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复习. 1. 无穷小 与无穷大的定义. 2. 无穷小 与函数极限的关系. 3. 无穷小 与无穷大的关系. 几点注意 :. 1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的 ;. 2. 无穷小 ( 大 ) 是变量,不能与很小 ( 大 ) 的数混淆 ;. 3. 零 是 唯一可 作为无穷小的数;. 4. 无 界变量未必是无穷大. 1. 极限运算法则. (1) 无穷小运算法则. (2) 极限四则运算法则. 注意使用条件. (3) 复合函数极限运算法则. 2. 求函数极限的方法. (1) 分式函数极限求法. ( 要求分母不为 0 ). - PowerPoint PPT Presentation
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复习1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意 :
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的 ;
2. 无穷小 ( 大 ) 是变量,不能与很小 ( 大 ) 的数混淆 ;3. 零是唯一可作为无穷小的数;4. 无界变量未必是无穷大 .
1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法
时 , 用代入法 ( 要求分母不为 0 )
01) x x
时 , 对 型 , 约去公因子02) x x 00
时 , 分子分母同除最高次幂
3) x
(2) 复合函数极限求法 设中间变量
a. 多项式与分式函数代入法求极限 ;
b. 消去零因子法求极限 ;
c. 无穷小因子分出法求极限 ;
d. 利用无穷小运算性质求极限 ;
e. 利用换元法求复合函数的极限 ;
f. 利用左右极限求分段函数极限 .
极限求法
38 2
31lim
x
xx
)(lim xxxxx
14
12lim
x
x
x
2lim
1
nm
nm
x xx
xx
x
xx 2tan
4/)(tanlim
的极限?5, 5 5 , 5 5 5 , ......
第六节 极限存在准则两个重要极限
二、 两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
)( 0Nn
那么数列 的极限存在 , 且 nx lim nnx a
准则 I 如果数列 及 满足下列条件nn yx , nz
(1) ( 1, 2, 3 )n n ny x z n
(2) lim , lim ,n nn ny a z a
(Sandwich Theorem)
,na y a 即
上两式同时成立 ,
, azxya nnn
该准则可以推广到函数的极限
证 ,, azay nn ,0
,nnn zxy ,, azay nn
1 20, 0,N N 使得
当 时,1n N ,ny a 恒有 当 时,2n N ,nz a 恒有
1 2max{ , },N N N取 当 时,n N
,na z a
0 0N , , 当 时,n N 恒有
lim .nnx a
成立
,nx a 成立
注意 :
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则 .
存在 , 且等于 . )(lim)(
0
xfxxx
那么 A
准则 I' )( 0xUxo
( 或 ) 时 ,有如果当 | |x M
(1) ( ) ( ) ( ),g x f x h x
0 0( ) ( )
(2) lim ( ) , lim ( ) ,x x x xx x
g x A h x A
利用夹逼准则求极限关键是构造出 并且 的极限容易求得且相等 .
n ny z与
( ( ), ( )),g x h x ( ( )) ( ( ))n ny g x z h x与
例 1
解
由夹逼准则得
2 2 2
1 1 1lim( ).
1 2n n n n n
求
2 2 2 2
1 1,
1 1
n n
n n n n n n
2
1lim lim
11
n n
n
n nn
又 1,
2
2
1lim lim
11 1n n
n
nn
1,
.1)1
2
1
1
1(lim
222
nnnnn
1
lim(1 2 3 )n n n
n 求例 2
解
11 1 1 2
(1 2 3 ) =(33 3
) 1n n n
n n nn n
1
13
31
3
2n n n
1
3 3
1 23 1
n n n
1
3 3 n3
1
lim 3 33 nn
1
lim(1 2 3 ) 3n n n
n
(2009 年期中 )
练习 . 2 2 2
1 1 1lim
π 2π πnnn n n n
求
2. 单调有界准则
单调增加
单调减少单调数列
如果数列 满足条件nx
1 2 1 ,n nx x x x
1 2 1 ,n nx x x x
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 .
x1x 2x 3x 1nx nx
几何解释 :
A M
例 3 3 3 3 ( )nx n 重根式证明, .的极限存在 并求其极限
证 1 ,n nx x 显然 { }nx 是单调递增的
1 3 3,x 又 3,kx 假定 1 3k kx x 3 3 3,
{ } ;nx 是有界的 lim .nnx
存在 lim .nn
x A
=设
1 3 ,n nx x 21 3 ,n nx x 2
1lim lim(3 ),n nn nx x
2 3 ,A A 1 13,
2A
解得
1 13
2A
( 舍去 )
1 13lim .
2nnx
(07 期中 )
2
1
lim ( !)nn
n
1
lim(1 2 3 )n n n
n (09 期中 )
设数列 满足 { }nx 10 ,x 1 sin( ) ( 1, 2, )n nx x n
证明 存在,并求该极限。lim nnx
(10 期中 )
1
lim( ( )) nn
f x
( )f x 在区间 上正值连续,求[ , ]a b
(06 期中 )
[ ]lim , lim n
nn n
n aa a
n
求 (05 期中 )
圆扇形 AOB的面积
二、 两个重要极限
证 :
即
△AOB 的面积< <△ AOD的面积
O
B
Ax1
D
C0
sin1. lim 1
x
x
x
1
2sin x 1
2x ,
1
2tan x 亦即 sin tan ,x x x
sincos 1
xx
x (0 )
2x
各项同除以 并求倒数,得:sin x
0
limcos 1,x
x
0
sinlim 1x
x
x
时的情形仅考虑 (0, )2
x
例 4 (P52,1)
解
0
tanlim .x
x
x求
0
tanlimx
x
x
0
sin 1lim
cosx
x
x x
0 0·
sin 1lim lim
cosx x
x
x x 1
0
sinlim 1.x
x
x
解 : 因此
原式
例 5. 求0
arcsinlim .x
x
x
令 arcsin ,t x 则 sin ,x t
0lim
sint
t
t
0
1lim
t
sin t
t
1
0
tan2lim 2
2x
x
x 2
0
tan2limx
x
x思考:
0
tanlim 2y
y
y
2y x令
( ) 0
sin )lim 1
(
( ).
