Anexo 1 – Tarefas Ficha de trabalho I Ângulo ao …repositorio.ul.pt/bitstream/10451/35808/2/ulfpie053106...Ficha de trabalho III – Propriedades geométricas numa circunferência

Anexo 1 – Tarefas Ficha de trabalho I – Ângulo ao centro e ângulo inscrito

1. Na figura seguinte está representada uma

circunferência de centro em O.

1.1. Identifiquem:

a) Um diâmetro

b) Um raio

c) Uma corda

d) Um setor circular

e) Um ângulo ao centro e o arco que lhe

corresponde

f) Um ângulo inscrito e o seu respetivo arco

capaz

1.2. Tracem a corda correspondente ao ângulo 𝐴��𝐹. Qual o arco que lhe corresponde?

2. Observem a seguinte figura, onde estão representadas duas circunferências de centro

O e um quadrado e um hexágono regular inscritos nessas circunferências.

2.1. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? E

do ângulo 𝐷��𝐶? Expliquem o vosso procedimento.

2.2. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do arco 𝐴��? E do

arco 𝐷��? Justifiquem.

2.3. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro e a

amplitude do arco que lhe corresponde?

3. A figura seguinte representa um triângulo equilátero

[ABC] inscrito numa circunferência de centro em O.

3.1. Durante a aula de Matemática, o João disse:

“As amplitudes dos ângulos 𝐵��𝐶 e 𝐵��𝐶 são

iguais porque têm ambos o arco 𝐵�� como arco

correspondente.”

O João terá razão?

Justifiquem a vossa resposta.

3.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 e a

amplitude do ângulo inscrito 𝐵��𝐶?

4. Considerem a circunferência de centro O representada na figura.

4.1. Classifiquem o triângulo [OBV] quanto aos seus lados,

justificando.

4.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo

𝐵��𝐴 e a amplitude do arco capaz? Porquê?

4.3. Considerem que o ângulo 𝐵��𝐴 tem 30º de amplitude.

a) Qual a amplitude do arco 𝐴��?

b) E do ângulo 𝐵��𝐴?

Justifiquem as vossas respostas.

Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo

Ficha de trabalho II – Propriedades sobre os ângulos

1. Observem a figura seguinte.

Justifiquem que:

a. As amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 são iguais.

b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento

2. Na figura estão representados uma circunferência de centro O e

os ângulos 𝛼 𝑒 𝛽.

Relacionem, justificando, a amplitude destes ângulos.


3. Na figura seguinte está representada uma circunferência

de diâmetro [AB] e um ponto V que se movimenta ao

longo do arco 𝐴��, nunca coincidindo com os pontos A e

B.

Classifiquem as afirmações como verdadeiras ou falsas,

justificando sempre a vossa resposta.

Para qualquer posição do ponto V:

[A] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e escaleno

[B] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e nunca isósceles

[C] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e não se pode classificar quanto aos lados

[D] O triângulo é sempre acutângulo


Ficha de trabalho III – Propriedades geométricas numa

circunferência

1. Na figura estão representadas uma circunferência de centro O, duas cordas paralelas

[AB] e [EF] e uma reta r perpendicular à corda [EF] e que contém o seu ponto médio.

1.1. Justifiquem que:

a. A reta r é perpendicular à corda [AB].

b. A reta r é a mediatriz de [AB] e a mediatriz de

[EF].

1.2. Relacionem, justificando, os comprimentos dos

segmentos [AC] e [BC].

1.3. A Joana, durante a aula de Matemática, disse: “os ângulos 𝐴��𝐷 e 𝐵��𝐷 têm a

mesma amplitude”, mas não explicou o porquê. Conseguem ajudar a Joana a

explicar?

1.4. O que podem intuir sobre a relação entre o comprimento das cordas [AF] e [BE]?

E sobre as amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐵��?



Numa circunferência, qualquer reta que contenha o seu centro e seja perpendicular a uma

corda ___________________

Numa circunferência, as cordas compreendidas entre duas retas paralelas são__________________

Numa circunferência, os arcos compreendidos entre duas retas paralelas são ______________

C

Ficha de trabalho IV– Ângulo de segmento

Um ângulo de segmento é um ângulo cujo vértice é um extremo de uma

corda, um dos seus lados contém essa corda e o outro lado é tangente à

circunferência.

1. Na figura seguinte está representada uma circunferência

de centro em O, um ângulo de segmento 𝐴��𝐶 e uma reta

r tangente à circunferência, no ponto de tangência B.

Considerem que o ângulo 𝐷��𝐶 tem 40º de amplitude.

1.1.O João e a Joana trocaram o seguinte diálogo acerca

da amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶:

João: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶 é igual

à amplitude do arco 𝐵��.

Joana: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶é o dobro da amplitude do arco

𝐵��.

Investiguem qual dos amigos terá razão, justificando todos os cálculos efetuados.

1.2. Formulem uma conjetura sobre a relação que existe entre a amplitude de um

ângulo de segmento e amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

Sugestão: testem com outros valores de amplitude de 𝐷��𝐶.

Ficha de trabalho V – Ângulo excêntrico

Um ângulo excêntrico é um ângulo cujo vértice não está no centro da circunferência


• O ângulo 𝐶��𝐷 tem 30º de amplitude

• O ângulo 𝐴��𝐵 tem 50º de amplitude

1.1. O João tentou encontrar uma relação

entre a amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 e as

amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐷��, tendo

concluído que: a amplitude de 𝐴��𝐵 é

igual à média das amplitudes dos arcos

𝐴�� e 𝐷��.

Será a relação encontrada pelo João verdadeira? Justifiquem.

Amplitude do arco 𝐴��

Amplitude do arco 𝐷��

Amplitude do ângulo 𝐴��𝐵

1.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no

interior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?


• O ângulo 𝑉��𝐴 tem 15º de amplitude

• O ângulo 𝐶��𝐷 tem 50º de amplitude

2.1. A Joana tentou encontrar uma relação entre a

amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 e as amplitudes dos

arcos 𝐶�� e 𝐵��, tendo concluído que: a amplitude

de 𝐴��𝐵 é igual à semidiferença das amplitudes

dos arcos 𝐶�� e 𝐵��.

Será a relação encontrada pela Joana verdadeira? Justifiquem.

Amplitude do arco 𝐵��

Amplitude do arco 𝐶��

Amplitude do ângulo 𝐴��𝐵

2.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no

exterior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?

Ficha de trabalho VI– Ângulo ex-inscrito

Um ângulo ex-inscrito num arco de circunferência é um ângulo

adjacente a um ângulo inscrito e a ele suplementar.


1.1. Considerando que o arco 𝐷�� tem 60º de amplitude,

indiquem qual das seguintes afirmações é

verdadeira.

Justifiquem.

[A] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 120º de

amplitude

[B] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 60º de amplitude

[C] O ângulo ex-inscrito 𝐴��𝐶 tem 150º de

amplitude

1.2. Durante a aula de Matemática, a Joana disse:

Joana: “Se o arco 𝐷�� tem 60º de amplitude e o ângulo 𝐷��𝐵 tem 110º de

amplitude, então a amplitude de 𝐴��𝐶 é igual à média das amplitudes dos arcos

𝐷�� e 𝐵��”.

Será verdade? Justifiquem.

Amplitude de 𝐴��𝐶

Amplitude de 𝐷��

Amplitude de 𝐵��

Ficha de trabalho VII – Problemas geométricos

1. Na figura seguinte estão representadas as retas DC

e DA, e uma circunferência de diâmetro [AC].

• DC é tangente à circunferência no ponto C

• 𝐴��𝐶 tem 50º de amplitude

• O ponto B é um ponto da circunferência e

pertence à reta DA.

Qual é, em graus, a amplitude do arco 𝐶��?

Justifiquem.

Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2014, 2ª chamada

2. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro O.

• A,B,C,D são pontos da circunferência

• [ADE] é retângulo em E

• 𝐶��𝐷 tem 30º de amplitude

2.1. Determinem a amplitude do arco

𝐶��, justificando.

2.2. Justifiquem porque é verdadeira a

seguinte afirmação:

“Os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais”.

Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2007, 1ª chamada

Ficha de trabalho VIII– Ângulos internos e externos de polígonos

1. Considerem o seguinte pentágono [KLMOP].

1.1. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos internos do

pentágono [KLMOP]? Justifiquem.

1.2. Que relação conseguem estabelecer entre as amplitudes dos ângulos 𝑂��𝐿 e 𝐿��𝑄?

Justifiquem.

1.3. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos externos do pentágono [KLMOP]?

Assinalem a opção correta, justificando a vossa opção.

[A] 180º

[B] 360º

[C] 108º

2.

2.1. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado? E de um

hexágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados?

2.2. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo? E de um

pentágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos externos de um

polígono convexo de n lados?

Ficha de trabalho IX– Problemas envolvendo polígonos inscritos

numa circunferência

1. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro

O e diâmetro [AD], e o trapézio isósceles [ABCD] inscrito na

circunferência.

Considere-se que 𝐵�� tem 80º de amplitude.

Qual a amplitude do ângulo 𝐵��𝐷? Justifiquem.

Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2017, Época Especial

2. Na figura ao lado está representado um octógono regular

[ABCDEFGH], inscrito numa circunferência de centro em

O.

Ao observar a figura, e sem efetuar quaisquer medições, o

João afirmou: “O quadrilátero [BDFH] é um quadrado”

Como poderá o João ter chegado a esta conclusão?


Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2005, 1ª chamada

Ficha de trabalho para casa

1. Observem a seguinte figura na qual está representada

uma circunferência de centro em A.

Considerem que o arco 𝐵�� tem de medida de amplitude

100º e que um ponto E que se movimenta ao longo desse

arco.

A Joana diz que, qualquer que seja a posição do ponto

E, o ângulo 𝐵��𝐶 terá sempre 130º de amplitude.

O João diz que, qualquer que seja a posição do ponto

E, o ângulo 𝐵��𝐶 terá sempre 50º de amplitude.

Qual dos dois amigos terá razão? Expliquem o vosso raciocínio.

2. Comentem a seguinte afirmação:

Existe um ângulo inscrito com uma amplitude de 190º numa circunferência.

Anexo 2 – Planos de aula Plano de aula de dia 16 de fevereiro de 2018

Hora: 14:30 às 16:20 Sala 16, Pavilhão 04

Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre os ângulos ao centro e ângulos inscritos numa circunferência

• Discussão coletiva da ficha de trabalho

Tópicos

• Arcos e cordas numa circunferência

• Ângulos ao centro

• Ângulos inscritos numa circunferência

Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades do ângulo ao centro

e do ângulo inscrito numa circunferência

• Desenvolver a capacidade de argumentação,

recorrendo à justificação de respostas e

explicação de procedimentos

Específicos

• Relembrar elementos inerentes a uma

circunferência: diâmetro, raio, arcos, cordas,

ângulos ao centro.

• Definir ângulo inscrito e arco capaz

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao

centro com a medida de amplitude do arco

compreendido entre os seus lados

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao

centro com a amplitude do ângulo inscrito

correspondente

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo

inscrito com a amplitude do arco compreendido

entre os seus lados

Capacidades transversais

• Comunicação Matemática • Raciocínio dedutivo

Recursos

• Quadro branco e marcador

• Ficha de trabalho

• Computador e projetor

• Ficheiro Geogebra

Conhecimentos prévios

• Definição de circunferência

• Definição de arcos e cordas numa circunferência e de setor circular

• Ângulo ao centro numa circunferência

• Polígonos regulares inscritos numa circunferência

• Amplitude dos ângulos internos de polígonos regulares

• Classificação de triângulos quanto aos lados

• Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e seus ângulos externos

• Definição de ângulos suplementares

Metodologia de trabalho

• Trabalho autónomo realizado a pares

• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma

Avaliação

• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo,

e a sua participação no momento da discussão coletiva

Estrutura da aula:

(1) Entrada inicial dos alunos (5 minutos)

(2) Apresentação da ficha de trabalho com a resolução da questão 1 da ficha de trabalho (10 minutos)

(3) Resolução autónoma do problema 2 (10 minutos)

(4) Sistematização das ideias inerentes ao problema 2 (15 minutos)


(6) Sistematização de ideias inerentes ao problema 3 (10 minutos)

2


(8) Sistematização de ideias inerentes ao problema 4 e discussão coletiva (20 minutos)

Observações

(1) Existe um intervalo de 10 minutos entre os momentos V e VI.

(2)Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão

do problema 4 termine mais cedo do que o previsto, serão propostos os exercícios

de consolidação: página 82, exercício 3, e página 86, exercício 3, do manual.

Desenvolvimento da aula:

(1) Este momento é entrada inicial dos alunos

(2) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que a professora explica o

que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos encontrem propriedades sobre os ângulos ao

centro e inscritos numa circunferência.

Neste momento inicial, uma vez que os alunos conhecem, de anos anteriores, a definição de arcos, cordas, setor

circular e ângulo ao centro, será pedido que, em grupo-turma, se responda à questão 1 da ficha de trabalho.

A figura referente à questão 1 será projetada no quadro.

Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 10 minutos para resolver autonomamente o problema

seguinte.

Possíveis respostas à questão 1:

a. [AD]

b. [OE], [OA] ou [OD]

c. [BC], [AD] ou [DF].

d. DE, EA ou DA

e. 𝐸��𝐷 (arco correspondente 𝐸��) ou 𝐸��𝐴 (arco correspondente 𝐸��)

É possível que os alunos não se recordem das definições de corda, arco, setor circular e ângulo ao

centro pelo que a professora deverá questionar os alunos sobre essas definições e, caso estes não se

recordem, relembrá-las.

É importante, também, relembrar os alunos da definição de circunferência e da sua diferença quanto ao

círculo.

Caso existam respostas incorretas a alguma destas alíneas, a professora deverá

questionar a turma:

▪ Alguém discorda do que foi dito? Porquê? O que responderiam?

Para responder à alínea e) é necessário que os alunos conheçam a definição de ângulo inscrito. Neste

momento, a professora deverá definir ângulo inscrito e arco capaz e, em grupo-turma, responder à alínea

f) e à questão 1.2.

f. 𝐷��𝐸 , cujo arco correspondente é o arco 𝐷��.

𝐴��𝐹, cujo arco correspondente é o arco 𝐴��.

1.2. Será solicitado a um aluno que trace, no quadro, a corda pedida e identifique o

arco correspondente (arco 𝐴��).

(3) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

Durante a realização do segundo problema, a professora circulará pela sala a fim de:

• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da

tarefa

• Observar as diferentes resoluções dos alunos

Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1:

Quadrado [ABCD]

• A medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é de 90º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶 é de 90º

Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais ( 360

4= 90º), logo todos os ângulos ao centro

têm a mesma medida de amplitude.

Ou porque [AC] e [BD] definem dois diâmetros perpendiculares, da circunferência, pelo que a medida de

amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 90º. Pelo mesmo motivo, a medida de amplitude de 𝐷��𝐶 é de 90º.

Os alunos podem ainda descobrir a medida de amplitude de 𝐴��𝐵 (ou 𝐷��𝐶),

recorrendo às estratégias descritas, e concluir que os ângulos têm a mesma medida de amplitude porque são

verticalmente opostos, pelo que 𝐷��𝐶 tem medida de amplitude 90º (𝐴��𝐵 tem amplitude 90º)

Hexágono [ABCDEF]

• A medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é de 60º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶 é de 60º

3

Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais ( 360

6= 60º), logo todos os ângulos ao centro

têm a mesma medida de amplitude.

Ou porque o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros. Os ângulos ao centro são ângulos internos

desses triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º e, num triângulo equilátero, os

ângulos têm todos a mesma medida de amplitude, resulta que os ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐷��𝐶 têm 60º de medida de

amplitude.


Quadrado [ABCD]

• O arco 𝐴�� tem 90º de medida de amplitude

• O arco 𝐷�� tem 90º de medida de amplitude

Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais, pelo que cada arco terá 90º de medida de

amplitude.

Hexágono [ABCDEF]



Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais, pelo que cada arco terá 60º de medida de

amplitude. Possíveis estratégias de resolução da questão 2.3:

Das alíneas anteriores, os alunos podem observar que a amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de

amplitude do seu arco correspondente.

Assim, a resposta a esta questão é inerente a essa observação, pelo que os alunos deverão responder:

A medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de amplitude do seu arco correspondente

Ou

A medida de amplitude do arco é igual à medida de amplitude do ângulo ao centro que lhe corresponde.

Possíveis dificuldades Questões orientadoras

2.1.

Quadrado [ABCD]

Os alunos não conseguem determinar a medida de

amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque

a. Não os sabem identificar na figura.

b. Não reconhecem que o quadrado divide a

circunferência em quatro partes iguais.

ou

a. Não reconhecem [AC] e [BD] como

diâmetros perpendiculares, da circunferência,

nem estabelecem a sua relação com a medida

de amplitude dos ângulos pedidos.

b. Não reconhecem que os ângulos pedidos são

verticalmente opostos, pelo que basta

determinar a medida de amplitude de um

deles.

Hexágono [ABCDEF]


amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque

• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.

• Recordem a definição de ângulo ao centro.

• Que relação encontram entre a medida de

amplitude do ângulo ao centro 𝐴��𝐵 e

do setor circular que o contém? Porquê?

• Identifiquem os restantes ângulos ao centro

existentes neste quadrado. Que relação

estabelecem entre as suas medidas de

amplitudes? Porquê?

• Tracem, na vossa figura, os segmentos [AC] e

[BD]. Qual a posição relativa desses dois

segmentos? O que podem concluir sobre a

medida de amplitude do ângulo 𝐷��𝐶? Porquê?

• Que relação podem estabelecer entre as medidas

de amplitudes destes dois ângulos, A��𝐵 𝑒 𝐷��𝐶

? Serão iguais? Serão diferentes? Porquê?

4

a. Não os sabem identificar na figura.

b. Não reconhecem que o hexágono divide a

circunferência em seis partes iguais.

ou

a. Não reconhecem que o hexágono poderá ser

decomposto em seis triângulos equiláteros,

uma vez que é regular.

b. Reconhecem essa decomposição, mas não

sabem como proceder de seguida.

2.2.

