6. IMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE...

1 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ6.1 İmpuls ve Momentum6.2 Momentum Korunumu Yasası6.3 Bir Boyutlu Çarpışmalar6.4 İki Boyutlu Çarpışmalar6.5 Kütle Merkezi6.6 Roket Hareketi

Daha iyi sonuç almak için, Adobe Reader programını Tam Ekran modunda çalıştırınız.Sayfa çevirmek/Aşağısını görmek için, farenin sol/sağ tuşlarını veya PageUp/PageDown tuşlarını kullanınız.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 1 / 17

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m ~a = md~vdt

=d(m~v)dt

H

Tanım: ~p = m~v momentum vektörü.

~F =d~pdt

H

Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

~F =∆~p∆t

=~p ′ − ~p

∆t→

~p + ~F∆t = ~p ′

veyam~v + ~F∆t = m~v ′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 2 / 17

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m ~a = md~vdt

=d(m~v)dt

H

Tanım: ~p = m~v momentum vektörü.

~F =d~pdt

H

Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

~F =∆~p∆t

=~p ′ − ~p

∆t→

~p + ~F∆t = ~p ′

veyam~v + ~F∆t = m~v ′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 2 / 17

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m ~a = md~vdt

=d(m~v)dt

H

Tanım: ~p = m~v momentum vektörü.

~F =d~pdt

H

Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

~F =∆~p∆t

=~p ′ − ~p

∆t→

~p + ~F∆t = ~p ′

veyam~v + ~F∆t = m~v ′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 2 / 17

Tanım: ~J = ~F∆t impuls vektörü. H

Değişken kuvvetin impulsu: ~J =

∫ t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v + ~F∆t = m~v ′ =⇒ ~p +~J = ~p ′ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında birifade.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 3 / 17

Tanım: ~J = ~F∆t impuls vektörü. H

Değişken kuvvetin impulsu: ~J =

∫ t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v + ~F∆t = m~v ′ =⇒ ~p +~J = ~p ′ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında birifade.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 3 / 17

Tanım: ~J = ~F∆t impuls vektörü. H

Değişken kuvvetin impulsu: ~J =

∫ t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v + ~F∆t = m~v ′ =⇒ ~p +~J = ~p ′ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında birifade.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 3 / 17

Tanım: ~J = ~F∆t impuls vektörü. H

Değişken kuvvetin impulsu: ~J =

∫ t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v + ~F∆t = m~v ′ =⇒ ~p +~J = ~p ′ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında birifade.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 3 / 17

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p1 = m1~v1 ve ~p2 = m2~v2 olan iki kütle. H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyleetkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar~p1′ = m1~v1

′ ve ~p2′ = m2~v2

′ oluyor. H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p1 + ~F21 ∆t = ~p1′

~p2 + ~F12 ∆t = ~p2′H

Topla:~p1 + ~p2 + (~F21 + ~F12) ∆t = ~p1

′ + ~p2′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 4 / 17

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p1 = m1~v1 ve ~p2 = m2~v2 olan iki kütle. H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyleetkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar~p1′ = m1~v1

′ ve ~p2′ = m2~v2

′ oluyor. H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p1 + ~F21 ∆t = ~p1′

~p2 + ~F12 ∆t = ~p2′H

Topla:~p1 + ~p2 + (~F21 + ~F12) ∆t = ~p1

′ + ~p2′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 4 / 17

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p1 = m1~v1 ve ~p2 = m2~v2 olan iki kütle. H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyleetkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar~p1′ = m1~v1

′ ve ~p2′ = m2~v2

′ oluyor. H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p1 + ~F21 ∆t = ~p1′

~p2 + ~F12 ∆t = ~p2′H

Topla:~p1 + ~p2 + (~F21 + ~F12) ∆t = ~p1

′ + ~p2′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 4 / 17

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p1 = m1~v1 ve ~p2 = m2~v2 olan iki kütle. H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyleetkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar~p1′ = m1~v1

′ ve ~p2′ = m2~v2

′ oluyor. H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p1 + ~F21 ∆t = ~p1′

