1 CURSO DE INGENIERIA ESTRUCTURAL-CEIM-1.pdf

M.Sc. JOSE FRANCISCO SERRANO FLORES

INGENIERIA

ESTRUCTURAL (EDIFICACIONES)

ANALISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO EN EDIFICACIONES

CRITERIOS DE ESTRUCTURACION PARA EDIFICACIONES

DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE CONCRETO ARMADO.

ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS ALIGERADAS

ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS

EXPOSICION. (BY PASS)

CONTROL DE DEFLEXIONES Y AGRIETAMIENTOS

ANALISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS SUJETOS A CARGA AXIAL

Y FLEXO COMPRESION BIAXIAL

DISEÑO DE CIMENTACIONES.

DISEÑO DE MUROS DE CORTE (PLACAS)

EXPOSICION. (ESTADIO GARCILASO)

INTRODUCCION:

El concreto armado, llamado también concreto

reforzado u hormigón, es un material estructural de

considerable resistencia adecuada versatilidad y

relativo bajo costo, compuesto por materiales de

fácil adquisición, que debido a la compatibilidad

entre el concreto y el acero, resiste prácticamente

todo tipo de solicitaciones.

CONCRETO SIMPLE:

Es una mezcla homogénea de arena mas

agregados pétreos; adheridos con un material

ligante que en este caso es el cemento al que se le

añade agua en cantidades moderadas para mejorar

su trabajabilidad.

Inicialmente tiene una consistencia pastosa, que le

permite tomar formas muy variadas de acuerdo a

los encofrados utilizados, sin embargo con el

tiempo aumenta su resistencia, llegando a la

resistencia de diseño a los 28 dias de su

elaboración.

CONCRETO CICLOPEO:

Es el mismo concreto simple al que se le añade

material pétreo de dimensiones considerables de 4

a 10 pulgadas con el propósito de mejorar la

resistencia a la compresión, abaratar costos y

lograr una mejor transmisión de esfuerzos en el

caso de cimentaciones de concreto ciclópeo, se

puede usar como elemento estructural pero para

casos muy limitados de acuerdo a norma

específicamente para cimentaciones corridas y

muros de gravedad como en el caso de muros de

contención o estribos en puentes.

CONCRETO ARMADO:

Es el concreto simple pero al que se le añade refuerzo de acero a manera de varillas, donde el concreto aporta su gran resistencia a la compresión y en cambio el acero soporta las tensiones y en conjunto soportan prácticamente todo tipo de solicitaciones como es el caso de flexo-compresión, corte, torsión, etc. Y así por esta razón que el concreto armado puede utilizarse como material estructural para casi todo tipo de estructuras como edificaciones, puentes, pavimentos, y estructuras contenedoras de líquidos y muros de contención, etc.

PROPIEDADES MECANICAS DEL CONCRETO:

En este punto detallaremos las propiedades

mecánicas mas importantes del concreto y que nos

servirán para el desarrollo de principios y formulas

para el diseño de elementos de C°A°

En el primer termino trazaremos la curva esfuerzo-

deformación para los concretos mas usados en el

medio:

La resistencia a la compresión del concreto son

muy diversas y van desde valores muy bajos de

100 kg/cm2 hasta valores muy altos de 1000-1200

kg/cm2, sin embargo en el grafico anterior se

muestran los concretos mas usuales:

(Kg/cm2)

Denominación Utilización

140 - 175 Concreto Ciclópeo Elementos de arriostre o

confinamiento

210 - 280

Concreto Armado Elemento de mediana

resistencia

350 - 420

Concreto Pre

esforzado

Elemento de Alta

Resistencia

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE USO DEL C°A°:

VENTAJAS:

- Los materiales que conforman el concreto son de fácil adquisición.

- Por su condición inicialmente pastosa y coloidal el concreto puede tomar formas diversas.

- gran resistencia externa ante agentes como el agua, fuego y corrosión.

- Es bastante resistente ante esfuerzos de compresión.

- El acero de refuerzo que lleva, es altamente resistente a la tensión.

VENTAJAS:

- Comparado con otros materiales, el concreto es

un material duradero.

- Tienen bajo costo de mantenimiento.

- Es un material bastante rígido.

- Las estructuras con este material presentan muy

pequeñas deformaciones en volados y contra

flechas.

- Tienen continuidad en las uniones

- Son la solución de relativo bajo costo.

VENTAJAS:

- No requiere mayormente de mano de obra

especializada para la ejecución de estructuras.

- Por su versatilidad puede ser utilizado en

diversidad de obras civiles.

- Las estructuras de C°A° son de relativo bajo costo

en especial para estructuras de mediana a gran

envergadura.

DESVENTAJAS:

- Los elementos de C°A° poseen baja resistencia

por unidad de peso.

- Poseen baja resistencia por unidad de volumen

siendo esto un inconveniente para edificaciones

de varios pisos.

- La consistencia pastosa también es una

desventaja en cuanto hay que esperar de 14 a 28

días para alcanzar la resistencia de diseño.

DESVENTAJAS:

- Existe variación en los elementos de C°A° incluso

dentro de un mismo elemento estructural,

dependiendo de la cuantía de refuerzo, del

vaciado, de la forma de vibrado, etc.

- Presenta 2 características de comportamiento que

pueden ocasionar problemas estructurales, estos

son: la contracción y el flujo plástico del concreto.

FILOSOFIA DEL DISEÑO ESTRUCTURAL:

Es el reconocimiento de los objetivos que

buscamos en el diseño de una estructura

cualesquiera y su compatibilización con los

recursos que disponemos para su ejecución.

Este problema es complejo y nos lleva a la

conclusión de que no hay una solución única o

perfecta sino que hay soluciones mas adecuadas

que otras. Para conseguir un adecuado diseño

estructural se debe cumplir con los siguientes

aspectos:

1. SEGURIDAD ESTRUCTURAL:

Se puede definir básicamente en función a 3

parámetros:

a) Resistencia.- la estructura debe soportar las

cargas de diseño sin llegar a la falla.

b) Ductilidad.- además de soportar cargas debe

absorber deformaciones y giros.

c) Rigidez.- no debe llegar a deformaciones o giros

excesivos ante la acción de las cargas.

2. ECONOMIA:

Si bien la estabilidad es el factor mas importante

debe tenerse en cuenta que la solución que se

adopte sea de relativo bajo costo y sobre todo de

acuerdo a la capacidad económica del usuario.

3. FUNCIONALIDAD:

Vale decir que respetando los conceptos de

seguridad estructural y economía, la estructura

cumpla en la forma mas adecuada la función para

la cual fue diseñada, siendo muy importante

respetar los deseos del usuario.

4. ESTETICA:

Todos los criterios anteriores deben

compatibilizarse con una solución estética y sobre

todo respetando las normas urbanísticas y de

medio ambiente.

5. ETICA:

La solución que se adopte debe cumplir con

criterios de ética y honestidad.

ETAPAS DEL DISEÑO ESTRUCTURAL:

Para realizar un diseño cualesquiera se debe

cumplir con las siguientes etapas:

1. Criterios de estructuración e idealización de la

estructura.

2. Pre-dimensionamiento de los elementos

estructurales.

3. Metrado de Cargas.

4. Calculo de Solicitaciones Interiores.

5. Diseño de Los Elementos Estructurales.

6. Confección de planos, Mem. Descriptiva, M.

Calculo, especificaciones Técnicas.

1. CRITERIOS DE ESTRUCTURACION:

Es sumamente importante y de su adecuada

elección depende en gran parte el éxito del diseño,

se busca en primer termino idealizar la estructura,

vale decir, pasar del esquema real al modelo

matemático, buscando que esta solución sea

simple pero no tanto que pueda deteriorar o

desvirtuar los resultados y en cuanto a los criterios

de estructuración estos deben ser de tal manera

que se logre un diseño seguro y de relativo bajo

costo, debiendo tenerse en cuenta que las

soluciones sean simples con simetría, tanto en

planta como elevación resultan las mas adecuadas.

En planta de la edificación, se muestra un

estructura regular, la cual garantiza resultados

óptimos

En planta de la edificación, se muestra un

estructura Irregular, la cual no garantiza resultados

óptimos

En elevación de la edificación, se muestra un

estructura Regular, la cual garantiza resultados

óptimos

En elevación de la edificación, se muestra un

estructura Irregular, la cual no garantiza resultados

óptimos

2. PRE DIMENSIONAMIENTO DE LOS ELEMENTOS

ESTRUCTURALES:

En esta etapa se dan dimensiones tentativas a los

diferentes elementos estructurales, este pre

dimensionamiento se hace en base a criterios

simples y básicos pero que de acuerdo a la

experiencia nos dará dimensiones tales que al

calcular el refuerzo de acero en la etapa de diseño,

se obtenga resultados coherentes y no será

necesario un rediseño de la estructura.

2.1 PRE DIMENSIONAMIENTO LOSAS

ALIGERADAS:

Para que una losa aligerada tenga un buen

comportamiento, tanto por esfuerzos flectores como

por cortantes, se debe de tener en cuenta el

siguiente cuadro:.

2.2 PRE DIMENSIONAMIENTO VIGAS

PRINCIPALES:

Para que una Viga Principal tenga un buen

comportamiento, tanto por esfuerzos flectores como

por cortantes, se debe de tener en cuenta el

siguiente cuadro:.

El peralte de las Vigas secundarias, pueden

mantenerse, o asumir los ¾ de las VP.

2.3 PRE DIMENSIONAMIENTO COLUMNAS:

Para el pre dimensionamiento de columnas, se

puede realizar de dos maneras, las mismas que se

detallan a continuacion:

2.3.a. CRITERIO DEL Dr. YAMASHIRO Y ZEGARRA:

1° Se calcula primero el área de las columnas de segundo y

penúltimo piso, para lo cual se utiliza los criterios y tablas que

se muestran:

PISO LUZ

(m) Área (m2)

TIPO DE COLUMNA

I II III IV

4 16 0.0011 0.0014 0.0014 0.0021

6 36 0.0012 0.0014 0.0014 0.0015

8 64 0.0012 0.0014 0.0014 0.0015

Penúltimo

4 16 0.0013 0.0025 0.0022 0.004

6 36 0.0011 0.0020 0.0016 0.002

8 64 0.0010 0.0017 0.0015 0.0021

Ubicación de tipos de Columnas:

I centrales

II Terminal primaria

III terminal secundaria

IV esquineras

Nota: Pórtico Principal se toma

preferentemente el de mayor luz.

Ag=n*K*AT

n: numero de pisos que soporta la columna, incluido

el piso en estudio.

K: Coeficiente obtenido de la tabla.

AT: Área Tributaria de la Columna en estudio.

Ag: Area neta de la Columna.

2° Conocido el área de las columnas del 2° y

antepenúltimo piso, se procede a calcular el lado de las

mismas, dependiendo de la geometría de las columnas.

𝑙 = 𝐴𝑔 para columnas Cuadradas.

