Adalberto Paternina A Ciencia, Viertud y amor ANGULOS EN POSICION NORMAL Un Angulo esta en posición...

Adalberto Paternina A

Ciencia, Viertud y amor

ANGULOS EN POSICION NORMAL Un Angulo esta en posición normal si su vértice esta en el punto de corte de los ejes coordenados de un plano cartesiano y su lado inicial coincide con el eje de las X y su lado terminal esta en cualquiera de los 4 cuadrantes

ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSUn ángulo se dice que es positivo si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y es positivo cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj

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MEDIDAS DE ANGULOS• Los ángulos se pueden medir • En: Grados y en radianes

UN GRADO: Es la trescientos

sesentava parte de la circunferencia  • UN RADIAN: Corresponde al • Angulo que se forma cuando• hacemos una abertura de un • arco con la misma medida del• radio de la circunferencia

• Ciencia, Viertud y amor

• para convertir grados a radianes: se multiplica la cantidad en grado por el constante y luego se hacen las simplificaciones del caso ejemplo:

• Convertir 30º a radianes• Solución 30º = 30º. =

=

Solución # 2: 270º = 270º .

=

=

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TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)

3

45 5

12

1320

21 29

La hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma al

cuadrado de los catetos

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RAZONES TRIGONOMETRICAS

• En todo triangulo rectángulo se distinguen 3 partes

• CATETO hipotenusa

• opuesto CATETO adyacente

• Una razón trigonométricas: Es el cociente indicados entre 2 de los de los lados de un triangulo rectángulo estos son

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

qq=

CatetoOpuestoasen

Hipotenusa

CatetoAdyacentea

cosHipotenusa

Hipotenusasec

CatetoAdyacentea

Hipotenusa

cscCatetoOpuestoa

CatetoAdyacentea

cotCatetoOpuestoa

CatetoOpuestoa

tanCatetoAdyacentea

CATETO

OPUESTO

A

CATETO ADYACENTE A

HIPOTENUSA

SENO COSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSECANTE

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12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EJEMPLO :

EJEMPLO :

Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EJEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2 Ciencia, Viertud y amor

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROPIEDAD :

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec Ciencia, Viertud y amor

EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

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TRIÁNGULOS NOTABLES

1 2

3

o30 (

)

O601

1

2

o45

o45

(

)3

4

5

o37

o53

(

)

osen30 12

otan 60 3

osec 45 2 ocot 37 43

otan 30 1

3

3x

333

osen45 1

22

x2

22

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))

((o30

o37 o45

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot

83 3

cot4

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

HHsen

H cos

L sec L tan

L

5

o62

o5sen62

o5 cos 62

8

8 tan8 sec

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO

CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO

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L

L cot

L csc k

o24

ok csc 24

ok cot 24

EJEMPLO

)

)

mCalcular L en términos de m y ;

L

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO

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SOLUCIÓN

m

m tanLL m tan

m

cot L m tan m cot

L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR

F

yF

xF X

Y

xF F cos

yF Fsen Ciencia, Viertud y amor

ÁREA DEL TRIÁNGULO

A B

C

ab

c

abS senC

2

bcS senA

2

acS senB

2

EJEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen60

2

(5)(8) 3S ( )

2 2 210 3m

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ÁNGULOS VERTICALES

Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

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Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k

) o37

16k

+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

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ÁNGULOS HORIZONTALES

Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).

DIRECCIÓN

La dirección de B respecto de A es E30N o N60E o

La dirección de C respecto de A es oS56 O S34O o

o

o

RUMBOEl rumbo de Q respecto de P

o47

El rumbo de M respecto de P o27 al este del sur

al oeste del norte

N

S

EO

O30

O56A

B

C

EO

S

N

P

Qo47

o27

M

)(

()

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