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7/29/2019 AC Circuits.pdf
1/7
1
U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o
D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l & C o m p u t e r E n g i n e e r i n g
G E N E M E 1 2 3 : E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g f o r
M e c h a n i c a l E n g i n e e r s
A C C I R C U I T S
D r . C l a u d i o C a ~ n i z a r e s D e c e m b e r 1 9 9 8
1 S i n u s o i d a l W a v e f o r m s
A s i n u s o i d a l o r a l t e r n a t e c u r r e n t a c c i r c u i t i s m a d e u p o f r e s i s t a n c e s R ,
i n d u c t o r s L , c a p a c i t o r s C , a n d s i n u s o i d a l v o l t a g e a n d o r c u r r e n t s o u r c e s . I n
s t e a d y - s t a t e , a n y v o l t a g e o r c u r r e n t i n t h e c i r c u i t i s a s i n u s o i d o f t h e f o r m
t
-V
V
2
v(t)
v t = V s i n ! t +
= V c o s ! t + , 9 0
o
= A s i n ! t + B c o s ! t
w h e r e
A = V c o s
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2/7
A C C i r c u i t s 2
B = V s i n
V =
p
A
2
+ B
2
= t a n
, 1
B
A
T h e f r e q u e n c y f a n d p e r i o d T = 1 = f o f t h i s s i g n a l a r e d e n e d a s :
! = 2 f =
2
T
A s i n a n y p e r i o d i c s i g n a l , t h e a v e r a g e a v a n d r o o t - m e a n - s q u a r e r m s
v a l u e s m a y b e c o m p u t e d a s :
V
a v
=
1
T
Z
T
0
v t d t
= 0
V
r m s
=
s
1
T
Z
T
0
v
2
t d t
=
V
p
2
2 C o m p l e x N u m b e r s
A C c i r c u i t s c a n b e s t u d i e d w i t h t h e h e l p o f c o m p l e x n u m b e r s . A c o m p l e x
n u m b e r C i n t h e c o m p l e x p l a n e c a n b e r e p r e s e n t e d i n p o l a r o r r e c t a n g u l a r
c o o r d i n a t e s a s :
Real
Imaginary
b
C
a
C
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3/7
A C C i r c u i t s 3
C = a + j b ! r e c t a n g u l a r
= C
6
= C e
j
! p o l a r
a = C c o s
b = C s i n
C =
p
a
2
+ b
2
= t a n
, 1
b
a
!
w h e r e
j =
p
, 1 j
2
= , 1
T h e o p e r a t i o n s t h a t c a n b e c a r r i e d o u t w i t h t w o c o m p l e x n u m b e r s
A = a + j b = A
6
A
B = c + j d = B
6
B
a r e :
1 A B = a c + j b d
2 A B = A B
6
A
+
B
3 A = B = A = B
6
A
,
B
4 A
= a , j b = A
6
,
A
5 A
2
= A
2
6
2
A
6
p
A =
p
A
6
A
= 2
3 P h a s o r A n a l y s i s
A n y s i n u s o i d a l a c v o l t a g e a n d c u r r e n t i n a c i r c u i t c a n b e r e p r e s e n t e d b y a
p h a s o r . " T h u s , a v o l t a g e o r c u r r e n t
v t = V s i n ! t + =
p
2 V
r m s
s i n ! t +
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4/7
A C C i r c u i t s 4
c a n b e r e p l a c e d b y t h e f o l l o w i n g c o m p l e x n u m b e r o r p h a s o r :
Real
Imaginary
b
a
V or Vrms
V = V
6
o r V
r m s
= V
r m s
6
H e n c e , a n a c c i r c u i t c a n b e s t u d i e d i n t h e p h a s o r d o m a i n w h e r e t h e d i e r -
e n t i a l e q u a t i o n s h a v e b e e n r e p l a c e d b y a s e t o f c o m p l e x a l g e b r a i c e q u a t i o n s .
V a r i a b l e E q u a t i o n P h a s o r s R M S P h a s o r s
v t V V s i n ! t +
V
V
6
V
V
r m s
6
V
i t A I s i n ! t +
I
I
6
I
I
r m s
6
I
P W
1
T
R
T
0
v t i t d t R e
n
1
2
V I
o
R e f V
r m s
I
r m s
g
R v t = R i t V = R I V
r m s
= R I
r m s
L H v t = L
d i t
d t
V = j ! L I V
r m s
= j ! L I
r m s
C F i t = C
d v t
d t
V =
1
j ! C
I V
r m s
=
1
j ! C
I
r m s
T h e c i r c u i t e q u a t i o n s b e c o m e t h e n a c o m p l e x v e r s i o n o f O h m ' s l a w :
V = Z I
w h e r e t h e i m p e d a n c e
Z = R + j X
p l a y s t h e r o l e o f t h e r e s i s t a n c e i n d c c i r c u i t s . T h e r e f o r e , a n y o f t h e c i r c u i t
a n a l y s i s t e c h n i q u e s u s e d t o s o l v e d c c i r c u i t s a p p l i e s n o w t o a c c i r c u i t s b u t
w i t h c o m p l e x n u m b e r s , i . e . , K V L a n d K C L , c u r r e n t a n d v o l t a g e d i v i s i o n ,
T h e v e n i n a n d N o r t o n e q u i v a l e n t s , o r n o d a l a n d m e s h a n a l y s i s c a n b e u s e d
t o s o l v e t h e a c c i r c u i t i n t h e p h a s o r c o m p l e x n u m b e r d o m a i n .
