7 STAILNOST LINEARNIH STAIONARNIH SISTEMADa bi sistem sa povratnom spregom bio stabilan, potrebno je...

7 STABILNOST LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA

7.1 STABILNOST DINAMIČKIH SISTEMA, RAVNOTEŽNO STANJE SISTEMA

Stabilnost je jedna od najvažnija osobina sistema.

Posmatrajmo jedan nepobuđeni NELINEARNI SISTEM koji je opisan u prostoru stanja jednačinom:

( ) ( ),x t f x t t (za stacionarne sisteme imamo ( ) ( )x t f x t )

Kada su nelinearni sistemi u pitanju, ne možemo uopšteno govoriti o njihovoj stabilnosti, već o stabilnosti njihovog ravnotežnog stanja.

Tačku ex zvaćemo ravnotežnim stanjem ukoliko je zadovoljen uslov:

( )

, 0 0

e

e

x x

dx tf tx

dtx

Ravnotežna tačka je ona taka u prostoru stanja u kojoj će, ako se sistem u njoj nađe, u njoj i ostati.

U zavisnosti od broja rešenja jednačine , 0exf x t , sistem može da poseduje i

više ravnotežnih stanja.

Ravnotežna stanja se među sobom razlikuju po svojoj prirodi.

Zbog toga, postoje definicije različitih priroda stabilnosti za ravnotežna stanja: - definicija stabilnosti, - definicija asimptotske stabilnosti i - definicija globalne asimptotske stabilnosti.

U nastavku se daju objašnjenja ovih definicija bez navođenja stroge matematičke formulacije.

Stabilnost ravnotežnog stanja – Neka se sistem nalazi u bliskoj okolini ravnotežnog stanja ex . Za ravnotežno stanje ex kažemo da je stabilno ako sistem nakon toga

takođe ostaje u bliskoj okolini ex .

Asimptotska stabilnost ravnotežnog stanja – Neka se sistem nalazi u bliskoj okolini ravnotežnog stanja ex . Za ravnotežno stanje ex kažemo da je asimptotski stabilno

ako sistem nakon toga (tokom vremena) konvergira ka ex .

Globalna asimptotska stabilnost ravnotežnog stanja – Neka se sistem nalazi u proizvoljnoj okolini ravnotežnog stanja ex . Za ravnotežno stanje ex kažemo da je

globalno asimptotski stabilno ako sistem nakon toga (tokom vremena) konvergira ka ex .

Nestabilno ravnotežnog stanje - Za ravnotežno stanje ex koje ne zadovoljava ni

jedan od prethodna tri uslova stabilnosti kažemo da je nestabilno.

Veze između stabilnosti ravnotežnog stanja:

- Ako je ravnotežno stanje asimptotski stabilno, onda je ono stabilno.

- Ako je ravnotežno stanje globalno asimptotski stabilno, onda je ono asimptotski stabilno.

Očigledno, globalna asimptotska stabilnost predstavlja najstroži uslov stabilnosti.

Grafička interpretacija različitih definicija stabilnosti ravnotežnog stanja

globalno asimptotski stabilno

asimptotski stabilno

asimptotski stabilno

nestabilno nestabilno

beskonačno mnogo stabilnih ravnotežnih stanja

7.2 STABILNOST LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA

Nadalje razmatramo isključivo klasu linearnih stacionarnih sistema.

Kod nepobuđenih LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA, jednačina stanja glasi:

( ) ( )x t Ax t

Ravnotežno stanje linearnih sistema se odrešuje iz uslova:

0( ) 0 0 eeAx t A x x

Zaključak za linearne stacionarne sisteme:

- Imaju samo jedno ravnotežno stanje 0ex koje se nalazi u koordinatnom početku.

Posledice za linearne stacionarne sisteme:

- Ako je ravnotežno stanje 0ex stabilno, onda je ono istovremeno i asimptotski

stabilno i globalno asimptotski stabilno. Zbog toga nadalje koristimo isključivo pojam stabilno ravnotežno stanje (bez prefiksa asiptotski ili globalno asimprotski).

- Stabilnost jedinog ravnotežnog stanja 0ex određuje stabilnost celog sistema.

- Zbog toga, nadalje govorimo isključivo o stabilnosti sistema, a ne o stabilnosti njegovog ravnotežnog stanja.

Stabilnost linearnih sistema se može analizirati na više načina.