~p2 + ~F12 ∆t = ~p2′H

Topla:~p1 + ~p2 + (~F21 + ~F12) ∆t = ~p1

′ + ~p2′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 4 / 17

Etki-tepki yasasına göre, ~F21 = −~F12 olduğundan,

~p1 + ~p2 = ~p1′ + ~p2

′ = sabit H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir:

Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pN H

Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplammomentumu sabit kalır:∑

i

Fdışi = 0 =⇒ ~P = ~P ′

~p1 + ~p2 + · · · + ~pN = ~p1′ + ~p2

′ + · · · + ~pN′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 5 / 17

Etki-tepki yasasına göre, ~F21 = −~F12 olduğundan,

~p1 + ~p2 = ~p1′ + ~p2

′ = sabit H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir:

Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pN H

Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplammomentumu sabit kalır:∑

i

Fdışi = 0 =⇒ ~P = ~P ′

~p1 + ~p2 + · · · + ~pN = ~p1′ + ~p2

′ + · · · + ~pN′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 5 / 17

Etki-tepki yasasına göre, ~F21 = −~F12 olduğundan,

~p1 + ~p2 = ~p1′ + ~p2

′ = sabit H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir:

Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pN H

Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplammomentumu sabit kalır:∑

i

Fdışi = 0 =⇒ ~P = ~P ′

~p1 + ~p2 + · · · + ~pN = ~p1′ + ~p2

′ + · · · + ~pN′

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 5 / 17

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerekyoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir. H

2 cisim için:m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

Çarpışma türü problemlere uygun.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 6 / 17

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerekyoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir. H

2 cisim için:m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

Çarpışma türü problemlere uygun.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 6 / 17

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerekyoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir. H

2 cisim için:m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

Çarpışma türü problemlere uygun.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 6 / 17

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2 H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:12m1v2

1 + 12m2v2

2 = 12m1v′21 + 1

2m2v′22

Bu iki denklem çözülerek v′1, v′2 bulunur. H

• Özel durum: Başlangıçta m2 hareketsiz ise, H

v′1 =m1 −m2

m1 + m2v1

v′2 =2m1

m1 + m2v1

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 7 / 17

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2 H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:12m1v2

1 + 12m2v2

2 = 12m1v′21 + 1

2m2v′22

Bu iki denklem çözülerek v′1, v′2 bulunur. H

• Özel durum: Başlangıçta m2 hareketsiz ise, H

v′1 =m1 −m2

m1 + m2v1

v′2 =2m1

m1 + m2v1

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 7 / 17

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2 H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:12m1v2

1 + 12m2v2

2 = 12m1v′21 + 1

2m2v′22

Bu iki denklem çözülerek v′1, v′2 bulunur. H

• Özel durum: Başlangıçta m2 hareketsiz ise, H

v′1 =m1 −m2

m1 + m2v1

v′2 =2m1

m1 + m2v1

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 7 / 17

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2 H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:12m1v2

1 + 12m2v2

2 = 12m1v′21 + 1

2m2v′22

Bu iki denklem çözülerek v′1, v′2 bulunur. H

• Özel durum: Başlangıçta m2 hareketsiz ise, H

v′1 =m1 −m2

m1 + m2v1

v′2 =2m1

m1 + m2v1

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 7 / 17

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2 H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:12m1v2

1 + 12m2v2

2 = 12m1v′21 + 1

2m2v′22

Bu iki denklem çözülerek v′1, v′2 bulunur. H

• Özel durum: Başlangıçta m2 hareketsiz ise, H

v′1 =m1 −m2

m1 + m2v1

v′2 =2m1

m1 + m2v1

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 7 / 17

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir. H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma

Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır. H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir:

v′1 = v′2 = v′

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v′

→ v′ =m1v1 + m2v2

m1 + m2

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 8 / 17

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir. H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma

Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır. H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir:

v′1 = v′2 = v′

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v′

→ v′ =m1v1 + m2v2

m1 + m2

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 8 / 17

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir. H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma

Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır. H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir:

v′1 = v′2 = v′

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v′

→ v′ =m1v1 + m2v2

m1 + m2

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 8 / 17

6.4 İKİ-BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Üç-boyutlu uzaydaki çarpışmalar iki boyutta incelenebilirler.

Çünkü iki cismin doğrultusu çarpışma noktasında birleşip bir düzlemoluştururlar (Çarpışma düzlemi).