D=4𝐴𝑔

𝜋 para columnas Circulares.

3° Se calcula el área de las columnas de pisos

intermedios mediante interpolación lineal simple.

4° para columnas del primer piso se puede presentar dos

casos:

a) Que la altura de la columna del 1° piso sea igual que

la de los demás, en cuyo caso se usa la

extrapolación lineal.

b) que la altura del 1° piso sea de 1.5 veces la altura de

las columnas de los demás pisos, en cuyo caso a la

sección de la columna del primer piso se

incrementara 7.5 cm.

5° Finalmente para las columnas de penúltimo y ultimo

piso, conservadoramente se asume la misma sección del

antepenúltimo piso debiendo tenerse en cuenta que la

sección mínima de las columnas son de 25x25 cm.

Problema:- para un edificio de 10 pisos, cuya planta

típica se muestra en la figura, se pide dimensionar la

columnas de tipo I, de sección cuadrada en todos los

niveles la altura desde el 2° hasta el 10° nivel es de 3.00

m, y del primer nivel, es de 4.50 m.

…. AT=4*(6.15+4.5)/2

AT=21.3 m2

AT=213000 cm2.

• Para 2° piso

𝐴𝑔 = 𝑛𝑘𝐴𝑇

𝐴𝑔 = 9 ∗ 0.0012 ∗ 213000

𝐴𝑔 = 2300.4 𝑐𝑚2.

𝑙 = 50 𝑐𝑚

• Para antepenúltimo piso

𝐴𝑔 = 𝑛𝑘𝐴𝑇

𝐴𝑔 = 3 ∗ 0.0011 ∗ 213000

𝐴𝑔 = 702.9 𝑐𝑚2.

𝑙 = 26.50 𝑐𝑚

Interpolación de Columnas de pisos Intermedios

2.3 PRE DIMENSIONAMIENTO COLUMNAS:

METODO DEL INGENIERO ANTONIO BLANCO

Este método es también sencillo, brindando tal vez

mejores resultados que el método anterior ante

solicitaciones sísmicas.:

𝑨𝒈 =𝒏 ∗ 𝑨𝑻 ∗ 𝑷𝑼

𝟎. 𝟒𝟎 ∗ 𝒇𝒄′

Dónde:

AT=área tributaria por columna.

n = número de niveles máximo.

f’c= resistencia a la compresión del concreto de

proyecto.

Pu=carga ultima por m2.

- Vivienda= 1.0 tn/m2.

- Edif. Esp. (hospitales, C.E.)= 1.25 tn/m2.

- Centros comerciales = 1.20 tn/m2.

- Hoteles = 1.1 tn/m2.

Con el problema anterior, asumiendo que se trata

de uso Hospital.:

𝑨𝒈 =𝒏 ∗ 𝑨𝑻 ∗ 𝑷𝑼

𝟎. 𝟒𝟎 ∗ 𝒇𝒄′ =

𝟗 ∗ 𝟐𝟏. 𝟑 ∗ 𝟏. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟎. 𝟒𝟎 ∗ 𝟐𝟏𝟎

Dónde:

AT=21.3 m2.

n = 9.

f’c= 210 kg/cm2.

Pu= 1.25 tn/m2.

𝑨𝒈 =𝟗 ∗ 𝟐𝟏. 𝟑 ∗ 𝑷𝑼

𝟎. 𝟒𝟎 ∗ 𝒇𝒄′

𝑨𝒈 = 𝟐𝟖𝟓𝟐. 𝟕 𝒄𝒎𝟐 = 𝒍𝟐

𝒍 = 𝟓𝟑. 𝟒 ≅ 𝟓𝟓. 𝟎 𝒄𝒎. 𝑶𝒌.

2. PRE DIMENSIONAMIENTO DE PLACAS O

MUROS DE CORTE

El pre dimensionamiento de placas resulta un poco

complicado por que las placas, mas que resistir

cargas, controlan las deformaciones y absorben las

fuerzas sísmicas por su mayor rigidez, pero de

forma practica se puede tomar en cuenta:

Espesor Numero máximo de pisos

15 cm. Hasta 4 pisos

3. METRADO DE CARGAS:

En esta etapa se cuantifican todas las cargas que actúen sobre la estructura, tanto las cargas verticales debidas al peso propio y a la sobre carga, así como las cargas horizontales debidas a eventos de sismo y viento. Es de destacar que el Metrado de cargas verticales se hará solamente para los pórticos en estudio, mientras que el Metrado de cargas horizontales, se hará para toda la edificación y por niveles.

Así mismo hay que destacar que para el Metrado de sobrecargas se utilizaran diferentes posiciones de carga.

3.1. METRDO DE CARGAS MUERTAS.

Cargas propias.

Peso volumétrico del concreto: 2400 kg/m3.

Peso volumétrico del acero: 7850 kg/m3.

Sobrecargas Muertas:

Peso de Acabados: 100-150 kg/m2.

Peso de Carpintería: 150-200 kg/m2.

Peso tabiquería (esta en función a el peso especifico de las unidades a utilizar, altura de la tabiquería, espesor del mismo cabeza – soga)

3.2. METRADO DE CARGAS VIVAS.

Las cargas vivas o de uso, se encuentran

especificadas en el RNE norma E-020,

OCUPACION O USO CARGAS REPARTIDAS (kg/m2)

Almacenaje 500

Baños Igual que el resto de la edificación sin

que sea necesario exceda 300

Bibliotecas

Salas de Lectura 300

Salas de almacenaje

con estantes fijos

OCUPACION O USO CARGAS REPARTIDAS (Kg/m2)

Corredores y escaleras 400

Centros de Educación

Aulas 250

Talleres 350

Auditorios Gimnasios De acuerdo a lugares de Asamblea

Laboratorios 300

Corredores y escaleras 400

Garajes

Para parqueo exclusivo de

vehiculos de pasajeros, con

altura de entrada menos de

2.40 m.

Hospitales

Cuartos 200

Salas publicas De acuerdo a lugares de Asamblea

Almacenaje y Servicios 500

Corredores y Escaleras 400

Instituciones Penales

Celdas y zonas de habitación 200

Zonas Publicas De acuerdo a lugares de asamblea

Lugares de asamblea

Con asientos fijos 300

Con asientos movibles 400

Salones de baile,

restaurantes, museos,

gimnasios y vestíbulos de

teatros y cines

Graderías y tribunas 500

Oficinas *

Exceptuando salas de

archivo y computación

Salas de Archivo 500

Salas de Computación 250

Teatros

vestidores 200

Cuartos de proyeccion 300

Escenario 750

Zonas Publicas De acuerdo a lugares de asamblea

Tiendas 500

Viviendas 200

Carga Viva en Techos.

- Para los techos con una inclinación máxima de 3°

con la Horizontal, 100 kg/m2

- Para los techos con una inclinación mayor a los

3°, será 100 kg/m2 reducida en 5 kg/m2 por cada

grado de pendiente por encima de 3° hasta un

mínimo de 50 kg/m2.

- Para techos curvos 50 kg/m2.

- Para techos con coberturas livianas 30 kg/m2,

siempre y cuando no haya acumulación de nieve.

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO.

Las cargas de sismo están dadas por la siguiente formula:

𝑉 =𝑍𝑈𝐶𝑆

𝑅𝑑

*Z Factor de uso de la Zona.

*U Factor de Importancia de Uso.

*C Coeficiente de amplificación Sísmico.

*S Factor de Suelo.

*Rd Factor de Ductilidad.

*T Periodo Fundamental de Vibración de la Estructura.

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO (Z).

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO (U).

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO (C).

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO (S).

3.3. METRADO DE CARGAS DE SISMO (Rd).

ESPECTRO SISMICO PARA ANALISIS DINAMICO

RESUMEN DE CONDICIONES

Z U S R g Tp

0.3 1.5 1.2 7 9.81 0.6 T(s) Sa

0.00 1.8919

0.10 1.8919

0.20 1.8919

0.30 1.8919

0.40 1.8919

0.50 1.8919

0.60 1.8919

0.70 1.6217

0.80 1.4189

0.90 1.2613

1.00 1.1352

1.10 1.0320

1.20 0.9460

1.30 0.8732

1.40 0.8108

1.50 0.7568

1.60 0.7095

1.70 0.6677

1.80 0.6306

1.90 0.5975

2.00 0.5676

2.10 0.5406

2.20 0.5160

2.30 0.4935

2.40 0.4730

2.50 0.4541

2.60 0.4366

2.70 0.4204

2.80 0.4054

2.90 0.3914

3.00 0.3784

4.00 0.2838

5.00 0.2270

6.00 0.1892

7.00 0.1622

8.00 0.1419

9.00 0.1261

10.00 0.1135

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Periodo (T)

Espectro de Diseño

Norma E030

EJEMPLO DE METRADO DE CARGAS VERTICALES

Para las cargas permanentes que es el peso de los elementos estructurales dentro del ancho tributario tomaremos en cuenta los siguientes valores:

PESOS UNITARIOS:

Concreto : 2400Kg/m3

Enlucidos de cemento: 2000Kg/m3

Enlucidos de yeso : 1000Kg/m3

Para Muros

Para unidades de albañilería, sólida por cm, de espesor total, incluyendo el acabado : 19 Kg/ (m2xcm)

Para unidades de albañilería, huecas por cm, de espesor total, incluyendo el acabado : 14 Kg/ (m2xcm)

Losa aligerada de e=20 cm : 300 Kg/m2

Piso terminado : 100 Kg/m2

PARA EL PORTICO PRINCIPAL (Metrado de Cargas Permanentes)

Pórtico en el eje 2-2

PORTICO PRINCIPAL:

P.P. VIGA Peso especifico B h Kg/m

2400 0.25 0.4 240

P.P. ALIGERADO Peso especifico Ancho Tributario Kg/m

300 4.24 1272

P.P. PISO TERMINADO Peso especifico Ancho Tributario Kg/m

100 4.24 424

P.P. MURO Peso especifico b h Kg/m

19 15 2.8 798

PESO TOTAL PARCIAL 2734 Kg/m

P. TABIQUERIA PARALELA Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje Dist. al pórtico Kg/m

1 19 15 2.8 3.67 5.15 568.671845

2 19 15 2.8 3.67 5.15 568.671845

3 19 15 2.8 2.25 3.33 539.189189

4 19 15 2.8 2.25 3.33 539.189189

PARA EL 3°, 4° y 5° PISO

P. TABIQUERIA PERPENDICULAR Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje Kg/m

1 19 15 2.8 0.665 530.67

2 19 15 2.8 0.665 530.67

3 19 15 2.8 0.775 618.45

4 19 15 2.8 0.775 618.45

5 19 15 2.8 1.095 873.81

6 19 15 2.8 1.095 873.81

7 19 15 2.8 1.665 1328.67

8 19 15 2.8 1.665 1328.67

9 19 15 2.8 1.665 1328.67

10 19 15 2.8 1.665 1328.67

11 19 15 2.8 2.575 2054.85

12 19 15 2.8 2.575 2054.85

*PARA EL 2° PISO

P. TABIQUERIA PARALELA Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje Dist. al pórtico Kg/m

1 19 15 2.8 3.97 5.15 615.157282

2 19 15 2.8 3.97 5.15 615.157282

3 19 15 2.8 2.72 3.33 651.81982

4 19 15 2.8 2.72 3.33 651.81982

5 19 15 2.8 3.87 4.33 713.224018

P. TABIQUERIA PERPENDICULAR Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje Kg/m

1 19 15 2.8 0.55 438.9

2 19 15 2.8 0.55 438.9

3 19 15 2.8 1.295 1033.41

4 19 15 2.8 1.665 1328.67

5 19 15 2.8 1.665 1328.67

6 19 15 2.8 1.665 1328.67

7 19 15 2.8 1.665 1328.67

8 19 15 2.8 2.575 2054.85

9 19 15 2.8 2.575 2054.85

PARA EL PORTICO SECUNDARIO

(Metrado de Cargas Permanentes)

