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Coordinate cartesiane (ortonormali)
z
y
x
posizione di P :
y
z P
z
zy
xy
x
sistema di coordinate cartesiane (ortonormali)
x, y , z coordinate cartesiane di P
U. M.O
1.1 Cinematica del punto
y
P
z
1.1 Cinematica del punto
P(t2)
Introduciamo la variabile tempo
ttt 12 al tempo
(t1)
x(t1)
y(t1)
z(t1)
z(t2)
x(t2)
y(t2)
posizione di P al tempo t1
)z(t
)y(t
)x(t
1
1
1
)x(t 2
O
x
)x(tt)x(t 11
) y(tt)y(t)y(t)y(ty 1112
) z(tt)z(t)z(t)z(tz 1112
)x(t)x(tx
12
spostamento di P :
posizione di P al tempo t2
)z(t
)y(t
2
2
2
1.1 Cinematica del punto (sistemi di coordinate)
spesso per brevità si scrive:
z)z(t
y)y(t
x)x(t
11
11
11
e quindi:
12 yyy
zzz 12
xxx
12
spostamento di P :
1.1 Cinematica del punto
y
P
z
1.1 Cinematica del punto
Spostamento nel tempo = moto
(t)
traiettoria
O
x
moto di P: D3
moto
z(t)z
y(t)y
x(t) x
leggi orarie
1.1 Cinematica del punto1.1 Cinematica del punto
Il moto di un punto è descritto da tre equazioni orarie:
z(t)z
y(t)y
x(t) x
z(t)z
y
x
P
z
(t)
traiettoria
O
partiamo dai casi semplici
1.1 Cinematica del punto
y(t)y
x(t) x
x(t)x
3D 1D
z(t)z
y(t)y
x(t)x
il moto unidimensionale
moto unidimensionale
P
z
1.1 Cinematica del punto
moto rettilineo
Oy
x con una rotazione del sistema di coordinate:
O
moto rettilineo
P
xO
)(tx
1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo
)(tr
P
xO x(t)
moto unidimensionale
non servono i vettori, basta una sola eq. oraria:
)( tx posizione )(tr
txttx )()( 11 xx 12
)( tx posizione
spostamento
1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo
)( txx
Si può descrivere con:
P
xO x(t)
moto unidimensionale
t (s) x (m)
t1 x1
t2 x2
t3 x3
t4 x4
…. ….… ….
Tabella oraria
t (s) x (m)
0 2.31 4.72 12.13 12.94 12.9..... …..
esempio:
1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo
)( txx
Diagramma orariooppure col:
x(t)x
x1
esempi:
x(t)
t
x
o
x(t)
t
x
o
x(t)
t
x
o
tt1
1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo
)( txx si noti che nella legge oraria:
m 3 )x( tt
esempi:
)( tx può essere qualsiasi funzione “regolare” del tempo
m 4 3 )x( 2tt
m 4 )x( 2 tet t
m 3 )x( tt
ecc. ecc.
m 24sen )x( tt
1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo
v vm t
x
12
12 tt
xx
Velocità media (su t):
Definiamo:
-11m ms U.M. v -tlcon dimensioni fisiche
t
)x(tt)x(t
11
esempio:
Roma – Milano: x = 700 kmTempo impiegato: t = 7 h
km/h 001 h 7
km 700 vm
t
xm/s 7.82
6.3
km/h 001
lim )v( 0 t
xt t
per un’informazione più “precisa” definiamo:
Velocità istantanea (al tempo t):
dt
dx
t
x(t)t)x(tt
lim 0
v(t) è la derivata rispetto al tempo di x(t)
ATTENZIONE!solo nel moto unidimensionale
)( ) v( txdt
dxt si noti che spesso si scrive:
)*v(dx
t
v(t) in genere è funzione del tempo
e va calcolata al tempo “t”:
)v(dx
t .ecc
)( ) v( txdt
dxt
)v(dx
t )*v(t*dt
dxt )v(
0
0tdt
dxt .ecc
ottenendo dei valori numerici: v1, v*, ecc.
con dimensioni fisiche
)v(1
1tdt
t
-11 ms U.M. v -tl
)( ) v( txdt
dxt
in senso matematico: (m/s) 8 ) v( tt 4 3 )x( 2tt Es.
