Algorytmy i struktury danych - Slawomir Samolej -...

1

Algorytmy i struktury danych

dr inż. Sławomir SamolejD108 A, tel: 865 1486,

email: ssamolej@prz-rzeszow.plWWW: ssamolej.prz-rzeszow.pl

2

Program komputerowy - dyskusja

• Program komputerowy jest skonkretyzowaniem abstrakcyjnych algorytmów przetwarzających określone struktury danych,

• Stąd, pojęcia struktury danych i algorytmu sąbardzo ściśle związane ze sobą związane –dobór struktury danych narzuca wybór algorytmu i odwrotnie,

• Dane odzwierciedlają zwykle informacje o obiektach rzeczywistych przystosowane ostatecznie do możliwości komputera.

3

Struktury danych - dyskusja• Podstawowe typy danych, jakie może przechować komputer to liczby stało i

zmiennopozycyjne,• Dane są przechowywane w tzw. zmiennych – miejscach w pamięci, które można

zapisać ciągiem bitów lub odczytać.• Większość języków programowania umożliwia w prosty sposób zorganizowanie

podstawowych typów danych w podstawowe struktury danych:– Tablicę,– Rekord,– Zbiór,– Plik sekwencyjny,

• W strukturach podstawowych zmienne zmieniają jedynie wartość, z góry określona jest długość danych – ilość i rodzaj elementów w strukturze.

• Na bazie struktur podstawowych buduje się struktury złożone – w nich możliwa jest zmiana zarówno wartości zmiennych jak i przeorganizowanie samej struktury danych w czasie wykonywania programu,

• Typowe struktury złożone to:– Lista,– Stos,– Kolejka– Drzewo.

4

Podstawowe struktury danych -tablica

• Tablica jest strukturą jednorodną – składa się ze składowych tego samego typu.

• Tablica nazywana jest strukturą o dostępie swobodnym – wszystkie składowe mogą być wybrane w dowolnej kolejności i są jednakowo dostępne,

• W celu wybrania pojedynczej składowej stosuje sięindeks – numer składowej w tablicy,

• Zastosowania tablic – przechowywanie grupy danych jednakowego typu – wyników pomiarów, tekstów, macierzy, wektorów itp.

0.50.250.1250.0625

0.03125

x1

x2

x3

x4

x5

5

Podstawowe struktury danych -rekord

• Służy do łączenia w jedną strukturę elementów o dowolnych typach, np.:– Liczby zespolone – para liczb rzeczywistych,– Wiersz z bazy danych – imię, nazwisko, data urodzenia, wiek, płaca podstawowa.

JanKowalski

453500,34

12 02 1988

• Uwagi:– Składowymi rekordu może być tablica (np. tablica znaków zawierająca

imię),– Rekordy mogą być zgrupowane w tablicę (np. prosta baza danych).

l. zmiennopoz.l. całkowitaDataTekstTekst

6

Podstawowe struktury danych -zbiór

• Pojęcie zbioru danych odpowiada matematycznemu pojęciu zbioru,

• Wprowadza się je, aby można było dokonywaćoperacji na danych identycznych jak operacji na zbiorach matematycznych,

• Kluczowymi operacjami są: zdefiniowanie zbioru, sprawdzenie, czy dana wartość należy do zbioru, możliwość zdefiniowania różnicy, sumy zbiorów oraz zdefiniowania podzbiorów.

7

Podstawowe struktury danych –plik sekwencyjny

• Plik sekwencyjny jest ciągiem danych, w pewnych przypadkach może być traktowanym jako nieskończony, lub wystarczająco długi,

• Specyfiką pliku sekwencyjnego jest, że w danym momencie dostępna jest tylko jedna składowa ciągu określona przez aktualną pozycję,

• W przetwarzaniu pliku dostępne są następujące operatory plikowe:– Ustawienie się na początek pliku,– Przesunięcie aktualnej pozycji o zadaną ilość elementów ciągu,– Odczyt bieżącego elementu ciągu,– Dopisanie elementu na końcu ciągu,– Dostępny jest również operator: Zapis w bieżącym elemencie

ciągu (uwaga: następuje zamazanie poprzednich elementów ciągu).