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5/7
A C C i r c u i t s 5
4 C o m p l e x P o w e r
T h e d e n i t i o n o f c o m p l e x p o w e r S V A = V o l t - A m p e r e s i s :
S =
1
2
V I
= V
r m s
I
r m s
=
1
2
I
2
Z = I
2
r m s
Z
= P + j Q
= S
6
w h e r e t h e a v e r a g e p o w e r o r a c i t v e p o w e r i n W i s
P =
1
T
Z
T
0
v t i t d t
= S c o s
c o s i s t h e p o w e r f a c t o r p . f . , a n d t h e r e a c t i v e p o w e r i n V A r = V o l t - A m p e r e s -
R e a c t i v e
Q = S s i n
r e p r e s e n t s a c t i t i o u s p o w e r , s i n c e t h e e n e r g y c o n s u m p t i o n i n t h e c i r c u i t i s
c a l c u l a t e d b a s e d o n t h e a c t i v e p o w e r o n l y , i . e . ,
W t = P t J
N o t i c e t h a t f o r e a c h e l e m e n t i n t h e c i r c u i t , o n e h a s t h e f o l l o w i n g :
E l e m e n t P Q c o s
R
1
2
R I
2
0 1
L 0
1
2
! L I
2
0 l a g g i n g
C 0 ,
1
2
1
! C
I
2
0 l e a d i n g
5 T h r e e - p h a s e A C C i r c u i t s
T h e s e b a l a n c e d c i r c u i t s c a n b e s e e n a s t h e a d d i t i o n o f 3 s i n g l e - p h a s e c i r c u i t s ,
w i t h 1 2 0
o
a n g l e p h a s e s h i f t s i n t h e v o l t a g e s a n d c u r r e n t s . T h u s , f o r t h e
p o s i t i v e s e q u e n c e c i r c u i t
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6/7
A C C i r c u i t s 6
O
A
D
G
c
b
a
neutral
L
I
I
I
b
c
n
ab
a
a
I
V
V
Ia
Ic
bI
Ia
bI
Ic
Z
Z
Z
Y
Y
Y
n
b
c
a
I
I
V
V
+
+
V
V
V
-
+
-
+
-
-
+
-
+
-
I
a
b
Z
Z
Z
c
a
bV
c
ca
ab
ba
ab
ba
ca
1 . L i n e - t o - n e u t r a l v o l t a g e s :
V
a
= V
6
V
= Z
Y
I
a
V
b
= 1
6
, 1 2 0
o
V
a
V
c
= 1
6
1 2 0
o
V
a
2 . L i n e v o l t a g e s :
V
a b
=
p
3
6
3 0
o
V
a
= Z
I
a b
V
b c
= 1
6
, 1 2 0
o
V
a b
V
c a
= 1
6
1 2 0
o
V
a b
3 . L i n e c u r r e n t s :
I
a
= I
6
I
I
b
= 1
6
, 1 2 0
o
I
a
I
c
= 1
6
1 2 0
o
I
a
4 . D e l t a c u r r e n t s Z
= 3 Z
Y
:
I
a b
=
1
p
3
6
3 0
o
I
a
I
b c
= 1
6
, 1 2 0
o
I
a b
I
c a
= 1
6
1 2 0
o
I
a b
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7/7
A C C i r c u i t s 7
N o t i c e t h a t
V
a
+ V
b
+ V
c
= 0
, I
n
= I
a
+ I
b
+ I
c
= 0
a n d s i m i l a r l y f o r t h e o t h e r v a r i a b l e s .
T h e p o w e r s i n t h i s c a s e a r e :
p t = P
3
= 3 P
1
=
p
3 V
l l
I
l
c o s
= c o n s t a n t v a l u e
S
3
=
p
3 V
l l
I
l
6
= P
3
+ j Q
3
w h e r e V
l l
i s t h e l i n e - t o - l i n e l i n e v o l t a g e , a n d I
l
i s t h e l i n e c u r r e n t .