in senso geometrico:x(t)
derivata della posizione, è funzione di t
v(t) è il coefficiente angolare della tangente alla curva oraria
v(t)
t
t
) v(dt
dxt
in senso matematico:
) v( )( dtttdx
“lo spostamento infinitesimoè il differenziale della velocità istantanea”
cost )v( )( dtttx ) v( )( dtttdx
“la posizione è la primitiva della velocità istantanea”
cost )v( )( dtttx ) v( )( dtttdx
) v(dt
dxt
“la posizione è la primitiva della velocità istantanea”
in senso matematico:
cost )v( )( dtttx
t
t
e la costante? si dimostra che:
')'v( )( )(
0
0 t
t
dtttxtx ')'v( )( )( 0
0 t
t
dttxtxtx
in genere, per comodità, si sceglie: 0 0 t
teniamola bene a mente
0x “posizione iniziale”
vcost )v( t1) moto rettilineo uniforme
)(v 00 tt x
')'v( )( )( 0
0 t
t
dtttxtx 'v )( 0
0
t
t
dttx
' v )( 0 t
t
dttx v 0 t x
v )( 0 t xtx v 0 t xxx
con la scelta t0 0 si ha:
0
t
v vm
t
x
t
x
tt
vcost )v( t
moto rettilineo uniforme
xx(t)
x0
diagrammaorario
v )( 0 t xtx
t
x0
t
v
v(t)
EsercizioUn ghepardo, vede un’antilope distante 100 m e comincia a correreverso di essa con velocità costante vG = 90 km/h.
x0G xx0A
O
Nello stesso istantein cui è vista, l’antilope comincia a fuggire in direzione opposta convelocità costante di vA = 60 km/h.Quanto tempo impiega il ghepardo a raggiungere l’antilope?
a am Accelerazione media (su t):
Definiamo:
e se invece abbiamo che ?cost v
12
12 vv
v
ttt
22m ms U.M. --tla
esempio:
0 100 km/h in 4 s (100 km/h = 27.8 m/s)
2m/s 6.95 4
08.27 a
m
s
km/h 25
m ms U.M. tla
v
lim )( 0 tta t
come già fatto per la velocità:
Accelerazione istantanea (al tempo t):
v
dt
d
“a(t) è la derivata rispetto al tempo di v(t)”
v
)*( t*dt
dta
22 ms U.M. --tla
v
)(dt
dta
si noti che:
0
2xd
inoltre è:
accelerazione/decelerazione:
)( )(v )(2
2
txdt
xdtta
v
)(dt
dta ma
implica che: ')'( ) v( )v(
0
0 t
t
dttatt
“la posizione è la primitiva della velocità istantanea”
teniamola bene a mente
Ricapitolando:
')'( ) v( )v(
0
0 t
t
dttatt)( ) v( txdt
dxt
)( txx )( ta
)( )(v v
)( txtdt
dta
0t
')'v( )( )(0
0 t
t
dtttxtx
derivazionisuccessive
integrazionisuccessive
cost )( ata
possiamo quindi trattare il:2) moto rettilineo uniformemente accelerato
m a
t
t
dttatt0
')'( ) v( )v( 0 ' ) v( ) v(0
0 t
t
dtatt
con la scelta t0 0
)(v 00 tta
v )v( 0 at t
significa che: v )v( 0 at t
t
t
dtttxtx0
')'v( )( )( 0 t
t
dtat tx0
' 'v )( 00
t
t
t
t
dtatdttx '' ' v )( 00
tt 00
200 2
1 v )( att xtx
con la scelta t0 0
v )v( 0 at t
cost )( ata
Ricapitolando:
moto rettilineo uniformemente accelerato:
vv(t)
v0
200 2
1 v )( att xtx
t
t
x
x(t)
x0
Moto rettilineo uniformemente accelerato - casi particolari
0) ( a scegliamo:
v
v(t) at
partenza da fermo1) 0 v 0
v )v( 0 at t 0) ( a
xxxx x 0 00
scegliamo:
2
2
1 )( atxtx
t
200 2
1 v )( att xtx
0) ( a
v
v(t)
partenza da fermo1) 0 v 0
)v( att
Ricapitolando:
2
2
1 )( atxtx
t
t
x
x(t)
esempio:0 100 km/h in 4 s (100 km/h = 27.8 m/s)
a = cost = am = 6.95 m/s2
assumiamo:
e x0 = 0
0 v0 partenza da fermo 0 0 x (con )
x x(tf = 4 s) = ?
v v
2
2
1 )(
)v(
attx
attsist. equazioniparametrico
0 v0 partenza da fermo 0 0 x (con )
possiamo scrivere insieme:
2
2
1 )( attx
)v( att
v
2
1
2
ax f
v
a
t v
a
t ff
xaf 2 v 2
xaf 2 v2 2v2
1 fa
x x
a f
2
v
2
0 v0 partenza da fermo 0 0 x (con )
020
2 2 v v xxaxx
si può generalizzare a v0 0:
ma sempre e solo per a = cost!