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 9 / 17

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir. H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir(parçacık çarpışmaları). H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v1′ = ~v2

′ = ~v ′

m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v′xm1v1y + m2v2y = (m1 + m2)v′y

2 denklem, 2 bilinmeyen.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 10 / 17

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir. H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir(parçacık çarpışmaları). H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v1′ = ~v2

′ = ~v ′

m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v′xm1v1y + m2v2y = (m1 + m2)v′y

2 denklem, 2 bilinmeyen.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 10 / 17

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir. H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir(parçacık çarpışmaları). H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v1′ = ~v2

′ = ~v ′

m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v′xm1v1y + m2v2y = (m1 + m2)v′y

2 denklem, 2 bilinmeyen.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 10 / 17

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir. H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir(parçacık çarpışmaları). H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v1′ = ~v2

′ = ~v ′

m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v′xm1v1y + m2v2y = (m1 + m2)v′y

2 denklem, 2 bilinmeyen.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 10 / 17

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x + m2v2x = m1v′1x + m2v′2xm1v1y + m2v2y = m1v′1y + m2v′2y

H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir. H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir(parçacık çarpışmaları). H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v1′ = ~v2

′ = ~v ′

m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v′xm1v1y + m2v2y = (m1 + m2)v′y

2 denklem, 2 bilinmeyen.Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 10 / 17

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"ortalaması. H

Örnek: 2 kütleli sistem:

xKM =m1x1 + m2x2

m1 + m2H

N sayıda kütle için:

xKM =m1x1 + m2x2 + · · · + mNxN

m1 + m2 + · · · + mN=

∑Ni=1 mixi∑Ni=1 mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır:

yKM =

∑i miyiM

, zKM =

∑i miziM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 11 / 17

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"ortalaması. H

Örnek: 2 kütleli sistem:

xKM =m1x1 + m2x2

m1 + m2H

N sayıda kütle için:

xKM =m1x1 + m2x2 + · · · + mNxN

m1 + m2 + · · · + mN=

∑Ni=1 mixi∑Ni=1 mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır:

yKM =

∑i miyiM

, zKM =

∑i miziM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 11 / 17

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"ortalaması. H

Örnek: 2 kütleli sistem:

xKM =m1x1 + m2x2

m1 + m2H

N sayıda kütle için:

xKM =m1x1 + m2x2 + · · · + mNxN

m1 + m2 + · · · + mN=

∑Ni=1 mixi∑Ni=1 mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır:

yKM =

∑i miyiM

, zKM =

∑i miziM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 11 / 17

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"ortalaması. H

Örnek: 2 kütleli sistem:

xKM =m1x1 + m2x2

m1 + m2H

N sayıda kütle için:

xKM =m1x1 + m2x2 + · · · + mNxN

m1 + m2 + · · · + mN=

∑Ni=1 mixi∑Ni=1 mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır:

yKM =

∑i miyiM

, zKM =

∑i miziM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 11 / 17

Sürekli Dağılmış Kütlenin Merkezi

Simetrik cisimler: Cismin yoğunluğu homojen dağılmışsa, kütlemerkezi geometrik simetri merkezinde olur.

H

Simetrik parçalara ayırma:

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 12 / 17

Sürekli Dağılmış Kütlenin Merkezi

Simetrik cisimler: Cismin yoğunluğu homojen dağılmışsa, kütlemerkezi geometrik simetri merkezinde olur.

H

Simetrik parçalara ayırma:

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 12 / 17

İntegral tekniği. Yoğunluk dağılımı ρ(~r) olarak verilmiş olsun.

Cisim N sayıda küçük ∆mi kütleleri-nin toplamı olarak ele alınır. Bu küçükparçaların toplamı için,

xKM ≈

∑i xi ∆mi∑i ∆mi

H

∆mi → 0 limitinde bu toplamlar integral olur.y - ve z - koordinatları için de benzer ifadeler bulunur:

xKM =

∫x dm

M, yKM =

∫y dm

M, zKM =

∫z dm

M

Kütle elemanı yoğunluk cinsinden dm = ρ(r) dr şeklinde ifade edilir.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 13 / 17

İntegral tekniği. Yoğunluk dağılımı ρ(~r) olarak verilmiş olsun.

