Conteudo

Lista de Figuras 8

Resumo 9

Abstract 10

1 Introducao 11

2 Introducao ao eletromagnetismo 14

2.1 Acao para a partıcula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Interacao partıcula-campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Quadri-corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Equacoes de movimento de uma carga em um campo . . . . . . . 19

2.5 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Transformacao de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Algumas formas para os potenciais e quantizacao semi-classica 28

3.1 Formas de potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Singularidade do potencial vetor . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 A corda de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Quantizacao semi-classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Analise da condicao de quantizacao de Dirac . . . . . . . . 35

4 Formulacoes com dois potenciais 41

4.1 Eletromagnetismo com carga magnetica e dois potenciais . . . . . 42

4.1.1 Forca de Lorentz a partir de um princıpio variacional . . . 45

1

2

4.1.2 Momento angular e condicao de quantizacao . . . . . . . . 52

4.2 Uma acao para a eletrodinamica com 2 potenciais . . . . . . . . . 54

5 Condicao de quantizacao 60

6 Equacoes de Maxwell e a reducao para 2+1 D 72

6.1 Uma nova visao para a dualidade de Hea-

viside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.1 A dualidade revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Magnetodinamica em 2+1 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2.1 Reducao dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3 Analise do 1o setor com e sem CS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4 Introducao de um termo de Chern-Simons no 2o setor . . . . . . . 82

7 Conclusao 83

A Notacao 85

B Formulacao tipo fermion 87

B.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

C Solucao classica para uma carga eletrica em interacao com um

monopolo magnetico 92

D Carga eletrica na presenca de um dipolo magnetico 98

Bibliografia 103

Lista de Figuras

3.1 Fluxo magnetico atraves de uma area hachurada . . . . . . . . . . 29

3.2 Corda de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Regioes de contorno do monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Representacoes de um monopolo. O primeiro como uma linha de

dipolos e o segundo como um solenoide. . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Duas cordas diferentes L e L ’, fornecendo potenciais vetores diferindo

por uma transformacao de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Carga e passando por um monopolo magnetico g. . . . . . . . . . 36

3.7 Dipolo de Thomson (cargas eletrica e e magnetica g em repouso). 37

C.1 Energia em funcao da coordenada r. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

C.2 Trajetoria da partıcula na presenca de um monopolo. . . . . . . . 96

9

PEIXOTO, B. Aspectos do Eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 Dimensoes

com Quebra da Identidade de Bianchi.

Guaratingueta, 2002, 105p. Dissertacao (Mestrado em Fisica) - Facul-

dade de Engenharia, Campus de Guaratingueta, Universidade Estadual Paulista.

Resumo

Nesta dissertacao estudamos algumas caracterısticas dos aspectos do

eletromagnetismo em 3+1 e 2+1 dimensoes com quebra da identidade de Bianchi.

Particularmente analisamos como obter a condicao de quantizacao de Dirac.

Damos atencao a formulacao de dois fotons para o eletromagnetismo com monopo-

los magneticos a partir das diversas abordagens da formulacao dada na literatura

em 3+1 dimensoes (3+1 D). Esta formulacao se caracteriza pela duplicacao de

potenciais para os campos, evitando a utilizacao de variaveis singulares (cordas

de Dirac) na eletrodinamica classica. A introducao de um novo potencial nao

aumenta o numero de variaveis independentes. Alem de evitar a singularidade

existente no potencial, esta formulacao tem a vantagem de permitir a implemen-

tacao da rotacao dual para os potenciais, o que nao e possıvel na formulacao

usual.

Fazemos uma crıtica da condicao de quantizacao feita por abordagem

semi-classica, e procuramos obter a condicao de quantizacao de Dirac de uma

forma simples utilizando a algebra su(2) para o momento angular total (eletro-

magnetico + mecanico) da partıcula de carga e em interacao com um monopolo

magnetico, bem como a representacao unitaria das rotacoes.

Alem disso, atraves de uma reducao dimensional, conseguimos escrever

uma formulacao para o caso de 2+1 dimensoes (2+1 D), com fontes magneticas,

sem a necessidade da quebra da identidade de Bianchi.

PALAVRAS-CHAVE: Eletromagnetismo; Quantizacao de Dirac; Monopo-

lo magnetico; Duplicacao de potenciais; Rotacao dual; Identidade de Bianchi.

10

PEIXOTO, B. Aspects of the electromagnetism in 3+1 and 2+1 dimen-

sions with the breaking of Bianchi Identity.

Guaratingueta, 2002, 105p. Dissertacao (Mestrado em Fisica) - Facul-

dade de Engenharia, Campus de Guaratingueta, Universidade Estadual Paulista.

Abstract

Here we have studied some aspects of the electromagnetism in 3+1 and

2+1 dimensions with the breaking of Bianchi Identity. Particularly we analyze

how to obtain the Dirac quantization condition. We give special attention to

the “two-photons” formulation for the electromagnetism according to the sever-

al approaches found in the literature. The main feature of this formulation is

the duplication of the potentials - from which we obtain the fields strengths -,

avoiding singular variables (Dirac strings) in the Classical Electrodynamics. The

introduction of a new potential does not increase the number of degrees of free-

dom. Besides this formulation allows the dual notation for the potentials what is

not possible in the usual formulation. We criticize the semi-classical quantization

condition and look for a way of obtain the Dirac quantization condition by using

the su(2) algebra of angular momentum (electromagnetic + mechanical) of the

particle of charge e interacting with a magnetic monopole.

Besides we get a formulation in 2+1 dimensions with magnetic source

without breaking the Bianchi identity. This is obtained by means of a dimensional

reduction.

Key-Words: Electromagnetism; Dirac quantization; Magnetic monopole;

Potential duplication; Dual rotation; Bianchi Identity.

Capıtulo 1

Introducao

Ha muito tempo, vem sendo estudada a questao da dualidade no eletromag-

netismo. Provavelmente, estes estudos ja vem sendo feitos desde a epoca de

Maxwell. De fato, as equacoes de Maxwell no vacuo apresentam simetrias. Pos-

suindo invariancia sob transformacao de Lorentz e sob dualidade eletromagnetica.

A invariancia de Lorentz pode ser verificada ao se escrever as equacoes de Maxwell

em funcao do tensor de intensidade de campo, que mesmo com a presenca de

fontes eletrica e magnetica, a dualidade e preservada. O que relaciona o tensor

de intensidade de campo com o seu dual e uma transformacao de dualidade, a

qual tambem pode ser implementada para as fontes.

A simetria de dualidade presente nas equacoes de Maxwell livres de fontes

[12] tem recebido bastante atencao nos ultimos anos, pois constitui um laboratorio

para entender o comportamento das solucoes e por causa de sua relacao com

as simetrias de dualidade presentes em teoria de cordas [25] e em teorias de

dimensoes espaco-temporais. Um dos objetivos principais e construir uma acao

simetrica sob dualidade e que seja manifestamente invariante de Lorentz, uma

vez que a acao de Maxwell usual, embora respeite a ultima, nao e invariante sob

a primeira. De fato, a lagrangeana que nos conduz as equacoes de Maxwell e

impar sob tal transformacao. Existem algumas maneiras de se construir acoes

que apresentam simetria de dualidade [3, 16, 20, 28, 30] sendo que algumas delas

necessitam duplicar o numero de potenciais [24], [34], [35] e outras tem como

variaveis independentes os proprios campos eletromagneticos [19], [32]. Um dos

12

nossos objetivos e a introducao de fontes para o campo eletromagnetico para duas

lagrangianas propostas na literatura e que usam os campos eletromagneticos como

variaveis independentes procurando generalizar os resultados das referencias [19]

e [32]. A tentativa de generalizar os trabalhos contidos nestas duas referencias,

se encontra no apendice B. Uma das propostas mais estudadas na literatura e

aquela de Schwarz e Sen [24] que, embora nao seja manifestamente covariante

e invariante de Poincare. Recentemente foi proposta uma versao generalizada

da acao de Schwarz-Sen que nao so inclui a extensao da simetria de dualidade,

tratando-a como um caso particular de uma simetria contınua, como tambem

promove a simetria contınua para local [31].

A introducao do monopolo magnetico aparece como uma necessidade

quando se deseja introduzir a dualidade no eletromagnetismo com fontes [12],

por outro lado a manutencao da mesma estrutura de potenciais, como e feito

usualmente no eletromagnetismo, implica em singularidades no potencial vetor.

Para evitar tais singularidades, Cabibbo e Ferrari propuseram o eletromagnetismo

com um potencial adicional [6]. Estudos da dualidade e consequencias da intro-

ducao de um potencial extra (duplicacao de potenciais) tem sido conduzidos por

Naon e colaboradores [37], [34] e por Singleton [26]. Pretendemos analisar como

esta proposta se traduziria no eletromagnetismo em 2+1 dimensoes. Embora nao

haja a simetria de dualidade em 2+1 dimensoes, podemos introduzir o monopolo

magnetico atraves da quebra da identidade de Bianchi, implicando tambem em

singularidades nos potenciais. Consequencias da quebra da identidade de Bianchi

tem sido analisadas recentemente [3], [16-18], [24], [26], [27-32].

O sistema de unidades escolhido e o de Heaviside-Lorentz.

No Capıtulo 2, apresentamos uma breve introducao ao eletromagnetismo

usual, com as equacoes de movimento da interacao partıcula-campo. Escrevemos

as equacoes de Maxwell e analisamos a invariancia dos campos sob uma transfor-

macao de calibre dos potenciais. No Capıtulo 3 faremos uma analise da condicao

de quantizacao de Dirac utilizando varias abordagens diferentes. Para a quanti-

zacao semi-classica, consideramos primeiramente a interacao entre uma partıcula

carregada eletricamente com o camo de um monopolo magnetico estacionario e

13

obtivemos, da dependencia do momento angular da partıcula com o produto das

cargas eletrica e magnetica, a condicao de quantizacao de Dirac. Em outra abor-

dagem, obtivemos a tal condicao pela interacao da partıcula eletrica com o campo

de um dipolo de Thomson, onde observamos que o momento angular do campo

eletromagnetico e dependente apenas do produto das cargas eletrica e magnetica

e nao da distancia entre elas esta abordagem esta feita no apendice D. Uma outra

abordagem foi feita para uma carga eletrica interagindo classicamente com o cam-

po magnetico de um monopolo magnetico. Aqui, partindo-se da hamiltoniana das

interacoes e da invariancia da equacao de Schrodinger sob uma transformacao de

calibre e da condicao para que a funcao de onda seja unıvoca, tiramos a condicao

de quantizacao de Dirac. No Capıtulo 4, discutimos os varios tipos de formal-

ismos de dois potenciais, em que escrevemos a condicao de quantizacao para o

momento angular, procurando por uma acao que descrevesse a eletrodinamica

usual neste formalismo. No Capıtulo 5, escrevemos sobre a condicao de quan-

tizacao utilizando um formalismo de operadores da Mecanica Quantica para a

interacao de uma partıcula de carga eletrica se movimentando em um campo ger-

ado por um monopolo magnetico. A abordagem que fizemos neste capıtulo, em

principio nao levou em consideracao a forma explicita do potencial vetor. Alem

do mais, tratamos tambem neste capıtulo, do momento angular total do sistema,

que foi importante para a obtencao da condicao de quantizacao, impondo-se uma

condicao de mınimo, conseguiu-se a posteriori, as representacoes para estes po-

tenciais, cujas formas foram do tipo do monopolo de Wu-Yang. Concluımos, no

Capıtulo 6, fazendo uma reducao de 3+1 dimensoes para 2+1 dimensoes do for-

malismo tratado ate o momento e conseguimos analisar a questao da dualidade e

do monopolo magnetico sem a necessidade de se quebrar a identidade de Bianchi.

Dissertamos tambem sobre solucoes planares para os campos e para o potencial

pseudo-escalar. Alem do mais, propusemos uma acao para o caso de 2+1 D e

escrevemos como seria a magnetodinamica neste espaco-tempo, inclusive quando

da introducao de um termo de Chern-Simons.

Capıtulo 2

Introducao ao eletromagnetismo

2.1 Acao para a partıcula livre

Nesta secao, vamos escrever uma acao para a partıcula livre, e utilizando as

equacoes de Euler-Lagrange, vamos escrever a equacao de movimento para a

partıcula.

O princıpio de Hamilton fornece as equacoes de Euler-Lagrange,

d

ds

[∂L

∂ (Uα)

]− ∂αL = 0,

em que (ds)2 = dxαdxα e o elemento infinitesimal de comprimento no espaco

quadri-dimensional.

A acao para a partıcula livre de massa m pode ser escrita em funcao do

tempo proprio τ da partıcula

S = −mc

∫ τb

τa

√UαUαdτ , (2.1)

e a integral se da ao longo da linha de universo da partıcula,

√UαUαdτ =

√dxα

dτ

dxα

dτdτ

√dxαdxα = ds

sendo que ds se relaciona com o tempo proprio da partıcula

15

ds = cdτ .

O quadri-vetor velocidade da partıcula pode ser escrito como

Uα =dxα

ds=

dxα

cdτ

assim, a acao fica sendo escrita em funcao de xα,

S = −mc

∫ b

a

√dxαdxα = −mc

∫ b

a

Uαdxα (2.2)

e a variacao da acao e tal que

δS = −mc

∫ b

a

Uαdδxα = −mcUαδxα |ba +mc

∫ b

a

δxαdUα

dτdτ (2.3)

com a variacao do caminho nos extremos δ (xα)a = δ (xα)b = 0, e tornando-a um

extremo δS = 0. Dessa forma, tem-se

mdUα

dτ= 0; m

d2xα

dτ 2= 0.

que e o esperado para o movimento de uma partıcula livre.

Mas uma partıcula se movendo em um campo eletromagnetico tambem

pode interagir com ele, e a acao agora tera duas partes. Uma referente a partıcula

livre e outra referente a interacao da partıcula com o campo. Isto sera visto na

secao seguinte.

2.2 Interacao partıcula-campo

Nesta secao e nas duas seguintes, discutiremos o eletromagnetismo usual como e

tratado na literatura [12].

Para uma partıcula movendo-se em um campo eletromagnetico, a acao

se da sob duas partes: a acao S para a partıcula livre, que e igual a(−mc

∫ b

ads

)

e mais um termo possuindo caracterısticas da partıcula e do campo, que descreve

a interacao da partıcula com o campo.

16

A carga e da partıcula interage com o campo eletromagnetico, que possui

propriedades caracterizadas por um quadri-vetor potencial Aµ, cujas componentes

sao funcoes das coordenadas e do tempo.

A acao de uma carga em um campo eletromagnetico possui a seguinte

forma:

S =

∫ b

a

(−mcds− e

cAµdxµ

). (2.4)

O quadri-vetor Aµ e decomposto em duas partes, uma parte temporal,

para µ = 0 usualmente chamada de potencial escalar φ e em uma outra parte,

para µ = 1, 2, 3 chamada de vetor potencial do campo ~A.

Aµ =(φ, ~A

). (2.5)

As equacoes de Maxwell na forma covariante podem ser escritas usando-

se o tensor de campo eletromagnetico Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, em que Fµν e seu dual∼F µν sao dois tensores covariantes de ordem dois, formados por seis quantidades

cada um. Dessa forma, as equacoes de Maxwell escritas na forma covariante

aparecem como: ∂µFµν = Jeν , assim como as equacoes homogeneas ∂µ

∼F µν= 0

A acao e descrita como

S =

∫ b

a

(−mcds +

e

c~A · d~r − eφdt

). (2.6)

Com o vetor velocidade da partıcula ~v e o tempo proprio para este ob-

jeto, e possıvel reescrever a acao para esta partıcula sobre influencia do campo

eletromagnetico.

d~r

dt= ~v e ds = cdt

(1− v2

c2

) 12

,

S =

∫ t2

t1

[−mc2

(1− v2

c2

) 12

+e

c~A · ~v − eφ

]dt (2.7)

O integrando e a lagrangiana para uma carga em um campo eletro-

magnetico:

17

L = −mc2

(1− v2

c2

) 12

+e

c~A · ~v − eφ. (2.8)

Esta funcao difere da lagrangiana para uma partıcula livre

[L = −mc2

(1− v2

c2

) 12

]

pelo termo ec~A · ~v − eφ.

Com a lagrangiana ja pronta, escreveremos a hamiltoniana H para este

sistema em questao.

A derivada ∂L∂~v

e o momento generalizado da partıcula, denotada por ~P ,

tal que:

~P =m~v

(1− v2

c2

) 12

+e

c~A = ~p +

e

c~A. (2.9)

onde ~p e o momento ordinario da partıcula, ou simplesmente seu momento.

