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Anexo 1 – Tarefas Ficha de trabalho I – Ângulo ao centro e ângulo inscrito
1. Na figura seguinte está representada uma
circunferência de centro em O.
1.1. Identifiquem:
a) Um diâmetro
b) Um raio
c) Uma corda
d) Um setor circular
e) Um ângulo ao centro e o arco que lhe
corresponde
f) Um ângulo inscrito e o seu respetivo arco
capaz
1.2. Tracem a corda correspondente ao ângulo 𝐴��𝐹. Qual o arco que lhe corresponde?
2. Observem a seguinte figura, onde estão representadas duas circunferências de centro
O e um quadrado e um hexágono regular inscritos nessas circunferências.
2.1. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? E
do ângulo 𝐷��𝐶? Expliquem o vosso procedimento.
2.2. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do arco 𝐴��? E do
arco 𝐷��? Justifiquem.
2.3. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro e a
amplitude do arco que lhe corresponde?
3. A figura seguinte representa um triângulo equilátero
[ABC] inscrito numa circunferência de centro em O.
3.1. Durante a aula de Matemática, o João disse:
“As amplitudes dos ângulos 𝐵��𝐶 e 𝐵��𝐶 são
iguais porque têm ambos o arco 𝐵�� como arco
correspondente.”
O João terá razão?
Justifiquem a vossa resposta.
3.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 e a
amplitude do ângulo inscrito 𝐵��𝐶?
4. Considerem a circunferência de centro O representada na figura.
4.1. Classifiquem o triângulo [OBV] quanto aos seus lados,
justificando.
4.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo
𝐵��𝐴 e a amplitude do arco capaz? Porquê?
4.3. Considerem que o ângulo 𝐵��𝐴 tem 30º de amplitude.
a) Qual a amplitude do arco 𝐴��?
b) E do ângulo 𝐵��𝐴?
Justifiquem as vossas respostas.
Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo
Ficha de trabalho II – Propriedades sobre os ângulos
1. Observem a figura seguinte.
Justifiquem que:
a. As amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 são iguais.
b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento
2. Na figura estão representados uma circunferência de centro O e
os ângulos 𝛼 𝑒 𝛽.
Relacionem, justificando, a amplitude destes ângulos.
Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo
3. Na figura seguinte está representada uma circunferência
de diâmetro [AB] e um ponto V que se movimenta ao
longo do arco 𝐴��, nunca coincidindo com os pontos A e
B.
Classifiquem as afirmações como verdadeiras ou falsas,
justificando sempre a vossa resposta.
Para qualquer posição do ponto V:
[A] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e escaleno
[B] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e nunca isósceles
[C] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e não se pode classificar quanto aos lados
[D] O triângulo é sempre acutângulo
Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo
Ficha de trabalho III – Propriedades geométricas numa
circunferência
1. Na figura estão representadas uma circunferência de centro O, duas cordas paralelas
[AB] e [EF] e uma reta r perpendicular à corda [EF] e que contém o seu ponto médio.
1.1. Justifiquem que:
a. A reta r é perpendicular à corda [AB].
b. A reta r é a mediatriz de [AB] e a mediatriz de
[EF].
1.2. Relacionem, justificando, os comprimentos dos
segmentos [AC] e [BC].
1.3. A Joana, durante a aula de Matemática, disse: “os ângulos 𝐴��𝐷 e 𝐵��𝐷 têm a
mesma amplitude”, mas não explicou o porquê. Conseguem ajudar a Joana a
explicar?
1.4. O que podem intuir sobre a relação entre o comprimento das cordas [AF] e [BE]?
E sobre as amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐵��?
Justifiquem a vossa resposta.
Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo
Numa circunferência, qualquer reta que contenha o seu centro e seja perpendicular a uma
corda ___________________
Numa circunferência, as cordas compreendidas entre duas retas paralelas são__________________
Numa circunferência, os arcos compreendidos entre duas retas paralelas são ______________
C
Ficha de trabalho IV– Ângulo de segmento
Um ângulo de segmento é um ângulo cujo vértice é um extremo de uma
corda, um dos seus lados contém essa corda e o outro lado é tangente à
circunferência.
1. Na figura seguinte está representada uma circunferência
de centro em O, um ângulo de segmento 𝐴��𝐶 e uma reta
r tangente à circunferência, no ponto de tangência B.
Considerem que o ângulo 𝐷��𝐶 tem 40º de amplitude.
1.1.O João e a Joana trocaram o seguinte diálogo acerca
da amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶:
João: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶 é igual
à amplitude do arco 𝐵��.
Joana: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶é o dobro da amplitude do arco
𝐵��.
Investiguem qual dos amigos terá razão, justificando todos os cálculos efetuados.
1.2. Formulem uma conjetura sobre a relação que existe entre a amplitude de um
ângulo de segmento e amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
Sugestão: testem com outros valores de amplitude de 𝐷��𝐶.
Ficha de trabalho V – Ângulo excêntrico
Um ângulo excêntrico é um ângulo cujo vértice não está no centro da circunferência
1. Observem a figura seguinte.
• O ângulo 𝐶��𝐷 tem 30º de amplitude
• O ângulo 𝐴��𝐵 tem 50º de amplitude
1.1. O João tentou encontrar uma relação
entre a amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 e as
amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐷��, tendo
concluído que: a amplitude de 𝐴��𝐵 é
igual à média das amplitudes dos arcos
𝐴�� e 𝐷��.
Será a relação encontrada pelo João verdadeira? Justifiquem.
Amplitude do arco 𝐴��
Amplitude do arco 𝐷��
Amplitude do ângulo 𝐴��𝐵
1.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no
interior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus
lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?
2. Observem a figura seguinte.
• O ângulo 𝑉��𝐴 tem 15º de amplitude
• O ângulo 𝐶��𝐷 tem 50º de amplitude
2.1. A Joana tentou encontrar uma relação entre a
amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 e as amplitudes dos
arcos 𝐶�� e 𝐵��, tendo concluído que: a amplitude
de 𝐴��𝐵 é igual à semidiferença das amplitudes
dos arcos 𝐶�� e 𝐵��.
Será a relação encontrada pela Joana verdadeira? Justifiquem.
Amplitude do arco 𝐵��
Amplitude do arco 𝐶��
Amplitude do ângulo 𝐴��𝐵
2.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no
exterior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus
lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?
Ficha de trabalho VI– Ângulo ex-inscrito
Um ângulo ex-inscrito num arco de circunferência é um ângulo
adjacente a um ângulo inscrito e a ele suplementar.
1. Observem a figura seguinte.
1.1. Considerando que o arco 𝐷�� tem 60º de amplitude,
indiquem qual das seguintes afirmações é
verdadeira.
Justifiquem.
[A] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 120º de
amplitude
[B] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 60º de amplitude
[C] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 150º de
amplitude
1.2. Durante a aula de Matemática, a Joana disse:
Joana: “Se o arco 𝐷�� tem 60º de amplitude e o ângulo 𝐷��𝐵 tem 110º de
amplitude, então a amplitude de 𝐴��𝐶 é igual à média das amplitudes dos arcos
𝐷�� e 𝐵��”.
Será verdade? Justifiquem.
Amplitude de 𝐴��𝐶
Amplitude de 𝐷��
Amplitude de 𝐵��
Ficha de trabalho VII – Problemas geométricos
1. Na figura seguinte estão representadas as retas DC
e DA, e uma circunferência de diâmetro [AC].
• DC é tangente à circunferência no ponto C
• 𝐴��𝐶 tem 50º de amplitude
• O ponto B é um ponto da circunferência e
pertence à reta DA.
Qual é, em graus, a amplitude do arco 𝐶��?
Justifiquem.
Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2014, 2ª chamada
2. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro O.
• A,B,C,D são pontos da circunferência
• [ADE] é retângulo em E
• 𝐶��𝐷 tem 30º de amplitude
2.1. Determinem a amplitude do arco
𝐶��, justificando.
2.2. Justifiquem porque é verdadeira a
seguinte afirmação:
“Os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais”.
Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2007, 1ª chamada
Ficha de trabalho VIII– Ângulos internos e externos de polígonos
1. Considerem o seguinte pentágono [KLMOP].
1.1. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos internos do
pentágono [KLMOP]? Justifiquem.
1.2. Que relação conseguem estabelecer entre as amplitudes dos ângulos 𝑂��𝐿 e 𝐿��𝑄?
Justifiquem.
1.3. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos externos do pentágono [KLMOP]?
Assinalem a opção correta, justificando a vossa opção.
[A] 180º
[B] 360º
[C] 108º
2.
2.1. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado? E de um
hexágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados?
2.2. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo? E de um
pentágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos externos de um
polígono convexo de n lados?
Ficha de trabalho IX– Problemas envolvendo polígonos inscritos
numa circunferência
1. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro
O e diâmetro [AD], e o trapézio isósceles [ABCD] inscrito na
circunferência.
Considere-se que 𝐵�� tem 80º de amplitude.
Qual a amplitude do ângulo 𝐵��𝐷? Justifiquem.
Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2017, Época Especial
2. Na figura ao lado está representado um octógono regular
[ABCDEFGH], inscrito numa circunferência de centro em
O.
Ao observar a figura, e sem efetuar quaisquer medições, o
João afirmou: “O quadrilátero [BDFH] é um quadrado”
Como poderá o João ter chegado a esta conclusão?
Justifiquem a vossa resposta.
Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2005, 1ª chamada
Ficha de trabalho para casa
1. Observem a seguinte figura na qual está representada
uma circunferência de centro em A.
Considerem que o arco 𝐵�� tem de medida de amplitude
100º e que um ponto E que se movimenta ao longo desse
arco.
A Joana diz que, qualquer que seja a posição do ponto
E, o ângulo 𝐵��𝐶 terá sempre 130º de amplitude.
O João diz que, qualquer que seja a posição do ponto
E, o ângulo 𝐵��𝐶 terá sempre 50º de amplitude.
Qual dos dois amigos terá razão? Expliquem o vosso raciocínio.
2. Comentem a seguinte afirmação:
Existe um ângulo inscrito com uma amplitude de 190º numa circunferência.
Anexo 2 – Planos de aula Plano de aula de dia 16 de fevereiro de 2018
Hora: 14:30 às 16:20 Sala 16, Pavilhão 04
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre os ângulos ao centro e ângulos inscritos numa circunferência
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Arcos e cordas numa circunferência
• Ângulos ao centro
• Ângulos inscritos numa circunferência
Objetivos da aula
Geral
• Estudar as propriedades do ângulo ao centro
e do ângulo inscrito numa circunferência
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Relembrar elementos inerentes a uma
circunferência: diâmetro, raio, arcos, cordas,
ângulos ao centro.
• Definir ângulo inscrito e arco capaz
• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao
centro com a medida de amplitude do arco
compreendido entre os seus lados
• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao
centro com a amplitude do ângulo inscrito
correspondente
• Relacionar a medida de amplitude do ângulo
inscrito com a amplitude do arco compreendido
entre os seus lados
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
• Ficheiro Geogebra
Conhecimentos prévios
• Definição de circunferência
• Definição de arcos e cordas numa circunferência e de setor circular
• Ângulo ao centro numa circunferência
• Polígonos regulares inscritos numa circunferência
• Amplitude dos ângulos internos de polígonos regulares
• Classificação de triângulos quanto aos lados
• Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e seus ângulos externos
• Definição de ângulos suplementares
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (5 minutos)
(2) Apresentação da ficha de trabalho com a resolução da questão 1 da ficha de trabalho (10 minutos)
(3) Resolução autónoma do problema 2 (10 minutos)
(4) Sistematização das ideias inerentes ao problema 2 (15 minutos)
(5) Resolução autónoma do problema 3 (10 minutos)
(6) Sistematização de ideias inerentes ao problema 3 (10 minutos)
2
(7) Resolução autónoma do problema 4 (15 minutos)
(8) Sistematização de ideias inerentes ao problema 4 e discussão coletiva (20 minutos)
Observações
(1) Existe um intervalo de 10 minutos entre os momentos V e VI.
(2)Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão
do problema 4 termine mais cedo do que o previsto, serão propostos os exercícios
de consolidação: página 82, exercício 3, e página 86, exercício 3, do manual.
Desenvolvimento da aula:
(1) Este momento é entrada inicial dos alunos
(2) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que a professora explica o
que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos encontrem propriedades sobre os ângulos ao
centro e inscritos numa circunferência.
Neste momento inicial, uma vez que os alunos conhecem, de anos anteriores, a definição de arcos, cordas, setor
circular e ângulo ao centro, será pedido que, em grupo-turma, se responda à questão 1 da ficha de trabalho.
A figura referente à questão 1 será projetada no quadro.
Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 10 minutos para resolver autonomamente o problema
seguinte.
Possíveis respostas à questão 1:
a. [AD]
b. [OE], [OA] ou [OD]
c. [BC], [AD] ou [DF].
d. DE, EA ou DA
e. 𝐸��𝐷 (arco correspondente 𝐸��) ou 𝐸��𝐴 (arco correspondente 𝐸��)
É possível que os alunos não se recordem das definições de corda, arco, setor circular e ângulo ao
centro pelo que a professora deverá questionar os alunos sobre essas definições e, caso estes não se
recordem, relembrá-las.
É importante, também, relembrar os alunos da definição de circunferência e da sua diferença quanto ao
círculo.
Caso existam respostas incorretas a alguma destas alíneas, a professora deverá
questionar a turma:
▪ Alguém discorda do que foi dito? Porquê? O que responderiam?
Para responder à alínea e) é necessário que os alunos conheçam a definição de ângulo inscrito. Neste
momento, a professora deverá definir ângulo inscrito e arco capaz e, em grupo-turma, responder à alínea
f) e à questão 1.2.
f. 𝐷��𝐸 , cujo arco correspondente é o arco 𝐷��.
𝐴��𝐹, cujo arco correspondente é o arco 𝐴��.
1.2. Será solicitado a um aluno que trace, no quadro, a corda pedida e identifique o
arco correspondente (arco 𝐴��).
(3) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante a realização do segundo problema, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da
tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1:
Quadrado [ABCD]
• A medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é de 90º
• A medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶 é de 90º
Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais ( 360
4= 90º), logo todos os ângulos ao centro
têm a mesma medida de amplitude.
Ou porque [AC] e [BD] definem dois diâmetros perpendiculares, da circunferência, pelo que a medida de
amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 90º. Pelo mesmo motivo, a medida de amplitude de 𝐷��𝐶 é de 90º.
Os alunos podem ainda descobrir a medida de amplitude de 𝐴��𝐵 (ou 𝐷��𝐶),
recorrendo às estratégias descritas, e concluir que os ângulos têm a mesma medida de amplitude porque são
verticalmente opostos, pelo que 𝐷��𝐶 tem medida de amplitude 90º (𝐴��𝐵 tem amplitude 90º)
Hexágono [ABCDEF]
• A medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é de 60º
• A medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶 é de 60º
3
Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais ( 360
6= 60º), logo todos os ângulos ao centro
têm a mesma medida de amplitude.
Ou porque o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros. Os ângulos ao centro são ângulos internos
desses triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º e, num triângulo equilátero, os
ângulos têm todos a mesma medida de amplitude, resulta que os ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐷��𝐶 têm 60º de medida de
amplitude.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.2:
Quadrado [ABCD]
• O arco 𝐴�� tem 90º de medida de amplitude
• O arco 𝐷�� tem 90º de medida de amplitude
Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais, pelo que cada arco terá 90º de medida de
amplitude.
Hexágono [ABCDEF]
• O arco 𝐴�� tem 60º de medida de amplitude
• O arco 𝐷�� tem 60º de medida de amplitude
Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais, pelo que cada arco terá 60º de medida de
amplitude. Possíveis estratégias de resolução da questão 2.3:
Das alíneas anteriores, os alunos podem observar que a amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de
amplitude do seu arco correspondente.
Assim, a resposta a esta questão é inerente a essa observação, pelo que os alunos deverão responder:
A medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de amplitude do seu arco correspondente
Ou
A medida de amplitude do arco é igual à medida de amplitude do ângulo ao centro que lhe corresponde.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
2.1.
Quadrado [ABCD]
Os alunos não conseguem determinar a medida de
amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque
a. Não os sabem identificar na figura.
b. Não reconhecem que o quadrado divide a
circunferência em quatro partes iguais.
ou
a. Não reconhecem [AC] e [BD] como
diâmetros perpendiculares, da circunferência,
nem estabelecem a sua relação com a medida
de amplitude dos ângulos pedidos.
b. Não reconhecem que os ângulos pedidos são
verticalmente opostos, pelo que basta
determinar a medida de amplitude de um
deles.
Hexágono [ABCDEF]
Os alunos não conseguem determinar a medida de
amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque
• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.
• Recordem a definição de ângulo ao centro.
• Que relação encontram entre a medida de
amplitude do ângulo ao centro 𝐴��𝐵 e
do setor circular que o contém? Porquê?
• Identifiquem os restantes ângulos ao centro
existentes neste quadrado. Que relação
estabelecem entre as suas medidas de
amplitudes? Porquê?
• Tracem, na vossa figura, os segmentos [AC] e
[BD]. Qual a posição relativa desses dois
segmentos? O que podem concluir sobre a
medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶? Porquê?
• Que relação podem estabelecer entre as medidas
de amplitudes destes dois ângulos, A��𝐵 𝑒 𝐷��𝐶
? Serão iguais? Serão diferentes? Porquê?
4
a. Não os sabem identificar na figura.
b. Não reconhecem que o hexágono divide a
circunferência em seis partes iguais.
ou
a. Não reconhecem que o hexágono poderá ser
decomposto em seis triângulos equiláteros,
uma vez que é regular.
b. Reconhecem essa decomposição, mas não
sabem como proceder de seguida.
2.2.
Quadrado [ABCD] e Hexágono [ABCDEF]
Os alunos não conseguem determinar a amplitude dos
arcos pedidos porque
a. Não os identificam como os arcos
correspondentes aos ângulos ao centro 𝐴��𝐵 e
𝐷��𝐶.
b. Não estabelecem uma relação entre os arcos
pedidos e os setores circulares que os contêm
2.3.
Os alunos não estabelecem uma relação entre esta
questão e as anteriores, não conseguindo deduzir o
pretendido.
• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.
• Recordem a definição de ângulo ao centro.
• Que relação encontram entre a medida de
amplitude do ângulo ao centro 𝐴��𝐵 e
do setor circular que o contém?