U nastavku se analiziraju dva koncepta stabilnosti:

- ulazno-izlazna stabilnost sistema (BIBO stabilnost, stabilnost ograničen ulaz - ograničen izlaz)

- stabilnost sistema (globalna asimptotska)

SISTEM

7.3 BIBO (ULAZNO-IZLAZNA) STABILNOST SISTEMA

Definicija BIBO stabilnsti

Definicija. Linearni stacionarni sistem je BIBO stabilan ako je za bilo koji ograničeni

ulazni signal izlaz sistema je takođe ograničen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t u t t y t

SISTEM

Kriterijumi BIBO stabilnosti

Teorema 1. Linearni stacionarni sistem, čiji je impulsni odziv ( )g t , je BIBO stabilan ako

i samo ako važi:

0

( )g d

Dokaz. Odziv sistema za datu pobudu:

0

( ) ( ) ( )y t g u t d

Ograničenje izlaza daje:

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t g u t d g u t d g d

Teorema 2. Linearni stacionarni sistem, čija je funkcija prenosa G(s), je BIBO stabilan

ako važi Re 0jp , za svaki pol jp funkcije prenosa G(s), tj. ako se svi polovi sistema

nalaze u levoj poluravni ‘s’ ravni.

7.4 DEFINICIJE STABILNOSTI LINERANIH SISTEMA

Posmatramo linearni stacionarni sistem opisan diferencijalnom jednačinom:

n m

n 1 0 m 1 0n m

d y(t) dy(t) d u(t) du(t)a ... a a y(t) b ... b b u(t)

dt dt dt dt

Rešenje diferencijalne jednačine:

( ) ( ) ( )h py t y t y t

( )hy t - homogeno rešenje određuje karakter prelaznog procesa.

( )py t - partikularno rešenje određuje karakteristike ustaljenog stanja.

SISTEM

Definicija stabilnosti iskazana preko homogenog rešenja diferencijalne jednačine

Linearni stacionarni sistem je

(i) stabilan ako je

lim ( ) 0ht

y t

(ii) nestabilan ako je

lim ( )ht

y t

(iii) aperiodično granično stabilan ako je

lim ( ) , 0ht

y t

(iv) oscilatorno granično stabilan ako

ne postoji lim ( )ht

y t

Definicija stabilnosti iskazana preko impulsnog odziva sistema

Linearni stacionarni sistem je

(i) stabilan ako je

lim ( ) 0t

g t

(ii) nestabilan ako je

lim ( )t

g t

(iii) aperiodično granično stabilan ako je

lim ( ) , 0t

g t

(iv) oscilatorno granično stabilan ako

ne postoji lim ( )t

g t

Kriterijum stabilnosti iskazan preko polova sistema

Teorema.

(i) Kontinualan linearni stacionarni sistem je stabilan ako i samo ako svi njegovi polovi leže u levoj poluravni s-ravni.

(ii) Sistem je na granici stabilnosti ukoliko poseduje jednostruke polove na imaginarnoj osi. Pri tome:

a) par jednostrukih konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi vodi ka oscilatornoj granici stabilnosti,

b) jednostruki pol u koordinatnom početku vodi ka aperiodičnoj granici stabilnosti.

(iii) Ukoliko sistem ima bar jedan pol u desnoj poluravni s-ravni, ili ima makar jedan višestruki pol na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je nestabilan.

STABILAN NESTABILAN

GRANIČNO STABILAN ILI NESTABILAN

7.5 KRITERIJUMI STABILNOSTI SISTEMA

Kriterijumi stabilnosti se mogu podeliti u dve osnovne kategorije:

- algebarski kriterijumi i

- grafoanalitički kriterijumi,

Algebarski kriterijumi se zasnivaju na analizi korena karakteristične jednačine sistema.

Razmatraćemo sledeće algebarske kriterijume stabilnosti:

- Routh-ov kriterijum stabilnosti

- Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti

Grafoanalitički kriterijumi, koji se često nazivaju i frekventni kriterijumi, zasnivaju se na crtanju i analizi odgovarajućih frekventnih karakteristika.

Razmatraćemo sledeće grafoanalitičke kriterijume stabilnosti:

Nyquist –ov kriterijum stabilnosti

Mihajlov kriterijum stabilnosti

7.5.1 ALGEBARSKI KRITERIJUMI STABILNOSTI

Da bi se ustanovilo da li je linearan sistem stabilan ili nije, dovoljno je:

- odrediti polove (tj. korene karakteristične jednačine sistema) ili bar - ustanoviti da li se svi oni nalaze u levoj poluravni s-ravni.

Karakteristična jednačina sistema:

1

1 1 0( ) 0n n

n nf s a s a s a s a

Na osnovu Vietovih pravila moguće je uspostaviti potreban (ali ne i dovoljan uslov) da sistem proizvoljnog reda bude stabilan:

Teorema. Potreban uslov da kontinualni linearni stacionarni sistem bude stabilan jeste da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka.

