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집합론 | Set Theory

정의를 위한 기호

A≔B 또는 A≡B는 A를 B로서 정의한다는 의미이다.

논리와 명제

(1) 명제 : 수학적 개체와 논리 연산자가 결합된 문장

① ∼p : p가 아니다

② p ∧ q : p 그리고 q

③ p ∨ q : p 또는 q

④ p → q : p이면 q이다, ∼p ∨ q

⑤ p ⇒ q : p → q가 항진일 때

⑥ p ↔ q : p → q ∧ q → p

⑦ p ⇔ q : p ↔ q가 항진일 때. p≡q로 쓰기도 한다.

(2) 드 모르간 법칙

① ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p ∨∼q

② ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧∼q

(3) 귀류법 : p ⇒ q임을 증명하기 위해 p ∧∼q임을 가정

하고 모순을 유도한다.

클래스와 집합

(1) ‘클래스’와 ‘속하다’에 대하여 다음 공리를 만족한다.

① x= y ∧ x∈A ⇒ y∈A

② 클래스 S와 명제함수 p에 대하여

x∈P ⇔ p (x) ∧ x∈S

를 만족하는 클래스 P가 존재한다.

③ a, b가 집합이면 {a, b }도 집합이다.

④ 집합의 부분클래스는 집합이다.

⑤ 집합 Λ의 원소가 모두 집합이면 ∪Λ도 집합이다.

⑥ A가 집합이면 ℘(A)도 집합이다.

⑦ A가 집합이고 전사함수 f :A → B가 존재하면 B

도 집합이다.

⑧ 귀납적 집합이 존재한다.

⑨ 임의의 집합에 대하여 선택함수가 존재한다.

⑩ 기수클래스 CD가 존재한다.

(2) A⊆B는 x∈A ⇒ x∈B를 의미한다.

(3) A=B는 x∈A ⇔ x∈B를 의미한다.

(4) ∀x∈S : p (x)는 x∈S ⇒ p (x)를 의미한다.

(5) ∃x∈T : p (x)는 ∼(∀x∈T :∼p (x))를 의미한다.

(6) S는 집합이다 ⇔ S∈C인 클래스 C가 존재한다.

(7) 집합들의 모임 Λ에 대하여

① x∈ ∪S∈ΛS ⇔ ∃S∈Λ : x∈S … 합 클래스

② x∈ ∩S∈ΛS ⇔ ∀S∈Λ : x∈S … 교 클래스

(8) ℘(S)≔ ( S의 모든 부분클래스들의 모임 ) … S의 멱

(9) Λ={A, B }일 때 A∪B≔∪Λ, A∩B≔∩Λ.

(10) 공집합의 정의 : x∈φ ⇔ c, c는 모순명제

(11) 원소나열법

① A={x 1 }은 x∈A ⇔ x= x 1을 의미한다.

② A={x 1, x 2, …, xn }은

x∈A ⇔ x∈{x 1, x 2, …, xn-1 } ∨ x= xn을 의미한다.

관계와 함수

(1) 순서쌍 : (x, y )≔ { {x }, {x, y }}

(2) 카르테시안 곱 : A×B≔{ (x, y ) |x∈A ∧ y∈B }

(3) R⊆A×B인 R를 A에서 B로의 관계라고 한다. 그

리고 (x, y )∈R를 xRy로 표기한다.

① R가 반사적이다 : ∀x∈A : xRx

② R가 대칭적이다 : xRy ⇒ yRx

③ R가 추이적이다 : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

④ R가 동치관계이다 : R가 ①∼③을 만족한다.

(4) 동치관계 R⊆A×A에 대하여

① a의 동치류 : Ra= a=[a] ≔ {x∈A |xRa }

② 상집합 : A/R≔{Rx |x∈A } : A의 분할이 된다.

(5) P⊆℘(A)가 세 조건

(ⅰ) ∀S∈P∀T∈P : (S /=T ⇒ S∩T=φ)

(ⅱ) ∀S∈P : S /=φ

(ⅲ) ∪P=A

를 만족할 때 P를 A의 분할이라고 한다.

(6) A에서 B로의 관계 f가 조건

(ⅰ) ∀x∈A∃y∈B : (x, y )∈f

(ⅱ) ∀x∈A : [ (x, y 1)∈f ∧ (x, y 2)∈f ⇒ y 1= y 2 ]

를 만족할 때 f를 함수라고 하며 f :A→ B로 표기한다.

① (x, y )∈f인 것을 y= f (x)로 표기한다.

② A를 f의 정의역, B를 f의 공역이라고 한다.

③ S⊆A에 대하여 f (S) ≔ {y∈B |∃x∈A : f (x)= y }

④ S⊆B에 대하여 f -1(S) ≔ {x∈A |∃y∈B : f (x)= y }

⑤ S⊆A에 대하여 f | S≔{ (x, y )∈f |x∈S }

⑥ f (A) : f의 치역

(7) 함수 f :A → B , g :B → C에 대하여

① f가 단사이다 : f (a)= f (b) ⇒ a= b .

② f가 전사이다 : f (A)=B .

③ f가 일대일 대응이다 : f가 단사이고 전사이다.

④ f -1≔ { (x, y )∈B×A | f (y)= x }

⑤ g∘f≔{ (x, z ) |∃y∈B : y= f (x) ∧ z=g (y)}

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일반 카르테시안 곱

(1) AB : B에서 A로의 모든 함수들의 집합

(2) Λ={Ai | i∈I }에 대하여

∏Λ= ∏i∈IA i≔{ f∈A

I |∀i∈I : f ( i )∈Ai } .

전체집합과 여집합

(1) 집합이 아닌 클래스를 고유클래스라고 한다.

(2) 모든 집합의 모임은 고유클래스이다.

(3) 기준이 되는 집합 U와 A⊆U에 대하여 A의 여집합

을 Ac≔{x∈U |x /∈A }로 정의한다.

순서집합

(1) A상에서의 관계 R가 xRy ∧ yRx ⇒ x= y를 만족

할 때 R를 반대칭적이라고 한다.

(2) 순서관계 : 반사적이고 추이적이며 반대칭적인 관계

(3) 순서관계 ≦가 주어진 집합 A를 순서집합이라고 하고

<A, ≦>로 표기한다.

(4) 임의의 x, y∈A에 대하여 x≦y 또는 y≦x일 때 A

를 전순서집합이라고 한다.

(5) 순서집합 <A, ≦>에 대하여

① m∈A은 A의 극대 : ∀x∈A : (m≦x ⇒ x=m )

② n∈A은 A의 극소 : ∀x∈A : (x≦n ⇒ x=n )

③ a∈A는 A의 최대 : ∀x∈A : x≦a

④ b∈A는 A의 최소 : ∀x∈A : b≦x

(6) x≦y이고 x /= y인 것을 x < y로 표기한다.

(7) x < y인 x , y에 대하여 x < z < y인 z가 존재하지

않으면 x를 y의 직전자, y를 x의 직후자라고 한다.

정렬집합과 선택공리

(1) 순서집합 A의 공집합이 아닌 모든 부분집합이 유일한

극소원을 가지면 A를 정렬집합이라고 한다.

① 정렬집합은 전순서집합이다.

② 또한 최대가 아닌 모든 원소는 직후자를 가진다.

(2) 집합 S에 대하여 적당한 순서관계 ≤가 존재하여

<S, ≤>가 정렬집합이 되면 S는 정렬가능하다고 한다.

(3) 집합 A와 ℘ *(A) ≔℘(A)∖{φ }에 대하여

∀B∈℘ *(A) : r(B) ∈B

를 만족하는 함수 r를 A에 대한 선택함수라고 한다.

(4) 다음은 선택공리와 동치이다.

① 극대원리 : 순서집합 A의 모든 전순서 부분집합 P

는 포함순서관계 ⊆에 의하여 극대원을 가진다.

② 순서지합 A의 임의의 전순서집합이 상계를 가지면

A에 극대원이 존재한다.

③ 임의의 집합은 정렬 가능하다.

자연수 집합

(1) 집합 a에 대하여 a의 후자를 a+≔a∪{a }으로 정

의한다.

(2) 0≔φ , 1=0+ , 2=1+ , …으로 정의한다.

(3) 0∈S이고 a∈S ⇒ a+∈S이면 집합 S는 귀납적이다

고 한다.

(4) 모든 귀납적 집합의 교집합을 ω로 정의한다.

(5) ℕ≔ ω∖{0 }으로 정의한다.

(6) a, b, c∈ω에 대하여

① a+0≔0 , a+b+≔ (a+b)+

② a⋅0≔0 , a⋅b+≔a⋅b+a

③ a≦b ⇔ ∃p∈ω : b=a+p

(7) ω의 절편 : ω n≔ {k∈ω |k < n }=n

집합의 크기

(1) 두 집합 A , B에 대하여 일대일 대응 f :A→ B가 존

재하면 A와 B는 대등하다고 하며 A≈ B로 표기한

다.

(2) 두 집합 A , B에 대하여 단사함수 f :A→ B가 존재

하면 B는 A보다 크다고 하며 A≼ B로 표기한다.

→ A≼ B이고 A /≈ B인 것을 A⋏ B로 표기한다.

(3) A≈ℕ인 집합 A를 가부번집합이라고 한다.

(4) 적당한 n∈ω에 대하여 S≈ ωn인 집합 S를 유한집

합이라고 한다.

(5) 유한이거나 가부번인 집합을 가산집합이라고 한다. 가산

이 아닌 집합을 비가산집합이라고 한다.

(6) 일반연속체가설 : 임의의 무한집합 A에 대하여

A⋏S⋏℘(S)인 집합 S는 존재하지 않는다.

기수

(1) 기수클래스 CD는 다음을 만족한다.

(ⅰ) 임의의 집합 A에 대하여 A≈a인 a∈CD가 존

재한다.

(ⅱ) 집합 A와 a, b∈CD에 대하여 A≈a , A≈b이

면 a= b이다.

(2) A≈a인 것을 a= #A 또는 a=|A |으로 표기한다.

(3) 유한집합이 기수를 유한기수, 무한집합의 기수를 초한기

수라고 한다.

(4) #φ≔0 , #ωn= #{0, 1, 2, …, n-1 }≔n

(5) #ℕ≕ℵ 0, #ℝ≕c

(6) a≦b ⇔ a≼ b , <CD, ≦>는 정렬클래스이다.

(7) 두 기수 a , b와 A= a×{ 0 } , B= b×{ 1 }일 때

① a+b≔ #(A∪B )

② ab≔ #(A×B )

③ ab≔ #(AB)

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정수론 | Number Theory

기본 정의

(1) 정수 a , b에 대하여 b=ac인 정수 c가 존재할 때,

① a |b : a가 b를 나눈다.

② a는 b의 약수이고 b는 a의 배수이다.

(2) 1 < p이고 약수가 1과 자신뿐인 정수 p를 소수라고

한다. 소수가 아닌 수를 합성수라고 한다.

(3) 두 정수 a , b에 대하여

① d≧1

② d |a , d |b

③ k |a ∧ k |b ⇒ k |d

를 만족하는 정수 d를 a , b의 최대공약수라고 한다. 기호

로는 d= gcd (a, b ) 또는 d=(a, b ) .

(4) (a, b )=1인 두 정수 a , b를 서로소라고 한다.

(5) 실수 x에 대하여

① [x ]≔ max {n∈ℤ |n≦x } : 정수부, 가우스 함수

② {x }≔x-[x ] : 소수부

나눗셈 성질

(1) 정수의 호제법

∀a∈ℕ∀b∈ℤ∃!q∈ℤ∃!r∈ω a : b= qa+r

(2) 최대공약수의 유일성

① 최대공약수는 유일하다.

② aℤ+bℤ=dℤ , d=(a, b ) .

(3) 약수와 배수의 성질

① (a, b )= d이면 ( ad ,bd )=1 .

② a |bc이고 (a, b )=1이면 a |c .

③ a |bc이면 a(a, b ) |c .

④ (ma, mb )= |m |(a, b ) .

(4) 유클리드 호제법

자연수 a와 정수 b에 대하여

b= q 1a+r 1 , 0 < r 1 < a

a=a 2r 1+r 2 , 0 < r 2 < r 1

r 1= q 3r 2+r 3 , 0 < r 3 < r 2

⋯

rn-2=qnrn-1+rn , 0 < r n < r n- 1

rn-1=qn+1+rn+0

일 때 rn= gcd (a, b ) .

디오판토스 방정식

방정식 ax+bc= c에 대하여

(1) 정수해가 존재 ⇔ d |c , d=(a, b ) .

(2) 특수해 x 0 , y 0에 대하여 일반해는

{x= x 0+

bdk,

y= y 0-adk

( k∈ℤ )

소수의 성질

(1) 1보다 큰 임의의 자연수는 유일한 형태로 소인수분해

된다.

(2) 정수에는 무한히 많은 소수가 있다.

(3) p가 소수이고 p |ab이면 p |a 또는 p |b이다.

(4) n > 1이 소수가 아니면 p≦ n인 소수 p가 n의 약

수로서 존재한다.

합동식의 성질

(1) 자연수 n에 대하여 a≡b ( mod n ) ⇔ n |a-b .

→ 두 함수 f , g가 정의역의 모든 원소 x에 대하여

f (x)=g (x)일 때도 f (x) ≡g (x)라고 표기한다.

(2) R이 법 n에 대한 완전잉여계라 함은 R≅ℤn.

(3) 디오판토스방정식 f (x, y )=0이 해를 가지면 합동방

정식 f(x, y )≡0 ( mod n )도 해를 가진다.

(4) a i≡b i ( mod n )이면

① a 1+a 2+…+am≡b 1+b 2+…+bm ( mod n )

② a 1a 2…am≡ b 1b 2… bm ( mod n )

(5) 정수계수다항식 f (x)에 대하여 f (a)≡ f (b) ( mod n ) .

합동식에서 역수

(1) a *가 법 n에 대한 a의 역수라 함은

a a *≡1 ( mod n ) .

(2) 법 n에 대한 a의 역수가 a *일 필요충분조건은

(a, n )=1 .

(3) 유클리드 호제법에서 (a, n)=1일 때

ax+by=1

을 이용하여 역수를 구한다.

(4) (a, n )=1일 때

① ax≡ay ⇔ x≡y ( mod n )

② ax≡b ⇔ x≡a *b ( mod n )

(5) ax≡ay ( mod n ) ⇔ x≡y ( mod n/d )

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오일러 파이 함수

(1) 자연수 n에 대하여

① φ(n) ≔ #{k∈ℕ | (n, k )=1 ∧ k≦n } .

② φ(n)= |ℤ*n |= (ℤn

에서 가역원의 개수).

(2) p가 소수이고 k≧1이면

① φ(p)= p-1 ,

② φ(pk )= pk-pk-1 .

(3) n= pr 11 pr 22 … p

rkk으로 소인수분해될 때

φ(n)=φ(pr 11 )φ(p

r 22 )…φ(p

rkk ) .

(4) 자연수 n에 대하여 ∑d |nφ(d )=n . (가우스)

(5) p가 소수이고 (p, a)=1이면 ap-1≡1 ( mod p ) .

(6) (a, n )=1이면 a φ(n)≡1 ( mod n ) . (오일러)

→ a의 법 n에 대한 역수는 a*=a φ(n)-1 .

(7) p가 소수이면 (p-1)!≡-1 ( mod p ) . (윌슨)

연립합동식

(1) 중국인의 나머지 정리 : 자연수 mi들이 서로소일 때

{x≡b 1 ( mod m 1 )x≡b 2 ( mod m 2 ) ⋯x≡b t ( mod mt )

의 해는 법 m 1m 2…mt에 대하여 유일하게 존재한다.

즉 x≡b i ( mod mi )의 해가 ai이고

b i=m 1…mi-1mi+1…mt

일 때 x i= a ib ib*i ( mod mi )에 대하여

x≡x 1+x 2+…+x t ( mod m 1m 2…mt )

가 주어진 연립합동식의 해가 된다.

(2) 자연수 n이 n= pr 11 pr 22 … p

rtt으로 소인수분해될 때

f (x) ≡0 ( mod n ) ⇔ {f (x) ≡0 ( mod p

r 11 )

…

f (x) ≡0 ( mod prtt )

(3) f (x)≡0 ( mod pn+1)의 해는 f (x)≡0 ( mod pn)의

해이다.

원시근

n > 1이고 (a, n )=1일 때

(1) ordna≔min {k∈ℕ | ak≡1 ( mod n ) }

→ 법 n에 대한 a의 위수

(2) a가 법 n의 원시근이다

⇔ ordna=φ(n)= |ℤ*n |= |U (ℤn ) |

⇔ <a >=ℤ*n=U(ℤn)

지수

자연수 n의 원시근 r에 대하여 (a, n )=1일 때

(1) ind ra≔min {k∈ℕ |a≡rk ( mod n )}

→ r에 대한 a의 지수

(2) ind rab≡ ind ra+ ind rb ( mod φ(n) )

(3) ind rak≡ k ind ra ( mod φ(n) )

(4) ind r1 ≡ 0 , ind rr≡ 1 ( modφ(n))

이차 잉여

(1) 라그랑지 정리 : 소수 p와 n차 정수계수다항식 f (x)

에 대하여 f (x) ≡0 ( mod p )는 법 p에 대하여 n개

이하의 서로 다른 해를 가진다.

(2) 이차합동식 ax 2+bx+c≡ 0 ( mod p )은

(x+2*a*b ) 2≡ (2*)2(a* ) 2b 2-a *c ( mod p )

로 고쳐서 푼다.

(3) p가 홀수인 소수이고 p/|a일 때 x 2≡a ( mod p )인 x

가 존재하면 a를 법 p에 관한 이차 잉여류라고 한다.

(4) ( ap )≔ {+1, a가 p에 관한 이차 잉여류일 때-1, a가 p에 관한 이차 비잉여류일 때

→ 르장드르 기호

르장드르 기호의 계산

p와 q가 서로소인 소수이고 p/|a , p/|b일 때,

(1) ( a2

p )=1 , (1p )=1 .

(2) a≡ b ( mod p )이면 ( ap )= (bp ) .

(3) ( ap )=ap-12 ( mod p ) . (오일러)

(4) ( abp )= (ap )(

bp ) .

(5) ( -1p )=(-1)p-12 .

(6) ( pq )(qp )=(-1)

p-12

q-12 . (이차상반법칙)

⇒ ( pq )=(qp )(-1)

p-12

q-12 .

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추상대수학 | Abstract Algebra

군과 부분군

(1) 집합 G에 주어진 이항연산 *가

(ⅰ) *는 결합적이다

(ⅱ) G는 *에 대한 항등원 e를 가진다

(ⅲ) 임의의 x∈G는 *에 대한 역원 x'∈G를 가진다

를 만족하면 <G, *>를 군 group이라고 한다.

(2) <G, *>의 연산 *이 교환법칙을 만족하면 <G, *>를

가환군 또는 아벨군 abelian group이라고 한다.

① ∀x∈G : x 2= e이면 G는 아벨군이다.

② ∀x∈G : x-1= x이면 G는 아벨군이다.

(3) 군 <G, *>에 대하여 H⊆G이고 <H, *>가 군이면

H를 G의 부분군이라고 하고 H≤G로 표기한다.

① {e }를 자명부분군이라고 한다.

② 부분군들의 교집합은 부분군이다.

③ a의 중심화군 : C(a)≔ {x∈G |xa=ax }

④ G의 중심 : C(G) ≔ ∩a∈GC(a)

={x∈G |∀a∈G : xa= ax }

(4) 공집합이 아닌 H⊆G에 대하여 다음은 동치이다.

① H≤G

② x, y∈H ⇒ xy∈H ∧ x-1∈H … 2-step test

③ x, y∈H ⇒ xy-1∈H … 1-step test

④ x, y∈H ⇒ xy∈H , H가 유한집합일 때

순환군

(1) S⊆G에 대하여 <S> ≔∩{H |S⊆H≤G }를 S에 의

하여 생성되는 G의 부분군이라고 한다.

① S를 <S>의 생성집합이라고 한다.

② 유한집합 S가 존재하여 G=<S>일 때 G를 유한생

성군 finitely generated group이라고 한다.

(2) 생성원이 단집합인 군을 순환군이라고 한다.

① G=<a >일 때 a를 G의 생성원이라고 한다.

② 순환군의 부분군은 순환군이다.

③ 모든 순환군은 아벨군이다.

④ ℤn의 생성원의 개수는 φ(n)이다.

⑤ <ℤ, +>에서

< a 1, a 2, …, an>=< gcd (a 1, a 2, …, an) >

(3) 군 G에 대하여

① G의 위수란 |G |를 의미한다.

② a∈G의 위수는 다음과 같이 정의한다.

ord(a) ≔ min {n∈ℤ+ |an= e }∪{∞ }

③ G가 유한군이고 an= e이면 ord(a) |n이다.

잉여류와 라그랑지 정리

(1) H≤G , a∈G에 대하여

① aH≔{ah |h∈H } : H의 a를 포함하는 좌잉여류

② Hb≔{hb |h∈H } : H의 b를 포함하는 우잉여류

③ [G : H ] ≔|{aH |a∈G }| : H의 G에서의 지수

=|{Ha |a∈G }|

= [H의 좌(우)잉여류의 개수 ]

(2) 라그랑지 Lagrange 정리

① H≤G이고 G가 유한군이면 |H |는 |G |를 나눈다.

→ |G |= |H |[G : H ]

② K≤H≤G이고 [G :H ]와 [H :K ]가 유한이면

[G :K ]= [G :H ][H :K ]이다.

군동형사상

(1) 군 <G, *> , <G ', *'>와 임의의 x, y∈G에 대하여

f (x *y )= f (x ) *'f (y )

를 만족하는 함수 f :G → G'를 준동형사상이라고 한다.

① 자명준동형사상 : f (x) ≡e로 정의된 f .

② 비자명준동형사상 : f (x) /≡e인 준동형사상 f .

③ 핵 : ker (f ) ≔f -1( {e })

(2) 동형사상 : 일대일 대응인 준동형사상 f .

① 동형사상 f :G → G'가 존재하면 G≅G' : 동형

(3) f :G → G'이 준동형사상일 때

① f (e )= e'

② f (a-1)= f (a)-1

③ H≤G ⇒ f (H )≤G'

④ K≤G' ⇒ f -1(K )≤G

⑤ f가 전단사이다 ⇔ ker ( f )= {e }

(4) 준동형사상 f : <S > → G는 S의 원소에 의해 완전히

결정된다.

(5) 준동형사상 f : <ℤm, +> → <ℤn, +>에 대하여

① (m, n)=1 ⇒ n | f (1) (즉 f (1)=0 )

② (m, n )=d ⇒ n/d | f (1)

군동형정리

(1) 제 1 동형정리

f :G → G'가 준동형사상이면 G/ker f ≅ f (G) .

→ GL 2(ℝ)/SL 2(ℝ) ≅ℝ*

(2) 제 2 동형정리

H≤G, N◁G ⇒ (HN )/N ≅H/(H∩N ) .

(3) 제 3 동형정리

H, K◁G, K≤H ⇒ G/H ≅(G/K )/(H/K ) .

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잉여군

(1) H, K⊆G에 대하여 HK≔{hk |k∈H, k∈K } .

(2) N◁G : N이 G의 정규부분군이다

⇔ N≤G, ∀a∈G :aN=Na

⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1=N

⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1⊆N

⇔ N≤G, ∀a∈G :aNa-1⊇N

⇔ N≤G, ∀a, b∈G : (aN )(bN )= abN

① 아벨군의 모든 부분군은 정규부분군이다.

② 준동형사상 f : G→ G'에 대하여 ker f ◁G이다.

③ C(G )◁G

(3) N◁G일 때 aN *bN으로 정의된 연산 *에 대하여

G/N≔{aN |a∈G }

을 N에 대한 G의 상군 또는 잉여군이라고 한다.

(4) 단순군 : {e }와 자신만을 정규부분군으로 갖는 군

→ 위수가 소수인 군은 단순군이다. (라그랑지 정리)

치환군

(1) {1, 2, …, n }에서의 일대일 대응을 치환이라고 하며

이러한 치환들의 모임 Sn에 함수의 합성 ∘가 연산으

로 주어진 군을 n차 대칭군이라고 한다.

→ n≧3이면 Sn은 아벨군이 아니다.

(2) σ, τ∈Sn에 대하여

① σ=( 1 2 … nσ(1) σ(2) … σ(n) )으로 표기한다.

② ak+1=σ(ak) , ak=σ(1)이 주기가 m인 수열을 정

의할 때 σ를 m -주기치환이라고 한다. 특히 2-주기치

환을 호환이라고 한다.

③ ( i 1, i 2, …, i r)= ( i 1, i r)( i 1, i r-1)… ( i 1, i 2) .

④ σ와 τ가 서로소이면 στ=τσ .

(3) 짝수개의 호환의 곱인 치환을 우치환, 홀수개의 호환의

곱인 치환을 기치환이라고 한다.

① An≔ ( Sn에서 우치환들의 모임 ) : n차 교대군

② Bn≔ ( Sn에서 기치환들의 모임 )

③ n≧2인 Sn에서 기치환과 우치환의 개수는 같다.

④ n≧2인 Sn의 부분군 H가 하나 이상의 기치환을

포함하면 H에서 기치환과 우치환의 개수는 같다.

⑤ n≧2 , n /=4이면 An은 단순군이다.

(4) ϕ a(x) ≔axa-1에 대하여

Inn(G) ≔ {ϕ a |a∈G } : 내적동형사상들의 모임

Aut(G) ≔ { f :G→ G automorphism }

일 때 Inn(G) ≤Aut(G) ≤SG .

(5) 임의의 군 G는 SG의 한 부분군과 동형이다. (케일리)

직적

(1) 군 Gi들과 성분별연산 ⋅에 대하여 <∏Gi, ⋅>를

외적적이라고 한다. G 1 , G 2가 가환군일 때 G 1×G 2를

직합이라고 하고 G 1⊕G 2로 표기한다.

(2) 군 G가 N 1, N 2◁G의 내직적이다

⇔ ∀g∈G : g= g 1g 2 : unique representation

⇔ G=N 1N 2 ∧ N 1∩N 2= {e }

→ 이 때 G ≅N 1×N 2이다.

(3) G가 분해 가능 decomposable하다

⇔ G가 H , K의 내직적, |H | /=1 /= |K |인 정규부분

군 H , K가 존재

⇔ G ≅H×K , |H | /=1 /= |K |인 H, K◁G가 존재

⇔ G ≅E×F , |E | /=1 /= |F |인 군 E , F가 존재

(4) G가 분해 불가능 indecomposable하다

⇔ (G≅H×K ⇒ H={e } ∨ K={e } )

(5) e , e'이 각각 G , H의 항등원이고 G= G×{e' } ,

H= {e }×H일 때

① G ◁G ×H , H ◁ G×H

② G ×H= ( G와 H의 내직적 )

③ G×H ≅ G ×H

(6) ℤm×ℤ n≅ Zmn ⇔ (m, n )= 1

유한생성가환군

유한생성가환군 G에 대하여 소수 p i들과 자연수 r i들이

존재하여

G ≅ℤ( p 1 )

r 1× ℤ ( p 2 )r 2×… × ℤ ( p n )

r n× ℤ ×… × ℤ .

여기서 p i들이 서로 다를 필요는 없다. 그리고 ℤ 인수들

의 개수를 G의 Betti Number라고 한다.

실로우 정리

(1) 제 1 실로우 Sylow 정리

소수 p에 대하여 |G |= pnm , (p, m )=1일 때

① ∀k∈ωn+1∃H≤G : |H |= pk

② H≤G , |H |= p k ( 1≦k≦n-1 )

⇒ ∃K : H◁K≤G , |K |=pk+1

(이 때 H를 G의 실로우 p -부분군이라고 한다. )

(2) 제 2 실로우 정리

유한군 G에 대하여, H 1 , H 2가 G의 실로우 p -부분군

이면 H 1= gH 2g-1인 g∈G가 존재한다.

(3) 제 3 실로우 정리

p | |G |이면 np≡1 ( mod p )이고 np | |G |이다.

(단, np는 G의 실로우 p -부분군의 개수이다. )

- 7 -

환과 부분환

(1) R상에서의 두 이항연산 + , ⋅에 대하여

(ⅰ) <R, +>가 아벨군이다

(ⅱ) R가 ⋅에 닫혀있고 결합법칙을 만족한다

(ⅲ) R는 + , ⋅에 대하여 분배법칙을 만족한다

을 만족할 때 <R, +, ⋅>을 환 ring이라고 한다.

(2) 환 R의 부분집합 S가 R과 동일한 연산에 대하여 환

이 될 때 S를 R의 부분환 subring이라고 한다. 다음은

서로 동치이다.

① S≤R : S가 R의 부분환이다

② x, y∈S ⇒ x-y∈S ∧ xy∈S

(3) 가환환 : ⋅가 가환인 환 <R, +, ⋅>

① 부울환 : ∀r∈R :r 2= r을 만족하는 환 … 가환환

(4) R에서 +에 대한 항등원을 0 , ⋅에 대한 항등원을

1로 표기하며 x의 +에 대한 역원을 -x , ⋅에 대한

역원을 x-1로 표기한다.

① 단위원을 가진 환 : 1∈R인 환 R

② 단원 : ⋅에 대한 역원이 존재하는 원소 = 가역원

③ R의 단원군 : U(R )=R *≔ (단원들의 모임)

④ 0x= x0=0

⑤ x(-y)= (-x)y=-xy , (-x)(-y)=xy

정역과 체

(1) a∈R가 인자라 함은 a /=0이고 ax= xa=0이면서

x /=0인 x∈R이 존재하는 것이다.

(2) 정역 : 인자를 갖지 않고 1∈R∖{0 }인 환 R .

(3) 나눗셈환 : 1∈R이고 R *=R∖{0 }인 환 R .

(4) 체 : 가환인 나눗셈환

① 체는 정역이다.

② 유한정역은 체이다.

③ 유한인 나눗셈환은 체이다.

환동형사상

(1) 두 환 R과 R'에 대하여 곱셈과 덧셈을 보존하는 함

수 f :R → R'를 환준동형사상이라고 한다.

(2) 환동형사상 : 전단사인 환준동형사상

(3) 환준동형사상 f :R → R'에 대하여

① f (0)=0' , f (-x)=-f (x)

② A≤R ⇒ f (A) ≤R' , B≤R'⇒ f -1(B) ≤R

③ ker (f )= {0 } ⇔ f가 전단사

④ 전사인 준동형사상 f에 대하여 f (1)=1'

상체

(1) 환 R , R'에 대하여 단사준동형사상 f :R → R'이 존

재하면 R은 R'에 매장된다고 한다. 이 때 R≅ f (R) .

