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집합론 | Set Theory
정의를 위한 기호
A≔B 또는 A≡B는 A를 B로서 정의한다는 의미이다.
논리와 명제
(1) 명제 : 수학적 개체와 논리 연산자가 결합된 문장
① ∼p : p가 아니다
② p ∧ q : p 그리고 q
③ p ∨ q : p 또는 q
④ p → q : p이면 q이다, ∼p ∨ q
⑤ p ⇒ q : p → q가 항진일 때
⑥ p ↔ q : p → q ∧ q → p
⑦ p ⇔ q : p ↔ q가 항진일 때. p≡q로 쓰기도 한다.
(2) 드 모르간 법칙
① ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p ∨∼q
② ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧∼q
(3) 귀류법 : p ⇒ q임을 증명하기 위해 p ∧∼q임을 가정
하고 모순을 유도한다.
클래스와 집합
(1) ‘클래스’와 ‘속하다’에 대하여 다음 공리를 만족한다.
① x= y ∧ x∈A ⇒ y∈A
② 클래스 S와 명제함수 p에 대하여
x∈P ⇔ p (x) ∧ x∈S
를 만족하는 클래스 P가 존재한다.
③ a, b가 집합이면 {a, b }도 집합이다.
④ 집합의 부분클래스는 집합이다.
⑤ 집합 Λ의 원소가 모두 집합이면 ∪Λ도 집합이다.
⑥ A가 집합이면 ℘(A)도 집합이다.
⑦ A가 집합이고 전사함수 f :A → B가 존재하면 B
도 집합이다.
⑧ 귀납적 집합이 존재한다.
⑨ 임의의 집합에 대하여 선택함수가 존재한다.
⑩ 기수클래스 CD가 존재한다.
(2) A⊆B는 x∈A ⇒ x∈B를 의미한다.
(3) A=B는 x∈A ⇔ x∈B를 의미한다.
(4) ∀x∈S : p (x)는 x∈S ⇒ p (x)를 의미한다.
(5) ∃x∈T : p (x)는 ∼(∀x∈T :∼p (x))를 의미한다.
(6) S는 집합이다 ⇔ S∈C인 클래스 C가 존재한다.
(7) 집합들의 모임 Λ에 대하여
① x∈ ∪S∈ΛS ⇔ ∃S∈Λ : x∈S … 합 클래스
② x∈ ∩S∈ΛS ⇔ ∀S∈Λ : x∈S … 교 클래스
(8) ℘(S)≔ ( S의 모든 부분클래스들의 모임 ) … S의 멱
(9) Λ={A, B }일 때 A∪B≔∪Λ, A∩B≔∩Λ.
(10) 공집합의 정의 : x∈φ ⇔ c, c는 모순명제
(11) 원소나열법
① A={x 1 }은 x∈A ⇔ x= x 1을 의미한다.
② A={x 1, x 2, …, xn }은
x∈A ⇔ x∈{x 1, x 2, …, xn-1 } ∨ x= xn을 의미한다.
관계와 함수
(1) 순서쌍 : (x, y )≔ { {x }, {x, y }}
(2) 카르테시안 곱 : A×B≔{ (x, y ) |x∈A ∧ y∈B }
(3) R⊆A×B인 R를 A에서 B로의 관계라고 한다. 그
리고 (x, y )∈R를 xRy로 표기한다.
① R가 반사적이다 : ∀x∈A : xRx
② R가 대칭적이다 : xRy ⇒ yRx
③ R가 추이적이다 : xRy ∧ yRz ⇒ xRz
④ R가 동치관계이다 : R가 ①∼③을 만족한다.
(4) 동치관계 R⊆A×A에 대하여
① a의 동치류 : Ra= a=[a] ≔ {x∈A |xRa }
② 상집합 : A/R≔{Rx |x∈A } : A의 분할이 된다.
(5) P⊆℘(A)가 세 조건
(ⅰ) ∀S∈P∀T∈P : (S /=T ⇒ S∩T=φ)
(ⅱ) ∀S∈P : S /=φ
(ⅲ) ∪P=A
를 만족할 때 P를 A의 분할이라고 한다.
(6) A에서 B로의 관계 f가 조건
(ⅰ) ∀x∈A∃y∈B : (x, y )∈f
(ⅱ) ∀x∈A : [ (x, y 1)∈f ∧ (x, y 2)∈f ⇒ y 1= y 2 ]
를 만족할 때 f를 함수라고 하며 f :A→ B로 표기한다.
① (x, y )∈f인 것을 y= f (x)로 표기한다.
② A를 f의 정의역, B를 f의 공역이라고 한다.
③ S⊆A에 대하여 f (S) ≔ {y∈B |∃x∈A : f (x)= y }
④ S⊆B에 대하여 f -1(S) ≔ {x∈A |∃y∈B : f (x)= y }
⑤ S⊆A에 대하여 f | S≔{ (x, y )∈f |x∈S }
⑥ f (A) : f의 치역
(7) 함수 f :A → B , g :B → C에 대하여
① f가 단사이다 : f (a)= f (b) ⇒ a= b .
② f가 전사이다 : f (A)=B .
③ f가 일대일 대응이다 : f가 단사이고 전사이다.
④ f -1≔ { (x, y )∈B×A | f (y)= x }
⑤ g∘f≔{ (x, z ) |∃y∈B : y= f (x) ∧ z=g (y)}
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일반 카르테시안 곱
(1) AB : B에서 A로의 모든 함수들의 집합
(2) Λ={Ai | i∈I }에 대하여
∏Λ= ∏i∈IA i≔{ f∈A
I |∀i∈I : f ( i )∈Ai } .
전체집합과 여집합
(1) 집합이 아닌 클래스를 고유클래스라고 한다.
(2) 모든 집합의 모임은 고유클래스이다.
(3) 기준이 되는 집합 U와 A⊆U에 대하여 A의 여집합
을 Ac≔{x∈U |x /∈A }로 정의한다.
순서집합
(1) A상에서의 관계 R가 xRy ∧ yRx ⇒ x= y를 만족
할 때 R를 반대칭적이라고 한다.
(2) 순서관계 : 반사적이고 추이적이며 반대칭적인 관계
(3) 순서관계 ≦가 주어진 집합 A를 순서집합이라고 하고
<A, ≦>로 표기한다.
(4) 임의의 x, y∈A에 대하여 x≦y 또는 y≦x일 때 A
를 전순서집합이라고 한다.
(5) 순서집합 <A, ≦>에 대하여
① m∈A은 A의 극대 : ∀x∈A : (m≦x ⇒ x=m )
② n∈A은 A의 극소 : ∀x∈A : (x≦n ⇒ x=n )
③ a∈A는 A의 최대 : ∀x∈A : x≦a
④ b∈A는 A의 최소 : ∀x∈A : b≦x
(6) x≦y이고 x /= y인 것을 x < y로 표기한다.
(7) x < y인 x , y에 대하여 x < z < y인 z가 존재하지
않으면 x를 y의 직전자, y를 x의 직후자라고 한다.
정렬집합과 선택공리
(1) 순서집합 A의 공집합이 아닌 모든 부분집합이 유일한
극소원을 가지면 A를 정렬집합이라고 한다.
① 정렬집합은 전순서집합이다.
② 또한 최대가 아닌 모든 원소는 직후자를 가진다.
(2) 집합 S에 대하여 적당한 순서관계 ≤가 존재하여
<S, ≤>가 정렬집합이 되면 S는 정렬가능하다고 한다.
(3) 집합 A와 ℘ *(A) ≔℘(A)∖{φ }에 대하여
∀B∈℘ *(A) : r(B) ∈B
를 만족하는 함수 r를 A에 대한 선택함수라고 한다.
(4) 다음은 선택공리와 동치이다.
① 극대원리 : 순서집합 A의 모든 전순서 부분집합 P
는 포함순서관계 ⊆에 의하여 극대원을 가진다.
② 순서지합 A의 임의의 전순서집합이 상계를 가지면
A에 극대원이 존재한다.
③ 임의의 집합은 정렬 가능하다.
자연수 집합
(1) 집합 a에 대하여 a의 후자를 a+≔a∪{a }으로 정
의한다.
(2) 0≔φ , 1=0+ , 2=1+ , …으로 정의한다.
(3) 0∈S이고 a∈S ⇒ a+∈S이면 집합 S는 귀납적이다
고 한다.
(4) 모든 귀납적 집합의 교집합을 ω로 정의한다.
(5) ℕ≔ ω∖{0 }으로 정의한다.
(6) a, b, c∈ω에 대하여
① a+0≔0 , a+b+≔ (a+b)+
② a⋅0≔0 , a⋅b+≔a⋅b+a
③ a≦b ⇔ ∃p∈ω : b=a+p
(7) ω의 절편 : ω n≔ {k∈ω |k < n }=n
집합의 크기
(1) 두 집합 A , B에 대하여 일대일 대응 f :A→ B가 존
재하면 A와 B는 대등하다고 하며 A≈ B로 표기한
다.
(2) 두 집합 A , B에 대하여 단사함수 f :A→ B가 존재
하면 B는 A보다 크다고 하며 A≼ B로 표기한다.
→ A≼ B이고 A /≈ B인 것을 A⋏ B로 표기한다.
(3) A≈ℕ인 집합 A를 가부번집합이라고 한다.
(4) 적당한 n∈ω에 대하여 S≈ ωn인 집합 S를 유한집
합이라고 한다.
(5) 유한이거나 가부번인 집합을 가산집합이라고 한다. 가산
이 아닌 집합을 비가산집합이라고 한다.
(6) 일반연속체가설 : 임의의 무한집합 A에 대하여
A⋏S⋏℘(S)인 집합 S는 존재하지 않는다.
기수
(1) 기수클래스 CD는 다음을 만족한다.
(ⅰ) 임의의 집합 A에 대하여 A≈a인 a∈CD가 존
재한다.
(ⅱ) 집합 A와 a, b∈CD에 대하여 A≈a , A≈b이
면 a= b이다.
(2) A≈a인 것을 a= #A 또는 a=|A |으로 표기한다.
(3) 유한집합이 기수를 유한기수, 무한집합의 기수를 초한기
수라고 한다.
(4) #φ≔0 , #ωn= #{0, 1, 2, …, n-1 }≔n
(5) #ℕ≕ℵ 0, #ℝ≕c
(6) a≦b ⇔ a≼ b , <CD, ≦>는 정렬클래스이다.
(7) 두 기수 a , b와 A= a×{ 0 } , B= b×{ 1 }일 때
① a+b≔ #(A∪B )
② ab≔ #(A×B )
③ ab≔ #(AB)
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정수론 | Number Theory
기본 정의
(1) 정수 a , b에 대하여 b=ac인 정수 c가 존재할 때,
① a |b : a가 b를 나눈다.
② a는 b의 약수이고 b는 a의 배수이다.
(2) 1 < p이고 약수가 1과 자신뿐인 정수 p를 소수라고
한다. 소수가 아닌 수를 합성수라고 한다.
(3) 두 정수 a , b에 대하여
① d≧1
② d |a , d |b
③ k |a ∧ k |b ⇒ k |d
를 만족하는 정수 d를 a , b의 최대공약수라고 한다. 기호
로는 d= gcd (a, b ) 또는 d=(a, b ) .
(4) (a, b )=1인 두 정수 a , b를 서로소라고 한다.
(5) 실수 x에 대하여
① [x ]≔ max {n∈ℤ |n≦x } : 정수부, 가우스 함수
② {x }≔x-[x ] : 소수부
나눗셈 성질
(1) 정수의 호제법
∀a∈ℕ∀b∈ℤ∃!q∈ℤ∃!r∈ω a : b= qa+r
(2) 최대공약수의 유일성
① 최대공약수는 유일하다.
② aℤ+bℤ=dℤ , d=(a, b ) .
(3) 약수와 배수의 성질
① (a, b )= d이면 ( ad ,bd )=1 .
② a |bc이고 (a, b )=1이면 a |c .
③ a |bc이면 a(a, b ) |c .
④ (ma, mb )= |m |(a, b ) .
(4) 유클리드 호제법
자연수 a와 정수 b에 대하여
b= q 1a+r 1 , 0 < r 1 < a
a=a 2r 1+r 2 , 0 < r 2 < r 1
r 1= q 3r 2+r 3 , 0 < r 3 < r 2
⋯
rn-2=qnrn-1+rn , 0 < r n < r n- 1
rn-1=qn+1+rn+0
일 때 rn= gcd (a, b ) .
디오판토스 방정식
방정식 ax+bc= c에 대하여
(1) 정수해가 존재 ⇔ d |c , d=(a, b ) .
(2) 특수해 x 0 , y 0에 대하여 일반해는
{x= x 0+
bdk,
y= y 0-adk
( k∈ℤ )
소수의 성질
(1) 1보다 큰 임의의 자연수는 유일한 형태로 소인수분해
된다.
(2) 정수에는 무한히 많은 소수가 있다.
(3) p가 소수이고 p |ab이면 p |a 또는 p |b이다.
(4) n > 1이 소수가 아니면 p≦ n인 소수 p가 n의 약
수로서 존재한다.
합동식의 성질
(1) 자연수 n에 대하여 a≡b ( mod n ) ⇔ n |a-b .
→ 두 함수 f , g가 정의역의 모든 원소 x에 대하여
f (x)=g (x)일 때도 f (x) ≡g (x)라고 표기한다.
(2) R이 법 n에 대한 완전잉여계라 함은 R≅ℤn.
(3) 디오판토스방정식 f (x, y )=0이 해를 가지면 합동방
정식 f(x, y )≡0 ( mod n )도 해를 가진다.
(4) a i≡b i ( mod n )이면
① a 1+a 2+…+am≡b 1+b 2+…+bm ( mod n )
② a 1a 2…am≡ b 1b 2… bm ( mod n )
(5) 정수계수다항식 f (x)에 대하여 f (a)≡ f (b) ( mod n ) .
합동식에서 역수
(1) a *가 법 n에 대한 a의 역수라 함은
a a *≡1 ( mod n ) .
(2) 법 n에 대한 a의 역수가 a *일 필요충분조건은
(a, n )=1 .
(3) 유클리드 호제법에서 (a, n)=1일 때
ax+by=1
을 이용하여 역수를 구한다.
(4) (a, n )=1일 때
① ax≡ay ⇔ x≡y ( mod n )
② ax≡b ⇔ x≡a *b ( mod n )
(5) ax≡ay ( mod n ) ⇔ x≡y ( mod n/d )
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오일러 파이 함수
(1) 자연수 n에 대하여
① φ(n) ≔ #{k∈ℕ | (n, k )=1 ∧ k≦n } .
② φ(n)= |ℤ*n |= (ℤn
에서 가역원의 개수).
(2) p가 소수이고 k≧1이면
① φ(p)= p-1 ,
② φ(pk )= pk-pk-1 .
(3) n= pr 11 pr 22 … p
rkk으로 소인수분해될 때
φ(n)=φ(pr 11 )φ(p
r 22 )…φ(p
rkk ) .
(4) 자연수 n에 대하여 ∑d |nφ(d )=n . (가우스)
(5) p가 소수이고 (p, a)=1이면 ap-1≡1 ( mod p ) .
(6) (a, n )=1이면 a φ(n)≡1 ( mod n ) . (오일러)
→ a의 법 n에 대한 역수는 a*=a φ(n)-1 .
(7) p가 소수이면 (p-1)!≡-1 ( mod p ) . (윌슨)
연립합동식
(1) 중국인의 나머지 정리 : 자연수 mi들이 서로소일 때
{x≡b 1 ( mod m 1 )x≡b 2 ( mod m 2 ) ⋯x≡b t ( mod mt )
의 해는 법 m 1m 2…mt에 대하여 유일하게 존재한다.
즉 x≡b i ( mod mi )의 해가 ai이고
b i=m 1…mi-1mi+1…mt
일 때 x i= a ib ib*i ( mod mi )에 대하여
x≡x 1+x 2+…+x t ( mod m 1m 2…mt )
가 주어진 연립합동식의 해가 된다.
(2) 자연수 n이 n= pr 11 pr 22 … p
rtt으로 소인수분해될 때
f (x) ≡0 ( mod n ) ⇔ {f (x) ≡0 ( mod p
r 11 )
…
f (x) ≡0 ( mod prtt )
(3) f (x)≡0 ( mod pn+1)의 해는 f (x)≡0 ( mod pn)의
해이다.
원시근
n > 1이고 (a, n )=1일 때
(1) ordna≔min {k∈ℕ | ak≡1 ( mod n ) }
→ 법 n에 대한 a의 위수
(2) a가 법 n의 원시근이다
⇔ ordna=φ(n)= |ℤ*n |= |U (ℤn ) |
⇔ <a >=ℤ*n=U(ℤn)
지수
자연수 n의 원시근 r에 대하여 (a, n )=1일 때
(1) ind ra≔min {k∈ℕ |a≡rk ( mod n )}
→ r에 대한 a의 지수
(2) ind rab≡ ind ra+ ind rb ( mod φ(n) )
(3) ind rak≡ k ind ra ( mod φ(n) )
(4) ind r1 ≡ 0 , ind rr≡ 1 ( modφ(n))
이차 잉여
(1) 라그랑지 정리 : 소수 p와 n차 정수계수다항식 f (x)
에 대하여 f (x) ≡0 ( mod p )는 법 p에 대하여 n개
이하의 서로 다른 해를 가진다.
(2) 이차합동식 ax 2+bx+c≡ 0 ( mod p )은
(x+2*a*b ) 2≡ (2*)2(a* ) 2b 2-a *c ( mod p )
로 고쳐서 푼다.
(3) p가 홀수인 소수이고 p/|a일 때 x 2≡a ( mod p )인 x
가 존재하면 a를 법 p에 관한 이차 잉여류라고 한다.
(4) ( ap )≔ {+1, a가 p에 관한 이차 잉여류일 때-1, a가 p에 관한 이차 비잉여류일 때
→ 르장드르 기호
르장드르 기호의 계산
p와 q가 서로소인 소수이고 p/|a , p/|b일 때,
(1) ( a2
p )=1 , (1p )=1 .
(2) a≡ b ( mod p )이면 ( ap )= (bp ) .
(3) ( ap )=ap-12 ( mod p ) . (오일러)
(4) ( abp )= (ap )(
bp ) .
(5) ( -1p )=(-1)p-12 .
(6) ( pq )(qp )=(-1)
p-12
q-12 . (이차상반법칙)
⇒ ( pq )=(qp )(-1)
p-12
q-12 .
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추상대수학 | Abstract Algebra
군과 부분군
(1) 집합 G에 주어진 이항연산 *가
(ⅰ) *는 결합적이다
(ⅱ) G는 *에 대한 항등원 e를 가진다
(ⅲ) 임의의 x∈G는 *에 대한 역원 x'∈G를 가진다
를 만족하면 <G, *>를 군 group이라고 한다.
(2) <G, *>의 연산 *이 교환법칙을 만족하면 <G, *>를
가환군 또는 아벨군 abelian group이라고 한다.
① ∀x∈G : x 2= e이면 G는 아벨군이다.
② ∀x∈G : x-1= x이면 G는 아벨군이다.
(3) 군 <G, *>에 대하여 H⊆G이고 <H, *>가 군이면
H를 G의 부분군이라고 하고 H≤G로 표기한다.
① {e }를 자명부분군이라고 한다.
② 부분군들의 교집합은 부분군이다.
③ a의 중심화군 : C(a)≔ {x∈G |xa=ax }
④ G의 중심 : C(G) ≔ ∩a∈GC(a)
={x∈G |∀a∈G : xa= ax }
(4) 공집합이 아닌 H⊆G에 대하여 다음은 동치이다.
① H≤G
② x, y∈H ⇒ xy∈H ∧ x-1∈H … 2-step test
③ x, y∈H ⇒ xy-1∈H … 1-step test
④ x, y∈H ⇒ xy∈H , H가 유한집합일 때
순환군
(1) S⊆G에 대하여 <S> ≔∩{H |S⊆H≤G }를 S에 의
하여 생성되는 G의 부분군이라고 한다.
① S를 <S>의 생성집합이라고 한다.
② 유한집합 S가 존재하여 G=<S>일 때 G를 유한생
성군 finitely generated group이라고 한다.
(2) 생성원이 단집합인 군을 순환군이라고 한다.
① G=<a >일 때 a를 G의 생성원이라고 한다.
② 순환군의 부분군은 순환군이다.
③ 모든 순환군은 아벨군이다.
④ ℤn의 생성원의 개수는 φ(n)이다.
⑤ <ℤ, +>에서
< a 1, a 2, …, an>=< gcd (a 1, a 2, …, an) >
(3) 군 G에 대하여
① G의 위수란 |G |를 의미한다.
② a∈G의 위수는 다음과 같이 정의한다.
ord(a) ≔ min {n∈ℤ+ |an= e }∪{∞ }
③ G가 유한군이고 an= e이면 ord(a) |n이다.
잉여류와 라그랑지 정리
(1) H≤G , a∈G에 대하여
① aH≔{ah |h∈H } : H의 a를 포함하는 좌잉여류
② Hb≔{hb |h∈H } : H의 b를 포함하는 우잉여류
③ [G : H ] ≔|{aH |a∈G }| : H의 G에서의 지수
=|{Ha |a∈G }|
= [H의 좌(우)잉여류의 개수 ]
(2) 라그랑지 Lagrange 정리
① H≤G이고 G가 유한군이면 |H |는 |G |를 나눈다.
→ |G |= |H |[G : H ]
② K≤H≤G이고 [G :H ]와 [H :K ]가 유한이면
[G :K ]= [G :H ][H :K ]이다.
군동형사상
(1) 군 <G, *> , <G ', *'>와 임의의 x, y∈G에 대하여
f (x *y )= f (x ) *'f (y )
를 만족하는 함수 f :G → G'를 준동형사상이라고 한다.
① 자명준동형사상 : f (x) ≡e로 정의된 f .
② 비자명준동형사상 : f (x) /≡e인 준동형사상 f .
③ 핵 : ker (f ) ≔f -1( {e })
(2) 동형사상 : 일대일 대응인 준동형사상 f .
① 동형사상 f :G → G'가 존재하면 G≅G' : 동형
(3) f :G → G'이 준동형사상일 때
① f (e )= e'
② f (a-1)= f (a)-1
③ H≤G ⇒ f (H )≤G'
④ K≤G' ⇒ f -1(K )≤G
⑤ f가 전단사이다 ⇔ ker ( f )= {e }
(4) 준동형사상 f : <S > → G는 S의 원소에 의해 완전히
결정된다.
(5) 준동형사상 f : <ℤm, +> → <ℤn, +>에 대하여
① (m, n)=1 ⇒ n | f (1) (즉 f (1)=0 )
② (m, n )=d ⇒ n/d | f (1)
군동형정리
(1) 제 1 동형정리
f :G → G'가 준동형사상이면 G/ker f ≅ f (G) .
→ GL 2(ℝ)/SL 2(ℝ) ≅ℝ*
(2) 제 2 동형정리
H≤G, N◁G ⇒ (HN )/N ≅H/(H∩N ) .
(3) 제 3 동형정리
H, K◁G, K≤H ⇒ G/H ≅(G/K )/(H/K ) .
- 6 -
잉여군
(1) H, K⊆G에 대하여 HK≔{hk |k∈H, k∈K } .
(2) N◁G : N이 G의 정규부분군이다
⇔ N≤G, ∀a∈G :aN=Na
⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1=N
⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1⊆N
⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1⊇N
⇔ N≤G, ∀a, b∈G : (aN )(bN )= abN
① 아벨군의 모든 부분군은 정규부분군이다.
② 준동형사상 f : G→ G'에 대하여 ker f ◁G이다.
③ C(G )◁G
(3) N◁G일 때 aN *bN으로 정의된 연산 *에 대하여
G/N≔{aN |a∈G }
을 N에 대한 G의 상군 또는 잉여군이라고 한다.
(4) 단순군 : {e }와 자신만을 정규부분군으로 갖는 군
→ 위수가 소수인 군은 단순군이다. (라그랑지 정리)
치환군
(1) {1, 2, …, n }에서의 일대일 대응을 치환이라고 하며
이러한 치환들의 모임 Sn에 함수의 합성 ∘가 연산으
로 주어진 군을 n차 대칭군이라고 한다.
→ n≧3이면 Sn은 아벨군이 아니다.
(2) σ, τ∈Sn에 대하여
① σ=( 1 2 … nσ(1) σ(2) … σ(n) )으로 표기한다.
② ak+1=σ(ak) , ak=σ(1)이 주기가 m인 수열을 정
의할 때 σ를 m -주기치환이라고 한다. 특히 2-주기치
환을 호환이라고 한다.
③ ( i 1, i 2, …, i r)= ( i 1, i r)( i 1, i r-1)… ( i 1, i 2) .
④ σ와 τ가 서로소이면 στ=τσ .
(3) 짝수개의 호환의 곱인 치환을 우치환, 홀수개의 호환의
곱인 치환을 기치환이라고 한다.
① An≔ ( Sn에서 우치환들의 모임 ) : n차 교대군
② Bn≔ ( Sn에서 기치환들의 모임 )
③ n≧2인 Sn에서 기치환과 우치환의 개수는 같다.
④ n≧2인 Sn의 부분군 H가 하나 이상의 기치환을
포함하면 H에서 기치환과 우치환의 개수는 같다.
⑤ n≧2 , n /=4이면 An은 단순군이다.
(4) ϕ a(x) ≔axa-1에 대하여
Inn(G) ≔ {ϕ a |a∈G } : 내적동형사상들의 모임
Aut(G) ≔ { f :G→ G automorphism }
일 때 Inn(G) ≤Aut(G) ≤SG .
(5) 임의의 군 G는 SG의 한 부분군과 동형이다. (케일리)
직적
(1) 군 Gi들과 성분별연산 ⋅에 대하여 <∏Gi, ⋅>를
외적적이라고 한다. G 1 , G 2가 가환군일 때 G 1×G 2를
직합이라고 하고 G 1⊕G 2로 표기한다.
(2) 군 G가 N 1, N 2◁G의 내직적이다
⇔ ∀g∈G : g= g 1g 2 : unique representation
⇔ G=N 1N 2 ∧ N 1∩N 2= {e }
→ 이 때 G ≅N 1×N 2이다.
(3) G가 분해 가능 decomposable하다
⇔ G가 H , K의 내직적, |H | /=1 /= |K |인 정규부분
군 H , K가 존재
⇔ G ≅H×K , |H | /=1 /= |K |인 H, K◁G가 존재
⇔ G ≅E×F , |E | /=1 /= |F |인 군 E , F가 존재
(4) G가 분해 불가능 indecomposable하다
⇔ (G≅H×K ⇒ H={e } ∨ K={e } )
(5) e , e'이 각각 G , H의 항등원이고 G= G×{e' } ,
H= {e }×H일 때
① G ◁G ×H , H ◁ G×H
② G ×H= ( G와 H의 내직적 )
③ G×H ≅ G ×H
(6) ℤm×ℤ n≅ Zmn ⇔ (m, n )= 1
유한생성가환군
유한생성가환군 G에 대하여 소수 p i들과 자연수 r i들이
존재하여
G ≅ℤ( p 1 )
r 1× ℤ ( p 2 )r 2×… × ℤ ( p n )
r n× ℤ ×… × ℤ .
여기서 p i들이 서로 다를 필요는 없다. 그리고 ℤ 인수들
의 개수를 G의 Betti Number라고 한다.
실로우 정리
(1) 제 1 실로우 Sylow 정리
소수 p에 대하여 |G |= pnm , (p, m )=1일 때
① ∀k∈ωn+1∃H≤G : |H |= pk
② H≤G , |H |= p k ( 1≦k≦n-1 )
⇒ ∃K : H◁K≤G , |K |=pk+1
(이 때 H를 G의 실로우 p -부분군이라고 한다. )
(2) 제 2 실로우 정리
유한군 G에 대하여, H 1 , H 2가 G의 실로우 p -부분군
이면 H 1= gH 2g-1인 g∈G가 존재한다.
(3) 제 3 실로우 정리
p | |G |이면 np≡1 ( mod p )이고 np | |G |이다.
(단, np는 G의 실로우 p -부분군의 개수이다. )
- 7 -
환과 부분환
(1) R상에서의 두 이항연산 + , ⋅에 대하여
(ⅰ) <R, +>가 아벨군이다
(ⅱ) R가 ⋅에 닫혀있고 결합법칙을 만족한다
(ⅲ) R는 + , ⋅에 대하여 분배법칙을 만족한다
을 만족할 때 <R, +, ⋅>을 환 ring이라고 한다.
(2) 환 R의 부분집합 S가 R과 동일한 연산에 대하여 환
이 될 때 S를 R의 부분환 subring이라고 한다. 다음은
서로 동치이다.
① S≤R : S가 R의 부분환이다
② x, y∈S ⇒ x-y∈S ∧ xy∈S
(3) 가환환 : ⋅가 가환인 환 <R, +, ⋅>
① 부울환 : ∀r∈R :r 2= r을 만족하는 환 … 가환환
(4) R에서 +에 대한 항등원을 0 , ⋅에 대한 항등원을
1로 표기하며 x의 +에 대한 역원을 -x , ⋅에 대한
역원을 x-1로 표기한다.
① 단위원을 가진 환 : 1∈R인 환 R
② 단원 : ⋅에 대한 역원이 존재하는 원소 = 가역원
③ R의 단원군 : U(R )=R *≔ (단원들의 모임)
④ 0x= x0=0
⑤ x(-y)= (-x)y=-xy , (-x)(-y)=xy
정역과 체
(1) a∈R가 인자라 함은 a /=0이고 ax= xa=0이면서
x /=0인 x∈R이 존재하는 것이다.
(2) 정역 : 인자를 갖지 않고 1∈R∖{0 }인 환 R .
(3) 나눗셈환 : 1∈R이고 R *=R∖{0 }인 환 R .
(4) 체 : 가환인 나눗셈환
① 체는 정역이다.
② 유한정역은 체이다.
③ 유한인 나눗셈환은 체이다.
환동형사상
(1) 두 환 R과 R'에 대하여 곱셈과 덧셈을 보존하는 함
수 f :R → R'를 환준동형사상이라고 한다.
(2) 환동형사상 : 전단사인 환준동형사상
(3) 환준동형사상 f :R → R'에 대하여
① f (0)=0' , f (-x)=-f (x)
② A≤R ⇒ f (A) ≤R' , B≤R'⇒ f -1(B) ≤R
③ ker (f )= {0 } ⇔ f가 전단사
④ 전사인 준동형사상 f에 대하여 f (1)=1'
상체
(1) 환 R , R'에 대하여 단사준동형사상 f :R → R'이 존
재하면 R은 R'에 매장된다고 한다. 이 때 R≅ f (R) .
(2) 정역 D와 S=D×(D∖{0 }) , 그리고 ∼를
(a, b )∼ (c, d ) ⇔ ad= bc
로 정의된 동치관계라고 하자. Q=S/∼에서
(a, b )+ (c, d )= (ad+bc, bd ) ,
(a, b )⋅ (c, d )= (ac, bd )
으로 정의된 연산 + , ⋅에 대하여 <Q, +, ⋅>를 상
체 또는 분수체라고 한다. 여기서 D는 Q에 매장된다.
통상 (a, b )를 a/b으로 표기한다.
(3) 모든 정역은 적당한 그리고 유일한 체에 매장된다.
(4) 모든 체에는 ℤ p 또는 ℚ가 매장된다.
표수
(1) 환 R와 집합 C={n∈ℕ |∀a∈R : na=0 }에 대하
여 R의 표수를 다음과 같이 정의한다.
char(R) ≔ { minC , C /=φ 0 , C=φ
(2) 1∈R이고 C={n∈ℕ |∀a∈R : 1n=0 }일 때
char(R)= { minC , C /=φ 0 , C=φ
(3) 정역 D에 대하여 1∈D≤R이면
char(D) = char(R)
(4) char(ℤm×ℤ n) = lcm(m, n )
(5) R={0 } ⇔ char(R)=1
(6) 정역의 표수는 0 또는 소수이다.
아이디얼
(1) 환 R의 공집합이 아닌 부분집합 I가 모든 a, b∈I
그리고 모든 r∈R에 대하여
a-b∈I ∧ ra, ar∈I
를 만족하면 I를 R의 아이디얼이라고 하고 I◁R로
표기한다.
(2) I◁R ⇔ I≤R, ∀r∈R : rI⊆ I ∧ Ir⊆ I
(3) I◁R에 대하여 <R/I, +, ⋅>를 I에 관한 R의 상
환 quotient ring 또는 잉여환 factor ring이라고 한다.
(4) f :R → R'이 준동형사상일 때
① ker f ◁R , R/ker f≅ f (R) … 제 1 동형정리
② I◁R이면 f (I )◁f (R)
③ J◁R'이면 f -1(J )◁R
(5) 단위원을 가진 환 R에 대하여 I◁R이 적어도 하나의
가역원을 포함하면 1∈I이고 I=R이다.
(6) 근기 radical : 멱 원 nilpotent의 집합
J={a∈R |∃m∈ℕ : am=0 } : R의 이데알이 된다.
- 8 -
극대아이디얼과 소아이디얼
(1) 극대아이디얼 : 관계 ≤에 의해 극대인 아이디얼
(2) 가환환 R의 아이디얼 P가
ab∈P ⇒ a∈P ∨ b∈P
를 만족하면 P를 R의 소아이디얼이라고 한다.
(3) R이 단위원을 가진 가환환이고 I◁R일 때
① I가 극대 아이디얼 ⇔ R/I가 체
② I가 소아이디얼 ⇔ R/I가 정역
③ 극대아이디얼은 소아이디얼이다.
(4) R이 단위원을 가진 가환환일 때 다음은 동치이다.
① R은 체이다.
② {0 }이 R의 극대아이디얼이다.
③ R의 아이디얼은 {0 }과 R 뿐이다.
다항식환
(1) 계수가 모두 R인 다항식들의 모임 R[x]를 R 위의
다항식환 polynomial ring이라고 한다.
(2) f (x)가 상수 아닌 두 다항식 g(x), h(x)∈F [x]의 곱
으로 표현될 수 있으면 F [x] 위에서 가약 reducible이
라고 하며 그렇지 않으면 기약 irreducible이라고 한다.
(3) 다항식 f (x)를 g (x)로 나눈 몫과 나머지는 유일하다.
(4) 다항식 f (x) ∈ℤ[x]가 ℚ[x]에서 기약일 필요충분조
건은 ℤ[x]에서 기약인 것이다.
(5) 다항식 f (x)= anxn+…+a 0와 α∈ℚ에 대하여
f (α )= 0 ⇒ α= ±a 0의 양의 약수an의 양의 약수
(6) D가 정역이고 f (x) ∈D [x] , g (x) ∈D [x]일 때
① f (x) /≡0 , g (x) /≡0
⇒ deg f (x) g(x)= deg f(x)+ degg(x)
② deg f (x) ≧ 2일 때 D에서 f (x)=0의 근이 존재하
면 f (x)는 가약이다.
(7) F가 체이고 f (x) ∈F [x] , deg f(x)가 2 또는 3이면
f (x)가 D [x]에서 가약 ⇔ ∃α∈D : f (α )=0
(8) 아이센슈타인 Eisenstein 판정법
다항식 f (x)= a 0+a 1x+…+anxn∈ℤ[x]에 대하여
p 2/|a 0 p |a 0 , p |a 1 , …, p |an-1 , p /|an
인 소수 p가 존재하면 f (x)는 ℚ[x]에서 기약이다.
(9) 원주등분다항식의 기약성 : 소수 p에 대하여
Ф p(x )≔xp-1+x
p-2+…+1은 ℚ[x]에서 기약이다.
주아이디얼정역
(1) R이 단위원을 가진 가환환일 때 < a> ◁R를 a에 의
해 생성된 주아이디얼이라고 한다. ( <a> ≔Ra=aR )
(2) 임의의 아이디얼이 주아이디얼인 정역을 주아이디얼정
역 PID라고 한다.
① ℤ는 PID이지만 ℤ[x]는 PID가 아니다.
② 체는 PID이다.
③ F가 체이면 F [x]는 PID이다.
④ f (x) ∈F [x]이고 < f (x)> /={0 }일 때
< f (x)>가 극대아이디얼 ⇔ f (x)가 F [x]에서 기약
유일분해정역
(1) 정역 D에서 서로 나누는 두 원소 a, b∈D를 동반원
이라고 한다. 즉 a |b ∧ b |a .
(2) 정역 D의 원소 p가 p /=0 , p는 가역원이 아니고
p=ab ⇒ a :가역원 ∨ b :가역원을 만족하면 p를 기약원이라고 한다.
(3) 정역 D의 원소 p가 p /=0 , p는 가역원이 아니고
p |ab ⇒ p |a ∨ p |b를 만족하면 p를 소원 또는 소수
라고 한다.
① 임의의 정역에서 소원은 기약원이다.
(4) 정역 D에서 0 또는 가역원이 아닌 임의의 x∈D가
유한개의 소원들로 인수분해되며, 그 형태가 동반원의 동
치관계에 의하여 유일하게 결정될 때 D를 유일분해정역
UFD라고 한다.
① UFD에서 임의의 기약원은 소원이다.
② D가 UFD이면 D [x]도 UFD이다.
③ 임의의 PID는 UFD이다.
유클리드정역
(1) 정역 D에 대하여 함수 ν : D∖{0 } →ℤ+0가 조건
(ⅰ) a, b∈D, b /=0 ⇒ ∃q, r∈D : a= bq+r
( r=0 또는 ν (r) < ν (b) )
(ⅱ) ∀a, b∈D∖{0 } : ν (a) ≦ν(ab)
를 만족할 때 D를 유클리드정역 ED이라고 한다.
이 때 ν를 D의 유클리드 부치라고 한다.
→ ν는 deg 와 같은 역할을 하는 함수이다.
(2) 모든 ED는 PID이다.
(3) 체 ⊆ ED ⊆ PID ⊆ UFD
- 9 -
대수적 확대체
(1) K가 F의 확대체라 함은 F가 K의 부분체임을 의미
하고 F≤K로 표기한다.
(2) F≤K일 때 K는 F 위의 벡터공간이고 K의 F 위
의 차수 degree를 [K : F ] ≔ dim FK로 정의한다.
① [K, F ] <∞일 때 K를 F의 유한확대체라고 한다.
② [K, F ]=∞일 때 K를 F의 무한확대체라고 한다.
(3) F≤E이고 α∈E , α i∈E일 때
F(α)≔∩{K |F∪{α }⊆K≤E }
= {f (α)g (α)-1 | f (x), g (x) ∈F [x], g (α) /=0 }
= ( α와 F를 포함하는 E의 최소의 부분체 )
F(α1, …, α i )≔ {K |F∪{α1, …, αn }⊆K≤E }
= ( α i들과 F를 포함하는 E의 최소의 부분체 )
(4) F≤K일 때 α∈K가 F에서 대수적 algebraic이라 함
은 f (α)=0이고 f (x) /≡0인 f (x) ∈F [x]가 존재하는
것이다. 그렇지 않으면 α는 F에서 초월적이라고 한다.
(5) F≤K이고 임의의 α∈K가 F에서 대수적이면 K를
F의 대수적 확대체라고 한다.
(6) F≤K이고 K=F (α)인 α∈K가 존재하면 K를 F
의 단순확대체라고 한다.
(7) F≤K이고 α∈K가 F에서 대수적일 때 p (α)=0이
고 p (x) /≡0이며 F [x]에서 기약이며 모닉monic인 다
항식 p (x)를 F 위에서 α에 대한 기약다항식이라고
하며 irr(α, F )로 표기한다.
→ F 위에서의 α에 대한 기약다항식은 유일하다.
→ 최고차의 계수가 1인 다항식을 monic이라고 한다.
→ F 위에서 α의 차수 : deg (α, F )≔ deg p (x) .
확대체의 성질
(1) 유한확대체는 대수적 확대체이다.
(2) L이 F의 유한확대체이고 F≤K≤L이면
[L :F ]=[L :K ][K :F ]이다.
① F≤E일 때 [E :F ]=1 ⇔ E=F .
② E가 F의 유한확대체이고 [E :F ]가 소수이면 E
는 F의 단순확대체이다.
(3) deg (α, F )=[F (α) :F ]= deg ( irr(α, F ))
(4) 유한체 F와 곱 ⋅에 대하여 <F*,⋅>은 순환군이다.
(5) 유한체 F , G에 대하여 |F |= |G | ⇔ F≅ G .
(6) 유한체의 위수는 소수의 거듭제곱이다.
갈로아 확대체
(1) 체 F와 a i∈F , 그리고 deg f (x) ≧1인 다항식
f (x)= a 0(x-a 1)(x-a 2)… (x-an)∈F [x]
에 대하여 확대체 K=F (a 1, a 2, …, an )를 F 위에서
f (x)의 분해체 splitting field라고 한다. 즉 K는 f (x)
를 1차식으로 인수분해할 수 있는 최소의 체이다.
(2) deg f (x)=n인 다항식 f (x) ∈F [x]가 f (x)의 분해
체에서 n개의 서로 다른 근을 가질 때 f (x)를 분리가
능 separable이라고 한다.
(3) K가 F의 유한확대체이고, 임의의 α∈K에 대하여 다
항식 f (x) ∈F [x]가 존재하여 f (α)=0일 때 K를 F
의 분리확대체 separable extension field라고 한다.
(4) F≤K일 때 연산 ⋅에 대하여
① F 위에서 K의 자기동형군
Aut(F )≔ {α :F → F : automorphism }
② F 위에서 K의 갈로아군
G (K/F )≔ {α∈Aut(K ) |∀x∈F :α(x)= x }
(5) K가 F의 대수적 확대체이고, α∈K에 대하여
f (α )=0인 임의의 기약다항식 f (x) ∈F [x]가 K [x]
에서 일차인수의 곱으로 인수분해 가능할 때 K를 F이
정규확대체 normal extension field라고 한다.
(6) S≤Aut(K )에 대하여
KS≔{a∈K |∀α∈S : α(a)= a } ≤K
를 S의 K 위의 고정체 fixed field라고 한다.
(7) F의 유한정규분리확대체 K를 F의 갈로아확대체라고
한다. ⇔ K가 F의 유한확대체이고 G(K/F )=S에
대하여 KS=F이다.
→ 복소수체는 실수체의 갈로아확대체이다.
갈로아 이론의 기본정리
K가 F의 갈로아확대체이고
α≔{E |F≤E≤K } , β≔ {H |H≤G (K/F ) }
에 대하여 φ :α → β가 φ(E )=G (K/E )로 정의될 때
(1) φ는 일대일 대응이다.
(2) E, L∈α에 대하여 E≤L일 필요충분조건은
φ(E )⊇φ(L) ∧ [G (K /E ) :G (K/L)]=[L :E ] .
(3) H, J∈β에 대하여 H⊇J일 필요충분조건은
KH≤Kj ∧ [H : J ]= [KH :KJ ] .
(4) F≤E≤K일 때
① E가 F의 정규확대체 ⇔ φ(E) ◁G (K/F )
② ① ⇒ G (E/F ) ≅G (K/F )/G (K/E )
- 10 -
대수척 폐체와 덮개
(1) 임의의 f (x) ∈F [x]가 F [x]에서 일차식의 곱으로 인
수분해 가능할 때 F는 대수적으로 닫혀있다고 한다. 그
리고 F를 대수적 폐체 algebraically closed라고 한다.
(2) K가 F의 대수적확대체이고 대수적으로 닫혀있을 때
K를 F의 대수적 덮개 algebraic closure 또는 대수적
폐포라고 하며 F≔K로 표기한다.
① ℂ는 대수적 폐체이다.
② ℝ=C이다.
③ 대수적 폐체는 무한체이다.
기하학적 작도
(1) α∈ℝ에 대하여 눈금없는 자와 컴퍼스를 이용하여 길
이 1인 선분으로부터 유한번의 과정을 거쳐 길이 | α |를
가지는 선분을 작도할 수 있을 때 α를 작도가능수 cons-
tructable number라고 한다.
① a, b∈ℝ이 작도가능수일 때 (a, b )∈ℝ 2를 작도가
능점이라고 한다.
(2) F≔{α∈ℝ | α is constructable }에 대하여
① ℚ≤F≤ℝ이다.
② α∈F이면 | α | ∈F이다.
③ 각 θ가 작도 가능 ⇔ sinθ가 작도 가능
⇔ cosθ가 작도 가능
④ 정 n각형이 작도 가능 ⇔ n=2mp 1p 2…pk
단, p i들은 22 c+1 꼴의 서로다른 소수 (페르마 소수)
(3) α∈ℝ에 대하여
① α가 작도 가능할 필요충분조건은 a 0=1 , an=α와
실수 a 1 , a 2 , … , an-1이 존재하여
[ℚ(a 0, a 1) :ℚ(a 0)]=[ℚ(a 0, a 1, a 2) :ℚ(a 0, a 1)]
=…=[ℚ (a 0, …, an) :ℚ(a 0, a 1, …, an-1)]=2 .
② α가 작도 가능하면 [ℚ(α) :ℚ ]=2n이다. ( n≧0 )
③ α가 작도 가능하면 α는 ℚ에서 대수적이다.
(4) 3대 작도 불능문제
① 임의각의 3등분 문제 : ‘임의의 각의 3등분선은 작도’
는 불가능하다.
② 배적문제 : 한 변의 길이가 1인 정육면체의 부피가
두 배가 되는 정육면체의 한 변의 길이는 작도 불가능
하다.
③ 원적문제 : 반지름의 길이 1인 원과 같은 면적의 정
사각형의 한 변의 길이는 작도 불가능하다.
- 11 -
실해석학 | Real Analysis
실수계
(1) 실수계 : 완비인 순서체 (유일하게 결정된다.)
① (ℝ, +, ⋅)은 체이다.
② (ℝ, ≦)는 전순서집합이다.
③ S⊆ℝ가 공집합이 아니고 위로 유계이면 α∈ℝ가
존재하여 α= supS이다.
(2) 실수 x , y에 대하여
① (∀ε > 0 : x < y+ε ) ⇔ x≦y
② (∀ε > 0 : x > y-ε ) ⇔ x≧y
③ (∀ε > 0 : |x | < ε ) ⇔ x=0
(3) 수학적 귀납법
자연수 n에 대한 명제 p(n)이
p (1) ∧ p (k) ⇒ p (k+1)
을 만족하면 임의의 자연수 n에 대하여 p (n)은 참이다.
상한과 하한
(1) 공집합이 아닌 집합 E⊆ℝ의 임의의 원소 x에 대하
여 x≦M인 실수 M이 존재하면 E는 위로 유계라고
한다. 이때 M을 E의 상계라고 한다.
→ E의 상계 중 최소원을 상한이라고 하며 supE로 표
기한다.
→ 하계와 하한에 대해서도 마찬가지로 정의한다.
→ 위아래로 유계이면 그냥 유계라고 한다.
(2) 공집합이 아닌 A, B⊆ℝ에 대하여
① B가 위로 유계이면 -B≔{x∈ℝ | -x∈B }는 아
래로 유계이고 supB=- inf(-S)이다.
② A⊆B이면 supA≦supB , infA≧infB
③ sup(A+B)= supA+ supB
(3) 아르키메데스의 원리
임의의 a∈ℝ에 대하여 a < n인 n∈ℕ이 존재한다.
(4) 유리수의 조 성
a < b인 임의의 실수 a , b에 대하여 a < q < b인 유리
수 q가 존재한다. 즉 ℚ=ℝ이다.
수열의 극한
(1) 실수열 <an>에 대하여
∀ε > 0 ∃N∈ℕ : n > N ⇒ |an-L | < ε
을 만족하는 실수 L이 존재할 때 <an>은 L에 수렴
한다고 하며 limn→∞an=L이라고 표기한다.
(2) 수렴하는 수열은 유계이며 그 극한은 유일하다.
수열의 극한의 계산
(1) 비교극한 : 유한개를 제외한 n에 대하여 an≦bn이 성
립하면 liman≦ limbn이다.
(2) 단조이고 유계인 수열은 수렴한다.
(3) 수열의 극한작용소는 사칙연산을 보존한다.
수열의 수렴성
(1) 정의역과 공역이 자연수 집합인 nk가 증가수열일 때
수열 <ank>를 <an>의 부분수열이라고 한다.
→ 수렴하는 수열의 부분수열은 수렴한다.
(2) ∀ε > 0 ∃N∈ℕ : m > n≧N ⇒ |am-an | < ε을 만족
하는 수열 <an>을 코시 수열이라고 한다.
→ 수열이 수렴할 필요충분조건은 코시수열인 것이다.
(3) 유계폐구간열 { I n }에 대하여 I i⊇I i+1이 성립하고 그
구간의 길이가 0에 수렴하면 #∩In=1이다.
(4) 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. (B.W.)
상극한과 하극한
(1) 수열 <an>이 실수 α에 수렴하는 부분수열을 가질 때
α를 <an>의 집적점이라고 한다.
(2) <an>이 유계이고 그 집적점들의 모임 C가 공집합이
아닐 때 liman≔supC , liman≔infC로 정의한다.
(3) 수열 <an>에 대하여
① lim an≦ liman
② <an>이 수렴 ⇔ liman= liman .
함수의 극한
(1) 함수 f의 정의역의 집적점 c와 실수 L에 대하여
∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x- c | < δ → | f (x)-L | < ε
이 성립할 때 limx→cf (x)=L이라고 한다.
(2) 함수 f의 정의역의 우집적점 c와 실수 L에 대하여
① ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x- c < δ → | f (x)-L | < ε
이 성립하면 limx→c+
f (x)=L이라고 한다.
② ∀M > 0 ∃δ > 0 : 0 < x- c < δ → f (x) > M
이 성립하면 limx→c+
f (x)=∞이라고 한다.
→ 좌극한에 대해서도 같은 방법으로 정의한다.
(3) 함수 f의 정의역이 위로 유계가 아닐 때
① ∀ε > 0 ∃X > 0 : x > X → | f (x)-L | < ε
이 성립하면 limx→∞f (x)=L이라고 한다.
→ 다른 극한도 같은 방법으로 정의한다.
- 12 -
함수의 극한의 계산
(1) limx→af (x)=L ⇔ lim
x→a+f (x)=L= lim
x→a-f (x)
(2) c의 적당한 근방에서 f (x) ≦g (x)이면
limx→cf (x) ≦ lim
x→cg (x)
(3) 실수 M에 대하여 x > M ⇒ f (x) ≦g (x)이면
limx→∞f (x) ≦ lim
x→∞g (x)
(4) 함수의 극한작용소는 사칙연산을 보존한다.
연속성
(1) f가 c에서 연속이라 함은 c가 f의 정의역의 집적점
이 아니거나 limx→cf (x)= f (c)인 것이다.
(2) f , g가 연속함수이면 f ±g , f⋅g , f/h , f∘g도 연
속함수이다.
(3) f가 c에서 연속일 필요충분조건은 xn → c인 임의의
수열 <xn>에 대하여 f (xn) → f (c)인 것이다.
(4) f가 연속함수이면 f ( limg (x))= limf (g (x))이다.
(5) f : [a, b] →ℝ가 연속함수일 때
① f는 [a, b]에서 최대값과 최소값을 가진다.
② f (a) < f (b)이면 f ( [a, b])⊇[f (a), f (b)]이다.
평등연속
(1) 함수 f :E →ℝ가 E에서 평등연속이라 함은
∀c∈E∀ε > 0 ∃δ > 0 : |x-c | < δ → | f (x)- f (c) | < ε
을 만족하는 것이다.
① 평등연속인 함수는 연속이다.
② 컴팩트 집합상에서 연속인 함수는 평등연속이다.
③ 미분이 유계인 함수는 평등연속이다.
(2) 구간 I와 적당한 실수 M에 대하여
∀x, y∈I : |f (x)-f (y) |≦M |x-y |
를 만족하는 함수 f를 리프쉬츠 함수라고 한다.
→ 리프쉬츠 함수는 평등연속이다.
미분의 정의
(1) f가 a에서 미분 가능하다는 것은 극한
L= limx→a
f (x)-f (a)x-a
이 존재하는 것이다. 이 때 L= f '(a)로 표기한다.
① L을 a에서 f의 미분계수라고 한다.
② f '를 f의 도함수라고 한다.
③ f '이 연속인 f는 연속적으로 미분가능이라고 한다.
미분의 계산
(1) f , g가 미분 가능할 때
① (f (x)+g (x))'= f '(x)+g'(x)
② (f (x)g (x))'= f '(x)g (x)+f (x)g'(x)
③ ddx (
f (x)g (x) )=
f '(x)g (x)-f (x)g'(x)
g (x)2
④ (f (x)g (x)) (n)= ∑n
k=1nC k f
(n- k)(x) g
( k)(x)
(2) f가 a에서 미분가능하고 g가 f (a)에서 미분가능할
때 (g∘f )'(a)=g'(f (a)) f '(a) .
미분의 활용
(1) 평균값정리 : f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b )에서
미분 가능하면 c∈(a, b )가 존재하여
f (b)-f (a)b-a
= f '(c)
를 만족한다.
(2) 베르누이 부등식 : -1≦x일 때
① 0 < α≦1 ⇒ (1+x )α≦1+αx
② 1≦α ⇒ (1+x )α≧1+αx
(3) 로피탈의 정리 : f , g가 미분 가능하고
limx→af (x)= lim
x→ag (x)=0 ∨ lim
x→af (x)= lim
x→ag (x)=∞
이면 limx→a
f (x)g (x)
= limx→a
f '(x)g'(x)
이다.
(4) ∀x∈(a, b ) : f '(x) > 0 ⇒ f는 [a, b]에서 순증가.
역함수의 미분
(1) 역함수 정리 : f가 미분 가능하고 f ' > 0이면 f -1는
미분 가능하고 f (x)= y에 대하여
(f-1)'(y )=
1f '(x)
.
(2) lnx≔⌠⌡
x
1
1tdt , exp (x) ≔ ln -1x .
① ( ln x )'=1/x , ( expx )'= expx
② ln ab= ln a+ ln b
③ exp (x+y )= exp (x) exp (y)
(3) e≔ exp1 , ax≔ exp (x lna ) .
(4) 삼각함수
① sinhx≔ex-e- x
2, coshx≔
ex+e- x
2
② sin -1x는 sinx의 역함수
③ cos -1x는 cosx의 역함수
- 13 -
리만 적분의 정의
f : [a, b] →ℝ가 유계이고 P={x i }가 [a, b]의 분할
일 때
(1) 상합 U(f, P )와 하합 L ( f, P )을 각각
U (f, P )≔∑n
i=1(x i-x i-1)sup{f (x) |x∈[x i-1, x i] }
L (f, P )≔∑n
i=1(x i-x i-1) inf{f (x) |x∈[x i-1, x i] }
으로 정의한다.
(2) 상적분가 하적분을 각각
상적분 : ⌠⌡
b
af (x) dx≔ infPU (f, P )
하적분 : ⌠⌡
b
af (x) dx≔ supPU (f, P )
으로 정의한다.
(3) f가 [a, b]에서 리만적분 가능하다 함은
⌠⌡
b
af (x) dx = ⌠⌡
b
af (x) dx≕⌠⌡
b
af (x) dx .
리만적분의 성질
(1) f가 I=[a, b]에서 리만적분 가능하다
⇔ 임의의 ε > 0에 대하여 I의 분할 P가 존재하여
U ( f, P )-L ( f, p ) < ε인 것이다.
⇔ f가 [a, b]의 거의 모든 점에서 연속이다.
(2) 단조함수와 연속함수는 적분가능하다.
(3) 적분연산자는 선형작용소이며 평등순서관계를 보존한다.
(4) |⌠⌡b
af (x) dx |≦⌠⌡
b
a| f (x) |dx
(5) f : [a, b] →ℝ가 연속이면
f (c)=
⌠⌡
b
af (x) dx
b-a
를 만족하는 c∈(a, b )가 존재한다.
(6) (⌠⌡b
af (x)g (x) dx )
2
≦⌠⌡
b
af (x) 2dx⌠⌡
b
ag (x) 2dx
미적분의 기본정리
(1) f가 [a, b]에서 적분가능하고 F가 [a, b]에서 미분
가능하며 F'= f이면 ⌠⌡
b
af (x)dx=F (b)=F (a)이다.
→ 이 때 F를 f의 부정적분이라고 한다.
(2) f : [a, b] →ℝ가 연속함수이면 f는 [a, b]에서 적
분 가능하고 ddx⌠⌡
x
af (x)dx= f (x)이다.
(3) F , g가 미분가능하고 F '= f일 때
⌠⌡f (g (x))g'(x)dx=F (g (x))+C
.
(4) f , g가 미분 가능하고 f ' , g '이 적분 가능할 때
⌠⌡f '(x)g (x)dx= f (x)g (x )-
⌠⌡f (x)g'(x)dx
.