Quadrado [ABCD] e Hexágono [ABCDEF]

Os alunos não conseguem determinar a amplitude dos

arcos pedidos porque

a. Não os identificam como os arcos

correspondentes aos ângulos ao centro 𝐴��𝐵 e

𝐷��𝐶.

b. Não estabelecem uma relação entre os arcos

pedidos e os setores circulares que os contêm

2.3.

Os alunos não estabelecem uma relação entre esta

questão e as anteriores, não conseguindo deduzir o

pretendido.

• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.

• Recordem a definição de ângulo ao centro.


amplitude do ângulo ao centro 𝐴��𝐵 e

do setor circular que o contém?

Porquê?


existentes neste hexágono. Que relação

estabelecem entre as suas medidas das

amplitudes? Porquê?

• Este hexágono pode ser decomposto em que

polígonos? Em quantos desses polígonos pode

ser decomposto?

• O que têm esses polígonos em comum? Porquê?

• Que relação conseguem estabelecer entre esses

polígonos e os ângulos ao centro pedidos?

Porquê?

• Qual a relação que existe entre os ângulos

internos de um triângulo equilátero?

• A que arco corresponde o ângulo ao centro

𝐴��𝐵? E o ângulo 𝐷��𝐶?


amplitude do arco 𝐴�� e a medida de amplitude

do setor circular que o contém?

Porquê?

• O que podem dizer sobre as medidas das

amplitudes destes arcos? Porquê?

• Observem as vossas respostas às

alíneas anteriores. Qual a medida de amplitude

do ângulo ao centro A��𝐵? E do seu arco

correspondente? O que podem intuir?

(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz

respeito ao problema 2. Este problema tem como principal objetivo o de conduzir os alunos à relação que

existe entre o ângulo ao centro e o arco que lhe corresponde. Neste momento, a professora registará as

respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias

entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora da discussão.

Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes ao problema.

As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas,

sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.

Discussão

Para a pergunta 2.1., a professora questionará:

• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? E do ângulo 𝐷��𝐶? Expliquem o vosso

procedimento?

• Alguém discorda desta resposta? Como procederam?

Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o

seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de

questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam

5

na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas,

querem alterar a vossa resposta?

Em relação à pergunta 2.2., a atividade será semelhante à anterior, sendo que a professora primeiro questionará os

alunos sobre que resultados obtidos e, em seguida, pedirá que estes expliquem o seu raciocínio.

Caso existam resoluções diferentes das apresentadas, ou algum aluno discorde do que foi exposto, a atividade

será semelhante à já descrita.

Uma vez que as estratégias de resolução, para estas duas alíneas, podem ser distintas, é interessante deixar que os

alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Ainda,

se nenhum aluno tiver mencionado alguma das estratégias descritas, a professora deverá orientar os alunos para

que isso aconteça, recorrendo ao questionamento oral, através das questões orientadoras já descritas.

Para a pergunta 2.3., a professora questionará:

• Que relação encontraram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida da amplitude do

arco que lhe corresponde? Porquê?

Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem, no retângulo existente na ficha de trabalho, a

conclusão que retiram sobre a relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de

amplitude do seu respetivo arco, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela professora.

(5) Este momento será novamente um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

A atividade da professora será semelhante à atividade descrita no momento III.


O João não tem razão porque

• A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 120º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 60º

Logo, as amplitudes dos ângulos, apesar de terem o mesmo arco correspondente, é diferente.

Porque:

• O triângulo [ABC] divide a circunferência em três partes iguais, pelo que os ângulos ao centro têm

todos 120º de medida de amplitude. Portanto, 𝐵��𝐶 tem 120º de medida de amplitude, porque é um

ângulo ao centro.

• O ângulo 𝐵��𝐶 é um ângulo inscrito do triângulo [ABC]. O triângulo [ABC] é um triângulo

equilátero, pelo que os seus ângulos internos têm todos 60º de medida de amplitude. Logo, 𝐵��𝐶

tem 60º de medida de amplitude.

Ou porque:

Podemos dividir o triângulo [ABC] em outros três triângulos, [COB], [COA] e [AOB] como apresentado em

seguida:

A amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é de 120º (pelo já descrito).

O triângulo [BOC] é isósceles, porque [OC] e [OB] são raios da circunferência.

Como [BOC] é isósceles, os ângulos 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂 têm a mesma medida de amplitude.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º resulta que 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂 têm 30º de medida de

amplitude.

Uma vez que [CO] é a bissetriz do ângulo 𝐵��𝐴 (porque o triângulo é equilátero e está inscrito nesta

circunferência) resulta que 𝐵��𝐴 tem 60º de medida de amplitude (a medida de amplitude de 𝐵��𝐴 é o dobro da

medida de amplitude 𝐵��𝑂).

Como o triângulo [ABC] é equilátero, a medida de amplitude de 𝐵��𝑂 é a mesma que a medida de amplitude de

𝐵��𝐶. Logo, 𝐵��𝐶 tem 60º de medida de amplitude.


Da observação da alínea anterior, os alunos poderão concluir que a medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶 é o

dobro da medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐶.

6


3.1.

• Os alunos podem considerar que o João tem

razão, porque não mobilizam conhecimentos

anteriores, sobre as medidas das amplitudes dos

ângulos de um polígono, para responder à

questão, baseando-se apenas na sua intuição de

que se o arco correspondente é o mesmo, então os

ângulos têm a mesma medida de amplitude.

• Os alunos podem concluir que o João não tem

razão, porque os ângulos são geometricamente

diferentes.

• Os alunos podem concluir que o João não tem

razão, mas revelarem dificuldades ao nível da

justificação porque:

a. Não reconhecem que o triângulo [ABC]

divide a circunferência em três partes iguais,

pelo que o ângulo ao centro 𝐵��𝐶 tem 120º de

medida de amplitude.

b. Não reconhecem 𝐵��𝐶 como um ângulo

interno do triângulo [ABC] ou, quando o

fazem, não reconhecem que sendo um

triângulo equilátero os seus ângulos internos

têm 60º de medida de amplitude.

ou

a. Não reconhecem que o triângulo poderá

ser decomposto em três triângulos

isósceles, como o indicado na fig.1.

b. Identificam essa decomposição, mas não

sabem como proceder, em seguida.

3.2.

Os alunos não estabelecem uma relação entre esta

questão e a alínea anterior, não conseguindo deduzir o

pretendido.

• O arco correspondente ser o mesmo implica que os

ângulos tenham a mesma medida de amplitude?

Porquê?

• Observem novamente o quadrado do problema 2. As

medidas das amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e do arco

𝐴�� eram de 90º. O ângulo inscrito 𝐵��𝐴 tem 90º de

medida de amplitude? O que podem concluir?

• Os ângulos serem diferentes implica que o João não

tem razão, porquê?

• Que relação encontram entre a medida de amplitude

do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 e do setor circular que o

contém? Porquê?


existentes neste triângulo. Que relação estabelecem

entre as suas medidas de amplitude? Porquê?

• Que relação estabelecem entre o ângulo 𝐵��𝐶 e o

triângulo [ABC]?

• Sendo este triângulo equilátero, o que podem dizer

sobre a medida de amplitude dos seus ângulos

internos?

• Este triângulo pode ser descomposto em outros

polígonos? Quais? E quantos são? Identifiquem-

nos na figura.

• Como classificam os triângulos quanto aos seus

lados? Porquê?

• O que podem dizer acerca da medida de amplitude

dos ângulos de um triângulo isósceles?

• Que relação existe entre as medidas das

amplitudes dos ângulos 𝐵��𝑂 e 𝐶��𝑂? São iguais?

São diferentes? Quanto é a sua amplitude?

Porquê?

• O que podem concluir sobre a medida de

amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 em relação à medida de

amplitude do ângulo 𝐵��𝑂? Porquê?

• Relacionem as medidas de amplitude dos ângulos

de 𝐵��𝑂 e 𝐵��𝐶. Concluam.

• Observem as vossas respostas à alínea anterior.

Como justificaram que o João não tem razão?

• Observem novamente o quadrado do problema 2.

As amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e do arco 𝐴�� eram

de 90º. O ângulo inscrito 𝐵��𝐴 tem 90º de medida

de amplitude? O que podem concluir?


respeito ao problema 3.

7

Este problema tem como principal objetivo o de levar os alunos a intuir sobre a

relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do

respetivo ângulo inscrito.

Será importante referir, no final da discussão, que o exemplo visto não fornece

nenhuma justificação quanto à veracidade da relação encontrada e que través de

exemplos, não se poderá generalizar. A generalização será feita, posteriormente,

recorrendo ao problema 4.

Uma vez mais, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, assinalando,

posteriormente às discussões, as corretas e colocando um traço sobre as incorretas.

A figura referente a este problema será projetada no quadro.

Discussão

Em relação à questão 3.1., podem surgir respostas distintas, isto é, um aluno pode responder que o João tem razão

e outro aluno pode responder que o João não tem razão.

A professora deverá perguntar: “porque dizes que o João tem razão? Se tivesses de convencer o teu colega, que

lhe dirias?”, “porque dizes que o João não tem razão?”.

Se os alunos mostrarem dificuldades em justificar, a professora poderá orientá-los no sentido de observarem

atentamente o problema 2: “observem novamente o quadrado do problema 2. Qual a medida das amplitudes do

ângulo 𝐴��𝐵 e do arco 𝐴��? Qual a medida da amplitude do ângulo inscrito 𝐵��𝐴? O que podem concluir?”

Em relação à questão 3.2., a professora questionará a turma:

• Que relação encontraram? Como chegaram a essa relação?

• Alguém tem uma resposta diferente? Expliquem aos vossos colegas.

Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem no retângulo existente na ficha de trabalho, a

conclusão retirada sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo ao centro e a medida da

amplitude do respetivo ângulo inscrito, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela

professora.

Extra

Uma vez que as estratégias de resolução, para estas alínea, podem ser distintas, é interessante deixar que os

alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Se nenhum aluno tiver mencionado alguma das

estratégias descritas, a professora deverá orientá-los para que isso aconteça, recorrendo ao questionamento

oral, através das questões orientadoras já descritas.

A professora questionará ainda: “os ângulos ao centro têm todos a mesma medida da amplitude? Porquê? E os

inscritos?”, “Será que esta relação também acontece para pentágonos? E para outros polígonos inscritos? Será

sempre

verdade? Porquê?”

(7) Este será um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

A atividade da professora será semelhante à atividade já descrita no momento III.


O triângulo [OVB] é um triângulo isósceles porque 𝑂𝑉 = 𝑂𝐵 (por ambos serem raios da circunferência de centro

O).


A medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 é metade da medida de amplitude do arco capaz

Porque

Do problema 3, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do

ângulo ao centro e do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida

de amplitude do seu arco correspondente. Portanto, a medida de amplitude do ângulo 𝐵��𝐴 é metade da medida

da amplitude do seu arco capaz.

Possíveis estratégias de resolução da questão 4.3. – alíneas a) e b):

Do problema 3 decorre que o ângulo ao centro 𝐴��𝐵 tem o dobro da medida da amplitude do ângulo 𝐵��𝐴.

O ângulo 𝐵��𝐴 tem 30º de medida de amplitude, logo 𝐴��𝐵 tem 60º de medida de amplitude.

Como a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do arco que lhe corresponde

(como visto no problema 2), resulta que o arco 𝐴�� tem 60º graus de medida de amplitude.

8

ou

Da alínea anterior decorre que o a amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do arco que lhe

corresponde.

O arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐵��𝐴 é o arco 𝐴��, pelo que AB tem 60º de medida de amplitude.

Do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do seu

arco correspondente, pelo que o ângulo 𝐴��𝐵 tem 60º de medida de amplitude.


4.1.

Os alunos não classificam o triângulo como um

triângulo isósceles porque

a. Não se recordam das classificações dos

triângulos quanto aos lados

b. Não identificam que os lados [OV] e [OB] são

raios da circunferência

4.2.

Os alunos não encontram a relação pedida porque não

relacionam o arco capaz com a medida da medida da

amplitude do ângulo ao centro

4.3.


amplitude do arco pedido porque

a. Os alunos não articulam esta alínea com

conclusões já retiradas sobre a amplitude do

ângulo ao centro e a amplitude do seu

respetivo arco.

Os alunos não articulam esta alínea com as conclusões

já retiradas, na alínea anterior, sobre a relação existente

entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e

do arco que lhe corresponde.

• Como se classificam os triângulos quanto aos

lados?

• Os lados do triângulo [OVB] têm alguma relação

com a circunferência?

• Que relação estabelecem entre as medidas das

amplitudes do ângulo 𝐴��𝐵 e o seu arco

correspondente? Porquê?

• O que concluíram no problema 2? E no problema

3? Como vos poderá essa informação ser útil?

• Que relação existe entre a medida de amplitude do

ângulo ao centro e a medida de amplitude do seu

arco correspondente? O que podem concluir?

• O que concluíram na alínea anterior? Como vos

poderá essa informação ser útil?

• Que relação estabelecem entre as medidas das

amplitudes dos ângulos 𝐵��𝐴 e 𝐴��𝐵? Porquê? O

que podem concluir sobre a medida da amplitude

do arco 𝐴��? Porquê?

(8) Este será o momento de discussão do problema 4.

No caso deste problema, um dos lados do ângulo inscrito contém o centro da circunferência.

Como tal nem sempre se verifica, os alunos serão alertados para este facto, pelo que a

discussão se iniciará com a professora a pedir aos alunos que identifiquem, em relação ao

centro da circunferência, as diferentes posições que um ângulo inscrito poderá ter

(o centro poderá pertencer a um dos lados do ângulo, o centro poderá ser exterior ao ângulo

ou o centro poderá estar no interior ao ângulo).

É importante referir que este problema apenas contempla uma das posições possíveis do

ângulo, sendo que será estudado apenas um dos casos.

Os restantes casos serão mostrados aos alunos com recurso ao Geogebra.

Discussão

A discussão deste problema, irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Como classificaram estre triângulo quanto aos lados? Expliquem.

• Alguém tem uma resposta diferente? Porquê?

9






De seguida, em relação à questão 4.2., serão colocadas as seguintes questões:

• Que relação encontraram? Porquê?

• Alguém tem uma resposta diferente?

• Quem quer reformular o que foi dito?

Caso se verifique que não se dispõe de tempo para se corrigir o problema 3.3., este será corrigido na aula

seguinte, sendo dada a oportunidade aos alunos de o realizarem como trabalho de casa, para quem não o fez em

aula.

Caso contrário, a professora questionará, em relação à questão 3.3.:

• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 ? Porquê?

• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?

• Qual a medida de amplitude do arco 𝐴��? Porquê?


Finda esta discussão, a professora mostrará, com recurso a um ficheiro Geogebra, que a relação encontrada se

verifica para qualquer posição do ângulo inscrito.

Finalmente, os alunos deverão registar no retângulo existente na ficha de trabalho, as conclusões que retiraram da

discussão deste problema, sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida

da amplitude do seu respetivo arco capaz.

Esta conclusão também será escrita no quadro, pela professora.

Plano de aula de dia 19 de fevereiro de 2018


Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre as propriedades dos ângulos ao centro e inscrito


Tópicos

• Propriedades do ângulo ao centro

• Propriedades do ângulo inscrito

Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades dos ângulos ao centro

e do ângulo inscrito




Específicos

• Provar que a medida da amplitude do

ângulo inscrito é metade da medida da

amplitude do arco capaz

• Reconhecer que a ângulos ao centro com a

mesma medida de amplitude,

correspondem arcos e cordas

geometricamente iguais e vice-

-versa.

• Reconhecer que ângulos inscritos num

mesmo arco têm a mesma medida de

amplitude

• Identificar a medida da amplitude de um

ângulo inscrito cuja corda seja um

diâmetro da circunferência



10

Recursos






• Ângulo inscrito numa circunferência

• Definição de arcos e cordas numa circunferência

• Definição de ângulos verticalmente opostos

• Isometrias

• Classificação de triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos




Avaliação



Estrutura da aula:

(1) Entrada inicial dos alunos e revisão dos conteúdos lecionados na aula anterior (15 minutos)

(2) Resolução autónoma da ficha de trabalho (15 minutos)

(3) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos)


(1) Este momento terá início com entrada inicial dos alunos.

Uma vez que alguns alunos não puderam comparecer na segunda metade da aula anterior, devido a um

torneio de futebol que ocorreu na escola, a aula irá iniciar-se com uma revisão das conclusões retiradas

da aula anterior.

A professora irá entregar, durante este momento, as resoluções das fichas dos alunos, devidamente

corrigidas incluindo feedback. A figura referente ao problema 4 será projetada no quadro, uma vez que

será utilizada para a prova das propriedades encontradas nos problemas 3 e 4.

A professora questionará os alunos: “Que conclusões retiraram da aula anterior?”

Posteriormente, uma vez que, até ao momento, não foi provada da veracidade das duas propriedades

encontradas nos problemas 3 e 4 (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da

amplitude do ângulo ao centro / a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da

amplitude do seu arco capaz), a professora orientará os alunos para que, em conjunto, o façam,

recorrendo ao questionamento oral:

• Como pensam que podemos provar que as relações encontradas são verdadeiras?

• Como classificariam o triângulo [OVB] quanto aos lados? Porquê?

• Como poderá esta informação ser útil para o que pretendemos provar? Alguém tem uma ideia?

• Existe algum ângulo cuja medida de amplitude seja igual à do ângulo 𝐵��𝐴? Qual?

• Que relação existe entre as medidas das amplitudes dos ângulos 𝐵��𝑉 e 𝐵��𝐴? Como podemos

prosseguir agora? Alguém tem uma ideia?

• Exprimam a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos para o triângulo [OVB].

Que relações encontram com o que já puderam observar?

• Do problema 2, o que concluíram? Como podem utilizar essa informação agora?

A professora deverá aproveitar as sugestões dadas pelos alunos, desde que estas sejam coerentes com o

que se pretende.

Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para resolverem autonomamente a ficha

de trabalho proposta.


Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:


tarefa


Possíveis estratégias de resolução da questão 1:

a. As medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 são iguais porque os ângulos são verticalmente

opostos.

b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento porque

os triângulos [ABC] e [CEF] são isósceles (porque dois dos seus lados são raios da circunferência).

