Algorytmy i Struktury Danych. - Wozna · Algorytmy i Struktury Danych. Drzewa poszukiwan binarnych.´ Bozena Woz´na-Szcze˙ sniak´ [email protected] Jan Długosz University, Poland

Algorytmy i Struktury Danych.Drzewa poszukiwan binarnych.

Bozena [email protected]

Jan Długosz University, Poland

Wykład 10

Bozena Wozna-Szczesniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 10 1 / 47

Plan wykładu

Drzewiaste struktury danychDlaczego ich potrzebujemyPodstawowe definicjeDynamiczne realizacje

Drzewa poszukiwan binarnych (BST)DefinicjaOdwiedzanie wierzchołkówWyszukiwanie danego elementu, wyszukiwanie maksimum iminimumWstawianie nowego elementu do drzewaUsuwanie elementu z drzewa


Wstawianie i wyszukiwanie kluczy

Tablice nieposortowane

Tablice posortowane

Drzewa poszukiwan binarnych



Operacja wstawiania na koniec – Złozonosc O(1)




Operacja wstawiania na poczatek – Złozonosc O(n)





Operacja wyszukiwania elementu (wyszukiwanie liniowe) –Złozonosc O(n)





Operacja wyszukiwania elementu (wyszukiwanie liniowe) –Złozonosc O(n)

A moze jest cos lepszego ...


Tablice posortowane

Operacja wstawiania –równowazne sortowaniu przezwstawianie, złozonosc O(n2).


Tablice posortowane


Operacja wyszukiwaniaelementu (wyszukiwaniebinarne) – ZłozonoscO(log(n))


Tablice posortowane



Algorytm bisekcji (Tab,n,x):1: i := 0; j := n − 1;2: while (j − i > 1) do3: m := (i + j)div2;4: if Tab[m] ≤ x then5: i := m;6: else7: j := m;8: end if9: end while

10: if Tab[i] = x then11: return true;12: else13: return false;14: end if


Tablice posortowane



Potrzebujemy czegoslepszego ...

Algorytm bisekcji (Tab,n,x):1: i := 0; j := n − 1;2: while (j − i > 1) do3: m := (i + j)div2;4: if Tab[m] ≤ x then5: i := m;6: else7: j := m;8: end if9: end while

10: if Tab[i] = x then11: return true;12: else13: return false;14: end if


Drzewa


Drzewa

Drzewa poszukiwan binarnych(BST)


Drzewa


Kopce


Drzewa


Kopce

Drzewa AVL - nazwa AVLpochodzi od nazwiskrosyjskich matematyków:Gieorgij Adelson-Wielskij iJewgienij Łandis


Drzewa


Kopce


Drzewa Czerwono-Czarne


Drzewa


Kopce


Drzewa Czerwono-Czarne

B-drzewa

...


Drzewa

DefinicjaDrzewem nazywamy spójny i acykliczny graf nieskierowany.

Graf jest spójny, gdy dowolne dwa wierzchołki sa połaczonedroga.

Graf jest acykliczny, jesli nie posiada cyklu.


Drzewa

DefinicjaDrzewem nazywamy spójny i acykliczny graf nieskierowany.

Graf jest spójny, gdy dowolne dwa wierzchołki sa połaczonedroga.

Graf jest acykliczny, jesli nie posiada cyklu.

Drzewo, w którym wyrózniony jest jeden, charakterystycznywierzchołek nazywamy drzewem z korzeniem .Korze n jest jedynym elementem drzewa, który nie posiadapoprzednika (rodzica). Dla kazdego innego wierzchołka okreslonyjest dokładnie jeden rodzic.Wierzchołki znajdujace sie bezposrednio pod danym wezłemnazywamy synami (lub dzie cmi) .Wierzchołki, które nie maja potomków nazywane sa li scmi .Jezeli liczba nastepników dla kazdego wierzchołka wynosi conajwyzej dwa, to takie drzewo nazywamy binarnym.


Drzewa

Zupełne drzewo binarne - Kazdy wezeł, z wyjatkiem lisci, madokładnie dwa nastepniki;

Drzewo poszukiwa n binarnych (BST) - Dla kazdego wezła (niebedacego lisciem) wszystkie wartosci przechowywane w lewympoddrzewie sa mniejsze od wartosci tego wezła, natomiastwszystkie wartosci przechowywane w prawym poddrzewie sawieksze od wartosci w tym wezle.

