View
233
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
good
Citation preview
Momentum Sudut (Bagian 2)
Pengenalan KonsepRotasi dalam Mekanika Kuantum:
1. Sistem Koordinat Bola2. Harmonia Sferis (Spherical Harmonics)3. Momentum Sudut Orbital4. Momentum Sudut Intrinsik (Spin)
22 2m
V2m
=H22
2
2
2
2
2
22
zyx
dimensi-tiga dalam er SchrdingPersamaanTinjau partikel yang bergerak di permukaan bola dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh:
karena energi potensial uniformdi permukaan bola dan dapatdiambil sama dengan nol.
Laplacian:
Harus dipecahkan:E
2m
2
2
:)(),( zy,x, ganti sebagair, gunakan Kita
2r rL
rrrr 22
2
22
,222
21
2
2
22
2
2
2
22
sin1cot
sinsin
1sin
1
dd
dd
dd =
dd
dd
dd L
2
2
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
),(r,E),(r,V(r)),(r,2m
2
2Harus dipecahkan:
dengan:
),,(),,(),,(),,(2),,(
2 222
2
22
rErV
rrL
rr
rrr
m
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Separasi variabel: (r,,)= R(r)Y(,), maka:
Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:
),()(),()(),()(),((2),((
2 222
2
22
YrERYrVR
rYrRL
rr)YR
rrYr)R
m
YERVRYrYLR
rR
rY
rRY
m
22
2
2
22 22
EVrYL
YrR
rRrR
Rm
22
2
2
22 12112
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Kalikan dengan -2mr2/2, maka dapat dipisahkan menjadi:
yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah.Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(,) = ()(), dan kita ambil:
01)(2211 2
2
2
2
2
2
YL
YEVmr
rR
rRrR
R
d
ddd
dd L 2 sin
sin1
sin1
2
2
22
)1(1dan )1()(2211 2
2
2
2
2
2
llYLY
llEVmrrR
rRrR
R
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Memberikan:
dan:
Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:
2
2
2
sin)1(sinsin YlldYd
dd
dYd
2
2
2
sin)1(sinsin
lldd
dd
dd
2
2
2
sin)1(sinsin11
lld
ddd
dd
2
2
2
sin)1(sinsin11
lld
ddd
dd
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Memberikan:
Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi:
2222
2
sin)1(sinsin11 ll mlldd
dd dan m
dd
0sin)1(sinsin 22 lmlldddd
solusibentuk Bagaimana ?),(
),(),(2 E2ma = L 2
.
),(2L untuk eigen fungsi
merupakan juga H untuk untuk eigen fungsi Jadi
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
),(2
),(2
2
EmaLPersamaan:
Kita tuliskan dengan:
),(2),(sin
1cot 222
22
2
Emad
ddd
dd2
),(),(2 E2ma = L 2bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Persamaan diferensial:
Sebenarnya merupakan persamaan untuk dan yang padadasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapatdisertakan dalam komponen radial r.
Bagian telah dipecahkan, dan bagian merupakanpersamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusianalitik. Solusi untuk bagian dan dinamakan sebagaiharmonia sferis (Yl,m), dituliskan:
ml,ml,z
ml,ml,
|m|lml,
YmYL YllYL
imPmlml
+l)=(Y)=(
2
)1(
]exp[)(cos!|)!|(!|)!|(
412,,
2
dengan Pl|m| adalah polinom Legendre
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
),(),(
11011
lmlmzz
mL
madalahLuntuk mungkin yang eigen nilai dan
,l,...,l-,,,...,-- l, -l+ :nilai 1+2l mengambil dapat m nilai ,l nilai suatu Untuk
]exp[cos!
)!4
12 im)( P|m!|)(l|m!|(l
l+(((,(,)=Y |m|ll,m
),()1(),()1(
2
2
lmlm22
llL
lladalah L untuk mungkin yang eigen nilai dan ..0,1,2,3,4.=l:bernilai dapat l
If (,) = Ylm(,)Ema 2 = ll
EYmaYllYL
:Jadi Y= E2ma = L
2
lm2
lmlm
lm2
)1(atau
),(2),()1(),(
),(),();,(),(
2
22
2
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
Bagaimana dengan E?
2ma= I ; Ill =
mall = E
2)1(
2)1( 2
2
2 Sehingga:
Dalam mekanika kuantum, sebuah operator yangmerepresentasikan suatu konstanta gerak akankomut dengan hamiltonian, yaitu:
[,] = 0
yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsieigen yang berlaku untuk kedua operator dan .
