxµ = ρ dV dtdxµ
dt. (2.14)
Como de e um escalar e dxµ e um quadri-vetor, o lado direito de (2.14)
tambem precisa ser um quadri-vetor, dessa forma, a quantidade deve ser um
quadri-vetor corrente Jµe , ja que dV dt e um escalar.
Jµe = ρ
dxµ
dt(2.15)
que pode ser separada em componentes temporal e espacial. A componente tem-
poral J0 e a propria densidade de carga, e a componente espacial ~j e o vetor
densidade de corrente ρ~v, sendo que ~v e a velocidade da carga em um dado pon-
to.
Jµe =
(cρ,~j
). (2.16)
Pode-se encontrar a carga que ocupa o espaco integrando ρ dV sobre
todo o espaco, ou
19
∫ρdV =
1
c
∫J0dV =
1
c
∫Jµ
e dSµ (2.17)
A integral e tomada sobre todo o hiperplano quadri-dimensional perpendicular
ao eixo t.
Agora, colocaremos uma carga na presenca de um campo, e estudaremos
como as equacoes de movimento para este sistema carga-campo sao escritas.
2.4 Equacoes de movimento de uma carga em
um campo
Uma carga localizada em um campo esta sujeita a acao de uma forca exercida
pelo campo e tambem ela interage com o campo alterando-o. A carga e pode
ser pequena o suficiente para nao afetar o campo, dessa forma, sua acao sobre
o campo pode ser desprezada. Nesse caso, quando se considera o movimento
da carga em um dado campo, e possıvel supor que o campo nao depende das
coordenadas ou da velocidade da carga.
A variacao da acao permite encontrar as equacoes de movimento. Das
equacoes de Lagrange
d
dt
(∂L
∂~v
)=
∂L
∂~r, (2.18)
onde L = −mc2(1− v2
c2
) 12+ e
c~A·~v−eφ, ∂L
∂~ve o momento generalizado da partıcula
e
∂L
∂~r= ~∇L =
e
c~∇
(~A · ~v
)− e~∇φ
Aplicando a formula da analise vetorial para ~∇(
~A · ~v)
, encontra-se
∂L
∂~r=
e
c
(~v · ~∇
)~A +
e
c~v × ~∇× ~A− e~∇φ.
Dessa forma, a equacao de Euler-Lagrange toma a forma:
d
dt
(~p +
e
c~A)
=e
c
(~v · ~∇
)~A +
e
c~v × ~∇× ~A− e~∇φ, (2.19)
20
mas a diferencial total d ~Adt
dt consiste de duas partes: ∂ ~A∂t
dt do potencial vetor
com o tempo em um ponto fixo no espaco e a carga devido ao movimento de um
ponto no espaco para outro em uma distancia d~r. Esta segunda parte e igual a(d~r · ~∇
)~A.
d ~A
dt=
∂ ~A
∂t+
(~v · ~∇
)~A.
Substituindo na derivada do momento
d~p
dt= −e
c
∂ ~A
∂t− e~∇ φ +
e
c~v ×
(~∇× ~A
). (2.20)
Esta equacao descreve o movimento de uma partıcula sob a acao de um
campo eletromagnetico. Ela mostra a taxa de variacao do momento da partıcula
com o tempo, e que em um campo eletromagnetico, a carga esta sob a acao
de uma forca composta de duas quantidades independentes da velocidade da
partıcula, uma chamada de intensidade de campo eletrico ~E e de uma quantidade
que depende da velocidade da partıcula, sendo perpendicular a ela, denotada de
intensidade de campo magnetico ~B.
~E = −1
c
∂ ~A
∂t− ~∇ φe; (2.21)
~B = ~∇× ~A. (2.22)
Um campo eletromagnetico e em geral uma superposicao dos campos
eletrico e magnetico podendo ser do tipo eletrico ou do tipo magnetico, se respec-
tivamente, ~B = ~0 ou ~E = ~0.
Escrita em funcao dos campos eletrico e magnetico, a equacao de movi-
mento fornece uma expressao chamada de forca de Lorentz:
d~p
dt= e ~E +
e
c~v × ~B. (2.23)
A forca que o campo eletrico exerce sobre a carga e independente da
velocidade da carga tendo a direcao do campo eletrico e a forca exercida pelo
21
campo magnetico sobre a carga e proporcional a velocidade e perpendicular em
relacao a velocidade e ao campo magnetico.
Para velocidades baixas comparadas com a velocidade de propagacao da
luz no vacuo, o momento da partıcula tende para a expressao nao relativıstica
m~v e a equacao de movimento (2.9) se torna
md~v
dt= e
(~E +
~v
c× ~B
). (2.24)
Ao achar a variacao da energia cinetica K da partıcula com relacao ao
tempo, encontra-se uma igualdade
dK
dt= ~v · d~P
dt,
a qual pode ser escrita como
dK
dt=
d
dt
m
(1− v2
c2
) 12
.
Sendo o momento ordinario da partıcula, denotada por ~p
~p =m~v
(1− v2
c2
) 12
(2.25)
~v · d~p
dt=
m(1− v2
c2
) 32
~v · d~v
dt. (2.26)
Portanto, tem-se a igualdade dKdt
= ~v · d~pdt
.
Trocando d~pdt
de (2.23) e lembrando que(~v × ~B
)· ~v = 0, tem-se que
dK
dt= e ~E · ~v. (2.27)
A variacao da energia cinetica com o tempo, descrita como uma funcao
do produto da velocidade da partıcula pela forca eletrica, e o trabalho realizado
pelo campo eletrico sobre a partıcula a cada instante de tempo. E durante um
certo deslocamento d~r da carga, este trabalho e dado por e ~E · d~r. O trabalho
realizado sobre a carga se da em funcao da acao do campo eletrico sobre a carga
22
e nao da acao do campo magnetico em uma carga em movimento, pois a forca
que o campo magnetico atua sobre a carga e perpendicular a velocidade da carga.
A seguir, escreveremos as equacoes de Maxwell para o eletromagnetismo
usual.
2.5 Equacoes de Maxwell
As equacoes usuais para os campos do eletromagnetismo classico possuem duas
equacoes nao homogeneas dadas por1:
~∇ · ~E = ρe, ~∇× ~B =∂ ~E
∂t+ ~Je, (2.28)
e duas equacoes homogeneas
~∇ · ~B = 0, ~∇× ~E +∂ ~B
∂t= 0. (2.29)
As equacoes de campo para o vacuo, em que ρe = 0 e→J e= 0, evidenciam
uma simetria ao se fazer a transformacao dual de ~E → ~B e ~B → − ~E, em que
as duas equacoes de cima (2.28) se transformam nas duas de baixo (2.29) e vice-
versa. Este tipo de simetria se chama simetria dual do eletromagnetismo.
Os campos eletrico e magnetico podem ser escritos em funcao dos poten-
ciais(φe, ~A
), sendo dados pelas equacoes (2.21) e (2.22), devido a divergencia do
rotacional e do rotacional do gradiente serem iguais a zero.
A fonte obedece a uma equacao da conservacao, conhecida como equacao
da continuidade:
∂ρe
∂t+ ~∇. ~Je = 0. (2.30)
A equacao da conservacao da corrente pode ser escrita como:
∂µJµe = 0 (2.31)
onde Jµe e dado por (2.16).
1( A partir desta secao fazemos c = 1.)
23
Para escrever as equacoes de Maxwell, tem-se o tensor de campo eletro-
magnetico
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.
e seu dual Fµν .
Fµν =1
2εµνρσF
ρσ
onde εµνρσ e o tensor antissimetrico de ordem quatro, com εµνρσ = −εµνρσ.
εµνρσ =
+1 para µ = 0, ν = 1, ρ = 2, σ = 3,
e qualquer permutacao par
−1 para qualquer permutacao ımpar
0 se dois ındices forem iguais
O tensor εµνρσ e um pseudo tensor sob inversoes espaciais. O tensor de intensi-
dades de campo F µν e seu dual Fµν sao definidos como
F µν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
; (2.32)
e o dual
Fµν =
0 −Bx −By −Bz
Bx 0 Ez −Ey
By −Ez 0 Ex
Bz Ey Bx 0
. (2.33)
Podemos derivar as equacoes de Maxwell escrevendo a densidade de la-
grangiana
L = −1
4FµνF
µν =1
2
(~E2 − ~B2
). (2.34)
E possıvel mostrar que a hamiltoniana para o campo magnetico livre,
sendo a soma da energia eletrica e magnetica e dada por
H =1
2
(~E2 + ~B2
). (2.35)
24
As equacoes de Maxwell escritas na forma covariante sao derivadas de:
∂µFµν = Jeν (2.36)
de onde se tiram as equacoes (2.28) .
assim como de
∂µFµν = 0, (2.37)
se tiram as equacoes homogeneas (2.29) .
Finalizando este capıtulo, e possıvel mostrar, entretanto que recuperamos
a simetria dual se introduzimos fontes magneticas [3].
~∇ · ~E = ρe
~∇ · ~B = ρm
~∇× ~B = ∂ ~E∂t
+→J e
~∇× ~E = −∂ ~B∂t− →
Jm
. (2.38)
As densidades magneticas e eletricas obedecem a equacao da continuidade,
ou seja (2.30) e
∂ρm
∂t= −~∇· →Jm (2.39)
Assim, as equacoes de Maxwell com fontes (2.38) sao invariantes sob as
rotacoes duais:
~E → ~E cos θ + ~Bsenθ
~B → − ~Esenθ + ~B cos θ(2.40)
ρe → ρe cos θ + ρmsenθ
ρm → −ρesenθ + ρm cos θ(2.41)
→J e→
→J e cos θ+
→Jm senθ
→Jm→ − →
J e senθ+→Jm cos θ
, (2.42)
neste caso, nao ha como implementar a rotacao dual para os potenciais(φe, ~A
).
25
Os campos ~E e ~B diferem entre si por uma inversao espacial ou transfor-
macao de paridade (~r → −~r) , sendo vetores:(
~E, ~Je
); pseudo-vetores
(~B, ~Jm
);
escalar ρe e pseudo-escalar ρm. Para θ = −π2
:
~E → − ~B; ~B → ~E; ρe → −ρm;
ρm → ρe; ~Je → − ~Jm; ~Jm → ~Je.
Escrevendo as equacoes na forma covariante, define-se Eµ = F 0µ; Jµe =(
ρ, ~J)
; Jµm =
(ρm, ~Jm
), dessa forma, as equacoes de Maxwell ficam sendo
∂µFµν = Jν (2.43)
∂µ
∼F
µν
= Jνm. (2.44)
A densidade de lagrangiana (2.34) nao e invariante sob transformacao
de dualidade, mas a hamiltoniana (2.35) sim. Ha varias tentativas de se con-
struir uma acao para o eletromagnetismo que seja invariante sob transformacao
de dualidade e que forneca tanto as equacoes para os campos quanto para as
partıculas.
A forca de Lorentz para uma partıcula eletrica carregada sob acao de um
campo externo e dada em funcao dos campos, das cargas e da velocidade como
se ve na equacao (2.24)
Com a transformacao dual, e possıvel obter a forca de Lorentz para a
partıcula magnetica carregada g, de massa M, sob acao de um campo externo
dado por [26]
M·→u= g
(~B− →
u × ~E)
(2.45)
Na forma covariante, as equacoes (2.24) e (2.45) , sendo vν a quadri-
velocidade da carga e e sendo uν a quadri-velocidade da carga g, sao respectiva-
mente
26
m·v
µ= eF µνvν (2.46)
M uµ = g∼F
µν
uν (2.47)
nas quais o ponto se refere a diferencial com respeito ao tempo proprio. Quando
as cargas e e g atuam como fontes de um campo, fica evidenciada a conexao entre
as equacoes para as partıculas e as equacoes para os campos assim como Rohrlich
apresenta em seu trabalho [8].
Fizemos algumas tentativas de inserir fontes em lagrangianas escritas em
funcao dos campos eletrico e magnetico, sem muito sucesso, pois numa tentativa
perdemos as duas leis de Gauss com fontes, noutra tentativa, tınhamos uma
densidade de lagrangiana que era invariante sob transformacao de calibre, mas nao
fornecia as equacoes de campo corretamente e numa terceira tentativa, seguindo
a sugestao de Sudbery [19], conseguimos uma lagrangiana que fornecesse as equac
oes de Maxwell corretamente, mas com quebra da identidade de Bianchi. Estas
tentativas estao comentadas no Apendice B.
Mas ao se introduzir as cargas magneticas, surgem quantidades mal
definidas. O potencial vetor ~A devera possuir algum tipo de singularidade. Pois se
analisarmos o fluxo magnetico atraves de uma esfera S2 que contorna o monopo-
lo com carga magnetica g, teremos∫
S2~B.d~S =
∫S2
(~∇× ~A
).d~S = 0, embora,
devido ao monopolo, tenhamos fluxo igual a 4πg.
Desta forma, a acao para o eletromagnetismo usual e dada por
S = −∫ [
1
4FµνF
µν + m√
gαβuαuβ + euαAα
]ds (2.48)
sendo uα a quadri-velocidade da carga e m sua massa.
A seguir, veremos que os campos eletrico (2.21) e magnetico (2.22) per-
manecem invariantes ao se fazer uma transformacao nos potenciais φ e ~A.
27
2.6 Transformacao de calibre
Dados os potenciais escalar φ e vetor ~A, estes determinam de forma unıvoca os
campos eletrico ~E e magnetico ~B dados por (2.21) e (2.22). Isto e mostrado ao
se acrescentar para cada componente do potencial a quantidade − ∂χ∂xµ em que χ
e uma funcao arbitraria das coordenadas espaciais e do tempo. Dessa forma, o
potencial Aµ se transforma como
A′µ = Aµ − ∂χ
∂xµ. (2.49)
Como consequencia desta mudanca, aparececra na integral da acao (2.4) mais um
termo escrito como
e∂χ
dxµdxµ = d(eχ). (2.50)
Esta e uma diferencial total e nao faz efeito sobre as equacoes de movimento.
Escrevendo (2.49) na forma
~A′ = ~A + ~∇ χ e φ′ = φ− ∂χ
∂t, (2.51)
ve-se que os campos eletrico e magnetico determinados pelas equacoes (2.21) e
(2.22) permanecen invariantes ao se trocar φ e ~A, por φ′ e ~A′, definidos por (2.51).
Dessa forma, os campos nao sao alterados pela transformacao dos potenciais, e
os potenciais nao sao definidos de forma unıvoca.
O potencial ~A de (2.51) difere de ~A′ por uma transformacao de cali-
bre, assim como o potencial φ de (2.51) difere de φ′ por uma transformacao de
calibre. As quantidades que possuem significado fısico sao invariantes sob esta
transformacao dos potenciais, e essa invariancia e chamada de invarianca de cal-
ibre. Como χ e uma funcao arbitraria, e possıvel escolher potenciais φ = 0, ou
~A = 0.