Kopiec (sterta) - Wartosci przechowywane w nastepnikachkazdego wezła sa mniejsze od wartosci w danym wezle (tzw.kopiec maksymalny) lub wartosci przechowywane w nastepnikachkazdego wezła sa wieksze od wartosci w danym wezle (tzw.kopiec minimalny). Drzewo jest szczelnie wypełniane(zrównowazone) od lewego poddrzewa


Zupełne drzewo binarne

1

2

4 5

3

6 7


Drzewo poszukiwan binarnych

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34



2

NIL 3

NILL 4

NILL 5

NILL 6



2

NIL 3

NILL 4

NILL 5

NILL 6

2

1 3

NILL 4

NILL 5

NILL 6


Drzewo binarne, ale nie poszukiwan binarnych

2

NIL 3

NILL 0

NILL 5

NILL 6


Drzewo binarne, ale nie poszukiwan binarnych

2

NIL 3

NILL 0

NILL 5

NILL 6

2

10 3

NILL 4

NILL 5

NILL 6


Kopiec (sterta)

1

2

4

9 10

3

6 NIL

5

7 8


Drzewa

Dla kazdego drzewa mozna okreslic:

głeboko sc wierzchołka u - liczba wierzchołków, przez którenalezy przejsc od korzenia do wierzchołka u.

wysoko sc u - maksymalna liczba wierzchołków na drodze od udo pewnego liscia.

wysoko sc drzewa = głeboko sc = wysoko sc korzenia +1

sciezka z u do v- zbiór wierzchołków, przez które nalezy przejscz wierzchołka u do v .

droga = sciezka skierowana .

stopie n wierzchołka - liczba jego bezposrednich nastepników.

Stopie n drzewa - maksymalny stopien wierzchołka.


Drzewa

Drzewo AVL (1962 - Adelson-Velskii, Landis) - Drzewo BST jestdrzewem AVL wtedy, kiedy dla kazdego wierzchołka wysokoscidwóch jego poddrzew róznia sie o co najwyzej jeden poziom;Drzewo Czerwono-Czarne -

Sa to drzewa poszukiwan binarnychKazdy wezeł jest czerwony lub czarnyKorzen jest czarnyCzerwony wezeł ma zawsze czarnego ojcaIlosc czarnych wezłów na dowolnej sciezce od korzenia do lisciajest taka sama


Drzewo AVL

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


Drzewo Czerwono-Czarne

11

2

1 7

5 8

14

NIL 15


Podstawowe operacje na strukturach drzewiastych

Przechodzenie po drzewie - metoda wszerz (BFS), metoda w głab(DFS)

Wyszukanie elementu w drzewie

Dodawanie nowego elementu do drzewa

Usuniecie wskazanego elementu z drzewa


Algorytm przechodzenia po drzewie binarnym

Cel:jednokrotne “odwiedzenie” kazdego elementu drzewa;linearyzacja drzewa;

Dane wej sciowe: dowiazanie do korzenia drzewa “Root”;Uwagi:

kolejnosc przejscia dowolna - liczba mozliwych sciezek w drzewie on wezłach wynosi n! (permutacja);najczesciej stosowane sposoby przegladania: wszerz i w głab;


Metody przechodzenia po drzewie binarnym: BFS(wszerz)

Przechodzenie wszerz polegana odwiedzaniu kolejnokazdego wezła odnajwyzszego (najnizszego)poziomu i przechodzeniukolejno po tych poziomach odgóry w dół (od dołu do góry) iod lewej do prawej lub odprawej do lewej.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34




Wynik: 15, 7, 30, 4, 13, 25, 34,2, 27.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34




Wynik: 15, 7, 30, 4, 13, 25, 34,2, 27.