Očigledno da je ovo i dovoljan uslov za sisteme prvog i drugog reda.

1 0( ) 0f s a s a , 2

2 1 0( ) 0f s a s a s a

Teorema. Potreban i dovoljan uslov da kontinualni linearni stacionarni sistem prvog ili drugog reda bude stabilan jeste da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka.

7.5.1.1 ROUTH-OV KRITERIJUM STABILNOSTI

Neka je dat karakteristični polinom sistema: 1

1 1 0( ) n n

n nf s a s a s a s a

Na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma formira se sledeća tablica brojeva (Routh-ova tabela):

2 4

1

1 3 5

2

2 4 6

3

3 5

2

2 0

1

1

0

0

n

n n n

n

n n n

n

n n n

n

n n

s a a a

s a a a

s b b b

s c c

s m m

s m

s m

1 1

1

2 1 1

2

,

,

n n i n n in i

n

n n i n n in i

n

a a a ab

a

b a a bc

b

Prve dve vrste tabele popunjavaju na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma.

Ostale vrste se popunjavaju koristeći unakrsno množenje elemenata iz prethodne dve vrste, oduzimanje dobijenih proizvoda i deljenje sa prvim elementom iz prethodnog reda, prema sledećim formulama:

Teorema. (Routh-ov kriterijum)

1. Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi koeficijenti prve Routh-ove kolone budu istog znaka.

2. Sistem je nestabilan ukoliko postoji promena znaka u prvoj Routh-ovoj koloni.

Broj promene znaka u prvoj Routh-ovoj koloni odgovara broju nestabilnih polova sistema.

3. Bilo koja vrsta ili kolona Routh-ove tablice se može pomnožiti pozitivnom konstantom i to neće uticati na rezultat stabilnosti sistema.

2 4

1

1 3 5

2

2 4 6

3

3 5

2

2 0

1

1

0

0

n

n n n

n

n n n

n

n n n

n

n n

s a a a

s a a a

s b b b

s c c

s m m

s m

s m

Primer. Proverimo stabilnost sistema čija je karakteristična jednačina

5 4 3 2( ) 2 3 4 5 0f s s s s s s .

Formirajmo Routh-ovu tablicu:

5

4

3

2

1

0

1 1 4

2 3 5

1 3

9 5

32

5

s

s

s

s

s

s

U prvoj koloni Routh-ove tablice postoje dve promene znaka i to sa 2 na -1 i sa -1 na 9.

Zaključak: Karakteristična jednačina ima dva korena sa pozitivnim realnim delovima i sistem je nestabilan.

,

Primer. Za karakterističnu jednačinu ( )f s 4 3 2( ) 2 2 1 0f s s s s s Routh-ova

tabela glasi

4

3

2

1

0

1 1 1

2 2

1

2 2 /

1

s

s

s

s

s

Kada 0 , sledi 0

lim2 2 /

(negativno)

U prvoj koloni Routh-ove tablice postoje dve promene znaka i to sa +0 na -∞ i sa -∞

na 1.

Zaklučak: Karakteristična jednačin ima dva korena sa pozitivnim realnim delovima pa je sistem nestabilan.

,

7.5.2 HURWITZ-OV KRITERIJUM STABILNOSTI

Polazeći od karakterističnog polinoma sistema

1

1 1 0( ) n n

n nf s a s a s a s a

može se formirati sledeća Hurwitz-ova kvadratna matrica dimenzije n n :

1 3 5 7

2 4 6

1 3 5

2 4

2 0

3 1

4 2 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

0 0 0 0

n n n n

n n n n

n n n

n n n

a a a a

a a a a

a a a

a a aH

a a

a a

a a a

Na osnovu osobina ove matrice može se, pomoću Hurwitz-ovog kriterijuma, proceniti stabilnost sistema.

Potrebno je izračunati sve dijagonalne minore Hurwitz-ov matrice:

1 3 5

1 3

1 1 2 3 2 4

2

1 3

, , ,

0

n n n

n n

n n n n

n n

n n

a a aa a

a a a aa a

a a

n H

gde je sa A označena determinanta kvadratne matrice A.

Pošto su svi elementi poslednje kolone jednaki nuli, osim poslednjeg, važi:

0 1n na

Teorema. (Hurwitz-ov kriterijum)

1. Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da svi dijagonalni minori budu pozitivni: 1 20, 0, , 0n .