No capıtulo seguinte, escreveremos algumas formas para estes potenciais
e usaremos argumentos semi-classicos para mostrar a quantizacao de Dirac.
Capıtulo 3
Algumas formas para os
potenciais e quantizacao
semi-classica
Neste capıtulo e feito um estudo de algumas formas de solucao para os potenci-
ais, tanto do potencial vetor magnetico usual com sua singularidade, quanto do
potencial escalar eletrico e das solucoes tipo Wu-Yang e Schwinger. Estuda-se
tambem a condicao de quantizacao classica do tipo Dirac.
Em princıpio, parte-se da interacao entre uma carga eletrica e um campo
magnetico gerado por um monopolo magnetico.
3.1 Formas de potenciais
3.1.1 Singularidade do potencial vetor
O monopolo de Dirac pode ser expresso como uma generalizacao do monopo-
lo eletrico. Por analogia, a forma do campo eletrico ~E = e ~rr3 de uma carga
eletrica pontual pode ser generalizado para o campo magnetico de um monopolo
magnetico pontual:
~B = g~r
r3(3.1)
29
Da mesma forma que o campo eletrico, o campo magnetico e radial e
possui a forma da lei de Coulomb. O campo pode ser escrito em funcao de um
gradiente: ~B = −g~∇ (1r
). Como o laplaciano da funcao 1
rpode ser escrito em
funcao de uma delta expressa por −e δ3 (~r) tem-se que as equacoes de Maxwell
podem ser generalizadas a fim de se incluir um divergente do campo magnetico:
~∇. ~E = eδ3 (~r)
~∇. ~B = gδ3 (~r)
(3.2)
correspondendo a cargas eletricas e magneticas pontuais. Assim como o fluxo do
campo eletrico, uma vez que o campo magnetico seja radial, o fluxo magnetico
total atravessando uma casca esferica que contorna a origem e igual a g.
Figura˜3.1: Fluxo magnetico atraves de uma area hachurada
Havera uma contradicao ao se expressar os campos em funcao dos po-
tenciais.
~E = −~∇φ,
~B = ~∇× ~A
. (3.3)
Usualmente o campo magnetico pode ser escrito em funcao do rotacional
do potencial vetor devido a nao existencia de fontes, sendo assim ~∇.~∇× ~A = 0.
E possıvel evitar essa identidade se houver uma funcao delta com um
tipo de singularidade no campo ~A. Para visualizar esta situacao, presume–se
uma casca esferica que contorna o ponto do monopolo (figura (3.1)). Em sua
parte superior, ha um pequeno cırculo centrado em torno do polo norte. O fluxo
do campo magnetico atraves desta superfıcie:
30
∫~B.d~S =
∮~A.d~l. (3.4)
e tal que a sua variacao nessa superfıcie se da de acordo com a variacao do
angulo θ representado na referida figura. Como Φ (r, θ) para r > 0, e igual ao
fluxo magnetico atraves de uma superfıcie esferica, area hachurada da figura
(3.1), contornada por uma curva, ou seja, Φ (r, θ) = 124πg(1 − cos θ). Para θ =
0, Φ (r, 0) = 0. A medida em que o angulo θ vai aumentando, o fluxo que atravessa
a superfıcie hachurada tambem vai aumentando, ate que para θ = π, Φ (r, π) =
4πg. Mas, para θ = π, o contorno retoma novamente a forma de um ponto.
Contudo, Φ (r, π) = 0.
Resultando assim na exigencia de vınculos finitos relacionados ao fluxo
Φ (r, θ) . Com essas consideracoes, o potencial vetor ~A e singular em θ = π.
Figura˜3.2: Corda de Dirac
Portanto, uma singularidade nao fısica se estende abaixo do polo sul a
partir da origem chamada de corda de Dirac. O mesmo argumento pode ser usado
para a escolha de θ = 0, e a singularidade se extendendo acima do polo norte
(figura (3.2)).
Pode-se tentar escrever uma funcao para o potencial vetor de tal forma
que ela tenha singularidade em −z.
Ax = g −yr(r+z)
Ay = g xr(r+z)
Az = 0
. (3.5)
31
Em coordenadas esfericas, as componentes do potencial vetor podem ser
escritas como
Ar = 0
Aθ = 0
Aφ = ±g 1∓cos θr senθ
(3.6)
A Figura (3.3) representa uma regiao de contorno do monopolo de Wu-
Yang [14]. Considere um monopolo magnetico estatico de intensidade g 6= 0 na
origem ~r = 0 e a regiao R do espaco-tempo em consideracao sendo todo espaco-
tempo menos a origem ~r = 0. Dividamos R em duas regioes de contorno R+,
representando a regiao norte e R− representando a regiao sul. Desta forma e
possıvel definir ~A+ e ~A−, cada um livre de singularidades em suas regioes re-
spectivas, tal que seus rotacionais sao iguais ao campo magnetico, e que estao
relacionados por uma transformacao de calibre na regiao de contorno. As regioes
de contorno podem ser:
R+ : 0 ≤ θ <π
2 + δr > 0, 0 ≤ φ < 2π, ∀ t (3.7)
R− :π
2− δ< θ ≤ π r > 0, 0 ≤ φ < 2π, ∀ t (3.8)
sendo que a regiao de contorno se extende por π2−δ
< θ < π2+δ
. Assumindo que
0 < δ ≤ π2.
Incluindo os dois semi-hemisferios tem-se que
~A+ (~r) = g1− cos θ
r senθeφ; ~A− (~r) = −g
1 + cos θ
r senθeφ (3.9)
sendo compatıvel com o ~B da equacao (3.1) pois ~∇× ~A+ = g ~rr3 em toda regiao
menos para θ = π onde ~A+ e singular, e ~∇× ~A− = g ~rr3 em toda regiao menos para
θ = 0 onde ~A− e singular . A casca esferica possui duas regioes de contorno, que
em parte se sobrepoem (figura (3.3)) [14], sendo que uma exclui o polo norte e a
outra o polo sul, conforme a escolha para a corda de Dirac.
De tal forma que o potencial vetor ~A possa obedecer a relacao ~B = ~∇× ~A.
Assim tem-se que ~∇ × ~A+ = ~B em toda parte, exceto no eixo z negativo onde
32
Figura˜3.3: Regioes de contorno do monopolo
θ = π e portanto ~A+ e singular. Da mesma forma, tem-se que ~∇× ~A− = ~B em
toda parte, exceto no eixo z positivo onde θ = 0 e portanto ~A− e singular.
Portanto, espera-se que ~∇×(
~A+ − ~A−)
= 0, pois deve haver uma funcao
χ tal que ~A+− ~A− = ~∇χ. Mas o complemento do eixo z nao possui uma conexao
simples, e χ precisa ser definido localmente. Considerando θ = π2, e fazendo a
subtracao
~A+ − ~A− = ~∇ (2gφ) = ~∇χ (3.10)
Note que desde que φ seja um angulo, a funcao χ nao e contınua, pois
se ela fosse contınua, nao haveria fluxo. De fato, se f denota a esfera unitaria no
R3, com f± os hemisferios superior e inferior respectivamente e Eq o equador, o
fluxo pode ser dado por
∫
f
~B.d~S =
∫
f+
(~∇× ~A+
).d~S +
∫
f−
(~∇× ~A−
).d~S
=
∫
Eq
~A+.d~l −∫
Eq
~A−.d~l =
∫
Eq
~∇χ.d~l = 4πg.
Na sub-secao seguinte, tendo em mente a questao da singularidade do
potencial vetor tratada nesta secao, vamos abordar a corda de Dirac e escrever a
razao dela nao ser um observavel fısico.
33
3.1.2 A corda de Dirac
Imagina-se a carga magnetica g estando no fim de uma linha de dipolos ou de
um solenoide de espiras delgadas infinitas. O vetor potencial elementar d ~A para
um elemento de dipolo magnetico d ~M em ~x′ e
d ~A(~x) = −d ~M×~∇(
1
|~x−~x′|)
(3.11)
Para uma linha de dipolos ou solenoide cuja loclizacao e dada pela corda L o
vetor potencial e
~AL(~x) = −g
∫
L
d ~l×~∇(
1
|~x−~x′|)
(3.12)
Exceto sobre a corda, esse vetor potencial possui um rotacional dirigido radial-
mente para fora no final da corda, varia com o inverso do quadrado da distancia,
com fluxo total da ordem de g, como ja esperado para o campo ~B do monopolo
g. Na corda, o vetor potencial e singular. Esse comportamento singular e equi-
valente a um campo ~B′ dentro do solenoide e ocasionando uma contribuicao de
retorno de fluxo (−g) ao longo da corda para cancelar o fluxo do polo para fora.
Figura˜3.4: Representacoes de um monopolo. O primeiro como uma linha de
dipolos e o segundo como um solenoide.
Para exibir o campo de um monopolo, escreve-se
~Bmonopolo = ~∇ × ~A − ~B′
sendo que ~B′ existe apenas sobre a corda (ou dentro do solenoide).
34
Dirac sustentava que para descrever a interacao do eletron com o monopo-
lo magnetico, era obrigatorio que o eletron nunca visse o campo ~B′ singular. A
funcao de onda vai a zero ao longo da corda.
Os observaveis fısicos nao podem depender da posicao da corda. A escolha
de posicoes diferentes para a corda, equivalem a diferentes escolhas de calibre
na equacao de Schrodinger e da estimativa da funcao de onda, implicando na
condicao de quantizacao. Considerando duas cordas diferentes L e L′, como
mostrado na figura (3.5). A diferenca dos dois vetores potenciais e dado por
(3.12) com a integral tomada ao longo do caminho fechado C = L′ −L em torno
da area S.
~AL − ~AL′ = −g
[∫
L
d ~l′×~∇(
1
|~x−~x′|)−
∫
L′d ~l′×~∇
(1
|~x−~x′|)]
que fornecera
= −g
∮
C
d ~l′×~∇(
1
|~x−~x′|)
em que C e o contorno de L + L′, resultando em
= −g
∮
C
d ~l′×(
~x−~x′
|~x−~x′|3)
. (3.13)
Esta integral, nao e exatamente, mas possui a forma de um gradiente de angulo
solido formado pelo elemento de area dS de uma curva fechada C contornando a
superfıcie S:
~∇ΩC =
∫d~l × ~r
r3.
Assim,
~AL′(~x) = ~AL (~x) +g~∇ΩC (~x) (3.14)
onde ΩC e o angulo solido compreendido pelo contorno C no ponto de observacao
~x.
Assim comparando com a transformacao de calibre vemos que a variacao
da corda L da equacao (2.51) para L′ e equivalente a uma transformacao de
calibre com χ = g ΩC .
35
Figura˜3.5: Duas cordas diferentes L e L ’, fornecendo potenciais vetores diferindo
por uma transformacao de calibre.
Nesta secao, vimos algumas formas de potenciais, a corda de Dirac e
transformacao de calibre dos potenciais. Agora, vamos abordar a quantizacao
semi-classica para o nosso formalismo.
3.2 Quantizacao semi-classica
3.2.1 Analise da condicao de quantizacao de Dirac
Nesta parte, sao utilizadas consideracoes semiclassicas para analisar a condicao
de quantizacao de Dirac dada na literatura [12]. Considera-se a deflexao de uma
partıcula pelo campo de um monopolo magnetico estacionario de carga magnetica
g (figura (3.6)). Para um parametro de impacto grande, a variacao do estado
do movimento da partıcula carregada pode ser determinada atraves da forca
de impulso. A partıcula incide paralelamente ao eixo z com um parametro de
impacto b a uma velocidade v e esta sob acao do campo magnetico do monopolo
dado pela equacao (3.1) de acordo com a forca de Lorentz (2.24), para ~E = 0.
Na aproximacao da partıcula, a forca atuando sobre a partıcula possui apenas a
componente y, dada por
Fy = evBx = egvb
(b2 + v2t2)32
. (3.15)
Considerando a deflexao instantanea de uma carga eletrica por um monopolo
muito pesado situado na origem,
36
Figura˜3.6: Carga e passando por um monopolo magnetico g.
o impulso 4py transmitido pela forca Fy e dado por
4py = egvb
∫ ∞
−∞
dt
(b2 + v2t2)32
=2eg
b. (3.16)
Como o impulso e na direcao do eixo y, a partıcula e defletida para fora do
plano da (figura (3.6)). Na deflexao, o momento angular da partıcula e alterado,
ficando independente do parametro de impacto b e da velocidade v da partıcula
carregada
4Lz = b4py = 2eg (3.17)
o momento angular da partıcula depende apenas do produto eg, sendo um valor
universal para uma partıcula carregada passando por um monopolo estacionario.
Supondo que o momento angular e quantizado em multiplos inteiros de ~, tem-se
a condicao de quantizacao de Dirac [3] 2eg = n~, ou
eg = n(~/2). (3.18)
Em uma outra abordagem, usamos o momento angular do campo eletro-
magnetico de um dipolo de Thomson [12] que e formado por um monopolo
magnetico e por uma carga eletrica. Se o monopolo g e localizado em ~x = ~R
e a carga e em ~x = ~0, como na figura (3.7), os campos eletrico e magnetico em
todo o espaco sao
37
Figura˜3.7: Dipolo de Thomson (cargas eletrica e e magnetica g em repouso).
~B = g~n′
r′2(3.19)
~E = e~n
r2(3.20)
em que r′ =∣∣∣~x−~R
∣∣∣ , r = |~x|, ~n′ e o vetor unitario na direcao de ~x−~R, e ~n e o
vetor unitario na direcao de ~x.
O momento angular e dado pela integral
~Lem =
∫~x×
(~E× ~B
)d3x (3.21)
Fazendo a substituicao do campo eletrico da equacao (3.20) e da propriedade da
identidade vetorial, pode-se asim expressar a funcao ~Lem como sendo
~Lem = −e
∫ (~B·~∇
)~nd3x
Integrando por partes,
~Lem = −e
∫~n
(~∇· ~B
)d3x− e
∫
s
~n(
~B·~ns
)da
onde a segunda integral e sobre uma superfıcie S no infinito e ~ns e a normal exte-
rior aquela superfıcie. Tomando ~B da equacao (3.19), esta integral de superfıcie
se reduz a g∫
~ndΩ = 0, desde que ~n tenha direcao radial e valor medio angular
zero. Desde que ~B seja causado por um monopolo pontual localizado em ~x=~r,
seu divergente sera ~∇· ~B=g δ(~x−~R
). Portanto, o momento angular do campo e
38
~Lem = −eg~R∣∣∣~R∣∣∣, (3.22)
que e a solucao encontrada por Thomson [1]. A direcao e da linha que vai da carga
eletrica para a carga magnetica, com magnitude igual ao produto das cargas.
