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ANÁLISIS I: CÁLCULO DIFERENCIAL
(Límites y continuidad, derivadas, estudio y representación de funciones)
Curso 2009-2010
-Enunciados: pg. 2.
-Soluciones: pg 3.
Curso 2010-2011
-Enunciados: pg. 5.
-Soluciones: pg 6.
Curso 2011-2012
-Enunciados: pg. 8.
-Soluciones: pg 9.
Curso 2012-2013
-Enunciados: pg. 11.
-Soluciones: pg 12.
Curso 2013-2014 A partir del curso 2013-2014 dejaron de
publicarse los exámenes de reserva.
-Enunciados: pg. 14.
-Soluciones: pg. 14.
Curso 2014-2015
-Enunciados: pg. 16.
-Soluciones: pg. 16.
Curso 2015-2016
-Enunciados: pg. 17.
-Soluciones: pg. 17.
Este compendio se hizo, en parte, en colaboración con el grupo de segundo de bachillerato de ciencias del
IES Guadalerzas de la promoción 2014-2015. Mi reconocimiento.
ii
2009-2010 Enunciados
Junio 2009-2010
Septiembre 2009-2010
Reserva I 2009-2010
iii
Reserva II 2009-2010
2009-2010 SOLUCIONES
Junio 2009-2010
1A a) Teorema de Bolzano: …
b) El teorema no es aplicable a la función f ya que, aunque es continua, es siempre positiva y por lo
tanto no cambia de signo.
c) Consideramos la función )()()( xgxfxh .
i) Es continua por serlo f y g .
ii) 0)0( h , 0)1( h .
Luego por el teorema de Bolzano existe un 1,0c tal que 0)( ch . Por tanto, las funciones se cortan
en c. Veamos:
)()(0)()(0)( cgcfcgcfch
1B a) La velocidad máxima se alcanza en 2t s.
b) 02
lim22
lim2
lim2lim''2
2
tt
HopL
tt
HopL
tt
t
t ee
t
e
ttett .
A la larga la velocidad tiende a 0. Es decir, el móvil va frenando de forma que va quedándose parado.
iv
Septiembre 2009-2010
1A a) Definición de derivada en un punto: La derivada de la función f en el punto 0xx es:
h
xfhxfxf
xx
000
0
lim
b) 4/3,4/1,2/1 cba .
1B a) 1183 23 xxxf .
b) Punto de inflexión: 49,2 P .
Convexa (“cóncava hacia arriba”, ) en el intervalo ),2( .
Cóncava (“cóncava hacia abajo”, ) en el intervalo )2,( .
Reserva I 2009-2010
1A a) Máximo relativo en 50,22 Maxx .
Mínimo relativo en 46,22 Minx .
b) Teorema de Lagrange: …
La tesis del teorema se verifica para 3
41 c y
3
42 c , ambos del intervalo 2,2 .
1B a) 6,8,2 CBA .
b) 2...6)1(ln82
lim'
2
2
HopL
t t
tt.
Reserva II 2009-2010
1A a) 12
1
xxxf .
b) La pendiente de la recta tangente, m, es igual a la derivada de la función en el punto dado y, como
ésta no se anula en ningún punto, la recta tangente no puede ser horizontal.
1B a) 1,6,3 cba .
v
2010-2011 ENUNCIADOS
Junio 2010-2011
Septiembre 2010-2011
Reserva I 2010-2011
vi
Reserva II 2010-2011
2010-2011 SOLUCIONES
Junio 2010-2011
1A a) Asíntota vertical: 0x .
Asíntota oblicua: 2
32 xy .
b) Máximo relativo en 2/5,11 Maxx .
Mínimo relativo en 2/11,11 Minx .
1B La cantidad mínima se alcanza en 3t s, y es 89,429/3863 C litros.
Septiembre 2010-2011
1A a) 1a . El mínimo relativo es absoluto porque no hay más extremos relativos, de manera que la
función va decreciendo hasta 0x y crece a partir de ahí (“luego en 0x debe estar el punto más
bajo”).
b) eP /2,1
1B a) Teoremas de Bolzano y de Role: …
b) Se considera la función 7)( xexf x y se aplica el teorema de Bolzano, por ejemplo, en el
intervalo 0,1 .
c) Si la función se anulara dos veces, digamos en 1x y en 2x , según el teorema de Rolle debería existir
algún punto del intervalo 21 , xx en el que su derivada valiera 0. Sin embargo, la derivada es
67)( xexf x , que nunca vale 0 porque es siempre positiva.
vii
Reserva I 2010-2011
1A a) Una función es continua en el punto 0xx si en dicho punto el valor del límite coincide con el valor
de la función.
b) 36/1a .