(2) 정역 D와 S=D×(D∖{0 }) , 그리고 ∼를

(a, b )∼ (c, d ) ⇔ ad= bc

로 정의된 동치관계라고 하자. Q=S/∼에서

(a, b )+ (c, d )= (ad+bc, bd ) ,

(a, b )⋅ (c, d )= (ac, bd )

으로 정의된 연산 + , ⋅에 대하여 <Q, +, ⋅>를 상

체 또는 분수체라고 한다. 여기서 D는 Q에 매장된다.

통상 (a, b )를 a/b으로 표기한다.

(3) 모든 정역은 적당한 그리고 유일한 체에 매장된다.

(4) 모든 체에는 ℤ p 또는 ℚ가 매장된다.

표수

(1) 환 R와 집합 C={n∈ℕ |∀a∈R : na=0 }에 대하

여 R의 표수를 다음과 같이 정의한다.

char(R) ≔ { minC , C /=φ 0 , C=φ

(2) 1∈R이고 C={n∈ℕ |∀a∈R : 1n=0 }일 때

char(R)= { minC , C /=φ 0 , C=φ

(3) 정역 D에 대하여 1∈D≤R이면

char(D) = char(R)

(4) char(ℤm×ℤ n) = lcm(m, n )

(5) R={0 } ⇔ char(R)=1

(6) 정역의 표수는 0 또는 소수이다.

아이디얼

(1) 환 R의 공집합이 아닌 부분집합 I가 모든 a, b∈I

그리고 모든 r∈R에 대하여

a-b∈I ∧ ra, ar∈I

를 만족하면 I를 R의 아이디얼이라고 하고 I◁R로

표기한다.

(2) I◁R ⇔ I≤R, ∀r∈R : rI⊆ I ∧ Ir⊆ I

(3) I◁R에 대하여 <R/I, +, ⋅>를 I에 관한 R의 상

환 quotient ring 또는 잉여환 factor ring이라고 한다.

(4) f :R → R'이 준동형사상일 때

① ker f ◁R , R/ker f≅ f (R) … 제 1 동형정리

② I◁R이면 f (I )◁f (R)

③ J◁R'이면 f -1(J )◁R

(5) 단위원을 가진 환 R에 대하여 I◁R이 적어도 하나의

가역원을 포함하면 1∈I이고 I=R이다.

(6) 근기 radical : 멱 원 nilpotent의 집합

J={a∈R |∃m∈ℕ : am=0 } : R의 이데알이 된다.

- 8 -

극대아이디얼과 소아이디얼

(1) 극대아이디얼 : 관계 ≤에 의해 극대인 아이디얼

(2) 가환환 R의 아이디얼 P가

ab∈P ⇒ a∈P ∨ b∈P

를 만족하면 P를 R의 소아이디얼이라고 한다.

(3) R이 단위원을 가진 가환환이고 I◁R일 때

① I가 극대 아이디얼 ⇔ R/I가 체

② I가 소아이디얼 ⇔ R/I가 정역

③ 극대아이디얼은 소아이디얼이다.

(4) R이 단위원을 가진 가환환일 때 다음은 동치이다.

① R은 체이다.

② {0 }이 R의 극대아이디얼이다.

③ R의 아이디얼은 {0 }과 R 뿐이다.

다항식환

(1) 계수가 모두 R인 다항식들의 모임 R[x]를 R 위의

다항식환 polynomial ring이라고 한다.

(2) f (x)가 상수 아닌 두 다항식 g(x), h(x)∈F [x]의 곱

으로 표현될 수 있으면 F [x] 위에서 가약 reducible이

라고 하며 그렇지 않으면 기약 irreducible이라고 한다.

(3) 다항식 f (x)를 g (x)로 나눈 몫과 나머지는 유일하다.

(4) 다항식 f (x) ∈ℤ[x]가 ℚ[x]에서 기약일 필요충분조

건은 ℤ[x]에서 기약인 것이다.

(5) 다항식 f (x)= anxn+…+a 0와 α∈ℚ에 대하여

f (α )= 0 ⇒ α= ±a 0의 양의 약수an의 양의 약수

(6) D가 정역이고 f (x) ∈D [x] , g (x) ∈D [x]일 때

① f (x) /≡0 , g (x) /≡0

⇒ deg f (x) g(x)= deg f(x)+ degg(x)

② deg f (x) ≧ 2일 때 D에서 f (x)=0의 근이 존재하

면 f (x)는 가약이다.

(7) F가 체이고 f (x) ∈F [x] , deg f(x)가 2 또는 3이면

f (x)가 D [x]에서 가약 ⇔ ∃α∈D : f (α )=0

(8) 아이센슈타인 Eisenstein 판정법

다항식 f (x)= a 0+a 1x+…+anxn∈ℤ[x]에 대하여

p 2/|a 0 p |a 0 , p |a 1 , …, p |an-1 , p /|an

인 소수 p가 존재하면 f (x)는 ℚ[x]에서 기약이다.

(9) 원주등분다항식의 기약성 : 소수 p에 대하여

Ф p(x )≔xp-1+x

p-2+…+1은 ℚ[x]에서 기약이다.

주아이디얼정역

(1) R이 단위원을 가진 가환환일 때 < a> ◁R를 a에 의

해 생성된 주아이디얼이라고 한다. ( <a> ≔Ra=aR )

(2) 임의의 아이디얼이 주아이디얼인 정역을 주아이디얼정

역 PID라고 한다.

① ℤ는 PID이지만 ℤ[x]는 PID가 아니다.

② 체는 PID이다.

③ F가 체이면 F [x]는 PID이다.

④ f (x) ∈F [x]이고 < f (x)> /={0 }일 때

< f (x)>가 극대아이디얼 ⇔ f (x)가 F [x]에서 기약

유일분해정역

(1) 정역 D에서 서로 나누는 두 원소 a, b∈D를 동반원

이라고 한다. 즉 a |b ∧ b |a .

(2) 정역 D의 원소 p가 p /=0 , p는 가역원이 아니고

p=ab ⇒ a :가역원 ∨ b :가역원을 만족하면 p를 기약원이라고 한다.

(3) 정역 D의 원소 p가 p /=0 , p는 가역원이 아니고

p |ab ⇒ p |a ∨ p |b를 만족하면 p를 소원 또는 소수

라고 한다.

① 임의의 정역에서 소원은 기약원이다.

(4) 정역 D에서 0 또는 가역원이 아닌 임의의 x∈D가

유한개의 소원들로 인수분해되며, 그 형태가 동반원의 동

치관계에 의하여 유일하게 결정될 때 D를 유일분해정역

UFD라고 한다.

① UFD에서 임의의 기약원은 소원이다.

② D가 UFD이면 D [x]도 UFD이다.

③ 임의의 PID는 UFD이다.

유클리드정역

(1) 정역 D에 대하여 함수 ν : D∖{0 } →ℤ+0가 조건

(ⅰ) a, b∈D, b /=0 ⇒ ∃q, r∈D : a= bq+r

( r=0 또는 ν (r) < ν (b) )

(ⅱ) ∀a, b∈D∖{0 } : ν (a) ≦ν(ab)

를 만족할 때 D를 유클리드정역 ED이라고 한다.

이 때 ν를 D의 유클리드 부치라고 한다.

→ ν는 deg 와 같은 역할을 하는 함수이다.

(2) 모든 ED는 PID이다.

(3) 체 ⊆ ED ⊆ PID ⊆ UFD

- 9 -

대수적 확대체

(1) K가 F의 확대체라 함은 F가 K의 부분체임을 의미

하고 F≤K로 표기한다.

(2) F≤K일 때 K는 F 위의 벡터공간이고 K의 F 위

의 차수 degree를 [K : F ] ≔ dim FK로 정의한다.

① [K, F ] <∞일 때 K를 F의 유한확대체라고 한다.

② [K, F ]=∞일 때 K를 F의 무한확대체라고 한다.

(3) F≤E이고 α∈E , α i∈E일 때

F(α)≔∩{K |F∪{α }⊆K≤E }

= {f (α)g (α)-1 | f (x), g (x) ∈F [x], g (α) /=0 }

= ( α와 F를 포함하는 E의 최소의 부분체 )

F(α1, …, α i )≔ {K |F∪{α1, …, αn }⊆K≤E }

= ( α i들과 F를 포함하는 E의 최소의 부분체 )

(4) F≤K일 때 α∈K가 F에서 대수적 algebraic이라 함

은 f (α)=0이고 f (x) /≡0인 f (x) ∈F [x]가 존재하는

것이다. 그렇지 않으면 α는 F에서 초월적이라고 한다.

(5) F≤K이고 임의의 α∈K가 F에서 대수적이면 K를

F의 대수적 확대체라고 한다.

(6) F≤K이고 K=F (α)인 α∈K가 존재하면 K를 F

의 단순확대체라고 한다.

(7) F≤K이고 α∈K가 F에서 대수적일 때 p (α)=0이

고 p (x) /≡0이며 F [x]에서 기약이며 모닉monic인 다

항식 p (x)를 F 위에서 α에 대한 기약다항식이라고

하며 irr(α, F )로 표기한다.

→ F 위에서의 α에 대한 기약다항식은 유일하다.

→ 최고차의 계수가 1인 다항식을 monic이라고 한다.

→ F 위에서 α의 차수 : deg (α, F )≔ deg p (x) .

확대체의 성질

(1) 유한확대체는 대수적 확대체이다.

(2) L이 F의 유한확대체이고 F≤K≤L이면

[L :F ]=[L :K ][K :F ]이다.

① F≤E일 때 [E :F ]=1 ⇔ E=F .

② E가 F의 유한확대체이고 [E :F ]가 소수이면 E

는 F의 단순확대체이다.

(3) deg (α, F )=[F (α) :F ]= deg ( irr(α, F ))

(4) 유한체 F와 곱 ⋅에 대하여 <F*,⋅>은 순환군이다.

(5) 유한체 F , G에 대하여 |F |= |G | ⇔ F≅ G .

(6) 유한체의 위수는 소수의 거듭제곱이다.

갈로아 확대체

(1) 체 F와 a i∈F , 그리고 deg f (x) ≧1인 다항식

f (x)= a 0(x-a 1)(x-a 2)… (x-an)∈F [x]

에 대하여 확대체 K=F (a 1, a 2, …, an )를 F 위에서

f (x)의 분해체 splitting field라고 한다. 즉 K는 f (x)

를 1차식으로 인수분해할 수 있는 최소의 체이다.

(2) deg f (x)=n인 다항식 f (x) ∈F [x]가 f (x)의 분해

체에서 n개의 서로 다른 근을 가질 때 f (x)를 분리가

능 separable이라고 한다.

(3) K가 F의 유한확대체이고, 임의의 α∈K에 대하여 다

항식 f (x) ∈F [x]가 존재하여 f (α)=0일 때 K를 F

의 분리확대체 separable extension field라고 한다.

(4) F≤K일 때 연산 ⋅에 대하여

① F 위에서 K의 자기동형군

Aut(F )≔ {α :F → F : automorphism }

② F 위에서 K의 갈로아군

G (K/F )≔ {α∈Aut(K ) |∀x∈F :α(x)= x }

(5) K가 F의 대수적 확대체이고, α∈K에 대하여

f (α )=0인 임의의 기약다항식 f (x) ∈F [x]가 K [x]

에서 일차인수의 곱으로 인수분해 가능할 때 K를 F이

정규확대체 normal extension field라고 한다.

(6) S≤Aut(K )에 대하여

KS≔{a∈K |∀α∈S : α(a)= a } ≤K

를 S의 K 위의 고정체 fixed field라고 한다.

(7) F의 유한정규분리확대체 K를 F의 갈로아확대체라고

한다. ⇔ K가 F의 유한확대체이고 G(K/F )=S에

대하여 KS=F이다.

→ 복소수체는 실수체의 갈로아확대체이다.

갈로아 이론의 기본정리

K가 F의 갈로아확대체이고

α≔{E |F≤E≤K } , β≔ {H |H≤G (K/F ) }

에 대하여 φ :α → β가 φ(E )=G (K/E )로 정의될 때

(1) φ는 일대일 대응이다.

(2) E, L∈α에 대하여 E≤L일 필요충분조건은

φ(E )⊇φ(L) ∧ [G (K /E ) :G (K/L)]=[L :E ] .

(3) H, J∈β에 대하여 H⊇J일 필요충분조건은

KH≤Kj ∧ [H : J ]= [KH :KJ ] .

(4) F≤E≤K일 때

① E가 F의 정규확대체 ⇔ φ(E) ◁G (K/F )

② ① ⇒ G (E/F ) ≅G (K/F )/G (K/E )

- 10 -

대수척 폐체와 덮개

(1) 임의의 f (x) ∈F [x]가 F [x]에서 일차식의 곱으로 인

수분해 가능할 때 F는 대수적으로 닫혀있다고 한다. 그

리고 F를 대수적 폐체 algebraically closed라고 한다.

(2) K가 F의 대수적확대체이고 대수적으로 닫혀있을 때

K를 F의 대수적 덮개 algebraic closure 또는 대수적

폐포라고 하며 F≔K로 표기한다.

① ℂ는 대수적 폐체이다.

② ℝ=C이다.

③ 대수적 폐체는 무한체이다.

기하학적 작도

(1) α∈ℝ에 대하여 눈금없는 자와 컴퍼스를 이용하여 길

이 1인 선분으로부터 유한번의 과정을 거쳐 길이 | α |를

가지는 선분을 작도할 수 있을 때 α를 작도가능수 cons-

tructable number라고 한다.

① a, b∈ℝ이 작도가능수일 때 (a, b )∈ℝ 2를 작도가

능점이라고 한다.

(2) F≔{α∈ℝ | α is constructable }에 대하여

① ℚ≤F≤ℝ이다.

② α∈F이면 | α | ∈F이다.

③ 각 θ가 작도 가능 ⇔ sinθ가 작도 가능

⇔ cosθ가 작도 가능

④ 정 n각형이 작도 가능 ⇔ n=2mp 1p 2…pk

단, p i들은 22 c+1 꼴의 서로다른 소수 (페르마 소수)

(3) α∈ℝ에 대하여

① α가 작도 가능할 필요충분조건은 a 0=1 , an=α와

실수 a 1 , a 2 , … , an-1이 존재하여

[ℚ(a 0, a 1) :ℚ(a 0)]=[ℚ(a 0, a 1, a 2) :ℚ(a 0, a 1)]

=…=[ℚ (a 0, …, an) :ℚ(a 0, a 1, …, an-1)]=2 .

② α가 작도 가능하면 [ℚ(α) :ℚ ]=2n이다. ( n≧0 )

③ α가 작도 가능하면 α는 ℚ에서 대수적이다.

(4) 3대 작도 불능문제

① 임의각의 3등분 문제 : ‘임의의 각의 3등분선은 작도’

는 불가능하다.

② 배적문제 : 한 변의 길이가 1인 정육면체의 부피가

두 배가 되는 정육면체의 한 변의 길이는 작도 불가능

하다.

③ 원적문제 : 반지름의 길이 1인 원과 같은 면적의 정

사각형의 한 변의 길이는 작도 불가능하다.

- 11 -

실해석학 | Real Analysis

실수계

(1) 실수계 : 완비인 순서체 (유일하게 결정된다.)

① (ℝ, +, ⋅)은 체이다.

② (ℝ, ≦)는 전순서집합이다.

③ S⊆ℝ가 공집합이 아니고 위로 유계이면 α∈ℝ가

존재하여 α= supS이다.

(2) 실수 x , y에 대하여

① (∀ε > 0 : x < y+ε ) ⇔ x≦y

② (∀ε > 0 : x > y-ε ) ⇔ x≧y

③ (∀ε > 0 : |x | < ε ) ⇔ x=0

(3) 수학적 귀납법

자연수 n에 대한 명제 p(n)이

p (1) ∧ p (k) ⇒ p (k+1)

을 만족하면 임의의 자연수 n에 대하여 p (n)은 참이다.

상한과 하한

(1) 공집합이 아닌 집합 E⊆ℝ의 임의의 원소 x에 대하

여 x≦M인 실수 M이 존재하면 E는 위로 유계라고

한다. 이때 M을 E의 상계라고 한다.

→ E의 상계 중 최소원을 상한이라고 하며 supE로 표

기한다.

→ 하계와 하한에 대해서도 마찬가지로 정의한다.

→ 위아래로 유계이면 그냥 유계라고 한다.

(2) 공집합이 아닌 A, B⊆ℝ에 대하여

① B가 위로 유계이면 -B≔{x∈ℝ | -x∈B }는 아

래로 유계이고 supB=- inf(-S)이다.

② A⊆B이면 supA≦supB , infA≧infB

③ sup(A+B)= supA+ supB

(3) 아르키메데스의 원리

임의의 a∈ℝ에 대하여 a < n인 n∈ℕ이 존재한다.

(4) 유리수의 조 성

a < b인 임의의 실수 a , b에 대하여 a < q < b인 유리

수 q가 존재한다. 즉 ℚ=ℝ이다.

수열의 극한

(1) 실수열 <an>에 대하여

∀ε > 0 ∃N∈ℕ : n > N ⇒ |an-L | < ε

을 만족하는 실수 L이 존재할 때 <an>은 L에 수렴

한다고 하며 limn→∞an=L이라고 표기한다.

(2) 수렴하는 수열은 유계이며 그 극한은 유일하다.

수열의 극한의 계산

(1) 비교극한 : 유한개를 제외한 n에 대하여 an≦bn이 성

립하면 liman≦ limbn이다.

(2) 단조이고 유계인 수열은 수렴한다.

(3) 수열의 극한작용소는 사칙연산을 보존한다.

수열의 수렴성

(1) 정의역과 공역이 자연수 집합인 nk가 증가수열일 때

수열 <ank>를 <an>의 부분수열이라고 한다.

→ 수렴하는 수열의 부분수열은 수렴한다.

(2) ∀ε > 0 ∃N∈ℕ : m > n≧N ⇒ |am-an | < ε을 만족

하는 수열 <an>을 코시 수열이라고 한다.

→ 수열이 수렴할 필요충분조건은 코시수열인 것이다.

(3) 유계폐구간열 { I n }에 대하여 I i⊇I i+1이 성립하고 그

구간의 길이가 0에 수렴하면 #∩In=1이다.

(4) 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. (B.W.)

상극한과 하극한

(1) 수열 <an>이 실수 α에 수렴하는 부분수열을 가질 때

α를 <an>의 집적점이라고 한다.

(2) <an>이 유계이고 그 집적점들의 모임 C가 공집합이

아닐 때 liman≔supC , liman≔infC로 정의한다.

(3) 수열 <an>에 대하여

① lim an≦ liman

② <an>이 수렴 ⇔ liman= liman .

함수의 극한

(1) 함수 f의 정의역의 집적점 c와 실수 L에 대하여

∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x- c | < δ → | f (x)-L | < ε

이 성립할 때 limx→cf (x)=L이라고 한다.

(2) 함수 f의 정의역의 우집적점 c와 실수 L에 대하여

① ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x- c < δ → | f (x)-L | < ε

이 성립하면 limx→c+

f (x)=L이라고 한다.

② ∀M > 0 ∃δ > 0 : 0 < x- c < δ → f (x) > M

이 성립하면 limx→c+

f (x)=∞이라고 한다.

→ 좌극한에 대해서도 같은 방법으로 정의한다.

(3) 함수 f의 정의역이 위로 유계가 아닐 때

① ∀ε > 0 ∃X > 0 : x > X → | f (x)-L | < ε

이 성립하면 limx→∞f (x)=L이라고 한다.

→ 다른 극한도 같은 방법으로 정의한다.

- 12 -

함수의 극한의 계산

(1) limx→af (x)=L ⇔ lim

x→a+f (x)=L= lim

x→a-f (x)

(2) c의 적당한 근방에서 f (x) ≦g (x)이면

limx→cf (x) ≦ lim

x→cg (x)

(3) 실수 M에 대하여 x > M ⇒ f (x) ≦g (x)이면

limx→∞f (x) ≦ lim

x→∞g (x)

(4) 함수의 극한작용소는 사칙연산을 보존한다.

연속성

(1) f가 c에서 연속이라 함은 c가 f의 정의역의 집적점

이 아니거나 limx→cf (x)= f (c)인 것이다.

(2) f , g가 연속함수이면 f ±g , f⋅g , f/h , f∘g도 연

속함수이다.

(3) f가 c에서 연속일 필요충분조건은 xn → c인 임의의

수열 <xn>에 대하여 f (xn) → f (c)인 것이다.

(4) f가 연속함수이면 f ( limg (x))= limf (g (x))이다.

(5) f : [a, b] →ℝ가 연속함수일 때

① f는 [a, b]에서 최대값과 최소값을 가진다.

② f (a) < f (b)이면 f ( [a, b])⊇[f (a), f (b)]이다.

평등연속

(1) 함수 f :E →ℝ가 E에서 평등연속이라 함은

∀c∈E∀ε > 0 ∃δ > 0 : |x-c | < δ → | f (x)- f (c) | < ε

을 만족하는 것이다.

① 평등연속인 함수는 연속이다.

② 컴팩트 집합상에서 연속인 함수는 평등연속이다.

③ 미분이 유계인 함수는 평등연속이다.

(2) 구간 I와 적당한 실수 M에 대하여

∀x, y∈I : |f (x)-f (y) |≦M |x-y |

를 만족하는 함수 f를 리프쉬츠 함수라고 한다.

→ 리프쉬츠 함수는 평등연속이다.

미분의 정의

(1) f가 a에서 미분 가능하다는 것은 극한

L= limx→a

f (x)-f (a)x-a

이 존재하는 것이다. 이 때 L= f '(a)로 표기한다.

① L을 a에서 f의 미분계수라고 한다.

② f '를 f의 도함수라고 한다.

③ f '이 연속인 f는 연속적으로 미분가능이라고 한다.

미분의 계산

(1) f , g가 미분 가능할 때

① (f (x)+g (x))'= f '(x)+g'(x)

② (f (x)g (x))'= f '(x)g (x)+f (x)g'(x)

③ ddx (

f (x)g (x) )=

f '(x)g (x)-f (x)g'(x)

g (x)2

④ (f (x)g (x)) (n)= ∑n

k=1nC k f

(n- k)(x) g

( k)(x)

(2) f가 a에서 미분가능하고 g가 f (a)에서 미분가능할

때 (g∘f )'(a)=g'(f (a)) f '(a) .

미분의 활용

(1) 평균값정리 : f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b )에서

미분 가능하면 c∈(a, b )가 존재하여

f (b)-f (a)b-a

= f '(c)

를 만족한다.

(2) 베르누이 부등식 : -1≦x일 때

① 0 < α≦1 ⇒ (1+x )α≦1+αx

② 1≦α ⇒ (1+x )α≧1+αx

(3) 로피탈의 정리 : f , g가 미분 가능하고

limx→af (x)= lim

x→ag (x)=0 ∨ lim

x→af (x)= lim

x→ag (x)=∞

이면 limx→a

f (x)g (x)

= limx→a

f '(x)g'(x)

이다.

(4) ∀x∈(a, b ) : f '(x) > 0 ⇒ f는 [a, b]에서 순증가.

역함수의 미분

(1) 역함수 정리 : f가 미분 가능하고 f ' > 0이면 f -1는

미분 가능하고 f (x)= y에 대하여

(f-1)'(y )=

1f '(x)

.

(2) lnx≔⌠⌡

x

1

1tdt , exp (x) ≔ ln -1x .

① ( ln x )'=1/x , ( expx )'= expx

② ln ab= ln a+ ln b

③ exp (x+y )= exp (x) exp (y)

(3) e≔ exp1 , ax≔ exp (x lna ) .

(4) 삼각함수

① sinhx≔ex-e- x

2, coshx≔

ex+e- x

2

② sin -1x는 sinx의 역함수

③ cos -1x는 cosx의 역함수

- 13 -

리만 적분의 정의

f : [a, b] →ℝ가 유계이고 P={x i }가 [a, b]의 분할

일 때

(1) 상합 U(f, P )와 하합 L ( f, P )을 각각

U (f, P )≔∑n

i=1(x i-x i-1)sup{f (x) |x∈[x i-1, x i] }

L (f, P )≔∑n

i=1(x i-x i-1) inf{f (x) |x∈[x i-1, x i] }

으로 정의한다.

(2) 상적분가 하적분을 각각

상적분 : ⌠⌡

b

af (x) dx≔ infPU (f, P )

하적분 : ⌠⌡

b

af (x) dx≔ supPU (f, P )

으로 정의한다.

(3) f가 [a, b]에서 리만적분 가능하다 함은

⌠⌡

b

af (x) dx = ⌠⌡

b

af (x) dx≕⌠⌡

b

af (x) dx .

리만적분의 성질

(1) f가 I=[a, b]에서 리만적분 가능하다

⇔ 임의의 ε > 0에 대하여 I의 분할 P가 존재하여

U ( f, P )-L ( f, p ) < ε인 것이다.

⇔ f가 [a, b]의 거의 모든 점에서 연속이다.

(2) 단조함수와 연속함수는 적분가능하다.

(3) 적분연산자는 선형작용소이며 평등순서관계를 보존한다.

(4) |⌠⌡b

af (x) dx |≦⌠⌡

b

a| f (x) |dx

(5) f : [a, b] →ℝ가 연속이면

f (c)=

⌠⌡

b

af (x) dx

b-a

를 만족하는 c∈(a, b )가 존재한다.

(6) (⌠⌡b

af (x)g (x) dx )

2

≦⌠⌡

b

af (x) 2dx⌠⌡

b

ag (x) 2dx

미적분의 기본정리

(1) f가 [a, b]에서 적분가능하고 F가 [a, b]에서 미분

가능하며 F'= f이면 ⌠⌡

b

af (x)dx=F (b)=F (a)이다.

→ 이 때 F를 f의 부정적분이라고 한다.

(2) f : [a, b] →ℝ가 연속함수이면 f는 [a, b]에서 적

분 가능하고 ddx⌠⌡

x

af (x)dx= f (x)이다.

(3) F , g가 미분가능하고 F '= f일 때

⌠⌡f (g (x))g'(x)dx=F (g (x))+C

.

(4) f , g가 미분 가능하고 f ' , g '이 적분 가능할 때

⌠⌡f '(x)g (x)dx= f (x)g (x )-

⌠⌡f (x)g'(x)dx

.

특이적분

(1) f가 (a, b]에서 정의될 때

⌠⌡

b

af (x)dx≔ lim

c→0+

⌠⌡

b

a+cf (x) dx .

→ 우개구간에서도 같은 방법으로 정의.

(2) f가 [a, ∞)에서 정의될 때

⌠⌡

∞

af (x)dx≔ lim

N→∞

⌠⌡

N

af (x)dx .

→ 아래로 유계가 아닌 구간에서도 같은 방법으로 정의.

(3) 적분구간에서 0≦ f (x) ≦g (x)일 때

⌠⌡

b

ag (x)dx가 수렴하면 ⌠⌡

b

af (x)dx도 수렴한다.

무한급수

(1) ∑∞

n= ian≔ lim

k→∞∑k

n= ian : 간단히 ∑an으로 표기.

① ∑|an |이 수렴하면 ∑an은 절대수렴한다고 한다.

② ∑an이 수렴하지만 절대수렴하지 않으면 조건수렴

한다고 한다.

(2) 양항급수가 수렴할 필요충분조건은 위로 유계인 것이다.

(3) ∑an이 수렴하면 lim an=0이다.

급수 수렴성의 판정

(1) 양항수열 <an>이 단조감소이면 ∑(-1)nan은 수렴

한다. (교대급수)

(2) ∑1

np는 p > 1일 때 수렴하고 0 < p≦1일 때 발산한

다. ( p-급수)

(3) 양항수열 {an } , {bn }에 대하여 {an/bn }이 수렴하면

∑an과 ∑bn은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

(4) ρ≔ lim n|an |에 대하여

① ρ < 1이면 ∑an은 절대수렴,

② ρ > 1이면 ∑an는 발산한다.

(5) ρ= lim |an+1|/|an | , ρ= lim|an+1|/|an |에 대하여

① ρ < 1이면 ∑an은 수렴한다.

② ρ > 1이면 ∑an은 발산한다.

(6) f가 [1, ∞)에서 단조감소이고 f ≧0일 때

⌠⌡

∞

1f (x)dx와 ∑f (n)은 동시에 수렴하거나 발산한다.

(7) 양항수열 <an>과 r≔ limn→∞n (

anan+1

-1 )에 대하여∑an는 r > 1일 때 수렴하고 r < 1이면 발산한다.

(8) 감소하는 양항수열 <an>에 대하여 ∑an이 수렴할 필

요충분조건은 ∑2na 2n이 수렴하는 것이다.

- 14 -

함수열

(1) E상에서 정의된 함수열 < f n>에 대하여

① fn → f : ∀x∈E : limn→∞f n(x)= f (x) . … 점별수렴

② fn ⇉ f : limn→∞|| f n- f ||=0 . … 평등수렴

(2) E상에서의 함수열 < f n>에 대하여

① fn ⇉ f이면 fn → f이다.

② 각 f n이 연속이고 fn ⇉ f이면 f도 연속이다.

③ 각 fn이 적분가능하고 fn ⇉ f이면 f도 적분가능하

고 ⌠⌡

b

alimn→∞f n(x)dx= lim

n→∞

⌠⌡

b

af n(x) dx이다.

④ 실수열 <Mn>에 대하여 0≦|| f n ||≦Mn이 성립하고

∑Mn이 수렴하면 ∑fn은 평등수렴한다.

(3) E상에서의 함수열 < f n>이 네 조건

(ⅰ) 각 fn이 미분가능하다

(ⅱ) 각 fn'이 적분가능하다

(ⅲ) < fn(x 0) >이 수렴하는 x 0∈E가 존재한다

(ⅳ) < fn' >이 연속함수 g에 평등수렴한다

를 만족하면 f n은 미분가능한 함수 f에 평등수렴하고

f '= g이다.

(4) f : [a, b] →ℝ가 연속이면 f에 평등수렴하는 다항함

수열이 존재한다. (바이에르슈트라스 다항식 근사정리)

멱급수

(1) 실수열 <an>에 대하여 ∑an(x-c)n을 중심 c에서

의 멱급수라고 한다.

(2) 멱급수 ∑an(x-c)n은 다음 중 하나만 만족한다.

(ⅰ) x= c에서만 수렴한다.

(ⅱ) |x-c | < a일 때 수렴, |x-c | > c일 때 발산한다.

(ⅲ) 모든 실수 x에 대하여 수렴한다.

이 때 r≔{0 , case (ⅰ)a , case (ⅱ)∞, case (ⅲ)

를 수렴반경이라고 한다.

(3) 수렴반경 공식 : r= limn→∞

1n |an |

= limn→∞

|an |

|an+1 |

(4) 멱급수 ∑an(x-c)n가 수렴하는 x의 집합을 수렴구

간이라고 한다.

테일러 전개

(1) 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f∈Cn+1(I ) , c∈I일 때

① n차 테일러 다항식 : Pn(x )≔ ∑n

k=0

f( k)(c)k!

