กำหนดกำร เชิงเส้น - TruePlookpanya...ก าหนดการเช...

ก ำหนดกำรเชงเสน

15 Sep 2016

สารบญ

กราฟเสนตรง ............................................................................................................................................................................ 1

กราฟอสมการ ........................................................................................................................................................................... 3

การหาคาสงสด ต าสด .............................................................................................................................................................. 5

การเลอนเสนจดประสงค .......................................................................................................................................................... 9

โจทยปญหา ........................................................................................................................................................................... 17

ก าหนดการเชงเสน 1

กราฟเสนตรง เรองน ตองใชความรพนฐานเรองกราฟเสนตรง ดงนน จะขอทบทวนวธวาดกราฟเสนตรงกอน

วธวาดกราฟเสนตรง คอใหหาจด (𝑥, 𝑦) อะไรกไดมา 2 จด ทแทนในสมการกราฟแลวไดสมการทเปนจรง (สวนใหญ มกนยมหาจดตดแกน X กบจดตดแกน Y โดยการแทน 𝑥 = 0 แลวหา 𝑦 กบ แทน 𝑦 = 0 แลวหา 𝑥) จากนน พลอตจดทงสอง แลวลากเสนตรงใหผานทงสองจด

ตวอยาง จงวาดกราฟ 𝑦 = 2𝑥 + 4 วธท า หาจดอะไรกไดมา 2 จด ทแทนใน 𝑦 = 2𝑥 + 4 แลวเปนจรง

ถา 𝑥 = 0 จะได 𝑦 = 2(0) + 4 = 4 ไดจด (0, 4)

ถา 𝑦 = 0 จะได 𝑥 = −4

2 = −2 ไดจด (−2, 0)

จากนน พลอต (0, 4) และ (−2, 0) แลวลากเสนตรงผาน จะไดกราฟดงรป #

ตวอยาง จงวาดกราฟ 3𝑦 + 2𝑥 = 12 วธท า ถา 𝑥 = 0 จะได 𝑦 =

12

2 = 6 ไดจด (0, 6)

ถา 𝑦 = 0 จะได 𝑥 = 12

3 = 4 ไดจด (4, 0)

จากนน พลอต (0, 6) และ (4, 0) แลวลากเสนตรงผาน จะไดกราฟดงรป #

ในกรณท สมการมแค 𝑥 อยางเดยว ไมม 𝑦 จะไดกราฟจะเปนเสนในแนวดง ดงรป

หรอ ในกรณท สมการมแค 𝑦 อยางเดยว ไมม 𝑥 จะไดกราฟเปนเสนในแนวนอน ดงรป

4

−2

6

4

𝑥 = 4

4 −1

𝑥 = 0

0

𝑥 = −1

𝑦 = 5 5

𝑦 = −2 −2 𝑦 = 0

0

2 ก าหนดการเชงเสน

แบบฝกหด 1. จงวาดกราฟตอไปน 1. 𝑥 + 𝑦 = 2 2. 2𝑥 + 3𝑦 = 6

3. 2𝑦 − 𝑥 = 4 4. 𝑥 = −2

ก าหนดการเชงเสน 3

กราฟอสมการ ความรพนฐานอกอยางทตองใช คอการวาดกราฟของอสมการ เชน 2𝑥 − 𝑦 ≤ 6

กราฟของอสมการ จะเปน “การแรเงา” แสดงพนททสอดคลองกบอสมการ ซงจะมขนตอนดงน 1. ยงไมตองสนใจเครองหมาย ≥ หรอ ≤ (ใหมองเปนเครองหมาย =) แลววาดกราฟแบบหวขอทแลว จะได

เสนตรง 1 เสน

2. เสนทไดในขอ 1. จะแบงพนทเปน 2 ฝง จากนน ใหสม “จดไหนกได” จาก “ฝงไหนกได” แทนในอสมการตงตน ถาแทนแลวจรง ใหแรเงาฝงทสมจดมา แตถาแทนแลวไมจรง ใหแรเงาอกฝง

