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1/7

1

U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l & C o m p u t e r E n g i n e e r i n g

G E N E M E 1 2 3 : E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g f o r

M e c h a n i c a l E n g i n e e r s

A C C I R C U I T S

D r . C l a u d i o C a ~ n i z a r e s D e c e m b e r 1 9 9 8

1 S i n u s o i d a l W a v e f o r m s

A s i n u s o i d a l o r a l t e r n a t e c u r r e n t a c c i r c u i t i s m a d e u p o f r e s i s t a n c e s R ,

i n d u c t o r s L , c a p a c i t o r s C , a n d s i n u s o i d a l v o l t a g e a n d o r c u r r e n t s o u r c e s . I n

s t e a d y - s t a t e , a n y v o l t a g e o r c u r r e n t i n t h e c i r c u i t i s a s i n u s o i d o f t h e f o r m

t

-V

V

2

v(t)

v t = V s i n ! t +

= V c o s ! t + , 9 0

o

= A s i n ! t + B c o s ! t

w h e r e

A = V c o s

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2/7

A C C i r c u i t s 2

B = V s i n

V =

p

A

2

+ B

2

= t a n

, 1

B

A

T h e f r e q u e n c y f a n d p e r i o d T = 1 = f o f t h i s s i g n a l a r e d e n e d a s :

! = 2 f =

2

T

A s i n a n y p e r i o d i c s i g n a l , t h e a v e r a g e a v a n d r o o t - m e a n - s q u a r e r m s

v a l u e s m a y b e c o m p u t e d a s :

V

a v

=

1

T

Z

T

0

v t d t

= 0

V

r m s

=

s

1

T

Z

T

0

v

2

t d t

=

V

p

2

2 C o m p l e x N u m b e r s

A C c i r c u i t s c a n b e s t u d i e d w i t h t h e h e l p o f c o m p l e x n u m b e r s . A c o m p l e x

n u m b e r C i n t h e c o m p l e x p l a n e c a n b e r e p r e s e n t e d i n p o l a r o r r e c t a n g u l a r

c o o r d i n a t e s a s :

Real

Imaginary

b

C

a

C

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3/7

A C C i r c u i t s 3

C = a + j b ! r e c t a n g u l a r

= C

6

= C e

j

! p o l a r

a = C c o s

b = C s i n

C =

p

a

2

+ b

2

= t a n

, 1

b

a

!

w h e r e

j =

p

, 1 j

2

= , 1

T h e o p e r a t i o n s t h a t c a n b e c a r r i e d o u t w i t h t w o c o m p l e x n u m b e r s

A = a + j b = A

6

A

B = c + j d = B

6

B

a r e :

1 A B = a c + j b d

2 A B = A B

6

A

+

B

3 A = B = A = B

6

A

,

B

4 A

= a , j b = A

6

,

A

5 A

2

= A

2

6

2

A

6

p

A =

p

A

6

A

= 2

3 P h a s o r A n a l y s i s

A n y s i n u s o i d a l a c v o l t a g e a n d c u r r e n t i n a c i r c u i t c a n b e r e p r e s e n t e d b y a

p h a s o r . " T h u s , a v o l t a g e o r c u r r e n t

v t = V s i n ! t + =

p

2 V

r m s

s i n ! t +

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4/7

A C C i r c u i t s 4

c a n b e r e p l a c e d b y t h e f o l l o w i n g c o m p l e x n u m b e r o r p h a s o r :

Real

Imaginary

b

a

V or Vrms

V = V

6

o r V

r m s

= V

r m s

6

H e n c e , a n a c c i r c u i t c a n b e s t u d i e d i n t h e p h a s o r d o m a i n w h e r e t h e d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s h a v e b e e n r e p l a c e d b y a s e t o f c o m p l e x a l g e b r a i c e q u a t i o n s .

V a r i a b l e E q u a t i o n P h a s o r s R M S P h a s o r s

v t V V s i n ! t +

V

V

6

V

V

r m s

6

V

i t A I s i n ! t +

I

I

6

I

I

r m s

6

I

P W

1

T

R

T

0

v t i t d t R e

n

1

2

V I

o

R e f V

r m s

I

r m s

g

R v t = R i t V = R I V

r m s

= R I

r m s

L H v t = L

d i t

d t

V = j ! L I V

r m s

= j ! L I

r m s

C F i t = C

d v t

d t

V =

1

j ! C

I V

r m s

=

1

j ! C

I

r m s

T h e c i r c u i t e q u a t i o n s b e c o m e t h e n a c o m p l e x v e r s i o n o f O h m ' s l a w :