Pela a alínea a), os ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐸��𝐹 têm a mesma medida de amplitude, logo, pelo critério de

igualdade LAL, os triângulos [ABC] e [CEF] são iguais.

11

Como [AB] e [EF] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais,

resulta que [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento.

ou

Porque existe uma isometria que transforma os ângulos um no outro.

Essa isometria é uma rotação de centro O e medida de amplitude 180º. Logo, os

ângulos são geometricamente iguais, pelo que as suas cordas também.

Possíveis estratégias de resolução da questão 2: Os ângulos 𝛼 e 𝛽 têm a mesma medida de amplitude porque

são ângulos inscritos no mesmo arco capaz.


A resposta [C] é a única verdadeira porque:

O arco 𝐴�� tem 180º de medida de amplitude (porque o diâmetro divide a circunferência em dois arcos de igual

medida de amplitude). Como o ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo inscrito, a sua medida de amplitude é metade da medida

da amplitude do seu arco capaz. O arco capaz de 𝐴��𝐵, é o arco 𝐴��, logo 𝐴��𝐵 tem 90º de medida de amplitude,

pelo que o triângulo [AVB] é retângulo, sendo que a hipótese D é falsa.

Hipótese A – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, nem sempre é escaleno.

Quando a medida de amplitude de 𝑉��𝐵 é de 90º, o triângulo é isósceles, porque:

• [OA]=[OV], por serem dois raios da circunferência.

• Uma vez que um triângulo retângulo nunca poderá ser equilátero, [AV] não tem o mesmo comprimento

de [OA] nem de [OV].

Quando a medida de amplitude de 𝑉��𝐵 difere de 90º, o triângulo é escaleno.

Hipótese B – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, existe uma posição do ponto

V para o qual o triângulo é isósceles (quando 𝑉��𝐵 tem 90º de medida de amplitude).


1.

a. Os alunos podem não identificar os ângulos

como verticalmente opostos

b. Os alunos não conseguem utilizar a sugestão

dada porque

• Não identificam os triângulos [ABC] e

[CEF] como isósceles

• Não reconhecem que os triângulos

[ABC] e [CEF] são iguais, pelo critério

de igualdade LAL.

• Não identificam [AB] e [EF] como

lados opostos a ângulos de igual

medida de amplitude, em triângulos

iguais

ou

• Não reconhecem a existência de uma

rotação que transforma um ângulo no

outro / podem identificar a existência

de uma rotação mas não reconhecer

qual o centro e/ou a sua medida de

amplitude.

2.

• Que relação existe entre estes ângulos?

• Porque achas que os ângulos têm a mesma medida

amplitude? Que propriedade dos ângulos podes usar

para confirmar?

• Classifiquem os triângulos [ABC] e [CEF] quanto

aos lados. Justifiquem.

• Que relação podem estabelecer entre os dois

triângulos? Serão diferentes? Serão iguais? Porquê?

• Quando dois triângulos são geometricamente

iguais, o que podemos dizer sobre os lados opostos

aos ângulos que têm a mesma medida de amplitude?

• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de

forma a sobrepô-los o que teremos de fazer?

• De que forma podemos sobrepor um ângulo no

outro?

• Existe alguma isometria que transforme o ângulo

𝐴��𝐵 no ângulo 𝐸��𝐹? Qual?

• Qual o arco capaz do ângulo 𝛼? E o arco capaz do

ângulo 𝛽? Que conclusão podem retirar?

12

Os alunos não reconhecem que os ângulos têm a

mesma medida de amplitude porque não identificam os

ângulos como ângulos inscritos num mesmo arco.

3.

Hipótese [A]

Os alunos podem selecionar esta hipótese pois não

reconhecem a existência de um caso que torna o

triângulo [AVB] num triângulo isósceles, pelo que

[AVB] nem sempre será escaleno.

Hipótese [B]

Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não

identificam que o triângulo é isósceles quando [OA] e

[OV] formam um ângulo de 90º graus.

Hipótese [D]

Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não

identificam que o triângulo é retângulo.

• Não identificam que 𝐴��𝐵 é um ângulo

inscrito num arco com medida de amplitude

180º

• Não se recordam que a medida da amplitude

do ângulo inscrito é metade da medida da

amplitude do seu respetivo arco capaz

• Qualquer que seja a posição do ponto V, o

triângulo é sempre escaleno porquê?

• Desenhem algumas posições possíveis para o

ponto V e averiguem se o triângulo é escaleno para

qualquer posição.

• Como classificam o triângulo [AVB] quando a

posição do ponto P é tal que os segmentos [OA] e

[OV] formam um ângulo de 90º? Porquê?

Esbocem a figura.

• Porque motivo consideram que este triângulo

nunca é isósceles?

• Desenhem algumas possíveis posições para o

ponto V. Existe alguma posição do ponto V para a

qual o triângulo seja isósceles? Qual? Porquê?

• Que relação existe entre o ângulo 𝐴��𝐵 e o arco

𝐴��? Como se relacionam as suas medidas de

amplitude?

• Já vimos que o diâmetro da circunferência é um

eixo de simetria. O que podem concluir sobre a

medida de amplitude do arco 𝐴��?

• Que relação existe entre a medida da amplitude do

ângulo inscrito e a medida da amplitude do seu

respetivo arco capaz? Como poderá isso ser útil

para classificarem o triângulo quanto aos ângulos?

O que concluem sobre a medida da amplitude do

ângulo 𝐴��𝐵?


respeito à ficha de trabalho.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a

poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora

da discussão.

Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes aos problemas propostos.

As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo

que será colocado um traço sobre as respostas incorretas

Discussão

Em relação à questão 1., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Porque motivo os ângulos têm a mesma medida de amplitude?

• Porque têm as cordas o mesmo comprimento?


13

Sempre que um aluno sugerir outra resposta, ou mostrar que discorda do exposto até então, a professora orientará

a discussão entre os alunos, com questões como: “porque dizes isso?”, “depois do que os teus colegas disseram,

queres alterar a tua resposta?”

Se, por qualquer motivo, as respostas apresentadas forem incorretas, a professora deverá questionar a turma,

através das questões orientadoras já descritas, de forma a orientá-los para a resposta correta.

Se as respostas apresentadas forem incompletas, a professora solicitará a ajuda de outros colegas, através do

questionamento, com perguntas como “quem quer reformular?”, “quem quer acrescentar algo?”, “a resposta está

completa?” ou, ainda, utilizar as questões orientadoras anteriormente descritas.

Extra

Uma vez que existem duas formas de justificar a alínea b), e uma delas envolve a mobilização de conhecimentos de

anos anteriores no que diz respeito às isometrias, será interessante explorar essa resolução com os alunos, caso estes

não o tenham feito sozinhos.

Para o efeito, a professora questionará:

• Haverá outra forma de justificar que as cordas têm o mesmo comprimento?

• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de forma a sobrepô-los o que teremos de fazer? / Pensemos

em isometrias. De que forma podemos sobrepor um ângulo no outro? / Existe alguma isometria que

transforme o ângulo 𝐴��𝐵 no ângulo 𝐸��𝐹? Qual?

As cordas são geometricamente iguais porque os ângulos ao centro têm a mesma medida amplitude. Esta relação

é também válida para os respetivos arcos.

Quando as cordas e os arcos são geometricamente iguais, pode-se concluir, igualmente, que os respetivos ângulos

ao centro têm a mesma medida de amplitude.

É importante explorar também isto com os alunos, pelo que a professora questionará:

• O que podem concluir sobre a medida de amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐸��? Porque será que isso se verifica?

• E se as medidas de amplitude dos ângulos forem as mesmas, será que se verificam as relações que vimos?

Porquê? Alguém consegue explicar? (caso nenhum aluno o consiga fazer, a professora deverá recorrer às

questões orientadoras descritas anteriormente).

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam no respetivo retângulo existente na

ficha de trabalho, a conclusão que foi retirada da discussão deste problema, e que estará escrita, também, no

quadro: “A ângulos ao centro geometricamente iguais, correspondem arcos e cordas geometricamente iguais, e

vice-versa”.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


• Que relação encontraram entre as medidas das amplitudes destes dois ângulos? Porquê?


A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, será

semelhante à descrita anteriormente.

Uma vez que, na aula anterior, não foi clarificada a hipótese de para um mesmo arco existir uma infinidade de

ângulos inscritos, a professora questionará:

• Quantos ângulos inscritos têm como arco correspondente o arco 𝐴��?

• Quantos ângulos inscritos correspondem a um ângulo ao centro? Porquê?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


• O que responderam a esta questão? Justifiquem.

• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?

Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos

serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.

A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é


Extra

• O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?

14

• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das

discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão

escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de

amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida de amplitude”.



Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre propriedades geométricas numa circunferência


Tópicos

• Arcos e cordas determinados por duas retas paralelas • Reta que contém o centro da circunferência e é perpendicular a uma corda

Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades geométricas da

circunferência que envolvem arcos e cordas

compreendidos entre duas retas paralelas

• Estudar as propriedades geométricas da

circunferência que envolvem a mediatriz de

uma corda e que passa pelo centro da

circunferência




Específicos

• Identificar a medida da amplitude de um ângulo

inscrito cuja corda é um diâmetro da

circunferência

• Reconhecer que qualquer reta que contenha o

centro da circunferência e é perpendicular a uma

corda, a bisseta, assim como aos arcos subtensos

e aos ângulos ao centro correspondentes.



Recursos





• Definição de circunferência


• Noção de paralelismo e perpendicularidade

• Definição de mediatriz de um segmento

• Isometrias (reflexão axial)

• Critério de igualdade LAL





Avaliação



Estrutura da aula:


(2) Sistematização e discussão do último problema da ficha de trabalho da aula anterior (10 minutos)


(4) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos)

Observação

Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo do que o previsto, serão propostos

os problemas:

página 83 ex.6 e ex.10, do manual.


15

(1) Este será o momento de entrada inicial dos alunos.

(2) Este momento terá inicio com uma breve sistematização das conclusões retiradas da aula anterior, sendo

que essas conclusões deverão ser escritas no quadro, pela professora.

O último problema da aula anterior não foi discutido em grupo-turma, pelo que será discutido neste

momento. A figura referente a este problema será projetada no quadro.

Discussão

A discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:


• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?

Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos

serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.

A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é


Extra • O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?

• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das

discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão

escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de

amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida amplitude”.

Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para, autonomamente, resolverem a ficha de

trabalho proposta para esta aula.


Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:


tarefa



a. Os alunos respondem que a reta r é perpendicular à corda [AB] porque a corda [AB] é paralela à corda

[EF] e r é perpendicular a [EF].

b. r é a reta mediatriz de [FE] porque, como enunciado, r contém o ponto médio de [EF] e é perpendicular

a esta.

r é a reta mediatriz de [AB] porque

• Como visto na alínea anterior, r é perpendicular a [AB]

• Como r contém o ponto médio de [EF] e [EF] // [AB], então r contém o ponto médio de [AB].

Logo, r é reta mediatriz de [AB].


𝐴𝐶 =𝐵𝐶 ou os comprimentos são iguais.

Porque

Uma vez que r é a mediatriz de [AB], r contém o ponto médio de [AB], portanto r divide [AB] em dois

segmentos de igual comprimento / divide [AB] em duas “partes “iguais.

Portanto, os comprimentos de [AC] e [BC] são iguais.

ou

A reta r é um eixo de simetria da circunferência (porque qualquer reta que contenha o centro da circunferência é

um eixo de simetria da mesma). Portanto, [AC] tem o mesmo comprimento de [BC].

ou

Existe uma isometria que transforma o ponto A no ponto B.

Essa isometria é uma reflexão axial de eixo r.

As isometrias preservam as distâncias, pelo que as cordas [AC] e [BC] têm o mesmo comprimento.


Os ângulos 𝐴��𝐷 e 𝐵��𝐷 têm a mesma medida de amplitude porque são a imagem um do outro, pela reflexão

axial de eixo r/ porque r é um eixo de simetria da circunferência.

ou

O ponto B é a imagem do ponto A, através da reflexão de eixo r.

Por pertencerem ao eixo de reflexão, os pontos O e D são aplicados neles próprios.

Portanto, a medida de amplitude dos ângulos é a mesma.

ou

16

As cordas [AD] e [DB] são geometricamente iguais, pois r é um eixo de simetria.

A cordas geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro de igual medida de amplitude, portanto 𝐴OD e

BOD têm a mesma medida de amplitude.


As cordas [AF] e [BE] têm igual comprimento.

Os arcos 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de amplitude.

Porque

podemos dividir a figura como a seguir se apresenta

𝑂𝐴 =𝑂𝐵 porque são ambos raios da circunferência.

𝑂𝐹 =𝑂𝐸 porque são ambos raios da circunferência.

Portanto, os triângulos [AOF] e [BOE] são isósceles.

𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida de amplitude (porque r é eixo de simetria).

Pelo critério de igualdade LAL, os triângulos [AOF] e [BOE] são iguais.

Como [AF] e [BE] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais, resulta que

[AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.

Como as cordas [AF] e [BE] são geometricamente iguais, resulta que os arcos 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de

amplitude (visto na aula anterior).

ou

Os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida de amplitude, porque r é um eixo de simetria.

A medida da amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐵�� são iguais às medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸,

respetivamente.

Portanto, 𝐴�� e 𝐵�� têm a mesma medida de amplitude.

A arcos geometricamente iguais correspondem cordas geometricamente iguais (visto na aula anterior), pelo que

[AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.

ou

Existe uma isometria que transforma a corda [AF] na corda [BE]. Essa isometria é uma rotação axial de eixo r,

pelo que as cordas são geometricamente iguais.

Pelo mesmo motivo, conclui-se que os arcos 𝐴�� e 𝐵𝐸 são geometricamente iguais.


1.1.

a. Os alunos não reconhecem que a reta r é

perpendicular à corda [AB] porque não se

recordam que se duas retas paralelas forem

intersetadas por uma secante, então os

ângulos correspondentes são iguais.

• Quando duas retas são paralelas e são

intersetadas por uma reta, o que acontece aos

ângulos correspondentes?

Para clarificar, a professora poderá

desenhar:

Os ângulos aqui desenhados, têm a mesma medida de

amplitude ou medidas de amplitudes diferentes?

Se a reta for perpendicular a uma das retas, será

perpendicular à outra?

17

b. Os alunos não sabem/não se recordam da

definição de mediatriz:

• Não reconhecem que a mediatriz de um

segmento é uma reta que contém o ponto

médio desse segmento e é perpendicular ao

mesmo.

• Os alunos podem, ainda assim, reconhecer a

definição de mediatriz, mas não saber

relacionar isso com o problema porque

• Não identificam que os segmentos

[OA] e [OB] têm igual

comprimentos por se tratarem de

raios da circunferência.

ou

• Não identificam que r contém o

ponto médio de [AB].

1.2.

Os alunos não conseguem relacionar as duas medidas

porque

• Não identificam que r contém o ponto médio

de [AB] pelo que divide este segmento em

dois segmentos de igual comprimento.

ou

• Não identificam r como sendo um eixo de

simetria da circunferência.

ou

• Não identificam a existência de uma isometria

que transforma o ponto A no ponto B /

identificam a existência de uma isometria,

mas não sabem identificar qual.

1.3.

Os alunos não conseguem encontrar uma

justificação para o pretendido porque

• Não reconhecem a existência de uma

isometria que transforma os ângulos um no

outro

• Reconhecem a existência de uma isometria,

mas não identificam qual

ou

• Não identificam as cordas [AD] e [DB] como

geometricamente iguais

• Não relacionam os ângulos 𝐴OD e BOD com

as suas respetivas cordas

1.4.

• Qual a definição de mediatriz?

• Como podem utilizar essa definição no problema

proposto?

• O que significa a palavra mediatriz?

• Na alínea a) concluíram que a reta r era

perpendicular a [AB]. O que falta para concluir

que r é a reta mediatriz deste segmento?

• Que relação encontram entre o comprimento dos

segmentos [OA] e [OB]? Expliquem.

• A reta contém algum ponto do segmento [AB]?

Que ponto é esse?

• A reta contém algum ponto do segmento [AB]?

Que ponto é esse?

• Se r contém o ponto médio de [AB], que relação

existe entre as duas distâncias? Porquê?

• A reta r poderá ser um eixo de simetria da

circunferência? Porquê? Para ser um eixo de

simetria, que condição tem de satisfazer? O que

significa isso, no contexto deste problema?

• Como podemos transformar o ponto A, no ponto

B?

• Existe alguma isometria que transforme A em B?

Qual?

• Recordem as simetrias. Existe algum eixo de

simetria que possam identificar na figura? Qual?

Porquê?

• Existe alguma forma de transformar um ângulo no

outro? Como se faz?

• Que relação existe entre os comprimentos das

cordas [AD] e [DB]? Porquê? Como poderá essa

informação ser útil?

• O ângulo 𝐴OD tem que corda correspondente?

Identifiquem-na na imagem.

• Como se relacionam as medidas das amplitudes

dos ângulos 𝐴OD e BOD e as medidas das

amplitudes das cordas [AD] e [DB]? Porquê?

18

• Os alunos não identificam as relações

pretendidas.

• Os alunos identificam as relações pretendidas,

mas revelam dificuldades ao nível da

justificação porque

• Não identificam que os raios [OA],

[OB], [OE] e [OF] determinam dois

triângulos iguais / identificam que

tal acontece, mas não sabem como

avançar

• Não relacionam cordas

geometricamente iguais com os

seus respetivos arcos.

ou

• Não reconhecem que os ângulos

𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 têm a mesma medida

de amplitude.

• Não relacionam a medida da

amplitude dos arcos 𝐴�� e 𝐵�� com

as medidas das amplitudes dos

ângulos ao centro 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸.

ou

• Não reconhecem a existência de

uma isometria que transforma a

corda [AF] na corda [BE] /

reconhecem a sua existência, mas

não a identificam

• As cordas [AF] e [BE] têm o mesmo comprimento

ou comprimentos diferentes? Porquê? E as

medidas das amplitudes dos arcos serão iguais ou

diferentes? Porquê?

• Tracem os segmentos [AO],[OB],[OF] e [OE].

Que polígonos obtém? Como vos pode isso ser

útil?