ตวอยาง จงวาดกราฟ 2𝑥 − 𝑦 ≤ 6 วธท า ขนแรก วาดกราฟ 2𝑥 − 𝑦 = 6 ออกมากอน

𝑥 = 0 → 𝑦 = −6 และ 𝑦 = 0 → 𝑥 = 3

จะเหนวาเสนตรงทได แบงพนทออกเปนสองฝง ดงรป

จากนน สมจดไหนกได จากฝงไหนกได มา 1 จดแทนในอสมการตงตน

(ปกต เราจะนยมจดทคดเลขงายๆ เชน (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) เปนตน) ลองแทน (0, 0) ใน 2𝑥 − 𝑦 ≤ 6

จะได 2(0) − 0 ≤ 6 จะเหนวาอสมการเปนจรง

ดงนน จะแรเงาในฝงทสม (0, 0) มา (= ฝงบนซาย) จะไดกราฟดงรป #

ตวอยาง จงวาดกราฟ 𝑥 ≤ 0 วธท า วาดกราฟ 𝑥 = 0 กอน จะไดเปนเสนตรงททบแกน Y

กราฟทได จะแบงพนทเปนสองฝง ดงรป

ลองแทน (1, 0) ในอสมการตงตน 𝑥 ≤ 0 จะได 1 ≤ 0 เปนเทจ

(ขอน ใชจด (0, 0) ไมได เพราะ (0, 0) อยตรงกลาง ไมไดอยฝงไหน)

ดงนน จะแรเงาอกฝง (= ฝงซาย) จะไดกราฟดงรป #

0 ฝงซาย

ฝงขวา

−6 3

−6 3

ฝงบนซาย

ฝงลางขวา

0

4 ก าหนดการเชงเสน

แบบฝกหด

1. จงวาดกราฟตอไปน 1. 𝑥 + 𝑦 ≤ 4 2. 3𝑥 + 𝑦 ≥ 3

3. 𝑦 − 2𝑥 ≤ 4 4. 𝑦 ≥ −1

ก าหนดการเชงเสน 5

การหาคาสงสด ต าสด

ในเรองแคลคลส เราจะไดเรยนวธหาคาสงสด ต าสด มาแลว

โดยเราจะให 𝑓(𝑥) แทนปรมาณทตองการหาคาสงสด ต าสด แลวแกสมการ 𝑓′(𝑥) = 0 ขอจ ากดของวธน คอ ปรมาณทจะหาคาสงสด ต าสด จะขนกบตวแปร 𝑥 ไดเพยงตวแปรเดยวเทานน

แตในบางกรณ ปรมาณทเราตองการหาคาสงสด ต าสด อาจขนกบปรมาณอนอก 2 ปรมาณ

เชน ความแขงของทองเหลอง จะขนกบ ปรมาณทองแดง และ ปรมาณสงกะส ก าไรของสนคา จะขนกบ งบในการผลต และ งบในการโฆษณา เปนตน

ในเรองน เราจะสามารถก าหนดตวแปรตามใจชอบ ได 2 ตว คอ 𝑥 กบ 𝑦 และในเรองน เราจะไมใชสญลกษณ 𝑓(𝑥) ถาโจทยใหหาคาสงสด เราจะนยมแทนปรมาณทโจทยตองการหาคาสงสด ดวยตวแปร 𝑃

ถาโจทยใหหาคาต าสด เราจะนยมแทนปรมาณทโจทยตองการหาคาต าสด ดวยตวแปร 𝐶

สงทโจทยจะให ม 2 อยาง คอ

1. ขอจ ากดของ 𝑥 และ 𝑦 ในรปของอสมการหลายๆอสมการ 2. สมการทบอกวา 𝑃 หรอ 𝐶 คออะไร (เรยกวาสมการจดประสงค)

ขนตอนการท า มดงน 1. เอาอสมการขอจ ากดแตละอนมาเขยนกราฟใสแกน X-Y เดยวกน จะไดกราฟแสดงพนทหลายๆอนซอนกน