Pórtico en el eje A-A

P.P. VIGA

Peso especifico b h Kg/m

2400 0.25 0.5 300

P.P. ALIGERADO Peso especifico Ancho Tributario Kg/m

300 0.5 150

P.P. PISO TERMINADO Peso especifico Ancho Tributario Kg/m

100 0.5 50

P.P. MURO Peso especifico b h Kg/m

19 15 2.8 798

PESO TOTAL PARCIAL 1298 Kg/m

PARA EL 3°, 4° y 5° PISO

P. TABIQUERIA

PARALELA Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje

Dist. al

pórtico Kg/m

1 19 15 2.8 1.05 3.5 239.4

2 19 15 2.8 1.05 3.5 239.4

3 19 15 2.8 1.05 3.5 239.4

4 19 15 2.8 2.55 4.88 416.987705

5 19 15 2.8 3.98 4.88 650.827869

6 19 15 2.8 0.55 4.88 89.94

PARA EL 2° PISO

P. TABIQUERIA

PARALELA Peso Especifico Ancho Alto Dist. al Eje

Dist. al

pórtico Kg/m

1 19 15 2.8 1.68 5.15 260.318447

2 19 15 2.8 3.88 5.15 601.21165

3 19 15 2.8 3.98 5.15 616.706796

METRADO DE SOBRECARGAS

INCLUYE TODAS LAS POSICIONES DE S/C

PARA EL PORTICO PRINCIPAL

*𝐴𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 4.24 𝑚

*𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = 300𝐾𝑔/𝑚2 → 𝑉𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

*𝑆/𝐶 = 4.24 × 300

*𝑆/𝐶 = 1272 𝐾𝑔/𝑚

PARA EL PORTICO SECUNDARIO

*𝐴𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 1.75 𝑚

*𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = 300𝐾𝑔/𝑚2 → 𝑉𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

*𝑆/𝐶 = 1.75 × 300

*𝑆/𝐶 = 525 𝐾𝑔/𝑚

EJEMPLO DE METRADO DE CARGAS HORIZONTALES

METRADO POR SISMO

DATOS GENERALES DEL EDIFICIO

(VIVIENDA MULTIFAMILIAR)

ZONA SÍSMICA 2

USO DEL EDIFICIO C

TIPO DE SUELO 3

METRADO DE CARGAS

ENTRE-PISO 1

CARGA MUERTA

Elemento Cantidad L (m) b (m) h (m) e (m) Área

Volumen

(m3) P.U. Unidades Peso (kg)

Columnas bajo el entrepiso 20.00 1.48 0.40 0.40 4.72 2400.00 kg/m3 11328.00

Columnas sobre el entrepiso 16.00 1.40 0.35 0.35 2.74 2400.00 kg/m3 6585.60

Vigas Principales (25*40) 4.00 9.75 0.25 0.40 3.90 2400.00 kg/m3 9360.00

Vigas Secundarias (25*50) 5.00 15.63 0.25 0.50 9.77 2400.00 kg/m3 23445.00

Placa bajo el entrepiso 0.00 1.10 3.70 0.22 4.07 0.00 kg/m3 0.00

Placa sobre el entrepiso 0.00 1.50 3.70 0.22 5.55 0.00 kg/m3 0.00

Losa Aligerada (e= 20 cm) 1.00 9.75 15.63 0.20 152.39 300.00 kg/m2 45717.75

Descuento Losa (escalera) -1.00 2.65 4.630 0.20 12.27 300.00 kg/m2 -3680.85

Tabiquería Equivalente 1.00 140.12 100.00 kg/m5 14012.30

Escalera (gradas tramo I) 1.00 0.75 1.20 0.17 0.90 2400.00 kg/m6 646.88

Escalera (gradas descanso I) 1.00 0.17 4.80 0.82 2400.00 kg/m7 1958.40

Escalera (gradas tramo II) 1.00 2.25 1.20 0.17 2.70 2400.00 kg/m8 1940.63

Escalera (gradas descanso II) 1.00 1.10 2.50 0.17 2.75 0.47 2400.00 kg/m9 1122.00

PESO TOTAL (kg) 112435.71

CARGA DE LA ESCALERA POR ENTREPISO

DESCRIPCIÓN GRADAS (1) GRADAS (2)

paso (m) 0.25 0.25

contrapaso (m) 0.18 0.18

espesor (m) 0.17 0.17

P.U. (kg/m3) 2400.00 2400.00

W (kg/m2) 718.75 718.75

Ancho (m) 1.20 1.20

Longitud (m) 0.75 2.25

Peso (kg) 646.88 1940.63

CARGA VIVA

Elemento Área (m2) P (kg/m2)

% de Carga

Losa Aligerada (e=20 cm) 140.12 200.00 0.25

7006.1

Escalera 11.15 200.00 0.25 557.50

PESO TOTAL

7563.6

ANÁLISIS ESTÁTICO

NIVELES CARGAS (Tn) ALTURA

5 108.46 2.8

4 111.46 2.8

3 111.46 2.8

2 115.16 2.8

1 120.00 2.95

TOTAL 566.54 14.15

TOTAL CARGA MUERTA (kg) 112435.71

TOTAL CARGA VIVA (kg) 7563.65

CARGA TOTAL ENTRE-PISO 1 (Tn) 120.00

FACTORES DE CARGA SISMICA - DIRECCIÓN X-X

FACTOR DE ZONA (ZONA 2) Z 0.3

FACTOR DE USO (CATEGORIA 3) U 1.0

FACTOR DE SUELO (TIPO S3) S 1.4

PARÁMETRO Tp Tp 0.9

ALTURA DE LA EDIFICACIÓN hn 15

FACTOR Ct Ct 45

PERIODO FUNDAMENTAL T 0.341

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN C 2.5

FACTOR DE REDUCCIÓN R 8

PESO DE LA ESTRUCTURA (Tn) P 566.54

FUERZA BASAL V 74.36

V=𝑍∗𝑈∗𝐶∗𝑆

𝑅∗P

T=𝑕𝑛

𝐶𝑡

FUERZAS LATERALES, CORTANTES Y MOMENTOS EN CADA PISO

NIVEL Pi (Tn) h (m) hi (m) Pi*hi Fi (Tn) V (Tn)

5 108.46 2.8 14.15 1534.709 23.93 23.93

4 111.46 2.8 11.35 1265.071 19.73 43.66

3 111.46 2.8 8.55 952.983 14.86 58.52

2 115.16 2.8 5.75 662.17 10.32 68.84

1 120.00 2.95 2.95 354 5.52 74.36

Ʃ 566.54 14.15 4768.933

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE O CORTE (V)

DISTRIBUCION DE LA FUERZA CORTANTE A LO LARGO

DE LA EDIFICACION

4. CALCULO DE SOLICITACIONES INTERIORES:

En esta etapa del diseño, ya hecho el dimensionamiento y los metrados, tanto de cargas verticales y horizontales, se procede a calcular con ayuda de programas (SAP2000-ETABS, etc) las solicitaciones que se producen en el interior de los diferentes elementos estructurales, que básicamente serán, momentos, cortes, torsiones y cargas axiales.

Para el calculo de solicitaciones se pueden usar métodos iterativos como Cross, Kany, Takabeya o puede usarse el análisis matricial de estructuras o como en este caso programas de calculo (ETABS).

4.1 MODELO ESTRUCTURAL:

A continuación veremos el modelo matemático

aplicado por el software ETABS para el

planteamiento siguiente:

Vigas principales: VP 25x50 cm.

Vigas secundarias: VS 25x40 cm.

4.2 DEFINICION DEL MATERIAL f?c=210 Kg/cm2:

4.3 DIAGRAMA DE MOMENTOS PORTICOS 1-1

4.3 DIAGRAMA DE MOMENTOS PORTICOS A-A

4.3 DIAGRAMA DE MOMENTOS PORTICOS B-B

4.3 DIAGRAMA DE MOMENTOS PORTICOS C-C

4.3 DIAGRAMA DE MOMENTOS PORTICOS D-D

4.4 DIAGRAMA DE CORTANTES PORTICOS 1-1

4.4 DIAGRAMA DE CORTANTES PORTICOS A-A

4.4 DIAGRAMA DE CORTANTES PORTICOS B-B

4.4 DIAGRAMA DE CORTANTES PORTICOS C-C

4.4 DIAGRAMA DE CORTANTES PORTICOS D-D

4.4 DIAGRAMA DE Mom. TORSOR 2-2

Se ha escogido únicamente este pórtico, ya que en

el análisis por el programa, nos indica un error 3-4

5. DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES:

Conocidos los momentos, cortes, torsiones y

cargas axiales que actúan sobre cada elementos

estructural se procede a calcular el refuerzo

principal y transversal para dichos elementos.

En esta etapa se verifica también que las secciones

asumidas para vigas, columnas y otros, son

adecuados

5.1. ANALISIS Y DISEÑO DE LOSA ALIGERADA:

Para el análisis y diseño de la losa aligerada, se

hará un modelo matemático con la sección de una

vigueta típica:

Posiciones de Carga Muerta y Sobre Carga Viva:

Resultado del análisis de viguetas:

5.1.a. DISEÑO POR FLEXION DE LOSA ALIGERADA:

* Para el Mu(+) max= 0.79 ton-m.

𝐴𝑆 =𝑀𝑈

∅𝑓𝑦(𝑑 −𝑎2) ; 𝑎 =

𝐴𝑆 ∗ 𝑓𝑦

0.85𝑓′𝑐 ∗ 𝐵

B=40 cm.

d=17.5 cm.

𝑨𝑺 += 𝟏 ∅ 𝟏/𝟐"

a 10.00 0.95 0.70 0.70

As 1.61 1.19 1.18 1.18

5.1.a. DISEÑO POR FLEXION DE LOSA ALIGERADA:

* Para el Mu(-) max= 0.88 ton-m.

𝐴𝑆 =𝑀𝑈

∅𝑓𝑦(𝑑 −𝑎2) ; 𝑎 =

0.85𝑓′𝑐 ∗ 𝐵

B=10 cm.

d=17.5 cm.