② n차 테일러 나머지항 : Rn+1≔ f (x)-Pn(x)

③ 여기서 Rn+1(x)=1n!⌠⌡

x

cf (n+1)( t )(x-t )ndt

(2) 테일러 정리 : 위에서 정의한 f , c에 대하여

Rn+1(x)=f(n+1)

(β )(n+1)!

(x-c)n+1

을 만족하는 β∈(a, b )가 존재한다.

실해석적함수

(1) f가 a에서 실해석적이라 함은 a의 근방에서 테일러

다항식이 f에 평등수렴하는 것이다. 즉

∑n

k=0

f( k)(a)k!

(x-a) k ⇉ f (x) .

이것은 a의 근방에서 Rn(x) ⇉ 0과 동치이다.

(2) 정의역의 모든 점에서 해석적인 함수를 실해석적 함수

라고 한다.

(3) 해석적 함수의 테일러 전개에서 계수열은 유일하게 결

정된다.

멱급수의 미적분

(1) 멱급수는 수렴구간의 폐부분집합에서 평등수렴한다.

(2) 멱급수는 수렴반경내에서 항별로 미적분 가능하다.

다변함수의 극한

(1) x, y∈ℝn에 대하여

① 벡터합 : x+y ≔(x i+y i ) i (성분별연산)

② 내적 : x⋅y= ∑n

k=1x ky k

③ 노름 : ||x || ≔ x⋅x= ∑x2k

④ x⋅y=|x | |y | cos∠(x, y )

⑤ |x⋅y |≦|x | |y | : 코시 슈바르츠 부등식

⑥ |x+y |≦|x |+|y | : 삼각부등식

⑦ 외적 : n=3일 때

x×y ≔ ( | x 2 x 3y 2 y 3 |, |x 3 x 1y 3 y 1 |, |

x 1 x 2y 1 y 2 |)

(2) ℝn의 개집합 U와 a∈U , f :U →ℝm에 대하여

① limx→af (x)=L

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x-a | < δ → | f (x)-L | < ε

② f가 a에서 연속 ⇔ limx→af (x)= f (a) .

- 15 -

다변함수의 미분

(1) U⊆ℝn이 개집합이고 함수 f :ℝn→ℝm가

f=( f 1, f 2, …, fm )

일 때 단위벡터 v와 P=(p 1, …, pn )에 대하여

① Dvf (P) ≔ddtf (P+ t v )|

t= 0= lim

t→0

f (P+ tv)-f (P)t

② 편미분 : 표준기저 {e i }에 대하여

f x i(P) ≔De f (P)=∂ f∂x i |P

③ f가 P에서 미분가능하다 함은 선형사상

T :ℝn→ℝ

m

가 존재하여 다음을 만족하는 것이다.

limh→0

| f (P+h )-f (P)-T (h) ||h |

= 0

이때 T를 f의 전미분이라고 하며 [T ]≔ f '(P)를

f의 P에서의 야코비 행렬이라고 한다.

(2) 앞서 정의한 f와 P에 대하여

① P의 근방에서 f의 일계편도함수가 존재하고 그 편

도함수가 P에서 연속이면 f는 P에서 미분가능하다.

② f가 P에서 미분가능하면 P에서 f의 일계편도함수

가 존재하며 또한 다음이 성립한다.

f '(P)= [d f (P) ]= (∂ f i∂x i(P) m×n )

특히 m=n인 경우

Δ f (P)= det(f '(P) )≔∂(f 1, …, fn )

∂(x 1, …, xn ) |P를 f의 P에서의 야코비행렬식이라고 한다.

(3) 미분가능한 함수 f , g에 대하여

① [d(f+g)(P)]=[df (P)+dg(P)]

② [d (α f )(P)]=α [d (f (P)]

③ [d ( f⋅g )(P)]=g (P) t [d ( f (P)) ]+ f (P) t [dg(P)]

④ [d (g∘f )(P)]=[dg ( f (P))][df (P)]

(4) 역함수정리

개집합 U⊆ℝn와 V= f (U ) , P∈U , Q= f (P)에 대

하여 f :U →ℝn가 C 1이고 Δ f (P) /= 0이면

(ⅰ) U 0⊆U , V 0⊆V인 각 P와 f (P)의 개근방,

(ⅱ) f : U 0 → V 0가 전단사이고 f-1가 C 1

을 만족하는 U 0 , V 0가 존재하여 dGQ=[dfP]-1 .

(5) 음함수정리

U⊆ℝ 2가 개집합이고 함수 f :U →ℝ가 C 1이며

(a, b )∈U , f (a, b )=0 , f y (a, b ) /=0이면 a , b의

개근방 A , B와 함수 ϕ :A → B가 존재하여

f (x, y )= 0 ∧ (x, y )∈A×B ⇔ y=ϕ(x) .

여기서 ϕ는 C 1이고 ϕ'(a)=-f x(a, b )

f y(a, b )이다.

일변수벡터함수의 미분

(1) 구간 I와 α : I → ℝn에 대하여

① α의 속도벡터 : α '( t )= (α i'( t )) i … 성분별미분

② α의 속력 : | α '( t ) |

③ α가 정칙곡선이다

⇔ α가 C 1이고 ∀t∈I : α '( t ) /=0이다.

④ 정칙곡선 α의 길이 : L≔⌠⌡

b

a| α '( t ) |dt

→ ds≔|α'( t ) |dt를 선요소 line element라고 한다.

다변수실함수의 미분

(1) 개집합 U⊆ℝn과 P∈U , v∈ℝn , f : U →ℝ에 대

하여

① f의 v 등위면 : f -1(v)

② 델 : ∇≔( ∂∂x i ) i③ f의 그래디언트 : grad f |P≔∇f |P=( ∂ f∂x i ) i④ P가 f의 임계점이다 ⇔ ∇ f |P=0

(2) 단위벡터 a∈ℝn에 대하여

Da f =∇f⋅a=|∇f | |a | cosθ .

따라서 θ=0일 때 Daf는 최대값 |∇f |를 갖고 θ=π

일 때 Daf는 최소값 -|∇f |를 가진다.

(3) f가 P에서 모든방향미분이 존재하고 P가 f의 최대

점 또는 최소점이다 ⇒ P는 f의 극점이다 ⇒ P는 f

의 임계점이다

(4) (점 P에서 c의 등위면의 접선면) ⊥ ∇f (P)

→ f의 c -등위면 S와 P∈S에 대하여, S의 P에서의

접평면의 방정식은 0= (∇f |P )⋅(x-P )이다.

(5) 개집합 ℝ 2와 f :U →ℝ의 임계점 P∈U에 대하여

a≔D21f (P ) , b≔D 1D 2f (P ) , c≔D

22f (P )라고 할 때

① ac- b 2 > 0 , a > 0 ⇒ P는 극소점

② ac- b 2 > 0 , a < 0 ⇒ P는 극대점

③ ac- b 2 < 0 ⇒ P는 안장점

(6) K⊆ℝn이 폐유계이면 f : K →ℝ는 K에서 최대값과

최소값을 가진다.

(7) 라그랑지 승수법

f :ℝn→ℝ , g :ℝ n→ℝ가 C 1이고 K= g-1(c)이며

P∈K가 f의 K에서의 극점이며 ∇g(P) /=0이면 적

당한 λ∈ℝ가 존재하여 ∇f (P)=λ∇g (P)이다.

- 16 -

리만다중적분

(1) 직사각형 역 R⊆ℝn의 분할 P에 대하여

⌠⌡RfdR≔infU (f, P )= supL (f, P ) ≕⌠⌡R

fdR

일 때 f는 R에서 리만적분 가능하다고 한다.

(2) 직사각형 역 R의 부분집합 E에 대하여

① f(P)≔{ f (P), P∈E 0 , P∈R E

② ⌠⌡Ef dE≔⌠⌡R

f dR .

(3) f가 R= [a, b]×[c, d]에서 적분가능하면

① ⌠⌡RfdR=⌠⌡

b

a

⌠⌡

d

cf (x, y )dydx =⌠⌡

d

c

⌠⌡

b

af (x, y )dydx

② [a, b]로부터 ℝ로의 함수 g 1 , g 2가 C1이고 임

의의 x∈[a, b]에 대하여 c≦g 1(x) ≦g 2(x) ≦d이

며 A={ (x, y ) |a≦x≦b, g 1(x) ≦y≦g 2(x) }이면

⌠⌡Af dA=⌠⌡

b

a

⌠⌡

g 2(x)

g 1(x)f (x, y )dydx .

③ G :U →ℝn이 단사인 C 1 함수이면

⌠⌡G (U )

f dG (U ) =⌠⌡U(f∘G )|ΔG| .

선적분과 면적분

(1) U⊆ℝn이 개집합이고 정칙곡선 C을 정의하는 함수가

α : [a, b ]→U , α( t )= (α i(t )) i

이며 α[a, b]⊆U , F : U →ℝn , f :U →ℝ 1일 때

① ⌠⌡CF≔⌠⌡

b

aF (α( t ))⋅α'( t )dt=⌠⌡C

F⋅ t ds ,

② ⌠⌡Cf≔⌠⌡

b

af (α( t ))|α'( t ) |dt=⌠⌡C

f ds .

여기서 ds=|α'( t ) |dt , t=α'( t )α'( t )

.

(2) D⊆ℝ 2가 단순연결 역이고 C= Bd(D)가 구분적으

로 C 1이며 C의 방향이 양의 방향이라고 하자.

① 그린정리 : P (x, y ) , Q (x, y )가 D에서 ℝ로의 함

수이고 C 1일 때

⌠⌡CP(x, y )dx+Q(x, y )dy=⌠⌡

⌠⌡DQx-Pydydx

=⌠⌡⌠⌡D (

∂Q∂x-∂P∂y )dydx .

② D의 면적 A에 대하여

A=12⌠⌡C(-y dx+xdy)=-⌠⌡C

ydx=⌠⌡Cxdy .

(3) D⊆ℝ 2와 S⊆ℝ 3에 대하여 x : D→ S가 전단사함수

이고 x u×x v /= 0일 때 S를 곡면, x를 S의 매개화라

고 한다.

(4) f : →ℝ에 대하여

① ⌠⌡⌠⌡Sf (x, y, z ) ≔⌠⌡

⌠⌡Df ( x(u, v )) |xu×x v |dudv .

② 함수 F : S →ℝ 3와 곡면 S의 단위법벡터장

U ≔x u×x v| x u×x v |

에 대하여

⌠⌡⌠⌡SF ≔⌠⌡

⌠⌡SF⋅U dS

=⌠⌡⌠⌡SF ( x(u, v ))⋅( x u×x v)dudv

를 면적분이라고 하고 dS≔|x u×x v |dudv를 면적소

라고 한다.

스토크스 정리와 발산정리

(1) 스토크스 Stokes 정리

역 D의 경계 C= bd(D)가 구분적으로 C 1이고

S가 D에서 정의된 곡면일 때 F : S →ℝ 3에 대하여

⌠⌡CF =⌠⌡

⌠⌡S(∇×F ) .

이 때 ∇×F ≕ curlF를 f의 회전 curl이라고 한다.

(2) 발산 divergence정리

ℝ3상의 폐 역 R와 F :R →ℝ 3에 대하여

⌠⌡⌠⌡∂R

F =⌠⌡⌠⌡⌠⌡R∇⋅F .

이 때 ∇⋅F≕ divF를 f의 발산이라고 한다.

→ 가우스 정리라고도 한다.

- 17 -

위상수학 | Topology

위상공간

(1) 집합 X에 대하여 ℑ⊆2X가

(ⅰ) X∈ℑ , φ∈ℑ

(ⅱ) {Gi } i∈I⊆ℑ ⇒ ∪Gi∈ℑ

(ⅲ) {Gi }n

i=1⊆ℑ ⇒ ∩Gi∈ℑ

를 만족할 때 ℑ를 X에서의 위상이라고 한다.

(2) 위상공간 (X,ℑ)에 대하여

① ℑ의 원소 G를 개집합이라고 한다.

② Fc가 개집합일 때 F를 폐집합이라고 한다.

③ 개집합이면서 폐집합인 집합을 개폐집합이라고 한다.

④ X , φ는 개폐집합이다.

⑤ 임의 개수의 폐집합의 교집합은 폐집합이다.

⑥ 유한 개의 폐집합의 합집합은 폐집합이다.

(3) 상대위상 : A⊆X에 대하여 ℑA≔{A∩G |G∈ℑ }

를 A상에서의 상대위상이라고 한다.

① H∈ℑA를 상대개집합이라고 한다.

② (A, ℑA)를 (X, ℑ)의 부분공간이라고 한다.

여러 가지 위상

(1) 이산위상 : ℑ=2X

(2) 비이산위상 : ℑ={φ, X } ( 착위상)

(3) 보통위상 : 거리공간 ℝn에서 개집합의 모임

(4) 여유한위상 : ℑ={G⊆X | #Gc < #ℕ }∪ {φ }

(5) 여가산위상 : ℑ={G⊆X | #Gc < #ℝ }∪ {φ }

(6) 시어핀스키 공간 : ℑ={∅, {0 }, X } , X={0, 1 }

근방과 집적점

(1) 위상공간 (X,ℑ)와 x∈X에 대하여

① U가 x의 근방 ⇔ ∃G∈ℑ :x∈G⊆U .

② x의 근방이면서 개집합이면 x의 개근방

③ 근방계 : η x= ( x의 근방들의 모임)

(2) 위상공간 (X,ℑ)에 대하여

① U 1, U 2∈η x ⇒ U 1∩U 2∈η x

② G가 개집합 ⇔ ∀x∈G : G는 x의 개근방

(3) 위상공간 (X,ℑ)와 A⊆X에 대하여

① x가 A의 극한점(집적점)이다

⇔ ∀U∈η x : (U∖{x })∩A /=φ

⇔ ∀G∈η x∩ℑ : (G∖{x })∩A /=φ

② 도집합 : A'≔ (A의 집적점들의 모임)

폐포

(1) 위상공간 (X,ℑ)와 A⊆X에 대하여

① 폐포 : A= (A를 포함하는 모든 폐집합의 교집합)

② A는 X에서 조 하다 ⇔ A=X

(2) 위상공간 (X,ℑ)와 A, B⊆X에 대하여

① x∈A ⇔ ∀G∈η x∩ℑ : G∩A /=φ

② x∈A' ⇔ ∀G∈η x∩ℑ : (G∖{x })∩A /=φ

③ φ=φ , X=X

④ A=A∪A' , A∪B= A∪ B , A∩B⊆A∩ B

내점, 외점, 경계점

위상공간 (X, ℑ)와 A, B⊆ℑ에 대하여

(1) x∈int(A)=Ao ⇔ ∃G∈ℑ : x∈G⊆A : 내점

→ int(A)=∪{G∈ℑ |G⊆A } : 내부

(2) x∈ext(A) ⇔ ∃G∈ℑ : x∈G⊆Ac : 외점

→ ext(A)= int(Ac ) : 외부

(3) x∈Bd(A)=∂A ⇔ ∀G∈η x :G∩A /=φ /=G∩Ac

→ Bd(A)= A∩Ac : 경계

(4) A : nowhere dense ⇔ int(A)=φ

(5) int(φ)=φ , int(X )=X

(6) int(A∩B)= int(A) ∩int(B) ,

int(A∪B)⊇int(A) ∪int(B)

(7) A= int(A) ∪ Bd(A)

기저

위상공간 (X, ℑ)에 대하여

(1) β가 ℑ의 기저이다 ⇔ β⊆ℑ이고 ℑ의 임의의 원

소가 β의 적당한 원소들의 합집합으로 표현된다.

(2) S가 ℑ의 부분기저이다 ⇔ S의 원소들의 유한교집

합들의 모임이 ℑ의 기저가 된다.

→ ( S에 의하여 생성된 위상 )

= ( S를 부분기저로 갖는 위상 )

= ( S를 포함하는 최소의 위상 )

= ( S를 포함하는 모든 위상의 교집합 )

(3) β x가 x에서의 국소기저이다

⇔ β x⊆η x∩ℑ , ∀U∈η x∃B∈β x : x∈B⊆U

⇔ β x⊆η x∩ℑ , ∀G∈η x∩ℑ∃B∈β x : x∈B⊆G

- 18 -

연속함수

(1) 함수 f : (X, TX)→ (Y, TY)에 대하여

① f가 a∈X에서 연속이다

⇔ ∀G∈η( f (a))∩TY∃H∈η a∩TX : f (H )⊆G

⇔ ∀G∈η( f (a))∩TY : f-1(G) ∈η a∩TX

② f가 X상에서 연속이다

⇔ 임의의 x∈X에 대하여 f가 x에서 연속이다

⇔ ∀G∈TY : f-1(G) ∈TX

⇔ ∀F∈TYc: f

-1(F )∈TX

c

⇔ ∀A∈X : f (A )⊆ f (A)

(2) 연속함수 f :X→Y , g :Y→ Z에 대하여 g∘f는 연

속함수이다.

위상동형과 개․폐사상

(1) f가 전단사이고 f와 f -1가 모두 연속이면 f를 위상

동형사상이라고 한다.

(2) X , Y에 대하여 위상동형사상 f :X→ Y가 존재할 때

두 공간을 위상동형이라 하고 X≈ Y라고 한다.

(3) 개사상 : 개집합의 상이 개집합인 함수

(4) 폐사상 : 폐집합의 상이 폐집합인 함수

(5) f가 위상동형 ⇔ f는 연속인 전단사이고 개사상

거리공간

(1) d :X×X → ℝ가 거리함수라 함은

(ⅰ) d (a, b )≧0

(ⅱ) d (a, b )=0 ⇔ a= b

(ⅲ) d (a, b )=d (b, a )

(ⅲ) d (a, c )≦d (a, b )+d (b, c )

를 만족하는 것이다.

(2) X상의 거리함수 d에 대하여

β d={Bd (x, ε ) |x∈X,ε > 0 }

를 기저로 갖는 위상 ℑd를 거리위상이라고 한다.

(3) X 위의 거리함수 d 1 , d 2가 유도하는 위상이 같을 때

두 거리를 동치거리라고 하며 d 1∼d 2로 표기한다.

(4) 위상공간 (X, ℑ)에 대하여 적당한 거리함수 d가 존

재하여 ℑ=ℑd가 될 때 (X, ℑ)는 거리화가능이라고

한다.

(5) X상의 거리 d에 대하여

d 1(x, y )≔d (x, y )1+d (x, y )

는 유계인 거리함수가 된다.

(6) 시어핀스키공간은 거리화 불가능이다.

점열의 수렴과 가산공리

(1) 위상공간 (X, ℑ)의 기저 β와 부분기저 S에 대하여

{xn }이 x에 수렴한다 ( xn → x )

⇔ ∀G∈η x∩ℑ∃N∈ℕ : n≧N → xn∈G

⇔ ∀B∈η x∩β∃N∈ℕ : n≧N → xn∈B

⇔ ∀G∈η x∩S∃N∈ℕ : n≧N → xn∈G

(2) 위상공간 (X, ℑ)에 대하여

① X가 제 1 가산공간이다

⇔ 임의의 x∈X에 대하여 국소기저 β x가 존재

② X가 제 2 가산공간이다

⇔ ℑ의 가산기저가 존재

③ X가 가분 separable이다

⇔ X의 가산조 부분집합이 존재한다.

④ 제 2 가산공간은 제 1 가산공간이다.

⑤ 제 2 가산공간은 가분공간이다.

⑥ 거리공간에서 가분공간은 제 2 가산공간이다.

(3) 위상공간 X , Y와 f :X→ Y에 대하여

① f가 x에서 점열연속 sequentially continuous이다

⇔ x n→ x이면 f (xn )→ f (x)이다.

② f가 점열연속사상 sequentially continuous map이다

⇔ 임의의 x∈X에서 f가 점열연속이다.

③ 연속함수는 점열연속사상이다.

④ 제 1 가산공간에서 점열연속사상은 연속함수이다.

분리공리

(1) (X, ℑ)는 T 0 공간이다 Kolmogorove space

⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U∈ℑ가 존

재하여 x∈U /∋y 또는 x /∈U∋y이다.

(2) (X, ℑ)는 T 1 공간이다

⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U, V∈ℑ가

존재하여 x∈U /∋y , x /∈V∋y이다.

⇔ X의 임의의 유한부분집합은 폐집합이다.

(3) (X, ℑ)는 T 2 공간이다 Hausdorff space

⇔ 서로 다른 임의의 x, y∈X에 대하여 U, V∈ℑ가

존재하여 x∈U , y∈V , U∩V=φ이다.

⇒ 수열의 극한이 유일하다. (제 1 가산일 때 역도 성립)

(4) (X, ℑ)는 정칙공간 regular space이다

⇔ 임의의 폐집합 F와 x∈Fc에 대하여 U, V∈ℑ가

존재하여 x∈U , F⊆V , U∩V=φ이다.

∙정칙이고 T 1인 공간을 T 3 공간이라고 한다.

(5) (X, ℑ)는 정규공간 normal space이다

⇔ 서로소인 폐집합 E , F에 대하여 U, V∈ℑ가 존

재하여 E⊆U , F⊆V , U∩V=φ이다.

∙정규이고 T 1인 공간을 T 4 공간이라고 한다.

- 19 -

티코노프공간

(1) (X, ℑ)는 완전정칙 completely regular이다

⇔ 임의의 폐집합 F와 p∈Fc에 대하여 연속함수

f :X→ [0, 1]이 존재하여 f (p)=0 , f (F )⊆{1 } .

(2) 완전정칙이고 T 1인 공간을 T 3.5 공간 또는 티코노프

공간 Tyconoff's space이라고 한다.

(3) 유클리드공간 ⇒ 거리공간 ⇒ T 4 공간

⇒ T 3.5 공간 ⇒ T 3 공간 ⇒ T 2 공간

⇒ T 1 공간 ⇒ T 0 공간

긴 공간

(1) 위상공간 X의 부분집합 K에 대하여 K의 임의의 개

덮개가 유한부분덮개를 가지면 K를 긴 compact이라

고 한다.

(2) 보통위상공간 ℝn의 부분집합 K가 긴 일 필요충분조

건은 유계폐집합인 것이다. (하이네 보렐)

(3) 긴 공간 X의 폐부분집합 F는 긴 집합이다.

(4) K가 긴 이고 f가 연속이면 f (K )도 긴 이다.

(5) T 2 공간에서 긴 집합은 폐집합이다.

티코노프 정리

(1) 두 위상공간 (X, TX) , (Y, TY)에 대하여

β= {U×V |U∈TX, V∈TY }

를 기저로 갖는 위상공간 X×Y 를 적위상이라고 한다.

(2) 위상공간족 { (Xi, Ti) }에 대하여 모든 사 사상

π i :∏ i X i→ X i

가 X상에서 연속이기 위한 최소의 위상을 ∏Xi 상의

적위상 product topology이라고 한다. ← (1)의 일반화

(3) 긴 공간들 Xi에 대하여 ∏Xi도 긴 공간이다.

연결공간

(1) X가 비연결공간 disconnected space이다

⇔ 서로소이고 공집합이 아닌 개집합 G , H가 존재하

여 G∪H=X이다

⇔ 공집합이 아닌 두 집합 A , B가 존재하여

A∪B=X , A∩B=φ=A∩B이다.

⇔ φ /=E /=X인 개폐집합 E가 존재한다.

(2) 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라고 한다.

(3) A⊆X가 연결상대위상공간이 될 때 A를 연결집합이

라고 하고 그렇지 않을 때 비연결집합이라고 한다.

(4) X의 극대연결집합을 연결성분이라고 한다.

→ 연결성과 연결성분의 개수는 위상적 성질이다.

(5) E⊆ℝ이 연결일 필요충분조건은 구간인 것이다.

(6) A , B가 연결집합이고 A∩B /=φ 또는 A∩B /=φ

이면 A∪B는 연결집합이다.

호상연결공간

(1) 위상공간 X의 두 점 a , b에 대하여 f (0)=a ,

f (1)= b인 연속함수 f : [0, 1]→X를 a에서 b로의

호 arc 또는 경로 path라고 한다. 이 때 a를 f의 시점

initial point, b를 f의 종점 terminal point이라고 한다.

(2) A가 호상연결집합이라 함은 임의의 a, b∈A에 대하

여 a에서 b로의 호 f : [0, 1]→X가 존재하는 것이다.

(3) 호상연결집합은 연결집합이다.

(4) 호상연결성은 위상적 성질이다.

- 20 -

선형대수학 | Linear Algebra

여러 가지 행렬

(1) A=-At : A는 교대행렬

(2) ∀i > j :a ij=0 : A는 상삼각행렬

(3) ∀i < j :a ij=0 : A는 하삼각행렬

(4) ∀i /= j :aij=0 : A는 대각행렬

(5) AAt=E : A-1=At : A는 직교행렬

(6) tr(A)= (A의 대각성분의 합) : 고유합

행렬 연산의 성질

(1) (A+B) t=At+Bt

(2) (AB) t=BtAt

(3) (A-1) t=(At )-1

(4) tr(AB)= tr(BA)

행렬식의 성질

(1) det(A)= det(At )

(2) 행렬식은 한 행(열)에 대하여 선형이다.

(3) 두 행 또는 두 열을 서로 교환하면 행렬식의 부호가 바

뀐다.

(4) det(AB)= det(A) det(B)

(5) det(A-1)= det(A)-1

(6) 한 열에 k배 하여 다른 열에 더하여도 행렬식은 변하

지 않는다.

크래머 공식

(1) 행렬 A=(aij)에 대하여

① Mij≔ (A의 i -행과 j -열을 없앤 행렬) : 소행렬

② Dij≔ det(Mij) : 소행렬식

③ Aij≔(-1)i+ jD ij : A의 ij -성분의 여인자

④ adj(A) ≔ (Aij )t : A의 수반행렬

(2) A-1=1

det(A)adj(A)

(3) 연립방정식 Aꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

x 1⋯xn

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳=ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

b 1⋯bn

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳의 해는

Ai≔ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

a 11 … a 1i-1 b 1 a 1i+1 … a 1n⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯an1 … a ni-1 bn a ni+1 … ann

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳

에 대하여

x 1=det(A 1 )

det(A), … , xn=

det(An)

det(A).

직합

(1) V=<v 1, v 2, …, vn> : v i들에 의해 생성된 벡터공간

(2) U, W ≤V일 때

① U+W≔{u+w |u∈U, w∈W } .

② U∩W={0 }일 때 U ⊕W ≔U+W : 직합.

(3) V=U⊕W이면 임의의 v∈V는 u∈U , w∈W에 대

하여 v=u+w의 유일한 형태로 표현된다.

차원

(1) W ≤V일 때

① dimW ≦dimV .

② dimW= dimV ⇔ W=V .

(2) U, W ≤V일 때

① dim (U+W )= dimU+dimW-dim (U∩W )

② 특히 U∩W={0}일 때

dim (U⊕W )= dimU+ dimW .

계수

(1) R(A) ≔<A 1, A 2, …, Am> : A의 행공간

(2) C(A) ≔<A 1, A 2, …, An> : A의 열공간

(3) rank(A) ≔ dimR(A)= dimC(A) : A의 계수

(4) 같은 꼴의 행렬 A , B에 대하여

① A∼RB이면 R(A)=R(B) .

② A∼CB이면 C(A)=C(B) .

③ A∼ B이면 rank(A)= rank(B) .

(5) rank(A)= rank(At ) .

(6) rank(A)=n ⇔ det(A) /=0 .

(7) v 1 , v 2 , v 3 , v 4가 일차독립일 때

v 1+v 2 , v 2+v 3 , v 3+v 4

의 일차독립성은

u 1=1v 1+1v 2+0v 3+0v 4 ,

u 2=0v 1+1v 2+1v 3+0v 4 ,

u 3=0v 1+0v 2+1v 3+1v 4

의 행렬

A=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

에 대하여 rank(A)=3인 것과 동치이다.

- 21 -

연립방정식

A는 m×n 행렬, B는 m×1행렬

(1) AX=B에서 B=0이면 제차연립방정식, B /=0이면

비제차 연립방정식이라고 한다.

(2) 방정식 AX=0가 자명해만 가진다 ⇔ det(A) /=0 .

(3) B /=0일 때 AX=B의 해의 개수는

① rank(A) < rank(A |B )이면 해가 없다.

② rank(A)= rank(A |B)=n이면 유일한 해.

③ rank(A)= rank(A |B ) <n이면 무수히 많은 해.

여기서 m은 식의 수, n은 미지수 수, rank(A |B)는 일

차독립인 식의 수.

내적과 노름

(1) 함수⋅ : V×V → ℝ가 내적이라 함은

① u⋅v= v⋅u ,

② u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w ,

③ (αu)⋅v=α (u⋅v ) ,

④ u⋅u≧0 , u⋅u=0 ⇔ u=0 .

(2) u⊥v ⇔ u⋅v=0

(3) 함수 ||⋅|| : V → ℝ가 노름이라 함은

① ||v ||≧0 ,

② ||v ||=0 ⇔ v=0 ,

③ || αv ||= |α | ||v || ,

④ ||u+v ||≦||u ||+||v || .

정규직교기저

(1) V의 기저 S의 모든 원소가 상호수직이고 단위길이를

가지면 S를 정규직교기저라고 한다.

(2) W, U ≤V에 대하여

① v⊥W ⇔ ∀w∈W : v⋅w=0

② W⊥U ⇔ ∀w∈W ∀u∈U : w⋅u=0

③ W ⊥≔ {v∈V |v⊥W } : 수직보완

(3) 그람슈미츠 직교화 과정

내적공간 V의 한 기저 {a 1, …, an }로부터 V의 정규

직교기저 {e 1, …, en }을 다음과 같이 구성한다.

e 1≔v 1|v 1 |

← v 1≔a 1

↘

e 2≔v 2|v 2 |

← v 2≔a 2-<a 2, e 1>e 1

↘

e 3≔v 3|v 3 |

← v 3≔a 3-<a 3, e 1>e 1-<a 3, e 2>e 2

⋯↘

e n≔v 3|v 3 |

← v n≔an-<an, e 1>e 1-…-<an, e 2>e n-1

사 함수

(1) 두 벡터 a , b에 대하여

proj ba≔b⋅ab⋅b

b=a⋅b

|b |2 b .

(2) 벡터 v i들과 Wn=<v 1, v 2, …, vn>에 대하여

projWna≔ proj v 1a+ proj v 2a+…+ proj vna .

→ 벡터 a를 공간 Wn에 사 시킨 벡터

(3) 사 함수를 이용한 그람슈미츠 직교화

내적공간 V의 한 기저 {a 1, …, an }로부터 V의 정규

직교기저 {e 1, …, en }을 다음과 같이 구성한다.