Catatan:
mz2
Y bersama eigen fungsi memiliki bola permukaan pada bergerak yang
partikel untuk L dan L ,H
l
),(Y)l(l=),(YL m2
lm2 l1
),(Ym=),(YL lmlmz
),(2
1),(2
lmlm YI)l(lHY
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
lm
z2
Y (common) bersama eigen fungsi memilikibola sebuahpada bergerak yang partikel untuk L dan L ,H
0] 2z2z L ,L[ karena ionseigenfunct common memiliki L dan L2
2
21 L
ma=H Tetapi
0][][ 2z L,H =L,H :bahwa nditunjukka dapat Danionseigenfunct common memiliki L dan L ,H sehingga 2z
saat setiap2I
(L=
(L (L :hasil memberikan akan L L pengukuran
oleh diuraikan yang keadaan suatu Untuk
2z
2
2z
obs2
obs
obs2
obs
ml
)I2
)1l(l)E(
m));1l(l)
,
),,(Y
bola koordinat dalam er SchrdingPersamaan
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
0;0)(41
0
2
obszobs
o,o
)(LL
Y
0=mada hanyal=Untuk
;
bola pada uniform adalahYNilai oo
0l 0m er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
1l 1,0,1m
2,-
2,
2,
obsobszlm
2 - iY -
2 iY
2 Y
) (L) (L Y l m
1]exp[sin8311
1]exp[sin8311
0cos4301
11
11
01
2
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
i sin43
cos 43 0
41 0
Y m l lm
]exp[11
1
0
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
i sin3215
isincos 815 1
(3cos 16
5 0
Y m l
2
2
lm
]2exp[22
][2
)12
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
i sin6435
i sin32105
i(5cos 6421 1
(5cos 16
7 0
Y m l
3
2
2
3
lm
]2exp[33
]2exp[cos23
][sin)13
)cos33
),(
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
LL z
L z
|L| =
LL
L z =
L z = -
= 0
2
,,Lyaitu tersebut, kasus ketiga untuk
berlainan yang orientasi mengalamiLTetapi
|L|= adalah
tersebut kasus ketiga untukLdari|L| Panjang
Ldengan keadaan tiga Terdapat
z 0
2
222
obszobs
z
L)(Lmemberikan,m=l=untuk :contoh
samayang nilai memberikanselalu LdanLpengukuran keadaan, setiapUntuk
)(;211
22
2
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011
LL z
L z
|L| =
LL
L z =
L z = -
= 0
2
m)(LdanL;,,m=-didapatl=Untuk obszobs 22 2)(1011
,,- anmenghasilk dapatLatauL pengukuran tetapi Akan
=)-(L)(L)L(L
Maka?LatauLdengan Bagaimana
yx
obszobsobsyx
yx
0
2 2222222
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
?pengukuran setiapbagi LdanLuntuk mungkin yang nilai berapa dan pengukuran
banyak dari rata-rata nilai tasikanmerepresen yang
i
Y
i
Y
) (
Y
) (L) (L Y m l
,
,
,
obsobszlm
2222
212
202
2
62]2exp[sin321522
61]exp[cossin81512
601cos381502
2l Untuk 2,1,0,1,2 m
l,mll,mzl,ml,m
|m|ll,m
Y mYL ;)Yl(lYL
im P|m!|)(l|m!|(l
l+)=(Y(,)
=
1
]exp[)(cos!
)!4
12,
22
|L| = 6
L
Lz
Lz
= 0LL
Lz =2
Lz = -
L z =
2L z = -
22 6210122 L,,,,-m=-didapatl=Untuk
202
6
622
,,,,L beda-berbeda siberorientaL Tetapi
|L|=adalah kasus tiga diLdari |L| Panjang
L dengan keadaan 5 Terdapat
z
z
z2
L;
er SchrdingPersamaan Solusisifat-Sifat
(a) Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.
)1( ll=),(YL 2lm2
m=),(YL lmz
),()1(),( 22
lmlm YmallHY
samayangenergi
berlainan yang orientasi
Elektron Spin
berkas dua menjadihomogen tak magnet medan dalam membelahAg) atom-(atom elektron berkas bahwa
1921 tahun pada menemukan Gerlach dan Stern
elektron dari (spin) intrinsik sudutmomentum keberadaan
sebagaitersebut fenomena siinterpretamemberikan Uhlenbeck dan Goudschmit
spin elektron (s = 1/2) hanya dapat memiliki dua orientasi terhadap sumbu tertentu.
Elektron (atas) adalah elektron dengan ms = +1/2;
Elektron (bawah) adalah elektron dengan ms = - 1/2.
S
S
:adalah spin sudutmomentum Panjang
21 sl
21 smm
23|| 1)+
21(
21= 1)+s(s= S
Elektron Spin
Recommended