A partir da lagrangiana (2.8) encontra-se a funcao hamiltoniana H para

uma partıcula em um campo.

H = ~v · ∂L

∂~v− L

(H− eφ

c

)2

= m2c2 +(

~P − e

c~A)2

. (2.10)

Para baixas velocidades, isto e, para a mecanica classica nao relativıstica,

a lagrangiana (2.8) reduz-se a

L =mv2

2+

e

c~A · ~v − eφ. (2.11)

Nesta aproximacao, ~p = m~v = ~P−e ~A, e encontra-se para a hamiltoniana:

H =1

2m

(~P − e

c~A)2

+ eφ, (2.12)

que e a hamiltoniana da interacao carga-campo.

Na proxima secao mostraremos a corrente escrita no espaco-tempo quadri-

dimensional, com sua parte temporal e sua parte espacial.

18

2.3 Quadri-corrente

Considerando uma distribuicao contınua de carga por todo o espaco, tem-se que

um elemento de volume dV possui uma quantidade de carga ea.

A densidade de carga ρ pode ser expressada atraves de funcoes delta δ

da seguinte forma:

ρ =∑

a

eaδ (~r − ~ra) (2.13)

onde ve-se que a densidade de carga e nula em quase todo lugar que se olhe,

mesmo somando sobre todas as cargas, exceto nos pontos em que ~r = ~ra. Tem-

se que ~ra e o raio vetor da quantidade invariante que e a carga ea. A carga e

invariante porque nao depende do sistema de referencia.

Em geral, a densidade de carga varia conforme a escolha do sistema

de referencia. Mas a carga contida no volume dV dada pelo produto, e uma

quantidade invariante. Dessa forma, tem-se que

de dxµ = ρ dV dxµ = ρ dV dtdxµ

dt. (2.14)

Como de e um escalar e dxµ e um quadri-vetor, o lado direito de (2.14)

tambem precisa ser um quadri-vetor, dessa forma, a quantidade deve ser um

quadri-vetor corrente Jµe , ja que dV dt e um escalar.

Jµe = ρ

dxµ

dt(2.15)

que pode ser separada em componentes temporal e espacial. A componente tem-

poral J0 e a propria densidade de carga, e a componente espacial ~j e o vetor

densidade de corrente ρ~v, sendo que ~v e a velocidade da carga em um dado pon-

to.

Jµe =

(cρ,~j

). (2.16)

Pode-se encontrar a carga que ocupa o espaco integrando ρ dV sobre

todo o espaco, ou

19

∫ρdV =

1

c

∫J0dV =

1

c

∫Jµ

e dSµ (2.17)

A integral e tomada sobre todo o hiperplano quadri-dimensional perpendicular

ao eixo t.

Agora, colocaremos uma carga na presenca de um campo, e estudaremos

como as equacoes de movimento para este sistema carga-campo sao escritas.

2.4 Equacoes de movimento de uma carga em

um campo

Uma carga localizada em um campo esta sujeita a acao de uma forca exercida

pelo campo e tambem ela interage com o campo alterando-o. A carga e pode

ser pequena o suficiente para nao afetar o campo, dessa forma, sua acao sobre

o campo pode ser desprezada. Nesse caso, quando se considera o movimento

da carga em um dado campo, e possıvel supor que o campo nao depende das

coordenadas ou da velocidade da carga.

A variacao da acao permite encontrar as equacoes de movimento. Das

equacoes de Lagrange

d

dt

(∂L

∂~v

)=

∂L

∂~r, (2.18)

onde L = −mc2(1− v2

c2

) 12+ e

c~A·~v−eφ, ∂L

∂~ve o momento generalizado da partıcula

e

∂L

∂~r= ~∇L =

e

c~∇

(~A · ~v

)− e~∇φ

Aplicando a formula da analise vetorial para ~∇(

~A · ~v)

, encontra-se

∂L

∂~r=

e

c

(~v · ~∇

)~A +

e

c~v × ~∇× ~A− e~∇φ.

Dessa forma, a equacao de Euler-Lagrange toma a forma:

d

dt

(~p +

e

c~A)

=e

c

(~v · ~∇

)~A +

e

c~v × ~∇× ~A− e~∇φ, (2.19)

20

mas a diferencial total d ~Adt

dt consiste de duas partes: ∂ ~A∂t

dt do potencial vetor

com o tempo em um ponto fixo no espaco e a carga devido ao movimento de um

ponto no espaco para outro em uma distancia d~r. Esta segunda parte e igual a(d~r · ~∇

)~A.

d ~A

dt=

∂ ~A

∂t+

(~v · ~∇

)~A.

Substituindo na derivada do momento

d~p

dt= −e

c

∂ ~A

∂t− e~∇ φ +

e

c~v ×

(~∇× ~A

). (2.20)

Esta equacao descreve o movimento de uma partıcula sob a acao de um

campo eletromagnetico. Ela mostra a taxa de variacao do momento da partıcula

com o tempo, e que em um campo eletromagnetico, a carga esta sob a acao

de uma forca composta de duas quantidades independentes da velocidade da

partıcula, uma chamada de intensidade de campo eletrico ~E e de uma quantidade

que depende da velocidade da partıcula, sendo perpendicular a ela, denotada de

intensidade de campo magnetico ~B.

~E = −1

c

∂ ~A

∂t− ~∇ φe; (2.21)

~B = ~∇× ~A. (2.22)

Um campo eletromagnetico e em geral uma superposicao dos campos

eletrico e magnetico podendo ser do tipo eletrico ou do tipo magnetico, se respec-

tivamente, ~B = ~0 ou ~E = ~0.

Escrita em funcao dos campos eletrico e magnetico, a equacao de movi-

mento fornece uma expressao chamada de forca de Lorentz:

d~p

dt= e ~E +

e

c~v × ~B. (2.23)

A forca que o campo eletrico exerce sobre a carga e independente da

velocidade da carga tendo a direcao do campo eletrico e a forca exercida pelo

21

campo magnetico sobre a carga e proporcional a velocidade e perpendicular em

relacao a velocidade e ao campo magnetico.

Para velocidades baixas comparadas com a velocidade de propagacao da

luz no vacuo, o momento da partıcula tende para a expressao nao relativıstica

m~v e a equacao de movimento (2.9) se torna

md~v

dt= e

(~E +

~v

c× ~B

). (2.24)

Ao achar a variacao da energia cinetica K da partıcula com relacao ao

tempo, encontra-se uma igualdade

dK

dt= ~v · d~P

dt,

a qual pode ser escrita como

dK

dt=

d

dt

m

(1− v2

c2

) 12

.

Sendo o momento ordinario da partıcula, denotada por ~p

~p =m~v

(1− v2

c2

) 12

(2.25)

~v · d~p

dt=

m(1− v2

c2

) 32

~v · d~v

dt. (2.26)

Portanto, tem-se a igualdade dKdt

= ~v · d~pdt

.

Trocando d~pdt

de (2.23) e lembrando que(~v × ~B

)· ~v = 0, tem-se que

dK

dt= e ~E · ~v. (2.27)

A variacao da energia cinetica com o tempo, descrita como uma funcao

do produto da velocidade da partıcula pela forca eletrica, e o trabalho realizado

pelo campo eletrico sobre a partıcula a cada instante de tempo. E durante um

certo deslocamento d~r da carga, este trabalho e dado por e ~E · d~r. O trabalho

realizado sobre a carga se da em funcao da acao do campo eletrico sobre a carga

22

e nao da acao do campo magnetico em uma carga em movimento, pois a forca

que o campo magnetico atua sobre a carga e perpendicular a velocidade da carga.

A seguir, escreveremos as equacoes de Maxwell para o eletromagnetismo

usual.

2.5 Equacoes de Maxwell

As equacoes usuais para os campos do eletromagnetismo classico possuem duas

equacoes nao homogeneas dadas por1:

~∇ · ~E = ρe, ~∇× ~B =∂ ~E

∂t+ ~Je, (2.28)

e duas equacoes homogeneas

~∇ · ~B = 0, ~∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0. (2.29)

As equacoes de campo para o vacuo, em que ρe = 0 e→J e= 0, evidenciam

uma simetria ao se fazer a transformacao dual de ~E → ~B e ~B → − ~E, em que

as duas equacoes de cima (2.28) se transformam nas duas de baixo (2.29) e vice-

versa. Este tipo de simetria se chama simetria dual do eletromagnetismo.

Os campos eletrico e magnetico podem ser escritos em funcao dos poten-

ciais(φe, ~A

), sendo dados pelas equacoes (2.21) e (2.22), devido a divergencia do

rotacional e do rotacional do gradiente serem iguais a zero.

A fonte obedece a uma equacao da conservacao, conhecida como equacao

da continuidade:

∂ρe

∂t+ ~∇. ~Je = 0. (2.30)

A equacao da conservacao da corrente pode ser escrita como:

∂µJµe = 0 (2.31)

onde Jµe e dado por (2.16).

1( A partir desta secao fazemos c = 1.)

23

Para escrever as equacoes de Maxwell, tem-se o tensor de campo eletro-

magnetico

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.

e seu dual Fµν .

Fµν =1

2εµνρσF

ρσ

onde εµνρσ e o tensor antissimetrico de ordem quatro, com εµνρσ = −εµνρσ.

εµνρσ =

+1 para µ = 0, ν = 1, ρ = 2, σ = 3,

e qualquer permutacao par

−1 para qualquer permutacao ımpar

0 se dois ındices forem iguais

O tensor εµνρσ e um pseudo tensor sob inversoes espaciais. O tensor de intensi-

dades de campo F µν e seu dual Fµν sao definidos como

F µν =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz By

Ey Bz 0 −Bx

Ez −By Bx 0

; (2.32)

e o dual

Fµν =

0 −Bx −By −Bz

Bx 0 Ez −Ey

By −Ez 0 Ex

Bz Ey Bx 0

. (2.33)

Podemos derivar as equacoes de Maxwell escrevendo a densidade de la-

grangiana

L = −1

4FµνF

µν =1

2

(~E2 − ~B2

). (2.34)

E possıvel mostrar que a hamiltoniana para o campo magnetico livre,

sendo a soma da energia eletrica e magnetica e dada por

H =1

2

(~E2 + ~B2

). (2.35)

24

As equacoes de Maxwell escritas na forma covariante sao derivadas de:

∂µFµν = Jeν (2.36)

de onde se tiram as equacoes (2.28) .

assim como de

∂µFµν = 0, (2.37)

se tiram as equacoes homogeneas (2.29) .

Finalizando este capıtulo, e possıvel mostrar, entretanto que recuperamos

a simetria dual se introduzimos fontes magneticas [3].

~∇ · ~E = ρe

~∇ · ~B = ρm

~∇× ~B = ∂ ~E∂t

+→J e

~∇× ~E = −∂ ~B∂t− →

Jm

. (2.38)

As densidades magneticas e eletricas obedecem a equacao da continuidade,

ou seja (2.30) e

∂ρm

∂t= −~∇· →Jm (2.39)

Assim, as equacoes de Maxwell com fontes (2.38) sao invariantes sob as

rotacoes duais:

~E → ~E cos θ + ~Bsenθ

~B → − ~Esenθ + ~B cos θ(2.40)

ρe → ρe cos θ + ρmsenθ

ρm → −ρesenθ + ρm cos θ(2.41)

→J e→

→J e cos θ+

→Jm senθ

→Jm→ − →

J e senθ+→Jm cos θ

, (2.42)

neste caso, nao ha como implementar a rotacao dual para os potenciais(φe, ~A

).

25

Os campos ~E e ~B diferem entre si por uma inversao espacial ou transfor-

macao de paridade (~r → −~r) , sendo vetores:(

~E, ~Je

); pseudo-vetores

(~B, ~Jm

);

escalar ρe e pseudo-escalar ρm. Para θ = −π2

:

~E → − ~B; ~B → ~E; ρe → −ρm;

ρm → ρe; ~Je → − ~Jm; ~Jm → ~Je.

Escrevendo as equacoes na forma covariante, define-se Eµ = F 0µ; Jµe =(

ρ, ~J)

; Jµm =

(ρm, ~Jm

), dessa forma, as equacoes de Maxwell ficam sendo

∂µFµν = Jν (2.43)

∂µ

∼F

µν

= Jνm. (2.44)

A densidade de lagrangiana (2.34) nao e invariante sob transformacao

de dualidade, mas a hamiltoniana (2.35) sim. Ha varias tentativas de se con-

struir uma acao para o eletromagnetismo que seja invariante sob transformacao

de dualidade e que forneca tanto as equacoes para os campos quanto para as

partıculas.

A forca de Lorentz para uma partıcula eletrica carregada sob acao de um

campo externo e dada em funcao dos campos, das cargas e da velocidade como

se ve na equacao (2.24)

Com a transformacao dual, e possıvel obter a forca de Lorentz para a

partıcula magnetica carregada g, de massa M, sob acao de um campo externo

dado por [26]

M·→u= g

(~B− →

u × ~E)

(2.45)

Na forma covariante, as equacoes (2.24) e (2.45) , sendo vν a quadri-

velocidade da carga e e sendo uν a quadri-velocidade da carga g, sao respectiva-

mente

26

m·v

µ= eF µνvν (2.46)

M uµ = g∼F

µν

uν (2.47)

nas quais o ponto se refere a diferencial com respeito ao tempo proprio. Quando

as cargas e e g atuam como fontes de um campo, fica evidenciada a conexao entre

as equacoes para as partıculas e as equacoes para os campos assim como Rohrlich

apresenta em seu trabalho [8].

Fizemos algumas tentativas de inserir fontes em lagrangianas escritas em

funcao dos campos eletrico e magnetico, sem muito sucesso, pois numa tentativa

perdemos as duas leis de Gauss com fontes, noutra tentativa, tınhamos uma

densidade de lagrangiana que era invariante sob transformacao de calibre, mas nao

fornecia as equacoes de campo corretamente e numa terceira tentativa, seguindo

a sugestao de Sudbery [19], conseguimos uma lagrangiana que fornecesse as equac

oes de Maxwell corretamente, mas com quebra da identidade de Bianchi. Estas

tentativas estao comentadas no Apendice B.

Mas ao se introduzir as cargas magneticas, surgem quantidades mal

definidas. O potencial vetor ~A devera possuir algum tipo de singularidade. Pois se

analisarmos o fluxo magnetico atraves de uma esfera S2 que contorna o monopo-

lo com carga magnetica g, teremos∫

S2~B.d~S =

∫S2

(~∇× ~A

).d~S = 0, embora,

devido ao monopolo, tenhamos fluxo igual a 4πg.

Desta forma, a acao para o eletromagnetismo usual e dada por

S = −∫ [

1

4FµνF

µν + m√

gαβuαuβ + euαAα

]ds (2.48)

sendo uα a quadri-velocidade da carga e m sua massa.

A seguir, veremos que os campos eletrico (2.21) e magnetico (2.22) per-

manecem invariantes ao se fazer uma transformacao nos potenciais φ e ~A.

27

2.6 Transformacao de calibre

Dados os potenciais escalar φ e vetor ~A, estes determinam de forma unıvoca os

campos eletrico ~E e magnetico ~B dados por (2.21) e (2.22). Isto e mostrado ao

se acrescentar para cada componente do potencial a quantidade − ∂χ∂xµ em que χ

e uma funcao arbitraria das coordenadas espaciais e do tempo. Dessa forma, o

potencial Aµ se transforma como

A′µ = Aµ − ∂χ

∂xµ. (2.49)

Como consequencia desta mudanca, aparececra na integral da acao (2.4) mais um

termo escrito como

e∂χ

dxµdxµ = d(eχ). (2.50)

Esta e uma diferencial total e nao faz efeito sobre as equacoes de movimento.

Escrevendo (2.49) na forma

~A′ = ~A + ~∇ χ e φ′ = φ− ∂χ

∂t, (2.51)

ve-se que os campos eletrico e magnetico determinados pelas equacoes (2.21) e

(2.22) permanecen invariantes ao se trocar φ e ~A, por φ′ e ~A′, definidos por (2.51).

Dessa forma, os campos nao sao alterados pela transformacao dos potenciais, e

os potenciais nao sao definidos de forma unıvoca.

O potencial ~A de (2.51) difere de ~A′ por uma transformacao de cali-

bre, assim como o potencial φ de (2.51) difere de φ′ por uma transformacao de

calibre. As quantidades que possuem significado fısico sao invariantes sob esta

transformacao dos potenciais, e essa invariancia e chamada de invarianca de cal-

ibre. Como χ e uma funcao arbitraria, e possıvel escolher potenciais φ = 0, ou

~A = 0.

