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1. Principios de variable compleja
2. Análisis de Fourier
3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
28 29 30 31
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
1
2 3 4 5 6
• Lunes de 9:00 a 10:30
• Miércoles de 9:00 a 10:30
• Viernes de 9:00 a 10:00
•Variable compleja 33.3%
•Análisis de Fourier 33.3%
•Ecuaciones diferenciales 33.3%
•Exámenes 70%
•Tareas 25%
•Evaluación personal 5%
• Habrá 2 exámenes
• Contarán el 70% de la calificación
• Cada examen contará igual, un 35%
• Se deben presentar todos los exámenes
• Serán de las 15:00 a las 18:00
• En los exámenes podrán consultar libros, notas,
usar calculadora y computadora
• No podrán copiar al compañero. En este caso se
requiere de un esfuerzo individual
•Jueves 14 de noviembre de 15 a 18 en este mismo salón.
•Marte 3 de diciembre de 15 a 18 en este mismo salón.
Puede haber también
exámenes orales, de
cualquier tema y en
cualquier momento del
curso.
•Habrá 5 tareas, una por semana
•Deberán entregarlas los lunes, antes de
la clase
•Contaran 25% de la calificación del
curso
•Todas tiene que entregarse
Las tareas serán en grupos de
4 gentes obligatoriamente
Tarea 1: Lunes 4 de noviembre
Tarea 2: Lunes 11 de noviembre
Tarea 3: Lunes 18 de noviembre
Tarea 4: Lunes 25 de noviembre
Tarea 5: Lunes 2 de diciembre
•Presentar los 2 exámenes y sacar
mínimo 6 en ambos. 70%
•Presentar las 5 tareas. Si no
están las 5 tareas, tienen 0 en esa
parte. 25%
•Tener un promedio superior a 7
•Exámenes 70%
•Tareas 25%
•Evaluación personal 5%
• Durante la clase pueden entrar y salir
cuando quieran, nada más no lo anuncien y
háganlo discreta y silenciosamente
• Obligatoriamente deben presentar los 2
exámenes. Si les falta un examen, aunque
con el promedio de los otros exámenes
logren la calificación mínima aprobatoria de
7.0, no aprueban mi parte del curso
•Pregunten y comenten lo más
posible, no importa que me
interrumpan. Me encanta que
intervengan, la clase se enriquece.
Francisco Soto Eguibar
feguibar@inaoep.mx
•Muy rápido en los primeros temas,
que por lo regular son los fáciles, y
un poco menos rápido en los
últimos
•Lo difícil trivializa todo lo anterior
1. Aritmética
2. Álgebra elemental
3. Trigonometría
4. Geometría analítica en dos y tres dimensiones
5. Calculo diferencial e integral en una variable
http://www.licimep.org
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition. Boyce & DiPrima 0470383348
• A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
• An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
• Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
• Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
• Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
• Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
• Second order differential equations. Special Functions and Their Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
• Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University Press 978-0-511-77622-9
• An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
2 4
Resolver la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
3 5x y xy y x
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
dVkA
dt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 244
3
dr
dVkA
dt
k rdt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 2
32 2 2
44
3
4 44 3 4
3
3
dr k r
dt
dr drkr r kr
d
dVkA
d
t dtdr
kdt
t
drk
dt
drk
dtdrdt k dt
dt
Sea una función real definida en un intervalo
cerrado , . Sea , definida en todo , por
Entonces es continua en , , diferentiable en
, y
para toda en , .
x
a
f
a b F a b
F x f t dt
F a b
a b
dF xf x
dxx a b
Sean y funciones reales definidas en un
intervalo cerrado , , tales que para todo
, se cumple que
entoncesb
a
f F
a b
x a b
dF xf x
dx
f t dt F b F a
drk
dt
1
drk
dtdrdt k dt
dtr t kt c
1 dr
k r t kt cdt
1 0
1 0
0
0 y 0
y
r t c r t r
c r
r t r kt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
0r t r kt
5 1 0 1 5 2 0ts
1
1
2
3rtm m r 0 2 mm. k 0.1 mms.
0r t r kt
dr kdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
Sea el número de individuos en una población
al tiempo .
es un número entero, pero para valores grandes
de la podemos considerar como continua.
Describir la evolución temporal de la población,
ha
N t
t
N t
N t
ciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
Describir la evolución temporal de una población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
dN tN t
dt
dN tN t
dt
¡¡¡No podemos!!!
dN tdt N t dt
dt
dN tN t
dt
1
1
2
1 1
1 ln
t c t
dN t dN tdt dt
dt dtN t N t
dN t dt N t t cN t
N t e c e
2 tdN tN t N t c e
dt
2 0
0
0 y 0
t
N t c N t N
N t N e
5 1 0 1 5 2 0t s1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
2 5 0 0
N t N 0 1000 individuos. 0.05 s 1 .
0tN t N e
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0t a ñ o s
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
N t N 0 100 individuos. 0.1 años 1 .
0tN t N e
Describir la evolución temporal de la población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
0tN t N e
0dN t
N tdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
ElsgoltzEcuaciones diferenciales y calculo variacionalMIR 1969
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
2, , , 0
, ,
.
d y dyF y xdx dx
dyy x
dx
El primer miembro de la ecuación
es la derivada de una expresión diferencial
de primer orden
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , , 0
, ,..., , ,
En este caso escribimos
y
n n
n n
n n
n n
d d y d y dyy x
dx dx dx dx
d y d y dyy x c
dx dx dx
2
2
2
2
2
2
, , , 0
, , ,
, , ,
F y
d y dyF y xdx dx
d y dyF k k ky x
dx dx
d y dyk F y x
dx dx
es homogenea en y sus derivadas
es decir,
2
22
exp
exp
exp
y zdx
dyz zdx
dx
d y dzz zdx
dx dx
Haciendo
tenemos
y
F y es homogenea en y sus derivadas
2
2, , , 0
exp , , ´ 0
, , ´ 0
d y dyF y xdx dx
zdx F x z z
F x z z
F y es homogenea en y sus derivadas
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
2
2 0d xmdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2 0d xmdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2 0d xdt
0 0dx dv dvv mdt dt dt
1
0 0dv dv dtdt dt
v t c
0dvdt
1 1
1 2
dx dxc dt c dtdt dt
x t c t c
2
2
1
0
0
d xmdt
dx dvv m v t cdt dt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
0 2
2 0
0 1
0 y ( 0)
y
x t x x t c
c x
x t x c t
2
1 22 0 d xm x t c t cdt
1 0
1 0
0 0
0 y ( 0)
y
dx t c v t vdt
c v
x t x v t
2
12 0 y (0) 0 d xm x x t c tdt
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
0 02 0 d x x t x v tdt
2
2
0 0 0
0
1) 0
2) 0 0
3)
d xdt
x t x v x
dx v t vdt
0 0x t x v t
2 4 6 8 1 0t s2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
xtm m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
0 0 0 x t x v t v t v
2 4 6 8 1 0t s
5
1 0
1 5
2 0
vtms m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
0 0 0 0x t x v t v t v a t
2 4 6 8 1 0t s
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
atms2 m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
d xmdt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d xmdt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
lineal
1
2
1 2
En el caso de ecuaciones homogeneas:
Una combinación lineal de soluciones
es también una solución.
Si es una solución y
es una solución,
es también una solución.
x t
x t
x t x t
2
2 0 una ecuación lineald xmdt
1 2
1 2
Si es una solución y es una solución,
es también una solución.
x t x t
x t x t
1 2
1 2
2 221 2
2 2 2
2
2
2
2
0 0 0
0
u t x t x t
dx dxdudt dt dt
d x d xd udt dt dt
d udt
d udt
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
d xmdt
El segundo miembro de la
ecuación es igual a cero.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
con coeficientes constantes.
d xmdt
El coeficiente es , que
en este caso es constante
m
2
2 0d xmdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
0 0x t x v t
1 2 3 4 5t s
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
xtm m 1 K g. v 0 10 ms.
0 0x t x v t
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0t s
2 5
2 0
1 5
1 0
5
xtm m 1 K g. x 0 15 m.
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2 0d xdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
2
2
d x F amdt
dxvdt
dv adt
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2
d x adt
dx dvv adt dt
1
dv dva dt adtdt dt
v t at c
dv adt
1
1
21 2
12
dx at cdtdx dt at c dtdt
x t at c t c
2
2
1
d x adt
dx dvv a v t at cdt dt
2 0
2 0
21 0
0 y 0
y
12
x t c x t x
c x
x t at c t x
2
21 22
1 2
d x a x t at c t cdt
1 0
1 0
20 0
0 y 0
y
12
v t c v t v
c v
x t at v t x
2
21 0 12
1 2
d x dxa x t at c t x at cdtdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
2
20 02
1 2
d x a x t x v t atdt
2
0 2
0 0 0
0 00
1) ,
12) 0 0 (0)2
3) 0 0t
dx d xv at adt dt
x t x v a x
dx v t v a vdt
1 2 3 4 5ts
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m. v 0 7 ms.
20 0
12
x t x v t at
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at
0 1 2 3 4 5ts
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0vtm s F 10 N . m 1 Kg. x 0 5 m. v 0 7 ms.
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at a t a
2 4 6 8 1 0ts
5
1 0
1 5
2 0
a tm s 2 F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m . v 0 7 ms.
2
2
d x adt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
d x adt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d x adt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d x adt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
d x adt
El segundo miembro de
la ecuación NO es igual a
cero.
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
d x adt
El coeficiente es 1 que
es constante
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. v 0 7 ms.
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 15 m.
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
5 0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm m 1 K g. x 0 5 m. v 0 10
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2
d x adt
dxvdt
dv adt
Un cuerpo cae, bajo la única acción de
la gravedad, desde el infinito hasta la
superficie de la tierra. ¿Cuál es la
velocidad con que llega a la superficie
de la tierra?.
i) La altura se mide desde el centro de la tierra y el
radio de la misma es de 6400 km aproximadamente.
ii) Despreciar los efectos de la atmósfera.
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el centro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
2
2 2
2
La ecuación diferencial que soluciona este problema
se deriva de la segunda ley de Newton y de la ley de
la gravitación universal. En efecto, tenemos
reduciendo y poniendo obtenemos
d r Mmm Gdt r
k GM
d r
2 2
que es una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden no lineal.
kdt r
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2
d r Mm d r km Gdt r dt r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Como la variable independiente, , no aparece,
podemos reducir el orden de la ecuación en 1
mediante la sustitución
t
drvdt
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2.
d r Mm d r k drm G vdt r dt r dt
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
2
2
Haciendo eso tenemos
y la ecuación queda
que ya es de primer orden
y de variables separables.
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2 2.
d r Mm d r k dr dv km G v vdt r dt r dt dr r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
21
1
La integramos
y obtenemos
12de donde
12
drvdv kr
kv cr
v k cr
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k cdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
1
1
Debemos hacer ahora que se
cumplan las condiciones iniciales
0 2
de donde
0
y por tanto la velocidad es
12
v r k c
c
v kr
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k c vdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos 1
2kr
11.2 km/sv
11 2 2 24
Sustituyendo los valores
2 6.67259×10 Nm / kg 5.9742×10 kg26400000m
GMvR
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
2 2
d r kdt r
2
2
2
y la ecuación queda
que ya es de primer orden y de variables separables.
drvdt
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r
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