Porquê?
• Identifiquem os restantes ângulos ao centro
existentes neste hexágono. Que relação
estabelecem entre as suas medidas das
amplitudes? Porquê?
• Este hexágono pode ser decomposto em que
polígonos? Em quantos desses polígonos pode
ser decomposto?
• O que têm esses polígonos em comum? Porquê?
• Que relação conseguem estabelecer entre esses
polígonos e os ângulos ao centro pedidos?
Porquê?
• Qual a relação que existe entre os ângulos
internos de um triângulo equilátero?
• A que arco corresponde o ângulo ao centro
𝐴��𝐵? E o ângulo 𝐷��𝐶?
• Que relação encontram entre a medida de
amplitude do arco 𝐴�� e a medida de amplitude
do setor circular que o contém?
Porquê?
• O que podem dizer sobre as medidas das
amplitudes destes arcos? Porquê?
• Observem as vossas respostas às
alíneas anteriores. Qual a medida de amplitude
do ângulo ao centro A��𝐵? E do seu arco
correspondente? O que podem intuir?
(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito ao problema 2. Este problema tem como principal objetivo o de conduzir os alunos à relação que
existe entre o ângulo ao centro e o arco que lhe corresponde. Neste momento, a professora registará as
respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias
entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes ao problema.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas,
sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Discussão
Para a pergunta 2.1., a professora questionará:
• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? E do ângulo 𝐷��𝐶? Expliquem o vosso
procedimento?
• Alguém discorda desta resposta? Como procederam?
Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o
seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de
questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam
5
na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,
querem alterar a vossa resposta?
Em relação à pergunta 2.2., a atividade será semelhante à anterior, sendo que a professora primeiro questionará os
alunos sobre que resultados obtidos e, em seguida, pedirá que estes expliquem o seu raciocínio.
Caso existam resoluções diferentes das apresentadas, ou algum aluno discorde do que foi exposto, a atividade
será semelhante à já descrita.
Uma vez que as estratégias de resolução, para estas duas alíneas, podem ser distintas, é interessante deixar que os
alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Ainda,
se nenhum aluno tiver mencionado alguma das estratégias descritas, a professora deverá orientar os alunos para
que isso aconteça, recorrendo ao questionamento oral, através das questões orientadoras já descritas.
Para a pergunta 2.3., a professora questionará:
• Que relação encontraram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida da amplitude do
arco que lhe corresponde? Porquê?
Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem, no retângulo existente na ficha de trabalho, a
conclusão que retiram sobre a relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de
amplitude do seu respetivo arco, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela professora.
(5) Este momento será novamente um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
A atividade da professora será semelhante à atividade descrita no momento III.
Possíveis estratégias de resolução da questão 3.1:
O João não tem razão porque
• A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 120º
• A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 60º
Logo, as amplitudes dos ângulos, apesar de terem o mesmo arco correspondente, é diferente.
Porque:
• O triângulo [ABC] divide a circunferência em três partes iguais, pelo que os ângulos ao centro têm
todos 120º de medida de amplitude. Portanto, 𝐵��𝐶 tem 120º de medida de amplitude, porque é um
ângulo ao centro.
• O ângulo 𝐵��𝐶 é um ângulo inscrito do triângulo [ABC]. O triângulo [ABC] é um triângulo
equilátero, pelo que os seus ângulos internos têm todos 60º de medida de amplitude. Logo, 𝐵��𝐶
tem 60º de medida de amplitude.
Ou porque:
Podemos dividir o triângulo [ABC] em outros três triângulos, [COB], [COA] e [AOB] como apresentado em
seguida:
A amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 120º (pelo já descrito).
O triângulo [BOC] é isósceles, porque [OC] e [OB] são raios da circunferência.
Como [BOC] é isósceles, os ângulos 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂 têm a mesma medida de amplitude.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º resulta que 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂 têm 30º de medida de
amplitude.
Uma vez que [CO] é a bissetriz do ângulo 𝐵��𝐴 (porque o triângulo é equilátero e está inscrito nesta
circunferência) resulta que 𝐵��𝐴 tem 60º de medida de amplitude (a medida de amplitude de 𝐵��𝐴 é o dobro da
medida de amplitude 𝐵��𝑂).
Como o triângulo [ABC] é equilátero, a medida de amplitude de 𝐵��𝑂 é a mesma que a medida de amplitude de
𝐵��𝐶. Logo, 𝐵��𝐶 tem 60º de medida de amplitude.
Possíveis estratégias de resolução da questão 3.2:
Da observação da alínea anterior, os alunos poderão concluir que a medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é o
dobro da medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶.
6
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
3.1.
• Os alunos podem considerar que o João tem
razão, porque não mobilizam conhecimentos
anteriores, sobre as medidas das amplitudes dos
ângulos de um polígono, para responder à
questão, baseando-se apenas na sua intuição de
que se o arco correspondente é o mesmo, então os
ângulos têm a mesma medida de amplitude.
• Os alunos podem concluir que o João não tem
razão, porque os ângulos são geometricamente
diferentes.
• Os alunos podem concluir que o João não tem
razão, mas revelarem dificuldades ao nível da
justificação porque:
a. Não reconhecem que o triângulo [ABC]
divide a circunferência em três partes iguais,
pelo que o ângulo ao centro 𝐵��𝐶 tem 120º de
medida de amplitude.
b. Não reconhecem 𝐵��𝐶 como um ângulo
interno do triângulo [ABC] ou, quando o
fazem, não reconhecem que sendo um
triângulo equilátero os seus ângulos internos
têm 60º de medida de amplitude.
ou
a. Não reconhecem que o triângulo poderá
ser decomposto em três triângulos
isósceles, como o indicado na fig.1.
b. Identificam essa decomposição, mas não
sabem como proceder, em seguida.
3.2.
Os alunos não estabelecem uma relação entre esta
questão e a alínea anterior, não conseguindo deduzir o
pretendido.
• O arco correspondente ser o mesmo implica que os
ângulos tenham a mesma medida de amplitude?
Porquê?
• Observem novamente o quadrado do problema 2. As
medidas das amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e do arco
𝐴�� eram de 90º. O ângulo inscrito 𝐵��𝐴 tem 90º de
medida de amplitude? O que podem concluir?
• Os ângulos serem diferentes implica que o João não
tem razão, porquê?
• Que relação encontram entre a medida de amplitude
do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 e do setor circular que o
contém? Porquê?
• Identifiquem os restantes ângulos ao centro
existentes neste triângulo. Que relação estabelecem
entre as suas medidas de amplitude? Porquê?
• Que relação estabelecem entre o ângulo 𝐵��𝐶 e o
triângulo [ABC]?
• Sendo este triângulo equilátero, o que podem dizer
sobre a medida de amplitude dos seus ângulos
internos?
• Este triângulo pode ser descomposto em outros
polígonos? Quais? E quantos são? Identifiquem-
nos na figura.
• Como classificam os triângulos quanto aos seus
lados? Porquê?
• O que podem dizer acerca da medida de amplitude
dos ângulos de um triângulo isósceles?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes dos ângulos 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂? São iguais?
São diferentes? Quanto é a sua amplitude?
Porquê?
• O que podem concluir sobre a medida de
amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 em relação à medida de
amplitude do ângulo 𝐵��𝑂? Porquê?
• Relacionem as medidas de amplitude dos ângulos
de 𝐵��𝑂 e 𝐵��𝐶. Concluam.
• Observem as vossas respostas à alínea anterior.
Como justificaram que o João não tem razão?
• Observem novamente o quadrado do problema 2.
As amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e do arco 𝐴�� eram
de 90º. O ângulo inscrito 𝐵��𝐴 tem 90º de medida
de amplitude? O que podem concluir?
(6) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito ao problema 3.
7
Este problema tem como principal objetivo o de levar os alunos a intuir sobre a
relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do
respetivo ângulo inscrito.
Será importante referir, no final da discussão, que o exemplo visto não fornece
nenhuma justificação quanto à veracidade da relação encontrada e que través de
exemplos, não se poderá generalizar. A generalização será feita, posteriormente,
recorrendo ao problema 4.
Uma vez mais, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, assinalando,
posteriormente às discussões, as corretas e colocando um traço sobre as incorretas.
A figura referente a este problema será projetada no quadro.
Discussão
Em relação à questão 3.1., podem surgir respostas distintas, isto é, um aluno pode responder que o João tem razão
e outro aluno pode responder que o João não tem razão.
A professora deverá perguntar: “porque dizes que o João tem razão? Se tivesses de convencer o teu colega, que
lhe dirias?”, “porque dizes que o João não tem razão?”.
Se os alunos mostrarem dificuldades em justificar, a professora poderá orientá-los no sentido de observarem
atentamente o problema 2: “observem novamente o quadrado do problema 2. Qual a medida das amplitudes do
ângulo 𝐴��𝐵 e do arco 𝐴��? Qual a medida da amplitude do ângulo inscrito 𝐵��𝐴? O que podem concluir?”
Em relação à questão 3.2., a professora questionará a turma:
• Que relação encontraram? Como chegaram a essa relação?
• Alguém tem uma resposta diferente? Expliquem aos vossos colegas.
Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem no retângulo existente na ficha de trabalho, a
conclusão retirada sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo ao centro e a medida da
amplitude do respetivo ângulo inscrito, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela
professora.
Extra
Uma vez que as estratégias de resolução, para estas alínea, podem ser distintas, é interessante deixar que os
alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Se nenhum aluno tiver mencionado alguma das
estratégias descritas, a professora deverá orientá-los para que isso aconteça, recorrendo ao questionamento
oral, através das questões orientadoras já descritas.
A professora questionará ainda: “os ângulos ao centro têm todos a mesma medida da amplitude? Porquê? E os
inscritos?”, “Será que esta relação também acontece para pentágonos? E para outros polígonos inscritos? Será
sempre
verdade? Porquê?”
(7) Este será um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
A atividade da professora será semelhante à atividade já descrita no momento III.
Possíveis estratégias de resolução da questão 4.1:
O triângulo [OVB] é um triângulo isósceles porque 𝑂𝑉 = 𝑂𝐵 (por ambos serem raios da circunferência de centro
O).
Possíveis estratégias de resolução da questão 4.2:
A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 é metade da medida de amplitude do arco capaz
Porque
Do problema 3, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do
ângulo ao centro e do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida
de amplitude do seu arco correspondente. Portanto, a medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 é metade da medida
da amplitude do seu arco capaz.
Possíveis estratégias de resolução da questão 4.3. – alíneas a) e b):
Do problema 3 decorre que o ângulo ao centro 𝐴��𝐵 tem o dobro da medida da amplitude do ângulo 𝐵��𝐴.
O ângulo 𝐵��𝐴 tem 30º de medida de amplitude, logo 𝐴��𝐵 tem 60º de medida de amplitude.
Como a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do arco que lhe corresponde
(como visto no problema 2), resulta que o arco 𝐴�� tem 60º graus de medida de amplitude.
8
ou
Da alínea anterior decorre que o a amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do arco que lhe
corresponde.
O arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐵��𝐴 é o arco 𝐴��, pelo que AB tem 60º de medida de amplitude.
Do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do seu
arco correspondente, pelo que o ângulo 𝐴��𝐵 tem 60º de medida de amplitude.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
4.1.
Os alunos não classificam o triângulo como um
triângulo isósceles porque
a. Não se recordam das classificações dos
triângulos quanto aos lados
b. Não identificam que os lados [OV] e [OB] são
raios da circunferência
4.2.
Os alunos não encontram a relação pedida porque não
relacionam o arco capaz com a medida da medida da
amplitude do ângulo ao centro
4.3.
Os alunos não conseguem determinar a medida de
amplitude do arco pedido porque
a. Os alunos não articulam esta alínea com
conclusões já retiradas sobre a amplitude do
ângulo ao centro e a amplitude do seu
respetivo arco.
Os alunos não articulam esta alínea com as conclusões
já retiradas, na alínea anterior, sobre a relação existente
entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e
do arco que lhe corresponde.
• Como se classificam os triângulos quanto aos
lados?
• Os lados do triângulo [OVB] têm alguma relação
com a circunferência?
• Que relação estabelecem entre as medidas das
amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e o seu arco
correspondente? Porquê?
• O que concluíram no problema 2? E no problema
3? Como vos poderá essa informação ser útil?
• Que relação existe entre a medida de amplitude do
ângulo ao centro e a medida de amplitude do seu
arco correspondente? O que podem concluir?
• O que concluíram na alínea anterior? Como vos
poderá essa informação ser útil?
• Que relação estabelecem entre as medidas das
amplitudes dos ângulos 𝐵��𝐴 e 𝐴��𝐵? Porquê? O
que podem concluir sobre a medida da amplitude
do arco 𝐴��? Porquê?
(8) Este será o momento de discussão do problema 4.
No caso deste problema, um dos lados do ângulo inscrito contém o centro da circunferência.
Como tal nem sempre se verifica, os alunos serão alertados para este facto, pelo que a
discussão se iniciará com a professora a pedir aos alunos que identifiquem, em relação ao
centro da circunferência, as diferentes posições que um ângulo inscrito poderá ter
(o centro poderá pertencer a um dos lados do ângulo, o centro poderá ser exterior ao ângulo
ou o centro poderá estar no interior ao ângulo).
É importante referir que este problema apenas contempla uma das posições possíveis do
ângulo, sendo que será estudado apenas um dos casos.
Os restantes casos serão mostrados aos alunos com recurso ao Geogebra.
Discussão
A discussão deste problema, irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Como classificaram estre triângulo quanto aos lados? Expliquem.
• Alguém tem uma resposta diferente? Porquê?
9
Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o
seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de
questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam
na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,
querem alterar a vossa resposta?
De seguida, em relação à questão 4.2., serão colocadas as seguintes questões:
• Que relação encontraram? Porquê?
• Alguém tem uma resposta diferente?
• Quem quer reformular o que foi dito?
Caso se verifique que não se dispõe de tempo para se corrigir o problema 3.3., este será corrigido na aula
seguinte, sendo dada a oportunidade aos alunos de o realizarem como trabalho de casa, para quem não o fez em
aula.
Caso contrário, a professora questionará, em relação à questão 3.3.:
• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 ? Porquê?
• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?
• Qual a medida de amplitude do arco 𝐴��? Porquê?
• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?
Finda esta discussão, a professora mostrará, com recurso a um ficheiro Geogebra, que a relação encontrada se
verifica para qualquer posição do ângulo inscrito.
Finalmente, os alunos deverão registar no retângulo existente na ficha de trabalho, as conclusões que retiraram da
discussão deste problema, sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida
da amplitude do seu respetivo arco capaz.
Esta conclusão também será escrita no quadro, pela professora.
Plano de aula de dia 19 de fevereiro de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 02, Pavilhão 01
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre as propriedades dos ângulos ao centro e inscrito
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Propriedades do ângulo ao centro
• Propriedades do ângulo inscrito
Objetivos da aula
Geral
• Estudar as propriedades dos ângulos ao centro
e do ângulo inscrito
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Provar que a medida da amplitude do
ângulo inscrito é metade da medida da
amplitude do arco capaz
• Reconhecer que a ângulos ao centro com a
mesma medida de amplitude,
correspondem arcos e cordas
geometricamente iguais e vice-
-versa.
• Reconhecer que ângulos inscritos num
mesmo arco têm a mesma medida de
amplitude
• Identificar a medida da amplitude de um
ângulo inscrito cuja corda seja um
diâmetro da circunferência
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
10
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Ângulo ao centro numa circunferência
• Ângulo inscrito numa circunferência
• Definição de arcos e cordas numa circunferência
• Definição de ângulos verticalmente opostos
• Isometrias
• Classificação de triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos e revisão dos conteúdos lecionados na aula anterior (15 minutos)
(2) Resolução autónoma da ficha de trabalho (15 minutos)
(3) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos)
Desenvolvimento da aula:
(1) Este momento terá início com entrada inicial dos alunos.
Uma vez que alguns alunos não puderam comparecer na segunda metade da aula anterior, devido a um
torneio de futebol que ocorreu na escola, a aula irá iniciar-se com uma revisão das conclusões retiradas
da aula anterior.
A professora irá entregar, durante este momento, as resoluções das fichas dos alunos, devidamente
corrigidas incluindo feedback. A figura referente ao problema 4 será projetada no quadro, uma vez que
será utilizada para a prova das propriedades encontradas nos problemas 3 e 4.
A professora questionará os alunos: “Que conclusões retiraram da aula anterior?”
Posteriormente, uma vez que, até ao momento, não foi provada da veracidade das duas propriedades
encontradas nos problemas 3 e 4 (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da
amplitude do ângulo ao centro / a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da
amplitude do seu arco capaz), a professora orientará os alunos para que, em conjunto, o façam,
recorrendo ao questionamento oral:
• Como pensam que podemos provar que as relações encontradas são verdadeiras?
• Como classificariam o triângulo [OVB] quanto aos lados? Porquê?
• Como poderá esta informação ser útil para o que pretendemos provar? Alguém tem uma ideia?
• Existe algum ângulo cuja medida de amplitude seja igual à do ângulo 𝐵��𝐴? Qual?
• Que relação existe entre as medidas das amplitudes dos ângulos 𝐵��𝑉 e 𝐵��𝐴? Como podemos
prosseguir agora? Alguém tem uma ideia?
• Exprimam a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos para o triângulo [OVB].
Que relações encontram com o que já puderam observar?
• Do problema 2, o que concluíram? Como podem utilizar essa informação agora?
A professora deverá aproveitar as sugestões dadas pelos alunos, desde que estas sejam coerentes com o
que se pretende.
Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para resolverem autonomamente a ficha
de trabalho proposta.
(2) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da
tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1:
a. As medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 são iguais porque os ângulos são verticalmente
opostos.
b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento porque
os triângulos [ABC] e [CEF] são isósceles (porque dois dos seus lados são raios da circunferência).
Pela a alínea a), os ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 têm a mesma medida de amplitude, logo, pelo critério de
igualdade LAL, os triângulos [ABC] e [CEF] são iguais.
11
Como [AB] e [EF] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais,
resulta que [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento.
ou
Porque existe uma isometria que transforma os ângulos um no outro.
Essa isometria é uma rotação de centro O e medida de amplitude 180º. Logo, os
ângulos são geometricamente iguais, pelo que as suas cordas também.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2: Os ângulos 𝛼 e 𝛽 têm a mesma medida de amplitude porque
são ângulos inscritos no mesmo arco capaz.