• Classifiquem os triângulos quanto aos seus lados.

Porquê?

• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 ?

Porquê?

• Que relação têm os triângulos [AOF] e [BOE]?

Porquê?

• O que podem concluir?

• O que concluímos na aula anterior, sobre a relação

que existe entre cordas geometricamente iguais e

os seus respetivos arcos? Como podem utilizar

essa informação para resolver este problema?


das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸? Porquê?

• Que relação encontram entre a medida da

amplitude do arco 𝐴�� e a medida da amplitude do

ângulo 𝐴��𝐹? Porquê?

• Como podemos transformar a corda [AF] na corda

[BE]? Existe alguma isometria que satisfaça o que

queremos? Qual é essa isometria? Porquê?



Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a

poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora

da discussão.

Será utilizado o projetor neste momento, para projetar a figura referente ao problema.


que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.

Discussão

Para cada alínea a turma será questionada:


• Alguém tem uma resposta diferente?

• Alguém quer reformular o que já foi dito?




19



Extra:

Uma vez que as diversas alíneas contemplam diferentes estratégias de resolução, será interessante que, através das

questões orientadoras descritas anteriormente, a professora explore, em conjunto com os alunos, as diferentes

estratégias.

A professora questionará, ainda:

• Como classificam o quadrilátero [ABEF]. Porquê?

Por fim, será pedido aos alunos que completem as frases que se encontram no interior do retângulo da ficha de

trabalho, com as conclusões que foram retiradas durante a discussão.

Essas frases serão escritas, no quadro, pela professora.



Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo de segmento


Tópicos

• Arcos e cordas definidos numa circunferência

• Ângulo de segmento: propriedade.

Objetivos da aula

Geral

• Definir e estudar o ângulo de segmento




Específicos

• Reconhecer que arcos (respetivamente cordas)

determinados por duas retas paralelas e entre

elas compreendidos, são iguais.

• Definir ângulo de segmento

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo de

segmento com a medida da amplitude do arco

compreendido entre os seus lados e provar a

relação encontrada.



Recursos





• Definição de reta tangente à circunferência

• Relação entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e do arco capaz

• Soma dos ângulos internos de um triângulo




Avaliação



Estrutura da aula:


(2) Revisão oral das propriedades estudadas nas aulas anteriores (10 minutos)

(3) Discussão das alíneas 1.3. e 1.4. da ficha de trabalho da aula proposta na aula anterior (15 minutos)

(4) Apresentação da ficha de trabalho proposta para esta aula (10 minutos)

(5) Resolução autónoma do problema proposto para esta aula (20 minutos)

(6) Discussão e sistematização de ideias referentes ao problema proposto (25 minutos)

Observações

20

(1) Existe um intervalo de 10 minutos entre o momento 4 e 5.

(2) Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão

do problema 3 termine mais cedo do que o previsto, será proposto o problema 5 da página 91, do manual.


(3) Este será um momento de discussão das alíneas 1.3. e 1.4. da ficha proposta durante a aula

anterior.

A figura referente ao problema será projetada no quadro.

Em relação às alíneas 1.3 e 1.4., a professora questionará:

• Porque têm estes ângulos a mesma medida de amplitude? (1.3)

• Que relação existe entre o comprimento das cordas [AF] e [BE]? Porquê? E que relação existe entre as

medidas das amplitudes dos arcos 𝐴�� e 𝐵��? Porquê? (1.4.)

Sempre que existirem alunos que discordem das ideias apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu

raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os mesmos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de




Uma vez que estas são alíneas que contemplam várias formas de resolução, essas deverão ser exploradas com os

alunos, de forma a que haja um leque distinto de justificações apresentadas.

Para a alínea 1.3., será importante referir que considerar r um eixo de simetria ou um eixo de reflexão axial, será

o mesmo.

Para a alínea 1.4., é importante que se apresente a resolução que recorre ao critério de igualdade LAL, para que os

alunos se recordem, pedindo contribuições:

• Tracem os segmentos [AO],[OB],[OF] e [OE]. Que polígonos obtém? Como vos pode isso ser útil?

• Classifiquem os triângulos quanto aos seus lados. Porquê?

• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐹 e 𝐵��𝐸 ? Porquê?

• Que relação têm os triângulos [AOF] e [BOE]? Porquê?


A discussão terminará com o preenchimento dos espaços em branco, que se encontram na ficha de trabalho, no

interior do retângulo. (4) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que a professora explica o

que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos encontrem propriedades acerca do ângulo de

segmento.

Uma vez que a definição deste ângulo está presente na ficha, será pedido a um aluno da turma que leia,

para a turma, o enunciado da definição e serão esclarecidas eventuais dúvidas sobre o mesmo.

Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 20 minutos para

resolverem autonomamente o primeiro problema da ficha.


Durante a realização do primeiro problema, a professora circulará pela sala a fim de:

• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução

da tarefa


Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: Nenhum dos amigos tem razão, pois:

• A reta r é tangente à circunferência, no ponto de tangência B, logo 𝐴��𝐷 tem 90º de medida de amplitude.

• Como 𝐷��𝐶 tem 40º de medida de amplitude resulta que 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude (porque

a medida da amplitude de 𝐴��𝐷 pode ser vista como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos

𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶).

O arco 𝐵�� tem 180º de medida de amplitude, por se tratar de um arco de uma semicircunferência.

O arco 𝐶�� tem 80º de medida de amplitude, porque é o arco capaz do ângulo 𝐷��𝐶. Então, o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude (porque 𝐶�� + 𝐵�� = 𝐵��).

Como o ângulo 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude e o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude,

resulta que a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶 é metade da medida da amplitude do arco 𝐵��.

ou

• Como 𝐷��𝐶 tem 40º de medida de amplitude resulta que 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude (porque

𝐴��𝐷 pode ser visto como a soma dos ângulos 𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶).

A medida da amplitude do arco 𝐵�� é igual à medida da amplitude do ângulo ao centro 𝐵��𝐶. O triângulo [BOC] é isósceles pois 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 , por se tratarem de raios da circunferência de centro O.

Daqui resulta que os ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶 têm a mesma medida de amplitude, pelo que 𝑂��𝐵 tem 40º de


21

Como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é de 180º, resulta

que o ângulo ao centro 𝐵��𝐶 tem 100º de medida de amplitude, logo a medida da amplitude do arco 𝐵��

é de 100º.

Como o ângulo 𝐴��𝐶 tem 50º de medida de amplitude e o arco 𝐵�� tem 100º de medida de amplitude,

resulta que a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶 é metade da medida da amplitude do arco 𝐵��.

Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: Pela alínea anterior, a medida da amplitude do ângulo de

segmento é igual a metade da medida da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.


1.1.

a. Os alunos não conseguem concluir qual dos

dois amigos terá razão porque

• Não reconhecem que 𝐴��𝐷 tem 90º de medida de

amplitude porque não se recordam/não sabem

que qualquer reta tangente a uma circunferência

forma um ângulo reto com o seu raio.

•

• Não relacionam a medida da amplitude do ângulo

𝐴��𝐷 com as medidas das amplitudes dos ângulos

𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶 porque não visualizam a

decomposição do ângulo 𝐴��𝐷 nesses dois

últimos.

• Não identificam o arco 𝐵�� como tendo 180º de

medida de amplitude porque não reconhecem

que se trata de uma semicircunferência.

• Não identificam o arco 𝐶�� como sendo o arco

capaz do ângulo 𝐷��𝐶.

• Não relacionam a medida da amplitude do arco

𝐵�� com as medidas de amplitude dos arcos 𝐶�� e

𝐵��.

ou

• Não relacionam a medida de amplitude do arco

𝐵�� com a medida de amplitude do ângulo ao

centro 𝐵��𝐶 porque

• Não reconhecem a existência do ângulo

• Não se recordam da relação entre a

medida de amplitude do ângulo ao

centro e a medida de amplitude do seu

arco correspondente.

• Não identificam o triângulo [BOC]

como sendo um triângulo isósceles pois

não reconhecem [OC] e [OB] como sendo raios

da circunferência de centro em O.

• Não relacionam as medidas das amplitudes dos

ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶.

• Não conseguem descobrir a medida da amplitude

do ângulo ao centro 𝐵��𝐶 porque não se recordam

• Que relação existe entre uma reta tangente a uma

circunferência e o seu raio?

• Qual a medida da amplitude do ângulo formado

entre uma reta tangente à circunferência e o seu

raio?


das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐷, 𝐷��𝐶 e 𝐴��𝐶?

• O ângulo 𝐴��𝐷 pode ser decomposto em que

ângulos?

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐵��? Porquê?

• O diâmetro [BD] é um eixo de simetria da

circunferência? Porquê? O que concluem sobre a

medida da amplitude do arco 𝐵��?

• Que relação encontram entre o ângulo 𝐷��𝐶 e o

arco 𝐶��? Como se relacionam as suas medidas de

amplitude?


de amplitude dos arcos 𝐵��, 𝐶�� e 𝐵��?

• O arco 𝐵�� pode ser decomposto em outros?

Identifiquem-nos.

• Que relação existe entre o arco 𝐵�� e o ângulo

centro 𝐵��𝐶 ? Assinalem o ângulo na figura

• Que conclusões podem retirar agora? Como se

relacionam as medidas de amplitude?

• Classifiquem o triângulo [BOC] quanto aos lados.


• Que relação existe entre os comprimentos dos

segmentos [OC] e [OB]? Porquê?

• Qual a relação entre a medida da amplitude dos

ângulos 𝑂��𝐵 e 𝐷��𝐶? Porquê?

• Que relação existe entre os ângulos de um

triângulo isósceles? Essa informação será útil,

porquê?

• Quanto é a soma das medidas das amplitudes dos

ângulos internos de um triângulo? Como poderá

essa informação ser útil agora?

22

que a soma das medidas das amplitudes dos ângulos

internos de um triângulo é de 180º.

b. Os alunos concluem que o João tem razão

porque o arco correspondente ao ângulo 𝐴��𝐶

é o arco 𝐵�� pelo que têm a mesma medida de

amplitude.

c. Os alunos concluem que a Joana tem razão

porque confundem as medidas das

amplitudes do ângulo e do arco (enganam-se

e consideram que o arco 𝐵�� tem 50º de

medida de amplitude e o ângulo 𝐴��𝐶 tem

100º, e não o contrário)

1.2.

Os alunos não formulam nenhuma conjetura porque

não relacionam esta questão, com a anterior.

• Porque consideras que o João tem razão?

• O arco 𝐵�� e o ângulo 𝐴��𝐶 têm a mesma medida

de amplitude? Porquê?

• Qual é a medida de amplitude do ângulo

𝐴��𝐷?Porquê? Qual a medida de amplitude do

arco 𝐵��?Porquê? As medidas das amplitudes são

iguais? O que podes concluir?

• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?

Como descobriste esse valor? E do arco

𝐵��? Como descobriste este valor? O que concluís?

• O que concluíram na alínea anterior? Que relação

encontraram entre a medida da amplitude do

ângulo de segmento e a medida da amplitude do

arco compreendido entre os seus lados?


respeito ao problema 1.

Este problema tem como principal objetivo o de conduzir os alunos à relação que

existe entre a medida da amplitude do ângulo de segmento e a medida da amplitude do arco compreendido

entre os seus lados.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma

a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de

mediadora da discussão.

Será utilizado o projetor a fim de projetar a figura referente a este problema.



Discussão:

A discussão deste problema irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Quem é que respondeu que o João é quem tem razão? Expliquem o porquê.

• Quem é que respondeu que a Joana é quem tem razão? Expliquem o porquê.

• Alguém respondeu que nenhum dos dois amigos tem razão? Porquê?

Os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do

questionamento oral, recorrendo-se a questões como “porque dizes isso?”, “se quisesses convencer os teus

colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”.

Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os

raciocínios dos alunos que consideram que o João tem razão, dos alunos que consideram que a Joana tem razão

e dos alunos que consideram que nenhum dos amigos tem razão, sem que seja dada a validação imediata,

podendo ser os alunos a confrontarem-se entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.

Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de

apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais simples de explicar para a turma.

Extra:

Uma vez que esta é uma pergunta que permite pelo menos duas estratégias de resolução, será importante explorar

ambas com os alunos, para que estes compreendam que podem mobilizar vários conhecimentos anteriores, sem

que isso implique que existe apenas uma maneira de resolver um mesmo problema.

Assim, a professora deverá questionar:

• Alguém descobriu os valores dos arcos e dos ângulos de outra forma?

Caso contrário, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido, recorrendo às questões orientadoras descritas

anteriormente.

A primeira estratégia de resolução apresentada serve como ligação para a prova da veracidade da conjetura

encontrada na questão 1.2, sendo que a única coisa que os alunos têm de observar é que o ângulo 𝐴��𝐷 pode ser

decomposto em dois ângulos, o ângulo 𝐴��𝐶 e o ângulo 𝐷��𝐶.

23

A professora deverá explorar a prova do caso geral com os alunos. Essa exploração deverá ser feita após a

exploração da primeira estratégia, caso algum aluno a apresente como forma de resolução.

Caso contrário, a professora deverá, através das questões orientadoras já apresentadas, explorar essa resolução e,

em seguida, introduzir a prova do caso geral, recorrendo às questões:

• O que vimos foi uma estratégia de resolução para um caso particular, em que os ângulos têm valores. Agora,

veremos que esta estratégia de resolução é semelhante à prova do caso geral. Alguém tem uma ideia de como

podemos provar a veracidade da relação que encontraram?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐷 ? Porquê?

• Este ângulo pode ser decomposto em que ângulos?

• Como podemos exprimir a sua medida de amplitude em função das medidas de amplitude desses ângulos? O

que podemos fazer agora?

• Como se relacionam estas medidas de amplitude com a medida de amplitude do ângulo de segmento 𝐴��𝐶? O

que podemos fazer agora?

• Qual a medida de amplitude do arco 𝐵�� ? Porque será importante esta informação?

• Como podemos exprimir a medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐷 em função da medida de amplitude deste

arco? Como podemos relacionar esta informação com o que já foi visto?

• Que relação encontram entre as medidas de amplitude do arco 𝐶�� e o ângulo 𝐷��𝐶? Como se relaciona esta

informação com o que já foi visto?

• O que podemos concluir?

As sugestões dos alunos serão tidas em conta, sempre que pertinentes para o que se pretende provar.

Terminada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que

retiraram da discussão, sendo que essa conclusão será escrita no quadro pela professora.

Prova:

O ângulo 𝐴��𝐷 pode ser decomposto em dois ângulos: 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶.

Logo, 𝐴��𝐶= 𝐴��𝐷- 𝐷��𝐶 (1)

Como a medida de amplitude do arco 𝐵�� é de 180º (por ser um arco de semicircunferência) e

𝐴��𝐷= 90º (porque a reta r é tangente à circunferência no ponto B), resulta que:

𝐴��𝐷=𝐵��

2.

Como o ângulo inscrito 𝐷��𝐶 tem metade da medida de amplitude do arco 𝐶𝐷, de (1) resulta que:

𝐴��𝐶= 𝐵��

2 -

𝐶��

2=

𝐵𝐶

2

, logo o ângulo de segmento tem metade da medida da amplitude do seu arco correspondente ∎



Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo excêntrico


Tópicos

• Ângulo excêntrico: propriedades.

Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades do ângulo

excêntrico




Específicos

• Definir ângulo excêntrico

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo

excêntrico com as medidas de amplitude do arco

compreendido entre os seus lados e o arco

compreendido entre o prolongamento dos seus

lados e provar a(s) relação(ões) encontradas.



Recursos




24


• Relação existente entre a medida de amplitude do ângulo inscrito e o seu arco capaz

• Soma dos ângulos internos de um triângulo

• Ângulos externos de um triângulo e a sua relação com a medida de amplitude dos ângulos internos não

adjacentes




Avaliação



Estrutura da aula:


(2) Apresentação da ficha de trabalho e resolução autónoma da ficha (20 minutos)

(3) Discussão da ficha de trabalho e sistematização de ideias (25 minutos)

Observações

Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão do problema 2 termine mais

cedo do que o previsto, será proposto o problema 5 da página 95, do manual.


(2) Este momento terá inicio com a leitura da definição de ângulo excêntrico, presente

na ficha de trabalho e esclarecimento de eventuais questões sobre a mesma. A professora pedirá a um aluno que

leia o enunciado para a turma e poderá recorrer ao desenho para explicar melhor a definição, caso seja pedido.

Esta ficha é composta por dois problemas, cujo objetivo é retirar conjeturas sobre a relação que existe entre a

medida de amplitude do ângulo excêntrico e as medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados

e o arco compreendido entre o prolongamento dos seus lados.

O problema 1 diz respeito ao ângulo excêntrico cujo vértice se encontra no interior da circunferência e o

problema 2 diz respeito ao ângulo excêntrico cujo vértice se encontra no exterior da circunferência.

Com o objetivo de dinamizar a aula, metade da turma resolverá o problema 1, enquanto que a outra

metade resolverá o problema 2.

No final, a discussão será realizada em grupo-turma, sendo que metade da turma discute sobre a relação

encontrada para o ângulo cujo vértice está no interior da circunferência, e explica para a restante turma, e

a outra metade discute sobre a relação encontrada para o ângulo cujo vértice está no exterior da

circunferência, e explica para a restante turma.

Durante o trabalho autónomo, a professora circulará pela sala a fim de:


da tarefa



• O arco 𝐴�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐴��𝐵, pelo que este arco tem 100º de medida de

amplitude (a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe

corresponde).

• O arco 𝐷�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐶��𝐷, pelo que este arco tem 60º de medida de

amplitude (a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do arco que lhe

corresponde).

• O ângulo 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude porque

a. 𝐵��𝐶 tem 100º de medida de amplitude porque 𝐴��𝐵, 𝐶��𝐷 e 𝐵��𝐶 são ângulos internos do

triângulo [BCV]

𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶 são ângulos suplementares. Logo, 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude.

ou

b. Num triângulo, a medida de amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das

amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.

Considere-se o triângulo [BCV].

O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo desse triângulo. Logo, a medida de amplitude de 𝐴��𝐵 é

igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e 𝐶��𝐷.

Como 𝐴��𝐵 tem 50º de medida de amplitude e 𝐶��𝐷 tem 30º de medida de amplitude (dado no

enunciado), resulta que 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude.