① 직교화 : v 1=a 1

v 2= a 2- projW 1a 2

v 3= a 3- projW 2a 3

⋯

vn= an- projWn-1an

② 정규화 : e i=v i|v i |

선형변환

(1) T :V → W가 선형사상이고 V , W의 기저

BV={v 1, v 2, …, vn } , BW={w 1, w 2, …, wm }

에 대하여

T(v 1)= a 11w 1+a 21w 2+…+am1wm ,

T(v 2)= a 12w 1+a 22w 2+…+am2wm ,

⋯

T(v n)= a 1nw 1+a 2nw 2+…+amnwm ,

일 때,

① [T ]BWBV≔ (a ij ) m×n으로 정의하고 이를 BV와 BW

에 관한 T의 표현행렬이라고 한다.

② v= a 1v 1+…+anvn일 때 [v ]BV≔ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

a 1⋯an

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳.

(2) 선형변환 T :V → W에 대하여

① KerT ≔{v∈V |T(v)=0 } : T의 핵

② null(T )≔ dim ( KerT ) : T의 수(nullity)

③ ImT ≔T (V ) : T의 치역 ≤W

④ rank(T )≔ dim ( ImT ) : T의 계수

(3) 선형변환 T :V → W , S :W → U에 대하여

① dimV= null(T )+ rank(T )

② V , W , U의 기저 BV , BW , BU에 대하여

rank(T )= rank[T ]BWBV

, [S∘T ]BWBV= [S]

BUBW [T ]

BWBV

- 22 -

고유치와 고유벡터

(1) λ가 A의 고유치일 필요충분조건

⇔ ∃x /=0 :Ax=λx ⇔ (A-λE )x=0

⇔ det(A-λE )=0

여기서 det(A-λE )를 A의 고유다항식이라고 한다.

(2) A의 고유치 λ에 대하여

① x가 λ에 대응되는 A의 고유벡터

⇔ x /=0, Ax=λx ⇔ x∈ker (A-λE )∖{0 }

② {x∈ℝn|Ax=λx }= ker {A-λE )

→ λ에 대응되는 A의 고유공간

(3) A의 고유치 λ와 고유다항식 p( t )에 대하여

① ( t-λ )n |p ( t ) , ( t-λ )n+1/|p ( t )이면 λ의 대수적

중복도는 n이다.

② dim ker (A-λE ) : λ의 기하적 중복도

③ 기하적 중복도≦ 대수적 중복도

(4) λ1 , λ2 , … , λ k이 A의 서로 다른 고유치이면 그에

대응되는 고유벡터 x 1 , x 2 , … , xn은 일차독립이다.

(5) A의 고유다항식 p ( t )에 대하여 p (A)=0이다.

→ 케일리 헤 턴

대각화

n차 정방행렬 A에 대하여

(1) P-1AP가 대각행렬이 되도록 하는 정칙행렬 P가 존

재하면 A는 대각화 가능이라고 한다.

(2) A의 고유치 λ1 , λ2 , … , λn의 일차독립인 고유벡터

x 1 , x 2 , … , xn이 존재하면 n차 정칙행렬

P=(x 1, x 2,…, xn )

에 대하여

P-1AP=ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

λ1 … 0⋯ ⋱ ⋯0 … λn

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳

이다.

(3) A가 n개의 서로 다른 고유치를 가지면 대각화 가능

하다.

(4) A가 대각화 가능할 필요충분조건

① A는 n개의 일차독립인 고유벡터를 가진다.

② A의 모든 고유치 λ에 대하여 λ의 기하적 중복도와

대수적 중복도가 같다. (∵ 일차독립인 고유벡터의 수

는 기하적 중복도의 총 합)

③ A의 최소다항식 m(x)가 서로소인 1차식의 곱

최소다항식

(1) 정방행렬 A에 대하여 A를 근으로 갖고 최고차의 계

수가 1인 최저차 다항식을 A의 최소다항식이라고 한

다.

(2) 최소다항식 m( t )와 임의의 다항식 p( t )에 대하여

p(A)=0 ⇒ m( t ) |p( t )

(3) A의 고유다항식과 최소다항식은 같은 근을 가진다.

- 23 -

복소해석학 | Complex Analysis

절대값의 성질

(1) |Re(z) |≦|z |, | Im(z) |≦|z |

(2) Re(z)=z+ z2

, Im(z)=z- z2i

(3) |z | 2= z z=| z | 2, |z 1+z 2 |≦ |z 1 |+|z 2 |

편각의 성질

(1) |z |= r이고 Arg(z)=θ일 때 z= r( cosθ+ isinθ ) .

(2) arg는 다가함수이고, Arg는 (-π, π ]에로의 함수.

→ argz≔Argz+2nπ (n∈ℤ)

초등함수

(1) z= x+ iy에 대하여,

① e z≔e x( cosy+ isiny )

② sinz≔e iz-e- iz

2i, cosz≔

e iz+e- iz

2

③ sinhz≔ez-e- z

2, coshz≔

ez+e- z

2

(2) log z≔ ln|z |+ i arg z (다가함수)

→ Logz≔ ln|z |+ iArgz (일가함수)

→ zc≔e c log z (다가함수)

해석함수

함수 f가 z 0에서 해석적이라 함은 z 0의 미분가능한 개근

방이 존재함을 의미한다. 복소평면 전체에서 미분가능한 함

수를 정함수(entire function)라고 한다.

코시-리만 방정식

함수 f (x+ iy )≡u (x, y )+ iv (x, y )가 z 0에서 미분가능

하면 ux= vy , vx=-uy이다. 만약 ux , uy , vx , vy가

각각 z 0 근방에서 연속이면 역도 성립한다.

함수 f (re iθ )≡u(r,θ )+ i v(r,θ )가 z 0에서 미분가능하

면 rur= v θ , rvr=-u θ이다. 만약 ur , u θ , vr , v θ가

각각 z 0 근방에서 연속이면 역도 성립한다.

조화함수

함수 f (x+ iy )≡u (x, y )+ iv (x, y )가 해석적이면

uxx+uyy=0 , v xx+vyy=0 .

위 등식을 만족하는 u :ℂ→ℝ를 조화적이라고 한다.

두 함수 u , v가 조화적이고 코시-리만 등식을 만족하면

서로 조화공액이라고 한다.

실부와 허부가 서로 조화공액인 복소함수는 해석적이다.

복소함수의 극한

(1) 복소수계는 거리함수 d (x, y )= |x-y |를 갖는 완비

거리공간이다.

(2) 복소거리공간에서 수열․함수의 극한은 실수거리공간에

서의 수열․함수의 극한과 동일하다.

복소선적분

(1) 정의 : ⌠⌡Cf (z)dz≔⌠⌡

b

af (z( t )) z'( t )dt

(2) 곡선의 길이 : L≔⌠⌡C|dz |=⌠⌡

b

a|z'( t ) |dt

(3) |⌠⌡C f (z) dz |≦⌠⌡C| f (z) ||dz |

코시의 적분 공식

(1) 그린 정리

⌠⌡CP (x, y )dx+Q(x, y )dy =⌠⌡

⌠⌡D∂Q∂x-∂P∂ydxdy

(2) 코시-구르사 정리

f가 단순연결 역 D에서 해석적이면 ⌠⌡Cf (z) dz=0 .

(3) 모레라의 정리

D 내부의 임의의 단순폐곡선 C에서 f의 적분값이 0

이면 f는 D에서 해석적이다. (쿠시 구르사 정리의 역)

(4) 코시 적분 공식

① ⌠⌡C

f (z)z-z 0

dz=2πi f (z 0) ,

② ⌠⌡C

f (z)

(z-z 0)n+1 dz=

2πi f(n)(z 0)

n!.

(4) 선적분의 기본정리

⌠⌡Cf (z)dz=F(z 2)-F(z 1 )

루빌의 정리

(1) 코시의 부등식

C : |z-z 0 |= r이고 f가 C의 경계/내부에서 해석적

이며 C에서 | f (z) |≦M이면

| f(n)(z 0 ) |≦

Mn!

rn.

(2) 루빌의 정리

정함수 f가 복소평면 전체에서 유계이면 상수함수이다.

(3) 루시(Rouche)의 정리

단일폐곡선 C의 경계와 내부에서 해석적인 두 함수 f ,

g에 대하여 ∀z∈C : | f (z) | > |g (z) |을 만족하면 C

내부에서 f+g의 점의 수는 f의 점의 수와 같다.

- 24 -

등각사상

f가 z 0에서 해석적이고 f '(z 0 ) /=0이면 f는 z 0에서 등

각이다.

일차분수변환

f (z i)=wi , i=1, 2, 3을 만족하는 일차분수변환 f는 유

일하게 존재하고 w= f (z)일 필요충분조건은

[w, w 1, w 2, w 3]= [z, z 1, z 2, z 3] .

여기서 [z, z 1, z 2, z 3]≔(z-z 1)(z 2-z 3)

(z-z 3)(z 2-z 1).

함수의 급수 표현

(1) 테일러 정리

f가 |z- z 0 | <R에서 해석적일 때

f (z) = ∑∞

n=0

f(n)(z 0)

n!(z-z 0)

n .

(2) 로랑의 정리

f가 R 1 < |z- z 0 | <R 2에서 해석적일 때

f (z) = ∑∞

n=-∞an(z-z 0)

n .

여기서 an≔12πi⌠⌡C

f (z)

(z-z 0)n+1 dz .

(3) 매크로린 급수 전개의 예

e z= ∑∞

n=0

zn

n!

sinz= ∑∞

n=0

(-1)nz2n+1

(2n)!, cos z= ∑

∞

n=0

(-1)nz2n

(2n)!,

sinhz= ∑∞

n=0

z2n+1

(2n+1)!, coshz= ∑

∞

n=0

z2n

(2n)!,

log (1+z )= ∑∞

n=1

(-1)n-1

nzn ( |z | < 1 ),

(1+z )α= ∑∞

n=0(αn )z

n ( |z | < 1 ).

특이점과 극

(1) f가 해석적이지 않은 점을 특이점이라고 한다.

(2) f가 z 0를 제외한 그 근방에서 해석적이면 z 0를 고립

특이점이라고 한다.

(3) z 0가 f의 특이점이고 f가 z 0 근방에서 유계이면 리

만의 정리에 의해 z 0에서 f의 극값이 존재한다. z 0를

제거가능 특이점이라고 한다.

(4) z 0가 f의 특이점이고 f가 z 0의 근방에서 유계가 아

니며 z→ z 0일 때 (z-z 0 )kf (z) → L /=0이면 z 0를

f의 위수 k인 극이라고 한다.

(5) 위수 1인 극을 단순극 또는 단극이라고 한다.

(6) 제거가능하지 않고 극도 아닌 고립특이점을 진성특이점

이라고 한다.

유수 정리

(1) 유수의 의미 : f의 로랑급수 전개에서 z-1의 계수를

f의 z 0에서의 유수(residue)라고 한다. 즉

Res[f, z 0]≔a-1 .

(2) 유수의 계산

Res[f, z 0]=

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳

︳︳︳︳

0,

limz→z 0(z-z 0 )f (z),

1(k-1)!

limz→z 0

dk-1

dzk-1(z-z 0)

kf (z)

(3) 유수의 정리

C가 양의 방향으로의 단순폐곡선이고 f가 z i들을 제

외한 C의 경계/내부에서 해석적일 때,

⌠⌡Cf (z)dz=2π i∑

n

k=1Res[f, zk ] .

유수 정리의 응용

(1) C.V.⌠⌡

∞

-∞f (x) dx≔ lim

R→∞

⌠⌡

R

-Rf (x) dx

(2) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+2이고 n개의 z i가

상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극이며 Q(x) /=0일 때

C.V.⌠⌡

∞

-∞

P (x)Q(x)

dx=2π i∑n

j=1Res[ P (x)Q (x)

, z j ].(3) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+2이고 n개의 z i가

상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극, m개의 t i가 x축 위

의 Q (x)의 점일 때

C.V.⌠⌡

∞

-∞

P (x)Q (x)

dx

=2π i∑n

j=1Res[ P (x)Q (x)

, z j ]+p i∑m

j=1Res[ P (x)Q (x)

, t j ](4) 다항식 P , Q가 degQ≥ degP+1이고 n개의 z i가

상반평면에 있는 P (x)/Q (x)의 극이며 Q(x) /=0일 때

① C.V.⌠⌡

∞

-∞

P (x)Q (x)

eiaxdx=2π i∑

n

j=1Res[f, z j] ≕I

② C.V.⌠⌡

∞

-∞

P (x)Q (x)

cosαx dx= Re(I )

③ C.V.⌠⌡

∞

-∞

P (x)Q (x)

sinαx dx= Im(I )

단, α > 0, f (z) ≔P (z)Q (z)

eiaz.

(5) 삼각함수로 이루어진 함수의 적분은 z(θ)≔e iθ라 두고

① sinθ=e iθ-e - iθ

2i=12i (z-

1z )

② cosθ=eiθ+e

- iθ

2=12 (z+

1z )

③ dθ=1izdz

을 이용하여 복소선적분으로 바꾸어 계산한다.

- 25 -

미분기하학 | Differential Geometry

우수계와 좌수계

세 벡터

a=(a 1, a 2, a 3 ) , b=(b 1, b 2, b 3) , c=(c 1, c 2, c 3)

에 대하여

ρ=︳

︳

︳︳︳︳

a 1 a 2 a 3b 1 b 2 b 3c 1 c 2 c 3

︳

︳

︳︳︳︳

라고 하자. ρ > 1이면 우수계, ρ < 1이면 좌수계.

내적과 외적의 성질

(1) |a×b |= |a | |b | sinθ

(2) a×b⊥a , a×b⊥b

(3) {a, b, a×b }는 우수계를 이룬다.

(4) a×b=- b×a

(5) (a+ b )×c= (a×c )+ (b×c )

(6) a⋅b×c= a×b⋅c : 스칼라 삼중적

정규직교전개

v=< v, f 1 > f 1+< v, f 2 > f 2+< v, f 3 > f 3

곡선

α : I →ℝ3가 정칙 ⇔ α'( t ) /=0

호장에 의한 재매개화

α : I →ℝ 3가 정칙일 때

s ( t ) ≔⌠⌡

t

0| α'(u) |du의 역함수 t= t (s)에 대하여

β(s)=α( t (s)) : 단위속력을 갖는 곡선

곡률과 열률

(1) 단위속력 정칙곡선 β에 대하여

① T=β ' ② κ= |T' | ③ N=T'|T' |

④ B= T ×N ⑤ τ=-B'⋅N

(2) 정칙곡선 α에 대하여

① T=α '| α ' |

② N= B×T ③ B=α '×α ''| α '×α '' |

④ κ=|α '×α '' |

| α ' |3

⑤ τ=α '×α''⋅α'''

| α '×α '' |2

(3) 프레네-세레의 정리

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

T'N'B'

ꀍ

ꀙ

︳︳︳=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

0 κ 0-κ 0 τ0 -τ 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

TNB

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

구면곡선과 주면나선

(1) 곡선 β의 구면곡선의 곡률을 κγ라고 하면

κ2γ =1+( τκ )2

.

(2) κ > 0인 정칙곡선 α가 주면나선이 될 필요충분조건은

τκ=(상수) .

곡률

(1) ℝ 2의 정칙인 단위속력곡선 β에 대하여

① t (s)=β '(s) : 단위접벡터장

② { t (s), n ( s) }가 우수정교직교기저를 이루는 n( s)

: 단위법벡터장

③ κ(s)= t '( s)⋅n(s) : 평면곡률

(2) 공간에서의 정칙곡선 α : [0, l ]→ℝ 3에 대하여

① 전곡률 : ⌠⌡

l

0κ( s) ds≧2π

② 전열률 : ⌠⌡

1

0τ(s) ds

곡면

(1) x :D⊆ℝ 2→ℝ 3에 대하여

① x u×x v /= 0 ⇒ 정칙

② 일대일, 정칙, D가 개집합 ⇒ 좌표조각사상

③ x-1가 연속 ⇒ 고유조각사상

(2) M⊆ℝ 3의 임의의 점 p에 대하여 N(p) ⊆x(D )인

고유조각사상 x :D⊆ℝ 2→ M이 존재할 때 M을 곡면

이라고 한다.

(3) 단순곡면 : 단 하나의 고유조각사상으로 표현되는 곡면

(4) 몽쥬조각사상 : 한 좌표가 나머지 두 좌표의 함수로 표

현되는 조각사상

(5) M={ (x, y, z ) |g (x, y, z)= c }가 곡면일 필요충분조

건은 dg /=0인 것이다.

기본계수

x= x(u, v )가 곡면 M의 고유조각사상일 때

(1) 단위접벡터장 : U=x u×x v| x u×x v |

.

(2) 제 1 기본 형식

I=Edu 2+2Fdudv+Gdv 2= dx⋅dx≧0

E= x u⋅xu , F= xu⋅x v , G= x v⋅x v

(3) 제 2 기본 형식

II=Ldu2+2Mdudv+Ndv

2= d

2x⋅U

L= x uu⋅U , M= xuv⋅U , N= x vv⋅U

- 26 -

호의 길이와 곡면의 면적

고유조각사상 x= x(u, v )에 대하여

(1) x 위의 정칙곡선 x= x(u( t ), v( t ))의 호의 길이는

s=⌠⌡

b

a

I

(dt)2 dt

=⌠⌡

b

aE( dudt )

2

+2F( dudt )(dvdt )+G(

dvdt )

2

dt .

(2) x 위의 부분 역 R의 면적은

A=⌠⌡⌠⌡W

det(aij)dudv=⌠⌡⌠⌡W

FG-F2dudv .

단 W는 R 위로 사상되는 매개변수 평면 위의 집합

곡면의 곡률

(1) 법곡률 : κn≔T'(s)⋅U =III

.

(2) 법곡률벡터 : k n≔κnU

(3) 한 점과 곡선이 주어졌을 때, 즉 x= x(u( t ), v( t )) ,

κn=L( dudt )

2

+2M( dudt )(dvdt )+N (

dvdt )

2

E( dudt )2

+2F ( dudt )(dvdt )+G(

dvdt )

2

(4) 한 점 p에서 법곡률 κn의 최대값 κ1과 최소값 κ2을

주곡률이라고 하며, 그 방향을 주방향이라고 한다.

(5) 평균곡률 : H=12(κ1+κ2)=

EN-2FM+GL

2(EG-F 2).

(6) 가우스곡률 : K=κ1κ2=det(b ij)

det(aij)=LN-M

2

EG-F2

.

(7) 벡터 w=w 1x u+w 2x v가 주곡률 κ에 대응하는 주방

향일 필요충분조건은

[ ( L MM N )-(E FF G )κ ](

dudv )= (

00 )

(8) 곡면 M에 대하여

① M이 평탄곡면이라 함은 ∀p∈M :K=0인 것이다.

② M이 극소곡면이라 함은 ∀p∈M :H=0인 것이다.

(9) 점의 구분

① 타원점 : LN-M 2 > 0인 점 ⇔ K > 0

② 쌍곡점 : LN-M 2 > 0인 점 ⇔ K < 0

③ 포물점 : LN-M 2=0 , L,M,M /=0인 점

④ 평탄점 : L=M=N=0인 점

→ ③ ∨ ④ ⇔ K=0

긴 곡면과 가향곡면

(1) 긴 compact인 곡면을 긴 곡면이라고 한다.

⇔ 유한개의 고유조각사상들의 상에 의해 덮인다.

(2) M상의 연속인 단위법벡터장이 존재할 때 M을 가향곡

면이라고 한다.

① 임의이 긴 곡면은 가향곡면이다.

② 가향곡면은 위상적 성질이다.

가우스 전곡률

(1) 곡면 M의 가우스곡률 K와 dM에 의해 방향이 정해

진 M의 역 R에 대하여 ( x :D →M에 대하여 )

⌠⌡⌠⌡RKdM =⌠⌡

⌠⌡DK( x(u, v )) EG-F 2dudv

를 R= x(D)상에서의 가우스전곡률이라고 한다.

측지선과 측지곡률

(1) 곡면 M 위의 호장에 의하여 매개화된 곡선 β( s)에 대

하여 V=U×β'( s)라 할 때

① 측지곡률 : κg≔β''⋅V .

② 측지곡률벡터 : k g=(β''⋅V )V .

③ β가 측지선이다 ⇔ β''(s)⊥M

⇔ β''(s) // U ⇔ κ g(s) ≡0 .

④ β''( s)= kn+k g , κ2=κ2n+κ

2g.

⑤ κ g= β'⋅β''×U .

(2) 폐구간에서 정의된 정칙곡선을 정칙호라고 한다.

① 조르단호 : 유한개의 정칙호를 연결시킨 것.

② 단순폐조르단호 : 끝점 외에는 만나지 않는 조르단호.

③ 유향곡선 M 위의 정칙호 α : [a, b ] → M에 대하여

( α의 전측지곡률) ≔⌠⌡

s( b)

s(a)κg(s)ds .

(3) 곡면 M과 직사각형 R에 대하여 x :R→M이 전단사

이고 정칙인 2차원 단편이며 dM이 x에 의해 결정된

면적형식일 때

⌠⌡⌠⌡xKdM+⌠⌡∂x

κg ds+(ε1+ε2+ε3+ε+4)=2π .

(4) T가 긴 유향곡면 M 위의 삼각형일 때

⌠⌡⌠⌡TKdM+⌠⌡∂T

κgds+(ε1+ε2+ε3)=2π .

(5) T가 M위의 측지삼각형, 즉 각 변이 측지선일 때 세

내각의 합 i에 대하여

① M이 평면 ⇒ K≡0 ⇔ i=π ,

② M이 타원면 ⇔ K > 0 ⇔ i > π ,

③ M이 쌍곡면 ⇔ K < 0 ⇔ i < π .

오일러 표수

(1) χ(M ) ≔v-e+f : 오일러 표수, 위상적 성질

(2) 모든 긴 곡면은 직사각형분할을 가진다.

(3) 임의의 볼록다면체의 오일러 표수는 2이다.

(4) 가우스-보네의 정리 : M이 긴 유향곡면일 때

가우스 곡률 : ⌠⌡⌠⌡MKdM=2πχ (M ) .

- 27 -

확률과 통계 | Probability and Statistics

확률의 정의

(1) 표본공간 S의 임의의 부분집합의 모임 2S에 대하여

(ⅰ) 0≦P (A)

(ⅱ) P(S)=1

(ⅲ) 가산개의 서로소인 집합족 {Ai }⊆2S에 대하여

P(∪Ai )=∑P(Ai)

을 만족하는 함수 P : 2 S→ ℝ를 S에서의 확률이라고

한다.

(2) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

(3) P(Ac)=1-P(A)

(4) A⊆B ⇒ P(A)≦P(B)

조건부 확률

(1) P(B |A) ≔P(B∩A)P(A)

.

(2) A , B가 독립사건이다

⇔ P(A∩B)=P(A) P(B)

⇔ P(A |B )=P(A)

⇔ P(B |A)=P(B)

(3) 표본공간 S가 n개의 사건 Ai들로 분할될 때,

P(B)= ∑n

i=1P(B∩Ai)= ∑

n

i=1P(B |Ai)P(Ai) .

(4) 표본공간 S의 사건 Ai로부터 사건 B가 발생할 때,

사건 B가 발생한 후 그 원인이 Ai 사건일 확률은

P(Ai |B)=P(B |Ai)P(Ai)

∑n

k=1P(B |Ak)P(Ak)

.

확률 분포 함수

(1) 표본공간 S에 대하여

① S에서 ℝ로의 함수 X를 확률변수라고 한다.

② F (x) ≔P(X≦x) : 누적분포함수 (cdf)

③ 두 확률변수 X, Y :S →ℝ가 독립이라 함은

P(X≦x, Y≦y )=P(X≦x )P(Y≦y ) .

(2) 확률변수 X의 x∈ℝ에 대하여

F :ℝ→ [0, 1] , F (x) ≔P(X≦x )

를 X의 누적분포함수라 한다. (cpf)

(3) 확률변수 X가 취하는 값이 이산일 때

f (x) ≔P(X= x ) : X의 확률 도함수

(4) 확률변수 X가 취하는 갑시 연속일 때

f (x) ≔F'(x) : X의 확률 도함수

기대값과 분산

(1) 이산확률변수 X의 도함수 f에 대하여

① E(X ) ≔ ∑x∈X(S)

xf (x) : X의 기대값

② E(Y ) ≔ ∑x∈X(S)

u(x) f (x) : Y=u(X )의 기대값

(2) 연속확률변수 X의 도함수 f에 대하여

① E(X ) ≔⌠⌡X(S)xf (x) dx : X의 기대값

② E(Y ) ≔⌠⌡X(S)u(x) f (x) dx : Y=u(X )의 기대값

(3) m=E(X )일 때

① Var(X )≔E( (X-m) 2) : X의 분산

② σ(X )≔ Var(X ) : X의 표준편차

(4) 두 확률변수 X , Y와 상수 a , b에 대하여

① E(X+Y )=E(X )+E(Y ) , E(aX )= aE(X )

② E(aX+b)=aE(X )+b

③ Var(aX+b)= a 2Var(X )

④ Var(X )=E(X 2)-E(X ) 2

결합 확률분포 함수 cdf

(1) 표본공간 S와 두 확률변수 X, Y :S →ℝ에 대하여

① 순서쌍 (X, Y )를 2차원 확률변수라고 한다.

② F (x, y) ≔P(X≦x, Y≦y ) : 결합누적분포함수

(2) 결합확률 도함수

① 이산형 : f (x, y ) ≔P(X= x, Y= y )

② 연속형 : f (x, y ) ≔∂2F(x, y )∂x∂y

주변 확률 도 함수 mpdf

(1) 두 확률변수 X , Y가 이산형일 때

f 1(x) ≔ ∑y∈Y(S)

f (x, y ) , f 2(y) ≔ ∑x∈X(S)

f (x, y )

는 각각 확률변수 X , Y의 확률 도함수가 되며 이를

주변확률 도함수라고 한다.

(2) 두 확률변수 X , Y가 연속형일 때

f1(x) ≔⌠⌡Y(S)

f (x, y )dy , f 2(y) ≔⌠⌡X(S)

f (x, y )dx

는 각각 확률변수 X , Y의 확률 도함수가 되며 이를

주변확률 도함수라고 한다.

- 28 -

조건부 확률 도 함수 cpdf

두 확률변수 X , Y에 대하여

(1) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건확률 도함수

f (x |Y= y ) ≔f (x, y )f 2(y )

(2) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건부확률

① 이산형 : P(a≦x≦b |Y= y ) ≔ ∑a≦x≦b

f (x |Y= y )

② 연속형 : P(a≦x≦b |Y= y ) ≔⌠⌡

b

af (x |Y= y )dx

(3) Y= y 조건하의 확률변수 X의 조건부기대값

① 이산형 : E(X |Y= y ) ≔ ∑x∈X(S)

x f (x |Y= y )

② 연속형 : E(X |Y=y ) ≔⌠⌡X(S)xf (x |Y=y )dx

상관계수

(1) mX=E(X ) , mY=E(Y )에 대하여

① Cov(X, Y ) ≔E( (X-mX)(Y-mY ))

=E(XY )-E(X )E(Y ) : (X, Y )의 공분산

② ρXY≔Cov(X, Y )σ(X ) σ(Y )

: (X, Y )의 상관계수

(2) (X, Y )가 서로 독립 ⇔ f (x, y )= f 1(x) f 2(y)

(3) (X, Y )가 서로 독립이면

① 주변확률 도함수 = 조건확률 도함수

(즉, f 1(x)= f (x |Y= y ) , f 2(y)= f (y |X= x ) )

② E(XY )=E(X )E(Y )

③ Cov(X, Y )=ρXY=0

여러가지 확률분포

(1) 이항분포 (이산)

① pdf : f (x)=n C xpx(1-p)

n- x

② 확률변수의 범위 : X=0, 1, 2, …, n

③ X ∼ B(n, p )

④ E(X )=np

⑤ Var(X )=np(1-p)

(2) 포아송분포 (이산)

① pdf : f (x)=mx

x!em

② 확률변수의 범위 : X=0, 1, 2, …

③ X ∼ P(m)

④ E(X )=m

⑤ Var(X )=m

⑥ np=m이 일정하고 n→∞이면

B(n, p) ∼ P(m) .

(3) 정규분포 (연속)

① pdf : f (x) ≔1σ 2π

e-(x-m) 2

2σ2

② X ∼ N (m, σ)

③ E(X )=m , Var(X )=σ2

(4) 균등분포 (연속)

① pdf : f (x) ≔{ 1/(b-a), a≦x≦b0, otherwise

② X ∼ U(a, b )

③ E(X )=a+b2

, Var(X )=(b-a) 2

12

(5) 지수분포 (연속)

① pdf : f (x) ≔{ γe-γx , x≧0

0 , x < 0

② X ∼ E (γ)

③ E (x)=1γ

, Var(X )=1

γ2

모평균의 구간추정

(1) 표본이 큰 경우 : n≧30

① -z α/2σn≦ X-m ≦ z α/2

σn

.

→ 모집단의 표준편차 σ를 아는 경우

② -z α/2sn≦ X-m ≦ z α/2

sn

(2) 표본이 작은 경우 : n < 30

① - t α/2(n-1)sn≦ X-m ≦ t α/2(n-1)

sn

.

→ m의 100(1-α)% 신뢰구간

모비율의 구간추정

표본이 충분히 큰 경우 : n≧30

- z α/2p(1- p)n

≦ p- p ≦ z α/2p(1- p)n

.

→ X ∼ N(np, np(1-p)) , p=Xn

.

가설검정

가설검정의 절차는 다음과 같다.

(1) 가설 H 0 , H 1을 설정한다.

(2) 검정통계량을 결정하고, 귀무가설이 옳다는 가정하에 검

정통계량의 분포를 구한다.

(3) 유의수준을 결정하고 대립가설의 형태에 따라 기각역을

결정한다.

(4) 표본의 관찰값을 근거로 하여 검정통계량의 값을 구한

다.

(5) 단계 4에서 구한 검정통계량 값이 기각역에 속하면 기

각한다.

- 29 -

이산수학 | Discrete Mathematics

순열과 조합

(1) 순열 : 집합의 원소를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수

① nP k=

n!(n-k)!

② n∏ k=n

k

③ 다중집합 {n i×a i }의 순열의 수

(n 1+n 2+…+nr )!

n 1!n 2!…nr!

④ 방정식 x 1+…+xn= k의 음이 아닌 정수해의 개수

nH k=(n+k-1)!k!(n-1)!

=( n+k-1k )(2) 조합 : 집합의 원소 중 일부를 뽑는 경우의 수

① ( nk )=n!

k! (n-k)!

② 다중집합 {∞×a i }의 k 조합

= 집합 {a i }의 k 중복조합 = nH k

이항계수와 다항계수

(1) 이항계수

① [α ] k≔α(α-1)… (α-k+1 ) , α∈ℝ , k∈ℤ

② ( αk )≔ {[α ] kk!

, k≧1

1 , k=0 0 , k < 0

③ ( αk )= (α-1k-1 )+(

α-1k )

④ (x+y )n= ∑n

k=0 (nk )x

kyn- k

⑤ (1+x ) α = ∑∞

n=0 (αn )x

n

(2) 다항계수 다중집합 {n i×A i }의 순열의 개수

( nn 1, n 2, …, nr )≔

n!n 1!n 2!…nr!