2. Sistem je nestabilan ukoliko je bar jedan dijagonalni minor negativan.

3. Ukoliko važi 1 2 10, 0, , 0n i 0n , sistem se nalazi na aperiodičnoj

granici stabilnosti.

7.6 GRAFOANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI

Grafoanalitički kriterijumi stabilnosti zasnivaju se na proceni stabilnosti na osnovu izgleda grafika određenih frekventnih karakteristika.

Pošto se pomenuti kriterijumi zasnivaju na određenim frekventnim karakteristikama, ovi kriterijumi se nazivaju i frekventni kriterijumi.

Razmatramo dva grafoanalitička kriterijuma:

- Nyquist-ov kriterijum namenjen je za sisteme sa povratnom spregom koristi se Nyquist-ova kriva (videti poglavlje o frekventnim karakteristikama)

- kriterijum Mihajlova koristi se za sisteme sa i bez povratne sprege koristi se Mihajlova kriva

7.6.1 NYQUIST-OV KRITERIJUM STABILNOSTI

Posmatramo sistem sa povratnom spregom prikazan na slici

OTVORENI SISTEM:

Funkcija prenosa otvorenog sistema:

( ) ( ) / ( )m nG s P s Q s

Karakteristični polinom otvorenog sistema:

1 2( )( ) 0n nO Q s sf p s p s ps

Pretpostavka: Za otvoreni sistem postoji P polova u desnoj poluravni (P može biti i 0).

ZATVORENI SISTEM:

Funkcija prenosa zatvorenog sistema:

(1 ( ) 1 1

( ) / ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 )( ( ) (() / ) )

m n m mS

m m nn s

P s Q s P s P sG s G sG s

P s sG s QQ P sG s s f

Karakteristični polinom zatvorenog sistema: 1 ( )( ) 0 0G sf f ss

Funkcija povratnog prenosa: ( ) 1 ( )G s G s

Frekventna funkcija povratnog prenosa: ( )G j (za ovu funkciju se crta Nyquist-ova kriva)

R(s) Y(s) E(s)

-

Opšti Slučaj: 0P

Teorema. Pretpostavimo da funkcija povratnog prenosa sistema G(s) može imati polove u desnoj poluravni ( 0P ).

Da bi sistem sa povratnom spregom bio stabilan, potrebno je i dovoljno da priraštaj argumenta vektora, čiji se početak nalazi u tački ( 1, 0)j a vrh se kreće po krivoj

Nyquist-a ( )G j , pri promeni učestanosti od 0 do , bude P :

0,

arg 1 ( )G j P

0 -1

Za Nyquist-ovu krivu sa slike važi:

0,

0 : arg{1 ( 0)} 0

: arg{1 ( )} 2

arg 1 ( ) 2 0 2

G j

G j

G j

Pošto je za svako celobrojno 0P , 2P , uslov iz Teoreme nije zadovoljen.

Zbog toga je sistem nestabilan nezavisno od broja polova P funkcije povratnog prenosa u desnoj poluravni.

Primer. Za Nyquist-ovu krivu sa slike karakteristična tačka ( 1, 0)j je van oblasti krive:

0,

0 : arg{1 ( 0)} 0

: arg{1 ( )} 0

arg 1 ( ) 0 0 0

G j

G j

G j

Ako je 0P , onda je 0P pa je uslov Teoreme zadovoljen:

0,

arg 1 ( )G j P

,

odakle sledi je sistem sa povratnom spregom stabilan.

Ako je 0P , onda uslov Teoreme nije zadovoljen:

0,

arg 1 ( )G j P

pa sistem sa povratnom spregom nije stabilan.

0 -1

Specijalni slučaj: 0P

Teorema. Pretpostavimo da funkcija povratnog prenosa sistema G(s) nema polova u desnoj poluravni ( 0P ).

Sistem sa povratnom spregom je stabilan, ako i samo ako kritična tačka 1 0j leži

van Nyquist-ove krive ( )G j .

0 -1

stabilan

0 -1

nestabilan

7.6.1.1 CIPKINOVO PRAVILO PRELAZA

Uslov

0,

arg 1 ( )G j P

u Nyquist-ovoj teoremi ponekad je teško proveriti.

Zbog toga je ponuđen alternativni iskaz ove teoreme u vidu Cipkinovog pravila.

Osnova Cipkinovog pravila je određivanja broja pozitivnih i negativnih prelaza.

Pod prelazima se podrazumevaju preseci Nyquist-ove krive sa negativnim delom realne ose levo od kritične tačke -1.