Possíveis estratégias de resolução da questão 3:
A resposta [C] é a única verdadeira porque:
O arco 𝐴�� tem 180º de medida de amplitude (porque o diâmetro divide a circunferência em dois arcos de igual
medida de amplitude). Como o ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo inscrito, a sua medida de amplitude é metade da medida
da amplitude do seu arco capaz. O arco capaz de 𝐴��𝐵, é o arco 𝐴��, logo 𝐴��𝐵 tem 90º de medida de amplitude,
pelo que o triângulo [AVB] é retângulo, sendo que a hipótese D é falsa.
Hipótese A – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, nem sempre é escaleno.
Quando a medida de amplitude de 𝑉��𝐵 é de 90º, o triângulo é isósceles, porque:
• [OA]=[OV], por serem dois raios da circunferência.
• Uma vez que um triângulo retângulo nunca poderá ser equilátero, [AV] não tem o mesmo comprimento
de [OA] nem de [OV].
Quando a medida de amplitude de 𝑉��𝐵 difere de 90º, o triângulo é escaleno.
Hipótese B – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, existe uma posição do ponto
V para o qual o triângulo é isósceles (quando 𝑉��𝐵 tem 90º de medida de amplitude).
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.
a. Os alunos podem não identificar os ângulos
como verticalmente opostos
b. Os alunos não conseguem utilizar a sugestão
dada porque
• Não identificam os triângulos [ABC] e
[CEF] como isósceles
• Não reconhecem que os triângulos
[ABC] e [CEF] são iguais, pelo critério
de igualdade LAL.
• Não identificam [AB] e [EF] como
lados opostos a ângulos de igual
medida de amplitude, em triângulos
iguais
ou
• Não reconhecem a existência de uma
rotação que transforma um ângulo no
outro / podem identificar a existência
de uma rotação mas não reconhecer
qual o centro e/ou a sua medida de
amplitude.
2.
• Que relação existe entre estes ângulos?
• Porque achas que os ângulos têm a mesma medida
amplitude? Que propriedade dos ângulos podes usar
para confirmar?
• Classifiquem os triângulos [ABC] e [CEF] quanto
aos lados. Justifiquem.
• Que relação podem estabelecer entre os dois
triângulos? Serão diferentes? Serão iguais? Porquê?
• Quando dois triângulos são geometricamente
iguais, o que podemos dizer sobre os lados opostos
aos ângulos que têm a mesma medida de amplitude?
• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de
forma a sobrepô-los o que teremos de fazer?
• De que forma podemos sobrepor um ângulo no
outro?
• Existe alguma isometria que transforme o ângulo
𝐴��𝐵 no ângulo 𝐸��𝐹? Qual?
• Qual o arco capaz do ângulo 𝛼? E o arco capaz do
ângulo 𝛽? Que conclusão podem retirar?
12
Os alunos não reconhecem que os ângulos têm a
mesma medida de amplitude porque não identificam os
ângulos como ângulos inscritos num mesmo arco.
3.
Hipótese [A]
Os alunos podem selecionar esta hipótese pois não
reconhecem a existência de um caso que torna o
triângulo [AVB] num triângulo isósceles, pelo que
[AVB] nem sempre será escaleno.
Hipótese [B]
Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não
identificam que o triângulo é isósceles quando [OA] e
[OV] formam um ângulo de 90º graus.
Hipótese [D]
Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não
identificam que o triângulo é retângulo.
• Não identificam que 𝐴��𝐵 é um ângulo
inscrito num arco com medida de amplitude
180º
• Não se recordam que a medida da amplitude
do ângulo inscrito é metade da medida da
amplitude do seu respetivo arco capaz
• Qualquer que seja a posição do ponto V, o
triângulo é sempre escaleno porquê?
• Desenhem algumas posições possíveis para o
ponto V e averiguem se o triângulo é escaleno para
qualquer posição.
• Como classificam o triângulo [AVB] quando a
posição do ponto P é tal que os segmentos [OA] e
[OV] formam um ângulo de 90º? Porquê?
Esbocem a figura.
• Porque motivo consideram que este triângulo
nunca é isósceles?
• Desenhem algumas possíveis posições para o
ponto V. Existe alguma posição do ponto V para a
qual o triângulo seja isósceles? Qual? Porquê?
• Que relação existe entre o ângulo 𝐴��𝐵 e o arco
𝐴��? Como se relacionam as suas medidas de
amplitude?
• Já vimos que o diâmetro da circunferência é um
eixo de simetria. O que podem concluir sobre a
medida de amplitude do arco 𝐴��?
• Que relação existe entre a medida da amplitude do
ângulo inscrito e a medida da amplitude do seu
respetivo arco capaz? Como poderá isso ser útil
para classificarem o triângulo quanto aos ângulos?
O que concluem sobre a medida da amplitude do
ângulo 𝐴��𝐵?
(3) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito à ficha de trabalho.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a
poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora
da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes aos problemas propostos.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo
que será colocado um traço sobre as respostas incorretas
Discussão
Em relação à questão 1., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Porque motivo os ângulos têm a mesma medida de amplitude?
• Porque têm as cordas o mesmo comprimento?
• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?
13
Sempre que um aluno sugerir outra resposta, ou mostrar que discorda do exposto até então, a professora orientará
a discussão entre os alunos, com questões como: “porque dizes isso?”, “depois do que os teus colegas disseram,
queres alterar a tua resposta?”
Se, por qualquer motivo, as respostas apresentadas forem incorretas, a professora deverá questionar a turma,
através das questões orientadoras já descritas, de forma a orientá-los para a resposta correta.
Se as respostas apresentadas forem incompletas, a professora solicitará a ajuda de outros colegas, através do
questionamento, com perguntas como “quem quer reformular?”, “quem quer acrescentar algo?”, “a resposta está
completa?” ou, ainda, utilizar as questões orientadoras anteriormente descritas.
Extra
Uma vez que existem duas formas de justificar a alínea b), e uma delas envolve a mobilização de conhecimentos de
anos anteriores no que diz respeito às isometrias, será interessante explorar essa resolução com os alunos, caso estes
não o tenham feito sozinhos.
Para o efeito, a professora questionará:
• Haverá outra forma de justificar que as cordas têm o mesmo comprimento?
• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de forma a sobrepô-los o que teremos de fazer? / Pensemos
em isometrias. De que forma podemos sobrepor um ângulo no outro? / Existe alguma isometria que
transforme o ângulo 𝐴��𝐵 no ângulo 𝐸��𝐹? Qual?
As cordas são geometricamente iguais porque os ângulos ao centro têm a mesma medida amplitude. Esta relação
é também válida para os respetivos arcos.
Quando as cordas e os arcos são geometricamente iguais, pode-se concluir, igualmente, que os respetivos ângulos
ao centro têm a mesma medida de amplitude.
É importante explorar também isto com os alunos, pelo que a professora questionará:
• O que podem concluir sobre a medida de amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐸��? Porque será que isso se verifica?
• E se as medidas de amplitude dos ângulos forem as mesmas, será que se verificam as relações que vimos?
Porquê? Alguém consegue explicar? (caso nenhum aluno o consiga fazer, a professora deverá recorrer às
questões orientadoras descritas anteriormente).
Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam no respetivo retângulo existente na
ficha de trabalho, a conclusão que foi retirada da discussão deste problema, e que estará escrita, também, no
quadro: “A ângulos ao centro geometricamente iguais, correspondem arcos e cordas geometricamente iguais, e
vice-versa”.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Em relação à questão 2., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Que relação encontraram entre as medidas das amplitudes destes dois ângulos? Porquê?
• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?
A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, será
semelhante à descrita anteriormente.
Uma vez que, na aula anterior, não foi clarificada a hipótese de para um mesmo arco existir uma infinidade de
ângulos inscritos, a professora questionará:
• Quantos ângulos inscritos têm como arco correspondente o arco 𝐴��?
• Quantos ângulos inscritos correspondem a um ângulo ao centro? Porquê?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Em relação à questão 3., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:
• O que responderam a esta questão? Justifiquem.
• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?
Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos
serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.
A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é
semelhante à descrita anteriormente.
Extra
• O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?
14
• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?
Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das
discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão
escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de
amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida de amplitude”.
Plano de aula de dia 21 de fevereiro de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 03, Pavilhão 02
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre propriedades geométricas numa circunferência
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Arcos e cordas determinados por duas retas paralelas • Reta que contém o centro da circunferência e é perpendicular a uma corda
Objetivos da aula
Geral
• Estudar as propriedades geométricas da
circunferência que envolvem arcos e cordas
compreendidos entre duas retas paralelas
• Estudar as propriedades geométricas da
circunferência que envolvem a mediatriz de
uma corda e que passa pelo centro da
circunferência
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Identificar a medida da amplitude de um ângulo
inscrito cuja corda é um diâmetro da
circunferência
• Reconhecer que qualquer reta que contenha o
centro da circunferência e é perpendicular a uma
corda, a bisseta, assim como aos arcos subtensos
e aos ângulos ao centro correspondentes.
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Definição de circunferência
• Definição de arcos e cordas numa circunferência
• Noção de paralelismo e perpendicularidade
• Definição de mediatriz de um segmento
• Isometrias (reflexão axial)
• Critério de igualdade LAL
• Ângulo ao centro numa circunferência
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)
(2) Sistematização e discussão do último problema da ficha de trabalho da aula anterior (10 minutos)
(3) Resolução autónoma da ficha de trabalho (15 minutos)
(4) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos)
Observação
Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo do que o previsto, serão propostos
os problemas:
página 83 ex.6 e ex.10, do manual.
Desenvolvimento da aula:
15
(1) Este será o momento de entrada inicial dos alunos.
(2) Este momento terá inicio com uma breve sistematização das conclusões retiradas da aula anterior, sendo
que essas conclusões deverão ser escritas no quadro, pela professora.
O último problema da aula anterior não foi discutido em grupo-turma, pelo que será discutido neste
momento. A figura referente a este problema será projetada no quadro.
Discussão
A discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:
• O que responderam a esta questão? Justifiquem.
• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?
Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos
serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.
A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é
semelhante à descrita anteriormente.
Extra • O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?
• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?
Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das
discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão
escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de
amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida amplitude”.
Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para, autonomamente, resolverem a ficha de
trabalho proposta para esta aula.
(3) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da
tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1:
a. Os alunos respondem que a reta r é perpendicular à corda [AB] porque a corda [AB] é paralela à corda
[EF] e r é perpendicular a [EF].
b. r é a reta mediatriz de [FE] porque, como enunciado, r contém o ponto médio de [EF] e é perpendicular
a esta.
r é a reta mediatriz de [AB] porque
• Como visto na alínea anterior, r é perpendicular a [AB]
• Como r contém o ponto médio de [EF] e [EF] // [AB], então r contém o ponto médio de [AB].
Logo, r é reta mediatriz de [AB].
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2:
𝐴𝐶 =𝐵𝐶 ou os comprimentos são iguais.
Porque
Uma vez que r é a mediatriz de [AB], r contém o ponto médio de [AB], portanto r divide [AB] em dois
segmentos de igual comprimento / divide [AB] em duas “partes “iguais.
Portanto, os comprimentos de [AC] e [BC] são iguais.
ou
A reta r é um eixo de simetria da circunferência (porque qualquer reta que contenha o centro da circunferência é
um eixo de simetria da mesma). Portanto, [AC] tem o mesmo comprimento de [BC].
ou
Existe uma isometria que transforma o ponto A no ponto B.
Essa isometria é uma reflexão axial de eixo r.
As isometrias preservam as distâncias, pelo que as cordas [AC] e [BC] têm o mesmo comprimento.
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.3:
Os ângulos 𝐴��𝐷 e 𝐵��𝐷 têm a mesma medida de amplitude porque são a imagem um do outro, pela reflexão
axial de eixo r/ porque r é um eixo de simetria da circunferência.
ou
O ponto B é a imagem do ponto A, através da reflexão de eixo r.
Por pertencerem ao eixo de reflexão, os pontos O e D são aplicados neles próprios.
Portanto, a medida de amplitude dos ângulos é a mesma.
ou
16
As cordas [AD] e [DB] são geometricamente iguais, pois r é um eixo de simetria.
A cordas geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro de igual medida de amplitude, portanto 𝐴OD e
BOD têm a mesma medida de amplitude.
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.4:
As cordas [AF] e [BE] têm igual comprimento.
Os arcos 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de amplitude.
Porque
podemos dividir a figura como a seguir se apresenta
𝑂𝐴 =𝑂𝐵 porque são ambos raios da circunferência.
𝑂𝐹 =𝑂𝐸 porque são ambos raios da circunferência.
Portanto, os triângulos [AOF] e [BOE] são isósceles.
𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida de amplitude (porque r é eixo de simetria).
Pelo critério de igualdade LAL, os triângulos [AOF] e [BOE] são iguais.
Como [AF] e [BE] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais, resulta que
[AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.
Como as cordas [AF] e [BE] são geometricamente iguais, resulta que os arcos 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de
amplitude (visto na aula anterior).
ou
Os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida de amplitude, porque r é um eixo de simetria.
A medida da amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐵�� são iguais às medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸,
respetivamente.
Portanto, 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de amplitude.
A arcos geometricamente iguais correspondem cordas geometricamente iguais (visto na aula anterior), pelo que
[AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.
ou
Existe uma isometria que transforma a corda [AF] na corda [BE]. Essa isometria é uma rotação axial de eixo r,
pelo que as cordas são geometricamente iguais.
Pelo mesmo motivo, conclui-se que os arcos 𝐴�� e 𝐵𝐸 são geometricamente iguais.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
a. Os alunos não reconhecem que a reta r é
perpendicular à corda [AB] porque não se
recordam que se duas retas paralelas forem
intersetadas por uma secante, então os
ângulos correspondentes são iguais.
• Quando duas retas são paralelas e são
intersetadas por uma reta, o que acontece aos
ângulos correspondentes?
Para clarificar, a professora poderá
desenhar:
Os ângulos aqui desenhados, têm a mesma medida de
amplitude ou medidas de amplitudes diferentes?
Se a reta for perpendicular a uma das retas, será
perpendicular à outra?
17
b. Os alunos não sabem/não se recordam da
definição de mediatriz:
• Não reconhecem que a mediatriz de um
segmento é uma reta que contém o ponto
médio desse segmento e é perpendicular ao
mesmo.
• Os alunos podem, ainda assim, reconhecer a
definição de mediatriz, mas não saber
relacionar isso com o problema porque
• Não identificam que os segmentos
[OA] e [OB] têm igual
comprimentos por se tratarem de
raios da circunferência.
ou
• Não identificam que r contém o
ponto médio de [AB].
1.2.
Os alunos não conseguem relacionar as duas medidas
porque
• Não identificam que r contém o ponto médio
de [AB] pelo que divide este segmento em
dois segmentos de igual comprimento.
ou
• Não identificam r como sendo um eixo de
simetria da circunferência.
ou
• Não identificam a existência de uma isometria
que transforma o ponto A no ponto B /
identificam a existência de uma isometria,
mas não sabem identificar qual.
1.3.
Os alunos não conseguem encontrar uma
justificação para o pretendido porque
• Não reconhecem a existência de uma
isometria que transforma os ângulos um no
outro
• Reconhecem a existência de uma isometria,
mas não identificam qual
ou
• Não identificam as cordas [AD] e [DB] como
geometricamente iguais
• Não relacionam os ângulos 𝐴OD e BOD com
as suas respetivas cordas
1.4.
• Qual a definição de mediatriz?
• Como podem utilizar essa definição no problema
proposto?
• O que significa a palavra mediatriz?
• Na alínea a) concluíram que a reta r era
perpendicular a [AB]. O que falta para concluir
que r é a reta mediatriz deste segmento?
• Que relação encontram entre o comprimento dos
segmentos [OA] e [OB]? Expliquem.
• A reta contém algum ponto do segmento [AB]?
Que ponto é esse?
• A reta contém algum ponto do segmento [AB]?
Que ponto é esse?
• Se r contém o ponto médio de [AB], que relação
existe entre as duas distâncias? Porquê?
• A reta r poderá ser um eixo de simetria da
circunferência? Porquê? Para ser um eixo de
simetria, que condição tem de satisfazer? O que
significa isso, no contexto deste problema?
• Como podemos transformar o ponto A, no ponto
B?
• Existe alguma isometria que transforme A em B?
Qual?
• Recordem as simetrias. Existe algum eixo de
simetria que possam identificar na figura? Qual?
Porquê?
• Existe alguma forma de transformar um ângulo no
outro? Como se faz?
• Que relação existe entre os comprimentos das
cordas [AD] e [DB]? Porquê? Como poderá essa
informação ser útil?
• O ângulo 𝐴OD tem que corda correspondente?
Identifiquem-na na imagem.
• Como se relacionam as medidas das amplitudes
dos ângulos 𝐴OD e BOD e as medidas das
amplitudes das cordas [AD] e [DB]? Porquê?
18
• Os alunos não identificam as relações
pretendidas.
• Os alunos identificam as relações pretendidas,
mas revelam dificuldades ao nível da
justificação porque
• Não identificam que os raios [OA],
[OB], [OE] e [OF] determinam dois
triângulos iguais / identificam que
tal acontece, mas não sabem como
avançar
• Não relacionam cordas
geometricamente iguais com os
seus respetivos arcos.
ou
• Não reconhecem que os ângulos
𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida
de amplitude.
• Não relacionam a medida da
amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐵�� com
as medidas das amplitudes dos
ângulos ao centro 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸.
ou
• Não reconhecem a existência de
uma isometria que transforma a
corda [AF] na corda [BE] /
reconhecem a sua existência, mas
não a identificam
• As cordas [AF] e [BE] têm o mesmo comprimento
ou comprimentos diferentes? Porquê? E as
medidas das amplitudes dos arcos serão iguais ou
diferentes? Porquê?
• Tracem os segmentos [AO],[OB],[OF] e [OE].
Que polígonos obtém? Como vos pode isso ser
útil?
• Classifiquem os triângulos quanto aos seus lados.
Porquê?
• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 ?
Porquê?
• Que relação têm os triângulos [AOF] e [BOE]?
Porquê?
• O que podem concluir?
• O que concluímos na aula anterior, sobre a relação
que existe entre cordas geometricamente iguais e
os seus respetivos arcos? Como podem utilizar
essa informação para resolver este problema?