8

Algorytm - definicjaAlgorytm:• Skończony ciąg/sekwencja reguł, które aplikuje się na

skończonej liczbie danych, pozwalający rozwiązaćzbliżone do siebie klasy problemów;

• Zespół reguł charakterystycznych dla pewnych obliczeńlub czynności informatycznych.

Słowo "algorytm" pochodzi od nazwiska Muhammed ibnMusa Alchwarizmi (أبو عبد اهللا محمد بن موسى الخوارزمي )matematyka perskiego z IX wieku i początkowooznaczało w Europie sposób obliczeń oparty nadziesiętnym systemie liczbowym.

9

Jeden z pierwszych algorytmów-algorytm Euklidesa na obliczenie

NWD• NWD(liczba całkowita a, liczba całkowita b)• dopóki b != 0

c := reszta z dzielenia a przez b a := b b := c

• zwróć a

10

Algorytm Euklidesa - przykład

a b c

NWD(1071,1029) = NWD (1029, 1071 mod 1029 =42)= NWD(1029,42) = NWD(42,1029 mod 42 = 21)= NWD(42, 21) = NWD(21, 42 mod 21 = 0)STĄD:NWD(1071,1029)=21

11

Algorytm - cechyKażdy algorytm:• Posiada dane wejściowe ( w ilości większej lub równej 0)

pochodzące z dobrze zdefiniowanego zbioru;• Produkuje pewien wynik (niekoniecznie numeryczny);• Jest precyzyjnie zdefiniowany (każdy krok algorytmu

musi być jednoznacznie określony);• Jest skończony (wynik algorytmu musi zostać „kiedyś”

dostarczony – mając algorytm A i dane wejściowe Dpowinno być możliwe precyzyjne określenie czasu wykonania T(A)).

12

Metody opisu algorytmów

• Graficzny – schemat blokowy• Pseudokod – mieszanka języka

naturalnego i form składowych pochodzących z kilku języków programowania

• Kod w języku programowania

13

Konwencja graficznego opisu algorytmu (1)

Początek lub koniec algorytmu

Odczyt danych

Zapis danych

Decyzja

Strzałki łączące

14

Konwencja graficznego opisu algorytmu (2)

Wykonanie instrukcji, proces

Wywołanie procesu wcześniej zdefiniowanego (procedury/funkcji)

Łącznik stronicowy

Łącznik międzystronicowy

15

Przykład algorytmu – rozwiązanie rów. kwadratowego

Start

a,b,c

a == 0

Równanie nie jest kwadratowe

del = b*b - 4*a*c

Del >= 0

N T

x1 = (-b – sqrt(del))/(2*a)x2 = (-b + sqrt(del))/(2*a)

Równanie nie ma pierwiastków

rzeczywistych

x1, x2

Stop

TN

16

Przetworzenie ciągu danych o nieznanej długości, ale ze znacznikiem końca.

...

Na!=znacznik_konca

a

START

...

STOP

T...

a

17

Przykład algorytmu – obliczanie średniej arytmetycznej z ciągu danych, 0 oznacza

koniec ciągu

l=0s=0

T

Na!=0

a

START

l=l+1s=s+a

a

STOP

l==0

Brak danych s=s/l

s

NT

18

Przetworzenie ciągu danych o znanej długości.

...

Na<ilosc_elementow

a=0

START

...

STOP

T...

a++

19

Przykład algorytmu – wyznaczenie maksymalnego elementu ciągu zapisanego

w tablicy t o długości dl_tab

T

Ni<dl_tab

max_el=t[0]i=1

START

STOP

t,dl_tab

max_el=t[i]

max_el

t[i]>max_elTN

i++

20

Przykład algorytmu– obliczanie silni z n

T

Ni<=n

s=1i=2

START

STOP

n

s=s*ii=i+1

s

21

Przykład algorytmu – sortowanie przez wstawianie

ai=1 = -1, 0, 5, 8, -3, 2, -3ai=2 = -1, 0, 5, 8, -3, 2, -3ai=3 = -1, 0, 5, 8, -3, 2, -3ai=4 = -1, 0, 5, 8, -3, 2, -3ai=5 = -3, -1, 0, 5, 8, 2, -3ai=6 = -3, -1, 0, 2, 5, 8, -3ai=7 = -3, -3, -1, 0, 2, 5, 8

