2. Cinematica del punto.ppt [modalitÃ compatibilitÃ ]

Coordinate cartesiane (ortonormali)

z

y

x

posizione di P :

y

z P

z

zy

xy

x

sistema di coordinate cartesiane (ortonormali)

x, y , z coordinate cartesiane di P

U. M.O

1.1 Cinematica del punto

y

P

z


P(t2)

Introduciamo la variabile tempo

ttt 12 al tempo

(t1)

x(t1)

y(t1)

z(t1)

z(t2)

x(t2)

y(t2)

posizione di P al tempo t1

)z(t

)y(t

)x(t

1

1

1

)x(t 2

O

x

)x(tt)x(t 11

) y(tt)y(t)y(t)y(ty 1112

) z(tt)z(t)z(t)z(tz 1112

)x(t)x(tx

12

spostamento di P :

posizione di P al tempo t2

)z(t

)y(t

2

2

2

1.1 Cinematica del punto (sistemi di coordinate)

spesso per brevità si scrive:

z)z(t

y)y(t

x)x(t

11

11

11

e quindi:

12 yyy

zzz 12

xxx

12

spostamento di P :


y

P

z


Spostamento nel tempo = moto

(t)

traiettoria

O

x

moto di P: D3

moto

z(t)z

y(t)y

x(t) x

leggi orarie

1.1 Cinematica del punto1.1 Cinematica del punto

Il moto di un punto è descritto da tre equazioni orarie:

z(t)z

y(t)y

x(t) x

z(t)z

y

x

P

z

(t)

traiettoria

O

partiamo dai casi semplici


y(t)y

x(t) x

x(t)x

3D 1D

z(t)z

y(t)y

x(t)x

il moto unidimensionale

moto unidimensionale

P

z


moto rettilineo

Oy

x con una rotazione del sistema di coordinate:

O

moto rettilineo

P

xO

)(tx

1.1 Cinematica del punto – moto rettilineo

)(tr

P

xO x(t)


non servono i vettori, basta una sola eq. oraria:

)( tx posizione )(tr

txttx )()( 11 xx 12

)( tx posizione

spostamento


)( txx

Si può descrivere con:

P

xO x(t)


t (s) x (m)

t1 x1

t2 x2

t3 x3

t4 x4

…. ….… ….

Tabella oraria

t (s) x (m)

0 2.31 4.72 12.13 12.94 12.9..... …..

esempio:


)( txx

Diagramma orariooppure col:

x(t)x

x1

esempi:

x(t)

t

x

o

x(t)

t

x

o

x(t)

t

x

o

tt1


)( txx si noti che nella legge oraria:

m 3 )x( tt

esempi:

)( tx può essere qualsiasi funzione “regolare” del tempo

m 4 3 )x( 2tt

m 4 )x( 2 tet t

m 3 )x( tt

ecc. ecc.

m 24sen )x( tt


v vm t

x

12

12 tt

xx

Velocità media (su t):

Definiamo:

-11m ms U.M. v -tlcon dimensioni fisiche

t

)x(tt)x(t

11

esempio:

Roma – Milano: x = 700 kmTempo impiegato: t = 7 h

km/h 001 h 7

km 700 vm

t

xm/s 7.82

6.3

km/h 001

lim )v( 0 t

xt t

per un’informazione più “precisa” definiamo:

Velocità istantanea (al tempo t):

dt

dx

t

x(t)t)x(tt

lim 0

v(t) è la derivata rispetto al tempo di x(t)

ATTENZIONE!solo nel moto unidimensionale

)( ) v( txdt

dxt si noti che spesso si scrive:

)*v(dx

t

v(t) in genere è funzione del tempo

e va calcolata al tempo “t”:

)v(dx

t .ecc

)( ) v( txdt

dxt

)v(dx

t )*v(t*dt

dxt )v(

0

0tdt

dxt .ecc

ottenendo dei valori numerici: v1, v*, ecc.

con dimensioni fisiche

)v(1

1tdt

t

-11 ms U.M. v -tl

)( ) v( txdt

dxt

in senso matematico: (m/s) 8 ) v( tt 4 3 )x( 2tt Es.

in senso geometrico:x(t)

derivata della posizione, è funzione di t

v(t) è il coefficiente angolare della tangente alla curva oraria

v(t)

t

t

) v(dt

dxt

in senso matematico:

) v( )( dtttdx

“lo spostamento infinitesimoè il differenziale della velocità istantanea”

cost )v( )( dtttx ) v( )( dtttdx

“la posizione è la primitiva della velocità istantanea”

cost )v( )( dtttx ) v( )( dtttdx

) v(dt

dxt


in senso matematico:

cost )v( )( dtttx

t

t

e la costante? si dimostra che:

')'v( )( )(

0

0 t

t

dtttxtx ')'v( )( )( 0

0 t

t

dttxtxtx

in genere, per comodità, si sceglie: 0 0 t

teniamola bene a mente

0x “posizione iniziale”

vcost )v( t1) moto rettilineo uniforme

)(v 00 tt x

')'v( )( )( 0

0 t

t

dtttxtx 'v )( 0

0

t

t

dttx

' v )( 0 t

t

dttx v 0 t x

v )( 0 t xtx v 0 t xxx

con la scelta t0 0 si ha:

0

t

v vm

t

x

t

x

tt

vcost )v( t

moto rettilineo uniforme

xx(t)

x0

diagrammaorario

v )( 0 t xtx

t

x0

t

v

v(t)

EsercizioUn ghepardo, vede un’antilope distante 100 m e comincia a correreverso di essa con velocità costante vG = 90 km/h.

x0G xx0A

O

Nello stesso istantein cui è vista, l’antilope comincia a fuggire in direzione opposta convelocità costante di vA = 60 km/h.Quanto tempo impiega il ghepardo a raggiungere l’antilope?

a am Accelerazione media (su t):

Definiamo:

e se invece abbiamo che ?cost v

12

12 vv

v

ttt

22m ms U.M. --tla

esempio:

0 100 km/h in 4 s (100 km/h = 27.8 m/s)

2m/s 6.95 4

08.27 a

m

s

km/h 25

m ms U.M. tla

v

lim )( 0 tta t

come già fatto per la velocità:

Accelerazione istantanea (al tempo t):

v

dt

d

“a(t) è la derivata rispetto al tempo di v(t)”

v

)*( t*dt

dta

22 ms U.M. --tla

v

)(dt

dta

si noti che:

0

2xd

inoltre è:

accelerazione/decelerazione:

)( )(v )(2

2

txdt

xdtta

v

)(dt

dta ma

implica che: ')'( ) v( )v(

0

0 t

t

dttatt


teniamola bene a mente

Ricapitolando:

')'( ) v( )v(

0

0 t

t

dttatt)( ) v( txdt

dxt

)( txx )( ta

)( )(v v

)( txtdt

dta

0t

')'v( )( )(0

0 t

t

dtttxtx

derivazionisuccessive

integrazionisuccessive

cost )( ata

possiamo quindi trattare il:2) moto rettilineo uniformemente accelerato

m a

t

t

dttatt0

')'( ) v( )v( 0 ' ) v( ) v(0

0 t

t

dtatt

con la scelta t0 0

)(v 00 tta

v )v( 0 at t

significa che: v )v( 0 at t

t

t

dtttxtx0

')'v( )( )( 0 t

t

dtat tx0

' 'v )( 00

t

t

t

t

dtatdttx '' ' v )( 00

tt 00

200 2

1 v )( att xtx

con la scelta t0 0

v )v( 0 at t

cost )( ata

Ricapitolando:

moto rettilineo uniformemente accelerato:

vv(t)

v0

200 2

1 v )( att xtx

t

t

x

x(t)

x0

Moto rettilineo uniformemente accelerato - casi particolari

0) ( a scegliamo:

v

v(t) at

partenza da fermo1) 0 v 0

v )v( 0 at t 0) ( a

xxxx x 0 00

scegliamo:

2

2

1 )( atxtx

t

200 2

1 v )( att xtx

0) ( a

v

v(t)

partenza da fermo1) 0 v 0

)v( att

Ricapitolando:

2

2

1 )( atxtx

t

t

x

x(t)

esempio:0 100 km/h in 4 s (100 km/h = 27.8 m/s)

a = cost = am = 6.95 m/s2

assumiamo:

e x0 = 0

0 v0 partenza da fermo 0 0 x (con )

x x(tf = 4 s) = ?

v v

2

2

1 )(

)v(

attx

attsist. equazioniparametrico


possiamo scrivere insieme:

2

2

1 )( attx

)v( att

v

2

1

2

ax f

v

a

t v

a

t ff

xaf 2 v 2

xaf 2 v2 2v2

1 fa

x x

a f

2

v

2


020

2 2 v v xxaxx

si può generalizzare a v0 0:

ma sempre e solo per a = cost!