• Que relação podem estabelecer entre as medidas
das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸? Porquê?
• Que relação encontram entre a medida da
amplitude do arco 𝐴�� e a medida da amplitude do
ângulo 𝐴��𝐹? Porquê?
• Como podemos transformar a corda [AF] na corda
[BE]? Existe alguma isometria que satisfaça o que
queremos? Qual é essa isometria? Porquê?
(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito à ficha de trabalho.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a
poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora
da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar a figura referente ao problema.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo
que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Discussão
Para cada alínea a turma será questionada:
• O que responderam a esta questão? Justifiquem.
• Alguém tem uma resposta diferente?
• Alguém quer reformular o que já foi dito?
Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o
seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de
questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam
19
na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,
querem alterar a vossa resposta?
Extra:
Uma vez que as diversas alíneas contemplam diferentes estratégias de resolução, será interessante que, através das
questões orientadoras descritas anteriormente, a professora explore, em conjunto com os alunos, as diferentes
estratégias.
A professora questionará, ainda:
• Como classificam o quadrilátero [ABEF]. Porquê?
Por fim, será pedido aos alunos que completem as frases que se encontram no interior do retângulo da ficha de
trabalho, com as conclusões que foram retiradas durante a discussão.
Essas frases serão escritas, no quadro, pela professora.
Plano de aula de dia 23 de fevereiro de 2018
Hora: 14:30 às 16:20 Sala 16, Pavilhão 04
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo de segmento
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Arcos e cordas definidos numa circunferência
• Ângulo de segmento: propriedade.
Objetivos da aula
Geral
• Definir e estudar o ângulo de segmento
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Reconhecer que arcos (respetivamente cordas)
determinados por duas retas paralelas e entre
elas compreendidos, são iguais.
• Definir ângulo de segmento
• Relacionar a medida da amplitude do ângulo de
segmento com a medida da amplitude do arco
compreendido entre os seus lados e provar a
relação encontrada.
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Definição de reta tangente à circunferência
• Relação entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e do arco capaz
• Soma dos ângulos internos de um triângulo
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)
(2) Revisão oral das propriedades estudadas nas aulas anteriores (10 minutos)
(3) Discussão das alíneas 1.3. e 1.4. da ficha de trabalho da aula proposta na aula anterior (15 minutos)
(4) Apresentação da ficha de trabalho proposta para esta aula (10 minutos)
(5) Resolução autónoma do problema proposto para esta aula (20 minutos)
(6) Discussão e sistematização de ideias referentes ao problema proposto (25 minutos)
Observações
20
(1) Existe um intervalo de 10 minutos entre o momento 4 e 5.
(2) Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão
do problema 3 termine mais cedo do que o previsto, será proposto o problema 5 da página 91, do manual.
Desenvolvimento da aula:
(3) Este será um momento de discussão das alíneas 1.3. e 1.4. da ficha proposta durante a aula
anterior.
A figura referente ao problema será projetada no quadro.
Em relação às alíneas 1.3 e 1.4., a professora questionará:
• Porque têm estes ângulos a mesma medida de amplitude? (1.3)
• Que relação existe entre o comprimento das cordas [AF] e [BE]? Porquê? E que relação existe entre as
medidas das amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐵��? Porquê? (1.4.)
Sempre que existirem alunos que discordem das ideias apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu
raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os mesmos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de
questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam
na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,
querem alterar a vossa resposta?
Uma vez que estas são alíneas que contemplam várias formas de resolução, essas deverão ser exploradas com os
alunos, de forma a que haja um leque distinto de justificações apresentadas.
Para a alínea 1.3., será importante referir que considerar r um eixo de simetria ou um eixo de reflexão axial, será
o mesmo.
Para a alínea 1.4., é importante que se apresente a resolução que recorre ao critério de igualdade LAL, para que os
alunos se recordem, pedindo contribuições:
• Tracem os segmentos [AO],[OB],[OF] e [OE]. Que polígonos obtém? Como vos pode isso ser útil?
• Classifiquem os triângulos quanto aos seus lados. Porquê?
• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 ? Porquê?
• Que relação têm os triângulos [AOF] e [BOE]? Porquê?
• O que podem concluir?
A discussão terminará com o preenchimento dos espaços em branco, que se encontram na ficha de trabalho, no
interior do retângulo. (4) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que a professora explica o
que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos encontrem propriedades acerca do ângulo de
segmento.
Uma vez que a definição deste ângulo está presente na ficha, será pedido a um aluno da turma que leia,
para a turma, o enunciado da definição e serão esclarecidas eventuais dúvidas sobre o mesmo.
Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 20 minutos para
resolverem autonomamente o primeiro problema da ficha.
(5) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante a realização do primeiro problema, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução
da tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: Nenhum dos amigos tem razão, pois:
• A reta r é tangente à circunferência, no ponto de tangência B, logo 𝐴��𝐷 tem 90º de medida de amplitude.
• Como 𝐷��𝐶 tem 40º de medida de amplitude resulta que 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude (porque
a medida da amplitude de 𝐴��𝐷 pode ser vista como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos
𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶).
O arco 𝐵�� tem 180º de medida de amplitude, por se tratar de um arco de uma semicircunferência.
O arco 𝐶�� tem 80º de medida de amplitude, porque é o arco capaz do ângulo 𝐷��𝐶. Então, o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude (porque 𝐶�� + 𝐵�� = 𝐵��).
Como o ângulo 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude e o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude,
resulta que a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶 é metade da medida da amplitude do arco 𝐵��.
ou
• Como 𝐷��𝐶 tem 40º de medida de amplitude resulta que 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude (porque
𝐴��𝐷 pode ser visto como a soma dos ângulos 𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶).
A medida da amplitude do arco 𝐵�� é igual à medida da amplitude do ângulo ao centro 𝐵��𝐶. O triângulo [BOC] é isósceles pois 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 , por se tratarem de raios da circunferência de centro O.
Daqui resulta que os ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶 têm a mesma medida de amplitude, pelo que 𝑂��𝐵 tem 40º de
medida de amplitude.
21
Como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é de 180º, resulta
que o ângulo ao centro 𝐵��𝐶 tem 100º de medida de amplitude, logo a medida da amplitude do arco 𝐵��
é de 100º.
Como o ângulo 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude e o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude,
resulta que a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶 é metade da medida da amplitude do arco 𝐵��.
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: Pela alínea anterior, a medida da amplitude do ângulo de
segmento é igual a metade da medida da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
a. Os alunos não conseguem concluir qual dos
dois amigos terá razão porque
• Não reconhecem que 𝐴��𝐷 tem 90º de medida de
amplitude porque não se recordam/não sabem
que qualquer reta tangente a uma circunferência
forma um ângulo reto com o seu raio.
•
• Não relacionam a medida da amplitude do ângulo
𝐴��𝐷 com as medidas das amplitudes dos ângulos
𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶 porque não visualizam a
decomposição do ângulo 𝐴��𝐷 nesses dois
últimos.
• Não identificam o arco 𝐵�� como tendo 180º de
medida de amplitude porque não reconhecem
que se trata de uma semicircunferência.
• Não identificam o arco 𝐶�� como sendo o arco
capaz do ângulo 𝐷��𝐶.
• Não relacionam a medida da amplitude do arco
𝐵�� com as medidas de amplitude dos arcos 𝐶�� e
𝐵��.
ou
• Não relacionam a medida de amplitude do arco
𝐵�� com a medida de amplitude do ângulo ao
centro 𝐵��𝐶 porque
• Não reconhecem a existência do ângulo
• Não se recordam da relação entre a
medida de amplitude do ângulo ao
centro e a medida de amplitude do seu
arco correspondente.
• Não identificam o triângulo [BOC]
como sendo um triângulo isósceles pois
não reconhecem [OC] e [OB] como sendo raios
da circunferência de centro em O.
• Não relacionam as medidas das amplitudes dos
ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶.
• Não conseguem descobrir a medida da amplitude
do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 porque não se recordam
• Que relação existe entre uma reta tangente a uma
circunferência e o seu raio?
• Qual a medida da amplitude do ângulo formado
entre uma reta tangente à circunferência e o seu
raio?
• Que relação podem estabelecer entre as medidas
das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐷, 𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶?
• O ângulo 𝐴��𝐷 pode ser decomposto em que
ângulos?
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐵��? Porquê?
• O diâmetro [BD] é um eixo de simetria da
circunferência? Porquê? O que concluem sobre a
medida da amplitude do arco 𝐵��?
• Que relação encontram entre o ângulo 𝐷��𝐶 e o
arco 𝐶��? Como se relacionam as suas medidas de
amplitude?
• Que relação podem estabelecer entre as medidas
de amplitude dos arcos 𝐵��, 𝐶�� e 𝐵��?
• O arco 𝐵�� pode ser decomposto em outros?
Identifiquem-nos.
• Que relação existe entre o arco 𝐵�� e o ângulo
centro 𝐵��𝐶 ? Assinalem o ângulo na figura
• Que conclusões podem retirar agora? Como se
relacionam as medidas de amplitude?
• Classifiquem o triângulo [BOC] quanto aos lados.
Justifiquem a vossa resposta.
• Que relação existe entre os comprimentos dos
segmentos [OC] e [OB]? Porquê?
• Qual a relação entre a medida da amplitude dos
ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶? Porquê?
• Que relação existe entre os ângulos de um
triângulo isósceles? Essa informação será útil,
porquê?
• Quanto é a soma das medidas das amplitudes dos
ângulos internos de um triângulo? Como poderá
essa informação ser útil agora?
22
que a soma das medidas das amplitudes dos ângulos
internos de um triângulo é de 180º.
b. Os alunos concluem que o João tem razão
porque o arco correspondente ao ângulo 𝐴��𝐶
é o arco 𝐵�� pelo que têm a mesma medida de
amplitude.
c. Os alunos concluem que a Joana tem razão
porque confundem as medidas das
amplitudes do ângulo e do arco (enganam-se
e consideram que o arco 𝐵�� tem 50º de
medida de amplitude e o ângulo 𝐴��𝐶 tem
100º, e não o contrário)
1.2.
Os alunos não formulam nenhuma conjetura porque
não relacionam esta questão, com a anterior.
• Porque consideras que o João tem razão?
• O arco 𝐵�� e o ângulo 𝐴��𝐶 têm a mesma medida
de amplitude? Porquê?
• Qual é a medida de amplitude do ângulo
𝐴��𝐷?Porquê? Qual a medida de amplitude do
arco 𝐵��?Porquê? As medidas das amplitudes são
iguais? O que podes concluir?
• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?
Como descobriste esse valor? E do arco
𝐵��? Como descobriste este valor? O que concluís?
• O que concluíram na alínea anterior? Que relação
encontraram entre a medida da amplitude do
ângulo de segmento e a medida da amplitude do
arco compreendido entre os seus lados?
(6) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito ao problema 1.
Este problema tem como principal objetivo o de conduzir os alunos à relação que
existe entre a medida da amplitude do ângulo de segmento e a medida da amplitude do arco compreendido
entre os seus lados.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma
a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de
mediadora da discussão.
Será utilizado o projetor a fim de projetar a figura referente a este problema.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo
que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Discussão:
A discussão deste problema irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Quem é que respondeu que o João é quem tem razão? Expliquem o porquê.
• Quem é que respondeu que a Joana é quem tem razão? Expliquem o porquê.
• Alguém respondeu que nenhum dos dois amigos tem razão? Porquê?
Os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os
raciocínios dos alunos que consideram que o João tem razão, dos alunos que consideram que a Joana tem razão
e dos alunos que consideram que nenhum dos amigos tem razão, sem que seja dada a validação imediata,
podendo ser os alunos a confrontarem-se entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de
apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais simples de explicar para a turma.
Extra:
Uma vez que esta é uma pergunta que permite pelo menos duas estratégias de resolução, será importante explorar
ambas com os alunos, para que estes compreendam que podem mobilizar vários conhecimentos anteriores, sem
que isso implique que existe apenas uma maneira de resolver um mesmo problema.
Assim, a professora deverá questionar:
• Alguém descobriu os valores dos arcos e dos ângulos de outra forma?
Caso contrário, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido, recorrendo às questões orientadoras descritas
anteriormente.
A primeira estratégia de resolução apresentada serve como ligação para a prova da veracidade da conjetura
encontrada na questão 1.2, sendo que a única coisa que os alunos têm de observar é que o ângulo 𝐴��𝐷 pode ser
decomposto em dois ângulos, o ângulo 𝐴��𝐶 e o ângulo 𝐷��𝐶.
23
A professora deverá explorar a prova do caso geral com os alunos. Essa exploração deverá ser feita após a
exploração da primeira estratégia, caso algum aluno a apresente como forma de resolução.
Caso contrário, a professora deverá, através das questões orientadoras já apresentadas, explorar essa resolução e,
em seguida, introduzir a prova do caso geral, recorrendo às questões:
• O que vimos foi uma estratégia de resolução para um caso particular, em que os ângulos têm valores. Agora,
veremos que esta estratégia de resolução é semelhante à prova do caso geral. Alguém tem uma ideia de como
podemos provar a veracidade da relação que encontraram?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐷 ? Porquê?
• Este ângulo pode ser decomposto em que ângulos?
• Como podemos exprimir a sua medida de amplitude em função das medidas de amplitude desses ângulos? O
que podemos fazer agora?
• Como se relacionam estas medidas de amplitude com a medida de amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶? O
que podemos fazer agora?
• Qual a medida de amplitude do arco 𝐵�� ? Porque será importante esta informação?
• Como podemos exprimir a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐷 em função da medida de amplitude deste
arco? Como podemos relacionar esta informação com o que já foi visto?
• Que relação encontram entre as medidas de amplitude do arco 𝐶�� e o ângulo 𝐷��𝐶? Como se relaciona esta
informação com o que já foi visto?
• O que podemos concluir?
As sugestões dos alunos serão tidas em conta, sempre que pertinentes para o que se pretende provar.
Terminada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que
retiraram da discussão, sendo que essa conclusão será escrita no quadro pela professora.
Prova:
O ângulo 𝐴��𝐷 pode ser decomposto em dois ângulos: 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶.
Logo, 𝐴��𝐶= 𝐴��𝐷- 𝐷��𝐶 (1)
Como a medida de amplitude do arco 𝐵�� é de 180º (por ser um arco de semicircunferência) e
𝐴��𝐷= 90º (porque a reta r é tangente à circunferência no ponto B), resulta que:
𝐴��𝐷=𝐵��
2.
Como o ângulo inscrito 𝐷��𝐶 tem metade da medida de amplitude do arco 𝐶𝐷, de (1) resulta que:
𝐴��𝐶= 𝐵��
2 -
𝐶��
2=
𝐵𝐶
2
, logo o ângulo de segmento tem metade da medida da amplitude do seu arco correspondente ∎
Plano de aula de dia 26 de fevereiro de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 02, Pavilhão 01
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo excêntrico
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Ângulo excêntrico: propriedades.
Objetivos da aula
Geral
• Estudar as propriedades do ângulo
excêntrico
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Definir ângulo excêntrico
• Relacionar a medida de amplitude do ângulo
excêntrico com as medidas de amplitude do arco
compreendido entre os seus lados e o arco
compreendido entre o prolongamento dos seus
lados e provar a(s) relação(ões) encontradas.
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
24
Conhecimentos prévios
• Relação existente entre a medida de amplitude do ângulo inscrito e o seu arco capaz
• Soma dos ângulos internos de um triângulo
• Ângulos externos de um triângulo e a sua relação com a medida de amplitude dos ângulos internos não
adjacentes
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)
(2) Apresentação da ficha de trabalho e resolução autónoma da ficha (20 minutos)
(3) Discussão da ficha de trabalho e sistematização de ideias (25 minutos)
Observações
Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão do problema 2 termine mais
cedo do que o previsto, será proposto o problema 5 da página 95, do manual.
Desenvolvimento da aula:
(2) Este momento terá inicio com a leitura da definição de ângulo excêntrico, presente
na ficha de trabalho e esclarecimento de eventuais questões sobre a mesma. A professora pedirá a um aluno que
leia o enunciado para a turma e poderá recorrer ao desenho para explicar melhor a definição, caso seja pedido.
Esta ficha é composta por dois problemas, cujo objetivo é retirar conjeturas sobre a relação que existe entre a
medida de amplitude do ângulo excêntrico e as medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados
e o arco compreendido entre o prolongamento dos seus lados.
O problema 1 diz respeito ao ângulo excêntrico cujo vértice se encontra no interior da circunferência e o
problema 2 diz respeito ao ângulo excêntrico cujo vértice se encontra no exterior da circunferência.
Com o objetivo de dinamizar a aula, metade da turma resolverá o problema 1, enquanto que a outra
metade resolverá o problema 2.
No final, a discussão será realizada em grupo-turma, sendo que metade da turma discute sobre a relação
encontrada para o ângulo cujo vértice está no interior da circunferência, e explica para a restante turma, e
a outra metade discute sobre a relação encontrada para o ângulo cujo vértice está no exterior da
circunferência, e explica para a restante turma.
Durante o trabalho autónomo, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução
da tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1:
• O arco 𝐴�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐴��𝐵, pelo que este arco tem 100º de medida de
amplitude (a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe
corresponde).
• O arco 𝐷�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐶��𝐷, pelo que este arco tem 60º de medida de
amplitude (a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do arco que lhe
corresponde).
• O ângulo 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude porque
a. 𝐵��𝐶 tem 100º de medida de amplitude porque 𝐴��𝐵, 𝐶��𝐷 e 𝐵��𝐶 são ângulos internos do
triângulo [BCV]
𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶 são ângulos suplementares. Logo, 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude.
ou
b. Num triângulo, a medida de amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.
Considere-se o triângulo [BCV].
O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo desse triângulo. Logo, a medida de amplitude de 𝐴��𝐵 é
igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e 𝐶��𝐷.
Como 𝐴��𝐵 tem 50º de medida de amplitude e 𝐶��𝐷 tem 30º de medida de amplitude (dado no
enunciado), resulta que 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude.
O João tem razão porque se concluiu que:
• 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude
25
• O arco 𝐴�� tem 100º de medida de amplitude
• O arco 𝐷�� tem 60º de medida de amplitude
• A medida das amplitudes dos arcos é 100+60
2= 80º.