Este resultado e usado para tirar a condicao de quantizacao de Dirac
entre cargas eletrica e magnetica por argumentos semi-classicos. Requerendo que
o momento angular do campo na equacao (3.22) seja um multiplo inteiro de ~/2,
tira-se a condicao de quantizacao de Dirac
eg = n(~/2). (3.23)
o fato de ter n/2 ao inves de n e devido a se considerar apenas o momento angular
do campo e a necessidade de se postular quantizacao n/2 de ~Lem este argumento
foi usado por Saha [2] e Wilson [4] para derivar a condicao de quantizacao de
Dirac.
Outro ponto importante a ser visto na equacao (3.22) e que o momento
angular do campo depende das cargas e e g mas nao da distancia entre elas.
Ate agora escrevemos a condicao de quantizacao de Dirac a partir de
uma carga eletrica que passa pelo campo de um monopolo magnetico estatico
e do campo eletromagnetico de um dipolo tipo Thomson. Em uma outra abor-
dagem, vamos derivar a relacao da condicao de quantizacao de Dirac [3] para uma
partıcula de carga eletrica e interagindo classicamente com o campo magnetico
de um monopolo g.
Partimos da hamiltoniana das interacoes H, equacao (2.12) em que φe
e ~A sao os potenciais escalar e vetor das fontes externas.
E bem sabido na mecanica quantica, que uma variacao de calibre do
potencial eletromagnetico, faz com que a forma da equacao de Schrodinger seja
invariante se a funcao de onda e transformada de acordo com
ψ → ψ′ = ψeieχ/~
− ~2
2m~∇2
ψ = i~∂ψ
∂t
39
em que e e a carga da partıcula e χ e a funcao de calibre. Uma mudanca na
localizacao da corda de L para L′ (figura (3.5)), necessita ser acompanhada por
uma modificacao da fase da funcao de onda do eletron,
ψ → ψ′ = ψeiegΩC/~ (3.24)
as funcoes de onda ψ e ψ′ sao monovalentes, mas se fazemos uma rotacaocompleta
da carga, o angulo solido ΩC varia de 4π, como queremos a funcao de onda
monovalente, devemos tereg∆ΩC
~= n2π
como ∆ΩC = 4π, temos
eg =n~2
, (n = 0,±1,±2,±3, ...) (3.25)
que e a condicao de quantizacao de Dirac. Ela vem da necessidade geral da
invariancia de calibre e da estimativa da funcao de onda, independente da local-
izacao da corda do monopolo.
A condicao de quantizacao de Dirac tem a seginte imperpretacao fısica:
Classicamente, nao ha muita diferenca entre um monopolo magnetico e
um solenoide muito longo e fino. O campo dentro do solenoide e diferente, mas
no limite em que o solenoide se torna infinitamente longo e infinitamente fino,
de tal forma que dentro do solenoide nao seja possıvel realizar um experimento
classico, o campo no final do solenoide e indistinguıvel do campo de um monopolo
magnetico.
Quanticamente, pode-se a princıpio detectar o solenoide por um modelo
de interferencia quantica predita pelo efeito Aharanov-Bohm. A condicao para a
ausencia da interferencia e a condicao de quantizacao de Dirac.
Ate aqui, estudamos alguns aspectos do eletromagnetismo classico, es-
crevemos as equacoes de Maxwell, vimos que podemos escrever algumas formas
para os potenciais que descrevem os campos, a questao da singularidade do vetor
potencial. Estudamos tambem algumas abordagens para a quantizacao semi-
classica. Agora vamos introduzir em nossa formulacao um segundo potencial e
40
descrever o eletromagnetismo e as novas implicacoes deste formalismo.
Capıtulo 4
Formulacoes com dois potenciais
Neste capıtulo, vamos inserir um novo potencial no eletromagnetismo usual de-
scrito nos capıtulos anteriores. Esta formulacao com dois potenciais possui a
vantagem sobre a abordagem usual de nao se necessitar trabalhar com o conceito
da corda de Dirac. Tambem e possıvel estabelecermos a covariancia de Lorentz e
a simetria de dualidade su(2) da teoria classica de campos para cargas eletrica e
magnetica.
Varios autores trabalharam com este tipo de formulacao, introduzido por
Cabibbo e Ferrari [6], que mostraram que a introducao de um segundo potencial
nao altera o numero de graus de libedade, ou de variaveis independentes que
descreve o campo livre devido as transformacoes da calibre extras misturadas.
O potencial adicional implica em uma compensacao dos graus de liberdade pelo
aumento do grupo de transformacoes de calibre. Nao demonstraremos aqui que
o segundo potencial nao aumenta o numero de graus de liberdade, nem este
calculo encontra-se explıcito na literatura. A duplicacao de potenciais tambem e
estudada por Li, Naon e colaboradores [37], [34], que tratam de uma formulacao
dual classica. Mignaco e Galvao, em seus trabalhos [35], [30] abordam a simetria
de dualidade de Heaviside, encontrando uma hamiltoniana canonica para seu
sistema. Outro pesquisador que trabalhou com este formalismo foi Singleton [26],
que simplifica o tratamento de cargas eletricas e magneticas, tratando-as como
cargas de calibre. Tambem ha os trabalhos de Rorlich [8] que obteve equacoes
de campo e de partıculas pela teoria classica de monopolos magneticos, Mello-
42
Carneiro-Nemes [27], que formulam uma lagrangiana nao-local que fornece as
equacoes locais para a eletrodinamica dual.
4.1 Eletromagnetismo com carga magnetica e
dois potenciais
Esta secao consiste de uma revisao do trabalho de Dirac, tratado primeiramente
por Cabibbo-Ferrari [6]. E feito um estudo da simetria das equacoes de Maxwell
apos a adicao de cargas e correntes magneticas. Essa simetria, como foi vista na
secao (2.4), relacionando cargas eletricas e magneticas e chamada de simetria de
dualidade do eletromagnetismo.
Os objetivos desta secao sao, a partir do trabalho de revisao feito por
Singleton [26], onde e abordado o problema de dois fotons no eletromagnetismo,
apresentar um formalismo para o foton dual e a lagrangiana covariante do eletro-
magnetismo com carga magnetica, expor as equacoes da forca de Lorentz e o
tensor de energia-momento, e subsequentes condicoes de quantizacao do momen-
to angular.
A tecnica utilizada neste estudo e a da duplicacao de potenciais tratado
por varios autores [24], [26], [37] e [35] para os campos ~E e ~B, evitando a utilizacao
de variaveis singulares nao locais (cordas de Dirac), na eletrodinamica classica,
examinando as simetrias no tratamento de cargas eletrica e magnetica.
Dessa forma, as equacoes de campo, em funcao dos dois potenciais, po-
dem ser derivadas da lagrangiana encontrada; as equacoes de Lorentz podem ser
obtidas a partir da quadri-divergencia do tensor de energia-momento, proveniente
de uma lagrangiana modificada.
Discutimos o monopolo de Dirac, a questao da duplicacao de potenciais
para se evitar a singularidade do potencial vetor ao se introduzir fonte de cargas
magneticas nas equacoes de Maxwell e uma analise da condicao de quantizacao
da carga no eletromagnetismo classico. Com a introducao das cargas eletrica e
magnetica, as equacoes de Maxwell se tornam mais simetricas.
Introduzindo dois potenciais quadrivetores : Aµ =(φe, ~A
)e Cµ =
43
(φm,
→C
)e redefine-se o tensor de intensidade de campo como
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − εµναβ∂αCβ, (4.1)
e o seu dual
Fµν =1
2εµναβFαβ.
Note que neste caso, a rotacao dual tambem pode ser introduzida para os poten-
ciais
Aµ → Aµ cos θ + Cµsenθ (4.2)
Cµ → −Aµsenθ + Cµ cos θ, (4.3)
que e compatıvel com a rotacao. O mesmo procedimento pode ser feito para as
cargas e para as correntes.
Espressando as novas definicoes para os campos em funcao destes novos
potenciais
~E = −~∇φe −∂ ~A
∂t− ~∇× →
C, (4.4)
~B = −~∇φm −∂→C
∂t+ ~∇× ~A. (4.5)
Note que φm se comporta como um pseudo-escalar e→C e um pseudo-vetor.
A tecnica de duplicacao de potenciais de Cabibbo e Ferrari [6], permite
a eliminacao da singularidade nos potenciais. E Fµν dado por ( 4.1) e invariante
sob as transformacoes
Aµ → Aµ + ∂µΛ (4.6)
Cµ → Cµ + ∂µΓ (4.7)
Aµ → Aµ + A′µ (4.8)
44
Cµ → Cµ + C ′µ (4.9)
tal que seja respeitada a seguinte condicao
∂µA′ν − ∂νA
′µ − εµναβ∂αCβ′ = 0. (4.10)
Cabibbo e Ferrari mencionam que a introducao destes campos extras Cµ
de fato nao leva a um aumento no numero de graus de liberdade independentes.
Analisando os campos livres em termos de fotons ainda teremos dois fotons para
cada valor do momento linear. A funcao de onda de um dado foton dependera
do calibre adotado [6]. Mas de fato ainda falta, ate onde vimos um tratamento
formal da quantizacao do campo eletromagnetico desdta formulacao e que mostre
os graus de liberdade resultante fisicos.
Empregando a condicao do calibre de Lorentz (∂µAµ = ∂µC
µ = 0) para
os potenciais, entao tem-se que
∂µ∂µAν = Jν
e (4.11)
e que
∂µ∂µCν = Jν
m (4.12)
Nesta aproximacao para carga magnetica, Aµ se transforma como um
quadri-vetor e Cµ como um pseudo quadri-vetor [26].
A densidade da lagrangiana em questao, que fornece (4.11) e (4.12) pode
ser escrita a partir do princıpio variacional como
LM = −1
4FµνF
µν − Jµe Aµ + Jµ
mCµ. (4.13)
Uma das vantagens deste formalismo e que devido a invariancia de ca-
libre na duplicacao de potenciais e que podemos introduzir um potencial escalar
magnetico para o monopolo magnetico estatico. Neste caso temos
~∇× ~B = 0 (4.14)
45
e
~∇ · ~B = ρm = gδ3 (~r) (4.15)
ou seja
~B =g
r2r. (4.16)
Lembrando das identidades vetoriais apropriadas, temos que o campo de um
monopolo estatico pode ser escrito como
~B = −~∇φm (4.17)
onde
φm =g
r(4.18)
o que elimina a singularidade do potencial.
Apos a integracao por partes, a densidade de lagrangiana fica
L =1
2[Aµ (2gµν − ∂µ∂ν) Aν − Cµ (2gµν − ∂µ∂ν) Cν ]− Jν
e Aν + JνmCν (4.19)
sendo que a lagrangiana da interacao e
Lint = −Jνe Aν − Jν
mCν . (4.20)
Esta lagrangiana e invariante sob as transformacoes (4.2), (4.3), (2.41) e
(2.42) .
Alem de eliminar a singularidade existente no potencial esta formulacao
tem a vantagem de permitir a implementacao da rotacao dual, mas a densidade
de lagrangiana nao possui a simetria de dualidade das equacoes de movimento, e
um dos desejos seria obter esta simetria da lagrangiana.
4.1.1 Forca de Lorentz a partir de um princıpio varia-
cional
Nesta sub-secao vamos escrever a forca de Lorentz e o tensor de energia momento
na forma vetorial e quadri-vetorial [26]. A forca de Lorentz e escrita a partir
46
da energia mecanica de uma carga eletrica se movendo em um campo eletro-
magnetico depois sera escrita na forma covariante e mostraremos uma conexao
entre o momento mecanico das partıculas e as componentes do tensor de energia
momento para os campos. Procuraremos escrever o tensor de energia momento
na forma covariante. Lembramos tambem que a formulacao completa deveria
obter todas as equacoes de movimento nao so as de Maxwell.
Usando as equacoes de Euler-Lagrange para a lagrangiana da partıcula
eletricamente carregada na presenca de um campo eletrico obtemos
d~p
dt= e
[−~∇φe − ∂t
~A + ~v ×(
~∇× ~A)]
se comparamos com (4.4) e (4.5) vemos que esta faltando a expressao −~∇× →C
+~v ×(−~∇φm − ∂t
→C
)dentro do colchetes. Um termo (Jµ
e Cµ) nao geraria os
termos que faltam corretamente. Entretanto podemos introduzir um termo de
interacao Jµe Nµ, onde Nµ e um campo auxiliar, tal termo implicaria na seguinte
equacao para a partıcula
d~p
dt= e
[−~∇φe − ~∇N0 − ∂t
~A− ∂t~N + ~v ×
(~∇× ~A
)+ ~v ×
(~∇× ~N
)]
Se Nµ for tal que
~∇N0 + ∂t~N = ~∇× →
C
e
~∇× ~N = −~∇φm − ∂t
→C
ou seja
∂µNν = −1
2εµναβ∂αCβ. (4.21)
Se tomarmos (4.19) como ponto de partida para construir a lagrangiana
para esta partıcula na presenca de um campo eletromagnetico, terıamos
L = −(
1
2M~v2
m − gφm + g~v· →C)
.
47
o sinal de (-) global, em relacao a lagrangeana da particula carregada nao esta em
conflito com as equacoes de movimento, desde que consideraamos que a acao seja
um extremo. Infelizmente esta lagrangiana nao fornece (2.47), o que obtemos e
d~pm
dt= g
[−~∇φm − ∂t
→C +~vm ×
(~∇× →
C)]
faltando a expressao
~v ×(
~∇φe + ∂t~A)
+ ~∇× ~A
dentro dos colchetes para reproduzir (2.47).
Podemos entao proceder como anteriormente introduzindo o termo JµmHµ
na lagrangiana (4.19), onde Hµ e tambem um campo auxiliar. Desta forma,
terıamos para a partıcula magneticamente carregada
d~pm
dt= g
[−~∇φm − ~∇H0 − ∂t
→C −∂t
→H +~v ×
(~∇× →
C +~∇× →H
)].
Se admitirmos que Hµ esta relacionado a Aµ atraves da equacao
∂µHν =1
2εµναβ∂αAβ, (4.22)
obtemos (2.47).
Se introduzirmos ambos os termos de interacao na lagrangiana obtemos
L = −1
4FµνF
µν − Jµe (Aµ + Nµ)− Jµ
m (Cµ + Hµ) + (4.23)
+ termos cineticos para as cargas
com as condicoes (4.21) e (4.22). Neste caso as equacoes de Euler-Lagrange para
os campos auxiliares nos dariam
Jµe = Jµ
m = 0.
Tambem podemos verificar esta inconsistencia de outra forma. A equacao
(4.21) pode ser reescrita como
∂µCν − ∂νCµ = εµναβ∂αNβ, (4.24)
48
consequentemente
∂µ (∂µCν − ∂νCµ) = (2gµν − ∂µ∂ν) Cµ = 0,
o que e incompatıvel com as equacoes de Maxwell quando fontes magneticas estao
presentes. Temos situacao similar para a condicao (4.22). A compatibilidade das
condicoes subsidiarias (4.21) e (4.22) com as equacoes (4.12) e (4.11) respectiva-
mente so aconteceria se Hµ e Nµ apresentassem singularidades, o que tiraria uma
das vantagens da formulacao de dois fotons que e a eliminacao da singularidade.