특이적분
(1) f가 (a, b]에서 정의될 때
⌠⌡
b
af (x)dx≔ lim
c→0+
⌠⌡
b
a+cf (x) dx .
→ 우개구간에서도 같은 방법으로 정의.
(2) f가 [a, ∞)에서 정의될 때
⌠⌡
∞
af (x)dx≔ lim
N→∞
⌠⌡
N
af (x)dx .
→ 아래로 유계가 아닌 구간에서도 같은 방법으로 정의.
(3) 적분구간에서 0≦ f (x) ≦g (x)일 때
⌠⌡
b
ag (x)dx가 수렴하면 ⌠⌡
b
af (x)dx도 수렴한다.
무한급수
(1) ∑∞
n= ian≔ lim
k→∞∑k
n= ian : 간단히 ∑an으로 표기.
① ∑|an |이 수렴하면 ∑an은 절대수렴한다고 한다.
② ∑an이 수렴하지만 절대수렴하지 않으면 조건수렴
한다고 한다.
(2) 양항급수가 수렴할 필요충분조건은 위로 유계인 것이다.
(3) ∑an이 수렴하면 lim an=0이다.
급수 수렴성의 판정
(1) 양항수열 <an>이 단조감소이면 ∑(-1)nan은 수렴
한다. (교대급수)
(2) ∑1
np는 p > 1일 때 수렴하고 0 < p≦1일 때 발산한
다. ( p-급수)
(3) 양항수열 {an } , {bn }에 대하여 {an/bn }이 수렴하면
∑an과 ∑bn은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(4) ρ≔ lim n|an |에 대하여
① ρ < 1이면 ∑an은 절대수렴,
② ρ > 1이면 ∑an는 발산한다.
(5) ρ= lim |an+1|/|an | , ρ= lim|an+1|/|an |에 대하여
① ρ < 1이면 ∑an은 수렴한다.
② ρ > 1이면 ∑an은 발산한다.
(6) f가 [1, ∞)에서 단조감소이고 f ≧0일 때
⌠⌡
∞
1f (x)dx와 ∑f (n)은 동시에 수렴하거나 발산한다.
(7) 양항수열 <an>과 r≔ limn→∞n (
anan+1
-1 )에 대하여∑an는 r > 1일 때 수렴하고 r < 1이면 발산한다.
(8) 감소하는 양항수열 <an>에 대하여 ∑an이 수렴할 필
요충분조건은 ∑2na 2n이 수렴하는 것이다.
- 14 -
함수열
(1) E상에서 정의된 함수열 < f n>에 대하여
① fn → f : ∀x∈E : limn→∞f n(x)= f (x) . … 점별수렴
② fn ⇉ f : limn→∞|| f n- f ||=0 . … 평등수렴
(2) E상에서의 함수열 < f n>에 대하여
① fn ⇉ f이면 fn → f이다.
② 각 f n이 연속이고 fn ⇉ f이면 f도 연속이다.
③ 각 fn이 적분가능하고 fn ⇉ f이면 f도 적분가능하
고 ⌠⌡
b
alimn→∞f n(x)dx= lim
n→∞
⌠⌡
b
af n(x) dx이다.
④ 실수열 <Mn>에 대하여 0≦|| f n ||≦Mn이 성립하고
∑Mn이 수렴하면 ∑fn은 평등수렴한다.
(3) E상에서의 함수열 < f n>이 네 조건
(ⅰ) 각 fn이 미분가능하다
(ⅱ) 각 fn'이 적분가능하다
(ⅲ) < fn(x 0) >이 수렴하는 x 0∈E가 존재한다
(ⅳ) < fn' >이 연속함수 g에 평등수렴한다
를 만족하면 f n은 미분가능한 함수 f에 평등수렴하고
f '= g이다.
(4) f : [a, b] →ℝ가 연속이면 f에 평등수렴하는 다항함
수열이 존재한다. (바이에르슈트라스 다항식 근사정리)
멱급수
(1) 실수열 <an>에 대하여 ∑an(x-c)n을 중심 c에서
의 멱급수라고 한다.
(2) 멱급수 ∑an(x-c)n은 다음 중 하나만 만족한다.
(ⅰ) x= c에서만 수렴한다.
(ⅱ) |x-c | < a일 때 수렴, |x-c | > c일 때 발산한다.
(ⅲ) 모든 실수 x에 대하여 수렴한다.
이 때 r≔{0 , case (ⅰ)a , case (ⅱ)∞, case (ⅲ)
를 수렴반경이라고 한다.
(3) 수렴반경 공식 : r= limn→∞
1n |an |
= limn→∞
|an |
|an+1 |
(4) 멱급수 ∑an(x-c)n가 수렴하는 x의 집합을 수렴구
간이라고 한다.
테일러 전개
(1) 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f∈Cn+1(I ) , c∈I일 때
① n차 테일러 다항식 : Pn(x )≔ ∑n
k=0
f( k)(c)k!
② n차 테일러 나머지항 : Rn+1≔ f (x)-Pn(x)
③ 여기서 Rn+1(x)=1n!⌠⌡
x
cf (n+1)( t )(x-t )ndt
(2) 테일러 정리 : 위에서 정의한 f , c에 대하여
Rn+1(x)=f(n+1)
(β )(n+1)!
(x-c)n+1
을 만족하는 β∈(a, b )가 존재한다.
실해석적함수
(1) f가 a에서 실해석적이라 함은 a의 근방에서 테일러
다항식이 f에 평등수렴하는 것이다. 즉
∑n
k=0
f( k)(a)k!
(x-a) k ⇉ f (x) .
이것은 a의 근방에서 Rn(x) ⇉ 0과 동치이다.
(2) 정의역의 모든 점에서 해석적인 함수를 실해석적 함수
라고 한다.
(3) 해석적 함수의 테일러 전개에서 계수열은 유일하게 결
정된다.
멱급수의 미적분
(1) 멱급수는 수렴구간의 폐부분집합에서 평등수렴한다.
(2) 멱급수는 수렴반경내에서 항별로 미적분 가능하다.
다변함수의 극한
(1) x, y∈ℝn에 대하여
① 벡터합 : x+y ≔(x i+y i ) i (성분별연산)
② 내적 : x⋅y= ∑n
k=1x ky k
③ 노름 : ||x || ≔ x⋅x= ∑x2k
④ x⋅y=|x | |y | cos∠(x, y )
⑤ |x⋅y |≦|x | |y | : 코시 슈바르츠 부등식
⑥ |x+y |≦|x |+|y | : 삼각부등식
⑦ 외적 : n=3일 때
x×y ≔ ( | x 2 x 3y 2 y 3 |, |x 3 x 1y 3 y 1 |, |
x 1 x 2y 1 y 2 |)
(2) ℝn의 개집합 U와 a∈U , f :U →ℝm에 대하여
① limx→af (x)=L
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x-a | < δ → | f (x)-L | < ε
② f가 a에서 연속 ⇔ limx→af (x)= f (a) .
- 15 -
다변함수의 미분
(1) U⊆ℝn이 개집합이고 함수 f :ℝn→ℝm가
f=( f 1, f 2, …, fm )
일 때 단위벡터 v와 P=(p 1, …, pn )에 대하여
① Dvf (P) ≔ddtf (P+ t v )|
t= 0= lim
t→0
f (P+ tv)-f (P)t
② 편미분 : 표준기저 {e i }에 대하여
f x i(P) ≔De f (P)=∂ f∂x i |P
③ f가 P에서 미분가능하다 함은 선형사상
T :ℝn→ℝ
m
가 존재하여 다음을 만족하는 것이다.
limh→0
| f (P+h )-f (P)-T (h) ||h |
= 0
이때 T를 f의 전미분이라고 하며 [T ]≔ f '(P)를
f의 P에서의 야코비 행렬이라고 한다.
(2) 앞서 정의한 f와 P에 대하여
① P의 근방에서 f의 일계편도함수가 존재하고 그 편
도함수가 P에서 연속이면 f는 P에서 미분가능하다.
② f가 P에서 미분가능하면 P에서 f의 일계편도함수
가 존재하며 또한 다음이 성립한다.
f '(P)= [d f (P) ]= (∂ f i∂x i(P) m×n )
특히 m=n인 경우
Δ f (P)= det(f '(P) )≔∂(f 1, …, fn )
∂(x 1, …, xn ) |P를 f의 P에서의 야코비행렬식이라고 한다.
(3) 미분가능한 함수 f , g에 대하여
① [d(f+g)(P)]=[df (P)+dg(P)]
② [d (α f )(P)]=α [d (f (P)]
③ [d ( f⋅g )(P)]=g (P) t [d ( f (P)) ]+ f (P) t [dg(P)]
④ [d (g∘f )(P)]=[dg ( f (P))][df (P)]
(4) 역함수정리
개집합 U⊆ℝn와 V= f (U ) , P∈U , Q= f (P)에 대
하여 f :U →ℝn가 C 1이고 Δ f (P) /= 0이면
(ⅰ) U 0⊆U , V 0⊆V인 각 P와 f (P)의 개근방,
(ⅱ) f : U 0 → V 0가 전단사이고 f-1가 C 1
을 만족하는 U 0 , V 0가 존재하여 dGQ=[dfP]-1 .
(5) 음함수정리
U⊆ℝ 2가 개집합이고 함수 f :U →ℝ가 C 1이며
(a, b )∈U , f (a, b )=0 , f y (a, b ) /=0이면 a , b의
개근방 A , B와 함수 ϕ :A → B가 존재하여
f (x, y )= 0 ∧ (x, y )∈A×B ⇔ y=ϕ(x) .
여기서 ϕ는 C 1이고 ϕ'(a)=-f x(a, b )
f y(a, b )이다.
일변수벡터함수의 미분
(1) 구간 I와 α : I → ℝn에 대하여
① α의 속도벡터 : α '( t )= (α i'( t )) i … 성분별미분
② α의 속력 : | α '( t ) |
③ α가 정칙곡선이다
⇔ α가 C 1이고 ∀t∈I : α '( t ) /=0이다.
④ 정칙곡선 α의 길이 : L≔⌠⌡
b
a| α '( t ) |dt
→ ds≔|α'( t ) |dt를 선요소 line element라고 한다.
다변수실함수의 미분
(1) 개집합 U⊆ℝn과 P∈U , v∈ℝn , f : U →ℝ에 대
하여
① f의 v 등위면 : f -1(v)
② 델 : ∇≔( ∂∂x i ) i③ f의 그래디언트 : grad f |P≔∇f |P=( ∂ f∂x i ) i④ P가 f의 임계점이다 ⇔ ∇ f |P=0
(2) 단위벡터 a∈ℝn에 대하여
Da f =∇f⋅a=|∇f | |a | cosθ .
따라서 θ=0일 때 Daf는 최대값 |∇f |를 갖고 θ=π
일 때 Daf는 최소값 -|∇f |를 가진다.
(3) f가 P에서 모든방향미분이 존재하고 P가 f의 최대
점 또는 최소점이다 ⇒ P는 f의 극점이다 ⇒ P는 f
의 임계점이다
(4) (점 P에서 c의 등위면의 접선면) ⊥ ∇f (P)
→ f의 c -등위면 S와 P∈S에 대하여, S의 P에서의
접평면의 방정식은 0= (∇f |P )⋅(x-P )이다.
(5) 개집합 ℝ 2와 f :U →ℝ의 임계점 P∈U에 대하여
a≔D21f (P ) , b≔D 1D 2f (P ) , c≔D
22f (P )라고 할 때
① ac- b 2 > 0 , a > 0 ⇒ P는 극소점
② ac- b 2 > 0 , a < 0 ⇒ P는 극대점
③ ac- b 2 < 0 ⇒ P는 안장점
(6) K⊆ℝn이 폐유계이면 f : K →ℝ는 K에서 최대값과
최소값을 가진다.
(7) 라그랑지 승수법
f :ℝn→ℝ , g :ℝ n→ℝ가 C 1이고 K= g-1(c)이며
P∈K가 f의 K에서의 극점이며 ∇g(P) /=0이면 적
당한 λ∈ℝ가 존재하여 ∇f (P)=λ∇g (P)이다.
- 16 -
리만다중적분
(1) 직사각형 역 R⊆ℝn의 분할 P에 대하여
⌠⌡RfdR≔infU (f, P )= supL (f, P ) ≕⌠⌡R
fdR
일 때 f는 R에서 리만적분 가능하다고 한다.
(2) 직사각형 역 R의 부분집합 E에 대하여
① f(P)≔{ f (P), P∈E 0 , P∈R E
② ⌠⌡Ef dE≔⌠⌡R
f dR .
(3) f가 R= [a, b]×[c, d]에서 적분가능하면
① ⌠⌡RfdR=⌠⌡
b
a
⌠⌡
d
cf (x, y )dydx =⌠⌡
d
c
⌠⌡
b
af (x, y )dydx
② [a, b]로부터 ℝ로의 함수 g 1 , g 2가 C1이고 임
의의 x∈[a, b]에 대하여 c≦g 1(x) ≦g 2(x) ≦d이
며 A={ (x, y ) |a≦x≦b, g 1(x) ≦y≦g 2(x) }이면
⌠⌡Af dA=⌠⌡
b
a
⌠⌡
g 2(x)
g 1(x)f (x, y )dydx .
③ G :U →ℝn이 단사인 C 1 함수이면
⌠⌡G (U )
f dG (U ) =⌠⌡U(f∘G )|ΔG| .
선적분과 면적분
(1) U⊆ℝn이 개집합이고 정칙곡선 C을 정의하는 함수가
α : [a, b ]→U , α( t )= (α i(t )) i
이며 α[a, b]⊆U , F : U →ℝn , f :U →ℝ 1일 때
① ⌠⌡CF≔⌠⌡
b
aF (α( t ))⋅α'( t )dt=⌠⌡C
F⋅ t ds ,
② ⌠⌡Cf≔⌠⌡
b
af (α( t ))|α'( t ) |dt=⌠⌡C
f ds .
여기서 ds=|α'( t ) |dt , t=α'( t )α'( t )
.
(2) D⊆ℝ 2가 단순연결 역이고 C= Bd(D)가 구분적으
로 C 1이며 C의 방향이 양의 방향이라고 하자.
① 그린정리 : P (x, y ) , Q (x, y )가 D에서 ℝ로의 함
수이고 C 1일 때
⌠⌡CP(x, y )dx+Q(x, y )dy=⌠⌡
⌠⌡DQx-Pydydx
=⌠⌡⌠⌡D (
∂Q∂x-∂P∂y )dydx .
② D의 면적 A에 대하여
A=12⌠⌡C(-y dx+xdy)=-⌠⌡C
ydx=⌠⌡Cxdy .
(3) D⊆ℝ 2와 S⊆ℝ 3에 대하여 x : D→ S가 전단사함수
이고 x u×x v /= 0일 때 S를 곡면, x를 S의 매개화라
고 한다.
(4) f : →ℝ에 대하여
① ⌠⌡⌠⌡Sf (x, y, z ) ≔⌠⌡
⌠⌡Df ( x(u, v )) |xu×x v |dudv .
② 함수 F : S →ℝ 3와 곡면 S의 단위법벡터장
U ≔x u×x v| x u×x v |
에 대하여
⌠⌡⌠⌡SF ≔⌠⌡
⌠⌡SF⋅U dS
=⌠⌡⌠⌡SF ( x(u, v ))⋅( x u×x v)dudv
를 면적분이라고 하고 dS≔|x u×x v |dudv를 면적소
라고 한다.
스토크스 정리와 발산정리
(1) 스토크스 Stokes 정리
역 D의 경계 C= bd(D)가 구분적으로 C 1이고
S가 D에서 정의된 곡면일 때 F : S →ℝ 3에 대하여
⌠⌡CF =⌠⌡
⌠⌡S(∇×F ) .
이 때 ∇×F ≕ curlF를 f의 회전 curl이라고 한다.
(2) 발산 divergence정리
ℝ3상의 폐 역 R와 F :R →ℝ 3에 대하여
⌠⌡⌠⌡∂R
F =⌠⌡⌠⌡⌠⌡R∇⋅F .
이 때 ∇⋅F≕ divF를 f의 발산이라고 한다.
→ 가우스 정리라고도 한다.
- 17 -
위상수학 | Topology
위상공간
(1) 집합 X에 대하여 ℑ⊆2X가
(ⅰ) X∈ℑ , φ∈ℑ
(ⅱ) {Gi } i∈I⊆ℑ ⇒ ∪Gi∈ℑ
(ⅲ) {Gi }n
i=1⊆ℑ ⇒ ∩Gi∈ℑ
를 만족할 때 ℑ를 X에서의 위상이라고 한다.
(2) 위상공간 (X,ℑ)에 대하여
① ℑ의 원소 G를 개집합이라고 한다.
② Fc가 개집합일 때 F를 폐집합이라고 한다.
③ 개집합이면서 폐집합인 집합을 개폐집합이라고 한다.
④ X , φ는 개폐집합이다.
⑤ 임의 개수의 폐집합의 교집합은 폐집합이다.
⑥ 유한 개의 폐집합의 합집합은 폐집합이다.
(3) 상대위상 : A⊆X에 대하여 ℑA≔{A∩G |G∈ℑ }
를 A상에서의 상대위상이라고 한다.
① H∈ℑA를 상대개집합이라고 한다.
② (A, ℑA)를 (X, ℑ)의 부분공간이라고 한다.
여러 가지 위상
(1) 이산위상 : ℑ=2X
(2) 비이산위상 : ℑ={φ, X } ( 착위상)
(3) 보통위상 : 거리공간 ℝn에서 개집합의 모임
(4) 여유한위상 : ℑ={G⊆X | #Gc < #ℕ }∪ {φ }
(5) 여가산위상 : ℑ={G⊆X | #Gc < #ℝ }∪ {φ }
(6) 시어핀스키 공간 : ℑ={∅, {0 }, X } , X={0, 1 }
근방과 집적점
(1) 위상공간 (X,ℑ)와 x∈X에 대하여
① U가 x의 근방 ⇔ ∃G∈ℑ :x∈G⊆U .
② x의 근방이면서 개집합이면 x의 개근방
③ 근방계 : η x= ( x의 근방들의 모임)
(2) 위상공간 (X,ℑ)에 대하여
① U 1, U 2∈η x ⇒ U 1∩U 2∈η x
② G가 개집합 ⇔ ∀x∈G : G는 x의 개근방
(3) 위상공간 (X,ℑ)와 A⊆X에 대하여
① x가 A의 극한점(집적점)이다
⇔ ∀U∈η x : (U∖{x })∩A /=φ
⇔ ∀G∈η x∩ℑ : (G∖{x })∩A /=φ
② 도집합 : A'≔ (A의 집적점들의 모임)
폐포
(1) 위상공간 (X,ℑ)와 A⊆X에 대하여
① 폐포 : A= (A를 포함하는 모든 폐집합의 교집합)
② A는 X에서 조 하다 ⇔ A=X
(2) 위상공간 (X,ℑ)와 A, B⊆X에 대하여
① x∈A ⇔ ∀G∈η x∩ℑ : G∩A /=φ
② x∈A' ⇔ ∀G∈η x∩ℑ : (G∖{x })∩A /=φ
③ φ=φ , X=X
④ A=A∪A' , A∪B= A∪ B , A∩B⊆A∩ B
내점, 외점, 경계점
위상공간 (X, ℑ)와 A, B⊆ℑ에 대하여
(1) x∈int(A)=Ao ⇔ ∃G∈ℑ : x∈G⊆A : 내점
→ int(A)=∪{G∈ℑ |G⊆A } : 내부
(2) x∈ext(A) ⇔ ∃G∈ℑ : x∈G⊆Ac : 외점
→ ext(A)= int(Ac ) : 외부
(3) x∈Bd(A)=∂A ⇔ ∀G∈η x :G∩A /=φ /=G∩Ac
→ Bd(A)= A∩Ac : 경계
(4) A : nowhere dense ⇔ int(A)=φ
(5) int(φ)=φ , int(X )=X
(6) int(A∩B)= int(A) ∩int(B) ,
int(A∪B)⊇int(A) ∪int(B)
(7) A= int(A) ∪ Bd(A)
기저
위상공간 (X, ℑ)에 대하여
(1) β가 ℑ의 기저이다 ⇔ β⊆ℑ이고 ℑ의 임의의 원
소가 β의 적당한 원소들의 합집합으로 표현된다.
(2) S가 ℑ의 부분기저이다 ⇔ S의 원소들의 유한교집
합들의 모임이 ℑ의 기저가 된다.
→ ( S에 의하여 생성된 위상 )
= ( S를 부분기저로 갖는 위상 )
= ( S를 포함하는 최소의 위상 )
= ( S를 포함하는 모든 위상의 교집합 )
(3) β x가 x에서의 국소기저이다
⇔ β x⊆η x∩ℑ , ∀U∈η x∃B∈β x : x∈B⊆U
⇔ β x⊆η x∩ℑ , ∀G∈η x∩ℑ∃B∈β x : x∈B⊆G
- 18 -
연속함수
(1) 함수 f : (X, TX)→ (Y, TY)에 대하여
① f가 a∈X에서 연속이다
⇔ ∀G∈η( f (a))∩TY∃H∈η a∩TX : f (H )⊆G
⇔ ∀G∈η( f (a))∩TY : f-1(G) ∈η a∩TX
② f가 X상에서 연속이다
⇔ 임의의 x∈X에 대하여 f가 x에서 연속이다
⇔ ∀G∈TY : f-1(G) ∈TX
⇔ ∀F∈TYc: f
-1(F )∈TX
c
⇔ ∀A∈X : f (A )⊆ f (A)
(2) 연속함수 f :X→Y , g :Y→ Z에 대하여 g∘f는 연
속함수이다.
위상동형과 개․폐사상
(1) f가 전단사이고 f와 f -1가 모두 연속이면 f를 위상
동형사상이라고 한다.
(2) X , Y에 대하여 위상동형사상 f :X→ Y가 존재할 때
두 공간을 위상동형이라 하고 X≈ Y라고 한다.
(3) 개사상 : 개집합의 상이 개집합인 함수
(4) 폐사상 : 폐집합의 상이 폐집합인 함수
(5) f가 위상동형 ⇔ f는 연속인 전단사이고 개사상
거리공간
(1) d :X×X → ℝ가 거리함수라 함은
(ⅰ) d (a, b )≧0
(ⅱ) d (a, b )=0 ⇔ a= b
(ⅲ) d (a, b )=d (b, a )
(ⅲ) d (a, c )≦d (a, b )+d (b, c )
를 만족하는 것이다.
(2) X상의 거리함수 d에 대하여
β d={Bd (x, ε ) |x∈X,ε > 0 }
를 기저로 갖는 위상 ℑd를 거리위상이라고 한다.
(3) X 위의 거리함수 d 1 , d 2가 유도하는 위상이 같을 때
두 거리를 동치거리라고 하며 d 1∼d 2로 표기한다.
(4) 위상공간 (X, ℑ)에 대하여 적당한 거리함수 d가 존
재하여 ℑ=ℑd가 될 때 (X, ℑ)는 거리화가능이라고
한다.
(5) X상의 거리 d에 대하여
d 1(x, y )≔d (x, y )1+d (x, y )
는 유계인 거리함수가 된다.
(6) 시어핀스키공간은 거리화 불가능이다.
점열의 수렴과 가산공리
(1) 위상공간 (X, ℑ)의 기저 β와 부분기저 S에 대하여
{xn }이 x에 수렴한다 ( xn → x )
⇔ ∀G∈η x∩ℑ∃N∈ℕ : n≧N → xn∈G
⇔ ∀B∈η x∩β∃N∈ℕ : n≧N → xn∈B
⇔ ∀G∈η x∩S∃N∈ℕ : n≧N → xn∈G
(2) 위상공간 (X, ℑ)에 대하여
① X가 제 1 가산공간이다
⇔ 임의의 x∈X에 대하여 국소기저 β x가 존재
② X가 제 2 가산공간이다
⇔ ℑ의 가산기저가 존재
③ X가 가분 separable이다
⇔ X의 가산조 부분집합이 존재한다.
④ 제 2 가산공간은 제 1 가산공간이다.
⑤ 제 2 가산공간은 가분공간이다.
⑥ 거리공간에서 가분공간은 제 2 가산공간이다.
(3) 위상공간 X , Y와 f :X→ Y에 대하여
① f가 x에서 점열연속 sequentially continuous이다
⇔ x n→ x이면 f (xn )→ f (x)이다.
② f가 점열연속사상 sequentially continuous map이다
⇔ 임의의 x∈X에서 f가 점열연속이다.
③ 연속함수는 점열연속사상이다.
④ 제 1 가산공간에서 점열연속사상은 연속함수이다.
분리공리
(1) (X, ℑ)는 T 0 공간이다 Kolmogorove space
⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U∈ℑ가 존
재하여 x∈U /∋y 또는 x /∈U∋y이다.
(2) (X, ℑ)는 T 1 공간이다
⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U, V∈ℑ가
존재하여 x∈U /∋y , x /∈V∋y이다.
⇔ X의 임의의 유한부분집합은 폐집합이다.
(3) (X, ℑ)는 T 2 공간이다 Hausdorff space
⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U, V∈ℑ가
존재하여 x∈U , y∈V , U∩V=φ이다.
⇒ 수열의 극한이 유일하다. (제 1 가산일 때 역도 성립)
(4) (X, ℑ)는 정칙공간 regular space이다
⇔ 임의의 폐집합 F와 x∈Fc에 대하여 U, V∈ℑ가
존재하여 x∈U , F⊆V , U∩V=φ이다.
∙정칙이고 T 1인 공간을 T 3 공간이라고 한다.
(5) (X, ℑ)는 정규공간 normal space이다
⇔ 서로소인 폐집합 E , F에 대하여 U, V∈ℑ가 존
재하여 E⊆U , F⊆V , U∩V=φ이다.
∙정규이고 T 1인 공간을 T 4 공간이라고 한다.
- 19 -
티코노프공간
(1) (X, ℑ)는 완전정칙 completely regular이다
⇔ 임의의 폐집합 F와 p∈Fc에 대하여 연속함수
f :X→ [0, 1]이 존재하여 f (p)=0 , f (F )⊆{1 } .
(2) 완전정칙이고 T 1인 공간을 T 3.5 공간 또는 티코노프
공간 Tyconoff's space이라고 한다.
(3) 유클리드공간 ⇒ 거리공간 ⇒ T 4 공간
⇒ T 3.5 공간 ⇒ T 3 공간 ⇒ T 2 공간
⇒ T 1 공간 ⇒ T 0 공간
긴 공간
(1) 위상공간 X의 부분집합 K에 대하여 K의 임의의 개
덮개가 유한부분덮개를 가지면 K를 긴 compact이라
고 한다.
(2) 보통위상공간 ℝn의 부분집합 K가 긴 일 필요충분조
건은 유계폐집합인 것이다. (하이네 보렐)
(3) 긴 공간 X의 폐부분집합 F는 긴 집합이다.
(4) K가 긴 이고 f가 연속이면 f (K )도 긴 이다.
(5) T 2 공간에서 긴 집합은 폐집합이다.
티코노프 정리
(1) 두 위상공간 (X, TX) , (Y, TY)에 대하여
β= {U×V |U∈TX, V∈TY }
를 기저로 갖는 위상공간 X×Y 를 적위상이라고 한다.
(2) 위상공간족 { (Xi, Ti) }에 대하여 모든 사 사상
π i :∏ i X i→ X i
가 X상에서 연속이기 위한 최소의 위상을 ∏Xi 상의
적위상 product topology이라고 한다. ← (1)의 일반화
(3) 긴 공간들 Xi에 대하여 ∏Xi도 긴 공간이다.
연결공간
(1) X가 비연결공간 disconnected space이다
⇔ 서로소이고 공집합이 아닌 개집합 G , H가 존재하
여 G∪H=X이다
⇔ 공집합이 아닌 두 집합 A , B가 존재하여
A∪B=X , A∩B=φ=A∩B이다.
⇔ φ /=E /=X인 개폐집합 E가 존재한다.
(2) 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라고 한다.
(3) A⊆X가 연결상대위상공간이 될 때 A를 연결집합이
라고 하고 그렇지 않을 때 비연결집합이라고 한다.
(4) X의 극대연결집합을 연결성분이라고 한다.
→ 연결성과 연결성분의 개수는 위상적 성질이다.
(5) E⊆ℝ이 연결일 필요충분조건은 구간인 것이다.
(6) A , B가 연결집합이고 A∩B /=φ 또는 A∩B /=φ
이면 A∪B는 연결집합이다.
호상연결공간
(1) 위상공간 X의 두 점 a , b에 대하여 f (0)=a ,
f (1)= b인 연속함수 f : [0, 1]→X를 a에서 b로의
호 arc 또는 경로 path라고 한다. 이 때 a를 f의 시점
initial point, b를 f의 종점 terminal point이라고 한다.
(2) A가 호상연결집합이라 함은 임의의 a, b∈A에 대하
여 a에서 b로의 호 f : [0, 1]→X가 존재하는 것이다.
(3) 호상연결집합은 연결집합이다.
(4) 호상연결성은 위상적 성질이다.
- 20 -
선형대수학 | Linear Algebra
여러 가지 행렬
(1) A=-At : A는 교대행렬
(2) ∀i > j :a ij=0 : A는 상삼각행렬
(3) ∀i < j :a ij=0 : A는 하삼각행렬
(4) ∀i /= j :aij=0 : A는 대각행렬
(5) AAt=E : A-1=At : A는 직교행렬
(6) tr(A)= (A의 대각성분의 합) : 고유합
행렬 연산의 성질
(1) (A+B) t=At+Bt
(2) (AB) t=BtAt
(3) (A-1) t=(At )-1
(4) tr(AB)= tr(BA)
행렬식의 성질
(1) det(A)= det(At )
(2) 행렬식은 한 행(열)에 대하여 선형이다.
(3) 두 행 또는 두 열을 서로 교환하면 행렬식의 부호가 바
뀐다.
(4) det(AB)= det(A) det(B)
(5) det(A-1)= det(A)-1
(6) 한 열에 k배 하여 다른 열에 더하여도 행렬식은 변하
지 않는다.
크래머 공식
(1) 행렬 A=(aij)에 대하여
① Mij≔ (A의 i -행과 j -열을 없앤 행렬) : 소행렬
② Dij≔ det(Mij) : 소행렬식
③ Aij≔(-1)i+ jD ij : A의 ij -성분의 여인자
④ adj(A) ≔ (Aij )t : A의 수반행렬
(2) A-1=1
det(A)adj(A)
(3) 연립방정식 Aꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
x 1⋯xn
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳=ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
b 1⋯bn
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳의 해는
Ai≔ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
a 11 … a 1i-1 b 1 a 1i+1 … a 1n⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯an1 … a ni-1 bn a ni+1 … ann
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳
에 대하여
x 1=det(A 1 )
det(A), … , xn=
det(An)
det(A).
직합
(1) V=<v 1, v 2, …, vn> : v i들에 의해 생성된 벡터공간
(2) U, W ≤V일 때
① U+W≔{u+w |u∈U, w∈W } .
② U∩W={0 }일 때 U ⊕W ≔U+W : 직합.
(3) V=U⊕W이면 임의의 v∈V는 u∈U , w∈W에 대
하여 v=u+w의 유일한 형태로 표현된다.
차원
(1) W ≤V일 때
① dimW ≦dimV .
② dimW= dimV ⇔ W=V .
(2) U, W ≤V일 때
① dim (U+W )= dimU+dimW-dim (U∩W )
② 특히 U∩W={0}일 때
dim (U⊕W )= dimU+ dimW .
계수
(1) R(A) ≔<A 1, A 2, …, Am> : A의 행공간
(2) C(A) ≔<A 1, A 2, …, An> : A의 열공간
(3) rank(A) ≔ dimR(A)= dimC(A) : A의 계수
(4) 같은 꼴의 행렬 A , B에 대하여
① A∼RB이면 R(A)=R(B) .
② A∼CB이면 C(A)=C(B) .
③ A∼ B이면 rank(A)= rank(B) .
(5) rank(A)= rank(At ) .
(6) rank(A)=n ⇔ det(A) /=0 .
(7) v 1 , v 2 , v 3 , v 4가 일차독립일 때
v 1+v 2 , v 2+v 3 , v 3+v 4
의 일차독립성은
u 1=1v 1+1v 2+0v 3+0v 4 ,
u 2=0v 1+1v 2+1v 3+0v 4 ,
u 3=0v 1+0v 2+1v 3+1v 4
의 행렬
A=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
에 대하여 rank(A)=3인 것과 동치이다.
- 21 -
연립방정식
A는 m×n 행렬, B는 m×1행렬
(1) AX=B에서 B=0이면 제차연립방정식, B /=0이면
비제차 연립방정식이라고 한다.
(2) 방정식 AX=0가 자명해만 가진다 ⇔ det(A) /=0 .
(3) B /=0일 때 AX=B의 해의 개수는
① rank(A) < rank(A |B )이면 해가 없다.
② rank(A)= rank(A |B)=n이면 유일한 해.
③ rank(A)= rank(A |B ) <n이면 무수히 많은 해.
여기서 m은 식의 수, n은 미지수 수, rank(A |B)는 일
차독립인 식의 수.
내적과 노름
(1) 함수⋅ : V×V → ℝ가 내적이라 함은
① u⋅v= v⋅u ,
② u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w ,
③ (αu)⋅v=α (u⋅v ) ,
④ u⋅u≧0 , u⋅u=0 ⇔ u=0 .
(2) u⊥v ⇔ u⋅v=0
(3) 함수 ||⋅|| : V → ℝ가 노름이라 함은
① ||v ||≧0 ,
② ||v ||=0 ⇔ v=0 ,
③ || αv ||= |α | ||v || ,
④ ||u+v ||≦||u ||+||v || .
정규직교기저
(1) V의 기저 S의 모든 원소가 상호수직이고 단위길이를
가지면 S를 정규직교기저라고 한다.
(2) W, U ≤V에 대하여
① v⊥W ⇔ ∀w∈W : v⋅w=0
② W⊥U ⇔ ∀w∈W ∀u∈U : w⋅u=0
③ W ⊥≔ {v∈V |v⊥W } : 수직보완
(3) 그람슈미츠 직교화 과정
내적공간 V의 한 기저 {a 1, …, an }로부터 V의 정규
직교기저 {e 1, …, en }을 다음과 같이 구성한다.
e 1≔v 1|v 1 |
← v 1≔a 1
↘
e 2≔v 2|v 2 |
← v 2≔a 2-<a 2, e 1>e 1
↘
e 3≔v 3|v 3 |
← v 3≔a 3-<a 3, e 1>e 1-<a 3, e 2>e 2
⋯↘
e n≔v 3|v 3 |
← v n≔an-<an, e 1>e 1-…-<an, e 2>e n-1
사 함수
(1) 두 벡터 a , b에 대하여
proj ba≔b⋅ab⋅b
b=a⋅b
|b |2 b .
(2) 벡터 v i들과 Wn=<v 1, v 2, …, vn>에 대하여
projWna≔ proj v 1a+ proj v 2a+…+ proj vna .
→ 벡터 a를 공간 Wn에 사 시킨 벡터
(3) 사 함수를 이용한 그람슈미츠 직교화
내적공간 V의 한 기저 {a 1, …, an }로부터 V의 정규
직교기저 {e 1, …, en }을 다음과 같이 구성한다.
① 직교화 : v 1=a 1
v 2= a 2- projW 1a 2
v 3= a 3- projW 2a 3
⋯
vn= an- projWn-1an
② 정규화 : e i=v i|v i |
선형변환
(1) T :V → W가 선형사상이고 V , W의 기저
BV={v 1, v 2, …, vn } , BW={w 1, w 2, …, wm }
에 대하여
T(v 1)= a 11w 1+a 21w 2+…+am1wm ,
T(v 2)= a 12w 1+a 22w 2+…+am2wm ,
⋯
T(v n)= a 1nw 1+a 2nw 2+…+amnwm ,
일 때,
① [T ]BWBV≔ (a ij ) m×n으로 정의하고 이를 BV와 BW
에 관한 T의 표현행렬이라고 한다.
② v= a 1v 1+…+anvn일 때 [v ]BV≔ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
a 1⋯an
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳.
(2) 선형변환 T :V → W에 대하여
① KerT ≔{v∈V |T(v)=0 } : T의 핵
② null(T )≔ dim ( KerT ) : T의 수(nullity)
③ ImT ≔T (V ) : T의 치역 ≤W
④ rank(T )≔ dim ( ImT ) : T의 계수
(3) 선형변환 T :V → W , S :W → U에 대하여
① dimV= null(T )+ rank(T )
② V , W , U의 기저 BV , BW , BU에 대하여
rank(T )= rank[T ]BWBV
, [S∘T ]BWBV= [S]
BUBW [T ]
BWBV
- 22 -
고유치와 고유벡터
(1) λ가 A의 고유치일 필요충분조건
⇔ ∃x /=0 :Ax=λx ⇔ (A-λE )x=0
⇔ det(A-λE )=0
여기서 det(A-λE )를 A의 고유다항식이라고 한다.
(2) A의 고유치 λ에 대하여
① x가 λ에 대응되는 A의 고유벡터
⇔ x /=0, Ax=λx ⇔ x∈ker (A-λE )∖{0 }
② {x∈ℝn|Ax=λx }= ker {A-λE )
→ λ에 대응되는 A의 고유공간
(3) A의 고유치 λ와 고유다항식 p( t )에 대하여
① ( t-λ )n |p ( t ) , ( t-λ )n+1/|p ( t )이면 λ의 대수적
중복도는 n이다.
② dim ker (A-λE ) : λ의 기하적 중복도
③ 기하적 중복도≦ 대수적 중복도
(4) λ1 , λ2 , … , λ k이 A의 서로 다른 고유치이면 그에
대응되는 고유벡터 x 1 , x 2 , … , xn은 일차독립이다.
(5) A의 고유다항식 p ( t )에 대하여 p (A)=0이다.
→ 케일리 헤 턴
대각화
n차 정방행렬 A에 대하여
(1) P-1AP가 대각행렬이 되도록 하는 정칙행렬 P가 존
재하면 A는 대각화 가능이라고 한다.
(2) A의 고유치 λ1 , λ2 , … , λn의 일차독립인 고유벡터
x 1 , x 2 , … , xn이 존재하면 n차 정칙행렬
P=(x 1, x 2,…, xn )
에 대하여
P-1AP=ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
λ1 … 0⋯ ⋱ ⋯0 … λn
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳
이다.
(3) A가 n개의 서로 다른 고유치를 가지면 대각화 가능
하다.
(4) A가 대각화 가능할 필요충분조건
① A는 n개의 일차독립인 고유벡터를 가진다.
② A의 모든 고유치 λ에 대하여 λ의 기하적 중복도와
대수적 중복도가 같다. (∵ 일차독립인 고유벡터의 수
는 기하적 중복도의 총 합)
③ A의 최소다항식 m(x)가 서로소인 1차식의 곱
최소다항식
(1) 정방행렬 A에 대하여 A를 근으로 갖고 최고차의 계
수가 1인 최저차 다항식을 A의 최소다항식이라고 한
다.
(2) 최소다항식 m( t )와 임의의 다항식 p( t )에 대하여
p(A)=0 ⇒ m( t ) |p( t )
(3) A의 고유다항식과 최소다항식은 같은 근을 가진다.
- 23 -
복소해석학 | Complex Analysis
절대값의 성질
(1) |Re(z) |≦|z |, | Im(z) |≦|z |
(2) Re(z)=z+ z2
, Im(z)=z- z2i
(3) |z | 2= z z=| z | 2, |z 1+z 2 |≦ |z 1 |+|z 2 |
편각의 성질
(1) |z |= r이고 Arg(z)=θ일 때 z= r( cosθ+ isinθ ) .
(2) arg는 다가함수이고, Arg는 (-π, π ]에로의 함수.
→ argz≔Argz+2nπ (n∈ℤ)
초등함수
(1) z= x+ iy에 대하여,
① e z≔e x( cosy+ isiny )
② sinz≔e iz-e- iz
2i, cosz≔
e iz+e- iz
2
③ sinhz≔ez-e- z
2, coshz≔
ez+e- z
2
(2) log z≔ ln|z |+ i arg z (다가함수)
→ Logz≔ ln|z |+ iArgz (일가함수)
→ zc≔e c log z (다가함수)
해석함수
함수 f가 z 0에서 해석적이라 함은 z 0의 미분가능한 개근
방이 존재함을 의미한다. 복소평면 전체에서 미분가능한 함
수를 정함수(entire function)라고 한다.
코시-리만 방정식
함수 f (x+ iy )≡u (x, y )+ iv (x, y )가 z 0에서 미분가능
하면 ux= vy , vx=-uy이다. 만약 ux , uy , vx , vy가
각각 z 0 근방에서 연속이면 역도 성립한다.
함수 f (re iθ )≡u(r,θ )+ i v(r,θ )가 z 0에서 미분가능하
면 rur= v θ , rvr=-u θ이다. 만약 ur , u θ , vr , v θ가
각각 z 0 근방에서 연속이면 역도 성립한다.
조화함수
함수 f (x+ iy )≡u (x, y )+ iv (x, y )가 해석적이면
uxx+uyy=0 , v xx+vyy=0 .
위 등식을 만족하는 u :ℂ→ℝ를 조화적이라고 한다.
두 함수 u , v가 조화적이고 코시-리만 등식을 만족하면
서로 조화공액이라고 한다.
실부와 허부가 서로 조화공액인 복소함수는 해석적이다.
복소함수의 극한
(1) 복소수계는 거리함수 d (x, y )= |x-y |를 갖는 완비
거리공간이다.
(2) 복소거리공간에서 수열․함수의 극한은 실수거리공간에
서의 수열․함수의 극한과 동일하다.
복소선적분
(1) 정의 : ⌠⌡Cf (z)dz≔⌠⌡
b
af (z( t )) z'( t )dt
(2) 곡선의 길이 : L≔⌠⌡C|dz |=⌠⌡
b
a|z'( t ) |dt
(3) |⌠⌡C f (z) dz |≦⌠⌡C| f (z) ||dz |
코시의 적분 공식
(1) 그린 정리
⌠⌡CP (x, y )dx+Q(x, y )dy =⌠⌡
⌠⌡D∂Q∂x-∂P∂ydxdy
(2) 코시-구르사 정리
f가 단순연결 역 D에서 해석적이면 ⌠⌡Cf (z) dz=0 .
(3) 모레라의 정리
D 내부의 임의의 단순폐곡선 C에서 f의 적분값이 0
이면 f는 D에서 해석적이다. (쿠시 구르사 정리의 역)
(4) 코시 적분 공식
① ⌠⌡C
f (z)z-z 0
dz=2πi f (z 0) ,
② ⌠⌡C
f (z)
(z-z 0)n+1 dz=
2πi f(n)(z 0)
n!.
(4) 선적분의 기본정리
⌠⌡Cf (z)dz=F(z 2)-F(z 1 )
루빌의 정리
(1) 코시의 부등식
C : |z-z 0 |= r이고 f가 C의 경계/내부에서 해석적
이며 C에서 | f (z) |≦M이면
| f(n)(z 0 ) |≦
Mn!
rn.
(2) 루빌의 정리
정함수 f가 복소평면 전체에서 유계이면 상수함수이다.
(3) 루시(Rouche)의 정리
단일폐곡선 C의 경계와 내부에서 해석적인 두 함수 f ,
g에 대하여 ∀z∈C : | f (z) | > |g (z) |을 만족하면 C
내부에서 f+g의 점의 수는 f의 점의 수와 같다.
- 24 -
등각사상
f가 z 0에서 해석적이고 f '(z 0 ) /=0이면 f는 z 0에서 등
각이다.
일차분수변환
f (z i)=wi , i=1, 2, 3을 만족하는 일차분수변환 f는 유
일하게 존재하고 w= f (z)일 필요충분조건은
[w, w 1, w 2, w 3]= [z, z 1, z 2, z 3] .
여기서 [z, z 1, z 2, z 3]≔(z-z 1)(z 2-z 3)
(z-z 3)(z 2-z 1).
함수의 급수 표현
(1) 테일러 정리
f가 |z- z 0 | <R에서 해석적일 때
f (z) = ∑∞
n=0
f(n)(z 0)
n!(z-z 0)
n .
(2) 로랑의 정리
f가 R 1 < |z- z 0 | <R 2에서 해석적일 때
f (z) = ∑∞
n=-∞an(z-z 0)
n .
여기서 an≔12πi⌠⌡C
f (z)
(z-z 0)n+1 dz .
(3) 매크로린 급수 전개의 예
e z= ∑∞
n=0
zn
n!
sinz= ∑∞
n=0
(-1)nz2n+1
(2n)!, cos z= ∑
∞
n=0
(-1)nz2n
(2n)!,
sinhz= ∑∞
n=0
z2n+1
(2n+1)!, coshz= ∑
∞
n=0
z2n
(2n)!,
log (1+z )= ∑∞
n=1
(-1)n-1
nzn ( |z | < 1 ),
(1+z )α= ∑∞
n=0(αn )z
n ( |z | < 1 ).
특이점과 극
(1) f가 해석적이지 않은 점을 특이점이라고 한다.
(2) f가 z 0를 제외한 그 근방에서 해석적이면 z 0를 고립
특이점이라고 한다.
(3) z 0가 f의 특이점이고 f가 z 0 근방에서 유계이면 리
만의 정리에 의해 z 0에서 f의 극값이 존재한다. z 0를
제거가능 특이점이라고 한다.
(4) z 0가 f의 특이점이고 f가 z 0의 근방에서 유계가 아
니며 z→ z 0일 때 (z-z 0 )kf (z) → L /=0이면 z 0를
f의 위수 k인 극이라고 한다.
(5) 위수 1인 극을 단순극 또는 단극이라고 한다.
(6) 제거가능하지 않고 극도 아닌 고립특이점을 진성특이점
이라고 한다.
유수 정리
(1) 유수의 의미 : f의 로랑급수 전개에서 z-1의 계수를
f의 z 0에서의 유수(residue)라고 한다. 즉
Res[f, z 0]≔a-1 .
(2) 유수의 계산
Res[f, z 0]=
ꀊ
ꀖ
ꀈ
︳︳︳︳
︳︳︳︳
0,
limz→z 0(z-z 0 )f (z),
1(k-1)!
limz→z 0
dk-1
dzk-1(z-z 0)
kf (z)
(3) 유수의 정리
C가 양의 방향으로의 단순폐곡선이고 f가 z i들을 제
외한 C의 경계/내부에서 해석적일 때,
⌠⌡Cf (z)dz=2π i∑
n
k=1Res[f, zk ] .
유수 정리의 응용
(1) C.V.⌠⌡
∞
-∞f (x) dx≔ lim
R→∞
⌠⌡
R
-Rf (x) dx
(2) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+2이고 n개의 z i가
상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극이며 Q(x) /=0일 때
C.V.⌠⌡
∞
-∞
P (x)Q(x)
dx=2π i∑n
j=1Res[ P (x)Q (x)
, z j ].(3) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+2이고 n개의 z i가
상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극, m개의 t i가 x축 위
의 Q (x)의 점일 때
C.V.⌠⌡
∞
-∞
P (x)Q (x)
dx
=2π i∑n
j=1Res[ P (x)Q (x)
, z j ]+p i∑m
j=1Res[ P (x)Q (x)
, t j ](4) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+1이고 n개의 z i가
상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극이며 Q(x) /=0일 때
① C.V.⌠⌡
∞
-∞
P (x)Q (x)
eiaxdx=2π i∑
n
j=1Res[f, z j] ≕I
② C.V.⌠⌡
∞
-∞
P (x)Q (x)
cosαx dx= Re(I )
③ C.V.⌠⌡
∞
-∞
P (x)Q (x)
sinαx dx= Im(I )
단, α > 0, f (z) ≔P (z)Q (z)
eiaz.
(5) 삼각함수로 이루어진 함수의 적분은 z(θ)≔e iθ라 두고
① sinθ=e iθ-e - iθ
2i=12i (z-
1z )
② cosθ=eiθ+e
- iθ
2=12 (z+
1z )
③ dθ=1izdz
을 이용하여 복소선적분으로 바꾸어 계산한다.
- 25 -
미분기하학 | Differential Geometry
우수계와 좌수계
세 벡터
a=(a 1, a 2, a 3 ) , b=(b 1, b 2, b 3) , c=(c 1, c 2, c 3)
에 대하여
ρ=︳
︳
︳︳︳︳
a 1 a 2 a 3b 1 b 2 b 3c 1 c 2 c 3
︳
︳
︳︳︳︳
라고 하자. ρ > 1이면 우수계, ρ < 1이면 좌수계.
내적과 외적의 성질
(1) |a×b |= |a | |b | sinθ
(2) a×b⊥a , a×b⊥b
(3) {a, b, a×b }는 우수계를 이룬다.
(4) a×b=- b×a
(5) (a+ b )×c= (a×c )+ (b×c )
(6) a⋅b×c= a×b⋅c : 스칼라 삼중적
정규직교전개
v=< v, f 1 > f 1+< v, f 2 > f 2+< v, f 3 > f 3
곡선
α : I →ℝ3가 정칙 ⇔ α'( t ) /=0
호장에 의한 재매개화
α : I →ℝ 3가 정칙일 때
s ( t ) ≔⌠⌡
t
0| α'(u) |du의 역함수 t= t (s)에 대하여
β(s)=α( t (s)) : 단위속력을 갖는 곡선
곡률과 열률
(1) 단위속력 정칙곡선 β에 대하여
① T=β ' ② κ= |T' | ③ N=T'|T' |
④ B= T ×N ⑤ τ=-B'⋅N
(2) 정칙곡선 α에 대하여
① T=α '| α ' |
② N= B×T ③ B=α '×α ''| α '×α '' |
④ κ=|α '×α '' |
| α ' |3
⑤ τ=α '×α''⋅α'''
| α '×α '' |2
(3) 프레네-세레의 정리
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
T'N'B'
ꀍ
ꀙ
︳︳︳=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
0 κ 0-κ 0 τ0 -τ 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
TNB
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
구면곡선과 주면나선
(1) 곡선 β의 구면곡선의 곡률을 κγ라고 하면
κ2γ =1+( τκ )2
.
(2) κ > 0인 정칙곡선 α가 주면나선이 될 필요충분조건은
τκ=(상수) .
곡률
(1) ℝ 2의 정칙인 단위속력곡선 β에 대하여
① t (s)=β '(s) : 단위접벡터장
② { t (s), n ( s) }가 우수정교직교기저를 이루는 n( s)
: 단위법벡터장
③ κ(s)= t '( s)⋅n(s) : 평면곡률
(2) 공간에서의 정칙곡선 α : [0, l ]→ℝ 3에 대하여
① 전곡률 : ⌠⌡
l
0κ( s) ds≧2π
② 전열률 : ⌠⌡
1
0τ(s) ds
곡면
(1) x :D⊆ℝ 2→ℝ 3에 대하여
① x u×x v /= 0 ⇒ 정칙
② 일대일, 정칙, D가 개집합 ⇒ 좌표조각사상
③ x-1가 연속 ⇒ 고유조각사상
(2) M⊆ℝ 3의 임의의 점 p에 대하여 N(p) ⊆x(D )인
고유조각사상 x :D⊆ℝ 2→ M이 존재할 때 M을 곡면
이라고 한다.
(3) 단순곡면 : 단 하나의 고유조각사상으로 표현되는 곡면
(4) 몽쥬조각사상 : 한 좌표가 나머지 두 좌표의 함수로 표
현되는 조각사상
(5) M={ (x, y, z ) |g (x, y, z)= c }가 곡면일 필요충분조
건은 dg /=0인 것이다.
기본계수
x= x(u, v )가 곡면 M의 고유조각사상일 때
(1) 단위접벡터장 : U=x u×x v| x u×x v |
.
(2) 제 1 기본 형식
I=Edu 2+2Fdudv+Gdv 2= dx⋅dx≧0
E= x u⋅xu , F= xu⋅x v , G= x v⋅x v
(3) 제 2 기본 형식
II=Ldu2+2Mdudv+Ndv
2= d
2x⋅U
L= x uu⋅U , M= xuv⋅U , N= x vv⋅U
- 26 -
호의 길이와 곡면의 면적
고유조각사상 x= x(u, v )에 대하여
(1) x 위의 정칙곡선 x= x(u( t ), v( t ))의 호의 길이는
s=⌠⌡
b
a
I
(dt)2 dt
=⌠⌡
b
aE( dudt )
2
+2F( dudt )(dvdt )+G(
dvdt )
2
dt .
(2) x 위의 부분 역 R의 면적은
A=⌠⌡⌠⌡W
det(aij)dudv=⌠⌡⌠⌡W
FG-F2dudv .
단 W는 R 위로 사상되는 매개변수 평면 위의 집합
곡면의 곡률
(1) 법곡률 : κn≔T'(s)⋅U =III
.
(2) 법곡률벡터 : k n≔κnU
(3) 한 점과 곡선이 주어졌을 때, 즉 x= x(u( t ), v( t )) ,
κn=L( dudt )
2
+2M( dudt )(dvdt )+N (
dvdt )
2
E( dudt )2
+2F ( dudt )(dvdt )+G(
dvdt )
2
(4) 한 점 p에서 법곡률 κn의 최대값 κ1과 최소값 κ2을
주곡률이라고 하며, 그 방향을 주방향이라고 한다.
(5) 평균곡률 : H=12(κ1+κ2)=
EN-2FM+GL
2(EG-F 2).
(6) 가우스곡률 : K=κ1κ2=det(b ij)
det(aij)=LN-M
2
EG-F2
.
(7) 벡터 w=w 1x u+w 2x v가 주곡률 κ에 대응하는 주방
향일 필요충분조건은
[ ( L MM N )-(E FF G )κ ](
dudv )= (
00 )
(8) 곡면 M에 대하여
① M이 평탄곡면이라 함은 ∀p∈M :K=0인 것이다.
② M이 극소곡면이라 함은 ∀p∈M :H=0인 것이다.
(9) 점의 구분
① 타원점 : LN-M 2 > 0인 점 ⇔ K > 0
② 쌍곡점 : LN-M 2 > 0인 점 ⇔ K < 0
③ 포물점 : LN-M 2=0 , L,M,M /=0인 점
④ 평탄점 : L=M=N=0인 점
→ ③ ∨ ④ ⇔ K=0
긴 곡면과 가향곡면
(1) 긴 compact인 곡면을 긴 곡면이라고 한다.
⇔ 유한개의 고유조각사상들의 상에 의해 덮인다.
(2) M상의 연속인 단위법벡터장이 존재할 때 M을 가향곡
면이라고 한다.
① 임의이 긴 곡면은 가향곡면이다.
② 가향곡면은 위상적 성질이다.
가우스 전곡률
(1) 곡면 M의 가우스곡률 K와 dM에 의해 방향이 정해
진 M의 역 R에 대하여 ( x :D →M에 대하여 )
⌠⌡⌠⌡RKdM =⌠⌡
⌠⌡DK( x(u, v )) EG-F 2dudv
를 R= x(D)상에서의 가우스전곡률이라고 한다.
측지선과 측지곡률
(1) 곡면 M 위의 호장에 의하여 매개화된 곡선 β( s)에 대
하여 V=U×β'( s)라 할 때
① 측지곡률 : κg≔β''⋅V .
② 측지곡률벡터 : k g=(β''⋅V )V .
③ β가 측지선이다 ⇔ β''(s)⊥M
⇔ β''(s) // U ⇔ κ g(s) ≡0 .
④ β''( s)= kn+k g , κ2=κ2n+κ
2g.
⑤ κ g= β'⋅β''×U .
(2) 폐구간에서 정의된 정칙곡선을 정칙호라고 한다.
① 조르단호 : 유한개의 정칙호를 연결시킨 것.
② 단순폐조르단호 : 끝점 외에는 만나지 않는 조르단호.
③ 유향곡선 M 위의 정칙호 α : [a, b ] → M에 대하여
( α의 전측지곡률) ≔⌠⌡
s( b)
s(a)κg(s)ds .
(3) 곡면 M과 직사각형 R에 대하여 x :R→M이 전단사
이고 정칙인 2차원 단편이며 dM이 x에 의해 결정된
면적형식일 때
⌠⌡⌠⌡xKdM+⌠⌡∂x
κg ds+(ε1+ε2+ε3+ε+4)=2π .
(4) T가 긴 유향곡면 M 위의 삼각형일 때
⌠⌡⌠⌡TKdM+⌠⌡∂T
κgds+(ε1+ε2+ε3)=2π .
(5) T가 M위의 측지삼각형, 즉 각 변이 측지선일 때 세
내각의 합 i에 대하여
① M이 평면 ⇒ K≡0 ⇔ i=π ,
② M이 타원면 ⇔ K > 0 ⇔ i > π ,
③ M이 쌍곡면 ⇔ K < 0 ⇔ i < π .
오일러 표수
(1) χ(M ) ≔v-e+f : 오일러 표수, 위상적 성질
(2) 모든 긴 곡면은 직사각형분할을 가진다.