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: A medida da amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no interior da circunferência, é igual à
média/semissoma das medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados e o arco compreendido
entre os prolongamentos dos seus lados.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1:
• O arco 𝐵�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝑉��𝐴, pelo que este arco tem 30º de medida de
amplitude (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe
corresponde).
• O arco 𝐶�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐶��𝐷, pelo que este arco tem 100º de medida de
amplitude (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe
corresponde).
• 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude porque:
a. 𝐶��𝐷 tem 50º de medida de amplitude, 𝑉��𝐴 tem 15º de medida de amplitude (dados no enunciado). 𝐶��𝑉 tem 130º de medida de amplitude, por ser suplementar de 𝐶��𝐷.
Como 𝑉��𝐴, 𝐶��𝑉 e 𝐴��𝐵 são ângulos internos do triângulo [AVC], resulta que 𝐴��𝐵 tem 35º de
medida de amplitude.
ou
b. Considere-se o triângulo [VBD].
𝐶��𝐷 tem a mesma medida de amplitude de 𝐶��𝐷 por serem ângulos inscritos num mesmo arco, logo
tem 50º de medida de amplitude.
𝐷��𝑉 é suplementar de 𝐶��𝐷, logo tem 130º de medida de amplitude.
𝐵��𝑉 tem a mesma medida de amplitude de 𝑉��𝐴, por serem ângulos inscritos num mesmo arco, logo
tem 15º de medida de amplitude
𝐷��𝑉, 𝐵��𝑉 e 𝐷��𝐵 são ângulos internos do triângulo [VBD], logo 𝐷��𝐵 tem 35º de medida de
amplitude. A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵, logo 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de
amplitude.
ou
c. Considere-se o triângulo [VBD].
O ângulo 𝐶��𝐷 é um ângulo externo deste triângulo, logo a sua medida de amplitude é igual à
soma das medidas das amplitudes dos ângulos 𝐷��𝐵 e 𝐵��𝑉.
Logo, a medida da amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à diferença das medidas das amplitudes de 𝐶��𝐷 e
𝐵��𝑉.
𝐶��𝐷 tem a mesma medida de amplitude de 𝐶��𝐷 por serem ângulos inscritos num mesmo arco,
logo tem 50º de medida de amplitude
𝐵��𝑉 tem a mesma medida de amplitude de 𝑉��𝐴, por serem ângulos inscritos num mesmo arco,
logo tem 15º de medida de amplitude.
A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é, portanto, de 35º.
A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵, logo 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude.
A Joana tem razão porque se concluiu que:
• 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude
• O arco 𝐵�� tem 30º de medida de amplitude
• O arco 𝐶�� tem 100º de medida de amplitude
• A medida das amplitudes dos arcos é 100−30
2= 35º.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.2: A medida da amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no exterior da circunferência, é igual à semidiferença
das medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados e o arco compreendido entre os
prolongamentos dos seus lados.
26
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
a. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida da amplitude do arco 𝐴�� porque
• Não identificam 𝐴��𝐵 como o ângulo
inscrito que corresponde ao arco 𝐴�� / não
relacionam estas duas medidas de
amplitude.
b. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida da amplitude do arco 𝐷�� porque
• Não identificam 𝐶��𝐷 como o ângulo
inscrito que corresponde ao arco 𝐷�� / não
relacionam estas duas medidas de
amplitude
c. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 porque
• Não identificam 𝐴��𝐵, 𝐶��𝐷 e 𝐵��𝐶 como
sendo ângulos internos do triângulo
[BCV]
• Não relacionam as medidas de amplitude
dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶
ou
• Não identificam 𝐴��𝐵 como sendo um
ângulo externo do triângulo [BCV].
d. Os alunos podem considerar que como o
ângulo 𝐴��𝐵 tem como arco correspondente o
arco 𝐴��, a sua medida de amplitude será
metade da medida da amplitude deste arco,
como se 𝐴��𝐵 fosse um ângulo inscrito.
e. Os alunos podem considerar que como o
ângulo 𝐴��𝐵 tem como arco correspondente o
arco 𝐴��, a sua medida de amplitude será igual
à medida de amplitude deste arco.
f. Os alunos consideram que o João não tem
razão porque
• Podem ter calculado incorretamente as
medidas das amplitudes pedidas.
• Não relacionam corretamente os
valores encontrados.
• Que relação existe entre o ângulo 𝐴��𝐵 e o arco
𝐴��? Qual a relação entre as suas medidas de
amplitude?
• Que relação existe entre o ângulo C��𝐷 e o arco
𝐷��? Qual a relação entre as suas medidas de
amplitude?
• Identifiquem o triângulo para o qual os ângulos
𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵 são ângulos internos. O que podem
dizer sobre a medida das amplitudes dos ângulos
internos de um triângulo? Como poderá essa
informação ser útil? Porquê?
• Que relação conseguem estabelecer entre as
medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶?
Porquê?
• O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de que
triângulo? Identifiquem-no na figura.
• Que relação existe entre a medida da amplitude do
ângulo externo de um triângulo e as medidas das
amplitudes dos ângulos internos? Como pode esta
informação ser útil? O que podem fazer em
seguida?
• A medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é igual à
medida da amplitude do arco 𝐴��, porquê?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵?
Porquê? O arco correspondente a este ângulo é o
mesmo arco correspondente ao ângulo 𝐴��𝐵. As
medidas das amplitudes destes ângulos serão
iguais? O que podem concluir?
• 𝐴��𝐵 tem que arco correspondente? Há outro
ângulo que também tenha este arco, como arco
correspondente? Qual? Qual a sua medida de
amplitude?
A medida da amplitude desse ângulo é igual à do
arco? Porquê? O que podem concluir?
• Porque motivo consideram que o João tem razão?
Experimentem seguir o que o João disse. Que
conclusão retiraram?
• Como encontraram os valores pedidos?
Conseguem relacionar a medida da amplitude do
ângulo com a dos arcos?
27
1.2.
Os alunos não formulam nenhuma conjetura porque
não relacionam esta questão, com a anterior.
2.1.
a. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida da amplitude do arco 𝐵�� porque
• Não identificam 𝑉��𝐴 como o ângulo
inscrito que corresponde ao arco 𝐵�� / não
relacionam estas duas medidas de
amplitude
b. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida da amplitude do arco 𝐶�� porque
• Não identificam o ângulo 𝐶��𝐷 como o
ângulo inscrito correspondente ao arco
𝐶�� / não relacionam as suas medidas de
amplitude corretamente
c. Os alunos não conseguem determinar qual a
medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 porque
• Não relacionam as medidas das
amplitudes de 𝐶��𝑉 e 𝐶��𝐷.
• Não identificam 𝑉��𝐴, 𝐶��𝑉 e 𝐴��𝐵 como
ângulos internos do triângulo [AVC]
• Não encontram uma relação entre as
medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵, 𝐶�� e
𝐵��, mesmo tendo descoberto os valores
das mesmas.
Ou
• Não identificam a existência do triângulo
[VBD].
• Não identificam o ângulo 𝐷��𝑉, nem
relacionam a sua medida de amplitude
com a do ângulo 𝐶��𝐷.
• Não relacionam a medida da amplitude de
𝐶��𝐷, com a medida da amplitude com a
do ângulo 𝐶��𝐷.
• Não identificam o ângulo 𝐵��𝑉, nem
relacionam a sua medida de amplitude
com a do ângulo 𝑉��𝐴.
• Não reconhecem que a medida da
amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵.
ou
• Como se relacionam os valores encontrados? O
que significa a “média das amplitudes”? Tentaram
substituir pelos valores dos arcos? Que conclusão
retiraram?
• O que concluíram na alínea anterior? Que relação
encontraram entre a medida da amplitude do
ângulo de segmento e a medida da amplitude do
arco compreendido entre os seus lados?
• Que relação existe entre o ângulo 𝑉��𝐴 e o arco
𝐵��? Qual a relação entre as suas medidas de
amplitude?
• Que relação existe entre o ângulo 𝐶��𝐷 e o arco
𝐶��? Qual a relação entre as suas medidas de
amplitude?
• Como se relacionam as medidas das amplitudes
de 𝐶��𝑉 e 𝐶��𝐷? Justifiquem.
• Identifiquem o triângulo [AVC]. Quais os seus
ângulos internos? Porque será que esta
informação é útil?
• Como encontraram os valores das medidas das
amplitudes de 𝐴��𝐵, 𝐶�� e 𝐵��? Como podem
relacionar essas medidas de amplitude?
• Os ângulos 𝐷��𝑉, 𝐵��𝑉 e 𝐷��𝐵 são ângulos
internos de que triângulo? Identifiquem-no na
figura.
Como podem prosseguir agora?
• Identifiquem o ângulo 𝐷��𝑉 na figura. Como
podemos descobrir o valor da sua medida de
amplitude? Qual a relação da sua medida de
amplitude com a amplitude de 𝐶��𝐷? Porquê?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes dos ângulos 𝐶��𝐷 e 𝐶��𝐷? Porquê?
• Identifiquem o ângulo 𝐵��𝑉 na figura. Como
podemos descobrir o valor da sua medida de
amplitude? Qual a relação da sua medida de
amplitude com a medida de amplitude de 𝑉��𝐴?
Porquê?
• Com os valores encontrados como podem
descobrir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵?
Expliquem o vosso raciocínio. Que relação existe
entre as medidas das amplitudes de 𝐷��𝐵 e 𝐴��𝐵?
Porquê?
28
• Não identificam o ângulo 𝐶��𝐷 como sendo
um ângulo externo do triângulo [VBD].
• Não relacionam as medidas das amplitudes
dos ângulos 𝐶��𝐷 e 𝐶��𝐷.
• Não relacionam as medidas das amplitudes
dos ângulos 𝐵��𝑉 e 𝑉��𝐴.
d. Os alunos consideram que a Joana não tem
razão porque
• Podem ter calculado incorretamente as
medidas das amplitudes pedidas.
• Não relacionam corretamente os
valores encontrados
• O ângulo 𝐶��𝐷 é o ângulo externo de que
triângulo? Identifiquem-no na figura.
• Que relação existe entre medida da amplitude do
ângulo externo de um triângulo e os seus ângulos
internos? Identifiquem, na figura, os ângulos
internos do triângulo considerado.
• Qual a medida da amplitude de 𝐶��𝐷? Como
podemos calcular este valor? Há alguma relação
entre a medida da amplitude deste ângulo e a
medida da amplitude do ângulo 𝐶��𝐷? Porquê?
• Qual a medida da amplitude de 𝐵��𝑉 ? Como
podemos calcular este valor? Há alguma relação
entre a medida de amplitude deste ângulo e a
medida de amplitude do ângulo 𝑉��𝐴? Porquê?
• Porque motivo consideram que a Joana não tem
razão? Experimentem seguir o que a Joana disse.
Que conclusão retiraram?
• Como encontraram os valores pedidos?
Conseguem relacionar a medida da amplitude do
ângulo com a dos arcos?
• Como se relacionam os valores encontrados? O
que significa a “semidiferença das amplitudes”?
Tentaram substituir pelos valores dos arcos? Que
conclusão retiraram?
(3) Este será o momento de discussão da ficha, em grupo-turma. A professora registará as respostas dadas pelos
alunos, assinalando, posteriormente às discussões, as corretas e colocando um traço sobre as
incorretas. As figuras presentes na ficha de trabalho serão projetadas no quadro.
Discussão:
A discussão do problema 1 irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐴��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐷��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? Porquê? Alguém utilizou outro processo de resolução
distinto? Qual? Como fizeram?
• O que concluem? O João terá razão? Que relação encontraram?
Os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os raciocínios
dos alunos, mesmo quando incorretos, podendo ser os alunos a confrontarem-se entre si e a chegarem a uma
conclusão que seja comum a todos.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de apresentar
os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Para a questão 1.2., a professora questionará que relação foi encontrada pelos alunos. Uma vez mais, as respostas
poderão ser variadas, sendo que os alunos serão incentivados, uma vez mais, a explicar os seus raciocínios e a
explicarem entre si, esclarecendo dúvidas mutuamente, sempre com a mediação da professora.
Ainda, se nenhuma das relações encontradas for a correta, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido,
recorrendo às questões orientadoras já descritas.
29
Extra:
Uma vez que este problema permite, novamente, uma variedade de resoluções possíveis, essas deverão ser
exploradas em conjunto com os alunos, caso não surjam naturalmente, através das questões orientadoras descritas
anteriormente.
A professora deverá alertar os alunos de que este foi um caso concreto, de uma propriedade que se pode provar
para o caso geral (essa propriedade diz respeito à conjetura formulada na alínea 1.2)
A prova do caso geral é bastante interessante porque obriga os alunos a recordarem-se da relação que existe entre
a medida da amplitude do ângulo externo e as medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo.
Uma vez que uma das estratégias de resolução abordam essa situação, a professora deverá aproveitar essa
estratégia para introduzir o caso geral, fazendo-se uma analogia, recorrendo a questões como:
• O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de que triângulo? Identifiquem-no.
• Que relação existe entre a medida da amplitude do ângulo externo de um triângulo, e a medida da amplitude
dos seus ângulos internos?
• Como podemos exprimir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 em função das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e
𝐶��𝐷? E agora, que poderemos fazer?
• Como podemos exprimir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 em função da medida da amplitude do arco 𝐴��?
Porquê? E para o ângulo 𝐶��𝐷 em função de 𝐶��?
• O que podemos concluir?
As sugestões dos alunos serão tidas em conta, sempre que pertinentes para o que se pretende provar.
Findada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que
retiraram da discussão, sendo que essa conclusão será escrita no quadro pela professora.
Prova:
O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de [BVC].
A medida da amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos
não adjacentes, pelo que a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e
𝐶��𝐷. 𝐴��𝐵 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐴��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da
amplitude deste arco.
𝐶��𝐷 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐶��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da
amplitude deste arco.
Portanto, a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 𝐴��
2+
𝐶��
2=
𝐴��+𝐶��
2 ∎
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A discussão do problema 2 irá iniciar-se com a seguinte questão:
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐵��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐶��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? Porquê? Alguém utilizou outro processo de resolução
distinto? Qual? Como fizeram?
• O que concluem? A Joana terá razão? Que relação encontraram? Alguém encontrou uma relação
diferente? Expliquem o vosso raciocínio.
Todas as relações encontradas serão registadas no quadro para discussão.
Os alunos serão, uma vez mais, incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os raciocínios
apresentados pelos alunos, sem que seja dada a validação imediata, podendo ser os alunos a confrontarem-se
entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de apresentar
os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Se nenhuma das relações encontradas for a correta, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das
questões orientadoras anteriormente descritas Extra:
Este problema permite, uma vez mais, uma variedade de resoluções possíveis.
Ainda assim, a única estratégia de resolução que acrescenta algo novo ao problema, e que permite a posterior
30
prova para o caso geral, surge considerando o triângulo [VBD], algo que não será intuitivo para a maioria dos
alunos.
Essa resolução deverá ser explorada com os alunos e deverá ser referido que a prova para o caso geral é idêntica à
do problema anterior, recorrendo-se ao triângulo [VBD], pelo que não será realizada, em aula, mas os alunos
poderão encontra-la ao consultar o manual.
A professora deverá, ainda, referir que esta ficha não contempla os três casos possíveis para a posição do vértice
de um ângulo excêntrico: fica em falta o caso em que o vértice do ângulo se encontra no exterior da
circunferência, mas os seus lados são tangentes à mesma. Ainda assim, a professora deverá perguntar aos alunos
que intuição estes têm sobre a relação das medidas das amplitudes para esse caso.
De seguida, a professora mostrará, recorrendo a um ficheiro Geogebra, que a relação é a mesma encontrada no
problema 2.
Terminada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão
retirada da discussão do problema 3, sendo que essa conclusão será escrita no quadro, pela professora.
A aula terminará com as questões:
• Qual a diferença entre os ângulos excêntricos dos dois problemas?
• A relação encontrada é a mesma independentemente da posição do vértice?
• Para o ângulo com o vértice no interior da circunferência, qual a relação? E para o ângulo com o vértice
no exterior do ângulo?
Plano de aula de dia 28 de fevereiro de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 03, Pavilhão 02
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo ex-inscrito
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Ângulo ex-inscrito: propriedade.
Objetivos da aula
Geral
• Estudar o ângulo ex-inscrito
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Definir ângulo ex-inscrito
• Relacionar a medida da amplitude do ângulo
ex-inscrito com a medida da amplitude dos
arcos correspondentes às cordas que as retas
suporte dos seus lados contêm e provar a
relação encontrada.
Capacidades transversais
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
• Ficheiro Geogebra
Conhecimentos prévios
• Definição de arcos e cordas numa circunferência
• Ângulo inscrito
• Relação da medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da amplitude do seu arco capaz
• Definição de ângulos suplementares
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
31
(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)
(2) Sistematização das propriedades dos ângulos estudados até ao momento (10 minutos)
(3) Apresentação da ficha de trabalho e resolução autónoma da mesma (15 minutos)
(4) Discussão dos resultados e sistematização das deias (20 minutos)
Observações
Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo
do que o previsto, ou para o caso de a discussão terminar mais cedo do que o previsto, serão propostos os
problemas: página 90 ex.2 e página 91ex. 6,
do manual. Desenvolvimento da aula:
(2) Este momento será um momento de revisão das propriedades dos ângulos estudados
até ao momento: ângulo ao centro, ângulo inscrito, ângulo de segmento e ângulo
excêntrico com o vértice no interior e exterior da circunferência,
A professora questionará os alunos sobre estas propriedades, desenhando, no quadro, figuras referentes
aos ângulos estudados.
(3) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que
a professora explica o que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos relacionem a medida da
amplitude do ângulo ex-inscrito com a medida da amplitude dos arcos correspondentes às cordas que as
retas suporte dos seus lados contêm
Será pedido a um aluno que leia a definição de ângulo ex-inscrito, existente na ficha de trabalho e serão
esclarecidas eventuais dúvidas sobre a mesma.
A figura referente à ficha de trabalho será projetada no quadro.
Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 15 minutos para
resolver a ficha autonomamente.
Durante o trabalho autónomo dos alunos, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução
da tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: O arco 𝐷�� tem 60º de medida de amplitude. O ângulo inscrito 𝐷��𝐶 tem metade da medida da amplitude deste
arco, porque este é o seu arco capaz. Logo, 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude.
O ângulo 𝐴��𝐶 é, por definição, suplementar a 𝐷��𝐶, logo tem 150º.