1B a) 33/1 ee .
b) 6/1 .
Reserva II 2010-2011
1A El área es 222
12
a
aa
a
a
aA . El área mínima se alcanza en 2a .
1B a) La función es creciente en )4,2()2,0( , y decreciente en ),4()0,( .
b) Asíntota vertical: 2x .
Asíntota oblicua: 2 xy .
viii
2011-2012 ENUNCIADOS
Junio 2011-2012
Septiembre 2011-2012
Reserva I 2011-2012
Reserva II 2011-2012
ix
2011-2012 SOLUCIONES
Junio 2011-2012
1A 16,12,3 cba .
1B a) La derivada de tN es:
221
120
t
t
e
etN
.
Está expresión no se anula, por lo que tiene siempre el mismo signo: es siempre positiva. Por tanto,
tN es siempre creciente.
Además, si siempre es creciente, toma su valor mínimo “al principio”, en 0t . Por tanto, la
concentración mínima es 200 N .
b) 6001
60
21
60
21
60
21
60
21
60limlim
e
eetN
ttt.
Septiembre 2011-2012
1A a) Teoremas de Bolzano y de Role: …
b) Nota: A las soluciones de una ecuación se les llama también raíces de la ecuación.
Consideremos la función 35)( 5 xxxf . Como la función es continua, basta aplicar el Teorema
de Bolzano a tres intervalos distintos en los que la función cambie de signo. Por ejemplo 1,2 ,
1,0 y 2,1 .
c) A partir del teorema de Rolle, se observa que entre cada dos puntos en los que se anula una función,
debe existir un punto en el que se anula la derivada.
Así, como la derivada de la función f sólo se anula dos veces (en 1 ), la función no puede anularse 4
veces, pues en ese caso la derivada debería haberse anulado tres veces, no dos.
1B 0,4 ba .
Reserva I 2011-2012
1A a) Teorema de Lagrange:…
Interpretación geométrica: Bajo las hipótesis del teorema, dados dos puntos de la gráfica de la
función, existe un punto intermedio en el que la recta tangente a la gráfica es paralela al segmento
que une los dos puntos.
x
b) 1x .
1B 0,2 ba . Además, el punto dado es un máx. relativo porque en él la función pasa de ↗ a ↘.
Reserva II 2011-2012
1A a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo).
b) La pendiente viene dada por la derivada, 3036244 23 xxxxf . Por tanto hay que calcular
dónde se alcanzan los valores mínimo y máximo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada
de la derivada (la segunda derivada), 364812 2 xxxf .
El mínimo se alcanza en 3x y el máximo en 1x .
1B
2
1
...)log'(2coslim
lim1...11
lim21
2/
0
1
11
00
2
aee
estomandox
eex
xx
a
axa
x
x
xx
xx
xi
2012-2013 ENUNCIADOS
Junio 2012-2013
Septiembre 2012-2013
Reserva I 2012-2013
xii
Reserva II 2012-2013
2012-2013 SOLUCIONES
Junio 2012-2013
1A a) Teorema de Bolzano: …
b) Consideramos la función )()()( xgxfxh , que es continua por serlo f y g . Además 0)1( h
y , 0)0( h . Por tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un punto )0,1(c …
c) Los candidatos a puntos de inflexión son 0x y 1x . De ellos, sólo hay un punto de inflexión en
0x , donde pasa de ser cóncava a convexa (mientras que en 1x no hay punto de inflexión porque
en él no cambia la curvatura: es convexa tanto antes como después).
1B a) 5,2 ba .
b) La recta tangente en 0x es xy 5 .
Septiembre 2012-2013
1A a) 2a .
b) 3...12
72lim)(lim e
x
xxf
x
xx
1B a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo).
b) La pendiente viene dada por la derivada, xxxf 63 2 . Por tanto hay que calcular dónde se
alcanza el mínimo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada de la derivada (la segunda
derivada), 66 xxf .
El mínimo se alcanza en 1x .
Reserva I 2012-2013
1A a) Teorema de Rolle...
b) La función está bajo las hipótesis del teorema de Rolle, ya que es continua y derivable en toda la
recta real, por ser un polinomio, y 0)2(,0)1( ff . Por tanto, existe un 2,1c con 0)( cf .