(3) 임의의 볼록다면체의 오일러 표수는 2이다.
(4) 가우스-보네의 정리 : M이 긴 유향곡면일 때
가우스 곡률 : ⌠⌡⌠⌡MKdM=2πχ (M ) .
- 27 -
확률과 통계 | Probability and Statistics
확률의 정의
(1) 표본공간 S의 임의의 부분집합의 모임 2S에 대하여
(ⅰ) 0≦P (A)
(ⅱ) P(S)=1
(ⅲ) 가산개의 서로소인 집합족 {Ai }⊆2S에 대하여
P(∪Ai )=∑P(Ai)
을 만족하는 함수 P : 2 S→ ℝ를 S에서의 확률이라고
한다.
(2) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
(3) P(Ac)=1-P(A)
(4) A⊆B ⇒ P(A)≦P(B)
조건부 확률
(1) P(B |A) ≔P(B∩A)P(A)
.
(2) A , B가 독립사건이다
⇔ P(A∩B)=P(A) P(B)
⇔ P(A |B )=P(A)
⇔ P(B |A)=P(B)
(3) 표본공간 S가 n개의 사건 Ai들로 분할될 때,
P(B)= ∑n
i=1P(B∩Ai)= ∑
n
i=1P(B |Ai)P(Ai) .
(4) 표본공간 S의 사건 Ai로부터 사건 B가 발생할 때,
사건 B가 발생한 후 그 원인이 Ai 사건일 확률은
P(Ai |B)=P(B |Ai)P(Ai)
∑n
k=1P(B |Ak)P(Ak)
.
확률 분포 함수
(1) 표본공간 S에 대하여
① S에서 ℝ로의 함수 X를 확률변수라고 한다.
② F (x) ≔P(X≦x) : 누적분포함수 (cdf)
③ 두 확률변수 X, Y :S →ℝ가 독립이라 함은
P(X≦x, Y≦y )=P(X≦x )P(Y≦y ) .
(2) 확률변수 X의 x∈ℝ에 대하여
F :ℝ→ [0, 1] , F (x) ≔P(X≦x )
를 X의 누적분포함수라 한다. (cpf)
(3) 확률변수 X가 취하는 값이 이산일 때
f (x) ≔P(X= x ) : X의 확률 도함수
(4) 확률변수 X가 취하는 갑시 연속일 때
f (x) ≔F'(x) : X의 확률 도함수
기대값과 분산
(1) 이산확률변수 X의 도함수 f에 대하여
① E(X ) ≔ ∑x∈X(S)
xf (x) : X의 기대값
② E(Y ) ≔ ∑x∈X(S)
u(x) f (x) : Y=u(X )의 기대값
(2) 연속확률변수 X의 도함수 f에 대하여
① E(X ) ≔⌠⌡X(S)xf (x) dx : X의 기대값
② E(Y ) ≔⌠⌡X(S)u(x) f (x) dx : Y=u(X )의 기대값
(3) m=E(X )일 때
① Var(X )≔E( (X-m) 2) : X의 분산
② σ(X )≔ Var(X ) : X의 표준편차
(4) 두 확률변수 X , Y와 상수 a , b에 대하여
① E(X+Y )=E(X )+E(Y ) , E(aX )= aE(X )
② E(aX+b)=aE(X )+b
③ Var(aX+b)= a 2Var(X )
④ Var(X )=E(X 2)-E(X ) 2
결합 확률분포 함수 cdf
(1) 표본공간 S와 두 확률변수 X, Y :S →ℝ에 대하여
① 순서쌍 (X, Y )를 2차원 확률변수라고 한다.
② F (x, y) ≔P(X≦x, Y≦y ) : 결합누적분포함수
(2) 결합확률 도함수
① 이산형 : f (x, y ) ≔P(X= x, Y= y )
② 연속형 : f (x, y ) ≔∂2F(x, y )∂x∂y
주변 확률 도 함수 mpdf
(1) 두 확률변수 X , Y가 이산형일 때
f 1(x) ≔ ∑y∈Y(S)
f (x, y ) , f 2(y) ≔ ∑x∈X(S)
f (x, y )
는 각각 확률변수 X , Y의 확률 도함수가 되며 이를
주변확률 도함수라고 한다.
(2) 두 확률변수 X , Y가 연속형일 때
f1(x) ≔⌠⌡Y(S)
f (x, y )dy , f 2(y) ≔⌠⌡X(S)
f (x, y )dx
는 각각 확률변수 X , Y의 확률 도함수가 되며 이를
주변확률 도함수라고 한다.
- 28 -
조건부 확률 도 함수 cpdf
두 확률변수 X , Y에 대하여
(1) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건확률 도함수
f (x |Y= y ) ≔f (x, y )f 2(y )
(2) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건부확률
① 이산형 : P(a≦x≦b |Y= y ) ≔ ∑a≦x≦b
f (x |Y= y )
② 연속형 : P(a≦x≦b |Y= y ) ≔⌠⌡
b
af (x |Y= y )dx
(3) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건부기대값
① 이산형 : E(X |Y= y ) ≔ ∑x∈X(S)
x f (x |Y= y )
② 연속형 : E(X |Y=y ) ≔⌠⌡X(S)xf (x |Y=y )dx
상관계수
(1) mX=E(X ) , mY=E(Y )에 대하여
① Cov(X, Y ) ≔E( (X-mX)(Y-mY ))
=E(XY )-E(X )E(Y ) : (X, Y )의 공분산
② ρXY≔Cov(X, Y )σ(X ) σ(Y )
: (X, Y )의 상관계수
(2) (X, Y )가 서로 독립 ⇔ f (x, y )= f 1(x) f 2(y)
(3) (X, Y )가 서로 독립이면
① 주변확률 도함수 = 조건확률 도함수
(즉, f 1(x)= f (x |Y= y ) , f 2(y)= f (y |X= x ) )
② E(XY )=E(X )E(Y )
③ Cov(X, Y )=ρXY=0
여러가지 확률분포
(1) 이항분포 (이산)
① pdf : f (x)=n C xpx(1-p)
n- x
② 확률변수의 범위 : X=0, 1, 2, …, n
③ X ∼ B(n, p )
④ E(X )=np
⑤ Var(X )=np(1-p)
(2) 포아송분포 (이산)
① pdf : f (x)=mx
x!em
② 확률변수의 범위 : X=0, 1, 2, …
③ X ∼ P(m)
④ E(X )=m
⑤ Var(X )=m
⑥ np=m이 일정하고 n→∞이면
B(n, p) ∼ P(m) .
(3) 정규분포 (연속)
① pdf : f (x) ≔1σ 2π
e-(x-m) 2
2σ2
② X ∼ N (m, σ)
③ E(X )=m , Var(X )=σ2
(4) 균등분포 (연속)
① pdf : f (x) ≔{ 1/(b-a), a≦x≦b0, otherwise
② X ∼ U(a, b )
③ E(X )=a+b2
, Var(X )=(b-a) 2
12
(5) 지수분포 (연속)
① pdf : f (x) ≔{ γe-γx , x≧0
0 , x < 0
② X ∼ E (γ)
③ E (x)=1γ
, Var(X )=1
γ2
모평균의 구간추정
(1) 표본이 큰 경우 : n≧30
① -z α/2σn≦ X-m ≦ z α/2
σn
.
→ 모집단의 표준편차 σ를 아는 경우
② -z α/2sn≦ X-m ≦ z α/2
sn
(2) 표본이 작은 경우 : n < 30
① - t α/2(n-1)sn≦ X-m ≦ t α/2(n-1)
sn
.
→ m의 100(1-α)% 신뢰구간
모비율의 구간추정
표본이 충분히 큰 경우 : n≧30
- z α/2p(1- p)n
≦ p- p ≦ z α/2p(1- p)n
.
→ X ∼ N(np, np(1-p)) , p=Xn
.
가설검정
가설검정의 절차는 다음과 같다.
(1) 가설 H 0 , H 1을 설정한다.
(2) 검정통계량을 결정하고, 귀무가설이 옳다는 가정하에 검
정통계량의 분포를 구한다.
(3) 유의수준을 결정하고 대립가설의 형태에 따라 기각역을
결정한다.
(4) 표본의 관찰값을 근거로 하여 검정통계량의 값을 구한
다.
(5) 단계 4에서 구한 검정통계량 값이 기각역에 속하면 기
각한다.
- 29 -
이산수학 | Discrete Mathematics
순열과 조합
(1) 순열 : 집합의 원소를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수
① nP k=
n!(n-k)!
② n∏ k=n
k
③ 다중집합 {n i×a i }의 순열의 수
(n 1+n 2+…+nr )!
n 1!n 2!…nr!
④ 방정식 x 1+…+xn= k의 음이 아닌 정수해의 개수
nH k=(n+k-1)!k!(n-1)!
=( n+k-1k )(2) 조합 : 집합의 원소 중 일부를 뽑는 경우의 수
① ( nk )=n!
k! (n-k)!
② 다중집합 {∞×a i }의 k 조합
= 집합 {a i }의 k 중복조합 = nH k
이항계수와 다항계수
(1) 이항계수
① [α ] k≔α(α-1)… (α-k+1 ) , α∈ℝ , k∈ℤ
② ( αk )≔ {[α ] kk!
, k≧1
1 , k=0 0 , k < 0
③ ( αk )= (α-1k-1 )+(
α-1k )
④ (x+y )n= ∑n
k=0 (nk )x
kyn- k
⑤ (1+x ) α = ∑∞
n=0 (αn )x
n
(2) 다항계수 다중집합 {n i×A i }의 순열의 개수
( nn 1, n 2, …, nr )≔
n!n 1!n 2!…nr!
배열과 분배
(1) 비둘기집 원리 : m마리의 비둘기를 n개의 비둘기집에
넣으면 ⌈ mn ⌉마리 이상 들어간 집이 반드시 있다.
(⌈a⌉은 a보다 크거나 같은 최소의 정수 )
(2) 포함배제의 원리
| ∪n
i=1Ai |=β1-β2+β3+-…+(-1)n-1βn
분배와 분할
(1) S (n, k ) : n명을 k개의 그룹으로 나누는 수
(2) S (n, k )=S (n-1, k-1)+kS (n-1, k ) ,
S(0, 0)=1
kn 0 1 2 3 4 5 6 …
0 1 0 0 0 0 0 0 …
1 0 1 0 0 0 0 0 …
2 0 1 1 0 0 0 0 …
3 0 1 3 1 0 0 0 …
4 0 1 7 6 1 0 0 …
5 0 1 15 25 10 1 0 …
6 0 1 31 90 65 15 1 …
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
그래프
(1) 공집합이 아닌 유한집합 V와 V의 2 -중복조합의 다
중집합 E에 대하여
① 그래프 : G=(V, E ) ② 꼭지점 : V의 원소
③ G의 변 : E의 원소 ④ eG : G의 변의 개수
⑤ G의 위수 : G의 꼭지점의 개수, vG≔d(G)
⑥ x의 차수 : 꼭지점 x에 물려있는 변의 수, d (x)
⑦ 홀수점(짝수점) : 차수가 홀수(짝수)인 꼭지점
⑧ 꼭지점에서 차수의 합은 변의 수의 2배이다.
⑨ 홀수점의 개수는 짝수이다.
(2) x, y∈V와 a∈E에 대하여
① x , y가 서로 인접한다 ⇔ x , y가 이어져 있다
② a는 x , y에 물려있다 ⇔ x , y를 잇는 변이 a이다
→ a=[x, y ]로 표기
(3) 단순그래프 : 다중변과 고리가 없는 그래프
① 다중변 : 두 꼭지점을 잇는 두 개 이상의 변
② 고리 : 한 꼭지점과 그 자신을 잇는 변
③ 단순그래프에서 차수가 같은 꼭지점이 2개 이상 존재.
(4) 유향그래프 : 그래프의 각 변에 방향을 준 것
① 유향변 : 방향을 가진 변
② x의 입차수 : x로 들어오는 유향변이 개수, id (x)
③ x의 출차수 : x에서 나가는 유향변의 개수, od (x)
④ 두 변이 순접한다 : [→∙→ ]의 꼴로 이어져 있을 때.
(5) 그래프 G의 일부분을 G의 부분그래프라고 한다.
① G의 생성부분그래프 : G의 부분그래프 중 G의 꼭
지점을 모두 포함하는 것.
② G의 꼭지점의 부분집합 W에 대하여 W와 W의 점
을 잇는 모든 변을 포함하는 그래프를 W에 의하여
생성되는 유도부분그래프라고 한다.
- 30 -
차수열
(1) 그래프 G=(V, E )와 V={x i }에 대하여
(d(x 1 ), d(x 2 ), …, d(xn ))
을 G의 차수열이라고 한다.
(2) 두 그래프의 위수가 같고 꼭지점 사이의 인접성이 같을
때 두 그래프는 동형이라고 한다.
(3) 차수열이 d=(d 1, d 2, …, dn ) , di≧di+1인 단순그
래프가 존재할 때 d를 그래프적이라고 한다.
(4) d=(d 1, d 2, …, dn ) : 그래프적
⇔ (d 2-1, …, dk+1-1, dk+2, …, dn ) : 그래프적
경로
(1) 그래프에서
① 경로 : 인접하는 변의 열
→ 유향그래프에서는 순접하는 유향변의 열
② 경로의 길이 : 경로를 이루는 변의 개수
(2) (x, y )-경로 : 두 꼭지점 x , y를 잇는 경로
(3) 폐로 : 양 끝점이 같은 경로
(4) 회로 : 모든 변이 다른 폐로
(5) 바퀴 : 양 끝점을 제외한 모든 꼭지점이 다른 회로
(6) 직선경로 : 양 끝점을 포함한 모든 꼭지점이 다른 경로
(7) 단말점 : 차수가 1인 꼭지점
(8) 단말점이 없는 그래프는 회로를 가진다.
여러 가지 그래프
(1) 완전그래프 Kn : 모든 꼭지점을 서로 이은 단순그래프
(2) 정칙그래프 : 모든 꼭지점의 차수가 같은 그래프
(3) 연결그래프 : 임의의 두 꼭지점의 경로가 있는 그래프
→ 연결성분 : 최대의 연결부부그래프
(4) 강연결그래프 : 연결성을 가지고 있는 유향그래프
(5) G의 점연결도 : G에서 n개의 꼭지점을 지우면 연결
성이 깨어질 때 그러한 n의 최소값, χ(G )
(6) V의 이분할 (X, Y ) : X , Y는 G의 꼭지점의 부
분집합이고, X 내에서 서로 인접하지 않으며 Y 내에
서 서로 인접하지 않는다. G=(X, E, Y )
① 임의의 x∈X , y∈Y가 서로 인접할 때 G를 완전
이분그래프라고 한다.
② Km,n : |X |=m , |Y |=n인 완전이분그래프
(7) 평면그래프 : 모든 변이 교차하지 않도록 그릴 수 있는
그래프
① G의면 : 평면그래프 G에 의하여 나누어지는 역
② fG 또는 f : G의 면의 개수
③ f의 차수 d(f ) : f를 둘러싼 변의 개수
평면성
(1) 연결평면그래프에서는 v-e+f=2가 성립한다.
(2) 평면그래프에서 면의 차수의 합은 변의 수의 2배이다.
(3) G가 위수 3 이상인 연결 평면 단순그래프일 때
① v-e3≧2
② G가 이분그래프이면 v-e2≧2
③ 쿠라토스키 정리
G가 평면그래프 ⇔ G는 K 5 , K3,3 또는 K 5 , K3,3의
부분분할과 동형인 부분그래프를 가지지 않는다.
수형도와 단말점
(1) 수형도 : 회로가 없는 연결그래프
① 다리 : 지우면 연결성이 깨지는 변
② 생성수형도 : 생성부분그래프이면서 수형도인 것
③ 뿌리 : 수형도에서 정한 한 꼭지점
④ 중간점 : 뿌리도 아니고 단말점도 아닌 점
⑤ 높이 : 뿌리에서 단말점까지의 거리의 최대값
⑥ m진 수형도 : 단말점이 아닌 각 점이 m개의 자녀
(2) 단말점의 존재성
① 수형도는 단말점을 가진다.
② e= v-1인 연결그래프는 2개 이상의 단말점을 가
진다.
(3) 연결그래프 G가 수형도이다
⇔ e= v-1
⇔ G는 각 변이 다리이다
⇔ G의 임의의 두 꼭지점 x , y에 대하여 (x, y ) -경
로가 유일하게 존재한다.
(4) 연결그래프는 생성수형도를 가진다.
오일러 회로와 해 턴 회로
(1) 강연결화가능그래프 : 각 변에 방향을 주어 강연결 유향
그래프로 만들 수 있는 그래프
(2) 오일러회로 : 적당한 방향을 주어 모든 변을 꼭 한 번만
지나는 회로 G를 G의 오일러회로라고 한다.
① 오일러그래프 : 오일러 회로를 가지는 그래프.
② 오일러경로 : 모든 변을 꼭 한번만 지나고 시점과 종
점이 같지 않은 경로
(3) 해 턴 회로 : 적당한 방향을 주어 모든 꼭지점을 꼭 한
번만 지나는 회로 G를 G의 해 턴회로라고 한다.
① 해 턴그래프 : 해 턴회로를 가지는 그래프
② 해 턴경로 : 꼭지점을 꼭 한번만 지나고 시점과 조점
이 같지 않은 경로
- 31 -
연결성
(1) 연결성의 판정법 : 위수가 n인 그래프의 각 꼭지점에
다음 과정을 따라 1부터 n까지의 번호를 붙인다.
① 임의의 한 꼭지점에 번호 1을 붙인다.
② k번째 번호가 붙은 꼭지점 x에 인접한 꼭지점 중
번호가 붙지 않은 꼭지점이 있으면 번호 k+1을 붙
이고 그러한 꼭지점이 없으면 위로 거슬러 올라간다.
③ k=n으로 끝나면 연결그래프이다.
(2) 연결그래프 G가 강연결화가능이다
⇔ G는 다리를 갖지 않는다.
(3) G가 오일러그래프이다
⇔ 모든 꼭지점이 짝수점이다.
(4) G가 오일러경로를 가진다
⇔ G는 홀수점이 2개이다.
(5) 위수가 n≧3인 연결그래프 G에 대하여 모든 꼭지점
의 차수가 n/2 이상이면 G는 해 턴회로이다.
채색수와 채색다항식
(1) G는 k채색 가능 : 그래프 G의 꼭지점을 k개의 인접
한 꼭지점끼리는 서로 다른 색으로 채색 가능할 때.
(2) 채색수 χ (G)≔ min {k∈ℕ |G는 k -채색 가능 }
(3) 채색다항식 : P(G, x ) ≔ (G의 꼭지점을 x개 이하의
색으로 채색할 수 있는 방법의 수)
인접행렬
(1) 그래프 G에 대하여 a ij≔ ( x i, x j를 잇는 변의 수)를
성분으로 가지는 행렬 A(G)를 G의 인접행렬이라고
한다.
① A(G) k의 ij-성분 = G에서 길이 k인 ( i, j ) -경
로의 수
② G가 단순그래프이면 꼭지점 x i들에 대하여
d (x i )= (A(G) 2의 ij-성분 ).
③ G에 고리가 없으면
(G의 삼각형의 개수 )=13!tr(A(G)
3)
④ 위수 n인 그래프 G가 연결이다
⇔ (A(G)+ I )n-1 > O
(2) 유향그래프 D에 대하여 a ij≔ ( x i→ x j를 잇는 유향변
의 수)를 성분으로 가지는 행렬 A(D)를 D의 인접행렬
이라고 한다.
① A(D) k의 ij-성분 = D에서 길이 k인 ( i, j ) -경
로의 개수
② 위수가 n인 D가 강연결그래프이다
⇔ (A(G)+ I )n-1 > O
토너먼트
(1) 토너먼트 : 완전그래프의 각 변에 방향을 준 유향그래프
(2) y는 x의 후위 : y가 x의 직접후위 혹은 간접후위
① y는 x의 직접후위 : x→ y인 유향변이 있을 때
② y는 x의 간접후위 : x에서 y로의 길이 2인 경로
가 있을 때
(3) 강한꼭지점 : 모든 꼭지점을 후위로 가지는 꼭지점
알고리즘
(1) 유한 번의 수행 후 종료.
(2) 각 단계는 분명하게 정의.
(3) 한 단계의 다음 단계가 명확하게 정의.
점화식
(1) 상수 c i들에 대하여
an= c 1an-1+…+ckan- k+b(n)
를 {an }의 선형점화식이라고 한다.
① b(n)≡0이면 선형동차점화식.
② 특성방정식 : xk-c 1xk-1-…-ck-1x-ck=0 .
③ 특성근 : 특성방정식의 근. ( ck /=0 )
(2) 선형동차점화식의 일반해
① k개의 서로 다른 특성해 λ i를 가지는 수열의 일반항
은 an=α1λn1+α2λ
n2+…+α kλ
nk의 꼴이다.
② t개의 서로다른 특성해 λ i가 각각 p i중근인 수열의
일반항은
∪t
i=1{λni , nλni , …, n
pi-1λni }
의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
게임이론
(1) 제로섬게임 : 두 사람의 손실의 합이 0인 게임
(2) 성과행렬 : 갑이 x i를 택하고 을이 y i를 택할 때 갑의
성과 aij를 성분으로 가지는 행렬
(3) 전략 : 갑이 x i를 택할 확률을 p i로 정했을 때의 행렬
p≔(p 1, p 2, …, pn )t
를 갑의 전략이라고 한다. 을의 전략 q도 동일.
(4) 기대성과 : 전략 p , q에 대한 갑․을의 기대값
① 갑의 기대성과 : E(p, q)= |p tAq|
② 을의 기대성과 : 1-E( p, q)
(5) 전략 p * , q *가 임의의 전략 p , q에 대하여
E(p*, q)≧E( p
*, q
*)≧E( p, q
*)
를 만족할 때 ν=E(p*, q*)를 게임값이라고 한다. 이
때 p , q는 갑과 을의 최적전략이다.
- 32 -
정수론 | Number Theory
1. 두 실수 x , y와 가우스함수 []에 대하여
[x ]+[y ]≦ [x+y ]≦ [x ]+[y ]+1
이 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] m=[x ] , a={x } , n=[y ] , b={y }라고 하
자. 그러면
[x ]+[y ]=m+n≦[m+a+n+b ]
=m+n+[a+b ]≦m+n+1
=[x ]+[y ]+1
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
2. 실수 x와 정수 n에 대하여 다음 등식을 증명하여라.
[ [x ]n ]=[ xn ][풀이 ] m=[x ] , a={x }라고 하자. 그러면 m은 정수
이므로 나눗셈정리에 의하여 m= qn+r ( 0≦ r < n )의
꼴로 표현된다. 여기서
[ xn ]= [m+an ]= [ qn+r+an ]=a+[ r+an ]= q
이고 또한
[ [x ]n ]=[ mn ]=[qn+rn ]= q+[ rn ]= q
이므로 주어진 등식이 성립한다.
3. 음이 아닌 정수 ai들에 대하여 n= a 1+a 2+…+as이
면 n!a 1!a 2!…as!
이 정수임을 증명하여라.
[풀이 ] 각 소수 p에 대하여 가우스함수의 성질에 의하
여 다음이 성립한다.
[a 1
pk ]+…+[
a 2
pk ]≦ [
a 1+…+as
pk ]=[ npk ]
양변의 각 k에 대한 합을 구하면
∑∞
k=1[a 1
pk ]+ ∑
∞
k=1[a 2
pk ]+…+ ∑
∞
k=1[as
pk ] ≦ ∑
∞
k=1[n
pk ]
이다. 이는 a i!에 대한 각 소수 p의 최대지수의 합이
n!에 대한 각 소수 p의 최대지수의 합보다 작음을 의
미하므로 n!a 1!a 2!…as!
은 약분된다.
4. 뫼비우스 함수 μ는 자연수 n에 대하여 다음과 같이 정
의된다.
μ(n)= { 1 , n=1 0 , p 2 |n (p는 소수)(-1) k, n= p 1p 2…pk (p i는 서로소인 소수)
뫼비우스 함수가 곱셈함수임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 μ(1)=1이다. 이제 (m. n )=1이라고 하
자.
① m=1 또는 n=1이면 μ(mn)=μ(m)μ(n)이다.
② p가 소수이고 p 2 |m이거나 p 2 |n이면 p 2 |mn이다.
따라서 μ(mn)=0=μ(m)μ(n)이다.
③ m= p 1p 2…pk이고 n= q 1q 2…as라고 하자. 여기서
p i , q i들은 각각 서로 다른 소수이다. 그러면
μ(mn)=μ(p 1p 2…pkq 1q 2…q s )= (-1)k+ s
=(-1) k (-1) s=μ(m)μ(n) .
따라서 μ는 곱셈함수이다.
5. 오일러함수 φ가 곱셈함수임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 φ(1)=1이다. 이제 (m, n)=1이라고 가
정하자. 그리고 m , n의 표준분해를
m= pa 11 pa 22 … p
akk, n= q
b 11 qb 22 … q
b ss
라고 하자. 그러면
φ(mn)= φ(pa 11 … p
akk q
b 11 … q
b ss )
=(1- 1p 1 )… (1-
1pk ) (1-
1q 1 )… (1-
1q s )
=φ(m) φ(n)
이므로 φ는 곱셈함수이다.
6. 완전제곱수를 4로 나눈 나머지는 0 또는 1임을 증명하
시오.
[풀이 ] 완전제곱수를 n= k 2이라 두면 나눗셈정리에 의
해 k=4q+r ( 0 ≦ r < 4)인 두 정수 q , r가 유일하게
존재한다. 따라서 n=(4q+r) 2=16q 2+8qr+r 2이다.
r=0이면 n=4(4q 2+2qr)+0 ,
r=1이면 n=4(4a 2+2qr)+1 ,
r=2이면 n=4(4q 2+2qr+1)+0 ,
r=3이면 n=4(4q 2+2qr+2)+1
이므로 n을 4로 나눌 때 나머지는 0 또는 1이다.
7. 두 정수 a , b에 대하여 a /=0이고 b /=0일 때 a , b
의 최대공약수는 유일하게 존재함을 증명하시오.
[풀이 ] 먼저 최대공약수의 존재성을 증명하자.
S={ax+by |x, y∈ℤ }∩ℤ+
라고 하면 |a |∈S이며 또한 S는 아래로 유계이므로 정
렬성의 원리에 의하여 d= minS가 존재한다. d∈S이
므로 두 정수 x 0 , y 0가 존재하여 d=ax 0+by 0이다.
- 33 -
(1) 명백히 d≧1이다.
(2) 나눗셈정리에 의하여 a= qd+r (0≦ r < d )인 두
정수 q , r이 존재한다. 여기서
r= a-qd= a-q(ax 0+by 0)=a-aqx 0-bqy 0
= a(1-qx 0)+b(-qy 0)
이다. 만약 r /=0이라고 하면 r > 0이 되고 r∈S가
되어 r≧d이므로 이는 모순이다. 따라서 r=0이고
a= qd+r= qd
이므로 d |a이다. 마찬가지로 d |b가 성립한다.
(3) 명백히 k |a이고 k |b이면 k |ax 0+by 0=d이다.
따라서 (1), (2)에 의하여 d는 a , b의 최대공약수이다.
이제 최대공약수의 유일성을 증명하자. d 1과 d 2가 a와
b의 최대공약수라고 가정하자. 그러면 d 1 |a이고 d 1 |b
이므로 d 1 |d 2이다. 마찬가지로 d 2 |d 1이 성립한다. 이로
써 d 1= ±d 2이 성립하는데 d 1과 d 2가 모두 양수이므
로 d 1=d 2이다.
따라서 a , b의 최대공약수는 유일하게 존재한다.
8. 자연수 d가 두 정수 a , b의 최대공약수일 때
aℤ+bℤ=dℤ
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 x∈aℤ+bℤ라고 가정하면 정의에 의하여
x= ay+bz인 두 정수 y , z가 존재한다. 그런데 d |a ,
d |b이므로 d |ay+bz= x이고 x∈dℤ가 성립한다. 따
라서 aℤ+bℤ⊆dℤ이다.
이제 x∈dℤ라고 가정하면 x=dk인 정수 k가 존재한
다. 또한 d가 a , b의 최대공약수이므로 d= ay 0+bz 0
인 두 정수 y 0 , z 0가 존재한다. 여기서
x=dk= k (ay 0+bz 0)=a(ky 0)+b(kz 0)∈aℤ+bℤ
이므로 aℤ+bℤ⊇dℤ이다.
따라서 aℤ+bℤ=dℤ이다.
9. 정수 a , b에 대하여 a /=0 , b /=0이고 d=(a, b )일
때 방정식 ax+by= c의 정수해가 존재할 필요충분조건
은 d |c임을 증명하여라.
[풀이 ] ax+by= c의 정수해 (x, y )= (x 0, y 0)가 존
재한다고 가정하자. 그러면
c= ax 0+by 0∈aℤ+bℤ= dℤ
이므로 d |c이다. 역으로 d |c라고 가정하자. 그러면
c∈dℤ= aℤ+bℤ
이므로 c=ax 0+by 0를 만족하는 두 정수 x 0 , y 0가 존
재한다. 여기서 (x, y )= (x 0, y 0)는 주어진 방정식의
해가 된다.
10. 방정식 172x+20y=1000의 정수해를 구하여라.
[풀이 ] 유클리드 호제법에 의하여
172=8⋅20+12
20=1⋅12+8
12=1⋅8+4
8=2⋅4+0
이므로 (172, 20)=4이다. 그런데 4 |1000이므로 주어
진 방정식의 해가 존재한다.
위 과정을 역으로 적용하면
4=12-8=12-(20-12)
=2⋅12-20=2 (172-8⋅20)-20
=172⋅2-20⋅17
이고 양변에 250을 곱하면
1000= 172×500+20×(-4250)
이므로 특수해 (x 0, y 0)= (500, -4250)을 얻는다. 따
라서 구하는 일반해는
{ x=500+5ky=-4250-43k (k∈ℤ)
이 된다.
11. 방정식 4x+6y+15z=37의 정수해를 구하여라.
[풀이 ] t=2y+5z라고 하면 주어진 방정식은
4x+3t=37 (#)
이 된다. 여기서 (4. 3)=1 |37이므로 (#)의 해가 존재
한다. 4-3=1이므로 양변에 37을 곱하여 해를 구하면
4×37+3×(- 37)= 37
이 된다. 따라서 (#)의 일반해는
{ x=37+3kt=-37-4k (k∈ℤ)
가 된다. 같은 방법으로 t=2y+5z=-37-4k의 일반
해를 구하면
{ y=64+8k+5sz=-37-4k-2s (s∈ℤ)
가 된다. 따라서 주어진 방정식의 일반해는 다음과 같다.
{x=37+3ky=64+8k+5sz=-37-4k-2s
(k, s∈ℤ)
12. f (x, y )= x 2-4y 2-2에 대하여 f (x, y )=0은 정수
해를 갖지 않음을 보여라.
[풀이 ] 주어진 방정식이 정수해 (x, y )= (x 0, y 0)를
갖는다고 가정하면 x20-4y20-2=0이다. 따라서 합동식
이 성질에 의하여
x20-4y
20-2 ≡x
20-2≡0 ( mod 4) (#)
가 성립한다.
- 34 -
그러나 법 4에 대한 완전잉여계
R={-1, 0, 1, 2 }
에서 (#)를 만족하는 원소 x 0∈R는 존재하지 않으므로
모순이다.
13. 정수 10!의 표준분해를 구하여라.
[풀이 ] 먼저 10보다 작은 소수는 2 , 3 , 5 , 7 뿐이고
다음이 성립한다.
[ 102 ]=5 , [52 ]=2 , [
22 ]=1 , 5+2+1=8 (3회)
[ 103 ]=3 , [33 ]=1 , 3+1=4 ( 2회)
[ 105 ]=2 , 2 ( 1회)
[ 107 ]=1 1 ( 1회)
따라서 10!=28⋅34⋅52⋅7이다.
14. 양의 정수 m에 대하여 2m-1이 소수이면 m도 소수
임을 증명하여라.
[풀이 ] m이 합성수라고 가정하면
m= de , 1 < d <m , 1 < e <m
인 정수 d , e가 존재하고 다음이 성립한다.
2m-1=(2 d ) e-1
=(2 d-1)(2 d (e-1)+2 d (e-2)+…+2 d+1)
따라서 2m-1이 소수이면 m도 소수이다.
15. 자연수 중에서 4n+3의 꼴인 소수는 무한히 많음을
증명하여라.
[풀이 ] 4n+3의 꼴인 소수의 개수가 유한이라고 가정
하고, q 1 , q 2 , … , q s를 이와 같은 꼴의 소수 전체라고
하자. 이 때
N=4q 1q 2…q s-1 , 즉 N=4(q 1q 2…s q s-1)+3
이라고 하자. 그러면 N은 다음과 같이 소인수분해된다.
N= p 1p 2…p k
여기서 각 p i는 소수이다. N은 홀수이므로 각 p i는 모
두 홀수이고, 따라서 이들은 4n+1 또는 4n+3의 꼴
이다. 한편,
(4n 1+1)(4n 2+1)=4(4n 1n 2+n 1+n 2)+1
이므로 4n+1의 꼴인 정수의 곱은 4n+1의 꼴인 정수
이다. 그런데 N은 4n+3의 꼴이므로 N의 소인수 중
에서 적어도 하나의 p i는 4n+3의 꼴이다. 여기서
p i |N , p i |q 1q 2… q s
이므로 p i | 1이 되어 모순이다.
16. 정수 2⋅26!을 29로 나눈 나머지를 구하여라.
[풀이 ] 29는 소수이므로 윌슨의 정리에 의하여
28!≡-1 ( mod29)
가 성립한다. 여기서
2⋅26!≡ (-1)(-2)⋅26!
≡28⋅27⋅26!
≡-1 ( mod 29)
이므로 2⋅26!을 29로 나눈 나머지는 28이다.
17. 합동식 a≡ b ( mod mi ) (단, i=1, 2, …, n )이 성
립하기 위한 필요충분조건은
a≡ b ( mod [m 1, m 2, …, mn ])
을 만족하는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 각 i에 대하여 a≡ b ( mod mi )가 성립
한다고 가정하자. 그러면 mi |a-b이다. 그러므로 최소
공배수의 정의에 의하여
a≡ b ( mod [m 1, m 2, …, mn ]) (#)
이다.
이제 역을 증명하기 위하여 (#)이 성립한다고 가정하자.
그러면 합동식의 정의에 의하여
[m 1, m 2, …, mn] |a-b
를 만족한다. 이 때 mi |a-b도 만족하게 된다. 따라서
각 i에 대하여 a≡ b ( mod mi )가 성립한다.
18. 법 n에 관한 a이 역수 a*가 존재할 필요충분조건은
a와 n이 서로소임을 증명하여라.
[풀이 ] (a, n )=1이라고 가정하자. 그러면
1∈ℤ=aℤ+nℤ
이므로 1=ax+ny인 정수 x , y가 존재한다. 따라서
ax≡1-ny≡1 ( mod n )
이므로 x는 법 n에 관한 a의 역수가 된다.
역으로 a *이 법 n에 관한 a의 역수라고 가정하자. 그
러면
1≡aa* ( mod n )
이므로 n | 1-aa*이다. 이것은 정수 k가 존재하여
1-aa*=nk
임을 의미하므로
1=nk+aa*∈nℤ+aℤ
가 성립한다. 여기서 (a, n )=d라고 하면
dℤ=nℤ+aℤ=ℤ=1ℤ
이므로 d=1이다.
- 35 -
19. 페르마 정리를 이용하여 2341≡2 ( mod 341 )이 성립
함을 증명하여라.
[풀이 ] 18 < 341 < 19이고 18 이하의 소수는 2 , 3 ,
5 , 7 , 11 , 13 , 17이다. 그런데 11 | 341이므로 341은
소수가 아니다. 341=11⋅31이고 (11, 31)=1이므로
주어진 합동식을 증명하기 위하여
2341≡2 ( mod 11) 그리고 2 341≡2 ( mod 31)
이 성립함을 보이면 된다. 여기에서 페르마 정리를 이용
하면 2 10≡1 ( mod 11) , 230≡1 ( mod 31)이 성립한다.
2341≡ (210) 34⋅2≡134⋅2≡2 ( mod 11)
2 341≡ (230 ) 11⋅211≡111⋅211≡ (25)2⋅2≡2 ( mod 31)
이므로 2341≡2 ( mod 341)이 성립한다.
20. 임의의 정수 a에 대하여 a 25-a는 30으로 나누어짐
을 보여라.
[풀이 ] 30=2⋅3⋅5이므로 a 25-a가 2 , 3 , 5로 나
누어짐을 증명하면 된다. 먼저 5는 소수이므로 페르마의
정리에 의하여 a 5≡a ( mod 5 )이다. 따라서
a 25≡a 5≡a ( mod 5)
이므로 5 |a 25-a이다. 또한 3은 소수이므로 페르마의
정리에 의하여 a 3≡a ( mod 3)이다. 따라서
a 25≡ (a 3 ) 8a≡a 8a≡(a 3) 2a≡a 2a≡a ( mod 3)
이므로 3 |a 25-a이다. 마지막으로 2는 소수이므로 페
르마의 정리에 의하여 a 2≡a ( mod 2)이고
a 25≡ (a 2 ) 12a≡…≡a 2≡a ( mod 2)
이므로 2 |a 25-a이다.
21. 정수 a와 자연수 m에 대하여 (a, m)=1이면 일차
합동식 ax≡b ( mod m)의 해가 법 m에 관하여 유일
하게 존재함을 증명하여라.
[풀이 ] (a, m )=1이므로 ar+ms=1을 만족하는 정
수 r , s가 존재한다. 양변에 b를 곱하면
a(rb)+m(sb)= b
가 성립하며 a(rb)≡b ( mod m)이고 이 때
x≡rb ( mod m)
은 주어진 일차합동식의 해가 된다. 이제
x≡x 1 , x≡x 2 ( mod m )
이 주어진 일차합동식의 해라고 가정하자. 그러면
ax 1≡ax 2 ( mod m )
을 만족한다. 그런데 (a, m )=1이므로
x 1≡x 2 ( mod m )
이다. 따라서 주어진 일차합동식의 해는 법 m에 관하여
유일하게 존재한다.
22. 합동방정식 12x≡3 ( mod 15)의 해를 구하여라.
[풀이 ] 주어진 합동방정식은 다음과 동치이다.
4x≡1 ( mod 5 ) (#)
여기서 법 5에 대한 4의 역원은 4이므로 양변에 4를
곱하면 1x≡4×4x≡4 ( mod 5 )를 얻는다. 따라서 주
어진 방정식의 해는 x≡4 ( mod 5)이다.
23. 정수 a와 자연수 m에 대하여 (a, m)=1이면 일차
합동식 ax≡b ( mod m)의 해를 오일러의 정리를 이용
하여 구하여라.
[풀이 ] (a, m)=1이므로 오일러의 정리에 의하여
aφ(m)≡1 ( mod m ) (#)
이 성립한다. ax≡b ( mod m)의 양변에 a φ(m)-1을 곱
하면
a φ(m)x≡a φ(m)-1⋅b ( mod m )
이다. 따라서 (#)에 의하여
x≡a φ(m)-1b ( mod m )
를 얻는다.
24. 다음 연립합동식의 해를 구하여라.
{x≡2 ( mod 3 )x≡3 ( mod 5 )x≡2 ( mod 7 )
[풀이 ] 먼저 각 법의 곱의 역수를 구하면
(5⋅7)*≡35*≡2*≡2 ( mod 3)
(3⋅7)*≡21*≡1*≡1 ( mod 5)
(3⋅5)*≡15*≡1*≡1 ( mod 7 )
이다. 여기서
x 1=2⋅(5⋅7)* (5⋅7)=140
x 2=3⋅(3⋅7)* (3⋅7)=63
x 3=2⋅(3⋅5)* (3⋅5)=30
이라고 하면 중국인의 나머지정리에 의해 구하는 해는
x≡x 1+x 2+x 3≡23 ( mod 105)
가 된다.
25. 정수계수 다항식 f (x)= ∑n
i=0a ix
i와 소수 p , 그리고 임
의의 정수 x , s에 대하여 다음 등식을 증명하여라.
f (x+p ks )≡ f (x)+f '(x) pks ( mod pk+1 )
[풀이 ] 이항정리에 의하여 다음이 성립한다.
(x+pks )n= x
n+nC1x
n-1pks+ ∑
n
r=2nC r x
n- r(pks )r
여기서 ∑n
r=2nC r x
n- r(pks )r은 pk+1로 나누어지므로
(x+p ks )n≡xn+nxn-1pks ( mod pk+1)
이 성립한다.
- 36 -
이제 f (x+pks )에 대하여 정리하면
f (x+p ks )= ∑n
i=0a i (x+p
ks )i
≡∑n
i=0a i (x
i+ ix
i-1pks )
≡∑n
i=0a ix
i+∑
n
i=0a iix
i-1pks
≡ f (x)= f '(x) pks ( mod pk+1)
이므로 주어진 등식이 성립한다.
26. 합동식 f (x)= x 3-2x+1≡0 ( mod 9)의 모든 해를
구하여라.
[풀이 ] 먼저 f (x) ≡0 ( mod 3 )의 해를 구하자.
f (0) ≡1 , f (1) ≡0 , f (2) ≡2 ( mod 3)
이므로 f (x) ≡0 ( mod 3 )의 해는 x≡1 ( mod 3)이
다. 이것은
x≡1 , x≡4 , x≡7 ( mod 9)
중 하나가 f (x) ≡0 ( mod 9 )의 해가 됨을 의미한다.
f (1+3k )≡ f (1)+f '(1) 3k ( mod 9 )
이므로
f (1) ≡0 ( mod 9)
f (4) ≡3f '(1) ≡3 ( mod 9)
f (7) ≡6f '(1) ≡6 ( mod 9)
이다. 따라서 구하는 해는 x≡1 ( mod 9)이다.
27. 홀수인 소수 p에 대하여 (a, p )=1일 때
ap-12 ≡( ap ) ( mod p )
임을 증명하여라.
[풀이 ] 두 가지 경우로 나누어 증명하자.
(1) a가 법 p에 관한 이차잉여라고 하자. 그러면 페르마
정리에 의하여 ap-1≡1 ( mod p )가 성립한다. 이것을
인수분해하면 다음과 같다.
(ap-12 -1)(a
p-12 +1)≡0 ( mod p )
여기서 a가 이차잉여이므로 x 2≡a ( mod p )이며
x2⋅p-12 ≡a
p-12 ( mod p )
이므로
xp-1≡ap-12 ( mod p )
이다. 또한 (x, p )=1이므로 페르마 정리에 의하여
xp-1≡1 ( mod p )
이다. 그러므로
( ap )=1≡xp-1≡a
p-12( mod p )
를 만족한다.
(2) a가 법 p에 관한 이차비잉여라고 하자. 그러면
ap-12≡1 ( mod p )
를 만족하지 않는다. 그런데
(ap-12-1)(a
p-12+1)≡0 ( mod p )
를 만족해야 하므로
ap-12 ≡-1=( ap ) ( mod p )
를 만족한다.
28. 13의 한 원시근 2에 대한 다음 지수표를 완성하고 합
동방정식 4x 9≡7 ( mod 13)의 해를 구하여라.
[풀이 ] 13의 원시근 2에 대한 지수표는 다음과 같다.
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ind2a 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6
이를 이용하여 4x 9≡7 ( mod 13)의 해를 구하면
4x 9≡7 ( mod 13)
⇔ ind2 (4x9 )≡ind27 ( mod φ(13))
⇔ ind24+9ind2x≡ind27 ( mod 12)
⇔ 9 ind2x≡9 ( mod 12)
⇔ 3 ind2x≡3 ( mod 4)
⇔ ind2x≡1 ( mod 4)
⇔ ind2x≡1, 5, 9 ( mod 12)
⇔ x≡2 또는 x≡6 또는 x≡5 ( mod 13) .
29. 3n-5⋅2n이 7의 배수가 되도록 하는 자연수 n을
구하여라.
[풀이 ] 7 | 3n-5⋅2 n은 다음과 동치이다.
3n≡5⋅2n ( mod 7 )
7의 한 원시근 3에 대하여 양변에 ind 3을 취하면
ind33n≡ ind35⋅2
n ( mod φ(7) )
이다. 이것을 변형하면
n≡ ind35+n ind32 ( mod 6)
이므로 n≡2n+5 ( mod 6 )을 얻는다. 따라서 구하는
자연수 n은 n≡-5 ( mod 6 ) , 즉
n=-5+6k (k∈ℕ)
이 된다.
30. 합동식 x 2≡5 ( mod 227)의 해가 존재하는지 판별하
여라.
[풀이 ] 주어진 합동식의 르장드르 부호를 계산하면
( 5227 )=(2275 ) (-1)
5-12
227-12 ≡ ( 25 ) ( mod 5)
≡22≡4≡-1 ( mod 5 )
이므로 주어진 합동식의 해는 존재하지 않는다.
- 37 -
31. 합동식 5x 2-6x+2≡0 ( mod 13)의 해를 구하여라.
[풀이 ] 먼저 5*=8을 주어진 식에 곱하면
x 2-9x+3≡0 ( mod 13) (1)
을 얻는다. 또한 2*=7이므로 (1)은
(x-7⋅9)2+3-(7⋅9)
2≡0 ( mod 13)
와 동치이다. 이것을 인수분해하면
(x+2)2≡1 ( mod 13)
이 된다. 이것은 x+2≡±1 ( mod 13)과 동치이므로
구하는 해는
x≡-1 또는 x≡-3 ( mod 13) .
32. 합동식 x 2≡-a 2 ( mod p)의 해가 존재할 필요충분
조건은 p≡1 ( mod 4)임을 증명하여라.
[풀이 ] 주어진 합동식의 르장드르 부호를 계산하면
( -a2
p )= ( -1p )(a 2
p )= (-1p )=(-1)
p-12
이다. 따라서 x 2≡-a 2 ( mod p)의 해가 존재할 필요
충분조건은
1=(-1)p-12 ⇔ 2 | p-12 ⇔ 4 |p-1
⇔ p≡1 ( mod 4)
- 38 -
추상대수학 | Abstract Algebra
1. {Hi | i∈I }의 모든 원소가 G의 부분군일 때 ∩i∈IH i는
G의 부분군이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] 각 i∈I에 대하여 Hi≤G이므로 e∈Hi이다.
따라서 e∈∩Hi이고 ∩Hi /=φ이다.
이제 a, b∈∩Hi라고 하자. 그러면 임의의 i∈I에 대하
여 a, b∈Hi이므로 ab-1∈Hi이고 ab
-1∈∩Hi이다.
따라서 ∩Hi는 G의 부분군이다.
2. 유한순환군 G=<a >의 위수가 m일 때 ak∈G가 G
의 생성원이 되기 위한 필요충분조건은 (m, k )=1임
을 증명하시오.
[풀이 ] 먼저 ak가 G의 생성원이라고 가정하자. 그러면
<ak>=G이므로 |ak |=m이어서 (ak)m= e이다. 여
기서 (m, k )= d > 1이라고 하면
m= dm 1 , k=dk 1 (m 1 <m , k 1 < k )
으로 표현할 수 있고
(ak )m 1= (a
dk 1)m 1= (a
dm 1)k 1= (am) k= e
가 되어 m이 ak의 위수라는 사실에 모순이다. 따라서
(m, k )=1이다.
역으로 (m, k )=1이라고 가정하자. 그러면
ms+kt=1
인 두 정수 s , t가 존재하여
a 1=ams+ kt=amsakt=(ak) t∈< ak >
이므로 a∈< ak > , G=<a>이다.
따라서 G는 ak에 의해서 생성된다.
3. 유한군 G의 공집합이 아닌 부분집합 H가 G의 부분군
이 될 필요충분조건은 연산에 대하여 닫혀있는 것임을
증명하여라.
[풀이 ] 만약 H가 G의 부분군이라면 당연히 연산에 대
하여 닫혀있다. 이제 역을 증명하기 위하여 H가 연산에
대하여 닫혀있다고 가정하자. H /=φ이므로 x∈H가 존
재한다. H가 연산에 닫혀있으므로 임의의 자연수 n에
대하여 xn∈H이다. 여기서 H는 유한집합이므로 두 자
연수 m , n이 존재하여
xm= xn (#)
이면서 m > n를 만족한다. 위 식의 양변에 x-n을 곱하
면
e= xm(xn)-1= x
m-n∈H
이다. 즉 H는 항등원을 포함한다.
또한 (#)의 양변에 x-n-1을 곱하면
x-1=xm-n-1∈H
이므로 H는 x의 역원을 포함한다.
따라서 H는 G의 부분군이다.
4. 군 <G, ⋅>와 고정된 g∈G에 대하여 연산 *를 임의
의 x, y∈G에 대하여 x *y = x⋅g⋅y으로 정의하면
<G, *>는 군이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] x , y , z가 G의 임의의 원소라고 하자.
(ⅰ) x *y= x⋅g⋅y∈G이므로 *는 잘 정의된 이항연
산이다.
(ⅱ) x *(y *z )= x⋅g⋅(y⋅g⋅z )=(x⋅g⋅y )⋅g⋅z
=(x *y ) *z이므로 G는 *에 대하여 결합적이다.
(ⅲ) e *=g-1라고 하면 e *∈G이므로 x∈G에 대하여
e * *x= e *⋅g⋅x= g-1⋅g⋅x= x ,
x *e *= x⋅g⋅e *= x⋅g⋅g-1= x
이므로 <G, *>는 항등원 e *를 가진다.
(ⅳ) x-1가 x의 ⋅에 대한 역원이고,
x'=g-1x-1g-1
라고 하면
x *x'=(g-1⋅x-1⋅g-1)⋅g⋅x=g-1= e *
x *x'=x⋅g⋅(g-1⋅x-1⋅g-1)=g-1= e *
이므로 x'는 x의 *에 대한 역원이고 x'∈G이다.
따라서 (ⅰ)∼(ⅳ)에 의하여 <G, *>는 군이다.
5. 두 순환치환 σ= ( i 1, i 2, …, i r) , ρ=( j 1, j 2, …, j s)가
서로소이기 위한 필요충분조건은
{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ
임을 증명하여라.
[풀이 ] 치환군 SA에서 σ와 τ가 서로소라고 하자. 그
러면 각 k∈A에 대하여
(ⅰ) σ(k ) /= k이면 τ(k)= k ,
(ⅱ) τ(k) /= k이면 σ(k)= k ,
(ⅲ) τ(k)= k이고 σ(k)= k
중 하나가 성립한다. 또한
σ(k) /= k이면 k∈{ i 1, i 2, …, i r } ,
τ(k) /= k이면 k /∈{ i 1, i 2, …, i r } ,
τ(k) /= k이면 k∈{ j 1, j 2, …, j s } ,
τ(k)= k이면 k /∈{ j 1, j 2, …, j s }
이다.
- 39 -
따라서 모든 경우에
{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ
이다. 역으로
{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ
가 성립한다고 가정하자. 그러면
σ(k) /= k이면 τ(k)= k이어야 하고
τ(k) /= k이면 σ(k)= k이어야 하며
τ(k)= k , σ(k)= k
를 동시에 만족함을 의미하므로 σ와 τ는 서로소이다.
6. 순환군의 부분군은 순환군임을 증명하여라.
[풀이 ] G가 순환군이고 H가 G의 부분군이라고 하자.
H={e }인 경우 자명하게 H는 순환군이다.
이제 H /={e }라고 하자. G가 순환군이므로 G=<a>
인 a∈G가 존재한다. 또한 H /={e }이므로 H∖{e }의
원소 h가 존재한다. 그런데 h∈G이므로 h= an인 자
연수 n이 존재한다. 이제
m= min {n∈ℕ |an∈H } (1)
에 대하여 am= c라 하고 H=< c>임을 보이자.
(ⅰ) 먼저 c∈H이고 H는 닫혀있으므로
< c >= {cn |n∈ℤ }⊆H
이다.
(ⅱ) h∈H에 대하여 정수 k가 존재하여 h= ak이다.
따라서 정수의 호제법에 의하여 정수 q , r이 존재하여
k= qm+r (0≦r <m) (2)
이므로 h=ak=aqm+ r= cq⋅ar이다. 그런데
c q⋅ar=h∈H
이고 c∈H이므로 ar= c- q⋅h∈H이다.
만약 r > 0이면 (1)에 의하여 r≧m이고 이는 (2)에 모
순이다. 따라서 r=0이다. 이로써
h= cq⋅ar= cq⋅a 0= cq⋅e∈< c >
이므로 H⊆< c>이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 H=< c>는 순환군이다.
7. 유한군 G의 원소 a와 자연수 n에 대하여 an= e를
만족하면 ord(a) |n임을 증며하여라.
[풀이 ] 위수의 정의에 의하여 n≦ ord(a)이다. 따라서
정수의 호제법에 의하여
n= kq+r (0≦r < k) (1)
를 만족하는 정수 q , r이 존재하여
e= an= akq+ r=(ak ) qa r= e q ar= ar ,
즉 ar= e이다. 만약 r > 0이라고 가정하면 k가 위수이
므로 r≧k가 되므로 (1)에 모순이다. 따라서 r=0이다.
이로써 n= kq+r= kq+0= kq이므로
ord(a)= k |n
이 성립한다.
8. 위수가 n인 순환군 G=<a>와 두 정수 m , k에 대하
여 (n, m)= (n, k)이면 <am>=<ak>임을 보여라.
[풀이 ] d=(m, n )이라고 하자.
(ⅰ) d |m이므로 m=m 1d인 정수 m 1이 존재한다. 따
라서 < am>=<adm 1 > ⊆<ad>이다.
그리고 d=(m, n)이므로 d=nx+my인 두 정수 x ,
y가 존재한다. 여기서
<ad>=<anx+my>=<amy> ⊆<am>
이다. 따라서 <ad>=< am>이다.
(ⅱ) 위와 같은 방법으로 <ad>=< ak>이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 <am>=< ak>이다.
9. 군 G의 두 원소 a , b의 위수가 각각 m , n일 때
ab= ba인 동시에 (m, n )=1이면 ab의 위수는 mn
임을 증명하여라.
[풀이 ] ord(ab )= r이라고 하자.
(ⅰ) e=(ab) rn= arnb rn= arn⋅(bn) r= arn이므로
m= ord(a) |rn
인데 (m, n )=1이므로 m |r이다. 또한
e=(ab) rm=a rmb rm=(am) r⋅b rm= b rm이므로
n= ord(b) |rm
인데 (m, n )=1이므로 n |r이다.
따라서 mn= lcm(m, n ) |r이다.
(ⅱ) (ab )mn=(am )n (bm)n= enem= e e= e이므로
ord(ab) |mn이다.
따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 ord(ab )=mn이다.
10. 유한군 G의 위수가 짝수일 때 G에는 a 2= e , a /= e
인 원소 a가 적어도 하나 존재함을 증명하여라.
[풀이 ] 조건을 만족하는 a∈G가 존재하지 않는다고 가
정하자. 그리고 X=G∖{e }이라고 하자. 이때 임의의
a, b∈X에 대하여 a-1 /=a , b-1 /=b이고 또 다음 중
하나가 유일하게 성립한다.
(ⅰ) {a, a-1 }∪ {b, b-1 }=φ
(ⅱ) {a, a-1 }={b, b-1 }
실제로 {a, a-1 }∪ {b, b-1 } /=φ일 때 a= b이면
a-1=b
-1이고 또 a=b -1이면 a-1=b이므로 어느
경우에나 {a, a-1 }= {b, b-1 }이다.
- 40 -
따라서 X는 쌍마다 서로소인
{a 1, a-11 } , … , {am, a
-1m }
의 합집합
X={a 1, a-11 }∪…∪ {am, a
-1m }
으로서 표현되고 |X |=2m , |G |= |X |+1=2m+1
이다. 그러나 이것은 |G |가 짝수라는 사실에 모순이다.
따라서 G에는 a 2= e , a /= e인 원소 a가 적어도 하나
존재한다.
11. 군 G에 대하여 C (G)= {x∈G |∀g∈G : xg= gx }일
때 C (G)가 G의 정규부분군이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 임의의 g∈G에 대하여 eg=ge이므로
e∈C (G)가 되어 C (G) /=φ이다.
이제 x, y∈C (G)라고 하자. 그러면 임의의 g∈G에 대
하여 xg=gx , yg=gy를 만족하고 gx-1= x-1g와
gy-1= y
-1g도 만족한다. 여기서
(xy-1)g= x(y-1g)= x(gy-1)(xg)y-1
=(gx)y-1=g(xy-1)
이므로 xy-1∈C (G)이다. 따라서 C (G)≤G이다. 또한
gxg-1=(gx)g-1=(xg)g-1= x(gg-1)
= xe= x∈C (G)
이므로 C (G)는 G의 정규부분군이다.