2. หาบรเวณทพนทของทกๆอสมการ “ซอนทบ” กน (คอเอาพนทของทกอสมการมาอนเตอรเซกกนนนเอง) 3. หาพกดของ “จดมม” ของพนททบซอนทไดในขอ 2 (ปกตจะมหลายมม ตองหามาใหหมดทกมม) วธหาพกดจดมมคอใหเอากราฟ 2 กราฟทตดกนตรงจดมมนนๆ มาเปลยน ≥ , ≤ เปน = แลวแกระบบสมการ 4. ขนสดทาย เอาจดทไดในขอ 3 ทงหมด ไปแทนในสมการจดประสงคของ 𝑃 (หรอ 𝐶) เลอกเอาจดทใหคา 𝑃 (หรอ 𝐶) สงสด (หรอต าสด) เปนค าตอบ

ตวอยาง จงหาคาสงสดของ 𝑃 = 2𝑥 + 3𝑦 เมอก าหนดเงอนไขดงตอไปน

วธท า ขนแรก น าอสมการขอจ ากดทง 4 มาเขยนกราฟ

𝑥 ≥ 0 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

(4, 0)

(0, 8)

𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 6

(0, 6)

(6, 0)

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 6 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

6 ก าหนดการเชงเสน

เอากราฟทง 4 ไปไวแกน X-Y เดยวกน แลวหาสวนทพนททง 4 ซอนทบกน ดงน

จะเหนวาสวนทซอนทบกน คอบรเวณทแรเงา นนเอง

ขนถดมา หาพกด “จดมม” ของสวนทซอนทบกน ในทนกคอจด A, B, C, D นนเอง พกดของจด A คอ (0, 0)

พกดของจด B จากตอนทวาดกราฟ 𝑥 + 𝑦 ≤ 6 จะไดพกดจด B คอ (6, 0) พกดของจด C ตองหาจดตดกนของ เสนตรง 𝑥 + 𝑦 = 6 กบ 2𝑥 + 𝑦 = 8

(ตอนหาจดตด ใหเปลยน ≥ , ≤ เปน = กอน) เอาสองสมการนมาแกกน ดงน

ดงนน พกดของ C คอ (2, 4) พกดของจด D จากตอนทวาดกราฟ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8 คอ (0, 8)

ดงนน ไดพกดจดมม คอ (0, 0) , (6, 0) , (2, 4) และ (0, 8)

ขนสดทาย เอาจดมมทง 4 ไปแทนในสมการจดประสงค 𝑃 = 2𝑥 + 3𝑦 แลวดวาอนไหนใหคา 𝑃 สงสด

ดงนน คาสงสดของ 𝑃 คอ 24 เมอ 𝑥 = 0 และ 𝑦 = 8 #

A B

C

D

𝑥 + 𝑦 = 6 2𝑥 + 𝑦 = 8

𝑥 + 𝑦 = 6 …(1) 2𝑥 + 𝑦 = 8 …(2) (2) − (1): 𝑥 = 2 แทน 𝑥 = 2 ใน (1): 2 + 𝑦 = 6 𝑦 = 4

(0, 0) : 𝑃 = 2(0) + 3(0) = 0 (6, 0) : 𝑃 = 2(6) + 3(0) = 12 (2, 4) : 𝑃 = 2(2) + 3(4) = 16 (0, 8) : 𝑃 = 2(0) + 3(8) = 24

ก าหนดการเชงเสน 7

ตวอยาง จงหาคาต าสดของ 𝐶 = 𝑥 + 5𝑦 เมอก าหนดเงอนไขดงตอไปน

วธท า เขยนพนทของอสมการทงหมดในแกน X-Y เดยวกนไดดงรป

หมายเหต: อสมการ 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 แตกไดเปน 2 อสมการ คอ 0 ≤ 𝑥 และ 𝑥 ≤ 6

พกดของ A คอ (0, 5) พกดของ B ตองแกระบบสมการ

จะไดพกดของ B คอ (4, 3) พกดของ C ตองแกระบบสมการ

จะไดพกดของ C คอ (6, 5)

สดทาย เอาสามจดนไปแทนดวาอนไหนได 𝐶 = 𝑥 + 5𝑦 ต าสด

(จรงๆมจดมมอก 2 จด คอ (0, ∞) กบ (6, ∞) แตสองจดนไมท าใหได 𝐶 = 𝑥 + 5𝑦 ต าสดอยแลว) ดงนน คาต าสดของ 𝐶 คอ 19 เมอ 𝑥 = 4 และ 𝑦 = 3 #