𝑨𝑺 −= 𝟏 ∅ 𝟓/𝟖"

a 10.00 4.21 3.45 3.37

As 1.79 1.46 1.43 1.43

5.1.b. DISEÑO POR CORTE DE LOSA ALIGERADA:

* Para el Vu max= 1.36 ton.

Corte que absorbe el concreto

𝑽𝑪 = 𝟎. 𝟖𝟓𝒙𝟎. 𝟓𝟑 𝟐𝟏𝟎(𝟏𝟎𝒙𝟏𝟕. 𝟓)/𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑽𝑪 = 𝟏. 𝟏𝟒𝒕𝒐𝒏.< 𝟏. 𝟏𝟗 𝒕𝒐𝒏 = 𝑽𝑼

Requiere ensanche.

5.2.a. DISEÑO POR FLEXION DE VIGAS:

𝐴𝑆𝑚𝑖𝑛 =0.7 𝑓𝑐′

𝑓𝑦𝑏 ∗ 𝑑 = 2.66 𝑐𝑚2

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.016 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 = 17.6 𝑐𝑚2

𝑎 =17.6𝑥4200

0.85 210 ∗25= 16.56 𝑐𝑚

𝑀𝑈𝑡 = ∅𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥𝑓𝑦 𝑑 −𝑎

2= 23.76𝑡𝑜𝑛 −𝑚

Por tal motivo, todo momento mayor a 23.76 t-m

se diseñara como viga doblemente reforzada, en

los demás casos como viga con acero en

tracción solamente.

𝐴𝑆 =𝑀𝑈

∅𝑓𝑦(𝑑 −𝑎2) ; 𝑎 =

0.85𝑓′𝑐 ∗ 𝑏

Donde:

𝐴𝑆=Área de acero de refuerzo.

𝑓𝑦=Limite de fluencia del acero.

𝑀𝑈=Momento Ultimo Actuante.

𝑓′𝑐=Resistencia a la Compresión del concreto.

𝑑= peralte efectivo de la viga (h-r)

𝑎= altura en compresión.

b= ancho de viga.

Para Mu(+)= 14.17 ton-m.

𝐴𝑆 = 2 ∅ 3/4 + 2 ∅ 5/8" = 9.66 cm2

a 2.00 8.21 8.84 8.91

As 1.10 8.72 9.40 9.47 9.48

Para Mu(-)= 24.57 ton-m. > 23.76 (Dob Ref)

𝐴𝑆1 = 𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 17.6 𝑐𝑚2

𝑀𝑈2 = 𝑀𝑈 −𝑀𝑈𝑡 = 0.78 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚.

0.55 ≪ 𝐴𝑆𝑚𝑖𝑛 a 2.00 0.52 0.51 0.51

As 1.10 0.56 0.55 0.55 0.55

Verificamos si 𝐴′𝑆 fluye o no

𝑑′> (

𝑑′)𝑚𝑖𝑛

0.85∗210∗0.85(6300)

0.016∗4200(6300;4200)

7.33 > 6.77 𝑂𝑘. El acero fluye.

𝐴𝑆𝑡𝑟 = 17.6 + 2.66 = 20.26 = 4 ∅ 1"

𝐴′𝑆 = 2.66 = 2 ∅ 5/8"

𝐴𝑆𝑡𝑟 = 17.6 + 2.66 = 20.26 = 4 ∅ 1"

𝐴′𝑆 = 2.66 = 2 ∅ 5/8"

𝐴𝑆 = 2 ∅ 3/4 + 2 ∅ 5/8" = 9.66 cm2

5.2.a. ANALISIS DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS:

Ejemplo 01.- de análisis de viga doblemente

reforzada:

Calcular el Mu (momento último) que puede

soportar la viga doblemente reforzada de la figura:

r = 6.0

𝐴𝑆 = 4 ∅ 1"

𝐴𝑠′ = 3 ∅ 3/4"

𝑓𝑐′ = 350 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Es=2x106 kg/cm

r ‘= 5.0 As’

*SOLUCIÓN:

*Determinemos a que caso corresponde:

*𝐴𝑆𝑇 = 4 ∅ 1" = 20.28 𝑐𝑚2.

*𝐴𝑆′ = 3 ∅ 3/4" = 8.55 𝑐𝑚2.

*𝐴𝑆1 = 𝐴𝑆𝑇 − 𝐴𝑆′ = 11.73 𝑐𝑚2.

*𝑎𝑏 =𝐴𝑆1∗𝑓𝑦

0.85∗𝑓𝑐′∗𝑏

=11.73∗4200

0.85∗350∗25= 6.624 𝑐𝑚.

*εs′ =𝑎𝑏;𝛽1∗𝑑

𝑎𝑏∗ 0.003 =

6.624;0.8∗5

6.624∗ 0.003 =

0.00119 <0.0021

*Por lo tanto 𝐴𝑆′ 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒: 2do Caso.

*Se hará tanteos del valor de

*fs′ =𝑎𝑏;𝛽1∗𝑑

𝑎𝑏∗ 0.003 ∗ Es ; 𝑎𝑏 =

𝐴𝑆1∗𝑓𝑦;𝑓𝑠′∗𝐴𝑠

0.85∗𝑓𝑐′∗𝑏

*Determinemos el momento último que soporta MUT:

* 𝑀𝑈𝑇 = ∅ 𝑓𝑦𝐴𝑆𝑇 − 𝑓𝑠′𝐴𝑠

′ 𝑑 − 𝑎/2 + 𝑓𝑠′𝐴𝑠

′ 𝑑 − 𝑑′

*𝑀𝑈𝑇 = 0.94200 ∗ 20.28 − 3001 ∗ 8.55 54 − 8.004/2

+3001 ∗ 8.55 54 − 5

*𝑀𝑈𝑇 = 38.09 𝑡𝑛 − 𝑚.

f's 3500 3200 3100 3000

ab 7.43 7.77 7.89 8.004

f's 2769.3 2912.62 2957.61 3001.3

Δ% 20.9% 8.98% 4.59% 0.044%

*Determinemos la cuantía máxima:

*𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 𝑝𝑏

*𝑝𝑏 = 0.85 ∗𝑓𝑐′

𝑓𝑦∗ 𝛽1 ∗

6000:𝑓𝑦= 0.033

𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.025

*𝑝 − 𝑝′ =𝐴𝑆𝑇;𝐴𝑠

′∗𝑓𝑠′

𝑓𝑦

𝑏∗𝑑

*𝑝 − 𝑝′ =20.28;8.55∗

25∗54= 0.0105 < 0.025 = 𝑝𝑚𝑎𝑥

*𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑏 − 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎.

Ejemplo 02.- Diseño de Viga T con acero en

tracción solamente:

Diseñar la viga T de la figura, para las condiciones

que se muestran. Determinar tipo de falla y si es

necesario la solución más adecuada.:

r = 5 cm.

f'c= 210 kg/cm2.

fy= 4200 kg/cm2.

MU =95.0 ton-m.

As= ???

Tipo de Falla=???

90 cm.

55 cm.

25 cm.

12 cm.

*SOLUCIÓN:

Determinemos a que caso corresponde:

𝑀𝑈𝑡 = ∅ ∗ 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝐵 ∗ 𝑡 ∗ (𝑑 − 𝑡/2) =0.9 ∗ 0.85 ∗ 210 ∗ 90 ∗ 12 ∗ (50 −

𝑀𝑈𝑡 = 76.341 𝑡𝑛 − 𝑚. < 95.0 𝑡𝑛 −𝑚 = 𝑀𝑈 → 2do

Solución por el método de tanteos:

0.9*d=45.0 Ok.

d-t/2=44.0 𝐴𝑆1 =𝑀𝑈

∅∗𝑓𝑦∗𝑍 : 𝑍 = 𝑑 − 𝑦𝑐 : 𝐴𝐶 =

𝐴𝑠∗𝑓𝑦

0.85∗𝑓𝑐′

𝐴2 = 𝐴𝐶 − 𝐵 ∗ 𝑡 : 𝑒 =𝐴2

𝑏𝑤 : 𝑦2 = 𝑡 +

2 : 𝑦𝑐 =

𝐴2∗𝑦2+(𝐵∗𝑡)∗𝑡/2

𝐴𝐶 ;

*SOLUCIÓN:

Tantearemos los valores de Z hasta que Z2=d-yc≈Z: Z As Ac A2 e y2 yc Z2 Δ%

45.0 55.85 1314.12 234.12 9.36 16.68 7.90 42.1 6.89

42.1 59.69 1404.63 324.63 12.96 18.49 8.89 41.11 2.41

41.0 61.3 1442.31 362.31 14.49 19.25 9.33 40.7 0.7

45.0 42.1

45.0 − 42.1

X=1.014 → Z0=41.0

*Calculando el área de acero máximo:

* 𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∗𝑓𝑐′

𝑓𝑦∗ 𝐵 ∗ 𝑡 + (𝑎𝑏 − 𝑡)𝑏𝑤 :

𝑎𝑏 = 𝛽16000

6000:𝑓𝑦∗ 𝑑

*𝑎𝑏 = 25.0 𝑐𝑚. ; 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 59.71 𝑐𝑚2

* As”=0.75*Asmax=44.78 cm2.

*Comparando con el área de acero requerida:

*As = 61.3 cm2 > 44.78 cm2 = AS" Falla Sobre-Armada.

*Solución práctica:

Aumentar el Peralte de la Viga.

Aumentar espesor del Ala.

5.2.d. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS:

Ejemplo 03.- Diseño de viga doblemente

reforzada:

Diseñar la viga no peraltada de la figura para las

condiciones mostradas:

𝑀𝑈 = 15.0 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚.

𝑓𝑐′ = 350 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

𝑓𝑦 = 4200 𝐾𝑔/𝑐𝑚2.

r = 4𝑐𝑚

d′ = 4𝑐𝑚.

•Requiere acero en compresión o no:

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝐴𝑆𝑏 ; 𝜌𝑏 = 0.85𝑓𝑐′

𝑓𝑦𝛽1(

6000:𝑓𝑦)

𝛽1 = 1.05 −𝑓𝑐′

1400= 0.8

𝜌𝑏 = 0.85 ∗350

4200∗ 0.8 ∗

6000:4200= 0.0333

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.75(𝜌𝑏∗ 𝑏 ∗ 𝑑) = 0.75(0.0333 ∗ 50 ∗ 16)

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 20.00 𝑐𝑚2 = 𝐴𝑆1

𝑎 =𝐴𝑆1∗𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐′∗𝑏

=20.0∗4200

0.85∗350∗50= 5.65 𝑐𝑚.

•Calculo del momento maximo:

𝑀𝑈𝑇 = ∅𝐴𝑆1𝑓𝑦 𝑑 −𝑎

2= 0.9 ∗ 20 ∗ 4200(16 −

𝑀𝑈𝑇 = 9.96 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚 < 15.0

Requiere acero en compresión:

Calculo de las areas de acero:

𝑀𝑈2 = 15.0 − 9.96 = 5.04 𝑡𝑜𝑛 −𝑚.