Cisim N sayıda küçük ∆mi kütleleri-nin toplamı olarak ele alınır. Bu küçükparçaların toplamı için,

xKM ≈

∑i xi ∆mi∑i ∆mi

H

∆mi → 0 limitinde bu toplamlar integral olur.y - ve z - koordinatları için de benzer ifadeler bulunur:

xKM =

∫x dm

M, yKM =

∫y dm

M, zKM =

∫z dm

M

Kütle elemanı yoğunluk cinsinden dm = ρ(r) dr şeklinde ifade edilir.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 13 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Kütle Merkezinin Dinamiği

İki parçacıktan oluşan bir sistem. H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım: H

m1 için : ~Fdış1 + ~F21 = m1~a1 =

d2

dt2 (m1~r1)

m2 için : ~Fdış2 + ~F12 = m2~a2 =

d2

dt2 (m2~r2) H

(~F dış1 + ~F

dış2

)+

(~F21 + ~F12)

=d2

dt2 (m1~r1 + m2~r2) H

Etki-tepki yasasına göre ~F21 = −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur. H

Sağ taraf M = m1 + m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezioluşturulur:(~F dış

1 + ~Fdış2

)= M

d2

dt2

(m1~r1 + m2~r2

M

)= M

d2~rKM

dt2 = M ~aKM

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 14 / 17

Bu sonuç N sayıda cisim için de geçerlidir:

∑i

~Fdışi = M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetlervarmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezininçizdiği parabol.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 15 / 17

Bu sonuç N sayıda cisim için de geçerlidir:

∑i

~Fdışi = M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetlervarmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezininçizdiği parabol.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 15 / 17

Bu sonuç N sayıda cisim için de geçerlidir:

∑i

~Fdışi = M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetlervarmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezininçizdiği parabol.

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 15 / 17

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarakkazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi bir t anında roketin yakıtıylaberaber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t + dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun.

Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre vekz ekzos hızıylaatılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − vekz olarak ölçecektir. H

(Roket+yakıt) sistemi için momentum korunumu yazılır:

mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm) (v − vekz)

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 16 / 17

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarakkazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi bir t anında roketin yakıtıylaberaber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t + dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun.

Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre vekz ekzos hızıylaatılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − vekz olarak ölçecektir. H

(Roket+yakıt) sistemi için momentum korunumu yazılır:

mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm) (v − vekz)

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 16 / 17

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarakkazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi bir t anında roketin yakıtıylaberaber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t + dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun.

Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre vekz ekzos hızıylaatılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − vekz olarak ölçecektir. H

(Roket+yakıt) sistemi için momentum korunumu yazılır:

mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm) (v − vekz)

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 16 / 17

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekz dm = mdv H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekzdmdt︸ ︷︷ ︸

F (itici kuvvet)

= mdvdt

= ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir. H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt )ve yakıtın ekzos hızı (vekz ) çarpımıyla orantılı olur. H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti deeklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 17 / 17

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekz dm = mdv H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekzdmdt︸ ︷︷ ︸

F (itici kuvvet)

= mdvdt

= ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir. H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt )ve yakıtın ekzos hızı (vekz ) çarpımıyla orantılı olur. H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti deeklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 17 / 17

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekz dm = mdv H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekzdmdt︸ ︷︷ ︸

F (itici kuvvet)

= mdvdt

= ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir. H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt )ve yakıtın ekzos hızı (vekz ) çarpımıyla orantılı olur. H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti deeklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 17 / 17

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekz dm = mdv H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekzdmdt︸ ︷︷ ︸

F (itici kuvvet)

= mdvdt

= ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir. H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt )ve yakıtın ekzos hızı (vekz ) çarpımıyla orantılı olur. H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti deeklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 17 / 17

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekz dm = mdv H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekzdmdt︸ ︷︷ ︸

F (itici kuvvet)

= mdvdt

= ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir. H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt )ve yakıtın ekzos hızı (vekz ) çarpımıyla orantılı olur. H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti deeklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗Üniversiteler İçin FİZİK I 6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 17 / 17