0 v0 moto in frenata con arresto 0 v f

v )v( 0 at t

2

1v 2

0 att x

0acon

v 0v )v( 0 ff at t

v 0

at f

inserita nella prima:

20 2

1v )( fff tat tx

v

2

1

v

20

20

aa

a

20v

2

1

0a

si noti la similitudine:

moto in frenata con arrestoa

tx f

20v

2

1 )( 0 a

moto con partenza da fermo tx f2v1

)( 0 amoto con partenza da fermoa

tx ff

v

2

1 )( 0 a

esempio 1. a 100 km/h lo spazio di frenata è 150 m;

assumendo a = cost a = ? , tf =?

dalle espressioni già ricavate:

0 m/s 2.57 v1

220 a tx

20v1

)(

Moto rettilineo uniformemente accelerato - esempi

0 m/s 2.57 v

2

1 20

xa

s 10.8 v

0 a

t f

a tx f

0v

2

1 )(

esempio 2. a 100 km/h arresto per urto frontale in 1 m;

assumendo a = cost a = ? , tf =?

Moto rettilineo uniformemente accelerato - esempi

esempio 3. moto verticale di un grave da fermo

1

2gt h

x

h

caduta da fermo: v0 = 0

2 1 )( atxtx

2m/s 81.9 cost ga

v )v( 0 at t gt

0 0 t

ct

2

1 2gt h

h

2 g

tc

20 2

1 )( atxtx

0 2

1 )( 2 cc gt htx 2

2

1 cgt h

h2 v ggtcf

Es. caduta da fermo da h = 10 mx

h

moto verticale di un grave da fermo

s 1.43 h

2 g

tc m/s 14 h2 v ggtcf

esempio 4. lancio verticale di un grave verso l’alto

x

0 ) v( tMAX v0

v0 > 0

v )v( 0 gt t

200 2

1 v )( )( attxthtx 2

0 2

1 v gtt

v

0

gtMAX

v

2

1

20

MAX g h

0 2

1 v 2

0 VVV gtttx

sostituendo nella prima:

e il tempo “di volo” è:

MAXV tg

t 2 v2

0

lancio verticale di un grave verso l’alto

x

-v0 v )v( gt t

sostituendo nella velocità:

MAXV tg

t 2 v2

0

v2

v 0g v v2 v v )v( 0 VV gt t v 00 g

g 000 v v2 v

3) moto armonico

oscillatorio e periodico )Asin(ω )( ttx

A ampiezza o elongazione massima

frequenza angolare o pulsazione

x0

1s s rad

fase iniziale

2

v frequenza

2

1

T v

periodo (s)

Hz scicli U.M. 1 tv

s

3) moto armonico

oscillatorio e periodico )Asin(ω )( ttx


frequenza angolare o pulsazione

xdiagramma orario

x0

T fase iniziale

t 2

v frequenza

2

1

T v

periodo (s)

T

T

Hz U.M. s scicli 1 v

1s s rad

moto armonico

)Asin(ω )( ttx

t

x


A

-Ax

v1

v2 < v1

secondo

rad ω pulsazione

ciclo

t

t

x

v3 > v1

v2 < v1

2

v frequenzasecondo

cicli

3) moto armonico: è la proiezione di un moto circolare su una retta

x(t)

)( dt

dθt

velocità angolare

)Asin(ω )( ttx

frequenza angolare

moto armonico

)Asin(ω )( ttx

t

x

fase iniziale x

2 2

0 1

t

t

x

47 3

)Asin(ω )( ttx

fase

moto armonico

)Asin(ω )( ttx

t

v t

tx

derivando x(t):

t )os(ωAω )( )v( tctxt

)in(ωAω )( )( 2 tstxta t

taderivando v(t):

moto armonicoPROVA DI ESAME FINALE (28/02/2007)