Wynik: 27, 2, 34, 25, 13, 4, 30,7, 15.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


BFS - algorytm

Niech wezeł pewnego drzewa binarnego bedzie postaci:

typedef struct NODE {Typ data; // dane elementarnestruct NODE * left; // dowiazanie do lewego potomkastruct NODE * right; //dowiazanie do prawgo potomka

} Node;

Algorytm BFS(root):1: enqueuq(q, root); //q jest kolejka2: while not empty(q) do3: v := first(q); print(v .data); dequeuq(q);4: if not empty(v .left) then5: enqueuq(q, v .left);6: end if7: if not empty(v .right) then8: enqueuq(q, v .right);9: end if

10: end whileBozena Wozna-Szczesniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 10 21 / 47

Metody przechodzenia po drzewie binarnym: DFS (wgłab)

Wersja “inorder” - LVR (porzadek symetryczny)Przejscie do lewego poddrzewa (L);Odwiedzenie wezła (V);Przejscie do prawego poddrzewa (R);

Wersja “preorder” - VLR (porzadek prosty)Odwiedzenie wezła (V);Przejscie do lewego poddrzewa (L);Przejscie do prawego poddrzewa (R);

Wersja “postorder” - LRV (porzadek odwrotny)Przejscie do lewego poddrzewa (L);Przejscie do prawego poddrzewa (R);Odwiedzenie wezła (V);


DFS - przykład

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


DFS - przykład

Inorder: 2, 4, 7, 13, 15, 25, 27,30, 34 .

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


DFS - przykład

Inorder: 2, 4, 7, 13, 15, 25, 27,30, 34 .

Preorder: 15, 7, 4, 2, 13, 30,25, 27, 34.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


DFS - przykład

Inorder: 2, 4, 7, 13, 15, 25, 27,30, 34 .

Preorder: 15, 7, 4, 2, 13, 30,25, 27, 34.

Postorder: 2, 4, 13, 7, 27, 25,34, 30, 15.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


DFS - przykład

+

+

a *

b c

*

+

*

d e

f

g


DFS - przykład

Inorder: a+b*c + (d*e+f)*g .

+

+

a *

b c

*

+

*

d e

f

g


DFS - przykład

Inorder: a+b*c + (d*e+f)*g .

Postorder: abc*+de*f+g*+.

+

+

a *

b c

*

+

*

d e

f

g


void preOrder(Node const* root);

void preOrder(const Node * localRoot){

if (localRoot != NULL) {printf("%ld ", localRoot->data);preOrder(localRoot->left);preOrder(localRoot->right);

}}


void inOrder(Node const* root);

void inOrder(const Node * localRoot){

if (localRoot != NULL) {inOrder(localRoot->left);printf("%ld ", localRoot->data);inOrder(localRoot->right);

}}


void postOrder(Node const* root);

void postOrder(const Node * localRoot){

if (localRoot != NULL) {postOrder(localRoot->left);postOrder(localRoot->right);printf("%ld ", localRoot->data);

}}


Nierekurencyjny DFS - algorytm preOrder



} Node;

Algorytm preOrder(root):1: push(q, root); //q jest stosem2: while not empty(q) do3: v := top(q); print(v .data); pop(q);4: if not empty(v .left) then5: push(q, v .left);6: end if7: if not empty(v .right) then8: push(q, v .right);9: end if

10: end whileBozena Wozna-Szczesniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 10 28 / 47

Nierekurencyjny DFS - algorytm inOrder,implementacja w C

void IterativeInOrder(Node const * localRoot){Stack globalStack;initStack(&globalStack);while (true){

while(localRoot!=NULL){push(&globalStack, (Node * )localRoot);localRoot=localRoot->left;

}if (stackEmpty(&globalStack)) return;localRoot = (Node * ) top(&globalStack);printf("%ld ", localRoot->data);pop(&globalStack);localRoot=localRoot->right;

}}


Nierekurencyjny DFS - algorytm postOrder,implementacja w C

void IterativePostOrder(Node const * localRoot){Stack globalStack; Node * v;initStack(&globalStack);while(!(stackEmpty(&globalStack))||(localRoot!=NULL )){

while(localRoot!=NULL){v = (Node * )localRoot;v->visit = false;push(&globalStack, v);localRoot = localRoot->left;

}v = (Node * )top(&globalStack);pop(&globalStack);if (!(v->visit)) {

v->visit = true;push(&globalStack, v);localRoot = v->right;