A hipótese correta é a hipótese C.
ou
Os alunos podem, ainda, utilizar um processo de exclusão de partes:
[A] Se 𝐴��𝐶 tiver 120º de medida de amplitude, então 𝐷��𝐶 terá de ter 60º de medida de amplitude, pois são
suplementares. Mas o ângulo 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude, porque a sua medida de amplitude é metade
da medida da amplitude do arco capaz. Logo, a hipótese [A] não é a correta.
[B] Se 𝐴��𝐶 tiver 60º de medida de amplitude, então 𝐷��𝐶 terá de ter 120º de medida de amplitude, pois são
suplementares. Mas o ângulo 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude, porque a sua medida de amplitude é metade
da medida da amplitude do arco capaz. Logo, a hipótese [B] não é a correta.
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: O ângulo DOB tem 110º de medida de amplitude. Como é um ângulo ao centro, a sua medida de amplitude é
igual à medida da amplitude do arco 𝐷��. Como o arco DC tem 60º de medida de amplitude e o arco 𝐷�� tem 110º de medida de amplitude, o arco 𝐵�� tem
190º de medida de amplitude (porque 360º=DC + 𝐷�� + 𝐵��).
Pela alínea anterior, 𝐴��𝐶 tem 150º de medida de amplitude. 110+190
2=
300
2= 150, logo a Joana tem razão.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
a. Os alunos não sabem que hipótese será a
correta porque
• Não identificam 𝐷��𝐶 como o ângulo
inscrito correspondente ao arco capaz 𝐷�� /
não relacionam estas medidas de amplitude
• Não reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e
𝐷��𝐶 são suplementares.
• Existe algum ângulo que esteja associado ao arco
𝐷��? Identifiquem-no na figura. Qual a relação
entre as medidas das suas amplitudes?
• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶?
E as medidas das suas amplitudes?
32
b. Os alunos podem assinalar a hipótese [A]
como a correta pois
• Não reconhecem que a medida da
amplitude de 𝐴��𝐶 não poderá ser de 60º
porque
• Não se apercebem que se o
ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de
medida de amplitude, a medida
da amplitude de 𝐷��𝐶 será de
120º, o que não é possível
• Reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶
são suplementares, pelo que 𝐷��𝐶 terá 60º
de medida de amplitude, mas consideram
que o ângulo 𝐷��𝐶 tem a mesma medida de
amplitude do arco capaz, 𝐷��.
c. Os alunos podem assinalar a hipótese [B]
como a correta pois
• Não reconhecem que a medida da
amplitude de 𝐴��𝐶 não poderá ser de 120º
porque
• Não se apercebem que se o
ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de
medida de amplitude, a medida
da amplitude de 𝐷��𝐶 será de
120º, o que não é possível
• Reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶
são suplementares, pelo que 𝐷��𝐶 terá 120º
de medida de amplitude, mas não
reconhecem o ângulo 𝐷��𝐶 como um
ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco
𝐷��.
1.2.
a) Os alunos não conseguem determinar se a
Joana tem ou não razão porque não
conseguem determinar as medidas das
amplitudes dos arcos 𝐷�� e 𝐵��.
b) Os alunos consideram que a Joana não tem
razão porque
• Não utilizam os dados do problema
para determinar a medida da amplitude
do arco 𝐷�� / não sabem relacionar a
medida da amplitude do ângulo ao
• Porque motivo assinalaram a hipótese A? Se o
ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de medida de amplitude,
qual a medida da amplitude de 𝐷��𝐶? Porquê?
• Existe algum ângulo que esteja associado ao arco
𝐷��? Identifiquem-no na figura. Qual a relação
entre as medidas das suas amplitudes?
• Comparem os resultados obtidos. São iguais? O
que podem concluir?
• Que relação existe entre a medida da amplitude do
ângulo 𝐷��𝐶e a medida da amplitude de 𝐷��?
Justifiquem.
• Porque motivo assinalaram a hipótese B? Se o
ângulo 𝐴��𝐶 tiver 120º de medida de amplitude,
qual a medida da amplitude de 𝐷��𝐶? Porquê?
• Existe algum ângulo que esteja associado ao arco
𝐷��? Identifiquem-no na figura. Qual a relação
entre as suas medidas de amplitude? Comparem os
resultados obtidos. São iguais? O que podem
concluir?
• O arco 𝐷�� é o arco capaz de que ângulo?
Identifiquem-no na figura. Qual a relação entre as
suas medidas de amplitude?
• O que têm de descobrir para conseguir responder à
questão?
• Como podemos calcular a medida da amplitude do
arco 𝐷��? Há algum dado no enunciado que vos
ajude a calcular essa medida de amplitude?
Identifiquem, na figura, o ângulo 𝐷��𝐵. O que
podem concluir sobre o arco𝐷�� ? E agora, como
podem proceder?
• Como se relacionam as medidas das amplitudes
dos arcos 𝐷�� , 𝐵�� e 𝐷��? O que podem concluir
sobre a medida da amplitude do arco 𝐵��? Como
podem avançar agora?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?
Como encontraram esse valor? Como se relaciona
esse valor com os já encontrados? Qual a vossa
conclusão?
• Porque motivo consideram que a Joana não tem
razão?
• Como podem calcular a medida da amplitude do
arco 𝐷��? Que relação existe entre a medida da
amplitude deste arco e os dados do enunciado?
33
centro com a medida da amplitude do
arco correspondente.
• Os alunos não conseguem determinar a
medida da amplitude do arco 𝐵��
• Os alunos não utilizam o valor
encontrado na alínea a)
• Os alunos utilizam o valor encontrado
na alínea a) mas, se esse valor for
incorreto, concluem que a Joana não
terá razão.
• Como podem calcular a medida da amplitude do
arco 𝐵��? Como se relacionam as medidas das
amplitudes dos arcos 𝐷�� , 𝐵�� e 𝐷��?
• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?
Como podem relacionar esse valor com as
medidas das amplitudes dos arcos pedidos?
• Que valor encontraram na questão anterior para o
ângulo 𝐴��𝐶? Como encontraram esse valor?
(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito à ficha de trabalho.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de
forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo
que o papel da professora será a de mediadora da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar a figura referente ao problema.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo
que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Terminada a discussão, será solicitado aos alunos que registem no retângulo existente na
ficha de trabalho, a conclusão retirada da discussão, sendo que a mesma será escrita no quadro, pela
professora.
Discussão:
A discussão deste problema irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Qual das opções é a verdadeira? Expliquem o vosso raciocínio.
• .Quem discorda? Porquê?
Uma vez que este é um problema que permite que surjam, durante a discussão, as três hipóteses, é
importante explorar, com os alunos, o raciocínio dos alunos que (a) respondem a hipótese [A] como a
correta; (b) respondem a hipótese [B] como a correta; uma vez que essas respostas estão assentes em
dificuldades que deverão ser ultrapassadas.
Os alunos serão incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os
raciocínios apresentados pelos alunos, sem que seja dada a validação imediata, podendo ser os alunos a
confrontarem-se entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de
apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Se nenhuma das hipóteses discutidas for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos não conseguirem
compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões orientadoras
anteriormente descritas.
Em relação à questão 1.2., a atividade será semelhante.
Extra:
Este é um problema que tem como objetivo o de os alunos compreenderem que a medida da amplitude do ângulo
ex-inscrito é igual à média das medidas das amplitudes dos arcos correspondentes às retas suporte que os seus
lados contém, apoiando-se num problema concreto.
Como tal, será pedido aos alunos, oralmente, que conjeturem sobre a relação que existe entre a medida da
amplitude do ângulo ex-inscrito é igual à média das medidas amplitudes dos arcos correspondentes às retas
suporte que os seus lados contém.
Sendo que os alunos apenas se basearão num exemplo concreto para chegar a esta relação, os mesmos serão
alertados para esse facto: falta provar a veracidade da relação encontrada.
A prova é semelhante à já realizada para o ângulo de segmento, pelo que os alunos apenas terão de saber que a
medida da amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas das amplitudes dos seus
ângulos internos não adjacentes.
Assim, a professora começará por questionar:
• Alguém tem uma ideia de como poderemos provar que esta relação é verdadeira?
• O ângulo 𝐴��𝐶 é um ângulo externo de que triângulo?
• Que relação existe entre as medidas das amplitudes do ângulo externo de um triângulo e os seus ângulos
internos?
• Como podemos proceder agora?
• Qual o ângulo inscrito cujo arco capaz é 𝐷��? E para 𝐵��? O que podemos concluir agora?
34
Prova
O ângulo 𝐴��𝐶 é um ângulo externo de [BCD].
A medida da amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos
não adjacentes, pelo que a medida da amplitude de 𝐴��𝐶 é igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐵��𝐶 e
𝐷��𝐵. 𝐷��𝐵 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐷��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da
amplitude deste arco.
𝐵��𝐶 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da
amplitude deste arco.
Portanto, a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 𝐵��
2+
𝐷��
2=
𝐵��+𝐷��
2 ∎
Plano de aula de dia 05 de março de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 02, Pavilhão 01
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho contemplando problemas geométricos
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Ângulo excêntrico, ao centro e inscrito
• Arcos determinados numa circunferência
• Eixos de simetria
• Retas tangentes a uma circunferência
Objetivos da aula
Geral
• Resolver problemas geométricos que
envolvem os tópicos matemáticos trabalhados
anteriormente
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Reconhecer que a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
é 180º
• Reconhecer que uma reta tangente a uma
circunferência forma um ângulo reto com o seu
diâmetro
• Reconhecer ângulos inscritos e excêntricos com
o vértice no exterior da circunferência
• Mobilizar e saber aplicar propriedades de ângulos
que permitam determinar a sua medida de
amplitude, relacionando-se com os seus
respetivos arcos
• Identificar o diâmetro como sendo um eixo de
simetria / eixo de reflexão axial
Capacidades transversais
• Comunicação matemática • Resolução de problemas
• Raciocínio matemático
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Arcos determinados numa circunferência
• Ângulo Excêntrico
• Ângulo ao centro
• Ângulo inscrito
• Retas tangentes a uma circunferência
• Definição de ângulos suplementares
• O diâmetro como eixo de simetria
• Isometrias (reflexão axial)
35
• Critério de igualdade LAL
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)
(2) Resolução autónoma da ficha de trabalho (20 minutos)
(3) Discussão das resoluções (25 minutos)
Observação
Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo
do que o previsto, será proposta a resolução do problema 6 da página 95,
do manual.
Desenvolvimento da aula:
(2) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante a realização da ficha, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução
da tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1: Considere-se o triângulo [ACD].
A reta DC é tangente à circunferência no ponto C, pelo que é perpendicular ao diâmetro [AC]. Logo, DCA é um
ângulo reto.
Como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, resulta que DCA + ADC
+ CAD=180 ⇔ 90 + 50 + CAD=180 ⇔ CAD = 180 − 140 ⇔ CAD = 40. CAD é um ângulo inscrito no arco CB, logo tem metade da medida da amplitude deste arco.
Portanto, o arco CB tem 80º de medida de amplitude.
ou
Considere-se o triângulo [ABC]
O ângulo CBA é inscrito numa semicircunferência / é inscrito no arco AC, pelo que tem 90º de medida de
amplitude.
Como CBA tem 90º de medida de amplitude, DBC tem também 90º de medida de amplitude (porque são ângulos
suplementares).
Consideremos, agora, o triângulo [BDC].
A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é de 180º, logo:
DCB + DBC + CDB=180 ⇔ DCB + 90 + 50=180 ⇔ DCB = 180 − 140 ⇔ DCB = 40. A reta DC é tangente à circunferência no ponto C, pelo que é perpendicular ao diâmetro [AC]. Logo, DCA é um
ângulo reto, pelo que BCA tem 50º de medida de amplitude.
CBA+ BCA+CAB=180⇔90+50+ CAB=180⇔ CAB=180-140⇔ CAB=40º.
O ângulo CAB é um ângulo inscrito no arco CB, portanto CB tem 80º de medida de amplitude.
ou
O ângulo ADC é um ângulo excêntrico cujo vértice se encontra fora da circunferência, portanto a sua medida de
amplitude é igual à semidiferença das medidas das amplitudes dos arcos CB e AC.
AC tem 180º de medida de amplitude por ser o arco de uma semicircunferência.
Portanto, ADC=AC− CB
2⇔ 50=
180−CB
2⇔100=180 − CB⇔100-180= - CB⇔ - 80= - CB ⇔ CB = 80.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1: Como o ângulo CAD é um ângulo inscrito no arco CD, a sua medida de amplitude é metade da medida de
amplitude deste arco.
36
Portanto, CD tem 60º de medida de amplitude.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2.2: O triângulo [ADE] é retângulo em E, pelo que ADE é um ângulo reto. Como A��𝐷 e C��𝐷 são ângulos
suplementares, C��𝐷 é igualmente um ângulo reto.
Como o segmento de reta [BD] é um diâmetro da circunferência, é um eixo de simetria da mesma, pelo que
AE =CE / A reta DB contém o centro da circunferência e é perpendicular à corda [AC], logo bisseta-a, pelo que
AE =CE . O lado [DE] é comum aos dois triângulos.
Pelo critério de igualdade LAL, os triângulos são geometricamente iguais (os triângulos têm dois pares de lados
com o mesmo comprimento e o ângulo por eles formado tem a mesma medida de amplitude nos dois triângulos).
ou
A reta DB é um eixo da reflexão axial que transforma o triângulo [ADE] no triângulo [CDE], assim a reflexão do
ponto A, relativamente a DB, é o ponto C.
Como os pontos E e D são pontos da reta DB, são aplicados em si próprios.
A reflexão é uma isometria. Uma isometria preserva as distâncias e a medida da amplitude dos ângulos, pelo que
os triângulos são geometricamente iguais.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
Os alunos não conseguem calcular a medida da
amplitude do arco 𝐶�� porque
• Não identificam DCA como um ângulo reto
• Não relacionam as medidas de amplitudes dos
ângulos DCA, ADC e CAD
• Não identificam CAD como um ângulo
inscrito no arco CB
• Não relacionam a medida da amplitude do
ângulo CAD com a medida amplitude do arco
CB ou
• Não relacionam a medida da amplitude do
ângulo CBA com a medida da amplitude do
arco AC
• Não relacionam as medidas das amplitudes de
CBA e DBC
• Não relacionam as medidas das amplitudes de
DCB, DBC e CDB.
• Não relacionam a medida da amplitude do
ângulo DCA com as medidas das amplitudes
de BCA e DCB.
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude de CAB
• Quando uma reta é tangente a uma circunferência,
qual a medida da amplitude do ângulo que esta
forma com o raio da circunferência?
• Qual a medida da amplitude do ângulo DCA?
Porquê?
• Quais os ângulos internos de [ACD]? Como se
relacionam as medidas das suas amplitudes? Como
pensam proceder agora?
• Que relação existe entre o ângulo CAD e o arco
CB? Que relação existe entre as medidas das suas
amplitudes? Porquê? O que podem fazer agora?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes de CBA e AC? Porquê?
• Qual a relação que existe entre as medidas das
amplitudes dos ângulos CBA e DBC? Porquê?
Como podem proceder agora?
• Quais os ângulos internos do triângulo [BCD]?
Identifiquem-nos na figura. Que relação
encontram entre as medidas das suas amplitudes?
• Que relação conseguem estabelecer entre as
medidas das amplitudes de DCA, BCA e
DCB? Como podem determinar a medida da
amplitude de BCA, descoberta essa relação?
• Como podem determinar a medida da amplitude
do ângulo CAB com os valores já encontrados?
37
• Não relacionam a medida da amplitude de
CAB com a medida da amplitude do arco CB
𝐨𝐮
• Não identificam ADC como sendo um ângulo
excêntrico, cujo vértice se encontra fora da
circunferência / identificam que se trata de um
ângulo excêntrico, mas não se recordam de
como se calcula a sua medida de amplitude
em função dos arcos CB e AC.
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude do arco AC pois não identificam
este ângulo como um ângulo inscrito numa
semircunferência.
2.1.
Os alunos não conseguem determinar a medida de
amplitude de CD porque não identificam CD como o
arco capaz de CAD / não relacionam as suas medidas
de amplitude
2.2.
Os alunos não conseguem explicar o pretendido pois
• Não identificam CDE como um ângulo reto.
• Não concluem que AE =CE
• Não utilizam o critério LAL para identificar
os triângulos como geometricamente iguais /
não se recordam do critério
ou
• Não identificam DB como um eixo de
reflexão axial
• Que relação têm o ângulo CAB e o arco CB?
Porquê? Como se relacionam as suas medidas de
amplitude?
• De todos os tipos de ângulos que estudamos, o
ângulo ADC é de que tipo? Qual a posição do seu
vértice em relação à circunferência? Como podem
determinar a sua medida de amplitude?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes do ângulo ADC e as dos arcos CB e
AC? Como podem proceder agora?
• Como é que podem calcular a medida da
amplitude do arco AC?
• Que relação existe entre a medida da amplitude
do arco AC e a semicircunferência delimitada por
este arco?
• O que podem concluir?
• Que relação existe entre o ângulo CAD e o arco
pedido? Porquê? Como podem determinar a
medida da amplitude de CD?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes de ADE e CDE? • Qual a medida da amplitude de CDE?
• Que relação existe entre os comprimentos
AE =CE ? Porquê?
• Que eixos de simetria encontram numa
circunferência? Existe algum eixo de simetria
nesta figura? Identifiquem-no.
• O que podem dizer sobre uma reta que contém o
centro da circunferência e é perpendicular a uma
corda? O que podem concluir?
• Os triângulos têm algum lado com igual
comprimento? Qual? Existe outro? Qual?
• Que relação existe entre os ângulos formados
por esses lados, nos dois triângulos?
• Que critério de igualdade podem utilizar para
concluir o pretendido? Porquê?
• Se quiserem transformar o ponto A, no ponto C,
o que podem fazer? Porquê?
• Seria possível transformar um ângulo no outro?
Através do quê?
• O que podem concluir sobre os comprimentos
dos lados nos dois triângulos? Porquê? E sobre
os ângulos? Porquê?
(3) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito aos problemas apresentados.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de
forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo
que o papel da professora será a de mediadora da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes a cada problema.
38
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo
que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Discussão do problema 1
Uma vez que a professora irá circular pela sala, a fim de observar as resoluções dos alunos, serão solicitados, para
ir ao quadro mostrar as suas resoluções:
(a) Um aluno que tenha utilizado uma estratégia de resolução incorreta – para que a turma possa discutir sobre
essa estratégia, porque é incorreta e o que se poderá alterar ou aproveitar.