배열과 분배

(1) 비둘기집 원리 : m마리의 비둘기를 n개의 비둘기집에

넣으면 ⌈ mn ⌉마리 이상 들어간 집이 반드시 있다.

(⌈a⌉은 a보다 크거나 같은 최소의 정수 )

(2) 포함배제의 원리

| ∪n

i=1Ai |=β1-β2+β3+-…+(-1)n-1βn

분배와 분할

(1) S (n, k ) : n명을 k개의 그룹으로 나누는 수

(2) S (n, k )=S (n-1, k-1)+kS (n-1, k ) ,

S(0, 0)=1

kn 0 1 2 3 4 5 6 …

0 1 0 0 0 0 0 0 …

1 0 1 0 0 0 0 0 …

2 0 1 1 0 0 0 0 …

3 0 1 3 1 0 0 0 …

4 0 1 7 6 1 0 0 …

5 0 1 15 25 10 1 0 …

6 0 1 31 90 65 15 1 …

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱

그래프

(1) 공집합이 아닌 유한집합 V와 V의 2 -중복조합의 다

중집합 E에 대하여

① 그래프 : G=(V, E ) ② 꼭지점 : V의 원소

③ G의 변 : E의 원소 ④ eG : G의 변의 개수

⑤ G의 위수 : G의 꼭지점의 개수, vG≔d(G)

⑥ x의 차수 : 꼭지점 x에 물려있는 변의 수, d (x)

⑦ 홀수점(짝수점) : 차수가 홀수(짝수)인 꼭지점

⑧ 꼭지점에서 차수의 합은 변의 수의 2배이다.

⑨ 홀수점의 개수는 짝수이다.

(2) x, y∈V와 a∈E에 대하여

① x , y가 서로 인접한다 ⇔ x , y가 이어져 있다

② a는 x , y에 물려있다 ⇔ x , y를 잇는 변이 a이다

→ a=[x, y ]로 표기

(3) 단순그래프 : 다중변과 고리가 없는 그래프

① 다중변 : 두 꼭지점을 잇는 두 개 이상의 변

② 고리 : 한 꼭지점과 그 자신을 잇는 변

③ 단순그래프에서 차수가 같은 꼭지점이 2개 이상 존재.

(4) 유향그래프 : 그래프의 각 변에 방향을 준 것

① 유향변 : 방향을 가진 변

② x의 입차수 : x로 들어오는 유향변이 개수, id (x)

③ x의 출차수 : x에서 나가는 유향변의 개수, od (x)

④ 두 변이 순접한다 : [→∙→ ]의 꼴로 이어져 있을 때.

(5) 그래프 G의 일부분을 G의 부분그래프라고 한다.

① G의 생성부분그래프 : G의 부분그래프 중 G의 꼭

지점을 모두 포함하는 것.

② G의 꼭지점의 부분집합 W에 대하여 W와 W의 점

을 잇는 모든 변을 포함하는 그래프를 W에 의하여

생성되는 유도부분그래프라고 한다.

- 30 -

차수열

(1) 그래프 G=(V, E )와 V={x i }에 대하여

(d(x 1 ), d(x 2 ), …, d(xn ))

을 G의 차수열이라고 한다.

(2) 두 그래프의 위수가 같고 꼭지점 사이의 인접성이 같을

때 두 그래프는 동형이라고 한다.

(3) 차수열이 d=(d 1, d 2, …, dn ) , di≧di+1인 단순그

래프가 존재할 때 d를 그래프적이라고 한다.

(4) d=(d 1, d 2, …, dn ) : 그래프적

⇔ (d 2-1, …, dk+1-1, dk+2, …, dn ) : 그래프적

경로

(1) 그래프에서

① 경로 : 인접하는 변의 열

→ 유향그래프에서는 순접하는 유향변의 열

② 경로의 길이 : 경로를 이루는 변의 개수

(2) (x, y )-경로 : 두 꼭지점 x , y를 잇는 경로

(3) 폐로 : 양 끝점이 같은 경로

(4) 회로 : 모든 변이 다른 폐로

(5) 바퀴 : 양 끝점을 제외한 모든 꼭지점이 다른 회로

(6) 직선경로 : 양 끝점을 포함한 모든 꼭지점이 다른 경로

(7) 단말점 : 차수가 1인 꼭지점

(8) 단말점이 없는 그래프는 회로를 가진다.

여러 가지 그래프

(1) 완전그래프 Kn : 모든 꼭지점을 서로 이은 단순그래프

(2) 정칙그래프 : 모든 꼭지점의 차수가 같은 그래프

(3) 연결그래프 : 임의의 두 꼭지점의 경로가 있는 그래프

→ 연결성분 : 최대의 연결부부그래프

(4) 강연결그래프 : 연결성을 가지고 있는 유향그래프

(5) G의 점연결도 : G에서 n개의 꼭지점을 지우면 연결

성이 깨어질 때 그러한 n의 최소값, χ(G )

(6) V의 이분할 (X, Y ) : X , Y는 G의 꼭지점의 부

분집합이고, X 내에서 서로 인접하지 않으며 Y 내에

서 서로 인접하지 않는다. G=(X, E, Y )

① 임의의 x∈X , y∈Y가 서로 인접할 때 G를 완전

이분그래프라고 한다.

② Km,n : |X |=m , |Y |=n인 완전이분그래프

(7) 평면그래프 : 모든 변이 교차하지 않도록 그릴 수 있는

그래프

① G의면 : 평면그래프 G에 의하여 나누어지는 역

② fG 또는 f : G의 면의 개수

③ f의 차수 d(f ) : f를 둘러싼 변의 개수

평면성

(1) 연결평면그래프에서는 v-e+f=2가 성립한다.

(2) 평면그래프에서 면의 차수의 합은 변의 수의 2배이다.

(3) G가 위수 3 이상인 연결 평면 단순그래프일 때

① v-e3≧2

② G가 이분그래프이면 v-e2≧2

③ 쿠라토스키 정리

G가 평면그래프 ⇔ G는 K 5 , K3,3 또는 K 5 , K3,3의

부분분할과 동형인 부분그래프를 가지지 않는다.

수형도와 단말점

(1) 수형도 : 회로가 없는 연결그래프

① 다리 : 지우면 연결성이 깨지는 변

② 생성수형도 : 생성부분그래프이면서 수형도인 것

③ 뿌리 : 수형도에서 정한 한 꼭지점

④ 중간점 : 뿌리도 아니고 단말점도 아닌 점

⑤ 높이 : 뿌리에서 단말점까지의 거리의 최대값

⑥ m진 수형도 : 단말점이 아닌 각 점이 m개의 자녀

(2) 단말점의 존재성

① 수형도는 단말점을 가진다.

② e= v-1인 연결그래프는 2개 이상의 단말점을 가

진다.

(3) 연결그래프 G가 수형도이다

⇔ e= v-1

⇔ G는 각 변이 다리이다

⇔ G의 임의의 두 꼭지점 x , y에 대하여 (x, y ) -경

로가 유일하게 존재한다.

(4) 연결그래프는 생성수형도를 가진다.

오일러 회로와 해 턴 회로

(1) 강연결화가능그래프 : 각 변에 방향을 주어 강연결 유향

그래프로 만들 수 있는 그래프

(2) 오일러회로 : 적당한 방향을 주어 모든 변을 꼭 한 번만

지나는 회로 G를 G의 오일러회로라고 한다.

① 오일러그래프 : 오일러 회로를 가지는 그래프.

② 오일러경로 : 모든 변을 꼭 한번만 지나고 시점과 종

점이 같지 않은 경로

(3) 해 턴 회로 : 적당한 방향을 주어 모든 꼭지점을 꼭 한

번만 지나는 회로 G를 G의 해 턴회로라고 한다.

① 해 턴그래프 : 해 턴회로를 가지는 그래프

② 해 턴경로 : 꼭지점을 꼭 한번만 지나고 시점과 조점

이 같지 않은 경로

- 31 -

연결성

(1) 연결성의 판정법 : 위수가 n인 그래프의 각 꼭지점에

다음 과정을 따라 1부터 n까지의 번호를 붙인다.

① 임의의 한 꼭지점에 번호 1을 붙인다.

② k번째 번호가 붙은 꼭지점 x에 인접한 꼭지점 중

번호가 붙지 않은 꼭지점이 있으면 번호 k+1을 붙

이고 그러한 꼭지점이 없으면 위로 거슬러 올라간다.

③ k=n으로 끝나면 연결그래프이다.

(2) 연결그래프 G가 강연결화가능이다

⇔ G는 다리를 갖지 않는다.

(3) G가 오일러그래프이다

⇔ 모든 꼭지점이 짝수점이다.

(4) G가 오일러경로를 가진다

⇔ G는 홀수점이 2개이다.

(5) 위수가 n≧3인 연결그래프 G에 대하여 모든 꼭지점

의 차수가 n/2 이상이면 G는 해 턴회로이다.

채색수와 채색다항식

(1) G는 k채색 가능 : 그래프 G의 꼭지점을 k개의 인접

한 꼭지점끼리는 서로 다른 색으로 채색 가능할 때.

(2) 채색수 χ (G)≔ min {k∈ℕ |G는 k -채색 가능 }

(3) 채색다항식 : P(G, x ) ≔ (G의 꼭지점을 x개 이하의

색으로 채색할 수 있는 방법의 수)

인접행렬

(1) 그래프 G에 대하여 a ij≔ ( x i, x j를 잇는 변의 수)를

성분으로 가지는 행렬 A(G)를 G의 인접행렬이라고

한다.

① A(G) k의 ij-성분 = G에서 길이 k인 ( i, j ) -경

로의 수

② G가 단순그래프이면 꼭지점 x i들에 대하여

d (x i )= (A(G) 2의 ij-성분 ).

③ G에 고리가 없으면

(G의 삼각형의 개수 )=13!tr(A(G)

3)

④ 위수 n인 그래프 G가 연결이다

⇔ (A(G)+ I )n-1 > O

(2) 유향그래프 D에 대하여 a ij≔ ( x i→ x j를 잇는 유향변

의 수)를 성분으로 가지는 행렬 A(D)를 D의 인접행렬

이라고 한다.

① A(D) k의 ij-성분 = D에서 길이 k인 ( i, j ) -경

로의 개수

② 위수가 n인 D가 강연결그래프이다

⇔ (A(G)+ I )n-1 > O

토너먼트

(1) 토너먼트 : 완전그래프의 각 변에 방향을 준 유향그래프

(2) y는 x의 후위 : y가 x의 직접후위 혹은 간접후위

① y는 x의 직접후위 : x→ y인 유향변이 있을 때

② y는 x의 간접후위 : x에서 y로의 길이 2인 경로

가 있을 때

(3) 강한꼭지점 : 모든 꼭지점을 후위로 가지는 꼭지점

알고리즘

(1) 유한 번의 수행 후 종료.

(2) 각 단계는 분명하게 정의.

(3) 한 단계의 다음 단계가 명확하게 정의.

점화식

(1) 상수 c i들에 대하여

an= c 1an-1+…+ckan- k+b(n)

를 {an }의 선형점화식이라고 한다.

① b(n)≡0이면 선형동차점화식.

② 특성방정식 : xk-c 1xk-1-…-ck-1x-ck=0 .

③ 특성근 : 특성방정식의 근. ( ck /=0 )

(2) 선형동차점화식의 일반해

① k개의 서로 다른 특성해 λ i를 가지는 수열의 일반항

은 an=α1λn1+α2λ

n2+…+α kλ

nk의 꼴이다.

② t개의 서로다른 특성해 λ i가 각각 p i중근인 수열의

일반항은

∪t

i=1{λni , nλni , …, n

pi-1λni }

의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

게임이론

(1) 제로섬게임 : 두 사람의 손실의 합이 0인 게임

(2) 성과행렬 : 갑이 x i를 택하고 을이 y i를 택할 때 갑의

성과 aij를 성분으로 가지는 행렬

(3) 전략 : 갑이 x i를 택할 확률을 p i로 정했을 때의 행렬

p≔(p 1, p 2, …, pn )t

를 갑의 전략이라고 한다. 을의 전략 q도 동일.

(4) 기대성과 : 전략 p , q에 대한 갑․을의 기대값

① 갑의 기대성과 : E(p, q)= |p tAq|

② 을의 기대성과 : 1-E( p, q)

(5) 전략 p * , q *가 임의의 전략 p , q에 대하여

E(p*, q)≧E( p

*, q

*)≧E( p, q

*)

를 만족할 때 ν=E(p*, q*)를 게임값이라고 한다. 이

때 p , q는 갑과 을의 최적전략이다.

- 32 -

정수론 | Number Theory

1. 두 실수 x , y와 가우스함수 []에 대하여

[x ]+[y ]≦ [x+y ]≦ [x ]+[y ]+1

이 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] m=[x ] , a={x } , n=[y ] , b={y }라고 하

자. 그러면

[x ]+[y ]=m+n≦[m+a+n+b ]

=m+n+[a+b ]≦m+n+1

=[x ]+[y ]+1

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

2. 실수 x와 정수 n에 대하여 다음 등식을 증명하여라.

[ [x ]n ]=[ xn ][풀이 ] m=[x ] , a={x }라고 하자. 그러면 m은 정수

이므로 나눗셈정리에 의하여 m= qn+r ( 0≦ r < n )의

꼴로 표현된다. 여기서

[ xn ]= [m+an ]= [ qn+r+an ]=a+[ r+an ]= q

이고 또한

[ [x ]n ]=[ mn ]=[qn+rn ]= q+[ rn ]= q

이므로 주어진 등식이 성립한다.

3. 음이 아닌 정수 ai들에 대하여 n= a 1+a 2+…+as이

면 n!a 1!a 2!…as!

이 정수임을 증명하여라.

[풀이 ] 각 소수 p에 대하여 가우스함수의 성질에 의하

여 다음이 성립한다.

[a 1

pk ]+…+[

a 2

pk ]≦ [

a 1+…+as

pk ]=[ npk ]

양변의 각 k에 대한 합을 구하면

∑∞

k=1[a 1

pk ]+ ∑

∞

k=1[a 2

pk ]+…+ ∑

∞

k=1[as

pk ] ≦ ∑

∞

k=1[n

pk ]

이다. 이는 a i!에 대한 각 소수 p의 최대지수의 합이

n!에 대한 각 소수 p의 최대지수의 합보다 작음을 의

미하므로 n!a 1!a 2!…as!

은 약분된다.

4. 뫼비우스 함수 μ는 자연수 n에 대하여 다음과 같이 정

의된다.

μ(n)= { 1 , n=1 0 , p 2 |n (p는 소수)(-1) k, n= p 1p 2…pk (p i는 서로소인 소수)

뫼비우스 함수가 곱셈함수임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 μ(1)=1이다. 이제 (m. n )=1이라고 하

자.

① m=1 또는 n=1이면 μ(mn)=μ(m)μ(n)이다.

② p가 소수이고 p 2 |m이거나 p 2 |n이면 p 2 |mn이다.

따라서 μ(mn)=0=μ(m)μ(n)이다.

③ m= p 1p 2…pk이고 n= q 1q 2…as라고 하자. 여기서

p i , q i들은 각각 서로 다른 소수이다. 그러면

μ(mn)=μ(p 1p 2…pkq 1q 2…q s )= (-1)k+ s

=(-1) k (-1) s=μ(m)μ(n) .

따라서 μ는 곱셈함수이다.

5. 오일러함수 φ가 곱셈함수임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 φ(1)=1이다. 이제 (m, n)=1이라고 가

정하자. 그리고 m , n의 표준분해를

m= pa 11 pa 22 … p

akk, n= q

b 11 qb 22 … q

b ss

라고 하자. 그러면

φ(mn)= φ(pa 11 … p

akk q

b 11 … q

b ss )

=(1- 1p 1 )… (1-

1pk ) (1-

1q 1 )… (1-

1q s )

=φ(m) φ(n)

이므로 φ는 곱셈함수이다.

6. 완전제곱수를 4로 나눈 나머지는 0 또는 1임을 증명하

시오.

[풀이 ] 완전제곱수를 n= k 2이라 두면 나눗셈정리에 의

해 k=4q+r ( 0 ≦ r < 4)인 두 정수 q , r가 유일하게

존재한다. 따라서 n=(4q+r) 2=16q 2+8qr+r 2이다.

r=0이면 n=4(4q 2+2qr)+0 ,

r=1이면 n=4(4a 2+2qr)+1 ,

r=2이면 n=4(4q 2+2qr+1)+0 ,

r=3이면 n=4(4q 2+2qr+2)+1

이므로 n을 4로 나눌 때 나머지는 0 또는 1이다.

7. 두 정수 a , b에 대하여 a /=0이고 b /=0일 때 a , b

의 최대공약수는 유일하게 존재함을 증명하시오.

[풀이 ] 먼저 최대공약수의 존재성을 증명하자.

S={ax+by |x, y∈ℤ }∩ℤ+

라고 하면 |a |∈S이며 또한 S는 아래로 유계이므로 정

렬성의 원리에 의하여 d= minS가 존재한다. d∈S이

므로 두 정수 x 0 , y 0가 존재하여 d=ax 0+by 0이다.

- 33 -

(1) 명백히 d≧1이다.

(2) 나눗셈정리에 의하여 a= qd+r (0≦ r < d )인 두

정수 q , r이 존재한다. 여기서

r= a-qd= a-q(ax 0+by 0)=a-aqx 0-bqy 0

= a(1-qx 0)+b(-qy 0)

이다. 만약 r /=0이라고 하면 r > 0이 되고 r∈S가

되어 r≧d이므로 이는 모순이다. 따라서 r=0이고

a= qd+r= qd

이므로 d |a이다. 마찬가지로 d |b가 성립한다.

(3) 명백히 k |a이고 k |b이면 k |ax 0+by 0=d이다.

따라서 (1), (2)에 의하여 d는 a , b의 최대공약수이다.

이제 최대공약수의 유일성을 증명하자. d 1과 d 2가 a와

b의 최대공약수라고 가정하자. 그러면 d 1 |a이고 d 1 |b

이므로 d 1 |d 2이다. 마찬가지로 d 2 |d 1이 성립한다. 이로

써 d 1= ±d 2이 성립하는데 d 1과 d 2가 모두 양수이므

로 d 1=d 2이다.

따라서 a , b의 최대공약수는 유일하게 존재한다.

8. 자연수 d가 두 정수 a , b의 최대공약수일 때

aℤ+bℤ=dℤ

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 x∈aℤ+bℤ라고 가정하면 정의에 의하여

x= ay+bz인 두 정수 y , z가 존재한다. 그런데 d |a ,

d |b이므로 d |ay+bz= x이고 x∈dℤ가 성립한다. 따

라서 aℤ+bℤ⊆dℤ이다.

이제 x∈dℤ라고 가정하면 x=dk인 정수 k가 존재한

다. 또한 d가 a , b의 최대공약수이므로 d= ay 0+bz 0

인 두 정수 y 0 , z 0가 존재한다. 여기서

x=dk= k (ay 0+bz 0)=a(ky 0)+b(kz 0)∈aℤ+bℤ

이므로 aℤ+bℤ⊇dℤ이다.

따라서 aℤ+bℤ=dℤ이다.

9. 정수 a , b에 대하여 a /=0 , b /=0이고 d=(a, b )일

때 방정식 ax+by= c의 정수해가 존재할 필요충분조건

은 d |c임을 증명하여라.

[풀이 ] ax+by= c의 정수해 (x, y )= (x 0, y 0)가 존

재한다고 가정하자. 그러면

c= ax 0+by 0∈aℤ+bℤ= dℤ

이므로 d |c이다. 역으로 d |c라고 가정하자. 그러면

c∈dℤ= aℤ+bℤ

이므로 c=ax 0+by 0를 만족하는 두 정수 x 0 , y 0가 존

재한다. 여기서 (x, y )= (x 0, y 0)는 주어진 방정식의

해가 된다.

10. 방정식 172x+20y=1000의 정수해를 구하여라.

[풀이 ] 유클리드 호제법에 의하여

172=8⋅20+12

20=1⋅12+8

12=1⋅8+4

8=2⋅4+0

이므로 (172, 20)=4이다. 그런데 4 |1000이므로 주어

진 방정식의 해가 존재한다.

위 과정을 역으로 적용하면

4=12-8=12-(20-12)

=2⋅12-20=2 (172-8⋅20)-20

=172⋅2-20⋅17

이고 양변에 250을 곱하면

1000= 172×500+20×(-4250)

이므로 특수해 (x 0, y 0)= (500, -4250)을 얻는다. 따

라서 구하는 일반해는

{ x=500+5ky=-4250-43k (k∈ℤ)

이 된다.

11. 방정식 4x+6y+15z=37의 정수해를 구하여라.

[풀이 ] t=2y+5z라고 하면 주어진 방정식은

4x+3t=37 (#)

이 된다. 여기서 (4. 3)=1 |37이므로 (#)의 해가 존재

한다. 4-3=1이므로 양변에 37을 곱하여 해를 구하면

4×37+3×(- 37)= 37

이 된다. 따라서 (#)의 일반해는

{ x=37+3kt=-37-4k (k∈ℤ)

가 된다. 같은 방법으로 t=2y+5z=-37-4k의 일반

해를 구하면

{ y=64+8k+5sz=-37-4k-2s (s∈ℤ)

가 된다. 따라서 주어진 방정식의 일반해는 다음과 같다.

{x=37+3ky=64+8k+5sz=-37-4k-2s

(k, s∈ℤ)

12. f (x, y )= x 2-4y 2-2에 대하여 f (x, y )=0은 정수

해를 갖지 않음을 보여라.

[풀이 ] 주어진 방정식이 정수해 (x, y )= (x 0, y 0)를

갖는다고 가정하면 x20-4y20-2=0이다. 따라서 합동식

이 성질에 의하여

x20-4y

20-2 ≡x

20-2≡0 ( mod 4) (#)

가 성립한다.

- 34 -

그러나 법 4에 대한 완전잉여계

R={-1, 0, 1, 2 }

에서 (#)를 만족하는 원소 x 0∈R는 존재하지 않으므로

모순이다.

13. 정수 10!의 표준분해를 구하여라.

[풀이 ] 먼저 10보다 작은 소수는 2 , 3 , 5 , 7 뿐이고

다음이 성립한다.

[ 102 ]=5 , [52 ]=2 , [

22 ]=1 , 5+2+1=8 (3회)

[ 103 ]=3 , [33 ]=1 , 3+1=4 ( 2회)

[ 105 ]=2 , 2 ( 1회)

[ 107 ]=1 1 ( 1회)

따라서 10!=28⋅34⋅52⋅7이다.

14. 양의 정수 m에 대하여 2m-1이 소수이면 m도 소수

임을 증명하여라.

[풀이 ] m이 합성수라고 가정하면

m= de , 1 < d <m , 1 < e <m

인 정수 d , e가 존재하고 다음이 성립한다.

2m-1=(2 d ) e-1

=(2 d-1)(2 d (e-1)+2 d (e-2)+…+2 d+1)

따라서 2m-1이 소수이면 m도 소수이다.

15. 자연수 중에서 4n+3의 꼴인 소수는 무한히 많음을

증명하여라.

[풀이 ] 4n+3의 꼴인 소수의 개수가 유한이라고 가정

하고, q 1 , q 2 , … , q s를 이와 같은 꼴의 소수 전체라고

하자. 이 때

N=4q 1q 2…q s-1 , 즉 N=4(q 1q 2…s q s-1)+3

이라고 하자. 그러면 N은 다음과 같이 소인수분해된다.

N= p 1p 2…p k

여기서 각 p i는 소수이다. N은 홀수이므로 각 p i는 모

두 홀수이고, 따라서 이들은 4n+1 또는 4n+3의 꼴

이다. 한편,

(4n 1+1)(4n 2+1)=4(4n 1n 2+n 1+n 2)+1

이므로 4n+1의 꼴인 정수의 곱은 4n+1의 꼴인 정수

이다. 그런데 N은 4n+3의 꼴이므로 N의 소인수 중

에서 적어도 하나의 p i는 4n+3의 꼴이다. 여기서

p i |N , p i |q 1q 2… q s

이므로 p i | 1이 되어 모순이다.

16. 정수 2⋅26!을 29로 나눈 나머지를 구하여라.

[풀이 ] 29는 소수이므로 윌슨의 정리에 의하여

28!≡-1 ( mod29)

가 성립한다. 여기서

2⋅26!≡ (-1)(-2)⋅26!

≡28⋅27⋅26!

≡-1 ( mod 29)

이므로 2⋅26!을 29로 나눈 나머지는 28이다.

17. 합동식 a≡ b ( mod mi ) (단, i=1, 2, …, n )이 성

립하기 위한 필요충분조건은

a≡ b ( mod [m 1, m 2, …, mn ])

을 만족하는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 각 i에 대하여 a≡ b ( mod mi )가 성립

한다고 가정하자. 그러면 mi |a-b이다. 그러므로 최소

공배수의 정의에 의하여

a≡ b ( mod [m 1, m 2, …, mn ]) (#)

이다.

이제 역을 증명하기 위하여 (#)이 성립한다고 가정하자.

그러면 합동식의 정의에 의하여

[m 1, m 2, …, mn] |a-b

를 만족한다. 이 때 mi |a-b도 만족하게 된다. 따라서

각 i에 대하여 a≡ b ( mod mi )가 성립한다.

18. 법 n에 관한 a이 역수 a*가 존재할 필요충분조건은

a와 n이 서로소임을 증명하여라.

[풀이 ] (a, n )=1이라고 가정하자. 그러면

1∈ℤ=aℤ+nℤ

이므로 1=ax+ny인 정수 x , y가 존재한다. 따라서

ax≡1-ny≡1 ( mod n )

이므로 x는 법 n에 관한 a의 역수가 된다.

역으로 a *이 법 n에 관한 a의 역수라고 가정하자. 그

러면

1≡aa* ( mod n )

이므로 n | 1-aa*이다. 이것은 정수 k가 존재하여

1-aa*=nk

임을 의미하므로

1=nk+aa*∈nℤ+aℤ

가 성립한다. 여기서 (a, n )=d라고 하면

dℤ=nℤ+aℤ=ℤ=1ℤ

이므로 d=1이다.

- 35 -

19. 페르마 정리를 이용하여 2341≡2 ( mod 341 )이 성립

함을 증명하여라.

[풀이 ] 18 < 341 < 19이고 18 이하의 소수는 2 , 3 ,

5 , 7 , 11 , 13 , 17이다. 그런데 11 | 341이므로 341은

소수가 아니다. 341=11⋅31이고 (11, 31)=1이므로

주어진 합동식을 증명하기 위하여

2341≡2 ( mod 11) 그리고 2 341≡2 ( mod 31)

이 성립함을 보이면 된다. 여기에서 페르마 정리를 이용

하면 2 10≡1 ( mod 11) , 230≡1 ( mod 31)이 성립한다.

2341≡ (210) 34⋅2≡134⋅2≡2 ( mod 11)

2 341≡ (230 ) 11⋅211≡111⋅211≡ (25)2⋅2≡2 ( mod 31)

이므로 2341≡2 ( mod 341)이 성립한다.

20. 임의의 정수 a에 대하여 a 25-a는 30으로 나누어짐

을 보여라.

[풀이 ] 30=2⋅3⋅5이므로 a 25-a가 2 , 3 , 5로 나

누어짐을 증명하면 된다. 먼저 5는 소수이므로 페르마의

정리에 의하여 a 5≡a ( mod 5 )이다. 따라서

a 25≡a 5≡a ( mod 5)

이므로 5 |a 25-a이다. 또한 3은 소수이므로 페르마의

정리에 의하여 a 3≡a ( mod 3)이다. 따라서

a 25≡ (a 3 ) 8a≡a 8a≡(a 3) 2a≡a 2a≡a ( mod 3)

이므로 3 |a 25-a이다. 마지막으로 2는 소수이므로 페

르마의 정리에 의하여 a 2≡a ( mod 2)이고

a 25≡ (a 2 ) 12a≡…≡a 2≡a ( mod 2)

이므로 2 |a 25-a이다.

21. 정수 a와 자연수 m에 대하여 (a, m)=1이면 일차

합동식 ax≡b ( mod m)의 해가 법 m에 관하여 유일

하게 존재함을 증명하여라.

[풀이 ] (a, m )=1이므로 ar+ms=1을 만족하는 정

수 r , s가 존재한다. 양변에 b를 곱하면

a(rb)+m(sb)= b

가 성립하며 a(rb)≡b ( mod m)이고 이 때

x≡rb ( mod m)

은 주어진 일차합동식의 해가 된다. 이제

x≡x 1 , x≡x 2 ( mod m )

이 주어진 일차합동식의 해라고 가정하자. 그러면

ax 1≡ax 2 ( mod m )

을 만족한다. 그런데 (a, m )=1이므로

x 1≡x 2 ( mod m )

이다. 따라서 주어진 일차합동식의 해는 법 m에 관하여

유일하게 존재한다.

22. 합동방정식 12x≡3 ( mod 15)의 해를 구하여라.

[풀이 ] 주어진 합동방정식은 다음과 동치이다.

4x≡1 ( mod 5 ) (#)

여기서 법 5에 대한 4의 역원은 4이므로 양변에 4를

곱하면 1x≡4×4x≡4 ( mod 5 )를 얻는다. 따라서 주

어진 방정식의 해는 x≡4 ( mod 5)이다.

23. 정수 a와 자연수 m에 대하여 (a, m)=1이면 일차

합동식 ax≡b ( mod m)의 해를 오일러의 정리를 이용

하여 구하여라.

[풀이 ] (a, m)=1이므로 오일러의 정리에 의하여

aφ(m)≡1 ( mod m ) (#)

이 성립한다. ax≡b ( mod m)의 양변에 a φ(m)-1을 곱

하면

a φ(m)x≡a φ(m)-1⋅b ( mod m )

이다. 따라서 (#)에 의하여

x≡a φ(m)-1b ( mod m )

를 얻는다.

24. 다음 연립합동식의 해를 구하여라.

{x≡2 ( mod 3 )x≡3 ( mod 5 )x≡2 ( mod 7 )

[풀이 ] 먼저 각 법의 곱의 역수를 구하면

(5⋅7)*≡35*≡2*≡2 ( mod 3)

(3⋅7)*≡21*≡1*≡1 ( mod 5)

(3⋅5)*≡15*≡1*≡1 ( mod 7 )

이다. 여기서

x 1=2⋅(5⋅7)* (5⋅7)=140

x 2=3⋅(3⋅7)* (3⋅7)=63

x 3=2⋅(3⋅5)* (3⋅5)=30

이라고 하면 중국인의 나머지정리에 의해 구하는 해는

x≡x 1+x 2+x 3≡23 ( mod 105)

가 된다.