22

Przykład algorytmu – sortowanie przez wstawianie - implementacja

T

Nj>0 && tmp<data[j-1]

START

STOP

data,n

i=0

T

Ni<n

tmp=data[i]j=i

data[j]=data[j-1]j--

data[j]=tmpi++

23

Przykład algorytmu – sortowanie przez wybieranie

ai=1 = 4, 6, -13, 2, 5, 14, -5ai=2 = -13, 6, 4, 2, 5, 14, -5ai=3 = -13, -5, 4, 2, 5, 14, 6ai=4 = -13, -5, 2, 4, 5, 14, 6ai=5 = -13, -5, 2, 4, 5, 14, 6ai=6 = -13, -5, 2, 4, 5, 14, 6ai=7 = -13, -5, 2, 4, 5, 6, 14

24

Przykład algorytmu –sortowanie

przez wybieranie -

implementacja

T

Nj<n

START

STOP

data,n

data[j]<data[least]TN

i=0

T

Ni<n-1

j=i+1least=i

least=j

j++

tmp=data[least]data[least]=data[i]

data[i]=tmpi++

25

Przykład algorytmu – sortowanie bąbelkowe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 12 2 2 1 5 5 5 2 2 2 23 3 1 2 2 2 2 5 5 3 38 1 3 3 3 3 3 3 3 5 51 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

26

Przykład algorytmu –sortowanie

bąbelkowe -implementacja

T

Nj>i

START

STOP

data,n

data[j-1]>data[j]TN

i=0

T

Ni<n-1

j=n-1

tmp=data[j-1]data[j-1]=data[j]

data[j]=tmp

j=j-1

i=i+1

27

Przykład algorytmu – sortowanie przez zliczanie1 2 3 4 5 6 7 8

A = 3 6 4 1 3 4 1 41 2 3 4 5 6

C1 = 2 0 2 3 0 1C2 = 2 2 4 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8

3 6 4 1 3 4 1 4 2 2 4 7 7 8 4

3 6 4 1 3 4 1 4 2 2 4 6 7 8 1 4

3 6 4 1 3 4 1 4 1 2 3 6 7 8 1 4 4

…3 6 4 1 3 4 1 4 0 2 3 4 7 7 1 1 3 3 4 4 4 6

28

Przykład algorytmu – wyszukiwanie binarneDany jest ciąg posortowany, należy sprawdzić, czy pewna liczba (np. 18) znajduje się w ciągu.

l/p: l pnumery el. ciągu: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ciąg posortowany: 1, 2, 6,18,20,23,29,32,34,39,40,41l == 0, p == 11; l < p stąd można kontynuować obliczenia m = (l + p)/2 = (0 +11)/2 = 5 18 < 23 stąd poszukiwanie będzie się odbywać na lewo od 23l/p: l pnumery el. ciągu: 0 1 2 3 4podciąg: 1, 2, 6,18,20l == 0, p == 4; l < p => stąd można kontynuować obliczeniam = (0 + 4) / 2 = 218 > 6 stąd poszukiwanie będzie się odbywać na prawo od 6l/p: l pnumery el. ciągu: 3 4podciąg: 18,20l == 3, p == 4; l < p => stąd można kontynuować obliczeniam = (3 + 4) / 2 = 3Liczba 18 została znaleziona!

29

Przykład algorytmu – wyszukiwanie binarne, implementacja

START

STOP

data,x,n

data[mid]==xTN

sukces=1

T

Nleft<=right && sukces!=1

right=mid-1

sukces=0left=0

right=n-1

mid=(left+right)/2

data[mid]<xTN

left=mid+1

sukces==1TN

mid-1

30

Przykłady złożonych struktur danych - lista

• Lista jest wiązaną strukturą danych,• Każdy z elementów listy zawiera dane oraz dowiązanie do następnego,• Istnieje umowa, że jeśli dowiązanie wskazuje na 0 (NULL), to jest to

ostatni element listy,• Pierwszym elementem jest zwykle specjalny obiekt zawierający tylko

dowiązanie,• W odróżnieniu od ciągłych struktur danych (np. tablic) lista nie

potrzebuje jednego ciągłego obszaru pamięci do przechowywania informacji – dowiązanie może wskazywać w różne miejsca w pamięci,

