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66
Analyse par ondelettes
1. Intérêt d’une Représentation Temps-fréquence
2. La transformée en ondelettes continue
3. Comparaisons avec la transformée de Fourier à court terme (bancs de filtres)
4. Ondelettes discrètes ou analyse multirésolution
5. Quelques applications
67
Représentation temporelle
2
1
Signal synthétisé sur 512 points, fe=2 kHz
100 200 300 400 500
1
0
-1
-2
Temps [ nombre d’échantillons]
Amplitude
68
Représentation fréquentielle(Fourier)
1 0
2 0
3 0
Moduledu
3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0-2 0
-1 0
0
1 0
Fréquence [Hz]
du spectre[dB]
69
Intérêt d’une représentation en temps et en fréquence
«La représentation d’un signal comme fonction du temps exhibe mal le spectre des fréquences en jeu, alors qu’au contraire son analyse de Fourier masque l’instant d’émission et la durée de masque l’instant d’émission et la durée de chacun des éléments du signal.»
R. Balian dans Les ondelettes algorithmes et applicationsY. Meyer. Armand Colin 1992
Notes ���� fréquences
Blanche, noire… ���� durée
70
Représentation temps-fréquenceou temps-échelle
50
60
Echelleou
fréquence
100 200 300 400 5000
10
20
30
40
Temps [ nombre d’échantillons]
370 Hz
200 Hz
80 Hz
71
Représentation en 3D
Temps [ nombre d’échantillons]
Fréquence [Hz]
72
2
3
4
Représentation temporelle
Signal synthétisé sur 256 points, fe=5 kHz
50 100 150 200 250
-3
-2
-1
0
1
2
Temps [ nombre d’échantillons]
Amplitude
Contenu : modulations de fréquence (2), impulsions (1 BF, 2 HF), fréquence pure (1)
73
Représentation fréquentielle(Fourier)
DensitéSpectrale
5
1 0
Fréquence [Hz]
Spectrale de Puissance
[dB]
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0-1 5
-1 0
- 5
0
74
Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes
continues
Echelleou
fréquence
200 Hz
160 Hz
20
25
50
60
Temps [ nombre d’échantillons]
fréquence
800 Hz
400 Hz
270 Hz
50 100 150 200 250
5
10
15
0
10
20
30
40
75
Transformée de Fourier à court terme (short time Fourier transform)
M fenêtres
dtetwtxfSTFT ftjx
πττ 2)(*)(),( −+∞
∞−∫ −=
M transformées de Fourier
76
Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier
à fenêtre glissanted
f= 3
9.06
25 H
z0
500 100
120
fen= 128 ech., dt= 2 ech.
df=
39.
0625
Hz
80 100 120 140 160 180
1000
1500
2000
2500 0
20
40
60
80
77
Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier
à fenêtre glissanted
f= 7
8.12
5 H
z0
500 100
120
fen= 64 ech., dt= 8 ech.
df=
78.
125
Hz
50 100 150 200
1000
1500
2000
2500 0
20
40
60
80
78Types d’ondelettes
( )ψ αt e ei c t t= − 2 2 2
Ondelette de Morlet Chapeau mexicain
( ) ( )ψ t a e tt= −− 2 2 21
79Ondelettes analysantes
Ondelette mère
Dilatation
)(tψ
Dilatation Contraction
)(1
)(, a
t
ata
τψψ τ−=
80
Principe de la transformée en ondelettes
x(t)
dta
ttx
aaCWTx )(*)(
1),(
τψτ −= ∫∞+
∞−
Temps
x(t)
ψψψψτ,τ,τ,τ,a(t)
ττττ1111 ττττ2222
81
Comparaison STFT-CWT
dtetwtxfSTFT ftjx
πττ 2)(*)(),( −+∞
∞−∫ −=Analyse
dtt
txaCWT )(*)(1
),(τψτ −= ∫
∞+dt
a
ttx
aaCWTx )(*)(
1),(
τψτ −= ∫ ∞−Reconstruction
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−= dfdtgfSTFT
Etx fx
w
ττ τ )(),(1
)( ,ftj
f etwtg πτ τ 2
, )()( −=
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−=
2, )(),(1
)(a
dadtaCWT
Ktx ax
τψτ τψ
82
Comparaison STFT-CWT
e j f−2 π τ
x( )τ ( )X fτ ,
Transformée de Fourier à court terme
⊗( )w e j f* − τ π τ2x( )τ ( )X fτ ,
x( )τ 1
a aψ
τ
( )CWT ax τ ,
Transformée en ondelettes continue
83
Comparaison CWT, STFT : Bancs de filtres
Tempsfréquence
STFT
CWTTempséchelle
f/f e0.1
0 0.50.40.30.20.1 f/fe
0.50.40.30.20
84
Pavage des plans temps fréquence, temps échelle
1
Fréquence
-1
1 256
Temps
Temps
Echelle
85
Implantation de la transformée en ondelettes continue
x( )τFFT
⊗
( )CWT ax τ ,
1
a aψ
τ
FFT
FFT -1
86
Discrétisation du plan temps-échelle
j=3
j=2
ψ k j,a j= 2 τ = k j2
x1 x2 x16x8
j=0
j=1k
( ) ( )ψ ψk j
jjt t k, = −
−−2 22
87
Analyse multirésolution : Algorithme
2H(z) 2H(z)2H(z)
{xn}={ak,0} {ak,1} {ak,J-1} {ak,J}
2G(z)
2G(z)
2G(z){dk,J}
{dk,2}
{dk,1}
88
Gabarit des filtres
|G||H|
f f
1
f
1
1/2
1/2 1/2
|H||G|
f f0
fe /2j+1 fe /2j+1fe /2j fe /2j
Filtres miroirsen quadrature
89
Analyse multirésolution : exemple 1
3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz
fe=2 kHz
[fe/32, fe/16][0, fe/32]
[64, 128 Hz]
[fe/4, fe/2]
[fe/8, fe/4]
[fe/16, fe/8]
[0, fe/4]
[0, fe/8]
[0, fe/16]
[256, 512 Hz]
[128, 256 Hz]
90
Analyse multirésolution : exemple 2
fe=5 kHz
[fe/32, fe/16][0, fe/32]
[fe/4, fe/2]
[fe/8, fe/4]
[fe/16, fe/8]
[0, fe/4]
[0, fe/8]
[0, fe/16]
91
Applications des ondelettes
� Extraction de caractéristiques
� Identification de phénomènesIdentification de phénomènes
� Débruitage
� Compression
92
Identification de phénomènesEtude de F. Magand, O. Giraud, Actes Conf. « Méthodes de
surveillance et techniques de diagnostic acoustiques et vibratoires » : Suivi de l’état tribologique d’un moteur diesel
à partir de mesures accélérométriques
Objectif : Suivi de l’évolution du frottement entre le piston et la chemise au cours de la phase de rodage
93Identification de phénomènes
Résultat : obtention d’un critère énergétique de rodage permettant d’estimer l’importance du frottement
94Extraction de caractères :
Etude de Z. Hamou Mamar du LIMOS (Laboratoire d’Informatique de Modélisation et Optimisation des Systèmes, Clermont-Ferrand) :
Diagnostic de l’usure des galets du système de guidage d’un tramway sur pneumatique
Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006
95
Extraction de caractères :
Scalogramme + réduction (SVD) + classification (k-PPV, RBF, SVM)
Z. Hamou Mamar, LIMOS,Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006
96
Références
• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.• Ondes et ondelettes la saga d’un outil mathématique
(B. Burke Hubbard), Pour La Science, 1995.• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat), • A wavelet tour of signal processing(S. Mallat),
Academic Press, 1998.• Les ondelettes et leurs applications(M. Misiti, Y. Misiti,
G. Oppenheim, J.-M. Poggi), Hermès, 2003.
97
20
25
50
60
Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes
continues
Echelleou
fréquence
200 Hz
160 Hz
50 100 150 200 250
5
10
15
0
10
20
30
40
Temps [ nombre d’échantillons]
fréquence
800 Hz
400 Hz
270 Hz
98
Analyse multirésolution
( ) ( )d x t t dtjk =
−∞
+∞
∫ ψ k, j Détail
( ) ( )ψ ψj
= −−
−( ) ( )ψ ψk j
jjt t k, = −
−−2 22 Ondelette
( ) ( )a x t t dtjk =
−∞
+∞
∫ φ k, jApproximation
( ) ( )φ φk j
jjt t k, = −
−−2 22 Fonction
d’échelle
99
Analyse multirésolution
( ) ( ) ( )x t a t d tkJ
kk J k
J
kj
J
k j= +=−∞
+∞
=−∞
+∞
=∑ ∑∑φ ψ, ,
1
Reconstruction
k kj=−∞ =−∞=1
a h akj
k kj= − −−
2 21* Approximation
d g akj
k kj= − −−
2 21* Détail
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