1 −1 6 10

𝑥 = 6 𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 + 2𝑦 = 10

5 A

B

C

0 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑦 ≥ 0 𝑥 − 𝑦 ≤ 1 𝑥 + 2𝑦 ≥ 10

𝑥 + 2𝑦 = 10 …(1) 𝑥 − 𝑦 = 1 …(2) (1) − (2): 3𝑦 = 9 𝑦 = 3 แทน 𝑦 = 3 ใน (2): 𝑥 − 3 = 1 𝑥 = 4

𝑥 = 6 …(1) 𝑥 − 𝑦 = 1 …(2) แทน 𝑥 = 6 ใน (2): 6 − 𝑦 = 1 5 = 𝑦

(0, 5) : 𝐶 = 0 + 5(5) = 25 (4, 3) : 𝐶 = 4 + 5(3) = 19 (6, 5) : 𝐶 = 6 + 5(5) = 31

8 ก าหนดการเชงเสน

แบบฝกหด

1. จงหาคาสงสดของ 𝑃 = 𝑥 + 3𝑦 เมอก าหนดเงอนไข

2. จงหาคาต าสดของ 𝐶 = 2𝑥 + 𝑦 เมอก าหนดเงอนไข

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 2𝑦 + 𝑥 ≥ 6 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 3 3𝑥 + 𝑦 ≥ 6

ก าหนดการเชงเสน 9

การเลอนเสนจดประสงค ปกต เวลาท าโจทยในเรองน เราจะตองวาดกราฟอสมการเงอนไข แลวหาพนทซอนทบกนของทกอสมการ แลวหาพกดของจดมม “ทกจด” แลวมาไลแทน

หวขอน จะพดถงอกเทคนคในการหาจดมมทเปนค าตอบ โดยไมตองไลแทนทกจด

เทคนคในหวขอน จะเรมใชหลงจากทเราไดพนทซอนทบของทกเงอนไขแลว โดยเราจะวาดเสนตรงท “ชนเทากบ 𝑃 (หรอ 𝐶)” วธวาดคอ เราจะวาดเสนตรงทมระยะตดแกน X ตอ ระยะตดแกน Y = ตวเลขทคณ Y : ตวเลขทคณ X

จากนน “เลอนเสนตรงทไดในแนวขนลง” โดยใหยงอยในพนทซอนทบของเงอนไข จดมมสดทาย ทกราฟเลอนขนสงสด กอนจะหลดจากพนทซอนทบ จะเปนจดทใหคาสงสด จดมมสดทาย ทกราฟเลอนลงต าสด กอนจะหลดจากพนทซอนทบ จะเปนจดทใหคาต าสด

ตวอยาง จงหาคาสงสดของ 𝑃 = 2𝑥 + 3𝑦 เมอก าหนดเงอนไขดงตอไปน

วธท า ขอน เคยท าไปแลวในหวขอทแลว โดยเราไดพนทซอนทบของทกเงอนไข ดงรป

ในหวขอทแลว เราตองหาพกดของ A B C D

แลวลองแทนทง 4 จด ในสมการของ 𝑃

ซงไดค าตอบคอ จด D ท าใหไดคา 𝑃 สงสด

ในหวขอน เราจะไมหาพกดของ A B C D แตจะวาดเสนตรงท ชนเทากบ P กอน

𝑃 = 2𝑥 + 3𝑦 ดงนน ตวเลขทคณ 𝑥 คอ 2 และตวเลขทคณ 𝑦 คอ 3

ดงนน จะไดเสนตรงน จะม ระยะตดแกน X ตอ ระยะตดแกน Y = 3 : 2

จะเหนวา เลอนไดสงสด ท กอนจะหลดจาก D → จด D ใหคาสงสด เลอนไดต าสด ท กอนจะหลดจาก A → จด A ใหคาต าสด

เนองจากขอน ตองการคา 𝑃 สงสด ดงนน เราหาจดพกดของจด D จดเดยว จะได D(0, 8)

จะได 𝑃 = 2(0) + 3(8) = 24 #

ขอควรระวงในการใชเทคนคน คอ รปกราฟทวาด ตองสมจรงพอสมควร

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≤ 6 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