1. Un punto si muove lungo un asse cartesiano con un moto armonico centratosull’origine (x = 0) con una frequenza = 3 Hz e ampiezza A = 0.1 m. Se all’istanteiniziale t0 = 0 il punto sta passando sull’origine con velocità positiva, calcolare: a) ilvalore massimo dell’accelerazione durante il moto; b) la velocità raggiunta dalpunto al tempo t* = 10 ms.

moto armonico2. Il pistone di un motore a scoppio si muove lungo il cilindro con un motooscillatorio di frequenza corrispondente a N = 6000 giri/min e ampiezza (semi-corsa) A = 80 mm. Assumendo un moto armonico, calcolare il valore massimodell’accelerazione del pistone durante il moto.

moto armonico3. Un punto materiale descrive un moto lineare armonico con periodo T = 4.4 s e sitrova all’istante t = 0 in x(0) = 0.28 m con velocità v(0) = -2.5 m/s. Scriverel’equazione oraria del moto e calcolare i valori massimi della velocità edell’accelerazione.

4) moto vario

')'( ) v( )v(0

0 t

t

dttatt

)( ta

0t

')'v( )( )(0

0 t

t

dtttxtx

4. Un punto materiale si muove inizialmente con moto rettilineo uniforme convelocità v0 = 2 m/s. All’istante t0 = 0 comincia ad accelerare con a(t) = 3 + kt2.Determinare: a) la velocità raggiunta e b) lo spazio percorso rispetto alla posizionex0 al tempo t*. Effettuare i calcoli numerici per k = 2 m/s4 e t* = 3 s.

Esercizio (Mazzoldi 1.22 – sbagliato)

5. Una particella si muove di moto rettilineo con una accelerazione a che dipendedalla velocità secondo la relazione a = A/v, con A = -3 m2/s2. Le condizioni inizialidel moto sono: v(0) = 10 m/s, x(0) = 1 m.

Calcolare: a) la posizione e la velocità della particella al tempo t = 3 s; b) l’istantet1 al quale si annulla la velocità; c) la relativa posizione della particella.


moto bidimensionale (piano)

xO

y

y(t)

x(t)

aumentando la complessità si arriva al:

P(t) traiettoria

2D moto

y(t)y

x(t) x

xx(t)

composizione dei 2 moti unidim. lungo gli assi:

Principio di indipendenza dei moti:


moto tridimensionale

y

x

P

z

(t)

traiettoria

O

3D moto

z(t)z

y(t)y

x(t) x

x

composizione dei 3 moti unidim. lungo gli assi:

Principio di indipendenza dei moti:

meglio descrivibile con i vettori

il vettore posizione r(t) che segue il punto

y

x

Pz (t)

r(t)

O

x

il vettore spostamento ∆r(t)

y

x

Pz (t1)

r(t1)r(t2)

P(t2)

O

r

•Sono lunghi uguali (modulo, intensità)

Cenni sui Vettori e sull’algebra vettoriale

“Si dice vettore la classe di equivalenza di segmenti equipollenti”

•Sono paralleli

•Definendo un verso dei due segmenti, hanno lo stesso verso (“concordi”)

due segmenti si dicono “equipollenti” quando:

V V oppure

K b uV ,, ,

V

in realtà in 3D

un po’ di termini:

K b uVF ,, , ,

F

origine, punto di applicazione

modulo F

estremo

velocità

scalari

spostamento

accelerazione

Vettori

temperatura

massa

pressione

Grandezze vettoriali e scalari

forza energia

ecc. ecc.

numero + U.M.lunghezza, direz., verso

forza energia

definiamo la: somma di Vettori

A

B

C

A

B

BA , BAC

si applicano nello stesso punto

BA , BAC

Coppure:

BAC

A B

L'opposto di un vettore -V

V

V

ha stessa direzione e stesso modulo, ma verso opposto

differenza di Vettori

A

B

C

A B

BA , BAC BA , BAC

oppure:

A

B

C

BAC

ΒΑ

si noti:

A

B

somma

A

BΒΑ

differenzasomma differenza

prodotto di un vettore per uno scalare

A

AAA ckck , , ,

ha stessa direzione, AA kk

A Ak

AA // k

0k

Ac 0c

divisione di un vettore per uno scalare

ckck

AAA , , ,

stessa direzione, kk

kAA

definiamo versore vettore dal modulo unitario

1 u u

a AA

versore di un vettore a A

A A

A

a

a AA

Rappresentazione a componenti

V,V,V zyxV V,V yxVrestando in 2D:

y

yV

V x

V y

componente x

componente y

xxVO

reali numeri V ,V,V zyx

y

x

V

V Voppure:

V ycomponente y

esempi:

y

V

y

U

xO

4 ,2 V 2.6 ,3.2 U

xO

ovviamente non è proprio necessario applicarlo nell’origine

y

yV

xOxV

definiamo ora due versori lungo gli assi:

1 , jiji

y

V V ji yx

V

ji

possiamo quindi scrivere:

x

yV

xV

V

V ix

V jy

i

j

y

V

V V ji yx

V

VV 22yx Vmodulo

V

Varctg

ydirezione


x

yV

xV i

j

V

V ix

V jy

V

arctg

x

direzione

osx c V Vinoltre:

sin V Vye

222 VVV zyx Vmodulo in 3D

BA ,BA yyxx CB A Csomma

xxx

BA C

BA C


yyy BA C

BA ,BA yyxx CB A Cdifferenza

yyy

xxx

BA C

BA C

C ,C yx Copposto di un vettore

C ,C yx kkk Cprodotto per scalare


scomposizione in diverse componenti

y

yV

j

V

b

a

aV

bV

stesso vettorein un diverso sistema di coordinate

xxV i

j

ˆ a ˆ baV

V V ji yx

V ˆV ˆV ba ba V

V,V yxV V,V baV

Operazioni fra vettori: prodotto scalare

A

B

A

B

è uno scalare! B A prodotto scalare: cos B A

definiamo:

cos B AB A A

B

proprietà:


proprietà:

0 BABA

BABABA / /

2 AAA 1 , 0 jjiiji

Operazioni fra vettori: prodotto scalare in componenti

B BA A jiji yxyx

B A

A A ji yx

A

B B ji yx

B

ˆˆ BA ˆ BA ˆ BA BA jjijjiii yyxyyxxx

BA BA yyxx B Aquindi in componenti:

BA BA BA BA jjijjiii yyxyyxxx

zzyyxx BA BA BA B A

in 3D:

cos B AB A A

B

zzyyxx BA BA BA B A

proprietà:


proprietà:

0 BABA2

AAA

B A

B A

cosB A

zzyyxx BA BA BA

cos B AB A A

B

zzyyxx BA BA BA B A


proprietà:

x

yA

xA i

j

A

xos A c A i

A

yA sin A ˆ jA

proprietà:

Operazioni fra vettori: prodotto vettoriale

A

B B

A

B A

B AB AC ins B AB AC

è un vettore! normale ad A e B

Operazioni fra vettori: prodotto vettoriale

per il verso:

A BB AC anti-commutativo

dalla definizione seguono le proprietà:

AB BABA

0 / / BABA 0 AA

prodotto vettoriale

ˆ kji

ˆ ˆ ˆ ikj

0 ˆ ˆ kkjjii

ˆ ˆ ˆ ikj

ˆ ˆ jik

prodotto vettoriale in componenti

BA BA C yzzyxx B A

BA BA C zxxzyy B A

xyyxzz BA BA C B A

x

y

z

kji zyx

CCCB A C

xyyxzz BA BA C B A

zyx

zyx

kji

BBB

AAAdet

B A

Derivata rispetto al tempo di un vettore

)( , )( ),( )( tttt zyx VVVV V

un vettore può dipendere dal tempo:

e quindi definiamo la sua derivata temporale:

VVV

)(

dt

td

dt

d

dt

d

dt

d zyx V ,

V ,

V

che è a sua volta un vettore

y

Pz

(t)

r(t)

O

torniamo ai vettori della cinematica

rx

ry

rz

r(t) vettore posizione

x

,, zyxr

il vettore posizione r(t) segue il punto P nel suo moto.