No capıtulo seguinte, escreveremos algumas formas para estes potenciais

e usaremos argumentos semi-classicos para mostrar a quantizacao de Dirac.

Capıtulo 3

Algumas formas para os

potenciais e quantizacao

semi-classica

Neste capıtulo e feito um estudo de algumas formas de solucao para os potenci-

ais, tanto do potencial vetor magnetico usual com sua singularidade, quanto do

potencial escalar eletrico e das solucoes tipo Wu-Yang e Schwinger. Estuda-se

tambem a condicao de quantizacao classica do tipo Dirac.

Em princıpio, parte-se da interacao entre uma carga eletrica e um campo

magnetico gerado por um monopolo magnetico.

3.1 Formas de potenciais

3.1.1 Singularidade do potencial vetor

O monopolo de Dirac pode ser expresso como uma generalizacao do monopo-

lo eletrico. Por analogia, a forma do campo eletrico ~E = e ~rr3 de uma carga

eletrica pontual pode ser generalizado para o campo magnetico de um monopolo

magnetico pontual:

~B = g~r

r3(3.1)

29

Da mesma forma que o campo eletrico, o campo magnetico e radial e

possui a forma da lei de Coulomb. O campo pode ser escrito em funcao de um

gradiente: ~B = −g~∇ (1r

). Como o laplaciano da funcao 1

rpode ser escrito em

funcao de uma delta expressa por −e δ3 (~r) tem-se que as equacoes de Maxwell

podem ser generalizadas a fim de se incluir um divergente do campo magnetico:

~∇. ~E = eδ3 (~r)

~∇. ~B = gδ3 (~r)

(3.2)

correspondendo a cargas eletricas e magneticas pontuais. Assim como o fluxo do

campo eletrico, uma vez que o campo magnetico seja radial, o fluxo magnetico

total atravessando uma casca esferica que contorna a origem e igual a g.

Figura˜3.1: Fluxo magnetico atraves de uma area hachurada

Havera uma contradicao ao se expressar os campos em funcao dos po-

tenciais.

~E = −~∇φ,

~B = ~∇× ~A

. (3.3)

Usualmente o campo magnetico pode ser escrito em funcao do rotacional

do potencial vetor devido a nao existencia de fontes, sendo assim ~∇.~∇× ~A = 0.

E possıvel evitar essa identidade se houver uma funcao delta com um

tipo de singularidade no campo ~A. Para visualizar esta situacao, presume–se

uma casca esferica que contorna o ponto do monopolo (figura (3.1)). Em sua

parte superior, ha um pequeno cırculo centrado em torno do polo norte. O fluxo

do campo magnetico atraves desta superfıcie:

30

∫~B.d~S =

∮~A.d~l. (3.4)

e tal que a sua variacao nessa superfıcie se da de acordo com a variacao do

angulo θ representado na referida figura. Como Φ (r, θ) para r > 0, e igual ao

fluxo magnetico atraves de uma superfıcie esferica, area hachurada da figura

(3.1), contornada por uma curva, ou seja, Φ (r, θ) = 124πg(1 − cos θ). Para θ =

0, Φ (r, 0) = 0. A medida em que o angulo θ vai aumentando, o fluxo que atravessa

a superfıcie hachurada tambem vai aumentando, ate que para θ = π, Φ (r, π) =

4πg. Mas, para θ = π, o contorno retoma novamente a forma de um ponto.

Contudo, Φ (r, π) = 0.

Resultando assim na exigencia de vınculos finitos relacionados ao fluxo

Φ (r, θ) . Com essas consideracoes, o potencial vetor ~A e singular em θ = π.

Figura˜3.2: Corda de Dirac

Portanto, uma singularidade nao fısica se estende abaixo do polo sul a

partir da origem chamada de corda de Dirac. O mesmo argumento pode ser usado

para a escolha de θ = 0, e a singularidade se extendendo acima do polo norte

(figura (3.2)).

Pode-se tentar escrever uma funcao para o potencial vetor de tal forma

que ela tenha singularidade em −z.

Ax = g −yr(r+z)

Ay = g xr(r+z)

Az = 0

. (3.5)

31

Em coordenadas esfericas, as componentes do potencial vetor podem ser

escritas como

Ar = 0

Aθ = 0

Aφ = ±g 1∓cos θr senθ

(3.6)

A Figura (3.3) representa uma regiao de contorno do monopolo de Wu-

Yang [14]. Considere um monopolo magnetico estatico de intensidade g 6= 0 na

origem ~r = 0 e a regiao R do espaco-tempo em consideracao sendo todo espaco-

tempo menos a origem ~r = 0. Dividamos R em duas regioes de contorno R+,

representando a regiao norte e R− representando a regiao sul. Desta forma e

possıvel definir ~A+ e ~A−, cada um livre de singularidades em suas regioes re-

spectivas, tal que seus rotacionais sao iguais ao campo magnetico, e que estao

relacionados por uma transformacao de calibre na regiao de contorno. As regioes

de contorno podem ser:

R+ : 0 ≤ θ <π

2 + δr > 0, 0 ≤ φ < 2π, ∀ t (3.7)

R− :π

2− δ< θ ≤ π r > 0, 0 ≤ φ < 2π, ∀ t (3.8)

sendo que a regiao de contorno se extende por π2−δ

< θ < π2+δ

. Assumindo que

0 < δ ≤ π2.

Incluindo os dois semi-hemisferios tem-se que

~A+ (~r) = g1− cos θ

r senθeφ; ~A− (~r) = −g

1 + cos θ

r senθeφ (3.9)

sendo compatıvel com o ~B da equacao (3.1) pois ~∇× ~A+ = g ~rr3 em toda regiao

menos para θ = π onde ~A+ e singular, e ~∇× ~A− = g ~rr3 em toda regiao menos para

θ = 0 onde ~A− e singular . A casca esferica possui duas regioes de contorno, que

em parte se sobrepoem (figura (3.3)) [14], sendo que uma exclui o polo norte e a

outra o polo sul, conforme a escolha para a corda de Dirac.

De tal forma que o potencial vetor ~A possa obedecer a relacao ~B = ~∇× ~A.

Assim tem-se que ~∇ × ~A+ = ~B em toda parte, exceto no eixo z negativo onde

32

Figura˜3.3: Regioes de contorno do monopolo

θ = π e portanto ~A+ e singular. Da mesma forma, tem-se que ~∇× ~A− = ~B em

toda parte, exceto no eixo z positivo onde θ = 0 e portanto ~A− e singular.

Portanto, espera-se que ~∇×(

~A+ − ~A−)

= 0, pois deve haver uma funcao

χ tal que ~A+− ~A− = ~∇χ. Mas o complemento do eixo z nao possui uma conexao

simples, e χ precisa ser definido localmente. Considerando θ = π2, e fazendo a

subtracao

~A+ − ~A− = ~∇ (2gφ) = ~∇χ (3.10)

Note que desde que φ seja um angulo, a funcao χ nao e contınua, pois

se ela fosse contınua, nao haveria fluxo. De fato, se f denota a esfera unitaria no

R3, com f± os hemisferios superior e inferior respectivamente e Eq o equador, o

fluxo pode ser dado por

∫

f

~B.d~S =

∫

f+

(~∇× ~A+

).d~S +

∫

f−

(~∇× ~A−

).d~S

=

∫

Eq

~A+.d~l −∫

Eq

~A−.d~l =

∫

Eq

~∇χ.d~l = 4πg.

Na sub-secao seguinte, tendo em mente a questao da singularidade do

potencial vetor tratada nesta secao, vamos abordar a corda de Dirac e escrever a

razao dela nao ser um observavel fısico.

33

3.1.2 A corda de Dirac

Imagina-se a carga magnetica g estando no fim de uma linha de dipolos ou de

um solenoide de espiras delgadas infinitas. O vetor potencial elementar d ~A para

um elemento de dipolo magnetico d ~M em ~x′ e

d ~A(~x) = −d ~M×~∇(

1

|~x−~x′|)

(3.11)

Para uma linha de dipolos ou solenoide cuja loclizacao e dada pela corda L o

vetor potencial e

~AL(~x) = −g

∫

L

d ~l×~∇(

1

|~x−~x′|)

(3.12)

Exceto sobre a corda, esse vetor potencial possui um rotacional dirigido radial-

mente para fora no final da corda, varia com o inverso do quadrado da distancia,

com fluxo total da ordem de g, como ja esperado para o campo ~B do monopolo

g. Na corda, o vetor potencial e singular. Esse comportamento singular e equi-

valente a um campo ~B′ dentro do solenoide e ocasionando uma contribuicao de

retorno de fluxo (−g) ao longo da corda para cancelar o fluxo do polo para fora.

Figura˜3.4: Representacoes de um monopolo. O primeiro como uma linha de

dipolos e o segundo como um solenoide.

Para exibir o campo de um monopolo, escreve-se

~Bmonopolo = ~∇ × ~A − ~B′

sendo que ~B′ existe apenas sobre a corda (ou dentro do solenoide).

34

Dirac sustentava que para descrever a interacao do eletron com o monopo-

lo magnetico, era obrigatorio que o eletron nunca visse o campo ~B′ singular. A

funcao de onda vai a zero ao longo da corda.

Os observaveis fısicos nao podem depender da posicao da corda. A escolha

de posicoes diferentes para a corda, equivalem a diferentes escolhas de calibre

na equacao de Schrodinger e da estimativa da funcao de onda, implicando na

condicao de quantizacao. Considerando duas cordas diferentes L e L′, como

mostrado na figura (3.5). A diferenca dos dois vetores potenciais e dado por

(3.12) com a integral tomada ao longo do caminho fechado C = L′ −L em torno

da area S.

~AL − ~AL′ = −g

[∫

L

d ~l′×~∇(

1

|~x−~x′|)−

∫

L′d ~l′×~∇

(1

|~x−~x′|)]

que fornecera

= −g

∮

C

d ~l′×~∇(

1

|~x−~x′|)

em que C e o contorno de L + L′, resultando em

= −g

∮

C

d ~l′×(

~x−~x′

|~x−~x′|3)

. (3.13)

Esta integral, nao e exatamente, mas possui a forma de um gradiente de angulo

solido formado pelo elemento de area dS de uma curva fechada C contornando a

superfıcie S:

~∇ΩC =

∫d~l × ~r

r3.

Assim,

~AL′(~x) = ~AL (~x) +g~∇ΩC (~x) (3.14)

onde ΩC e o angulo solido compreendido pelo contorno C no ponto de observacao

~x.

Assim comparando com a transformacao de calibre vemos que a variacao

da corda L da equacao (2.51) para L′ e equivalente a uma transformacao de

calibre com χ = g ΩC .

35

Figura˜3.5: Duas cordas diferentes L e L ’, fornecendo potenciais vetores diferindo

por uma transformacao de calibre.

Nesta secao, vimos algumas formas de potenciais, a corda de Dirac e

transformacao de calibre dos potenciais. Agora, vamos abordar a quantizacao

semi-classica para o nosso formalismo.

3.2 Quantizacao semi-classica

3.2.1 Analise da condicao de quantizacao de Dirac

Nesta parte, sao utilizadas consideracoes semiclassicas para analisar a condicao

de quantizacao de Dirac dada na literatura [12]. Considera-se a deflexao de uma

partıcula pelo campo de um monopolo magnetico estacionario de carga magnetica

g (figura (3.6)). Para um parametro de impacto grande, a variacao do estado

do movimento da partıcula carregada pode ser determinada atraves da forca

de impulso. A partıcula incide paralelamente ao eixo z com um parametro de

impacto b a uma velocidade v e esta sob acao do campo magnetico do monopolo

dado pela equacao (3.1) de acordo com a forca de Lorentz (2.24), para ~E = 0.

Na aproximacao da partıcula, a forca atuando sobre a partıcula possui apenas a

componente y, dada por

Fy = evBx = egvb

(b2 + v2t2)32

. (3.15)

Considerando a deflexao instantanea de uma carga eletrica por um monopolo

muito pesado situado na origem,

36

Figura˜3.6: Carga e passando por um monopolo magnetico g.

o impulso 4py transmitido pela forca Fy e dado por

4py = egvb

∫ ∞

−∞

dt

(b2 + v2t2)32

=2eg

b. (3.16)

Como o impulso e na direcao do eixo y, a partıcula e defletida para fora do

plano da (figura (3.6)). Na deflexao, o momento angular da partıcula e alterado,

ficando independente do parametro de impacto b e da velocidade v da partıcula

carregada

4Lz = b4py = 2eg (3.17)

o momento angular da partıcula depende apenas do produto eg, sendo um valor

universal para uma partıcula carregada passando por um monopolo estacionario.

Supondo que o momento angular e quantizado em multiplos inteiros de ~, tem-se

a condicao de quantizacao de Dirac [3] 2eg = n~, ou

eg = n(~/2). (3.18)

Em uma outra abordagem, usamos o momento angular do campo eletro-

magnetico de um dipolo de Thomson [12] que e formado por um monopolo

magnetico e por uma carga eletrica. Se o monopolo g e localizado em ~x = ~R

e a carga e em ~x = ~0, como na figura (3.7), os campos eletrico e magnetico em

todo o espaco sao

37

Figura˜3.7: Dipolo de Thomson (cargas eletrica e e magnetica g em repouso).

~B = g~n′

r′2(3.19)

~E = e~n

r2(3.20)

em que r′ =∣∣∣~x−~R

∣∣∣ , r = |~x|, ~n′ e o vetor unitario na direcao de ~x−~R, e ~n e o

vetor unitario na direcao de ~x.

O momento angular e dado pela integral

~Lem =

∫~x×

(~E× ~B

)d3x (3.21)

Fazendo a substituicao do campo eletrico da equacao (3.20) e da propriedade da

identidade vetorial, pode-se asim expressar a funcao ~Lem como sendo

~Lem = −e

∫ (~B·~∇

)~nd3x

Integrando por partes,

~Lem = −e

∫~n

(~∇· ~B

)d3x− e

∫

s

~n(

~B·~ns

)da

onde a segunda integral e sobre uma superfıcie S no infinito e ~ns e a normal exte-

rior aquela superfıcie. Tomando ~B da equacao (3.19), esta integral de superfıcie

se reduz a g∫

~ndΩ = 0, desde que ~n tenha direcao radial e valor medio angular

zero. Desde que ~B seja causado por um monopolo pontual localizado em ~x=~r,

seu divergente sera ~∇· ~B=g δ(~x−~R

). Portanto, o momento angular do campo e

38

~Lem = −eg~R∣∣∣~R∣∣∣, (3.22)

que e a solucao encontrada por Thomson [1]. A direcao e da linha que vai da carga

eletrica para a carga magnetica, com magnitude igual ao produto das cargas.

Este resultado e usado para tirar a condicao de quantizacao de Dirac

entre cargas eletrica e magnetica por argumentos semi-classicos. Requerendo que

o momento angular do campo na equacao (3.22) seja um multiplo inteiro de ~/2,

tira-se a condicao de quantizacao de Dirac

eg = n(~/2). (3.23)

o fato de ter n/2 ao inves de n e devido a se considerar apenas o momento angular

do campo e a necessidade de se postular quantizacao n/2 de ~Lem este argumento

foi usado por Saha [2] e Wilson [4] para derivar a condicao de quantizacao de

Dirac.

Outro ponto importante a ser visto na equacao (3.22) e que o momento

angular do campo depende das cargas e e g mas nao da distancia entre elas.

Ate agora escrevemos a condicao de quantizacao de Dirac a partir de

uma carga eletrica que passa pelo campo de um monopolo magnetico estatico

e do campo eletromagnetico de um dipolo tipo Thomson. Em uma outra abor-

dagem, vamos derivar a relacao da condicao de quantizacao de Dirac [3] para uma

partıcula de carga eletrica e interagindo classicamente com o campo magnetico

de um monopolo g.

Partimos da hamiltoniana das interacoes H, equacao (2.12) em que φe

e ~A sao os potenciais escalar e vetor das fontes externas.

E bem sabido na mecanica quantica, que uma variacao de calibre do

potencial eletromagnetico, faz com que a forma da equacao de Schrodinger seja

invariante se a funcao de onda e transformada de acordo com

ψ → ψ′ = ψeieχ/~

− ~2

2m~∇2

ψ = i~∂ψ

∂t

39

em que e e a carga da partıcula e χ e a funcao de calibre. Uma mudanca na

localizacao da corda de L para L′ (figura (3.5)), necessita ser acompanhada por

uma modificacao da fase da funcao de onda do eletron,

ψ → ψ′ = ψeiegΩC/~ (3.24)

as funcoes de onda ψ e ψ′ sao monovalentes, mas se fazemos uma rotacaocompleta

da carga, o angulo solido ΩC varia de 4π, como queremos a funcao de onda

monovalente, devemos tereg∆ΩC

~= n2π

como ∆ΩC = 4π, temos

eg =n~2

, (n = 0,±1,±2,±3, ...) (3.25)

que e a condicao de quantizacao de Dirac. Ela vem da necessidade geral da

invariancia de calibre e da estimativa da funcao de onda, independente da local-

izacao da corda do monopolo.