A equacao (4.23) foi obtida por Li e Naon, mas a formulacao lagrangiana traz
os problemas acima mencionados. Estamos investigando possibilidades de ainda
recuperar esta formulacao mesmo com condicoes subsidiarias e analisar sua com-
patibilidade em conexao com a transformacao de calibre dados nas equacoes (4.8)
a (4.10).
Tem-se que para uma partıcula com carga eletrica e em movimento num
campo eletromagnetico, a equacao para a variacao da energia mecanica e dada
por
dEe
dt= e~ve · ~E. (4.25)
A forca de Lorentz pela qual a partıcula esta sujeita e
d~pe
dt= e
(~E + ~ve × ~B
). (4.26)
Combinando estas duas equacoes em uma forma covariante, tem-se que
dpµe
dτ= m
dUµ
dτ
em que Uµ e a quadri-velocidade da partıcula dxµ
dτ
mdUµ
dτ= eF µνUν (4.27)
e τ e o tempo proprio da partıcula.
As equacoes de Lorentz generalizadas podem satisfazer a simetria dual
das equacoes para os campos ou para os potenciais. Por isso, e pelas equacoes
49
(4.25) − (4.27). chega-se as equacoes de Lorentz para uma partıcula carregada
magneticamente. Pela rotacao dual, em que θ = 900 tal que E → B, B → −E,
Jµe → Jµ
m ou seja e → g e e~ve → g~vm. Dessa forma, a variacao da energia e a
forca de Lorentz se tornam
dpµm
dτ= gF µνUν . (4.28)
Levando em consideracao as densidades de corrente, tem-se que
e~ve →∫
~Jed3x
e
g~vm →∫
~Jmd3x.
Como nesse sistema a energia e uma quantidade conservada, pode-se
escrever a variacao da energia mecanica (K) de um sistema formado por partıculas
e campos como sendo
dK
dt=
∫ (~Je · ~E + ~Jm · ~B
)d3x. (4.29)
Das equacoes de Maxwell em funcao dos campos eletrico ( ~E) e magnetico
( ~B), fazendo a substituicao de ~Je e ~Jm, observando que daqui para frente, os
campos ~E e ~B nao sao campos externos,
~Je = ~∇× ~B − ∂ ~E
∂t
~Jm = −~∇× ~E − ∂ ~B
∂t
assim, rearranjando os termos da equacao da variacao da energia mecanica,
~Je · ~E =(
~∇× ~B)· ~E −
∂(
~E · ~E)
∂t,
~Jm · ~B = −(
~∇× ~E)· ~B −
∂(
~B · ~B)
∂t.
50
Utilizando as identidades vetoriais apropriadas, reescreve-se a variacao
da energia como sendo
dK
dt= − ∂
∂t
∫1
2
(~E2 + ~B2
)d3x− (4.30)
−∫
~∇ ·(
~E × ~B)
d3x.
Da definicao do tensor de energia-momento:
T 00 = −F 0iF 0i +
1
4FilF
il
=1
2
(~E2 + ~B2
)(4.31)
T i0 =(
~E × ~B)
i(4.32)
e
T ij = EiEj + BiBj − 1
2δij
(~E2 + ~B2
)(4.33)
dessa forma, a variacao da energia mecanica e reescrita em termos do tensor de
energia-momento
dK
dt= −
∫∂T 00
∂td3x−
∫∂iT
i0d3x (4.34)
mostrando que ha uma conexao evidente entre a energia mecanica das partıculas
e as componentes do tensor de energia-momento para os campos. Movendo T 00
para o lado esquerdo da equacao, ela pode ser interpretada como a densidade
de energia dos campos eletrico e magnetico e T i0 como um fluxo de energia,
representando o vetor de Poynting.
Observando as componentes espaciais das equacoes (4.27) e (4.28) e
possıvel obter uma equacao para a conservacao do momento de um sistema de
partıculas que interage com campos externos.
d ~P
dt=
∫ (~E × ~B
)d3x +
51
+
∫ [~E
(~∇ · ~E
)− ~E ×
(~∇× ~E
)+ ~B
(~∇ · ~B
)− ~B ×
(~∇× ~B
)]d3x (4.35)
em que ~P e o momento mecanico das partıculas.
A equacao para a conservacao do momento sera:
dPi
dt+
d
dt
∫T i0d3x =
∫∂Tij
∂xj
d3x (4.36)
mostrando a relacao que ha entre as componentes do tensor de energia-momento
para os campos e o momento mecanico das partıculas. A equacao para a conser-
vacao do momento tem a mesma forma da equacao da teoria com carga eletrica
somente. O tensor T 0i representa o momento transportado pelos campos. O
termo do lado direito pode ser escrito como uma integral de superfıcie:
∮Tκξnξda (4.37)
sendo que nξ e a ξ-esima componente da normal a superfıcie. Assim, Tκξnξ re-
presenta a κ-esima componente do fluxo por unidade de area do momento atraves
da superfıcie.
T 00 =1
2
(~E2 + ~B2
)
T κ0 = T 0κ =(
~E × ~B)
κ(4.38)
T κξ = EκEξ + BκBξ − 1
2δκξ
(~E2 + ~B2
)
que possui a mesma forma do tensor de energia-momento da eletrodinamica.
Mas a expressao covariante do tensor de energia-momento, escrito em funcao
dos potenciais de calibre, possui termos cruzados a mais entre os potenciais Aµ e
Cµ.
Inserindo as definicoes expandidas dos campos ~E e ~B em termos dos
potenciais Aµ e Cµ nas expressoes das equacoes (4.31), (4.32), e (4.33), juntando
os resultados, tem-se a forma covariante do tensor de energia-momento.
52
T αβ = Fαγ F γβ +
1
4gαβFµνF
µν (4.39)
que e simetrica nos ındices α e β. Agora, partindo da equacao do tensor de
energia-momento equacao (4.39) e revertendo a ordem dos argumentos, chega as
equacoes de Lorentz.
Tomando o quadri-divergente de Tµν e a forma covariante das equacoes
de Maxwell, tem-se que
∂µTµν = −F νρJe
ρ − F νρJmρ . (4.40)
Na ausencia de fontes externas, o tensor de energia-momento tem diver-
gente zero e na presenca de fontes, a equacao acima da a forma covariante da
forca de Lorentz generalizada equacoes (4.27) e (4.28) se for incluido o tensor de
energia momento para as partıculas.
Na sub-secao seguinte, estudaremos a quantizacao do momento angular
nesta formulacao.
4.1.2 Momento angular e condicao de quantizacao
Nesta secao, examinamos o momento angular dos campos produzidos pelas partıculas
de carga eletrica e magnetica, a questao da condicao de quantizacao entre os dois
tipos de carga nesta formulacao de dois fotons e do ponto de vista de Singleton
[26].
A covariancia de Lorentz para o tensor de energia-momento e mantida, o
momento angular do campo eletromagnetico provem de e e g, tendo sido estudado
por Singleton. O momento angular e dado por Mκξ
M ij =
∫M0ijd3x =
∫ (T 0ixJ − T 0jxi
)d3x (4.41)
=
∫~r ×
(~E × ~B
)d3x. (4.42)
Consideramos a configuracao de duas partıculas, uma de carga eletrica e
e outra de carga magnetica g, os potenciais destas partıculas podem ser:
53
φm = ge−mr
r(4.43)
em que m e a massa do foton associado ao setor magnetico. Isto e possivel devido
o uso do mecanismo de Higgs.
φe =e
r′. (4.44)
O foton associado ao setor eletrico permanece nao massivo.
A partir destes potenciais e dos campos
~E = −e~r′
r′3, (4.45)
~B = −ge−mr
r2
(1
r+ m
)~r. (4.46)
escreve-se
Lz = − 8πeg
m2d2
[1− (1 + md) e−md
]nz. (4.47)
O momento angular do sistema depende alem das cargas e e g, da massa
m do foton associado ao setor magnetico e da distandia d entre as partıculas.
Na analise usual, do sistema carga-monopolo, o momento angular independe da
distancia entre as duas partıculas.
Tomando o limite m → 0, faz-se a conexao com o momento angular usual.
Expandindo e−md ate termos de segunda ordem, e−md = 1−md+ m2d2
2− m3d3
6+ ...
e possıvel perceber que a condicao de quantizacao de Dirac usual nao e unica.
Parece que ela tambem pode depender da distancia entre as partıculas.
A magnitude da condicao de quantizacao de Dirac
eg =n~2
, (4.48)
comparando com (4.47), que fornece a direcao do momento angular provem do
fato da funcao de onda de uma partıcula na presenca da corda de Dirac ser
unıvoca. Lembrando que o momento angular da configuracao do campo de cargas
54
eletrica e magnetica precisa ser quantizado em multiplos inteiros de ~/2. Ja no
formalismo de dois potenciais, substituiu-se a corda singular e nao local por um
campo de calibre nao singular e local. E tirando a condicao de quantizacao a
partir de (4.47)
8πeg
m2d2
[1− (1 + md) e−md
]=
n~2
, (4.49)
onde n e inteiro, e comparando (4.48) com (4.49), observa-se que a magnitude da
carga magnetica g, precisara ser sempre maior para a segunda condicao. Pois para
o foton magnetico massivo, o campo de Yukawa da partıcula magnetica cai mais
rapidamente que o do equivalente caso Coulombiano. Assim, para a configuracao
manter um momento angular de 1/2, a carga g deve ser maior.
A seguir, procuraremos por uma acao neste formalismo de dois fotons,
que nos descreva a eletrodinamica usual.
4.2 Uma acao para a eletrodinamica com 2 po-
tenciais
Nesta secao, baseados no trabalho de Mello-Carneiro-Nemes [27], abordamos a
questao da quantizacao da carga eletrica a partir de uma formulacao lagrangiana
nao local que fornece as equacoes de Maxwell generalizadas, pela simetria dual e
as equacoes de movimento para as partıculas.
A funcao acao S para a eletrodinamica usual e constituida de tres partes,
uma acao que depende apenas das propriedades das partıculas, uma acao que
depende da interacao entre as partıculas e o campo e outra acao que depende
apenas das propriedades dos campos, isto e, livre da acao das partıculas.
Primeiramente, constroi-se uma densidade de lagrangiana, em funcao de
potenciais nao locais, onde uma partıcula de carga eletrica e uma partıcula de
carga magnetica interagem com o campo eletromagnetico.
L = Le0 + Lg
0 −1
4FµνF
µν − Jµe Aµ + Jµ
mCµ, (4.50)
55
onde Le0 e a densidade de lagrangiana de uma partıcula livre de carga eletrica e
massa m dada por (2.1) , que fornece a equacao de movimento para esta partıcula
e Lg0 e a densidade de lagrangiana de uma partıcula livre de carga magnetica e
massa M, que fornece a equacao de movimento para ela. Desta forma, a acao
completa e
S = − ∫ [14FµνF
µν + m√
gαβUαUβ −M√
gαβVαVβ+
+eUαAα − gVαCα] ds(4.51)
e a lagrangiana
L = −[
1
4FµνF
µν + m
√gαβ
duα
ds
duβ
ds−M
√gαβ
dvα
ds
dvβ
ds
+ eduα
dsAα − g
dvα
dsCα
](4.52)
sendo Uα e Vα as quadri-velocidades da carga e do monopolo e m e M
suas massas. Introduz-se o tensor de campo generalizado proposto por Cabibbo-
Ferrari [6] e os potenciais nao locais. Aµ e Cµ sao de Mello-Carneiro-Nemes [27]
Aµ = Aµ +1
2εµγαβ
∫ x
P
∂αCβdξγ (4.53)
Cµ = Cµ − 1
2εµγαβ
∫ x
∼P
∂αAβdξγ (4.54)
em que Aµ e Cµ sao os potenciais da formulacao de Cabibbo-Ferrari, onde P
e∼P representam integracoes sobre as linhas de universo das cargas eletrica e
magnetica respectivamente.
Mello-Carneiro-Nemes [27] nao fizeram uso de condicoes subsidiarias e
trataram quantidades nao locais. Embora Carneiro [28] tenha conseguido tratar
a questao do espalhamento carga-monopolo de uma forma local, ate onde vimos,
isto nao parece fornecer a condicao de quantizacao de Dirac com esta formulacao.
O tensor de campo eletromagnetico F µν e seu dual∼F
µν
.
F µν = ∂µAν − ∂νAµ, (4.55)
56
e
∼F
µν
= ∂µCν − ∂νCµ, (4.56)
e as equacoes de Maxwell ficam simplesmente dadas por (4.11) e (4.12) pois
segundo Saulo [28], os termos extras como 12Jµε
µγαβ∫ x
P∂αCβdξγ que aparecem no
desenvolvimento das derivadas, se anulam, nao contribuindo para as equacoes.
Tem-se que A e C, sao invariantes de calibre segundo Cabibbo e Ferrari [6].
Aplicando o princıpio de Hamilton na Equacao (4.52) tem-se
md2uα
dτ 2+ e
dAα
dτ− e
duβ
dτ∂αAβ = 0
e
Md2vα
dτ 2− g
dCα
dτ− g
dvβ
dτ∂αCβ = 0
desde que dAα
dτ=
duβ
dτ∂βAα e dCα
dτ=
dvβ
dτ∂βCα, obtemos as equacoes de movimento
para a carga eletrica e o monopolo magnetico respectivamente
md2uα
dτ 2= eF βα duβ
dτ(4.57)
e
Md2vα
dτ 2= g
∼F
βα dvβ
dτ. (4.58)
Variacoes dos potenciais locais conduzem a variacoes dos potenciais nao
locais, e usando (4.55), (4.56) alem da identidade FµνFµν = −FµνF
µν , a con-
dicao extrema para a acao sob tais variacoes corresponde as equacoes de Maxwell
generalizadas
δS = − ∫ 12Fµν∂
µδAν − 12Fµν∂
νδAµ − 12Fµν∂
µδCν+
+12Fµν∂
νδCµ + JµδAµ − gµδCµ
ds = 0(4.59)
= −∫
−Fµν∂νδAµ + JµδAµ + Fµν∂
νδCµ − gµδCµ
ds
57
= −∫
(Jµ + ∂νFµν) δAµds + FµνδAµ |+∞−∞ −
−∫ (
−gµ − ∂νFµν
)δCµds− FµνδCµ |+∞−∞ .