12. 유한군 G의 위수가 소수 p이면
G≅Cp=<x |xp= e >
이고 G의 부분군은 {e }와 G 뿐임을 증명하여라.
[풀이 ] H를 G의 부분군이라고 하면 라그랑지의 정리
에 의하여 |H |가 p의 약수이므로 |H |= p 또는
|H |=1이다. 따라서 H=G 또는 H={e }이다.
이제 a /= e인 a∈G에 대하여 | < a > |=p이므로
G=<a>이고 |G |= | <a> |= |a |= p
이다. 또한 |Cp |= | < x> |= p로서 G와 Cp는 위수가
같은 순환군이므로 G≅Cp이다.
13. 군 G에 대하여 N◁G일 때, H가 N⊆H인 G의 부
분군이면 H/N={hN |h∈H }은 G/N의 부분군임을
증명하여라.
[풀이 ] N이 G의 정규부분군이고 H가 G의 부분군으
로서 N을 포함하므로 N은 H의 정규부분군이다. 그러
므로 H/N⊆G/N이다.
여기서 e∈H이므로 eN∈H/N이어서 H/N /=φ이다.
또한 ab∈H일 때 ab-1∈H이고 aN, bN∈H/N일 때
(aN )(bN )-1=aNb-1N=ab-1N∈H/N
이므로 H/N은 G/N의 부분군이다.
14. 군 G에 대하여 N◁G일 때, H가 N⊆H인 G의 부
분군이면 N◁H임을 증명하여라.
[풀이 ] N은 군이므로 당연히 N≤H이다. 또한 H의
임의의 원소 a는 G의 원소이고, N이 G의 정규부분군
이므로 aN=Na이다. 따라서 N◁H이다.
15. 모든 성분이 실수인 2×2 행렬 중에서 가역행렬들의
모임을 GL 2(ℝ) , 행렬식이 1인 행렬들의 모임을
SL 2(ℝ)이라 할 때 [GL 2(ℝ) : SL 2(ℝ) ]을 구하여라.
[풀이 ] M(a)= ( 1 00 a ) , a∈ℝ+이라고 두면
[GL 2 (ℝ) : SL 2(ℝ)]
=| {A∈SL 2(ℝ) |A∈GL 2(ℝ) } |
≧| {M(a)SL 2(ℝ) |a∈ℝ+} |
= |ℝ+ |= c > ℵ 0
이므로 [GL 2 (ℝ) : SL 2(ℝ) ]=∞이다.
16. 군 G , G'에 대하여 φ :G → G'가 준동형사상이고
e∈G , e'∈G'이 항등원일 때 다음을 증명하여라.
(1) φ (e)= e'이다.
(2) a∈G에 대하여 φ (a-1)=φ (a)-1이다.
(3) 정수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.
[풀이 ] (1) G의 한 원소 a에 대하여
φ(a)=φ(ae)=φ(a)φ(e)
가 성립한다. 양변의 오른쪽에 φ(a)-1을 곱하면
e'=φ(a)-1φ(a)=φ(a)
-1φ(a)φ(e)=φ(e)
이므로 e'=φ(e)이다.
(2) e'=φ(e)=φ(aa-1)=φ(a)φ(a-1)이고 φ(a)의
역원은 유일하므로 φ(a-1)=φ(a)-1이다.
(3) 먼저 φ(a 1 )=φ(a) 1이고 자연수 k에 대하여
φ(ak)=φ(a) k
가 성립함을 가정하면
φ(ak+1)=φ(aka)=φ(ak)φ(a)=φ(a) kφ(a)
=φ(a) k+1
이므로 모든 자연수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.
또한 φ(a 0)=φ(e)=φ(a) 0이고 자연수 n에 대하여
φ(a-n)=φ( (an)-1)=φ(an)-1=(φ(a)n)-1
=φ(a)-n
이므로 모든 정수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.
- 41 -
17. 준동형사상 φ :G → G'에 대하여 다음을 증명하여라.
(1) H≤G이면 φ(H )≤G'이다.
(2) K'≤G'이면 φ-1(K')≤G이다.
(3) N◁G이면 f (N )◁f (G )이다.
[풀이 ] (1) 임의의 α, β∈φ(H )에 대하여
φ(a)=α , φ(b)=β
인 a, b∈G가 존재한다. 그런데
αβ=φ(a)φ(b)=φ(ab) ∈φ(H )
이므로 φ(H )는 연산에 닫혀있다. 또한 φ(e)는 φ(H )
의 항등원이고 φ(a)-1=φ(a-1)∈φ(H )이므로 φ(H )
는 군의 조건을 만족한다. 따라서 φ(H )≤G'이다.
(2) 임의의 a, b∈φ-1(K')에 대하여 φ(a), φ(b) ∈K'
이므로 φ(ab )=φ(a)φ(b) ∈K' , 즉 ab∈φ-1(K ')이
되어 φ-1(K ')은 연산에 닫혀있다. 그리고 e'∈K'이
므로 e∈φ-1(K ')이다. 또한 φ(a) ∈K'이므로
φ(a-1)=φ(a)
-1∈K'
이고 a-1∈φ-1(K')이 되어 φ-1(K ')는 군의 조건을
만족한다. 따라서 φ-1(K')≤G이다.
(3) 임의의 α∈φ(G)에 대하여 φ(a)=α인 a∈G가 존
재한다. 그런데 N◁G이므로 aN=Na이다. 잉여류의
정의에 의하여
αφ(N )=φ(a)φ(N )=φ(aN )=φ(Na)
=φ(N )φ(a)=φ(N )α
이므로 f (N )◁f (G )이다.
18. 군 ℤ 2×ℤ 2로부터 군 ℤ 2×ℤ 2×ℤ 4
으로의 준동형
사상의 개수를 구하여라.
[풀이 ] ℤ 2×ℤ 2= < (1, 0), (0, 1)>이므로 준동형사상
f :ℤ 2×ℤ 2 → ℤ 2×ℤ 2×ℤ 4
은 f (1, 0)=(a 1, a 2, a 3) , f (0, 1)=(b 1, b 2, b 3)에
의하여 완전히 결정된다. 또한
f (m, n)=m(a 1, a 2, a 3)+n(b 1, b 2, b 3)
이 성립해야다.
여기서 f가 준동형사상일 필요충분조건은
(0, 0, 0)= f (0, 0)= f (2, 0)=2(a 1, a 2, a 3) ,
(0, 0, 0)= f (0, 0)= f (0, 2)=2(b 1, b 2, b 3)
이며 이것은 또한 다음과 동치이다.
a 1=0 ∨ a 1=1 , a 2=0 ∨ a 2=1 , a 3=0 ∨ a 3=2 ,
b 1=0 ∨ b 1=1 , b 2=0 ∨ b 2=1 , b 3=0 ∨ b 3=2 .
따라서 준동형사상의 개수는 26이다.
19. 준동형사상 f :G → G'가 일대일 함수일 필요충분조건
은 ker f={e }임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 ker f={e }라고 가정하자. x, y∈G에 대
하여 f (x)= f (y)임을 가정하면
e= f (x)(f (x))-1= f (x) ( f (y))-1
= f (x) f (y-1)= f (xy-1)
이므로 xy-1∈ker f={e }가 되고 xy-1=e이다. 따라
서 역원의 유일성에 의하여 x= y이므로 f는 단사이다.
이제 역을 증명하기 위하여 f가 단사라고 가정하자.
(ⅰ) x∈ker f에 대하여 f (x)= e= f (e)이고 f가 단사
이므로 x= e∈{e }이다. 따라서 ker f⊆{e }이다.
(ⅱ) x∈{e }에 대하여 x= e이므로 f (x)= e가 된다.
즉 x∈ker f이므로 {e }⊆ker f이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 ker f ={e }이다.
20. 준동형사상 f : <S> → G는 S의 원소에 의해 유일하
게 결정됨을 증명하여라.
[풀이 ] 두 준동형사상 f : <S> → G , g : <S> → G가
임의의 x∈S에 대하여 f (x)=g (x)를 만족한다고 가정
하자. 이제 y∈<S>라고 하자. 그러면
y= se 11 se 22 … s
e nn
을 만족하는 s i∈S들과 정수 e i들이 존재한다. 따라서
f (y)= f ( se 11 se 22 … s
enn )= f ( s 1)
e 1f ( s 2)
e 2… f ( s n)
en
= g (s 1)e 1g ( s 2)
e 2…g ( s n)
en
= g ( se 11 se 22 … s
enn )= g (y)
로서 f (y)= g (y)가 성립한다. y는 <S >의 임의의 원
소이므로 f=g이다.
21. 준동형사상 f :G → G'에 대하여 ker f가 G의 정규
부분군임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 정의에 의하여 당연히 ker f⊆G이다.
그리고 f (e)= e '이므로 e∈ker f이다.
임의의 a, b∈ker f에 대하여 f (a)= e' , f (b)= e'이
고
f (ab-1)= f (a)f (b)-1= e' (e')-1= e'
이므로 ab-1∈ker f이다. 따라서 ker f≤G이다.
또한 임의의 g∈G와 a∈ker f에 대하여
f (gag-1)= f (g)f (a)f (g-1)= f (g)e' f (g)-1= e'
이므로 gag-1∈ker f이다. 따라서 ker f는 G의 정규
부분군이다.
- 42 -
22. 함수 φ가 군 G로부터 가환군 K로의 준동형사상일
때 kerφ를 포함하는 G의 부분군은 정규부분군임을 증
명하여라.
[풀이 ] G이 부분군 H가 kerφ를 포함한다고 가정하
자. 그리고 g∈G , h∈H라고 하자. 그러면
φ(ghg-1)=φ(g)φ(h)φ(g)-1
=φ(g)φ(g)-1φ(h)=φ(h)
이므로
φ(ghg-1h-1)=φ(ghg-1)φ(h-1)
=φ(h)φ(h-1)= e
가 성립한다. 즉 ghg-1h-1∈kerφ⊆H이다.
그런데 h∈H이고 H는 연산에 닫혀있으므로
ghg-1= ghg-1h-1h∈H
이다. 즉 임의의 g∈G , h∈H에 대하여 ghg-1∈H가
성립하므로 H는 G의 정규부분군이다.
23. 준동형사상 f :G → G'에 대하여 G/K≅ f (G )임을
증명하여라. (제 1 동형정리)
[풀이 ] K= f (G )에 대하여 φ :G/K → K를
φ(xK )= f (x)
로 정의하자. 그러면 K◁G이므로
aK= bK ⇔ f (a)= f (b) ⇔ φ(aK )=φ(bK )
가 되어 φ는 잘 정의된 함수이고 일대일 대응이다.
또한 임의의 a, b∈G에 대하여
φ(aK⋅bK )=φ(abK )= f (ab)= f (a) f (b)
=φ(aK )φ(bK )
이므로 φ는 동형사상이다.
따라서 G/K≅ f (G )이다.
24. 군 G의 두 부분군 H , K에 대하여 HK , KH가 G
의 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 HK=KH임을
보여라.
[풀이 ] 먼저 HK=KH가 성립한다고 가정하자. 그러면
명백히 e∈HK이므로 HK /=φ이다. 이제 x, y∈HK라
고 하자. 그러면 x= h 1k 1 , y= h 2k 2인 h 1, h 2∈H와
k 1, k 2∈K가 존재한다. 여기서
xy-1= (h 1k 2)(h 2k 2)-1= h 1k 1k
-12 h
-12
= h 1(k 2k-11 )
-1h 2
이고 (k 2k-11 )
-1h 2∈KH=HK이므로
(k 2k-11 )
-1h 2=hk
인 h∈H와 k∈K가 존재한다.
즉 xy-1= h 1(k 2k-11 )
-1h 2= h 1hk∈HK이다.
따라서 HK와 KH는 G의 부분군이다.
이제 역을 증명하기 위하여 HK≤G라고 하자. 그러면
임의의 x∈KH에 대하여 x= kh인 k∈K , h∈H가
존재하고, k∈HK , h∈HK이며 HK가 군이므로
x= kh∈HK
이다. 따라서 KH⊆HK이다.
또한 같은 방법으로 HK⊆KH임을 보일 수 있다.
따라서 HK=KH이다.
25. 군 G가 위수 n인 순환군이면 ℤ/nℤ≅G임을 증명
하여라.
[풀이 ] G가 위수 n인 순환군이므로 a∈G가 존재하
여 G={e, a, a 2, …, an-1 }이다. 여기서
f (m)=am
이라고 하면 f는 ℤ로부터 G로의 준동형사상이 된다.
또한 f (ℤ)=G , ker f =nℤ이므로 제 1 동형정리에
의하여 ℤ/nℤ≅G이다.
26. 덧셈에 대한 두 군 ℤ m×ℤ n과 ℤmn
이 동형일 필요
충분조건은 m과 n이 서로소임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 m , n이 서로소라고 가정하자. 그러면
ord(1, 1)= min {k∈ℕ |k(1, 1)=(0, 0) }
= min {n∈ℕ |m |k ∧ n |k }
= lcm(m, n )=mn
이므로 ℤm×ℤ n=< (1, 1) >이 된다.
즉 ℤ m×ℤ n은 위수 mn인 순환군이므로 ℤmn
과 동
형이다.
이제 역을 증명하기 위하여 d= gcd (m, n) > 1이라고
가정하자. 그러면 적당한 자연수 m , n이 존재하여
m=m 1d , n=n 1d , gcd (m 1, n 1)=1
을 만족한다. 즉 임의의 (x, y )∈ℤm×ℤ n에 대하여
m 1n 1d (x, y )= (n 1mx, m 1ny )= (0, 0)
이므로 ord(x, y )≦m 1n 1d < (m 1d )(n 1d )=mn이다.
따라서 ℤ m×ℤ n에 생성원이 존재하지 않으므로 군환
군이 아니다. 즉 ℤ m×ℤ n /≅ℤ mn이므로 귀류법에 의하
여 역이 증명되었다.
27. 군 ℤ 4의 분해가능성을 조사하여라.
[풀이 ] ℤ 4가 분해가능하다고 가정하자. 그러면
ℤ 4≅H×K , H /={0 } , K /={0 }
을 만족하는 ℤ 4의 정규부분군 H , K가 존재한다.
- 43 -
또한 4= |ℤ 4 |= |H ||K |이므로 |H |= |K |=2가 될
수밖에 없다. 따라서 ℤ 4의 위수 2인 부분군은 < 2> 뿐
이므로 H=K=<2>이다. 그런데 < 2 > × < 2 >는 순환
군이 아니므로 ℤ 4 /≅H×K이다. 따라서 ℤ 4는 분해 불
가능하다.
28. 3차 대칭군 S 3의 분해 가능성을 조사하여라.
[풀이 ] S 3이 분해가능이라고 가정하면
S 3≅H×K , |H | /=1 , |K | /=1
인 S 3의 두 정규부분군 H , K가 존재한다.
여기서 6= |S 3 |= |H ||K |이므로 일반성을 잃지 않고
|H |=3 , |K |=2라고 하자. 그러면
H≅ℤ 3, K≅ℤ 2
이다. 그러나 S 3은 비가환군이고 ℤ 3×ℤ 2는 가환군이
므로 이 둘은 서로 동형이 아니다. 따라서 S 3은 분해 불
가능하다.
29. 위수가 360인 서로 동형이 아닌 가환군이 모두 몇 개
인지 밝혀라.
[풀이 ] G를 위수 360인 가환군이라고 하자.
그러면 |G |= 360=23 3 2 5 1이므로 유한생성가환군의
기본정리에 의하여 G는 다음 중 하나와 동형이다.
ℤ 2×ℤ 2×ℤ 2×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5
ℤ 2×ℤ 2 2×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5
ℤ 2 3×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5
ℤ 2×ℤ 2×ℤ 2×ℤ 3 2×ℤ 5
ℤ 2×ℤ 2 2×ℤ 3 2×ℤ 5
ℤ 2 3×ℤ 3 2×ℤ 5
따라서 위수가 360인 서로 동형이 아닌 가환군은 모두
6개이다.
30. 덧셈에 대한 두 군 ℝ와 2πℤ , 그리고 곱셈에 대한 군
C={z∈ℂ | |z |=1 }에 대하여 ℝ/2πℤ≅C임을 증명
하여라.
[풀이 ] ℝ로부터 곱셈에 대한 군 ℂ *로의 함수 f를
f (x)= eix= cosx+ isinx
로 정의하자. 그러면 임의의 x, y∈ℝ에 대하여
f (x+y)= e i( x+ y)= e ix e yx= f (x) f (y)
이므로 f는 준동형사상이다. 제 1 동형정리에 의하여
ℝ/ker f≅ f (ℝ)
가 성립한다. 그런데
f (ℝ)=C , ker f=2πℤ
이므로 ℝ/2πℤ≅ C이다.
31. 상군 ℤ 16×ℤ 9×ℤ 25/ < (4, 3, 5) >의 위수를 구하여라.
[풀이 ] G=ℤ 16×ℤ 9×ℤ 25라고 하면
|G |=24⋅32⋅52
이다. 그런데
| < (4, 3, 5)> |= |(4, 3, 5 ) |= lcm(|4 |, |3 |, |5 |)=60
이므로
|G/< (4, 3, 5) > |= |G |/| < (4, 3, 5)> |=60
을 얻는다.
32. 군 G에 대하여 C (G)= {x∈G |∀g∈G : xg=gx }일
때, G/C(G)가 순환군이면 G는 가환군임을 보여라.
[풀이 ] G/C(G)가 순환군이면 적당한 g∈G가 존재하
여 G/C(G)=<gC(G ) >이다.
따라서 임의의 g 1, g 2∈G에 대하여
g 1∈gmC(G) , g 2∈g
nC(G)
를 만족하는 정수 m , n이 존재한다. 이것은
g 1= gmc 1 , g 2= g
nc 2
를 만족하는 c 1, c 2∈C(G)가 존재함을 의미한다.
여기서 C(G)는 G의 정규부분군이므로
g 1g 2= (gmc 1)(g
nc 2)= gm(c 1g
n)c 2= gm(gnc 1)c 2
=(gmgn)(c 1c 2)=gm+1(c 1c 2)=g
n+m(c 1c 2)
=(f ngm)(c 2c 1)= gn(gmc 2)c 1=g
n(c 2g
m)c 1
=(gnc 2)(gmc 1)= g 2g 1
가 성립한다. 따라서 G는 가환군이다.
33. 소수 p와 정수 r≧2에 대하여 pr인 군 G는 단순군
이 아님을 증명하여라.
[풀이 ] |G |= pr⋅1이라고 두면 제 1 실로우 정리에 의
하여 |H |=pr-1인 G의 부분군 H가 존재한다. 여기서
다시 제 1 실로우 정리에 의하여 G의 부분군 K가 존
재하여 |K |= p r , H◁K≤G를 만족한다.
따라서 K=G이고 H◁G이다. 그런데 |H |=pr-1이
므로 H /={e }이므로 G는 단순군이 아니다.
34. 위수가 42인 군 G는 단순군이 아님을 증명하여라.
[풀이 ] 7 |42= |G |이므로 제 3 실로우 정리에 의하여
n 7≡1 ( mod 7) , n 7 | 42
가 성립한다. 단, 여기서 n 7은 G의 실로우 7 -부분군의
개수이다. 두 조건을 동시에 만족하는 n 7은 1 뿐이므로
G의 실로우 7 -부분군은 유일하다. H를 G의 실로우
7 -부분군이라고 하자.
- 44 -
그러면 임의의 g∈G에 대하여 gHg-1는 G의 실로우
7 -부분군이 되어 gHg-1=H이다. 따라서 H◁G이다.
여기서 H /={e }이므로 G는 단순군이 아니다.
35. 환 R의 원소 a에 대하여 Ia={x∈R |ax=0 }은 R
의 부분환임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 a⋅0=0이므로 0∈Ia가 되어 Ia /=φ이
다. 이제 x, y∈Ia라고 하자. 그러면
a(x-y)=ax-ay=0-0=0
이므로 x-y∈Ia이고 또한
a(xy)= (ax)y=0⋅y=0
이므로 xy∈Ia이다. 따라서 I a≤R이다.
36. 임의의 r∈R에 대하여 r 2= r을 만족하는 환 R는
가환환임을 증명하여라.
[풀이 ] 임의의 a∈R에 대하여
a+a=(a+a) 2= a 2+a 2+a 2+a 2=a+a+a+a
이므로 a+a=0이고 a=-a이다. (#)
이제 r, s∈R이라고 하자. 그러면
r+s=(r+s) 2= (r+s)(r+s )
= r(r+s)+ s(r+s)= r 2+rs+sr+s 2
= r+rs+sr+s
가 된다. 양변에 (-r)+(- s)를 더하면
0= rs+sr
이 되고 (#)에 의하여
sr=-rs= rs
이다. 따라서 R는 가환환이다.
37. 임의의 유한정역은 체을 증명하여라.
[풀이 ] R={a 1, a 2, …, an }이 유한정역이라고 하자.
그러면 0이 아닌 임의의 a i∈R에 대하여
a iR={a ia 1, a ia 2, …, a ian }
이다. 여기서 R의 두 원소 a ia p , a iaq에 대하여
ap /= aq 그리고 a iap= a iaq
라고 가정하면 a i (ap-aq)=0이다. ai /=0이고 R은
인자를 갖지 않으므로 ap-aq=0 , 즉 ap= aq가 되
어 모순이다. 따라서 ap /= aq이면 a iap /= a iaq가 되고
유한집합의 성질에 의하여 |a iR |= |R |이고 a iR⊆R
이므로 a iR=R이다. 그런데 1∈a iR이므로 a ia j=1
인 a j∈R가 존재한다. 따라서 ai는 단원이다. 즉 0이
아닌 임의의 a i∈R이 단원이므로 R은 체이다.
38. 임의의 유한정역의 표수는 소수임을 증명하여라.
[풀이 ] 유한정역 D의 표수가 합성수 m= pq라고 하자.
표수의 정의에 의하여
m⋅1= pq⋅1=(p⋅1)(q⋅1)=0
이다. 따라서 p⋅1=0이거나 q⋅1=0이다.
이는 표수가 p 또는 q의 약수임을 의미하므로 m이 표
수라는 가정에 모순이다.
따라서 유한정역 D의 표수는 소수이다.
39. 자연수 m이 환 ℤ n의 단원일 필요충분조건은 m과
n이 서로소임을 증명하여라. 여기서 m∈ℤn이다.
[풀이 ] 먼저 m , n이 서로소가 아니라고 가정하자. 그
러면 d=(m, n) > 1이다. 여기서 두 자연수 m 1 , n 1이
존재하여 m=m 1d , n=n 1d이다. 따라서
0 < n 1≦n-1 , mn 1=m 1dn 1=m 1n=0
이므로 m은 인자이다.
이제 m , n이 서로소라고 가정하자. 그리고 s∈ℤ n에
대하여 ms=0이라고 가정하자. 그러면 n |ms이다. 그
런데 (m, n)=1이므로 n | s이다. 따라서 s=0이므로
m은 인자가 아니다.
40. 환 R의 원소 a에 대하여 am=0인 자연수 m이 존
재할 때 a를 r의 멱 원이라고 한다. 가환환 R의 멱
원 전체의 집합 J={a∈R |∃m∈ℕ : am=0 }은 R의
아이디얼임을 증명하여라.
[풀이 ] 0∈J이므로 J는 공집합이 아니고 또한 정의에
의하여 J⊆R이다. 이제 a, b∈J라고 하자. 그러면 자연
수 m , n이 존재하여 am=0 , an=0이다. 그런데
(a-b) m+n = ∑m+n
k=0m+nCka
m+n- k (-b) k
이고 또한
0≦k≦n이면 am+n-k=0 ,
n≦k≦m+n이면 b k=0
이므로 우변의 am+n-k(-b) k는 항상 0이 된다.
따라서 (a-b)m+n=0이므로 a-b∈J이다.
또한 R이 가환환이므로 (ab)mn=(am)n(bn)m=0이
다. 따라서 ab∈J이므로 J≤R이다.
끝으로 임의의 x∈R에 대하여
(ax)m=(xa)
m= x
mamxm0=0
으로서 ax∈J가 되므로 J◁R이다.
- 45 -
41. 체 F에서 단위원을 가진 환 R로의 준동형사상 f가
전사이면 f는 동형사상이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] x, y∈F에 대하여 x /= y , f (x)= f (y)라고 가
정하자. 그러면 f (x-y)= f (x)-f (y)=0이므로
f (1)= f (x-y)-1 (x-y))= f (x-y)-1 f (x-y)=0
이다. 따라서 임의의 a∈F에 대하여
f (a)= f (a⋅1)= f (a) f (1)= f (a)0=0
이므로 f (x) ≡0이고, f (F )= {0 }이다. 이것은 f가 전
사라는 사실에 모순이므로 f (x) /= f (y)이다. 따라서 f
는 단사이다.
42. 단위원을 가진 환 R의 아이디얼 I에 대하여 R에 단
원이 존재할 때, I=R이기 위한 필요충분조건은 R이
적어도 하나의 단원을 포함하는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] 만약 I=R이면 I는 당연히 R의 단원을 포함
한다. 이제 역을 증명하기 위하여 I가 R의 단원 u를
포함한다고 가정하자. 그러면 u-1∈I이고 I가 부분환
이므로 1=uu-1∈I이다. 또한 임의의 x∈R에 대하여
x= x1∈xI⊆I이므로 R⊆I가 되고 또한 I⊆R이므로
R= I이다.
43. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 R이 정역일 필요
충분조건은 {0 }이 R의 소아이디얼임을 증명하여라.
[풀이 ] {0 }이 소아이디얼이라고 하자. 그리고 a, b∈R
에 대하여 ab=0이라고 하자. 그러면 ab∈{0 }이므로
a∈{0 } 또는 b∈{0 }이다. 즉 a=0 또는 b=0이므
로 a , b는 인자가 아니다. 따라서 R은 정역이다.
역으로 R이 정역이라고 하자. 그러면 ab=0은 a=0
또는 b=0을 함의하므로 {0 }은 소아이디얼이 된다.
44. R이 단위원을 가진 가환환이고 P가 P /=R인 아이디
얼일 때, R/P가 정역일 필요충분조건은 P가 R의 소
아이디얼임을 증명하여라.
[풀이 ] P가 R의 소아이디얼이고 P /=R이라고 가정하
자. 그러면 R/P는 단위원 1+P /=0+P를 가지는 가
환환이다. 또한 소아이디얼의 정의에 의하여 다음이 성립
한다.
(ⅰ) ab∈P이면 a∈P 또는 b∈P이다.
(ⅱ) a+P , b+P∈R/P에 대하여
(a+P) (b+P)=0+P ⇒ ab+P=0+P
⇒ ab∈P이면 a∈P 또는 b∈P
⇒ a+P=0+P 또는 b+P=0+P .
따라서 R/P는 정역이다.
역을 증명하기 위하여 R/P가 정역이라고 가정하자. 그
러면 다음이 성립한다.
ab∈P ⇒ (a+P)(b+P)= ab+P=0+P
⇒ a+P=0+P 또는 b+P=0+P
⇒ a∈P 또는 b∈P
따라서 P는 R의 소아이디얼이다.
45. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 R이 정역일 필요
충분조건은 {0 }이 R의 극대아이디얼임을 증명하여라.
[풀이 ] {0 }이 R이 극대아이디얼이라고 하자. 그러면
임의의 아이디얼 I에 대하여 I={0 } 또는 I=R이다.
만약 a∈R이고 a /=0이면 aR /= {0 }이므로
aR=R= I이다. 여기서 1∈R이므로
1= aa'∈aR=R= I
인 a'∈R이 존재하여 a는 단원이 되고 R은 체이다.
역을 증명하기 위하여 R이 체라고 가정하자. 그러면 아
이디얼은 {0 }과 R 뿐이므로 극대아이디얼의 정의에 의
하여 {0 }이 R의 극대아이디얼이 된다.
46. R이 단위원을 가진 가환환이고 M이 M /=R인 R의
아이디얼일 때, R/M이 체가 될 필요충분조건은 M이
R의 극대아이디얼이 되는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] M이 R의 극대아이디얼이라고 가정하자. 그러
면 a+M /=0+M인 a+M∈R/M에 대하여
I= aR+M={ab+m |b∈R, m∈M }
은 R의 아이디얼이고 a /∈M , a∈I이므로 M /= I이며
M⊆I⊆R를 만족한다. 그러므로 극대아이디얼의 조건에
의하여 I=R이고, 특히 적당한 a∈R , m∈M이 존재
하여 ab+m=1을 만족한다. 이것은
(a+M )(b+M )=1+M
을 만족함을 의미하므로 a+M∈R/M은 단원이다. 따
라서 R/M은 체이다.
역으로 R/M이 체라고 가정하자. a∈I-M이라고 하면
a+M /=0+M이므로 체 R/M에서 a+M의 곱셈에
대한 역원 b+M이 존재한다. 즉
(a+M )(b+M )=1+M , ab+M=1+M
이므로 ab+m=1인 m∈M이 존재한다. 그런데
ab∈I , m∈M⊆I를 만족하므로 1=ab+m∈I가 되
어 I=R이다. 따라서 M은 R의 극대아이디얼이다.
- 46 -
47. 단위원을 가진 유한가환환 R에 대하여, M이 R의 극
대아이디얼일 필요충분조건은 M이 R의 소아이디얼임
을 증명하여라.
[풀이 ] M이 R의 소아이디얼이면 R/M은 유한정역이
므로 체가 된다. 따라서 M은 극대아이디얼이다.
또한 M이 극대아이디얼이면 R/M은 체가 되므로 정역
이 된다. 따라서 M은 소아이디얼이다.
48. 단위원 1을 가진 가환환 R에 대하여 다음 물음에 답
하시오.
(1) 환 R의 0 아닌 모든 원소가 단원일 때 R의 아이
디얼을 모두 구하고 R의 극대아이디얼을 찾으시오.
(2) 환 R이 인자를 포함하지 않을 때 R의 소아이디
얼을 구하시오.
[풀이 ] (1) 단위원 1을 가진 가환환 R에서 0 아닌 모
든 원소가 단원이면 R은 체이다. 따라서 R의 아이디얼
은 {0 }과 R 뿐이다. 여기서 정의에 의하여 극대아이디
얼은 {0 }이다.
(2) 단위원 1을 가진 가환환이 인자를 포함하지 않으
면 R은 정역이다. 만약 R이 유한정역이면 체이므로 아
이디얼은 {0 }과 R 뿐이다. 그래서 소아이디얼은 {0 }
뿐이다. 만약 R이 유한이 아닌 정역이면 {0 } 외의 소
아이디얼이 존재한다.
49. 체 F에 대하여 F [x]가 주아이디얼 정역임을 증명하
여라.
[풀이 ] N이 F[x]의 아이디얼이라고 하자.
만약 N={0 }이면 N=<0>이므로 명백히 N은 주아이
디얼이다.
이제 N /=<0>이라고 하자. g (x)를 가장 낮은 차수를
갖는 0 아닌 N의 임의의 원소라고 하자.
만약 g (x)의 차수가 0이면 g (x)는 0 아닌 상수이므
로 가역원이다. 즉 a가 단원이고 a∈N이므로 1∈N이
어서 N=F[x]=< 1>을 만족한다.
또한 g (x)의 차수가 1보다 크고 f (x)가 N의 임의의
원소라고 하면 나눗셈정리에 의하여
f (x)=g (x)q (x)+r (x) ( deg r(x) > deg g(x) )
이고 f (x) ∈N , g (x) ∈N이므로 아이디얼의 정의에 의
하여 r (x)= f (x)-g (x)q (x) ∈N이다. 그런데 g (x)는
N에 속하는 0 아닌 최소차수의 원소이므로 r (x)=0
이어야 한다. 그러므로 f (x)=g (x) q(x)이고 이것은 임
의의 f (x) ∈N이 g (x)에 의하여 생성되는 것을 의미하
므로 N=<g(x) >이다.
따라서 F[x]의 모든 아이디얼은 주아이디얼이다.
50. 다항식 f (x)= x3+3x+2가 ℤ 5
에서 기약임을 증명
하여라.
[풀이 ] f (x)가 ℤ 5에서 가약이라고 가정하자. 그러면
일차식 ax+b와 이차식 g (x)가 존재하여
f (x)= (ax+b)g(x)
가 된다. ℤ 5는 체이므로 a의 가역원 a-1∈ℤ 5
가 존
재한다. 여기서 α=a-1(-b)라고 하면 f (α)=0이 된
다. 그러나 f (0)=2 , f (1)=1 , f (2)=1 , f (3)=3 ,
f (4)=3로서 임의의 x∈ℤ 5에 대하여 f (x) /=0이므로
이것은 모순이다. 따라서 f (x)는 ℤ 5에서 기약이다.
51. 체 F에 대하여 다항식 p (x) ∈F [x]가 degp(x)≧1
일 때, p (x)가 F에서 기약일 필요충분조건은 < p (x)>
가 F[x]의 극대아이디얼임을 증명하여라.
[풀이 ] p(x)가 기약이라고 가정하면 M=< p (x)>는 아
이디얼이고 M /=F [x]이다. 이제 아이디얼 I=< f (x)>
가 M⊆I⊆F [x]를 만족한다고 가정하면 f (x) |p (x)가
성립하므로 적당한 a∈F*에 대하여 f (x)=a 또는
f (x)=ap(x)이다. f (x)=a이면 I=<a>=F이다. 또
한 f (x)=ap(x)이면 I=<ap(x) >=< p(x)>=F [x]이
다. 따라서 < p(x) >는 F [x]의 극대아이디얼이다.
역으로 < p(x) >가 F [x]의 극대아이디얼임을 가정하자.
그러면 F [x]/< p(x) >는 체로서 정역이므로 < p(x) >는
F [x]의 소아이디얼이다. 따라서 만약 p(x)가 두 다항
식의 곱 p(x)=g(x)h(x)로서 표현된다면
g(x)h(x)= p(x)∈< p(x) >
이고 < p(x) >가 소아이디얼이므로 g(x)∈< p(x)> 또는
h(x)∈< p(x) >이다. 여기서 g(x) 또는 h(x)는 상수가
되므로 p(x)는 기약이다.
52. 주아이디얼 정역 D의 아이디얼 < p>가 극대 아이디얼
일 필요충분조건은 p가 기약원임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 < p>가 극대 아이디얼이라고 가정하자.
만약 p=ab이면 < p>=<ab> ⊆<a> ◁D이다.
따라서 < a>=< p > 또는 <a>=D=<1>이다.
만약 <a>=< p>이면 a , p는 동반원이므로 b는 가역
원이다. 또한 <a>=< 1>이면 a , 1은 동반원이므로 a
는 가역원이다. 따라서 p는 기약원이다.
이제 역을 증명하기 위하여 p가 기약원이라고 하자. 그
리고 I가 < p> ⊆I◁D인 아이디얼이라고 하자. D는 주
아이디얼정역이므로 I=< a>인 a∈D가 존재한다. 여기
서 p∈< p > ⊆I=<a>이므로 p=ab인 b∈D가 존재한
다. 그런데 p는 기약원이므로 a 또는 b는 가역원이 된다.
- 47 -
만약 a가 가역원이면 1=aa-1∈< a>이고 <a>는 아
이디얼이므로 I=< a>=D가 된다. 만약 b가 가역원이
면 a= pb-1이므로 < p> ⊆<a>=< pb-1> ⊆< p>이다.
따라서 I=<a>=< p>이다.
이로써 I=D 또는 I=< p>이 되므로 < p>는 극대아이
디얼이다.
53. 다항식 f (x)= x 4-2x 2+8x+2와 유리수체 ℚ에 대
하여 ℚ[x]/< f (x)>이 체임을 보여라.
[풀이 ] 소수 p=2에 대하여 p /| 1이고 p | (-2) , p | 8 ,
p | 2 , p 2/| 2이므로 아이센슈타인 판정법에 의하여 f (x)
는 ℤ 위에서 기약이다. 정수계수다항식이 ℤ 위에서
기약일 필요충분조건은 ℚ 위에서 기약인 것이므로
f (x)는 ℚ 위에서 기약이다. ℚ[x]가 단위원을 가진
가환환이고 < f (x)>가 ℚ[x]의 극대아이디얼이므로
ℚ[x]/< f (x)>는 체이다.
54. ℤ의 임의의 아이디얼은 주아이디얼임을 보여라.
[풀이 ] I가 ℤ의 아이디얼이라고 하자.
만약 I={0 }이면 I는 주아이디얼이다.
이제 I /={0 }이라고 하자. 그리고
a= min {k∈ℕ |k∈I } (1)
라고 두고 I= aℤ임을 보이자.
(ⅰ) 먼저 a∈I이므로 aℤ⊆I임은 자명하다.
(ⅱ) k∈I에 대하여 정수의 호제법에 의하여
k=aq+r (0≦ r < a) (2)
를 만족하는 두 정수 q , r가 존재한다. k , a는 I의
원소이므로 r= k-aq∈I가 성립한다. r /=0이라고
가정하면 (1)에 의하여 a≦r인데 이것은 (2)에 모순이
므로 r=0이다. 따라서 k= aq∈aℤ이므로 I⊆aℤ
이다.
이로써 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 I= aℤ이므로 I는 주아이디
얼이 된다.
55. 다항식환 ℤ[x]는 주아이디얼정역이 아님을 보여라.
[풀이 ] I={f (x) ∈ℤ[x] | f (0) ∈2ℤ }라고 하자.
먼저 f (x), g (x) ∈I , h (x) ∈ℤ[x]라고 하면
f (x)-g (x) ∈ℤ[x] , f (0)-g (0) ∈2ℤ
이므로 f (x)-g (x) ∈I이다. 또한
f (0)h (0)=h (0)f (0) ∈2ℤ
이므로 f (x)h (x)와 h (x)f (x)는 I의 원소이다.
따라서 I는 ℤ[x]의 아이디얼이다.
다음으로 I가 ℤ[x] 주아이디얼은 아님을 보이자.
다항식 g (x) ∈ℤ[x]에 대하여 I=< g (x)>라고 가정하
면 2∈I=< g (x)>이므로
g (x)h (x)=2
인 h (x) ∈ℤ[x]가 존재한다. 따라서 g (x )= ±1이거
나 g (x)= ±2이다. g (x )= ±1인 경우 I=ℤ[x]가
되지만 x+1∈ℤ[x]이고 x+1 /∈I이므로 모순이다. 또
한 g (x)= ±2인 경우 I=2ℤ[x]가 되지만 x+2∈I
이고 x+2 /∈2ℤ[x]이므로 모순이다.
따라서 I /=< g (x)>이고 I는 주아이디얼이 아니다.
56. 유클리드 정역은 주아이디얼정역임을 증명하여라.
[풀이 ] 유클리드 정역 D의 유클리드 부치를 δ라고 하
자. 그리고 I를 D의 아이디얼이라고 하자.
I={0 }이면 I=<0>이므로 I는 주아이디얼이다.
I /={0 }이고 {0 }⊂ I일 때 임의의 x∈I∖{0 }에 대하
여 δ(x) > 0이므로 정수의 정렬성에 의하여
k= min {δ(x) |x∈I∖{0 } }
가 존재한다. 여기서 a∈I∖{0 }가 존재하여 δ(a)= k
를 만족한다. 이 때 < a>= aD⊆I이고 임의의 b∈I에
대하여 b=aq+r , δ(r) < δ(a)인 q, r∈D가 존재한
다. 여기서 b∈I , aq∈I이므로 r= b-aq∈I이다. 그
런데 δ(a)의 최소성에 의하여 r=0이므로
b= aq-r=aq∈< a>
이다. 따라서 I=< a>이므로 유클리드정역 D는 주아이
디얼정역이다.
57. 주아이디얼정역 D는 유일분해정역임을 증명하여라.
[풀이 ] D가 주아이디얼정역이므로 0도 아니고 가역원
도 아닌 각 a∈D는 기약원의 인수분해
a= p 1p 2…p r
를 갖는다. 이제 유일성을 밝히기 위하여
a= q 1q 2…q s
가 또다른 기약원의 인수분해라고 하면
p 1 | (q 1q 2…q s)
이며 적어도 하나의 j에 대하여 p 1 | q이므로 적당한 j 1
에 대하여 p 1 |q j 1을 얻는다. 필요하다면 q j의 순서를 바
꾸어 j 1=1 , 즉 p 1 |q 1이라고 가정할 수 있다. 그러면
q 1= p 1u 1이면 p 1은 기약이기 때문에 u 1은 가역원이
며 따라서 p 1과 q 1은 동반원소이다. 따라서
p 1p 2…p r= p 1u 1q 2…q s
를 얻게 된다.
- 48 -
여기서 D의 약분법칙에 의하여
p 2…p r=u 1q 2…q s
를 얻는다. p 2를 시작으로 이 과정을 계속하면
1=u 1u 2…urq r+1…q s
을 얻는다. q j가 기약이므로 r= s를 얻는다.
58. K가 F의 유한확대체이면 K는 F의 대수적 확대체
임을 증명하여라.
[풀이 ] 임의의 α∈K에 대하여 [F (α) :F ]=n인 자
연수 n이 존재한다. 이 때
1 , α , α2 , … , αn
은 일차독립이 아니며 따라서
anαn+an-1α
n-1+…+a 1α+a 0=0
을 만족하면서 모두 0은 아닌 a i∈F들이 존재한다. 그
러면 f (x)= anxn+…+a 1x+a 0∈F [x]는 0 아닌 다
항식이며 f (α)=0이다. 따라서 α는 F 위에서 대수적
이다. α가 K의 임의의 원소이므로 K는 F의 대수적
확대체이다.
59. E가 F의 유한확대체이고 [E :F ]가 소수이면 E는
F의 단순확대체임을 증명하여라.
[풀이 ] [E :F ]≧2이므로 α∈E∖F가 존재한다. 여기
서 [E :F ]=[E :F (α) ][F (α) :F ]가 성립한다. 그런
데 [E :F ]는 소수이고 [F (α) :F ] > 1이므로
[E :F (α)]=1 , E=F (α )
이다. 따라서 E는 F의 유한확대체이다.
60. 유한체 F와 곱셈연산 ⋅에 대하여 <F*, ⋅>은 순환
군임을 증명하여라. 단 F*=F∖{0 }이다.
[풀이 ] F *는 유한가환군이므로 유한생성가환군의 기본
정리에 의하여 적당한 소수의 멱 di들이 존재하여
F * ≅ ℤ d 1×ℤ d 2×… ×ℤ d r(#)
이다. m= lcm(d 1, d 2, …, dr )이라 두면 r 이하의 임
의의 자연수 i와 임의의 a i∈ℤ d i에 대하여 d ia i=0이
므로 d i |m이고 mai=0이다.
그러므로 임의의 (a 1, …, ar)에 대하여
m(a 1, …, ar)= (ma 1, …, mar)= (0, …, 0)
가 성립한다. 또한 (#)에 의하여 임의의 x∈F*에 대하
여 xm=1이므로
m= lcm(d 1, …, dr)≦d 1d 2…dr
=|F * |= | {x∈F * |xm-1=0 }|≦m
이다. 따라서 m= d 1d 2…dr이고 d 1 , d 2 , … , dr은
서로소이다. ord(1, 1, …, 1)= lcm(d 1, d 2, …, dr)이
므로 ℤ d 1×ℤ d 2
×… ×ℤ d r=< (1, 1, …, 1) >이다. 따
라서 F*는 순환군이다.
61. α= 42 ( cos π4 + i sin
π4 )일 때 [ℚ(α) :ℚ]를 구하
여라.
[풀이 ] 주어진 식으로부터
α2= 2 i , α4=-2
이므로 α4+2=0이다. 이 때 p (x)= x 4+2∈ℚ[x]라
고 하면 p(α)=0이 되어 α는 ℚ에서 대수적이다.
또한 소수 p=2와 아이센슈타인 판정법에 의하여
p (x)는 ℚ에서 기약이다.
따라서 irr(α, ℚ)= x 4+2이므로 다음을 얻는다.
[ℚ(α) :ℚ]= deg ( irr(α, ℚ))=4 .
62. 유한체 F의 위수는 소수의 거듭제곱임을 보여라.
[풀이 ] |F |=m이라고 하면 m /=0이므로 F의 표수
는 0이 아니다. 체는 정역이고, 유한정역의 표수는 소수
이므로 char(F )= p는 소수이다. 여기서
S=1 {0, 1, 2, …, p-1 }
이라고 하면 S≅ℤ p이다. 따라서 S는 F의 유한부분
체이므로 F는 S의 유한확대체이다.
이제 [F :S ]=n이라고 두면 F는 S 위의 차원 n인
벡터공간이다. F의 S 위의 기저를 {α i | 1≦ i≦n }이라
고 하면
F=<α1, …, αn >= {b 1α 1+…+bnαn | α i∈S }
이고, a i들의 일차독립성에 의하여
b 1α1+…+bnαn
는 일의적(unique)이다.
따라서 |F |= |S | n= pn이다.
63. 체 ℚ( 2)는 ℚ의 분리확대체임을 증명하여라.
[풀이 ] ℚ( 2)는 ℚ의 유한확대체이고 임의의 두 유리
수 a , b에 대하여 a+b 2∈ℚ( 2)이다.
(ⅰ) b /=0인 경우 f (x)= x 2-2ax+a 2-2b 2이라고 하
면 f (x) ∈ℚ[x]이고
f (x)= (x-(a+b 2))(x-(a-b 2)) ,
x-(a±b 2)∈ℚ( 2)[x]
이므로 f (x)는 분리 가능하고 f (a+b 2)=0이다.
- 49 -
(ⅱ) b=0인 경우 f (x)= x-a라고 두면 f (x)는 분리
가능하고 f (a)=0이며 f (x) ∈ℚ[x]이다.
따라서 ℚ( 2)는 ℚ의 분리확대체이다.
64. 체 K=ℚ( 3 2, 3)에 대하여 갈로아군 G(K/ℚ)를
구하여라.
[풀이 ] irr( 3 2, ℚ)= x 3-2이고 3 /∈ℚ( 3 2)이다.
따라서 irr( 3, ℚ( 3 2))= x 2-3이고 다음이 성립한다.
[K :ℚ]= [K :ℚ(32)][ℚ(
32) :ℚ]=2⋅3=6 .
또한 K⊆R이므로 K에서 x 3-2의 근은 3 2 뿐이다.
따라서 임의의 σ∈G(K/ℚ)에 대하여 σ( 3 2)=3 2이
므로 G(K/ℚ)=G(K/ℚ( 3 2))이다. K가 ℚ( 3 2)
위에서 분리다항식 x 3-2의 분해체이므로
|G(K/ℚ) |= |G(K/ℚ( 3 2)) |= [K :ℚ( 3 2)]=2
이다. 따라서
|G(K/ℚ) | < [K :ℚ] ,
G(K/ℚ)=G(K/ℚ( 3 2))= {1, τ }
이고, 이 때
τ( 3 2)=3 2 , τ( 3)=- 3 , τ(a)=a∈ℚ
을 만족한다.
65. 체 ℚ( 3)은 ℚ의 정규확대체임을 증명하여라.
[풀이 ] ℚ( 3)는 ℚ의 대수적 확대체이다. 이제 다항
식 f (x) ∈ℚ[x]가 ℚ에서 기약이고 임의의 p, q∈ℚ
에 대하여 f (p+q 3)=0을 만족한다고 가정하자.
만약 q=0이면 f (x)= x-p이다. 만약 q /=0이면
f (x)= a(x 2-2px+p 2-3q 2)
=a(x-(p+q 3))(x-(p-q 3)) ,
(x-(p+q 3))∈ℚ( 3)[x] ,
(x-(p-q 3))∈ℚ( 3)[x]
이므로 f (x)는 ℚ( 3)[x]의 서로 다른 일차식의 곱으
로 인수분해된다.
따라서 ℚ( 3)은 ℚ의 정규확대체이다.
66. 체 ℚ( 3 2)는 ℚ의 갈로아확대체가 아님을 보여라.
[풀이 ] [ℚ( 3 2) :ℚ]=3이므로 ℚ( 3 2)는 ℚ의 유
한확대체이다.
K=ℚ( 3 2) , G(ℚ( 3 2)/ℚ)= { id }≕S
라고 하면
a∈KS={a∈K |∀α∈S :α(a)=a }
일 필요충분조건은 ∀α∈S : id(a)= a가 된다.
따라서 KS=ℚ(3 2) /=ℚ이므로 ℚ( 3 2)는 ℚ의 갈
로아 확대체가 아니다.
67. 복소수체 ℂ는 실수체 ℝ의 갈로아확대체임을 보여라.
[풀이 ] ℂ는 ℝ의 유한확대체이다. id와 σ를
id(a+bi )= a+bi , σ(a+bi )= a-bi
으로 정의하고 G(C/ℝ)= { id, σ } ≕S라고 하면
CS={a+b i∈ℂ |∀α∈S : α(a+b i )=a+b i }
={a+b i∈ℂ |b=0 }=ℝ
이므로 ℂ는 ℝ의 갈로아확대체이다.
68. 대수적 폐체는 무한체임을 보여라.
[풀이 ] F를 유한체라고 하자. 그러면 |F |=n≧2이다.
이제 F={a 1, a 2, …, an }이라고 하자. 그러면
f (x)=1+(x-a 1)(x-a 2)… (x-an)∈F [x]
는 F에서 해를 갖지 않는다. 따라서 F는 대수적으로
닫혀있지 않다.
69. 다음 3대 작도 불능문제를 증명하여라.
(1) 3등분 불가능한 각이 존재한다.
(2) 한 변의 길이가 1인 정육면체의 부피가 2배가 되는
정육면체의 한 변의 길이는 작도 불가능하다.
(3) 반지름의 길이가 1인 원과 면적이 같은 정사각형의
한 변의 길이는 작도 불가능하다.
[풀이 ] (1) π3이 작도 불능임을 보이자.
cosπ3=4cos
3 π9-3cos
π9
이므로 α= cosπ9라고 하면
4α3-3α-
12=0
이다. 즉 8α3-6α-1=0이고
f (x)=8x 3-6x-1
은 ℚ에서 기약이며
[ℚ(α) :ℚ]= deg (8x 3-6x-1)=3
으로서 2의 거듭제곱이 아니므로 α= cosπ9는 작도
불가능하다. 따라서 π9도 작도 불가능하다.
(2) 부피가 2인 정육면체의 한 변의 길이를 α라고 하면
2=α3이고 α=3 2이다. 그런데
[ℚ( 3 2) :ℚ]= deg (x 3-2)=3
으로서 2의 거듭제곱이 아니므로 α=3 2는 작도 불가
능하다.
(3) 반지름이 길이가 1인 원의 면적은 π이다.
면적이 π인 정사각형의 한 변의 길이를 α라고 하면
α2=π이므로 α= π이고 α는 ℚ에서 초월적이므로
작도 불가능하다.
- 50 -
실해석학 | Real Analysis
1. 임의의 자연수 m , n에 대하여 합 m+n이 자연수임
을 증명하여라.
[풀이 ] 자연수 m이 임의로 주어졌다고 하고 명제 p를
p (n) ⇔ m+n∈ℕ으로 정의하자. 먼저 자연수 집합
의 정의에 의하여 m+1∈ℕ이므로 p (1)은 참이다. 이
제 p (k)가 참이라고 가정하자. m+k가 자연수이므로
정의에 의하여 m+(k+1)=(m+k)+1도 자연수이
다. 따라서 p(k+1)이 참이므로 수학적 귀납법에 의하
여 임의의 자연수 n에 대하여 p(n)은 참이다. 여기서
m은 임의로 주어진 자연수이므로 모든 자연수 m , n에
대하여 m+n은 자연수이다.
2. 자연수의 부분집합 S가 공집합이 아니면 S는 최소원을
가짐을 증명하여라.
[풀이 ] 명제 p(n)를 「n∈S이면 S는 최소원을 가진
다」라고 정의하자. 먼저 1∈S이면 1이 S의 최소원이
므로 p(1)은 참이다. 이제 p(k)가 참이라고 가정하자.
만약 k+1∈S이면 S∪{k }는 최소원 m을 가진다.
(ⅰ) 만약 m∈S이면 S는 최소원 m을 가진다.
(ⅱ) 만약 m /∈S이면 m∈S∪{k }이므로 m= k이다.
그리고 ∀x∈S :m≦x이다. 그런데 m /∈S이고 m과
m+1 사이에 자연수가 존재하지 않으므로
∀x∈S : m+1≦k
이다. 여기서 m= k이고 k+1∈S이므로 k+1은
S의 최소원이 된다.
따라서 p(k+1)도 참이므로 수학적 귀납법에 의하여 임
의의 자연수 n에 대하여 p(n)은 참이다. S가 공집합
이 아니므로 적어도 하나의 자연수를 포함한다. 따라서
S는 최소원을 가진다.
3. 두 실수 a , b에 대하여 a < b이면 a < q < b를 만족하
는 유리수 q가 존재함을 보여라.
[풀이 ] 먼저 b > 0인 경우를 증명하자. b-a > 0이므로
아르키메데스 정리에 의하여 1n< b-a를 만족하는 자
연수 n이 존재한다. 또한 b≦kn인 자연수 k가 존재한
다. 따라서 정렬성에 의하여 m= min {k∈ℕ | b≦ kn }이 존재한다. 그러면 m-1
n< b이다. 그런데
a- b <-1n
, b≦mn
이므로
a= b+(a-b) <mn-1n=m-1n
이다. 여기서 q=m-1n
는 a < q < b인 유리수가 된다.
이제 b≦0인 경우를 증명하자. α= |b |+1이라고 하면
b+α > 0이고 a+α < b+α이므로 유리수 q 1이 존재
하여 a+α < q 1 < b+α이다. 여기서 q= q 1-α라고 하
면 q는 유리수이고 a < q < b를 만족한다.
4. 두 실수 x , y가 임의의 양수 ε에 대하여 x < y+ε을
만족하면 x≦y임을 증명하여라.
[풀이 ] 결론에 반하여 x > y라고 가정하자.
그러면 ε0= x-y는 양수이다. 그러나 x= y+ε0이므로
모순이다. 따라서 x≦y이다.
5. 실수의 부분집합 A , B가 공집합이 아니고 두 조건
(ⅰ) A∪B=ℝ ,
(ⅱ) a∈A , b∈B이면 a < b이다
를 만족하면, α∈ℝ가 존재하여 임의의 a∈A , b∈B에
대하여 a≦α≦b를 만족하고, 그러한 α는 유일함을 증
명하여라.
[풀이 ] 조건 (ⅱ)에 의하여 집합 A는 위로 유계이므로
상한 α를 가진다. 여기서 a∈A에 대하여 a≦α가 성
립한다.
이제 적당한 b'∈B가 존재하여 b' < α라고 가정하고
모순을 유도하자. ε=a-b'이라고 하면 ε은 양수이므
로 상한의 성질에 의해 a-ε < a'≦α인 a'∈A가 존
재한다. 그런데 b'=a-ε이므로 b'≦a'이 되어 (ⅱ)에
모순이다. 따라서 모든 b∈B에 대하여 α≦b이다.
이로써 임의의 a∈A , b∈B에 대하여 a≦α≦b가 성
립한다.
이제 α의 유일성을 증명하자. 임의의 a∈A , b∈B에
대하여 a≦β≦b를 만족하는 β가 존재한다고 하자. 만
약 α /=β라고 가정하면 α < β 또는 β < α이다. 일반성
을 잃지 않고 α < β라고 가정하자. β∈A 또는 β∈B
인데 α < β이므로 β∈B가 된다. b 0=α+β2
에 대하
여 b 0∈B이지만 b 0 < β가 되어 모순이다. 따라서 주어
진 조건을 만족하는 α는 유일하다.
6. 실수의 부분집합 A가 공집합이 아니고 상한을 가질 때
집합 -A={x∈ℝ | -x∈A }에 대하여
inf(-A)=- supA
가 성립함을 증명하여라.
- 51 -
[풀이 ] α= supA에 대하여 먼저 -α가 -A의 하계
임을 보이자. x∈-A라고 하면 -x∈A이다. 그런데
α가 A의 상계이므로 -x≦α이다. 따라서 -α≦x이
므로 -α는 -A의 하계이다.
이제 β가 -A의 하계라고 하자. 그러면 A의 임의의
원소 y에 대하여 -y∈(-A)이므로 β≦-y이다. 따
라서 y≦-β이므로 -β는 A의 상계이다. α가 A의
상한이므로 α≦-β가 된다. 즉 β≦-α이고 -α가
-A의 하계이므로 -α는 -A의 최대하계가 된다.
따라서 - supA=-α= inf(-A)이다.
7. 한 점 c에 대하여 f가 순증가하는 c의 근방이 존재할
때 f는 c에서 순증가라고 한다. 구간 I=(a, b )에서
정의된 함수 f가 각 c∈I에서 순증가이면 I 전체에서
순증가임을 보여라.
