2_Lista de Exercicios de Estado Solido

7/23/2019 2_Lista de Exercicios de Estado Solido

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Exerccios de Estado Slido (2alista) / Inicio das apresentaes 05 / 5 / 2014

(Entrega da 2aLista 26 / 5 / 2014)

Mariana 14a] A probabilidade radial de encontrarmos um eltron entre r e r + dr no

estado fundamental de um tomo de hidrognio dada por:

onde a0 raio de Bohr. Mostre que:

a]

b] A densidade de probabilidade radial mxima para r = a0.

Rafael Santos 14b] Considere que a energia do eltron no tomo de hidrognio s

dependa do nmero quntico principal, onde uma constante e n =1, 2,

3....so nmeros inteiros. Notamos que os estados (para

um n fixo) apresentam a mesma energia (so degenerados). Por exemplo:

Mostre que os estados px, py e pz, definidos como combinaes lineares dos estados

acima: apresentam a mesma energia,

i., por exemplo: . Em seguida, mostre que os estados px, p

y e p

zno

apresentam parte imaginria e so dados por:

Nota: essa representao apropriada para o estudo das ligaes moleculares.

100 100

02 /2

3

0

1( ) 4

r adP r r dr e

a

0

( ) 1;dP r

100

22( ) 4dP r r

dr

1

2n n

1

( , , ) ( ) ( , )m

nlm nl l r R r Y

0

210 21 1 21

1

21 1 21 1 21

1

211 21 1 21

3

( ) ( , ) ( ) cos4

3( ) ( , ) ( ) sin exp( )

8

3( ) ( , ) ( ) sin exp( )

8

R r Y R r

R r Y R r i

R r Y R r i

21 1 211 211 21 1210

( ); ;

2 2x y z

ip p p

21

21

21

3( ) sin cos

4

3( ) sin sin

4

3( ) cos

4

x

y

z

p R r

p R r

p R r

2

x x

H p p


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Romulo 14c] A tabela abaixo mostra a parte angular (orbital) das funes de onda.

Usando o Maple, construir as figuras para todos os orbitais da tabela.

Dica: use o seguinte comando no Maple para construir superfcies em coordenadas

esfricas:

plot3d(3*cos(phi)*cos(phi)-1 ,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,

coords=spherical, style=wireframe);

Ateno, no Maple: phi corresponde ao ngulopolar e theta ao ngulo azimutal .

Viviane 15] Considere uma linha de 2N ons de cargas alternadas +q e q com uma

energia potencial repulsiva entre vizinhos mais prximos de tal forma que a

energia potencial total (repulsiva + atrativa) seja dada por:

(a) Mostre que na distancia de equilbrio, a energia ser dada por:

/ nA R

2

( ) ( ); 2 ln 2 . n

A qU R N onde Const de Madelung

R R

2

0

0

2 ln(2) 1( ) (1 )

N qU R

R n


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(b) Suponha que o cristal seja comprimido de tal forma que . Mostre que

o trabalho (energia potencial elstica) por unidade de comprimento (2NR0) ser

aproximadamente dada por:

Note quanto maior n (associado interao repulsiva) maior ser a constante elstica do

material.

16] O cristal KCl tem a mesma estrutura do NaCl (cada on tem 6 primeiros vizinhos e a

constante de Madelung =1.7475). Usando os valores:

(veja Tabela 7 do Kittel) para o KCl, calcule a distancia R0entre os primeiros vizinhos e

a energia de coeso do KCl. Em seguida, calcule R0 do KCl na estrutura do ZnS

(Sulfeto de Zinco). Note a estrutura do ZnS a mesma do diamante e corresponde ao

caso em que os tomos de Zn so colocados em uma das redes fcc e tomos de S so

colocados na outra (cada on da rede tem 4 primeiros vizinhos).

William 17] Considere apenas os termos de primeira ordem em e mostre que:

Daniele 18] Mostre que a variao relativa do volume devido a deformao :

0 0 (1 ) R R

220 0 0

2

0 0

( ) ( ) ( 1) ln(2);

2 2

te

U R R U R C n qW onde C e a c elastica

NR R

80.34 10 0.326 A

o

x erg e

.

.

.

1

1

1

xy

yz

xz

xx

yy

zz

e f g

e g h

e f h

e f

e g

e f

. .