Dessa forma, tem-se
∂βFαβ = −Jαe , (4.60)
∂βFαβ = −Jαm. (4.61)
A fim de reproduzir a condicao de quantizacao de Dirac nesta abordagem,
verificamos que a lagrangiana da particula de carga e na presenca do campo
eletromagnetico
L = Le0 − eA0 + e ~v. ~A (4.62)
admite a construcao de uma hamiltoniana cujo limite nao relativistico e dado por
He =1
2m
(~p− e ~A
)2
+ eA0 (4.63)
onde
~A = ~A +1
2
∫ (∂y
∧k −∂z
∧j
)φmdx +
1
2
∫ (∂z
∧i −∂x
∧k
)φmdy +
+1
2
∫ (∂x
∧j −∂y
∧i
)φmdz (4.64)
em que ∂y = ∂∂y
. Embora nao local, vamos analisar o caso da particula na presenca
de um monopolo pontual massivo (M >> m), e verificar a quantizacao para
~A 6= 0 e A0 = 0, ou seja
Ai(x) =1
2εijk
∫ x
dyk∂jφm + Ai (4.65)
onde φm = −gr.
A equacao de Schrodinger correspondente e:
58
1
2m
(−i~ ~∇− e ~A
)2
ψ = Eψ. (4.66)
Definindo uma outra funcao de onda
ψ (~r; P ) = ψ (~r) e−ie~R ~r
P~A.d~r′ (4.67)
vemos que
− ~2
2m~∇2
ψ (~r; P ) =
[1
2m
(−i~ ~∇− e ~A
)2
ψ
]e−
ie~R ~r
P~A.d~r′ . (4.68)
Embora ψ (~r; P ) dependa do caminho de integracao no fator de fase, este
pode ser escrito em termos da intensidade do campo ~B produzido pelo monopolo
magnetico. Para isto definimos
ψ (x : P ′) = ψ (~r) e−ie~R ~r
P ′ ~A.d~r′ . (4.69a)
De 4.67 e 4.69a podemos escrever
ψ (x : P ′) = ψ (x : P ) e−ie~H
~A.d~r′
= ψ (x : P ) e−ie~R
S~B.d~a′ (4.70)
onde S e uma area delimitada pelos dois camunhos P e P ′. Qualquer que seja a
area delimitada entre os dois caminhos ψ (x : P ′) deve ser o mesmo.
ψ (x : P ) e− ie~R
S1~B.d~a′
= ψ (x : P ) e− ie~R
S2~B.d~a′
.
Entao concluimos que
e−ie~H
S~B.d~a′ = 1 (4.71)
onde S e a superficie fechada por S1 e S2 (S = S1 − S2). Se S nao contem o
monopolo magnetico, o fluxo sera nulo e 4.71 e satisfeita. Se S contem o monopolo
devemos ter
59
−ie
~(4πg) = −i (2πn) n ∈ Z
eg =n~2
(4.72)
que e a condicao de quantizacao de Dirac.
Nesta secao, vimos que a acao que encontramos para o formalismo de
dois potenciais, nao somente fornece as equacoes para a eletrodinamica usual,
quanto as equacoes de Maxwell generalizadas.
A seguir, procuramos obter uma condicao de quantizacao que nao levasse
em conta a forma do potencial vetor.
Capıtulo 5
Condicao de quantizacao
Embora existam muitos trabalhos tratando a interacao de uma carga eletrica
na presenca de um monopolo, muitos deles procuram resolver o problema por
completo analisando as simetrias e solucoes das equacoes de Schrodinger e Dirac.
Nos procuramos uma abordagem mais simples para se obter a condicao de quan-
tizacao de Dirac. A maioria dos trabalhos partem de uma forma do potencial,
enquanto nos supomos que esta forma existe, mas nos nao a explicitamos e na
condicao de quantizacao obtemos a forma do potencial.
Neste capıtulo, utilizando o formalismo de operadores da mecanica quantica,
vamos obter a conservacao do momento angular para o sistema formado por uma
partıcula de carga eletrica em movimento no campo de um monopolo magnetico.
Tentaremos obter um conjunto completo de operadores comutantes e a condicao
de quantizacao de Dirac. Verificamos que nestas condicoes, a partıcula e espa-
lhada devido a acao do campo do monopolo (e esta verificacao esta contida no
Apendice C.) Verificamos tambem o comportamento desta carga sob a acao do
campo de um dipolo magnetico, que consta do Apendice D.
Vimos no capıtulo anterior que, a princıpio e possıvel ter uma hamiltoni-
ana H para uma partıcula de carga eletrica e em um campo magnetico gerado por
um monopolo g, e descrito por um potencial vetor Ai, que nao sabemos a forma
mas que pode ser aquele proposto no trabalho de Cardoso de Mello-Carneiro-
Nemes [27], dado pela equacao (4.53) .
61
H =1
2mΠ2
i , Πi = pi − eAi. (5.1)
Utilizando as relacoes de comutacao
[ri, pj] = i~δij; [ri, rj] = [pi, pj] = 0, (5.2)
e a relacao
[Πi, Πj] = ieFij (5.3)
temos
.ri= − i
~[ri, H] =
Πi
m(5.4)
.
Πi= − i
~[Πi, H] =
e
µFijΠj (5.5)
[Fij, Πj] = 0 (5.6)
ja que o campo do monopolo e dado por
Fij = gεijkrk
r3(5.7)
Fij = εijkBk (5.8)
temos que
..ri=
.
Πi
m
m..ri=
e
µFijΠj (5.9)
dΠ2
dt= − i
~[Π2, H
]= 0
Π2(t) = Π2(0) = constante (5.10)
62
tendo-se que Πi e.
Πi sao perpendiculares entre si, e que o escalar χ(t) e igual ao
produto escalar x.Π, sendo
χ(t) =Π2
mt + χ0. (5.11)
O operador momento angular mecanico da partıcula de carga eletrica
movendo-se no campo de um monopolo magnetico e dado por
Li = εijkrjΠk (5.12)
que com isso, determina-se o valor do torque sobre o sistema formado pela
partıcula carregada em movimento no campo de um monopolo magnetico.
Li = − i
~[Li, H]
Li =i~em
Bi +e
mrBΠi − e
mBiχ. (5.13)
Como a ordem de derivacao dos fatores do vetor unitario ri
rpode influir
no resultado da derivada, tivemos que usar a seguinte propriedade:
.
ri=d
dt
(ri
r
)=
1
2
d
dt
(1
rri + ri
1
r
)
a qual simplifica o calculo das relacoes de comutacao entre o operador de posicao
da partıcula r e o operador hamiltoniano H.
.
ri = − i
2~([
r−1, H]ri + ri
[r−1, H
])+
1
2m
(r−1Πi + Πir
−1)
(5.14)
=i~m
r−3ri +1
m rΠi − 1
m
ri
r3χ. (5.15)
Dessa forma, e possıvel determinar que a conservacao do momento angu-
lar nesta representacao e diretamente proporcional ao produto das cargas eletrica
e magnetica envolvidas:
Li = eg.
ri
d
dt(Li − egri) = 0 (5.16)
63
em que o argumento da derivada e igual ao momento angular li.
li = Li − egri
em que li e o momento angular total do sistema e que e uma quantidade conser-
vada, formada pelo momento angular orbital e pelo momento angular do campo
eletromagnetico.
Observa-se tambem que o torque pode ser escrito em funcao do campo
magnetico
Li =e
m(r.B) Πi − e
mBi (χ− i~) = eg
.
ri . (5.17)
Alem disso, o produto escalar do vetor unitario ri por li e uma constante de
movimento:
rili = eg. (5.18)
Uma expressao para o quadrado da posicao em funcao do tempo e escrita
a partir da derivada temporal do produto xixi.
dr2
dt= xixi + xixi
r2 (t) =Π2
mt2 +
1
m(2χ0 − 3i~) t + r2
0. (5.19)
Algumas regras de comutacao entre os operadores sao analisados para se
verificar o fechamento da algebra.
[Πj, li] = i~εijkΠk (5.20)
[rj, li] = i~εijkrk (5.21)
[Li, Lj] = i~εijk (Lk + egrk) (5.22)
[Li, rj] = i~εijkrk (5.23)
64
[li, lj] = i~εijklk. (5.24)
O operador de Casimir da algebra de momento angular (5.24) e l2.
[l2, lj
]= li [li, lj] + [li, lj] li = i~ (εijklilk − εijklilk) = 0 (5.25)
l2 = lili = εijkrjΠkεilmrlΠm − egεijk
(rjΠk
ri
r+
ri
rrjΠk
)+ e2g2
da mesma forma, as componentes de li sao dispostas como:
lx = yΠz − zΠy − egx
r,
ly = zΠx − xΠz − egy
r,
lz = xΠy − yΠx − egz
r.
O momento angular total formado pelo momento angular mecanico da
partıcula mais o do campo eletromagnetico, e que obedece a algebra de momento
angular e que portanto seria o ideal para se quantizar, nao o momento angular
eletromagnetico sozinho.
Como Singleton observou na referencia [29], o momento angular eletro-
magnetico de uma partıcula carregada na presenca de um dipolo magnetico (dois
monopolos) tambem nao obedece a algebra e sim o momento total. Neste caso o
momento angular que obedece a algebra so(3) (ou su(2)) como em (5.24) e o mo-
mento total levando em consideracao o torque que o campo magnetico criado pela
carga e faz sobre o dipolo magnetico. Como e um caso particular, mostramos o
seu desenvolvimento e suas particularidades comparados com o caso tratado aqui,
no apendice (E) .
Para obter a condicao de quantizacao de Dirac vamos tomar o conjunto
completo de operadores comutantes H, l2 e lz e supor que existem auto-estados
para eles. Particularmente temos que o operador lz possui auto valor m~, com m
sendo um numero inteiro, temos:
65
lz |ψ (~r)〉 =
[−i~
∂
∂ϕ− er sen θ Aϕ − eg cos θ
]|ψ (~r)〉 = m~ |ψ (~r)〉 . (5.26)
Impomos uma condicao mınima que
−er sen θ Aϕ − eg cos θ = ∓eg. (5.27)
Desta forma de (5.26) fica,
lz |ψ (~r)〉 =
[−i~
∂
∂ϕ∓ eg
]|ψ (~r)〉 = m~ |ψ (~r)〉 . (5.28)
e a condicao (5.27) leva ao potencial Aϕ do monopolo de Wu-Yang [14].
Aϕ = ±g1∓ cos θ
r sen θ. (5.29)
Vimos que os componentes de ~l satisfazem a algebra usual de momento
angular so(3) e que comuta com a hamiltoniana. Agora precisamos averiguar mais
o comportamento das componentes de ~l e do operador de Casimir da algebra ~l2,
como e usualmente feito [36], [5] .
Escolhemos ~l2 e lz como dois operadores que admitem auto-funcoes simul-
taneamente uma vez que eles comutam e assumir que estas autofuncoes existem
e sao nao singulares em todo o domınio das variaveis angulares θ e ϕ e possıvel
baseado nos estudos das referencias [9] e [40].
Analisamos o problema de auto-valores de ~l2 e lz primeiramente.
Constroi-se os operadores l+ = lx + ily e l− = lx − ily.
Uma possıvel realizacao de auto-funcoes de ~l2 e lz que pode ser sugerida
seria
Y (θ, ϕ) = ei(m ± eg~ )ϕχ (θ) . (5.30)
Desta forma
lzY (θ, ϕ) = m~Y (θ, ϕ) (5.31)
ou seja Y (θ, ϕ) e auto-funcao de lz com auto-valor m~.
66
O fato de que ei(m ± eg~ )ϕ seja monovalente (identificacao de ϕ e ϕ + 2π)
nos leva a(m ± eg
~) ∈ Z+ explicitamente.
Mesmo nao tratando da equacao de autovalor
~l2Y (θ, ϕ) = λ~2Y (θ, ϕ) (5.32)
admitiremos que χ (θ) existe e e bem comportado para qualquer valor de θ.
E possıvel demonstrar, utilizando a algebra so(3) obedecida pelas com-
ponentes de ~l, que m pode ser inteiro ou semi-inteiro. Isto pode ser feito como
no Merzbacher por exemplo [5] quanto trata dos operadores de rotacao.
Construindo os operadores
l+ = lx + ily e l− = lx − ily (5.33)
obtemos as relacoes de comutacao
[lz, l±] = ±~l± (5.34)
[l+, l−] = 2~lz (5.35)
e a seguinte identidade
~l2 − l2z ± ~lz = l± l∓ (5.36)
Utilizando a relacao (5.34) obtemos
lzl± |m,λ〉 = (m± 1) ~l± |m,λ〉 (5.37)
alem disso temos
~l2l± |m, λ〉 = λ~2l± |m,λ〉 . (5.38)
As equacoes (5.37) e (5.38) mostram que l± |m,λ〉 sao tambem auto-
vetores de lz com autovalores (m± 1) ~ e de ~l2 com autovalor λ~2, ou seja, pode-
mos escrever
l± |m,λ〉 = C± (m,λ) ~ |m± 1, λ〉 (5.39)
67
onde C± (m,λ) sao numeros que precisam ser determinados. Desta forma l±
podem ser caracterizados como operadores escada da algebra; l+ levanta um
auto-estado de |m,λ〉 para outro e l− abaixa para |m− 1, λ〉.E possivel mostrar que para um dado λ existe um valor maximo de m = l
em que
l+ |l, λ〉 = 0 (5.40)
ou seja existe um limite superior para os auto-estados possiveis, com um λ fixo.
Isto pode ser mostrado da seguinte forma
〈m,λ|~l2 − l2z |m,λ〉 = 〈m,λ| l2x + l2y |m,λ〉
=1
2〈m,λ| (l+l− + l−l+) |m,λ〉
=1
2〈m,λ|
(l+l†+ + l†+l+
)|m,λ〉
onde utilizamos l− = l†+.
Desde que e um operador definido positivo temos
〈m,λ|~l2 − l2z |m, λ〉 =(λ2 −m2
)~2 > 0
onde assumimos que os auto-estados estao normalizados.
Assim
m2 6 λ2
ou seja, existe um limite superior para (k = l). Da mesma forma pode-se provar
que existe um valor minimo (k = l′) para o qual,
l−∣∣∣l′ , λ
⟩= 0 (5.41)
para um dado λ.
Alem disto se aplicarmos em (5.40) temos
l−l+ |l, λ〉 =(~l2 − l2z − ~lz
)|l, λ〉
=(λ−~l2 − l
)~2 |l, λ〉 = 0
68
onde utilizamos (5.36). Assim concluimos que
λ = l(l + 1). (5.42)
Da mesma forma, aplicando l+ em (5.41) obtemos
λ = l′(l′ + 1). (5.43)
Equacoes (5.42) e (5.43) nos levam a concluir que
l′ = −l. (5.44)
Como |l, λ〉 e |l′, λ〉 sao auto-estados de lz e ~l2 com auto-valores(l, λ) e
(l′, λ), podemos alcancar |l′, λ〉 a partir de |l, λ〉 apos sucessivas aplicacoes do
operadorl−(l+). Lembrando que cada passo para cima (para baixo) decresce
(cresce) o valor de l de uma unidade e sao necessarios l − l′ = 2l passos con-
cluimos que l e um inteiro ou semi-inteiro positivo. Alem disto, da equacao
(5.42) concluimos que λ pode ser escrito como λ = l(l + 1) e que, para um dado
l, m pode assumir os valores dentro do intervalo −l 6 m 6 l variando de um em
um.