0 v0 moto in frenata con arresto 0 v f
v )v( 0 at t
2
1v 2
0 att x
0acon
v 0v )v( 0 ff at t
v 0
at f
inserita nella prima:
20 2
1v )( fff tat tx
v
2
1
v
20
20
aa
a
20v
2
1
0a
si noti la similitudine:
moto in frenata con arrestoa
tx f
20v
2
1 )( 0 a
moto con partenza da fermo tx f2v1
)( 0 amoto con partenza da fermoa
tx ff
v
2
1 )( 0 a
esempio 1. a 100 km/h lo spazio di frenata è 150 m;
assumendo a = cost a = ? , tf =?
dalle espressioni già ricavate:
0 m/s 2.57 v1
220 a tx
20v1
)(
Moto rettilineo uniformemente accelerato - esempi
0 m/s 2.57 v
2
1 20
xa
s 10.8 v
0 a
t f
a tx f
0v
2
1 )(
esempio 2. a 100 km/h arresto per urto frontale in 1 m;
assumendo a = cost a = ? , tf =?
Moto rettilineo uniformemente accelerato - esempi
esempio 3. moto verticale di un grave da fermo
1
2gt h
x
h
caduta da fermo: v0 = 0
2 1 )( atxtx
2m/s 81.9 cost ga
v )v( 0 at t gt
0 0 t
ct
2
1 2gt h
h
2 g
tc
20 2
1 )( atxtx
0 2
1 )( 2 cc gt htx 2
2
1 cgt h
h2 v ggtcf
Es. caduta da fermo da h = 10 mx
h
moto verticale di un grave da fermo
s 1.43 h
2 g
tc m/s 14 h2 v ggtcf
esempio 4. lancio verticale di un grave verso l’alto
x
0 ) v( tMAX v0
v0 > 0
v )v( 0 gt t
200 2
1 v )( )( attxthtx 2
0 2
1 v gtt
v
0
gtMAX
v
2
1
20
MAX g h
0 2
1 v 2
0 VVV gtttx
sostituendo nella prima:
e il tempo “di volo” è:
MAXV tg
t 2 v2
0
lancio verticale di un grave verso l’alto
x
-v0 v )v( gt t
sostituendo nella velocità:
MAXV tg
t 2 v2
0
v2
v 0g v v2 v v )v( 0 VV gt t v 00 g
g 000 v v2 v
3) moto armonico
oscillatorio e periodico )Asin(ω )( ttx
A ampiezza o elongazione massima
frequenza angolare o pulsazione
x0
1s s rad
fase iniziale
2
v frequenza
2
1
T v
periodo (s)
Hz scicli U.M. 1 tv
s
3) moto armonico
oscillatorio e periodico )Asin(ω )( ttx
A ampiezza o elongazione massima
frequenza angolare o pulsazione
xdiagramma orario
x0
T fase iniziale
t 2
v frequenza
2
1
T v
periodo (s)
T
T
Hz U.M. s scicli 1 v
1s s rad
moto armonico
)Asin(ω )( ttx
t
x
A ampiezza o elongazione massima
A
-Ax
v1
v2 < v1
secondo
rad ω pulsazione
ciclo
t
t
x
v3 > v1
v2 < v1
2
v frequenzasecondo
cicli
3) moto armonico: è la proiezione di un moto circolare su una retta
x(t)
)( dt
dθt
velocità angolare
)Asin(ω )( ttx
frequenza angolare
moto armonico
)Asin(ω )( ttx
t
x
fase iniziale x
2 2
0 1
t
t
x
47 3
)Asin(ω )( ttx
fase
moto armonico
)Asin(ω )( ttx
t
v t
tx
derivando x(t):
t )os(ωAω )( )v( tctxt
)in(ωAω )( )( 2 tstxta t
taderivando v(t):
moto armonicoPROVA DI ESAME FINALE (28/02/2007)
1. Un punto si muove lungo un asse cartesiano con un moto armonico centratosull’origine (x = 0) con una frequenza = 3 Hz e ampiezza A = 0.1 m. Se all’istanteiniziale t0 = 0 il punto sta passando sull’origine con velocità positiva, calcolare: a) ilvalore massimo dell’accelerazione durante il moto; b) la velocità raggiunta dalpunto al tempo t* = 10 ms.
