สาระการเรียนรู้ · 2013-09-25 · 2...

1

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

1

สาระการเรยนร

1. พชคณตบลน 1.1 นยามพชคณตบลน 1.2 คณสมบตพชคณตบลน 1.3 ทฤษฎทนาสนใจของพชคณตบลน

2. ฟงกชนบลน 2.1 พชคณตสวทชง 2.2 การหาคาของฟงกชนสวทชง

3. เกท 3.1 แอนดเกท 3.2 ออรเกท 3.3 นอทเกท 3.4 แนนดเกท 3.5 นอรเกท 3.6 เอกซคลซฟออรเกท

2

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

2

จดประสงคการเรยนร

1. บอกคณสมบตและทฤษฎของพชคณตบลนได

2. หาคาฟงกชนของพชคณตบลนโดยใชคณสมบตและทฤษฎได

3. หาคาฟงกชนของพชคณตบลนโดยใชตารางคาความจรงได

4. เขยนเกทตาง ๆ ได 5. สามารถเขยนเกทเมอก าหนดนพจนของวงจรโลจกได 6. เขยนนพจนของวงจรโลจกไดเมอก าหนดเกท

3

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

3

สาระส าคญ

ในระบบคอมพวเตอร น าตรรกศาสตรมาชวยในการจดการควบคมการท างานของวงจรตาง ๆ เพอน าไปสระบบปฏบตการของคอมพวเตอร ซงตรรกศาสตรไดถกพฒนาและคดคนขนมาจากนกคณตศาสตรชาวกรกโบราณ คอ Plato และ Aristotle เพอใชในการแกปญหาคณตศาสตรทมมากและซบซอน

4

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

4

พชคณตบลน

หนวยวงจรทเลกทสดของเครองคอมพวเตอร เรยกวา เกท (Gate หรอ Logic Gate) และ เกทเปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอใหเกดปฏบตการพชคณตบลนตอหนงสญญาณเขา ( Input) หรอมากกวา เพอใหเกดสญญาณออก (Out put)

โดยทสญญาณเขาและสญญาณออกเปนตวแปรบลน (Boolean Variable) ซงตวแปรบลนแสดง 2 สถานะ คอ ปดและเปด ดวยการใชจ านวน “1” แทนสถานะเปด “0”

ในป พ.ศ. 1849 นายจอรจ บล ( George Boole) ไดเสนอกฎเกณฑพชคณตบลน

5

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

5

นยามพชคณตบลน

พชคณตบลน เปนระบบพชคณตทมคณสมบตปด ซงระบบนประกอบดวย เซต

K ≠ และการด าเนนการ 2 อยาง คอ ● (การคณ) และ + (การหาผลรวม)

ซงคณสมบตปด คอส าหรบ

a และ b ใด ๆ ใน K จะไดวา

1) a + b K

2) a ● b K

6

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

6

คณสมบตของพชคณตบลน

1. กฎการมจรงของ 1 และ 0 จะม 1 และ 0 ในเซต k ทซงส าหรบ a

ใด ๆ ใน k จะไดวา 1.1 a + 0 = a 1.2 a ● 1 = a

7

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

7

คณสมบตของพชคณตบลน 2. กฎการสลบท (Commutative Law)

ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง 2.1 a + b = b + a 2.2 a ● b = b ● a

8

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

8

คณสมบตของพชคณตบลน 3. กฎการจดกลม (Associative Law) ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง

3.1 a + (b + c) = (a + b) + c 3.2 a ● (b ● c) = (a ● b) ● c

9

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

9

คณสมบตของพชคณตบลน 4. กฎการกระจาย (Distribution Law) ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง

4.1 a + (b ● c) = (a ● b) ● (a + c) 4.2 a ● (b ● c) = a ● b + a ● c

10

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

10

คณสมบตของพชคณตบลน 5. กฎการมจรงของสวนเตมเตม (The Law of Complementary Existence)

ส าหรบ a ใด ๆ ใน k จะมสมาชกเพยงตวเดยว เรยกวา a (สวนเตมเตม a หรอ Complement of a ) ใน k จะไดวา