Smer prelaza se smatra pozitivnim ukoliko kriva pri porastu učestanosti seče ovu osu u smeru pozitivnog porasta ugla (suprotno od kretanja kazaljke na satu), inače se smatra negativnim.

Prelaz je pun ako kriva seče osu (vrednost punog prelaza se računa kao 1).

Prelaz je polovičan (poluprelaz) ako kriva polazi sa ove ose ili ako kriva završava na ovu osu (vednost poluprelaza se računa kao 1/2)

-1

1+ 1/2+

1/2+ 1-

1/2-

1/2-

Teorema. Pretpostavimo da funkcija povratnog prenosa sistema G(s) može imati polove u desnoj poluravni ( 0P ).

Sistem sa povratnom spregom je stabilan ako i samo ako je, pri promeni učestanosti od 0 do , razlika pozitivnih i negativnih prelaza, koje Nyquist-ova kriva ( )G j čini

sa negativnim delom realne ose, levo od kritične tačke 1 0j jednak P/2:

/ 2P

Primer.

0 -1

1-

Broj pozitivnih prelaza i poluprelaza:

0

Broj negativnih prelaza i poluprelaza:

1

Razlika:

0 1 1

Za svako 0P je 1 / 2P pa je sistem nestabilan nezavisno od broja polova P u desnoj poluravni.

7.6.1.2 GRANIČNA STABILNOST

Ukoliko grafik Nikvistove krive ( )G j prolazi kroz karakterističnu tačku 1 0j za neko

p , onda važi:

p ( ) 1 ( )

1 ( ) ( ) 0f j G j

p pG j f j

( ) 0ps j

f s

za ps j

ps j je prost koren karakteristične jednačine,

tj. prost pol sistema koji se nalazi na imaginarnoj osi

sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.

0 -1

Ukoliko grafik Nikvistove krive ( )G j polazi iz karakteristične tačke 1 0j onda važi:

0 ( ) 1 ( )

1 ( 0) ( 0) (0) 0f j G j

G j f j f

0

( ) 0s

f s

za 0s

0s je prost koren karakteristične jednačine, tj. prost pol sistema koji se nalazi u koordinatnom početku

sistem se nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti.

0 -1

Primer. Nikvistovim kriterijumom ispitati stabilnost sistema sa slike čija je funkcija povratnog prenosa

2

1( )

1G s

s s

Rešenje. Polovi funkcije povratnog prenosa:

1,2 1/ 2 3 / 2s j 0P

U jednom od prethodnih primera nacrtana jer Nyquist-ova kriva za ovu funkciju povratnog prenosa sistema.

Nje grafik je ponovo prikazan na slici.

1

-1

0

-1

R(s) Y(s) E(s)

-

I način: primena Nyquist-ovog kriterijuma za slučaj 0P

Pošto Nyquist-ova kriva ne obuhvata kritičnu tačku 1 0j sledi da je sistem sa

povratnom spregom stabilan.

II način: primena Cipkinovog pravila prelaza

Nyquist-ova kriva ne seče negativni deo imaginarne ose levo od tačke -1, pa sledi

0 0 0

Pošto je 0P zadovoljen je uslov

0 / 2P

pa je sistem sa povratnom spregom stabilan.

1

-1

0

-1

7.6.1.3 NORMALIZACIJA FUNKCIJE POVRATNOG PRENOSA

Vrlo često, funkcija povratnog prenosa ima formu ( )KG s , gde je K nepoznati

parametar čije vrednosti treba odrediti da bi sistem bio stabilan.

Tada se Nikvistova kriva crta za normalizovanu funkciju

( ) / ( )KG s K G s

koja ne poseduje parametar K .

Dobijena Nyquist-ova kriva se naziva normalizovana Nyquist-ova kriva.

Normalizovana Nyquist-ova kriva se dobija kada se svaka tačka na grafiju Nyquist-ove krive podeli sa K .

Fiksna karakteristična tačka 1 0j na normalizovanoj krivoj postaje pokretna

tačka 1/ 0K j zbog promene parametra 0,K .

Apsolutno stabilni sistemi su stabilni za svako K .

Uslovno stabilni sistemi su sistemi stabilni za neko K .

0

7.6.1.4 SLUČAJ POLOVA NA IMAGINARNOJ OSI

Ako funkcija prenosa ( )G s ima polove na imaginarnoj osi

( ),s j onda ona i njena frekventna funkcija prenosa

( )G j poprimaju beskonačno velike vrednosti u tim

polovima.

Takođe, Nyquist-ova kriva za ( )G j poprima

beskonačne vrednosti u tačkama koje odgovaraju polovima sa imaginarne ose.