A condicao de quantizacao de Dirac tem a seginte imperpretacao fısica:

Classicamente, nao ha muita diferenca entre um monopolo magnetico e

um solenoide muito longo e fino. O campo dentro do solenoide e diferente, mas

no limite em que o solenoide se torna infinitamente longo e infinitamente fino,

de tal forma que dentro do solenoide nao seja possıvel realizar um experimento

classico, o campo no final do solenoide e indistinguıvel do campo de um monopolo

magnetico.

Quanticamente, pode-se a princıpio detectar o solenoide por um modelo

de interferencia quantica predita pelo efeito Aharanov-Bohm. A condicao para a

ausencia da interferencia e a condicao de quantizacao de Dirac.

Ate aqui, estudamos alguns aspectos do eletromagnetismo classico, es-

crevemos as equacoes de Maxwell, vimos que podemos escrever algumas formas

para os potenciais que descrevem os campos, a questao da singularidade do vetor

potencial. Estudamos tambem algumas abordagens para a quantizacao semi-

classica. Agora vamos introduzir em nossa formulacao um segundo potencial e

40

descrever o eletromagnetismo e as novas implicacoes deste formalismo.

Capıtulo 4

Formulacoes com dois potenciais

Neste capıtulo, vamos inserir um novo potencial no eletromagnetismo usual de-

scrito nos capıtulos anteriores. Esta formulacao com dois potenciais possui a

vantagem sobre a abordagem usual de nao se necessitar trabalhar com o conceito

da corda de Dirac. Tambem e possıvel estabelecermos a covariancia de Lorentz e

a simetria de dualidade su(2) da teoria classica de campos para cargas eletrica e

magnetica.

Varios autores trabalharam com este tipo de formulacao, introduzido por

Cabibbo e Ferrari [6], que mostraram que a introducao de um segundo potencial

nao altera o numero de graus de libedade, ou de variaveis independentes que

descreve o campo livre devido as transformacoes da calibre extras misturadas.

O potencial adicional implica em uma compensacao dos graus de liberdade pelo

aumento do grupo de transformacoes de calibre. Nao demonstraremos aqui que

o segundo potencial nao aumenta o numero de graus de liberdade, nem este

calculo encontra-se explıcito na literatura. A duplicacao de potenciais tambem e

estudada por Li, Naon e colaboradores [37], [34], que tratam de uma formulacao

dual classica. Mignaco e Galvao, em seus trabalhos [35], [30] abordam a simetria

de dualidade de Heaviside, encontrando uma hamiltoniana canonica para seu

sistema. Outro pesquisador que trabalhou com este formalismo foi Singleton [26],

que simplifica o tratamento de cargas eletricas e magneticas, tratando-as como

cargas de calibre. Tambem ha os trabalhos de Rorlich [8] que obteve equacoes

de campo e de partıculas pela teoria classica de monopolos magneticos, Mello-

42

Carneiro-Nemes [27], que formulam uma lagrangiana nao-local que fornece as

equacoes locais para a eletrodinamica dual.

4.1 Eletromagnetismo com carga magnetica e

dois potenciais

Esta secao consiste de uma revisao do trabalho de Dirac, tratado primeiramente

por Cabibbo-Ferrari [6]. E feito um estudo da simetria das equacoes de Maxwell

apos a adicao de cargas e correntes magneticas. Essa simetria, como foi vista na

secao (2.4), relacionando cargas eletricas e magneticas e chamada de simetria de

dualidade do eletromagnetismo.

Os objetivos desta secao sao, a partir do trabalho de revisao feito por

Singleton [26], onde e abordado o problema de dois fotons no eletromagnetismo,

apresentar um formalismo para o foton dual e a lagrangiana covariante do eletro-

magnetismo com carga magnetica, expor as equacoes da forca de Lorentz e o

tensor de energia-momento, e subsequentes condicoes de quantizacao do momen-

to angular.

A tecnica utilizada neste estudo e a da duplicacao de potenciais tratado

por varios autores [24], [26], [37] e [35] para os campos ~E e ~B, evitando a utilizacao

de variaveis singulares nao locais (cordas de Dirac), na eletrodinamica classica,

examinando as simetrias no tratamento de cargas eletrica e magnetica.

Dessa forma, as equacoes de campo, em funcao dos dois potenciais, po-

dem ser derivadas da lagrangiana encontrada; as equacoes de Lorentz podem ser

obtidas a partir da quadri-divergencia do tensor de energia-momento, proveniente

de uma lagrangiana modificada.

Discutimos o monopolo de Dirac, a questao da duplicacao de potenciais

para se evitar a singularidade do potencial vetor ao se introduzir fonte de cargas

magneticas nas equacoes de Maxwell e uma analise da condicao de quantizacao

da carga no eletromagnetismo classico. Com a introducao das cargas eletrica e

magnetica, as equacoes de Maxwell se tornam mais simetricas.

Introduzindo dois potenciais quadrivetores : Aµ =(φe, ~A

)e Cµ =

43

(φm,

→C

)e redefine-se o tensor de intensidade de campo como

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − εµναβ∂αCβ, (4.1)

e o seu dual

Fµν =1

2εµναβFαβ.

Note que neste caso, a rotacao dual tambem pode ser introduzida para os poten-

ciais

Aµ → Aµ cos θ + Cµsenθ (4.2)

Cµ → −Aµsenθ + Cµ cos θ, (4.3)

que e compatıvel com a rotacao. O mesmo procedimento pode ser feito para as

cargas e para as correntes.

Espressando as novas definicoes para os campos em funcao destes novos

potenciais

~E = −~∇φe −∂ ~A

∂t− ~∇× →

C, (4.4)

~B = −~∇φm −∂→C

∂t+ ~∇× ~A. (4.5)

Note que φm se comporta como um pseudo-escalar e→C e um pseudo-vetor.

A tecnica de duplicacao de potenciais de Cabibbo e Ferrari [6], permite

a eliminacao da singularidade nos potenciais. E Fµν dado por ( 4.1) e invariante

sob as transformacoes

Aµ → Aµ + ∂µΛ (4.6)

Cµ → Cµ + ∂µΓ (4.7)

Aµ → Aµ + A′µ (4.8)

44

Cµ → Cµ + C ′µ (4.9)

tal que seja respeitada a seguinte condicao

∂µA′ν − ∂νA

′µ − εµναβ∂αCβ′ = 0. (4.10)

Cabibbo e Ferrari mencionam que a introducao destes campos extras Cµ

de fato nao leva a um aumento no numero de graus de liberdade independentes.

Analisando os campos livres em termos de fotons ainda teremos dois fotons para

cada valor do momento linear. A funcao de onda de um dado foton dependera

do calibre adotado [6]. Mas de fato ainda falta, ate onde vimos um tratamento

formal da quantizacao do campo eletromagnetico desdta formulacao e que mostre

os graus de liberdade resultante fisicos.

Empregando a condicao do calibre de Lorentz (∂µAµ = ∂µC

µ = 0) para

os potenciais, entao tem-se que

∂µ∂µAν = Jν

e (4.11)

e que

∂µ∂µCν = Jν

m (4.12)

Nesta aproximacao para carga magnetica, Aµ se transforma como um

quadri-vetor e Cµ como um pseudo quadri-vetor [26].

A densidade da lagrangiana em questao, que fornece (4.11) e (4.12) pode

ser escrita a partir do princıpio variacional como

LM = −1

4FµνF

µν − Jµe Aµ + Jµ

mCµ. (4.13)

Uma das vantagens deste formalismo e que devido a invariancia de ca-

libre na duplicacao de potenciais e que podemos introduzir um potencial escalar

magnetico para o monopolo magnetico estatico. Neste caso temos

~∇× ~B = 0 (4.14)

45

e

~∇ · ~B = ρm = gδ3 (~r) (4.15)

ou seja

~B =g

r2r. (4.16)

Lembrando das identidades vetoriais apropriadas, temos que o campo de um

monopolo estatico pode ser escrito como

~B = −~∇φm (4.17)

onde

φm =g

r(4.18)

o que elimina a singularidade do potencial.

Apos a integracao por partes, a densidade de lagrangiana fica

L =1

2[Aµ (2gµν − ∂µ∂ν) Aν − Cµ (2gµν − ∂µ∂ν) Cν ]− Jν

e Aν + JνmCν (4.19)

sendo que a lagrangiana da interacao e

Lint = −Jνe Aν − Jν

mCν . (4.20)

Esta lagrangiana e invariante sob as transformacoes (4.2), (4.3), (2.41) e

(2.42) .

Alem de eliminar a singularidade existente no potencial esta formulacao

tem a vantagem de permitir a implementacao da rotacao dual, mas a densidade

de lagrangiana nao possui a simetria de dualidade das equacoes de movimento, e

um dos desejos seria obter esta simetria da lagrangiana.

4.1.1 Forca de Lorentz a partir de um princıpio varia-

cional

Nesta sub-secao vamos escrever a forca de Lorentz e o tensor de energia momento

na forma vetorial e quadri-vetorial [26]. A forca de Lorentz e escrita a partir

46

da energia mecanica de uma carga eletrica se movendo em um campo eletro-

magnetico depois sera escrita na forma covariante e mostraremos uma conexao

entre o momento mecanico das partıculas e as componentes do tensor de energia

momento para os campos. Procuraremos escrever o tensor de energia momento

na forma covariante. Lembramos tambem que a formulacao completa deveria

obter todas as equacoes de movimento nao so as de Maxwell.

Usando as equacoes de Euler-Lagrange para a lagrangiana da partıcula

eletricamente carregada na presenca de um campo eletrico obtemos

d~p

dt= e

[−~∇φe − ∂t

~A + ~v ×(

~∇× ~A)]

se comparamos com (4.4) e (4.5) vemos que esta faltando a expressao −~∇× →C

+~v ×(−~∇φm − ∂t

→C

)dentro do colchetes. Um termo (Jµ

e Cµ) nao geraria os

termos que faltam corretamente. Entretanto podemos introduzir um termo de

interacao Jµe Nµ, onde Nµ e um campo auxiliar, tal termo implicaria na seguinte

equacao para a partıcula

d~p

dt= e

[−~∇φe − ~∇N0 − ∂t

~A− ∂t~N + ~v ×

(~∇× ~A

)+ ~v ×

(~∇× ~N

)]

Se Nµ for tal que

~∇N0 + ∂t~N = ~∇× →

C

e

~∇× ~N = −~∇φm − ∂t

→C

ou seja

∂µNν = −1

2εµναβ∂αCβ. (4.21)

Se tomarmos (4.19) como ponto de partida para construir a lagrangiana

para esta partıcula na presenca de um campo eletromagnetico, terıamos

L = −(

1

2M~v2

m − gφm + g~v· →C)

.

47

o sinal de (-) global, em relacao a lagrangeana da particula carregada nao esta em

conflito com as equacoes de movimento, desde que consideraamos que a acao seja

um extremo. Infelizmente esta lagrangiana nao fornece (2.47), o que obtemos e

d~pm

dt= g

[−~∇φm − ∂t

→C +~vm ×

(~∇× →

C)]

faltando a expressao

~v ×(

~∇φe + ∂t~A)

+ ~∇× ~A

dentro dos colchetes para reproduzir (2.47).

Podemos entao proceder como anteriormente introduzindo o termo JµmHµ

na lagrangiana (4.19), onde Hµ e tambem um campo auxiliar. Desta forma,

terıamos para a partıcula magneticamente carregada

d~pm

dt= g

[−~∇φm − ~∇H0 − ∂t

→C −∂t

→H +~v ×

(~∇× →

C +~∇× →H

)].

Se admitirmos que Hµ esta relacionado a Aµ atraves da equacao

∂µHν =1

2εµναβ∂αAβ, (4.22)

obtemos (2.47).

Se introduzirmos ambos os termos de interacao na lagrangiana obtemos

L = −1

4FµνF

µν − Jµe (Aµ + Nµ)− Jµ

m (Cµ + Hµ) + (4.23)

+ termos cineticos para as cargas

com as condicoes (4.21) e (4.22). Neste caso as equacoes de Euler-Lagrange para

os campos auxiliares nos dariam

Jµe = Jµ

m = 0.

Tambem podemos verificar esta inconsistencia de outra forma. A equacao

(4.21) pode ser reescrita como

∂µCν − ∂νCµ = εµναβ∂αNβ, (4.24)

48

consequentemente

∂µ (∂µCν − ∂νCµ) = (2gµν − ∂µ∂ν) Cµ = 0,

o que e incompatıvel com as equacoes de Maxwell quando fontes magneticas estao

presentes. Temos situacao similar para a condicao (4.22). A compatibilidade das

condicoes subsidiarias (4.21) e (4.22) com as equacoes (4.12) e (4.11) respectiva-

mente so aconteceria se Hµ e Nµ apresentassem singularidades, o que tiraria uma

das vantagens da formulacao de dois fotons que e a eliminacao da singularidade.

A equacao (4.23) foi obtida por Li e Naon, mas a formulacao lagrangiana traz

os problemas acima mencionados. Estamos investigando possibilidades de ainda

recuperar esta formulacao mesmo com condicoes subsidiarias e analisar sua com-

patibilidade em conexao com a transformacao de calibre dados nas equacoes (4.8)

a (4.10).

Tem-se que para uma partıcula com carga eletrica e em movimento num

campo eletromagnetico, a equacao para a variacao da energia mecanica e dada

por

dEe

dt= e~ve · ~E. (4.25)

A forca de Lorentz pela qual a partıcula esta sujeita e

d~pe

dt= e

(~E + ~ve × ~B

). (4.26)

Combinando estas duas equacoes em uma forma covariante, tem-se que

dpµe

dτ= m

dUµ

dτ

em que Uµ e a quadri-velocidade da partıcula dxµ

dτ

mdUµ

dτ= eF µνUν (4.27)

e τ e o tempo proprio da partıcula.

As equacoes de Lorentz generalizadas podem satisfazer a simetria dual

das equacoes para os campos ou para os potenciais. Por isso, e pelas equacoes

49

(4.25) − (4.27). chega-se as equacoes de Lorentz para uma partıcula carregada

magneticamente. Pela rotacao dual, em que θ = 900 tal que E → B, B → −E,

Jµe → Jµ

m ou seja e → g e e~ve → g~vm. Dessa forma, a variacao da energia e a

forca de Lorentz se tornam

dpµm

dτ= gF µνUν . (4.28)

Levando em consideracao as densidades de corrente, tem-se que

e~ve →∫

~Jed3x

e

g~vm →∫

~Jmd3x.

Como nesse sistema a energia e uma quantidade conservada, pode-se

escrever a variacao da energia mecanica (K) de um sistema formado por partıculas

e campos como sendo

dK

dt=

∫ (~Je · ~E + ~Jm · ~B

)d3x. (4.29)

Das equacoes de Maxwell em funcao dos campos eletrico ( ~E) e magnetico

( ~B), fazendo a substituicao de ~Je e ~Jm, observando que daqui para frente, os

campos ~E e ~B nao sao campos externos,

~Je = ~∇× ~B − ∂ ~E

∂t

~Jm = −~∇× ~E − ∂ ~B

∂t

assim, rearranjando os termos da equacao da variacao da energia mecanica,

~Je · ~E =(

~∇× ~B)· ~E −

∂(

~E · ~E)

∂t,

~Jm · ~B = −(

~∇× ~E)· ~B −

∂(

~B · ~B)

∂t.

50

Utilizando as identidades vetoriais apropriadas, reescreve-se a variacao

da energia como sendo

dK

dt= − ∂

∂t

∫1

2

(~E2 + ~B2

)d3x− (4.30)

−∫

~∇ ·(

~E × ~B)

d3x.

Da definicao do tensor de energia-momento:

T 00 = −F 0iF 0i +

1

4FilF

il

=1

2

(~E2 + ~B2

)(4.31)

T i0 =(

~E × ~B)

i(4.32)

e

T ij = EiEj + BiBj − 1

2δij

(~E2 + ~B2

)(4.33)

dessa forma, a variacao da energia mecanica e reescrita em termos do tensor de

energia-momento

dK

dt= −

∫∂T 00

∂td3x−

∫∂iT

i0d3x (4.34)

mostrando que ha uma conexao evidente entre a energia mecanica das partıculas

e as componentes do tensor de energia-momento para os campos. Movendo T 00

para o lado esquerdo da equacao, ela pode ser interpretada como a densidade

de energia dos campos eletrico e magnetico e T i0 como um fluxo de energia,

representando o vetor de Poynting.