𝐴𝑆2 =𝑀𝑈2

∅𝑓𝑦 𝑑;𝑑′=

5.04∗105

0.9∗4200(16;4)= 11.11 𝑐𝑚2.

•Calculamos si el acero en compresion fluye o

𝒅′<

𝟎.𝟖𝟓𝒇𝒄′𝜷𝟏

𝝆𝒎𝒂𝒙𝒇𝒚

𝟔𝟑𝟎𝟎

𝟔𝟑𝟎𝟎;𝒇𝒚

𝟏𝟔

𝟎.𝟖𝟓∗𝟑𝟓𝟎∗𝟎.𝟖

𝟎.𝟕𝟓∗𝟎.𝟎𝟑𝟑𝟑 ∗𝟒𝟐𝟎𝟎

𝟔𝟑𝟎𝟎

𝟔𝟑𝟎𝟎;𝟒𝟐𝟎𝟎; 𝟒 < 𝟔. 𝟖 no fluye

𝐴𝑆2 ∗ 𝑓𝑦 = 𝐴𝑆′ ∗ 𝑓𝑠

′ ; 𝑓𝑠′= 𝜀𝑆

′𝐸𝑆 ; 𝜀𝑠′ =

𝑎;𝛽1𝑑′

𝑎0.003

𝜀𝑠′ = 1.3𝑥10;3 ; 𝑓𝑠

′= 2602

𝐴𝑆′ =

11.11∗4200

2602= 17.9 𝑐𝑚2

•Calculamos las áreas de acero totales:

𝐴𝑆𝑇 = 20.0 + 11.11 = 31.11 𝑐𝑚2.

𝐴𝑆𝑇 = 4 ∅ 1" + 4 ∅ 3/4" (31.68)

𝐴𝑆′ = 17.9 𝑐𝑚2.

𝐴𝑆′ = 4 ∅ 1" (20.28)

•Tipo de falla:

𝜌 − 𝜌′ =31.68;20.28

50𝑥16= 0.024 < 0.025 𝑂𝑘

Falla Sub Armada.

5.2.b. DISEÑO POR FLEXION DE VIGAS T DOBLEMENTE REFORZADAS :

Ejemplo 04.- Diseño de Viga T :

Diseñar la viga de la figura para soportar un

MU=80.0 ton-m.

r = 9 cm.

f'c= 210 kg/cm2.

fy= 4200 kg/cm2.

d'=6 cm.

- Requiere acero en compresión?.

- A que caso de viga t corresponde.

- El acero en compresión fluye?

- Aceros totales en compresión y

Traccion.

120 cm.

50 cm.

30 cm.

10 cm.

•Calculamos el área de acero máximo para falla sub

armada.

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝑓𝑐′

𝑓𝑦𝐵𝑡 + (𝑎𝑏 − 𝑡)𝑏𝑤 ;

𝑎𝑏 = 0.856000

6000:𝑓𝑦𝑑 = 0.85

6000:420041 = 20.5 𝑐𝑚.

𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.85210

4200120 ∗ 10 + 20.5 − 10 30 = 64.39

𝐴𝑆1 = 0.75 ∗ 64.39 = 48.3 𝑐𝑚2

•Determinamos a que caso corresponde.

𝐴𝐶 =𝐴𝑆1𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐′ =

48.3∗4200

0.85∗210= 1136.5 𝑐𝑛2;

𝐵𝑡 = 120 ∗ 10 = 1200 > 1136.5 1° caso E.N. dentro del

𝑎 =1136.5

120= 9.47 𝑐𝑚.

•Calculamos el momento ultimo que soporta:

𝑀𝑈𝑡 = ∅𝐴𝑆1𝑓𝑦 𝑑 −𝑎

2= 0.9 ∗ 48.3 ∗ 4200(41 −

𝑀𝑈𝑡 = 66.2 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 < 80.0 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

Requiere acero en compresión.

•Verificamos si el acero en compresión fluye o no.

𝜀𝑠 =(𝑎𝑏;𝛽1𝑑

𝑎𝑏0.003 =

(20.5;0.85∗6)

20.50.003

𝜀𝑠 = 0.0023 > 0.0021 As’ fluye

•Calculamos las áreas de acero:

𝑀𝑈2 = 80 − 66.2 = 13.8 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

𝐴𝑆2 =𝑀𝑈2

∅𝑓𝑦(𝑑;𝑑′)=

13.8∗105

0.9∗4200(41;6)= 10.43 𝑐𝑚2

𝐴𝑆2 = 𝐴𝑆′ = 10.43 𝑐𝑚2

•Calculamos las áreas de acero totales:

𝐴𝑆𝑇 = 48.3 + 10.43 = 58.73 𝑐𝑚2.

𝐴𝑆𝑇 = 12 ∅ 1"

𝐴𝑆′ = 10.43 𝑐𝑚2.

𝐴𝑆′ = 4 ∅ 3/4"

5.2.c. DISEÑO POR CORTE DE VIGAS:

𝑉𝑈 = 17.33 𝑡𝑜𝑛.

5.2.a. DISEÑO POR CORTE DE VIGAS DUAL II:

AsMax 17.6 Mut= 23.762236

f'c= 210 fy= 4200 AsMin= 2.66 Vut= 29.49

Sección b= 25 h= 50 Vc= 7.18

Vu= 17.33 r= 6

Ф= 0.85

= 10.1 Tn n°ramales= 2

Av (Ф 3/8")= 0.71 cm2

= 22 .00 cm

d/4 = 11 cm 11 cm

s= 15.2 cm 10

10 cm = 10 cm 10

d/2 = 22 cm 22 cm

s= 30.4 cm 22

25 cm = 25 cm 25

por lo tanto el espaciamiento de estribos sera

1 @ 5 cm.10 @ 10 cm

1 @ 16 cm

R 22 cm

16*db (diámetro de la varilla de refuerzo principal)=

usando Ф 3/8"

por condiciones constructivas se adoptara el espaciamiento

indicado en planos, cumpliendo siempre con el minimo requerido

por norma y diseño

DISEÑO POR CORTANTE

8*db (diámetro de la varilla de refuerzo principal)=

Espaciamiento maximo en zona de cortes mínimos ≈ 0

5.2.a. DISEÑO POR CORTE DE VIGAS:

Detalle de armado por corte en las vigas

5.2.a. DISEÑO POR CORTE DE VIGAS:

Ejemplo de aplicación

Diseñar por corte la viga de la figura para la condición

Dual II.

WD = 3.0 tn/m.

WL = 2.0 tn/m.

P=10 ton.

f'c=350 kg/cm2.

fy=4200 kg/cm2.

Viga=30x65

r=5.0 cm.

…….

44.4 59.6

WU =1.4WD+1.7WL WU = 7.6 tn/m.

Pu=1.4*P=1.4*10=14.0 Tn.

RA=RB=(7.6*14+2*14.0)/2=67.20 Tn.

d=60 cm. VU=59.6-0.60*7.6=55.04 Tn.

…….

*𝑉𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∗ 2.1 ∗ 350 ∗ 30 ∗ 60

*𝑉𝑚𝑎𝑥 = 60.11 > 55.04 𝑜𝐾

*𝑉𝐶 = 0.85 ∗ 0.53 ∗ 350 ∗ 30 ∗ 60 = 15170.54 𝑘𝑔 = 15.17 𝑇𝑛.

*𝑉𝑆 = 𝑉𝑈 − 𝑉𝐶 = 55.04 − 15.17 = 39.87 𝑇𝑛.

*𝑠 =∅∗𝐴𝑣∗𝑓𝑦∗𝑑

𝑉𝑆=

0.85∗ 2∗0.71 ∗4200∗60

39870= 7.62 𝑐𝑚.≅ 7.5 𝑐𝑚. Ok.

…….

5.3. DISEÑO POR TORSION EN VIGAS:

Dado el carácter monolítico de las estructuras de C°A°, normalmente en las vigas aparecen esfuerzos adicionales a torsión, los que generalmente son pequeños comparados con los esfuerzos por corte, por lo que la distribución de estribos por corte resultan suficiente para controlar los momentos torsionantes.

Sin embargo existe algunos casos en que los esfuerzos por torsion son mucho mayores a los esfuerzos por corte, por tal motivo se debe de realizar un reajuste del espaciamiento de los estribos.

Ejemplos de aplicación 01:

L= 6.00 m

ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR TORSION

REALIZAR EL ANALISIS Y DISEÑO DE LA VIGA DE LA FIGURA POR TORSION

0.71 cm2

25.00 cm

(h-t) ó (4t)

Ø @ s cm.Ø "

∅" =

" → 𝐴𝑡 =

volado B= (si es fijo)

B= e3=

ala= 0.40 m

SECCION DE ANALISIS

120.00 cm 4.00 cm

60.00 cm

25.00 cm

5.00 cm

4.00 cm

120.00 cm

VOLADO

95.00 cm

20.00 cm

5.00 cm

(h-t) ó (4t)

As= 2 1

fy= As= 3 1

*POR CORTE FLEXION

DATOS:

MATERIALES: 10.13 cm2

210.00 kg/cm2

4200.00 kg/cm2 15.20 cm2

1.67 Tn/m0.30 Tn/m

4200.00 kg/cm2

SOBRECARGAS (no incluye la seccion)

250.00 kg/m2 (acabados y carpinteria)

250.00 kg/m2 (uso de la edificacion)

Wu=1.4Wd+1.7Wl

METRADO DE CARGAS

*POR TORSION:

0.83 Tn/mWut=

1.19 Tn/mWu= 2.17 Tn/m

0.30 Tn/m

" → 𝐴𝑆 =∅

" → 𝐴′𝑆 =∅

M. TORSOR (Tmax y Tu):

2.45 Tn

* CALCULO DE LAS SOLICITACIONES:

MOMENTO FLECTOR:6.51 tn-m

3.26 tn-m

CORTES (V max Y Vu):

6.51 Tn

5.32 tn

3.00 Tn

𝑀𝑒𝑥𝑡 =𝑊𝑈 ∗ 2

𝑀𝑐 =𝑊𝑈∗

𝑉𝑚𝑎𝑥 =𝑊𝑈∗

𝑉𝑈 = 𝑉𝑚𝑎𝑥−𝑊𝑈 ∗ 𝑑=

𝑚𝑎𝑥 =𝑊𝑈 ∗ ∗

𝑈 =𝑊𝑈 ∗( ;2𝑑)∗

* VERIFICACION DE LA NECESIDAD DEL CHEQUEO POR TORSION.