moto armonico2. Il pistone di un motore a scoppio si muove lungo il cilindro con un motooscillatorio di frequenza corrispondente a N = 6000 giri/min e ampiezza (semi-corsa) A = 80 mm. Assumendo un moto armonico, calcolare il valore massimodell’accelerazione del pistone durante il moto.
moto armonico3. Un punto materiale descrive un moto lineare armonico con periodo T = 4.4 s e sitrova all’istante t = 0 in x(0) = 0.28 m con velocità v(0) = -2.5 m/s. Scriverel’equazione oraria del moto e calcolare i valori massimi della velocità edell’accelerazione.
4) moto vario
')'( ) v( )v(0
0 t
t
dttatt
)( ta
0t
')'v( )( )(0
0 t
t
dtttxtx
4. Un punto materiale si muove inizialmente con moto rettilineo uniforme convelocità v0 = 2 m/s. All’istante t0 = 0 comincia ad accelerare con a(t) = 3 + kt2.Determinare: a) la velocità raggiunta e b) lo spazio percorso rispetto alla posizionex0 al tempo t*. Effettuare i calcoli numerici per k = 2 m/s4 e t* = 3 s.
Esercizio (Mazzoldi 1.22 – sbagliato)
5. Una particella si muove di moto rettilineo con una accelerazione a che dipendedalla velocità secondo la relazione a = A/v, con A = -3 m2/s2. Le condizioni inizialidel moto sono: v(0) = 10 m/s, x(0) = 1 m.
Calcolare: a) la posizione e la velocità della particella al tempo t = 3 s; b) l’istantet1 al quale si annulla la velocità; c) la relativa posizione della particella.
1.1 Cinematica del punto1.1 Cinematica del punto
moto bidimensionale (piano)
xO
y
y(t)
x(t)
aumentando la complessità si arriva al:
P(t) traiettoria
2D moto
y(t)y
x(t) x
xx(t)
composizione dei 2 moti unidim. lungo gli assi:
Principio di indipendenza dei moti:
1.1 Cinematica del punto1.1 Cinematica del punto
moto tridimensionale
y
x
P
z
(t)
traiettoria
O
3D moto
z(t)z
y(t)y
x(t) x
x
composizione dei 3 moti unidim. lungo gli assi:
Principio di indipendenza dei moti:
meglio descrivibile con i vettori
il vettore posizione r(t) che segue il punto
y
x
Pz (t)
r(t)
O
x
il vettore spostamento ∆r(t)
y
x
Pz (t1)
r(t1)r(t2)
P(t2)
O
r
•Sono lunghi uguali (modulo, intensità)
Cenni sui Vettori e sull’algebra vettoriale
“Si dice vettore la classe di equivalenza di segmenti equipollenti”
•Sono paralleli
•Definendo un verso dei due segmenti, hanno lo stesso verso (“concordi”)
due segmenti si dicono “equipollenti” quando:
V V oppure
K b uV ,, ,
V
in realtà in 3D
un po’ di termini:
K b uVF ,, , ,
F
origine, punto di applicazione
modulo F
estremo
velocità
scalari
spostamento
accelerazione
Vettori
temperatura
massa
pressione
Grandezze vettoriali e scalari
forza energia
ecc. ecc.
