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7/23/2019 2_Lista de Exercicios de Estado Solido
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Exerccios de Estado Slido (2alista) / Inicio das apresentaes 05 / 5 / 2014
(Entrega da 2aLista 26 / 5 / 2014)
Mariana 14a] A probabilidade radial de encontrarmos um eltron entre r e r + dr no
estado fundamental de um tomo de hidrognio dada por:
onde a0 raio de Bohr. Mostre que:
a]
b] A densidade de probabilidade radial mxima para r = a0.
Rafael Santos 14b] Considere que a energia do eltron no tomo de hidrognio s
dependa do nmero quntico principal, onde uma constante e n =1, 2,
3....so nmeros inteiros. Notamos que os estados (para
um n fixo) apresentam a mesma energia (so degenerados). Por exemplo:
Mostre que os estados px, py e pz, definidos como combinaes lineares dos estados
acima: apresentam a mesma energia,
i., por exemplo: . Em seguida, mostre que os estados px, p
y e p
zno
apresentam parte imaginria e so dados por:
Nota: essa representao apropriada para o estudo das ligaes moleculares.
100 100
02 /2
3
0
1( ) 4
r adP r r dr e
a
0
( ) 1;dP r
100
22( ) 4dP r r
dr
1
2n n
1
( , , ) ( ) ( , )m
nlm nl l r R r Y
0
210 21 1 21
1
21 1 21 1 21
1
211 21 1 21
3
( ) ( , ) ( ) cos4
3( ) ( , ) ( ) sin exp( )
8
3( ) ( , ) ( ) sin exp( )
8
R r Y R r
R r Y R r i
R r Y R r i
21 1 211 211 21 1210
( ); ;
2 2x y z
ip p p
21
21
21
3( ) sin cos
4
3( ) sin sin
4
3( ) cos
4
x
y
z
p R r
p R r
p R r
2
x x
H p p
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Romulo 14c] A tabela abaixo mostra a parte angular (orbital) das funes de onda.
Usando o Maple, construir as figuras para todos os orbitais da tabela.
Dica: use o seguinte comando no Maple para construir superfcies em coordenadas
esfricas:
plot3d(3*cos(phi)*cos(phi)-1 ,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,
coords=spherical, style=wireframe);
Ateno, no Maple: phi corresponde ao ngulopolar e theta ao ngulo azimutal .
Viviane 15] Considere uma linha de 2N ons de cargas alternadas +q e q com uma
energia potencial repulsiva entre vizinhos mais prximos de tal forma que a
energia potencial total (repulsiva + atrativa) seja dada por:
(a) Mostre que na distancia de equilbrio, a energia ser dada por:
/ nA R
2
( ) ( ); 2 ln 2 . n
A qU R N onde Const de Madelung
R R
2
0
0
2 ln(2) 1( ) (1 )
N qU R
R n
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(b) Suponha que o cristal seja comprimido de tal forma que . Mostre que
o trabalho (energia potencial elstica) por unidade de comprimento (2NR0) ser
aproximadamente dada por:
Note quanto maior n (associado interao repulsiva) maior ser a constante elstica do
material.
16] O cristal KCl tem a mesma estrutura do NaCl (cada on tem 6 primeiros vizinhos e a
constante de Madelung =1.7475). Usando os valores:
(veja Tabela 7 do Kittel) para o KCl, calcule a distancia R0entre os primeiros vizinhos e
a energia de coeso do KCl. Em seguida, calcule R0 do KCl na estrutura do ZnS
(Sulfeto de Zinco). Note a estrutura do ZnS a mesma do diamante e corresponde ao
caso em que os tomos de Zn so colocados em uma das redes fcc e tomos de S so
colocados na outra (cada on da rede tem 4 primeiros vizinhos).
William 17] Considere apenas os termos de primeira ordem em e mostre que:
Daniele 18] Mostre que a variao relativa do volume devido a deformao :
0 0 (1 ) R R
220 0 0
2
0 0
( ) ( ) ( 1) ln(2);
2 2
te
U R R U R C n qW onde C e a c elastica
NR R
80.34 10 0.326 A
o
x erg e
.
.
.
1
1
1
xy
yz
xz
xx
yy
zz
e f g
e g h
e f h
e f
e g
e f
. .