2300.00 cm2

250.00 cm

40.00 cm

0.70 Tn-m

25.00 cm

ES NECESARIO CHEQUEO

(h-t) ó (4t)

𝐴𝐶 =

𝐶 =

𝑢 > ∅ ∗ 0.27 ∗ 𝑓′𝑐∗

𝐴𝑐𝑝2

𝑐𝑝=

(h-t) ó (4t)

<26.66 32.39547272

268.00 cm

1210.00 cm2

10.56 Tn

(h-t) ó (4t)

𝑕 =

𝐴 𝑕 =

𝑉𝐶 = 0.53 ∗ 𝑓′𝐶∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 =

𝑉𝑢

𝑏𝑤 ∗ 𝑑

+ 𝑢 ∗ 𝑕

1.7 ∗ 𝐴𝑜𝑕2

∅𝑉𝑐

𝑏𝑤 ∗ 𝑑+ 2.1 𝑓𝑐′

45 ° 1.00

* CALCULO DEL MOMENTO TORSOR RESITENTE

1028.50 cm2

2.46 Tn-m

2.09 Tn 2.45 Tn

REDUCIR EL ESPACIAMIENTO DE ESTRIBOS

EL ESPACIAMIENTO MINIMO DE ESTRIBOS DEBE SER (s)= 21.36 cm

ASUMIMOS s= 20.00 cm

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

45 ° 1.00

* CHEQUEO POR CORTE:

1028.50 cm2

3.08 Tn-m

2.62 Tn 2.45 Tn

EL ESPACIAMIENTO DE ESTRIBOS ES ADECUADO

NO HAY PROBLEMAS POR FLEXION

8.98 Tn 5.32 tn

NO HAY PROBLEMAS POR CORTE

* CHEQUEO POR FLEXION:

(Area de acero total en

esa secion)7.64 cm2 25.34 cm2

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

𝑉𝐶 𝑉𝑈

𝑉𝐶 = ∅∗ 0.53 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 = = 𝑉𝑈

𝐴 =𝐴𝑡

𝑠∗ 𝑕 ∗

𝑓𝑦𝑡

𝑓𝑦∗ 𝐶𝑜𝑡2 =

Ejemplos de aplicación 06:

L= 9.00 m

ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR TORSION

PROBLEMA 8 - REALIZAR EL DISEÑO POR TORSION Y REALIZAR LOS AJUSTES NECESARIOS

0.71 cm2

25.00 cm

(h-t) ó (4t)

Ø @ s cm.Ø "

∅" =

" → 𝐴𝑡 =

…..:

B= e3=

ala= 0.45 m

SECCION DE ANALISIS

150.00 cm 4.00 cm

60.00 cm

30.00 cm

5.00 cm

4.00 cm

150.00 cm

VOLADO

120.00 cm

15.00 cm

3.00 cm

(h-t) ó (4t)

…..:

As= 2 3/4

fy= As= 3 3/4

*POR CORTE FLEXION

DATOS:

210.00 kg/cm2

1.22 Tn/mWu=

4200.00 kg/cm2 8.55 cm2

2.13 Tn/m0.60 Tn/m

4200.00 kg/cm2

Wu=1.4Wd+1.7Wl

METRADO DE CARGAS

*POR TORSION:

0.79 Tn/mWut=

2.73 Tn/m0.60 Tn/m

" → 𝐴𝑆 =∅

" → 𝐴′𝑆 =∅

…..:

M. TORSOR (Tmax y Tu):

* CALCULO DE LAS SOLICITACIONES:

9.22 tn-m

CORTES (V max Y Vu):

12.29 Tn

10.79 tn

7.18 Tn

6.30 Tn

MOMENTO FLECTOR:18.43 tn-m𝑀𝑒𝑥𝑡 =

𝑊𝑈 ∗ 2

𝑀𝑐 =𝑊𝑈∗

𝑉𝑚𝑎𝑥 =𝑊𝑈∗

𝑉𝑈 = 𝑉𝑚𝑎𝑥−𝑊𝑈 ∗ 𝑑=

𝑚𝑎𝑥 =𝑊𝑈 ∗ ∗

𝑈 =𝑊𝑈 ∗( ;2𝑑)∗

…..:

0.75 Tn-m

2475.00 cm2

270.00 cm

45.00 cm

Redimensionar la seccion de la viga

30.00 cm

296.00 cm

1469.00 cm2

12.67 Tn

51.24 32.39547272

(h-t) ó (4t)

𝐴𝐶 =

𝐶 =

𝑢 > ∅ ∗ 0.27 ∗ 𝑓′𝑐 ∗𝐴𝑐𝑝2

𝑐𝑝=

(h-t) ó (4t)

𝑕 =

𝐴 𝑕 =

𝑉𝐶 = 0.53 ∗ 𝑓′𝐶 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 =

𝑉𝑢

𝑏𝑤 ∗ 𝑑

+ 𝑢 ∗ 𝑕

1.7 ∗ 𝐴𝑜𝑕2

∅𝑉𝑐

𝑏𝑤 ∗ 𝑑+ 2.1 𝑓𝑐′

….. Continuamos con la sección normal para ver detalles:

45 ° 1.00

1248.65 cm2

7.47 Tn-m

6.35 Tn 6.30 Tn

6.30 Tn2.54 Tn

2.99 Tn-m

1248.65 cm2

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

….. Continuamos con la sección normal para ver detalles:

10.77 Tn 10.79 tn

REALIZAR REAJUSTES POR CORTE

𝑉𝐶 𝑉𝑈

𝑉𝐶 = ∅∗ 0.53 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 = = 𝑉𝑈

𝐴 =𝐴𝑡

𝑠∗ 𝑕 ∗

𝑓𝑦𝑡

….. Si mejoramos la sección a 35x75

(H=9.0/12; A=H/2))

B= e3=

ala= 0.60 m

SECCION DE ANALISIS

150.00 cm 4.00 cm

75.00 cm

35.00 cm

5.00 cm

4.00 cm

150.00 cm

VOLADO

115.00 cm

15.00 cm

3.00 cm

(h-t) ó (4t)

….. Si mejoramos la sección a 35x75:

As= 2 3/4

fy= As= 3 3/4

*POR CORTE FLEXION

DATOS:

210.00 kg/cm2

1.42 Tn/mWu=

4200.00 kg/cm2 8.55 cm2

2.13 Tn/m0.60 Tn/m

4200.00 kg/cm2

Wu=1.4Wd+1.7Wl

METRADO DE CARGAS

*POR TORSION:

0.79 Tn/mWut=

3.01 Tn/m0.60 Tn/m

" → 𝐴𝑆 =∅

" → 𝐴′𝑆 =∅

1.22 Tn-m

3525.00 cm27

340.00 cm

60.00 cm

35.00 cm

376.00 cm

2259.00 cm2

18.82 Tn

26.67 32.39547272

(h-t) ó (4t)

𝐴𝐶 =

𝐶 =

𝑢 > ∅ ∗ 0.27 ∗ 𝑓′𝑐 ∗𝐴𝑐𝑝2

𝑐𝑝=

(h-t) ó (4t)

𝑕 =

𝐴 𝑕 =

𝑉𝐶 = 0.53 ∗ 𝑓′𝐶 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 =

𝑉𝑢

𝑏𝑤 ∗ 𝑑

+ 𝑢 ∗ 𝑕

1.7 ∗ 𝐴𝑜𝑕2

∅𝑉𝑐

𝑏𝑤 ∗ 𝑑+ 2.1 𝑓𝑐′

45 ° 1.00

1920.15 cm2

7.66 Tn-m

6.51 Tn 6.06 Tn

6.06 Tn3.91 Tn

4.60 Tn-m

1920.15 cm2

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

∅ ∗ 𝑇 𝑈 𝐴0 = 0.85 ∗ 𝐴𝑜𝑕 =

𝑇 =2 ∗ 𝐴0 ∗ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑦

𝑠∗ c t =

= → 𝐶𝑜𝑡( ) =

∅ ∗ 𝑇 = = 𝑈

15.99 Tn 11.43 tn

NO HAY PROBLEMAS POR CORTE

𝑉𝐶 𝑉𝑈

𝑉𝐶 = ∅∗ 0.53 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 = = 𝑉𝑈

𝐴 =𝐴𝑡

𝑠∗ 𝑕 ∗

𝑓𝑦𝑡

5.4. CONTROL DE DEFLEXIONES:

Las deflexiones siempre ocurren en elementos

horizontales como vigas y losas, sin embargo lo

que debe de controlarse es que estas no excedan

los parámetros permisibles.

•Deflexión Inmediata (∆𝑖)

•Deflexiones Diferidas (∆𝑑)

CALCULO DE DEFLEXIONES INMEDIATAS

Para este calculo, hay que tener en cuenta que si

se tiene el peralte adecuado para losas y vigas, no

se requiere el chequeo por deflexiones.

ESPESOR O PERALTE MINIMO

Simplemente

Apoyada

Con un Extremo

Continuo

Ambos extremos

Continuos

En Volado

Elementos Elementos que no soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de

elementos no estructurales susceptibles a dañarse debido a deflexiones

grandes.

Losa maciza en

una dirección

L/20 L/24 L/28 L/10

Vigas y losas

nervadas en

una direccion

L/16 L/18.5 L/21 L/8

CASOS COMUNES DE CARGA

∆𝑐 =𝑊 4

384𝐸𝐼

∆𝑐 =𝑊 4

8𝐸𝐼

∆𝑐 = 3

48𝐸𝐼

∆𝑐 = 3

192𝐸𝐼

∆𝑐 = 3

3𝐸𝐼

CASOS COMUNES DE CARGA

La carga total W=WD+WL (sin factores de amplificación).

∆𝑐1 =𝑊 4

384𝐸𝐼

∆𝑐2 = −𝑀 2

8𝐸𝐼

a) NORMA PERUANA E-060

• Para Vigas Simplemente Reforzadas:

𝐼𝑒 =𝑏𝑐3

2+ 𝑛𝐴𝑆(𝑑 − 𝑐)2

Profundidad del eje neutro (c)

𝑏𝑐3

2= 𝑛𝐴𝑆(𝑑 − 𝑐) centroide

𝑛 =𝐸𝑆

𝐸𝐶=

2𝑥106

15000 𝑓𝑐′

• Vigas Doblemente Reforzadas

𝐼𝑒 =𝑏𝑐3

3+ 𝑛𝐴𝑆(𝑑 − 𝑐)2+(2𝑛 − 1)𝐴′𝑆(𝑑 − 𝑐)2

Profundidad del eje neutro (c)

𝑏𝑐2

2+ (2𝑛 − 1)𝐴′𝑆(𝑐 − 𝑑′) = 𝑛𝐴𝑆(𝑑 − 𝑐) centroide.

CRITERIO DE LA NORMA AMERICANA ACI-2005

𝐼𝑐𝑟 < 𝐼𝑒 < 𝐼𝑔

𝐼𝑒 =𝑀𝐶𝑅

𝑀𝑎

3𝐼𝑔 + 1 −

𝑀𝐶𝑅

𝑀𝑎

3𝐼𝐶𝑅 𝐼

𝐼𝑒 = 𝐼𝐶𝑅 +𝑀𝐶𝑅

𝑀𝑎

3(𝐼𝑔 − 𝐼𝐶𝑅) 𝐼𝑔

Donde:

𝑀𝐶𝑅 :Momento critico

𝑓𝑡 : Modulo de rotura del concreto

𝑓𝑡 :Momento de Inercia de la sección total del C°

𝑓𝑡 :Momento actuante máximo.