Observando as componentes espaciais das equacoes (4.27) e (4.28) e

possıvel obter uma equacao para a conservacao do momento de um sistema de

partıculas que interage com campos externos.

d ~P

dt=

∫ (~E × ~B

)d3x +

51

+

∫ [~E

(~∇ · ~E

)− ~E ×

(~∇× ~E

)+ ~B

(~∇ · ~B

)− ~B ×

(~∇× ~B

)]d3x (4.35)

em que ~P e o momento mecanico das partıculas.

A equacao para a conservacao do momento sera:

dPi

dt+

d

dt

∫T i0d3x =

∫∂Tij

∂xj

d3x (4.36)

mostrando a relacao que ha entre as componentes do tensor de energia-momento

para os campos e o momento mecanico das partıculas. A equacao para a conser-

vacao do momento tem a mesma forma da equacao da teoria com carga eletrica

somente. O tensor T 0i representa o momento transportado pelos campos. O

termo do lado direito pode ser escrito como uma integral de superfıcie:

∮Tκξnξda (4.37)

sendo que nξ e a ξ-esima componente da normal a superfıcie. Assim, Tκξnξ re-

presenta a κ-esima componente do fluxo por unidade de area do momento atraves

da superfıcie.

T 00 =1

2

(~E2 + ~B2

)

T κ0 = T 0κ =(

~E × ~B)

κ(4.38)

T κξ = EκEξ + BκBξ − 1

2δκξ

(~E2 + ~B2

)

que possui a mesma forma do tensor de energia-momento da eletrodinamica.

Mas a expressao covariante do tensor de energia-momento, escrito em funcao

dos potenciais de calibre, possui termos cruzados a mais entre os potenciais Aµ e

Cµ.

Inserindo as definicoes expandidas dos campos ~E e ~B em termos dos

potenciais Aµ e Cµ nas expressoes das equacoes (4.31), (4.32), e (4.33), juntando

os resultados, tem-se a forma covariante do tensor de energia-momento.

52

T αβ = Fαγ F γβ +

1

4gαβFµνF

µν (4.39)

que e simetrica nos ındices α e β. Agora, partindo da equacao do tensor de

energia-momento equacao (4.39) e revertendo a ordem dos argumentos, chega as

equacoes de Lorentz.

Tomando o quadri-divergente de Tµν e a forma covariante das equacoes

de Maxwell, tem-se que

∂µTµν = −F νρJe

ρ − F νρJmρ . (4.40)

Na ausencia de fontes externas, o tensor de energia-momento tem diver-

gente zero e na presenca de fontes, a equacao acima da a forma covariante da

forca de Lorentz generalizada equacoes (4.27) e (4.28) se for incluido o tensor de

energia momento para as partıculas.

Na sub-secao seguinte, estudaremos a quantizacao do momento angular

nesta formulacao.

4.1.2 Momento angular e condicao de quantizacao

Nesta secao, examinamos o momento angular dos campos produzidos pelas partıculas

de carga eletrica e magnetica, a questao da condicao de quantizacao entre os dois

tipos de carga nesta formulacao de dois fotons e do ponto de vista de Singleton

[26].

A covariancia de Lorentz para o tensor de energia-momento e mantida, o

momento angular do campo eletromagnetico provem de e e g, tendo sido estudado

por Singleton. O momento angular e dado por Mκξ

M ij =

∫M0ijd3x =

∫ (T 0ixJ − T 0jxi

)d3x (4.41)

=

∫~r ×

(~E × ~B

)d3x. (4.42)

Consideramos a configuracao de duas partıculas, uma de carga eletrica e

e outra de carga magnetica g, os potenciais destas partıculas podem ser:

53

φm = ge−mr

r(4.43)

em que m e a massa do foton associado ao setor magnetico. Isto e possivel devido

o uso do mecanismo de Higgs.

φe =e

r′. (4.44)

O foton associado ao setor eletrico permanece nao massivo.

A partir destes potenciais e dos campos

~E = −e~r′

r′3, (4.45)

~B = −ge−mr

r2

(1

r+ m

)~r. (4.46)

escreve-se

Lz = − 8πeg

m2d2

[1− (1 + md) e−md

]nz. (4.47)

O momento angular do sistema depende alem das cargas e e g, da massa

m do foton associado ao setor magnetico e da distandia d entre as partıculas.

Na analise usual, do sistema carga-monopolo, o momento angular independe da

distancia entre as duas partıculas.

Tomando o limite m → 0, faz-se a conexao com o momento angular usual.

Expandindo e−md ate termos de segunda ordem, e−md = 1−md+ m2d2

2− m3d3

6+ ...

e possıvel perceber que a condicao de quantizacao de Dirac usual nao e unica.

Parece que ela tambem pode depender da distancia entre as partıculas.

A magnitude da condicao de quantizacao de Dirac

eg =n~2

, (4.48)

comparando com (4.47), que fornece a direcao do momento angular provem do

fato da funcao de onda de uma partıcula na presenca da corda de Dirac ser

unıvoca. Lembrando que o momento angular da configuracao do campo de cargas

54

eletrica e magnetica precisa ser quantizado em multiplos inteiros de ~/2. Ja no

formalismo de dois potenciais, substituiu-se a corda singular e nao local por um

campo de calibre nao singular e local. E tirando a condicao de quantizacao a

partir de (4.47)

8πeg

m2d2

[1− (1 + md) e−md

]=

n~2

, (4.49)

onde n e inteiro, e comparando (4.48) com (4.49), observa-se que a magnitude da

carga magnetica g, precisara ser sempre maior para a segunda condicao. Pois para

o foton magnetico massivo, o campo de Yukawa da partıcula magnetica cai mais

rapidamente que o do equivalente caso Coulombiano. Assim, para a configuracao

manter um momento angular de 1/2, a carga g deve ser maior.

A seguir, procuraremos por uma acao neste formalismo de dois fotons,

que nos descreva a eletrodinamica usual.

4.2 Uma acao para a eletrodinamica com 2 po-

tenciais

Nesta secao, baseados no trabalho de Mello-Carneiro-Nemes [27], abordamos a

questao da quantizacao da carga eletrica a partir de uma formulacao lagrangiana

nao local que fornece as equacoes de Maxwell generalizadas, pela simetria dual e

as equacoes de movimento para as partıculas.

A funcao acao S para a eletrodinamica usual e constituida de tres partes,

uma acao que depende apenas das propriedades das partıculas, uma acao que

depende da interacao entre as partıculas e o campo e outra acao que depende

apenas das propriedades dos campos, isto e, livre da acao das partıculas.

Primeiramente, constroi-se uma densidade de lagrangiana, em funcao de

potenciais nao locais, onde uma partıcula de carga eletrica e uma partıcula de

carga magnetica interagem com o campo eletromagnetico.

L = Le0 + Lg

0 −1

4FµνF

µν − Jµe Aµ + Jµ

mCµ, (4.50)

55

onde Le0 e a densidade de lagrangiana de uma partıcula livre de carga eletrica e

massa m dada por (2.1) , que fornece a equacao de movimento para esta partıcula

e Lg0 e a densidade de lagrangiana de uma partıcula livre de carga magnetica e

massa M, que fornece a equacao de movimento para ela. Desta forma, a acao

completa e

S = − ∫ [14FµνF

µν + m√

gαβUαUβ −M√

gαβVαVβ+

+eUαAα − gVαCα] ds(4.51)

e a lagrangiana

L = −[

1

4FµνF

µν + m

√gαβ

duα

ds

duβ

ds−M

√gαβ

dvα

ds

dvβ

ds

+ eduα

dsAα − g

dvα

dsCα

](4.52)

sendo Uα e Vα as quadri-velocidades da carga e do monopolo e m e M

suas massas. Introduz-se o tensor de campo generalizado proposto por Cabibbo-

Ferrari [6] e os potenciais nao locais. Aµ e Cµ sao de Mello-Carneiro-Nemes [27]

Aµ = Aµ +1

2εµγαβ

∫ x

P

∂αCβdξγ (4.53)

Cµ = Cµ − 1

2εµγαβ

∫ x

∼P

∂αAβdξγ (4.54)

em que Aµ e Cµ sao os potenciais da formulacao de Cabibbo-Ferrari, onde P

e∼P representam integracoes sobre as linhas de universo das cargas eletrica e

magnetica respectivamente.

Mello-Carneiro-Nemes [27] nao fizeram uso de condicoes subsidiarias e

trataram quantidades nao locais. Embora Carneiro [28] tenha conseguido tratar

a questao do espalhamento carga-monopolo de uma forma local, ate onde vimos,

isto nao parece fornecer a condicao de quantizacao de Dirac com esta formulacao.

O tensor de campo eletromagnetico F µν e seu dual∼F

µν

.

F µν = ∂µAν − ∂νAµ, (4.55)

56

e

∼F

µν

= ∂µCν − ∂νCµ, (4.56)

e as equacoes de Maxwell ficam simplesmente dadas por (4.11) e (4.12) pois

segundo Saulo [28], os termos extras como 12Jµε

µγαβ∫ x

P∂αCβdξγ que aparecem no

desenvolvimento das derivadas, se anulam, nao contribuindo para as equacoes.

Tem-se que A e C, sao invariantes de calibre segundo Cabibbo e Ferrari [6].

Aplicando o princıpio de Hamilton na Equacao (4.52) tem-se

md2uα

dτ 2+ e

dAα

dτ− e

duβ

dτ∂αAβ = 0

e

Md2vα

dτ 2− g

dCα

dτ− g

dvβ

dτ∂αCβ = 0

desde que dAα

dτ=

duβ

dτ∂βAα e dCα

dτ=

dvβ

dτ∂βCα, obtemos as equacoes de movimento

para a carga eletrica e o monopolo magnetico respectivamente

md2uα

dτ 2= eF βα duβ

dτ(4.57)

e

Md2vα

dτ 2= g

∼F

βα dvβ

dτ. (4.58)

Variacoes dos potenciais locais conduzem a variacoes dos potenciais nao

locais, e usando (4.55), (4.56) alem da identidade FµνFµν = −FµνF

µν , a con-

dicao extrema para a acao sob tais variacoes corresponde as equacoes de Maxwell

generalizadas

δS = − ∫ 12Fµν∂

µδAν − 12Fµν∂

νδAµ − 12Fµν∂

µδCν+

+12Fµν∂

νδCµ + JµδAµ − gµδCµ

ds = 0(4.59)

= −∫

−Fµν∂νδAµ + JµδAµ + Fµν∂

νδCµ − gµδCµ

ds

57

= −∫

(Jµ + ∂νFµν) δAµds + FµνδAµ |+∞−∞ −

−∫ (

−gµ − ∂νFµν

)δCµds− FµνδCµ |+∞−∞ .

Dessa forma, tem-se

∂βFαβ = −Jαe , (4.60)

∂βFαβ = −Jαm. (4.61)

A fim de reproduzir a condicao de quantizacao de Dirac nesta abordagem,

verificamos que a lagrangiana da particula de carga e na presenca do campo

eletromagnetico

L = Le0 − eA0 + e ~v. ~A (4.62)

admite a construcao de uma hamiltoniana cujo limite nao relativistico e dado por

He =1

2m

(~p− e ~A

)2

+ eA0 (4.63)

onde

~A = ~A +1

2

∫ (∂y

∧k −∂z

∧j

)φmdx +

1

2

∫ (∂z

∧i −∂x

∧k

)φmdy +

+1

2

∫ (∂x

∧j −∂y

∧i

)φmdz (4.64)

em que ∂y = ∂∂y

. Embora nao local, vamos analisar o caso da particula na presenca

de um monopolo pontual massivo (M >> m), e verificar a quantizacao para

~A 6= 0 e A0 = 0, ou seja

Ai(x) =1

2εijk

∫ x

dyk∂jφm + Ai (4.65)

onde φm = −gr.

A equacao de Schrodinger correspondente e:

58

1

2m

(−i~ ~∇− e ~A

)2

ψ = Eψ. (4.66)

Definindo uma outra funcao de onda

ψ (~r; P ) = ψ (~r) e−ie~R ~r

P~A.d~r′ (4.67)

vemos que

− ~2

2m~∇2

ψ (~r; P ) =

[1

2m

(−i~ ~∇− e ~A

)2

ψ

]e−

ie~R ~r

P~A.d~r′ . (4.68)

Embora ψ (~r; P ) dependa do caminho de integracao no fator de fase, este

pode ser escrito em termos da intensidade do campo ~B produzido pelo monopolo

magnetico. Para isto definimos

ψ (x : P ′) = ψ (~r) e−ie~R ~r

P ′ ~A.d~r′ . (4.69a)

De 4.67 e 4.69a podemos escrever

ψ (x : P ′) = ψ (x : P ) e−ie~H

~A.d~r′

= ψ (x : P ) e−ie~R

S~B.d~a′ (4.70)

onde S e uma area delimitada pelos dois camunhos P e P ′. Qualquer que seja a

area delimitada entre os dois caminhos ψ (x : P ′) deve ser o mesmo.

ψ (x : P ) e− ie~R

S1~B.d~a′

= ψ (x : P ) e− ie~R

S2~B.d~a′

.

Entao concluimos que

e−ie~H

S~B.d~a′ = 1 (4.71)

onde S e a superficie fechada por S1 e S2 (S = S1 − S2). Se S nao contem o

monopolo magnetico, o fluxo sera nulo e 4.71 e satisfeita. Se S contem o monopolo

devemos ter

59

−ie

~(4πg) = −i (2πn) n ∈ Z

eg =n~2

(4.72)

que e a condicao de quantizacao de Dirac.

Nesta secao, vimos que a acao que encontramos para o formalismo de

dois potenciais, nao somente fornece as equacoes para a eletrodinamica usual,

quanto as equacoes de Maxwell generalizadas.

A seguir, procuramos obter uma condicao de quantizacao que nao levasse

em conta a forma do potencial vetor.

Capıtulo 5

Condicao de quantizacao

Embora existam muitos trabalhos tratando a interacao de uma carga eletrica

na presenca de um monopolo, muitos deles procuram resolver o problema por

completo analisando as simetrias e solucoes das equacoes de Schrodinger e Dirac.

Nos procuramos uma abordagem mais simples para se obter a condicao de quan-

tizacao de Dirac. A maioria dos trabalhos partem de uma forma do potencial,

enquanto nos supomos que esta forma existe, mas nos nao a explicitamos e na

condicao de quantizacao obtemos a forma do potencial.

Neste capıtulo, utilizando o formalismo de operadores da mecanica quantica,

vamos obter a conservacao do momento angular para o sistema formado por uma

partıcula de carga eletrica em movimento no campo de um monopolo magnetico.

Tentaremos obter um conjunto completo de operadores comutantes e a condicao

de quantizacao de Dirac. Verificamos que nestas condicoes, a partıcula e espa-

lhada devido a acao do campo do monopolo (e esta verificacao esta contida no

Apendice C.) Verificamos tambem o comportamento desta carga sob a acao do

campo de um dipolo magnetico, que consta do Apendice D.

Vimos no capıtulo anterior que, a princıpio e possıvel ter uma hamiltoni-

ana H para uma partıcula de carga eletrica e em um campo magnetico gerado por

um monopolo g, e descrito por um potencial vetor Ai, que nao sabemos a forma

mas que pode ser aquele proposto no trabalho de Cardoso de Mello-Carneiro-

Nemes [27], dado pela equacao (4.53) .

61

H =1

2mΠ2

i , Πi = pi − eAi. (5.1)

Utilizando as relacoes de comutacao

[ri, pj] = i~δij; [ri, rj] = [pi, pj] = 0, (5.2)

e a relacao

[Πi, Πj] = ieFij (5.3)

temos

.ri= − i

~[ri, H] =

Πi

m(5.4)

.

Πi= − i

~[Πi, H] =

e

µFijΠj (5.5)

[Fij, Πj] = 0 (5.6)

ja que o campo do monopolo e dado por

Fij = gεijkrk

r3(5.7)

Fij = εijkBk (5.8)

temos que

..ri=

.

Πi

m

m..ri=

e

µFijΠj (5.9)

dΠ2

dt= − i

~[Π2, H

]= 0

Π2(t) = Π2(0) = constante (5.10)

62

tendo-se que Πi e.

Πi sao perpendiculares entre si, e que o escalar χ(t) e igual ao

produto escalar x.Π, sendo

χ(t) =Π2

mt + χ0. (5.11)

O operador momento angular mecanico da partıcula de carga eletrica

movendo-se no campo de um monopolo magnetico e dado por

Li = εijkrjΠk (5.12)

que com isso, determina-se o valor do torque sobre o sistema formado pela

partıcula carregada em movimento no campo de um monopolo magnetico.

Li = − i

~[Li, H]

Li =i~em

Bi +e

mrBΠi − e

mBiχ. (5.13)

Como a ordem de derivacao dos fatores do vetor unitario ri

rpode influir

no resultado da derivada, tivemos que usar a seguinte propriedade:

.

ri=d

dt

(ri

r

)=

1

2

d

dt

(1

rri + ri

1

r

)

a qual simplifica o calculo das relacoes de comutacao entre o operador de posicao

da partıcula r e o operador hamiltoniano H.

.

ri = − i

2~([

r−1, H]ri + ri

[r−1, H

])+

1

2m

(r−1Πi + Πir

−1)

(5.14)

=i~m

r−3ri +1

m rΠi − 1

m

ri

r3χ. (5.15)

Dessa forma, e possıvel determinar que a conservacao do momento angu-

lar nesta representacao e diretamente proporcional ao produto das cargas eletrica

e magnetica envolvidas:

Li = eg.

ri

d

dt(Li − egri) = 0 (5.16)

63

em que o argumento da derivada e igual ao momento angular li.

li = Li − egri

em que li e o momento angular total do sistema e que e uma quantidade conser-

vada, formada pelo momento angular orbital e pelo momento angular do campo

eletromagnetico.

Observa-se tambem que o torque pode ser escrito em funcao do campo

magnetico

Li =e

m(r.B) Πi − e

mBi (χ− i~) = eg

.

ri . (5.17)

Alem disso, o produto escalar do vetor unitario ri por li e uma constante de

movimento:

rili = eg. (5.18)

Uma expressao para o quadrado da posicao em funcao do tempo e escrita

a partir da derivada temporal do produto xixi.

dr2

dt= xixi + xixi

r2 (t) =Π2

mt2 +

1

m(2χ0 − 3i~) t + r2

0. (5.19)

Algumas regras de comutacao entre os operadores sao analisados para se

verificar o fechamento da algebra.

[Πj, li] = i~εijkΠk (5.20)

[rj, li] = i~εijkrk (5.21)

[Li, Lj] = i~εijk (Lk + egrk) (5.22)

[Li, rj] = i~εijkrk (5.23)

64

[li, lj] = i~εijklk. (5.24)

O operador de Casimir da algebra de momento angular (5.24) e l2.

[l2, lj

]= li [li, lj] + [li, lj] li = i~ (εijklilk − εijklilk) = 0 (5.25)

l2 = lili = εijkrjΠkεilmrlΠm − egεijk

(rjΠk

ri

r+

ri

rrjΠk

)+ e2g2

da mesma forma, as componentes de li sao dispostas como:

lx = yΠz − zΠy − egx

r,

ly = zΠx − xΠz − egy

r,

lz = xΠy − yΠx − egz

r.

O momento angular total formado pelo momento angular mecanico da

partıcula mais o do campo eletromagnetico, e que obedece a algebra de momento

angular e que portanto seria o ideal para se quantizar, nao o momento angular

eletromagnetico sozinho.

Como Singleton observou na referencia [29], o momento angular eletro-

magnetico de uma partıcula carregada na presenca de um dipolo magnetico (dois

monopolos) tambem nao obedece a algebra e sim o momento total. Neste caso o

momento angular que obedece a algebra so(3) (ou su(2)) como em (5.24) e o mo-

mento total levando em consideracao o torque que o campo magnetico criado pela

carga e faz sobre o dipolo magnetico. Como e um caso particular, mostramos o

seu desenvolvimento e suas particularidades comparados com o caso tratado aqui,

no apendice (E) .

Para obter a condicao de quantizacao de Dirac vamos tomar o conjunto

completo de operadores comutantes H, l2 e lz e supor que existem auto-estados

para eles. Particularmente temos que o operador lz possui auto valor m~, com m

sendo um numero inteiro, temos:

65

lz |ψ (~r)〉 =

[−i~

∂

∂ϕ− er sen θ Aϕ − eg cos θ

]|ψ (~r)〉 = m~ |ψ (~r)〉 . (5.26)

Impomos uma condicao mınima que

−er sen θ Aϕ − eg cos θ = ∓eg. (5.27)

Desta forma de (5.26) fica,

lz |ψ (~r)〉 =

[−i~

∂

∂ϕ∓ eg

]|ψ (~r)〉 = m~ |ψ (~r)〉 . (5.28)

e a condicao (5.27) leva ao potencial Aϕ do monopolo de Wu-Yang [14].

Aϕ = ±g1∓ cos θ

r sen θ. (5.29)

Vimos que os componentes de ~l satisfazem a algebra usual de momento

angular so(3) e que comuta com a hamiltoniana. Agora precisamos averiguar mais

o comportamento das componentes de ~l e do operador de Casimir da algebra ~l2,

como e usualmente feito [36], [5] .

Escolhemos ~l2 e lz como dois operadores que admitem auto-funcoes simul-

taneamente uma vez que eles comutam e assumir que estas autofuncoes existem

e sao nao singulares em todo o domınio das variaveis angulares θ e ϕ e possıvel

baseado nos estudos das referencias [9] e [40].

Analisamos o problema de auto-valores de ~l2 e lz primeiramente.

Constroi-se os operadores l+ = lx + ily e l− = lx − ily.

Uma possıvel realizacao de auto-funcoes de ~l2 e lz que pode ser sugerida

seria

Y (θ, ϕ) = ei(m ± eg~ )ϕχ (θ) . (5.30)

Desta forma

lzY (θ, ϕ) = m~Y (θ, ϕ) (5.31)

ou seja Y (θ, ϕ) e auto-funcao de lz com auto-valor m~.

66

O fato de que ei(m ± eg~ )ϕ seja monovalente (identificacao de ϕ e ϕ + 2π)

nos leva a(m ± eg

~) ∈ Z+ explicitamente.

Mesmo nao tratando da equacao de autovalor

~l2Y (θ, ϕ) = λ~2Y (θ, ϕ) (5.32)

admitiremos que χ (θ) existe e e bem comportado para qualquer valor de θ.

E possıvel demonstrar, utilizando a algebra so(3) obedecida pelas com-

ponentes de ~l, que m pode ser inteiro ou semi-inteiro. Isto pode ser feito como

no Merzbacher por exemplo [5] quanto trata dos operadores de rotacao.

Construindo os operadores

l+ = lx + ily e l− = lx − ily (5.33)

obtemos as relacoes de comutacao

[lz, l±] = ±~l± (5.34)

[l+, l−] = 2~lz (5.35)

e a seguinte identidade

~l2 − l2z ± ~lz = l± l∓ (5.36)

Utilizando a relacao (5.34) obtemos

lzl± |m,λ〉 = (m± 1) ~l± |m,λ〉 (5.37)

alem disso temos

~l2l± |m, λ〉 = λ~2l± |m,λ〉 . (5.38)

As equacoes (5.37) e (5.38) mostram que l± |m,λ〉 sao tambem auto-

vetores de lz com autovalores (m± 1) ~ e de ~l2 com autovalor λ~2, ou seja, pode-

mos escrever

l± |m,λ〉 = C± (m,λ) ~ |m± 1, λ〉 (5.39)

67

onde C± (m,λ) sao numeros que precisam ser determinados. Desta forma l±

podem ser caracterizados como operadores escada da algebra; l+ levanta um

auto-estado de |m,λ〉 para outro e l− abaixa para |m− 1, λ〉.E possivel mostrar que para um dado λ existe um valor maximo de m = l

em que

l+ |l, λ〉 = 0 (5.40)

ou seja existe um limite superior para os auto-estados possiveis, com um λ fixo.

Isto pode ser mostrado da seguinte forma

〈m,λ|~l2 − l2z |m,λ〉 = 〈m,λ| l2x + l2y |m,λ〉

=1

2〈m,λ| (l+l− + l−l+) |m,λ〉

=1

2〈m,λ|

(l+l†+ + l†+l+

)|m,λ〉

onde utilizamos l− = l†+.

Desde que e um operador definido positivo temos

〈m,λ|~l2 − l2z |m, λ〉 =(λ2 −m2

)~2 > 0

onde assumimos que os auto-estados estao normalizados.

Assim

m2 6 λ2

ou seja, existe um limite superior para (k = l). Da mesma forma pode-se provar

que existe um valor minimo (k = l′) para o qual,

l−∣∣∣l′ , λ

⟩= 0 (5.41)

para um dado λ.

Alem disto se aplicarmos em (5.40) temos

l−l+ |l, λ〉 =(~l2 − l2z − ~lz

)|l, λ〉

=(λ−~l2 − l

)~2 |l, λ〉 = 0

68

onde utilizamos (5.36). Assim concluimos que

λ = l(l + 1). (5.42)

Da mesma forma, aplicando l+ em (5.41) obtemos

λ = l′(l′ + 1). (5.43)

Equacoes (5.42) e (5.43) nos levam a concluir que

l′ = −l. (5.44)

Como |l, λ〉 e |l′, λ〉 sao auto-estados de lz e ~l2 com auto-valores(l, λ) e

(l′, λ), podemos alcancar |l′, λ〉 a partir de |l, λ〉 apos sucessivas aplicacoes do

operadorl−(l+). Lembrando que cada passo para cima (para baixo) decresce

(cresce) o valor de l de uma unidade e sao necessarios l − l′ = 2l passos con-

cluimos que l e um inteiro ou semi-inteiro positivo. Alem disto, da equacao

(5.42) concluimos que λ pode ser escrito como λ = l(l + 1) e que, para um dado

l, m pode assumir os valores dentro do intervalo −l 6 m 6 l variando de um em

um.

Da equacao(5.31) e do fato que (m± eg~ ) ∈ Z+ temos que

eg =n~2

, n ∈ Z+ (5.45)

que e a condicao de quantizacao de Dirac.

Com a imposicao da condicao mınima (5.27), tambem conseguimos tirar

as formas dos campos Ax e Ay:

−e (xAy − yAx)− egz

r= eg

sendo que

(xAy − yAx) (r + z) r =g (r − z)

(r − z)

(r2 − z2

)

resultando na expressao

xAy − yAx =g (x2 + y2)

r (r + z)

69

se a funcao e bem comportada para y = 0 :

Ay =gx

r (r + z), (5.46)

se a funcao e bem comportada para x = 0 :

Ax = − gy

r (r + z). (5.47)

As quais sao as mesmas equacoes (3.5) para o potencial com singularidade em

−z.

Uma outra abordagem seria: escolher como operadores comutantes H,

~l2 e n.~l onde n e um unitario.

Note que

n.~l = n. (~r × ~p)− e n.(~r × ~A

)− eg

n.~r

|~r| .

Supondo que

~A = f1(r)r + f2(r)n + f3(r)n× ~r

temos

~r × ~A = f2 ~r × n + f3~r × (n× ~r)

= f2 ~r × n + f3 r2n− f3 (~r.n)~r

implicando em

−e n.(~r × ~A

)= −ef3

[r2 − (n.~r)2]

se impomos que

−e n.(~r × ~A

)− eg

n.~r

|~r| = 0

temos

f3

[r2 − (n.~r)2] = −g

n.~r

|~r|implicando que

f3 = −gn.~r

|~r|1

r2 − (n.~r)2

70

como f1 e f2 dao contribuicao nula, um calibre particular que podemos escolher

e

~A =g

2 |~r|(

1

|~r|+ n.~r− 1

~r − n.~r

)n× ~r (5.48)

que e a forma do potencial vetor para um monopolo estatico dada por Schwinger

[7] que implica uma linha de singularidade ao longo de n e correndo em ambos

os lados do monopolo.

Se impomos

− n.(~r × ~A

)− g

n.~r

|~r| = ±g

obtemos

f3(r) = ∓g

r

|~r| ± n.~r

r2 − (n.~r)2

desta forma, tem-se que

~A = +g

|~r|n× ~r

|~r|+ (n.~r)

e

~A = − g

|~r|n× ~r

|~r| − (n.~r)

que corresponde as solucoes de Schwinger, porem somente com singularidades

correndo na direcao de n, mas semi-infinitas, as quais podem ser usadas na escolha

de n.~l, l2 e H como conjunto de operadores comutantes e que, com o mesmo

argumento, leva a quantizacao de Dirac.

Ainda estamos investigando a possibilidade de obter a forma do potencial

da equacao (4.53) como consequencia da condicao de quantizacao. Talvez tambem

tenhamos que lancar mao da representacao nao unitaria do operador de rotacao.

Esta ultima abordagem tambem foram consideradas em [9] e [40].

Uma outra forma para o potencial, a saber

Ar = 0; Aθ = −g

rφ sen θ; Aφ = 0 (5.49)

foi sugerido recentemente na literatura [41], nos o descartamos pois, como argu-

mentam os autores, numa abordagem semi-classica a fase adquirida pela funcao

de onda deve ser quantizada, ou seja

71

ei~ eg

Hd ~r. ~A = ein2π (5.50)

e este potencial nao e unıvoco para definir a fase.

Capıtulo 6

Equacoes de Maxwell e a reducao

para 2+1 D

6.1 Uma nova visao para a dualidade de Hea-

viside

Em seu trabalho, Mignaco [35] propos uma visao diferente para o eletromag-

netismo classico e a dualidade de Heaviside. Como em nosso mundo atual, as

partıculas de carga magnetica, diferentemente das partıculas de carga eletrica, sao

muito difıceis de serem detectadas, entao supoe-se que para serem, e necessario

se alcancar energias muito mais altas que as atuais ja atingidas.

A transformacao de dualidade de Heaviside e a mesma transformacao

dual usual.

Apesar do eletromagnetismo usual possuir equacoes de movimento sime-

tricas em relacao a uma transformacao de Heaviside(

~E → − ~B, ~B → ~E), a den-

sidade de lagrangiana que gera estas equacoes de movimento, ganha um sinal

global quando submetida a essa transformacao.

Com o intuito de conseguir escrever uma densidade de lagrangiana que se-

ja simetrica sob uma transformacao dual satisfatoria, Mignaco e Galvao [30] visu-

alisaram um mundo diferente, de altas energias, em que os monopolos magneticos

fossem abundantes e os monopolos eletricos escassos. Esse novo sistema seria

73

descrito por uma nova teoria dual a eletrodinamica usual, chamada de magne-

todinamica classica com campos eletrico→E ′ e magnetico

→B′ diferentes dos campos

~E e ~B do mundo real. Entre a antiga e a nova teoria, haveria uma ligacao, uma

transformacao do tipo Heaviside, onde seria possıvel escrever essa lagrangiana.

Essa nova visao para a dualidade na teoria eletromagnetica classica, e propria de

Mignaco e Galvao [30], a qual e baseada nas propriedades fısicas de uma teoria

dual. Dessa forma sao eliminadas os problemas de se trabalhar com as cordas de

Dirac e a duplicacao de potenciais, embora seja de certa forma inspirada nesta

ultima.

Essa mesma ideia e generalizada para a rotacao dual.

6.1.1 A dualidade revisitada

Nesta sub-secao, vamos escrever como seriam as equacoes de Maxwell no formal-

ismo desta secao, uma densidade de lagrangiana que seja simetrica sob dualidade

e que forneca as equacoes de movimento.

A magnetodinamica poderia ser:

~∇ · ~E′= 0

~∇ · ~B′= ρm

~∇× ~E′= −

→Jµ

m −∂ ~B′

∂t

~∇× ~B′= ∂ ~E

′

∂t

(6.1)

em que os campos nao satisfazem as mesmas equacoes que aparecem na teoria

classica da eletrodinamica usual.

Os campos dessa nova formulacao podem ser escritos em funcao dos

potenciais, utilizando os mesmos argumentos do caso usual, um potencial vetor

eletrico ~C e um potencial magnetico φ′m pseudo-escalar

~E′= ~∇× ~C

~B′= −~∇φm − ∂ ~C

∂t

(6.2)

que sao uma parte das equacoes (4.4) e (4.5) da formulacao de 2 potenciais.

74

Com estes campos e possıvel construir uma lagrangiana de segunda or-

dem que fornece as equacoes de movimento.

LB′, E

′ =1

2

∫d3x

(B′2 − E

′2)− ρmφ

′m − ~Jm · ~C (6.3)

na forma covariante quadri-dimensional, essa lagrangiana envolveria um tensor

Gµν anti-simetrico de segunda ordem, cujas componentes espaciais seriam as com-

ponentes de ~E e as componentes temporais G0k seriam as componentes de ~B′e

Cµ =(φm,−~C

).