A B

C D

𝑥 + 𝑦 = 6 2𝑥 + 𝑦 = 8

เอาเสนนมาเลอนขนลง ใหอยในพนทซอนทบ

1

2

D

A

1

2

10 ก าหนดการเชงเสน

ในกรณทรปกราฟไมชดเจน วาจดมมสดทายกอนเสนจะหลดคอจดไหน เราอาจตองหาทกจดทนาสงสยมาลอง แลวเลอกจดทไดคา 𝑃 สงกวา (หรอไดคา 𝐶 ต ากวา) เชน ในตวอยางทแลว ถารปไมชดเจนวาจด D หรอจด C เปนจดสดทายทกราฟเลอนไดสงสด

เราจะหาพกด ทงจด D และจด C มาแทน แลวตอบจดทไดคา 𝑃 สงกวา

แบบฝกหด

1. ถา 𝑃 = 5𝑥 + 4𝑦 เมอ 𝑥, 𝑦 เปนไปตามเงอนไข 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40 , 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 60 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

แลวคาสงสดของ 𝑃 เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/28]

2. ก าหนดสมการจดประสงค คอ 𝑃 = 3𝑥 + 2𝑦 โดยมอสมการขอจ ากด ดงน 𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 , 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8 , −𝑥 + 𝑦 ≤ 1 , 𝑥 ≥ 0 และ 0 ≤ 𝑦 ≤ 2

คาของ 𝑃 มคามากสด เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/19]

ก าหนดการเชงเสน 11

3. ถา 𝐶 เปนปรมาณทมคาขนกบคาของตวแปร 𝑥 และ 𝑦 ดวยความสมพนธ 𝐶 = 3𝑥 + 5𝑦 เมอ 𝑥, 𝑦 เปนไปตามเงอนไข 3𝑥 + 4𝑦 ≥ 5, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 3, 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0 แลวคาต าสดของ 𝐶 ตามเงอนไขขางตน มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/28]

4. ก าหนดฟงกชนจดประสงคและอสมการขอจ ากดเปนดงน

คาต าสดของ 𝐶 เทากบเทาใด [A-NET 50/1-14]

𝐶 = 40𝑥 + 32𝑦 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 8 4𝑥 + 12𝑦 ≥ 24

12 ก าหนดการเชงเสน

5. ก าหนดฟงกชนจดประสงค และอสมการขอจ ากด ดงน 𝐶 = 6𝑥 + 2𝑦, 𝑥 + 𝑦 ≥ 2, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 9, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦

คาสงสดของ 𝐶 เทากบเทาใด [A-NET 51/2-7]

6. จงหาผลคณของคาสงสดและคาต าสดของฟงกชน 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 2 ภายใตเงอนไขขอจ ากดตอไปน

(1) 𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 (2) 5𝑥 + 2𝑦 ≥ 20 (3) 𝑥 + 4𝑦 ≤ 22

(4) 𝑥 ≥ 1 (5) 1 ≤ 𝑦 ≤ 8

[PAT 1 (ม.ค. 54)/38]

ก าหนดการเชงเสน 13

7. ก าหนดให 𝑃 = 3𝑥 + 4𝑦 เปนฟงกชนจดประสงค โดยมอสมการขอจ ากดดงน 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 6

2𝑥 − 𝑦 ≤ 10 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 55)/14]

1. 𝑃 มคามากสด เทากบ 70

2. ถาจด (𝑎, 𝑏) ทท าให 𝑃 มคาต าสด แลว จด (𝑎, 𝑏) สอดคลองกบสมการ 𝑥 − 𝑦 = 3

8. ก าหนดสมการจดประสงค 𝑃 = 7𝑥 − 5𝑦 และอสมการขอจ ากดดงน 𝑥 + 3𝑦 − 12 ≥ 0 , 3𝑥 + 𝑦 − 12 ≥ 0 , 𝑥 − 2𝑦 + 17 ≥ 0 และ 9𝑥 + 𝑦 − 56 ≤ 0

ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 59)/14] 1. ถา (𝑎, 𝑏) เปนจดมมทสอดคลองกบอสมการขอจ ากดและใหคา 𝑃 มากทสด แลว 𝑎2 + 𝑏2 = 40