𝑓𝑡 :Momento de inercia de la sección agrietada

transformado al C°

INERCIA EQUIVALENTE

Si:𝑀𝐶𝑅

𝑀𝑎=

3 es aceptable: usar 𝐼𝑒 = 𝐼𝐶𝑅

𝑀𝐶𝑅 =𝑓 ∗𝐼𝑔

𝑦 ; 𝑦𝑡 =

2 𝑜 (𝑑 − 𝑐)

𝑓𝑡 = 2 𝑓𝑐′

𝑘𝑔

𝑐𝑚2

𝑊 2

8= 𝑀𝑎

CALCULO DE DEFLEXIONES

Estas deformaciones ocurren en el transcurso del tiempo en un

periodo hasta de 5 años, debidos al flujo plástico y/o contracción

del concreto:

∆𝑑= 𝜆𝑊𝐷:%𝑊𝐿

𝑊𝐷:𝑊𝐿Δ𝑖

𝜆 =𝐹

1:50 𝑝′ ; 𝑝′ =

𝐴𝑆′

𝑏𝑑

El % se WL varia entre el 25 – 40 %, si no hay mayores datos,

se toma 30%

Tiempo de flujo Plástico F

Hasta 3 meses 1.0

Hasta 6 meses 1.2

Hasta 12 meses 1.4

5 años a mas 2.0

DEFLEXIONES PERMISIBLES

Tipo de elemento Deflexión

Considerada

Limite de

Deflexión

Techos planos que no soporten ni estén

ligados a elementos no estructurales

susceptibles de sufrir daños debido a

deflexiones grandes.

𝐷 + 𝐿∆𝑖

Pisos que no soporten ni estén ligados a

elementos no estructurales susceptibles de

sufrir daños debido a deflexiones grandes.

𝐷 + 𝐿∆𝑖

Pisos o techos que soporten o estén ligados a

elementos no estructurales susceptibles de

𝐷 + 𝐿∆𝑖 + ∆𝑑

Techos o pisos que soporten o estén ligados a

elementos no estructurales no susceptibles de

𝐷 + 𝐿∆𝑖

PROBLEMA DE APLICACION

Problema 03. Calcular la deflexión inmediata, diferida y si es que esta

es permisible. (caso 4 y 40%WL)

WU=8 tn/m.

WD=4.0 tn/m.

WL=1.41 tn/m.

f’c=280 kg/cm2. fy=4200 kg/cm2. r= 5 cm.

WD=4.0 tn/m. WL=1.41 tn/m. W=5.41 tn/m.

f’c=280 kg/cm2. fy=4200 kg/cm2. r= 5 cm.

𝐸𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝑚𝑜𝑚 = 𝑀 + 𝑅1 ∗ 𝑋 −

𝑋∗5.41

8.5𝑋

3𝑋 = 𝑀 + 𝑅1 ∗ 𝑋 − 0.106 ∗ 𝑋3

𝐸𝐼𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑔𝑖𝑟𝑜 = 𝑀 ∗ 𝑋 + 𝑅1 ∗

2− 0.0265 ∗ 𝑋4 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑙 = 𝑀 ∗𝑋2

2+ 𝑅1 ∗

6− 0.0053 ∗ 𝑋5 + 𝐶1 ∗ 𝑋 + 𝐶2

Condiciones:

Deflexiones: X=0 ; y=0 → 𝐶2 = 0

Giro: X=0 ; dy/dx=0 → 𝐶1 = 0

Deflexiones: X=8.5 ; y=0 →

0 = 𝑀 ∗8.52

2+ 𝑅1 ∗

6+ 0.0053 ∗ 8.55 =

36.125 ∗ 𝑀 + 102.354 ∗ 𝑅1 − 235.164 = 0

Momentos: X=8.5 ; M=0 →

0 = 𝑀 + 𝑅1 ∗ 8.5 − 65.097 ⇒ 𝑀 = −65.097 − 8.5𝑅1

Resolviendo las ecuaciones:

𝑅1 = 10.339 𝑇𝑛 ; 𝑀 = −22.793 𝑇𝑛 − 𝑚.

Condiciones:

Deflexiones: X=0 ; y=0 → 𝐶2 = 0

Giro: X=0 ; dy/dx=0 → 𝐶1 = 0

Deflexiones: X=8.5 ; y=0 →

0 = 𝑀 ∗8.52

2+ 𝑅1 ∗

6+ 0.0053 ∗ 8.55 =

36.125 ∗ 𝑀 + 102.354 ∗ 𝑅1 − 235.164 = 0

Momentos: X=8.5 ; M=0 →

0 = 𝑀 + 𝑅1 ∗ 8.5 − 65.097 ⇒ 𝑀 = −65.097 − 8.5𝑅1

Resolviendo las ecuaciones:

𝑅1 = 10.339 𝑇𝑛 ; 𝑀 = −22.793 𝑇𝑛 − 𝑚.

Calculo de la deflexión máxima:

dy/dx=0 → 0 = −22.793 𝑋 + 5.1695 𝑋2 − 0.0265 𝑋4

X=5.07 m.

𝐸𝐼𝑦 = −22.793 ∗5.072

2+ 10.339 ∗

6− 0.0053 ∗ 5.075 = −86.13

𝑦 =;86.93∗109

𝐸𝐼 𝑐𝑚

Calculo de E (criterio americano)(𝐸𝑐 = 15000 280) = 250998

𝑛 =𝐸𝑠

𝐸𝑐=

2∗106

250998= 7.97 → 𝑛 = 7

C: 𝑏∗𝑐2

2+ 2𝑛 − 1 𝐴′𝑆 𝑐 − 𝑑 = 𝑛𝐴𝑆(𝑑 − 𝑐)

30∗𝑐2

2+ 2 ∗ 7 − 1 ∗ 8.55 ∗ 𝑐 − 55 = 7 ∗ 20.28 55 − 𝑐 ∴ 𝑐 = 23.174

Calculo de Icr

𝐼𝐶𝑅 =𝑏∗𝑐3

3+ 𝑛 ∗ 𝐴𝑆 𝑑 − 𝑐 2 + 2𝑛 − 1 𝐴′𝑆(𝑐 − 𝑑′)2

𝐼𝐶𝑅 =30∗23.1743

3+ 7 ∗ 20.28 55 − 23.174 2 +

2 ∗ 7 − 1 8.55(23.174 − 5)2

𝐼𝐶𝑅 = 272536.62 cm4

𝑀𝑎 = −22.793 + 10.339 ∗ 5.07 − 0.106 ∗ 5.073 = 28.24 𝑇𝑛 − 𝑚.

Calculo del momento crítico:

𝐼𝑔 =𝑏𝑕3

30∗603

12= 540000 𝑐𝑚4 ; 𝑓𝑡 = 2 𝑓𝑐′ = 2 280 = 33.47

𝑌𝑡 = 𝑑 − 𝑐 = 55 − 23.174 = 31.826

𝑀𝐶𝑅 =𝑓𝑡∗𝐼𝑔

𝑌𝑡=

33.47∗540000

31.826→ 𝑴𝑪𝑹 = 𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗𝟒. 𝟏𝟕𝟓 𝒌𝒈 − 𝒄𝒎

Calculo de Ie

𝐼𝑒 = 𝐼𝐶𝑅 +𝑀𝐶𝑅

𝑀𝑎

3𝐼𝑔 − 𝐼𝐶𝑅

𝐼𝑒 = 272536.62 +567894.175

2824000

3540000 − 272536.62 = 274711.69

𝐼𝑒 < 𝐼𝑔 (¡ 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒¡ )

La deflexión inmediata será:

∆𝑖=;86.93∗109

250998∗274711.69= −𝟏.𝟐𝟔 𝒄𝒎.

Deflexión Diferida:

𝑝′ =𝐴′𝑠

𝑏𝑑=

3∗2.85

30∗55= 0.0052 ; F=2 ; 𝛾 =

1.:50𝑝′= 1.587

∆𝑑= 𝛾𝑊 :40%𝑊 )

𝑊 :𝑊 ∆𝑖= 1.587

4:0.4∗1.41

4:1.41∗ 1.26 = −𝟏. 𝟔𝟗 𝒄𝒎.

Deflexión permisible:

∆𝑐𝑜𝑛=𝑊

𝑊 :𝑊 ∗ ∆𝑖 + ∆𝑑=

𝟏.𝟒𝟏

𝟓.𝟒𝟏∗ 𝟏. 𝟐𝟔 + 𝟏. 𝟔𝟗 = 𝟐. 𝟎𝟐 𝒄𝒎.

Deflexión de acuerdo al caso 4:

∆𝑝=

240= 3.54 𝑐𝑚.> 2.02 𝑐𝑚 = ∆𝑐𝑜𝑛 Ok.

5.5. CHEQUEO DE AGRIETAMIENTO:

Debido a la baja resistencia a la torsión del

concreto, los elementos estructurales de este

material tienden a fisurarse o agrietarse.

Las causas comunes son la contracción y los

cambios bruscos de temperatura.

1. El agrietamiento es mayor en barras lisas que

en corrugadas.

2. Es directamente proporcional al recubrimiento.

3. Los aceros de alta resistencia tienen mayor

problema en el fisuramiento.

4. Depende también del área de concreto que

rodea al acero de refuerzo.

METODO DE GER ELEY Y LUTZ

Fibra Extrema:

𝑤𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝑏 ∗ ∆ 1/3 ∗ 𝜓 ∗ 10;6 𝑓𝑠′ (cm)

Fibra de nivel a refuerzo de tensión:

𝑤𝑚𝑎𝑥 =𝑡𝑠∗∆

1:2 𝑠

3𝑕1

∗ 𝑓𝑠 ∗ 10;6 (cm)

Donde: 𝑤𝑚𝑎𝑥 :ancho probable de fisura. tb :recubrimiento vertical de las barras mas expuestas. ts :recubrimiento lateral.