[풀이 ] 결론에 반하여 c < d이고 f (c) ≧ f (d)인 실수
c, d∈I가 존재한다고 하자. 그러면
S={x∈I |a < x < d ∧ f (x) ≧ f (d) }
는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 μ를 가진다.
그런데 μ∈I이고 f가 I의 각 점에서 순증가하므로 양
수 δ가 존재하여 임의의 p, q∈I에 대하여
μ-δ < p < μ < q < μ+δ ⇒ f (p) < f (q)
를 만족한다. 상한의 성질에 의하여 μ-δ < p < μ를 만
족하는 p∈I가 존재한다. 또한 μ < d이므로 실수의 조
성에 의하여 μ < q < μ+δ인 q∈I가 존재한다. 여기
서 f (d) ≦ f (p) < f (q)인데 q /∈S이므로 모순이다. 따
라서 f는 I 전체에서 순증가한다.
8. 공집합이 아닌 두 집합 A , B가 위로 유계일 때 다음을
증명하여라.
(1) A⊆B이면 supA≦ supB이다.
(2) sup(A+B)= supA+ supB이다.
단 A+B={a+b |a∈A, b∈B }이다.
[풀이 ] (1) β= supB라고 하자. 그러면 β는 B의 상계
이므로 당연히 A의 상계가 된다. α= supA라고 하면
α는 A의 상계 중에서 가장 작으므로 α≦β이다.
(2) α= supA , β= supB라고 하자.
(ⅰ) 만약 x∈A+B이면 x=a+b인 a∈A , b∈B가
존재한다. 그런데 a+b≦α+β이므로 x≦α+β가
되어 α+β는 A+B의 상계가 된다. 따라서
sup(A+B) ≦α+β
이다.
(ⅱ) 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. 상한의 성질에
의하여
α-ε2< a≦α , β-
ε2< b≦β
를 만족하는 a∈A , b∈B가 존재한다. 따라서
α+β-ε < a+b
이다. 여기서 a+b∈A+B이므로
α+β-ε < a+b≦ sup(A+B)
이고 ε이 임의의 양수이므로
α+β≦ sup(A+B)
를 얻는다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
supA+ supB=α+β= sup(A+B)
를 얻는다.
9. 실수열 < an >이 0 아닌 실수 A에 수렴할 때
limn→∞
1an=1A
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] ε1=12|A |은 양수이므로 극한의 정의에 의하
여 자연수 N 1이 존재하여 n > N 1이면
|an-A | < ε 1=12|A |
를 만족한다. 위 부등식을 정리하면
12|A | < |an | (1)
을 얻는다. 이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자.
여기서 ε2=|A |
2
2ε은 양수이므로 자연수 N 2가 존재
하여 n > N 2이면
|an-A | < ε2=|A | 2
2ε (2)
을 만족한다. 따라서 N=N 1+N 2라고 하면 n > N일
때 (1), (2)에 의하여
| 1an -1A |= |
A-anA⋅an |≦
2 |an-A |
|A | 2< ε
가 성립한다. 따라서
limn→∞
1an=1A
을 얻는다.
10. 수렴하는 실수열은 유계임을 증명하여라.
[풀이 ] 수열 < an >이 L에 수렴한다고 하자. 그러면 양
수 ε0=1에 대하여 자연수 N이 존재하여
n > N ⇒ |an-L | < ε 0 (1)
을 만족한다. 또한 유한집합은 최대값을 가지므로
m= max {a i | i≦N } (2)
이 존재한다. 이제 M=max {m, L }+1이라고 하자.
- 52 -
그러면 n > N일 때에는 (1)에 의하여 |an | <M이 성립
하고 n≦N일 때에는 (2)에 의하여 |an | <M이 성립한
다. 따라서 임의의 n에 대하여 |an | <M이므로 < an >
은 유계이다.
11. 실수열 <an> , <bn>이 각각 A , B에 수렴하고
n > K ⇒ an≦ bn
을 만족하는 자연수 K가 존재하면 A≦B임을 보여라.
[풀이 ] 귀류법으로 증명하기 위하여 B <A라고 가정하
자. 그러면 ε0=3-1(A-B)는 양수이다. 따라서 자연
수 N 1 , N 2가 존재하여
n > N 1 ⇒ |an-A | < ε 0 ,
n > N 2 ⇒ |b n-B | < ε 0
을 만족한다. 각 절대값을 풀어서 정리하면
A-ε0 < an , b n <B+ε0
을 얻는다. 그런데 B+ε 0 <A-ε0이다.
여기서 N= max {N 1, N 2, K }에 대하여 n > N이라고
하면 n > K이지만 b n < a n이 되어 모순이다.
따라서 A≦B이다.
12. 실수 a가 0 < a < 1이면 limn→∞an=0임을 보여라.
[풀이 ] h=1a-1이라고 하면
1a> 1이므로 h > 0이
다. 여기서 a=11+h
이므로 베르누이 부등식에 의하여
an=
1
1+h )n≦
11+nh
<1nh
이다. 그런데 a n > 0이고 limn→∞
1nh=0이므로 조임정리
에 의하여 limn→∞an=0이다.
13. 수렴하는 실수열 <an>에 대하여
limn→∞an= lim
n→∞
1n ∑
n
k=1ak
임을 증명하여라.
[풀이 ] L= limn→∞an이라고 하자. 그리고 양수 ε이 임의
로 주어졌다고 하자. 극한의 정의에 의하여
n > N 1 ⇒ |an-L | <ε2
를 만족하는 자연수 N 1이 존재한다. 또한
β= ∑N 1
k=1|ak-L |
는 음이 아닌 실수이므로
n > N 2 ⇒ 1nβ <ε2
를 만족하는 자연수 N 2가 존재한다.
이제 N= max {N 1+N 2 }라고 하면
| 1n ∑n
k=1ak-L |≦ 1
n ∑n
k=1|ak-L |
=1n ∑
N 1
k=1|ak-L |+
1n ∑
n
k=N 1+1|ak-L |
=ε2+n-N 1n
⋅ε2< ε
이므로 limn→∞an= lim
n→∞
1n ∑
n
k=1ak가 성립한다.
14. 단조증가이고 유계인 실수열 <an>은 수렴함을 보여라.
[풀이 ] 먼저 <an>이 유계이므로 완비성공리에 의하여
M= sup{an |n∈ℕ }
이 존재한다. 이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자.
상한의 성질에 의하여 M-ε < aN≦M인 자연수 N이
존재한다. <an>이 단조증가이므로 n > N이면
|an-M |=M-an≦M-aN < ε
이다. 따라서 <an>은 M에 수렴한다.
15. an=n1n 으로 정의된 수열 <an>이 수렴하는지 판별
하고 수렴하면 그 극한을 구하여라.
[풀이 ] 다음은 서로 동치인 부등식이다.
(n+1)1n+1 ≦n
1n ⇔ (n+1)n≦nn+1
⇔ (n+1)n
nn≦n
⇔ ( n+1n )n
≦n
그런데 limn→∞(
n+1n )
n
= e < 3이므로 n≧3일 때 위 부
등식은 참이다. 따라서 <an>은 3항 이후로 단조감소한
다. 또한 an≧1이므로 <an>은 단조수렴정리에 의하여
수렴한다. 그 극한값을 L이라고 하자. 그러면
L= limn→∞an= lim
n→∞a 2n= lim
n→∞n
12n
= limn→∞n
22n⋅12 = lim
n→∞n
22n = lim
n→∞n
22n = L
이므로 L= L이다. 그런데 L≧1이므로 L=1이다.
따라서 limn→∞an=1이다.
16. 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 가짐을 보여라.
[풀이 ] 수열 <xn>이 유계라고 하자. 정의에 의하여 임
의의 n에 대하여 |x n | <M인 실수 M이 존재한다. 따
라서 I 0= [-M, M ]은 <xn>의 무한개의 항을 포함한
다. 따라서 [-M, 0]과 [0, M ] 중 하나는 <xn>의
무한개의 항을 포함한다. 그러한 구간을 I 1이라고 하자.
- 53 -
이제 I n=[an, bn]⊆[-M, M ]이 <xn>의 무한개의
항을 포함한다고 가정하자. 그러면 두 구간
[an,an+bn2 ] , [
an+bn2
, bn ]중 하나는 <xn>의 무한개의 항을 포함하게 되는데, 그
구간을 In+1이라고 하자. 선택공리에 의하여 이러한 구
간을 계속하여 택할 수 있다.
이로써 I≔{I n⊆ℝ |n∈ℕ }은 귀납적으로 정의되었다.
귀납정리에 의하여 I는 잘 정의된 집합이다. 정의에 의
하여 In의 길이는 21-nM이므로 n → ∞일 때 0에
수렴한다. 따라서 축소구간정리에 의하여 ∩I는 오직 한
점을 포함하는 단원집합이 된다. λ∈∩I라고 하자.
이제 I 1에 포함되는 <xn>의 항을 하나 택하여 xn 1이
라고 하자. 또한 I 2는 <xn>의 무한개의 항을 포함하므
로 n 2 > n 1이고 x n 2∈I 2인 자연수 n 2가 존재한다. 일
반적으로 자연수 nk에 대하여 Ik+1은 <xn>의 무한개
의 항을 포함하므로 nk+ 1 > n k이고 xnk+1∈I k+1인 자연
수 nk+1이 존재한다. 이로써 <nk >는 귀납적으로 정의
되었다. 임의의 k에 대하여 x nk∈I k이므로 I k의 왼쪽
끝점 ak와 오른쪽 끝점 bk에 대하여
ak≦xnk≦b k
가 성립한다. 그런데 limk→∞ak= lim
k→∞bk=λ이므로 조임정
리에 의하여 limk→∞xnk=λ이다.
따라서 < xnk >는 < xn>의 수렴하는 부분수열이다.
17. 유계인 실수열 <an>과 <bn>에 대하여
limn→∞(an+bn ) ≦ lim
n→∞an+ lim
n→∞bn
이 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] α= liman , β= limbn이라고 하자. 이제 주어
진 부등식이 성립하지 않는다고 가정하자. 그러면 적당한
양수 ε과 부분첨수열 <nk>가 존재하여, 임의의 k에
대하여
ank+b nk > α+β+ε
이 성립한다. 그러면
ank > α+ε2
또는 b nk > b+ε2
을 만족하는 첨수 nk의 개수가 무한이 된다. 이것은
liman≧α+ε2
또는 limbn≧b+ε2
을 함의하므로 모순이다. 따라서
lim (an+bn ) ≦α+β
가 성립한다.
18. 공집합이 아닌 구간 I=[a, b]와 연속함수 f : I → I에
대하여 0≦ q < 1인 실수 q가 존재하여
∀x, y∈I : | f (x)-f (y) |≦q |x-y |
를 만족하면 방정식 x= f (x)의 해는 I에 유일하게 존
재함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 I의 한 원소 a 0를 택하자. 그리고 임의의
자연수 n에 대하여 an= f (an-1)이라고 정의하자. 이
로써 수열 < an >이 귀납적으로 정의되었다. 명백히
|a 2-a 1|= | f (a 1)- f (a 0 ) |≦q |a 1-a 0 |
이다. 또한 |ak+1-ak |≦qk|a 1-a 0 |임을 가정하면
|ak+2-ak+1 |= | f (ak+1)-f (ak) |
≦q |ak+1-ak |
≦qk+1 |a 1-a 0|
이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 n에 대
하여
|an+1-an |≦qn|a 1-a 0 |
가 성립한다.
이제 < an >이 수렴함을 보이자. 양수 ε이 임의로 주어
졌다고 하자. 0≦ q < 1이므로
qN
1-q|a 1-a 0 | < ε
을 만족하는 자연수 N이 존재한다. 여기서 n > N이라
고 하면 자연수 p에 대하여
|an+ p-an |= | ∑p
k=1an+k-an+ k-1 |
≦ ∑p
k=1| an+ k-an+ k-1 |
≦ ∑p
k=1qn+ k-1|a 1-a 0|
≦qn
1-q|a 1-a 0|
≦qN
1-q|a 1-a 0 | < ε
이므로 < an >은 코시 수열이다. 따라서 수렴한다. 그 극
한을 γ라고 하자.
이제 다시 양수 ε이 주어졌다고 하면 자연수 N이 존재
하여 n > N일 때 |an-γ | < ε을 만족한다. 따라서
| f (γ )-γ |≦| f (γ )-an+1|+|an+1-γ |
=| f (γ )-f (an ) |+|an+1-γ |
≦q | γ-an |+|an+1-γ | < ε
이므로 f (γ )=γ이다.
이제 γ의 유일성을 보이자. ζ∈I에 대하여 f (ζ )=ζ라
고 가정하자. 그러면
| ζ-γ |= | f (γ )-f (ζ ) |≦q | γ-ζ |
이므로 γ=ζ이다.
- 54 -
19. 극한의 정의를 이용하여 limx→1(x2+1)=2임을 보여라.
[풀이 ] 임의의 양수 ε에 대하여 δ= min {1, ε3 }이라고 하자. 0 < |x-1 | < δ임을 가정하면
| f (x)-2 |= |x 2-1 |= |x-1||x+1|
< δ |x+1 |≦3δ < ε
이므로 | f (x)-2 | < ε이 성립한다.
20. 함수 f가 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에서 단조
증가이고 c∈(a, b)이면 c에서 f의 좌극한이 존재함을
증명하여라.
[풀이 ] I상에서 정의된 수열 <xn>이 c에 수렴하고 순
증가한다고 가정하자. 그러면 < f (xn) >은 단조이고 유계
이므로 수렴한다. 그 극한을 L이라고 하자.
이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f (xn ) → L이
므로 자연수 N이 존재하여
n > N ⇒ 0≦L- f (x n ) < ε
을 만족한다. <xn>이 증가수열이므로 위 명제는
x N+1 < x n < c ⇒ 0≦L- f (x n) < ε
과 동치이다. δ=c-xN+1이라고 하면
0 < c-x n < δ ⇒ 0≦L- f (x n) < ε
이 성립한다. 그런데 f가 단조증가이므로 위 명제는
0 < c-x < δ ⇒ 0≦L- f (x) < ε
을 함의한다. 따라서 f (c-0)=L이다.
21. 양수 a , b와 가우스함수 [ ]에 대하여
limx→0+
xa [bx ]=
ba
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] 가우스함수의 정의에 의하여 양수 x에 대하여
다음이 성립한다.
bx-1 < [ bx ]≦
bx
따라서 다음이 성립한다.
limx→0+
xa (bx-1) < limx→0+
xa [bx ]≦ limx→0+
ba
그런데
limx→0+
xa (b-xx ) = lim
x→0+
ba=ba
이므로 조임정리에 의하여
limx→0+
xa [bx ]=
ba
이 성립한다.
22. 함수 f :D →ℝ에 대하여 limx→af (x)=L일 필요충분조
건은 세 조건
(ⅰ) 임의의 자연수 n에 대하여 xn /= a이다
(ⅱ) limn→∞xn= a이다
(ⅲ) 임의의 자연수 n에 대하여 xn∈D이다
를 만족하는 임의의 수열 <xn>에 대하여
limn→∞f (xn)=L
임을 증명하여라.
[풀이 ] 수열 <xn>이 위의 세 조건을 만족한다고 하자.
그리고 limx→af (x)=L라고 하자.
임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 존재하여
0 < |x-a | < δ ⇒ | f (x)-L | < ε
을 만족한다. <xn>이 세 조건을 만족하므로
n > N ⇒ 0 < |x n-a | < δ
를 만족하는 자연수 N이 존재한다. 따라서
n > N ⇒ 0 < | xn-a | < δ ⇒ | f (x n )-L | < ε
이므로 limn→∞f (xn)=L이다.
이제 대우로써 역을 증명하기 위하여 limx→af (x) /=L라
고 하자. 그러면 양수 ε0가 존재하여 임의의 양수 δ에
대하여
∃x∈D : 0 < |x-a | < δ , | f (x)-f (a) |≧ε0 (#)
이다. 임의의 자연수 n에 대하여 δ=1n이라고 할 때
조건 (#)를 만족하는 xn= x∈D가 존재한다. 이렇게 정
의된 수열 <xn>은 세 조건 (ⅰ)∼(ⅲ)을 만족한다. 그러
나 임의의 자연수 N에 대하여 n=N+1 > N이 존재하
여 | f (xn)-f (a) |≧ε0이므로 lim f (xn) /=L이다.
23. 실수집합의 부분집합 A , B상에서 정의된 두 함수
f :A → B , g :B → ℝ
가 연속이고 f (A) ⊆B일 때 g∘f도 연속임을 보여라.
[풀이 ] 실수 a∈A와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하
자. g가 연속이므로 양수 δ1이 존재하여
|y- f (a) | < δ 1 ⇒ |g (y )-g ( f (a)) | < ε
이다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ가 존재하여
|x-a | < δ ⇒ | f (x)- f (a) |= |y-f (a) | < δ 1
이다. 따라서
|x-a | < δ ⇒ |g ( f (x))-g ( f (a)) | < ε
이므로 g∘f는 연속이다.
- 55 -
24. 실수의 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 함
수 f : I → ℝ가 연속이면 f는 I에서 유계임을 보여라.
[풀이 ] f가 I의 모든 점에서 연속이므로 임의의 x∈I
에 대하여 f가 유계가 되는 근방 Ux=B(x, δ x)가 존
재한다. 이러한 근방들의 집합 C={Ux |x∈I }은 I의
개덮개가 된다. 그런데 I가 컴팩트이므로 하이네-보렐
정리에 의하여 C의 유한부분덮개 D={Ux |x∈J }가
존재하여 I의 개덮개가 된다. f가 각 Ux에서 유계이므
로 그 구간에서 상한과 하한이 존재한다.
Mx=max {|sup f (Ux) |, | inf f (Ux ) | }
이라고 하자. 그러면 J는 유한집합이므로
M= max {Mx |x∈J }
이 존재한다. 임의의 x∈I에 대하여 x∈U ξ인 ξ∈J가
존재하고, 임의의 z∈U ξ에 대하여 | f (z ) |≦M ξ이다.
또한 임의의 ξ∈J에 대하여
| f (U ξ ) |≦M ξ≦M
이므로 | f (x) |≦M이다. 여기서 x는 I의 임의의 원소
이므로 f는 I에서 유계이다.
25. 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ
가 연속이면 f는 I에서 최대값과 최소값을 가짐을 증명
하여라.
[풀이 ] f가 연속이고 I가 컴팩트이므로 f (I )도 컴팩
트이다. 따라서 f ( I )가 유계이므로
M= sup f (I ) , m= inf f (I )
가 존재한다. 만약 M /∈f ( I )이면, 임의의 양수 ε에 대
하여 M-ε < y≦M인 y∈f ( I )가 존재하므로 M은
f (I )의 집적점이 된다. 그런데 f (I )는 컴팩트이므로
모든 집적점을 포함한다. 이것은 모순이므로 M∈f (I )
이다. 따라서 f (ξ1)=M인 ξ 1∈I가 존재한다. 또한 정
의에 의하여 M은 f (I )의 최대값이므로 f는 ξ1에서
최대값 M을 가진다. 같은 방법으로 ξ 2∈I가 존재하여
f는 ξ2에서 최소값 m을 가진다.
26. 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ
가 연속이면 f는 I에서 평등연속임을 증명하여라.
[풀이 ] 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f가 연속이
므로 임의의 ξ∈I에 대하여 양수 δξ가 존재하여
|x-ξ | < δ ξ ⇒ | f (x )- f (ξ ) | < ε (#)
을 만족한다. 이 때 C={B (ξ, δξ ) | ξ∈I }는 I의 개덮
개가 된다. 그런데 I가 컴팩트이므로 하이네-보렐 정리
에 의하여 C의 유한부분덮개
C'={B (ξ, δ ξ ) | ξ∈J }
이 I를 덮는다. 여기서 J는 유한집합이므로
δ= min {δξ |ξ∈J }
가 존재한다.
이제 x 1 , x 2가 |x 1- x 2 | < δ를 만족하는 I의 임의의
원소라고 하자. 그러면 x 1읖 덮는 B (ζ, δζ )∈C 1이 존
재한다. 여기서 δ≦δζ이므로 |x 1- x 2 | < δ ζ가 된다. 따
라서 C 1의 정의와 (#)에 의하여
| f (x 1)- f (x 2) | < ε
이 성립하므로 f는 I에서 평등연속이다.
27. 함수 f :ℝ→ℝ가 x=0에서 연속이고
f (a+b)= f (a)+f (b)
를 만족하면 f는 평등연속임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 f (0)= f (0)+f (0)이므로 f (0)=0이다.
또한 f가 0에서 연속이므로 임의의 실수 c에 대하여
limh→0f (c+h)= lim
h→0(f (c)+f (h))
= f (c)+ limh→0f (h)= f (c)
이어서 f는 c에서 연속이다. 따라서 f는 연속함수이다.
이제 f가 평등연속임을 보이자. 먼저 임의의 실수 x에
대하여
0= f (0)= f (x-x)= f (x)+f (-x)
이므로 f (-x)=-f (x)이다. 또한 f가 0에서 연속이
므로 임의의 양수 ε에 대하여
|x | < δ ⇒ | f (x ) | < ε
을 만족하는 양수 δ가 존재한다. 여기서 |x-y | < δ을
만족하는 임의의 실수 x , y에 대하여
| f (x )-f (y ) |= | f (x )+ f (-y) |= | f (x-y ) | < ε
이므로 f는 평등연속이다.
28. 함수 f가 유리수 x에 대해서는 f (x)= x , 무리수 x에
대해서는 f (x)=2-x로 정의되었을 때, f는 오직 한
점에서만 연속임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 x=1에서 연속임을 보이자. 임의로 주어진
양수 ε에 대하여 δ=ε이라고 하자. |x-1 | < δ임을 가
정하면, x가 유리수일 때
| f (x)- f (1) |= |x-1 | < δ=ε
이고 x가 무리수일 때는
| f (x)- f (1) |= | (2-x)-1 |= |x-1| < δ=ε
이므로 f는 x=1에서 연속이다.
- 56 -
이제 실수 r에 대하여 r /=1이라고 하자. f가 x= r에
서 연속이라고 가정하고 모순을 보이자. r에 수렴하는
유리수열 <qn>과 r에 수렴하는 무리수열 < s n>에 대
하여
r= limn→∞f (qn)= f (r)= lim
n→∞f ( sn)=2-r
이므로 r=2-r이다. 그러나 r /=1이므로 이것은 모순
이다. 따라서 f는 x= r에서 불연속이다.
29. 공집합이 아닌 구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ가
연속함수이고 f (a) ≦ f (b)이면 C∈[f (a), f (b)]에 대
하여 f (ξ )=C인 ξ∈I가 존재함을 증명하여라.
[풀이 ] A=f (a) , B= f (b)라고 하자. 만약 A=C 또
는 B=C라면 ξ= a 또는 ξ= b로서 증명이 끝난다.
이제 A < C < B라고 하자. S={x∈I | f (x) <C }는 위
로 유계이므로 ξ= supS가 존재한다. 이제 f (ξ )=C임
을 보이자.
(ⅰ) 만약 f ( ξ) > C이면 양수 ε1이 존재하여
y∈B (f (ξ ), ε 1) ⇒ y > C
를 만족한다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ1이 존재하여
x∈B(ξ, δ1) ⇒ f (x) ∈B (f (ξ ), ε1) (1)
을 만족한다. ξ의 정의에 의하여 x 1∈S가 존재하여
ξ-δ 1 < x 1≦ξ
를 만족한다. 그러나 (1)에 의하여 그러한 x 1은 존재하지
않으므로 모순이다.
(ⅱ) 만약 f ( ξ ) <C이면 양수 ε2가 존재하여
y∈B( f (ξ )), ε 2) ⇒ y <C
를 만족한다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ2가 존재하여
x∈B(ξ, δ2) ⇒ f (x) ∈B(f (ξ ), ε2) (2)
를 만족한다. x 2=ξ+2-1δ2라고 하자. 그러면 (2)에 의
하여 f (ξ+2-1δ) <C이므로 x 2∈S이다. 그러나 ξ의
정의에 의하여 x 2는 S의 원소가 될 수 없으므로 모순
이다.
이상으로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 f (ξ )=C이다.
30. 연속함수 f :ℝ→ℝ가 임의의 실수 x에 대하여
f (x+1)= f (x) , f (x+ 3)= f (x)
를 만족할 때 f는 상수함수임을 증명하여라.
[풀이 ] 주어진 조건에 의하여 임의의 정수 m , n에 대
하여 f (x+m+n 3)= f (x)이다. (1)
두 실수 a , b에 대하여 a < b라고 하자.
그러면 3-1 < 1이므로
( 3-1)n <b-a2
을 만족하는 자연수 n이 존재한다. 여기서
a <m ( 3-1) n < b
를 만족하는 정수 m이 존재한다. 또한 정수 p , q가 존
재하여 m( 3-1)n= p+q 3이 된다. 요컨대
a < p+ q 3 < b (2)
을 얻는다.
이제 실수 ξ와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. 그러
면 f는 ξ에서 연속이므로 양수 δ가 존재하여
|x-ξ | < δ ⇒ | f (x)- f (ξ ) | < ε
이다. 그런데 (2)에 의하여 두 정수 p , q가 존재하여
ξ < p+q 3 < ξ+δ
를 만족한다. 따라서 |p+q 3-ξ | < δ이므로
| f (p+q 3)- f (ξ ) | < ε
이다. 그런데 (1)에 의하여 f (p+q 3)= f (0)이므로
| f (0)- f (ξ ) | < ε
이다. 여기서 ε은 임의의 양수이므로 f (0)= f (ξ )이다.
또한 ξ는 임의의 실수이므로 f (x) ≡ f (0)을 얻는다. 따
라서 f는 상수함수이다.
31. 연속함수 f : [a, b ] →ℝ에 대하여
L-1n< f (xn ) <L+
1
n2
을 만족하는 수열 <xn>이 존재한다. <xn>이 수렴하고
그 극한을 c라고 할 때 f (c)=L임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 수열의 조임정리에 의하여
limn→∞f (xn)=L
이 성립한다. 이제 limx→cf (x )=L임을 보이자.
결론에 반하여 양수 ε0가 존재하여 임의의 양수 δ에 대
하여 0 < | x- c | < δ인 x가 존재하여
| f (x )-L |≧ε0
을 만족한다고 가정하자. 여기서 δ=1n이라고 하면
0 < | x n- c | <1n
, | f (xn )-L |≧ε0
을 만족하는 수열 <xn>이 [a, b]상에 존재한다. 여기
서 lim xn= c이지만 limf (xn) /=L이므로 모순이다.
따라서 limx→cf (x )=L이다.
또한 f가 연속함수이므로 f (c)= limx→cf (x)이다.
따라서 f (c)=L이다.
- 57 -
32. 함수 f가 폐구간 I=[a, b]에서 단조증가이면 f가 불
연속인 x∈I의 개수가 가산임을 증명하여라.
[풀이 ] f가 단조함수이므로 임의의 c∈(a, b )에 대하
여 f (c-0)과 f (c+0)이 존재한다. 따라서 f가 c에
서 연속이면 f (c-0)= f (c+0)이고 불연속이면
f (c+0) > f (c-0) (#)
이 된다. 여기서
Dn={x∈(a, b ) | f (x+0)- f (x-0) > 1n }이라고 하자. 그러면 f는 [a, b]에서 유계이므로 임의
의 자연수 n에 대하여 Dn은 유한집합이다. 이제
D= ∪∞
n=1Dn
이라고 하자. 여기서 가산집합이 가산 합집합은 가산집합
이므로 D는 가산집합이 된다.
만약 c∈(a, b )에서 f가 불연속이면 (#)에 의하여 자연
수 n이 존재하여
f (c+0)- f (c-0) >1n
이 된다. 따라서 D는 (a, b )상에서 f가 불연속인 점을
모두 포함하므로, 구간 I의 끝점을 제외한 모든 불연속
점을 포함한다. 여기서 D는 가산이고, 만약 f가 I의 양
끝점에서 불연속일지라도, 가산집합에 유한 개의 원소를
추가한 집합은 가산집합이므로 f가 불연속인 점의 개수
는 가산이다.
33. 함수 f : I →ℝ가 미분 가능하고 도함수가 유계이면 f
는 I에서 평등연속임을 보여라.
[풀이 ] f '이 유계이므로 양수 M이 존재하여 I의 임의
의 원소 x에 대하여 | f '(x) | <M이다.
여기서 x < y인 I의 임의의 원소 x , y에 대하여 평균
값정리에 의하여
| f (x)- f (y)x-y |= | f '(c) | <M인 c∈(x, y )⊆I가 존재한다. 따라서 임의의 x, y∈I에
대하여
| f (x)- f (y) | <M |x-y |
가 성립한다.
이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. M δ < ε인 양
수 δ를 택하면, |x-y | < δ일 때
| f (x)- f (y) | <M |x-y | <M δ < ε
이므로 f는 평등연속이다.
34. 임의의 두 실수 x , y에 대하여 부등식
| sinx- siny |≦|x-y |
이 성립함을 보여라.
[풀이 ] f (x)= sinx에 대하여 f '(x)= cosx이므로
| f '(x) |≦1 (#)
이다. 평균값정리에 의하여 임의의 실수 x , y에 대하여
f (x )-f (y )x-y
= f '( t )
인 t가 x와 y 사이에 존재한다. 그런데 (#)에 의하여
| f (x )-f (y )x-y |= | f '( t ) |≦1이 성립한다. 양변에 |x-y |를 곱하면
| sinx- siny |≦|x-y |
를 얻는다.
35. 함수 f :ℝ → ℝ가 임의의 실수 x , y에 대하여
| f (x )-f (y ) |≦|x-y | 2
을 만족하면 f는 상수함수임을 증명하여라.
[풀이 ] 임의의 실수 x와 0이 아닌 실수 h에 대하여
| f (x+h)-f (x)h |≦|h |가 성립한다. 따라서
limh→0 |
f (x+h)-f (x)h |≦ limh→0 |h |= 0
이므로 f '(x) ≡0이다. 따라서 f는 상수함수이다.
36. 실수의 부분집합 D상에서 정의된 함수 f는 미분 가능
한 점에서 연속임을 ε-δ를 이용하여 증명하여라.
[풀이 ] f가 a에서 미분 가능하다고 하자. 임의로 주어
진 양수 ε에 대하여 A= f '(a)라고 하면
|x-a | < δ 1 ⇒ | f (x)- f (a)x-a-A | < 1
을 만족하는 양수 δ1이 존재한다. 이 식을 정리하면
| f (x)-f (a) |≦ (|A |+1)|x-a |
를 얻는다. 이제 δ= min {δ1, ε|A |+1 }이라고 하면
|x-a | < δ
⇒ | f (x)-f (a) |≦ ( |A |+1)|x-a | < ε
이므로 f는 x=a에서 연속이다.
37. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 (a, b )에서 미분
가능하면 c∈(a, b )가 존재하여
f '(c)=f (b)-f (a)b-a
를 만족함을 증명하여라.
[풀이 ] 함수 ψ를 다음과 같이 정의하자.
ψ(x)= f (x)-f (b)-f (a)b-a
(x-a)-f (a)
- 58 -
그러면 ψ는 [a, b]에서 연속이고 (a, b )에서 미분 가
능하며 ψ(a)=ψ(b)이다. ψ는 [a, b]에서 연속이므로
최대값 M과 최소값 m을 가진다.
만약 M=m이면 f는 상수함수가 되므로 c∈(a, b )에
서 ψ'(c)=0이 된다.
이제 M > m이라고 가정하자. 그러면 M /=ψ (a)이거나
또는 m /=ψ(a)이다. 일반성을 잃지 않고 M /=ψ(a)라
고 하자. 그러면 M /=ψ(b)이므로 ψ(c)=M인 c가 개
구간 (a, b )에 존재한다. 여기서
x < c ⇒ ψ(x)-ψ(c)x-c
≧0 ,
c < x ⇒ ψ(x)-ψ(c)x-c
≦0
이므로 c에서 ψ의 좌미분계수는 음수가 아니고 우미분
계수는 양수가 아니다. 그런데 ψ는 c에서 미분 가능하
므로 우미분계수와 좌미분계수가 같아서 ψ '(c)=0이다.
여기서 ψ의 정의에 의하여
f '(c)=ψ '(c)+f (b)-f (a)b-a
=f (b)-f (a)b-a
가 성립한다.
38. 임의의 x∈(100, 102)에 대하여 부등식
|P (x)- 1x | <1
10000
을 만족하는 다항식 P(x)를 구하여라.
[풀이 ] f (x)=1x
, a=101이라고 하자.
임의의 t∈(100, 102)에 대하여
f(n+1)(t )(n+1)!
=(-1)n+1 (n+1)!t -(n+2)
(n+1)!
=(-1)n+1t -(n+2)
이므로
| f(n+1)( t )(n+1)! |= |t |
- (n+2) <1
100n+2
가 성립한다. 그런데 임의의 x∈(100, 102)에 대하여
|x-a |n+1=|x-101 |n+1≦1n+1=1
이다. 이제 n=1이라고 하면 테일러의 정리에 의하여
임의의 x∈(100, 102)에 대하여
| f (x)-P 1(x) |= | f( 1+1)(β )(1+1)! ||x-101 |
1+1 <1
1003
을 만족하는 β∈(100, 102)가 존재한다. 단, P 1(x)는
1차 테일러 다항식이다. P 1(x)를 구하면
P 1(x)= f (101)+f '(101)1!
(x-101)=2101-
x
1012
이 된다. P (x)=P 1(x)라고 하면 P (x)는 구하려는 다
항식이 된다.
39. 함수 f :ℝ→ℝ에 대하여 I=(0, 1)에서 f가 음이
아니고 세 번 미분 가능하다. 또한 c < d인 c, d∈I가
존재하여 f (c )= f (d )=0이다. 이 때 적당한 ξ∈I가
존재하여 f ( 3)(ξ )=0임을 보여라.
[풀이 ] 만약 f가 상수함수라면 한 점 ξ∈I에 대하여
당연히 f ( 3)(ξ )=0이 된다. 이제 f가 상수함수가 아니
라고 가정하자. 그러면 [c, d ]의 한 내점 η에서 f는
최대값을 갖고 f '(η )=0이 된다.
(ⅰ) f '(c)= f '(η )=0이므로 롤의 정리에 의하여 한
점 η1∈(c, η )가 존재하여 f ''(η 1 )=0이다.
(ⅱ) f '(η )= f '(d )=0이므로 롤의 정리에 의하여 한
점 η2∈(η, d )가 존재하여 f ''(η 2 )=0이다.
따라서 f ''(η 1 )= f ''(η2)=0이므로 롤의 정리에 의하
여 f ( 3)(ξ )=0인 ξ∈(η1, η2 )에 존재한다.
40. 도함수가 중간값 성질을 가짐을 보여라. 즉, [a, b]에
서 미분가능한 함수 f에 대하여 f '에 대한 중간값 정리
를 증명하여라.
[풀이 ] 일반성을 잃지 않고
A≔ f '(a) < f '(b) ≕B
라고 가정하자. 그리고 C∈(A, B )라고 하자.
g (x)= f (x)-Cx
라고 하면 g '(a) < 0이고 g '(b) > 0이므로
g (x 1 ) < g (a) , g (x 2 ) < g (b)
인 x 1∈(a, b )와 x 2∈(a, b )가 존재한다. 따라서 g는
폐구간 [a, b]의 내점에서 최소값을 가진다.
이제 g가 c∈(a, b )에서 최소값을 가진다고 하자. 그
러면 g '(c)=0이다. 따라서 f '(c)-C=0이므로
f '(c)=C
로서 f '은 중간값 성질을 가진다.
41. 함수 f , g에 대하여 f (x)g'(x)-f '(x)g (x) /=0이라
고 하자. f (x)=0이 두 개의 근을 가지면 g (x)=0의
근은 f (x)=0의 두 근 사이에 유일하게 존재함을 증명
하여라.
[풀이 ] α , β가 f (x)=0의 근이고 α < β라고 하자.
조건에 의하여 f (x)=0이면 f '(x) /=0 , g (x) /=0이다.
이제 h : (α, β ) →ℝ를
h (x)=g (x)f (x)
라고 하자. 임의의 x∈(α, β)에 대하여 f (x) /=0이므로
h는 잘 정의된 함수이다.
- 59 -
여기서
h'(x)=f (x)g'(x)-f '(x)g (x)
f (x)2 /=0
이므로 h는 증가만 하거나 감소만 한다. 만약 h가 단조
가 아니라면 도함수의 중간값 성질에 의하여 h '(x)=0
인 x∈(α, β)가 존재하게 되어 모순이다. 이제 일반성
을 잃지 않고 h가 증가함수라고 하자. 그러면
limx→α+
h (x)=-∞ , limx→α0-
h (x)=∞
이다. 따라서 연속함수의 중간값 정리에 의하여
h (x 0 )=0
인 x 0∈(α, β)가 존재한다. h가 증가함수이므로 그러
한 x 0는 유일하다. 여기서 h의 정의에 의하여
h (x)=0 ⇒ g (x)=0
이므로 x= x 0는 g (x)=0의 유일한 근이다.
42. 함수 f가 I=[a, b]에서 단조증가이면 f는 I에서 리
만적분 가능함을 보여라.
[풀이 ] 만약 f (a)= f (b)이면 f는 상수함수이므로 I에
서 적분 가능하다. 이제 f (a) < f (b)라고 하자. 임의의
양수 ε에 대하여
‖P‖ <ε
f (b)- f (a)
를 만족하는 분할 P를 택하면
0≦⌠⌡
b
af (x) dx-⌠⌡
b
af (x) dx≦U (f, P )-L (f, P )
=∑P(Mk-mk )Δx k≦‖P‖∑
P(Mk-mk )
=‖P‖( f (b )- f (a)) < ε
이다. 여기서 ε이 임의의 양수이므로
⌠⌡
b
af (x) dx-⌠⌡
b
af (x) dx=0
이 되어 f는 I에서 적분 가능하다.
43. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이면 f는 I에서 리만적
분 가능함을 보여라.
[풀이 ] 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f는 I에서
평등연속이므로, 양수 δ가 존재하여
|x 1-x 2 | < δ ⇒ | f (x 1 )- f (x 2 ) | <εb-a
를 만족한다. ‖P‖ < δ인 I의 분할 P를 택하면
0≦⌠⌡
b
af (x) dx-⌠⌡
b
af (x) dx≦U (f, P )-L (f, P )
=∑P(Mk-mk )Δ x k <
εb-a ∑P
Δx k
=εb-a
(b-a)=ε
이다.
여기서 ε이 임의의 양수이므로
⌠⌡
b
af (x) dx-⌠⌡
b
af (x) dx=0
이 되어 f는 I에서 적분 가능하다.
44. 구간 I=[0, 1]에서 함수 f가
f (x)= { 1 if x∈ℚ0 if x /∈ℚ
로 정의되어 있을 때, I에서 f가 리만적분 가능한지 판
정하여라.
[풀이 ] I의 임의의 분할 P={x i | 0≦ i≦n }에 대하여
a= x 0 < x 1 < … < x n= b
라고 하자. 유리수와 무리수의 조 성에 의하여, i≦n인
임의의 자연수 i에 대하여 q∈[x i-1, x i ]인 유리수 q가
존재하며 또한 r∈[x i-1, x i ]인 무리수 r가 존재한다.
따라서
U ( f, P )= ∑n
k=1sup f ( [xk-1, xk ]) (xk-xk-1)
≧∑n
k=11⋅(xk-xk-1)=1
이고
L ( f, P )= ∑n
k=1inf f ( [xk-1, xk ]) (xk-xk-1)
≦∑n
k=10⋅(xk-xk-1)=0
이다. 따라서
⌠⌡
1
0f (x )dx= infU (f, P )≧1 ,
⌠⌡
1
0f (x )dx= supU ( f, P )≦0
이므로 f는 [0, 1]에서 리만적분 불가능하다.
45. 함수 f가 [0, 1]에서 단조증가일 때 n∈ℕ에 대하여
|⌠⌡1
0f (x )dx-
1n ∑
n
k=1f ( kn )|≦
| f (1)- f (0) |n
이 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] 구간 [a, b]의 분할 P를
P={0, 1n ,2n, …,
n-1n, 1 }
라고 정의하자. 그러면
L (f, P )=1n ∑n-1
k=0f ( kn )
이다. 따라서
|⌠⌡1
0f (x )dx-
1n ∑
n
k=1f ( kn )|= |⌠⌡
1
0f (x) dx-L (f, P ) |
≦U ( f, P )-L (f, P )=| f (1)-f (0) |
n
이 성립한다.
- 60 -
46. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 임의의 적분 가능
한 함수 φ에 대하여
⌠⌡
b
af (x) φ(x) dx=0
을 만족하면 f (x) ≡0임을 보여라.
[풀이 ] 결론에 반하여 f (r) /=0인 r∈I가 존재한다고
가정하자. 일반성을 잃지 않고 f (r) > 0이라고 하자. 함
수 f가 연속이므로 양수 δ가 존재하여
|x-r | < δ ⇒ | f (r)- f (x) | <12f (r) ≕M
을 만족한다. 따라서 J= I∩[r-δ, r+δ ]에 대하여
x∈J ⇒ f (x) ≧M
이 성립한다. 여기서 φ를
φ(x)= { 1 if x∈J0 if x /∈J
라고 하자. 구간 J의 길이를 L이라고 하면
⌠⌡
b
af (x)φ(x)dx=⌠⌡
b
af (x)dx≧LM > 0
이므로 모순이다. 따라서 f (x) ≡0이다.
47. 함수 f가 [a, b]에서 유계이고 적분 가능하면
|⌠⌡b
af (x) dx |≦⌠⌡
b
a| f (x) |dx
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] | f (x) |= f +(x)+ f -(x)이므로
⌠⌡
b
a| f (x) |dx=⌠⌡
b
af +(x) dx+⌠⌡
b
af -(x) dx (1)
이다. 또한 f (x)= f +(x)- f -(x)이고 ⌠⌡
b
af-(x) dx이
음이 아니므로 (1)의 우변에서 2⌠⌡
b
af-(x) dx을 빼면
⌠⌡
b
a| f (x) |dx≧⌠⌡
b
af +(x) dx-⌠⌡
b
af -(x) dx
=⌠⌡
b
af (x) dx (2)
를 얻는다.
같은 방법으로 (1)의 우변에서 2⌠⌡
b
af +(x) dx을 빼면
⌠⌡
b
a| f (x) |dx≧-⌠⌡
b
af+(x) dx+⌠⌡
b
af-(x) dx
=-⌠⌡
b
af (x) dx (3)
을 얻는다. (2)와 (3)을 결합하면
-⌠⌡
b
a| f (x) |dx≦⌠⌡
b
af (x) dx≦⌠⌡
b
a| f (x) |dx
가 되므로 원하는 부등식을 얻는다.
48. 구간 I=(0, 1)에서 함수 f : I → ℝ를
f (x)= {1n if x=
mn: irreducible
0 if x /∈ℚ
으로 정의했을 때 f가 I에서 리만적분 가능함을 보여라.
[풀이 ] J=[0, 1]이고 f (0)= f (1)=0이라고 하자. 그
리고 양수 ε이 임으로 주어졌다고 하자. 그러면
1n≧ε2
인 자연수 n의 개수는 유한이다. 따라서
D={q∈[0, 1] | f (q )≧ ε2 }는 유한집합이 된다. 또한 D의 모든 원소는 유리수이다.
이제 k= #D라고 하자. 여기서 #D는 D의 원소의 개
수이다. 그리고
‖P‖ <ε8k
를 만족하는 [a, b]의 분할 P={x i | 0≦ i≦v }를 택하
자. 일반성을 잃지 않고
a= x 0 < x 1 < … < x v= b
라고 할 수 있다. I t=[x t-1, x t]라고 하면 D의 원소를
포함하고 있는 I t는 많아야 2k개이다. 즉
sup f (I t )≧ε2
인 I t는 많아야 2k개이다. 또한 f는 1에 의하여 위로
유계이다. 따라서
U (f, P ) = ∑v
i=1sup f (I i ) (x i-x i-1 )
≦∑n
i=1
ε2(x i-x i-1)+2k⋅
ε8k
=ε2+2k⋅
ε8k< ε
이다. 그리고 f는 0에 의하여 아래로 유계이므로
L ( f, P )≧0
이다. 여기서
⌠⌡
1
0f (x )dx-⌠⌡
1
0f (x )dx≦U (f, P )-L (f, P ) < ε
이고 ε이 임의의 양수이므로 f는 [0, 1]에서 리만적분
가능하다. 또한 적분 가능한 구간의 부분구간에서는 적분
가능하므로 f는 (0, 1)에서 리만적분 가능하다.
49. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 G가 f의 한 부정
적분일 때 다음 등식이 성립함을 증명하여라.
⌠⌡
b
af (x) dx=G (b)-G (a)
[풀이 ] 구간 I에서 함수 F를 다음과 같이 정의하자.
F (x) =⌠⌡
x
af ( t )dt .
- 61 -
그러면 F '(x)= f (x)이므로 상수 c가 존재하여
F (x)=G (x)+c
이다. 그런데 F (a)=0이므로 c=-G (a)가 성립한다.
따라서
F (x)=G (x)-G (a)
이다. 여기에 x= b를 대입하면
F (b)=⌠⌡
b
af (x) dx=G (b)-G (a)
를 얻는다.
50. 함수 f가 I=[a, b]에서 미분 가능하고 f '이 적분 가
능할 때 다음 등식이 성립함을 증명하여라.
⌠⌡
b
af '(x)dx= f (b)-f (a)
[풀이 ] 구간 I의 임의의 분할 P의 각 성분구간에 평균
값 정리를 적용하면
f (b)-f (a)=∑P[ f (xk )-f (xk-1)]
=∑Pf '(ξ k)Δx k
를 만족하는 수열 <ξ k>를 얻는다.
Mk'= sup f '(I k ) , mk'= inf f '( I k )
라고 하면
L (f ', P )=∑Pmk'Δx k≦ f (b)-f (a)
≦∑PMk'Δxk=U (f ', P )
이므로
⌠⌡
b
af '(x) dx≦ f (b)-f (a) ≦⌠⌡
b
af '(x) dx
이다. 여기서 f '이 적분 가능하므로
⌠⌡
b
af '(x)dx= f (b)-f (a)
이 성립한다.
51. 함수 f가 [a, b]에서 연속이고 적분 가능하면
f (ξ )=1b-a
⌠⌡
b
af (x) dx
를 만족하는 ξ∈(a, b )가 존재함을 보여라.
[풀이 ] 함수 F를
F (x)=⌠⌡
x
af ( t )dt
로 정의하자. 미분의 평균값 정리를 이용하면
F (b)-F (a)=F'(ξ )(b-a)= f (ξ )(b-a)
를 만족하는 ξ∈(a, b )가 존재한다.
52. 임의의 양수 x에 대하여
Γ(x) =⌠⌡
∞
0e- tt x-1dt
가 수렴하고, Γ는 (0, ∞)에서 연속임을 보여라.
[풀이 ] 두 함수 Γ1과 Γ2를
Γ1(x) =⌠⌡
1
0e- ttx-1dt , Γ2(x) =
⌠⌡
∞
1e- ttx-1dt
로 정의하면 Γ =Γ1+Γ2가 된다.
이제 x 0가 양의 실수라고 하면 0 < a < x 0 < b인 두 실
수 a , b가 존재한다. I=[a, b]라고 하자.
만약 0≦ t≦1이면
|e- t t x-1|= e- t t x-1≦ t a-1≕M 1( t )
이고 t≧1이면
|e tt x-1|≦e- t t b-1≕M 2( t )
이다. 그런데 두 적분
⌠⌡
1
0M 1( t )dt ,
⌠⌡
∞
1M 2( t )dt
가 각각 I에서 수렴하므로 Γ1 , Γ2는 I에서 평등수렴하
며 따라서 이들 두 함수는 I에서 연속이다. 이로써 Γ는
I에서 연속이므로 당연히 Γ는 x 0에서 연속이다. x 0가
임의의 양수이므로 Γ는 (0, ∞)에서 연속이다.
53. 수열 <an>에 대하여 L= limn→∞|an |
1n , S= ∑
∞
n=1an이
라고 하자. 만약 L < 1이면 S는 절대수렴하며 L > 1이
면 S는 발산함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 L < 1이라고 하자. 상극한의 성질에 의하
여 자연수 N이 존재하여
n > N⇒ |an |1n <1+L2
≕M
을 만족한다. 따라서 n > N이면 |an | <Mn이 성립한
다. 그런데 0≦M < 1이므로 급수 ∑Mn는 수렴하고
따라서 비교판정법에 의하여 ∑|an |도 수렴한다.
이번에는 L > 1이라고 하자. 상극한의 성질에 의하여 임
의의 자연수 N에 대하여 자연수 n이 존재하여
n > N 그리고 |an |1n > 1
을 만족한다. 즉 |an | > 1인 항 an의 개수가 무한이므
로 <an>은 0에 수렴하지 않는다. 따라서 ∑an은 발
산한다.
- 62 -
54. 급수 ∑∞
n=1
1n lnn
의 수렴 여부를 판정하여라.
[풀이 ] 코시의 응집 판정법을 사용하자.
∑∞
k=1
2k
2kln2
k = ∑∞
k=1
1k ln2
=1ln2 ∑
∞
k=1
1k
이므로 p -급수 판정법에 의하여 위 급수는 발산한다. 따
라서 코시 응집판정법에 의하여
∑∞
n=1
1n lnn
는 발산한다.
55. 다음 급수의 수렴 여부를 판정하여라.
∑∞
n=1
1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)
2n(n+1)!
[풀이 ] 라브(Raabe) 판정법을 이용하자.
an=1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)
2n(n+1)!
라고 하면
limn→∞n(anan+1
-1)= limn→∞ 2n(n+2)!-2n2-n
2n+1=∞
이므로 라브 판정법에 의하여
∑∞
n=1
1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)
2 n(n+1)!
는 수렴한다.
56. 양항급수 ∑∞
n=1an이 수렴하면 ∑
∞
n=1an
2이 수렴함을 증
명하여라.
[풀이 ] ∑an이 수렴하므로 an → 0이다. 따라서 자연
수 N이 존재하여 n > N일 때 |a n | < 1이므로
| an2|≦ | an |
이 성립한다. 따라서
∑∞
n=1an
2= ∑
N
n=1an
2+ ∑
∞
n=N+1an
2≦ ∑
N
n=1an
2+ ∑
∞
n=N+1an
이고 오른쪽 변의 급수가 수렴하므로 비교판정에 의하여
∑∞
n=1an
2
도 수렴한다.
57. 무한급수 ∑∞
n=1
e- n
n의 수렴 여부를 판정하여라.
[풀이 ] f (x)=e - x
x라고 하면 f는 [0, ∞ )에서 단
조 감소이고 음이 아니다. 여기서
⌠⌡
∞
1f (x) dx=⌠⌡
∞
1
e x
xdx=⌠⌡
∞
12e- tdt2e
이므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.
58. 임의의 실수 x에 대하여
e x= ∑∞
k=0
xk
k!=1+x+
x2
2!+x3
3!+…
임을 증명하여라.
[풀이 ] 0에서 f (x)= ex의 n차 테일러 다항식은
Pn(x)= ∑n
k=1
f ( k)(0)k!
=1+x+x 2
2!+…+
xn
n!
이다. 이제 나머지 항이 0에 수렴함을 증명하자. 0이 아
닌 임의의 실수 x가 주어졌다고 하면 테일러 정리에 의
하여
|Rn+1(x) |= | f(n+1)(c)(n+1)! ||x |
n+1
을 만족하는 실수 c가 0과 x 사이에 존재한다.
따라서 n → ∞일 때
|Rn+1(x) |=ec|x |n+1
(n+1)!≦|x | c+n+1
(n+1)! → 0
이므로 Pn(x) → ex이다.
59. 수열 <r i>가 자연수집합 ℕ으로부터 [0, 1]∩ℚ에로
의 일대일 대응이라고 하자. 그리고 I=[0, 1]에서 두
함수열 < f n> , <gn>을
fn(x)= x (1+ 1n ) ,
gn(x)= { 1/n if x∈[0, 1]∖ℚi+1/n if x= r i, ∃i∈ℕ
으로 정의하자. 이 때 hn(x)= f n(x)gn(x)로 정의된 함
수열 <hn>이 I에서 평등수렴하는지 판정하여라.
[풀이 ] ε0=1이라고 하고 자연수 N이 임의로 주어졌
다고 하자. m=n+1=N+2라고 하면 m > n > N이
다. <r i>가 전사이므로 [1/2, 1 ]에 포함되는 항이 무
한개이다. 따라서 k > 2(n+1)n이고 rk∈[1/2, 1]인
자연수 k가 존재한다. 여기서
| fm(r k)- fn(rk ) |
=|r k m+1mmk+1m
-r kn+1n
nk+1n |
=| mn(n-m)+mnk(n-m)+(n2-m 2)
m 2n 2rk |
=(n+1)n+(n+1)nk+(m+n)
(n+1)2 n 2rk
≧k
(n+1)nrk≧
12
1(n+1)n
k > 1=ε0
이므로 코시 판정법에 의하여 <hn>은 평등수렴하지 않
는다.
- 63 -
60. 구간 I=[0, 1]에서 함수열 < f n>이
f n(x)=nx2
1+nx
으로 정의되었을 때, < f n>의 극한함수를 구하고 평등수
렴하는지 판정하여라.
[풀이 ] 임의의 x∈I에 대하여 f (x)= limfn(x)= x이
다. 따라서 fn의 극한함수는 f (x)= x이다.
이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. N > ε- 1인 자
연수 N을 택하면, n > N일 때 임의의 x∈I에 대하여
| f n(x )- f (x ) |= | x 2
x+1/n-x |= x/n
x+1/n
=1n (
nxnx+1 )=
1n (1-
1nx+1 )
≦1n<1N< ε
이므로 fn은 f에 평등수렴한다.
61. 구간 I에서 연속함수열 < f n>이 f에 평등수렴하면 극
한함수 f는 I에서 연속임을 증명하여라.
[풀이 ] 실수 c∈D와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하
자. < f n>이 평등수렴하므로 자연수 k가 존재하여 임의
의 x∈I에 대하여
| f k(x)- f (x) | <ε3
을 만족한다. 또한 f k는 연속이므로 양수 δ가 존재하여
|x-c | < δ ⇒ | f k(x)- f k(c) | <ε3
을 만족한다. 따라서 |x-c | < δ인 x∈I에 대하여
| f (x)- f (c) |≦| f (x)-f k(x) |+| f k(x)-f k(c) |
+| f k(c)- f (c) | < ε
이 성립하므로 f는 c에서 연속이다. 그런데 c가 I의
임의의 원소이므로 f는 I에서 연속이다.
62. 멱급수 S= ∑∞
n=1
xn
n 2의 수렴구간을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 급수의 계수에 비판정법을 적용하면
limn→∞
1/n 2
1/(n+1)2= lim
n→∞(n+1n )
2
= 1
이므로 수렴반경은 1이다. 또한 x= ±1일 때
S= ∑∞
n=1|xn
n 2 |= ∑∞
n=1
1
n 2
이므로 p-급수 판정법에 의하여 수렴한다.
따라서 구하는 수렴구간은 [-1, 1]이다.
63. 급수 ∑∞
n=1
n2
3n의 값을 구하여라.
[풀이 ] 구간 I=(-1, 1)에서 함수 f를
f (x)=11-x
= ∑∞
n=0xn
으로 정의하자. f는 I에서 평등수렴하므로 미적분을 자
유롭게 할 수 있다. f를 미분하면 다음을 얻는다.
f '(x)=1
(1-x) 2= ∑
∞
n=1nxn-1 .
양변에 x를 곱하면 다음을 얻는다.
xf '(x)=x
(1-x)2 = ∑
∞
n=1nxn .
다시 양변을 미분하고 x를 곱하면 다음을 얻는다.
x+x 2
(1-x) 3= ∑
∞
n=1n2xn .
여기서 x=13을 대입하면 다음을 얻는다.
32=(1/3)+(1/3)
2
(1-1/3)3 = ∑
∞
n=1
n2
3n
.
따라서 주어진 급수의 값은 32이다.
64. 양항수열 <an>에 대하여 f (x)= ∑∞
n=0anx
n의 수렴반
경이 1이고 limx→1-
f (x)=σ이면 급수 ∑∞
n=0an은 σ에 수
렴함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 ∑an이 유계임을 보이자. 만약 ∑an이
유계가 아니라면 자연수 N이 존재하여
n > N ⇒ ∑n
k=0a k > 3σ
을 만족한다. 또한 m > n > N인 자연수 m , n과 임의
의 양수 δ에 대하여 x∈(1-δ, 1 )이 존재하여
xm>12
을 만족한다. 이러한 x에 대하여
∑m
k= 0akx
k≧ x
m∑m
k= 0a k > 3σ x
m>32σ
이므로 limx→1-
f (x) ≧32σ가 되어 모순이다.