numero + U.M.lunghezza, direz., verso
forza energia
definiamo la: somma di Vettori
A
B
C
A
B
BA , BAC
si applicano nello stesso punto
BA , BAC
Coppure:
BAC
A B
L'opposto di un vettore -V
V
V
ha stessa direzione e stesso modulo, ma verso opposto
differenza di Vettori
A
B
C
A B
BA , BAC BA , BAC
oppure:
A
B
C
BAC
ΒΑ
si noti:
A
B
somma
A
BΒΑ
differenzasomma differenza
prodotto di un vettore per uno scalare
A
AAA ckck , , ,
ha stessa direzione, AA kk
A Ak
AA // k
0k
Ac 0c
divisione di un vettore per uno scalare
ckck
AAA , , ,
stessa direzione, kk
kAA
definiamo versore vettore dal modulo unitario
1 u u
a AA
versore di un vettore a A
A A
A
a
a AA
Rappresentazione a componenti
V,V,V zyxV V,V yxVrestando in 2D:
y
yV
V x
V y
componente x
componente y
xxVO
reali numeri V ,V,V zyx
y
x
V
V Voppure:
V ycomponente y
esempi:
y
V
y
U
xO
4 ,2 V 2.6 ,3.2 U
xO
ovviamente non è proprio necessario applicarlo nell’origine
y
yV
xOxV
definiamo ora due versori lungo gli assi:
1 , jiji
y
V V ji yx
V
ji
possiamo quindi scrivere:
x
yV
xV
V
V ix
V jy
i
j
y
V
V V ji yx
V
VV 22yx Vmodulo
V
Varctg
ydirezione
Rappresentazione a componenti
x
yV
xV i
j
V
V ix
V jy
V
arctg
x
direzione
osx c V Vinoltre:
sin V Vye
222 VVV zyx Vmodulo in 3D
BA ,BA yyxx CB A Csomma
xxx
BA C
BA C
Rappresentazione a componenti
yyy BA C
BA ,BA yyxx CB A Cdifferenza
yyy
xxx
BA C
BA C
C ,C yx Copposto di un vettore
C ,C yx kkk Cprodotto per scalare
Rappresentazione a componenti
scomposizione in diverse componenti
y
yV
j
V
b
a
aV
bV
stesso vettorein un diverso sistema di coordinate
xxV i
j
ˆ a ˆ baV
V V ji yx
V ˆV ˆV ba ba V
V,V yxV V,V baV
Operazioni fra vettori: prodotto scalare
A
B
A
B
è uno scalare! B A prodotto scalare: cos B A
definiamo:
cos B AB A A
B
proprietà:
Operazioni fra vettori: prodotto scalare
proprietà:
0 BABA
BABABA / /
2 AAA 1 , 0 jjiiji
Operazioni fra vettori: prodotto scalare in componenti
B BA A jiji yxyx
B A
A A ji yx
A
B B ji yx
B
ˆˆ BA ˆ BA ˆ BA BA jjijjiii yyxyyxxx
BA BA yyxx B Aquindi in componenti:
BA BA BA BA jjijjiii yyxyyxxx
zzyyxx BA BA BA B A
in 3D:
cos B AB A A
B
zzyyxx BA BA BA B A
proprietà:
Operazioni fra vettori: prodotto scalare
proprietà:
0 BABA2
AAA
B A
B A
cosB A
zzyyxx BA BA BA
cos B AB A A
B
zzyyxx BA BA BA B A
Operazioni fra vettori: prodotto scalare
proprietà:
x
yA
xA i
j
A
xos A c A i
A
yA sin A ˆ jA
proprietà:
Operazioni fra vettori: prodotto vettoriale
A
B B
A
B A
B AB AC ins B AB AC
è un vettore! normale ad A e B
Operazioni fra vettori: prodotto vettoriale
per il verso:
A BB AC anti-commutativo
dalla definizione seguono le proprietà:
AB BABA
0 / / BABA 0 AA
prodotto vettoriale
ˆ kji
ˆ ˆ ˆ ikj
0 ˆ ˆ kkjjii
ˆ ˆ ˆ ikj
ˆ ˆ jik
prodotto vettoriale in componenti
BA BA C yzzyxx B A
BA BA C zxxzyy B A
xyyxzz BA BA C B A
x
y
z
kji zyx
CCCB A C
xyyxzz BA BA C B A
zyx
zyx
kji
BBB
AAAdet
B A
Derivata rispetto al tempo di un vettore
)( , )( ),( )( tttt zyx VVVV V
un vettore può dipendere dal tempo:
e quindi definiamo la sua derivata temporale:
VVV
)(
dt
td
dt
d
dt
d
dt
d zyx V ,
V ,
V
che è a sua volta un vettore
y
Pz
(t)
r(t)
O
torniamo ai vettori della cinematica
rx
ry
rz
r(t) vettore posizione
x
,, zyxr
il vettore posizione r(t) segue il punto P nel suo moto.