} else {printf("%ld ", v->data); localRoot=NULL;

}}

}


Operacja wyszukiwania elementu w BST

Cel:uzyskanie dowiazania do wezła;mozna je interpretowac jako identyfikacje wezła;

Dane wej sciowe:dowiazanie do korzenia drzewa “Root”;Kryterium poszukiwania, np. wartosc danej elementarnej;

Uwagi:kolejnosc przeszukiwania dowolna - w skrajnym przypadku nalezyprzejrzec wszystkie wezły w drzewie (złozonosc O(n));stosowane rozwiazania: petla lub rekurencja;


Algorytm wyszukiwania elementu w BST



} Node;

Algorytm find(root, value):1: while node! = NIL do2: if Value == node.data then3: return node;4: else if Value < node.data then5: node = node.left;6: else if Value > node.data then7: node = node.right;8: end if9: end while

10: return NIL;Bozena Wozna-Szczesniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 10 32 / 47

Algorytm wyszukiwania elementu w BST - przykładposzukiwanie klucza 3

Korzen 6, Klucz < 6, Idz na lewo,

Wierzchołek 2, Klucz > 2, Idz naprawo,

Wierzchołek 4, Klucz < 4, Idz nalewo,

Wierzchołek 3, Klucz == 3. Stop

Czasy operacji: Porównanie: O(1)Poszukiwanie klucza: O(głebokosc),jesli klucz jest O(wysokosc drzewa),jesli klucza nie maZłozono sc czasowa: O(wysokoscdrzewa)

6

2

1 4

3 NIL

8

7 NIL


Node* find (int Value, Node* node) – wersja iteracyjna

Node* find (int Value, Node * node) {while (node) {

if (Value == node->data) return node;else {

if (Value < node->data) node = node->left;else

if (Value > node->data) node = node->right;}

}//end whilereturn NULL;

}


Node* find (int Value, Node* node) – wersjarekurencyjna

Node* find (int Value, Node * node) {if (node) {

if (Value == node->data) return node;else

if (Value < node->data)return find (Value, node->left);

else if (Value > node->data)return find (Value, node->right);

} else return NULL;}


BST - wyszukiwanie elementu maksymalnego iminimalnego

Jezeli chcemy znalezc elementminimalny (maksymalny) wdrzewie to poruszamy siemaksymalnie w lewo (prawo). 15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34



Jezeli chcemy znalezc elementminimalny (maksymalny) wdrzewie to poruszamy siemaksymalnie w lewo (prawo).

Na rysunku obok niebieska drogato poszukiwanie minimum,czerwona - maksimum.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34



Jezeli chcemy znalezc elementminimalny (maksymalny) wdrzewie to poruszamy siemaksymalnie w lewo (prawo).

Na rysunku obok niebieska drogato poszukiwanie minimum,czerwona - maksimum.

Specyficzne rozmieszczenieelementów w drzewie sprawia, zeelement minimalny znajduje siezawsze w najbardziej“wysunietym na lewo” wezle, aelement maksymalny wnajbardziej “wysunietym naprawo” wezle drzewa.

15

7

4

2 NIL

13

30

25

NIL 27

34


Wstawienie nowego elementu do BST

Cel: dodanie nowego elementu do drzewa;Dane wej sciowe:

Dowiazanie do korzenia drzewa ‘Root’;Nowe dane elementarne;


Wstawienie nowego elementu do BST - idea

Utwórz element i ustal dane elementarne;Znajdz miejsce wstawienia elementu w drzewie:

Aby znalezc miejsce na nowy element w drzewie BST, topoczawszy od korzenia nalezy porównywac nowy element zwezłem i jezeli jest on mniejszy od wartosci przechowywanej w tymwezle to poruszac sie w lewo po drzewie, w przeciwnym wypadkuporuszac sie w prawo.Wedrujemy tak długo, az dojdziemy do miejsca, w którymnapotkany wskaznik do potomka w wezle bedzie wskazywał naNULL.