Da bi prevazišli ovaj problem, prilikom crtanja Nyquist-ove krive u polovima sa imaginarne ose vrši obilaženje ovih polova na imaginarnoj osi sa desne ili leve strane.

U nastavku će na jednom primeru biti pokazano kako se crta Nyquist-ova kriva u slučaju jednog polova na imaginarnoj osi i to u koordinatnom počrtku.

0

∞

nema polova na imaginarnoj osi

0

∞

pol

pol

postoje 2 pola na imaginarnoj osi

Primer 7.7. Ispitati stabilnost sistema sa povratnom spregom čija je funkcija povratnog prenosa

( )

1

KG s

s s

pol 0s na imaginarnoj osi!!!

Rešenje. Vršimo normalizaciju funkcije prenosa

( ) 1( )

1 1

K G sG s

s s K s s

Vršimo obilaženje pola na imaginarnoj osi 0s .

Obilaženje vršimo po delu kruga beskonačno malog

poluprečnika, tj. po luku AB gde je js e :

Luk AB: js e , 0, 0, / 2

Grafik na Nyquist-ovom dijagramu za js e

0 0 0

( ) 1 1lim lim lim

1

jj

j j

G ee

K e e

0

0

( )lim ,

( )limarg 0, / 2

j

j

G eR

K

G e

K

A’

B’

A

C

D

E

B

F

∞ mali Luk AB iz s-ravni

preslikava se u ∞ veliki luk A B na Nyquist-ovom dijagramu.

Dalje nastavljamo sa vrednostima s j na imaginarnoj osi jer na njoj nema drugih polova.

Duž BC : , 0 ,s j

(i) Tačka u beskonačnosti

2

( ) 1 1lim lim lim

1

G j

K j j j

2

( ) 1lim lim 0,

( )lim arg 2 lim arg 2 / 2

G j

K

G jj

K

(ii) Preseci sa osama

2

2 2

1( ) 1 1

1 1 1

1 1

1 1

j jG j j

K j j j j

j

A

C

D

E

B

F

A’ C’

B’

Deo imaginarne ose BC preslikava se u krivu B C na Nyquist-ovom dijagramu

Analiza stabilnosti

Pol u koordinatnom početku je izbegnut sa desne strane tako da se pri pobojanju polova u desnoj poluravni on ne računa pa je

0P

Cipkinovo pravilo

0 0 0 / 2 0P ,

Zaklučak: Sistem sa povratnom spregom je stabilan za svaku vrednost pojačanja K (apsolutno stabilan).

A’

C’

B’

7.6.1.5 SLUČAJ NEJEDINIČNE POVRATNE SPREGE

U nekim slučaju sistem poseduje povratnu spregu koja nije jedinična, kao što je to prikazano na slici.

Tada treba odrediti funkciju povratnog prenosa koja se dobija množenjem funkcija prenosa svih elemenata direktne i povratne grane:

1 2( ) ( ) ( )G s G s G s

Crtamo Nikvistovu krivu za funkcija povratnog prenosa:

1 2( ) ( ) ( )G j G j G j

Dalji postupaj se poklapa sa slučajem jedinične povratne sprege.

R(s) Y(s) E(s)

-

7.6.1.6 UTICAJ STEPENA ASTATIZMA NA STABILNOST

Uticaj stepena astatizma (r) funkcije povratnog prenosa

( )

r

P sG s K

s Q s , 0 1, 0 1P Q

na stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi može se veoma lako objasniti pomoću Nikvistovog kriterijuma.

Na sledećim slikama nacrtani su normalizovani Nikvistovi grafici sistema

r

G s P s

K s Q s

sa različitim vrednostima stepena astatizma, 0,1,2,3,4r .

Pretpostavka: Sistem u otvorenoj sprezi je stabilan ( 0P ) .

Apsolutno stabilan sistem

-1/K < 0

K > 0

Nestabilan sistem

Uslovno stabilan sistem

Uslovno stabilan sistem

K < 1/a

Apsolutno stabilan sistem

K > 0

-b < < -a

1/b < K <1/a

Nestabilan sistem

Nestabilan sistem

Nestabilan sistem

Uslovno stabilan sistem

ZAKLJUČAK

Dakle, sa povećanjem stepena astatizma r funkcije povratnog prenosa pogoršava se osobina stabilnosti zatvorenog sistema, pošto je tada mnogo veća šansa da Nikvistova kriva obuhvati kritičnu tačku -1/K+ j0.

Ukoliko je stepen astatizma funkcije povratnog prenosa veći od dva skoro da je izvesno da će sistem sa povratnom spregom biti ili uslovno stabilan ili nestabilan .