O João tem razão porque se concluiu que:

• 𝐴��𝐵 tem 80º de medida de amplitude

25



• A medida das amplitudes dos arcos é 100+60

2= 80º.

Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: A medida da amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no interior da circunferência, é igual à

média/semissoma das medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados e o arco compreendido

entre os prolongamentos dos seus lados.


• O arco 𝐵�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝑉��𝐴, pelo que este arco tem 30º de medida de

amplitude (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe

corresponde).

• O arco 𝐶�� é o arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐶��𝐷, pelo que este arco tem 100º de medida de

amplitude (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco que lhe

corresponde).

• 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude porque:

a. 𝐶��𝐷 tem 50º de medida de amplitude, 𝑉��𝐴 tem 15º de medida de amplitude (dados no enunciado). 𝐶��𝑉 tem 130º de medida de amplitude, por ser suplementar de 𝐶��𝐷.

Como 𝑉��𝐴, 𝐶��𝑉 e 𝐴��𝐵 são ângulos internos do triângulo [AVC], resulta que 𝐴��𝐵 tem 35º de


ou

b. Considere-se o triângulo [VBD].

𝐶��𝐷 tem a mesma medida de amplitude de 𝐶��𝐷 por serem ângulos inscritos num mesmo arco, logo

tem 50º de medida de amplitude.

𝐷��𝑉 é suplementar de 𝐶��𝐷, logo tem 130º de medida de amplitude.

𝐵��𝑉 tem a mesma medida de amplitude de 𝑉��𝐴, por serem ângulos inscritos num mesmo arco, logo

tem 15º de medida de amplitude

𝐷��𝑉, 𝐵��𝑉 e 𝐷��𝐵 são ângulos internos do triângulo [VBD], logo 𝐷��𝐵 tem 35º de medida de

amplitude. A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵, logo 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de

amplitude.

ou

c. Considere-se o triângulo [VBD].

O ângulo 𝐶��𝐷 é um ângulo externo deste triângulo, logo a sua medida de amplitude é igual à

soma das medidas das amplitudes dos ângulos 𝐷��𝐵 e 𝐵��𝑉.

Logo, a medida da amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à diferença das medidas das amplitudes de 𝐶��𝐷 e

𝐵��𝑉.

𝐶��𝐷 tem a mesma medida de amplitude de 𝐶��𝐷 por serem ângulos inscritos num mesmo arco,

logo tem 50º de medida de amplitude

𝐵��𝑉 tem a mesma medida de amplitude de 𝑉��𝐴, por serem ângulos inscritos num mesmo arco,

logo tem 15º de medida de amplitude.

A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é, portanto, de 35º.

A medida de amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵, logo 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude.

A Joana tem razão porque se concluiu que:

• 𝐴��𝐵 tem 35º de medida de amplitude

• O arco 𝐵�� tem 30º de medida de amplitude

• O arco 𝐶�� tem 100º de medida de amplitude

• A medida das amplitudes dos arcos é 100−30

2= 35º.

Possíveis estratégias de resolução da questão 2.2: A medida da amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no exterior da circunferência, é igual à semidiferença

das medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus lados e o arco compreendido entre os

prolongamentos dos seus lados.

26


1.1.

a. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida da amplitude do arco 𝐴�� porque

• Não identificam 𝐴��𝐵 como o ângulo

inscrito que corresponde ao arco 𝐴�� / não

relacionam estas duas medidas de

amplitude.

b. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida da amplitude do arco 𝐷�� porque

• Não identificam 𝐶��𝐷 como o ângulo

inscrito que corresponde ao arco 𝐷�� / não


amplitude

c. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida de amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 porque

• Não identificam 𝐴��𝐵, 𝐶��𝐷 e 𝐵��𝐶 como

sendo ângulos internos do triângulo

[BCV]

• Não relacionam as medidas de amplitude

dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶

ou

• Não identificam 𝐴��𝐵 como sendo um

ângulo externo do triângulo [BCV].

d. Os alunos podem considerar que como o

ângulo 𝐴��𝐵 tem como arco correspondente o

arco 𝐴��, a sua medida de amplitude será

metade da medida da amplitude deste arco,

como se 𝐴��𝐵 fosse um ângulo inscrito.

e. Os alunos podem considerar que como o

ângulo 𝐴��𝐵 tem como arco correspondente o

arco 𝐴��, a sua medida de amplitude será igual

à medida de amplitude deste arco.

f. Os alunos consideram que o João não tem

razão porque

• Podem ter calculado incorretamente as

medidas das amplitudes pedidas.

• Não relacionam corretamente os

valores encontrados.

• Que relação existe entre o ângulo 𝐴��𝐵 e o arco

𝐴��? Qual a relação entre as suas medidas de

amplitude?

• Que relação existe entre o ângulo C��𝐷 e o arco

𝐷��? Qual a relação entre as suas medidas de

amplitude?

• Identifiquem o triângulo para o qual os ângulos

𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵 são ângulos internos. O que podem

dizer sobre a medida das amplitudes dos ângulos

internos de um triângulo? Como poderá essa

informação ser útil? Porquê?

• Que relação conseguem estabelecer entre as

medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴��𝐵 e 𝐵��𝐶?

Porquê?

• O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de que

triângulo? Identifiquem-no na figura.


ângulo externo de um triângulo e as medidas das

amplitudes dos ângulos internos? Como pode esta

informação ser útil? O que podem fazer em

seguida?

• A medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 é igual à

medida da amplitude do arco 𝐴��, porquê?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵?

Porquê? O arco correspondente a este ângulo é o

mesmo arco correspondente ao ângulo 𝐴��𝐵. As

medidas das amplitudes destes ângulos serão

iguais? O que podem concluir?

• 𝐴��𝐵 tem que arco correspondente? Há outro

ângulo que também tenha este arco, como arco

correspondente? Qual? Qual a sua medida de

amplitude?

A medida da amplitude desse ângulo é igual à do

arco? Porquê? O que podem concluir?

• Porque motivo consideram que o João tem razão?

Experimentem seguir o que o João disse. Que

conclusão retiraram?

• Como encontraram os valores pedidos?

Conseguem relacionar a medida da amplitude do

ângulo com a dos arcos?

27

1.2.

Os alunos não formulam nenhuma conjetura porque

não relacionam esta questão, com a anterior.

2.1.

a. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida da amplitude do arco 𝐵�� porque

• Não identificam 𝑉��𝐴 como o ângulo

inscrito que corresponde ao arco 𝐵�� / não


amplitude

b. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida da amplitude do arco 𝐶�� porque

• Não identificam o ângulo 𝐶��𝐷 como o

ângulo inscrito correspondente ao arco

𝐶�� / não relacionam as suas medidas de

amplitude corretamente

c. Os alunos não conseguem determinar qual a

medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵 porque

• Não relacionam as medidas das

amplitudes de 𝐶��𝑉 e 𝐶��𝐷.

• Não identificam 𝑉��𝐴, 𝐶��𝑉 e 𝐴��𝐵 como

ângulos internos do triângulo [AVC]

• Não encontram uma relação entre as

medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵, 𝐶�� e

𝐵��, mesmo tendo descoberto os valores

das mesmas.

Ou

• Não identificam a existência do triângulo

[VBD].

• Não identificam o ângulo 𝐷��𝑉, nem

relacionam a sua medida de amplitude

com a do ângulo 𝐶��𝐷.

• Não relacionam a medida da amplitude de

𝐶��𝐷, com a medida da amplitude com a

do ângulo 𝐶��𝐷.

• Não identificam o ângulo 𝐵��𝑉, nem

relacionam a sua medida de amplitude

com a do ângulo 𝑉��𝐴.

• Não reconhecem que a medida da

amplitude de 𝐷��𝐵 é igual à de 𝐴��𝐵.

ou

• Como se relacionam os valores encontrados? O

que significa a “média das amplitudes”? Tentaram

substituir pelos valores dos arcos? Que conclusão

retiraram?

• O que concluíram na alínea anterior? Que relação

encontraram entre a medida da amplitude do

ângulo de segmento e a medida da amplitude do

arco compreendido entre os seus lados?

• Que relação existe entre o ângulo 𝑉��𝐴 e o arco

𝐵��? Qual a relação entre as suas medidas de

amplitude?

• Que relação existe entre o ângulo 𝐶��𝐷 e o arco

𝐶��? Qual a relação entre as suas medidas de

amplitude?


de 𝐶��𝑉 e 𝐶��𝐷? Justifiquem.

• Identifiquem o triângulo [AVC]. Quais os seus

ângulos internos? Porque será que esta

informação é útil?

• Como encontraram os valores das medidas das

amplitudes de 𝐴��𝐵, 𝐶�� e 𝐵��? Como podem

relacionar essas medidas de amplitude?

• Os ângulos 𝐷��𝑉, 𝐵��𝑉 e 𝐷��𝐵 são ângulos

internos de que triângulo? Identifiquem-no na

figura.

Como podem prosseguir agora?

• Identifiquem o ângulo 𝐷��𝑉 na figura. Como

podemos descobrir o valor da sua medida de

amplitude? Qual a relação da sua medida de

amplitude com a amplitude de 𝐶��𝐷? Porquê?


amplitudes dos ângulos 𝐶��𝐷 e 𝐶��𝐷? Porquê?

• Identifiquem o ângulo 𝐵��𝑉 na figura. Como

podemos descobrir o valor da sua medida de

amplitude? Qual a relação da sua medida de

amplitude com a medida de amplitude de 𝑉��𝐴?

Porquê?

• Com os valores encontrados como podem

descobrir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵?

Expliquem o vosso raciocínio. Que relação existe

entre as medidas das amplitudes de 𝐷��𝐵 e 𝐴��𝐵?

Porquê?

28

• Não identificam o ângulo 𝐶��𝐷 como sendo

um ângulo externo do triângulo [VBD].

• Não relacionam as medidas das amplitudes

dos ângulos 𝐶��𝐷 e 𝐶��𝐷.


dos ângulos 𝐵��𝑉 e 𝑉��𝐴.

d. Os alunos consideram que a Joana não tem

razão porque

• Podem ter calculado incorretamente as

medidas das amplitudes pedidas.

• Não relacionam corretamente os

valores encontrados

• O ângulo 𝐶��𝐷 é o ângulo externo de que

triângulo? Identifiquem-no na figura.

• Que relação existe entre medida da amplitude do

ângulo externo de um triângulo e os seus ângulos

internos? Identifiquem, na figura, os ângulos

internos do triângulo considerado.

• Qual a medida da amplitude de 𝐶��𝐷? Como

podemos calcular este valor? Há alguma relação

entre a medida da amplitude deste ângulo e a

medida da amplitude do ângulo 𝐶��𝐷? Porquê?

• Qual a medida da amplitude de 𝐵��𝑉 ? Como

podemos calcular este valor? Há alguma relação

entre a medida de amplitude deste ângulo e a

medida de amplitude do ângulo 𝑉��𝐴? Porquê?

• Porque motivo consideram que a Joana não tem

razão? Experimentem seguir o que a Joana disse.

Que conclusão retiraram?

• Como encontraram os valores pedidos?

Conseguem relacionar a medida da amplitude do

ângulo com a dos arcos?

• Como se relacionam os valores encontrados? O

que significa a “semidiferença das amplitudes”?

Tentaram substituir pelos valores dos arcos? Que

conclusão retiraram?

(3) Este será o momento de discussão da ficha, em grupo-turma. A professora registará as respostas dadas pelos

alunos, assinalando, posteriormente às discussões, as corretas e colocando um traço sobre as

incorretas. As figuras presentes na ficha de trabalho serão projetadas no quadro.

Discussão:

A discussão do problema 1 irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐴��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐷��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? Porquê? Alguém utilizou outro processo de resolução

distinto? Qual? Como fizeram?

• O que concluem? O João terá razão? Que relação encontraram?




Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os raciocínios

dos alunos, mesmo quando incorretos, podendo ser os alunos a confrontarem-se entre si e a chegarem a uma

conclusão que seja comum a todos.

Sempre que seja pertinente, a professora solicitará um aluno para que este se dirija ao quadro a fim de apresentar

os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.

Para a questão 1.2., a professora questionará que relação foi encontrada pelos alunos. Uma vez mais, as respostas

poderão ser variadas, sendo que os alunos serão incentivados, uma vez mais, a explicar os seus raciocínios e a

explicarem entre si, esclarecendo dúvidas mutuamente, sempre com a mediação da professora.

Ainda, se nenhuma das relações encontradas for a correta, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido,

recorrendo às questões orientadoras já descritas.

29

Extra:

Uma vez que este problema permite, novamente, uma variedade de resoluções possíveis, essas deverão ser

exploradas em conjunto com os alunos, caso não surjam naturalmente, através das questões orientadoras descritas

anteriormente.

A professora deverá alertar os alunos de que este foi um caso concreto, de uma propriedade que se pode provar

para o caso geral (essa propriedade diz respeito à conjetura formulada na alínea 1.2)

A prova do caso geral é bastante interessante porque obriga os alunos a recordarem-se da relação que existe entre

a medida da amplitude do ângulo externo e as medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo.

Uma vez que uma das estratégias de resolução abordam essa situação, a professora deverá aproveitar essa

estratégia para introduzir o caso geral, fazendo-se uma analogia, recorrendo a questões como:

• O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de que triângulo? Identifiquem-no.

• Que relação existe entre a medida da amplitude do ângulo externo de um triângulo, e a medida da amplitude

dos seus ângulos internos?

• Como podemos exprimir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 em função das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e

𝐶��𝐷? E agora, que poderemos fazer?

• Como podemos exprimir a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 em função da medida da amplitude do arco 𝐴��?

Porquê? E para o ângulo 𝐶��𝐷 em função de 𝐶��?


As sugestões dos alunos serão tidas em conta, sempre que pertinentes para o que se pretende provar.

Findada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que

retiraram da discussão, sendo que essa conclusão será escrita no quadro pela professora.

Prova:

O ângulo 𝐴��𝐵 é um ângulo externo de [BVC].

A medida da amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos

não adjacentes, pelo que a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐴��𝐵 e

𝐶��𝐷. 𝐴��𝐵 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐴��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da

amplitude deste arco.

𝐶��𝐷 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐶��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da


Portanto, a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 𝐴��

2+

𝐶��

2=

𝐴��+𝐶��

2 ∎

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A discussão do problema 2 irá iniciar-se com a seguinte questão:

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐵��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐶��? Porquê? Alguém tem uma resposta distinta? Porquê?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐵? Porquê? Alguém utilizou outro processo de resolução

distinto? Qual? Como fizeram?

• O que concluem? A Joana terá razão? Que relação encontraram? Alguém encontrou uma relação

diferente? Expliquem o vosso raciocínio.

Todas as relações encontradas serão registadas no quadro para discussão.

Os alunos serão, uma vez mais, incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do



Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os raciocínios

apresentados pelos alunos, sem que seja dada a validação imediata, podendo ser os alunos a confrontarem-se

entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.



Se nenhuma das relações encontradas for a correta, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das

questões orientadoras anteriormente descritas Extra:

Este problema permite, uma vez mais, uma variedade de resoluções possíveis.

Ainda assim, a única estratégia de resolução que acrescenta algo novo ao problema, e que permite a posterior

30

prova para o caso geral, surge considerando o triângulo [VBD], algo que não será intuitivo para a maioria dos

alunos.

Essa resolução deverá ser explorada com os alunos e deverá ser referido que a prova para o caso geral é idêntica à

do problema anterior, recorrendo-se ao triângulo [VBD], pelo que não será realizada, em aula, mas os alunos

poderão encontra-la ao consultar o manual.

A professora deverá, ainda, referir que esta ficha não contempla os três casos possíveis para a posição do vértice

de um ângulo excêntrico: fica em falta o caso em que o vértice do ângulo se encontra no exterior da

circunferência, mas os seus lados são tangentes à mesma. Ainda assim, a professora deverá perguntar aos alunos

que intuição estes têm sobre a relação das medidas das amplitudes para esse caso.

De seguida, a professora mostrará, recorrendo a um ficheiro Geogebra, que a relação é a mesma encontrada no

problema 2.

Terminada a discussão, os alunos deverão registar, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão

retirada da discussão do problema 3, sendo que essa conclusão será escrita no quadro, pela professora.

A aula terminará com as questões:

• Qual a diferença entre os ângulos excêntricos dos dois problemas?

• A relação encontrada é a mesma independentemente da posição do vértice?

• Para o ângulo com o vértice no interior da circunferência, qual a relação? E para o ângulo com o vértice

no exterior do ângulo?



Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre o ângulo ex-inscrito


Tópicos

• Ângulo ex-inscrito: propriedade.

Objetivos da aula

Geral

• Estudar o ângulo ex-inscrito




Específicos

• Definir ângulo ex-inscrito

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo

ex-inscrito com a medida da amplitude dos

arcos correspondentes às cordas que as retas

suporte dos seus lados contêm e provar a

relação encontrada.



Recursos




• Ficheiro Geogebra



• Ângulo inscrito

• Relação da medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da amplitude do seu arco capaz





Avaliação



Estrutura da aula:

31


(2) Sistematização das propriedades dos ângulos estudados até ao momento (10 minutos)

(3) Apresentação da ficha de trabalho e resolução autónoma da mesma (15 minutos)

(4) Discussão dos resultados e sistematização das deias (20 minutos)

Observações

Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo

do que o previsto, ou para o caso de a discussão terminar mais cedo do que o previsto, serão propostos os

problemas: página 90 ex.2 e página 91ex. 6,

do manual. Desenvolvimento da aula:

(2) Este momento será um momento de revisão das propriedades dos ângulos estudados

até ao momento: ângulo ao centro, ângulo inscrito, ângulo de segmento e ângulo

excêntrico com o vértice no interior e exterior da circunferência,

A professora questionará os alunos sobre estas propriedades, desenhando, no quadro, figuras referentes

aos ângulos estudados.

(3) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que

a professora explica o que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos relacionem a medida da

amplitude do ângulo ex-inscrito com a medida da amplitude dos arcos correspondentes às cordas que as

retas suporte dos seus lados contêm

Será pedido a um aluno que leia a definição de ângulo ex-inscrito, existente na ficha de trabalho e serão

esclarecidas eventuais dúvidas sobre a mesma.