Da equacao(5.31) e do fato que (m± eg~ ) ∈ Z+ temos que
eg =n~2
, n ∈ Z+ (5.45)
que e a condicao de quantizacao de Dirac.
Com a imposicao da condicao mınima (5.27), tambem conseguimos tirar
as formas dos campos Ax e Ay:
−e (xAy − yAx)− egz
r= eg
sendo que
(xAy − yAx) (r + z) r =g (r − z)
(r − z)
(r2 − z2
)
resultando na expressao
xAy − yAx =g (x2 + y2)
r (r + z)
69
se a funcao e bem comportada para y = 0 :
Ay =gx
r (r + z), (5.46)
se a funcao e bem comportada para x = 0 :
Ax = − gy
r (r + z). (5.47)
As quais sao as mesmas equacoes (3.5) para o potencial com singularidade em
−z.
Uma outra abordagem seria: escolher como operadores comutantes H,
~l2 e n.~l onde n e um unitario.
Note que
n.~l = n. (~r × ~p)− e n.(~r × ~A
)− eg
n.~r
|~r| .
Supondo que
~A = f1(r)r + f2(r)n + f3(r)n× ~r
temos
~r × ~A = f2 ~r × n + f3~r × (n× ~r)
= f2 ~r × n + f3 r2n− f3 (~r.n)~r
implicando em
−e n.(~r × ~A
)= −ef3
[r2 − (n.~r)2]
se impomos que
−e n.(~r × ~A
)− eg
n.~r
|~r| = 0
temos
f3
[r2 − (n.~r)2] = −g
n.~r
|~r|implicando que
f3 = −gn.~r
|~r|1
r2 − (n.~r)2
70
como f1 e f2 dao contribuicao nula, um calibre particular que podemos escolher
e
~A =g
2 |~r|(
1
|~r|+ n.~r− 1
~r − n.~r
)n× ~r (5.48)
que e a forma do potencial vetor para um monopolo estatico dada por Schwinger
[7] que implica uma linha de singularidade ao longo de n e correndo em ambos
os lados do monopolo.
Se impomos
− n.(~r × ~A
)− g
n.~r
|~r| = ±g
obtemos
f3(r) = ∓g
r
|~r| ± n.~r
r2 − (n.~r)2
desta forma, tem-se que
~A = +g
|~r|n× ~r
|~r|+ (n.~r)
e
~A = − g
|~r|n× ~r
|~r| − (n.~r)
que corresponde as solucoes de Schwinger, porem somente com singularidades
correndo na direcao de n, mas semi-infinitas, as quais podem ser usadas na escolha
de n.~l, l2 e H como conjunto de operadores comutantes e que, com o mesmo
argumento, leva a quantizacao de Dirac.
Ainda estamos investigando a possibilidade de obter a forma do potencial
da equacao (4.53) como consequencia da condicao de quantizacao. Talvez tambem
tenhamos que lancar mao da representacao nao unitaria do operador de rotacao.
Esta ultima abordagem tambem foram consideradas em [9] e [40].
Uma outra forma para o potencial, a saber
Ar = 0; Aθ = −g
rφ sen θ; Aφ = 0 (5.49)
foi sugerido recentemente na literatura [41], nos o descartamos pois, como argu-
mentam os autores, numa abordagem semi-classica a fase adquirida pela funcao
de onda deve ser quantizada, ou seja
71
ei~ eg
Hd ~r. ~A = ein2π (5.50)
e este potencial nao e unıvoco para definir a fase.
Capıtulo 6
Equacoes de Maxwell e a reducao
para 2+1 D
6.1 Uma nova visao para a dualidade de Hea-
viside
Em seu trabalho, Mignaco [35] propos uma visao diferente para o eletromag-
netismo classico e a dualidade de Heaviside. Como em nosso mundo atual, as
partıculas de carga magnetica, diferentemente das partıculas de carga eletrica, sao
muito difıceis de serem detectadas, entao supoe-se que para serem, e necessario
se alcancar energias muito mais altas que as atuais ja atingidas.
A transformacao de dualidade de Heaviside e a mesma transformacao
dual usual.
Apesar do eletromagnetismo usual possuir equacoes de movimento sime-
tricas em relacao a uma transformacao de Heaviside(
~E → − ~B, ~B → ~E), a den-
sidade de lagrangiana que gera estas equacoes de movimento, ganha um sinal
global quando submetida a essa transformacao.
Com o intuito de conseguir escrever uma densidade de lagrangiana que se-
ja simetrica sob uma transformacao dual satisfatoria, Mignaco e Galvao [30] visu-
alisaram um mundo diferente, de altas energias, em que os monopolos magneticos
fossem abundantes e os monopolos eletricos escassos. Esse novo sistema seria
73
descrito por uma nova teoria dual a eletrodinamica usual, chamada de magne-
todinamica classica com campos eletrico→E ′ e magnetico
→B′ diferentes dos campos
~E e ~B do mundo real. Entre a antiga e a nova teoria, haveria uma ligacao, uma
transformacao do tipo Heaviside, onde seria possıvel escrever essa lagrangiana.
Essa nova visao para a dualidade na teoria eletromagnetica classica, e propria de
Mignaco e Galvao [30], a qual e baseada nas propriedades fısicas de uma teoria
dual. Dessa forma sao eliminadas os problemas de se trabalhar com as cordas de
Dirac e a duplicacao de potenciais, embora seja de certa forma inspirada nesta
ultima.
Essa mesma ideia e generalizada para a rotacao dual.
6.1.1 A dualidade revisitada
Nesta sub-secao, vamos escrever como seriam as equacoes de Maxwell no formal-
ismo desta secao, uma densidade de lagrangiana que seja simetrica sob dualidade
e que forneca as equacoes de movimento.
A magnetodinamica poderia ser:
~∇ · ~E′= 0
~∇ · ~B′= ρm
~∇× ~E′= −
→Jµ
m −∂ ~B′
∂t
~∇× ~B′= ∂ ~E
′
∂t
(6.1)
em que os campos nao satisfazem as mesmas equacoes que aparecem na teoria
classica da eletrodinamica usual.
Os campos dessa nova formulacao podem ser escritos em funcao dos
potenciais, utilizando os mesmos argumentos do caso usual, um potencial vetor
eletrico ~C e um potencial magnetico φ′m pseudo-escalar
~E′= ~∇× ~C
~B′= −~∇φm − ∂ ~C
∂t
(6.2)
que sao uma parte das equacoes (4.4) e (4.5) da formulacao de 2 potenciais.
74
Com estes campos e possıvel construir uma lagrangiana de segunda or-
dem que fornece as equacoes de movimento.
LB′, E
′ =1
2
∫d3x
(B′2 − E
′2)− ρmφ
′m − ~Jm · ~C (6.3)
na forma covariante quadri-dimensional, essa lagrangiana envolveria um tensor
Gµν anti-simetrico de segunda ordem, cujas componentes espaciais seriam as com-
ponentes de ~E e as componentes temporais G0k seriam as componentes de ~B′e
Cµ =(φm,−~C
).
Gµν = ∂µCν − ∂νCµ
Desta forma a densidade da lagrangiana que gera as equacoes para os
campos na presenca de materia e dada por:
L = −1
4GµνG
µν − JµmCµ
Fazendo agora uma transformacao de dualidade correspondente para os
campos e para as fontes,
~E → − ~B′, ~B → ~E
′, ρm → ρe,
φ′m → φe, ~Jm → ~Je, ~C → ~A, (6.4)
tem-se
LE, B =1
2
∫d3x
(E2 −B2
)− ρeφe − ~Je · ~A
E possivel construir uma densidade de lagrangiana tanto para a eletro-
dinamica usual quanto para a magnetodinamica.
L = −1
4F µνFµν − 1
4GµνGµν − Jµ
e Aµ − JµmC ′
µ +
+ (termos de fixacao de calibre) (6.5)
a qual e simetrica sob transformacao de dualidade e poder-se-ia tentar construir
um cenario onde esta simetria e quebrada levando-nos ao cenario da eletrodinamica
como a conhecemos.
75
Da lagrangiana pode ser obtido o momento correspondente aos potenciais
Aµ e C ′µ
∂L∂(∂0Aµ)
= −Ekδkµ
∂L∂(∂0C′µ)
= −B′kδkµ
. (6.6)
Em termos dos campos e de seus momenta, as transformacoes, parametri-
zadas pela rotacao dual fica escrita na forma
~E = ~E cos θ − ~B′senθ
~B = ~E′senθ − ~B cos θ
. (6.7)
Esta rotacao dual comparando com a obtida em (2.40), permite fazer a ponte
entre a antiga e a nova teoria.
As propriedades fısicas do sistema dual tratado acima, precisam ser
ampliadas corretamente se quisermos preservar a localidade e a invarianca de
Lorentz.
A seguir, veremos que fazendo uma reducao dimensional das equacoes de
Maxwell em dimensoes 3 + 1 D para 2 + 1 D, utilizando a formulacao de dois
potenciais estaremos estudando um caso particular da realizacao da dualidade
em 2 + 1 D proposta por Galvao e Mignaco.
6.2 Magnetodinamica em 2+1 D
Seguindo o formalismo proposto pelos trabalhos de Helayel-Abreu-Hott-Moura
Melo [38], Helayel-Moura Melo [33] e da tese de doutorado de Moura Melo [39],
os quais tratam da natureza escalar de objetos planares tipo Dirac, fizemos um
estudo do comportamento destes objetos em um plano especıfico, aquele que e
perpendicular ao campo eletrico.
E feita uma reducao de 3+1 dimensoes para 2+1 dimensoes para se estu-
dar a natureza planar da corrente magnetica. Feita esta reducao, e trabalhando
no plano escolhido, a lei de Gauss magnetica aparece naturalmente das equacoes
escritas na forma covariante.
76
Na referencia [38] encontrou-se apos a reducao dois formalismos tipo
eletrodinamico independentes em 2+1 dimensoes, cada um com suas proprias
fontes eletrica e magnetica, com a necessaria quebra da identidade de Bianchi.
Ja em nossa abordagem, a identidade de Bianchi, por conveniencia, pode ser
preservada ao se estudar a questao do monopolo magnetico e a Lei de Gauss
magnetica e a Lei de Inducao de Faraday viram equacoes de movimento.
Adicionamos um termo de Chern-Simons ao nosso formalismo, fizemos
o caso geral baseado nas ideias de Heneaux e Teitelboim [20] e de Pisarski [21],
conseguimos escrever uma lagrangiana que fornece as equacoes de movimento
para o nosso formalismo, que permanece em estudo.
6.2.1 Reducao dimensional
Partindo do tensor de campo F µν e de seu dual F µν em 3+1 dimensoes e feita a
reducao dos potenciais e das correntes em 3+1D para as respectivas quantidades
2+1 dimensionais. Vamos partir do pressuposto de que o tensor de intensidade
de campo em 3+1D e escrito em termos de dois potenciais (formulacao Cabibbo-
Ferrari).
Comecamos de
∂µFµν = J ν
e e ∂µFµν = J ν
m (6.8)
com
F µν = ∂µAν − ∂ νAµ − εµναβ∂αCβ e F µν =1
2εµνκλFκλ. (6.9)
Na reducao vamos reescrever as componentes dos potenciais como
Aµ →(Aµ, A3 ≡ S
); C µ →
(Cµ, C 3 ≡ V
)(6.10)
J µe →
(Jµ
e , J 3e ≡ λ
); J µ
m →(Jµ
m, J 3m ≡ χ
). (6.11)
Indices com (ˆ) significam quantidades tomadas em 3+1 D e sem (ˆ)
significam componentes de 2+1 D.
77
De tal forma que Aµ = (A0, A1, A2) e um vetor 2+1 D e A3 ≡ S e um
potencial escalar extra. O mesmo segue para Cµ, C3 ≡ V e para as correntes
eletrica e magnetica respectivamente Jµe e Jµ
m.
Os tensores de intensidade de campo apos a reducao, tomam a forma de
F µν →(F µν ; F µ3 ≡ fµ
)(6.12)
F µν →(F µν ≡ fµν ; F µ3 = F µ
)(6.13)
onde os novos tensores de intensidade de campo ficam definidos como
F µν = ∂µAν − ∂νAµ − εµνα∂αV ,
∼F
µ
= εµνk∂νAk − ∂µV
fµν = εµνα∂αS + ∂µCν − ∂νCµ (6.14)
fµ = ∂µS − εµνα∂νCα. (6.15)
Na reducao nao ha dependencia das quantidades (campos, potenciais e
correntes) com a terceira componente espacial advinda das 3+1 dimensoes, ou
seja, ∂3f = 0.
Pode ser observado que os usuais campos eletrico e magnetico planares
estao contidos no tensor de intensidade de campo
F µν(F 01 = −Ex, F 02 = −Ey, F 12 = −B
)
F µ(F 0 = −B, F 1 = −Ey, F 2 = Ex
).
Por outro lado
fµν(f 01 = bx, f 02 = by, f 12 = −e
)
e
78
fµ(F 0 = −e, f 1 = by, f 2 = −bx
)(6.16)
Desta forma, os campos fµ = ∂µS−εµνα∂νCµα e fµν = εµνκfκ aparentam
um segundo setor magnetodinamico como segue abaixo.
Pelas relacoes (6.11) - (6.13) e expressoes de (6.8), temos as duas series
de equacoes para os dois setores:
Para o 1o temos
∂µFµν = Jν
e e ∂µFµ = χ,
o primeiro conjunto de equacoes sao escritas explicitamente como
εij∂iB = ∂tEj + J j
e ,
∇.→E= J0
e = ρ,
∂tB + εij∂iEj = χ,
(6.17)
que representa o primeiro setor, o qual e o eletromagnetismo usual em 2+1 D [39]
A quebra da identidade de Bianchi em 2+1 dimensoes no primeiro setor
(3a equacao acima), devido a fonte magnetica, e a sua interacao no mundo pla-
nar e a manifestacao tridimensional da terceira componente da quadri-corrente
magnetica.
A diferenca com o eletromagnetismo usual sao duas: em vez dos campos
serem escritos em funcao dos potenciais como
Ei = −∂iφe − ∂tAi (6.18)
B = εij∂iAj
temos aqui a introducao de um potencial extra, desta forma as componentes dos
campos eletrico e magnetico ficam
Ei = −∂iφe − ∂tAi -εij∂jV (6.19)
B = εij∂iAj − ∂tV
Ja para o segundo setor, escolhemos um plano em que o campo magnetico
tenha duas componentes e um campo elerico perpendicular a eles. Assim, o
79
segundo setor esta definido a partir das componentes de fµ com as seguintes
equacoes
∂µfµν = Jν
m, (6.20)
∂µfµ = λ. (6.21)
De (6.20) tira-se as equacoes de movimento
∂tbi + εij∂je = Jmi,
~∇.~b = −ρm,
εij∂ibj = ∂te + λ.
