ANALISIS KESTABILAN

ANALISIS KESTABILAN

Sistem Persamaan Predator-Prey

Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

MAKALAH

Untuk memenuhi tugas matakuliah

Sistem Dinamik

yang dibina oleh Bapak Toto Nusantara

Oleh:

Aldila Sakinah Putri

NIM 408312408014

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

MEI 2012

A. Predator-Pre

Diberikan sistem persamaan dua dimensi tak linier sebagai kasus sistem

persamaan dari predator-pre sebagai berikut,

(1 0,5 )

( 0,75 0,25 )

x x y

y y x

(1)

Mencari titik setimbang adalah dengan membuat ruas kanan sistem

persamaan (1) disama dengankan dengan nol sehingga sistem persamaan

tersebut menjadi

0 (1 0,5 )

0 ( 0,75 0,25 )

x y

y x

(2)

(3)

Sehingga titik setimbang dari sistem persamaan (1) adalah

0,0 dan 3,2 . Dan matriks Jacobian dari sistem persamaan (1) adalah

1 0,5 0,5

0,25 0,75 0,25

y xA

y x

(4)

Untuk titik kesetimbangan 0,0 disubstitusikan pada matriks (4)

1 0

0 0,75A

(5)

Sehingga

det 0

0

1 00

0 0,75

1 0,75 0

A I

A I

(6)

Jadi didapatkan akar-akar persamaan karakteristiknya adalah

1 21, 0,75 . Karena akar-akar karakteristik keduanya bernilai real dan

salah satunya bernilai positif maka kestabilan sistem adalah tidak stabil

dengan potret fase yang terbentuk adalah saddle pada titik setimbang 0,0 .

Sedangkan untuk titik setimbang kesetimbangan 3,2 disubstitusikan pada

matriks (4)

0 1,5

0,5 0A

(7)

Sehingga

2

1,2

det 0

0

0 1,50

0,5 0

(0,5)( 1,5) 0

0,74 0

4(0,75) 3

2 2

A I

A I

i

(8)

Jadi didapatkan akar-akar persamaan karakteristiknya adalah

1 2

3 3,

2 2

i i . Karena akar-akar karakteristik bernilai imajiner

konjugat dengan bagian real sama dengan nol maka kestabilan sistem adalah

tidak stabil dengan dengan potret fase yang terbentuk adalah center pada titik

setimbang 3,2 . Kestabilan dua titik setimbang 0,0 dan 3,2 terlihat pada

potret fase berikut,

Gambar 1 Potret Fase Saddle dan Center

pada Sistem Persamaan Predator-Pre

B. Model Matematika Konsentrasi Oksigen Terlarut pada Ekosistem

Perairan Danau

Diberikan sistem persamaan satu dimensi tak linier sebagai kasus sistem

persamaan ekosistem perairan danau sebagai berikut,

4( ) (1 0,1 )

(1 )

xx a t x x

x

(9)

Dengan parameter ( )a t positif, yang diberikan sebagai berikut:

( ) 0,5; ( ) 0,7; ( ) 1; ( ) 1,2; ( ) 1,3a t a t a t a t a t

Titik Setimbang Sistem Persamaan

Mencari titik setimbang dengan menggunakan program Maple yaitu:

1. Untuk parameter ( ) 0,5a t . Didapatkan tiga titik setimbang yaitu

1

2,3

0,216462456

4,391768772 1,952193880

x

x i

.

2. Untuk parameter ( ) 0,7a t . Didapatkan tiga titik setimbang yaitu

1

2,3

0,350564086

4,324717958 1,124559024

x

x i

.

3. Untuk parameter ( ) 1a t . Didapatkan tiga titik setimbang yaitu

1

2

3

5,895106516

2,397295069

0,7075984148

x

x

x

.

4. Untuk parameter ( ) 1,2a t . Didapatkan tiga titik setimbang yaitu

1

2,3

6,522333393

1,238833303 0,5523806665

x

x i

.

5. Untuk parameter ( ) 1,3a t . Didapatkan tiga titik setimbang yaitu

1

2,3

6,773591475

1,113204263-0,8246177685

x

x i

.

Linierisasi Sistem Persamaan

Diketahui sistem persamaan (9) dengan ( )a t parameter positif yang

nilainya adalah ( ) 0,5; ( ) 0,7; ( ) 1; ( ) 1,2; ( ) 1,3a t a t a t a t a t , dan dimisalkan

x

menjadi f maka sistem menjadi

4( ) (1 0,1 )

(1 )

xf a t x x

x

Dilakukan linierisasi ke dalam matriks Jacobian,

2

2

4( ) (1 0,1 )

(1 )

4

( ) (1 0,1 ) (1 )

4 1 1 4 )

4 41 0,2

0 1 2.0,

(1 )

11

4 81 0,2

1

fx x

x

xa t x x

xx

x

x

a t x x xx

x x x

x xx x

x

xx x

x

xx

x

2(1 )x

x

Dari matriks linierisasi Jacobian yang berukuran 1x1 dapat dicari nilai

eigen dengan menentukan persamaan karakteristiknya. Misalkan A adalah matriks

linierisasi Jacobian dengan titik kesetimbangan yang telah dicari berdasarkan

parameter ( )a t dan adalah akar-akar karakteristik, maka det 0A I

Menentukan akar-akar karakteristik

Menentukan akar-akar karakteristik dengan menggunakan program

Maple yaitu:

1. Untuk parameter ( ) 0,5a t .

a. Pada titik kesetimbangan 1 0,216462456x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu 101,746395006 4,244201801.10 i . Karena

akar karakteristik bernilai imajiner tak nol dengan bagian real bernilai

negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan potret fase

yang terbentuk adalah spiral penyedot.

b. Pada titik kesetimbangan 2 4,391768772 1,952193880x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,281976804 0,3125595325i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

c. Pada titik kesetimbangan 3 4,391768772 1,952193880x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,281976804 0,3125595325i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

2. Untuk parameter ( ) 0,7a t .

a. Pada titik kesetimbangan 1 0,350564086x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu -1,26306720 . Karena akar karakteristik bernilai

real negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan potret fase

yang terbentuk adalah node penyedot.

b. Pada titik kesetimbangan 2 4,324717958 1,124559024x i ,

didapatkan nilai akar karakteristik yaitu

0,115336006 0,1703009140i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

c. Pada titik kesetimbangan 3 4,324717958 1,124559024x i ,

didapatkan nilai akar karakteristik yaitu

0,115336006 0,1703009140i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

3. Untuk parameter ( ) 1a t .

a. Pada titik kesetimbangan 1 5,895106516x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu -0,2631565614 . Karena akar karakteristik

bernilai real negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan

potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

b. Pada titik kesetimbangan 2 2,397295069x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu 0,1739690006 . Karena akar karakteristik

bernilai real bernilai positif maka kestabilan sistem dikatakan tidak

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah node pelempar.

c. Pada titik kesetimbangan 3 0,7075984148x , didapatkan satu nilai

akar karakteristik yaitu -0,5133124390 . Karena akar karakteristik

bernilai real negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan

potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

4. Untuk parameter ( ) 1,2a t .

a. Pada titik kesetimbangan 1 6,522333393x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu -0,3751561670 . Karena akar karakteristik

bernilai real negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan

potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

b. Pada titik kesetimbangan 2 1,238833303 0,5523806665x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,863280834 0,2394169745i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

c. Pada titik kesetimbangan 3 1,238833303 0,5523806665x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,863280834 0,2394169745i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

5. Untuk parameter ( ) 1,3a t .

a. Pada titik kesetimbangan 1 6,773591475x , didapatkan satu nilai akar

karakteristik yaitu -0,4209119810 . Karena akar karakteristik

bernilai real negatif maka kestabilan sistem dikatakan stabil dengan

potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

b. Pada titik kesetimbangan 2 1,113204262 0,8246177685x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,2054559904 0,3615876264i . Karena akar karakteristik

bernilai imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka

kestabilan sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang

terbentuk adalah spiral pelempar.

c. Pada titik kesetimbangan 3 1,113204262-0,8246177685x i ,

didapatkan satu nilai akar karakteristik yaitu

0,2054559904-0,3615876264i . Karena akar karakteristik bernilai

imajiner tak nol dengan bagian real bernilai positif maka kestabilan

sistem dikatakan tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

Potret Fase Sistem Persamaan

Ilustrasi potret fase didapatkan dengan menggunakan program Maple

yaitu:

1. Untuk parameter ( ) 0,5a t .

Pada titik kesetimbangan 1 0,216462456x , potret fase yang terbentuk

adalah spiral penyedot.Pada titik kesetimbangan

2 4,391768772 1,952193880x i , potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 4,391768772 1,952193880x i ,

potret fase yang terbentuk adalah spiral pelempar.

Gambar 2 Potret Fase pada Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

dengan parameter ( ) 0,5a t

2. Untuk parameter ( ) 0,7a t .

Pada titik kesetimbangan 1 0,350564086x , potret fase yang terbentuk

adalah node penyedot. Pada titik kesetimbangan

2 4,324717958 1,124559024x i , potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 4,324717958 1,124559024x i ,

potret fase yang terbentuk adalah spiral pelempar.

Gambar 3 Potret Fase pada Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

dengan parameter ( ) 0,7a t

3. Untuk parameter ( ) 1a t .

Pada titik kesetimbangan 1 5,895106516x , potret fase yang terbentuk

adalah node penyedot. Pada titik kesetimbangan 2 2,397295069x , potret

fase yang terbentuk adalah node pelempar. Pada titik kesetimbangan

3 0,7075984148x , potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

Gambar 4 Potret Fase pada Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

dengan parameter ( ) 1a t

4. Untuk parameter ( ) 1,2a t .

Pada titik kesetimbangan 1 6,522333393x , potret fase yang terbentuk

adalah node penyedot. Pada titik kesetimbangan

2 1,238833303 0,5523806665x i , potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar. Pada titik kesetimbangan

3 1,238833303 0,5523806665x i , potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

Gambar 5 Potret Fase pada Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

dengan parameter ( ) 1,2a t

5. Untuk parameter ( ) 1,3a t .

Pada titik kesetimbangan 1 6,773591475x , potret fase yang terbentuk

adalah node penyedot. Pada titik kesetimbangan

2 1,113204262 0,8246177685x i , potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar. Pada titik kesetimbangan

3 1,113204262-0,8246177685x i , potret fase yang terbentuk adalah

spiral pelempar.