A figura referente à ficha de trabalho será projetada no quadro.

Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 15 minutos para

resolver a ficha autonomamente.

Durante o trabalho autónomo dos alunos, a professora circulará pela sala a fim de:


da tarefa


Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: O arco 𝐷�� tem 60º de medida de amplitude. O ângulo inscrito 𝐷��𝐶 tem metade da medida da amplitude deste

arco, porque este é o seu arco capaz. Logo, 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude.

O ângulo 𝐴��𝐶 é, por definição, suplementar a 𝐷��𝐶, logo tem 150º.

A hipótese correta é a hipótese C.

ou

Os alunos podem, ainda, utilizar um processo de exclusão de partes:

[A] Se 𝐴��𝐶 tiver 120º de medida de amplitude, então 𝐷��𝐶 terá de ter 60º de medida de amplitude, pois são

suplementares. Mas o ângulo 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude, porque a sua medida de amplitude é metade

da medida da amplitude do arco capaz. Logo, a hipótese [A] não é a correta.

[B] Se 𝐴��𝐶 tiver 60º de medida de amplitude, então 𝐷��𝐶 terá de ter 120º de medida de amplitude, pois são

suplementares. Mas o ângulo 𝐷��𝐶 tem 30º de medida de amplitude, porque a sua medida de amplitude é metade

da medida da amplitude do arco capaz. Logo, a hipótese [B] não é a correta.

Possíveis estratégias de resolução da questão 1.2: O ângulo DOB tem 110º de medida de amplitude. Como é um ângulo ao centro, a sua medida de amplitude é

igual à medida da amplitude do arco 𝐷��. Como o arco DC tem 60º de medida de amplitude e o arco 𝐷�� tem 110º de medida de amplitude, o arco 𝐵�� tem

190º de medida de amplitude (porque 360º=DC + 𝐷�� + 𝐵��).

Pela alínea anterior, 𝐴��𝐶 tem 150º de medida de amplitude. 110+190

2=

300

2= 150, logo a Joana tem razão.


1.1.

a. Os alunos não sabem que hipótese será a

correta porque

• Não identificam 𝐷��𝐶 como o ângulo

inscrito correspondente ao arco capaz 𝐷�� /

não relacionam estas medidas de amplitude

• Não reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e

𝐷��𝐶 são suplementares.

• Existe algum ângulo que esteja associado ao arco

𝐷��? Identifiquem-no na figura. Qual a relação

entre as medidas das suas amplitudes?

• Que relação existe entre os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶?

E as medidas das suas amplitudes?

32

b. Os alunos podem assinalar a hipótese [A]

como a correta pois


amplitude de 𝐴��𝐶 não poderá ser de 60º

porque

• Não se apercebem que se o

ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de

medida de amplitude, a medida

da amplitude de 𝐷��𝐶 será de

120º, o que não é possível

• Reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶

são suplementares, pelo que 𝐷��𝐶 terá 60º

de medida de amplitude, mas consideram

que o ângulo 𝐷��𝐶 tem a mesma medida de

amplitude do arco capaz, 𝐷��.

c. Os alunos podem assinalar a hipótese [B]

como a correta pois


amplitude de 𝐴��𝐶 não poderá ser de 120º

porque

• Não se apercebem que se o

ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de

medida de amplitude, a medida

da amplitude de 𝐷��𝐶 será de

120º, o que não é possível

• Reconhecem que os ângulos 𝐴��𝐶 e 𝐷��𝐶

são suplementares, pelo que 𝐷��𝐶 terá 120º

de medida de amplitude, mas não

reconhecem o ângulo 𝐷��𝐶 como um

ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco

𝐷��.

1.2.

a) Os alunos não conseguem determinar se a

Joana tem ou não razão porque não

conseguem determinar as medidas das

amplitudes dos arcos 𝐷�� e 𝐵��.

b) Os alunos consideram que a Joana não tem

razão porque

• Não utilizam os dados do problema

para determinar a medida da amplitude

do arco 𝐷�� / não sabem relacionar a

medida da amplitude do ângulo ao

• Porque motivo assinalaram a hipótese A? Se o

ângulo 𝐴��𝐶 tiver 60º de medida de amplitude,

qual a medida da amplitude de 𝐷��𝐶? Porquê?



entre as medidas das suas amplitudes?

• Comparem os resultados obtidos. São iguais? O

que podem concluir?


ângulo 𝐷��𝐶e a medida da amplitude de 𝐷��?

Justifiquem.

• Porque motivo assinalaram a hipótese B? Se o

ângulo 𝐴��𝐶 tiver 120º de medida de amplitude,

qual a medida da amplitude de 𝐷��𝐶? Porquê?



entre as suas medidas de amplitude? Comparem os

resultados obtidos. São iguais? O que podem

concluir?

• O arco 𝐷�� é o arco capaz de que ângulo?

Identifiquem-no na figura. Qual a relação entre as

suas medidas de amplitude?

• O que têm de descobrir para conseguir responder à

questão?

• Como podemos calcular a medida da amplitude do

arco 𝐷��? Há algum dado no enunciado que vos

ajude a calcular essa medida de amplitude?

Identifiquem, na figura, o ângulo 𝐷��𝐵. O que

podem concluir sobre o arco𝐷�� ? E agora, como

podem proceder?


dos arcos 𝐷�� , 𝐵�� e 𝐷��? O que podem concluir

sobre a medida da amplitude do arco 𝐵��? Como

podem avançar agora?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?

Como encontraram esse valor? Como se relaciona

esse valor com os já encontrados? Qual a vossa

conclusão?

• Porque motivo consideram que a Joana não tem

razão?

• Como podem calcular a medida da amplitude do

arco 𝐷��? Que relação existe entre a medida da

amplitude deste arco e os dados do enunciado?

33

centro com a medida da amplitude do

arco correspondente.

• Os alunos não conseguem determinar a

medida da amplitude do arco 𝐵��

• Os alunos não utilizam o valor

encontrado na alínea a)

• Os alunos utilizam o valor encontrado

na alínea a) mas, se esse valor for

incorreto, concluem que a Joana não

terá razão.

• Como podem calcular a medida da amplitude do

arco 𝐵��? Como se relacionam as medidas das

amplitudes dos arcos 𝐷�� , 𝐵�� e 𝐷��?

• Qual a medida da amplitude do ângulo 𝐴��𝐶?

Como podem relacionar esse valor com as

medidas das amplitudes dos arcos pedidos?

• Que valor encontraram na questão anterior para o

ângulo 𝐴��𝐶? Como encontraram esse valor?



Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de

forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo

que o papel da professora será a de mediadora da discussão.




Terminada a discussão, será solicitado aos alunos que registem no retângulo existente na

ficha de trabalho, a conclusão retirada da discussão, sendo que a mesma será escrita no quadro, pela

professora.

Discussão:

A discussão deste problema irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Qual das opções é a verdadeira? Expliquem o vosso raciocínio.

• .Quem discorda? Porquê?

Uma vez que este é um problema que permite que surjam, durante a discussão, as três hipóteses, é

importante explorar, com os alunos, o raciocínio dos alunos que (a) respondem a hipótese [A] como a

correta; (b) respondem a hipótese [B] como a correta; uma vez que essas respostas estão assentes em

dificuldades que deverão ser ultrapassadas.

Os alunos serão incentivados a justificar as suas respostas, explicando o seu raciocínio, através do



Uma vez que é um problema que permite variedade de respostas, será importante que se explorem os

raciocínios apresentados pelos alunos, sem que seja dada a validação imediata, podendo ser os alunos a

confrontarem-se entre si e a chegarem a uma conclusão que seja comum a todos.


apresentar os seus cálculos, uma vez que será mais fácil de explicar para a turma.

Se nenhuma das hipóteses discutidas for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos não conseguirem

compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões orientadoras

anteriormente descritas.

Em relação à questão 1.2., a atividade será semelhante.

Extra:

Este é um problema que tem como objetivo o de os alunos compreenderem que a medida da amplitude do ângulo

ex-inscrito é igual à média das medidas das amplitudes dos arcos correspondentes às retas suporte que os seus

lados contém, apoiando-se num problema concreto.

Como tal, será pedido aos alunos, oralmente, que conjeturem sobre a relação que existe entre a medida da

amplitude do ângulo ex-inscrito é igual à média das medidas amplitudes dos arcos correspondentes às retas

suporte que os seus lados contém.

Sendo que os alunos apenas se basearão num exemplo concreto para chegar a esta relação, os mesmos serão

alertados para esse facto: falta provar a veracidade da relação encontrada.

A prova é semelhante à já realizada para o ângulo de segmento, pelo que os alunos apenas terão de saber que a

medida da amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas das amplitudes dos seus

ângulos internos não adjacentes.

Assim, a professora começará por questionar:

• Alguém tem uma ideia de como poderemos provar que esta relação é verdadeira?

• O ângulo 𝐴��𝐶 é um ângulo externo de que triângulo?

• Que relação existe entre as medidas das amplitudes do ângulo externo de um triângulo e os seus ângulos

internos?

• Como podemos proceder agora?

• Qual o ângulo inscrito cujo arco capaz é 𝐷��? E para 𝐵��? O que podemos concluir agora?

34

Prova

O ângulo 𝐴��𝐶 é um ângulo externo de [BCD].

A medida da amplitude de um ângulo externo é igual à soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos

não adjacentes, pelo que a medida da amplitude de 𝐴��𝐶 é igual à soma das medidas das amplitudes de 𝐵��𝐶 e

𝐷��𝐵. 𝐷��𝐵 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐷��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da


𝐵��𝐶 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��, logo a sua medida de amplitude é metade da medida da


Portanto, a medida da amplitude de 𝐴��𝐵 é igual a 𝐵��

2+

𝐷��

2=

𝐵��+𝐷��

2 ∎

Plano de aula de dia 05 de março de 2018


Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho contemplando problemas geométricos


Tópicos

• Ângulo excêntrico, ao centro e inscrito

• Arcos determinados numa circunferência

• Eixos de simetria

• Retas tangentes a uma circunferência

Objetivos da aula

Geral

• Resolver problemas geométricos que

envolvem os tópicos matemáticos trabalhados

anteriormente




Específicos

• Reconhecer que a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

é 180º

• Reconhecer que uma reta tangente a uma

circunferência forma um ângulo reto com o seu

diâmetro

• Reconhecer ângulos inscritos e excêntricos com

o vértice no exterior da circunferência

• Mobilizar e saber aplicar propriedades de ângulos

que permitam determinar a sua medida de

amplitude, relacionando-se com os seus

respetivos arcos

• Identificar o diâmetro como sendo um eixo de

simetria / eixo de reflexão axial


• Comunicação matemática • Resolução de problemas

• Raciocínio matemático

Recursos





• Arcos determinados numa circunferência

• Ângulo Excêntrico

• Ângulo ao centro

• Ângulo inscrito

• Retas tangentes a uma circunferência


• O diâmetro como eixo de simetria

• Isometrias (reflexão axial)

35

• Critério de igualdade LAL




Avaliação



Estrutura da aula:



(3) Discussão das resoluções (25 minutos)

Observação

Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo

do que o previsto, será proposta a resolução do problema 6 da página 95,

do manual.



Durante a realização da ficha, a professora circulará pela sala a fim de:


da tarefa


Possíveis estratégias de resolução da questão 1: Considere-se o triângulo [ACD].

A reta DC é tangente à circunferência no ponto C, pelo que é perpendicular ao diâmetro [AC]. Logo, DCA é um

ângulo reto.

Como a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, resulta que DCA + ADC

+ CAD=180 ⇔ 90 + 50 + CAD=180 ⇔ CAD = 180 − 140 ⇔ CAD = 40. CAD é um ângulo inscrito no arco CB, logo tem metade da medida da amplitude deste arco.

Portanto, o arco CB tem 80º de medida de amplitude.

ou

Considere-se o triângulo [ABC]

O ângulo CBA é inscrito numa semicircunferência / é inscrito no arco AC, pelo que tem 90º de medida de

amplitude.

Como CBA tem 90º de medida de amplitude, DBC tem também 90º de medida de amplitude (porque são ângulos

suplementares).

Consideremos, agora, o triângulo [BDC].

A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é de 180º, logo:

DCB + DBC + CDB=180 ⇔ DCB + 90 + 50=180 ⇔ DCB = 180 − 140 ⇔ DCB = 40. A reta DC é tangente à circunferência no ponto C, pelo que é perpendicular ao diâmetro [AC]. Logo, DCA é um

ângulo reto, pelo que BCA tem 50º de medida de amplitude.

CBA+ BCA+CAB=180⇔90+50+ CAB=180⇔ CAB=180-140⇔ CAB=40º.

O ângulo CAB é um ângulo inscrito no arco CB, portanto CB tem 80º de medida de amplitude.

ou

O ângulo ADC é um ângulo excêntrico cujo vértice se encontra fora da circunferência, portanto a sua medida de

amplitude é igual à semidiferença das medidas das amplitudes dos arcos CB e AC.

AC tem 180º de medida de amplitude por ser o arco de uma semicircunferência.

Portanto, ADC=AC− CB

2⇔ 50=

180−CB

2⇔100=180 − CB⇔100-180= - CB⇔ - 80= - CB ⇔ CB = 80.

Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1: Como o ângulo CAD é um ângulo inscrito no arco CD, a sua medida de amplitude é metade da medida de


36

Portanto, CD tem 60º de medida de amplitude.

Possíveis estratégias de resolução da questão 2.2: O triângulo [ADE] é retângulo em E, pelo que ADE é um ângulo reto. Como A��𝐷 e C��𝐷 são ângulos

suplementares, C��𝐷 é igualmente um ângulo reto.

Como o segmento de reta [BD] é um diâmetro da circunferência, é um eixo de simetria da mesma, pelo que

AE =CE / A reta DB contém o centro da circunferência e é perpendicular à corda [AC], logo bisseta-a, pelo que

AE =CE . O lado [DE] é comum aos dois triângulos.

Pelo critério de igualdade LAL, os triângulos são geometricamente iguais (os triângulos têm dois pares de lados

com o mesmo comprimento e o ângulo por eles formado tem a mesma medida de amplitude nos dois triângulos).

ou

A reta DB é um eixo da reflexão axial que transforma o triângulo [ADE] no triângulo [CDE], assim a reflexão do

ponto A, relativamente a DB, é o ponto C.

Como os pontos E e D são pontos da reta DB, são aplicados em si próprios.

A reflexão é uma isometria. Uma isometria preserva as distâncias e a medida da amplitude dos ângulos, pelo que

os triângulos são geometricamente iguais.


1.1.

Os alunos não conseguem calcular a medida da

amplitude do arco 𝐶�� porque

• Não identificam DCA como um ângulo reto

• Não relacionam as medidas de amplitudes dos

ângulos DCA, ADC e CAD

• Não identificam CAD como um ângulo

inscrito no arco CB

• Não relacionam a medida da amplitude do

ângulo CAD com a medida amplitude do arco

CB ou


ângulo CBA com a medida da amplitude do

arco AC

• Não relacionam as medidas das amplitudes de

CBA e DBC

• Não relacionam as medidas das amplitudes de

DCB, DBC e CDB.


ângulo DCA com as medidas das amplitudes

de BCA e DCB.

• Não conseguem determinar a medida da

amplitude de CAB

• Quando uma reta é tangente a uma circunferência,

qual a medida da amplitude do ângulo que esta

forma com o raio da circunferência?

• Qual a medida da amplitude do ângulo DCA?

Porquê?

• Quais os ângulos internos de [ACD]? Como se

relacionam as medidas das suas amplitudes? Como

pensam proceder agora?

• Que relação existe entre o ângulo CAD e o arco

CB? Que relação existe entre as medidas das suas

amplitudes? Porquê? O que podem fazer agora?


amplitudes de CBA e AC? Porquê?

• Qual a relação que existe entre as medidas das

amplitudes dos ângulos CBA e DBC? Porquê?

Como podem proceder agora?

• Quais os ângulos internos do triângulo [BCD]?

Identifiquem-nos na figura. Que relação

encontram entre as medidas das suas amplitudes?

• Que relação conseguem estabelecer entre as

medidas das amplitudes de DCA, BCA e

DCB? Como podem determinar a medida da

amplitude de BCA, descoberta essa relação?

• Como podem determinar a medida da amplitude

do ângulo CAB com os valores já encontrados?

37


CAB com a medida da amplitude do arco CB

𝐨𝐮

• Não identificam ADC como sendo um ângulo

excêntrico, cujo vértice se encontra fora da

circunferência / identificam que se trata de um

ângulo excêntrico, mas não se recordam de

como se calcula a sua medida de amplitude

em função dos arcos CB e AC.


amplitude do arco AC pois não identificam

este ângulo como um ângulo inscrito numa

semircunferência.

2.1.


amplitude de CD porque não identificam CD como o

arco capaz de CAD / não relacionam as suas medidas

de amplitude

2.2.

Os alunos não conseguem explicar o pretendido pois

• Não identificam CDE como um ângulo reto.

• Não concluem que AE =CE

• Não utilizam o critério LAL para identificar

os triângulos como geometricamente iguais /

não se recordam do critério

ou

• Não identificam DB como um eixo de

reflexão axial

• Que relação têm o ângulo CAB e o arco CB?

Porquê? Como se relacionam as suas medidas de

amplitude?

• De todos os tipos de ângulos que estudamos, o

ângulo ADC é de que tipo? Qual a posição do seu

vértice em relação à circunferência? Como podem

determinar a sua medida de amplitude?


amplitudes do ângulo ADC e as dos arcos CB e

AC? Como podem proceder agora?

• Como é que podem calcular a medida da

amplitude do arco AC?

• Que relação existe entre a medida da amplitude

do arco AC e a semicircunferência delimitada por

este arco?


• Que relação existe entre o ângulo CAD e o arco

pedido? Porquê? Como podem determinar a

medida da amplitude de CD?


amplitudes de ADE e CDE? • Qual a medida da amplitude de CDE?

• Que relação existe entre os comprimentos

AE =CE ? Porquê?

• Que eixos de simetria encontram numa

circunferência? Existe algum eixo de simetria

nesta figura? Identifiquem-no.