25. 정수계수 다항식 f (x)= ∑n

i=0a ix

i와 소수 p , 그리고 임

의의 정수 x , s에 대하여 다음 등식을 증명하여라.

f (x+p ks )≡ f (x)+f '(x) pks ( mod pk+1 )

[풀이 ] 이항정리에 의하여 다음이 성립한다.

(x+pks )n= x

n+nC1x

n-1pks+ ∑

n

r=2nC r x

n- r(pks )r

여기서 ∑n

r=2nC r x

n- r(pks )r은 pk+1로 나누어지므로

(x+p ks )n≡xn+nxn-1pks ( mod pk+1)

이 성립한다.

- 36 -

이제 f (x+pks )에 대하여 정리하면

f (x+p ks )= ∑n

i=0a i (x+p

ks )i

≡∑n

i=0a i (x

i+ ix

i-1pks )

≡∑n

i=0a ix

i+∑

n

i=0a iix

i-1pks

≡ f (x)= f '(x) pks ( mod pk+1)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

26. 합동식 f (x)= x 3-2x+1≡0 ( mod 9)의 모든 해를

구하여라.

[풀이 ] 먼저 f (x) ≡0 ( mod 3 )의 해를 구하자.

f (0) ≡1 , f (1) ≡0 , f (2) ≡2 ( mod 3)

이므로 f (x) ≡0 ( mod 3 )의 해는 x≡1 ( mod 3)이

다. 이것은

x≡1 , x≡4 , x≡7 ( mod 9)

중 하나가 f (x) ≡0 ( mod 9 )의 해가 됨을 의미한다.

f (1+3k )≡ f (1)+f '(1) 3k ( mod 9 )

이므로

f (1) ≡0 ( mod 9)

f (4) ≡3f '(1) ≡3 ( mod 9)

f (7) ≡6f '(1) ≡6 ( mod 9)

이다. 따라서 구하는 해는 x≡1 ( mod 9)이다.

27. 홀수인 소수 p에 대하여 (a, p )=1일 때

ap-12 ≡( ap ) ( mod p )

임을 증명하여라.

[풀이 ] 두 가지 경우로 나누어 증명하자.

(1) a가 법 p에 관한 이차잉여라고 하자. 그러면 페르마

정리에 의하여 ap-1≡1 ( mod p )가 성립한다. 이것을

인수분해하면 다음과 같다.

(ap-12 -1)(a

p-12 +1)≡0 ( mod p )

여기서 a가 이차잉여이므로 x 2≡a ( mod p )이며

x2⋅p-12 ≡a

p-12 ( mod p )

이므로

xp-1≡ap-12 ( mod p )

이다. 또한 (x, p )=1이므로 페르마 정리에 의하여

xp-1≡1 ( mod p )

이다. 그러므로

( ap )=1≡xp-1≡a

p-12( mod p )

를 만족한다.

(2) a가 법 p에 관한 이차비잉여라고 하자. 그러면

ap-12≡1 ( mod p )

를 만족하지 않는다. 그런데

(ap-12-1)(a

p-12+1)≡0 ( mod p )

를 만족해야 하므로

ap-12 ≡-1=( ap ) ( mod p )

를 만족한다.

28. 13의 한 원시근 2에 대한 다음 지수표를 완성하고 합

동방정식 4x 9≡7 ( mod 13)의 해를 구하여라.

[풀이 ] 13의 원시근 2에 대한 지수표는 다음과 같다.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ind2a 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6

이를 이용하여 4x 9≡7 ( mod 13)의 해를 구하면

4x 9≡7 ( mod 13)

⇔ ind2 (4x9 )≡ind27 ( mod φ(13))

⇔ ind24+9ind2x≡ind27 ( mod 12)

⇔ 9 ind2x≡9 ( mod 12)

⇔ 3 ind2x≡3 ( mod 4)

⇔ ind2x≡1 ( mod 4)

⇔ ind2x≡1, 5, 9 ( mod 12)

⇔ x≡2 또는 x≡6 또는 x≡5 ( mod 13) .

29. 3n-5⋅2n이 7의 배수가 되도록 하는 자연수 n을

구하여라.

[풀이 ] 7 | 3n-5⋅2 n은 다음과 동치이다.

3n≡5⋅2n ( mod 7 )

7의 한 원시근 3에 대하여 양변에 ind 3을 취하면

ind33n≡ ind35⋅2

n ( mod φ(7) )

이다. 이것을 변형하면

n≡ ind35+n ind32 ( mod 6)

이므로 n≡2n+5 ( mod 6 )을 얻는다. 따라서 구하는

자연수 n은 n≡-5 ( mod 6 ) , 즉

n=-5+6k (k∈ℕ)

이 된다.

30. 합동식 x 2≡5 ( mod 227)의 해가 존재하는지 판별하

여라.

[풀이 ] 주어진 합동식의 르장드르 부호를 계산하면

( 5227 )=(2275 ) (-1)

5-12

227-12 ≡ ( 25 ) ( mod 5)

≡22≡4≡-1 ( mod 5 )

이므로 주어진 합동식의 해는 존재하지 않는다.

- 37 -

31. 합동식 5x 2-6x+2≡0 ( mod 13)의 해를 구하여라.

[풀이 ] 먼저 5*=8을 주어진 식에 곱하면

x 2-9x+3≡0 ( mod 13) (1)

을 얻는다. 또한 2*=7이므로 (1)은

(x-7⋅9)2+3-(7⋅9)

2≡0 ( mod 13)

와 동치이다. 이것을 인수분해하면

(x+2)2≡1 ( mod 13)

이 된다. 이것은 x+2≡±1 ( mod 13)과 동치이므로

구하는 해는

x≡-1 또는 x≡-3 ( mod 13) .

32. 합동식 x 2≡-a 2 ( mod p)의 해가 존재할 필요충분

조건은 p≡1 ( mod 4)임을 증명하여라.

[풀이 ] 주어진 합동식의 르장드르 부호를 계산하면

( -a2

p )= ( -1p )(a 2

p )= (-1p )=(-1)

p-12

이다. 따라서 x 2≡-a 2 ( mod p)의 해가 존재할 필요

충분조건은

1=(-1)p-12 ⇔ 2 | p-12 ⇔ 4 |p-1

⇔ p≡1 ( mod 4)

- 38 -

추상대수학 | Abstract Algebra

1. {Hi | i∈I }의 모든 원소가 G의 부분군일 때 ∩i∈IH i는

G의 부분군이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] 각 i∈I에 대하여 Hi≤G이므로 e∈Hi이다.

따라서 e∈∩Hi이고 ∩Hi /=φ이다.

이제 a, b∈∩Hi라고 하자. 그러면 임의의 i∈I에 대하

여 a, b∈Hi이므로 ab-1∈Hi이고 ab

-1∈∩Hi이다.

따라서 ∩Hi는 G의 부분군이다.

2. 유한순환군 G=<a >의 위수가 m일 때 ak∈G가 G

의 생성원이 되기 위한 필요충분조건은 (m, k )=1임

을 증명하시오.

[풀이 ] 먼저 ak가 G의 생성원이라고 가정하자. 그러면

<ak>=G이므로 |ak |=m이어서 (ak)m= e이다. 여

기서 (m, k )= d > 1이라고 하면

m= dm 1 , k=dk 1 (m 1 <m , k 1 < k )

으로 표현할 수 있고

(ak )m 1= (a

dk 1)m 1= (a

dm 1)k 1= (am) k= e

가 되어 m이 ak의 위수라는 사실에 모순이다. 따라서

(m, k )=1이다.

역으로 (m, k )=1이라고 가정하자. 그러면

ms+kt=1

인 두 정수 s , t가 존재하여

a 1=ams+ kt=amsakt=(ak) t∈< ak >

이므로 a∈< ak > , G=<a>이다.

따라서 G는 ak에 의해서 생성된다.

3. 유한군 G의 공집합이 아닌 부분집합 H가 G의 부분군

이 될 필요충분조건은 연산에 대하여 닫혀있는 것임을

증명하여라.

[풀이 ] 만약 H가 G의 부분군이라면 당연히 연산에 대

하여 닫혀있다. 이제 역을 증명하기 위하여 H가 연산에

대하여 닫혀있다고 가정하자. H /=φ이므로 x∈H가 존

재한다. H가 연산에 닫혀있으므로 임의의 자연수 n에

대하여 xn∈H이다. 여기서 H는 유한집합이므로 두 자

연수 m , n이 존재하여

xm= xn (#)

이면서 m > n를 만족한다. 위 식의 양변에 x-n을 곱하

면

e= xm(xn)-1= x

m-n∈H

이다. 즉 H는 항등원을 포함한다.

또한 (#)의 양변에 x-n-1을 곱하면

x-1=xm-n-1∈H

이므로 H는 x의 역원을 포함한다.

따라서 H는 G의 부분군이다.

4. 군 <G, ⋅>와 고정된 g∈G에 대하여 연산 *를 임의

의 x, y∈G에 대하여 x *y = x⋅g⋅y으로 정의하면

<G, *>는 군이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] x , y , z가 G의 임의의 원소라고 하자.

(ⅰ) x *y= x⋅g⋅y∈G이므로 *는 잘 정의된 이항연

산이다.

(ⅱ) x *(y *z )= x⋅g⋅(y⋅g⋅z )=(x⋅g⋅y )⋅g⋅z

=(x *y ) *z이므로 G는 *에 대하여 결합적이다.

(ⅲ) e *=g-1라고 하면 e *∈G이므로 x∈G에 대하여

e * *x= e *⋅g⋅x= g-1⋅g⋅x= x ,

x *e *= x⋅g⋅e *= x⋅g⋅g-1= x

이므로 <G, *>는 항등원 e *를 가진다.

(ⅳ) x-1가 x의 ⋅에 대한 역원이고,

x'=g-1x-1g-1

라고 하면

x *x'=(g-1⋅x-1⋅g-1)⋅g⋅x=g-1= e *

x *x'=x⋅g⋅(g-1⋅x-1⋅g-1)=g-1= e *

이므로 x'는 x의 *에 대한 역원이고 x'∈G이다.

따라서 (ⅰ)∼(ⅳ)에 의하여 <G, *>는 군이다.

5. 두 순환치환 σ= ( i 1, i 2, …, i r) , ρ=( j 1, j 2, …, j s)가

서로소이기 위한 필요충분조건은

{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ

임을 증명하여라.

[풀이 ] 치환군 SA에서 σ와 τ가 서로소라고 하자. 그

러면 각 k∈A에 대하여

(ⅰ) σ(k ) /= k이면 τ(k)= k ,

(ⅱ) τ(k) /= k이면 σ(k)= k ,

(ⅲ) τ(k)= k이고 σ(k)= k

중 하나가 성립한다. 또한

σ(k) /= k이면 k∈{ i 1, i 2, …, i r } ,

τ(k) /= k이면 k /∈{ i 1, i 2, …, i r } ,

τ(k) /= k이면 k∈{ j 1, j 2, …, j s } ,

τ(k)= k이면 k /∈{ j 1, j 2, …, j s }

이다.

- 39 -

따라서 모든 경우에

{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ

이다. 역으로

{ i 1, i 2, …, i r }∩ { j 1, j 2, …, j s }=φ

가 성립한다고 가정하자. 그러면

σ(k) /= k이면 τ(k)= k이어야 하고

τ(k) /= k이면 σ(k)= k이어야 하며

τ(k)= k , σ(k)= k

를 동시에 만족함을 의미하므로 σ와 τ는 서로소이다.

6. 순환군의 부분군은 순환군임을 증명하여라.

[풀이 ] G가 순환군이고 H가 G의 부분군이라고 하자.

H={e }인 경우 자명하게 H는 순환군이다.

이제 H /={e }라고 하자. G가 순환군이므로 G=<a>

인 a∈G가 존재한다. 또한 H /={e }이므로 H∖{e }의

원소 h가 존재한다. 그런데 h∈G이므로 h= an인 자

연수 n이 존재한다. 이제

m= min {n∈ℕ |an∈H } (1)

에 대하여 am= c라 하고 H=< c>임을 보이자.

(ⅰ) 먼저 c∈H이고 H는 닫혀있으므로

< c >= {cn |n∈ℤ }⊆H

이다.

(ⅱ) h∈H에 대하여 정수 k가 존재하여 h= ak이다.

따라서 정수의 호제법에 의하여 정수 q , r이 존재하여

k= qm+r (0≦r <m) (2)

이므로 h=ak=aqm+ r= cq⋅ar이다. 그런데

c q⋅ar=h∈H

이고 c∈H이므로 ar= c- q⋅h∈H이다.

만약 r > 0이면 (1)에 의하여 r≧m이고 이는 (2)에 모

순이다. 따라서 r=0이다. 이로써

h= cq⋅ar= cq⋅a 0= cq⋅e∈< c >

이므로 H⊆< c>이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 H=< c>는 순환군이다.

7. 유한군 G의 원소 a와 자연수 n에 대하여 an= e를

만족하면 ord(a) |n임을 증며하여라.

[풀이 ] 위수의 정의에 의하여 n≦ ord(a)이다. 따라서

정수의 호제법에 의하여

n= kq+r (0≦r < k) (1)

를 만족하는 정수 q , r이 존재하여

e= an= akq+ r=(ak ) qa r= e q ar= ar ,

즉 ar= e이다. 만약 r > 0이라고 가정하면 k가 위수이

므로 r≧k가 되므로 (1)에 모순이다. 따라서 r=0이다.

이로써 n= kq+r= kq+0= kq이므로

ord(a)= k |n

이 성립한다.

8. 위수가 n인 순환군 G=<a>와 두 정수 m , k에 대하

여 (n, m)= (n, k)이면 <am>=<ak>임을 보여라.

[풀이 ] d=(m, n )이라고 하자.

(ⅰ) d |m이므로 m=m 1d인 정수 m 1이 존재한다. 따

라서 < am>=<adm 1 > ⊆<ad>이다.

그리고 d=(m, n)이므로 d=nx+my인 두 정수 x ,

y가 존재한다. 여기서

<ad>=<anx+my>=<amy> ⊆<am>

이다. 따라서 <ad>=< am>이다.

(ⅱ) 위와 같은 방법으로 <ad>=< ak>이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 <am>=< ak>이다.

9. 군 G의 두 원소 a , b의 위수가 각각 m , n일 때

ab= ba인 동시에 (m, n )=1이면 ab의 위수는 mn

임을 증명하여라.

[풀이 ] ord(ab )= r이라고 하자.

(ⅰ) e=(ab) rn= arnb rn= arn⋅(bn) r= arn이므로

m= ord(a) |rn

인데 (m, n )=1이므로 m |r이다. 또한

e=(ab) rm=a rmb rm=(am) r⋅b rm= b rm이므로

n= ord(b) |rm

인데 (m, n )=1이므로 n |r이다.

따라서 mn= lcm(m, n ) |r이다.

(ⅱ) (ab )mn=(am )n (bm)n= enem= e e= e이므로

ord(ab) |mn이다.

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 ord(ab )=mn이다.

10. 유한군 G의 위수가 짝수일 때 G에는 a 2= e , a /= e

인 원소 a가 적어도 하나 존재함을 증명하여라.

[풀이 ] 조건을 만족하는 a∈G가 존재하지 않는다고 가

정하자. 그리고 X=G∖{e }이라고 하자. 이때 임의의

a, b∈X에 대하여 a-1 /=a , b-1 /=b이고 또 다음 중

하나가 유일하게 성립한다.

(ⅰ) {a, a-1 }∪ {b, b-1 }=φ

(ⅱ) {a, a-1 }={b, b-1 }

실제로 {a, a-1 }∪ {b, b-1 } /=φ일 때 a= b이면

a-1=b

-1이고 또 a=b -1이면 a-1=b이므로 어느

경우에나 {a, a-1 }= {b, b-1 }이다.

- 40 -

따라서 X는 쌍마다 서로소인

{a 1, a-11 } , … , {am, a

-1m }

의 합집합

X={a 1, a-11 }∪…∪ {am, a

-1m }

으로서 표현되고 |X |=2m , |G |= |X |+1=2m+1

이다. 그러나 이것은 |G |가 짝수라는 사실에 모순이다.

따라서 G에는 a 2= e , a /= e인 원소 a가 적어도 하나

존재한다.

11. 군 G에 대하여 C (G)= {x∈G |∀g∈G : xg= gx }일

때 C (G)가 G의 정규부분군이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 임의의 g∈G에 대하여 eg=ge이므로

e∈C (G)가 되어 C (G) /=φ이다.

이제 x, y∈C (G)라고 하자. 그러면 임의의 g∈G에 대

하여 xg=gx , yg=gy를 만족하고 gx-1= x-1g와

gy-1= y

-1g도 만족한다. 여기서

(xy-1)g= x(y-1g)= x(gy-1)(xg)y-1

=(gx)y-1=g(xy-1)

이므로 xy-1∈C (G)이다. 따라서 C (G)≤G이다. 또한

gxg-1=(gx)g-1=(xg)g-1= x(gg-1)

= xe= x∈C (G)

이므로 C (G)는 G의 정규부분군이다.

12. 유한군 G의 위수가 소수 p이면

G≅Cp=<x |xp= e >

이고 G의 부분군은 {e }와 G 뿐임을 증명하여라.

[풀이 ] H를 G의 부분군이라고 하면 라그랑지의 정리

에 의하여 |H |가 p의 약수이므로 |H |= p 또는

|H |=1이다. 따라서 H=G 또는 H={e }이다.

이제 a /= e인 a∈G에 대하여 | < a > |=p이므로

G=<a>이고 |G |= | <a> |= |a |= p

이다. 또한 |Cp |= | < x> |= p로서 G와 Cp는 위수가

같은 순환군이므로 G≅Cp이다.

13. 군 G에 대하여 N◁G일 때, H가 N⊆H인 G의 부

분군이면 H/N={hN |h∈H }은 G/N의 부분군임을

증명하여라.

[풀이 ] N이 G의 정규부분군이고 H가 G의 부분군으

로서 N을 포함하므로 N은 H의 정규부분군이다. 그러

므로 H/N⊆G/N이다.

여기서 e∈H이므로 eN∈H/N이어서 H/N /=φ이다.

또한 ab∈H일 때 ab-1∈H이고 aN, bN∈H/N일 때

(aN )(bN )-1=aNb-1N=ab-1N∈H/N

이므로 H/N은 G/N의 부분군이다.

14. 군 G에 대하여 N◁G일 때, H가 N⊆H인 G의 부

분군이면 N◁H임을 증명하여라.

[풀이 ] N은 군이므로 당연히 N≤H이다. 또한 H의

임의의 원소 a는 G의 원소이고, N이 G의 정규부분군

이므로 aN=Na이다. 따라서 N◁H이다.

15. 모든 성분이 실수인 2×2 행렬 중에서 가역행렬들의

모임을 GL 2(ℝ) , 행렬식이 1인 행렬들의 모임을

SL 2(ℝ)이라 할 때 [GL 2(ℝ) : SL 2(ℝ) ]을 구하여라.

[풀이 ] M(a)= ( 1 00 a ) , a∈ℝ+이라고 두면

[GL 2 (ℝ) : SL 2(ℝ)]

=| {A∈SL 2(ℝ) |A∈GL 2(ℝ) } |

≧| {M(a)SL 2(ℝ) |a∈ℝ+} |

= |ℝ+ |= c > ℵ 0

이므로 [GL 2 (ℝ) : SL 2(ℝ) ]=∞이다.

16. 군 G , G'에 대하여 φ :G → G'가 준동형사상이고

e∈G , e'∈G'이 항등원일 때 다음을 증명하여라.

(1) φ (e)= e'이다.

(2) a∈G에 대하여 φ (a-1)=φ (a)-1이다.

(3) 정수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.

[풀이 ] (1) G의 한 원소 a에 대하여

φ(a)=φ(ae)=φ(a)φ(e)

가 성립한다. 양변의 오른쪽에 φ(a)-1을 곱하면

e'=φ(a)-1φ(a)=φ(a)

-1φ(a)φ(e)=φ(e)

이므로 e'=φ(e)이다.

(2) e'=φ(e)=φ(aa-1)=φ(a)φ(a-1)이고 φ(a)의

역원은 유일하므로 φ(a-1)=φ(a)-1이다.

(3) 먼저 φ(a 1 )=φ(a) 1이고 자연수 k에 대하여

φ(ak)=φ(a) k

가 성립함을 가정하면

φ(ak+1)=φ(aka)=φ(ak)φ(a)=φ(a) kφ(a)

=φ(a) k+1

이므로 모든 자연수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.

또한 φ(a 0)=φ(e)=φ(a) 0이고 자연수 n에 대하여

φ(a-n)=φ( (an)-1)=φ(an)-1=(φ(a)n)-1

=φ(a)-n

이므로 모든 정수 n에 대하여 φ (an)=φ (a)n이다.

- 41 -

17. 준동형사상 φ :G → G'에 대하여 다음을 증명하여라.

(1) H≤G이면 φ(H )≤G'이다.

(2) K'≤G'이면 φ-1(K')≤G이다.

(3) N◁G이면 f (N )◁f (G )이다.

[풀이 ] (1) 임의의 α, β∈φ(H )에 대하여

φ(a)=α , φ(b)=β

인 a, b∈G가 존재한다. 그런데

αβ=φ(a)φ(b)=φ(ab) ∈φ(H )

이므로 φ(H )는 연산에 닫혀있다. 또한 φ(e)는 φ(H )

의 항등원이고 φ(a)-1=φ(a-1)∈φ(H )이므로 φ(H )

는 군의 조건을 만족한다. 따라서 φ(H )≤G'이다.

(2) 임의의 a, b∈φ-1(K')에 대하여 φ(a), φ(b) ∈K'

이므로 φ(ab )=φ(a)φ(b) ∈K' , 즉 ab∈φ-1(K ')이

되어 φ-1(K ')은 연산에 닫혀있다. 그리고 e'∈K'이

므로 e∈φ-1(K ')이다. 또한 φ(a) ∈K'이므로

φ(a-1)=φ(a)

-1∈K'

이고 a-1∈φ-1(K')이 되어 φ-1(K ')는 군의 조건을

만족한다. 따라서 φ-1(K')≤G이다.

(3) 임의의 α∈φ(G)에 대하여 φ(a)=α인 a∈G가 존

재한다. 그런데 N◁G이므로 aN=Na이다. 잉여류의

정의에 의하여

αφ(N )=φ(a)φ(N )=φ(aN )=φ(Na)

=φ(N )φ(a)=φ(N )α

이므로 f (N )◁f (G )이다.

18. 군 ℤ 2×ℤ 2로부터 군 ℤ 2×ℤ 2×ℤ 4

으로의 준동형

사상의 개수를 구하여라.

[풀이 ] ℤ 2×ℤ 2= < (1, 0), (0, 1)>이므로 준동형사상

f :ℤ 2×ℤ 2 → ℤ 2×ℤ 2×ℤ 4

은 f (1, 0)=(a 1, a 2, a 3) , f (0, 1)=(b 1, b 2, b 3)에

의하여 완전히 결정된다. 또한

f (m, n)=m(a 1, a 2, a 3)+n(b 1, b 2, b 3)

이 성립해야다.

여기서 f가 준동형사상일 필요충분조건은

(0, 0, 0)= f (0, 0)= f (2, 0)=2(a 1, a 2, a 3) ,

(0, 0, 0)= f (0, 0)= f (0, 2)=2(b 1, b 2, b 3)

이며 이것은 또한 다음과 동치이다.

a 1=0 ∨ a 1=1 , a 2=0 ∨ a 2=1 , a 3=0 ∨ a 3=2 ,

b 1=0 ∨ b 1=1 , b 2=0 ∨ b 2=1 , b 3=0 ∨ b 3=2 .

따라서 준동형사상의 개수는 26이다.

19. 준동형사상 f :G → G'가 일대일 함수일 필요충분조건

은 ker f={e }임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 ker f={e }라고 가정하자. x, y∈G에 대

하여 f (x)= f (y)임을 가정하면

e= f (x)(f (x))-1= f (x) ( f (y))-1

= f (x) f (y-1)= f (xy-1)

이므로 xy-1∈ker f={e }가 되고 xy-1=e이다. 따라

서 역원의 유일성에 의하여 x= y이므로 f는 단사이다.

이제 역을 증명하기 위하여 f가 단사라고 가정하자.

(ⅰ) x∈ker f에 대하여 f (x)= e= f (e)이고 f가 단사

이므로 x= e∈{e }이다. 따라서 ker f⊆{e }이다.

(ⅱ) x∈{e }에 대하여 x= e이므로 f (x)= e가 된다.

즉 x∈ker f이므로 {e }⊆ker f이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 ker f ={e }이다.

20. 준동형사상 f : <S> → G는 S의 원소에 의해 유일하

게 결정됨을 증명하여라.

[풀이 ] 두 준동형사상 f : <S> → G , g : <S> → G가

임의의 x∈S에 대하여 f (x)=g (x)를 만족한다고 가정

하자. 이제 y∈<S>라고 하자. 그러면

y= se 11 se 22 … s

e nn

을 만족하는 s i∈S들과 정수 e i들이 존재한다. 따라서

f (y)= f ( se 11 se 22 … s

enn )= f ( s 1)

e 1f ( s 2)

e 2… f ( s n)

en

= g (s 1)e 1g ( s 2)

e 2…g ( s n)

en

= g ( se 11 se 22 … s

enn )= g (y)

로서 f (y)= g (y)가 성립한다. y는 <S >의 임의의 원

소이므로 f=g이다.

21. 준동형사상 f :G → G'에 대하여 ker f가 G의 정규

부분군임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 정의에 의하여 당연히 ker f⊆G이다.

그리고 f (e)= e '이므로 e∈ker f이다.

임의의 a, b∈ker f에 대하여 f (a)= e' , f (b)= e'이

고

f (ab-1)= f (a)f (b)-1= e' (e')-1= e'

이므로 ab-1∈ker f이다. 따라서 ker f≤G이다.

또한 임의의 g∈G와 a∈ker f에 대하여

f (gag-1)= f (g)f (a)f (g-1)= f (g)e' f (g)-1= e'

이므로 gag-1∈ker f이다. 따라서 ker f는 G의 정규

부분군이다.

- 42 -

22. 함수 φ가 군 G로부터 가환군 K로의 준동형사상일

때 kerφ를 포함하는 G의 부분군은 정규부분군임을 증

명하여라.

[풀이 ] G이 부분군 H가 kerφ를 포함한다고 가정하

자. 그리고 g∈G , h∈H라고 하자. 그러면

φ(ghg-1)=φ(g)φ(h)φ(g)-1

=φ(g)φ(g)-1φ(h)=φ(h)

이므로

φ(ghg-1h-1)=φ(ghg-1)φ(h-1)

=φ(h)φ(h-1)= e

가 성립한다. 즉 ghg-1h-1∈kerφ⊆H이다.

그런데 h∈H이고 H는 연산에 닫혀있으므로

ghg-1= ghg-1h-1h∈H

이다. 즉 임의의 g∈G , h∈H에 대하여 ghg-1∈H가

성립하므로 H는 G의 정규부분군이다.

23. 준동형사상 f :G → G'에 대하여 G/K≅ f (G )임을

증명하여라. (제 1 동형정리)

[풀이 ] K= f (G )에 대하여 φ :G/K → K를

φ(xK )= f (x)

로 정의하자. 그러면 K◁G이므로

aK= bK ⇔ f (a)= f (b) ⇔ φ(aK )=φ(bK )

가 되어 φ는 잘 정의된 함수이고 일대일 대응이다.

또한 임의의 a, b∈G에 대하여

φ(aK⋅bK )=φ(abK )= f (ab)= f (a) f (b)

=φ(aK )φ(bK )

이므로 φ는 동형사상이다.

따라서 G/K≅ f (G )이다.

24. 군 G의 두 부분군 H , K에 대하여 HK , KH가 G

의 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 HK=KH임을

보여라.

[풀이 ] 먼저 HK=KH가 성립한다고 가정하자. 그러면

명백히 e∈HK이므로 HK /=φ이다. 이제 x, y∈HK라

고 하자. 그러면 x= h 1k 1 , y= h 2k 2인 h 1, h 2∈H와

k 1, k 2∈K가 존재한다. 여기서

xy-1= (h 1k 2)(h 2k 2)-1= h 1k 1k

-12 h

-12

= h 1(k 2k-11 )

-1h 2

이고 (k 2k-11 )

-1h 2∈KH=HK이므로

(k 2k-11 )

-1h 2=hk

인 h∈H와 k∈K가 존재한다.

즉 xy-1= h 1(k 2k-11 )

-1h 2= h 1hk∈HK이다.

따라서 HK와 KH는 G의 부분군이다.

이제 역을 증명하기 위하여 HK≤G라고 하자. 그러면

임의의 x∈KH에 대하여 x= kh인 k∈K , h∈H가

존재하고, k∈HK , h∈HK이며 HK가 군이므로

x= kh∈HK

이다. 따라서 KH⊆HK이다.

또한 같은 방법으로 HK⊆KH임을 보일 수 있다.

따라서 HK=KH이다.

25. 군 G가 위수 n인 순환군이면 ℤ/nℤ≅G임을 증명

하여라.

[풀이 ] G가 위수 n인 순환군이므로 a∈G가 존재하

여 G={e, a, a 2, …, an-1 }이다. 여기서

f (m)=am

이라고 하면 f는 ℤ로부터 G로의 준동형사상이 된다.

또한 f (ℤ)=G , ker f =nℤ이므로 제 1 동형정리에

의하여 ℤ/nℤ≅G이다.

26. 덧셈에 대한 두 군 ℤ m×ℤ n과 ℤmn

이 동형일 필요

충분조건은 m과 n이 서로소임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 m , n이 서로소라고 가정하자. 그러면

ord(1, 1)= min {k∈ℕ |k(1, 1)=(0, 0) }

= min {n∈ℕ |m |k ∧ n |k }

= lcm(m, n )=mn

이므로 ℤm×ℤ n=< (1, 1) >이 된다.

즉 ℤ m×ℤ n은 위수 mn인 순환군이므로 ℤmn

과 동

형이다.

이제 역을 증명하기 위하여 d= gcd (m, n) > 1이라고

가정하자. 그러면 적당한 자연수 m , n이 존재하여

m=m 1d , n=n 1d , gcd (m 1, n 1)=1

을 만족한다. 즉 임의의 (x, y )∈ℤm×ℤ n에 대하여

m 1n 1d (x, y )= (n 1mx, m 1ny )= (0, 0)

이므로 ord(x, y )≦m 1n 1d < (m 1d )(n 1d )=mn이다.

따라서 ℤ m×ℤ n에 생성원이 존재하지 않으므로 군환

군이 아니다. 즉 ℤ m×ℤ n /≅ℤ mn이므로 귀류법에 의하

여 역이 증명되었다.

27. 군 ℤ 4의 분해가능성을 조사하여라.

[풀이 ] ℤ 4가 분해가능하다고 가정하자. 그러면

ℤ 4≅H×K , H /={0 } , K /={0 }

을 만족하는 ℤ 4의 정규부분군 H , K가 존재한다.