(6.22)
Observa-se que o monopolo magnetico sai naturalmente deste tipo de
formalismo.
De (6.21), tem-se uma reproducao da lei de Ampere-Maxwell.
A identidade de Bianchi nao e necessariamente quebrada neste segundo
setor. Pois se tivermos interessados apenas no estudo do monopolo magnetico,
podemos fazer λ = 0, sendo que as equacoes de movimento saem de (6.20) . E
assim (6.21) pode por conveniencia ser feita igual a zero, preservando assim a
identidade de Bianchi.
Neste novo formalismo, temos apenas uma componente para o campo
eleteico e, ou seja, ele e um pseudo-escalar no plano em que estamos trabalhando.
Ja o campo magnetico ~b e um vetor que possui duas componentes bx e by, estando
contido no plano (x, y).
O vetor campo magnetico ~b e o pseudo-escalar campo eletrico e, escritos
em funcao dos potenciais ficam sendo
~b = −∂t~C − ~∇φ− εij∂j S (6.23)
e = −∂tS + εij∂iCj. (6.24)
A partir de (6.14) e (6.16), escreve-se a matriz do tensor fµν em funcao
das componentes dos campos e e ~b.
80
fµν =
0 bx by
−bx 0 −e
−by e 0
. (6.25)
Verifica-se que por uma transformacao de dualidade, as equacoes de um
setor se tornam as equacoes do outro setor.
Uma tentativa de densidade de lagrangiana geral para os dois setores
pode ser escrita como uma soma das lagrangianas de cada setor, mas deve-se
tomar cuidado com o fato que esta nao fornece as equacoes de Maxwell nao
homogeneas para cada setor
L = −1
4FµνF
µν − 1
4fµνf
µν − Jµe Aµ − Jµ
mCµ. (6.26)
6.3 Analise do 1o setor com e sem CS.
Objetos tipo Dirac ocorrem por quebrar a identidade de Bianchi. Em 3+1 di-
mensoes, quando nos considerarmos a electrodinamica de Maxwell com fontes
magneticas, segundo [38], temos as equacoes
∂µFµν = J ν
e e ∂µFµν = J ν
m.
A lei de Gauss magnetica, ∇· ~B = χ0, quando tomado uma fonte pontual
χ0 = gδ3(~x), nos conduz ao conceito do monopolo magnetico genuino desde que
~B = g~x/4π |~x|3, em analogia ao campo eletrico produzido por uma carga eletrica
pontual.
Em 2+1 dimensoes, a identidade de Bianchi e quebrada.
∂µFµ = ∂tB + εij∂iEj = χ.
Como nao ha lei de Gauss para o campo magnetico, nao ha o monoplo
magnetico do tipo encontrado em 3+1 dimensoes.
81
Para o caso nao massivo, a quebra da identidade de Bianchi nao causa
nenhum efeito sobre as equacoes de movimento, isto e, a corrente eletrica e con-
servada,
∂ν∂µFµν = ∂νj
ν = 0 .
Contudo, quando se adiciona o termo de Chern-Simons, LCS = mAµFµ,
as equacoes de movimento adquirem um termo de corrente (topologica) extra,
∂µFµν = jν + mF ν , (6.27)
que fornece
∇ · ~E = ρ + mB
e
εij∂iB = ∂tEj + J j
e + mεijEi.
Se agora, introduzirmos objetos tipo Dirac, ∂µFµ = χ, entao a corrente nao sera
conservada,
∂ν∂µFµν = m χ , (6.28)
e a simetria de calibre e perdida. Dessa forma, para restabelecer a simetria,
supoe-se que a aparencia de objetos tipo Dirac induz uma corrente eletrica extra,
JνM = −mF ν , (6.29)
tal que a equacao (6.27) e modificada para
∂µFµν = Jν + mF ν (6.30)
e agora e conservada
∂ν∂µFµν = ∂νJ
ν + m∂νFν = 0 , (6.31)
onde Jν = Jνe + jν
M e a corrente eletrica total (usual mais a topologicamente
induzida) como e tratada por Pisarski [21].
82
6.4 Introducao de um termo de Chern-Simons
no 2o setor
Tomando parte do formalismo proposto por Henneaux e Teitelboim [20], e por
Pisarski [21], e formulada uma lagrangiana que fornecera as equacoes de movi-
mento.
A lagrangiana encontrada e para o caso onde λ = 0, fazendo com que a
identidade de Bianchi seja preservada.
Assim,
∂µfµν + mf ν = Jν
m (6.32)
∂ν∂µfµν + m∂ν f
ν = ∂νJνm,
dessa forma recupera-se a expressao (6.21) .
As equacoes de campo sao geradas pela acao
S =
∫d3x
[−1
4fµνf
µν +m
2εµνλCµ∂νCλ + Jµ
mCµ −m∂µSCµ
](6.33)
com
∂µ∂L
∂ (∂µCν)= ∂µf
µν − m
2ενµα∂µCα (6.34)
e
∂L
∂Cµ
= Jµm −mεµνλ∂νCλ −m∂µS (6.35)
Este formalismo ainda esta sendo estudado.
Para a densidade de lagrangiana reproduzir corretamente as equacoes
de movimento propostas pelo formalismo em estudo, sem a necesidade de se
introduzir condicoes subsidiarias, talvez tenhamos que utilizar a formulacao nao
local como proposto no trabalho de Cardoso de Mello, Carneiro e Nemes [27].
Capıtulo 7
Conclusao
Nesta dissertacao apresentamos uma discussao da condicao de quantizacao de
Dirac na formulacao de dois fotons para o eletromagnetismo com monopolos
magneticos a partir das diversas abordagens da formulacao dada na literatura
em 3+1 D. A tecnica utilizada neste estudo e a da duplicacao de potenciais para
os campos, evitando a utilizacao de variaveis singulares nao locais (cordas de
Dirac), na eletrodinamica classica, examinando as simetrias no tratamento de
cargas eletricas e magneticas.
A introducao de um novo potencial nao aumenta o numero de variaveis
independentes. Esta afirmativa nao esta explicitamente demonstrada na literatu-
ra.
Alem de evitar a singularidade existente no potencial, esta formulacao
tem a vantagem de permitir a implementacao da rotacao dual para os potenciais,
o que nao e possıvel na formulacao usual.
Concluimos tambem que e possıvel escrever uma acao integral que de-
screva tanto as equacoes para os campos quanto para as partıculas, em uma
formulacao que leve em consideracao potenciais nao-locais.
Fazemos uma crıtica da quantizacao semi-classica, pois um sistema de
uma carga eletrica movendo-se no campo de um dipolo magnetico porta um
momento angular, que com o argumento semi-classico para a quantizacao do
dipolo-carga, gera um conflito com a mecanica quantica.
Concluimos que para a condicao de quantizacao de Dirac, e necessario
84
levar em consideracao nao somente o momento angular do campo eletromagnetico,
mas tambem o momento angular orbital, fazendo com que o momento angular
total do sistema seja uma quantidade conservada.
Aplicamos estas abordagens em 2+1 dimensoes na analise da quantizacao
do coeficiente do termo de CS. Concluimos que dependendo do setor escolhido,
podemos descrever o eletromagnetismo com fonte magnetica sem quebrar a iden-
tidade de Bianchi, e que em uma transformacao de dualidade podemos voltar ao
setor planar eletromagnetico usual e vice-versa. Comparamos nossas abordagens
com outras da literatura.
Apendice A
Notacao
Quantidades tri-dimensionais
Elemento de comprimento: dx
Elemento de area: d2x
Elemento de volume: d3x
Potencial vetor: ~B
Intensidade de campo eletrico: ~E
Densidade de carga: ~J
Momento: ~p
Energia: EHamiltoniana: HPotencial eletrico escalar: φe
Potencial magnetico pseudo-escalar: φm
Intensidade de campo magnetico: ~B
Densidade de corrente: ρ
ındices tensoriais: µ, ν, ... = 0, 1, 2
Metrica diag ηµν = (+,−,−)
Tensor unitario antissimetrico de ordem tres: ε012 = ε012 = +1
86
Quantidades quadri dimensionais
ındices tensoriais: µ, ν, ... = 0, 1, 2, 3
Metrica diag ηµν = (+,−,−,−)
Tensor unitario antissimetrico de ordem quatro: ε0123 = −ε0123 = +1
Elemento de hipersuperfıcie: dSµ
Elemento de quadri-volume: dΩ
Quadri-potencial do campo eletromagnetico: Aν =(φ, ~A
); Aν =
(φ,− ~A
)
Quadri tensor de energia-momento: T µν
Apendice B
Formulacao tipo fermion
B.1 Definicao
Utilizando o formalismo tipo fermion, fizemos uma tentativa de inserir fontes na
lagrangiana. Partindo pela insercao de termos em funcao das correntes e dos
campos eletrico e magnetico do tipo ~je. ~E e ~jm. ~B.
A densidade de lagrangiana L escrita em termos de ~je, ~E, ~jm e ~B fica:
L = α
[i ~E†
.
~E +i ~B†.
~B − ~E†(~s.~∇
)~B + ~B†
(~s.~∇
)~E+ (B.1)
+i ~Je~E† + i ~Je
~E + ~Jmi ~B† + ~Jmi ~B]
em que a quantidade α tem dimensao inversamente proporcional a massa e nao
altera as equacoes de movimento para os campos, e a quantidade(~s.~∇
)~B =
(si)jk
∂jBk e ~s sao tres matrizes 3× 3 definidas por (si)jk = −iεijk.
As equacoes para os campos podem ser obtidas das equacoes de Euler-
Lagrange.
∂L∂Ei
− ∂t∂L∂Ei
− ∂j∂L
∂ (∂jEi)= 0
sendo
−i∂ ~E†
∂t=
1
i
(~s.~∇
)i ~B† − i ~Je (B.2)
e
88
∂L∂Bi
− ∂t∂L∂Bi
− ∂j∂L
∂ (∂jBi)= 0
sendo
−1
i
∂i ~B†
∂t=
1
i
(~s.~∇
)~E† − 1
ii ~Jm. (B.3)
As equacoes de movimento para ~E e ~B provem de
∂L∂ ~E† = i
∂ ~E
∂t−
(~s.~∇
)~B + i ~Je = 0
e de
∂L∂ ~B† = i
∂ ~B
∂t+
(~s.~∇
)~E + i ~Jm = 0
dando
~∇× ~B =∂ ~E
∂t+ ~Je (B.4)
~∇× ~E = −∂ ~B
∂t− ~Jm (B.5)
Esta lagrangiana nao nos fornece as duas leis de Gauss com fontes
~∇. ~E = ρe (B.6)
~∇. ~B = ρm (B.7)
Da mesma forma, na tentativa de inserir as fontes na lagrangiana em
questao, utilizamos a transformacao
ψ → eiθ(x)ψ (B.8)
em que ψ e a funcao de onda para o foton do tipo
ψ =
( ~E
i ~B
)e ψ =
(~E† i ~B†
).
89
Vimos que a densidade de lagrangiana L nao e invariante sob esta trans-
formacao (B.8) .
L = ψ (iΓµ∂µ) ψ − ψ (Γµ∂µθ) ψ. (B.9)
Incluimos um termo de interacao do tipo gψΓµJµψ. Tal que
Jµ → Jµ + ∂µθ
sob a transformacao de calibre, e a densidade de lagrangiana L fica invariante
sob a transformacao.
L = ψ (iΓµ∂µ) ψ + gψΓµJµψ. (B.10)
Fizemos o mesmo procedimento acima para
ψ → eiα(x)Γ5ψ. (B.11a)
Incluimos um termo de interacao do tipo gψΓµΓ5Jµψ. Tal que
Jµ → Jµ + ∂µα.
A densidade de lagrangiana invariante sob a transformacao,
L = ψ (iΓµ∂µ) ψ + gψΓµΓ5Jµψ. (B.12)
Utilizamos as definicoes para as matrizes 6× 6,
Γ0 =
I 0
0 −I
, ~Γ =
0 s
−s 0
, Γ5 =
0 I
I 0
(B.13)
e
~S =
0 s
s 0
(B.14)
onde I e a matriz identidade 3× 3.
A funcao de onda para o foton ψ e do tipo
90
ψ =
~E
i ~B
e ψ =
(~E† i ~B†
). (B.15)
Para o primeiro caso, as equacoes para os campos saem de
∂L∂ψ
= (iΓµ∂µ) ψ + gΓµJµψ = 0 (B.16)
em que
i
∂t − (si)
jk ∂j
(si)jk ∂J −∂t
Ek
iBk
+
+g
J0 − (si)
jk Jj
(si)jk Jj −J0
−Ek
iBk
=
0
0
.
De onde tiramos as equacoes
~∇× ~B − ∂ ~E
∂t= −igJ0
~E + ig ~J × ~B (B.17)
e
~∇× ~E +∂ ~B
∂t= igJ0
~B + ig ~J × ~E. (B.18)
Para o segundo caso, o procedimento e o mesmo. Da densidade de la-
grangiana (B.12) , tira-se as equacoes.
~∇× ~B − ∂ ~E
∂t= gJ0
~B + g ~J × ~E (B.19)
e
~∇× ~E +∂ ~B
∂t= igJ0
~E − g ~J × ~B. (B.20)
Em seu artigo, Sudbery [19], encontrou uma densidade de lagrangiana
para as equacoes de Maxwell sem fontes magneticas: ∂µ.Fµν = Jν , ∂µ.F
µν = 0.
O que fizemos foi introduzir a fonte magnetica na lagrangiana, obtendo como
consequencia a quebra da identidade de Bianchi.
Escrevemos a densidade de lagrangiana como
91
~L = ~E ×(
~∇× ~B)− ~B ×
(~∇× ~E
)+
(~∇. ~E
)~B −
(~∇. ~B
)~E −
− ~B × ∂ ~B
∂t− ~E × ∂ ~E
∂t+ ~Je × ~E − ρe
~B + ~Jm × ~B + ρm~E (B.21)
que com o princıpio variacional para a integral de L fornece as equacoes de Euler-
Lagrange
εijk
(∂Ek
∂t+ Je
k
)+ ∂jBi − ∂iBj +
(~∇. ~B − ρm
)δij = 0; (B.22)
εijk
(∂Bk
∂t+ Jm
k
)+ ∂iEj − ∂jBi −
(~∇. ~E − ρe
)δij = 0; (B.23)
cujas partes simetrica e antissimetrica fornecem as quatro equacoes de Maxwell
com fontes, equacoes (B.4) , (B.5) , (B.6) e (B.7) .