7.6.2 KRITERIJUM MIHAJLOVA

Kriterijum Mihaklova polazi od karakterističnog polinoma sistema

1 0( ) n

nf s a s a s a

Za s j dobija se tzv. vektor Mihajlova ( )f j čiji realni i imaginarni deo iznose

( ) Re ( ) Im ( ) ( ) ( )f j f j f j U jV

2 4

0 2 4( ) Re ( )U f j a a a

3 5

1 3 5( ) Im ( )V f j a a a

Zavisnost imaginarnog dela Im ( )f j od realnog

dela Re ( )f j može se nacrtati pri promeni

učestanosti od 0 do ,

Dobijena kriva za ( )f j se naziva Mihajlova kriva

ili hodograf Mihajlova.

Za 0 0(0) , (0) 0U a V

ako je 0 0a - grafik polazi sa pozitivnog dela realne ose

ako je 0 0a - grafik polazi sa negativnog dela realne ose

Hodograf Mihajlova predstavlja krivu koju opisuje vrh vektora Mihajlova pri promeni učestanosti od 0 do .

Teorema. Sistem sa karakterističnim polinomom ( )f s rena n je stabilan ako i samo

ako priraštaj argumenta vektora čiji se početak nalazi u koordinatnom početku a vrh se kreće po krivoj Mihajlova ( )f j , pri promeni učestanosti od 0 do iznosi:

0,

arg ( ) / 2f j n

Primer. Ako je red karakterističnog polinoma 3n , sistem čija je kriva Mihajlova

prikazana na slici je stabilan jer važi

0 0

3 / 2

0

3 / 2 0 3 / 2

/ 2, 3n n

Teorema. Sistem sa karakterističnim polinomom ( )f s je stabilan ako i samo ako

hodograf vektora Mihajlova, polazeći sa realne ose prođe kroz n kvadranata, naizmenično presecajući realnu i imaginarnu osu.

Primeri stabilnih sistema za različite stepene karakterističnog polinoma

Primer. Nestabilnog sistema čiji je red 1n

0 0

0

0 0 0 0 / 2, 1n n

7.6.2.1 GRANIČNA STABILNOST

Ukoliko hodograf vektora ( )f j prolazi kroz koordinatni početak za neku učestanost

k važi

( ) 0kf j ( ) 0ks

f s

ks j je pol na imaginarnoj osi

Dakle, izraz ( ) 0kf j predstavlja karakterističnu jednačinu koja postaje jednaka

nuli kada se kompleksna učestanost s zameni sa j , što znači da karakteristična

jednačina sistema ima konjugovane korene na imaginarnoj osi.

Tada se sistem, kao što znamo nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti.

Učestanost k pri kojoj se sistem nalazi na

oscilatornoj granici stabilnosti, tzv. kritična učestanost, određuje se iz uslova

( ) 0 ( ) 0, ( ) 0k k k kf j U V

Ukoliko hodograf vektora ( )f j polazi iz koordinatnog početka, važi

( 0) 0f j 0

( ) 0s

f s

0s je pol u koordinatnom početku

Dakle, izraz ( 0) 0f j predstavlja karakterističnu jednačinu koja postaje jednaka

nuli kada se kompleksna učestanost s zameni sa 0, što znači da karakteristična jednačina sistema ima pol u koordinatnom početku.

Tada se sistem, kao što znamo nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti.

Primer. Primenom kriterijuma Mihajlova ispitati dozvoljeni opseg vrednosti parametra K za koji je sistem sa karakterističnim polinomom stabilan:

3 2f(s) s Ks Ks 4

Rešenje. Na osnovu znaka koeficijenata u ( )f s zaključujemo da mora biti 0K , inače

bi sistem bio nestabilan. Za s j hodograf Mihajlova iznosi

3 2 3 2

2 2

f( j ) ( j ) K( j ) K( j ) 4 j K jK 4

4 K j K U( ) jV( )

Polazna tačka:

0 0 U(0) 4, V(0) 0

Preseci sa U-osom:

2

0 2 2V( ) 0 0 K K 0, U( ) 4 K

Preseci sa V-osom:

1 1U( ) 0 4 / K K 0, V( ) 4 / K 4 4 / K

Da bi sistem bio stabilan, hodograf Mihajlova treba naizmenično da prolazi kroz prvi, drugi i treći kvadrant kako je to na sledećoj slici prikazano.