)( )( trt

r

z(t)z

y(t)y

x(t) x

le componenti del vettore posizione sono le coordinate del punto

relazione col vettore spostamento

vettore spostamento ∆r(t)z

P (t1)r

r(t )

P(t2)∆s

vettore posizione r(t)

∆r(t1,t2) = r(t2) - r(t1)

∆r = r(t+∆t) - r(t)

y

x

r(t1)r(t2)

O

∆s(t) arco di traiettoria

z

P(t1)

r(t1)

r

r(t+∆t)

P(t +∆t)ds

vettore spostamento ∆r(t)

arco ∆s(t) ≠ ∆r

τdst

ˆ rlim0

0t

abbiamo:

ma se:

y

x

r(t1) r(t+∆t)

O

t 0

versore tangentealla traiettoria

y

x

zP(t1)

r(t1)

r

r(t+∆t)

O

rlim

0

ds

t

v(t)

x

rlim

r0 t

t

dt

tdt

ˆ dt

ds tv

definiamo:

vettore velocitàdel punto

v(t)

y

x

zP

r(t1)

O

r v

dt

ds

dt

tdt

ha componenti cartesiane:

v(t) sempre tangente alla traiettoria

dt

ds v v velocità scalare

ha componenti cartesiane:

dt

dz(t)z v

)(),(),(v,v,vv z tztytxt yx

dt

dx(t)

dt

trdt

x v

v

dt

dy(t)y v

dt

ˆ ˆ dt

dsvv

kji zyxˆ v ˆ v ˆ v v

v(t)y

P

r(t1)

v(t) sempre tangente alla traiettoria

ˆ ˆ dt

dsvv

limitiamoci al caso 2D: il moto piano

xO

dt

dx(t)

dt

trdt

x v

v

dt

dy(t)y v

dt

ˆ v ˆ v v ji yx

vettore accelerazione

v(t)

r(t+∆t)

v(t+∆t)y

v(t)∆v

il moto piano

x

r(t)

O

r(t+∆t)v(t +∆t)

tadt

td

t

tt

v

v

lim0

vettore accelerazione

del punto

dt

tdta

v

xO

v(t)

ay ax

ay

componenti cartesiane del vettore accelerazione

xO

)(),( tytxa,ata yx

dt

(t)da

dt

tdta

xx

v

v

dt

(t)da y

y

v

jaiaa yxˆ ˆ

dt

tdta

v

ma ricordiamo che:

dt

d

v

dt

d

dt

d ˆ

ˆ vv

dt

tdta

v

ˆ ˆ dt

dsvv

quindi:

dt

ta dt

dtdt

ˆ v

derivata di un vettore con modulo costante

2 VV V

dal prodotto scalare:

2

dt

d

dt

d V V V

ora facciamo la derivata del modulo costante di un vettore:

dt

d

dt

d VVV

V 2 V

V

dt

d0

VV

d la derivata di un vettore con modulo

Vdt

la derivata di un vettore con modulo costante è perpendicolare al vettore

V(t +∆t)

V(t)∆V

dt

tdta

v

dt

d

dt

d ˆ

ˆ vv

quindi:

normale a

naa n ˆ ˆ

componentenormale

componentetangente

xO

v(t)

ay ax

ay

componenti cartesianexO

ay a

an

v(t)

componenti tangente e normale

dt

tdta

v

xO

v(t)

ay ax

ay

componenti cartesiane:

xO

jaiaa yxˆ ˆ

dt

tdta

v

xO

ay

a(t) giace nel piano

a

an

v(t)

componenti mobili: tangente e normale

xO

componentenormale

componentetangente

naata n ˆ ˆ

il vettore accelerazione

a

a

naata n ˆ ˆ

an

dtda

v

v

v(t)

quanto valgono queste componenti?

R

dt

d

dt

tda

v

v

R

v2

na

R raggio del cerchio osculatore, raggio di curvatura

R

naata n ˆˆ

v

dt

tda

R

v

2

na

diversa da zero se varia il modulo di v

diversa da zero se la traiettoria è curva

v cost. v cost.

a

v= cost.

a

an

v cost.

a

0

v

dt

td

a an

v cost.

a

0

v

dt

td

naata n ˆˆ

v(t)v(t+∆t)

quindi si può avere accelerazione anche se il modulo di v resta costante!