)( )( trt
r
z(t)z
y(t)y
x(t) x
le componenti del vettore posizione sono le coordinate del punto
relazione col vettore spostamento
vettore spostamento ∆r(t)z
P (t1)r
r(t )
P(t2)∆s
vettore posizione r(t)
∆r(t1,t2) = r(t2) - r(t1)
∆r = r(t+∆t) - r(t)
y
x
r(t1)r(t2)
O
∆s(t) arco di traiettoria
z
P(t1)
r(t1)
r
r(t+∆t)
P(t +∆t)ds
vettore spostamento ∆r(t)
arco ∆s(t) ≠ ∆r
τdst
ˆ rlim0
0t
abbiamo:
ma se:
y
x
r(t1) r(t+∆t)
O
t 0
versore tangentealla traiettoria
y
x
zP(t1)
r(t1)
r
r(t+∆t)
O
rlim
0
ds
t
v(t)
x
rlim
r0 t
t
dt
tdt
ˆ dt
ds tv
definiamo:
vettore velocitàdel punto
v(t)
y
x
zP
r(t1)
O
r v
dt
ds
dt
tdt
ha componenti cartesiane:
v(t) sempre tangente alla traiettoria
dt
ds v v velocità scalare
ha componenti cartesiane:
dt
dz(t)z v
)(),(),(v,v,vv z tztytxt yx
dt
dx(t)
dt
trdt
x v
v
dt
dy(t)y v
dt
ˆ ˆ dt
dsvv
kji zyxˆ v ˆ v ˆ v v
v(t)y
P
r(t1)
v(t) sempre tangente alla traiettoria
ˆ ˆ dt
dsvv
limitiamoci al caso 2D: il moto piano
xO
dt
dx(t)
dt
trdt
x v
v
dt
dy(t)y v
dt
ˆ v ˆ v v ji yx
vettore accelerazione
v(t)
r(t+∆t)
v(t+∆t)y
v(t)∆v
il moto piano
x
r(t)
O
r(t+∆t)v(t +∆t)
tadt
td
t
tt
v
v
lim0
vettore accelerazione
del punto
dt
tdta
v
xO
v(t)
ay ax
ay
componenti cartesiane del vettore accelerazione
xO
)(),( tytxa,ata yx
dt
(t)da
dt
tdta
xx
v
v
dt
(t)da y
y
v
jaiaa yxˆ ˆ
dt
tdta
v
ma ricordiamo che:
dt
d
v
dt
d
dt
d ˆ
ˆ vv
dt
tdta
v
ˆ ˆ dt
dsvv
quindi:
dt
ta dt
dtdt
ˆ v
derivata di un vettore con modulo costante
2 VV V
dal prodotto scalare:
2
dt
d
dt
d V V V
ora facciamo la derivata del modulo costante di un vettore:
dt
d
dt
d VVV
V 2 V
V
dt
d0
VV
d la derivata di un vettore con modulo
Vdt
la derivata di un vettore con modulo costante è perpendicolare al vettore
V(t +∆t)
V(t)∆V
dt
tdta
v
dt
d
dt
d ˆ
ˆ vv
quindi:
normale a
naa n ˆ ˆ
componentenormale
componentetangente
xO
v(t)
ay ax
ay
componenti cartesianexO
ay a
an
v(t)
componenti tangente e normale
dt
tdta
v
xO
v(t)
ay ax
ay
componenti cartesiane:
xO
jaiaa yxˆ ˆ
dt
tdta
v
xO
ay
a(t) giace nel piano
a
an
v(t)
componenti mobili: tangente e normale
xO
componentenormale
componentetangente
naata n ˆ ˆ
il vettore accelerazione
a
a
naata n ˆ ˆ
an
dtda
v
v
v(t)
quanto valgono queste componenti?
R
dt
d
dt
tda
v
v
R
v2
na
R raggio del cerchio osculatore, raggio di curvatura
R
naata n ˆˆ
v
dt
tda
R
v
2
na
diversa da zero se varia il modulo di v
diversa da zero se la traiettoria è curva
v cost. v cost.
a
v= cost.
a
an
v cost.
a
0
v
dt
td
a an
v cost.
a
0
v
dt
td
naata n ˆˆ
v(t)v(t+∆t)
quindi si può avere accelerazione anche se il modulo di v resta costante!