5.1 a + a = 1 5.2 a ● a = 0

11

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

11

ทฤษฎทนาสนใจของพชคณตบลน

ทฤษฎท 1 นจพล (Idempotency) ส าหรบ a ใด ๆ ใน K จะไดวา 1. a + a = a 2. a ● a = a ทฤษฎท 2 ส าหรบ a ใด ๆ ใน K จะไดวา 1. a + 1 = 1 2. a ● 0 = 0

12

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

12

ฟงกชนบลน (Boolean Function)

ก าหนดให X1 , X2 , X3,……..Xn เปนตวแปรบลน (Boolean Function) f( X1 , X2 , X3,……..Xn ) ..Xn เปนตวแปรบลน (Boolean Function)

ของตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn

การเขยนฟงกชนบลนจะเขยนอยในรปนพจนของบลน เชน

f( X1 , X2 , X3) ..= X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3

13

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

13

1. พชคณตสวตชง (Switching Algebra) คอ พชคณตบลนทมสมาชกของเซต k เพยง 2 ตว คอ 0 และ 1 สว ตชงฟงกชน (Switching Function) คอ f( X1 , X2 , X3,……..Xn ) เปนฟงกชนบลนของตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn ซงฟงกชนบลนน อาจมคาเปน 1 หรอ 0 ขนอยกบการก าหนดคาตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn เปน 1 หรอ 0

14

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

14

ตวอยางท 1 จงหาคาของ f( X1 , X2 , X3,) เมอก าหนดให

f( X1 , X2 , X3,) = X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3 และ X1 = 1, X2 = X3 = 0

วธท า f( X1 , X2 , X3,) = X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3

= 1 ● 0 + 1 ● 0 + 1 ● 0 = 1 ● 0 + 0 ● 0 + 1 ● 1

(เพราะ 1 = 0, 0 = 1) = 1.0 + 0 + 1 (ทฤษฎท 2 ) = (0 + 0) + 1 (ทฤษฎท 2 )

= 0 + 1 (กฎการจดกลม , ทฤษฎนจพล) = 1 (กฎการมจรงของ 1 และ 0)

ดงนน f( X1 , X2 , X3,) = 1

15

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

15

2. การหาคาของฟงกชนบลน (Switching Function) สามารถหาคาไดดวยการใชตารางคาความจรงในเรองตรรกศาสตรโดย

X1 , X2 , X3,……..Xn แทน ประพจน ● แทน + แทน X แทน ~ (not) X 1 แทน คาความจรงเปน “จรง” 0 แทน คาความจรงเปน “เทจ”

16

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

16

ตวอยางท 2 จงหาคา f( X1 , X2 ) = X1 ● X2 โดยใชตารางทมคาความเปน 1 หรอ 0

วธท า ขนท 1 ท าตารางคาความจรงทมคาความเปนจรงและเทจ

X1 X2 X1 X2

T T F F

T F T F

T F F F

ขนท 2 เปลยนขนท 1 เปนตารางความเปน 1 และ 0 X1 X2 X1 X2

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

17

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

17

จากตวอยางท 2 ตารางคาความจรงของ f( X1 , X2 ) = X1 ● X2

สามารถหาคา f( X1 , X2 ) ไดทกคา นนคอ ถา X1 = 1 และ X2 = 1 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 1 ถา X1 = 1 และ X2 = 0 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0 ถา X1 = 0 และ X2 = 1 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0 ถา X1 = 0 และ X2 = 0 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0

18

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

18

ตวอยางท 3 จงหาคาความจรงของฟงกชน f( X1 , X2 , X3) f( X1 , X2 , X3,) = X1 X2 X3 + X1 X2+ X1 X2 X3 ใชตารางคาความจรง

X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X1 X2 X3 f( X1 , X2 , X3)=

X1 X2 X3+ X1 X2+ X1 X2 X3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1

19

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

19

ตวอยางท 4 ก าหนดให f1( X1 , X2 ) = X1 +X2 และ

f2( X1 , X2 ) = X1● X2 จงแสดงวา f1( X1 , X2 ) = f2( X1 , X2 )