2. ผลตางระหวางคามากทสดและคานอยทสดของ 𝑃 เทากบ 70

3. ถา 𝐴 และ 𝐵 เปนพกดของจดมมทสอดคลองกบอสมการขอจ ากด โดยท 𝑃 มคามากทสดทจด 𝐴 และ

𝑃 มคานอยทสดทจด 𝐵 แลวจด 𝐴 และ 𝐵 อยบนเสนตรง 7𝑥 + 5𝑦 = 52

14 ก าหนดการเชงเสน

9. ภายใตอสมการขอจ ากดตอไปน 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 , 𝑥 − 𝑦 ≤ 1 , 𝑥 + 𝑦 ≥ 1 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

สมการจดประสงคในขอใดตอไปน ทมคามากทสด [PAT 1 (ต.ค. 58)/25] 1. 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 2. 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 3. 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦

4. 𝑧 = 𝑥 + 4𝑦 5. 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦

10. ก าหนดให 𝑃 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 เปนฟงกชนจดประสงค

เมอ 𝐴 และ 𝐵 เปนจ านวนจรงบวกทสอดคลองกบ 3𝐴 = 2𝐵 โดยมอสมการขอจ ากด ดงน 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20 , 7𝑥 + 9𝑦 ≤ 105 , 5𝑥 + 3𝑦 ≥ 15 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

ถา 𝑃 มคามากทสดทากบ 𝑀 และ 𝑃 มคานอยทสดเทากบ 𝑁 แลว ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 57)/28]

1. 2𝑀 = 11𝑁 2. 5𝑀 = 11𝑁 3. 2𝑀 = 𝑁 4. 5𝑀 = 𝑁

ก าหนดการเชงเสน 15

11. ก าหนดให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรงบวกซง 𝑎 < 𝑏 ถาคามากสดและคานอยสดของ 𝑃 = 2𝑥 + 𝑦 เมอ 𝑥, 𝑦 เปนไปตามเงอนไข 𝑎 ≤ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 𝑏 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามล าดบ แลว 𝑎 + 𝑏 มคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-14]

12. ก าหนดให 𝑃 = 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 6𝑦 เปนฟงกชนจดประสงค โดยมอสมการขอจ ากดดงน 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 48 , 𝑥 + 2𝑦 ≤ 22 , 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 42 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

ถา 𝑃 มคามากสดเทากบ 288 แลว คามากทสดของ 𝑎 ทเปนจ านวนเตมบวกเทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 56)/14]

16 ก าหนดการเชงเสน

13. ก าหนดใหฟงกชนจดประสงค 𝑃1 = 5𝑥 + 2𝑦 และ 𝑃2 = 4𝑥 + 3𝑦 โดยมอสมการขอจ ากดดงน 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 6 , 3𝑥 − 𝑦 ≤ 15 , −𝑥 + 𝑦 ≤ 4 , 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 27 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

ให คามากทสดของ 𝑃1 และ 𝑃2 เทากบ 𝑀1 และ 𝑀2 ตามล าดบ

และคานอยทสดของ 𝑃1 และ 𝑃2 เทากบ 𝑁1 และ 𝑁2 ตามล าดบ

ขอความใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (พ.ย. 57)/18] 1. 𝑀1 มคามากกวา 𝑀2

2. 𝑁1 มคานอยกวา 𝑁2

ก าหนดการเชงเสน 17

โจทยปญหา

ในหวขอน โจทยจะไมไดใหอสมการขอจ ากด กบสมการจดประสงคมาตรงๆ แตจะใหขอความยาวๆ บรรยายสถานการณ แลวเราตองเขยนอสมการขอจ ากด กบสมการวตถประสงค เอง

เวลาทเราให 𝑥 หรอ 𝑦 แทนจ านวนอะไรซกอยาง เราตองคดดวยวา จ านวนนนเปนลบไดไหม

ถาเปนลบไมได ตองเพม 𝑥 ≥ 0 หรอ 𝑦 ≥ 0 ลงไปในอสมการขอจ ากดดวย

ตวอยาง โรงงานผลตเครองเขยนแหงหนง ผลตปากกาและดนสอรวมกนไดไมเกน 90 แทงตอหนงวน โดยทจ านวนปากกาตองไมนอยกวาสองเทาของจ านวนดนสอเสมอ ถาปากกาขายไดก าไรแทงละ 8 บาท และดนสอขายไดก าไรแทงละ 10 บาท จงหาวาโรงงานน จะมก าไรตอวนไดมากทสดเทาไร และตองผลตดนสอและปากกาอยางละกแทง วธท า ใหผลตปากกา 𝑥 แทง และผลตดนสอ 𝑦 แทง