∆Vv(t)
v(t+∆t)
ricapitoliamo: i vettori del moto
r(t)
v(t)
z
a(t)
trr
v dt
ds
dt
trdt
y
x
O
2
2
v
dt
trd
dt
tdta
naa n ˆ ˆ ndt
dˆ
R
v ˆ
v
2
definiamo l’ascissa curvilinea s(t)
v(t)x
dt
dst v
t
t
dttsts0
)v()( 0
yO
s(t)s0
spazio percorso lungo la traiettoria
valgono le relazioni della cinematica sulle componenti
)(v
)(v
dt
dyt
dt
dxt
y
x
)(
)(
tyy
txx
)(a
)(a
2
2
2
2
dt
ydt
dt
xdt
y
x
(qui nel caso 2D)
)( tr
dt dt
)(a a
)(a a
t
t
yy
xx
')'( v )(v
')'( v )(v
0
0
0
0
t
t
yyy
t
t
xxx
dttat
dttat
')'(v )(
')'(v )(
0
0
0
0
t
t
y
t
t
x
dttyty
dttxtx
1) Moto dei gravi (balistico)
v0y
g
g
g
v0
y
lancio con v0 quale?
v(t)
osservo un moto piano
0
ga
a
y
x
v0x
conosciamo l’accelerazione di questo moto!
x
ga
0
ax
x0v
' v )(v
0
0
t
t
xxx dtat
v0x
v0y
cost cos v0
g
g
g
v0
x
y
v(t)
gay
x
' v )(v
0
0
0
t
t
yyy
t
dtat
v 00 ttgy
scegliendo t0 = 0:
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
la componente vx(t) è costante!
v(t)
v0x
v0y
gv0
x
y
v(t)
v0xv0x
Moto dei gravi (balistico)
)(
tx 'cosv 0
00 dtxt
t
cosv 00 tx
1
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
)(
ty ''v
0
00 t
dtgtseny 200 2
1 v tgtseny
scegliendo x0 = y0 = 0
2
1 v )(
cos v )(
20
0
tgtsenty
ttx
Ricapitolando: leggi orarie del moto dei gravi (balistico)
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
0
ga
a
y
x che ci facciamo?
prendiamo le equazioni della velocità
)(
)(
ty
tx cos v0 t
20 2
1 v tgtsen
v )(v 0 gtsenty
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
calcoliamo il tempo per la massima altezza:
0 * v *)( v 0 gtsenty
v
* 0
g
sent
Moto dei gravi (balistico)
v0x
v0y
x
y
v(t)
vx(t)
vx(t)
vy(t)
v(t*)
vx(t)
lancio verticale di un grave verso l’altox
0 ) v( tMAX v0
v0 > 0
v )v( 0 gt t
Si noti il caso particolare già trattato:
200 2
1 v )( )( attxthtx 2
0 2
1 v gtt
v
0
gtMAX
v
* 0
g
sent
ora abbiamo l’espressione più generale:
v )(v
cost cos v )(v
0
0
gtsent
t
y
x
0
ga
a
y
xprendiamo le equazioni della posizione
Moto dei gravi (balistico): calcoliamo la traiettoria
)(
)(
ty
tx cosv0 t
20 2
1 v tgtsen
v )(v 0 gtsenty
)(
)(
ty
tx cos v0 t
20 2
1 v tgtsen
sostituiamo nella seconda
cosv
0
xt
)( xy
2
000 cosv2
1
cosvv
x
gx
sen
222
0 cosv2
1
cos )( x
gx
senxy
222
0 cosv2
1
cos )( x
gx
senxy
)( 2 xbxaxy
una parabola!
v0x
v0y
x
y
v(t)
vx(t)
222
0 cosv2
1
cos )( x
gx
senxy
calcoliamole coordinate del vertice
2
a
bxx VM
acb 42
v 22sen
cosv
20
g
sen
una parabola!
