81 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 8)

การกระจายสมบรณ 3

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (การกระจายสมบรณ 3) หมวด เนอหา ตอนท 8 (8/14) หวขอยอย 1. พสย (ขอมลแจกแจงความถ) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ) จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถวดการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใชพสยได 2. สามารถวดการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบนควอไทลได 3. สามารถวดการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบนเฉลยได 4. สามารถวดการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐานได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและค านวณการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใชพสยได 2. อธบายความหมายและค านวณการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใช สวนเบยงเบนควอไทลได 3. อธบายความหมายและค านวณการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใช สวนเบยงเบนเฉลยได 4. อธบายความหมายและค านวณการกระจายสมบรณของขอมลแจกแจงความถโดยใช สวนเบยงเบนมาตรฐานได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

ในสอตอนน เราจะศกษาการหาการกระจายสมบรณทง 4 แบบ คอ พสย สวนเบยงเบนควอไทล

สวนเบยงเบนเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ

ผสอนอาจยกตวอยาง ใหผเรยนหาการกระจายขอมลทง 4 ประเภท ในกรณทขอมลไมแจกแจงความถ เพอเปนการทบทวน กอนทจะน าผเรยนเขาสการหาการกระจายสมบรณของขอมลแบบแจกแจงความถ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

เพอความเขาใจมากขนของผเรยน ผสอนอาจใหผเรยนท าตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จากตารางคะแนนของนกเรยนหองหนงทม 60 คน ตอไปน

คะแนน จ านวนนกเรยน 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34

10 15 15 10 10

จงหา

1. พสย 2. สวนเบยงเบนควอไทล 3. สวนเบยงเบนเฉลย 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

วธท า

1. พสย ขอบบนของอนตรภาคชนของขอมลทมคาสงสด ขอบลางของอนตรภาคชนของขอมลทมคาต าสด

34.5 9.5 25 คะแนน 2. สวนเบยงเบนควอไทล

เนองจาก 1Q คะแนนของขอมลล าดบท 60

4

514.5 5

15

16.167 คะแนน

3Q คะแนนของขอมลล าดบท 603

4

524.5 5

10

27 คะแนน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ดงนน สวนเบยงเบนควอไทล 3 1

2

Q Q

27 16.167

2

5.417 คะแนน จากขอมลทก าหนดจะไดวา

5

1

5

1

129521.58

60

i i

i

i

i

f x

f

และ

คะแนน จดกงกลาง ix

จ านวนนกเรยน

if i if x i if x 2

i if x

10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34

12 17 22 27 32

10 15 15 10 10

120 255 330 270 320

95.8 68.7 6.3

54.2 104.2

917.76 314.65

2.65 293.76

1085.76 5

1i

60 1295 329.2 2614.58

3. สวนเบยงเบนเฉลย

5

1

5

1

. .i i

i

i

i

f x

M D

f

329.2

60

5.49 คะแนน

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

52

1

5

1

i i

i

i

i

f x

f

2614.58

60

6.6 คะแนน #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

จากตวอยางทผานมา มการกลาวถงความแปรปรวน ซงเราเคยใหบทนยามของความแปรปรวนไปแลวในสอตอนทผานมา โดย

ซงบทนยามดงกลาวนนครอบคลมทงกรณขอมลแจกแจงความถ และขอมลทไมแจกแจงความถ

ผสอนสามารถใหตวอยาง และแบบฝกหดเพมเตมแกผเรยนดงตอไปน เพอฝกทกษะส าหรบเนอหาในตอนน

ความแปรปรวน = (สวนเบยงเบนมาตรฐาน) 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ตวอยาง อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงดงน

อาย (ป) จ านวนเดก 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12

3

a 6 4

ถามธยฐานของอายของเดกกลมนเทากบ 7 ป แลว เดกกลมนมสวนเบยงเบนเฉลยเทาไร วธท า

เดกทมอายระหวาง 6.5 9.5 ป มจ านวน 6 คน

ดงนน เดกทมอายระหวาง 6.5 7 ป จ านวน 6

0.5 13

คน

ดงนนมขอมลทนอยกวาหรอเทากบ 7 อย 3 1 4a a คน และมขอมลทมากกวาหรอเทากบ 7 อย 5 4 9 คน

เนองจากมธยฐานคอ 7 จะไดวา

4 9a 5a

อาย ix if i if x i if x

1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12

2 5 8 11

3 5 6 4

6 25 48 44

14.49 9.15 7.02 16.68

4

1

18i

i

f

4

1

123i i

i

f x

4

1

47.34i i

i

f x

?