Prethodni uslov se svodi na sledeća dva uslova: 1. Uslov za redosled učestanosti preseka osa

Na osnovu slike i činjenice 0a 4 0 važi:

0 1 2 0 4 / K K

4 / K K , K 0 2K 4 K 2

2. Uslovi za odsečke na osama

1

4 4 4V( ) 0 4 0 K 0, 4 0 K 1

K K K

2

2U( ) 0 4 K 0, K 0 K 2

Presekom dobijenih nejednakosti dobija se opseg dozvoljenih vrednosti parametra K za koje je posmatrani sistem stabilan: K 2, 1 2 K

4

7.6.3 RELATIVNA STABILNOST ZATVORENIH SISTEMA

Posmatramo sistem sa povratnom spregom i neka je on stabilan.

Od posebnog interesa je utvrditi koliko je sistem udaljen od granice stabilnosti, tj. kolika je njegova rezerva stabilnosti.

Relativna stabilnost sistema definiše i procenjuje rezervu (pretek) stabilnosti.

Razmatramo dva pokazatelja preteka stabilnosti sistema:

- pretek faze i

- pretek pojačanja

OBLAST STABILNOSTI

OBLAST NESTABILNOSTI

Granica stabilnosti

R(s) Y(s) E(s)

-

7.6.3.1 PRETEK (REZERVA) FAZE

Pretek (rezerva) faze pf jednak je zbiru argumenta frekventne funkcije povratnog

prenosa G(j ) pri učestanosti 1 za koju je moduo ove funkcije jednak jedinici i

ugla :

pf 1

1

arg G( j )

G( j ) 1

1 - presečna učestanost pojačanja.

-1

1

7.6.3.2 PRETEK POJAČANJA

Pretek pojačanja d jednak je recipročnoj vrednosti modula frekventne funkcije povratnog pri učestanosti

za koju je argument ove funkcije jednak :

1

( )

arg ( )

dG j

G j

- presečna učestanost faze

-1

1

7.6.3.3 USLOVI STABILNOSTI ISKAZANI PREKO PRETEKA POJAČANJA I PRETEKA FAZE

Teorema 1.

1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima samo jednu presečnu učestanost faze , sistem sa zatvorenom povratnom

spregom će biti stabilan ako je pretek faze pozitivan, tj. 0pf .

2. Ako je 0pf sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.

3. Ako je 0pf sistem sa povratno spregom je nestabilan.

Što je pretek faze veći, sistem će imati veću rezervu (pretek) stabilnosti.

1

-1

1

-1

1 -1

Teorema 2.

1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima samo jednu presečnu učestanost faze , sistem sa zatvorenom povratnom

spregom će biti stabilan ako je pretek pojačanja veći od jedan, 1d

2. Ako je 1d sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.

3. Ako je 1d sistem sa povratno spregom je nestabilan.

Što je pretek pojačanja veći, sistem će imati veću rezervu (pretek) stabilnosti.

1

-1

1

-1

1 -1

Teorema 3.

1. Ako je funkcija povratnog prenosa G(s) nama polova u desnoj poluravni i ima samo jednu presečnu učestanost faze , sistem sa zatvorenom povratnom

spregom će biti stabilan ako je presečna učestanost pojačanja povratnog prenosa 1 manja od presečne učestanosti faze, tj. 1 .

2. Ako je 1 sistem sa povratno spregom je na granici stabilnosti.

3. Ako je 1 sistem sa povratno spregom je nestabilan.

Što je presečna učestanost pojačanja povratnog prenosa 1 manja od presečne

učestanosti faze sistem će imati veću rezervu (pretek) stabilnosti.

1

-1

7.6.3.4 PRIMENA BODEOVIH DIJAGRAMA U ISPITIVANJU STABILNOSTI SISTEMA

Bodeovi dijagrami za funkciju povratnog prenosa sistema ( )G s su samo druga

interpretacija Nikvistovog dijagrama.

Zbog toga se Nikvistov kriterijum može primeniti korišćenjem Bodeovih dijagrama.

Pretek faze i pretek pojačanja moguće je pročitati i sa Bode-ovih dijagrama, što je prikazano na slici.

Pretek pojačanja određujemo iz uslova

L( )

20L( ) 20log(1/ d) d 10

Na osnovu očitanih vrednosti preteka pojačanja d i preteka faze pf , koristeći

Teoreme 1-3, možemo proceniti stabilnost sistema pomoću Bode-ovih dijagrama.

0

0

Prikazi Bodeovih dijagrama za funkciju povratnog prenosa sistema koja nema polova u desnoj poluravni

Tri slučaja: stabilan, granično stabilan i nestabilan sistem.

0

0

0

0

0

0

Stabilan Granično stabilan Nestabilan