X1 X2

X1

X2

X1+ X 2

X1+ X 2

X1●X 2

1 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

จะเหนวา X1 +X2 X1 ● X2 นนคอ X1 +X2 = X1 ● X2

20

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

20

เกท (Gate)

เปนอปกรณทางอเลกทรอนกส

ทมสญญาณเขา (Input) หนงสญญาณ หรอมากกวา และสญญาณออก (Output) เปนฟงกชนบลน

21

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

21

แอนดเกท (AND Gate) เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอใหเกด

ปฏบตการทางพชคณตทมตวด าเนนการ คอ แอนด (AND) ซงวงจรตรรกะนมสญญาณเขาตงแต 2 สญญาณ ซงจะไดสญญาณออก (Output) เพยง 1 สญญาณ

22

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

22

สญลกษณ a f( a , b ) = a ● b b

ตารางคาความจรง

a b a ● b 1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0

สญญาณออกของแอนดเกท เปน “1” (สญญาณมคาสง) กตอเมอสญญาณเขาเปน “1” (สญญาณมคาสง) ทงหมด

23

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

23

1. ออรเกท (OR Gate) เปนวงจรตรรกะ (Logic Gate) ทท าให

เกดปฏกรยาทางพชคณตบลน ทมตวด าเนนการคอ ออร และวงจรตรรกะนมสญญาณเขาตงแต 2 สญญาณ และสญญาณออก 1 สญญาณ

24

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

24

สญลกษณ a f( a , b ) = a + b b

ตารางคาความจรง

a b a + b 1 1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0

สญญาณออกจะเปน “0” (สญญาณมคาต า) กตอเมอสญญาณเขาเปน “0” ทงหมด (สญญาณมคาต า)

25

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

25

2. นอทเกท (NOT Gate) หรอ Inverter

เปนวงจรตรรกะทท าใหเกดปฏกรยาทางพชคณตทมตวด าเนนการ คอ นอต วงจรนจะมสญญาณเขา และออก เพยงอยางละ สญญาณ และ สญญาณออกจะเปนสวนเตมเตมของสญญาณเขา

26

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

26

สญลกษณ

a f( a ) = a

ตารางคาความจรง

a f(a) 1 0

0 1

27

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

27

3. แนนดเกท (Nand Gate) วงจรนเปนการรวมของแอนทเกทและนอตเกท

สญลกษณ a f( a , b ) = a ● b b

เนองดวย แนนทเกท เปนการรวมของแอนดเกทและนอตเกท จงสามารถเขยนสญลกษณอกแบบหนงได

a f( a , b ) = a ● b b

28

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

28

สญญาณออกเปน “0” กตอเมอสญญาณเขาเปน “1” ทงหมด

ตารางคาความจรง ส าหรบแนนดเกท ดงน

a b a b 1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1

29

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

29

4. นอรเกท (NOR Gate) เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทรวมของ

ออรเกทและนอตเกต

สญลกษณ a f( a , b ) = a + b b

หรอสญลกษณของออรเกทกบนอตเกท a f( a , b ) = a + b b

30

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

30

สญญาณออกเปน “1” กตอเมอ สญญาณเขาเปน “0” ทงหมด

ตารางคาความจรง a b a + b 1 1 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1

31

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

31

5. เอกซคลซฟออรเกท (Exclusive OR Gate)

เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอปฏบตการทางพชคณตบลน ทถกก าหนดดวยตารางคาความจรงตอไปน

a b a b

1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0

32

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

32

จากตาราง จะไดวา 1. สญญาณออก (Output) จะเปน “1” กตอเมอสญญาณเขา (Input) แตกตางกน

2. สญญาณออก (Output) จะเปน “0” กตอเมอสญญาณเขาเทากน

สญลกษณ a f( a , b ) = a b b

33

แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน

33

ตวอยางท 4 จงเขยนวงจรลอจกตอไปน

f(a , b , c ) = P1 P2 P1 = ab

P2 = a + c f(a , b , c ) = (ab ) + (a + c)

f(a,b,c) = ?

a b a c