6 คน

6.5 7 9.5

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

โดยท

4

1

4

1

1236.83

18

i i

i

i

i

f x

f

ดงนน

4

1

4

1

47.34. . 2.63

18

i i

i

i

i

f x

M D

f

#

แบบฝกหดเพมเตม จากตารางขอมลรายได(ตอวน) ของคนงานทไดจากการสมตวอยาง คนงานจ านวน 20 คน

รายไดตอวน (บาท) จ านวนคนงาน 101 – 200 201 – 300 301 – 400 401 – 500

8 6 4 2

จงตอบค าถามในขอ 1-5 1. จงหาพสย 2. คาเฉลยเลขคณต 3. จงหาสวนเบยงเบนควอไทล 4. จงหาสวนเบยงเบนเฉลย 5. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

จากตารางขอมลน าหนกของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง

น าหนก (กโลกรม) จ านวนนกเรยน 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

1 a 10 20 10 20

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ถาเราทราบวา ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 64.5 6. จงหาพสย 7. จงหาสวนเบยงเบนควอไทล 8. จงหาสวนเบยงเบนเฉลย 9. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

10. จากตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยน 1 – 10

11 – 20 21 – 30 31 – 40

1 a 10 1b 5

ถาคาเฉลยเลขคณตมคา 20.5 จงหาคาของ 3a b

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

แบบฝกหดระคน

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยน 1 – 5

6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25

2 5 6 4 3

20N พสยของคะแนนของนกเรยนกลมนเปนเทาใด 1. 12.5 2. 13 3. 25 4. 26

2. จากโจทยขอ 1 อยากทราบวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเปนเทาใด 1. 6.02 2. 6.17 3. 36.2 4. 38.1

3. จากการส ารวจเกยวกบอาย (ป) ของนกเรยนกลมหนง พบวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายนกเรยนกลมนเทากบ 17 ป และ 3 ป ตามล าดบ หลงจากการส ารวจผานไป 7 ป อยากทราบวาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนกลมนเทากบเทาใด 1. 17 2. 24 3. 27 4. ไมสามารถค านวณไดเนองจากขอมลทก าหนดใหไมเพยงพอ

4. จากโจทยขอ 3 อยากทราบวาความแปรปรวนของอายนกเรยนกลมนเทากบกป 1. 3

2. 9 3. 21 4. ไมสามารถค านวณไดเนองจากขอมลทก าหนดใหไมเพยงพอ

5. ขอมลชดหนงมตารางแจกแจงความถดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

คะแนน จ านวนนกเรยน 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

12 1 a 14 26 1b

ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานเทากบ 75.5 และ 79.5 ตามล าดบ แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนมคาเทาใด 1. 10.83 2. 12.48 3. 117.29 4. 155.67

6. ถาตารางการแจกแจงความถของขอมลชดหนง มความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากน ดงตอไปน

ชนท จดกงกลางอนตรภาคชน ความถสะสม 1 2 3 4

20 25

a b

5 15 30 40

แลว และ . .M D ของขอมลชดนมคาเทากบเทาไร ตามล าดบ 1. 25, 4.0625 2. 25, 6.23 3. 28.75, 4.0625 4. 28.75, 6.23

7. ก าหนดคะแนนและความถของนกเรยนกลมหนง จ านวน 40 คน ดงน

คะแนน จ านวนนกเรยน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79

3 7 15 9 6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

จากตารางขอมลขางตน จงพจารณาขอความตอไปน ก. X Me ข. . . . .Q D M D ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

8. N 2

หอง ก 10 30 15 หอง ข 10 20 10

จงหาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของนกเรยนทง 2 หอง 1. 10, 12.5 2. 10, 13 3. 15, 12.5 4. 15, 13

9. จากขอมลประชากร 2 กลมตอไปน จงหาคา x y

กลม 1 กลม 2 รวม 2 กลม คาเฉลยเลขคณต 5 6 x ความแปรปรวน 4 y 4.84

จ านวน 20 30 50

1. 10.6 2. 11.0 3. 11.4 4. 11.6 10. ก าหนดใหขอมลชดท 1 และขอมลชดท 2 มคาเฉลยเลขคณตเทากน

จากการค านวณไดคาของ ขอมลชดท 1 20

2

1

108i X

i

X

ขอมลชดท 2 20

2

1

132i Y

i

Y

ถาน าขอมลสองชดนมารวมกนแลวจะมความแปรปรวนเปนเทาใด 1. 1 2. 3 3. 6 4. 12

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

1. 400 2. 250.5 3. 81.25 4. 80 5. 102.598 6. 50 7. 15 8. 12.5 9. 15 10. 5

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 2. 1 3. 2 4. 2 5. 2 6. 3 7. 2 8. 2 9. 1 10. 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได