66

Analyse par ondelettes

1. Intérêt d’une Représentation Temps-fréquence

2. La transformée en ondelettes continue

3. Comparaisons avec la transformée de Fourier à court terme (bancs de filtres)

4. Ondelettes discrètes ou analyse multirésolution

5. Quelques applications

67

Représentation temporelle

2

1

Signal synthétisé sur 512 points, fe=2 kHz

100 200 300 400 500

1

0

-1

-2

Temps [ nombre d’échantillons]

Amplitude

68

Représentation fréquentielle(Fourier)

1 0

2 0

3 0

Moduledu

3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0-2 0

-1 0

0

1 0

Fréquence [Hz]

du spectre[dB]

69

Intérêt d’une représentation en temps et en fréquence

«La représentation d’un signal comme fonction du temps exhibe mal le spectre des fréquences en jeu, alors qu’au contraire son analyse de Fourier masque l’instant d’émission et la durée de masque l’instant d’émission et la durée de chacun des éléments du signal.»

R. Balian dans Les ondelettes algorithmes et applicationsY. Meyer. Armand Colin 1992

Notes ���� fréquences

Blanche, noire… ���� durée

70

Représentation temps-fréquenceou temps-échelle

50

60

Echelleou

fréquence

100 200 300 400 5000

10

20

30

40

Temps [ nombre d’échantillons]

370 Hz

200 Hz

80 Hz

71

Représentation en 3D

Temps [ nombre d’échantillons]

Fréquence [Hz]

72

2

3

4

Représentation temporelle

Signal synthétisé sur 256 points, fe=5 kHz

50 100 150 200 250

-3

-2

-1

0

1

2

Temps [ nombre d’échantillons]

Amplitude

Contenu : modulations de fréquence (2), impulsions (1 BF, 2 HF), fréquence pure (1)

73

Représentation fréquentielle(Fourier)

DensitéSpectrale

5

1 0

Fréquence [Hz]

Spectrale de Puissance

[dB]

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0-1 5

-1 0

- 5

0

74

Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes

continues

Echelleou

fréquence

200 Hz

160 Hz

20

25

50

60

Temps [ nombre d’échantillons]

fréquence

800 Hz

400 Hz

270 Hz

50 100 150 200 250

5

10

15

0

10

20

30

40

75

Transformée de Fourier à court terme (short time Fourier transform)

M fenêtres

dtetwtxfSTFT ftjx

πττ 2)(*)(),( −+∞

∞−∫ −=

M transformées de Fourier

76

Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier

à fenêtre glissanted

f= 3

9.06

25 H

z0

500 100

120

fen= 128 ech., dt= 2 ech.

df=

39.

0625

Hz

80 100 120 140 160 180

1000

1500

2000

2500 0

20

40

60

80

77

Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier

à fenêtre glissanted

f= 7

8.12

5 H

z0

500 100

120

fen= 64 ech., dt= 8 ech.

df=

78.

125

Hz

50 100 150 200

1000

1500

2000

2500 0

20

40

60

80

78Types d’ondelettes

( )ψ αt e ei c t t= − 2 2 2

Ondelette de Morlet Chapeau mexicain

( ) ( )ψ t a e tt= −− 2 2 21

79Ondelettes analysantes

Ondelette mère

Dilatation

)(tψ

Dilatation Contraction

)(1

)(, a

t

ata

τψψ τ−=

80

Principe de la transformée en ondelettes

x(t)

dta

ttx

aaCWTx )(*)(

1),(

τψτ −= ∫∞+

∞−

Temps

x(t)

ψψψψτ,τ,τ,τ,a(t)

ττττ1111 ττττ2222

81

Comparaison STFT-CWT

dtetwtxfSTFT ftjx

πττ 2)(*)(),( −+∞

∞−∫ −=Analyse

dtt

txaCWT )(*)(1

),(τψτ −= ∫

∞+dt

a

ttx

aaCWTx )(*)(

1),(

τψτ −= ∫ ∞−Reconstruction

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−= dfdtgfSTFT

Etx fx

w

ττ τ )(),(1

)( ,ftj

f etwtg πτ τ 2

, )()( −=

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−=

2, )(),(1

)(a

dadtaCWT

Ktx ax

τψτ τψ

82

Comparaison STFT-CWT

e j f−2 π τ

x( )τ ( )X fτ ,

Transformée de Fourier à court terme

⊗( )w e j f* − τ π τ2x( )τ ( )X fτ ,

x( )τ 1

a aψ

τ

( )CWT ax τ ,

Transformée en ondelettes continue

83

Comparaison CWT, STFT : Bancs de filtres

Tempsfréquence

STFT

CWTTempséchelle

f/f e0.1

0 0.50.40.30.20.1 f/fe

0.50.40.30.20

84

Pavage des plans temps fréquence, temps échelle

1

Fréquence

-1

1 256

Temps

Temps

Echelle

85

Implantation de la transformée en ondelettes continue

x( )τFFT

⊗

( )CWT ax τ ,

1

a aψ

τ

FFT

FFT -1

86

Discrétisation du plan temps-échelle

j=3

j=2

ψ k j,a j= 2 τ = k j2

x1 x2 x16x8

j=0

j=1k

( ) ( )ψ ψk j

jjt t k, = −

−−2 22

87

Analyse multirésolution : Algorithme

2H(z) 2H(z)2H(z)

{xn}={ak,0} {ak,1} {ak,J-1} {ak,J}

2G(z)

2G(z)

2G(z){dk,J}

{dk,2}

{dk,1}

88

Gabarit des filtres

|G||H|

f f

1

f

1

1/2

1/2 1/2

|H||G|

f f0

fe /2j+1 fe /2j+1fe /2j fe /2j

Filtres miroirsen quadrature

89

Analyse multirésolution : exemple 1

3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz

fe=2 kHz

[fe/32, fe/16][0, fe/32]

[64, 128 Hz]

[fe/4, fe/2]

[fe/8, fe/4]

[fe/16, fe/8]

[0, fe/4]

[0, fe/8]

[0, fe/16]

[256, 512 Hz]

[128, 256 Hz]

90

Analyse multirésolution : exemple 2

fe=5 kHz

[fe/32, fe/16][0, fe/32]

[fe/4, fe/2]

[fe/8, fe/4]

[fe/16, fe/8]

[0, fe/4]

[0, fe/8]

[0, fe/16]

91

Applications des ondelettes

� Extraction de caractéristiques

� Identification de phénomènesIdentification de phénomènes

� Débruitage

� Compression

92

Identification de phénomènesEtude de F. Magand, O. Giraud, Actes Conf. « Méthodes de

surveillance et techniques de diagnostic acoustiques et vibratoires » : Suivi de l’état tribologique d’un moteur diesel

à partir de mesures accélérométriques

Objectif : Suivi de l’évolution du frottement entre le piston et la chemise au cours de la phase de rodage

93Identification de phénomènes

Résultat : obtention d’un critère énergétique de rodage permettant d’estimer l’importance du frottement

94Extraction de caractères :

Etude de Z. Hamou Mamar du LIMOS (Laboratoire d’Informatique de Modélisation et Optimisation des Systèmes, Clermont-Ferrand) :

Diagnostic de l’usure des galets du système de guidage d’un tramway sur pneumatique

Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006

95

Extraction de caractères :

Scalogramme + réduction (SVD) + classification (k-PPV, RBF, SVM)

Z. Hamou Mamar, LIMOS,Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006

96

Références

• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.• Ondes et ondelettes la saga d’un outil mathématique

(B. Burke Hubbard), Pour La Science, 1995.• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat), • A wavelet tour of signal processing(S. Mallat),

Academic Press, 1998.• Les ondelettes et leurs applications(M. Misiti, Y. Misiti,

G. Oppenheim, J.-M. Poggi), Hermès, 2003.

97

20

25

50

60

Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes

continues

Echelleou

fréquence

200 Hz

160 Hz

50 100 150 200 250

5

10

15

0

10

20

30

40

Temps [ nombre d’échantillons]

fréquence

800 Hz

400 Hz

270 Hz

98

Analyse multirésolution

( ) ( )d x t t dtjk =

−∞

+∞

∫ ψ k, j Détail

( ) ( )ψ ψj

= −−

−( ) ( )ψ ψk j

jjt t k, = −

−−2 22 Ondelette

( ) ( )a x t t dtjk =

−∞

+∞

∫ φ k, jApproximation

( ) ( )φ φk j

jjt t k, = −

−−2 22 Fonction

d’échelle

99

Analyse multirésolution

( ) ( ) ( )x t a t d tkJ

kk J k

J

kj

J

k j= +=−∞

+∞

=−∞

+∞

=∑ ∑∑φ ψ, ,

1

Reconstruction

k kj=−∞ =−∞=1

a h akj

k kj= − −−

2 21* Approximation

d g akj

k kj= − −−

2 21* Détail