(b) Um aluno que tenha uma estratégia de resolução correta, mas distinta da que surgirá da discussão de (a).
Caso nenhum aluno apresente uma estratégia de resolução distinta, a professora deverá conduzir a aula nesse
sentido, através das questões orientadoras anteriormente descritas para as possíveis dificuldades dos alunos na
resolução deste problema (pelo menos a estratégia de resolução que apela ao ângulo excêntrico deverá ser
explorada, caso não surja naturalmente em aula
A professora irá alertar para erros de linguagem / cálculo que sejam apresentados no quadro e, no final, questionará
sobre a turma sobre eventuais dúvidas que possam ter emergido da discussão anterior.
Discussão do problema 2
Em relação à questão 2.1., o procedimento será semelhante ao anterior.
Em relação à questão 2.2., a discussão desta irá iniciar-se com:
• Que justificações encontraram para a igualdade dos triângulos?
• Quem tem uma justificação diferente?
Uma vez que esta é uma questão que permite mais do que uma justificação possível, e a capacidade de
argumentação é um dos objetivos para esta aula, estas deverão ser exploradas com os alunos, caso não surjam de
forma natural durante a discussão, recorrendo-se às questões orientadoras anteriormente descritas para as
possíveis dificuldades dos alunos na resolução desta alínea.
A professora deverá ter em conta todas as justificações que possam emergir da discussão, escrevendo-as no quadro
e pedindo aos alunos que expliquem os seus raciocínios e pedindo contribuições à turma sobre as justificações dos
colegas, o que poderá ser alterado, se há algo incorreto e como seria uma justificação correta.
Plano de aula de dia 07 de março de 2018
Hora: 11:25 às 12:15 Sala 03, Pavilhão 02
Sumário
• Resolução de uma ficha de trabalho sobre as medidas das amplitudes dos ângulos internos e externos de
polígonos convexos
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
Tópicos
• Ângulos externos e internos de polígonos convexos
Objetivos da aula
Geral
• Estudar a soma das medidas das amplitudes
dos ângulos internos e externos de um
polígono convexo
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas
Específicos
• Determinar a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos de um
polígono convexo
• Determinar a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos externos de um
polígono convexo
Capacidades transversais
• Comunicação matemática • Raciocínio matemático indutivo e dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Definição de polígono convexo
39
• Ângulo interno de um polígono
• Ângulo externo de um polígono
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos e apresentação da ficha de trabalho (10 minutos)
(2) Resolução autónoma do problema 1 da ficha de trabalho (15 minutos)
(3) Discussão das resoluções do problema 1 e resolução do problema 2 em grupo-turma (25 minutos)
Observação
Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo do que o previsto, ou para o caso de
a discussão terminar mais cedo do que o previsto, serão propostos os problemas: página 99 ex.9 e ex.10, do
manual.
Desenvolvimento da aula:
(1) Este momento terá início com a entrada inicial dos alunos e a apresentação da ficha de trabalho, no
qual a professora explicará o que se pretende com a mesma: determinar a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos e externos de um polígono convexo.
Poderá registar-se a dúvida: o que é um polígono convexo? Pelo que a professora deverá desenhar
no quadro um polígono não-convexo, e um convexo, e questionar os alunos sobre que diferença
que encontram. Caso a dúvida persista, a professora deverá desenhar um segmento de reta sobre os
mesmos (no caso do polígono não convexo, esse segmento passará por fora do polígono) e voltar a
questionar a turma.
Finalmente, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 15 minutos para realizar a ficha
autonomamente.
(2) Durante o trabalho autónomo dos alunos, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução
da tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do pentágono [KLMOP] é de
540º porque:
• [KLMOP] pode ser decomposto em três triângulos [PLK],
[POL] e [OML] – estes triângulos obtém-se traçando, a partir
do vértice L, todas as diagonais do polígono.
• A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de
um triângulo é de 180º, pelo que 3 × 180 = 540º
ou
• [KLMOP] pode ser decomposto em cinco triângulos – estes
triângulos obtêm-se considerando um vértice em comum, que
se encontra no interior do polígono.
• A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do
pentágono será dada pela expressão
5 × 180 − 360=540º
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2:
𝑂��𝐿 =180º- 𝐿��𝑄 ou 𝑂��𝐿 + 𝐿��𝑄 =180º porque os ângulos internos e externos de um polígono são
suplementares (cada ângulo interno de um polígono é suplementar ao ângulo externo).
Possíveis estratégias de resolução da questão 1.3: A opção correta é a opção [B] porque da alínea 1.1., concluiu-se que a soma das medidas amplitudes dos ângulos
internos é de 540º. Da alínea anterior, concluiu-se que o ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, pelo
que:
I + E = 180º
40
Existem 5 ângulos internos e 5 ângulos externos neste polígono, pelo que:
5I + 5E =5x180º ⇔ 540º + 5E = 900º ⇔ 5E = 900º-540º ⇔ 5 E =360.
A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos é de 360º.
Os alunos podem, ainda, recorrer à exclusão de partes como estratégia de resolução:
[A] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 180º.
Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos + Soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos
= 5× 180º
540º + 180º = 720º
5 × 180º=900º
Mas, 720º≠900º, logo a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos não pode ser de 180º
[B] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 360º
Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos + Soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos
= 5 × 180º
540º + 360º =900º
5 × 180º=900º
Logo, a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos é de 900º
[C] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 108º.
Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos + Soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos
= 5 × 180º
540º + 108º =648º
5 × 180º=900º
Mas, 648º≠900º, logo a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos não pode ser de 108º.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.1.
Os alunos não conseguem determinar a soma das
medidas das amplitudes dos ângulos internos de
[KLMOP] porque
• Não identificam que [KLMOP] pode ser
decomposto em três triângulos
• Não identificam que [KLMOP] pode ser
decomposto em cinco triângulos
1.2.
Os alunos não conseguem relacionar as duas medidas
de amplitude pedidas porque não identificam os
ângulos como sendo suplementares.
1.3.
• Os alunos não assinalam [B] como sendo a opção
correta porque
a. Não relacionam as alíneas anteriores com esta
b. Não compreendem que existem 5 ângulos
internos e 5 ângulo externos, sendo que a
soma total será igual a 900º
• Podem decompor o pentágono [KLMOP]
noutros polígonos? Quais? Quantos são?
• O que sabem sobre a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo? Como podem proceder?
• Considerem um ponto no interior do pentágono
[KLMOP]. Conseguem decompor o pentágono
em polígonos que tenham todos um vértice nesse
ponto? Quantos são esses polígonos? Como
podem proceder?
• O que sabem sobre a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo? Como podem proceder?
• Que relação encontraram entre as duas medidas
de amplitude? Se somarem essas duas medidas,
que medida de amplitude obtêm?
• O que concluíram da alínea 1.1.?
• Da alínea anterior, que conclusão retiraram?
Como podem utilizar essa informação?
• Quantos ângulos internos e externos tem este
polígono? Como podem proceder agora?
• O que concluem?
41
• Os alunos podem, ainda, assinalar a opção [A], ou
a opção [C], como a correta pois não identificam
que
soma das medidas das amplitudes dos ângulos
internos + soma das medidas das amplitudes dos
ângulos externos = 5× 180º
• Porque motivo selecionaram a opção [A]/[C]
como a correta?
• Se somarmos as medidas das amplitudes dos
ângulos internos, com as medidas das
amplitudes dos ângulos externos, que valor
obtemos? Porquê?
• Como se relacionam a soma das medidas das
amplitudes dos ângulos internos com a soma das
medidas das amplitudes dos ângulos externos?
Porquê?
• O que podem concluir?
(3) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz
respeito ao problema 1 da ficha de trabalho.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas,
de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo
que o papel da professora será a de mediadora da discussão.
Será utilizado o projetor neste momento, para projetar a figura referente ao problema.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas,
sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas
Discussão do problema 1:
Questão 1.1.
A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão.:
• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do pentágono? Expliquem o vosso
raciocínio.
• Quem discorda? Porquê?
Os alunos serão incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Uma vez que esta alínea permite duas estratégias de resolução distintas, optando-se por dividir a figura em 3
ou 5 triângulos, será interessante explorar ambas com os alunos, caso estas não surjam naturalmente da
discussão, recorrendo-se às questões orientadoras anteriormente descritas.
Questão 1.2.
A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão.:
Qual foi a relação que encontraram? Expliquem o vosso raciocínio.
• Alguém encontrou uma relação diferente? Expliquem o vosso raciocínio.
Os alunos serão incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de
apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Se nenhuma das relações encontradas for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos não conseguirem
compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões orientadoras
anteriormente descritas.
Questão 1.3
A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão:
• Alguém assinalou a opção A como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.
• Alguém assinalou a opção B como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.
• Alguém assinalou a opção C como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.
Uma vez que este é um problema que permite que surjam, durante a discussão, as três hipóteses, é
importante explorar, com os alunos, o raciocínio dos alunos que (a) respondem a hipótese [A] como a
correta; (b) respondem a hipótese [C] como a correta; uma vez que essas respostas estão assentes em
dificuldades que deverão ser ultrapassadas.
Os alunos serão incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de
apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Se nenhuma das hipóteses apresentadas pelos alunos for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos
42
não conseguirem compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões
orientadoras anteriormente descritas.
Discussão do problema 2: Este é um problema que tem como principal objetivo, conduzir os alunos à expressão que determinam a soma das
medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados e concluírem que a soma das
medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é um ângulo giro.
Como tal, será pedido aos alunos que, oralmente e em grupo-turma, se resolva a questão 2.1. da ficha de trabalho.
• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado?
• E de um hexágono regular?
Após este momento, a professora deverá desenhar uma tabela que relacione o número de lados do polígono, o
número de triângulos nos quais este se pode decompor e a soma dos ângulos internos do polígono. De seguida,
preenchendo a tabela para o caso do quadrado, do hexágono e do pentágono, a professora questionará:
• O que podem conjeturar sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n
lados?
Uma vez que podem surgir dificuldades, a professora deverá desenhar, no quadro, a figura de um quadrado e a
figura de um hexágono e questionar os alunos sobre os ângulos internos, fazendo-se analogia à estratégia de
resolução que recorre à decomposição dos polígonos em triângulos, de forma a que os alunos cheguem à
expressão (𝑛 − 2) × 180º.
A atividade será semelhante para a questão 2.2., de forma a que os alunos cheguem à conclusão de que a soma das
medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre um ângulo giro:
• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo?
• E de um pentágono regular?
• O que podem conjeturar sobre a soma das medidas das amplitudes ângulos externos de um polígono
convexo de n lados?
Sendo que os alunos apenas se basearão em exemplos concretos para chegar a esta última conjetura, os mesmos
serão alertados para esse facto: falta provar a veracidade da conjetura encontrada.
A professora questionará:
• Como pensam que se pode provar a veracidade desta conjetura?
• Quanto é 𝑆𝑖 + 𝑆𝑒? Porquê? O que podem fazer agora?
• O que podemos concluir?
Prova
Seja 𝑆𝑖 a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados e 𝑆𝑒 a soma
das medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados.
𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º⇔(𝑛 − 2) × 180 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180⇔ 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180 − (𝑛 − 2) × 180⇔𝑆𝑒 = 180𝑛 −180𝑛 + 360⇔𝑆𝑒 = 360º ∎
Plano de aula de dia 09 de março de 2018
Hora: 14:30 às 16:20 Sala 16, Pavilhão 04
Sumário
• Correção do trabalho de casa
• Resolução de uma ficha de trabalho envolvendo polígonos inscritos numa circunferência
• Discussão coletiva da ficha de trabalho
• Mini teste
Tópicos
• Ângulos ao centro e inscritos
• Polígonos inscritos numa circunferência
43
Objetivos da aula
Geral
• Resolver problemas geométricos que
envolvam tópicos matemáticos trabalhados
anteriormente
• Desenvolver a capacidade de argumentação,
recorrendo à justificação de respostas e
explicação de procedimentos
Específicos
• Reconhecer um ângulo inscrito e relacionar a
sua medida de amplitude com o seu respetivo
arco capaz
• Reconhecer que, num trapézio isósceles, os
lados opostos não paralelos têm o mesmo
comprimento
• Reconhecer que polígonos regulares de n lados
inscritos numa circunferência dividem a
circunferência em n arcos de igual medida de
amplitude Capacidades transversais
• Resolução de problemas
• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo
Recursos
• Quadro branco e marcador
• Ficha de trabalho
• Computador e projetor
Conhecimentos prévios
• Definição de ângulo inscrito e ângulo ao centro
• Relação entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e do arco capaz
• Definição de trapézio isósceles
• Polígonos regulares inscritos em circunferências
Metodologia de trabalho
• Trabalho autónomo realizado a pares
• Discussão das resoluções da ficha e do trabalho de casa, em grupo-turma
Avaliação
• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,
e a sua participação no momento da discussão coletiva
Estrutura da aula:
(1) Entrada inicial dos alunos (5 minutos)
(2) Discussão do trabalho de casa (20 minutos)
(3) Resolução autónoma da ficha de trabalho (20 minutos)
(4) Discussão da ficha de trabalho (25 minutos)
(5) Mini teste
Observações (1) Existe um intervalo de 10 minutos entre o momento 3 e 4.
(2) Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão
da ficha termine mais cedo do que o previsto, será proposto o problema 9 da
página 103, do manual.
Desenvolvimento da aula:
(2) Este momento será destinado à correção e discussão dos problemas enviados para trabalho de casa. Uma
vez que a professora analisou as resoluções dos alunos, a discussão irá ser mediada de acordo com o
observado pela professora.
Discussão do trabalho de casa: Do observado das resoluções do primeiro problema, constatou-se que um aluno considera que o João tem razão,
porque não identifica o ângulo inscrito, pelo que será pedido a esse aluno que explique o seu raciocínio, de modo
a que os colegas de turma possam argumentar sobre a sua resolução, ajudando-o. Ainda da observação das
produções escritas, constatou-se que, para o segundo problema, uma aluna terá escrito que os ângulos inscritos
numa circunferência são sempre agudos, pelo que será interessante explorar essa ideia com a turma.
A discussão irá iniciar-se com a professora a questionar quem considera que o João tem razão e porquê. De
seguida, questionará: o ângulo 𝐵��𝐶 é de que tipo? Qual o seu arco correspondente? Como se relacionam estas
medidas de amplitudes?
44
Em relação à segunda questão, a professora questionará: existe, ou não, um ângulo inscrito de 190º numa
circunferência? Porquê? Quem tem uma resposta distinta?
De seguida, a professora questionará: um ângulo obtuso pode ser inscrito numa semicircunferência? Porquê? Até
que medida de amplitude existe um ângulo inscrito numa circunferência?
Sempre que existirem alunos que discordem das ideias apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu
raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os mesmos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de
questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam
na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,
querem alterar a vossa resposta?
(3)Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.
Durante a realização do primeiro problema, a professora circulará pela sala a fim de:
• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da
tarefa
• Observar as diferentes resoluções dos alunos
Possíveis estratégias de resolução da questão 1:
𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude porque
• [AD] é um diâmetro, logo 𝐴�� tem 180º de medida de amplitude.
𝐴��=𝐶�� + 𝐵�� + 𝐴��.
• [ABCD] é um trapézio isósceles, logo 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 .
• Como 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 , 𝐶�� = 𝐴��
• 𝐴��=𝐶�� + 𝐵�� + 𝐴�� ⇔180º=𝐶��+80º+𝐴��⇔𝐶�� + 𝐴�� =100º⇔
2 × 𝐶�� =100º⇔𝐶�� =50º
• O ângulo 𝐵��𝐷 é inscrito no arco 𝐵��. • 𝐵��=𝐶��+𝐵��=50º+80º=130º, pelo que 𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude.
ou
• Considerem-se os ângulos ao centro
𝐶��𝐷, 𝐶��𝐵 e 𝐴��𝐵.
• 𝐵�� =80º, logo 𝐶��𝐵 tem 80º de medida de amplitude, pelo que
𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º.
• [ABCD] é um trapézio isósceles, logo 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 .
• Como 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 , 𝐶�� = 𝐴��.
• 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 e 𝐶�� = 𝐴��, logo 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵
têm a mesma medida de amplitude (a arcos e cordas geometricamente
iguais correspondem ângulos ao centro geometricamente iguais)
• 𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º⇔2 × 𝐴��𝐵=100º⇔𝐴��𝐵 =50º
• O triângulo [AOB] é isósceles, porque [OB] e [OA] são raios da
circunferência, pelo que 𝑂��𝐴 tem a mesma medida de amplitude de 𝐵��𝑂.
• 𝐴��𝐵+ 𝑂��𝐴+ 𝐵��𝑂=180º⇔50º+2 × 𝐵��𝑂=180º⇔2 ×𝐵��𝑂=130º⇔ 𝐵��𝑂=65º, porque a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
é de 180º.
• Mas 𝐵��𝑂 tem a mesma medida de amplitude de 𝐵��𝐷, logo 𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude.
Possíveis estratégias de resolução da questão 2:
• [BF] e [DH] são diâmetros da circunferência, logo têm o mesmo comprimento.
• Uma vez que [ABCDEFGH] é regular, os arcos compreendidos entre os seus
lados têm todos a mesma medida de amplitude, pelo que cada arco tem 360
8=45º.
• Calculando a medida de amplitude do arco 𝐵��, resulta que:
𝐵�� = 𝐵�� + 𝐶��=45º+45º=90º. Daqui resulta que o ângulo ao centro 𝐵��𝐷 é um ângulo reto.
[BF] e [DH], que são as diagonais de [BDFH], são perpendiculares e têm o
mesmo comprimento, pelo que [BDFH] é um quadrado.
ou
45
• Uma vez que [ABCDEFGH] é regular, os arcos compreendidos entre os seus lados têm todos a mesma
medida de amplitude, pelo que cada arco tem 360
8=45º.
• Calculando a medida de amplitude do arco 𝐵��, resulta que:
𝐵�� = 𝐵�� + 𝐶��=45º+45º=90º.
Daqui resulta que o ângulo ao centro 𝐵��𝐷 é um ângulo reto.
• Considerando os ângulos ao centro 𝐵��𝐷, 𝐷��𝐹, 𝐹��𝐻 e 𝐵��𝐻, os lados do quadrado considerado são
cordas correspondentes a estes ângulos ao centro.