V = Z I

w h e r e t h e i m p e d a n c e

Z = R + j X

p l a y s t h e r o l e o f t h e r e s i s t a n c e i n d c c i r c u i t s . T h e r e f o r e , a n y o f t h e c i r c u i t

a n a l y s i s t e c h n i q u e s u s e d t o s o l v e d c c i r c u i t s a p p l i e s n o w t o a c c i r c u i t s b u t

w i t h c o m p l e x n u m b e r s , i . e . , K V L a n d K C L , c u r r e n t a n d v o l t a g e d i v i s i o n ,

T h e v e n i n a n d N o r t o n e q u i v a l e n t s , o r n o d a l a n d m e s h a n a l y s i s c a n b e u s e d

t o s o l v e t h e a c c i r c u i t i n t h e p h a s o r c o m p l e x n u m b e r d o m a i n .

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5/7

A C C i r c u i t s 5

4 C o m p l e x P o w e r

T h e d e n i t i o n o f c o m p l e x p o w e r S V A = V o l t - A m p e r e s i s :

S =

1

2

V I

= V

r m s

I

r m s

=

1

2

I

2

Z = I

2

r m s

Z

= P + j Q

= S

6

w h e r e t h e a v e r a g e p o w e r o r a c i t v e p o w e r i n W i s

P =

1

T

Z

T

0

v t i t d t

= S c o s

c o s i s t h e p o w e r f a c t o r p . f . , a n d t h e r e a c t i v e p o w e r i n V A r = V o l t - A m p e r e s -

R e a c t i v e

Q = S s i n

r e p r e s e n t s a c t i t i o u s p o w e r , s i n c e t h e e n e r g y c o n s u m p t i o n i n t h e c i r c u i t i s

c a l c u l a t e d b a s e d o n t h e a c t i v e p o w e r o n l y , i . e . ,

W t = P t J

N o t i c e t h a t f o r e a c h e l e m e n t i n t h e c i r c u i t , o n e h a s t h e f o l l o w i n g :

E l e m e n t P Q c o s

R

1

2

R I

2

0 1

L 0

1

2

! L I

2

0 l a g g i n g

C 0 ,

1

2

1

! C

I

2

0 l e a d i n g

5 T h r e e - p h a s e A C C i r c u i t s

T h e s e b a l a n c e d c i r c u i t s c a n b e s e e n a s t h e a d d i t i o n o f 3 s i n g l e - p h a s e c i r c u i t s ,

w i t h 1 2 0

o

a n g l e p h a s e s h i f t s i n t h e v o l t a g e s a n d c u r r e n t s . T h u s , f o r t h e

p o s i t i v e s e q u e n c e c i r c u i t

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6/7

A C C i r c u i t s 6

O

A

D

G

c

b

a

neutral

L

I

I

I

b

c

n

ab

a

a

I

V

V

Ia

Ic

bI

Ia

bI

Ic

Z

Z

Z

Y

Y

Y

n

b

c

a

I

I

V

V

+

+

V

V

V

-

+

-

+

-

-

+

-

+

-

I

a

b

Z

Z

Z

c

a

bV

c

ca

ab

ba

ab

ba

ca

1 . L i n e - t o - n e u t r a l v o l t a g e s :

V

a

= V

6

V

= Z

Y

I

a

V

b

= 1

6

, 1 2 0

o

V

a

V

c

= 1

6

1 2 0

o

V

a

2 . L i n e v o l t a g e s :

V

a b

=

p

3

6

3 0

o

V

a

= Z

I

a b

V

b c

= 1

6

, 1 2 0

o

V

a b

V

c a

= 1

6

1 2 0

o

V

a b

3 . L i n e c u r r e n t s :

I

a

= I

6

I

I

b

= 1

6

, 1 2 0

o

I

a

I

c

= 1

6

1 2 0

o

I

a

4 . D e l t a c u r r e n t s Z

= 3 Z

Y

:

I

a b

=

1

p

3

6

3 0

o

I

a

I

b c

= 1

6

, 1 2 0

o

I

a b

I

c a

= 1

6

1 2 0

o

I

a b

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7/7

A C C i r c u i t s 7

N o t i c e t h a t

V

a

+ V

b

+ V

c

= 0

, I

n

= I

a

+ I

b

+ I

c

= 0

a n d s i m i l a r l y f o r t h e o t h e r v a r i a b l e s .

T h e p o w e r s i n t h i s c a s e a r e :

p t = P

3

= 3 P

1

=

p

3 V

l l

I

l

c o s

= c o n s t a n t v a l u e

S

3

=

p

3 V

l l

I

l

6

= P

3

+ j Q

3

w h e r e V

l l

i s t h e l i n e - t o - l i n e l i n e v o l t a g e , a n d I

l

i s t h e l i n e c u r r e n t .