Como la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, se concluye que la
tangente en el punto c del intervalo debe tener pendiente nula.
1B a) 2a .
b) 1.
xiii
Reserva II 2012-2013
1A (La función a minimizar es 2yx , o también se puede utilizar yx 2 , teniendo la relación 242
yx
).
Los números son 16 y 32.
1B a) Teorema del valor medio de Lagrange: …
b) En 0x .
xiv
2013-2014 ENUNCIADOS
Junio 2013-2014
Septiembre 2013-2014
2013-2014 SOLUCIONES
Junio 2013-2014
1A a) 2,1 ba .
b) 12 xy .
1B a) La función es creciente en )1,0()1,( y decreciente en ),0()0,1( .
Tiene dos máximos relativos,
eMax
11,11 y
eMax
11,12 , y un mínimo, 1,0Min .
b) La función no tiene asíntota vertical (su dominio es ℝ).
La asíntota horizontal, por los dos lados, es 1y .
Por tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
Septiembre 2013-2014
1A a) La función es convexa, , en )1,( y cóncava, , en ),1( . No tiene ptos de inflexión.
b) Cuando 0x y 2x . Es decir, en los puntos de la gráfica 2/1,0 P y 2/3,2Q .
xv
1B a) La función es decreciente en )2/1,( y creciente en ),2/1( . Min. relativo:
2
3,
2
1Min .
b) La asíntota oblicua cuando x (es decir, a la dcha.) es 2
1 xy .
xvi
2014-2015 ENUNCIADOS
Junio 2014-2015
Septiembre 2014-2015
2014-2015 SOLUCIONES
Junio 2014-2015
1A a) 1,1 ba .
b) Para dichos valores la función tiene un mínimo local en el punto de abscisa 0x .
1B a) Función 𝑓: Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ+ − {2} = [0,2) ∪ (2, ∞).
Asíntotas: Horizontales: 𝑦 = −1. Verticales: no tiene. Obliculas: No tiene.
a) Función 𝑔: Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ − {2}.
Asíntotas: Horizontales: No tiene. Verticales: 𝑥 = 2. Obliculas: 𝑦 = 𝑥 + 4.
Septiembre 2014-2015
1A 2/1sen
1
0sen 0)tan1(lim,2
)21(lnlim ex
xe
xxx
xxx
.
1B a) Se divide a 72 cm de uno de los extremos (y, por tanto, a 18 cm del otro), de modo que el
semicírculo tenga un diámetro de 72 cm y el triángulo una base de 18 cm.
xvii
2015-2016 ENUNCIADOS
Junio 2015-2016
Septiembre 2015-2016
2015-2016 SOLUCIONES
Junio 2015-2016
1A a) El punto de inflexión está en 𝑥 = −1. Si queremos que en tal punto se satisfaga que la condición
impuesta debe cumplirse que 𝑎 = 0.
b) La función es creciente en (−∞, −2) ∪ (0, ∞) y decreciente en (−2, 0).
Tiene un máximo relativo en 𝑀𝑎𝑥(−2, −2) y un mínimo relativo en 𝑀𝑖𝑛(0, −6).
1B a) Teorema de Bolzano: …
Teorema de Rolle: …
b) Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 𝑥5, que es continua en toda la recta real. Se cumple además
que 𝑓(−1) < 0 y que 𝑓(0) > 0, luego podemos aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo [−1, 0] par concluir que existe un punto 𝑐 ∈ (−1, 0) tal que 𝑓(𝑐) = 0. Este punto es solución de la ecuación.
c) Consideremos como antes la función 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 𝑥5. Si la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 tuviera otra
solución más, 𝑑, podríamos aplicar el Teorema de Rolle a la función 𝑓 en el intervalo dado por las dos
soluciones [𝑐, 𝑑], pues 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑑) por ser iguales a 0. Sin embargo, 𝑓′(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 5𝑥4 > 0 y, como
la derivada no se anula no se cumple la tesis del Teorema de Rolle. Por tanto, no la ecuación no puede
tener dos o más soluciones.
xviii
Septiembre 2015-2016
1A Las dimensiones son 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚. Es decir, se trata de un cubo.
Para esas dimensiones, el precio del depósito será de 60000 €.
1B a) Por la derecha: lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0. la recta 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal por la dcha.
Por la izquierda: lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞ no hay asíntota horizontal por la izquierda.
b) Punto de inflexión en 𝑥 = 2. 𝑃(2, 4𝑒−1).
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