Apendice C
Solucao classica para uma carga
eletrica em interacao com um
monopolo magnetico
Uma partıcula eletrica carregada e de massa m movendo-se com uma velocidade
~v no campo de um monopolo magnetico sentira a acao de uma forca de Lorentz.
Neste sistema interativo, a energia cinetica e uma constante de movimento e o
momento angular total define uma direcao no espaco e tambem e uma constante
de movimento. As orbitas descritas pela partıcula na direcao definida sao to-
das abertas, em um movimento espiralado dentro do vortice resultante de seu
movimento.
O momento angular orbital ~L da partıcula em interacao com o campo
magnetico do monopolo, para o caso estatico e dado por:
~L = m ~r × ~v (C.1)
a partıcula neste campo magnetico esta sob a acao de um torque ~τ proporcional
a forca de Lorentz ~F .
~τ = ~r × ~F (C.2)
esta forca interage com a partıcula que se move no campo magnetico.
93
~F = e ~v × ~B (C.3)
e dela se tira a aceleracao ~a que partıcula sofre neste processo de espalhamento.
~a =e
m~v × ~B (C.4)
em que o campo magnetico ~B e dado em funcao da carga do monopolo:
~B = g~r
r3. (C.5)
A substituicao das equacoes (C.3) e (C.5) na expressao do torque (C.2)
implica em
~τ =eg
r3
[r2 ~v − (~r.~v)~r
]. (C.6)
A partıcula sera livre(~τ = 0 e ~F = 0
)se ~v0 = v0 r. O torque tambem pode ser
escrito como
~τ =.
~L= m ~r×.
~v
com
~v =.
~r= r r + r.
r
e o momento angular total do sistema ~l sera identificado como uma constante de
movimento, de tal forma que:
.
~L= eg.
r (C.7)
ou seja
d
dt
(~L− e g r
)= 0 (C.8)
o momento angular total do sistema ~l e formado pelo momento angular orbital ~L
e pelo momento angular do campo eletromagnetico −e g r.
~l = ~L− e g r. (C.9)
A energia cinetica K tambem e conservada
94
K =1
2mv2
dK
dt= m ~v . ~a.
Da equacao (C.4) ve-se claramente que a velocidade e a aceleracao sao
perpendiculares entre si, implicando na conservacao da energia cinetica.
Pode-se utilizar o escalar l2 para escrever a expressao para a energia
cinetica em um movimento unidimensional.
l2 = m2(r2v2 − r2r2
)+ e2 g2 (C.10)
K =1
2m r2 +
1
2mr2
(l2 − e2 g2
)(C.11)
em que a energia eficaz Uef resulta em
Uef =1
2mr2
(l2 − e2 g2
)(C.12)
a qual implica na inexistencia de orbitas fechadas para a partıcula, pois como
K > 0 somente poderıamos ter o movimento sob ~l2 > e2 g2. De fato
~l2 − e2 g2 = ~L2 > 0.
Das equacoes (C.4) e (C.5) tambem temos
~a . ~r = 0 (C.13)
comd
dt
(~r .
.
~r)
= ~v2
e
~r ..
~r= ~v2 t + (~r . ~v)0 (C.14)
de tal forma que
r2(t) = v2 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r20. (C.15)
95
Figura˜C.1: Energia em funcao da coordenada r.
Da expressao do momento angular total do sistema e possıvel escrever o
vetor l2 e mostrar que ~l e conservado.
l2 = m2 r2 v20 sen2 γ + e2 g2
sendo que
sen2 γ =l2 − e2 g2
m2 v20 [v2
0 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r20]
, (C.16)
com (γ0 6= 0) .
Das equacoes (C.14) e (C.15) tem-se uma expressao para o cosseno de
γ :
cos γ =v0 t + r0 cos γ0√
v20 t2 + 2r0 v0 cos γ0 t + r2
0
,
o movimento sera livre quando γ0 for igual a zero ou π.
~L = 0
r(t) = r0 ± v0 t. (C.17)
O vetor momento angular total do sistema ~l e conservado e define uma
direcao no espaco, podemos escrever ~l apontando no sentido negativo do eixo-z.
96
E importante notar tambem que o produto escalar r.~l = − eg implica∣∣∣~l∣∣∣ cos α =
− eg, ou seja, o angulo formado entre o vetor posicao e ~l e constante.
cos α = −eg∣∣∣~l∣∣∣
= (π − θ) ,
para ~l = −l k.
Figura˜C.2: Trajetoria da partıcula na presenca de um monopolo.
A direcao de ~l depende das condicoes iniciais.
Como lz = −m r2ϕ, temos
ϕ =l
m r2, (C.18)
fazendo a integracao em funcao de t :
ϕ =l
m
∫ t
0
[v2 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r2
0
]−1dt, (C.19)
ou
ϕ =l
m v0 r0 sen γ0
arctan[v2
0 t + (~r . ~v)0]
v0 r0 sen γ0
+ ϕ0, (C.20)
que e valida para os valores de (γ0 6= 0, π), pois para (γ0 = 0, π) temos ϕ = ϕ0
onde foi utilizada a equacao (C.14). Isso implica que:
97
ϕ = ϕ0 +l∣∣∣~L∣∣∣arctan
[v20 t + (~r . ~v)0] m∣∣∣~L
∣∣∣.
Apendice D
Carga eletrica na presenca de um
dipolo magnetico
Neste apendice, fazemos com que uma carga eletrica esteja sujeita a acao de um
campo magnetico produzido por um dipolo magnetico. Tendo em vista a abor-
dagem proposta por Singleton, verificamos se o momento angular generalizado
fecha uma algebra e procuramos ir alem da analise de Singleton mostrando como
pode ser visto o problema comparacao com aquele proposto no capıtulo 5.
O operador hamiltoniano H formado por uma partıcula de carga eletrica
e um campo magnetico gerado por um dipolo magnetico mi e descrito por um
quadri vetor potencial Ai e dado por (5.1), em que Πi = pi − eAi.
O campo do dipolo e dado por
Fij = εijkBk (D.1)
sendo que Bk e
Bk = 3rk(rlml)
r5− mk
r3. (D.2)
Utilizando as equacoes (5.1) a (5.4) , as quais tambem sao validas aqui, encon-
tramos
Πi = eεijk
[3rk
(rlml)
r5− mk
r3
]rj. (D.3)
99
Dessa forma, a forca µ ri atuando sobre a partıcula pode ser escrita como
µ ri = e εijk Bkrj. (D.4)
A partir do momento angular do campo eletromagnetico Li em formado
pelo sistema carga-dipolo, e possıvel mostrar o torque Li em associado a este
momento angular.
Li em = e mir−1 − e mirkmkr
−3 (D.5)
Li em = − i
~[Li em, H] ,
que sera verificado com a ajuda das seguintes relacoes de comutacao
[r−1, H
]=
1
2µ
[r−1, ΠJ
]ΠJ +
ΠJ
2µ
[r−1, ΠJ
]; (D.6)
[r−1, ΠJ
]= r−2 (−i~∂Jr) ;
[ri, H] =1
2µ[ri, ΠJ ] ΠJ +
1
2µΠJ [ri, ΠJ ] ;
[ri, ΠJ ] = i~δij;
[r−3, H
]=
1
2µ
[r−3, ΠJ
]ΠJ +
1
2µΠJ
[r−3, ΠJ
];
[r−3, ΠJ
]= 3r−4 (−i~∂Jr) .
em que
Li em = − i
~e
2µ
(mi
[r−1, ΠJ
]ΠJ + miΠJ [ri, ΠJ ]
)+
+i
~e
2µ
([ri, ΠJ ] ΠJrkmkr
−3 + ΠJ [ri, ΠJ ] rkmkr−3
100
+ri [rk, ΠJ ] ΠJmkr−3 + riΠJ [rk, ΠJ ] mkr
−3
+rirkmk
[r−3, ΠJ
]ΠJ + rirkmkΠJ
[r−3, ΠJ
])
dando
Li em = e
[−mi
1
r3rJ rJ − ri rk mk
1
r3− ri rk mk
1
r3(D.7a)
+3ri rk mk1
r5rJ rj
].
O momento angular mecanico associado a carga Lmeci em movimento no
campo do dipolo e dado por
Lmeci = εilmrlΠm (D.8)
Com isso determina-se o torque Lmci associado a este momento angular
Lmeci = − i
~[Lmec
i , H]
= e (rl Bl ri − rl Bi rl)
= e
[2ri (rk mk)
1
r3− 3ri (rk mk)
1
r5(rl rl) + mk
(rl rl)
r3
]
A conservacao do momento angular canonico da carga Lcci , pode ser tirada de
Lmeci + Li em = e
[ri (rk mk)
1
r3− ri (rk mk)
1
r3
].
E possıvel mostrar o torque.
~Lem associado ao seu momento angular es-
crevendo o vetor potencial ~A que descreve campo magnetico gerado por um dipolo
magnetico ~m como
~A =~m× ~r
r3(D.9)
101
.
~Lem= ed
dt
(~r × ~A
), (D.10)
que, apos fazer a substituicao do vetor potencial ~A e realizar as derivadas corre-
spondentes, chega-se a expressao vetorial para (D.7a) .
.
~Lem= e
−
~m( .
~r . ~r)
r3−
~r( .
~r .~m)
r3+ 3
~r (~r . ~m)( .
~r . ~r)
r3
verificando-se a identidade (D.10) .
Da mesma forma com que anteriormente fora feita para o caso da equacao
para a conservacao do momento angular canonico da carga Lcci , este sera para o
caso vetorial:
.
~Lem +.
~Lmc
=.
~Lcc
(D.11)
Sabendo que o momento angular mecanico da carga ~Lmc e dado por
~Lmc = ~r × ~p− e ~r × ~A, (D.12)
com
.
~Lmc
=.
~r × ~p + ~r×.
~p −
− e
−
~m( .
~r . ~r)
r3−
~r( .
~r .~m)
r3−
.
~r (~r.~m)
r3+ 3
~r (~r . ~m)( .
~r . ~r)
r5
,
a equacao para a conservacao do momento angular canonico da carga.
~Lcc
sera
dado por
.
~Lcc
=d
dt(~r × ~p)
ou seja, como
.
~Lcc
= −e
~r
( .
~r .~m)
r3−
.
~r( .
~r .~m)
r3
(D.13)
cujas componentes sao
.
Lz
cc= −e
[m z z
r3− z m z
r3
]= 0
102
.
Lx
cc= −em
r3[x z − z x]
e.
Ly
cc= −em
r3[y z − z y]
ou seja
d
dt
(k.Lcc
z
)= 0.
A componente z de ~Lcc e paralela a direcao de k escolhida para o dipolo magnetico
e o momento angular canonico da carga e conservado.
Bibliografia
[1] J. J. Thomson, Elements of the Mathematical Theory of Eletricity and Mag-
netism, Cambridge University Press, Section 284 of the third (1904) and
subsequent editions.
[2] M. N. Saha, Indian J. Phys. 10, 141 (1936); Phys Rev. 75, 1968 (1949).
[3] P. A. M. Dirac, Phys. Rev. 74, 817 (1948).
[4] H. A. Wilson, Phys. Rev. 75, 309 (1949).
[5] E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley and Sons. 2nd. edition,
1961).
[6] N. Cabibbo e E. Ferrari, Il Nuovo Cim. 23, 1147 (1962).
[7] J. Schwinger, Phys. Rev. 144, 1087 (1966).
[8] F. Rohrlich, Phys. Rev. 150, 4 (1966).
[9] C. A. Hurst, Ann. Phys. 50, 51 (1968).
[10] A. Rabl, Phys. Rev. 179, 1363 (1969).
[11] D. Zwanziger, Phys. Rev. D 3, 880 (1970).
[12] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, Inc. 2nd. Ed.
New York, 1975).
[13] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon
Press 4th. Ed., 1975).
103
104
[14] T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).
[15] A. S. Goldhaber, Phys. Rev. D 16, 1815 (1977).
[16] H. Yamagishi, Phys. Rev. D 27, 2383 (1983).
[17] H. Yamagishi, Phys. Rev. D 28, 977 (1983).
[18] L. H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press 2nd. Ed.,
1985).
[19] A. Sudbery, J. Phys. A 19, L33 (1986).
[20] M. Henneaux e C. Teitelboim, Phys. Rev. Lett. 56, 689 (1986).
[21] R. D. Pisarski, Phys. Rev. D 34, 3851 (1986).
[22] T. Y. Wu, W. Y. P. Hwang, Relativistic Quantum Mechanics and Quantum
Fields (World Scientific Pub., 1991).
[23] M. Kaku, Quantum Field Theory (Oxford Ed., 1993).
[24] J. H. Schwarz e A. Sen, Nucl. Phys. B 411, 35 (1994).
[25] D. I. Olive, Exact Electromagnetic Duality (Talk given at Trieste Confer-
ence on Recent Developments in Statistical Mechanics and Quantum Field
Theory. April 1995).
[26] D. Singleton, Am. J. Phys. 64, 452 (1996).
[27] P. C. R. Cardoso de Mello, S. Carneiro, M. C. Nemes, Phys. Lett. B 384,197
(1996).
[28] S. Carneiro, JHEP. 9807, 022 (1998) [hep-th/9702036v2].
[29] D. Singleton, Am. J. Phys. 66, 697 (1998).
[30] C. A. P. Galvao, J. A. Mignaco, hep-th/0002182.
[31] R. L. Pakman, Phys. Lett. B 474, 309 (2000).
105
[32] E. M. C. Abreu e M. Hott, Phys. Rev. D 62, 7702 (2000).
[33] W. A. Moura-Melo, J. A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D 63, 65013 (2001).
[34] K. Li e C. Naon, Mod. Phys. Lett. A 16, 1671 (2001).
[35] J. A. Mignaco, Braz. J. Phys. 31, 235 (2001).
[36] A. A. Soares de Melo, Partıculas de spin fracionario em 2+1 dimensoes com
spin nao paralelo ao momento. (Dissertacao de Mestrado - FEG - UNESP
2001).
[37] W. J. Chen, K. Li e C. Naon, Classical electromagnetic field theory in the
presence of magnetic sources, hep-th/0109139.
[38] E. M. C. Abreu, J. A. Helayel-Neto, M. Hott e W.A. Moura-Melo, Phys.Rev.
D 65, 085024 (2002) [hep-th/0112179v2].
[39] W. A. Moura-Melo, Aspectos Peculiares das Eletrodinamicas de Maxwell e
Maxwell-Chern-Simons Planares. (Tese de Doutorado - CBPF 2001).
[40] A. I. Nesterov e F. A. de la Cruz, Phys. Lett. A 302, 253 (2002)
[hep-th/0208210].
[41] B. K. Glosh e P. B. Pal, A non-singular potential for the Dirac monopole,
hep-th/0209012.
Recommended