Gambar 6 Potret Fase pada Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

dengan parameter ( ) 1,3a t

C. Kesimpulan

1. Sistem Persamaan Predator-Pre

Pada sistem persamaan dua dimensi tak linier sebagai kasus sistem persamaan

dari predator-pre sebagai berikut,

(1 0,5 )

( 0,75 0,25 )

x x y

y y x

Diperoleh titik setimbang dari sistem persamaan adalah 0,0 dan 3,2 . Pada

titik setimbang 0,0 kestabilan sistem adalah tidak stabil dengan potret fase yang

terbentuk adalah saddle. Pada titik setimbang 3,2 kestabilan sistem adalah tidak

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah center.

2. Sistem Persamaan Ekosistem Perairan Danau

Pada sistem persamaan satu dimensi tak linier sebagai kasus sistem persamaan

ekosistem perairan danau sebagai berikut,

4( ) (1 0,1 )

(1 )

xx a t x x

x

. Dengan parameter ( )a t positif, yang diberikan

sebagai berikut:

a) Untuk parameter ( ) 0,5a t .

Pada titik kesetimbangan 1 0,216462456x , kestabilan sistem adalah

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah spiral penyedot.Pada titik

kesetimbangan 2 4,391768772 1,952193880x i , kestabilan sistem

adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 4,391768772 1,952193880x i ,

kestabilan sistem adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk

adalah spiral pelempar.

b) Untuk parameter ( ) 0,7a t .

Pada titik kesetimbangan 1 0,350564086x , kestabilan sistem adalah

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah node penyedot. Pada titik

kesetimbangan 2 4,324717958 1,124559024x i , kestabilan sistem

adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 4,324717958 1,124559024x i ,

kestabilan sistem adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk

adalah spiral pelempar.

c) Untuk parameter ( ) 1a t .

Pada titik kesetimbangan 1 5,895106516x , kestabilan sistem adalah

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah node penyedot. Pada titik

kesetimbangan 2 2,397295069x , kestabilan sistem adalah tidak stabil

dengan potret fase yang terbentuk adalah node pelempar. Pada titik

kesetimbangan 3 0,7075984148x , kestabilan sistem adalah stabil dengan

potret fase yang terbentuk adalah node penyedot.

d) Untuk parameter ( ) 1,2a t .

Pada titik kesetimbangan 1 6,522333393x , kestabilan sistem adalah

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah node penyedot. Pada titik

kesetimbangan 2 1,238833303 0,5523806665x i , kestabilan sistem

adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 1,238833303 0,5523806665x i ,

kestabilan sistem adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk

adalah spiral pelempar.

e) Untuk parameter ( ) 1,3a t .

Pada titik kesetimbangan 1 6,773591475x , kestabilan sistem adalah

stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah node penyedot. Pada titik

kesetimbangan 2 1,113204262 0,8246177685x i , kestabilan sistem

adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk adalah spiral

pelempar. Pada titik kesetimbangan 3 1,113204262-0,8246177685x i ,

kestabilan sistem adalah tidak stabil dengan potret fase yang terbentuk

adalah spiral pelempar.

D. Lampiran

Lampiran 1

Menentukan potret fase pada sistem persamaan (1) yaitu sistem persamaan

predator-pre

>

>

Lampiran 2

Menentukan titik kesetimbangan dan akar-akar karakteristik pada sistem

persamaan (9) dengan parameter ( ) 0,5a t

Lampiran 3

Menentukan titik kesetimbangan dan akar-akar karakteristik pada sistem

persamaan (9) dengan parameter ( ) 0,7a t

Lampiran 4

Menentukan titik kesetimbangan dan akar-akar karakteristik pada sistem

persamaan (9) dengan parameter ( ) 1a t

Lampiran 5

Menentukan titik kesetimbangan dan akar-akar karakteristik pada sistem

persamaan (9) dengan parameter ( ) 1,2a t

Lampiran 6

Menentukan titik kesetimbangan dan akar-akar karakteristik pada sistem

persamaan (9) dengan parameter ( ) 1,3a t

Lampiran 7

Potret fase pada sistem persamaan (9) dengan parameter ( ) 0,5a t

>

>

Lampiran 8

Potret fase pada sistem persamaan (9) dengan parameter ( ) 0,7a t

>

>

Lampiran 9

Potret fase pada sistem persamaan (9) dengan parameter ( ) 1a t

>

>

Lampiran 10

Potret fase pada sistem persamaan (9) dengan parameter ( ) 1,2a t

>

>

Lampiran 11

Potret fase pada sistem persamaan (9) dengan parameter ( ) 1,3a t

>

>