• Uma vez que estes ângulos têm todos a mesma medida de amplitude (porque os arcos correspondentes
são geometricamente iguais), resulta que as cordas compreendidas entre os seus lados também são
geometricamente iguais, pelo que 𝐵𝐷 =𝐷𝐹 =𝐹𝐻 =𝐵𝐻 . • O ângulo 𝐵��𝐹 é um ângulo reto pois é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��, que tem 180º de
medida de amplitude (porque é composto pelos arcos 𝐵�� e 𝐻��, ambos com 90º de medida de amplitude).
Analogamente, 𝐷��𝐻,𝐵��𝐹 e 𝐷��𝐻 são ângulos retos.
Possíveis dificuldades Questões orientadoras
1.
Os alunos não conseguem determinar /
determinam erradamente a medida da amplitude do
ângulo pedido porque
• Não reconhecem 𝐴�� como tendo 180º de
medida de amplitude porque não identificam
[AD] como sendo um diâmetro pelo que
divide a circunferência em dois arcos
geometricamente iguais
• Não relacionam os comprimentos de [CD] e
[AB], nem as medidas das amplitudes de 𝐶�� e
𝐴�� porque não sabem/não
compreendem/não se recordam da definição
de trapézio isósceles
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude de 𝐶�� ou de 𝐴�� porque não
relacionam estas medidas de amplitude com a
de 𝐴��
• Não relacionam a medida da amplitude do
arco 𝐵�� com as medidas das amplitudes de
𝐶�� e 𝐵��
• Não identificam 𝐵��𝐷 como um ângulo
inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��
ou
• Não reconhecem a existência dos ângulos ao
centro 𝐶��𝐷, 𝐶��𝐵 e 𝐴��𝐵.
• Qual a medida da amplitude do arco 𝐴��?
Porquê?
• [AD] é um diâmetro da circunferência, o que
podem concluir sobre a medida de amplitude do
arco 𝐴��?
• Qual a definição de trapézio isósceles? Pensem
num triângulo. O que tem de particular um
triângulo isósceles? Fazendo uma analogia para
o trapézio, o que concluem?
• No trapézio da figura, quais os lados que têm o
mesmo comprimento? Porquê?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes dos arcos 𝐶�� e 𝐴��? Porquê?
• Como podem determinar a medida da amplitude
do arco 𝐴�� a partir dos arcos 𝐶��, 𝐵�� e 𝐴��?
• Como podem determinar a medida da amplitude
do arco 𝐶��?
• Como podem determinar a medida amplitude do
arco 𝐵��? Como podem exprimir a sua medida
de amplitude em função das medidas de
amplitude dos arcos 𝐶�� e 𝐵��?
• Que tipo de ângulo é o ângulo 𝐵��𝐷?
• Que relação existe entre o ângulo pedido e o arco
𝐵��? Como se relacionam as suas medidas de
amplitudes?
• Como podem decompor o trapézio? Que tipo de
ângulos obtêm?
46
• Não relacionam a medida da amplitude de
𝐶��𝐵 com a medida da amplitude do arco
𝐵�� porque não identificam que 𝐶��𝐵 é um
ângulo ao centro, cujo arco correspondente é
o arco 𝐵��.
• Não relacionam os comprimentos de [CD] e
[AB], nem as medidas de amplitudes de 𝐶�� e
𝐴�� porque não sabem/não
compreendem/não se recordam da definição
de trapézio isósceles
• Não relacionam as medidas das amplitudes
dos ângulos ao centro 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵, pelo que
não reconhecem que são iguais porque não se
recordam que a cordas e arcos
geometricamente iguais correspondem
ângulos ao centro geometricamente iguais /
não identificam que as cordas e os arcos
correspondentes a cada um destes ângulos,
são geometricamente iguais
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude de 𝐴��𝐵, porque não reconhecem
que 𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º
• Não identificam o triângulo [AOB] como
isósceles porque não identificam [OA] e
[OB] como raios da circunferência
• Não relacionam as medidas das amplitudes
dos ângulos 𝑂��𝐴 e 𝐵��𝑂 porque não
identificam [AOB] como isósceles.
• Não identificam 𝐵��𝑂 como tendo a mesma
medida de amplitude de 𝐵��𝐷
2.
Os alunos podem não saber como justificar que o
quadrilátero [BDFH] é um quadrado porque
• Não reconhecem que num quadrado as
diagonais terão de ser perpendiculares e ter
igual comprimento
• Não reconhecem que num quadrados os lados
têm todos o mesmo comprimento e os ângulos
por eles formados são retos.
Os alunos podem apenas justificar parte do que é
pretendido, isto é, podem apenas considerar que as
• Que relação existe entre o ângulo 𝐶��𝐵 e o arco
𝐵��? Que nome se atribui a este ângulo? Que
arco lhe corresponde?
• Como se relacionam as medidas de amplitude de
𝐵�� e 𝐶��𝐵? Porquê?
• Qual a definição de trapézio isósceles? Pensem
num triângulo. O que tem de particular um
triângulo isósceles? Fazendo uma analogia para
o trapézio, o que concluem?
• No trapézio da figura, quais os lados que têm o
mesmo comprimento? Porquê?
• Que relação existe entre as medidas de
amplitude dos arcos 𝐶�� e 𝐴��? Porquê?
• O que podem concluir sobre as medidas das
amplitudes dos ângulos ao centro 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵?
Porquê?
• As cordas [CD] e [AB] são geometricamente
iguais? Porquê?
• Os arcos 𝐶�� e 𝐴�� são geometricamente iguais?
Porquê?
• O que podem concluir sobre a medida da
amplitude de dois ângulos ao centro cujas cordas
e arcos são geometricamente iguais?
• O que podem dizer sobre a soma das medidas
das amplitudes dos arcos 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵? Porquê?
• Classifiquem o triângulo [AOB] quanto aos seus
lados. Porquê?
• Que relação existe entre os comprimentos dos
segmentos de reta [OA] e [OB]? O que concluem
sobre o triângulo [AOB]?
• O que concluem sobre a medida da amplitude
dos ângulos 𝑂��𝐴 e 𝐵��𝑂?
• Como podem prosseguir com esta informação?
O que vos falta descobrir?
• Como se relacionam as medidas de amplitude
de 𝐵��𝑂 e 𝐵��𝐷 ? Porquê?
• Como se pode justificar que [BDFH] é um
quadrado? Quais as particularidades de um
quadrado? O que o distingue de outros
quadriláteros?
• O que podem dizer sobre as diagonais de um
quadrado? Qual a relação que existe entre os
seus comprimentos? Qual a posição relativa
entre as mesmas?
• O que podem dizer sobre os comprimentos dos
lados do quadrado? E sobre a medida da
amplitude dos seus ângulos internos?
47
diagonais têm o mesmo comprimento ou apenas
considerar que estas são perpendiculares.
Os alunos podem, ainda, justificar apenas que os lados
do quadrado são iguais, não referindo a medida das
amplitudes dos seus ângulos internos / referir a medida
das amplitudes dos seus ângulos internos mas não
referir a igualdade do comprimento dos lados.
Os alunos podem identificar que num quadrado as
diagonais são perpendiculares e têm iguais
comprimentos, mas não conseguir transpor essas ideias
para o problema porque
• Não reconhecem que [BF] e [DH] são
diâmetros da circunferência e, em particular,
diagonais do quadrilátero considerado
• Não reconhecem que, sendo o octógono
[ABCDEFGH] regular, os arcos
compreendidos entre os seus lados têm todos
45º de medida de amplitude
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude do arco 𝐵�� (ou de outro de entre os
arcos 𝐷𝐹, 𝐹�� e 𝐵��) porque não reconhecem
que 𝐵�� é composto por dois arcos de igual
medida de amplitude.
• Não identificam 𝐵��𝐷 como reto, porque não
relacionam a sua medida da amplitude com a
do arco anteriormente calculado.
Os alunos podem identificar que num quadrado os
lados têm igual comprimento e a medida da amplitude
dos seus ângulos internos é sempre de 90º, mas não
conseguir transpor essas ideias para o problema,
porque
• Não reconhecem que, sendo o octógono
[ABCDEFGH] regular, os arcos
compreendidos entre os seus lados têm todos
45º de medida de amplitude
• Isto será suficiente para justificar que o
quadrilátero é um quadrado? O que poderá
faltar?
• Basta dizer que as diagonais são
perpendiculares? Que outro quadrilátero
conhecem que também tem as diagonais
perpendiculares e não é um quadrado?
• Isto será suficiente para justificar que o
quadrilátero é um quadrado? O que poderá
faltar?
• Basta dizer que os ângulos internos têm todos
90º de medida de amplitude? Que outro
quadrilátero conhecem que também tem os
ângulos internos com 90º de medida de
amplitude e não é um quadrado?
• Que relação existe entre os comprimentos dos
segmentos [BF] e [DH]? Porquê?
• Estes segmentos são lados ou diagonais do
quadrilátero considerado?
• Se o octógono é regular, o que podem concluir
sobre a medida de amplitude dos arcos
compreendidos entre os seus lados? Porquê?
• O octógono regular divide a circunferência em
quantos setores circulares geometricamente
iguais? O que podem concluir sobre a medida da
medida de amplitude desses setores?
• Qual será a medida da amplitude do arco 𝐴��, por
exemplo?
• Como podem determinar a medida da amplitude
do arco 𝐵��? Este é um arco composto por que
arcos? Qual a sua medida de amplitude? Porquê?
• Que relação existe entre a medida da amplitude
do ângulo 𝐵��𝐷 e a medida da amplitude do
arco 𝐵��? Porquê?
• Se o octógono é regular, o que podem concluir
sobre a medida da amplitude dos arcos
compreendidos entre os seus lados? Porquê?
• O octógono regular divide a circunferência em
quantos setores circulares geometricamente
iguais? O que podem concluir sobre a medida da
amplitude desses setores?
• Qual será a medida de amplitude do arco 𝐴��, por
exemplo?
48
• Não conseguem determinar a medida da
amplitude do arco 𝐵�� (ou de outro de entre os
arcos 𝐷𝐹, 𝐹�� e 𝐵��) porque não reconhecem
que 𝐵�� é composto por dois arcos de igual
medida de amplitude.
• Não identificam 𝐵��𝐷 como reto, porque não
relacionam a sua medida de amplitude com a
do arco anteriormente calculado.
• Não identificam os lados do quadrado como
sendo as cordas dos ângulos ao centro
𝐵��𝐷, 𝐷��𝐹, 𝐹��𝐻 e 𝐵��𝐻.
• Não identificam que estas cordas têm todas o
mesmo comprimento porque não se
recordam que a ângulos ao centro de igual
medida de amplitude correspondem cordas de
igual medida de amplitude ou porque não
identificam que os ângulos ao centro
considerados têm todos a mesma medida de
amplitude.
• Não determinam a medida de amplitude de
𝐵��𝐹 porque não identificam que este é um
ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��
ou identificam esta relação mas não
reconhecem que 𝐵�� tem 180º de medida de
amplitude.
• Como podem determinar a medida de amplitude
do arco 𝐵��? Este é um arco composto por que
arcos? Qual a sua medida de amplitude? Porquê?
• Que relação existe entre a medida da amplitude
do ângulo 𝐵��𝐷 e a medida da amplitude do
arco 𝐵��? Porquê?
• Que relação existe entre os lados do quadrilátero
e os ângulos ao centro? Porquê?
• Que relação existe entre as medidas das
amplitudes dos ângulos ao centro considerados?
Porquê? O que podem concluir sobre o
comprimento dos lados do quadrilátero?
Porquê?
• O ângulo 𝐵��𝐹 (ou qualquer um dos ângulos
internos deste quadrilátero) é que tipo de
ângulo?
• Que relação existe entre este ângulo e o arco 𝐵��?
Porquê?
• Que relação existe entre as suas medidas de
amplitude?
• Qual a medida de amplitude do arco 𝐵��?
Porquê?
• O arco 𝐵�� pode ser decomposto em que arcos?
Qual a medida de amplitude desses arcos?
Porquê? O que concluem sobre a medida de
amplitude de 𝐵��?
(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz respeito à ficha
de trabalho.
Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo
quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o
papel da professora será a de mediadora da discussão.
A professora deverá interpelar diferentes alunos, levando os mesmos a
contra-argumentar com respostas diferentes.
A professora não validará prontamente as respostas dadas, mas sim o grupo turma,
de forma orientada pela professora.
Será utilizado o projetor a fim de projetar as figuras presentes na ficha de trabalho.
As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas,
sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.
Discussão
A discussão do primeiro problema irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Qual a medida de amplitude do ângulo pedido? Como procederam?
• Quem tem uma resposta diferente? Como procederam?
Os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de apresentar
os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.
Extra:
Uma vez que esta é uma pergunta que permite duas estratégias de resolução, será importante explorar ambas com
os alunos, para que estes compreendam que podem mobilizar vários conhecimentos anteriores, sem que isso
implique que existe apenas uma maneira de resolver um mesmo problema.
49
Caso alguma das estratégias não surja durante a discussão ou as que surgirem estiverem incorretas e os alunos
não souberem como refutar/justificar, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido, recorrendo às questões
orientadoras descritas anteriormente.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A discussão do segundo problema irá iniciar-se com as seguintes questões:
• Como justificaram que o quadrilátero considerado é um quadrado?
• Quem justificou de forma diferente? Como procederam?
Os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do
questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus
colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.
Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de apresentar
a sua justificação.
Extra:
Esta é uma questão que contempla duas formas de justificação distintas, que devem ser abordadas em aula, caso
não surjam naturalmente durante a discussão, recorrendo-se às questões orientadoras já descritas.
Uma vez que esta é uma questão que poderá ser respondida de forma incompleta (como já descrito nas possíveis
dificuldades), caso nenhum aluno se manifeste sobre isso, a professora deverá orientar os alunos no sentido de
compreenderem o que é importante considerar para se conseguir justificar que o quadrilátero [BDFH] é um
quadrado, através de questões como:
• Para o quadrilátero considerado ser um quadrado, o que têm de verificar?
• Será suficiente justificar que é um quadrado porque as suas diagonais são perpendiculares/ a medida da
amplitude de todos os ângulos internos é de 90º? Existirá algum quadrilátero cujas diagonais são
perpendiculares e não é um quadrado? / Existirá algum quadrilátero cujos ângulos internos tenham todos 90º
de medida de amplitude e não seja um quadrado? Qual?
• Será suficiente justificar que as diagonais têm igual comprimento / o comprimento dos lados é o mesmo?
• O que têm de particular as diagonais de um quadrado?
Caso se verifique, durante a monitorização do trabalho autónomo, que as dúvidas acerca desta questão são
persistentes, o mesmo será interrompido para que, em grupo-turma, se possa discutir sobre isso, recorrendo às
questões descritas.
Anexo 3 – Mini teste
1. (5 pontos) Na figura seguinte está representada uma circunferência
de centro em O.
• Os pontos A,B e C pertencem à circunferência.
• 𝐴��𝐵 tem 70º de amplitude
• 𝐵��𝐶 tem 80º de amplitude
Justifiquem que a seguinte afirmação é verdadeira:
“O triângulo [ABC] é um triângulo isósceles”
2. (4 pontos) Na figura seguinte está representada uma
circunferência de centro O.
• 𝐴�� tem 100º de amplitude
• 𝑟 é tangente à circunferência no ponto de tangência
A
Indiquem qual das seguintes afirmações é verdadeira:
Justifiquem a vossa opção.
[A] 𝛽 tem 100º de amplitude
[B] 𝛽 tem 50º de amplitude
[C] 𝛽 tem 45º de amplitude
3. (5 pontos) Na figura seguinte está representada uma
circunferência.
• Os pontos A,B,D e E pertencem à circunferência.
• O triângulo [ABC] é retângulo em B.
• A amplitude do arco 𝐴�� é de 90º
• 𝐵��𝐶 tem 60º de amplitude
Qual a amplitude do arco 𝐷��? Justifiquem a vossa
resposta.
4. (6 pontos) Comentem a seguinte afirmação:
“Um triângulo inscrito numa semicircunferência nunca é equilátero”
Anexo 4– Pedido de autorização aos encarregados de educação
Exmo. Sr.(a) Encarregado(a) de Educação
Eu, Carolina Costa Rodrigues, mestranda em Ensino de Matemática, no Instituto de Educação
da Universidade de Lisboa, venho por este meio comunicar que a turma ___ será alvo de estudo para
um trabalho de cariz investigativo, no âmbito da unidade de ensino Propriedades de ângulos, cordas e
arcos definidos numa circunferência, no 2.º período do presente ano letivo.
Este trabalho, visa analisar as justificações matemáticas na realização das tarefas propostas no
âmbito da unidade de ensino considerada e, para tal, será necessária a recolha de dados dos alunos da
turma, pelo que serão alvo de análise os seguintes instrumentos: materiais produzidos dentro e fora da
sala de aula, transcrições de diálogos entre alunos e com a professora, transcrições de entrevistas que
sejam realizadas, fora da sala de aula. Caso seja necessária a realização de entrevistas em tempos
relativos a atividades não curriculares, ou em outro horário, o mesmo terá de ser acordado previamente
com os alunos e respetivos encarregados de educação.
Os dados recolhidos serão de uso exclusivo para este trabalho e não serão divulgados os nomes
dos alunos participantes, nem a identificação da escola, salvaguardando-se o seu anonimato.
O desenvolvimento deste trabalho não interfere com o normal funcionamento das atividades letivas,
não resultando em qualquer inconveniente para os alunos, pelo que a sua participação é voluntária.
Solicito, assim, a autorização para implementar o trabalho de cariz investigativo anteriormente
descrito, através do preenchimento da declaração em anexo.
Grata pela vossa colaboração,
09 de fevereiro de 2018
A mestranda em Ensino de Matemática,
________________________________
O Professor de Matemática,
________________________________
Autorização
Eu, encarregado de Educação do(a) aluno(a) __________________________________, n.º
____, da turma___, declaro que tomei conhecimento dos objetivos do trabalho de investigação que
envolverá a turma, e da necessidade da recolha de dados, e autorizo/ não autorizo (riscar o que não
interessa) a participação do meu educando, com a garantia do seu respetivo anonimato.
Queluz, _____ de __________________ de 2018
O(A) Encarregado(a) de Educação
_______________________________
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