따라서 ∑an은 유계이고 양항급수이므로 수렴한다.
그런데 ∑an이 [0, 1]에서 수렴하므로 아벨의 정리에
의하여 ∑an은 [0, 1]에서 평등수렴한다. 평등수렴하
는 연속함수열의 극한함수는 연속이므로 f는 [0, 1]에
서 연속이다. 따라서
σ= limx→1-
f (x)= f (1)= ∑∞
n=0an
가 성립한다.
- 64 -
65. 다음과 같이 주어진 멱급수의 수렴구간을 구하여라.
∑∞
n=1
en
n 2+n(x-1) n
[풀이 ] 주어진 멱급수의 계수에 근판정법을 적용하면
limn→∞(
en
n2+n )
1/n
= limn→∞
e
(n2+n)
1/n = e
이므로 수렴반경은 1e이다. 또한 x= 1±
1e일 때
∑∞
n=1|en
n 2+n(x-1)n |= ∑
∞
n=1
1
n 2+n≦∑
∞
1
1
n 2
이고 p-급수 판정법에 의하여 오른쪽의 급수가 수렴하
므로 비교판정에 의하여 본래의 급수는 절대수렴한다. 즉
주어진 급수는 수렴반경의 끝점에서도 수렴한다.
따라서 구하는 수렴구간은 [1- 1e , 1+1e ]이다.
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- 65 -
위상수학 | Topology
1. 위상공간 (X,ℑ)과 X의 부분집합 A에 대하여
ℑA={A∩G |G∈ℑ }
는 A상에서의 위상이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] (ⅰ) 먼저
φ=A∩φ∈ℑA, A=A∩G=ℑA
이다.
(ⅱ) 이제 {Gi | i∈I }가 ℑA의 임의의 부분집합이라고
하자. 그러면 각 i∈I에 대하여 Hi∈ℑ가 존재하여
Gi=Hi∩A
를 만족한다. 여기서
∪i∈IGi= ∪
i∈IHi∩A=A∩∪
i∈IHi
이고 ∪Hi∈ℑ이므로 ∪Gi는 ℑA의 원소가 된다.
(ⅲ) 이제 {Gj | j∈J }가 ℑA의 임의의 유한부분집합이
라고 하자. 그러면 각 j∈J에 대하여 Hj∈ℑ가 존재하
여 Gj=Hj∩A를 만족한다. 여기서
∩j∈JGj= ∩
j∈JHj∩A=A∩∩
j∈JHj
이고 ∩Hj∈ℑ이므로 ∩Gj는 ℑA의 원소가 된다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ℑA는 A상에서의 위
상이 된다.
2. 집합 X에 대하여
ℑ={U⊆X | #(X∖U ) < #ℝ ∨ U=φ }
라고 하면 ℑ는 X상에서의 위상이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] ℑ가 위상의 조건을 만족함을 보이자.
(ⅰ) 먼저 φ∈ℑ이다. 또한 φ는 가산집합이므로
X∖X=φ∈ℑ
가 되어 X∈ℑ이다.
(ⅱ) {Gi | i∈I }를 ℑ의 임의의 부분집합이라고 하자.
그러면 I의 한 원소 j에 대하여 X∖Gj는 가산집합이
다. 가산집합의 부분집합은 가산집합이고
X∖∪i∈IG i=X∩(∪i∈IG i )
c
=X∩(∩i∈IGci )
= ∩i∈I(X∩Gci )⊆X∩G
cj=X∖Gj
이므로 X∖∪ i G i는 가산집합이다.
따라서 ∪ i G i∈ℑ이다.
(ⅲ) {Uj | j∈J }를 ℑ의 유한부분집합이라고 하자. 만약
적당한 k∈J에 대하여 Uk=φ이면 ∩ j U j=φ이므로
명백히 ∩ j U j∈ℑ이다. 이제 Uk=φ인 k∈J가 존재
하지 않는다고 가정하자.
그러면 임의의 Uj에 대하여 X∖Uj는 가산집합이다.
X∖∩j∈JU j=X∩(∩j∈JU j )
c
=X∩(∪j∈JU jc )
= ∪j∈J(X∩Uj
c )= ∪j∈J(X∖Uj
c )
인데 J가 유한집합이고, 유한개의 가산집합의 합집합은
가산집합이므로 X∖∩ j U j는 가산집합이다.
따라서 ∩ j U j∈ℑ이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ℑ는 위상의 조건을 만
족하므로 X상의 위상이다.
3. 정수 집합 ℤ 위의 위상 τ를 다음과 같이 정의한다.
τ= {U⊆ℤ |U=φ ∨ #(ℤ∖U ) < #ℕ }
이 때 서로 다른 an들로 이루어진 수열 <an>은 위상
공간 (ℤ, τ )에서 각각의 정수 m에 수렴함을 보여라.
[풀이 ] 임의의 정수 m이 주어졌다고 하자. 그러면 개집
합 U가 존재하여 m∈U이다. Uc가 유한집합이므로
유한개의 정수를 제외한 나머지는 모두 U에 포함된다.
즉 U에 포함되지 않는 <an>의 항은 유한개뿐이다. 즉
A={n∈ℕ |an /∈U }
는 유한집합이다. 따라서 N=maxA+1이라고 하면
n > N ⇒ an∈U
이므로 an은 m에 수렴한다.
4. 실수 ℝ상에서 β={ [a, b ) |a∈ℝ, b∈ℝ}를 기저로
하는 위상 T를 하한위상이라고 한다. ℝ상에서의 하한
위상 T와 보통위상 μ에 대하여 μ⊂T , μ /=T임을 보
여라.
[풀이 ] 공집합이 아닌 임의의 개구간 (a, b )이 주어졌
다고 하자.
an=a+b-an
이라고 하면 수열 {an }의 모든 항은 (a, b )에 포함되
며 극한이 a에 수렴하고 순감소한다. 따라서
(a, b )= ∪∞
n=1[an, b)
이므로 T는 (a, b ) 꼴의 모든 개구간을 포함한다. 따
라서 μ⊆T이다.
한편 [1, 2)는 T의 원소이지만 μ의 원소는 아니다.
이를 증명하기 위하여 결론에 반하여 [1, 2)∈μ라고
가정하자. 그러면 [1, 2)는 μ -개집합이므로 1은 내점
이 된다.
- 66 -
따라서 적당한 개구간 (a, b )가 존재하여
1∈(a, b )⊆[1, 2)
가 되어야 한다. 1∈(a, b )이려면 a < 1 < b가 되어야
한다. 그런데 (a, b )⊆[1, 2)이려면 1≦a가 되어야
한다. 이것은 모순이므로 [1, 2) /∈μ이다.
따라서 μ⊆T이고 μ /=T이다.
5. 위상공간 X , Y와 위상동형사상 f :X → Y에 대하여,
점 p가 A⊆X의 집적점일 때 f (p)가 f (A)의 집적점
임을 보이시오.
[풀이 ] G가 f (p)를 포함하는 임의의 개집합이라고 하
자. 그러면 U= f -1(G)도 개집합이다. 따라서
(U∖{p })∩A /=φ
가 성립한다. 이것은 x∈X가 존재하여
x∈(U∖{p })∩A
임을 의미한다. x∈U이므로 y∈G가 존재하여
f (x)= y
이다. 여기서 x /= p이므로 y /= f (p)이며 또한 x∈A이
므로 y∈f (A)이다. 즉 y∈(G∖{f (p) })∩ f (A)이므로
(G∖{f (p) })∩ f (A) /=φ
이다. 따라서 f (p)는 f (A)의 집적점이다.
6. 집합 En={k∈ℕ |n≦k }에 대하여, ℑ가
ℑ={En |n∈ℕ }∪ {φ }
으로 정의된 ℕ 위의 위상일 때 A={4, 13, 28, 37 }의
집적점을 구하여라.
[풀이 ] m이 37보다 작은 자연수라고 하자. 그러면 m
을 포함하는 임의의 개집합 U는 m 이상의 모든 자연
수를 포함한다. 그런데 m < 37이므로 37∈U∖{m }이
다. 즉 37∈(U∖{m })∩A이므로
(U∖{m })∩A /=φ
이다. 따라서 m은 A의 집적점이다.
이제 v가 37 이상의 자연수라고 하자. 그러면 Ev는 v
를 포함하는 개집합이다. 그런데 Ev∖{v }는 v보다 큰
자연수만을 포함하므로
(Ev∖{v })∩A=φ
이다. 따라서 v는 A의 집적점이 아니다.
따라서 A의 집적점은 37 미만의 모든 자연수이다.
7. 집합 X={a, b, c, d, e } 위에 위상 ℑ가 다음과 같이
주어졌다. ℑ={φ, X, {a }, {b }, {a, b }, {a, c, d },
{a, b, e }, {a, b, c, d }} . 다음 물음에 답하시오.
(1) 집합 A={b, c }의 도집합 A'을 구하시오.
(2) 집합 A={b, c }의 폐포 A를 구하시오.
[풀이 ] (1) A의 집적점을 구하면 다음과 같다.
p= a일 때 ( {a }∖{a })∩A=φ ,
p= b일 때 ( {b }∖{b })∩A=φ ,
p= c일 때 ( {a, c, d }∖{c })∩A=φ
이므로 a , b , c는 A의 집적점이 아니다.
이제 d를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, c, d }에 대
하여 ( {a, c, d }∖{d })∩A /=φ이므로 d는 A의 집적
점이다. e를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, b, e }에
대하여 ( {a, b, e }∖{e })∩A /=φ이므로 e는 A의 집
적점이다. 따라서 A의 집적점은 d , e이다.
(2) 집합 A의 폐포는 A=A∩A'이므로
A={b, c, d, e }
이다.
8. 집합 X={a, b, c, d, e } 위에 위상 ℑ가 다음과 같이
주어졌다. ℑ={φ, X, {a }, {b }, {a, b }, {a, c, d },
{a, b, e }, {a, b, c, d }} . A={a, b, c }에 대하여 다
음 물음에 답하시오.
(1) A의 내부 int(A)를 구하시오.
(2) A의 외부 ext(A)를 구하시오.
(3) A의 경계 bd(A)를 구하시오.
(4) 점 e∈X의 근방계 η e를 구하시오.
[풀이 ] (1) A의 내점을 모두 구하자.
a∈{a }⊆A , {a }∈ℑ ,
b∈{a, b }⊆A , {a, b }∈ℑ
이므로 a , b는 A의 내점이다. 그러나 c를 포함하는
가장 작은 개집합 {a, c, d }에 대하여
{a, c, d } /⊆A
이므로 c는 A의 내점이 아니다.
따라서 int(A)= {a, b }이다.
(2) ext(A)= int(Ac)이므로 Ac={d, e }의 내점을
구하자. d를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, c, d }에
대하여 {a, c, d } /⊆Ac이다. 또한 e를 포함하는 가장
작은 개집합 {a, b, e }에 대하여 {a, b, e } /⊆Ac이다.
따라서 int(Ac)=φ이므로 ext(A)=φ이다.
(3) bd(A)=X∖( int(A) ∪ ext(A))이므로
bd(A)=X∖{a, b }= {c, d, e }
이다.
(4) e를 포함하는 가장 작은 개집합은 {a, b, e }이다.
여기서 {a, b, e }를 포함하는 집합을 모두 구하면
{a, b, e } , {a, b, c, e } , {a, b, d, e } , X
이다. 따라서 e의 근방계는 다음과 같다.
η e={ {a, b, e }, {a, b, c, e }, {a, b, d, e }, X } .
- 67 -
9. 위상공간 X의 부분집합 A가 폐집합이 되기 위한 필요
충분조건은 A'⊆A임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 A가 폐집합이라고 가정하자. 그러면 임의
의 x∈Ac에 대하여 Ac는 x의 개근방이다. 그런데
Ac∩(A∖{x })=φ
이므로 x /∈A'이다. 즉 x∈(A') c이다.
따라서 Ac⊆(A') c이므로 A'⊆A이다.
이제 역을 증명하기 위하여 A'⊆A라고 가정하고 A가
폐집합임을 보이자. x∈Ac라고 하면 x∈(A') c이다.
이것은 x가 A의 집적점이 아님을 의미하므로
x∈U , U∩(A∖{x })=φ
인 개집합 U가 존재한다. 여기서 x /∈A이므로
U∩A=φ
이다. 따라서 x∈U⊆Ac이므로 x는 Ac의 내점이다.
즉 임의의 x∈Ac가 Ac의 내점이므로 Ac는 개집합이
다. 따라서 A는 폐집합이다.
10. 집합 X={a, b, c }의 위상 τ={φ, {a }, X }에 대하
여 X의 조 한 부분집합을 구하여라.
[풀이 ] A=X가 되는 X의 부분집합 A를 구하자.
X에서 폐집합을 모두 구하면
φ , {b, c } , X
이다. 따라서 {b, c }의 부분이 아닌 집합 A를 포함하
는 폐집합은 X 뿐이다. 그러한 집합을 모두 구하면
{a, b } , {a, c } , X
이며 이들은 모두 X의 조 한 부분집합이다.
11. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여, x∈A일 필요
충분조건은 x의 임의의 근방 U가 U∩A /=φ를 만족
하는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] 대우를 사용하여 증명하자.
먼저 x /∈A라고 가정하자. 그러면 Ac는 x를 포함하
는 개집합이 된다. 따라서 개집합 U= Ac에 대하여
U∩A=φ
가 된다.
역으로 U∩A=φ를 만족하는 x의 개근방 U가 존재
한다고 가정하자. 그러면 A⊆U c이고 U c는 폐집합이
다. 폐포의 정의에 의하여 A⊆U c이다. 그런데 x /∈U c
이므로 x /∈A가 된다.
이로써 대우명제 x /∈A ⇔ ∃U : U∩A=φ임을 증명
하 으므로 증명을 마쳤다.
12. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여 A=A∪A'임
을 증명하여라.
[풀이 ] x∈A∪A'라고 하자. 만약 x∈A이면 폐포의
정의에 의하여 당연히 x∈A⊆A이다. 이제 x /∈A이고
x∈A'라고 하자. x의 임의의 근방 U에 대하여
U∩(A∖{x }) /=φ
이므로 U∩A /=φ이다. 즉
x의 임의의 근방 U에 대하여 U∩A /=φ
가 성립하므로 x∈A이다. 따라서 A∪A'⊆A이다.
반대의 포함관계를 증명하기 위하여 x∈A라고 하자.
만약 x∈A라면 당연히 x∈A∪A'이다. 이제 x∈A
이고 x /∈A라고 하자. 그러면 x의 임의의 개근방 U에
대하여 U∩A /=φ이다. 그런데 본래 x /∈A이므로
U∩(A∖{x }) /=φ
이다. 즉 x는 A의 집적점이므로 A⊆A∪A'이다.
이로써 A=A∪A'임을 증명하 다.
13. 위상공간 X의 두 부분집합 A , B에 대하여
int(A∩B)= int(A) ∩int(B)
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] x∈int(A∩B)라고 하면 x의 개근방 U가 존
재하여 x∈U⊆A∩B⊆A이다. 따라서 x∈int(A)이
다. 같은 방법으로 x∈int(B)이다. 따라서
x∈int(A)∩int(B)
이므로 int(A∩B)⊆int(A)∩int(B)가 성립한다. (1)
또한 int(A) ⊆A이고 int(B) ⊆B이므로
int(A)∩int(B) ⊆A∩B
이다. 여기서 int(A)∩int(B)는 개집합이고, A∩B에
포함되는 가장 큰 개집합이 int(A∩B)이므로
int(A)∩int(B) ⊆int(A∩B) (2)
를 얻는다. 이로써 (1)과 (2)에 의하여
int(A∩B)= int(A) ∩int(B)
가 성립한다.
14. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여
A= int(A)∪bd(A)
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] A의 내부, 외부, 경계는 쌍마다 서로소이며
X= int(A)∪bd(A)∪ext(A)
이다. 따라서 ( int(A)∪bd(A)) c= ext(A)이다.
이제 (A)c= ext(A)임을 보이자.
- 68 -
먼저 x∈ext(A)라고 하자. 그러면 x∈int(Ac)이므로
개집합 U가 존재하여
x∈U⊆Ac
가 성립한다. 즉 U∩A=φ이다. 이것은 명제
x의 임의의 개집합 U에 대하여 U∩A /=φ
의 부정이므로 x /∈A이다.
따라서 x∈(A)c이므로 ext(A) ⊆(A) c이다. (1)
역으로 x∈(A)c라고 하자. (A) c가 개집합이므로
x∈U⊆(A) c
인 개집합 U가 존재한다. 그런데 A⊆A이므로
x∈U⊆(A) c⊆Ac
이다. 이것은
x∈int(Ac)= ext(A)
를 의미하므로 (A) c⊆ext(A)가 성립한다. (2)
이로써 (1), (2)에 의하여 (A)c= ext(A)임을 증명하
다. 따라서 A= int(A)∪bd(A)이다.
15. X , Y가 위상공간이고 β가 X의 기저이며 f가 X로
부터 Y로의 함수라고 하자. 만약 임의의 A∈β에 대하
여 f (A)가 Y의 개집합이면 f는 개사상임을 보이시오.
[풀이 ] G가 X의 임의의 개집합이라고 하자. 그러면
기저의 정의에 의하여 β의 부분집합 {β i | i∈I }가 존재
하여 G=∪ i β i가 된다. 그러면
f (G)= f (∪ iβ i )=∪ i f (β i )
이고 각 f (β i )가 개집합이므로 f (G)도 개집합이 된다.
따라서 f는 개사상이다.
16. 위상공간 (X, τ )에 속하는 점 p가 집합 A⊆X의 집
적점이 되기 위한 필요충분조건은, p의 국소기저 β p가
존재하여 G∈β p ⇒ (G∖{p })∩A /=φ를 만족하는 것
임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 p가 A의 집적점이라고 하자. 정의에 의하
여 p의 임의의 개근방 U에 대하여
(U∖{p })∩A /=φ
이다. 그런데 임의의 G∈β p는 p의 개근방이므로
(G∖{p })∩A /=φ
가 성립한다.
이제 역을 증명하기 위하여 p의 국소기저 β p에 대하여
G∈β p ⇒ (G∖{p })∩A /=φ
가 성립한다고 가정하자. U가 p의 임의의 개근방이라
고 하면, 국소기저의 정의에 의하여 G⊆U를 만족하는
개집합 G∈β p가 존재한다.
그런데
(G∖{p })∩A /=φ
이므로 y∈(G∖{p })∩A인 y∈X가 존재한다.
여기서 y∈(U∖{p })∩A를 만족하므로
(U∖{p })∩A /=φ
이다. 따라서 p는 A의 집적점이다.
17. 집합 X={a, b, c, d }상에서 위상 ℑ가
ℑ={X, φ, {a }, {a, b }, {a, c, d }}
으로 정의되었다. β={X, {a }, {a, b }, G }가 ℑ의 기
저가 되도록 하는 집합 G를 구하여라.
[풀이 ] ℑ의 원소 중에서
X , φ , {a } , {a, b }
가 β의 원소들의 합집합에 의하여 생성됨은 자명하다.
따라서 G를 적당히 정의하여 {a, c, d }가 생성되도록
해야 한다. 따라서 G={a, c, d }라고 하면 β는 ℑ를
생성한다.
18. 집합 X={a, b, c, d }와 Y={w, x, y, z }의 위상이
ℑX={X, φ, {a, b }, {c, d }} ,
ℑY={Y, φ, {y }, {x, y }, {y, z }, {x, y, z }
으로 주어져 있다. 이 때 함수
f={ (a, x ), (b, z ), (c, y ), (d, x ) }
가 연속인 점을 구하여라.
[풀이 ] f (a)= x∈{x, y }∈ℑY이고
f -1( {x, y })= {a, c, d } /∈ℑX
이므로 a는 f가 연속인 점이 아니다.
f (b)= z∈{y, z }∈ℑY이고
f -1( {y, z })= {b, c } /∈ℑX
이므로 b는 f가 연속인 점이 아니다.
f (c)= y∈{y }∈ℑY이고
f -1( {y })= {c } /∈ℑX
이므로 c는 f가 연속인 점이 아니다.
f (d )= x이고 x의 근방은
{x, y } , {x, y, z } , X
이다. 이들의 역상을 구해보면
f -1( {x, y })= {a, c, d }∈ℑX,
f -1( {x, y, z })=X∈ℑX,
f -1(Y )=X∈ℑX
이므로 f는 d에서 연속이다.
따라서 f가 연속인 점은 d뿐이다.
- 69 -
19. 두 위상공간 X , Y에서 함수 f :X→Y가 정의되었다.
이 때 f가 연속이기 위한 필요충분조건은 Y의 임의의
기저원소 B에 대하여 f -1(B)가 X에서 개집합이 되
는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] 함수 f가 연속일 때, Y의 기저원소 B는 개집
합이므로 연속의 정의에 의하여 f -1(B)는 개집합이다.
이제 역을 증명하기 위하여 Y의 임의의 기저원소 B에
대하여 f -1(B)가 X에서 개집합이 된다고 가정하자.
집합 U가 Y에서 개집합이라고 하자. 그러면 Y의 기
저원소들의 모임 {Bi | i∈I }가 존재하여
∪i∈IBi=U
가 성립한다. 각 i에 대하여 f -1(Bi)는 개집합이므로
∪i∈If -1(Bi)
는 개집합이 된다. 여기서
f-1(U )= f
-1(∪i∈I B i )= ∪i∈I f-1(Bi)
이므로 f -1(U )도 개집합이 된다.
따라서 f는 연속함수이다.
20. 위상공간 X , Y의 함수 f :X → Y에 대하여 다음 세
명제가 동치임을 증명하여라.
(1) f는 연속함수이다.
(2) 임의의 A⊆X에 대하여 f (A)⊆ f (A)이다.
(3) Y의 임의의 폐집합 B에 대하여 f -1(B)가 X의
폐집합이다.
[풀이 ] (1)⇒ (2) : A⊆X이고 f가 연속이라고 하자.
이제 y∈f (A)라고 하자. 그러면 f (x)= y인 x∈A가
존재한다. y의 근방 V에 대하여 f -1(V )는 x를 포함
하는 X의 개집합이다. 그런데 x∈A이므로
f -1(V )∩A /=φ
이고
f (f -1(V )∩A)⊆f ( f -1(V ))∩f (A) ⊆V∩f (A)
가 되어 V∩f (A) /=φ이다. 따라서 y∈ f (A)이다.
(2)⇒ (3) : B가 Y의 폐집합이고 A= f -1(B)라고 하
자. 그러면 f (A)= f (f -1(B)) ⊆B이다. 만약 x∈A이
면
f (x) ∈f (A)⊆ f (A)⊆B=B
이므로 x∈f -1(B)=A이다. 따라서 A⊆A이다. 그런
데 A⊆A이므로 A= A가 되어 A는 폐집합이다.
(3)⇒ (1) : V가 Y에서의 개잡합이고 B=Y∖V라고
하자. 그러면 B는 Y에서의 폐집합이고 여기서 (3)에 의
하여 f -1(B)는 X에서의 폐집합이 된다.
여기서
f -1(V )= f -1(Y∖B)= f -1(Y )∖f -1(B )
=X∖f -1(B)
이므로 f -1(V )는 X에서 개집합이다. 따라서 f는 연
속함수이다.
이로서 (1), (2), (3)이 동치임을 증명하 다.
21. 집합 X상의 두 거리 d 1 , d 2에 대하여 d 1에 의해 유
도된 위상을 ℑ 1, d 2에 의하여 유도된 위상을 ℑ 2
라
할 때 ℑ 1⊆ℑ 2이면 d 2가 d 1보다 더 우세하다고 한다.
이산거리는 임의의 거리보다 우세함을 증명하여라.
[풀이 ] 집합 X에 대하여 d 1이 이산거리함수이고 d는
임의의 거리함수라고 하자. 그리고 ℑ 1이 d 1에 의하여
유도된 위상이고 ℑ는 d에 의하여 유도된 위상이라고
하자. 임의의 x∈X에 대하여
B 1(x, 1)= {y∈X |d 1(x, y ) < 1 }= {x }∈ℑ 1
이므로 ℑ 1은 X의 단집합을 모두 포함한다. 즉 ℑ 1
은
이산위상이다. 따라서 명백히 ℑ⊆ℑ 1이 되므로 d 1은
d보다 우세하다.
22. 거리공간 (X, d )의 부분집합 A가 개집합이기 위한
필요충분조건은 임의의 개집합 G에 대하여 A∩G가
개집합이 되는 것임을 증명하시오.
[풀이 ] A가 개집합이라고 하자. 그리고 G가 임의의
개집합이라고 하자. 그러면 명백히 A∩G는 개집합이
된다.
이제 역을 증명하자. x∈A라고 하자. 그러면 양수 r에
대하여 개구체 G=B (x, r )는 개집합이므로 A∩G도
개집합이다. 또한 x∈A∩G이므로 적당한 양수 δ가 존
재하여 x∈B (x, δ)⊆A∩G이다. 여기서 B(x, δ)는 개
집합이고 x∈B(x, δ)⊆A이므로 x는 A의 내점이다.
따라서 A는 개집합이다.
23. 거리공간 (X, d )에서 임의의 x, y∈X에 대하여
d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )
로 정의할 때 (X, d 1)은 유계인 거리공간이 됨을 증명
하시오.
[풀이 ] 먼저 d 1이 거리함수가 됨을 밝히자.
x , y , z가 X의 임의의 원소라고 하자.
(ⅰ) d (x, y )≧0이므로 다음이 성립한다.
d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )
≧0 .
- 70 -
또한 명백히
d 1(x, x)=d (x, x)1+d (x, x )
=0
이며 d 1(x, y )=0이면 d (x, y )=0이므로 x= y이다.
(ⅱ) d (x, y )=d (y, x )이므로
d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )
=d (y, x )1+d (y, x )
=d 1(y, x )
이다. 따라서 d 1(x, y )= d 1(y, x )이다.
(ⅲ) d (x, y )≦d (x, y )+d (x, z )이므로
d 1(x, z )=d (x, z )1+d (x, z )
≦d (x, y )+d (y, z )1+d (x, y )+d (y, z )
=d (x, y )
1+d (x, y )+d (y, z )+
d (y, z )1+d (x, y )+d (y, z )
≦d (x, y )1+d (x, y )
+d (y, z )1+d (y, z )
=d 1(x, y )+d 1 (y, z )
이다. 따라서 d 1(x, z )≦d 1(x, y )+d 1(y, z )이다.
이상으로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 d 1은 거리함수이다.
또한 임의의 x, y∈X에 대하여
d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )
≦d (x, y )d (x , y )
=1
이므로 d 1은 유계이다.
따라서 (X, d 1)은 유계인 거리공간이다.
24. 거리공간 (X, d )의 부분집합 A에 대하여
A={x∈X |d (x, A )=0 }
임을 증명하여라.
[풀이 ] x∈A ⇔ d (x, A)=0을 증명하자.
먼저 d (x, A)=0이라고 가정하자. 그러면 거리위상의
정의에 의하여 x의 임의의 근방 U에 대하여 적당한 자
연수 n이 존재하여
x∈B (x, 1n )⊆U가 성립한다. 만약 적당한 자연수 k에 대하여
B (x, 1k )∩A=φ라고 가정하면 d (x, A)≧k-1 > 0이 되므로 모순이다.
따라서
φ /=B (x, 1k )∩A⊆U∩A이다. 즉 U∩A /=φ이므로 x∈A이다.
이제 역을 증명하기 위하여 x∈A라고 가정하자. 그러
면 임의의 자연수 n에 대하여
B (x, 1n )∩A /=φ이다.
여기서 B (x, 1/n )∩A의 한 원소 an에 대하여
0≦d (x, A )≦d (x, an) <1n
이다. 위 부등식은 임의의 자연수 n에 대하여 성립하므
로 d (x, A)=0이다.
따라서 A={x∈X |d (x, A)=0 }이다.
25. 거리공간 (X, d 1) , (Y, d 2)의 함수 f :X → Y가 연
속이기 위한 필요충분조건은 임의의 x∈X와 양수 ε에
대하여 조건
d 1(x, y ) < δ ⇒ d 2( f (x), f (y)) < ε (*)
을 만족하는 것임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 f가 조건 (*)를 만족하고 G가 Y에서 개
집합이라고 하자. a가 f -1(G)의 임의의 원소라고 하면
f (a)= b인 b∈G가 존재한다. 여기서 G가 개집합이므
로 양수 ε이 존재하여 b∈B (b, ε )⊆G를 만족한다. 함
수 f가 (*)를 만족하므로
d 1(x, a ) < δ ⇒ d 2( f (x)- f (a) ) < ε
을 만족하는 양수 δ가 존재한다. 이것은
a∈B (a, δ)⊆f-1(G)
를 의미하므로 f -1(G)는 개집합이다. 따라서 f는 연속
함수이다.
역으로 f가 연속이라고 하자. 그리고 양수 ε이 임의로
주어졌다고 하자. a가 X의 한 점이면
b≔ f (a) ∈Y
이다. 여기서 B ( f (a), ε)은 Y에서 개집합이 되므로
그 역상 E≔ f -1(B(f (a), ε ))는 X에서 개집합이다.
여기서 a는 E의 원소이므로 B(a, δ )⊆E인 양수 δ가
존재하여 f (B (a, δ ))⊆f (E )가 된다. 이것은
f (B (a, δ ))⊆f ( f -1(B(b, ε )))
을 의미하므로 f (B (a, δ ))⊆B(b, ε )인데 이것을 다시
풀어서 쓰면
x∈B (a, δ ) ⇒ f (x) ∈B (b, ε )
이 된다. 이것은 개구체의 정의에 의하여
d 1(x, a ) < δ ⇒ d 2( f (x), f (a) ) < ε
을 의미한다. 따라서 f는 (*)를 만족한다.
26. 이산거리공간 (X, d )의 부분집합 A에 대하여 X의
어떤 점도 A의 집적점이 아님을 보이시오.
[풀이 ] 이산거리 d에 의하여 유도된 위상 τ는 이산위
상이다. 따라서 X의 임의의 단원집합은 개집합이다.
임의의 x∈X에 대하여 {x }는 개집합이다. 여기서
( {x }∖{x })∩A=φ
이므로 x는 A의 집적점이 아니다.
- 71 -
27. 자연수 집합 ℕ의 두 원소 m , n에 대하여
ρ(m, n)= | 1m -1n |
일 때 ρ는 거리함수이지만 (ℕ, ρ)는 완비가 아님을
보여라.
[풀이 ] 먼저 ρ가 거리함수의 조건을 만족함을 보이자.
(ⅰ) 명백히 ρ(m, n )≧0이며
ρ(m, n )=0 ⇔ m=n
이 성립한다.
(ⅱ) ρ(m, n )= | 1m -1n |= |
1n-1m |=ρ(n,m ) .
(ⅲ) ρ(m, n )= | 1m -1n |≦ |
1m-1k |+|
1k-1n |
≦ρ(m, k )+ρ(k, n ) .
따라서 ρ는 거리함수이다. 또한 δ=1에 대하여
ρ(m, n )= | 1m -1n | < 1= δ
이라고 가정하면 m=n이므로 B (m, δ )={m }이 되
어 ρ는 이산위상을 유도한다.
이제 수열 {xn }을 xn=n으로 정의하자.
임의의 양수 ε에 대하여 2ε<N인 자연수 N을 택하면
m > N , n > N일 때
ρ(xm, xn)= | 1m -1n |≦
1m+1n< ε
이므로 {xn }는 코시 수열이다.
만약 {xn }이 수렴한다고 가정하면 결과적 상수가 된다.
즉 적당한 자연수 K에 대하여 n > K ⇒ an= aK가 된
다. 그러나 {xn }은 결과적 상수가 아니므로 수렴하지
않는다. 즉 {xn }은 코시 수열이지만 수렴하지 않으므로
주어진 공간 (ℕ, ρ)는 완비가 아니다.
28. 위상공간 X가 T 1 -공간이기 위한 필요충분조건은 임
의의 x∈X에 대하여 {x }가 폐집합이 되는 것임을 증
명하여라.
[풀이 ] X가 T 1 -공간이고 x∈X라고 하자.
만약 y∈X∖{x }이면 x /= y이므로 y의 개근방 V가
존재하여 x /∈V가 된다. 즉
y∈V⊆X∖{x }
이므로 X∖{x }는 개집합이고 {x }는 폐집합이 된다.
역으로 임의의 x∈X에 대하여 {x }가 폐집합이라고 하
자. 그러면 서로 다른 두 점 y, z∈X에 대하여
X∖{z } , X∖{y }
는 개집합이 된다. 이 때
y∈X∖{z } , z∈X∖{y }
이므로 X는 T 1 -공간이다.
29. 위상공간 X가 T 1 -공간이면 X의 유한부분집합은 집
적점을 갖지 않음을 보이시오.
[풀이 ] A가 유한집합이라고 하자. 그러면
A={a 1, a 2, a 3, …, an }
으로 쓸 수 있다. 각 i에 대하여 A∖{a i }는 유한집합
이므로 폐집합이다. 따라서 U=(A∖{ai })c는 개집합이
다. 여기서 (U∖{a i })∩A=φ이므로 ai는 A의 집적
점이 아니다. 즉 A의 원소중에는 A의 집적점이 존재
하지 않는다.
이제 x∈X∖A라고 하자. 그러면 (A∖{a 1 })c는 개집
합이다. 또한 X가 T 1 -공간이므로
x∈H , a 1 /∈H
인 개집합 H가 존재한다. G=H∩(A∖{a 1 })c라고 하
면 G는 개집합이고 x∈G이다. 그러나 G∩A=φ이므
로 x는 A의 집적점이 아니다.
따라서 A는 집적점을 갖지 않는다.
30. 집합 X={a, b, c, d } 위의 위상공간 (X, T )에 대
하여 T={X, φ, {a }, {b }, {c }, {d }, … }일 때 다음
물음에 답하시오.
(1) 위상공간 (X, T )가 T 1 -공간일 때 원소가 3개인
개부분집합을 구하시오.
(2) 위상공간 (X, T )가 R 1 -공간이 되도록 하는 최소
한의 위상 T에 대하여 모든 폐집합을 구하시오.
[풀이 ] (1) 위상 T가 X의 모든 단원부분집합을 포함
하므로 원소가 3개인 개집합은
{a, b, c } , {a, b, d } , {a, c, d } , {b, c, d }
가 된다.
(2) X가 T 1 -공간일 필요충분조건은 X의 모든 단원부
분집합이 폐집합이 되는 것이다. 그런데 유한개의 폐
집합의 합집합은 폐집합이므로 X의 모든 부분집합은
폐집합이 된다.
31. 위상공간 X가 점열컴팩트이고 A가 X의 폐부분집합
일 때 A는 점열컴팩트임을 보이시오.
[풀이 ] {an }이 A상에서 정의된 수열이라고 하자. 그
러면 {an }의 극한점 p∈X가 존재한다.
여기서 p /∈A라고 가정하자. 그러면 Ac는 개집합이므
로 {an }의 유한개를 제외한 모든 항이 Ac에 포함된다.
그런데 {an }의 모든 항은 A의 원소이므로 이것은 모
순이다. 따라서 p∈A이므로 A는 점열컴팩트이다.
- 72 -
32. 거리공간은 T 4 -공간임을 증명하여라.
[풀이 ] (X, d )가 거리공간이고 ℑ가 d에 의하여 유
도된 위상이라고 하자.
서로 다른 x, y∈X와 ε=d (x, y )에 대하여
U=B (x, ε ) , V=B (y, ε )
이라고 하자. 그러면 U , V는 서로소인 개집합이고
x∈U , y∈V이므로 (X, ℑ)는 T 1 -공간이다.
이제 E , F가 서로소인 두 폐집합이고 x∈E라고 하자.
그러면 양수 ε x가 존재하여 B (x, ε x )∩F=φ이다.
∵ 만약 임의의 양수 ε에 대하여 B (x, ε )∩F /=φ라
고 하면 x는 F의 집적점이 된다. F는 폐집합이므로
모든 집적점을 포함한다. 따라서 x∈F가 되는데 이는
모순이다.
또한 양수 δ y가 존재하여 B (x, δ y )∩E=φ이다.
U= ∪x∈EB (x, 12 ε x ) , V= ∪y∈F B (y,
12δ y )
라고 하면 U , V는 서로소인 개집합이다.
∵ 만약 z∈U∩V라고 하면 a∈E , b∈F가 존재하여
z∈B (a, 12 ε a )∩B (b,12δ b )
이고 d (a, b ) < (ε a+δ b)/2이다. 이것은
a∈B (b, 12 δ b ) 또는 b∈B (a,12ε a )
를 의미하므로 모순이다. 따라서 U∩V=φ이다.
그리고 정의에 의하여 E⊆U , F⊆V이다. 즉 X는 정
규공간이다. 따라서 X는 T 4 -공간이다.
33. 위상공간 X , Y에 대하여 f :X → Y가 연속이고 X
가 연결이면 Z= f (X )도 연결임을 보여라.
[풀이 ] f가 연속이므로 치역을 Z로 축소한 함수
g :X → Z
도 연속이며 전사이다. Z가 연결이 아니라고 가정하자.
그러면 공집합이 아니고 서로소인 개집합 A , B가 존재
하여 Z=A∪B , A∩Z /=φ , B∩Z /=φ가 된다. 그러므
로 g-1(A) , g -1(B)는 X에서의 개집합이고
g-1(A)∩g-1(B)= g-1(A∩B)=g-1(φ)=φ
가 되어 서로소이다. 또한 g가 전사이므로 g-1(A)와
g-1(B)는 공집합이 아니다. 왜냐하면, g-1(A)=φ라
고 가정하면 A= g(g-1(A))=g(φ)=φ가 되어 모순
이기 때문이다. 그리고
X=g-1(Z )=g-1(A∪B)=g-1(A)∪g-1(B)
가 되므로 X는 불연결공간이 된다. 이것은 모순이다.
따라서 Z는 연결공간이다.
34. X가 공집합이 아닌 두 개집합 C , D에 의하여 분할
된다고 하자. 만약 Y가 X의 연결부분집합이면 Y는
C와 D 중 어느 한쪽에 완전히 포함됨을 보여라.
[풀이 ] C와 D가 X에서 개집합이므로 두 집합
C 1=C∩Y , D 1=D∩Y
은 Y에서 개집합이고 서로소이다. 또한
C 1∪D 1=Y
가 된다. 만약 C 1과 D 1이 모두 공집합이 아니라고 가
정하면 Y는 연결집합이 아니게 되므로 모순이다. 따라
서 C 1과 D 1 중 하나는 공집합이다.
C 1이 공집합이면 Y=D 1이므로 Y⊆D이다.
D 1이 공집합이면 Y=C 1이므로 Y⊆C이다.
따라서 Y는 C , D 중 한쪽에 완전히 포함된다.
35. 위상공간 X의 부분공간 A가 연결공간이면 A도 연
결공간임을 증명하여라.
[풀이 ] A가 연결이 아니라고 가정하자. 그러면 공집합
이 아니고 서로소인 두 개집합 C , D가 존재하여
A=C∪D (#)
이다. 그런데 A⊆A이고 A가 연결이므로 A⊆C이거
나 또는 A⊆D이다. 일반성을 잃지 않고 A⊆C라고 하
자. 여기서 C⊆Dc이고 Dc는 폐집합이므로 A⊆Dc이
다. 그런데 (#)이 성립하므로 A⊆C이다. 이로써 D=φ
가 되어 모순이다. 따라서 A는 연결이다.
36. 위상공간 X , Y에 대하여 f :X →Y가 연속이고 X
가 컴팩트이면 f (X )도 컴팩트임을 보여라.
[풀이 ] C={Uj | j∈J }가 f (X )의 개덮개라고 하자.
그러면 f가 연속이므로 f -1(Uj )는 X에서 개집합이고
X= f-1(f (X ))⊆f
-1(∪j∈JUj )= ∪j∈Jf-1(Uj )
이므로 { f-1(Uj ) | j∈J }는 X의 개덮개가 된다. X가
컴팩트이므로 유한부분덮개 {f-1(Ui ) | 1≦ i≦n }이 존
재한다. 그러면 임의의 x∈X에 대하여 적당한 i가 존
재하여 x∈f -1(Ui )이고 f (x) ∈Ui이다. 따라서
f (X )⊆∪n
i=1Ui
이므로 {Ui | 1≦ i≦n }은 f (X )의 유한부분덮개가 된
다. 따라서 f (X )는 컴팩트이다.
- 73 -
37. 위상공간 X가 T 2 -공간이고, X의 부분집합 Y가 컴
팩트이면 S는 폐집합임을 증명하여라.
[풀이 ] Y=X이면 Y는 명백히 컴팩트이다.
이제 Y /=X이고 x 0∈X∖Y라고 하자. 그러면 Y의
각 점 y에 대하여 x 0 /= y이므로 서로소인 x 0의 근방
U x 0와 y의 근방 Vy가 존재한다. 여기서
{Vy |y∈Y }
는 X에서의 개집합에 의한 Y의 덮개가 된다. Y가 컴
팩트이므로 유한부분덮개 {V y 1, V y 2, …, V yn}이 존재
한다. 이 때 각 V yi에 대응하여 V yi∩U yi=φ가 되는
x 0의 근방 Y yi를 택하면
V=V y 1∪V y 2∪…∪V yn
은 개집합이며 Y를 포함하므로 Y의 근방이 된다. 또
U=U y 1∩U y 2∩…∩U yn
은 개집합이며 x 0를 포함하므로 x 0의 근방이 된다. 여
기서 U , V는 서로소이므로
x 0∈U⊆X∖Y
가 되어 X∖Y는 개집합이고 Y는 폐집합이다.
38. 다음 두 도형이 위상동형인지 밝히고 그 이유를 설명하
시오.
[풀이 ] 왼쪽 도형은, 도형 위에 있지 않은 서로 다른 임
의의 두 점에 대하여 적당한 곡선으로 도형을 지나지 않
게 이을 수 있다.
그러나 오른쪽 도형은 점 P와 Q를 잇는 임의의 곡선이
도형을 지난다. 따라서 왼쪽 도형은 평면을 분할하지 않
지만 오른쪽 도형은 평면을 분할하므로 두 도형은 위상
동형이 아니다.
39. 다음 두 도형이 위상동형인지 밝히고 그 이유를 설명하
시오.
[풀이 ] 두 도형이 위상동형이라고 가정하자. 그리고 아
래 그림과 같이 점 P를 택하자.
그러면 점 P에 대응되는, 오른쪽 도형의 점이 존재한다.
그런데 점 P를 제거하면 왼쪽 도형은 네 개의 도형으로
분할되지만, 오른쪽 도형은 어떤 점을 제거해도 네 개의
도형으로 분할되지 않는다. 따라서 두 도형은 위상동형이
아니다.
- 74 -
선형대수학 | Linear Algebra
1. 임의의 정사각행렬 A는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로
표현될 수 있음을 증명하여라.
[풀이 ] 행렬 A에 대하여
B=12(A+At ) , C=
12(A-At )
라고 하자. 그러면
Bt=12(A+A
t)t=12{At+(At) t }
=12(At+A)=B ,
Ct=12(A-A)
t=12{At-(At) t }
=12(At-A)=-C
이므로 B는 대칭행렬이고 C는 교대행렬이다. 또한
B+C=12(A+At)+
12(A-At)=A
이므로 A는 대칭행렬 B와 교대행렬 C의 합으로 표현
된다.
2. 크라메르 공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.
{3x+2y+4z=12x-y+z=0x+2y+3z=1
[풀이 ] 주어진 연립방정식을 행렬로 표현하면
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
3 2 42 -1 11 2 3
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
xyz
ꀍ
ꀙ
︳︳︳=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
101
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. 따라서 크라메르 공식에 의하여 다음을 얻는다.
x=
︳
︳
︳︳︳
1 2 40 -1 11 2 3
︳
︳
︳︳︳
︳
︳
︳︳︳
3 2 42 -1 11 2 3
︳
︳
︳︳︳
=-15
, y=
︳
︳
︳︳︳
3 1 42 0 11 1 3
︳
︳
︳︳︳
︳
︳
︳︳︳
3 2 42 -1 11 2 3
︳
︳
︳︳︳
=0 ,
z=
︳
︳
︳︳︳
3 2 12 -1 01 2 1
︳
︳
︳︳︳
︳
︳
︳︳︳
3 2 42 -1 11 2 3
︳
︳
︳︳︳
=25
.
3. 정사각행렬 A=( a bc d )가 가역이기 위한 필요충분조건은 ad-bc /=0임을 보여라.
[풀이 ] 먼저 ad-bc /=0라고 가정하자.
A'=1
ad-bc (d -b
-c a )라고 두면 AA'= I가 되어 A는 가역행렬이다.
이제 A가 가역행렬이라고 가정하자.
만약 결론에 반하여 ad-bc=0이라면
B=( d -b-c a )
에 대하여
BA=( d -b-c a )(
a bc d )= (
0 00 0 )
이 된다. 그런데
B=B(AA-1)=(BA)A-1=OA-1=O
이므로 a= b= c= d=0이 된다. 따라서 A=O이다.
이것은 O=OA-1=AA-1= I라는 사실에 모순이다.
따라서 ad= bc /=0이다.
4. 벡터공간 V에 대하여 U , W를 V의 부분공간이라고
하자. V=U+W일 때 임의의 v∈V에 대하여
v=u+w ( u∈U, w∈W )
로 유일하게 표현될 필요충분조건은 U∩W={0 }임을
증명하여라.
[풀이 ] 먼저 임의의 v∈V가 v=u+w로 유일하게 표
현된다고 가정하자. 그리고 v∈U∩W라고 하자.
먼저 v∈U이므로 0∈W에 대하여 v= v+0이다. 또한
v∈W이므로 0∈U에 대하여 v=0+v이다. 따라서
표현의 유일성에 의하여 v=0+0=0이다.
역으로 U∩W={0 }라고 가정하자. 그리고 v∈V에 대
하여 u 1, u 2∈U , w 1, w 2∈W이 존재하여
v=u 1+w 1 , v=u 2+w 2
라고 하자. 그러면 u 1+w 1=u 2+w 2이므로
u 1-u 2=w 2-w 1∈U∩W={0 }
가 되어 u 1=u 2 , w 1=w 2가 된다. 따라서 U , W의
원소의 일차결합으로 v를 표현하는 형태는 유일하다.
5. 벡터공간 V가 함수 f :ℝ→ℝ 전체집합일 때 세 벡터
f ( t )= sin t , g( t )= cos t , h( t )= t
가 V에서 일차독립임을 보여라.
[풀이 ] 세 실수 a , b , c에 대하여
af+bg+ch=0
이라고 하자. 이것을 다시 쓰면
a sin t+b cos t+c t=0 (1)
이다. 양변을 두 번 미분하면
-a sin t-b cos t=0 (2)
이 된다.
- 75 -
다시 또 미분하면
-a cos t+bsin t=0 (3)
을 얻는다. (2) × sin t+ (3) × cos t를 정리하면 a=0을
얻는다. 이것을 (2)에 대입하면 bcos t=0인데 이것은 t
에 대한 항등식이므로 b=0을 얻는다. a= b=0을 다
시 (1)에 대입하면 c=0을 얻는다.
따라서 f , g , h는 일차독립이다.
6. 벡터공간 V가 함수 f :ℝ→ℝ 전체집합일 때
W={f∈V | f (7)= f (1) }
이 V의 부분공간임을 보여라.
[풀이 ] 임의의 f, g∈W와 임의의 a, b∈ℝ에 대하여
f (7)= f (1) , g (7)= g (1)
이 성립한다. 따라서
(af+bg )(7)=af (7)+bg(7)= af (1)+b g (1)
=(af+bg )(1)
이 성립하므로 af+bg∈W이다.
따라서 W는 V의 부분공간이다.
7. 벡터공간 ℝ 4의 부분공간
V={ (x, y, z, w ) |x+y+z+3w=0, x=w }
W=< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1)>
에 대하여 V+W와 V∩W이 기저를 구하여라.
[풀이 ] 먼저 V의 기저를 구하자.
x+y+z+3w=0 , x=w
에서 y+z+4w=0을 얻고, 여기서
y=-z-4w , x=w
이므로 임의의 (x, y, z, w )∈V에 대하여
(x, y, z, w)= (w, -z-4w, z, w)
= z(0, -1, 1, 0)+w(1, -4, 0, 1)
이다. 따라서 { (0, -1, 1, 0), (1, -4, 0, 1)}은 V의
한 기저이다.
이제 V+W의 기저를 구하기 위해 앞서 구한 V의 기
저와 W의 기저의 합집합의 일차독립성을 판별하자.
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
1 -4 0 10 -1 1 01 1 0 00 0 1 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳∼
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
1 -4 0 10 -1 1 00 0 1 -10 0 0 4
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
이므로
β={ (1, -4, 0, 1), (0, -1, 1, 0),
(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1) }
의 원소는 일차독립이다. 따라서 β는 은 V+W의 한
기저이다.
끝으로 V∩W의 기저를 구하자. 임의의 v∈V∩W에
대하여 v∈W이므로
v= s (1, 1, 0, 0)+t (0, 0, 1, -1)=(s, s, t, - t )
이다. 또한 v∈V이므로
s+s+ t-3t=0 , s=- t
가 되어 t=0 , s=0을 얻는다.
따라서 v=(0, 0, 0, 0)이 되고 V∩W={0 }인 공간
이 된다. 따라서 공간 V∩W의 기저는 없다.
8. 실수집합 ℝ 위의 벡터공간 V에서 벡터
u 1 , u 2 , … , ur , v 1 , v 2 , … , v s
가 일차독립일 때
<u 1, u 2, …, ur>∩<v 1, v 2, …, v s>={0 }
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 W=<u 1, …, ur>∩<v 1, …, v s>라고 하
면 자명하게 W ⊇{0 }이다.
이제 v∈W라고 하자. 그러면 실수 c i들과 di들이 존재
하여
v= c 1u 1+c 2u 2+…+crur ,
v= d 1v 1+d 2v 2+…+dsv s
를 만족한다. 이 둘을 연립하면
c 1u 1+…+crur+(-d 1 )v 1+…+(-ds)v s=0
을 얻는다. 여기서 ui들과 v i들이 일차독립이므로
c 1= c 2=…= cr= d 1= d 2=…=ds=0
을 얻는다.
따라서 v=0으로서 v∈{0 }이므로 W⊆{0 }을 얻는다.
이로써 W={0 }임을 증명하 다.
9. 일차독립인 벡터 u , v , w에 대하여 다음 세 벡터
u+v-2w , u-v-w , u+w
의 일차독립성을 판별하여라.
[풀이 ] V=<u, v, w>라고 하면 {u, v, w }는 V의
생성원이 된다. 여기서
v 1=1u+1v+(-2)w ,
v 2=1u+(-1)v+(-1)w ,
v 3=1u+0v+1w
라고 하자. 행렬
A=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 1 -21 -1 -11 0 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
에 대하여 det(A)=-5 /=0이므로 A의 행공간의 차
원은 3이다. 따라서 V가 3차원이므로 {u, v, w }는
일차독립이다.
- 76 -
10. 다음 연립방정식의 해공간의 차원을 구하여라.
{2x 1+2x 2-x 3+x 5=0-x 1-x 2+2x 3-3x 4+x 5=0x 1+x 2-2x 3-x 5=0x 3+x 4+x 5=0
[풀이 ] 주어진 연립방정식을 AX=0이라 하면
A=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
2 2 -1 0 1-1 -1 2 -3 11 1 -2 0 -10 0 1 1 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
이다. 여기서
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
2 2 -1 0 1-1 -1 2 -3 11 1 -2 0 -10 0 1 1 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳∼
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 -2 0 -10 0 1 1 10 0 0 -3 00 0 0 0 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
이므로 rank(A)=3이다. 따라서 AX=0의 해공간의
차원은 5- rank(A)=2이다.
11. 벡터공간 V , W와 선형사상 T :V→ W에 대하여
dimV= dim ( imT )+ dim ( kerT )
임을 증명하여라.
[풀이 ] 선형사상 T는 준동형사상이고 V , W는 덧셈에
대한 가환군이므로 제 1 동형정리에 의하여
V/kerT≅ imT
이다. 따라서 dim (V/kerT )= dim ( imT )이고 또한
dim (V/kerT )= dimV- dim ( kerT )
이므로 두 등식으로부터
dimV= dim ( imT )+ dim ( kerT )
을 얻는다.
12. 이차 정사각행렬의 선형공간 V에서 선형사상 T가
T(A)=At+A
로 정의되었을 때 T의 공간과 차원을 구하여라.
[풀이 ] 행렬 A=( a bc d )에 대하여
At+A=( 2a b+cb+c 2d )
이다. 따라서 공간은
kerT={A∈V |T(A)=0 }
={ ( a bc d ) | 2a=0, b+c=0, 2d=0 } ={ ( 0 -cc 0 ) | c∈ℝ } ={c( 0 -11 0 ) | c∈ℝ }이고 { ( 0 -11 0 ) }는 kerT의 한 기저이다.
따라서 dim ( kerT )=1이다.
13. 두 벡터공간 V와 W가 n차원 실벡터공간이라고 하자.
선형사상 L :V → W에 대하여 kerL={0 }이면 L은
동형사상임을 보여라.
[풀이 ] L이 전단사임을 보이자.
u, v∈V에 대하여 L(u)=L(v)라고 가정하자. 그러면
L(u-v)=L(u)-L(v)=0
이므로 u-v∈kerL={0 }이어서 u-v=0이다. 따라
서 L은 단사이다. 또한 dim ( kerL)=0이므로
dimV= dim ( ImL )+ dim ( kerL )= dim ( ImL )
이고 dim ( ImL )=n= dimW이므로 L은 전사이다.
따라서 L은 전단사이므로 동형사상이다.
14. 벡터공간 ℝ 3의 기저 S={v 1, v 2, v 3 }에 대하여
v 1= (1, 2, 1) , v 2= (0, 1, 2) , v 3= (0, 2, -1)
일 때 S에 관한 벡터 v=(4, -1, 3)의 좌표벡터를
구하여라.
[풀이 ] [v ]S=(a, b, c)라고 하면
v=av 1+bv 2+cv 3
이므로 다음 연립방정식을 얻는다.
{a=42a+b+2c=-1a+2b-c=3
이것을 풀면 a=4 , b=-115
, c=-175를 얻는다.
따라서 [v ]S=(4, - 115 , -175 )이다.
[다른 풀이 ] ℝ 3의 표준 기저 {e 1, e 2, e 3 }를 S에 대
응시키는 선형변환 T의 표현행렬을 구하면
T=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 0 02 1 21 2 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. 여기서 T의 역행렬을 구하면
T-1=15
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
5 0 0-4 1 2-3 2 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. [v ]S=(a, b, c)라고 하면
T(v)=T(a, b, c)=aT(e 1)+aT(e 2)+aT(e 3)
=av 1+bv 2+cv 3
=(4, -1, 3)
이므로
(a, b, c)=T-1(4, -1, 3)=15(4, -11, -17)
이다. 따라서 [v ]S=(4, - 115 , -175 )이다.
- 77 -
15. 벡터공간 ℝ 3의 표준기저 {e 1, e 2, e 3 }를 차례대로
(3, 1, -1) , (-1, -1, 2) , (0, 1, -1)
에 대응시키는 선형변환 T에 대하여 kerT의 차원을
구하여라.
[풀이 ] ImT={T(e 1), T(e 2), T(e 3) }이므로
dim ( ImT )= rankꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
T(e 1)T(e 2)T(e 3)
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳= rank
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
3 1 -1-1 -1 20 1 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
= rankꀌ
ꀘ
︳︳︳
3 1 -10 -2 50 0 3
ꀍ
ꀙ
︳︳︳=3
이다. 그런데
dimV= dim ( ImT )+ dim ( kerT )
이므로 dim ( kerT )=3-3=0이다.
[다른 풀이 ] T가 선형사상이므로 다음이 성립한다.
T(x, y, z)=T(xe 1+ye 2+ze 3)
= x(3, 1, -1)+y(-1, -1, 2)+z(0, 1, -1)
=(3x-y, x-y+z, -x+2y-z) .
그런데 kerT={ (x, y, z) |T (x, y, z)= (0, 0, 0) }이
므로 kerT의 차원은
{3x-y=0x-y+z=0-x+2y-z=0
을 만족하는 일차독립인 벡터의 개수이다. 이 연립방정식
을 풀면 x= y= z=0이므로
dim ( kerT )= dim {0 }=0
을 얻는다.
16. 벡터공간 V를 2차 이하의 다항식들의 집합이고 선형
사상 T가 T (P (x))= xP'(x)로 정의되었다고 하자.
벡터공간 V의 두 기저
B={x 2, x, 1 } , E={1, 1+x, 1+x+x 2 }
에 대하여 행렬 [T ]BB와 [T ]EE를 구하여라.