- 43 -

또한 4= |ℤ 4 |= |H ||K |이므로 |H |= |K |=2가 될

수밖에 없다. 따라서 ℤ 4의 위수 2인 부분군은 < 2> 뿐

이므로 H=K=<2>이다. 그런데 < 2 > × < 2 >는 순환

군이 아니므로 ℤ 4 /≅H×K이다. 따라서 ℤ 4는 분해 불

가능하다.

28. 3차 대칭군 S 3의 분해 가능성을 조사하여라.

[풀이 ] S 3이 분해가능이라고 가정하면

S 3≅H×K , |H | /=1 , |K | /=1

인 S 3의 두 정규부분군 H , K가 존재한다.

여기서 6= |S 3 |= |H ||K |이므로 일반성을 잃지 않고

|H |=3 , |K |=2라고 하자. 그러면

H≅ℤ 3, K≅ℤ 2

이다. 그러나 S 3은 비가환군이고 ℤ 3×ℤ 2는 가환군이

므로 이 둘은 서로 동형이 아니다. 따라서 S 3은 분해 불

가능하다.

29. 위수가 360인 서로 동형이 아닌 가환군이 모두 몇 개

인지 밝혀라.

[풀이 ] G를 위수 360인 가환군이라고 하자.

그러면 |G |= 360=23 3 2 5 1이므로 유한생성가환군의

기본정리에 의하여 G는 다음 중 하나와 동형이다.

ℤ 2×ℤ 2×ℤ 2×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5

ℤ 2×ℤ 2 2×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5

ℤ 2 3×ℤ 3×ℤ 3×ℤ 5

ℤ 2×ℤ 2×ℤ 2×ℤ 3 2×ℤ 5

ℤ 2×ℤ 2 2×ℤ 3 2×ℤ 5

ℤ 2 3×ℤ 3 2×ℤ 5

따라서 위수가 360인 서로 동형이 아닌 가환군은 모두

6개이다.

30. 덧셈에 대한 두 군 ℝ와 2πℤ , 그리고 곱셈에 대한 군

C={z∈ℂ | |z |=1 }에 대하여 ℝ/2πℤ≅C임을 증명

하여라.

[풀이 ] ℝ로부터 곱셈에 대한 군 ℂ *로의 함수 f를

f (x)= eix= cosx+ isinx

로 정의하자. 그러면 임의의 x, y∈ℝ에 대하여

f (x+y)= e i( x+ y)= e ix e yx= f (x) f (y)

이므로 f는 준동형사상이다. 제 1 동형정리에 의하여

ℝ/ker f≅ f (ℝ)

가 성립한다. 그런데

f (ℝ)=C , ker f=2πℤ

이므로 ℝ/2πℤ≅ C이다.

31. 상군 ℤ 16×ℤ 9×ℤ 25/ < (4, 3, 5) >의 위수를 구하여라.

[풀이 ] G=ℤ 16×ℤ 9×ℤ 25라고 하면

|G |=24⋅32⋅52

이다. 그런데

| < (4, 3, 5)> |= |(4, 3, 5 ) |= lcm(|4 |, |3 |, |5 |)=60

이므로

|G/< (4, 3, 5) > |= |G |/| < (4, 3, 5)> |=60

을 얻는다.

32. 군 G에 대하여 C (G)= {x∈G |∀g∈G : xg=gx }일

때, G/C(G)가 순환군이면 G는 가환군임을 보여라.

[풀이 ] G/C(G)가 순환군이면 적당한 g∈G가 존재하

여 G/C(G)=<gC(G ) >이다.

따라서 임의의 g 1, g 2∈G에 대하여

g 1∈gmC(G) , g 2∈g

nC(G)

를 만족하는 정수 m , n이 존재한다. 이것은

g 1= gmc 1 , g 2= g

nc 2

를 만족하는 c 1, c 2∈C(G)가 존재함을 의미한다.

여기서 C(G)는 G의 정규부분군이므로

g 1g 2= (gmc 1)(g

nc 2)= gm(c 1g

n)c 2= gm(gnc 1)c 2

=(gmgn)(c 1c 2)=gm+1(c 1c 2)=g

n+m(c 1c 2)

=(f ngm)(c 2c 1)= gn(gmc 2)c 1=g

n(c 2g

m)c 1

=(gnc 2)(gmc 1)= g 2g 1

가 성립한다. 따라서 G는 가환군이다.

33. 소수 p와 정수 r≧2에 대하여 pr인 군 G는 단순군

이 아님을 증명하여라.

[풀이 ] |G |= pr⋅1이라고 두면 제 1 실로우 정리에 의

하여 |H |=pr-1인 G의 부분군 H가 존재한다. 여기서

다시 제 1 실로우 정리에 의하여 G의 부분군 K가 존

재하여 |K |= p r , H◁K≤G를 만족한다.

따라서 K=G이고 H◁G이다. 그런데 |H |=pr-1이

므로 H /={e }이므로 G는 단순군이 아니다.

34. 위수가 42인 군 G는 단순군이 아님을 증명하여라.

[풀이 ] 7 |42= |G |이므로 제 3 실로우 정리에 의하여

n 7≡1 ( mod 7) , n 7 | 42

가 성립한다. 단, 여기서 n 7은 G의 실로우 7 -부분군의

개수이다. 두 조건을 동시에 만족하는 n 7은 1 뿐이므로

G의 실로우 7 -부분군은 유일하다. H를 G의 실로우

7 -부분군이라고 하자.

- 44 -

그러면 임의의 g∈G에 대하여 gHg-1는 G의 실로우

7 -부분군이 되어 gHg-1=H이다. 따라서 H◁G이다.

여기서 H /={e }이므로 G는 단순군이 아니다.

35. 환 R의 원소 a에 대하여 Ia={x∈R |ax=0 }은 R

의 부분환임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 a⋅0=0이므로 0∈Ia가 되어 Ia /=φ이

다. 이제 x, y∈Ia라고 하자. 그러면

a(x-y)=ax-ay=0-0=0

이므로 x-y∈Ia이고 또한

a(xy)= (ax)y=0⋅y=0

이므로 xy∈Ia이다. 따라서 I a≤R이다.

36. 임의의 r∈R에 대하여 r 2= r을 만족하는 환 R는

가환환임을 증명하여라.

[풀이 ] 임의의 a∈R에 대하여

a+a=(a+a) 2= a 2+a 2+a 2+a 2=a+a+a+a

이므로 a+a=0이고 a=-a이다. (#)

이제 r, s∈R이라고 하자. 그러면

r+s=(r+s) 2= (r+s)(r+s )

= r(r+s)+ s(r+s)= r 2+rs+sr+s 2

= r+rs+sr+s

가 된다. 양변에 (-r)+(- s)를 더하면

0= rs+sr

이 되고 (#)에 의하여

sr=-rs= rs

이다. 따라서 R는 가환환이다.

37. 임의의 유한정역은 체을 증명하여라.

[풀이 ] R={a 1, a 2, …, an }이 유한정역이라고 하자.

그러면 0이 아닌 임의의 a i∈R에 대하여

a iR={a ia 1, a ia 2, …, a ian }

이다. 여기서 R의 두 원소 a ia p , a iaq에 대하여

ap /= aq 그리고 a iap= a iaq

라고 가정하면 a i (ap-aq)=0이다. ai /=0이고 R은

인자를 갖지 않으므로 ap-aq=0 , 즉 ap= aq가 되

어 모순이다. 따라서 ap /= aq이면 a iap /= a iaq가 되고

유한집합의 성질에 의하여 |a iR |= |R |이고 a iR⊆R

이므로 a iR=R이다. 그런데 1∈a iR이므로 a ia j=1

인 a j∈R가 존재한다. 따라서 ai는 단원이다. 즉 0이

아닌 임의의 a i∈R이 단원이므로 R은 체이다.

38. 임의의 유한정역의 표수는 소수임을 증명하여라.

[풀이 ] 유한정역 D의 표수가 합성수 m= pq라고 하자.

표수의 정의에 의하여

m⋅1= pq⋅1=(p⋅1)(q⋅1)=0

이다. 따라서 p⋅1=0이거나 q⋅1=0이다.

이는 표수가 p 또는 q의 약수임을 의미하므로 m이 표

수라는 가정에 모순이다.

따라서 유한정역 D의 표수는 소수이다.

39. 자연수 m이 환 ℤ n의 단원일 필요충분조건은 m과

n이 서로소임을 증명하여라. 여기서 m∈ℤn이다.

[풀이 ] 먼저 m , n이 서로소가 아니라고 가정하자. 그

러면 d=(m, n) > 1이다. 여기서 두 자연수 m 1 , n 1이

존재하여 m=m 1d , n=n 1d이다. 따라서

0 < n 1≦n-1 , mn 1=m 1dn 1=m 1n=0

이므로 m은 인자이다.

이제 m , n이 서로소라고 가정하자. 그리고 s∈ℤ n에

대하여 ms=0이라고 가정하자. 그러면 n |ms이다. 그

런데 (m, n)=1이므로 n | s이다. 따라서 s=0이므로

m은 인자가 아니다.

40. 환 R의 원소 a에 대하여 am=0인 자연수 m이 존

재할 때 a를 r의 멱 원이라고 한다. 가환환 R의 멱

원 전체의 집합 J={a∈R |∃m∈ℕ : am=0 }은 R의

아이디얼임을 증명하여라.

[풀이 ] 0∈J이므로 J는 공집합이 아니고 또한 정의에

의하여 J⊆R이다. 이제 a, b∈J라고 하자. 그러면 자연

수 m , n이 존재하여 am=0 , an=0이다. 그런데

(a-b) m+n = ∑m+n

k=0m+nCka

m+n- k (-b) k

이고 또한

0≦k≦n이면 am+n-k=0 ,

n≦k≦m+n이면 b k=0

이므로 우변의 am+n-k(-b) k는 항상 0이 된다.

따라서 (a-b)m+n=0이므로 a-b∈J이다.

또한 R이 가환환이므로 (ab)mn=(am)n(bn)m=0이

다. 따라서 ab∈J이므로 J≤R이다.

끝으로 임의의 x∈R에 대하여

(ax)m=(xa)

m= x

mamxm0=0

으로서 ax∈J가 되므로 J◁R이다.

- 45 -

41. 체 F에서 단위원을 가진 환 R로의 준동형사상 f가

전사이면 f는 동형사상이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] x, y∈F에 대하여 x /= y , f (x)= f (y)라고 가

정하자. 그러면 f (x-y)= f (x)-f (y)=0이므로

f (1)= f (x-y)-1 (x-y))= f (x-y)-1 f (x-y)=0

이다. 따라서 임의의 a∈F에 대하여

f (a)= f (a⋅1)= f (a) f (1)= f (a)0=0

이므로 f (x) ≡0이고, f (F )= {0 }이다. 이것은 f가 전

사라는 사실에 모순이므로 f (x) /= f (y)이다. 따라서 f

는 단사이다.

42. 단위원을 가진 환 R의 아이디얼 I에 대하여 R에 단

원이 존재할 때, I=R이기 위한 필요충분조건은 R이

적어도 하나의 단원을 포함하는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] 만약 I=R이면 I는 당연히 R의 단원을 포함

한다. 이제 역을 증명하기 위하여 I가 R의 단원 u를

포함한다고 가정하자. 그러면 u-1∈I이고 I가 부분환

이므로 1=uu-1∈I이다. 또한 임의의 x∈R에 대하여

x= x1∈xI⊆I이므로 R⊆I가 되고 또한 I⊆R이므로

R= I이다.

43. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 R이 정역일 필요

충분조건은 {0 }이 R의 소아이디얼임을 증명하여라.

[풀이 ] {0 }이 소아이디얼이라고 하자. 그리고 a, b∈R

에 대하여 ab=0이라고 하자. 그러면 ab∈{0 }이므로

a∈{0 } 또는 b∈{0 }이다. 즉 a=0 또는 b=0이므

로 a , b는 인자가 아니다. 따라서 R은 정역이다.

역으로 R이 정역이라고 하자. 그러면 ab=0은 a=0

또는 b=0을 함의하므로 {0 }은 소아이디얼이 된다.

44. R이 단위원을 가진 가환환이고 P가 P /=R인 아이디

얼일 때, R/P가 정역일 필요충분조건은 P가 R의 소

아이디얼임을 증명하여라.

[풀이 ] P가 R의 소아이디얼이고 P /=R이라고 가정하

자. 그러면 R/P는 단위원 1+P /=0+P를 가지는 가

환환이다. 또한 소아이디얼의 정의에 의하여 다음이 성립

한다.

(ⅰ) ab∈P이면 a∈P 또는 b∈P이다.

(ⅱ) a+P , b+P∈R/P에 대하여

(a+P) (b+P)=0+P ⇒ ab+P=0+P

⇒ ab∈P이면 a∈P 또는 b∈P

⇒ a+P=0+P 또는 b+P=0+P .

따라서 R/P는 정역이다.

역을 증명하기 위하여 R/P가 정역이라고 가정하자. 그

러면 다음이 성립한다.

ab∈P ⇒ (a+P)(b+P)= ab+P=0+P

⇒ a+P=0+P 또는 b+P=0+P

⇒ a∈P 또는 b∈P

따라서 P는 R의 소아이디얼이다.

45. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 R이 정역일 필요

충분조건은 {0 }이 R의 극대아이디얼임을 증명하여라.

[풀이 ] {0 }이 R이 극대아이디얼이라고 하자. 그러면

임의의 아이디얼 I에 대하여 I={0 } 또는 I=R이다.

만약 a∈R이고 a /=0이면 aR /= {0 }이므로

aR=R= I이다. 여기서 1∈R이므로

1= aa'∈aR=R= I

인 a'∈R이 존재하여 a는 단원이 되고 R은 체이다.

역을 증명하기 위하여 R이 체라고 가정하자. 그러면 아

이디얼은 {0 }과 R 뿐이므로 극대아이디얼의 정의에 의

하여 {0 }이 R의 극대아이디얼이 된다.

46. R이 단위원을 가진 가환환이고 M이 M /=R인 R의

아이디얼일 때, R/M이 체가 될 필요충분조건은 M이

R의 극대아이디얼이 되는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] M이 R의 극대아이디얼이라고 가정하자. 그러

면 a+M /=0+M인 a+M∈R/M에 대하여

I= aR+M={ab+m |b∈R, m∈M }

은 R의 아이디얼이고 a /∈M , a∈I이므로 M /= I이며

M⊆I⊆R를 만족한다. 그러므로 극대아이디얼의 조건에

의하여 I=R이고, 특히 적당한 a∈R , m∈M이 존재

하여 ab+m=1을 만족한다. 이것은

(a+M )(b+M )=1+M

을 만족함을 의미하므로 a+M∈R/M은 단원이다. 따

라서 R/M은 체이다.

역으로 R/M이 체라고 가정하자. a∈I-M이라고 하면

a+M /=0+M이므로 체 R/M에서 a+M의 곱셈에

대한 역원 b+M이 존재한다. 즉

(a+M )(b+M )=1+M , ab+M=1+M

이므로 ab+m=1인 m∈M이 존재한다. 그런데

ab∈I , m∈M⊆I를 만족하므로 1=ab+m∈I가 되

어 I=R이다. 따라서 M은 R의 극대아이디얼이다.

- 46 -

47. 단위원을 가진 유한가환환 R에 대하여, M이 R의 극

대아이디얼일 필요충분조건은 M이 R의 소아이디얼임

을 증명하여라.

[풀이 ] M이 R의 소아이디얼이면 R/M은 유한정역이

므로 체가 된다. 따라서 M은 극대아이디얼이다.

또한 M이 극대아이디얼이면 R/M은 체가 되므로 정역

이 된다. 따라서 M은 소아이디얼이다.

48. 단위원 1을 가진 가환환 R에 대하여 다음 물음에 답

하시오.

(1) 환 R의 0 아닌 모든 원소가 단원일 때 R의 아이

디얼을 모두 구하고 R의 극대아이디얼을 찾으시오.

(2) 환 R이 인자를 포함하지 않을 때 R의 소아이디

얼을 구하시오.

[풀이 ] (1) 단위원 1을 가진 가환환 R에서 0 아닌 모

든 원소가 단원이면 R은 체이다. 따라서 R의 아이디얼

은 {0 }과 R 뿐이다. 여기서 정의에 의하여 극대아이디

얼은 {0 }이다.

(2) 단위원 1을 가진 가환환이 인자를 포함하지 않으

면 R은 정역이다. 만약 R이 유한정역이면 체이므로 아

이디얼은 {0 }과 R 뿐이다. 그래서 소아이디얼은 {0 }

뿐이다. 만약 R이 유한이 아닌 정역이면 {0 } 외의 소

아이디얼이 존재한다.

49. 체 F에 대하여 F [x]가 주아이디얼 정역임을 증명하

여라.

[풀이 ] N이 F[x]의 아이디얼이라고 하자.

만약 N={0 }이면 N=<0>이므로 명백히 N은 주아이

디얼이다.

이제 N /=<0>이라고 하자. g (x)를 가장 낮은 차수를

갖는 0 아닌 N의 임의의 원소라고 하자.

만약 g (x)의 차수가 0이면 g (x)는 0 아닌 상수이므

로 가역원이다. 즉 a가 단원이고 a∈N이므로 1∈N이

어서 N=F[x]=< 1>을 만족한다.

또한 g (x)의 차수가 1보다 크고 f (x)가 N의 임의의

원소라고 하면 나눗셈정리에 의하여

f (x)=g (x)q (x)+r (x) ( deg r(x) > deg g(x) )

이고 f (x) ∈N , g (x) ∈N이므로 아이디얼의 정의에 의

하여 r (x)= f (x)-g (x)q (x) ∈N이다. 그런데 g (x)는

N에 속하는 0 아닌 최소차수의 원소이므로 r (x)=0

이어야 한다. 그러므로 f (x)=g (x) q(x)이고 이것은 임

의의 f (x) ∈N이 g (x)에 의하여 생성되는 것을 의미하

므로 N=<g(x) >이다.

따라서 F[x]의 모든 아이디얼은 주아이디얼이다.

50. 다항식 f (x)= x3+3x+2가 ℤ 5

에서 기약임을 증명

하여라.

[풀이 ] f (x)가 ℤ 5에서 가약이라고 가정하자. 그러면

일차식 ax+b와 이차식 g (x)가 존재하여

f (x)= (ax+b)g(x)

가 된다. ℤ 5는 체이므로 a의 가역원 a-1∈ℤ 5

가 존

재한다. 여기서 α=a-1(-b)라고 하면 f (α)=0이 된

다. 그러나 f (0)=2 , f (1)=1 , f (2)=1 , f (3)=3 ,

f (4)=3로서 임의의 x∈ℤ 5에 대하여 f (x) /=0이므로

이것은 모순이다. 따라서 f (x)는 ℤ 5에서 기약이다.

51. 체 F에 대하여 다항식 p (x) ∈F [x]가 degp(x)≧1

일 때, p (x)가 F에서 기약일 필요충분조건은 < p (x)>

가 F[x]의 극대아이디얼임을 증명하여라.

[풀이 ] p(x)가 기약이라고 가정하면 M=< p (x)>는 아

이디얼이고 M /=F [x]이다. 이제 아이디얼 I=< f (x)>

가 M⊆I⊆F [x]를 만족한다고 가정하면 f (x) |p (x)가

성립하므로 적당한 a∈F*에 대하여 f (x)=a 또는

f (x)=ap(x)이다. f (x)=a이면 I=<a>=F이다. 또

한 f (x)=ap(x)이면 I=<ap(x) >=< p(x)>=F [x]이

다. 따라서 < p(x) >는 F [x]의 극대아이디얼이다.

역으로 < p(x) >가 F [x]의 극대아이디얼임을 가정하자.

그러면 F [x]/< p(x) >는 체로서 정역이므로 < p(x) >는

F [x]의 소아이디얼이다. 따라서 만약 p(x)가 두 다항

식의 곱 p(x)=g(x)h(x)로서 표현된다면

g(x)h(x)= p(x)∈< p(x) >

이고 < p(x) >가 소아이디얼이므로 g(x)∈< p(x)> 또는

h(x)∈< p(x) >이다. 여기서 g(x) 또는 h(x)는 상수가

되므로 p(x)는 기약이다.

52. 주아이디얼 정역 D의 아이디얼 < p>가 극대 아이디얼

일 필요충분조건은 p가 기약원임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 < p>가 극대 아이디얼이라고 가정하자.

만약 p=ab이면 < p>=<ab> ⊆<a> ◁D이다.

따라서 < a>=< p > 또는 <a>=D=<1>이다.

만약 <a>=< p>이면 a , p는 동반원이므로 b는 가역

원이다. 또한 <a>=< 1>이면 a , 1은 동반원이므로 a

는 가역원이다. 따라서 p는 기약원이다.

이제 역을 증명하기 위하여 p가 기약원이라고 하자. 그

리고 I가 < p> ⊆I◁D인 아이디얼이라고 하자. D는 주

아이디얼정역이므로 I=< a>인 a∈D가 존재한다. 여기

서 p∈< p > ⊆I=<a>이므로 p=ab인 b∈D가 존재한

다. 그런데 p는 기약원이므로 a 또는 b는 가역원이 된다.

- 47 -

만약 a가 가역원이면 1=aa-1∈< a>이고 <a>는 아

이디얼이므로 I=< a>=D가 된다. 만약 b가 가역원이

면 a= pb-1이므로 < p> ⊆<a>=< pb-1> ⊆< p>이다.

따라서 I=<a>=< p>이다.

이로써 I=D 또는 I=< p>이 되므로 < p>는 극대아이

디얼이다.

53. 다항식 f (x)= x 4-2x 2+8x+2와 유리수체 ℚ에 대

하여 ℚ[x]/< f (x)>이 체임을 보여라.

[풀이 ] 소수 p=2에 대하여 p /| 1이고 p | (-2) , p | 8 ,

p | 2 , p 2/| 2이므로 아이센슈타인 판정법에 의하여 f (x)

는 ℤ 위에서 기약이다. 정수계수다항식이 ℤ 위에서

기약일 필요충분조건은 ℚ 위에서 기약인 것이므로

f (x)는 ℚ 위에서 기약이다. ℚ[x]가 단위원을 가진

가환환이고 < f (x)>가 ℚ[x]의 극대아이디얼이므로

ℚ[x]/< f (x)>는 체이다.

54. ℤ의 임의의 아이디얼은 주아이디얼임을 보여라.

[풀이 ] I가 ℤ의 아이디얼이라고 하자.

만약 I={0 }이면 I는 주아이디얼이다.

이제 I /={0 }이라고 하자. 그리고

a= min {k∈ℕ |k∈I } (1)

라고 두고 I= aℤ임을 보이자.

(ⅰ) 먼저 a∈I이므로 aℤ⊆I임은 자명하다.

(ⅱ) k∈I에 대하여 정수의 호제법에 의하여

k=aq+r (0≦ r < a) (2)

를 만족하는 두 정수 q , r가 존재한다. k , a는 I의

원소이므로 r= k-aq∈I가 성립한다. r /=0이라고

가정하면 (1)에 의하여 a≦r인데 이것은 (2)에 모순이

므로 r=0이다. 따라서 k= aq∈aℤ이므로 I⊆aℤ

이다.

이로써 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 I= aℤ이므로 I는 주아이디

얼이 된다.

55. 다항식환 ℤ[x]는 주아이디얼정역이 아님을 보여라.

[풀이 ] I={f (x) ∈ℤ[x] | f (0) ∈2ℤ }라고 하자.

먼저 f (x), g (x) ∈I , h (x) ∈ℤ[x]라고 하면

f (x)-g (x) ∈ℤ[x] , f (0)-g (0) ∈2ℤ

이므로 f (x)-g (x) ∈I이다. 또한

f (0)h (0)=h (0)f (0) ∈2ℤ

이므로 f (x)h (x)와 h (x)f (x)는 I의 원소이다.

따라서 I는 ℤ[x]의 아이디얼이다.

다음으로 I가 ℤ[x] 주아이디얼은 아님을 보이자.

다항식 g (x) ∈ℤ[x]에 대하여 I=< g (x)>라고 가정하

면 2∈I=< g (x)>이므로

g (x)h (x)=2

인 h (x) ∈ℤ[x]가 존재한다. 따라서 g (x )= ±1이거

나 g (x)= ±2이다. g (x )= ±1인 경우 I=ℤ[x]가

되지만 x+1∈ℤ[x]이고 x+1 /∈I이므로 모순이다. 또

한 g (x)= ±2인 경우 I=2ℤ[x]가 되지만 x+2∈I

이고 x+2 /∈2ℤ[x]이므로 모순이다.

따라서 I /=< g (x)>이고 I는 주아이디얼이 아니다.

56. 유클리드 정역은 주아이디얼정역임을 증명하여라.

[풀이 ] 유클리드 정역 D의 유클리드 부치를 δ라고 하

자. 그리고 I를 D의 아이디얼이라고 하자.

I={0 }이면 I=<0>이므로 I는 주아이디얼이다.

I /={0 }이고 {0 }⊂ I일 때 임의의 x∈I∖{0 }에 대하

여 δ(x) > 0이므로 정수의 정렬성에 의하여

k= min {δ(x) |x∈I∖{0 } }

가 존재한다. 여기서 a∈I∖{0 }가 존재하여 δ(a)= k

를 만족한다. 이 때 < a>= aD⊆I이고 임의의 b∈I에

대하여 b=aq+r , δ(r) < δ(a)인 q, r∈D가 존재한

다. 여기서 b∈I , aq∈I이므로 r= b-aq∈I이다. 그

런데 δ(a)의 최소성에 의하여 r=0이므로

b= aq-r=aq∈< a>

이다. 따라서 I=< a>이므로 유클리드정역 D는 주아이

디얼정역이다.

57. 주아이디얼정역 D는 유일분해정역임을 증명하여라.

[풀이 ] D가 주아이디얼정역이므로 0도 아니고 가역원

도 아닌 각 a∈D는 기약원의 인수분해

a= p 1p 2…p r

를 갖는다. 이제 유일성을 밝히기 위하여

a= q 1q 2…q s

가 또다른 기약원의 인수분해라고 하면

p 1 | (q 1q 2…q s)

이며 적어도 하나의 j에 대하여 p 1 | q이므로 적당한 j 1

에 대하여 p 1 |q j 1을 얻는다. 필요하다면 q j의 순서를 바

꾸어 j 1=1 , 즉 p 1 |q 1이라고 가정할 수 있다. 그러면

q 1= p 1u 1이면 p 1은 기약이기 때문에 u 1은 가역원이

며 따라서 p 1과 q 1은 동반원소이다. 따라서

p 1p 2…p r= p 1u 1q 2…q s

를 얻게 된다.

- 48 -

여기서 D의 약분법칙에 의하여

p 2…p r=u 1q 2…q s

를 얻는다. p 2를 시작으로 이 과정을 계속하면

1=u 1u 2…urq r+1…q s

을 얻는다. q j가 기약이므로 r= s를 얻는다.

58. K가 F의 유한확대체이면 K는 F의 대수적 확대체

임을 증명하여라.

[풀이 ] 임의의 α∈K에 대하여 [F (α) :F ]=n인 자

연수 n이 존재한다. 이 때

1 , α , α2 , … , αn

은 일차독립이 아니며 따라서

anαn+an-1α

n-1+…+a 1α+a 0=0

을 만족하면서 모두 0은 아닌 a i∈F들이 존재한다. 그

러면 f (x)= anxn+…+a 1x+a 0∈F [x]는 0 아닌 다

항식이며 f (α)=0이다. 따라서 α는 F 위에서 대수적

이다. α가 K의 임의의 원소이므로 K는 F의 대수적

확대체이다.

59. E가 F의 유한확대체이고 [E :F ]가 소수이면 E는

F의 단순확대체임을 증명하여라.

[풀이 ] [E :F ]≧2이므로 α∈E∖F가 존재한다. 여기

서 [E :F ]=[E :F (α) ][F (α) :F ]가 성립한다. 그런

데 [E :F ]는 소수이고 [F (α) :F ] > 1이므로

[E :F (α)]=1 , E=F (α )

이다. 따라서 E는 F의 유한확대체이다.

60. 유한체 F와 곱셈연산 ⋅에 대하여 <F*, ⋅>은 순환

군임을 증명하여라. 단 F*=F∖{0 }이다.

[풀이 ] F *는 유한가환군이므로 유한생성가환군의 기본

정리에 의하여 적당한 소수의 멱 di들이 존재하여

F * ≅ ℤ d 1×ℤ d 2×… ×ℤ d r(#)

이다. m= lcm(d 1, d 2, …, dr )이라 두면 r 이하의 임

의의 자연수 i와 임의의 a i∈ℤ d i에 대하여 d ia i=0이

므로 d i |m이고 mai=0이다.

그러므로 임의의 (a 1, …, ar)에 대하여

m(a 1, …, ar)= (ma 1, …, mar)= (0, …, 0)

가 성립한다. 또한 (#)에 의하여 임의의 x∈F*에 대하

여 xm=1이므로

m= lcm(d 1, …, dr)≦d 1d 2…dr

=|F * |= | {x∈F * |xm-1=0 }|≦m

이다. 따라서 m= d 1d 2…dr이고 d 1 , d 2 , … , dr은

서로소이다. ord(1, 1, …, 1)= lcm(d 1, d 2, …, dr)이

므로 ℤ d 1×ℤ d 2

×… ×ℤ d r=< (1, 1, …, 1) >이다. 따

라서 F*는 순환군이다.

61. α= 42 ( cos π4 + i sin

π4 )일 때 [ℚ(α) :ℚ]를 구하

여라.

[풀이 ] 주어진 식으로부터

α2= 2 i , α4=-2

이므로 α4+2=0이다. 이 때 p (x)= x 4+2∈ℚ[x]라

고 하면 p(α)=0이 되어 α는 ℚ에서 대수적이다.

또한 소수 p=2와 아이센슈타인 판정법에 의하여

p (x)는 ℚ에서 기약이다.

따라서 irr(α, ℚ)= x 4+2이므로 다음을 얻는다.

[ℚ(α) :ℚ]= deg ( irr(α, ℚ))=4 .

62. 유한체 F의 위수는 소수의 거듭제곱임을 보여라.

[풀이 ] |F |=m이라고 하면 m /=0이므로 F의 표수

는 0이 아니다. 체는 정역이고, 유한정역의 표수는 소수

이므로 char(F )= p는 소수이다. 여기서

S=1 {0, 1, 2, …, p-1 }

이라고 하면 S≅ℤ p이다. 따라서 S는 F의 유한부분

체이므로 F는 S의 유한확대체이다.

이제 [F :S ]=n이라고 두면 F는 S 위의 차원 n인

벡터공간이다. F의 S 위의 기저를 {α i | 1≦ i≦n }이라

고 하면

F=<α1, …, αn >= {b 1α 1+…+bnαn | α i∈S }

이고, a i들의 일차독립성에 의하여

b 1α1+…+bnαn

는 일의적(unique)이다.