• Listę można skonstruować z zastosowaniem tzw. Dynamicznego przydziału pamięci, co pozwala efektywniej zarządzać pamięcią: rezerwowana jest taka liczba pamięci, jaka wymagana jest w danej chwili,

• Najczęstsze zastosowania list:Bazy danych,

1 23 25 32 NULL

31

Przykłady złożonych struktur danych - stos

• Stos jest liniową strukturą danych, dostępną do zapisywania i odczytywania tylko z jednego końca,

• Stos można zdefiniować za pomocą operacji, które zmieniają jego stan:– initialize(stack) – opróżnienie stosu,– empty(stack) – sprawdzenie, czy stos jest pusty,– full(stack) – sprawdzenie, czy stos jest zapełniony,– push(el,stack) – powoduje umieszczenie el. na stos,– pop(stack) – powoduje zdjęcie najwyższego elementu ze stosu,

• Zastosowania:przechowywanie rejestrów podczas wywoływania podprogramów, grafika komputerowa – składnie przekształceń przestrzennych, przechowywanie zmiennych lokalnych w języku C, element szeregu algorytmów np. kalkulatora w odwrotnej notacji polskiej: 2 3 5 * + < = > (3*5)+2 push(2,stos); push(3,stos); push(5,stos); push((pop(stos) * pop(stos)),stos); push((pop(stos) + pop(stos)),stos)

1232532

32

Przykłady złożonych struktur danych – kolejka FIFO

• Kolejka jest listą (oczekujących) zwiększającą się przez dodanie elementów na jej koniec, a zmniejszająca się przez wyjmowanie elementów z jej początku.

• W odróżnieniu od stosu w kolejce wykorzystywane są oba końce – jeden do wstawiania nowych elementów, drugi do ich usuwania.

• Kolejkę można zdefiniować za pomocą operacji, które zmieniają jego stan:– initialize(queue) – opróżnienie kolejki,– empty(queue) – sprawdzenie, czy kolejka jest pusta– full(queue) – sprawdzenie, czy kolejka jest zapełniony,– enq(el,queue) – powoduje umieszczenie el. na końcu kolejki,– deq(queue) – powoduje usunięcie pierwszego elementu z kolejki,

• Zastosowania:komunikacja pomiędzy urządzeniami i procesami obliczeniowymi w komputerze

1 23 25 32

first last

33

Przykłady złożonych struktur danych – drzewo

• Drzewo składa się z wierzchołków i krawędzi,• Wierzchołki nie posiadające dzieci nazywane są liśćmi,• Drzewa, w których z każdego wierzchołka mogą „wyrastać” tylko dwa

wierzchołki potomne nazywane są drzewami binarnymi,• Każdy wierzchołek może mieć co najwyżej jednego rodzica,• Struktura drzewa pozwala nie tylko na porządkowanie danych ale

również na ich hierarchizację.• Zastosowania drzew:

kompilatory – do przetwarzania tekstu programu, wydajne algorytmy sortowania (np. przez kopcowanie), do opisu wyrażeń matematycznych.

15

12

8

11

6

1

10 2 3

Przykład drzewa binarnego - kopiec

34

Pominięte zagadnienia • Przy konstruowaniu algorytmów ocenia się ich złożoność

obliczeniową, istnieją problemy obliczeniowe tak złożone, że nigdy nie zostaną rozwiązane przez komputer np.– gra w szachy

• Istotnym działem algorytmiki są tzw. algorytmy rekurencyjne wprost pozwalające na implementację rekurencyjnie zdefiniowanych pojęć, np. silnia:0! = 1n! = n * (n-1)! Gdzie n >= 1unsigned long int silnia(int x){ if(x==0) return 0;

else return x*silnia(x-1);}• Przedstawiono tylko wybrane algorytmy i struktury danych, szerszy

przegląd znajduje się w literaturze przedłożonej na pierwszych zajęciach.