[풀이 ] 먼저 [T ]BB를 구하자.
T(x 2)=2x 2+0x+0⋅1 ,
T(x)=0x 2+1x+0⋅1 ,
T(1)=0x 2+0x+0⋅1
이므로 [T ]BB=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
2 0 00 1 00 0 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳이다.
(2) 다음으로 [T ]EE를 구하자.
T(1)=0⋅1+0(1+x)+0(1+x 2) ,
T(1+x)= (-1)⋅1+1(1+x)+0(1+x+x 2) ,
T(1+x+x 2)= (-1)⋅1+(-1)(1+x)
+2(1+x+x 2)
이므로 [T]EE=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
0 -1 -10 1 -10 0 2
ꀍ
ꀙ
︳︳︳이다.
17. 벡터공간 V의 두 기저
E={e 1, e 2, e 3, e 4 } , F={ f 1, f 2, f 3, f 4 }
에 대하여
f 1= e 1-2e 2+e 3+e 4 , f 2= e 1+e 3-3e 4 ,
f 3= e 3+5e 4 , f 4= e 4
의 관계가 성립한다. 선형사상 T가 V 위에서
T(e 1)=2e 1-3e 2+e 3 , T(e 2)=4e 1-5e 4 ,
T(e 3)= e 1+4e 3 , T(e 4)=5e 1+e 2-e 4
를 만족할 때 [T ]FE를 구하여라.
[풀이 ] 기저 E의 원소를 순서대로 기저 F의 원소에
대응시키는 추이행렬 P를 구하면
P=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
1 1 0 0-2 0 0 01 1 1 01 -3 5 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
이다. 또한 선형사상 T의 표현행렬 [T ]EE를 구하면 다
음과 같다.
[T ]EE=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
2 4 1 5-3 0 0 11 0 4 00 -5 0 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
따라서
[T ]FF=P-1[T ]EEP=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
0 -10 26 5-2 -23 57 117 37 -79 -10
-32 -246 535 107
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
을 얻는다.
18. 선형사상 T :M 2(ℝ) →ℝ3가
T ( a bc d )= (a+c, b-c, a-b+2c )로 정의되었을 때 T의 상과 핵의 차원을 구하여라.
[풀이 ] M 2(ℝ)의 표준기저
B={ ( 1 00 0 ), (0 10 0 ), (
0 01 0 ), (
0 00 1 ) }
와 ℝ 3의 표준기저
E={ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }
에 대하여, B와 E에 관한 T의 행렬은
[T ]=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 0 1 00 1 -1 01 -1 2 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. 따라서 dim ( ImT )= rank[T ]=2이다. 또한
dim ( kerT )= dimM 2(ℝ)- rank[T ]=2
을 얻는다.
- 78 -
19. 두 행렬 A , B이 닮음일 때, 즉 가역행렬 P가 존재하
여 P-1AP=B일 때, 두 행렬의 고유치와 고유벡터는
서로 같음을 증명하여라.
[풀이 ] | λI-B |= |λP-1IP-P-1AP |
=|P-1(λI-A)P |= |P-1|| λI-A ||P |
=|P-1||P || λI-A |= |λI-A |
이므로 A와 B의 고유다항식이 일치한다. 따라서 두 행
렬의 고유치와 고유벡터도 각각 같다.
20. 행렬 A=( 1 23 2 )의 고유다항식, 고유치, 고유공간, 고
유벡터, 각 고유치에 대한 대수적․기하적 중복도를 구하
여라.
[풀이 ] A의 고유다항식은
p( t )= det( tI-A)= ( t+1)( t-4)
이므로 A의 고유치는 -1 , 4이고 각각의 대수적 중복
도는 1이다.
먼저 1에 대응되는 A의 고유공간은
ker (-I-A)= { ( xy ) |y=-x }=< (1
-1 )>이고 -1에 대응되는 A의 고유벡터는 (1, -1)이다.
또한 -1의 기하적 중복도는
dim ( ker (-I-A))=1
이다. 다음으로 4에 대응되는 A의 고유공간은
ker (4I-A)= { ( xy ) |y=32x }=< ( 23 )>
이고 4에 대응되는 A의 고유벡터는 (2, 3)이다.
또한 4의 기하적 중복도는
dim ( ker (3I-A))=1
이다.
21. 다음 행렬 A의 최소다항식을 구하여라.
A=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
2 -1 30 -1 00 0 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
[풀이 ] A의 고유다항식을 구하면
p(λ)= |λI-A |= (λ-2)(λ+1)2
이다. 여기서
p 1(λ)=(λ-2)(λ+1) ,
p 2(λ)=(λ-2)(λ+1)2
이라고 두면 케일리-헤 턴의 정리에 의하여
p 2(A)= 0 , p 2(A)=0
이다. 만약 p 1(A)= 0이면 A /=-I , A /=2I가 되므로
p 1(λ)가 행렬 A의 최소다항식이 된다. 또한
p 1(A)= (A-2I )(A+ I )
=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
0 -1 30 -3 00 0 -3
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
3 -1 30 0 00 0 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
0 0 00 0 00 0 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이므로 A의 최소다항식은 (λ-2)(λ+1)이다.
22. 다음 주어진 행렬 A의 고유치를 구하고 대수적 중복
도와 기하적 중복도를 구하여라.
A=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
-1 0 00 0 -11 1 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
[풀이 ] 행렬 A의 고유치를 λ라고 하면
| λI-A |=︳
︳
︳︳︳
λ+1 0 00 λ 1
-1 -1 λ
︳
︳
︳︳︳
=(λ+1)(λ+ i )(λ- i )=0
이므고 고유치는 -1 , i , - i이고 이들의 위수는 1이
다. 그러므로 이들 고유치의 대수적 중복도는 1이다.
이들 고유치에 해당하는 고유벡터를 구하자.
먼저 λ=-1일 때
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
0 0 00 -1 1
-1 -1 -1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳
x 1x 2x 3
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳=0
을 풀면 x 1=-2 , x 2= x 3=1이므로 고유벡터는
v 1=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
-211
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. 같은 방법으로 i , - i에 대한 고유벡터를 구하면
v 2=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
01- i
ꀍ
ꀙ
︳︳︳, v 3=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
01i
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다. 각 고유치에 대한 고유공간은 일차독립인 벡터 한
개씩으로 구성되므로 기학적 중복도는 각각 1이다.
23. 행렬 A=( 1 23 2 )에 대하여 A10을 구하여라.
[풀이 ] 먼저 A를 대각화하자. A의 고유치는
λ1=-1 , λ2=4
이다. λ 1=-1에 대하여
( 1 23 2 )(xy )= (-1) (
xy ) ⇔ x+y=0
⇔ ( xy )= x (1
-1 )이므로 -1에 대응되는 A의 고유벡터는 ( 1
-1 )이다.
또한 λ2=4에 대하여 다음이 성립한다.
( 1 23 2 )(xy )=4(
xy ) ⇔ 3x-2y=0
⇔ ( xy )=12x ( 23 ) .
- 79 -
따라서 4에 대응되는 A의 고유벡터는 ( 23 )이다.
이제 A의 대각화행렬 P를 구하면
P=( 1 2-1 3 )
이고 A를 대각화하면
P-1AP=(-1 00 4 )
이다. 여기서
P-1A10P=(P
-1AP)
10= ( (-1)
10 00 410 )
이므로
A10=P ( (-1)
10 00 410 )P
-1
을 얻는다.
24. 서로 다른 고유치와 고유벡터의 일차독립 n차원 벡터
공간 V 위의 선형변환 T가 서로 다른 고유치 λ i들을
가지면 이에 대응하는 고유벡터 v i들은 서로 일차독립임
을 보여라.
[풀이 ] 수학적 귀납법으로 증명하자.
n=1일 때 고유벡터 v 1은 아닌 벡터이므로 일차독
립이다. 이제 n= k일 때 고유벡터 v 1 , …, vk가 일차
독립이라고 가정하자. 일차결합에 의한 등식
a 1v 1+a 2v 2+…+akv k=0 (1)
의 양변에 λk+1을 곱하면
a 1λ k+1v 1+a 2λ k+1v 2+…+akλ k+1v k=0 (2)
를 얻는다. 또한 선형변환 T에 대하여
T (a 1v 1+a 2v 2+…+akvk=0)=T (0) ,
a 1T(v 1)+a 2T(v 2)+…+ak+1T(vk+1)=0
이므로
a 1λ 1v 1+a 2λ 2v 2+…+ak+1λ k+1v k+1=0 (3)
을 얻는다. (2)- (3)을 계산하여 정리하면
a 1(λ k+1-λ1)v 1+…+ak(λ k+1-λ k)vk=0
이고 각 λ i가 서로 다르며 v 1 , v 2 , … , vk가 일차독립
이므로 a 1= a 2=…= ak=0이다. 이를 (1)에 대입하면
ak+1vk+1=0이므로 ak+1=0을 얻는다.
따라서 a 1= a 2=…=ak+1=0이므로 n= k+1일 때
v 1 , v 2 , … , vk+1도 일차독립이다.
따라서 수학적 귀납법에 의하여 증명이 완료되었다.
25. 다음 행렬 A의 대각화행렬 P를 구하고 P-1AP를
구하여라.
A=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
2 1 11 2 11 1 2
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
[풀이 ] A의 고유다항식을 구하면
p ( t )= det( tI-A)= ( t-1)2 (t-4)
이다. 따라서 A의 고유치는 1 , 4이고 1의 대수적 중
복도는 2 , 4의 대수적 중복도는 1이다.
ker (A-I )=<ꀌ
ꀘ
︳︳︳
10
-1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳,ꀌ
ꀘ
︳︳︳
01
-1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳>이므로 1의 기하적 중복도는 2이다. 또한
ker (A-4I )=<ꀌ
ꀘ
︳︳︳
111
ꀍ
ꀙ
︳︳︳>이므로 4의 기하적 중복도는 1이다. 각 고유치의 기하
적 중복도와 대수적 중복도가 각각 같으므로 A는 대각
화 가능이다. 대각화행렬 P를 구하면
P=ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 0 10 1 1
-1 -1 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이고 P-1AP를 구하면
P-1AP=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳
1 0 00 1 00 0 4
ꀍ
ꀙ
︳︳︳
이다.
26. 내적공간 V의 두 벡터 u , v에 대하여 두 부등식
|u⋅v |≦|u | |v | , |u+v |≦|u |+|v |
이 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 |u⋅v |≦|u | |v |이 성립함을 증명하자.
만약 u=0 또는 v=0이라면 당연히 부등식이 성립한
다. 이제 u /=0 , v /=0이라고 하자. 임의의 실수 k에
대하여
0≦ (u-kv)⋅(u-kv)= |u | 2-2k(u⋅v)+k 2|v |
이다. 이 부등식이 임의의 k에 대하여 성립하려면, 위
식의 우변이 만드는 k에 관한 2차식의 판별식 D에 대
하여 D≦0을 만족해야 하므로
(u⋅v)2-|u |
2|v |
2≦0
이다. 따라서 |u⋅v |≦|u | |v |이고 a= kb일 때 등호가
성립한다. 또한
|u+v | 2= (u+v)⋅(u+v)= |u | 2+2(u⋅v)+|v | 2
≦|u | 2+2 |u | |v |+|v | 2= (|u |+|v |) 2
이므로 |u+v |≦|u |+|v |가 성립한다.
- 80 -
27. 다음과 같은 ℝ 4의 한 기저 {w 1, w 2, w 3, w 4 }로부터
정규직교기저를 구하여라.
w 1= (0, 2, 1, 0) , w 2= (1, -1, 0, 0) ,
w 3= (1, 2, 0, -1) , w 4= (1, 0, 0, 1)
[풀이 ] 그람 슈미트 직교화 과정을 이용하자.
먼저 직교기저를 구하면 다음과 같다.
v 1=w 1= (0, 2, 1, 0) ,
v 2=w 2- projw 2v 1=15(5, -1, 2, 0) ,
v 3=w 3- projw 3v 2- projw 3v 1=12(1, 1, -2, -2) ,
v 4=w 4- projw 4v 3- projw 4v 2- projw 4v 1
=445(1, 1, -2, 3) .
여기서 구한 직교기저 {v 1, v 2, v 3, v 4 }를 정규화한 기
저 {e 1, e 2, e 3, e 4 }의 원소를 나열하면 다음과 같다.
e 1=v 1|v 1|
= (0, 25 ,15, 0) ,
e 2=v 2|v 2|
= ( 530 ,-130,230, 0) ,
e 3=v 3|v 3|
= ( 110 ,110,-210,-210 ) ,
e 4=v 4|v 4|
= ( 115 ,115,-215,315 ) .
28. 실내적공간 V의 두 벡터 u , v에 대하여 |u |= |v |를
만족하면 u-v , u+v가 서로 수직임을 보여라.
[풀이 ] 내적의 성질에 의하여 다음 등식을 얻는다.
(u-v)⋅(u+v)=u⋅u+u⋅v-v⋅u-v⋅v
=u⋅u-v⋅v=|u | 2-|v | 2=0 .
따라서 u-v와 u+v는 서로 수직이다.
29. ℝ 2의 임의의 두 벡터 (x 1, x 2) , (y 1, y 2)에 대하여
< (x 1, x 2), (y 1, y 2) >= x 1y 1+x 2y 2
로 정의된 < , >는 ℝ 2상에서 내적이 됨을 증명하여라.
[풀이 ] 임의의 x, y, z∈ℝ 2에 대하여
x=(x 1, x 2) , y=(y 1, y 2) , z=(z 1, z 2)
으로 표현하자. 그리고 α가 임의의 실수라고 하자.
이제 < , >가 내적의 조건을 만족하는지 살펴보자.
(ⅰ) < x, y>= x 1y 1+x 2y 2= y 1x 1+y 2x 2= < y, x > .
(ⅱ) < x, y+z>= x 1(y 1+z 1)+x 2(y 2+z 2)
= x 1y 1+x 1z 1+x 2y 2+x 2z 2
=< x, y>+< x, z> .
(ⅲ) < αx, y>=ax 1y 1+ax 2y 2=α< x, y > .
(ⅳ) < x, x>= x21+x22≧0 ,
< x, x>= x21+x22=0 ⇔ (x 1, x 2)= (0, 0) .
따라서 < , >는 내적이다.
30. 벡터공간 V의 부분집합 E={v 1, …, vn }가 상호수직
이면 E는 일차독립임을 보여라.
[풀이 ] 스칼라 c i들에 대하여
c 1v 1+c 2 v 2+…+cnvn=0
이라고 하자. 그러면 임의의 i에 대하여
0 = v i⋅0 = v 1⋅ (c 1v 1+…+cnvn )
= c 1(v i⋅v 1)+…+c i (v i⋅vn)
= c i |v i |2
이다. 그런데 |v i |2 /=0이므로 c i=0이다. 따라서
c 1= c 2=…= cn=0
이므로 E는 일차독립이다.
- 81 -
복소해석학 | Complex Analysis
1. 임의의 복소수 a , b에 대하여 |a+b |≦|a |+|b |가
성립함을 증명하여라.
[풀이 ] |a+b | 2= (a+b) (a+b)= (a+b)( a+ b)
=|a | 2+|b | 2+ab+ ab=|a | 2+|b | 2+ab+ ab
=|a | 2+| b | 2+2Re(ab)≦|a | 2+|b | 2+2 |ab |
=|a | 2+|b | 2+2 |a ||b |= ( |a |+|b |) 2
이므로 |a+b | 2≦ ( | a |+|b |) 2이고 양변이 모두 음이
아닌 실수이므로 |a+b |≦|a |+|b |를 얻는다.
2. 다음 복소수의 주치(principal value)를 구하여라.
[ e2 (-1- 3 i )]3π i
[풀이 ] 지수함수와 로그함수의 정의를 이용하여 주어진
수를 변형하면 다음과 같다.
[ e2 (-1- 3 i )]3π i
= exp [ log { e2 (-1- 3 i )}3π i
] = exp [3π i log { e2 (-1- 3 i )}] .그런데 여기서
{ e2 (-1- 3 i )}= e exp { i (- 23 π+2kπ)}이므로
log { e2 (-1- 3 i )}= loge exp { i (- 23 π+2kπ)} =1+ i (- 23 π+2kπ )이다. 이로써
3π i log [ e2 (-1- 3i )]=3π i {1+ i (- 23 π+2kπ )} =3π i+2π2 ( k=0 )
이므로 다음을 얻는다.
[ e2 (-1- 3 i )]3π i
=e3πi+2π2
=-e2π2 .
따라서 주어진 복소수의 주치는 -e 2π2
이다.
3. 복소수 z와 컴팩트집합 A에 대하여 ρ :ℂ→ℝ를
ρ(z)= min {|x-z | |x∈A }
으로 정의하면 ρ는 평등연속임을 보여라.
[풀이 ] A가 컴팩트이므로 두 복소수 z 1 , z 2에 대하여
|z 1-z*1|=ρ(z 1) , |z 2-z
*2|=ρ(z 2)
인 두 점 z*1 , z*2가 A에 존재한다. 또한
ρ(z 1)= |z 1-z*1|≦ |z 1-z
*2|
가 성립한다.
따라서
| ρ(z 1)-ρ(z 2) |= | | z 1-z*1 |-| z 2-z
*2 | |
≦ | | z 1-z*2 |-| z 2-z
*2 | |
≦| (z 1-z*2)-(z 2-z
*2) |
=| z 1-z 2 |
이므로 다음을 얻는다.
| ρ(z 1)-ρ(z 2) |≦ | z 1-z 2 | (#)
이제 임의의 복소수 z 1 , z 2과 양수 ε이 주어졌다고 하
자. 그리고 0 < δ≦ε인 δ에 대하여 | z 1-z 2 | < δ라고
가정하자. 그러면 (#)에 의하여
| ρ(z 1)-ρ(z 2) |≦ | z 1-z 2 | < δ≦ε
이므로 | ρ(z 1)-ρ(z 2) | < ε이다. 따라서 ρ는 복소평면
전체에서 평등연속이다.
4. 다음과 같이 정의된 함수 f가 원점에서 극한값이 존재
하는지 밝혀라. 여기서 x , y는 실수이다.
f (x+ iy )= {x 2-3y 2
x 2+y 2+ i
4xy
x 2+y 2, x+ iy=0
0 , x+ iy /=0
[풀이 ] 원점에서 극한값이 존재한다고 가정하자. 그러면
원점에 이르는 경로에 관계없이 극한값이 일정하다.
경로 y=mx (단, m은 실수)에 대하여 원점에서 극한
을 구하면
limz→0f (z)= lim
x→0{x2(1-3m
2)
x2(1+m
2)+ i
x24m
x2(1+m
2) }
=1-3m
2
1+m2 + i
4m
1+m2
인데 이 값은 상수가 아니므로 가정에 모순이다. 따라서
주어진 복소함수는 0에서 극한값이 존재하지 않는다.
5. 복소함수 f가 개연결집합 D에서 해석적이고 | f (z) |가
상수함수이면 f (z)는 상수함수임을 보여라.
[풀이 ] 상수 c가 존재하여 | f (z) |≡c라고 하자.
만약 c=0이라면 당연히 f (z) ≡0이 되어 f (z)는 상
수함수가 된다.
이제 c > 0이라고 하자. f (z)=u(x, y )+ iv(x, y )에
대하여
{u (x, y )} 2+{v (x, y )} 2= c 2
가 성립한다. 양변을 x , y에 대하여 미분하면
uux+vvx=0 , uuy+vv y=0
을 얻는다. 여기서 코시-리만 방정식에 의하여
uux-vuy=0 , uuy+vux=0
을 얻는다.
- 82 -
여기서 uy를 소거하면
0=(u2+v
2)ux= c
2ux
이므로 ux=0이다. 같은 방법으로 uy= v x= v y=0을
얻는다. 따라서 f (z)=u+ iv는 상수함수이다.
6. 두 함수 u :ℝ 2→ℝ , v :ℝ 2→ℝ에 대하여
f (x+ iy)=u(x, y )+ iv(x, y )
로 정의된 복소함수 f가 해석적인 점에서
∂u∂x=∂v∂y
, ∂v∂x=-
∂u∂y
을 만족함을 증명하여라.
[풀이 ] f가 점 z에서 해석적이라고 하자. 해석적인 함
수는 미분 가능하므로 f는 z에서 미분 가능하며 따라서
일정한 편미분계수를 가진다.
먼저 실수축에서 f의 편도함수를 구하면
f '(x+ iy)= limh→0
u(x+h, y )-u (x, y )h
+ i limh→0
v (x+h, y )-v (x, y )h
=∂u∂x+ i∂v∂x=∂f∂x
이며 다음으로 허수축에서 f의 편도함수를 구하면
f '(x+ iy)= limh→0
u(x, y+h )-u (x, y )h
+ i limh→0
v (x, y+h )-v (x, y )h
=- i ( ∂u∂y + i∂v∂y )=- i
∂f∂y
이다. 이 때
f '(z)=∂u∂x+ i∂v∂x=- i
∂u∂y+∂v∂y
가 성립하므로 실부와 허부를 비교하면
∂u∂x=∂v∂y
, ∂v∂x=-
∂u∂y
을 얻는다.
7. 코시-리만 방정식이 함수 f가 한 점에서 미분가능하기
위한 충분조건은 아님을 보여라.
[풀이 ] 실수 x , y에 대하여
f (x+ iy )= {xy
x2+y
2 , z /=0
0 , z=0
라고 정의하자. 그러면
u (x, y )=xy
x2+y
2, v (x, y )=0
은 각각 f의 실부와 허부이다. 따라서
ux(0, 0)=uy(0, 0)= vx(0, 0)= vy(0, 0)=0
으로서 코시-리만 방정식을 만족한다.
이제 경로 h=m+ im을 택하여 m→ 0이라고 하면
f (0+h)-f (0)h
=f (m+ im)-f (0)
m+ im
=1
2(1+ i )m → ∞
이므로 f는 0에서 미분 불가능하다.
따라서 코시-리만 방정식은 한 점에서 미분가능하기 위
한 충분조건이 아니다.
8. 복소함수 f (x+ iy )=u (x, y )+ i v (x, y )가 해석적인
역에서 uxx+uyy=0 , vxx+v yy=0을 만족함을 보이
시오. 여기서 x , y는 실수이다.
[풀이 ] 먼저 f의 도함수를 구하면
f '(z)= f x(z)=- i f y(z)
로 표현된다. 각 편도함수를 다시 편미분하면
f ( 2)(z)=∂∂x (
∂f∂x )=
∂2f
∂x 2
f( 2)(z)=- i
∂∂y (- i
∂f∂y )=-
∂2f
∂y 2
이므로
∂2f
∂x 2+∂2f
∂y 2=0
을 얻는다. 이것을 실부와 허부를 분리하면
∂2u
∂x 2+∂2u
∂y 2=0 ,
∂2v
∂x 2+∂2v
∂y 2=0
을 얻는다.
9. 다음 조화함수의 조화공액을 구하여라.
u= Argz (-π < Arg z < π )
[풀이 ] 실수 x , y에 대하여 z= x+ iy라고 하면
u=Argz= tan -1yx
이다. 따라서 코시-리만 방정식에 의하여
ux=-y
x2+y
2 = vy , uy=x
x2+y
2 =-vx (#)
이다. vy를 y에 관하여 적분하면
v=-12log (x
2+y
2)+C (x)
이고 이것을 다시 x에 관하여 미분하면
vx=-x
x2+y
2 +C'(x)
이므로 (#)에 의하여 C'(x)=0이고 C'(x)=c이다.
따라서
v=-12log (x
2+y
2)+c =- log|z |+c
를 얻는다.
- 83 -
10. 다음 주어진 점 c를 중심으로 f (z)=5z-2z(z-1)
의 로
랑급수를 전개하시오.
(1) c=0 (2) c=1
[풀이 ] (1) f (z)=5z-2z(z-1)
=2-5zz
11-z
=( 2z -5)(1+z+z2+… )
=2z-3-3z-3z 2-… .
(2) f (z)=5(z-1)+3z-1
11-(1-z)
=(5+ 3z-1 ){1+(1-z)+(1-z)
2+(1-z) 3+… }
=3(z-1)-1+2-2(z-1)+2(z-1)2
-2(z-1)3+-… .
11. 다음의 특이점을 구하고 이를 분류하여라.
(1) f (z)=sinzz
(2) g (z)=1
z 2
(3) h (z)=cosz
z2sinz
[풀이 ] (1) limz→0
sinzz=1이므로 0은 f의 제거 가능한
특이점이다.
(2) limz→0|g (z) |=∞이고 lim
z→0(z-0)
2g (z)=1 /=0이
므로 0은 g의 위수 2인 극이다.
(3) limz→0|h (z) |=∞이고 lim
z→0z3g (z)=1이므로
0은 h의 위수 3인 극이다.
12. 다음 함수의 주어진 c를 중심으로 하는 로랑 전개를
구하시오. (단 |z-c | < 1 )
(1) 1
z(z+3)2, c=0
(2) sinzz-π
, c=π
[풀이 ] (1) 기하급수를 이용하여 다음을 얻는다.
1
z(z+3)2 =
1
z⋅32(1+z/3)
2 =1
9z(1+z/3)2
=19z (
11+z/3 )
2
=19z {1- z3 + z
2
3 2-z 3
3 3+-…}
2
=19z {1-
23z+13z 2-
427z 3+-…}
=19z-227+127z-
4243z2+…
(2) sinz의 정의에 의하여 다음을 얻는다.
sinzz-π
=- sin (z-π)z-π
=-1z-π {
(z-π)1!
-(z-π)
3
3!+(z-π)
5
5!-+…}
=-1+(z-π)
2
3!-(z-π)
4
5!+(z-π)
6
7!-+…
13. 단극 z 0 , |z 0|= 1을 제외한 원판 |z | <R (R > 1 )에
서 f가 해석적일 때 전개식
f (z)=a 0+a 1z+a 2z2+…
에서 limn→∞(
anan+1 )= z 0임을 보이시오.
[풀이 ] 주어진 함수 f (z)=∑znzn은 1 < | z-z 0 | <R
에서 해석적이다. f가 z 0에서 단극을 가지므로
g (z)= f (z)-αz-z 0
로 정의된 g는 z= z 0에서 해석적으로 표현된다.
f (n)(z)=α(-1)n n!
(z-z 0 )n+1 +g
(n)(z) ,
f (n+1)(z)=α(-1)n+1 (n+1)!
(z-z 0 )n+2 +g (n+1)(z)
이므로
f (n)(0)=-αn!
zn+10
+g(n)(0) ,
f (n+1)(0)=-α (n+1)!
zn+20
+g(n+1)
(0)
이다. 따라서
limn→∞
anan+1
= limn→∞
f (n)(0)n!
f(n+1)
(0)(n+1)!
= limn→∞
(n+1)!n!
-αn!
zn+10
+g(n)(0)
-α(n+1)!
zn+20
+g (n+1)(0)
= limn→∞
{-αn!z 0+g(n)(0)z
n+20 }(n+1)!
{-α(n+1)!+g(n+1)
(0)zn+20 }n!
= limn→∞
-αz 0+g (n)(0)zn+20
n!
-α+g(n+1)
(0)zn+20
(n+1)!
=-αz 0-α
= z 0
14. 급수 ζ(z)= ∑∞
n=1
1
nz가 수렴하도록 하는 z의 범위를
구하여라.
[풀이 ] 복소수 z= x+ i y , x, y∈ℝ에 대하여 nz의
크기를 구하면 |nz |=nx이다.
- 84 -
따라서
∑∞
n=1|1
nz |= ∑∞
n=1
1
nx
이다. p -급수 판정법에 의하여 x > 1일 때에만 수렴하므
로 Re(z) > 1인 범위에서만 ζ(z)는 수렴한다.
15. 다음 주어진 무한급수가 평등수렴함을 보여라.
∑∞
n= 1
z2+!
nz+ 1
( 0 < ε≦ Re z≦R <∞ )
[풀이 ] 먼저 z= x+ iy에 대하여
| nz+1 |=| e ( z+1) logn |=| e ( x+ iy+1) logn |
=| e ( x+1) logn+ iy logn |
=| e ( x+1) logn || e iy logn |
=| e ( x+1) logn |=n ( x+1)≧n ε+1
이므로
| z2+1
nz+1 |≦ |z |
2+1
|nz+1|≦x2+y
2+1
nε+1 ≕Mn
이다. 따라서
∑∞
n=1|z2+1
nz+1 |≦ (x 2+y 2+1) ∑
∞
n=1
1
nε+1 = ∑
∞
n=1Mn
이고 ε+1 > 1이므로 p -급수 판정법에 의해 위의 오른
쪽 급수는 수렴한다.
따라서 바이에르슈트라스 M -판정법에 의하여 주어진 급
수는 평등수렴한다.
16. 복소함수 f가 단순연결 D에서 해석적이고 C가
D 내에 있는 단일폐곡선일 때 ⌠⌡Cf (z)dz=0임을 증명
하여라.
[풀이 ] 실수 x , y에 대하여
f (x+ iy )=u (x, y )+i v(x, y )
라고 하자. C의 내부와 경계를 포함하는 역을 E라고
하면 그린 정리에 의하여
⌠⌡Cf (z)dz=⌠⌡C
(u+iv)(dx+idy)
=⌠⌡C(u dx-vdy)+i⌠⌡C
(vdx+udy)
=⌠⌡⌠⌡E(-vx-uy)dxdy+i
⌠⌡⌠⌡E(ux-vy )dxdy
을 만족한다.
이 때 코시-리만의 방정식에 의해 위 적분은
⌠⌡⌠⌡E(-vx-(-vx))dxdy+i
⌠⌡⌠⌡E(ux-ux)dxdy
=⌠⌡⌠⌡E0dxdy+i⌠⌡
⌠⌡E0dxdy=0
으로 계산된다.
17. 복소평면상의 곡선 C가 z( t ) , a≦ t ≦b에 의하여 매
개화되고 C를 포함하는 역 D에서 f가 연속이라고
하자. 만약 F'(z) ≡ f (z)이면
⌠⌡Cf (z)dz=F (z(b))-F (z(a))
임을 증명하여라.
[풀이 ] 선적분의 정의에 의하여
⌠⌡Cf (z) dz=⌠⌡
b
af (z( t ))z'( t )dt
=⌠⌡
b
aF'(z ( t ))z'( t )dt
=⌠⌡
b
a
ddtF (z( t ))dt
=F (z(b))-F (z(a))
가 성립한다.
18. 복소평면의 한 역 D에서 연속인 함수 f가 D 내의
임의의 단일폐곡선 C에 대하여 ⌠⌡Cf (z)dz=0을 만족
하고 f ( i )=-3i일 때 다음 복소선적분값을 구하시오.
⌠⌡|z |=2
f (z)(z-i )
dz
[풀이 ] 모레라의 정리에 의하여 f는 |z |≦2에서 해석
적이다. 따라서 코시 적분공식을 이용하면
⌠⌡|z | =2
f (z)(z-i )
dz=2π i f ( i )=2π i f ( i )=6π
를 얻는다.
19. 곡선 C가 z( t )= (3cos t, 3sin t ) , (-π≦ t≦π)로
표현될 때 다음 물음에 답하여라.
(1) 곡선 C의 길이를 구하여라.
(2) 함수 f (z)=z
z에 대하여 ⌠
⌡Cf (z) dz를 구하여라.
(3) 함수 f (z)= z 2에 대하여 ⌠⌡Cf (z) dz를 구하여라.
(4) 함수 f (z)=1
z 2+13에 대하여 |⌠⌡C f (z) dz |이 유
계임을 보여라.
[풀이 ] (1) 정의에 의하여 곡선 C의 길이는
⌠⌡
b
ax '( t )
2+y '( t )
2dt=⌠⌡
b
a|z'( t ) |dt
=⌠⌡
π
-π3dt=6π .
(2) 곡선 C는 z=3e it으로 표현되고
z=3e- i t , dz=3ie itdt , f (z)=9e 2it
이므로
⌠⌡Cz
zdz=⌠⌡
2π
03e
3iti dt=e
3it |2π
0
=0 .
(3) dz=3ie itdt , z 2=9e 2it이므로
⌠⌡Cz2dz=⌠⌡
π
-π27e
2itieitdt=0 .
- 85 -
(4) 단일폐곡선 C : |z |=3에 대하여
|⌠⌡Cf (z)dz |≦⌠⌡C
1
13-|z |2 |dz |=
14⋅6π=
32π .
20. 선적분 ⌠⌡|z | = 2
(x2+7)e
2x
(z-3)(z+1)2 dz의 값을 구하여라.
[풀이 ] f (z)=(x 2+7)e 2x
z-3이라고 하면
⌠⌡|z | =2
(x2+7)e
2x
(z-3)(z+1)2 dz=
⌠⌡|z | =2
f (z)
(z+1)2 dz
이고 f는 |x |=2와 그 내부에서 해석적이다. 또한
f '(z)={2ze 2z+(z 2+7)2e 2z }(z-3)=(z 2+7)e 3z
(z-3)2
이므로 코시 적분공식에 의하여
⌠⌡|z |=2
f (z)
(z+1)2dz=⌠⌡|z | =2
f (z)
(z-(-1))2dz
=2π i f '(-1)=8πi
e 2.
21. 복소함수 f가 원 C : |z-z 0|= r를 포함하는 단순연
결 역 D에서 해석적이고 실수 M이 존재하여 z∈C
에 대하여 | f (z) |≦M가 성립할 때 다음 부등식을 증명
하여라.
| f(n)(z 0 ) |≦
n!M
rn
( n∈ℕ )
[풀이 ] 코시 적분공식에 의하여 다음이 성립한다.
| f(n)(z 0 ) |= |
n!2πi⌠⌡C
f (z)
(z-z 0 )n+1 dz |
≦n!2π⌠⌡C
M
|z-z 0|n+1 |dz |
=n!2π
M
rn+1 2πi=
Mn!
rn
22. 복소평면에서 해석적인 다항함수 f가
| f (z) |≦Mr 6 ( |z |≧ r > r 0 > 0)
을 만족하고 세 개의 중복도 2인 점 i , 3i , 5i를 갖
는 모닉 다항식으로 정의된다. 이 때 다음 복소 선적분값
을 구하여라.
⌠⌡|z | =2
1f (z)
dz
[풀이 ] 코시 부등식에 의하여
| f (n)(z 0 ) |≦n!Mr 6
rn, n∈ℕ
이므로 f (z)=anxn+an-1x
n-1+…+a 0에 대하여
|an |= | f(n)(z 0 )
n! |≦ M
rn-6
이다. 만약 n-6 > 0이면 limr→∞|an |= 0이다.
따라서 an /=0이면 n≦6이므로 f (z)는 6차 이하의
다항식이다. 그런데 f (z)는 중복도가 2인 세 개의 점
을 가지므로
f (z)= (z- i )2(z-3i )
2(z-5i )
2
이다. 따라서
1f (z)
=1
(z- i ) 2(z-3i ) 2(z-5i ) 2
은 |z |=2의 내부에서 z= i일 때 위수 2인 극점을 가
진다. 여기서
g(z) =1
(z-3i )2(z-5i )
2
는 |z |=2와 그 내부에서 해석적이므로 코시 적분공식
에 의하여
⌠⌡|z | =2
1f (z)
dz=⌠⌡|z | =2g (z)
(z-i )2 dz=2πig'(i )
이고
g'( i )=-4z+16i
(z-3i )3(z-5i )
3 |z= i
=-3i128
이므로
⌠⌡|z | =2
1f (z)
dz=364π .
23. 복소평면 전체에서 유계인 정함수는 상수함수임을 증명
하여라.
[풀이 ] 임의의 z∈ℂ에 대하여 | f (z) | <M이라고 하
자. 그리고 a가 임의로 주어진 복소수, r이 임의로 주
어진 양수라고 하자.
곡선 |z-a |= r의 경계와 내부를 포함하는 역을 D
라고 하면 f는 D에서 해석적이므로 코시 부등식에 의
하여
| f '(a) |≦Mr
이 성립한다. 여기서 r은 임의의 양수이므로
| f '(a) |=0
이다. 그런데 a가 임의의 복소수이므로
f '(z) ≡0
이다. 따라서 f는 상수함수이다.
24. 정함수 f가 임의의 z∈ℂ에 대하여 | f (z) |≦|ez |를
만족하면 적당한 상수 c가 존재하여 f (z) ≡cez임을
증명하여라.
[풀이 ] g (z)=f (z)
ez라고 하면 g (z)는 유계이고 정함
수이다. 따라서 루빌의 정리에 의하여 g (z)는 상수함수
이다. g (z) ≡c라고 하면 f (z) ≡cez가 된다.
- 86 -
25. 정함수 f가 임의의 z∈C에 대하여
f (z)= f (z+2)= f (z+ i )
를 만족하고 f (0)= i라고 한다. 이 때, f (1+ i )의 값
을 구하여라.
[풀이 ] 먼저 주어진 함수 f는 직사각형 역
D={x+ iy | 0≦x≦2, 0≦y≦1 }
에서 해석적이므로 유계이다. 여기서 | f(z) |의 D에서의
상계를 M이라고 하자.
임의의 x+ iy , ( x, y∈ℝ )에 대하여 정수 m , n이 존
재하여
0≦x+2m≦2 , 0≦y+n≦1
이므로 (x+2m)+ i(y+n) ∈D이므로
| f (x+ iy ) |= | f (x+2m+ iy) |
=| f (x+2m+ i(y+n)) |≦M
이다. 따라서 f는 복소평면 전체에서 유계이므로 루빌의
정리에 의하여 f는 상수함수이다. 그런데 f (0)= i이므
로 f (z) ≡ i이다. 따라서 f (1+ i )= i이다.
26. P (z)= z 10+10z 3-100의 점은 모두 1 < | z | < 2에
존재함을 증명하여라.
[풀이 ] (ⅰ) 먼저 모든 점이 |z | < 2에 존재함을 보이
자. f (z)= z 10 , g (z)=10z 3-100이라고 하면 |z |=2
인 임의의 z에 대하여
|g (z) |≦10 |z |3+100=180 < 2
10= |z |
10= | f (z) |
이다. 따라서 로시의 정리에 의하여 |z | < 2에서 P (z)
의 점의 수는 f (z)의 점의 수인 10과 같다.
대수학의 기본정리에 의하여 P (z)의 점의 개수는 10
이하이므로 P (z)의 모든 점은 |z | < 2에 존재한다.
(ⅱ) |z | < 1에 점이 존재하지 않음을 보이자.
f (z)=-100 , g (z)= z 10+10z 3
이라고 하면 |z |=1인 임의의 z에 대하여
|g (z) |≦|z | 10+10 |z | 3= 11 < 100= | f (z) |
이다. 따라서 로시의 정리에 의하여 |z | < 1에서 P (z)
의 점의 수는 f (z)의 점의 수인 0과 같다.
따라서 |z | < 1에서 P (z)의 점은 존재하지 않는다.
(ⅲ) 끝으로 |z |=1에는 점이 존재하지 않음을 보이
자. 만약 |z 0|= 1인 z 0가 존재하여 P (z 0 )=0이라고
가정하면
0= |z1000 +10z30-10 |≧100-|z
100 +10z
30|
≧100-(|z 0 |10+10 |z 0|
3 )
=100-(1+10)=89
이므로 모순이다. 이로써 (ⅰ)∼(ⅲ)에 의하여 P(z)의
점은 모두 1 < |z | < 2에 존재한다.
27. 임의의 계수 ak를 갖는 z의 대수방정식
p (z)=anzn+…+a 0=0 (n≧1, an /=0)
은 복소수의 범위에서 적어도 한 개의 해를 가짐을 증명
하여라.
[풀이 ] 다항식 p(z)가 n차이므로 충분히 큰 R에 대하
여 anRn > an-1R
n-1+…+a 0가 성립한다. 따라서
f (z)=anzn , g (z)=an-1z
n-1+…+a 0
는 |z |≦R에서 해석적이고 |z |=R일 때
|g (z) | < | f (z) |
를 만족한다. 그런데 |z | <R에서 f (z)= anzn은 점
을 가지므로 로시의 정리에 의하여 p (z)도 적어도 하나
의 점을 가진다.
[다른 풀이 ] p (z)=0을 만족하는 복소수 z가 존재하
지 않는다고 하자. 그러면
g (z)=1p (z)
는 정함수이고 limz→∞g (z)=0이므로 유계이다.
따라서 루빌의 정리에 의하여 g(z)는 상수함수이고 또
한 p (z)도 상수함수가 된다. 이것은 p(z)의 조건에 의
하여 모순이다.
28. 다음 특이적분값을 구하여라.
⌠⌡
∞
-∞
1
1+x 6dx
[풀이 ] f (z)=1
1+z 6이라고 하면 f는 z 6=-1일 때
극점을 갖는다. 따라서
z=ei ( π6 + π3 k) , 1≦k≦6
에서 극점을 갖는다. 이들 중에서 상반평면에 있는 것은
z 1=eπ6i, z 2=e
π2i, z 3=e
56π
이고 이들은 모두 단극이다.
각 극에서 f의 유수를 구하면
Res[f, z 1]=16 (-
32+12i ) ,
Res[f, z 2]=-16i ,
Res[f, z 3]=16 (
32-12i )
이므로
⌠⌡
∞
-∞
1
1+x6 dx=2πi∑
3
k=1Res[f, xk]=
23π .
- 87 -
29. 복소선적분 ⌠⌡|z | =
52
ez2
π cotπzdz의 값을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 복소함수는
f (z)= ez2
πcosπzsinπz
이고 sinπz=0일 때 극점을 가지므로
z=0 , z= ±1 , z= ±2
에서 단극을 갖는다. 각 극점에서 유수를 구하면
Res[f, 0]=ez
2
πcosπzπcosπz |
z= 0=1 ,
Res[ f, ±1]=e z
2
π cosπzπcosπz |
z= ±1= e ,
Res[ f, ±2]=e z
2
π cosπzπcosπz |
z= ±2= e
4
이므로 유수의 정리에 의하여
⌠⌡|z | =
52
f (z) dz=2π i (1+2e+2e 4)
를 얻는다.
30. 특이적분 P.V.⌠⌡
∞
-∞
x
x3-8
dx의 값을 구하여라.
[풀이 ] f (z)=z
z3-8
이라 두고 분모를 인수분해하면
f (z)=z
(z-2) (z+1+ 3i)(z+1- 3i)
이다. 여기서 2는 x축 위에 있는 극이고 -1+ 3i는
상반복소평면에 있는 극이다. 따라서 유수의 정리에 의하
여 적분을 계산하면 다음과 같다.
⌠⌡
∞
-∞
x
x3-8
dx=2πRes[f, -1+ 3i ]+πRes[f, 2]
=36π .
31. 유수의 정리를 이용하여 다음 적분을 구하여라.
⌠⌡
2π
0
1
1+3cos 2θdθ
[풀이 ] C를 복소평면상에 놓인 양의 방향으로의 단위
원이라고 하자. z=e iθ라고 치환하면
⌠⌡
2π
0
1
1+3cos2θdθ=⌠⌡C
1
1+34 (z+
1z )
21izdz
=⌠⌡C-4 iz
3z 4+10z 2+3dz
=2π i ( Res[f, i3 ]+ Res[f, -i3 ])
=2π i (- i4 -i4 )=π .
32. 세 점 0 , i , - i를 차례대로 1 , -1 , 0에 사상하는
일차분수변환을 구하고 부동점을 구하여라. 또, 등각사상
이 되는 점을 구하여라.
[풀이 ] 먼저 일차분수변환을 구하면
(w-1)(-1-0)(w-0)(-1-1)
=(z-0)( i-(- i ))(z-(- i ))( i-0)
이고 이것을 변형하면
w=i+zi-3z
이다. 여기서 w= z라고 하고 z에 대한 방정식을 풀면
z=i-16+146ei (- π4 + kπ )
이다. 따라서 부동점은
z 1=7+16
(1- i ) , z 2=-7+16
(1- i )
이다. 또한 f (z)=w=i+zi-3z
는 z /=i3에서 해석적이
고 z /=i3이 아닌 임의의 복소수 z에 대하여
f '(z)=4i
( i-3z ) 2/=0
이므로, 주어진 일차분수변화은 z /=i3인 임의의 z에서
등각이다.
- 88 -
미분기하학 | Differential Geometry
1. 유클리드공간 E 3에서 주어진 공간곡선
α(θ )=( cosθ-2, cosθ+2, 2 sinθ ) , 0≦θ < 2π
의 프레네 체계 T , N , B와 κ , τ를 구하고 어떤 종류
의 곡선인지 밝혀라.
[풀이 ] 정칙곡선의 프레네체계에 대한 정리를 활용하자.
α'(θ)= (- sinθ, - sinθ, 2 cosθ) ,
α''(θ)=(- cosθ, - cosθ, - 2 sinθ) ,
α'''(θ)= ( sinθ, sinθ, - 2 cosθ) ,
| α'(θ) |= 2 ,
α'(θ)×α''(θ)= ( 2, -2 2, 0 ) ,
| α'(θ )×α''(θ) |= 2 ,
α'(θ)×α''(θ)⋅α'''(θ)= 0
이므로 다음을 얻는다.
B=α'×α''| α'×α'' |
=12( 2, - 2, 0) ,
T=α'| α' |
=12(- sinθ, - sinθ, 2 cosθ) ,
N=B×T=12(- cosθ, - cosθ, - 2 sinθ) ,
κ=|α'×α'' |
| α' | 3=
22
,
τ=α'×α''⋅α'''
| α'×α'' |2 = 0 .
2. 유클리드공간 E 3에서 주어진 공간곡선
α( t )= (acos t, asin t, bt )
를 단위속력곡선으로 나타내고, 프레네 체계 T , N , B
와 κ , τ를 구하여라.
[풀이 ] α( t )를 t에 대하여 미분하면
α'( t )= (-asin t, acos t, b )
이므로 | α'( t ) |= a2+b
2≕M이다. 따라서 곡선의 길
이는
s ( t )=⌠⌡
t
0|α'( t ) |dt=Mt
이고 역함수를 구하면
t (s )=1Ms
이다. 이것을 이용하여 α의 재매개화를 구하면
β( s)= (acos sM , asinsM,bsM )
이다. 이제 T , N , B , κ , τ를 구하자.
β'( s)=1M(-a sin
sM, acos
sM, b )=T ,
β''(s)=1M (-a cos
sM, -a sin
sM, 0 )=T'
이므로 곡률 κ를 구하면 κ= |T' |=aM이다.
또한 단위법벡터장은
N=T'κ=MaT'=(- cos sM , - sin
sM, 0 )
이다. B= T×N으로부터
B=1M (bsin
sM, -b cos
sM, a )
를 얻는다. 또한 B'=-τN을 이용해 열률을 구하면
B'=1M (bcos
sM, bsin
sM, 0 )
=-bM (- cos sM , - sin
sM, 0 )=-τN
으로부터 τ=bM을 얻는다.
3. 정칙곡선 α가 직선일 필요충분조건은 κ(s) ≡0임을 증
명하여라.
[풀이 ] α가 직선의 매개화 함수라고 하자. 그러면 두
벡터 p , q가 존재하여 α( t )= p+ tq의 형태로 표현된
다. 여기서 α'( t )= q /=0이므로 α( t )의 호장함수는
s( t )=⌠⌡
t
0|q |du=|q |t
이다. 따라서 α( t )의 호장에 의한 재매개화는
β(s)=α(s-1(s))= p+
q|q |s
가 되고 T(s)=β '( s)=q|a |이므로 T'(s) ≡0이다.
따라서 κ( s)= |T'(s) |≡0이다.
역으로 κ(s) ≡0이라고 하면 T'(s) ≡0이 된다.
이로써 T는 상수함수이므로 T (s) ≡a이다.
따라서 α(s)= as+b가 되므로 α는 직선이다.
4. 공간 ℝ 3에서 주어진 곡선
α( t )= (3t- t3, 3t
2, 3t+ t
3)
에 대하여 t=1일 때 접촉평면방정식을 구하여라.
[풀이 ] 먼저 단위종법벡터 b를 구하자. α의 각 미분을
구하면 다음과 같다.
α'( t )= (3-3t 2, 6t, 3+3t 2) ,
α''( t )= (-6t, 6, 6t ) ,
α'( t )×α''( t )= (18t 2-18, -36t, 18t 2+18) ,
| α'( t )×α''( t ) |= 18 2( t 2+1) .
- 89 -
따라서
B( t )=α'( t )×α''( t )| α'( t )×α''( t ) |
=1
2( t 2+1)( t2-1, -2 t, t
2+1)
이다. 여기서
b=B(1)|B(1) |
=12(0, -1, 1)
이다. 벡터 b에 수직이고 α(1)을 지나는 평면의 방정식
을 구하면
0(x-2)-12(y-3)+
12(z-4)=0
이다. 이것을 정리하면 -y+z-1=0이다.
5. 곡률 κ가 양의 상수이고 τ( s) ≡0인 단위속력 정칙곡선
β는 지름이 1κ인 원의 일부임을 증명하여라.
[풀이 ] γ( s) ≔β( s)+1κN( s)라 두고 양변을 미분하면
프레네-세레 방정식에 의하여
γ '(s)=β'( s)+1κN'(s)
=T( s)+1κ(s)
(-κT(s)+τ(s) B(s))
=T(s)-T(s)=0
을 얻는다. 따라서 상수 c∈ℝ 3가 존재하여
γ (s) ≡c
이다. 따라서
|c-β( s) |= | 1κ N (s) |=1κ
이고 κ가 상수이므로 β는 중심이 c인 구면위의 곡선
이다. 그런데 τ( s) ≡0이므로 β는 평면위의 곡선이다.
따라서 β는 원의 일부이다.
6. 곡률이 κ > 0인 단위속력 정칙곡선 β가 평면곡선일 필
요충분조건은 τ(s) ≡0임을 증명하여라.
[풀이 ] 먼저 β가 평면곡선이라고 가정하자. 그러면 두
벡터 p , q가 존재하여
(β(s)-p)⋅q≡ 0
이다. 양변을 미분하여 정리하면
β'(s)⋅q=β''(s)⋅q=0
을 얻는다. 이것은
q⊥β'=T , q⊥β''=κN
을 의미하므로 결국 q와 B는 평행하다. 따라서
B( s)= ±q|q |
이므로 B'(s)=0이고 τ=-B'⋅N=0이 된다.
역으로 τ(s) ≡0이라고 하자. 고정된 c∈ℝ에 대하여
f ( s) ≔ (β( s)-β(c))⋅B(c)
으로 정의하자.
이제 f가 상수함수임을 보이자.
B'(s)=-τ(s)N( s)=0N(s)=0
이므로 B( s)=B(c)이다. 따라서
f '(s)= { (β( s)-β(c))⋅B(c)}'
=(β( s)-β(0))'⋅B(c)+(β( s)-β(0))⋅B'(c)
=β'(s)⋅B(c)=T(s)⋅B(s)=0
이므로 f는 상수함수이다. 또한
f (c)= (β(c)-β(c) )⋅B(c)=0
이므로 f (s) ≡0이다.
그러므로 β는 β(c)를 지나고 B(c)에 수직인 평면에
놓인 곡선이다.
7. 타원 α( t )= (2cos t, sin t, 0) , 0≦ t≦2π의 전곡률을
구하여라.
[풀이 ] α의 호장함수는 s( t )=⌠⌡
t
0 |dαdt |dt이므로
dsdt=| dαdt |= 4cos
2t+ sin
2t
이다. 또한
χ=χ( s( t ))=|α'×α'' |
| α' | 3=
2
(4cos 2t+ sin 2t) 3/2
이다. 따라서 타원 α의 길이를 l이라 하면 전곡률은
⌠⌡
l
0χ(s) ds=⌠⌡
2π
0χ(s ( t ))
dsdtdt
= 4⌠⌡
π/2
0χ( s ( t ))
dsdtdt
= 4⌠⌡
π/2
0
2 4cos 2t+ sin 2t
(4 cos 2t+ sin 2t ) 3/2dt
= 4⌠⌡
π/2
0
2sec2t
1+4tan2tdt
= 4⌠⌡
∞
0
du
1+u2 du ( u≔2tan t )
= 4tan -1u ]∞0 =2π .
8. 집합 S={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2-2x+yz= c }가 곡면이
되기 위한 상수 c의 조건을 구하여라.
[풀이 ] g (x, y, z)= x 2-2x+yz라 할 때 g는 미분
가능다. 또한
dg= gxdx+gydy+gzdz
=2(x-1)dx+zdy+ydz=0
일 필요충분조건은 (x, y, z)= (1, 0, 0)이다.
따라서 S가 곡면이 되려면 (1, 0, 0) /∈S이어야 한다.
즉 -1=g(1, 0, 0) /= c이어야 하므로
c /=-1
이면 S는 곡면이 된다.
- 90 -
9. 상반구면 x(u, v)= (u, v, 1-u 2-v 2) 위의 단위속
력곡선 β( s)= ( sin s, 0, cos s ) , -π2< s <
π2
위의
임의의 점에서 법곡률과 법곡률벡터를 구하여라.
[풀이 ] β'(s)= ( cos s, 0, - sin s ) ,
β''(s)= (- sin s, 0, - cos s ) ,
U=x u×x v| x u×x v |
= (u, v, 1-u 2-v 2)
이므로 점 ( sin s, 0, cos s )에서의 단위법벡터는
U=( sin s, 0, cos s )
이다. 따라서 β의 ( sin s, 0, cos s )에서의 법곡률은
κn=β''(s)⋅U
=(- sin s, 0, - cos s )⋅( sin s, 0, cos s )
=-1
이다. 또한 법곡률벡터는
kn=κnU=(- sin s, 0, - cos s )
이다.
10. 유클리드공간 E 3에서 다음 두 곡선
α( t )= (acos t, asin t, t ) ,
β( t )= (acos t, asin t, - t )
이 합동인지 아닌지 판단하여라.
[풀이 ] 먼저 각 곡선함수를 미분하면
α'( t )= (-a sin t, acos t, 1) ,
β'( t )= (-asin t, acos t, -1)
이다. 속도함수는
v α= |α'( t ) |= a2+1= |β'( t ) |= v β
이므로 v α= v β이다.
이제 두 곡선의 곡률과 열률을 비교하자.
α''( t )= (-acos t, -asin t, 0)=β''( t ) ,
α'''( t )= (asin t, -a cos t, 0)=β'''( t )
이므로
κ α=α'×α''
| α' |3 =
β'×β''
| β' |3 = κβ ,
τ α=α'×α''⋅α'''
| α'×α'' |2 =
β'×β''⋅β'''
| β'×β'' |2 = τ β
이다. 따라서 두 곡선은 합동이다.
11. 유클리드공간 ℝ 3에서 주어진 곡면
S={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2+y 10+z 6=1 }
이 단위구면과 미분동형임을 보이고 전곡률을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 곡면에서 x 2+y 10+z 6=1은
x 2+(y 5 ) 2+(z 3 ) 2=1
로 표현된다.
단위구면
U={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2+y 2+z 2=1 }
위의 임의의 점 (x, y, z )에 대하여 F :U → S를
F (x, y, z)= (x, y 1/5, z 1/3 )
으로 정의하자. 이 때 함수 F는 연속이고 또한 미분 가
능하여 일대일 대응이다. 따라서
F -1(x, y, z)= (x, y 5, z 3 )
도 연속이다. 따라서 F는 미분사상이고 U와 S는 미분
동형이며 전곡률도 같다. 즉
⌠⌡⌠⌡SKdS=⌠⌡
⌠⌡UKdU
이다. 그런데 U의 오일러 표수는 χ(U )=2이다. 따라
서 가우스-보네의 정리에 의하여
⌠⌡⌠⌡UKdU=2πχ(U )=2π⋅2=4π
이다. 따라서 구하는 전곡률은 4π이다.
12. 유클리드공간 E 3에서 구면 S가 곡면임을 보여라.
[풀이 ] 구면 S를
(x 1-c 1)2+(x 2-c 2)
2+(x 3-c 3)
2= r
2
이라고 하자. 이를 음함수꼴로 표현하면
g (x 1, x 2, x 3)= ∑3
i=1(x i-c i )
2= r 2
이다. 여기서 g의 미분을 구하면
dg=∑3
i=12 (x i-c i)
2
이고 x i= c i일 때에만 dg=0이다. 그런데 c i /∈S이므
로 dg /=0이다. 따라서 S는 곡면이다.
13. 곡선 y= f (x) ( a≦x≦b )를 x축 둘레로 회전시킬 때
얻은 곡면의 표면적은
S=2π⌠⌡
b
a| f (x) | f '(x)
2+1dx
임을 증명하여라.