∆Vv(t)

v(t+∆t)

ricapitoliamo: i vettori del moto

r(t)

v(t)

z

a(t)

trr

v dt

ds

dt

trdt

y

x

O

2

2

v

dt

trd

dt

tdta

naa n ˆ ˆ ndt

dˆ

R

v ˆ

v

2

definiamo l’ascissa curvilinea s(t)

v(t)x

dt

dst v

t

t

dttsts0

)v()( 0

yO

s(t)s0

spazio percorso lungo la traiettoria

valgono le relazioni della cinematica sulle componenti

)(v

)(v

dt

dyt

dt

dxt

y

x

)(

)(

tyy

txx

)(a

)(a

2

2

2

2

dt

ydt

dt

xdt

y

x

(qui nel caso 2D)

)( tr

dt dt

)(a a

)(a a

t

t

yy

xx

')'( v )(v

')'( v )(v

0

0

0

0

t

t

yyy

t

t

xxx

dttat

dttat

')'(v )(

')'(v )(

0

0

0

0

t

t

y

t

t

x

dttyty

dttxtx

1) Moto dei gravi (balistico)

v0y

g

g

g

v0

y

lancio con v0 quale?

v(t)

osservo un moto piano

0

ga

a

y

x

v0x

conosciamo l’accelerazione di questo moto!

x

ga

0

ax

x0v

' v )(v

0

0

t

t

xxx dtat

v0x

v0y

cost cos v0

g

g

g

v0

x

y

v(t)

gay

x

' v )(v

0

0

0

t

t

yyy

t

dtat

v 00 ttgy

scegliendo t0 = 0:

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

la componente vx(t) è costante!

v(t)

v0x

v0y

gv0

x

y

v(t)

v0xv0x

Moto dei gravi (balistico)

)(

tx 'cosv 0

00 dtxt

t

cosv 00 tx

1

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

)(

ty ''v

0

00 t

dtgtseny 200 2

1 v tgtseny

scegliendo x0 = y0 = 0

2

1 v )(

cos v )(

20

0

tgtsenty

ttx

Ricapitolando: leggi orarie del moto dei gravi (balistico)

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

0

ga

a

y

x che ci facciamo?

prendiamo le equazioni della velocità

)(

)(

ty

tx cos v0 t

20 2

1 v tgtsen

v )(v 0 gtsenty

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

calcoliamo il tempo per la massima altezza:

0 * v *)( v 0 gtsenty

v

* 0

g

sent

Moto dei gravi (balistico)

v0x

v0y

x

y

v(t)

vx(t)

vx(t)

vy(t)

v(t*)

vx(t)

lancio verticale di un grave verso l’altox

0 ) v( tMAX v0

v0 > 0

v )v( 0 gt t

Si noti il caso particolare già trattato:

200 2

1 v )( )( attxthtx 2

0 2

1 v gtt

v

0

gtMAX

v

* 0

g

sent

ora abbiamo l’espressione più generale:

v )(v

cost cos v )(v

0

0

gtsent

t

y

x

0

ga

a

y

xprendiamo le equazioni della posizione

Moto dei gravi (balistico): calcoliamo la traiettoria

)(

)(

ty

tx cosv0 t

20 2

1 v tgtsen

v )(v 0 gtsenty

)(

)(

ty

tx cos v0 t

20 2

1 v tgtsen

sostituiamo nella seconda

cosv

0

xt

)( xy

2

000 cosv2

1

cosvv

x

gx

sen

222

0 cosv2

1

cos )( x

gx

senxy

222

0 cosv2

1

cos )( x

gx

senxy

)( 2 xbxaxy

una parabola!

v0x

v0y

x

y

v(t)

vx(t)

222

0 cosv2

1

cos )( x

gx

senxy

calcoliamole coordinate del vertice

2

a

bxx VM

acb 42

v 22sen

cosv

20

g

sen

una parabola!

vertice

v0x

v0y

x

y

v(t)

vx(t)

V(x,y)

x M

y M

a

acb

ayy VM 4

4

4

2

2

v

220

g

sen

oppure, per via “fisica” :

vv 0 My gtsen 0 v

0

g

sent*tM

)(

)(

ty

tx cos v0 t

20 2

1 v tgtsen

sostituiamo nelle equazioni orarie:

v0x

v0y

x

y

v(t)

x M

y M

2

)(

)(

ty

tx cos v0 t

20 2

1 v tgtsen

sostituiamo nelle equazioni orarie:

v

0

g

sent*tM

2

v

2

1v v)(

v cosv)(

2

000

00

g

seng

g

sensenty

g

sentx

M

M

otteniamo:

cosv

20

g

sen

2

v

220

g

sen

0 cosv2

1

cos )( 2

220

x

gx

senxy

calcoliamo il punti di caduta:

cos2v

20sen

xC

gittata

v0x

v0y

x

y

xC

g

xC gittata

PROVA DI ESAME 25/9/2003Un proiettile d’artiglieria viene sparato con una velocità iniziale v0 = 300 m/s e con un angolo di lancio = 60° rispetto alla direzione orizzontale. Il proiettile esplode al tempo t* dopo il lancio, sulla verticale di un punto ad una distanza x(t*) = 7227 m dal punto di lancio.