• O que podem dizer sobre uma reta que contém o

centro da circunferência e é perpendicular a uma

corda? O que podem concluir?

• Os triângulos têm algum lado com igual

comprimento? Qual? Existe outro? Qual?

• Que relação existe entre os ângulos formados

por esses lados, nos dois triângulos?

• Que critério de igualdade podem utilizar para

concluir o pretendido? Porquê?

• Se quiserem transformar o ponto A, no ponto C,

o que podem fazer? Porquê?

• Seria possível transformar um ângulo no outro?

Através do quê?

• O que podem concluir sobre os comprimentos

dos lados nos dois triângulos? Porquê? E sobre

os ângulos? Porquê?


respeito aos problemas apresentados.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de

forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo


Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes a cada problema.

38



Discussão do problema 1

Uma vez que a professora irá circular pela sala, a fim de observar as resoluções dos alunos, serão solicitados, para

ir ao quadro mostrar as suas resoluções:

(a) Um aluno que tenha utilizado uma estratégia de resolução incorreta – para que a turma possa discutir sobre

essa estratégia, porque é incorreta e o que se poderá alterar ou aproveitar.

(b) Um aluno que tenha uma estratégia de resolução correta, mas distinta da que surgirá da discussão de (a).

Caso nenhum aluno apresente uma estratégia de resolução distinta, a professora deverá conduzir a aula nesse

sentido, através das questões orientadoras anteriormente descritas para as possíveis dificuldades dos alunos na

resolução deste problema (pelo menos a estratégia de resolução que apela ao ângulo excêntrico deverá ser

explorada, caso não surja naturalmente em aula

A professora irá alertar para erros de linguagem / cálculo que sejam apresentados no quadro e, no final, questionará

sobre a turma sobre eventuais dúvidas que possam ter emergido da discussão anterior.

Discussão do problema 2

Em relação à questão 2.1., o procedimento será semelhante ao anterior.

Em relação à questão 2.2., a discussão desta irá iniciar-se com:

• Que justificações encontraram para a igualdade dos triângulos?

• Quem tem uma justificação diferente?

Uma vez que esta é uma questão que permite mais do que uma justificação possível, e a capacidade de

argumentação é um dos objetivos para esta aula, estas deverão ser exploradas com os alunos, caso não surjam de

forma natural durante a discussão, recorrendo-se às questões orientadoras anteriormente descritas para as

possíveis dificuldades dos alunos na resolução desta alínea.

A professora deverá ter em conta todas as justificações que possam emergir da discussão, escrevendo-as no quadro

e pedindo aos alunos que expliquem os seus raciocínios e pedindo contribuições à turma sobre as justificações dos

colegas, o que poderá ser alterado, se há algo incorreto e como seria uma justificação correta.



Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre as medidas das amplitudes dos ângulos internos e externos de

polígonos convexos


Tópicos

• Ângulos externos e internos de polígonos convexos

Objetivos da aula

Geral

• Estudar a soma das medidas das amplitudes

dos ângulos internos e externos de um

polígono convexo


recorrendo à justificação de respostas

Específicos

• Determinar a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos internos de um

polígono convexo

• Determinar a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos externos de um

polígono convexo


• Comunicação matemática • Raciocínio matemático indutivo e dedutivo

Recursos





• Definição de polígono convexo

39

• Ângulo interno de um polígono

• Ângulo externo de um polígono




Avaliação



Estrutura da aula:

(1) Entrada inicial dos alunos e apresentação da ficha de trabalho (10 minutos)

(2) Resolução autónoma do problema 1 da ficha de trabalho (15 minutos)

(3) Discussão das resoluções do problema 1 e resolução do problema 2 em grupo-turma (25 minutos)

Observação

Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo do que o previsto, ou para o caso de

a discussão terminar mais cedo do que o previsto, serão propostos os problemas: página 99 ex.9 e ex.10, do

manual.


(1) Este momento terá início com a entrada inicial dos alunos e a apresentação da ficha de trabalho, no

qual a professora explicará o que se pretende com a mesma: determinar a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos internos e externos de um polígono convexo.

Poderá registar-se a dúvida: o que é um polígono convexo? Pelo que a professora deverá desenhar

no quadro um polígono não-convexo, e um convexo, e questionar os alunos sobre que diferença

que encontram. Caso a dúvida persista, a professora deverá desenhar um segmento de reta sobre os

mesmos (no caso do polígono não convexo, esse segmento passará por fora do polígono) e voltar a

questionar a turma.

Finalmente, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 15 minutos para realizar a ficha

autonomamente.

(2) Durante o trabalho autónomo dos alunos, a professora circulará pela sala a fim de:


da tarefa


Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1: A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do pentágono [KLMOP] é de

540º porque:

• [KLMOP] pode ser decomposto em três triângulos [PLK],

[POL] e [OML] – estes triângulos obtém-se traçando, a partir

do vértice L, todas as diagonais do polígono.

• A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de

um triângulo é de 180º, pelo que 3 × 180 = 540º

ou

• [KLMOP] pode ser decomposto em cinco triângulos – estes

triângulos obtêm-se considerando um vértice em comum, que

se encontra no interior do polígono.

• A soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do

pentágono será dada pela expressão

5 × 180 − 360=540º


𝑂��𝐿 =180º- 𝐿��𝑄 ou 𝑂��𝐿 + 𝐿��𝑄 =180º porque os ângulos internos e externos de um polígono são

suplementares (cada ângulo interno de um polígono é suplementar ao ângulo externo).

Possíveis estratégias de resolução da questão 1.3: A opção correta é a opção [B] porque da alínea 1.1., concluiu-se que a soma das medidas amplitudes dos ângulos

internos é de 540º. Da alínea anterior, concluiu-se que o ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, pelo

que:

I + E = 180º

40

Existem 5 ângulos internos e 5 ângulos externos neste polígono, pelo que:

5I + 5E =5x180º ⇔ 540º + 5E = 900º ⇔ 5E = 900º-540º ⇔ 5 E =360.

A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos é de 360º.

Os alunos podem, ainda, recorrer à exclusão de partes como estratégia de resolução:

[A] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 180º.

Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos + Soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos

= 5× 180º

540º + 180º = 720º

5 × 180º=900º

Mas, 720º≠900º, logo a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos não pode ser de 180º

[B] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 360º


= 5 × 180º

540º + 360º =900º

5 × 180º=900º

Logo, a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos é de 900º

[C] A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de [KLMOP] é de 108º.


= 5 × 180º

540º + 108º =648º

5 × 180º=900º

Mas, 648º≠900º, logo a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos não pode ser de 108º.


1.1.

Os alunos não conseguem determinar a soma das

medidas das amplitudes dos ângulos internos de

[KLMOP] porque

• Não identificam que [KLMOP] pode ser

decomposto em três triângulos

• Não identificam que [KLMOP] pode ser

decomposto em cinco triângulos

1.2.

Os alunos não conseguem relacionar as duas medidas

de amplitude pedidas porque não identificam os

ângulos como sendo suplementares.

1.3.

• Os alunos não assinalam [B] como sendo a opção

correta porque

a. Não relacionam as alíneas anteriores com esta

b. Não compreendem que existem 5 ângulos

internos e 5 ângulo externos, sendo que a

soma total será igual a 900º

• Podem decompor o pentágono [KLMOP]

noutros polígonos? Quais? Quantos são?

• O que sabem sobre a soma das medidas das


triângulo? Como podem proceder?

• Considerem um ponto no interior do pentágono

[KLMOP]. Conseguem decompor o pentágono

em polígonos que tenham todos um vértice nesse

ponto? Quantos são esses polígonos? Como

podem proceder?

• O que sabem sobre a soma das medidas das


triângulo? Como podem proceder?

• Que relação encontraram entre as duas medidas

de amplitude? Se somarem essas duas medidas,

que medida de amplitude obtêm?

• O que concluíram da alínea 1.1.?

• Da alínea anterior, que conclusão retiraram?

Como podem utilizar essa informação?

• Quantos ângulos internos e externos tem este

polígono? Como podem proceder agora?

• O que concluem?

41

• Os alunos podem, ainda, assinalar a opção [A], ou

a opção [C], como a correta pois não identificam

que

soma das medidas das amplitudes dos ângulos

internos + soma das medidas das amplitudes dos

ângulos externos = 5× 180º

• Porque motivo selecionaram a opção [A]/[C]

como a correta?

• Se somarmos as medidas das amplitudes dos

ângulos internos, com as medidas das

amplitudes dos ângulos externos, que valor

obtemos? Porquê?

• Como se relacionam a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos internos com a soma das

medidas das amplitudes dos ângulos externos?

Porquê?



respeito ao problema 1 da ficha de trabalho.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas,

de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo




sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas

Discussão do problema 1:

Questão 1.1.

A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão.:

• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos do pentágono? Expliquem o vosso

raciocínio.

• Quem discorda? Porquê?




Uma vez que esta alínea permite duas estratégias de resolução distintas, optando-se por dividir a figura em 3

ou 5 triângulos, será interessante explorar ambas com os alunos, caso estas não surjam naturalmente da

discussão, recorrendo-se às questões orientadoras anteriormente descritas.

Questão 1.2.

A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão.:

Qual foi a relação que encontraram? Expliquem o vosso raciocínio.

• Alguém encontrou uma relação diferente? Expliquem o vosso raciocínio.



colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”



Se nenhuma das relações encontradas for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos não conseguirem

compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões orientadoras

anteriormente descritas.

Questão 1.3

A discussão deste problema irá iniciar-se com a seguinte questão:

• Alguém assinalou a opção A como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.

• Alguém assinalou a opção B como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.

• Alguém assinalou a opção C como a correta? Expliquem o vosso raciocínio.

Uma vez que este é um problema que permite que surjam, durante a discussão, as três hipóteses, é

importante explorar, com os alunos, o raciocínio dos alunos que (a) respondem a hipótese [A] como a

correta; (b) respondem a hipótese [C] como a correta; uma vez que essas respostas estão assentes em

dificuldades que deverão ser ultrapassadas.



colegas, o que dirias?”, “que cálculos efetuaste?”, “queres explicar?”



Se nenhuma das hipóteses apresentadas pelos alunos for a correta, e mesmo depois da discussão os alunos

42

não conseguirem compreender, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido através das questões

orientadoras anteriormente descritas.

Discussão do problema 2: Este é um problema que tem como principal objetivo, conduzir os alunos à expressão que determinam a soma das

medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados e concluírem que a soma das

medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é um ângulo giro.

Como tal, será pedido aos alunos que, oralmente e em grupo-turma, se resolva a questão 2.1. da ficha de trabalho.

• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado?

• E de um hexágono regular?

Após este momento, a professora deverá desenhar uma tabela que relacione o número de lados do polígono, o

número de triângulos nos quais este se pode decompor e a soma dos ângulos internos do polígono. De seguida,

preenchendo a tabela para o caso do quadrado, do hexágono e do pentágono, a professora questionará:

• O que podem conjeturar sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n

lados?

Uma vez que podem surgir dificuldades, a professora deverá desenhar, no quadro, a figura de um quadrado e a

figura de um hexágono e questionar os alunos sobre os ângulos internos, fazendo-se analogia à estratégia de

resolução que recorre à decomposição dos polígonos em triângulos, de forma a que os alunos cheguem à

expressão (𝑛 − 2) × 180º.

A atividade será semelhante para a questão 2.2., de forma a que os alunos cheguem à conclusão de que a soma das

medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre um ângulo giro:

• Qual é a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo?

• E de um pentágono regular?

• O que podem conjeturar sobre a soma das medidas das amplitudes ângulos externos de um polígono

convexo de n lados?

Sendo que os alunos apenas se basearão em exemplos concretos para chegar a esta última conjetura, os mesmos

serão alertados para esse facto: falta provar a veracidade da conjetura encontrada.

A professora questionará:

• Como pensam que se pode provar a veracidade desta conjetura?

• Quanto é 𝑆𝑖 + 𝑆𝑒? Porquê? O que podem fazer agora?


Prova

Seja 𝑆𝑖 a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados e 𝑆𝑒 a soma

das medidas das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados.

𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º⇔(𝑛 − 2) × 180 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180⇔ 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180 − (𝑛 − 2) × 180⇔𝑆𝑒 = 180𝑛 −180𝑛 + 360⇔𝑆𝑒 = 360º ∎



Sumário

• Correção do trabalho de casa

• Resolução de uma ficha de trabalho envolvendo polígonos inscritos numa circunferência


• Mini teste

Tópicos

• Ângulos ao centro e inscritos

• Polígonos inscritos numa circunferência

43

Objetivos da aula

Geral

• Resolver problemas geométricos que

envolvam tópicos matemáticos trabalhados

anteriormente




Específicos

• Reconhecer um ângulo inscrito e relacionar a

sua medida de amplitude com o seu respetivo

arco capaz

• Reconhecer que, num trapézio isósceles, os

lados opostos não paralelos têm o mesmo

comprimento

• Reconhecer que polígonos regulares de n lados

inscritos numa circunferência dividem a

circunferência em n arcos de igual medida de

amplitude Capacidades transversais

• Resolução de problemas


Recursos





• Definição de ângulo inscrito e ângulo ao centro

• Relação entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e do arco capaz

• Definição de trapézio isósceles

• Polígonos regulares inscritos em circunferências



• Discussão das resoluções da ficha e do trabalho de casa, em grupo-turma

Avaliação



Estrutura da aula:


(2) Discussão do trabalho de casa (20 minutos)


(4) Discussão da ficha de trabalho (25 minutos)

(5) Mini teste

Observações (1) Existe um intervalo de 10 minutos entre o momento 3 e 4.

(2) Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão

da ficha termine mais cedo do que o previsto, será proposto o problema 9 da

página 103, do manual.


(2) Este momento será destinado à correção e discussão dos problemas enviados para trabalho de casa. Uma

vez que a professora analisou as resoluções dos alunos, a discussão irá ser mediada de acordo com o

observado pela professora.

Discussão do trabalho de casa: Do observado das resoluções do primeiro problema, constatou-se que um aluno considera que o João tem razão,

porque não identifica o ângulo inscrito, pelo que será pedido a esse aluno que explique o seu raciocínio, de modo

a que os colegas de turma possam argumentar sobre a sua resolução, ajudando-o. Ainda da observação das

produções escritas, constatou-se que, para o segundo problema, uma aluna terá escrito que os ângulos inscritos

numa circunferência são sempre agudos, pelo que será interessante explorar essa ideia com a turma.

A discussão irá iniciar-se com a professora a questionar quem considera que o João tem razão e porquê. De

seguida, questionará: o ângulo 𝐵��𝐶 é de que tipo? Qual o seu arco correspondente? Como se relacionam estas

medidas de amplitudes?

44

Em relação à segunda questão, a professora questionará: existe, ou não, um ângulo inscrito de 190º numa

circunferência? Porquê? Quem tem uma resposta distinta?

De seguida, a professora questionará: um ângulo obtuso pode ser inscrito numa semicircunferência? Porquê? Até

que medida de amplitude existe um ângulo inscrito numa circunferência?

Sempre que existirem alunos que discordem das ideias apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu

raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os mesmos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de




(3)Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

Durante a realização do primeiro problema, a professora circulará pela sala a fim de:


tarefa



𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude porque

• [AD] é um diâmetro, logo 𝐴�� tem 180º de medida de amplitude.

𝐴��=𝐶�� + 𝐵�� + 𝐴��.

• [ABCD] é um trapézio isósceles, logo 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 .

• Como 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 , 𝐶�� = 𝐴��

• 𝐴��=𝐶�� + 𝐵�� + 𝐴�� ⇔180º=𝐶��+80º+𝐴��⇔𝐶�� + 𝐴�� =100º⇔

2 × 𝐶�� =100º⇔𝐶�� =50º

• O ângulo 𝐵��𝐷 é inscrito no arco 𝐵��. • 𝐵��=𝐶��+𝐵��=50º+80º=130º, pelo que 𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude.

ou

• Considerem-se os ângulos ao centro

𝐶��𝐷, 𝐶��𝐵 e 𝐴��𝐵.

• 𝐵�� =80º, logo 𝐶��𝐵 tem 80º de medida de amplitude, pelo que

𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º.

• [ABCD] é um trapézio isósceles, logo 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 .

• Como 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 , 𝐶�� = 𝐴��.

• 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 e 𝐶�� = 𝐴��, logo 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵

têm a mesma medida de amplitude (a arcos e cordas geometricamente

iguais correspondem ângulos ao centro geometricamente iguais)

• 𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º⇔2 × 𝐴��𝐵=100º⇔𝐴��𝐵 =50º

• O triângulo [AOB] é isósceles, porque [OB] e [OA] são raios da

circunferência, pelo que 𝑂��𝐴 tem a mesma medida de amplitude de 𝐵��𝑂.

• 𝐴��𝐵+ 𝑂��𝐴+ 𝐵��𝑂=180º⇔50º+2 × 𝐵��𝑂=180º⇔2 ×𝐵��𝑂=130º⇔ 𝐵��𝑂=65º, porque a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

é de 180º.

• Mas 𝐵��𝑂 tem a mesma medida de amplitude de 𝐵��𝐷, logo 𝐵��𝐷 tem 65º de medida de amplitude.


• [BF] e [DH] são diâmetros da circunferência, logo têm o mesmo comprimento.

• Uma vez que [ABCDEFGH] é regular, os arcos compreendidos entre os seus

lados têm todos a mesma medida de amplitude, pelo que cada arco tem 360

8=45º.

• Calculando a medida de amplitude do arco 𝐵��, resulta que:

𝐵�� = 𝐵�� + 𝐶��=45º+45º=90º. Daqui resulta que o ângulo ao centro 𝐵��𝐷 é um ângulo reto.

[BF] e [DH], que são as diagonais de [BDFH], são perpendiculares e têm o

mesmo comprimento, pelo que [BDFH] é um quadrado.

ou

45

• Uma vez que [ABCDEFGH] é regular, os arcos compreendidos entre os seus lados têm todos a mesma

medida de amplitude, pelo que cada arco tem 360

8=45º.

• Calculando a medida de amplitude do arco 𝐵��, resulta que:

𝐵�� = 𝐵�� + 𝐶��=45º+45º=90º.