vertice
v0x
v0y
x
y
v(t)
vx(t)
V(x,y)
x M
y M
a
acb
ayy VM 4
4
4
2
2
v
220
g
sen
oppure, per via “fisica” :
vv 0 My gtsen 0 v
0
g
sent*tM
)(
)(
ty
tx cos v0 t
20 2
1 v tgtsen
sostituiamo nelle equazioni orarie:
v0x
v0y
x
y
v(t)
x M
y M
2
)(
)(
ty
tx cos v0 t
20 2
1 v tgtsen
sostituiamo nelle equazioni orarie:
v
0
g
sent*tM
2
v
2
1v v)(
v cosv)(
2
000
00
g
seng
g
sensenty
g
sentx
M
M
otteniamo:
cosv
20
g
sen
2
v
220
g
sen
0 cosv2
1
cos )( 2
220
x
gx
senxy
calcoliamo il punti di caduta:
cos2v
20sen
xC
gittata
v0x
v0y
x
y
xC
g
xC gittata
PROVA DI ESAME 25/9/2003Un proiettile d’artiglieria viene sparato con una velocità iniziale v0 = 300 m/s e con un angolo di lancio = 60° rispetto alla direzione orizzontale. Il proiettile esplode al tempo t* dopo il lancio, sulla verticale di un punto ad una distanza x(t*) = 7227 m dal punto di lancio.
Calcolare: (a) il valore della coordinata y(t*) del punto di esplosione rispetto al punto di lancio; (b) la direzione e il modulo della velocità del proiettile all’istante dell’esplosione.
Da un aereo che vola in direzione orizzontale con velocità v0 = 100 m/s ad una quota h = 500 m sopra il livello del suolo viene lasciata cadere una bomba quando l’aereo si trova sopra la verticale di un punto X. Se trascurassimo la resistenza dell’aria, a quale distanza D da X cadrebbe al suolo la bomba?
Una scimmietta è ferma a yS0 = h e xS0 = D. Essa si lascia cadere quando un cacciatore le spara con velocità del proiettile v0. Con che angolo deve mirare il cacciatore per colpire la scimmietta?
R(t)
s(t)
R )( )( tts R
)( )(
tst
2) Moto circolare
traiettoria
2
12
12m tt
θθ
R )( )( tts R
)( )(
tst
1
2) Moto circolare
t
θ
tv
velocità angolare media
1m s s rad
)( dt
dθt
dt
tds )(
R
1
R
v
velocità angolare
11 s s U.M. rad -t
definiamo: R v
R )( )( tts R
)( )(
tst 2) Moto circolare
)( dt
dθt
dt
tds )(
R
1
R
v
velocità angolare
)(
(t) )( dt
tdt
accelerazione angolare
tv
ta
)(
)( 2
2
dt
d
dt
tdt
accelerazione angolare
R
v
R
1 a
dt
d
si noti che:
22
2 s s
U.M. rad -t
2) Moto circolare R a
R a
R
v2
na
naata n ˆˆ
naR 2
taa
t
t
dttt0
'' )( 0 )( dt
dθt
)(
)( dt
tdt
t
t
dttt0
'' )( 0
infine valgono le equazioni della cinematica:
0v
cost v dt
da
2a) Moto circolare uniforme
R
v2
na
cost v
cost v
tv
ta
cost R
cost v
0 tt
Rs tt t v s 0
R
v 0 t
R R
v 0
t
cost v
2b) Moto circolare uniformemente accelerato
R
v
2
na
tv cost
0 R v
dt
da
R 2
ta
2
1 )( 2
00 ttt
)( cost 0 tt R R R v 0 tt
R2
1 R R )s( 2
00 ttt 200 R
2
1 R s tt
2c) Moto circolare vario
cos t tv
t
dtttt 0 ')'(R R R)( )(v
t
dttt0
0 ')'()(
ta
0
Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R = 10 m con velocitàiniziale v0 = 10 m/s ed accelerazione angolare costante 2rad/s 1.0 (negativa!).
Calcolare il modulo, le componenti e la direzione dell’accelerazione dopo un tempo t* = 3 s dall’inizio del moto.
Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R = 1 m con velocitàiniziale v0 = 2 m/s ed accelerazione angolare costante 2rad/s 2
Calcolare: a) il numero il numero di giri effettuati e b) il modulo dell’accelerazionedopo un tempo t* = 5 s dall’inizio del moto.
Si noti che per il moto circolare:
v
R
R v R v
R v
3) Moto piano vario
)(a a
)(a a
t
t
yy
xx
')'( v )(v0
0
t
t
t
xxx dttat
')'( v )(v0
0
t
t
yyy dttat
')'(v )(
')'(v )(
0
0
0
0
t
t
y
t
t
x
dttyty
dttxtx
xO
y
y(t)
x(t)
P(t)
esercizio: 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni:
Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il modulo del vettore velocità nello stesso istante.
Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si effettuino i calcoli per a = 1 ms-2 , b = 1 ms-1, z0 = 1 m ed = 1 s-1 .
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