Calcolare: (a) il valore della coordinata y(t*) del punto di esplosione rispetto al punto di lancio; (b) la direzione e il modulo della velocità del proiettile all’istante dell’esplosione.

Da un aereo che vola in direzione orizzontale con velocità v0 = 100 m/s ad una quota h = 500 m sopra il livello del suolo viene lasciata cadere una bomba quando l’aereo si trova sopra la verticale di un punto X. Se trascurassimo la resistenza dell’aria, a quale distanza D da X cadrebbe al suolo la bomba?

Una scimmietta è ferma a yS0 = h e xS0 = D. Essa si lascia cadere quando un cacciatore le spara con velocità del proiettile v0. Con che angolo deve mirare il cacciatore per colpire la scimmietta?

R(t)

s(t)

R )( )( tts R

)( )(

tst

2) Moto circolare

traiettoria

2

12

12m tt

θθ

R )( )( tts R

)( )(

tst

1

2) Moto circolare

t

θ

tv

velocità angolare media

1m s s rad

)( dt

dθt

dt

tds )(

R

1

R

v

velocità angolare

11 s s U.M. rad -t

definiamo: R v

R )( )( tts R

)( )(

tst 2) Moto circolare

)( dt

dθt

dt

tds )(

R

1

R

v

velocità angolare

)(

(t) )( dt

tdt

accelerazione angolare

tv

ta

)(

)( 2

2

dt

d

dt

tdt

accelerazione angolare

R

v

R

1 a

dt

d

si noti che:

22

2 s s

U.M. rad -t

2) Moto circolare R a

R a

R

v2

na

naata n ˆˆ

naR 2

taa

t

t

dttt0

'' )( 0 )( dt

dθt

)(

)( dt

tdt

t

t

dttt0

'' )( 0

infine valgono le equazioni della cinematica:

0v

cost v dt

da

2a) Moto circolare uniforme

R

v2

na

cost v

cost v

tv

ta

cost R

cost v

0 tt

Rs tt t v s 0

R

v 0 t

R R

v 0

t

cost v

2b) Moto circolare uniformemente accelerato

R

v

2

na

tv cost

0 R v

dt

da

R 2

ta

2

1 )( 2

00 ttt

)( cost 0 tt R R R v 0 tt

R2

1 R R )s( 2

00 ttt 200 R

2

1 R s tt

2c) Moto circolare vario

cos t tv

t

dtttt 0 ')'(R R R)( )(v

t

dttt0

0 ')'()(

ta

0

Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R = 10 m con velocitàiniziale v0 = 10 m/s ed accelerazione angolare costante 2rad/s 1.0 (negativa!).

Calcolare il modulo, le componenti e la direzione dell’accelerazione dopo un tempo t* = 3 s dall’inizio del moto.

Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R = 1 m con velocitàiniziale v0 = 2 m/s ed accelerazione angolare costante 2rad/s 2

Calcolare: a) il numero il numero di giri effettuati e b) il modulo dell’accelerazionedopo un tempo t* = 5 s dall’inizio del moto.

Si noti che per il moto circolare:

v

R

R v R v

R v

3) Moto piano vario

)(a a

)(a a

t

t

yy

xx

')'( v )(v0

0

t

t

t

xxx dttat

')'( v )(v0

0

t

t

yyy dttat

')'(v )(

')'(v )(

0

0

0

0

t

t

y

t

t

x

dttyty

dttxtx

xO

y

y(t)

x(t)

P(t)

esercizio: 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014

Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni:

Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il modulo del vettore velocità nello stesso istante.

Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si effettuino i calcoli per a = 1 ms-2 , b = 1 ms-1, z0 = 1 m ed = 1 s-1 .

Documents

2. Cinematica del punto.ppt [modalitÃ compatibilitÃ ]