Daqui resulta que o ângulo ao centro 𝐵��𝐷 é um ângulo reto.

• Considerando os ângulos ao centro 𝐵��𝐷, 𝐷��𝐹, 𝐹��𝐻 e 𝐵��𝐻, os lados do quadrado considerado são

cordas correspondentes a estes ângulos ao centro.

• Uma vez que estes ângulos têm todos a mesma medida de amplitude (porque os arcos correspondentes

são geometricamente iguais), resulta que as cordas compreendidas entre os seus lados também são

geometricamente iguais, pelo que 𝐵𝐷 =𝐷𝐹 =𝐹𝐻 =𝐵𝐻 . • O ângulo 𝐵��𝐹 é um ângulo reto pois é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��, que tem 180º de

medida de amplitude (porque é composto pelos arcos 𝐵�� e 𝐻��, ambos com 90º de medida de amplitude).

Analogamente, 𝐷��𝐻,𝐵��𝐹 e 𝐷��𝐻 são ângulos retos.


1.

Os alunos não conseguem determinar /

determinam erradamente a medida da amplitude do

ângulo pedido porque

• Não reconhecem 𝐴�� como tendo 180º de

medida de amplitude porque não identificam

[AD] como sendo um diâmetro pelo que

divide a circunferência em dois arcos

geometricamente iguais

• Não relacionam os comprimentos de [CD] e

[AB], nem as medidas das amplitudes de 𝐶�� e

𝐴�� porque não sabem/não

compreendem/não se recordam da definição

de trapézio isósceles


amplitude de 𝐶�� ou de 𝐴�� porque não

relacionam estas medidas de amplitude com a

de 𝐴��


arco 𝐵�� com as medidas das amplitudes de

𝐶�� e 𝐵��

• Não identificam 𝐵��𝐷 como um ângulo

inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��

ou

• Não reconhecem a existência dos ângulos ao

centro 𝐶��𝐷, 𝐶��𝐵 e 𝐴��𝐵.

• Qual a medida da amplitude do arco 𝐴��?

Porquê?

• [AD] é um diâmetro da circunferência, o que

podem concluir sobre a medida de amplitude do

arco 𝐴��?

• Qual a definição de trapézio isósceles? Pensem

num triângulo. O que tem de particular um

triângulo isósceles? Fazendo uma analogia para

o trapézio, o que concluem?

• No trapézio da figura, quais os lados que têm o

mesmo comprimento? Porquê?


amplitudes dos arcos 𝐶�� e 𝐴��? Porquê?


do arco 𝐴�� a partir dos arcos 𝐶��, 𝐵�� e 𝐴��?


do arco 𝐶��?

• Como podem determinar a medida amplitude do

arco 𝐵��? Como podem exprimir a sua medida

de amplitude em função das medidas de

amplitude dos arcos 𝐶�� e 𝐵��?

• Que tipo de ângulo é o ângulo 𝐵��𝐷?

• Que relação existe entre o ângulo pedido e o arco

𝐵��? Como se relacionam as suas medidas de

amplitudes?

• Como podem decompor o trapézio? Que tipo de

ângulos obtêm?

46


𝐶��𝐵 com a medida da amplitude do arco

𝐵�� porque não identificam que 𝐶��𝐵 é um

ângulo ao centro, cujo arco correspondente é

o arco 𝐵��.

• Não relacionam os comprimentos de [CD] e

[AB], nem as medidas de amplitudes de 𝐶�� e

𝐴�� porque não sabem/não

compreendem/não se recordam da definição

de trapézio isósceles


dos ângulos ao centro 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵, pelo que

não reconhecem que são iguais porque não se

recordam que a cordas e arcos

geometricamente iguais correspondem

ângulos ao centro geometricamente iguais /

não identificam que as cordas e os arcos

correspondentes a cada um destes ângulos,

são geometricamente iguais


amplitude de 𝐴��𝐵, porque não reconhecem

que 𝐶��𝐷+ 𝐴��𝐵=100º

• Não identificam o triângulo [AOB] como

isósceles porque não identificam [OA] e

[OB] como raios da circunferência


dos ângulos 𝑂��𝐴 e 𝐵��𝑂 porque não

identificam [AOB] como isósceles.

• Não identificam 𝐵��𝑂 como tendo a mesma

medida de amplitude de 𝐵��𝐷

2.

Os alunos podem não saber como justificar que o

quadrilátero [BDFH] é um quadrado porque

• Não reconhecem que num quadrado as

diagonais terão de ser perpendiculares e ter

igual comprimento

• Não reconhecem que num quadrados os lados

têm todos o mesmo comprimento e os ângulos

por eles formados são retos.

Os alunos podem apenas justificar parte do que é

pretendido, isto é, podem apenas considerar que as

• Que relação existe entre o ângulo 𝐶��𝐵 e o arco

𝐵��? Que nome se atribui a este ângulo? Que

arco lhe corresponde?

• Como se relacionam as medidas de amplitude de

𝐵�� e 𝐶��𝐵? Porquê?

• Qual a definição de trapézio isósceles? Pensem

num triângulo. O que tem de particular um

triângulo isósceles? Fazendo uma analogia para

o trapézio, o que concluem?

• No trapézio da figura, quais os lados que têm o

mesmo comprimento? Porquê?

• Que relação existe entre as medidas de

amplitude dos arcos 𝐶�� e 𝐴��? Porquê?

• O que podem concluir sobre as medidas das

amplitudes dos ângulos ao centro 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵?

Porquê?

• As cordas [CD] e [AB] são geometricamente

iguais? Porquê?

• Os arcos 𝐶�� e 𝐴�� são geometricamente iguais?

Porquê?

• O que podem concluir sobre a medida da

amplitude de dois ângulos ao centro cujas cordas

e arcos são geometricamente iguais?

• O que podem dizer sobre a soma das medidas

das amplitudes dos arcos 𝐶��𝐷 e 𝐴��𝐵? Porquê?

• Classifiquem o triângulo [AOB] quanto aos seus

lados. Porquê?


segmentos de reta [OA] e [OB]? O que concluem

sobre o triângulo [AOB]?

• O que concluem sobre a medida da amplitude

dos ângulos 𝑂��𝐴 e 𝐵��𝑂?

• Como podem prosseguir com esta informação?

O que vos falta descobrir?

• Como se relacionam as medidas de amplitude

de 𝐵��𝑂 e 𝐵��𝐷 ? Porquê?

• Como se pode justificar que [BDFH] é um

quadrado? Quais as particularidades de um

quadrado? O que o distingue de outros

quadriláteros?

• O que podem dizer sobre as diagonais de um

quadrado? Qual a relação que existe entre os

seus comprimentos? Qual a posição relativa

entre as mesmas?

• O que podem dizer sobre os comprimentos dos

lados do quadrado? E sobre a medida da

amplitude dos seus ângulos internos?

47

diagonais têm o mesmo comprimento ou apenas

considerar que estas são perpendiculares.

Os alunos podem, ainda, justificar apenas que os lados

do quadrado são iguais, não referindo a medida das

amplitudes dos seus ângulos internos / referir a medida

das amplitudes dos seus ângulos internos mas não

referir a igualdade do comprimento dos lados.

Os alunos podem identificar que num quadrado as

diagonais são perpendiculares e têm iguais

comprimentos, mas não conseguir transpor essas ideias

para o problema porque

• Não reconhecem que [BF] e [DH] são

diâmetros da circunferência e, em particular,

diagonais do quadrilátero considerado

• Não reconhecem que, sendo o octógono

[ABCDEFGH] regular, os arcos

compreendidos entre os seus lados têm todos

45º de medida de amplitude


amplitude do arco 𝐵�� (ou de outro de entre os

arcos 𝐷𝐹, 𝐹�� e 𝐵��) porque não reconhecem

que 𝐵�� é composto por dois arcos de igual


• Não identificam 𝐵��𝐷 como reto, porque não

relacionam a sua medida da amplitude com a

do arco anteriormente calculado.

Os alunos podem identificar que num quadrado os

lados têm igual comprimento e a medida da amplitude

dos seus ângulos internos é sempre de 90º, mas não

conseguir transpor essas ideias para o problema,

porque

• Não reconhecem que, sendo o octógono

[ABCDEFGH] regular, os arcos

compreendidos entre os seus lados têm todos

45º de medida de amplitude

• Isto será suficiente para justificar que o

quadrilátero é um quadrado? O que poderá

faltar?

• Basta dizer que as diagonais são

perpendiculares? Que outro quadrilátero

conhecem que também tem as diagonais

perpendiculares e não é um quadrado?

• Isto será suficiente para justificar que o

quadrilátero é um quadrado? O que poderá

faltar?

• Basta dizer que os ângulos internos têm todos

90º de medida de amplitude? Que outro

quadrilátero conhecem que também tem os

ângulos internos com 90º de medida de

amplitude e não é um quadrado?


segmentos [BF] e [DH]? Porquê?

• Estes segmentos são lados ou diagonais do

quadrilátero considerado?

• Se o octógono é regular, o que podem concluir

sobre a medida de amplitude dos arcos

compreendidos entre os seus lados? Porquê?

• O octógono regular divide a circunferência em

quantos setores circulares geometricamente

iguais? O que podem concluir sobre a medida da

medida de amplitude desses setores?

• Qual será a medida da amplitude do arco 𝐴��, por

exemplo?


do arco 𝐵��? Este é um arco composto por que

arcos? Qual a sua medida de amplitude? Porquê?


do ângulo 𝐵��𝐷 e a medida da amplitude do

arco 𝐵��? Porquê?

• Se o octógono é regular, o que podem concluir

sobre a medida da amplitude dos arcos

compreendidos entre os seus lados? Porquê?

• O octógono regular divide a circunferência em

quantos setores circulares geometricamente

iguais? O que podem concluir sobre a medida da

amplitude desses setores?

• Qual será a medida de amplitude do arco 𝐴��, por

exemplo?

48


amplitude do arco 𝐵�� (ou de outro de entre os

arcos 𝐷𝐹, 𝐹�� e 𝐵��) porque não reconhecem

que 𝐵�� é composto por dois arcos de igual


• Não identificam 𝐵��𝐷 como reto, porque não

relacionam a sua medida de amplitude com a

do arco anteriormente calculado.

• Não identificam os lados do quadrado como

sendo as cordas dos ângulos ao centro

𝐵��𝐷, 𝐷��𝐹, 𝐹��𝐻 e 𝐵��𝐻.

• Não identificam que estas cordas têm todas o

mesmo comprimento porque não se

recordam que a ângulos ao centro de igual

medida de amplitude correspondem cordas de

igual medida de amplitude ou porque não

identificam que os ângulos ao centro

considerados têm todos a mesma medida de

amplitude.

• Não determinam a medida de amplitude de

𝐵��𝐹 porque não identificam que este é um

ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵��

ou identificam esta relação mas não

reconhecem que 𝐵�� tem 180º de medida de

amplitude.

• Como podem determinar a medida de amplitude

do arco 𝐵��? Este é um arco composto por que

arcos? Qual a sua medida de amplitude? Porquê?


do ângulo 𝐵��𝐷 e a medida da amplitude do

arco 𝐵��? Porquê?

• Que relação existe entre os lados do quadrilátero

e os ângulos ao centro? Porquê?


amplitudes dos ângulos ao centro considerados?

Porquê? O que podem concluir sobre o

comprimento dos lados do quadrilátero?

Porquê?

• O ângulo 𝐵��𝐹 (ou qualquer um dos ângulos

internos deste quadrilátero) é que tipo de

ângulo?

• Que relação existe entre este ângulo e o arco 𝐵��?

Porquê?

• Que relação existe entre as suas medidas de

amplitude?

• Qual a medida de amplitude do arco 𝐵��?

Porquê?

• O arco 𝐵�� pode ser decomposto em que arcos?

Qual a medida de amplitude desses arcos?

Porquê? O que concluem sobre a medida de

amplitude de 𝐵��?

(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz respeito à ficha

de trabalho.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo

quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o

papel da professora será a de mediadora da discussão.

A professora deverá interpelar diferentes alunos, levando os mesmos a

contra-argumentar com respostas diferentes.

A professora não validará prontamente as respostas dadas, mas sim o grupo turma,

de forma orientada pela professora.

Será utilizado o projetor a fim de projetar as figuras presentes na ficha de trabalho.


sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.

Discussão

A discussão do primeiro problema irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Qual a medida de amplitude do ângulo pedido? Como procederam?

• Quem tem uma resposta diferente? Como procederam?






Extra:

Uma vez que esta é uma pergunta que permite duas estratégias de resolução, será importante explorar ambas com

os alunos, para que estes compreendam que podem mobilizar vários conhecimentos anteriores, sem que isso

implique que existe apenas uma maneira de resolver um mesmo problema.

49

Caso alguma das estratégias não surja durante a discussão ou as que surgirem estiverem incorretas e os alunos

não souberem como refutar/justificar, a professora deverá orientar os alunos nesse sentido, recorrendo às questões

orientadoras descritas anteriormente.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A discussão do segundo problema irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Como justificaram que o quadrilátero considerado é um quadrado?

• Quem justificou de forma diferente? Como procederam?





a sua justificação.

Extra:

Esta é uma questão que contempla duas formas de justificação distintas, que devem ser abordadas em aula, caso

não surjam naturalmente durante a discussão, recorrendo-se às questões orientadoras já descritas.

Uma vez que esta é uma questão que poderá ser respondida de forma incompleta (como já descrito nas possíveis

dificuldades), caso nenhum aluno se manifeste sobre isso, a professora deverá orientar os alunos no sentido de

compreenderem o que é importante considerar para se conseguir justificar que o quadrilátero [BDFH] é um

quadrado, através de questões como:

• Para o quadrilátero considerado ser um quadrado, o que têm de verificar?

• Será suficiente justificar que é um quadrado porque as suas diagonais são perpendiculares/ a medida da

amplitude de todos os ângulos internos é de 90º? Existirá algum quadrilátero cujas diagonais são

perpendiculares e não é um quadrado? / Existirá algum quadrilátero cujos ângulos internos tenham todos 90º

de medida de amplitude e não seja um quadrado? Qual?

• Será suficiente justificar que as diagonais têm igual comprimento / o comprimento dos lados é o mesmo?

• O que têm de particular as diagonais de um quadrado?

Caso se verifique, durante a monitorização do trabalho autónomo, que as dúvidas acerca desta questão são

persistentes, o mesmo será interrompido para que, em grupo-turma, se possa discutir sobre isso, recorrendo às

questões descritas.

50

Anexo 3 – Mini teste

1. (5 pontos) Na figura seguinte está representada uma circunferência

de centro em O.

• Os pontos A,B e C pertencem à circunferência.

• 𝐴��𝐵 tem 70º de amplitude

• 𝐵��𝐶 tem 80º de amplitude

Justifiquem que a seguinte afirmação é verdadeira:

“O triângulo [ABC] é um triângulo isósceles”

2. (4 pontos) Na figura seguinte está representada uma

circunferência de centro O.

• 𝐴�� tem 100º de amplitude

• 𝑟 é tangente à circunferência no ponto de tangência

A

Indiquem qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Justifiquem a vossa opção.

[A] 𝛽 tem 100º de amplitude

[B] 𝛽 tem 50º de amplitude

[C] 𝛽 tem 45º de amplitude

3. (5 pontos) Na figura seguinte está representada uma

circunferência.

• Os pontos A,B,D e E pertencem à circunferência.

• O triângulo [ABC] é retângulo em B.

• A amplitude do arco 𝐴�� é de 90º

• 𝐵��𝐶 tem 60º de amplitude

Qual a amplitude do arco 𝐷��? Justifiquem a vossa

resposta.

4. (6 pontos) Comentem a seguinte afirmação:

“Um triângulo inscrito numa semicircunferência nunca é equilátero”

Anexo 4– Pedido de autorização aos encarregados de educação

Exmo. Sr.(a) Encarregado(a) de Educação

Eu, Carolina Costa Rodrigues, mestranda em Ensino de Matemática, no Instituto de Educação

da Universidade de Lisboa, venho por este meio comunicar que a turma ___ será alvo de estudo para

um trabalho de cariz investigativo, no âmbito da unidade de ensino Propriedades de ângulos, cordas e

arcos definidos numa circunferência, no 2.º período do presente ano letivo.

Este trabalho, visa analisar as justificações matemáticas na realização das tarefas propostas no

âmbito da unidade de ensino considerada e, para tal, será necessária a recolha de dados dos alunos da

turma, pelo que serão alvo de análise os seguintes instrumentos: materiais produzidos dentro e fora da

sala de aula, transcrições de diálogos entre alunos e com a professora, transcrições de entrevistas que

sejam realizadas, fora da sala de aula. Caso seja necessária a realização de entrevistas em tempos

relativos a atividades não curriculares, ou em outro horário, o mesmo terá de ser acordado previamente

com os alunos e respetivos encarregados de educação.

Os dados recolhidos serão de uso exclusivo para este trabalho e não serão divulgados os nomes

dos alunos participantes, nem a identificação da escola, salvaguardando-se o seu anonimato.

O desenvolvimento deste trabalho não interfere com o normal funcionamento das atividades letivas,

não resultando em qualquer inconveniente para os alunos, pelo que a sua participação é voluntária.

Solicito, assim, a autorização para implementar o trabalho de cariz investigativo anteriormente

descrito, através do preenchimento da declaração em anexo.

Grata pela vossa colaboração,

09 de fevereiro de 2018

A mestranda em Ensino de Matemática,

________________________________

O Professor de Matemática,

________________________________

Autorização

Eu, encarregado de Educação do(a) aluno(a) __________________________________, n.º

____, da turma___, declaro que tomei conhecimento dos objetivos do trabalho de investigação que

envolverá a turma, e da necessidade da recolha de dados, e autorizo/ não autorizo (riscar o que não

interessa) a participação do meu educando, com a garantia do seu respetivo anonimato.

Queluz, _____ de __________________ de 2018

O(A) Encarregado(a) de Educação

_______________________________

2

Documents

Anexo 1 – Tarefas Ficha de trabalho I Ângulo ao …repositorio.ul.pt/bitstream/10451/35808/2/ulfpie053106...Ficha de trabalho III – Propriedades geométricas numa circunferência