x
x
x
0
tan2limx
x
x
说明 : 计算中注意利用
例 6 (P52,2)
解
0
sinlim 1.x
x
x
20
1 coslim .x
x
x
求
2
20
2sin2lim
x
x
x原式
2
20
sin1 2lim2
2
x
x
x
2
0
sin1 2lim2
2
x
x
x
211
2
1.
2
20
1 coslim 1.
2
x
x
x
例 7
解
2
2
sin( 4)lim .
2x
x
x
求
2
22
sin( 4)lim ( 2)
4x
xx
x
原式
2
22 2
sin( 4)lim lim( 2)
4x x
xx
x
1 4 4
0
sinlim 1.x
x
x
解
例 8 0
sinlim 8, ?x
kxk
x 若
0 0
sin sinlim limx x
kx kxk
x kx
0
sinlimx
kxk k
kx 8
2.
1(1 )nnx n
先证 1lim(1 ) .n
n n 存在
2
1 ( 1) 11
1! 2!
n n n
n n
( 1) ( 1) 1
! n
n n n n
n n
1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ).
2! !
n
n n n n n
1
1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )
2! 1 ! 1 1 1
1 1 2(1 )(1 ) (1 ).
( 1)! 1 1 1
n
nx
n n n n n
n
n n n n
1 ,n nx x 显然 是单调增加的 { }nx
1lim(1 )xx
ex
{ } ;nx 是有界的
1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ).
2! !n
nx
n n n n n
1 11 1
2! !nx n
1
1 11 1
2 2n
11
211
12
n
1
13
2n 3,
1lim(1 )nn
en
记为
( 2.71828 )e 1
lim (1 )xx
ex
以下证明
lim .nnx
存在从而
1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) ,
[ ] 1 [ ]x x x
当 时,1x [ ] [ ] 1,x x x 有
1lim(1 )nn
en
[ ] 11lim (1 )
[ ]x
x x
而 [ ]1 1
lim (1 ) lim (1 )[ ] [ ]
x
x xx x ,e
[ ]1lim (1 )
[ ] 1x
x x
[ ] 1 11 1lim (1 ) lim (1 )
[ ] 1 [ ] 1x
x xx x
,e
1lim (1 ) .x
xe
x
[ ] [ ] 1x x x
1lim (1 ) ,x
xe
x 再证 ,t x令
1lim (1 ) .x
xe
x
1 1
lim (1 ) lim(1 )x t
x tx t
1lim(1 )
1t
t t
11 1
lim(1 ) (1 )1 1
t
t t t
.e
1lim(1 )xx
ex
1
0lim(1 ) xx
x e
可证明1,tx
令
lim( )1
t
t
t
t
例 9
解
1lim(1 )xx
ex
1lim(1 ) .xx x
求
1lim (1 )x x
原式 1[ ]x 1lim
1(1 )
x x
x
1.e
解 1lim (1 )
2x x
原式 22[ ]x 41
(1 )2x
例 10 23lim( ) .
2x
x
x
x
求
2 .e
内容小结1. 极限存在的两个准则
夹逼准则 ; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
0
sin(1) lim 1
1(2) lim ( 1 ) e
1
0lim(1 ) e
或
代表相同的表达式
思考题 求极限
思考题解答
1
lim 3 9x x x
x
1
lim 3 9x x x
x
11
1lim 9 1
3
xx xxx
13 31
9 lim 13
x x x
xx
09 9e
0
13. lim sin ____ ;
xx
x
12. lim sin ____ ;
xx
x
sin1. lim _____ ;
x
x
x
1
练习题
0
14. lim(1 ) ____ .n
n n
1e
0
0
arc tan3. lim ______ .
x
x
x
一、填空题 :
0
sin1. lim _____ .
x
x
x
0
sin22. lim ______ .
sin3x
x
x
sin5. lim ______ .
2x
x
x
1
06. lim(1 ) _____ .x
xx
练 习 题
04. lim cot 3 __________ .
xx x
tan2
4
2. lim (tan ) x
x
x
217. lim( ) _____ .x
x
x
x
18. lim(1 ) ______ .x
x x
0
1 cos21. lim
sinx
x
x x
3. lim ( )xx
x a
x a
二、求下列各极限 :
2 14. lim ( )
1n
n
n
n
提高题 1 1lim(sin cos ) .xx xx
221 1= lim[(sin cos ) ]x
x xx 原式
22lim (1 sin )x
xx
lim[ ]x
2(1 sin )x2
1sin x
2
2
sin x
x
e
作 业• P56 : 1 , 2 , 4
作业提交时间: 2012 年 10 月 22 日上午8:00
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