Wstaw nowy wezeł w wskazane miejsce, a wspomniany wyzejwskaznik ustaw tak, aby wskazywał na nowy wezeł.


void Insert (int Value, Node**next) - wersjarekurencyjna

void Insert (int Value, Node * * next) {if ( * next == NULL ) {

* next = (Node * )malloc(sizeof(Node));( * next)->left = NULL;

( * next)->right = NULL;( * next)->data = Value;

}else if (Value < ( * next)->data )

Insert( Value, ( * next)->left ) ;else if (Value > ( * next)->data )

Insert(Value, ( * next)->right );}


Wstawienie nowego elementu do BST - idea

Wierzchołek 6, Klucz < 6, Idz nalewo,

Wierzchołek 2, Klucz > 2, Idz naprawo,

Wierzchołek 4, Klucz > 4, Idzprawo,

NULL, Wstaw 5.

Złozonosc czasowa: O(wysoko scdrzewa)

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


void insert(Node** tree, int data)

void insert(Node ** tree, int data) {Node* newNode = malloc(sizeof(Node));newNode->data = data;newNode->left = newNode->right = NULL;if ( * tree == NULL) * tree = newNode;else {

Node* curr = * tree; // zaczynamy poszukiwania od korzeniaNode* parent;while(true) {

parent = curr;if (data < curr->data) {

curr = curr->left;if (curr == NULL) {parent->left = newNode; return;}

} else {curr = curr->right;if (curr == NULL) {parent->right = newNode; return;}}

} // while}//else

}


Usuwanie danego elementu do BST - idea

Cel: Usuniecie wezła z drzewa;Dane wej sciowe:

Dowiazanie do korzenia drzewa ‘Root’;Opis elementu usuwanego, np. wartosc danej elementarnej;

Uwagi:Przypadek 1: wezeł jest lisciem;Przypadek 2: wezeł ma jednego potomka;Przypadek 3: wezeł ma dwóch potomków;


Przypadek 1: wezeł jest lisciem;

Usuwany wezeł nie mapotomstwa, np. wezeł 5.

Jest to najprostsza sytuacja.Nalezy usunac ten element(zwolnic pamiec) i zadbac o to,aby jego rodzic wskazywał naNULL.

Złozonosc czasowa:O(wysoko sc drzewa)

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


Przypadek 2: wezeł ma jednego potomka;

Usuwany wezeł posiada jednegopotomka, np. 8

Nalezy tutaj zadbac (opróczzwolnienia pamieci) o to, abyrodzic usuwanego elementuwskazywał teraz zamiast nausuwany element, na jegopotomka .


6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


Przypadek 3: wezeł ma dwóch potomków;

Aby usunac taki wezełposiadajacy dwóch potomków,nalezy zamienic wartosc z tegowezła z wartoscia minimalna wprawym poddrzewie usuwanegowezła lub z wartosciamaksymalna w lewympoddrzewie. Nastepnie, usuwamyelement minimalny w prawympoddrzewie, ewentualniemaksymalny w lewympoddrzewie.

Po takiej zamianie elementminimalny (maksymalny) niebedzie miał potomstwa lub conajwyzej bedzie miał jedynieprawego (lewego) syna.


Usuwany wezeł: 6

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


Usuwany wezeł: 6

Usuwany wezeł: 6

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


Usuwany wezeł: 6

Usuwany wezeł: 6

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL

Najpierw szukamy elementumaksymalnego w lewympoddrzewie. Jest nim 5.

6

2

1 4

3 5

8

7 NIL


Usuwany wezeł: 6

Nastepnie zamieniamy usuwanyelement (6) ze znalezionym.elementem maksymalnym wlewym poddrzewie (5).

6->5

2

1 4

3 5->6

8

7 NIL


Usuwany wezeł: 6

Nastepnie zamieniamy usuwanyelement (6) ze znalezionym.elementem maksymalnym wlewym poddrzewie (5).

6->5

2

1 4

3 5->6

8

7 NIL

Usuwamy wezeł, który zawierałelement maksymalny (5) w lewympoddrzewie. Teraz wezeł tenzawiera wartosc 6.

5

2

1 4

3 6

8

7 NIL


Documents

Algorytmy i Struktury Danych. - Wozna · Algorytmy i Struktury Danych. Drzewa poszukiwan binarnych.´ Bozena Woz´na-Szcze˙ sniak´ [email protected] Jan Długosz University, Poland