.

def n def

xx yy zz

n def

V VVe e e

V V


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Dica: considere apenas os termos de primeira ordem no produto misto:

Nota 1: Se, temos dilatao e se temos contrao;

Nota 2: As outras trs componentes da deformao, representam as

deformaes de cisalhamento;

Nota 3: Nessas aproximaes, as deformaes normais alteram o volume do corpo

e as deformaes alteram a forma da clula unitria.

Aidano 19] Considere um ponto , dentro do cristal antes da deformao, ver Fig.

Depois da deformao o ponto move-se para . Estamos considerando uma

deformao uniforme, isto , a deformao a mesma para todas as clulas do material.

Assim, as componentes de e so as mesmas, mas os vetores de base so

diferentes. Considerando a relao entre os vetores de base abaixo:

(a) Determine as componentes u , v, w do vetor deslocamento ;

(b) Mostre que as deformaes podem se escritas como:

Dados:

(1 ); ; ;

(1 ) :; ; .

(1 )

xx xy xz

xx xx yy yy zz zz

yx yy yz

yz yz zy xz xz zx xy xy yx

zx zy zz

f f g he e e

g f g h sendoe e e

h f g h

. .. 1 . n def def V f g h e V f g h

0e

0e

( )e

e

( )e

0( )r

( )r

0( )r ( )r

0 R r r uf vg wh

; ; ;

; ; .

xx yy zz

xy yz xz

u v we e e

x y z

u v v w u w

e e ey x z y z x


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Breno 20] Considerando as operaes de simetrias em um cristal cbico pode ser

mostrado que apenas 3 constantes de rigidez elsticas, C11, C12 e C44 so necessrias

para determinar o estado elstico do cristal, sendo a matriz Cij descrita da seguinte

forma:

(a)

Mostre que as relaes entre tenses e deformaes para um cristal cbico so as

seguintes:

(b)

Mostre que a energia elstica para um cristal cbico pode ser escrita como:

f g

hr

fg

h

r0r

0 r xf yg zh r xf yg zh

11 12 12

12 11 12

12 12 11

44

44

44

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

ij

C C C

C C C

C C CC

C

C

C

1 11 1 12 2 3

2 11 2 12 1 3

3 11 3 12 1 2

4 44 4

5 44 5

6 44 6

( )( )

( )

xx

yy

zz

yz

zx

xy

T T C e C e eT T C e C e e

T T C e C e e

T T C e

T T C e

T T C e

2 2 2 2 2 211 4412( ) ( ) ( )

2 2

xx yy zz yy zz zz xx xx yy yz xz xy

C CU e e e C e e e e e e e e e


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Diogo 21] Analisando as foras que agem sobre um elemento de volume de um cristal

mostramos que:

Onde a densidade e u, v e w so os deslocamentos nas direes x, y e z,

respectivamente. Mostre que as equaes do movimento para u, v e w, para um cristal

cbico,so dadas por:

Dica: usar os resultados dos problemas [20] e [19].

Edson 22(a)] Considere uma onda longitudinal que se propaga num cristal cbico na

direo [100], isto , tanto a direo do vetor de onda como a direo do movimento das

partculas so paralelas aresta x do cubo. Esta onda pode ser representada da seguinte

forma:

Mostre que a velocidade de propagao dessa onda ser dada por:

Frederico 22(b)]Considere, agora, uma onda transversal ou de cisalhamento com vetor de

onda na direo da resta x do cubo e o movimento das partculas na direo y. Esta onda

pode ser representada da seguinte forma:

Mostre que a velocidade de propagao dessa onda ser dada por:

Dica: usar os resultados das equaes de movimento do problema anterior [21].

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

xyxx xzx x

yx yy yz

y y

zyzx zzz z

TT T uF dV ma dV

x y z t

T T T vF dV ma dV

x y z t

TT T wF dV ma dV

x y z t

2 2 2 2 2 2

11 44 12 442 2 2 2

2 2 2 2 2 2

11 44 12 442 2 2 2

2 2 2 2 2 2

11 44 12 442 2 2 2

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

u u u u v wC C C C

t x y z x y x z

v v v v u wC C C C

t y x z x y y z

w w w w u vC C C C

t z x y x z y z

0exp[ ( )] u u i kx t

11 C

V

exp[ ( )] ov v i kx t 44

CV

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