Gµν = ∂µCν − ∂νCµ

Desta forma a densidade da lagrangiana que gera as equacoes para os

campos na presenca de materia e dada por:

L = −1

4GµνG

µν − JµmCµ

Fazendo agora uma transformacao de dualidade correspondente para os

campos e para as fontes,

~E → − ~B′, ~B → ~E

′, ρm → ρe,

φ′m → φe, ~Jm → ~Je, ~C → ~A, (6.4)

tem-se

LE, B =1

2

∫d3x

(E2 −B2

)− ρeφe − ~Je · ~A

E possivel construir uma densidade de lagrangiana tanto para a eletro-

dinamica usual quanto para a magnetodinamica.

L = −1

4F µνFµν − 1

4GµνGµν − Jµ

e Aµ − JµmC ′

µ +

+ (termos de fixacao de calibre) (6.5)

a qual e simetrica sob transformacao de dualidade e poder-se-ia tentar construir

um cenario onde esta simetria e quebrada levando-nos ao cenario da eletrodinamica

como a conhecemos.

75

Da lagrangiana pode ser obtido o momento correspondente aos potenciais

Aµ e C ′µ

∂L∂(∂0Aµ)

= −Ekδkµ

∂L∂(∂0C′µ)

= −B′kδkµ

. (6.6)

Em termos dos campos e de seus momenta, as transformacoes, parametri-

zadas pela rotacao dual fica escrita na forma

~E = ~E cos θ − ~B′senθ

~B = ~E′senθ − ~B cos θ

. (6.7)

Esta rotacao dual comparando com a obtida em (2.40), permite fazer a ponte

entre a antiga e a nova teoria.

As propriedades fısicas do sistema dual tratado acima, precisam ser

ampliadas corretamente se quisermos preservar a localidade e a invarianca de

Lorentz.

A seguir, veremos que fazendo uma reducao dimensional das equacoes de

Maxwell em dimensoes 3 + 1 D para 2 + 1 D, utilizando a formulacao de dois

potenciais estaremos estudando um caso particular da realizacao da dualidade

em 2 + 1 D proposta por Galvao e Mignaco.

6.2 Magnetodinamica em 2+1 D

Seguindo o formalismo proposto pelos trabalhos de Helayel-Abreu-Hott-Moura

Melo [38], Helayel-Moura Melo [33] e da tese de doutorado de Moura Melo [39],

os quais tratam da natureza escalar de objetos planares tipo Dirac, fizemos um

estudo do comportamento destes objetos em um plano especıfico, aquele que e

perpendicular ao campo eletrico.

E feita uma reducao de 3+1 dimensoes para 2+1 dimensoes para se estu-

dar a natureza planar da corrente magnetica. Feita esta reducao, e trabalhando

no plano escolhido, a lei de Gauss magnetica aparece naturalmente das equacoes

escritas na forma covariante.

76

Na referencia [38] encontrou-se apos a reducao dois formalismos tipo

eletrodinamico independentes em 2+1 dimensoes, cada um com suas proprias

fontes eletrica e magnetica, com a necessaria quebra da identidade de Bianchi.

Ja em nossa abordagem, a identidade de Bianchi, por conveniencia, pode ser

preservada ao se estudar a questao do monopolo magnetico e a Lei de Gauss

magnetica e a Lei de Inducao de Faraday viram equacoes de movimento.

Adicionamos um termo de Chern-Simons ao nosso formalismo, fizemos

o caso geral baseado nas ideias de Heneaux e Teitelboim [20] e de Pisarski [21],

conseguimos escrever uma lagrangiana que fornece as equacoes de movimento

para o nosso formalismo, que permanece em estudo.

6.2.1 Reducao dimensional

Partindo do tensor de campo F µν e de seu dual F µν em 3+1 dimensoes e feita a

reducao dos potenciais e das correntes em 3+1D para as respectivas quantidades

2+1 dimensionais. Vamos partir do pressuposto de que o tensor de intensidade

de campo em 3+1D e escrito em termos de dois potenciais (formulacao Cabibbo-

Ferrari).

Comecamos de

∂µFµν = J ν

e e ∂µFµν = J ν

m (6.8)

com

F µν = ∂µAν − ∂ νAµ − εµναβ∂αCβ e F µν =1

2εµνκλFκλ. (6.9)

Na reducao vamos reescrever as componentes dos potenciais como

Aµ →(Aµ, A3 ≡ S

); C µ →

(Cµ, C 3 ≡ V

)(6.10)

J µe →

(Jµ

e , J 3e ≡ λ

); J µ

m →(Jµ

m, J 3m ≡ χ

). (6.11)

Indices com (ˆ) significam quantidades tomadas em 3+1 D e sem (ˆ)

significam componentes de 2+1 D.

77

De tal forma que Aµ = (A0, A1, A2) e um vetor 2+1 D e A3 ≡ S e um

potencial escalar extra. O mesmo segue para Cµ, C3 ≡ V e para as correntes

eletrica e magnetica respectivamente Jµe e Jµ

m.

Os tensores de intensidade de campo apos a reducao, tomam a forma de

F µν →(F µν ; F µ3 ≡ fµ

)(6.12)

F µν →(F µν ≡ fµν ; F µ3 = F µ

)(6.13)

onde os novos tensores de intensidade de campo ficam definidos como

F µν = ∂µAν − ∂νAµ − εµνα∂αV ,

∼F

µ

= εµνk∂νAk − ∂µV

fµν = εµνα∂αS + ∂µCν − ∂νCµ (6.14)

fµ = ∂µS − εµνα∂νCα. (6.15)

Na reducao nao ha dependencia das quantidades (campos, potenciais e

correntes) com a terceira componente espacial advinda das 3+1 dimensoes, ou

seja, ∂3f = 0.

Pode ser observado que os usuais campos eletrico e magnetico planares

estao contidos no tensor de intensidade de campo

F µν(F 01 = −Ex, F 02 = −Ey, F 12 = −B

)

F µ(F 0 = −B, F 1 = −Ey, F 2 = Ex

).

Por outro lado

fµν(f 01 = bx, f 02 = by, f 12 = −e

)

e

78

fµ(F 0 = −e, f 1 = by, f 2 = −bx

)(6.16)

Desta forma, os campos fµ = ∂µS−εµνα∂νCµα e fµν = εµνκfκ aparentam

um segundo setor magnetodinamico como segue abaixo.

Pelas relacoes (6.11) - (6.13) e expressoes de (6.8), temos as duas series

de equacoes para os dois setores:

Para o 1o temos

∂µFµν = Jν

e e ∂µFµ = χ,

o primeiro conjunto de equacoes sao escritas explicitamente como

εij∂iB = ∂tEj + J j

e ,

∇.→E= J0

e = ρ,

∂tB + εij∂iEj = χ,

(6.17)

que representa o primeiro setor, o qual e o eletromagnetismo usual em 2+1 D [39]

A quebra da identidade de Bianchi em 2+1 dimensoes no primeiro setor

(3a equacao acima), devido a fonte magnetica, e a sua interacao no mundo pla-

nar e a manifestacao tridimensional da terceira componente da quadri-corrente

magnetica.

A diferenca com o eletromagnetismo usual sao duas: em vez dos campos

serem escritos em funcao dos potenciais como

Ei = −∂iφe − ∂tAi (6.18)

B = εij∂iAj

temos aqui a introducao de um potencial extra, desta forma as componentes dos

campos eletrico e magnetico ficam

Ei = −∂iφe − ∂tAi -εij∂jV (6.19)

B = εij∂iAj − ∂tV

Ja para o segundo setor, escolhemos um plano em que o campo magnetico

tenha duas componentes e um campo elerico perpendicular a eles. Assim, o

79

segundo setor esta definido a partir das componentes de fµ com as seguintes

equacoes

∂µfµν = Jν

m, (6.20)

∂µfµ = λ. (6.21)

De (6.20) tira-se as equacoes de movimento

∂tbi + εij∂je = Jmi,

~∇.~b = −ρm,

εij∂ibj = ∂te + λ.

(6.22)

Observa-se que o monopolo magnetico sai naturalmente deste tipo de

formalismo.

De (6.21), tem-se uma reproducao da lei de Ampere-Maxwell.

A identidade de Bianchi nao e necessariamente quebrada neste segundo

setor. Pois se tivermos interessados apenas no estudo do monopolo magnetico,

podemos fazer λ = 0, sendo que as equacoes de movimento saem de (6.20) . E

assim (6.21) pode por conveniencia ser feita igual a zero, preservando assim a

identidade de Bianchi.

Neste novo formalismo, temos apenas uma componente para o campo

eleteico e, ou seja, ele e um pseudo-escalar no plano em que estamos trabalhando.

Ja o campo magnetico ~b e um vetor que possui duas componentes bx e by, estando

contido no plano (x, y).

O vetor campo magnetico ~b e o pseudo-escalar campo eletrico e, escritos

em funcao dos potenciais ficam sendo

~b = −∂t~C − ~∇φ− εij∂j S (6.23)

e = −∂tS + εij∂iCj. (6.24)

A partir de (6.14) e (6.16), escreve-se a matriz do tensor fµν em funcao

das componentes dos campos e e ~b.

80

fµν =

0 bx by

−bx 0 −e

−by e 0

. (6.25)

Verifica-se que por uma transformacao de dualidade, as equacoes de um

setor se tornam as equacoes do outro setor.

Uma tentativa de densidade de lagrangiana geral para os dois setores

pode ser escrita como uma soma das lagrangianas de cada setor, mas deve-se

tomar cuidado com o fato que esta nao fornece as equacoes de Maxwell nao

homogeneas para cada setor

L = −1

4FµνF

µν − 1

4fµνf

µν − Jµe Aµ − Jµ

mCµ. (6.26)

6.3 Analise do 1o setor com e sem CS.

Objetos tipo Dirac ocorrem por quebrar a identidade de Bianchi. Em 3+1 di-

mensoes, quando nos considerarmos a electrodinamica de Maxwell com fontes

magneticas, segundo [38], temos as equacoes

∂µFµν = J ν

e e ∂µFµν = J ν

m.

A lei de Gauss magnetica, ∇· ~B = χ0, quando tomado uma fonte pontual

χ0 = gδ3(~x), nos conduz ao conceito do monopolo magnetico genuino desde que

~B = g~x/4π |~x|3, em analogia ao campo eletrico produzido por uma carga eletrica

pontual.

Em 2+1 dimensoes, a identidade de Bianchi e quebrada.

∂µFµ = ∂tB + εij∂iEj = χ.

Como nao ha lei de Gauss para o campo magnetico, nao ha o monoplo

magnetico do tipo encontrado em 3+1 dimensoes.

81

Para o caso nao massivo, a quebra da identidade de Bianchi nao causa

nenhum efeito sobre as equacoes de movimento, isto e, a corrente eletrica e con-

servada,

∂ν∂µFµν = ∂νj

ν = 0 .

Contudo, quando se adiciona o termo de Chern-Simons, LCS = mAµFµ,

as equacoes de movimento adquirem um termo de corrente (topologica) extra,

∂µFµν = jν + mF ν , (6.27)

que fornece

∇ · ~E = ρ + mB

e

εij∂iB = ∂tEj + J j

e + mεijEi.

Se agora, introduzirmos objetos tipo Dirac, ∂µFµ = χ, entao a corrente nao sera

conservada,

∂ν∂µFµν = m χ , (6.28)

e a simetria de calibre e perdida. Dessa forma, para restabelecer a simetria,

supoe-se que a aparencia de objetos tipo Dirac induz uma corrente eletrica extra,

JνM = −mF ν , (6.29)

tal que a equacao (6.27) e modificada para

∂µFµν = Jν + mF ν (6.30)

e agora e conservada

∂ν∂µFµν = ∂νJ

ν + m∂νFν = 0 , (6.31)

onde Jν = Jνe + jν

M e a corrente eletrica total (usual mais a topologicamente

induzida) como e tratada por Pisarski [21].

82

6.4 Introducao de um termo de Chern-Simons

no 2o setor

Tomando parte do formalismo proposto por Henneaux e Teitelboim [20], e por

Pisarski [21], e formulada uma lagrangiana que fornecera as equacoes de movi-

mento.

A lagrangiana encontrada e para o caso onde λ = 0, fazendo com que a

identidade de Bianchi seja preservada.

Assim,

∂µfµν + mf ν = Jν

m (6.32)

∂ν∂µfµν + m∂ν f

ν = ∂νJνm,

dessa forma recupera-se a expressao (6.21) .

As equacoes de campo sao geradas pela acao

S =

∫d3x

[−1

4fµνf

µν +m

2εµνλCµ∂νCλ + Jµ

mCµ −m∂µSCµ

](6.33)

com

∂µ∂L

∂ (∂µCν)= ∂µf

µν − m

2ενµα∂µCα (6.34)

e

∂L

∂Cµ

= Jµm −mεµνλ∂νCλ −m∂µS (6.35)

Este formalismo ainda esta sendo estudado.

Para a densidade de lagrangiana reproduzir corretamente as equacoes

de movimento propostas pelo formalismo em estudo, sem a necesidade de se

introduzir condicoes subsidiarias, talvez tenhamos que utilizar a formulacao nao

local como proposto no trabalho de Cardoso de Mello, Carneiro e Nemes [27].

Capıtulo 7

Conclusao

Nesta dissertacao apresentamos uma discussao da condicao de quantizacao de

Dirac na formulacao de dois fotons para o eletromagnetismo com monopolos

magneticos a partir das diversas abordagens da formulacao dada na literatura

em 3+1 D. A tecnica utilizada neste estudo e a da duplicacao de potenciais para

os campos, evitando a utilizacao de variaveis singulares nao locais (cordas de

Dirac), na eletrodinamica classica, examinando as simetrias no tratamento de

cargas eletricas e magneticas.

A introducao de um novo potencial nao aumenta o numero de variaveis

independentes. Esta afirmativa nao esta explicitamente demonstrada na literatu-

ra.

Alem de evitar a singularidade existente no potencial, esta formulacao

tem a vantagem de permitir a implementacao da rotacao dual para os potenciais,

o que nao e possıvel na formulacao usual.

Concluimos tambem que e possıvel escrever uma acao integral que de-

screva tanto as equacoes para os campos quanto para as partıculas, em uma

formulacao que leve em consideracao potenciais nao-locais.

Fazemos uma crıtica da quantizacao semi-classica, pois um sistema de

uma carga eletrica movendo-se no campo de um dipolo magnetico porta um

momento angular, que com o argumento semi-classico para a quantizacao do

dipolo-carga, gera um conflito com a mecanica quantica.

Concluimos que para a condicao de quantizacao de Dirac, e necessario

84

levar em consideracao nao somente o momento angular do campo eletromagnetico,

mas tambem o momento angular orbital, fazendo com que o momento angular

total do sistema seja uma quantidade conservada.

Aplicamos estas abordagens em 2+1 dimensoes na analise da quantizacao

do coeficiente do termo de CS. Concluimos que dependendo do setor escolhido,

podemos descrever o eletromagnetismo com fonte magnetica sem quebrar a iden-

tidade de Bianchi, e que em uma transformacao de dualidade podemos voltar ao

setor planar eletromagnetico usual e vice-versa. Comparamos nossas abordagens

com outras da literatura.

Apendice A

Notacao

Quantidades tri-dimensionais

Elemento de comprimento: dx

Elemento de area: d2x

Elemento de volume: d3x

Potencial vetor: ~B

Intensidade de campo eletrico: ~E

Densidade de carga: ~J

Momento: ~p

Energia: EHamiltoniana: HPotencial eletrico escalar: φe

Potencial magnetico pseudo-escalar: φm

Intensidade de campo magnetico: ~B

Densidade de corrente: ρ

ındices tensoriais: µ, ν, ... = 0, 1, 2

Metrica diag ηµν = (+,−,−)

Tensor unitario antissimetrico de ordem tres: ε012 = ε012 = +1

86

Quantidades quadri dimensionais

ındices tensoriais: µ, ν, ... = 0, 1, 2, 3

Metrica diag ηµν = (+,−,−,−)

Tensor unitario antissimetrico de ordem quatro: ε0123 = −ε0123 = +1

Elemento de hipersuperfıcie: dSµ

Elemento de quadri-volume: dΩ

Quadri-potencial do campo eletromagnetico: Aν =(φ, ~A

); Aν =

(φ,− ~A

)

Quadri tensor de energia-momento: T µν

Apendice B

Formulacao tipo fermion

B.1 Definicao

Utilizando o formalismo tipo fermion, fizemos uma tentativa de inserir fontes na

lagrangiana. Partindo pela insercao de termos em funcao das correntes e dos

campos eletrico e magnetico do tipo ~je. ~E e ~jm. ~B.