เนองจากจ านวนปากกาและดนสอ เปนลบไมได ดงนน จะไดวา 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

จะไดอสมการขอจ ากดคอ 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 , 𝑥 + 𝑦 ≤ 90 และ 𝑥 ≥ 2𝑦

เขยนกราฟ และหาสวนซอนทบกน จะไดดงรป

พกดของจด C จะตองแกระบบสมการ 𝑥 = 2𝑦 (1) 𝑥 + 𝑦 = 90 (2) (2) − (1): 𝑦 = 90 − 2𝑦 3𝑦 = 90 𝑦 = 30

แทน 𝑦 = 30 ใน (1): 𝑥 = 60

จะไดพกดของ C คอ (60, 30)

ขอนจะหาก าไรสงสด ดงนน ใหก าไรเปน 𝑃

เนองจาก ปากกาก าไรแทงละ 8 บาท ดนสอก าไรแทงละ 10 บาท ดงนน 𝑃 = 8𝑥 + 10𝑦

A(0, 0): 𝑃 = 8(0) + 10(0) = 0 B(90, 0): 𝑃 = 8(90) + 10(0) = 720 C(60, 30): 𝑃 = 8(60) + 10(30) = 780

นนคอ จะไดก าไรสงสด 780 บาท เมอผลตปากกา 60 แทง และดนสอ 30 แทง #

90

B(90, 0) A(0, 0)

C

𝑥 = 2𝑦

𝑥 + 𝑦 = 90

18 ก าหนดการเชงเสน

ตวอยาง บรษทแหงหนง ผลตเครองดม 2 ชนด เครองดมชนดแรกใชน าหวานผสมโซดาในอตราสวน 1:2 เครองดมชนดทสอง ใชน าหวานผสมโซดาในอตราสวน 2:3 โดยเครองดมชนดแรกมก าไร 30 บาทตอลตร และเครองดมชนดทสองมก าไร 32 บาทตอลตร ถาบรษทแหงนมน าหวาน 10 ลตร และโซดา 18 ลตร จงหาวาบรษทน จะมก าไรไดมากทสดเทาไร วธท า ใหผลตเครองดมชนดแรก 𝑥 ลตร และผลตเครองดมชนดทสอง 𝑦 ลตร

เทยบบญญตไตรยางศ เพอหาปรมาณน าหวานและโซดาทตองใชในเครองดมแตละชนด ดงน เครองดมชนดแรก 3 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 1 ลตร และโซดา 2 ลตร เครองดมชนดแรก 1 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 1

3 ลตร และโซดา 2

3 ลตร

เครองดมชนดแรก 𝑥 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 𝑥3 ลตร และโซดา 2𝑥

3 ลตร

ท าเหมอนกนกบเครองดมชนดทสอง เครองดมชนดทสอง 5 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 2 ลตร และโซดา 3 ลตร เครองดมชนดทสอง 1 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 2

5 ลตร และโซดา 3

5 ลตร

เครองดมชนดทสอง 𝑦 ลตรจะประกอบดวยน าหวาน 2𝑦

5 ลตร และโซดา 3𝑦

5 ลตร

ดงนน ใชน าหวานทงหมด 𝑥3

+2𝑦

5 ลตร และใชโซดาทงหมด 2𝑥

3+

3𝑦

5 ลตร

เนองจากมน าหวาน 10 ลตร และมโซดา 18 ลตร ดงนน จะไดสมการขอจ ากดคอ 𝑥

3+

2𝑦

5≤ 10 ,

2𝑥

3+

3𝑦

5≤ 18 , 𝑥 ≥ 0 และ 𝑦 ≥ 0

ขอนจะหาก าไรสงสด ดงนน ใหก าไรเปน 𝑃

เนองจาก เครองดมชนดแรกก าไรลตรละ 30 บาท ชนดทสองก าไรลตรละ 32 บาท ดงนน 𝑃 = 30𝑥 + 32𝑦