.
def n def
xx yy zz
n def
V VVe e e
V V
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Dica: considere apenas os termos de primeira ordem no produto misto:
Nota 1: Se, temos dilatao e se temos contrao;
Nota 2: As outras trs componentes da deformao, representam as
deformaes de cisalhamento;
Nota 3: Nessas aproximaes, as deformaes normais alteram o volume do corpo
e as deformaes alteram a forma da clula unitria.
Aidano 19] Considere um ponto , dentro do cristal antes da deformao, ver Fig.
Depois da deformao o ponto move-se para . Estamos considerando uma
deformao uniforme, isto , a deformao a mesma para todas as clulas do material.
Assim, as componentes de e so as mesmas, mas os vetores de base so
diferentes. Considerando a relao entre os vetores de base abaixo:
(a) Determine as componentes u , v, w do vetor deslocamento ;
(b) Mostre que as deformaes podem se escritas como:
Dados:
(1 ); ; ;
(1 ) :; ; .
(1 )
xx xy xz
xx xx yy yy zz zz
yx yy yz
yz yz zy xz xz zx xy xy yx
zx zy zz
f f g he e e
g f g h sendoe e e
h f g h
. .. 1 . n def def V f g h e V f g h
0e
0e
( )e
e
( )e
0( )r
( )r
0( )r ( )r
0 R r r uf vg wh
; ; ;
; ; .
xx yy zz
xy yz xz
u v we e e
x y z
u v v w u w
e e ey x z y z x
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Breno 20] Considerando as operaes de simetrias em um cristal cbico pode ser
mostrado que apenas 3 constantes de rigidez elsticas, C11, C12 e C44 so necessrias
para determinar o estado elstico do cristal, sendo a matriz Cij descrita da seguinte
forma:
(a)
Mostre que as relaes entre tenses e deformaes para um cristal cbico so as
seguintes:
(b)
Mostre que a energia elstica para um cristal cbico pode ser escrita como:
f g
hr
fg
h
r0r
0 r xf yg zh r xf yg zh
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44
44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
ij
C C C
C C C
C C CC
C
C
C
1 11 1 12 2 3
2 11 2 12 1 3
3 11 3 12 1 2
4 44 4
5 44 5
6 44 6
( )( )
( )
xx
yy
zz
yz
zx
xy
T T C e C e eT T C e C e e
T T C e C e e
T T C e
T T C e
T T C e
2 2 2 2 2 211 4412( ) ( ) ( )
2 2
xx yy zz yy zz zz xx xx yy yz xz xy
C CU e e e C e e e e e e e e e
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Diogo 21] Analisando as foras que agem sobre um elemento de volume de um cristal
mostramos que:
Onde a densidade e u, v e w so os deslocamentos nas direes x, y e z,
respectivamente. Mostre que as equaes do movimento para u, v e w, para um cristal
cbico,so dadas por:
Dica: usar os resultados dos problemas [20] e [19].
Edson 22(a)] Considere uma onda longitudinal que se propaga num cristal cbico na
direo [100], isto , tanto a direo do vetor de onda como a direo do movimento das
partculas so paralelas aresta x do cubo. Esta onda pode ser representada da seguinte
forma:
Mostre que a velocidade de propagao dessa onda ser dada por:
Frederico 22(b)]Considere, agora, uma onda transversal ou de cisalhamento com vetor de
onda na direo da resta x do cubo e o movimento das partculas na direo y. Esta onda
pode ser representada da seguinte forma:
Mostre que a velocidade de propagao dessa onda ser dada por:
Dica: usar os resultados das equaes de movimento do problema anterior [21].
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
xyxx xzx x
yx yy yz
y y
zyzx zzz z
TT T uF dV ma dV
x y z t
T T T vF dV ma dV
x y z t
TT T wF dV ma dV
x y z t
2 2 2 2 2 2
11 44 12 442 2 2 2
2 2 2 2 2 2
11 44 12 442 2 2 2
2 2 2 2 2 2
11 44 12 442 2 2 2
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
u u u u v wC C C C
t x y z x y x z
v v v v u wC C C C
t y x z x y y z
w w w w u vC C C C
t z x y x z y z
0exp[ ( )] u u i kx t
11 C
V
exp[ ( )] ov v i kx t 44
CV
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