A densidade de lagrangiana L escrita em termos de ~je, ~E, ~jm e ~B fica:

L = α

[i ~E†

.

~E +i ~B†.

~B − ~E†(~s.~∇

)~B + ~B†

(~s.~∇

)~E+ (B.1)

+i ~Je~E† + i ~Je

~E + ~Jmi ~B† + ~Jmi ~B]

em que a quantidade α tem dimensao inversamente proporcional a massa e nao

altera as equacoes de movimento para os campos, e a quantidade(~s.~∇

)~B =

(si)jk

∂jBk e ~s sao tres matrizes 3× 3 definidas por (si)jk = −iεijk.

As equacoes para os campos podem ser obtidas das equacoes de Euler-

Lagrange.

∂L∂Ei

− ∂t∂L∂Ei

− ∂j∂L

∂ (∂jEi)= 0

sendo

−i∂ ~E†

∂t=

1

i

(~s.~∇

)i ~B† − i ~Je (B.2)

e

88

∂L∂Bi

− ∂t∂L∂Bi

− ∂j∂L

∂ (∂jBi)= 0

sendo

−1

i

∂i ~B†

∂t=

1

i

(~s.~∇

)~E† − 1

ii ~Jm. (B.3)

As equacoes de movimento para ~E e ~B provem de

∂L∂ ~E† = i

∂ ~E

∂t−

(~s.~∇

)~B + i ~Je = 0

e de

∂L∂ ~B† = i

∂ ~B

∂t+

(~s.~∇

)~E + i ~Jm = 0

dando

~∇× ~B =∂ ~E

∂t+ ~Je (B.4)

~∇× ~E = −∂ ~B

∂t− ~Jm (B.5)

Esta lagrangiana nao nos fornece as duas leis de Gauss com fontes

~∇. ~E = ρe (B.6)

~∇. ~B = ρm (B.7)

Da mesma forma, na tentativa de inserir as fontes na lagrangiana em

questao, utilizamos a transformacao

ψ → eiθ(x)ψ (B.8)

em que ψ e a funcao de onda para o foton do tipo

ψ =

( ~E

i ~B

)e ψ =

(~E† i ~B†

).

89

Vimos que a densidade de lagrangiana L nao e invariante sob esta trans-

formacao (B.8) .

L = ψ (iΓµ∂µ) ψ − ψ (Γµ∂µθ) ψ. (B.9)

Incluimos um termo de interacao do tipo gψΓµJµψ. Tal que

Jµ → Jµ + ∂µθ

sob a transformacao de calibre, e a densidade de lagrangiana L fica invariante

sob a transformacao.

L = ψ (iΓµ∂µ) ψ + gψΓµJµψ. (B.10)

Fizemos o mesmo procedimento acima para

ψ → eiα(x)Γ5ψ. (B.11a)

Incluimos um termo de interacao do tipo gψΓµΓ5Jµψ. Tal que

Jµ → Jµ + ∂µα.

A densidade de lagrangiana invariante sob a transformacao,

L = ψ (iΓµ∂µ) ψ + gψΓµΓ5Jµψ. (B.12)

Utilizamos as definicoes para as matrizes 6× 6,

Γ0 =

I 0

0 −I

, ~Γ =

0 s

−s 0

, Γ5 =

0 I

I 0

(B.13)

e

~S =

0 s

s 0

(B.14)

onde I e a matriz identidade 3× 3.

A funcao de onda para o foton ψ e do tipo

90

ψ =

~E

i ~B

e ψ =

(~E† i ~B†

). (B.15)

Para o primeiro caso, as equacoes para os campos saem de

∂L∂ψ

= (iΓµ∂µ) ψ + gΓµJµψ = 0 (B.16)

em que

i

∂t − (si)

jk ∂j

(si)jk ∂J −∂t

Ek

iBk

+

+g

J0 − (si)

jk Jj

(si)jk Jj −J0

−Ek

iBk

=

0

0

.

De onde tiramos as equacoes

~∇× ~B − ∂ ~E

∂t= −igJ0

~E + ig ~J × ~B (B.17)

e

~∇× ~E +∂ ~B

∂t= igJ0

~B + ig ~J × ~E. (B.18)

Para o segundo caso, o procedimento e o mesmo. Da densidade de la-

grangiana (B.12) , tira-se as equacoes.

~∇× ~B − ∂ ~E

∂t= gJ0

~B + g ~J × ~E (B.19)

e

~∇× ~E +∂ ~B

∂t= igJ0

~E − g ~J × ~B. (B.20)

Em seu artigo, Sudbery [19], encontrou uma densidade de lagrangiana

para as equacoes de Maxwell sem fontes magneticas: ∂µ.Fµν = Jν , ∂µ.F

µν = 0.

O que fizemos foi introduzir a fonte magnetica na lagrangiana, obtendo como

consequencia a quebra da identidade de Bianchi.

Escrevemos a densidade de lagrangiana como

91

~L = ~E ×(

~∇× ~B)− ~B ×

(~∇× ~E

)+

(~∇. ~E

)~B −

(~∇. ~B

)~E −

− ~B × ∂ ~B

∂t− ~E × ∂ ~E

∂t+ ~Je × ~E − ρe

~B + ~Jm × ~B + ρm~E (B.21)

que com o princıpio variacional para a integral de L fornece as equacoes de Euler-

Lagrange

εijk

(∂Ek

∂t+ Je

k

)+ ∂jBi − ∂iBj +

(~∇. ~B − ρm

)δij = 0; (B.22)

εijk

(∂Bk

∂t+ Jm

k

)+ ∂iEj − ∂jBi −

(~∇. ~E − ρe

)δij = 0; (B.23)

cujas partes simetrica e antissimetrica fornecem as quatro equacoes de Maxwell

com fontes, equacoes (B.4) , (B.5) , (B.6) e (B.7) .

Apendice C

Solucao classica para uma carga

eletrica em interacao com um

monopolo magnetico

Uma partıcula eletrica carregada e de massa m movendo-se com uma velocidade

~v no campo de um monopolo magnetico sentira a acao de uma forca de Lorentz.

Neste sistema interativo, a energia cinetica e uma constante de movimento e o

momento angular total define uma direcao no espaco e tambem e uma constante

de movimento. As orbitas descritas pela partıcula na direcao definida sao to-

das abertas, em um movimento espiralado dentro do vortice resultante de seu

movimento.

O momento angular orbital ~L da partıcula em interacao com o campo

magnetico do monopolo, para o caso estatico e dado por:

~L = m ~r × ~v (C.1)

a partıcula neste campo magnetico esta sob a acao de um torque ~τ proporcional

a forca de Lorentz ~F .

~τ = ~r × ~F (C.2)

esta forca interage com a partıcula que se move no campo magnetico.

93

~F = e ~v × ~B (C.3)

e dela se tira a aceleracao ~a que partıcula sofre neste processo de espalhamento.

~a =e

m~v × ~B (C.4)

em que o campo magnetico ~B e dado em funcao da carga do monopolo:

~B = g~r

r3. (C.5)

A substituicao das equacoes (C.3) e (C.5) na expressao do torque (C.2)

implica em

~τ =eg

r3

[r2 ~v − (~r.~v)~r

]. (C.6)

A partıcula sera livre(~τ = 0 e ~F = 0

)se ~v0 = v0 r. O torque tambem pode ser

escrito como

~τ =.

~L= m ~r×.

~v

com

~v =.

~r= r r + r.

r

e o momento angular total do sistema ~l sera identificado como uma constante de

movimento, de tal forma que:

.

~L= eg.

r (C.7)

ou seja

d

dt

(~L− e g r

)= 0 (C.8)

o momento angular total do sistema ~l e formado pelo momento angular orbital ~L

e pelo momento angular do campo eletromagnetico −e g r.

~l = ~L− e g r. (C.9)

A energia cinetica K tambem e conservada

94

K =1

2mv2

dK

dt= m ~v . ~a.

Da equacao (C.4) ve-se claramente que a velocidade e a aceleracao sao

perpendiculares entre si, implicando na conservacao da energia cinetica.

Pode-se utilizar o escalar l2 para escrever a expressao para a energia

cinetica em um movimento unidimensional.

l2 = m2(r2v2 − r2r2

)+ e2 g2 (C.10)

K =1

2m r2 +

1

2mr2

(l2 − e2 g2

)(C.11)

em que a energia eficaz Uef resulta em

Uef =1

2mr2

(l2 − e2 g2

)(C.12)

a qual implica na inexistencia de orbitas fechadas para a partıcula, pois como

K > 0 somente poderıamos ter o movimento sob ~l2 > e2 g2. De fato

~l2 − e2 g2 = ~L2 > 0.

Das equacoes (C.4) e (C.5) tambem temos

~a . ~r = 0 (C.13)

comd

dt

(~r .

.

~r)

= ~v2

e

~r ..

~r= ~v2 t + (~r . ~v)0 (C.14)

de tal forma que

r2(t) = v2 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r20. (C.15)

95

Figura˜C.1: Energia em funcao da coordenada r.

Da expressao do momento angular total do sistema e possıvel escrever o

vetor l2 e mostrar que ~l e conservado.

l2 = m2 r2 v20 sen2 γ + e2 g2

sendo que

sen2 γ =l2 − e2 g2

m2 v20 [v2

0 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r20]

, (C.16)

com (γ0 6= 0) .

Das equacoes (C.14) e (C.15) tem-se uma expressao para o cosseno de

γ :

cos γ =v0 t + r0 cos γ0√

v20 t2 + 2r0 v0 cos γ0 t + r2

0

,

o movimento sera livre quando γ0 for igual a zero ou π.

~L = 0

r(t) = r0 ± v0 t. (C.17)

O vetor momento angular total do sistema ~l e conservado e define uma

direcao no espaco, podemos escrever ~l apontando no sentido negativo do eixo-z.

96

E importante notar tambem que o produto escalar r.~l = − eg implica∣∣∣~l∣∣∣ cos α =

− eg, ou seja, o angulo formado entre o vetor posicao e ~l e constante.

cos α = −eg∣∣∣~l∣∣∣

= (π − θ) ,

para ~l = −l k.

Figura˜C.2: Trajetoria da partıcula na presenca de um monopolo.

A direcao de ~l depende das condicoes iniciais.

Como lz = −m r2ϕ, temos

ϕ =l

m r2, (C.18)

fazendo a integracao em funcao de t :

ϕ =l

m

∫ t

0

[v2 t2 + 2 (~r . ~v)0 t + r2

0

]−1dt, (C.19)

ou

ϕ =l

m v0 r0 sen γ0

arctan[v2

0 t + (~r . ~v)0]

v0 r0 sen γ0

+ ϕ0, (C.20)

que e valida para os valores de (γ0 6= 0, π), pois para (γ0 = 0, π) temos ϕ = ϕ0

onde foi utilizada a equacao (C.14). Isso implica que:

97

ϕ = ϕ0 +l∣∣∣~L∣∣∣arctan

[v20 t + (~r . ~v)0] m∣∣∣~L

∣∣∣.

Apendice D

Carga eletrica na presenca de um

dipolo magnetico

Neste apendice, fazemos com que uma carga eletrica esteja sujeita a acao de um

campo magnetico produzido por um dipolo magnetico. Tendo em vista a abor-

dagem proposta por Singleton, verificamos se o momento angular generalizado

fecha uma algebra e procuramos ir alem da analise de Singleton mostrando como

pode ser visto o problema comparacao com aquele proposto no capıtulo 5.

O operador hamiltoniano H formado por uma partıcula de carga eletrica

e um campo magnetico gerado por um dipolo magnetico mi e descrito por um

quadri vetor potencial Ai e dado por (5.1), em que Πi = pi − eAi.

O campo do dipolo e dado por

Fij = εijkBk (D.1)

sendo que Bk e

Bk = 3rk(rlml)

r5− mk

r3. (D.2)

Utilizando as equacoes (5.1) a (5.4) , as quais tambem sao validas aqui, encon-

tramos

Πi = eεijk

[3rk

(rlml)

r5− mk

r3

]rj. (D.3)

99

Dessa forma, a forca µ ri atuando sobre a partıcula pode ser escrita como

µ ri = e εijk Bkrj. (D.4)

A partir do momento angular do campo eletromagnetico Li em formado

pelo sistema carga-dipolo, e possıvel mostrar o torque Li em associado a este

momento angular.

Li em = e mir−1 − e mirkmkr

−3 (D.5)

Li em = − i

~[Li em, H] ,

que sera verificado com a ajuda das seguintes relacoes de comutacao

[r−1, H

]=

1

2µ

[r−1, ΠJ

]ΠJ +

ΠJ

2µ

[r−1, ΠJ

]; (D.6)

[r−1, ΠJ

]= r−2 (−i~∂Jr) ;

[ri, H] =1

2µ[ri, ΠJ ] ΠJ +

1

2µΠJ [ri, ΠJ ] ;

[ri, ΠJ ] = i~δij;

[r−3, H

]=

1

2µ

[r−3, ΠJ

]ΠJ +

1

2µΠJ

[r−3, ΠJ

];

[r−3, ΠJ

]= 3r−4 (−i~∂Jr) .

em que

Li em = − i

~e

2µ

(mi

[r−1, ΠJ

]ΠJ + miΠJ [ri, ΠJ ]

)+

+i

~e

2µ

([ri, ΠJ ] ΠJrkmkr

−3 + ΠJ [ri, ΠJ ] rkmkr−3

100

+ri [rk, ΠJ ] ΠJmkr−3 + riΠJ [rk, ΠJ ] mkr

−3

+rirkmk

[r−3, ΠJ

]ΠJ + rirkmkΠJ

[r−3, ΠJ

])

dando

Li em = e

[−mi

1

r3rJ rJ − ri rk mk

1

r3− ri rk mk

1

r3(D.7a)

+3ri rk mk1

r5rJ rj

].

O momento angular mecanico associado a carga Lmeci em movimento no

campo do dipolo e dado por

Lmeci = εilmrlΠm (D.8)

Com isso determina-se o torque Lmci associado a este momento angular

Lmeci = − i

~[Lmec

i , H]

= e (rl Bl ri − rl Bi rl)

= e

[2ri (rk mk)

1

r3− 3ri (rk mk)

1

r5(rl rl) + mk

(rl rl)

r3

]

A conservacao do momento angular canonico da carga Lcci , pode ser tirada de

Lmeci + Li em = e

[ri (rk mk)

1

r3− ri (rk mk)

1

r3

].

E possıvel mostrar o torque.

~Lem associado ao seu momento angular es-

crevendo o vetor potencial ~A que descreve campo magnetico gerado por um dipolo

magnetico ~m como

~A =~m× ~r

r3(D.9)

101

.

~Lem= ed

dt

(~r × ~A

), (D.10)

que, apos fazer a substituicao do vetor potencial ~A e realizar as derivadas corre-

spondentes, chega-se a expressao vetorial para (D.7a) .

.

~Lem= e

−

~m( .

~r . ~r)

r3−

~r( .

~r .~m)

r3+ 3

~r (~r . ~m)( .

~r . ~r)

r3

verificando-se a identidade (D.10) .

Da mesma forma com que anteriormente fora feita para o caso da equacao

para a conservacao do momento angular canonico da carga Lcci , este sera para o

caso vetorial:

.

~Lem +.

~Lmc

=.

~Lcc

(D.11)

Sabendo que o momento angular mecanico da carga ~Lmc e dado por

~Lmc = ~r × ~p− e ~r × ~A, (D.12)

com

.

~Lmc

=.

~r × ~p + ~r×.

~p −

− e

−

~m( .

~r . ~r)

r3−

~r( .

~r .~m)

r3−

.

~r (~r.~m)

r3+ 3

~r (~r . ~m)( .

~r . ~r)

r5

,

a equacao para a conservacao do momento angular canonico da carga.

~Lcc

sera

dado por

.

~Lcc

=d

dt(~r × ~p)

ou seja, como

.

~Lcc

= −e

~r

( .

~r .~m)

r3−

.

~r( .

~r .~m)

r3

(D.13)

cujas componentes sao

.

Lz

cc= −e

[m z z

r3− z m z

r3

]= 0

102

.

Lx

cc= −em

r3[x z − z x]

e.

Ly

cc= −em

r3[y z − z y]

ou seja

d

dt

(k.Lcc

z

)= 0.

A componente z de ~Lcc e paralela a direcao de k escolhida para o dipolo magnetico

e o momento angular canonico da carga e conservado.

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