1 SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA

SUBMÓDULO IV

NOÇÕES DE MATEMÁTICA

Estrutura do Submódulo Estrutura do Submódulo

SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA

Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos

(Parte 1);

Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos

(Parte 2);

Unidade 3 – Introdução à Álgebra.

Unidade 1

Revisão Geral dos

Conceitos Básicos (Parte 1)

Apresentação

Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)

Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Operações com números inteiros;•Operações com números negativos;•Potenciação;•Lei distributiva;•Ordem das operações.

Avançar no uso da matemática é pré-requisito para a continuidade dos estudos profissionalizantes ou universitários.

1. Introdução: Operações com Números Inteiros

1.1 Adição (+) e Subtração (-)

Comutativo:•Nome matemático dado a certas operações;•Significa que se pode fazer a operação em qualquer ordem;•A adição é comutativa, pois que:

2 4 significa a mesma coisa que 4 2 •A subtração não é comutativa, pois:

21 6 não significa a mesma coisa que 6 21

1.1 Adição (+) e Subtração (-) Pode-se rearranjar a ordem de uma soma envolvendo adições e subtrações, mas é preciso manter o número com o sinal exato que o precede.

Por exemplo:a)3 5 3 4 7 3 3 3 3 4 5 7

b) 6 7 10 2 1 2 6 7 2 10 1 2

1.2 Multiplicação (x ou ) e Divisão (, / ou )

•A multiplicação é uma operação comutativa:

a) 3 4 5 5 4 3•A justaposição indica a multiplicação quando se utilizam letras para representar quantidades:

a) 3a significa 3 a e xy significa x y

b) ab3a 3aab •A divisão não é comutativa, pois 4 2 2 4.

1.3 Índices ou Potências•Notações abreviadas;•Quantas vezes um número é multiplicado por si mesmo:

b) •Um índice negativo indica que a potência deve estar no denominador, com o número um no numerador:

000.1101010103

4 XXXXX

10110 2

1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão

Zero:• Qualquer quantidade multiplicada por zero é zero;

• O zero multiplicado por qualquer quantidade é

zero; a)

0045621

456210

03003 aa

1.Introdução: Operações com Números Inteiros

Zero:• O zero dividido por qualquer quantidade é zero:

• A operação de dividir por zero “não é definida”. Assim:

020 0200 080

definidos são não 016 e 035

Um:• A multiplicação de qualquer número por um

significa que seu valor permanece o mesmo:a)

aaa 11

10984781

1098478

2. Operações com Números Negativos

Adição e subtração:•Quando se subtrai um número positivo (ou se soma um número negativo), se move o ponto para a esquerda e se obtém um número menor.

•A representação abaixo é da operação 3 5 2.

Adição e subtração:•Quando se soma um número positivo (ou se subtrai um número negativo), se move o ponto para a direita e se obtém um número maior.

•A representação abaixo é da operação: 3 7 4.

• Subtrair um número positivo e adicionar um número negativo resulta em um movimento à esquerda;

• Adicionar um número positivo e subtrair um número

negativo resulta em um movimento à direita:

62 que do resultado mesmo o dá 62 410 que do resultado mesmo o dá 410

Multiplicação e divisão:•Veja o que acontece com o sinal:

a) 4 5 20 e 4 5 20

b)4 5 20

•Então:

) ) ) ) ) ) ) ) 623 exemplopor

623 exemplopor 623 exemplopor

623 exemplopor

abbaabbaabbaabba

• Da mesma forma, tem-se:

• Multiplicar ou dividir duas quantidades com o mesmo sinal dá um resultado positivo;

• Multiplicar ou dividir duas quantidades com sinais diferentes dá um resultado negativo.

) ) 248 exemplopor

248 exemplopor

3. Potenciação

O sistema numérico:•Para a esquerda, aumenta em potências de 10;•Para a direita, diminui em potências de 10.

No número 123.456,78:•O número 1 diz quantos 100.000 existem,•O número 4 indica o número de centenas (100),•O número 7 indica o número de dezenas (10).

3. Potenciação

• Ao multiplicar dois números juntos, tal como:200 3.000

• Usa-se o sistema do lugar do valor para representar:(2 100) (3 1.000)

• Pode-se reescrever como: ) ) ) )

000.600000.3200000.1006000.3200

000.110032000.3200000.131002000.3200

3. Potenciação

3.2 Informações sobre as Calculadoras

A notação científica:•Quando o número for muito grande ou muito pequeno;•Consiste de escrever o número em duas partes:•A primeira parte é um número entre 1 e 10;•A segunda parte é a potência de 10.

Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.

3. Potenciação

Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.

No caso de 1 987654321, tem-se que:1 987654321 1,0125-09 0,0000000010125

4. Lei Distributiva

Suponha que você tenha quatro crianças e que cada criança requer um penal ($ 2,50), uma régua ($ 1,25), um livro de exercícios ($ 2,25) e um conjunto de lápis coloridos ($ 12) para a escola. Uma forma de calcular o custo é multiplicar cada item por 4 e somar o resultado:

) ) ) ) 72$48$9$5$10$00,12$425,2$425,1$450,2$4

4. Lei Distributiva

Mas, não seria mais fácil calcular o custo de uma criança e então multiplicá-lo por 4?

sendo que:

A Lei Distributiva na matemática:•O cálculo envolvendo parênteses,•Calcula-se primeiro o que está dentro dos parênteses.

) 72$400,18$412$25,2$25,1$50,2$

) ) ) ) ) 412$25,2$25,1$50,2$00,12$425,2$425,1$450,2$4

5. Ordem das Operações

Considere a seguinte situação. Você trabalhou das 14h00 às 21h00 em um projeto. Como lhe foi exigido que a tarefa fosse concluída no dia seguinte, você pode pedir horas-extras. As taxas das 9h00 às 17h00 são de $ 25,00 por hora e das 17h00 até a meia noite aumentam para $ 37,50. Matematicamente, isso pode ser expresso como. Quanto você ganhou?

Cálculo 1 Cálculo 2

) )00,225$ 50,962.2$

50,37$4$25,003 50,37$4755037400253 50,37$400,25$3

5. Ordem das Operações

A resposta certa é a do cálculo 2 ($ 225,00).

Convenções estabelecidas: •Parênteses: avaliar a expressão que está dentro dos parênteses primeiro. Ex.:•Potências: avaliar as expressões elevadas à potência.

Ex.:•Divisão e multiplicação: dividir ou multiplicar da esquerda para a direita. Ex.:•Adição e subtração: somar ou subtrair da esquerda para a direita. Ex.:

) 6453 2

10330356

11474294254

6. Conclusões

O exercício de qualquer atividade profissional exige conhecimentos básicos de matemática.

Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com números inteiros, negativos, potenciação;•Algumas regras sobre a condução de operações, a partir da lei distributiva e da ordem das operações.

Tais conhecimentos evitam o uso indevido da matemática e aumentam as chances de que o indivíduo seja absorvido pelo mercado.

Unidade 1: Exercícios de Fixação

1) Responda às seguintes questões com verdadeiro (V) e falso (F):a. ( ) A soma é uma operação comutativa.b. ( ) A subtração é uma operação comutativa.c. ( ) A ordem dos fatores altera o produto.d. ( ) A divisão é uma operação comutativa.e. ( ) A operação comutativa está relacionada com a ordens dos elementos para a realização dos cálculos.

2) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a. 55

R.: b. 5-5

c. R.: d. R.: e. R.: f. Represente a operação 10 500.000 na forma geral e na forma reduzida.R.:

0000.000.1

000.000.20

0000.000.2

g. Você tem quatro trabalhadores em sua empresa e terá de comprar um par de botas ($ 100,00), um uniforme ($ 120,00) e um capacete ($ 50,00) para cada um. Utilizando-se a lei distributiva, demonstrar quanto você irá desembolsar.

R.: h) O trabalhador tem seu expediente na fábrica das 14h00 às 22h00,

pelo qual recebe $ 10,00 por hora. Quando faz hora extra, o indivíduo recebe 50% adicionais por hora trabalhada. Digamos que você tenha trabalhado um turno completo e feito mais duas horas extras, quanto você recebeu no final deste dia?

Unidade 2

Revisão Geral dos

Conceitos Básicos (Parte 2)

Apresentação

Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Cálculos envolvendo decimais;•Cálculos envolvendo frações;•Cálculos de porcentagens;•Intercambiando frações, decimais e porcentagens.

1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais

Os zeros à direita de um ponto decimal não têm valor:

No entanto, tais números têm determinada precisão:•10,4 diz que esse número tem a precisão decimal,•o número 10,400000 tem uma precisão em milionésimos.

400000,1040,104,10

1.1 ArredondamentosArredondamento de 1,25687 para duas casas decimais:1.Olhar a casa decimal que está após o número para o qual se deseja o arredondamento. Nesse caso, é a terceira casa;2.Se o número é 6, 7, 8 ou 9, arredondar para cima. No exemplo, o número arredondado resulta em: 1,26;3.Se o número é 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondar para baixo.

1.1 ArredondamentosArredondamento de 2,47568 para três casas decimais:1.Se o número na casa decimal após a casa para a qual se deseja arredondar é o número 5, olhar para os números que o seguem. No exemplo, os números 568.2.Se o número 568 estiver mais próximo de 600, arredondamos o 5 para cima, caso contrário, para baixo. Dessa forma, o número será arredondado para 2,476.3.Se somente um 5 seguir a casa na qual se está interessado, arredondar ou para cima ou para baixo, pois ele está exatamente no meio termo entre 0 e 10.

1.2 Adição e Subtração de DecimaisPara somar ou subtrair números decimais, deve-se primeiro alinhar o ponto decimal. Por exemplo:

775,52

250,2 77529 025,0

6,475 500,25250,36 000,25

47562536 e 252025052525

1.3 Multiplicação de DecimaisDuas decimais são multiplicadas juntas, da mesma forma como o são dois números inteiros:•Primeiramente, proceder a multiplicação, ignorando as casas decimais;•Então, contar o número de dígitos após o ponto decimal em ambos os números e somá-los em conjunto;•Finalmente, retorne o ponto decimal à posição apropriada no produto através da contagem para trás a partir do dígito do lado direito.

1.3 Multiplicação de Decimais

Por exemplo: calcular1.Multiplicar 26 por 5: 26 5 130;2.Contar o número de dígitos após o ponto decimal 1 + 3 4;3.Retornar o ponto decimal para o produto, quatro casas antes do dígito do lado direito, somando zeros, se for necessário:

005,06,2

0130,0

1.4 Divisão de DecimaisPara dividir números com decimais por números inteiros:•Colocar o ponto decimal na resposta, exatamente onde ele ocorre no número decimal. Por exemplo: •Mover o ponto decimal no divisor (denominador) à direita, o suficiente para que ele se torne um número inteiro;•Mover o ponto decimal no dividendo (numerador) o mesmo número de casas à direita (somando zeros se necessário);•Realizar a divisão. Alguns exemplos:

034,07238,0

5005250005,025 8,034,23,024,0

2. Cálculos Envolvendo Frações

2.1 Alterar Números Mistos para Frações Impróprias•A fração pode ser expressa como , pois existem 15

quintos em 3 inteiros mais 4 quintos.•Isso pode ser feito pela multiplicação do número inteiro pelo denominador e somando o numerador

)19453

2.2 Alterar Frações Impróprias para Números Mistos•As frações impróprias são frações nas quais o numerador é

maior do que o denominador, como por exemplo:•O processo para chegar no número misto apropriado é o seguinte:

:então52 restam 2512

2.3 Multiplicação de Frações•Representar as frações em sua forma•Multiplicar os numeradores juntos e, então, multiplicar os denominadores juntos. Por exemplo:

2.4 Divisão de Frações•É o mesmo que multiplicar por sua recíproca.•A recíproca de uma fração é a fração . Assim, o recíproco de é , o recíproco de é e o recíproco de 5 é .•Logo, para dividir por é o mesmo que multiplicar por

Por exemplo:

2.5 Adição e Subtração de Frações•Converter as frações, para que tenham o mesmo denominador.•Duas frações são equivalentes se elas representam a mesma parte de um inteiro.• é equivalente a , pois elas representam a mesma quantia.•Para encontrar as frações equivalentes, multiplicar o topo e a base de uma fração pela mesma quantia. Por exemplo:

Encontrar as frações equivalentes para cada parte da soma, e, então, somar ou subtrair os numeradores, como por exemplo:

3. Cálculos de Porcentagens

• Porcentagens são frações com o denominador de 100;

• Às vezes não há 100 elementos para expressar uma fração ou uma porcentagem, encontrar uma

• Encontrar uma fração equivalente de 100, multiplicando por 100, que é o mesmo que multiplicar por 1, como nos exemplos:

20010052

52ou %40

205202

%30%10300100

103ou %30

1010103

100100201

201ou %5

3. Cálculos de Porcentagens

Para encontrar uma porcentagem, primeiro encontrar a fração. Se existem 15 homens, 13 mulheres e 22 crianças em um grupo, a fração de homens no grupo é de , pois existem 50 pessoas (15+13+22) no grupo. Você pode multiplicar por 100% e verificar que os homens correspondem a 30% do grupo

%30%50

1500%1005015

4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens

4.1 Transformando Frações em Decimais•Para expressar uma fração como uma decimal, dividir o número do topo (numerador) pelo número da base (denominador).•Assegurar-se de colocar um ponto decimal depois do numerador e somar alguns zeros, como por exemplo:

75,0400,3 como expressadoser pode 43

4.2 Transformando Frações em Porcentagens•Deve-se expressar a fração como uma decimal e, então, multiplicar o resultado por 100%.•Isso pode ser feito mudando o ponto decimal para duas casas à direita, como por exemplo: •Quando o denominador da fração a ser convertida segue uniformemente a 100, a porcentagem pode ser encontrada usando frações equivalentes:

%5,37%10037508000383

%60%100600,010060

4.3 Transformando Porcentagens em Decimais•Para converter uma porcentagem em uma decimal, divide-se por 100.•Isso pode ser feito mudando-se o ponto decimal duas casas à esquerda.•Se não existe um ponto decimal, colocar um ponto decimal à direita do número inteiro, como por exemplo:

07,0%0,7%7 e 005,0%5,0 e 458,0%8,45

4.4 Ordenando Frações, Decimais e Porcentagens•Para comparar números é usual fazer a conversão em decimais, •Escrever os números abaixo um do outro, alinhando-os pelos pontos decimais.•Preencher todos os espaços com zeros.•Comparar primeiro o alinhamento dos números inteiros,•então comparar o lado da fração.

Por exemplo, para expressar os números na ordem dos menores para os maiores: 3 ;

10046 ;

53 47%; 0,54; 5,3%; 0,5;

Passos:1.Converter todos os números em decimais:

2.Alinhar os números:

3.Preencher todos os espaços com zeros:

3 0,46; 0,6; 0,47; 0,54; 0,053; 0,5;

30,460,60,470,540,0530,5

00000000

3,0,460,60,470,540,0530,5

4. Comparar os números inteiros. Se existe um alinhamento, comparar o lado das frações. Como seis dos números começam com zero, podemos comparar o lado direito:

5. Expressar os números do menor para o maior:

60054050047046053

3;53;540;50%;47;

10046%;35 , , ,

5. Conclusões

Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com decimais, frações, porcentagens;•Conhecimentos de como que tais elementos podem ser combinados nos cálculos.

Tais conhecimentos são básicos para que o indivíduo aumente suas chances de ser absorvido pelo mercado.

1) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a.Calcular as somas incluindo decimais:

R.: b. Calcular a multiplicação incluindo decimais:

R.: c. Calcular a divisão incluindo decimais:

475564504 e 2510025257555 ,,,,,

0125,08,15

5555,0

d. Expressar a fração imprópria para um número misto.

R.: e. Expressar o número misto em uma fração imprópria.

R.: f. Proceder a multiplicação de frações:

R.: g. Proceder a divisão de frações:

150200

5504002

h. Formule a porcentagem:

R.: i.Formule a porcentagem:

R.: j: Transformar a fração em porcentagem.

R.: k: Transformar a porcentagem em decimal.

Unidade 3

Introdução à Álgebra

Apresentação

Unidade 3: Introdução à Álgebra

Este tópico dá continuidade ao resgate dos conceitos matemáticos básicos, visando aumentar a qualificação e aumentar as chances do indivíduo no mercado de trabalho. Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno no uso da álgebra como forma de representar os cálculos matemáticos, reduzindo sua complexidade e ampliando seu alcance.

1. Introdução: Regra de Três

Procedimento para resolver problemas que envolvam grandezas relacionadas, onde se determina por proporções (frações) o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com a proporção das demais grandezas.

Grandeza abrange tudo aquilo que pode ser medido ou contado.

Regra de três simples:Um avião voando a 800 km/h demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Qual a distância será percorrida por esse avião, nessas condições, em 4 horas?

Para resolver esse problema, basta arranjamos as proporções:x4600.12

2 Grandeza1 GrandezaDistânciaTempo

200.32400.6

:equação a se-resolve e

400.620400.61

: oisolar agora, Podemos,

0400.62

04600.1

2:frações das çãomultiplica aprocessar se pode Agora,

0600.14

2:local de da transferifoi que fração da

ordem a alternando zero, o isolamos arranjo, o Após

600.142

Uma forma mais simples de se proceder, é:

R.: em quatro horas de voo a 800 km/h, serão percorridos 3.200 km.

Nesse caso, as duas grandezas são diretamente proporcionais, pois ao aumento da magnitude da grandeza tempo reflete o aumento da magnitude da grandeza distância.

200.32400.6

400.62:equação a se-resolve e

4600.12:função a se-formula arranjo, o Após

600.142

Regra de três composta:Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quanto tempo os 10 trabalhadores levarão para descarregar 60 carrocerias?

R.: serão necessárias 3 horas para que 10 trabalhadores descarreguem 60 carrocerias.

10605101

(unidades) (unidades) (hora)

resTrabalhadosCarroceriaTempo

3100300

300100:equação a se-resolve e

56011010:função a se-Formula 3)

ores trabalhadaos alproporcion teInversamenscarroceria às alproporcion eDiretament

:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)105

:(frações) proporções das Arranjo 1)

Relação entre as grandezas dos elementos:•O denominador da fração contendo o x foi multiplicado pelo numerador da fração de grandeza diretamente proporcional e multiplicado pelo denominador da fração de grandeza inversamente proporcional •A mesma lógica seguirá os demais elementos da relação apresentada

Para obter o número de funcionários para descarregar 120 carrocerias em 6 horas, tem-se:

)1010x

x12065101

(unidades) (unidades) (hora) resTrabalhadosCarroceriaTempo

osfuncionári 1060

60060060

:equação a se-resolve e51201610

:função a se-Formula 3)ores trabalhadaos alproporcion teInversamen

scarroceria às alproporcion eDiretamentTempo

:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)

512010

:(frações) proporções das Arranjo 1)

2. Representação Algébrica

• A álgebra é utilizada para expressar, por meio de letras, a relação que existe entre elementos, como as grandezas;

Por exemplo, o perímetro de um retângulo é de duas vezes o comprimento mais duas vezes a altura. Isso pode ser expresso pela função , onde:

• P representa o perímetro,• l representa o comprimento,• h representa a altura.• Se o comprimento do retângulo é 4 e a altura é 7, então:

• No caso da regra de três, representa-se por x.

hlP 22

2. Representação Algébrica

Outro exemplo:22148

7242:se- temse,-dosubstituin

12110021

254215473

:se- temse,-dosubstituin43

quando encontrar , 7 e 5 seja

3. Resolvendo Equações Algébricas

Na resolução de uma equação algébrica para z, a questão é saber qual é o valor de z, considerando a informação restante que está do outro lado da equação.

A relação funcional entre os elementos da equação continuará a mesma:•Caso se multiplique, ou se divida todos os valores de ambos os lados por um mesmo valor,•Ou quando se soma ou se subtrai o mesmo valor de ambos os lados da equação.

3. Resolvendo Equações Algébricas

Outro exemplo:

531533

153419443

:4 número pelo equação da lado cada de Subtração1943

4. Traçando Gráficos

Considerando a tabela contendo a altura média de crianças em diferentes idades:

•Duas linhas retas perpendiculares (uma linha horizontal e uma vertical);•Por convenção, a variável x é colocada ao longo do eixo horizontal e a variável y ao longo do eixo vertical;•No eixo horizontal tem-se a variável independente e no eixo vertical tem-se a variável dependente;

x : Idade (anos) 2 3 4 5 6 7 8 9y : Altura (cm) 85 95 100 110 115 122 127 132

• Logo a relação funcional padrão é a de que o valor de y é função (depende) do valor de x:

• Escolha apropriada da escala nos dois eixos, sendo que ela pode ser diferente para cada eixo;

• Costuma conter o maior e o menor valor da série de dados.

• A escala para a variável x, cuja grandeza é a idade, contém os valores 2 e 9;

• A escala para a variável y, cuja grandeza é a altura, contém os valores 85 e 132.

y : Altura (cm) 160

0 2 3 4 5 6 7 8 9x : Idade (anos)

Traçando os pontos dos pares ordenados (x, y), forma-se um gráfico de dispersão, como o seguinte:

020406080

100120140160

0 2 4 6 8 10

Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)

A altura das crianças cresce de acordo com a idade, de acordo com a seguinte relação funcional:

•As grandezas são diretamente proporcionais,•A relação funcional é positiva,•Quando a idade aumenta ao longo do eixo horizontal, a altura também aumenta ao longo do eixo vertical.

) )crianças das idadecrianças das altura fxfy

020406080

100120140160

0 2 4 6 8 10

Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)

5. Algumas Notações Matemáticas Comuns

Algumas abreviações e símbolos usados na matemática: Sinal Significado Sinal Significado

Adição Subtração

Multiplicação Divisão

Igual 2 Quadrado > Maior que < Menor que

Maior ou igual a Menor ou igual a

Aproximadamente igual a

Diferente

Raiz quadrada Consequentemente

6. Conclusões

Os conhecimentos introdutórios sobre a álgebra, explorados nesta unidade, são úteis para que o indivíduo possa continuar seus estudos.

A matemática é utilizada nos mais diversos campos de estudos, como:

• Contabilidade,• Economia,• Finanças,• Administração,

• Engenharia,• Estatística,• Ciências em geral.

1) Considere o exemplo do avião, que foi apresentado no texto. O avião voa a 800 km/h e demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Se o avião mudar a velocidade para 1.000 km/h, quanto tempo ele levará para percorrer a distância de 1.600 km? A proporção entre a velocidade e a distância é direta ou inversamente proporcional? Por quê?

2) Considere o exemplo do descarregamento de carga, que foi apresentado no texto. Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quantos funcionários são necessários para descarregar as 10 carrocerias em meia hora?

3) Resolva as seguintes equações algébricas: a.

R.: b. R.:

.44 quando encontrar , 17 e 15 eja 3xyzzyxS

.85 quando encontrar , 5 e 5 eja 31 xyzzyxS

4) Trace o gráfico correspondente ao aumento da temperatura média anual de uma cidade em relação ao tempo e responda que tipo de relação proporcional existe entre esses dois elementos.

Bibliografia de Referência

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 3 vols. São Paulo: Ática, 2003.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São Paulo: Ática.

1 SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA

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