[풀이 ] 곡선 y=f (x)를 x축 둘레로 회전시켜 얻은 곡
선을 좌표조각사상으로 표현하면
X(x, θ)=(x, f (x) cosθ, f (x) sinθ)
가 된다. 이제
|Xx×X θ |= | f (x) | f '(x)2+1
이므로 면적형식은
dS=|Xx×X θ|dxdθ= | f (x) | f '(x)2+1dxdθ
이다. 따라서 주어진 회전곡면의 표면적은
S=⌠⌡⌠⌡SdS=⌠⌡
2π
0
⌠⌡
b
a| f (x) | f '(x) 2+1dxdθ
=2π⌠⌡
b
a| f (x) | f '(x)
2+1dx
이다.
- 91 -
14. 원 x 2+(y-4)2=1을 x축 둘레로 회전시킨 곡면을
S라고 할 때, S 위에서 가우스 곡률 K가 K < 0인 부
분의 면적을 구하여라.
[풀이 ] 곡면 S에서 K < 0인 부분은 최대곡률과 최소곡
률의 부호가 서로 다른 부분으로써
y=4- 1-x2 (-1≦x≦1 )
을 x축으로 회전시킨 입체의 곡면이다.
이 때 곡면의 표면적을 S'라고 하면
S'= 2π⌠⌡
1
-1y y'
2+1dx
= 2π⌠⌡
1
-1(4- 1-x
2)
1
1-x 2dx
= 8π⌠⌡
1
0
1
1-x2dx-4π
= 16π [ sin -1x ]1
0-4π
=8π2-4π .
15. 곡면 z=1-x 2-y 2에서 z≧0인 부분을 S라고 할
때 S 위에서의 면적분 ⌠⌡⌠⌡S
15-4z
dS를 계산하여라.
[풀이 ] 면적소를 구하면
dS= 1+z2x+z
2ydxdy= 1+4x
2+4y
2dxdy
이고 z=1-x 2-y 2 ≧0이므로 x 2+y 2≦1이다.
A={ (x, y ) |x 2+y 2≦1 }
이라고 하면
⌠⌡⌠⌡S
15-4z
dS =⌠⌡⌠⌡A
1+4x2+4y
2
1+4x 2+4y 2dxdy
=⌠⌡⌠⌡A1dxdy
이다. 그런데 A의 넓이는 π이므로
⌠⌡⌠⌡S
15-4z
dS=⌠⌡⌠⌡A1dxdy=π
이다.
16. 단위구면 X가
X(θ, ϕ)= ( cosθ sinϕ, sinθ sinϕ, cosϕ )
으로 정의되어 있다. X 위의 곡선
θ= log cot ( π4 -t2 ) , ϕ=
π2- t , 0≦ t≦
π2
의 상에 대하여 제 1 기본형식을 구하여라.
[풀이 ] X θ= (-snθ sinϕ, cosθ sinϕ, 0) ,
Xϕ=( cosθ cosϕ, sinθ cosϕ, - sinϕ) ,
X θ⋅X θ= sin2ϕ ≕E ,
X θ⋅Xϕ=0 ≔F ,
X ϕ⋅Xϕ=1 ≕G ,
dθdt=
1cos
t , dϕdt=-1
이므로 제 1 기본형식을 I라고 하면
I=E ( dθdt )2
+2F ( dθdt )(dϕdt )+G (
dϕdt )
2
= sin 2ϕ ( 1cos t )
2
+1=cos 2t
cos 2t+1=2
를 얻는다.
17. 곡면 M⊆E 3의 한 점 p와 주곡률 k 1 , k 2 그리고 주
벡터 e 1 , e 2에 대하여, p에서 주벡터 e 1과 단위접벡터
u가 이루는 각이 θ일 때 u방향의 법곡률은
k(u)= k 1cos2θ+k 2sin
2θ
임을 증명하여라.
[풀이 ] 단위벡터 u는 다음과 같이 표현된다.
u=( cosθ)e 1+( sinθ)e 2
이 때 모양연산자 S(u)를 구하면
S(u)=S( ( cosθ)e 1+( sinθ)e 2)
=( cosθ)S(e 1)+( sinθ)S(e 2)
=(k 1cosθ)e 1+(k 2sinθ)e 2
이다. 따라서 다음을 얻는다.
k(u)=S(u)⋅u={ (k 1cosθ)e 1+(k 2sinθ)e 2}
⋅{ ( cosθ)e 1+( sinθ)e 2 }
= k 1cos2θ+k 2sinθ .
18. 곡면 x(u, v )= (u, v, u 2-v 2 ) 위의 점 x(0, 0)에
서의 주곡률 κ1 , κ2와 평균곡률 H , 가우스곡률 K를
구하여라.
[풀이 ] x(0, 0)에서의 기본계수를 구하면
E=1 , F=0 , G=1 , L=2 , M=0 , N=-2
이다. 점 x(0, 0)에서의 법곡률은
κn=III=2(du
2-dv
2)
du2+dv
2
이다. κn은 비 du/db에만 의존하므로 du2+dv 2=1
이라고 가정하여 du= cosθ , db= sinθ라고 두고 정
리하면 κn=2cos2θ를 얻는다.
주곡률은 최대값 κ1=2 , 최소값 κ2=-2이다.
평균곡률은 H=12(κ1+κ2)=0이다.
가우스곡률은 K=κ1κ2=-4이다.
- 92 -
19. 유클리드공간 E 3에서 좌표조각사상 X가
X(u, v)= (u, v, u 2+v 2)
으로 주어졌을 때, X 위의 점 t=1에서 곡선
u= t 2, v= t
의 법곡률을 구하여라.
[풀이 ] 법곡률을 κn이라고 하면 κn=III이다.
Xu=(1, 0, 2u) , Xv=(0, 2, 2v) ,
Xuu=(0, 0, 2) , Xvv=(0, 0, 2) ,
Xuv=(0, 0, 0) , Xu×Xv=(-2u, -2v, 1) ,
|Xu×Xv |= 4u2+4v
2+1 ,
U=1
4u2+4v
2+1(-2u, -2v, 1) ,
E=1+4u 2 , F=4uv , G=1+4v 2 ,
L=2
3u 2+3v 2+1, M=0 ,
N=2
4u2+4v
2+1
.
여기서 t=1일 때 u=1 , v=1이므로
L=23
, M=0 , N=23
이다. du=2tdt , dv=dt이므로 t=1일 때
du=2dt , dv= dt
이다. 따라서
I=5⋅22dt 2+2⋅4⋅2dt 2+5dt 2=41dt 2 ,
II=23⋅2
2dt2+0dt
2+23dt2=103dt2
이므로 κn=III=10123
이다.
20. 쌍곡포물면 M :z= y 2-x 2 위의 점 (0, 0, 0)은 쌍곡
점임을 보여라.
[풀이 ] M의 매개변수표현은
x(u, v)= (u, v, v2-u
2)
이다. 여기서 M의 기본계수를 구하자.
x u(u, v )= (1, 0, -2u) , x v=(u, v)= (0, 1, 2v) ,
x uu(u, v)= (0, 0, -2) , x vv(u, v)= (0, 0, 2) ,
x uv(u, v)= (0, 0, 0) ,
x u×x v=(2u, -2v, 1) .
따라서
U=x u×x v| x u×x v |
=(-2u, -2v, 1)
4u2+4v
2+1
,
L= x uu⋅U=-2
4u 2+4v 2+1,
M= xuv⋅U=0 ,
N= x vv⋅U=2
4u 2+4v 2+1
이므로 LN-M 2=-4
4u 2+4v 2+1< 0이다.
21. 주면 x(u, v)= (ucosv, usinv, u ) 위의 정칙곡선
x(e t/ 2, t )= (e t/ 2cost, e t/ 2sint, e t/ 2 )
의 호의 길이를 구하여라. (단, 0≦ t≦π )
[풀이 ] (u( t ), v ( t ))= (e t/ 2, t )라고 하면
dudt=12et/ 2 , dv
dt=1 ,
x u=( cosv, sinv, 1) ,
x v=(-usinv, ucosv, 0)
이므로 E=2 , F=0 , G=u 2이다. 따라서 호의 길이
를 구하면 다음과 같다.
s=⌠⌡
π
0E ( dudt )
2
+2F ( dudt )(dvdt )+G (
dvdt )
2
dt
=⌠⌡
π
02e t/ 2dt=2(e π/ 2-1) .
22. 함수 x : (0, 2π)×( 0, 2π) →ℝ 3가 x(u, v)
=( (R+rcosu)cosv, (R+rcosu) sinv, rsinu )
으로 정의되어 있을 때 x는 윤환면의 고유조각사상이
다. 윤환면의 면적을 구하여라.
[풀이 ] 윤환면의 제 1 기본계수는
E= r2 , F=0 , G=(R+rcosu) 2
이다. 따라서 W= (0, 2π)×( 0, 2π)에 대하여 x(W )의
면적 A는 다음과 같다.
A=⌠⌡⌠⌡W
EG-F2dudv
=⌠⌡
2π
0
⌠⌡
2π
0r(R+rcosu )dudv=4π
2rR .
23. 곡면 위의 점 P에서 평균곡률이 H일 때
H=1π⌠⌡
π
0kn(θ)dθ
임을 보여라. (단, kn(θ)는 고정된 방향과 각 θ를 이루
는 방향의 법곡률을 나타낸다.)
[풀이 ] 오일러의 정리를 이용하여 계산하자.
1π⌠⌡
π
0kn(θ)dθ=
1π⌠⌡
π
0(k 1cos
2θ+k 2sin
2θ)dθ
=1π⌠⌡
π
0 (k 1⋅1+ cos2θ2
+k 2⋅1- cos2θ2 )dθ
=12π⌠⌡
π
0(k 1+k 2)dθ+
12π⌠⌡
π
0(k 1-k 2)cos2θdθ
=k 1+k 22
+0=H .
24. 반지름이 r인 구면의 가우스 전곡률을 구하여라.
[풀이 ] M=S 2(r)의 전곡률을 구하면 다음과 같다.
⌠⌡⌠⌡MKdM=⌠⌡
⌠⌡M
1
r2 dM=
1
r2 4πr
2=4π .
- 93 -
25. 윤환면 T의 가우스 전곡률을 구하여라.
[풀이 ] T의 매개변수표현은 x(u, v)
=( (R+rcosu) cosv, (R+rcosu)sinv, rsinu )
이다. 여기서 x의 정의역은 D=[-π, π]2이다.
따라서
K( x(u, v))=cosu
r(R+rcosu),
EG-F 2= r (R+rcosu)dudv
이므로 T의 가우스 전곡률은 다음과 같다.
⌠⌡⌠⌡TKdT=⌠⌡
⌠⌡DK ( x(u, v )) EG-F
2dudv
=⌠⌡
π
-π
⌠⌡
π
-πcosududv=0 .
26. 상반구면 x(u, v )= (u, v, 1-u2-v
2) 위의 단위
속력곡선 β(s)= ( sin s, 0, cos s )는 측지선임을 보여라.
(단, -π/2 < s < π/2 )
[풀이 ] β'(s)= ( cos s, 0, - sin s ) ,
β''(s)= (- sin s, 0, - cos s ) ,
U=x u×x v| x u×x v |
= (u, v, 1-u 2-v 2)
이므로 점 ( sin s, 0, cos s )에서의 단위법벡터는
U=( sin s, 0, cos s )
이다. 여기서
κn=β''(s)⋅U
=(- sin s, 0, - cos s )⋅( sin s, 0, cos s )=-1 ,
κ= |β'' |=1
이므로 κ2g=1-1=κ2-κ2n=0이다.
따라서 β는 측지선이다.
27 몽쥬 조각사상 x(u, v)= (u, v, u 2-v 2)으로 주어진
곡면 M 위의 임의속력곡선 α( t )= ( t, 0, t 2)가 측지선
임을 보여라.
[풀이 ] α( t )의 단위속력곡선을 β( s)라고 하면
β'=α'dtds
, β''=α''( dtds )2
+α'd 2t
ds 2,
U(u( t ), v ( t ))=(-2t, 0, 1)
4t2+1
,
α'=(1, 0, 2t ) , α''=(0, 0, 2)
이므로
κ g= U⋅β'×β''= (U×α'×α'')( dsdt )3
= 0
이다. 따라서 α는 측지선이다.
28. 평면 위에서 양의 방향으로 반경 r인 원 위를 움직이
는 곡선 α의 전측지곡률을 구하여라.
[풀이 ] α는 평면곡선이므로 κn≡0이다. 여기서
1
r2 =κ
2=κ
2n+κ
2g=κ
2g
이고 양의 방향이므로 κg=1r을 얻는다. 따라서
⌠⌡ακ g ds=
1r(2πr )=2π
를 얻는다.
29. 곡면 M 위의 임의의 점에서 가우스곡률이 -12일 때,
M 위의 면적이 π인 측지삼각형 T의 세 내각의 합을
구하여라.
[풀이 ] T의 세 내각의 합을 i라고 하면 가우스-보네의
공식에 의하여
i=⌠⌡⌠⌡TKdM+π=⌠⌡
⌠⌡T(-
12 )dM+π
=-12×(M의 면적)+π= π
2.
30. 반지름이 1인 구면위에 북극점 N과 적도를 따라 거리
가 π2
떨어진 적도상의 두 점 A , B로 이루어진 측지
삼각형 T=ABN의 면적을 구하여라.
[풀이 ] 가우스-보네의 공식에서
⌠⌡⌠⌡TKdM=2π-⌠⌡∂T
κgds-(ε1+ε2+ε3)
이다. 여기서
κg=0 , K=1 , ε 1=ε2=ε3=π2
이므로 ABN의 면적은
S=2π-0-( π2 +π2+π2 )=
π2
이다.
31. 반지름이 1인 구면위에 놓여있는 측지정삼각형 T의
면적이 π일 때, 한 내각의 크기를 구하여라.
[풀이 ] 가우스-보네의 공식에 의하여
i 1+i 2+ i 3=⌠⌡⌠⌡TKdM+⌠⌡∂T
κg ds+π
이다. 여기서 κ g=0 , K=1 , i 1= i 2= i 3≕α이므로
3α=⌠⌡⌠⌡T1dM+⌠⌡∂T
0ds+π
=(정삼각형의 면적)+π=2π이다. 따라서 α=
23π이다.
- 94 -
32. 모든 점에서 가우스 곡률이 -1인 곡면이 있다. 이 곡
면위의 세 변이 측지선이고 한 내각이 π6인 정삼각형의
면적을 구하여라.
[풀이 ] 정삼각형을 T라고 하면 임의의 p∈T에서 가
우스곡률은 K(p)=-1이고 측지곡률은 κ g(p)=0이다.
또한 T의 임의의 꼭지점 p에 대하여
ε p=π- i p=π-π6=56π
이므로 가우스-보네의 공식
⌠⌡⌠⌡TKdA+⌠⌡∂T
κgds+∑pε p=2π
를 적용하면, 삼각형의 면적 A에 대하여
-A+0+( 56 π )×3= 2π
를 얻는다. 따라서 A=π2이다.
33. 다음 그림에서 곡면의 가우스 전곡률을 구하여라.
(1)
(2)
(3)
[풀이 ] 그림의 세 도형은 구멍이 3개씩 있다. 구면에 구
멍이 하나씩 늘 때마다 오일러 표수는 2만큼 감소한다.
즉 각 도형의 오일러 표수는
χ=2-2p=2(1-3)=-4
이다. 따라서 가우스-보네의 정리에 의하여 가우스 전곡
률은 2πχ=-8π이다.
- 95 -
확률과 통계 | Probability and Statistics
1. 두 사건 A , B가 독립이면 Ac와 Bc도 독립임을 증명
하여라.
[풀이 ] 두 사건 A , B가 독립이므로
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
가 성립한다. 따라서
P(Ac∩Bc )=P( (A∪B) c )=1-P(A∪B)
=1-{P(A)+P(B)-P(A∩B)}
=1={P(A)+P(B)-P(A)P(B) }
=(1-P(A))(1-P(B))
=P(Ac )P(Bc )
이므로 Ac와 Bc는 독립이다.
2. 학생이 각각 200, 250, 400명인 A , B , C 세 학교의 전
학생을 상대로 설문조사를 하 더니, 세 학교에서 제대로
작성된 설문은 각각 75%, 80%, 85%이었다. 설문을 검토
하다 잘못 작성된 설문이 발견되었을 때, 이 설문이 작성
된 학교가 A일 확률을 구하여라.
[풀이 ] 각 학교에서 작성된 설문의 사건을 A , B , C라
고 하고 잘못 작성된 설문의 사건을 D라고 하자.
P(A)=200850
, P(B)=250850
, P(C)=400850
,
P(D |A)=0.25 , P(D |B)=0.2 , P(D |C)=0.15
이므로 베이즈 정리에 의하여
P(A |D)=P(A∩D)P(D)
=P(A∩D)
P(A∩D)+P(B∩D)+P(C∩D)
=P(A∩D)
P(D |A)P(A)+P(D |B)P(B)+P(D |C)P(C)
=516
이다. 따라서 구하는 확률은 516이다.
3. 세 개의 회사 A , B , C에서 특정한 상품을 전체시장의
각각 40%, 30%, 30%씩 생산하고 있으며 불량률은 각각
5%, 3%, 2%이다. 한 제품을 구입해서 불량품이었을 때,
그것이 B 회사 제품일 확률을 구하여라.
[풀이 ] A , B , C 회사에서 제품을 생산하는 사건을 각
각 α , β , γ라고 하고 불랼품이 발생하는 사건을 D라
고 하면
P(α)=0.4 , P(β)=0.3 , P(γ)=0.3 ,
P(D | α)=0.05 , P(D | β)=0.03 , P(D | γ)=0.02
이다.
따라서 베이즈의 정리에 의하여
P(β |D)=P(β∩D)P(D)
=P(β)P(D | β)
P(α)P(D | α)+P(β)P(D | β)+P(γ)P(D | γ)
=0.3×0.03
0.4×0.05+0.3×0.03+0.3×0.02
=0.0090.035
=935
이다. 따라서 구하는 확률은 935이다.
4. 확률변수 X의 확률 도함수가 다음과 같다.
f (x)= { kx, 0≦x≦60 , x < 0 or x > 6
확률 P (1≦X≦3 )의 값을 구하여라.
[풀이 ] 확률 도함수의 조건으로부터
⌠⌡
∞
-∞f (x)dx=⌠⌡
6
0kxdx=18k=1
이므로 k=118을 얻는다. 따라서
P (1≦X≦3) =⌠⌡
3
1
118xdx=
29
이므로 구하는 확률은 29이다.
5. 확률변수 X의 확률 도함수 f (x)가
f (x)= { ke-2x (x≧0)
0 (x < 0)
으로 정의되었을 때 k의 값을 정하고 기대값 E (X )와
분산 V (X )를 구하여라.
[풀이 ] 확률 도함수의 성질에 의하여
⌠⌡
∞
-∞f (x) dx=⌠⌡
∞
0ke-2xdx=
k2=1
이므로 k=2를 얻는다. 따라서
E (X )=⌠⌡
∞
-∞xf (x) dx=⌠⌡
∞
02xe
-2xdx=
12
이므로 기대값은 12이다. 또한
E (X2)=⌠⌡
∞
0x2f (x)dx=⌠⌡
∞
0x2⋅2e
-2xdx=
12
이므로
V(X )=E (X2)-[E(X )]
2=14
이다. 따라서 분산은 14이다.
- 96 -
6. 세 확률변수 X 1 , X 2 , X 3가 폐구간 [0, 2]에서
f (x)= {12x (0 ≦x≦2)
0 otherwise
으로 정의된 확률 도함수를 따른다. 이 때 확률변수
Y= max {X 1, X 2, X 3 }
의 확률 도함수를 구하여라.
[풀이 ] 확률변수 Y의 누적분포함수를 구하면
F (y)=P(Y≦y )
=P(X 1≦y, X 2≦y, X 3≦y )
=P(X 1≦y )3
이다. 그런데 0 < y≦2일 때
P (X 1≦y )3= (⌠⌡
y
0
12x dx )
3
=164y 6
이고 2 < y일 때 P(X 1≦y )3=1이므로 Y의 확률 도
함수는
g (y )=F'(y )= {0 (y≦0)332y 5 (0 < y≦2)
0 (2 < y )
이다.
7. 확률변수 X와 상수 a , b에 대하여
V(aX+b)= a 2V(X )
가 성립함을 증명하여라.
[풀이 ] V(X )=E(X 2)-[E(X )] 2이므로
V (aX+b )=E [ (aX+b) 2 ]= [E (aX+b) ] 2
=E (a 2X 2+2abX+b 2)-[aE(X )+b] 2
= a 2E (X 2 )+2abE(X )+b 2
-a 2 [E(X )] 2-2abE(X )-b 2
= a 2[ (E (X 2 )-E (X )] 2=a 2V(X )
가 성립한다.
8. 이산확률변수 X , Y의 결합확률분포표가 다음과 같다.
yx 0 1 2 f 1(x)
0 1/6 1/6 1/6 1/2
1 1/12 1/3 1/12 1/2
f 2(x) 1/4 1/2 1/4
(1) 조건부확률 f (X=0 |Y=1)을 구하여라.
(2) 조건부기대값 E (X |Y=1)을 구하여라.
(3) 공분산 Cov(X, Y )를 구하여라.
(4) 상관계수 ρ(X, Y )를 구하여라.
(5) 확률변수 X , Y의 독립성 여부를 말하여라.
[풀이 ] (1) f (X=0 |Y=1)=f (0, 1)f 2(1)
=13
.
(2) E (X |Y=1)= ∑1
x=0x f (X= x |Y=1)
=0×f (X=0 |Y=1)+1×f (X=1 |Y=1)=23
.
(3) E (XY )=∑x,yxy f (x, y )
=0+0+0+0+13+16=12
,
E (X )=∑xx f 1(x )=
12
,
E (Y )=∑yy f 2(y )=1
이므로 Cov(X, Y )=E(X )E(Y )-E(XY )=0 .
(4) ρX,Y=Cov(X, Y )σ(X )σ(Y )
=0 .
(5) f (1, 2)=112
, f 1(1) f 2(2)=18이므로
f (1, 2) /= f 1(1) f 2(2)이다. 따라서 X , Y는 독립이
아니다.
9. 어떤 약의 치유율은 임상실험결과 80%이다. 환자 400명
에게 이 약을 투여했을 때 치유되는 환자의 수를 확률변
수 X라고 하자. 이 때 3X-1의 기대값을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 확률변수 X는 이항분포를 따른다. 즉
X ∼ B(400, 45 )이다. 이 때 기대값을 구하면
E (X )= 400×45= 320
이다. 따라서
E (3X-1)=3E(X )-1=959
를 얻는다.
10. 종업원이 125명인 회사가 있다. 평균적으로 하루에 종업
원의 결근율은 전체 종업원의 2%정도라고 한다. 확률변
수 X를 결근자의 수라 하고 근사적으로 포아송 분포를
따를 때 다음 물음에 답하시오.
(1) 어떤 날에 결근자가 없을 확률을 구하여라.
(2) 어떤 날에 5명 이상 결근할 확률을 구하여라.
[풀이 ] 확률변수 X가 포아송분포를 따를 때 λ=np라
고 하면 확률질량함수는
f (x | λ)= e-λ λ
x
x!
이다. 확률변수 X는 이항분포를 따를 때
X ∼ B(125, 150 )이므로 λ= 125×
150=52이다.
- 97 -
(1) 조건에서 확률변수 X가 포아송 분포를 따르므로
f (X=0)= e-2.52.5
0
0!= e-2.5=0.0821
이다. 따라서 결근자가 없을 확률은 0.0821이다.
(2) 5명 미만 결근할 확률은
P (X < 5)= e-2.5{ 2.50
0!+2.5
1
1!+…+
2.54
4! } =0.8913
이므로 5명 이상 결근할 확률은
P (X≧5)=1-0.8913=0.1087
이다.
11. 오전 10시에서 11시 사이에 어느 회사의 교환대에서 걸
려오는 전화의 수가 매 분간 평균 3회이다. 이 때 어떠한
1분간 걸려오는 전화의 수가 2회 이하일 확률을 구하여
라.
[풀이 ] 확률변수 X를 1분간 걸려오는 전화의 수라고
하자. 그러면
X ∼ B(6000, 36000 )
이다. 여기서 n이 충분히 크므로 X는 포아송 분포에
근접한다. 여기서 np=3=m이므로 X의 확률 도함
수는
f (x)= e-3 3
x
x!
이 된다. 따라서
P(X≦2)= f (0)+f (1)+f (2)=17
e-3≒0.38
이므로 구하는 확률은 0.38이다.
12. 합격률이 0.2인 절대평가 시험에 400명의 학생이 응
시했을 때 100명 이상 합격할 확률을 구하여라.
[풀이 ] 확률변수 X를 합격자 수라고 하면
X ∼ B(400, 0.2)
이다. 여기서 응시생의 수가 충분히 많으므로
X ∼ N( 400×0.2, 400×0.2×0.8)
로 볼 수 있다. 확률변수 Z를
Z=X-808
이라고 두면 Z ∼ N(0, 1)이 된다. 따라서
P(X≧100)≒P(X≧100)=P(Z≧2.5)=0.006
이므로 구하는 확률은 약 0.006이다.
13. 바구니에 50개의 야구공이 들어 있다. 그 중에서 10개는
야구선수가 직접 사인을 새겨 넣은 공이다. 이 상자에서
10개의 야구공을 임의로 꺼낼 때 사인이 개셔진 야구공
이 1개 이하 나올 확률을 구하여라.
[풀이 ] 확률변수 X를 사인이 새겨진 야구공이 나오는
개수라고 하면 X는 초기하분포를 따른다. 따라서
P(X≦1)=P(X=0)+P(X=1)
=10C1⋅40C9
50C10=
40C10
50C10=13
이므로 구하는 확률은 13이다.
14. 모집정원이 400명인 공무원 임용시험에 5,000명이 응시
하 다. 응시자 전체의 성적분포는 100점 만점에 평균이
55점, 표준편차가 8점인 정규분포를 이루었다. 이 시험에
서 모집정원의 120%를 1차 합격자로 선발하고자 할 때,
1차 합격자의 최저점수를 구하시오.
(단, P(0≦z≦1.3)=0.4040 )
[풀이 ] 1차 합격자의 최저점수를 t라고 하자. 모집정원
의 120%를 1차 합격자로 선발하므로 1차에 합격할 확률
은 4805000
=0.096이다. X를 시험점수라고 하면
X ∼ N(55, 82)
이고 P(X≧ t )=0.096이다.
z=X-mσ
=t-558
이므로 P(z≧ t-558 )=0.096이고P(0≦z≦ t-558 )=0.4040
이다. 그런데 조건에서 P(0≦z≦1.3)=0.4040이므로
t-558
=1.3
이다. 따라서 t=65.4이므로 1차 합격자의 최저점수는
65.4점이다.
15. 여론조사회사에서 특정 후보에 대한 지지율을 조사하기
위해 300명을 임의 추출하여 조사하 더니 75명이 지지
하고 있었다. 후보의 실제의 지지율에 대한 95% 신뢰구
간을 구하여라.
[풀이 ] 1-0.05=P( |Z |≦1.96)이고
p(1- p)n
=0.25(1-0.25)
300=0.025
이다. 여기서
0.25-1.96×0.025= 0.201 ,
0.25+1.96×0.025= 0.299
이므로 실제의 지지율 p는 0.201≦p≦0.299이다.
- 98 -
16. 어느 지방에서 100가구를 대상으로 월 가계 지출액을
조사하 더니 평균 30만원이었다. 모표준편차가 30만원으
로 알려져있을 때 모평균을 95%로 구간추정하여라.
[풀이 ] 모평균을 m이라고 하면
| 30-m |≦1.96×30100
이므로 24.12≦m≦35.88을 얻는다.
17. 아침 8시 정각에서 5분 간격으로 지하철이 정차하는 지
하철역에 K씨는 아침 8시에서 8시 20분 사이에 도착한
다. K씨가 지하철을 2분 미만 기다릴 확률을 구하시오.
[풀이 ] 확률변수 X를 도착하는 시각이라고 하면 X는
연속균등분포를 따른다. 확률 도함수를 f라고 하면
f (x)=120
(0≦x≦20)
이고 구하는 확률은
∑3
n=0P(3+5n <X≦5+5n)= ∑
3
n=0
⌠⌡
5+5n
3+5nf (x) dx
=220×4=
25
이다. 따라서 구하는 확률은 25이다.
18. 평균이 m , 분산이 4인 정규분포에 따르는 모집단에서
크기 n인 임의표본을 추출하여 그 표본에서 얻은 평균
을 X라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) n=100 , X=10일 때, 신뢰도 95%로 m의 신뢰구
간을 구하시오.
(2) | X-m |≦12인 확률이 95% 이상이 되게 하려면
n의 크기를 얼마로 하면 되는지 구하시오.
[풀이 ] (1) σ=2에서
|m-X |≦k2n
(#)
이다. 그런데 X=10 , n=100 , 신뢰도 95%이므로
|m-10 |≦1.962100
, |m-10 |≦0.392
이다. 따라서 9.608≦m≦10.392이다.
(2) 앞의 (#)와 주어진 조건에 의하여
| X-m |≦1.962n≦12
가 되어야 한다. 이것을 풀면 n≧61.467이므로 n의 크
기는 67 이상으로 하면 된다.
19. 어떤 회사에서 생산되는 1kg들이 제품상자들 중에서 임
의로 64개를 추출하여 조사해보니 평균이 987.2g, 표준편
차가 40.8g이었다. 이 제품상자들이 중량표시를 옳다고
할 수 있는지 유의수준 5%로 검정하시오.
[풀이 ] 주어진 검정은 모평균 검정이다.
모평균 m=1000g이고 표본의 크기가 64 , 그리고 표본
평균이 987.2g이다. 모평균의 검정과정은 다음과 같다.
① 가설 m=1000g
② |z |= | X-mσ/ n |= |987.2-100040.8/ 64 |=2.5098…
③ |z |= 2.5098… > 1.96이므로 유의수준 5%에서 기각
이다.
따라서 이 제품의 상자들은 중량표시가 옳다고 볼 수 없
다.
20. 정규분포에 따르고 분산이 16인 모집단에서 크기가 64
인 표본을 임의추출하여 조사한 결과, 표본평균이 6.085
이었다. 이 때, 가설 ‘모평균은 5이다’를 기각하기 위한
최소의 유의수준을 구하여라.
β 1.88 1.96 2.17 2.58
P(0≦z≦β ) 0.47 0.475 0.485 0.495
[풀이 ] (1) 가설 H를 m=5로 두자.
(2) 유의수준 α인 양측검정은
1-α=P(-z α/2≦Z≦z α/2)
이다.
(3) H의 채택 역은 -z α/2≦Z≦z α/2이다.
(4) Z=X-mσ/ n
=6.085-54/ 64
=2.170이므로
H가 기각될 필요충분조건은
|Z |= 2.17 > z α/2
인 것이다. 이것은 0.485 > 0.5-α/2와 필요충분조건
이므로 α > 0.03을 얻는다.
따라서 구하는 최소의 유의수준은 α=0.03이다.
- 99 -
이산수학 | Discrete Mathematics
1. 한 모서리의 길이가 1인 단위정육면체를 7× 5×4개 붙
여서 모서리의 길이가 각각 7, 5, 4인 직육면체를 만들었
다. 한 꼭지점에서 각각의 단위정육면체의 모서리를 따라
서 대각선으로 맞은편 꼭지점에 이르는 최단거리의 경로
의 수를 구하여라.
[풀이 ] 단위정육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 a , b ,
c라고 하면 문제에서 제시된 두 꼭지점 사이의 경로의
집합은 A= {7×a, 5×b, 4×c }이다. 이 때 순열의 수
와 주어진 문제의 최단경로는 일대일 대응관계가 있다.
따라서 구하는 수는 다음과 같다.
(7+5+4)!7!5!4!
=1,441,440
2. 다음 방정식의 정수해의 개수를 구하여라.
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=10 ,
x 1≧-1 , x 2≧1 , x 3≧0 , x 4≧2 , x 5≧2
[풀이 ] 중복조합을 활용하자. t 1= x 1+1 , t 2= x 2-1 ,
t 3= x 3 , t 4= x 4-2 , t 5= x 5-2이라고 하면 주어진 방
정식은 다음과 같이 표현된다.
t 1+ t 2+ t 3+ t 4+ t 5=6
여기서 각 t i는 음이 아닌 정수이다. 따라서 해의 개수는
다음과 같다.
5H6=10C6=10C4=10!6!4!
=210
3. 전체 11권의 책이 책꽂이에 나란히 꽂혀있다. 이 중 서로
인접한 두 권의 책은 선택되지 않도록, 4권을 선택하는
방법의 수를 구하여라.
[풀이 ] 선택한 책을 ○, 선택하지 않은 책을 ×로 나타
내자. 이를테면
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
× × ○ × ○ × × ○ × ○ ×
과 같이 나타내자. 이것은 다중집합
{○, ○, ○, ○, ×, ×, ×, ×, ×, ×, × }
의 순열로서 2개의 ○ 사이에 반드시 ×가 있는 것이다.
이러한 조합의 수는 다음 그림의 5개의 빈칸 ㉮, ㉯, ㉰,
㉱, ㉲에 7개의 ×를 넣되, ㉯, ㉰, ㉱에는 각각 1개 이상
들어가도록 넣는 방법의 수와 같다.
㉮ ○ ㉯ ○ ㉰ ○ ㉱ ○ ㉲
그러므로 구하는 경우의 수는
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=7 ,
x 1≧0 , x 2≧1 , x 3≧1 , x 4≧1 , x 5≧0
의 정수해의 개수와 같다.
또한 이것은
t 1+ t 2+ t 3+ t 4+ t 5=4
의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 여기서
5H4=5+4-1 C4=8 C4=70
이므로 구하는 경우의 수는 70이다.
4. 한 변의 길이가 4인 정사각형의 내부에 17개의 점을
임의로 찍었을 때, 두 점 사이의 거리가 2 이하인 점이
반드시 존재함을 보여라.
[풀이 ] 주어진 정사각형을 한 변이 1인 16개의 단위정
사각형으로 분할할 수 있다. 그러면 17개의 점 중, 비둘
기집의 원리에 의하여, 2개의 점이 찍힌 단위 단위정사
각형이 적어도 하나 존재한다. 하나의 단위정사각형 내의
두 점 사이의 최대거리는 2이다. 따라서 두 점 사이의
거리가 2 이하인 점이 반드시 존재한다.
5. 쪽수가 n인 책이 있다. 이 책의 k쪽에서 l쪽까지 들어
있는 자 수가 n의 배수가 되는 k , l이 존재함을 증
명하여라. (단, 1≦k≦ l≦n )
[풀이 ] 1쪽에서 i쪽까지 들어있는 자 수를 ai라고 하
자. 만약 a ν |n인 ν가 존재한다면 k=1 , l=ν로 택하
면 된다.
이제 a i |n인 i가 존재하지 않는다고 하자. 각 i에 대하
여 ai를 n으로 나눈 나머지를 r i라고 하면
{r 1, r 2, …, rn }⊆{1, 2, …, n-1 }
이다. 따라서 비둘기집의 원리에 의하여 rp= r l인 두 자
연수 p , l이 존재한다. 여기서 1≦ p < l≦n이라고 해도
일반성을 잃지 않는다. 이 때 al-ap는 n의 배수이므
로 k= p+1이라고 하면 k쪽부터 l쪽까지 들어 있는
자 수는 n의 배수가 된다.
6. 치환군 Sn의 원소 중, i≦n인 임의의 자연수 i에 대하
여 σ( i ) /= i를 만족하는 σ의 개수를 Dn이라 할 때
Dn= n! ∑n
k=0
(-1) k
k!
임을 증명하여라.
[풀이 ] Ai={σ∈Sn | σ( i )= i }라고 하면 Dn은
Dn=n!-| ∪n
i=1Ai |
으로 표현된다.
- 100 -
집합 {1, 2, …, n }의 임의의 부분집합 J에 대하여
f J=|∩ i∈JA i |
고 하면 | J |= k일 때 f J=(n-k)!이다. 집합의 교집합
의 크기의 합은
nC k (n-k)!=n!k!
이므로 포함배제의 원리에 의하여 다음과 같은 관계가
성립한다.
| ∪n
i=1Ai |= n!1! -
n!2!+…+(-1)
n-1 n!n!
=n! ∑n
k=1
(-1) k-1
k!.
따라서 구하는 값은 다음과 같다.
Dn=n!-| ∪n
i=1Ai |=n! ∑
n
k=0
(-1)k
k!.
7. 여자 6명과 남자 6명이 미팅을 하 다. 각 여자들이 좋아
하는 남자는 각각 다르고, 각 남자들이 좋아하는 여자도
각각 다르다. 즉, 어느 한 남자를 두 여자가 좋아하지 않
고 또한 어느 한 여자를 두 남자가 좋아하지 않는다. 임
의로 둘씩 짝을 지어 여섯 쌍을 맺었을 때 서로 좋아하
는 커플이 하나도 생기지 않는 경우의 수를 구하여라.
[풀이 ] 교란수 Dn을 이용하자.
D 6= 6! ∑6
k=0
(-1)k
k!
=6!( 10! -11!+12!-13!+14!-15!+16! )
=6!2!-6!3!+6!4!-6!5!+6!6!
=360-120+30-6+1=265
이므로 구하는 경우의 수는 265이다.
8. 0 < k < n인 정수 n , k에 대하여, n명의 사람을 k개
의 그룹으로 나누는 수를 S(n, k)라고 할 때 등식
S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k )
이 성립함을 보여라.
[풀이 ] n명의 사람 1, 2, …, n을 k개의 그룹으로 나
누는 방법을 다음과 같이 두 가지로 나누어 볼 수 있다.
먼저 n이 혼자 한 개의 그룹을 형성할 때, 나머지 1부
터 n-1까지의 사람을 k-1개의 그룹으로 분할하면
n 자신의 그룹 {n }까지 포함하여 k개의 그룹이 생긴
다. 이 때 분할하는 수는 S(n-1, k-1)이다.
또, n이 다른 그룹에 끼어들어가는 경우 1부터 n-1
을 k개의 그룹으로 분할하고 그들 중 어느 한 그룹에
n을 포함시키면 분할 방법의 수는 kS(n-1, k)가 된
다. 따라서 이들을 더하면
S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k )
를 얻는다.
9. 자연수 255,255를 1보다 큰 세 자연수의 곱으로 표현하는
방법의 수를 구하여라.
[풀이 ] 255255를 소인수분해하면 다음가 같다.
255255 = 3×5×7×11×13×17
따라서 여섯 개의 소수 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17을 세 그
룹으로 묶는 경우의 수를 구해야 한다.
S(6, 3)=S(5, 2)+3S(5, 3)=90
이므로 구하는 경우의 수는 90이다.
10. 다음 그래프는 평면그래프가 아님을 보여라.
(1) K 5 (2) K 3,3
[풀이 ] (1) K 5에서 v=5 , e=5 C2=10이다.
v-e3=1.66… < 2
이므로 K 5는 평면그래프가 아니다.
(2) K 3,3은 v=6 , e=9인 이분그래프이다.
v-e2= 1.5 < 2
이므로 K 3,3은 평면그래프가 아니다.
11. 전체 100명의 사원이 있는 어느 회사의 비상연락망은 전
화를 받는 사람이 3명의 다른 사람에게 전화하도록 되어
있다. 전화를 받고 연락을 해야하는 사람은 몇 명인가?
[풀이 ] 비상연락망은 3진 트리이며, 중간점의 개수 i를
구하는 것이 문제이다. 중간점 및 뿌리가 전화를 해야하
므로 전화하는 사람의 수는 i+1이다. 그러므로 전화를
받는 사람의 수는 3( i+1)이다. 뿌리를 제외한 모든 사
람이 전화를 받으므로 3( i+1)=99이다. 따라서
i=993-1=32
를 얻는다.
12. 다음 두 그래프 G 1= (V 1, E 1) , G 2= (V 2, E 2)가 동
형인지 아닌지 판단하고 그 이유를 밝히시오.
[풀이 ] 함수 f :V 1 → V 2를 다음과 같이 정의하자.
f : a ↦p , b ↦ s , c ↦ t , d ↦r , e ↦q
그러면 f와 f -1는 연결상태를 보존하는 전단사 함수가
된다. 따라서 G 1과 G 2는 동형이다.
- 101 -
13. 다음 차수열이 그래프적인지 판정하여라.
(1) (6, 5, 5, 4, 3, 2, 2)
(2) (6, 5, 5, 3, 3, 3, 3)
[풀이 ] (1) 홀수점의 수가 홀수개이므로 이 수열을 차수
열로 하는 그래프는 존재하지 않는다.
(2) (6, 5, 5, 3, 3, 3, 3)에서 첫째 수 6을 없애고 남는
수 중 제일 큰 수 6개에서 1을 빼면
(4, 4, 2, 2, 2, 2)
이다. 여기서 첫째 수 4를 없애고 남는 수 중 제일 큰
수 4개에서 1을 빼면
(3, 1, 1, 1, 2)
이다. 이것을 큰 수부터 정렬하면 (3, 2, 1, 1, 1)이다.
여기서 첫째 수 3을 없애고 남는 수 주 제일 큰 수 3개
에서 1을 빼면
(1, 0, 0, 1)
이다. 이 수열은 명백히 그래프적이므로 문제에서 주어진
수열도 그래프적이다.
14. 다음 그래프 G의 생성부분그래프 중 변이 4개인 것을
3개 구하여라.
[풀이 ] 다음은 위 그래프의 부분그래프이다.
이들은 모두 G의 모든 꼭지점을 포함하고 변이 4개이며
고립된 꼭지점이 없으므로 문제의 조건을 만족한다.
15. 다음 그래프 G의 최소생성그래프를 구하여라. (단, 변
옆에 써 있는 수는 간선의 비중이다.)
[풀이 ] 다음은 크루스칼 알고리즘에 의하여 생성된 생성
그래프이다.
비중이 가장 큰 변 3개가 제거되었으며, 4개 이하의 변을
가진 부분그래프는 G를 생성할 수 없으므로 이 그래프
는 G의 최소생성그래프이다.
16. 다음의 다중그래프에서 오일러 경로와 회로가 존재하는
지 판단하고 그 이유를 설명하여라.
[풀이 ] 주어진 그래프는 두 정점 a , c에서 홀수차의 정
점을 갖고 나머지 정점에서는 작수차의 정점을 가진다.
그러므로 오일러 회로는 존재하지 않고 오일러 경로는
가진다. 여기서 오일러 경로는 홀수차 정점에서 시작하여
홀수차 정점에서 끝나면 된다. 따라서 오일러 경로 중 하
나를 구하면 다음과 같다.
a - b- c - a - d - b - d - c
17. 다음 그래프에서 해 턴 회로를 구하여라.
[풀이 ] 다음과 같은 탐색을 살펴보자.
a →e → f →k →p → s → t →r →q →o
→ l →g →c →b →d →h →m →n
→ i → j →a
위 경로는 모든 정점을 한 번 통과하고 시점과 종점이
동일하므로 해 턴 회로가 된다.
18. 다음 그래프는 어느 도시의 A, B, C, D 네 지점 사이에
서 자동차로 곧바로 갈 수 있는 경우를 화살표로 나타내
고 있다.
어떤 지점에서 다른 지점으로 갈 때, ‘곧바로 또는 한 지
점을 거쳐서’ 갈 수 있는지 없는지를 알 수 있는 행렬을
구하여라.
- 102 -
[풀이 ] 먼저 정점 A, B, C, D의 순서대로 각 행과 열로
배열하여 인접행렬을 구하면 다음과 같다.
M=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
0 1 1 10 0 1 01 0 0 01 0 1 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
여기서 Mk의 ( i, j ) 성분은 길이가 k인 ( i, j ) -경로의
개수가 된다. 따라서
M+M 2=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳
2 1 3 11 0 1 01 1 1 12 1 2 1
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳
을 통해서, (B, B ) , (B, D)를 제외한 모든 경우, 곧바
로 또는 한 지점을 거쳐서 갈 수 있음을 알 수 있다.
19. 다음 그래프의 채색수를 채색다항식을 이용하여 구하여
라.
[풀이 ] 점 p 1에서 채색수를 x라고 하면 p 2에서 채색수
는 x-1이고 p 3에서 채색수는 x-2이며 p 4에서 채색
수는 x-3이다. 이 때 채색다항식을 P 1(G, x )라고 하
면 P 1(G, x )= x(x-1)(x-2)(x-3)이다.
또한 다른 점으로부터 시작해도 동일한 다항식을 얻는다.
따라서 그래프 G의 채색다항식은 다음과 같다.
P(G, x )= x(x-1)(x-2)(x-3)
여기서 P(H, x)≧1이 되는 최소의 양의 정수 x의 값
은 x=4이므로 주어진 그래프는 4 -채색 가능이다.
20. 다음 그래프는 다섯 개 야구팀의 대전 결과를 나타내는
토너먼트이다.
두 개의 팀 x , y에 대하여 x가 y를 이겼을 때 직접적
으로 이겼다고 하고, x가 진 팀이 y를 이겼을 경우 간
접적으로 이겼다고 하자. 직접 이긴 경우 2점, 간접적으
로 이긴 경우 1점을 부여할 때, 이 대전 결과에 대한 팀
별 점수 순위를 결정하여라.
[풀이 ] 주어진 토너먼트를 T라고 하자.
여기서 A(T )는 직접 이기는 경기의 수를 성분으로 갖
는 행렬이고 A(T ) 2은 간접적으로 이기는 경기의 수를
성분으로 갖는 행렬이다.
A(T )=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0 0 1 1 01 0 1 0 10 0 0 1 00 1 0 0 01 0 1 1 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
, A(T ) 2=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0 1 0 1 01 0 2 3 00 1 0 0 01 0 1 0 10 1 1 2 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
이므로
A(T )+2A(T ) 2=
ꀌ
ꀘ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
0 1 2 3 03 0 4 3 00 1 0 2 00 2 1 0 12 1 3 4 0
ꀍ
ꀙ
︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳
이다. 위 행렬의 i행의 합을 r i는 꼭지점 i에 해당하는
팀의 점수이다.
r 1=6 , r 2=10 , r 3=3 , r 4=4 , r 5=10
이므로 2팀과 5팀이 1위, 1팀이 3위, 4팀이 4위, 3팀이 5
위임을 알 수 있다.
21. 동수네 마을에는 모두 6개의 교차로와 11개의 도로가
있다. 아래 지도에는 각 도로 옆에 도로의 길이와 도로에
서 달릴 수 있는 최고 속력이 적혀 있다.
A 지점에 있는 동수는 프라이드를 구입한 기념으로 직접
운전하여 F 도시에 사는 여자친구에게 가려고 한다. 동수
가 여자친구에게 가장 빠른 시간에 가려면 어떠한 교차
로를 거쳐서 가야 하는지 순서대로 쓰고, 그 때에 예상되
는 최단 운전 시간은 몇 분인지 구하여라.
[풀이 ] 각 교차로를 점으로, 각 단위 도로를 간선으로,
교차로간의 분 단위 이동시간을 각 간선의 비중으로 생
각하여 그래프로 표현하면 다음과 같다.
여기서 다익스트라 알고리즘으로 A에서 F까지 최단비중
경로를 구하면
A → B → C → D → E → F
가 된다. 이 때 걸리는 시간은 160분이다.
- 103 -
22. 다음은 가중 방향 그래프와 그래프의 정점 1로부터 다
른 정점까지의 최단거리를 다익스트라 알고리즘을 이용
하여 구하는 단계를 표로 나타낸 것이다.
단계 S w D[2] D[3] D[4] D[5]
0 {1} - 10 ∞
1 {1, 2} 2 30
2 {1, 2, 4} 4 90
3 3
4
여기서 D[i]는 1로부터 i까지의 최단거리를 의미한다. 표
를 완성하여라.
[풀이 ]
단계 S w D[2] D[3] D[4] D[5]
0 {1} - 10 ∞ 30 100
1 {1, 2} 2 10 60 30 100
2 {1, 2, 4} 4 10 50 30 90
3 {1, 2, 4, 3} 3 10 50 30 60
4 {1, 2, 4, 3, 5} 5 10 50 30 60
23. 식 2×3+ 5÷ ( 4- 1)을 이진 트리로 표현하고 전순위
탐방과 후순위 탐방의 결과를 쓰시오.
[풀이 ] 주어진 식을 이진 트리로 표현하면 다음과 같다.
전순위탐방은
+ ×÷235- 41
이고 후순위탐방은
23×541- ÷+
이다.
24. 다음은 문자 집합 S={ a, b, c, d, e }의 각 문자가
나타날 확률을 나타낸 표이다.
문자 a b c d e
확률 0.12 0.40 0.15 0.08 0.25
위 다섯 개의 문자에 대한 허프만 트리를 작성하고 최
적화된 이진코드를 구하여라.
[풀이 ] 허프만 트리를 작성하면 다음과 같다.
위 트리를 이용하여 최적화된 이진코드를 구하면
문자 a b c d e
이진코드 1111 0 110 1110 10
을 얻는다.
25. 수열 {an }에 대하여
a 0=1 , a 1=1 , an=5an-1-6an-2
이 성립할 때 {an }이 일반항을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 점화식의 특성방정식은 x 2-5x+6=0이
고 이 방정식의 근은 2 , 3이다.
an=α⋅2n+β⋅3n
으로 두면 초기값으로부터
α+β=1 , 2α+3β=1
을 얻는다. 즉 α=2 , β=1이므로 일반항은
an=2n+1-3n , n≧0
이다.
26. 한 종류의 1×1 보드와 흰 색, 검은 색 두 종류의 1×2
보드가 있다. 이 세 종류의 보드로써 1×n 보드를 덮는
방법의 수 an을 n에 관한 식으로 나타내어라.
[풀이 ] 명백히 a 1=1이다. 또한 1×2 보드를 덮는 방법
은 3가지이므로 a 2=3이다. n≧3일 때 1×n 보드를
덮는 방법은 다음 두 가지 경우로 나뉜다.
(ⅰ) 왼쪽 끝을 1×1 보드로 덮는 경우는 1×(n-1) 보
드를 덮는 방법의 수와 같으므로 an-1이다.
(ⅱ) 왼쪽 끝을 1×2 보드로 덮는 경우, 1×2 보드는 두
가지 종류가 있고 각각 1×(n-2) 보드를 덮는 방법
의 수와 같으므로 2an-2이다.
따라서 an=an-1+2an-2이다. 이 점화식의 특성방정
식은 x 2-x-2=0이고 그 근은 -1 , 2이다.
an=α(-1)n+β⋅2
n
이라고 하면 a 1=1 , a 2=3으로부터
α=13
, β=23
을 얻는다. 따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.
an=13{ (-1)n+2n+1 } .
- 104 -
27. 다음은 피보나치수열 {an }의 점화식이다.
a 0=1 , a 1=1 , an=an-1+an-2
이를 이용하여 {an }의 일반항을 구하여라.
[풀이 ] 주어진 점화식의 특성방정식 x 2-x-1=0의
근은 1+ 52
, 1- 52
이다. 여기서
an=α( 1+ 52 )
n
+β( 1- 52 )
n
이라고 두면 초기값으로부터
α=1+ 52 5
, β=-1- 52 5
를 얻는다. 따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.
an=15 (1+ 52 )
n+1
-15 (1- 52 )
n+1
.
28. 다음 조건을 만족하는 수열 {an }의 일반항을 구하여라.
a 0=1 , a 1=4 , an=4an-1-4an-2
[풀이 ] 점화식으로부터 특성방정식 x 2-4x+4=0을
얻는다. 이 방정식은 중근 2를 가진다.
an=α⋅2n+β⋅n⋅2
n
으로 두면 초기값으로부터 α=1 , β=1을 얻는다. 따라
서 구하는 일반항은 다음과 같다.
an=2n+2nn=(n+1) 2n .
29. 다음 조건을 만족하는 수열 {an }의 일반항을 구하여라.
a 0=2 , a 1=-2 , a 2=8 , a 3=-12 ,
an=-2an-1+2an-3+an-4 .
[풀이 ] 점화식으로부터 특성방정식
x 4+2x 3-2x-1=(x+1)3(x-1)=0
을 얻는다. 이 방정식은 삼중근 -1과 근 1을 가진다.
an=α(-1)n+β n (-1)n+γ n 2 (-1)n+δ 1 n
으로 두면 초기값으로부터 α=β=γ=δ=1을 얻는다.
따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.
an=(1+n+n2)(-1)
n+1 .
30. 성과행렬이 A=( 2 -1 31 3 2 )인 게임에서 갑, 을의 최
적전략과 게임값을 구하여라.
[풀이 ] A=(a 1, a 2, a 3)= (a ij )라고 하면 a i 1 < a i3이
므로 갑의 임의의 전략 x=(x 1, x 2)t에 대하여
x ta 1 < xta 3
이다.
을의 최적전략을 y 0= (β1, β2, β3)t라고 하면
x tA y0= [ xta 1, x
ta 2, xta 3] y0
=β1xta 1+β2x
ta 2+β3xta 3 .
β 3 > 0이라고 하면 y 0'=(β1+β3, β2, 0)t로 둘 때,
xtAy0'=(β1+β3)x
ta 1+β2x
ta 2 < x
tA y0
이므로 β3=0이어야 하고 따라서 최적전략과 게임값은
B=( 2 -11 3 )를 성과행렬로 하는 게임의 최적전략과 게임값으로부터
구할 수 있다. 이 게임의 최적전략과 게임값은 각각
( 25 ,35 )
t
, ( 45 ,15 )
t
, 75
이다. 따라서 원래의 게임의 최적전략과 게임값은
x 0= ( 25 ,35 )
t
, y 0=( 45 ,15, 0 )
t
, 75
이다.
31. 갑, 을 두 TV 방송사는 어느 날 황금시간대에 방 할
수 있는 프로그램으로 갑은 x 1 , x 2 , x 3 , x 4를, 을은 y 1 ,
y 2 , y 3을 가지고 있다. 여론조사기관에서 조사한 예상
시청자 수의 비가 아래 표와 같다고 한다. 이 표의 셀 중
에서 ( i, j ) -성분은 갑이 x i를 방 하고 을이 y i를 방
할 때 갑을 시청하는 시청자 비의 백분율을 나타낸다.
갑과 을의 최적 전략과 게임의 값을 구하여라.
을갑 y 1 y 2 y 3
x 1 10 70 20
x 2 30 20 80
x 3 40 50 70
x 4 20 50 60
[풀이 ] 성과행렬의 안장점은 a 31=40이고, 따라서 이
게임은 강결점게임이다. 갑, 을에 대한 최적전략은 각각
p*= [0, 0, 1, 0]
t , q *= [1, 0, 0] t
이다. 즉 갑은 x 3을, 을은 y 1을 방 하는 것이 각각 최
적전략이다. 이 때 게임의 값은 40이고 이것은 갑은 전체
시청자의 40%, 을은 60%를 확보한다는 뜻이다.
32. 캠핑을 가기 위해 짐을 꾸리려고 한다. 가져갈 물품의
무게와 가치를 고려하여 아래와 같은 표를 만들었다.
물건 무게 (kg) 가치
물 20 9
쌀 15 7
텐트 10 4
약품 5 6
최고 30kg까지 가져갈 수 있을 때 가치가 최대가 되도록
짐을 꾸리는 방법을 구하시오.
- 105 -
[풀이 ] 배낭 꾸리기 알고리즘을 활용하자.
a=(20, 15, 10, 5) t , v=(9, 7, 4, 6) t
라고 하자. 둘레의 길이 4인 성분이 0과 1인 벡터는 16개
이다.
a 20 15 10 5 at x y
v 9 7 4 6 vtx
0 0 0 0 0 0 y 1=(0, 0, 0, 0)
0 0 0 1 5 6 y 2=(0, 0, 0, 1)
0 0 1 0 10 4 y 3=(0, 0, 1, 0)
0 0 1 1 15 10 y 4=(0, 0, 1, 1)
0 1 0 0 15 7 y 5=(0, 1, 0, 0)
0 1 0 1 20 13 y 6=(0, 1, 0, 1)
x 0 1 1 0 25 10 y 7=(0, 1, 1, 0)
0 1 1 1 40 17 y 8=(0, 1, 1, 1)
1 0 0 0 20 9 y 9=(1, 0, 0, 0)
1 0 0 1 25 15 y 10=(1, 0, 0, 1)
1 0 1 0 20 13 y 11=(1, 0, 1, 0)
1 0 1 1 35 × y 12=(1, 0, 1, 1)
1 1 0 0 35 × y 13=(1, 1, 0, 0)
1 1 0 1 40 × y 14=(1, 1, 0, 1)
1 1 1 0 45 × y 15=(1, 1, 1, 0)
1 1 1 1 50 × y 16=(1, 1, 1, 1)
위 표에서 v tx가 가장 큰 값은 17이고, 이 때 y는
y 8= (0, 1, 1, 1)
이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 배낭은 쌀, 텐트,
약품을 가져가야 한다.
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