∆ :area a considerar=2𝑡𝑏∗𝑏

n :numero de varillas (tracción) 𝑓𝑠 :Esfuerzo del acero 𝑓𝑠 = 0.6𝑓𝑦

PROBLEMA

Para la viga de la figura que ha sido diseñada por

flexión y corte calcular

a) Si se requiere chequear agrietamiento o no

b) El ancho probable de fisuras en la fibra extrema

c) Determinar si el ancho de la fisura es permisible o no

para una exposición exterior

*ts= 4cm, l= 9m, Wu=1.55 tn-m

* ∆`s= 2φ1” (compresión)

*∆s= 3φ1” (traccion)

*f`c= 350 kg/cm2

*fy= 4200 kg/cm2

*Es= 2x106 kg/cm2

*Estribos= φ 3/8”

*Ma= WL2/8

Ma= 1.55 9∗9

Ma= 15.7 tn-m

Ma > Mcr

Mcr= ft∗Ig

𝑌𝑡 ;

Yt= h-c

Yt= 55-13.6= 41.4 cm

𝑏𝑐2

2+ (2𝑛 − 1) ∆`s(c-d`) =n∆s (d-c)

𝑏𝑐2

2+ (2𝑛 − 1) ∆`s(c-d`) =n∆s (d-c)

n=𝐸𝑠

𝐸𝑐 = (2 ∗ 102)/15000√350

n=7.13 = 7

30𝑐2

2+ 2 7 − 1 2 ∗ 5.07 𝑐 − 6.5 = 7(3 ∗ 5.07)(48.5 − 𝑐)

C= 13.6 cm

Ig= 𝑏𝑕3

30(55)3

12= 415937.5 𝑐𝑚4

Ft= 2 𝑓`𝑐=2*√350 =37.42 kg/cm2

Mcr=37.42∗415937.5

Mcr= 3.76 tn-m

Como 15.7> 3.76 ¡hay chequeo!

Calculo Wmax

Wmax= (tb ∗ A)1/3∗ 𝜑 ∗ 10;6 ∗ 𝑓𝑠

tb= 6.5 cm

A= 2tb∗b

𝑛=2∗6.5∗30

3= 130 𝑐𝑚2

Fs= 0.6fy= 0.6(4200)= 2520 kg/cm2

𝜑 =𝑕2

𝑕1=

55;13.6

55;13.6;6.5=1.19

Wmax=(6.5 ∗ 130)1/3∗ 1.19 ∗ 10;6 ∗ 2520

Wmax= 0.028 cm = 0.28 mm

c)0.33 > 0.28 ¡OK!

*CRITERIO DE LA NORMA PERUANA

La norma peruana se basa en los mismos principios e

hipótesis pero usa una relación simplificada de acuerdo a

la siguiente metodología.

1. Asumiendo 𝜑 = 1.20 como promedio se calcula el

parámetro z=fs 𝐴(𝑡𝑏)3

2. Este parámetro Z no debe exceder de 26000 kg/cm

3. En caso de no cumplir debe aumentarse el número de

varillas manteniendo el área.

*PROBLEMA

Para la viga rectangular con acero en tracción

solamente de la figura se pide calcular utilizando la

norma peruana, si las probables fisuras son

permisibles o no, de no ser permisible haga la

corrección del caso:

Z=fs 𝐴 ∗ (𝑡𝑏)3

A= 2∗𝑡𝑏∗𝑏

2 7.5 30

3= 150 𝑐𝑚2

Z= 2520 150 7.5 = 26209𝑘𝑔

𝑐𝑚

Como : 26209 > 26000 ¡ MAL!

CORRECION : En vez de 3φ1 3/8” coloco 5φ1”

A= 2∗7.5∗30

5= 90 𝑐𝑚2

Fs= 2520 kg/cm

Z= 2520 90 ∗ 753

= 22106 kg/cm2

Como: 22106> 26000 ¡Bien!

DISEÑO DE LA ESCALERA

El caso de las escaleras apoyadas longitudinalmente

de uno o dos tramos no es otra cosa que el diseño de

una loza solida armada en un sentido colocada en

forma inclinada por lo tanto para su calculo se utilizara

los mismos hipótesis y formulas que en el caso de

losas solidas

1. En el caso de escaleras se considera 2 tipos de

peralte uno para la losa plana y otro para la losa

inclinada

2. El calculo de pasos y contrapasos se hace según

la siguiente relación

2Cp+P=60cm o 64 cm

En cuanto a la sobrecarga a considerar depende del tipo de

edificación:

TIPO DE ESCALERA CONTRA PASO

Escalera secundaria 18-20 cm

Escaleras comerciales 15-17.5 cm

Zonas monumentales 13-15cm

TIPO DE ESCALERA CARGA

Escalera secundaria 200kg/m2

Viviendas 200kg/m2

Edif. Residenciales 300kg/m2

Tribunas 500kg/m2

graderías 500kg/m2

*Para el calculo de los momentos en una escalera

se puede usar cualquier método de análisis

estructural para el calculo de momentos en vigas

isostáticas o hiperestáticas.

a) Un solo tramo

16𝑜

12 𝑤𝑢𝑙2

16( 𝑚𝑢𝑟𝑜)𝑜

12(𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎) 𝑤𝑢𝑙2

8 𝑤𝑢𝑙2

10 𝑤𝑢𝑙2

b) apoyo superior deslizante (2 tramos)

16𝑜

12 𝑤𝑢𝑙2

8 𝑤𝑢(𝑙1)2

Considerar:

Wu=𝑤1 1:𝑤2 2

c) Apoyos fijos (2 tramos)

16𝑜

12 𝑤𝑢𝑙2

10 𝑤𝑢(𝑙1)2

8 𝑤𝑢(

10 𝑤𝑢(𝑙2)2

16( 𝑚𝑢𝑟𝑜)𝑜

12(𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎) 𝑤𝑢𝑙2

Ojo: 1/12 empotrado

1/16 apoyo simple

*DISEÑO DE UN TRAMO DE ESCALERA (2do

TRAMO)

El diseño de la escalera se realizara para el tramo más largo que es de 3.05 m y además considerando:

* 𝑎𝑠𝑜 = 25 𝑐𝑚

* 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑠𝑜 = 18 𝑐𝑚

* 𝑓;𝑐 = 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2

* 𝑟 = 2𝑐𝑚

* 𝑓𝑦 = 4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

* 𝑆/𝐶 = 300𝑘𝑔/𝑚2

* 𝑖𝑠𝑜 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜 = 100𝑘𝑔

* 𝑡 = 17 𝑐𝑚

* L1=1.875 m

* L2=1.175 m

Puesto que estos valores se adaptan adecuadamente

para el caso de una vivienda multifamiliar.

CALCULO DEL ESPESOR t1

𝑡1 =𝐶

c s∅

c s∅ =

𝐶 2 + 2=

182 + 252= 0.81

𝑡1 =18

0.811= 29.96 𝑐𝑚 ≅ 30 𝑐𝑚

METRADO DE CARGAS

Losa de descanso

CARGA PERMANENTE (WD):

0.17x2400x1 = 408Kg/m

100x1m = 100Kg/m

WD=508Kg/m

SOBRECARGA (WL):

WL=300Kg/m2x1m=300Kg/m

*Wu1 = 1.4x508+1.7x300

*Wu1 = 1221.2Kg/m

Losa inclinada

CARGA PERMANENTE (WD):

0.30x2400x1=720Kg/m

100x1=100Kg/m

WD=820Kg/m

SOBRECARGA (WL):

WL=300Kg/m2x1m=300Kg/m

Wu2=1.4x820+1.7x300

Wu2=1658Kg/m

𝑾𝒖 =𝟏𝟐𝟐𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟏𝟕𝟓 + 𝟏𝟔𝟓𝟖 ∗ 𝟏. 𝟖𝟕𝟓

𝟑. 𝟎𝟓= 𝟏𝟒𝟖𝟗. 𝟕𝟑 𝑲𝒈/𝒎

Calculo de momentos

*𝑀1 =1

12∗ 𝑤𝑢 ∗ 𝐿

12∗ 1489.73 ∗ 1.8752 = 436.44 𝑘𝑔 −𝑚

*𝑀2 =1

10∗ 𝑤𝑢 ∗ 𝐿

10∗ 1489.73 ∗ 1.8752 = 𝟓𝟐𝟑. 𝟕𝟑 𝒌𝒈 −𝒎

*𝑀3 =1

9∗ 𝑤𝑢 ∗

9∗ 1489.73 ∗

1.875:1.175

2= 385𝑘𝑔 −𝑚

*𝑀4 =1

10∗ 𝑤𝑢 ∗ 𝐿

10∗ 1489.84 ∗ 1.1752 = 205.7 𝑘𝑔 −𝑚

*𝑀5 =1

12∗ 𝑤𝑢 ∗ 𝐿

12∗ 1489.84 ∗ 1.1752 = 171.41 𝑘𝑔 −𝑚

Calculo del acero principal

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 523.73 𝑘𝑔 −𝑚

*Para: a = 2 cm

𝐴𝑠 =𝑀𝑚𝑎𝑥

0.9 ∗ 𝑓𝑦 ∗ 𝑑 − 𝑎/2=

523.73 ∗ 100

0.9 ∗ 4200 ∗ (28 − 1)= 0.51 𝑐𝑚2

𝑎 =𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦

0.85 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ 𝑏=

0.51 ∗ 4200

0.85 ∗ 210 ∗ 100= 0.12 𝑐𝑚

*Para: a = 0.12 cm

𝐴𝑠 =𝑀𝑚𝑎𝑥

0.9∗𝑓𝑦∗ 𝑑;𝑎/2=

523.73∗100

0.9∗4200∗(28;0.06)= 𝟎. 𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 ¡Ok

𝑎 =𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦

0.85 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ 𝑏=

0.50 ∗ 4200

0.85 ∗ 210 ∗ 100= 𝟎. 𝟏𝟏𝟖 𝒄𝒎

COMPROBANDO CON EL ACERO MÍNIMO:

𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0.7 ∗ 𝑓´𝑐

𝑓𝑦∗ 𝑏 ∗ 𝑑 =

0.7 ∗ 210 ∗ 100 ∗ 15

𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 3.62 𝑐𝑚2 entonces se tomara 3.62 cm2 y no 0.50

Usando: Ф 3/8”

@ =0.71

3.62∗ 100 = 19.61 ≈ 20 cm → Ф 𝟑/𝟖" @ 𝟐𝟎 𝐜𝐦

ACERO DE TEMPERATURA

La cuantía p para losas de barras corrugadas con fy =

4200 kg/cm2 será:

p = 0.0018

𝐴𝑠𝑇 = 𝑝 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 = 0.0018 ∗ 100 ∗ 17

𝐴𝑠𝑇 = 3.06 𝑐𝑚2

*Usando: Ф 3/8”

@ =0.71

3.06∗ 100 = 23.2 ≈ 25 cm → Ф 𝟑/𝟖" @ 𝟐𝟓 𝐜𝐦

ARMADO

6. CONFECCION DE PLANOS, MEMORIA

DESCRIPTIVA, MEMORIA DE CALCULO

ESPECIFICACIONES TECNICAS:

Lo que se busca en esta etapa es que todos los

resultados hallados tanto de secciones de los

diferentes elementos estructurales, así como el

refuerzo de los mismos se plasmen es documentos

que puedan ser utilizas en obra por el ingeniero

residente y/o supervisor. Estos documentos son

básicamente los planos y se complementan con las

memorias descriptivas y especificaciones técnicas,

es de destacar que actualmente.

.. sobre todo en estructuras no convencionales se esta exigiendo la presentación de una memoria de calculo, siendo esta una síntesis del trabajo realizado, debiendo presentarse los 5 puntos desarrollados anteriormente.

GRACIAS

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