A(0, 25): 𝑃 = 30(0) + 32(25) = 800 B(27, 0): 𝑃 = 30(27) + 32(0) = 810 C(18, 10): 𝑃 = 30(18) + 32(10) = 860

นนคอ จะไดก าไรสงสด 860 บาท เมอผลตเครองดมชนดแรก 18 ลตร และชนดทสอง 10 ลตร #

(0, 25), (30, 0)

(0, 30), (27, 0)

𝑥

3+

2𝑦

5 = 10 (1)

2𝑥

3+

3𝑦

5 = 18 (2)

2×(1): 2𝑥

3+

4𝑦

5 = 20 (3)

(3)−(2): 𝑦

5 = 2

𝑦 = 10

𝑦 = 10 → (1): 𝑥

3+ 4 = 10

𝑥 = 18

B(27, 0)

A(0, 25) C(18, 10)

2𝑥

3+

3𝑦

5= 18

𝑥

3+

2𝑦

5= 10

ก าหนดการเชงเสน 19

แบบฝกหด 1. ในการผลตสนคาตามโครงการ OTOP ของต าบลหนง ในแตละวนผลตผาฝายได 𝑥 ชน และผลตผาไหมได 𝑦 ชน โดย

มอสมการขอจ ากดคอ

ถาผาฝายและผาไหมมราคาขายชนละ 90 บาท และ 300 บาท ตามล าดบ แลว โครงการนจะขายสนคาไดเงนมากทสดตอวน เทากบเทาใด [A-NET 49/1-20]

2. มป ยอย 2 ชนด คอชนด A และ ชนด B โดยแตละชนดบรรจถงละ 100 กรม สวนประกอบและราคาแตละชนดเปนดงน

นกวจยทดลองผสมป มชนด A และชนด B ใหพชในแปลงทดลอง โดยสวนผสมป ยทไดประกอบดวยสารอาหาร N

อยางนอย 18 หนวย สารอาหาร P อยางนอย 12 หนวย และสารอาหาร K อยางนอย 480 หนวย คาใชจายนอยสดในการผสมป ยทงสองชนดเทากบกบาท [PAT 1 (เม.ย. 57)/28]

2𝑥 + 𝑦 ≤ 12 𝑥 + 𝑦 ≤ 8 𝑥 ≥ 0

และ 0 ≤ 𝑦 ≤ 6

ชนดป ย สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถงละ ชนด A 2 หนวย 1 หนวย 80 หนวย 10 บาท ชนด B 3 หนวย 3 หนวย 60 หนวย 12 บาท

20 ก าหนดการเชงเสน

3. นาย ก. วางแผนจะปลกมนหรอสบปะรดบนทดน 150 ไร โดยมขอมลในการลงทนดงน ในการปลกมน จะตองลงทนคาตนกลาไรละ 200 บาท และใชแรงงานไรละ 10 ชวโมง ในการปลกสบปะรดจะตองลงทนคาตนกลาไรละ 300

บาท และใชแรงงานไรละ 12.5 ชวโมง นาย ก. มเงนลงทนส าหรบคาตนกลา 40,000 บาท และมแรงงานไมเกน 1,850 ชวโมง ถาปลกมนจะไดก าไรไรละ 1,500 บาท ปลกสบปะรดจะไดก าไรไรละ 2,000 บาท นาย ก. จะไดก าไรสงสดเทากบกบาท [PAT 1 (ม.ค. 58)/22]

ก าหนดการเชงเสน 21

กราฟเสนตรง

1. 1. 2. 3. 4.

กราฟอสมการ

1. 1. 2. 3. 4.

การหาคาสงสด ต าสด

1. 18 2. 9

2

การเลอนเสนจดประสงค

1. 110 2. 38

3 3. 29

5 4. 108

5. 18 6. 157.5 7. 1 8. 1, 2, 3

9. 5 10. 1 11. 70 12. 18

13. 1, 2

โจทยปญหา

1. 1980 2. 78 3. 275,000

2

2

3

2

−4

2

−2

1

3

4

4

−2

4

−1