따라서 |F |= |S | n= pn이다.

63. 체 ℚ( 2)는 ℚ의 분리확대체임을 증명하여라.

[풀이 ] ℚ( 2)는 ℚ의 유한확대체이고 임의의 두 유리

수 a , b에 대하여 a+b 2∈ℚ( 2)이다.

(ⅰ) b /=0인 경우 f (x)= x 2-2ax+a 2-2b 2이라고 하

면 f (x) ∈ℚ[x]이고

f (x)= (x-(a+b 2))(x-(a-b 2)) ,

x-(a±b 2)∈ℚ( 2)[x]

이므로 f (x)는 분리 가능하고 f (a+b 2)=0이다.

- 49 -

(ⅱ) b=0인 경우 f (x)= x-a라고 두면 f (x)는 분리

가능하고 f (a)=0이며 f (x) ∈ℚ[x]이다.

따라서 ℚ( 2)는 ℚ의 분리확대체이다.

64. 체 K=ℚ( 3 2, 3)에 대하여 갈로아군 G(K/ℚ)를

구하여라.

[풀이 ] irr( 3 2, ℚ)= x 3-2이고 3 /∈ℚ( 3 2)이다.

따라서 irr( 3, ℚ( 3 2))= x 2-3이고 다음이 성립한다.

[K :ℚ]= [K :ℚ(32)][ℚ(

32) :ℚ]=2⋅3=6 .

또한 K⊆R이므로 K에서 x 3-2의 근은 3 2 뿐이다.

따라서 임의의 σ∈G(K/ℚ)에 대하여 σ( 3 2)=3 2이

므로 G(K/ℚ)=G(K/ℚ( 3 2))이다. K가 ℚ( 3 2)

위에서 분리다항식 x 3-2의 분해체이므로

|G(K/ℚ) |= |G(K/ℚ( 3 2)) |= [K :ℚ( 3 2)]=2

이다. 따라서

|G(K/ℚ) | < [K :ℚ] ,

G(K/ℚ)=G(K/ℚ( 3 2))= {1, τ }

이고, 이 때

τ( 3 2)=3 2 , τ( 3)=- 3 , τ(a)=a∈ℚ

을 만족한다.

65. 체 ℚ( 3)은 ℚ의 정규확대체임을 증명하여라.

[풀이 ] ℚ( 3)는 ℚ의 대수적 확대체이다. 이제 다항

식 f (x) ∈ℚ[x]가 ℚ에서 기약이고 임의의 p, q∈ℚ

에 대하여 f (p+q 3)=0을 만족한다고 가정하자.

만약 q=0이면 f (x)= x-p이다. 만약 q /=0이면

f (x)= a(x 2-2px+p 2-3q 2)

=a(x-(p+q 3))(x-(p-q 3)) ,

(x-(p+q 3))∈ℚ( 3)[x] ,

(x-(p-q 3))∈ℚ( 3)[x]

이므로 f (x)는 ℚ( 3)[x]의 서로 다른 일차식의 곱으

로 인수분해된다.

따라서 ℚ( 3)은 ℚ의 정규확대체이다.

66. 체 ℚ( 3 2)는 ℚ의 갈로아확대체가 아님을 보여라.

[풀이 ] [ℚ( 3 2) :ℚ]=3이므로 ℚ( 3 2)는 ℚ의 유

한확대체이다.

K=ℚ( 3 2) , G(ℚ( 3 2)/ℚ)= { id }≕S

라고 하면

a∈KS={a∈K |∀α∈S :α(a)=a }

일 필요충분조건은 ∀α∈S : id(a)= a가 된다.

따라서 KS=ℚ(3 2) /=ℚ이므로 ℚ( 3 2)는 ℚ의 갈

로아 확대체가 아니다.

67. 복소수체 ℂ는 실수체 ℝ의 갈로아확대체임을 보여라.

[풀이 ] ℂ는 ℝ의 유한확대체이다. id와 σ를

id(a+bi )= a+bi , σ(a+bi )= a-bi

으로 정의하고 G(C/ℝ)= { id, σ } ≕S라고 하면

CS={a+b i∈ℂ |∀α∈S : α(a+b i )=a+b i }

={a+b i∈ℂ |b=0 }=ℝ

이므로 ℂ는 ℝ의 갈로아확대체이다.

68. 대수적 폐체는 무한체임을 보여라.

[풀이 ] F를 유한체라고 하자. 그러면 |F |=n≧2이다.

이제 F={a 1, a 2, …, an }이라고 하자. 그러면

f (x)=1+(x-a 1)(x-a 2)… (x-an)∈F [x]

는 F에서 해를 갖지 않는다. 따라서 F는 대수적으로

닫혀있지 않다.

69. 다음 3대 작도 불능문제를 증명하여라.

(1) 3등분 불가능한 각이 존재한다.

(2) 한 변의 길이가 1인 정육면체의 부피가 2배가 되는

정육면체의 한 변의 길이는 작도 불가능하다.

(3) 반지름의 길이가 1인 원과 면적이 같은 정사각형의

한 변의 길이는 작도 불가능하다.

[풀이 ] (1) π3이 작도 불능임을 보이자.

cosπ3=4cos

3 π9-3cos

π9

이므로 α= cosπ9라고 하면

4α3-3α-

12=0

이다. 즉 8α3-6α-1=0이고

f (x)=8x 3-6x-1

은 ℚ에서 기약이며

[ℚ(α) :ℚ]= deg (8x 3-6x-1)=3

으로서 2의 거듭제곱이 아니므로 α= cosπ9는 작도

불가능하다. 따라서 π9도 작도 불가능하다.

(2) 부피가 2인 정육면체의 한 변의 길이를 α라고 하면

2=α3이고 α=3 2이다. 그런데

[ℚ( 3 2) :ℚ]= deg (x 3-2)=3

으로서 2의 거듭제곱이 아니므로 α=3 2는 작도 불가

능하다.

(3) 반지름이 길이가 1인 원의 면적은 π이다.

면적이 π인 정사각형의 한 변의 길이를 α라고 하면

α2=π이므로 α= π이고 α는 ℚ에서 초월적이므로

작도 불가능하다.

- 50 -

실해석학 | Real Analysis

1. 임의의 자연수 m , n에 대하여 합 m+n이 자연수임

을 증명하여라.

[풀이 ] 자연수 m이 임의로 주어졌다고 하고 명제 p를

p (n) ⇔ m+n∈ℕ으로 정의하자. 먼저 자연수 집합

의 정의에 의하여 m+1∈ℕ이므로 p (1)은 참이다. 이

제 p (k)가 참이라고 가정하자. m+k가 자연수이므로

정의에 의하여 m+(k+1)=(m+k)+1도 자연수이

다. 따라서 p(k+1)이 참이므로 수학적 귀납법에 의하

여 임의의 자연수 n에 대하여 p(n)은 참이다. 여기서

m은 임의로 주어진 자연수이므로 모든 자연수 m , n에

대하여 m+n은 자연수이다.

2. 자연수의 부분집합 S가 공집합이 아니면 S는 최소원을

가짐을 증명하여라.

[풀이 ] 명제 p(n)를 「n∈S이면 S는 최소원을 가진

다」라고 정의하자. 먼저 1∈S이면 1이 S의 최소원이

므로 p(1)은 참이다. 이제 p(k)가 참이라고 가정하자.

만약 k+1∈S이면 S∪{k }는 최소원 m을 가진다.

(ⅰ) 만약 m∈S이면 S는 최소원 m을 가진다.

(ⅱ) 만약 m /∈S이면 m∈S∪{k }이므로 m= k이다.

그리고 ∀x∈S :m≦x이다. 그런데 m /∈S이고 m과

m+1 사이에 자연수가 존재하지 않으므로

∀x∈S : m+1≦k

이다. 여기서 m= k이고 k+1∈S이므로 k+1은

S의 최소원이 된다.

따라서 p(k+1)도 참이므로 수학적 귀납법에 의하여 임

의의 자연수 n에 대하여 p(n)은 참이다. S가 공집합

이 아니므로 적어도 하나의 자연수를 포함한다. 따라서

S는 최소원을 가진다.

3. 두 실수 a , b에 대하여 a < b이면 a < q < b를 만족하

는 유리수 q가 존재함을 보여라.

[풀이 ] 먼저 b > 0인 경우를 증명하자. b-a > 0이므로

아르키메데스 정리에 의하여 1n< b-a를 만족하는 자

연수 n이 존재한다. 또한 b≦kn인 자연수 k가 존재한

다. 따라서 정렬성에 의하여 m= min {k∈ℕ | b≦ kn }이 존재한다. 그러면 m-1

n< b이다. 그런데

a- b <-1n

, b≦mn

이므로

a= b+(a-b) <mn-1n=m-1n

이다. 여기서 q=m-1n

는 a < q < b인 유리수가 된다.

이제 b≦0인 경우를 증명하자. α= |b |+1이라고 하면

b+α > 0이고 a+α < b+α이므로 유리수 q 1이 존재

하여 a+α < q 1 < b+α이다. 여기서 q= q 1-α라고 하

면 q는 유리수이고 a < q < b를 만족한다.

4. 두 실수 x , y가 임의의 양수 ε에 대하여 x < y+ε을

만족하면 x≦y임을 증명하여라.

[풀이 ] 결론에 반하여 x > y라고 가정하자.

그러면 ε0= x-y는 양수이다. 그러나 x= y+ε0이므로

모순이다. 따라서 x≦y이다.

5. 실수의 부분집합 A , B가 공집합이 아니고 두 조건

(ⅰ) A∪B=ℝ ,

(ⅱ) a∈A , b∈B이면 a < b이다

를 만족하면, α∈ℝ가 존재하여 임의의 a∈A , b∈B에

대하여 a≦α≦b를 만족하고, 그러한 α는 유일함을 증

명하여라.

[풀이 ] 조건 (ⅱ)에 의하여 집합 A는 위로 유계이므로

상한 α를 가진다. 여기서 a∈A에 대하여 a≦α가 성

립한다.

이제 적당한 b'∈B가 존재하여 b' < α라고 가정하고

모순을 유도하자. ε=a-b'이라고 하면 ε은 양수이므

로 상한의 성질에 의해 a-ε < a'≦α인 a'∈A가 존

재한다. 그런데 b'=a-ε이므로 b'≦a'이 되어 (ⅱ)에

모순이다. 따라서 모든 b∈B에 대하여 α≦b이다.

이로써 임의의 a∈A , b∈B에 대하여 a≦α≦b가 성

립한다.

이제 α의 유일성을 증명하자. 임의의 a∈A , b∈B에

대하여 a≦β≦b를 만족하는 β가 존재한다고 하자. 만

약 α /=β라고 가정하면 α < β 또는 β < α이다. 일반성

을 잃지 않고 α < β라고 가정하자. β∈A 또는 β∈B

인데 α < β이므로 β∈B가 된다. b 0=α+β2

에 대하

여 b 0∈B이지만 b 0 < β가 되어 모순이다. 따라서 주어

진 조건을 만족하는 α는 유일하다.

6. 실수의 부분집합 A가 공집합이 아니고 상한을 가질 때

집합 -A={x∈ℝ | -x∈A }에 대하여

inf(-A)=- supA

가 성립함을 증명하여라.

- 51 -

[풀이 ] α= supA에 대하여 먼저 -α가 -A의 하계

임을 보이자. x∈-A라고 하면 -x∈A이다. 그런데

α가 A의 상계이므로 -x≦α이다. 따라서 -α≦x이

므로 -α는 -A의 하계이다.

이제 β가 -A의 하계라고 하자. 그러면 A의 임의의

원소 y에 대하여 -y∈(-A)이므로 β≦-y이다. 따

라서 y≦-β이므로 -β는 A의 상계이다. α가 A의

상한이므로 α≦-β가 된다. 즉 β≦-α이고 -α가

-A의 하계이므로 -α는 -A의 최대하계가 된다.

따라서 - supA=-α= inf(-A)이다.

7. 한 점 c에 대하여 f가 순증가하는 c의 근방이 존재할

때 f는 c에서 순증가라고 한다. 구간 I=(a, b )에서

정의된 함수 f가 각 c∈I에서 순증가이면 I 전체에서

순증가임을 보여라.

[풀이 ] 결론에 반하여 c < d이고 f (c) ≧ f (d)인 실수

c, d∈I가 존재한다고 하자. 그러면

S={x∈I |a < x < d ∧ f (x) ≧ f (d) }

는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 μ를 가진다.

그런데 μ∈I이고 f가 I의 각 점에서 순증가하므로 양

수 δ가 존재하여 임의의 p, q∈I에 대하여

μ-δ < p < μ < q < μ+δ ⇒ f (p) < f (q)

를 만족한다. 상한의 성질에 의하여 μ-δ < p < μ를 만

족하는 p∈I가 존재한다. 또한 μ < d이므로 실수의 조

성에 의하여 μ < q < μ+δ인 q∈I가 존재한다. 여기

서 f (d) ≦ f (p) < f (q)인데 q /∈S이므로 모순이다. 따

라서 f는 I 전체에서 순증가한다.

8. 공집합이 아닌 두 집합 A , B가 위로 유계일 때 다음을

증명하여라.

(1) A⊆B이면 supA≦ supB이다.

(2) sup(A+B)= supA+ supB이다.

단 A+B={a+b |a∈A, b∈B }이다.

[풀이 ] (1) β= supB라고 하자. 그러면 β는 B의 상계

이므로 당연히 A의 상계가 된다. α= supA라고 하면

α는 A의 상계 중에서 가장 작으므로 α≦β이다.

(2) α= supA , β= supB라고 하자.

(ⅰ) 만약 x∈A+B이면 x=a+b인 a∈A , b∈B가

존재한다. 그런데 a+b≦α+β이므로 x≦α+β가

되어 α+β는 A+B의 상계가 된다. 따라서

sup(A+B) ≦α+β

이다.

(ⅱ) 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. 상한의 성질에

의하여

α-ε2< a≦α , β-

ε2< b≦β

를 만족하는 a∈A , b∈B가 존재한다. 따라서

α+β-ε < a+b

이다. 여기서 a+b∈A+B이므로

α+β-ε < a+b≦ sup(A+B)

이고 ε이 임의의 양수이므로

α+β≦ sup(A+B)

를 얻는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

supA+ supB=α+β= sup(A+B)

를 얻는다.

9. 실수열 < an >이 0 아닌 실수 A에 수렴할 때

limn→∞

1an=1A

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] ε1=12|A |은 양수이므로 극한의 정의에 의하

여 자연수 N 1이 존재하여 n > N 1이면

|an-A | < ε 1=12|A |

를 만족한다. 위 부등식을 정리하면

12|A | < |an | (1)

을 얻는다. 이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자.

여기서 ε2=|A |

2

2ε은 양수이므로 자연수 N 2가 존재

하여 n > N 2이면

|an-A | < ε2=|A | 2

2ε (2)

을 만족한다. 따라서 N=N 1+N 2라고 하면 n > N일

때 (1), (2)에 의하여

| 1an -1A |= |

A-anA⋅an |≦

2 |an-A |

|A | 2< ε

가 성립한다. 따라서

limn→∞

1an=1A

을 얻는다.

10. 수렴하는 실수열은 유계임을 증명하여라.

[풀이 ] 수열 < an >이 L에 수렴한다고 하자. 그러면 양

수 ε0=1에 대하여 자연수 N이 존재하여

n > N ⇒ |an-L | < ε 0 (1)

을 만족한다. 또한 유한집합은 최대값을 가지므로

m= max {a i | i≦N } (2)

이 존재한다. 이제 M=max {m, L }+1이라고 하자.

- 52 -

그러면 n > N일 때에는 (1)에 의하여 |an | <M이 성립

하고 n≦N일 때에는 (2)에 의하여 |an | <M이 성립한

다. 따라서 임의의 n에 대하여 |an | <M이므로 < an >

은 유계이다.

11. 실수열 <an> , <bn>이 각각 A , B에 수렴하고

n > K ⇒ an≦ bn

을 만족하는 자연수 K가 존재하면 A≦B임을 보여라.

[풀이 ] 귀류법으로 증명하기 위하여 B <A라고 가정하

자. 그러면 ε0=3-1(A-B)는 양수이다. 따라서 자연

수 N 1 , N 2가 존재하여

n > N 1 ⇒ |an-A | < ε 0 ,

n > N 2 ⇒ |b n-B | < ε 0

을 만족한다. 각 절대값을 풀어서 정리하면

A-ε0 < an , b n <B+ε0

을 얻는다. 그런데 B+ε 0 <A-ε0이다.

여기서 N= max {N 1, N 2, K }에 대하여 n > N이라고

하면 n > K이지만 b n < a n이 되어 모순이다.

따라서 A≦B이다.

12. 실수 a가 0 < a < 1이면 limn→∞an=0임을 보여라.

[풀이 ] h=1a-1이라고 하면

1a> 1이므로 h > 0이

다. 여기서 a=11+h

이므로 베르누이 부등식에 의하여

an=

1

1+h )n≦

11+nh

<1nh

이다. 그런데 a n > 0이고 limn→∞

1nh=0이므로 조임정리

에 의하여 limn→∞an=0이다.

13. 수렴하는 실수열 <an>에 대하여

limn→∞an= lim

n→∞

1n ∑

n

k=1ak

임을 증명하여라.

[풀이 ] L= limn→∞an이라고 하자. 그리고 양수 ε이 임의

로 주어졌다고 하자. 극한의 정의에 의하여

n > N 1 ⇒ |an-L | <ε2

를 만족하는 자연수 N 1이 존재한다. 또한

β= ∑N 1

k=1|ak-L |

는 음이 아닌 실수이므로

n > N 2 ⇒ 1nβ <ε2

를 만족하는 자연수 N 2가 존재한다.

이제 N= max {N 1+N 2 }라고 하면

| 1n ∑n

k=1ak-L |≦ 1

n ∑n

k=1|ak-L |

=1n ∑

N 1

k=1|ak-L |+

1n ∑

n

k=N 1+1|ak-L |

=ε2+n-N 1n

⋅ε2< ε

이므로 limn→∞an= lim

n→∞

1n ∑

n

k=1ak가 성립한다.

14. 단조증가이고 유계인 실수열 <an>은 수렴함을 보여라.

[풀이 ] 먼저 <an>이 유계이므로 완비성공리에 의하여

M= sup{an |n∈ℕ }

이 존재한다. 이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자.

상한의 성질에 의하여 M-ε < aN≦M인 자연수 N이

존재한다. <an>이 단조증가이므로 n > N이면

|an-M |=M-an≦M-aN < ε

이다. 따라서 <an>은 M에 수렴한다.

15. an=n1n 으로 정의된 수열 <an>이 수렴하는지 판별

하고 수렴하면 그 극한을 구하여라.

[풀이 ] 다음은 서로 동치인 부등식이다.

(n+1)1n+1 ≦n

1n ⇔ (n+1)n≦nn+1

⇔ (n+1)n

nn≦n

⇔ ( n+1n )n

≦n

그런데 limn→∞(

n+1n )

n

= e < 3이므로 n≧3일 때 위 부

등식은 참이다. 따라서 <an>은 3항 이후로 단조감소한

다. 또한 an≧1이므로 <an>은 단조수렴정리에 의하여

수렴한다. 그 극한값을 L이라고 하자. 그러면

L= limn→∞an= lim

n→∞a 2n= lim

n→∞n

12n

= limn→∞n

22n⋅12 = lim

n→∞n

22n = lim

n→∞n

22n = L

이므로 L= L이다. 그런데 L≧1이므로 L=1이다.

따라서 limn→∞an=1이다.

16. 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 가짐을 보여라.

[풀이 ] 수열 <xn>이 유계라고 하자. 정의에 의하여 임

의의 n에 대하여 |x n | <M인 실수 M이 존재한다. 따

라서 I 0= [-M, M ]은 <xn>의 무한개의 항을 포함한

다. 따라서 [-M, 0]과 [0, M ] 중 하나는 <xn>의

무한개의 항을 포함한다. 그러한 구간을 I 1이라고 하자.

- 53 -

이제 I n=[an, bn]⊆[-M, M ]이 <xn>의 무한개의

항을 포함한다고 가정하자. 그러면 두 구간

[an,an+bn2 ] , [

an+bn2

, bn ]중 하나는 <xn>의 무한개의 항을 포함하게 되는데, 그

구간을 In+1이라고 하자. 선택공리에 의하여 이러한 구

간을 계속하여 택할 수 있다.

이로써 I≔{I n⊆ℝ |n∈ℕ }은 귀납적으로 정의되었다.

귀납정리에 의하여 I는 잘 정의된 집합이다. 정의에 의

하여 In의 길이는 21-nM이므로 n → ∞일 때 0에

수렴한다. 따라서 축소구간정리에 의하여 ∩I는 오직 한

점을 포함하는 단원집합이 된다. λ∈∩I라고 하자.

이제 I 1에 포함되는 <xn>의 항을 하나 택하여 xn 1이

라고 하자. 또한 I 2는 <xn>의 무한개의 항을 포함하므

로 n 2 > n 1이고 x n 2∈I 2인 자연수 n 2가 존재한다. 일

반적으로 자연수 nk에 대하여 Ik+1은 <xn>의 무한개

의 항을 포함하므로 nk+ 1 > n k이고 xnk+1∈I k+1인 자연

수 nk+1이 존재한다. 이로써 <nk >는 귀납적으로 정의

되었다. 임의의 k에 대하여 x nk∈I k이므로 I k의 왼쪽

끝점 ak와 오른쪽 끝점 bk에 대하여

ak≦xnk≦b k

가 성립한다. 그런데 limk→∞ak= lim

k→∞bk=λ이므로 조임정

리에 의하여 limk→∞xnk=λ이다.

따라서 < xnk >는 < xn>의 수렴하는 부분수열이다.

17. 유계인 실수열 <an>과 <bn>에 대하여

limn→∞(an+bn ) ≦ lim

n→∞an+ lim

n→∞bn

이 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] α= liman , β= limbn이라고 하자. 이제 주어

진 부등식이 성립하지 않는다고 가정하자. 그러면 적당한

양수 ε과 부분첨수열 <nk>가 존재하여, 임의의 k에

대하여

ank+b nk > α+β+ε

이 성립한다. 그러면

ank > α+ε2

또는 b nk > b+ε2

을 만족하는 첨수 nk의 개수가 무한이 된다. 이것은

liman≧α+ε2

또는 limbn≧b+ε2

을 함의하므로 모순이다. 따라서

lim (an+bn ) ≦α+β

가 성립한다.

18. 공집합이 아닌 구간 I=[a, b]와 연속함수 f : I → I에

대하여 0≦ q < 1인 실수 q가 존재하여

∀x, y∈I : | f (x)-f (y) |≦q |x-y |

를 만족하면 방정식 x= f (x)의 해는 I에 유일하게 존

재함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 I의 한 원소 a 0를 택하자. 그리고 임의의

자연수 n에 대하여 an= f (an-1)이라고 정의하자. 이

로써 수열 < an >이 귀납적으로 정의되었다. 명백히

|a 2-a 1|= | f (a 1)- f (a 0 ) |≦q |a 1-a 0 |

이다. 또한 |ak+1-ak |≦qk|a 1-a 0 |임을 가정하면

|ak+2-ak+1 |= | f (ak+1)-f (ak) |

≦q |ak+1-ak |

≦qk+1 |a 1-a 0|

이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 n에 대

하여

|an+1-an |≦qn|a 1-a 0 |

가 성립한다.

이제 < an >이 수렴함을 보이자. 양수 ε이 임의로 주어

졌다고 하자. 0≦ q < 1이므로

qN

1-q|a 1-a 0 | < ε

을 만족하는 자연수 N이 존재한다. 여기서 n > N이라

고 하면 자연수 p에 대하여

|an+ p-an |= | ∑p

k=1an+k-an+ k-1 |

≦ ∑p

k=1| an+ k-an+ k-1 |

≦ ∑p

k=1qn+ k-1|a 1-a 0|

≦qn

1-q|a 1-a 0|

≦qN

1-q|a 1-a 0 | < ε

이므로 < an >은 코시 수열이다. 따라서 수렴한다. 그 극

한을 γ라고 하자.

이제 다시 양수 ε이 주어졌다고 하면 자연수 N이 존재

하여 n > N일 때 |an-γ | < ε을 만족한다. 따라서

| f (γ )-γ |≦| f (γ )-an+1|+|an+1-γ |

=| f (γ )-f (an ) |+|an+1-γ |

≦q | γ-an |+|an+1-γ | < ε

이므로 f (γ )=γ이다.

이제 γ의 유일성을 보이자. ζ∈I에 대하여 f (ζ )=ζ라

고 가정하자. 그러면

| ζ-γ |= | f (γ )-f (ζ ) |≦q | γ-ζ |

이므로 γ=ζ이다.

- 54 -

19. 극한의 정의를 이용하여 limx→1(x2+1)=2임을 보여라.

[풀이 ] 임의의 양수 ε에 대하여 δ= min {1, ε3 }이라고 하자. 0 < |x-1 | < δ임을 가정하면

| f (x)-2 |= |x 2-1 |= |x-1||x+1|

< δ |x+1 |≦3δ < ε

이므로 | f (x)-2 | < ε이 성립한다.

20. 함수 f가 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에서 단조

증가이고 c∈(a, b)이면 c에서 f의 좌극한이 존재함을

증명하여라.

[풀이 ] I상에서 정의된 수열 <xn>이 c에 수렴하고 순

증가한다고 가정하자. 그러면 < f (xn) >은 단조이고 유계

이므로 수렴한다. 그 극한을 L이라고 하자.

이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f (xn ) → L이

므로 자연수 N이 존재하여

n > N ⇒ 0≦L- f (x n ) < ε

을 만족한다. <xn>이 증가수열이므로 위 명제는

x N+1 < x n < c ⇒ 0≦L- f (x n) < ε

과 동치이다. δ=c-xN+1이라고 하면

0 < c-x n < δ ⇒ 0≦L- f (x n) < ε

이 성립한다. 그런데 f가 단조증가이므로 위 명제는

0 < c-x < δ ⇒ 0≦L- f (x) < ε

을 함의한다. 따라서 f (c-0)=L이다.

21. 양수 a , b와 가우스함수 [ ]에 대하여

limx→0+

xa [bx ]=

ba

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] 가우스함수의 정의에 의하여 양수 x에 대하여

다음이 성립한다.

bx-1 < [ bx ]≦

bx

따라서 다음이 성립한다.

limx→0+

xa (bx-1) < limx→0+

xa [bx ]≦ limx→0+

ba

그런데

limx→0+

xa (b-xx ) = lim

x→0+

ba=ba

이므로 조임정리에 의하여

limx→0+

xa [bx ]=

ba

이 성립한다.

22. 함수 f :D →ℝ에 대하여 limx→af (x)=L일 필요충분조

건은 세 조건

(ⅰ) 임의의 자연수 n에 대하여 xn /= a이다

(ⅱ) limn→∞xn= a이다

(ⅲ) 임의의 자연수 n에 대하여 xn∈D이다

를 만족하는 임의의 수열 <xn>에 대하여

limn→∞f (xn)=L

임을 증명하여라.

[풀이 ] 수열 <xn>이 위의 세 조건을 만족한다고 하자.

그리고 limx→af (x)=L라고 하자.

임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 존재하여

0 < |x-a | < δ ⇒ | f (x)-L | < ε

을 만족한다. <xn>이 세 조건을 만족하므로

n > N ⇒ 0 < |x n-a | < δ

를 만족하는 자연수 N이 존재한다. 따라서

n > N ⇒ 0 < | xn-a | < δ ⇒ | f (x n )-L | < ε

이므로 limn→∞f (xn)=L이다.

이제 대우로써 역을 증명하기 위하여 limx→af (x) /=L라

고 하자. 그러면 양수 ε0가 존재하여 임의의 양수 δ에

대하여

∃x∈D : 0 < |x-a | < δ , | f (x)-f (a) |≧ε0 (#)

이다. 임의의 자연수 n에 대하여 δ=1n이라고 할 때

조건 (#)를 만족하는 xn= x∈D가 존재한다. 이렇게 정

의된 수열 <xn>은 세 조건 (ⅰ)∼(ⅲ)을 만족한다. 그러

나 임의의 자연수 N에 대하여 n=N+1 > N이 존재하

여 | f (xn)-f (a) |≧ε0이므로 lim f (xn) /=L이다.

23. 실수집합의 부분집합 A , B상에서 정의된 두 함수

f :A → B , g :B → ℝ

가 연속이고 f (A) ⊆B일 때 g∘f도 연속임을 보여라.

[풀이 ] 실수 a∈A와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하

자. g가 연속이므로 양수 δ1이 존재하여

|y- f (a) | < δ 1 ⇒ |g (y )-g ( f (a)) | < ε

이다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ가 존재하여

|x-a | < δ ⇒ | f (x)- f (a) |= |y-f (a) | < δ 1

이다. 따라서

|x-a | < δ ⇒ |g ( f (x))-g ( f (a)) | < ε

이므로 g∘f는 연속이다.

- 55 -

24. 실수의 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 함

수 f : I → ℝ가 연속이면 f는 I에서 유계임을 보여라.

[풀이 ] f가 I의 모든 점에서 연속이므로 임의의 x∈I

에 대하여 f가 유계가 되는 근방 Ux=B(x, δ x)가 존

재한다. 이러한 근방들의 집합 C={Ux |x∈I }은 I의

개덮개가 된다. 그런데 I가 컴팩트이므로 하이네-보렐

정리에 의하여 C의 유한부분덮개 D={Ux |x∈J }가

존재하여 I의 개덮개가 된다. f가 각 Ux에서 유계이므

로 그 구간에서 상한과 하한이 존재한다.

Mx=max {|sup f (Ux) |, | inf f (Ux ) | }

이라고 하자. 그러면 J는 유한집합이므로

M= max {Mx |x∈J }

이 존재한다. 임의의 x∈I에 대하여 x∈U ξ인 ξ∈J가

존재하고, 임의의 z∈U ξ에 대하여 | f (z ) |≦M ξ이다.

또한 임의의 ξ∈J에 대하여

| f (U ξ ) |≦M ξ≦M

이므로 | f (x) |≦M이다. 여기서 x는 I의 임의의 원소

이므로 f는 I에서 유계이다.

25. 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ

가 연속이면 f는 I에서 최대값과 최소값을 가짐을 증명

하여라.

[풀이 ] f가 연속이고 I가 컴팩트이므로 f (I )도 컴팩

트이다. 따라서 f ( I )가 유계이므로

M= sup f (I ) , m= inf f (I )

가 존재한다. 만약 M /∈f ( I )이면, 임의의 양수 ε에 대

하여 M-ε < y≦M인 y∈f ( I )가 존재하므로 M은

f (I )의 집적점이 된다. 그런데 f (I )는 컴팩트이므로

모든 집적점을 포함한다. 이것은 모순이므로 M∈f (I )

이다. 따라서 f (ξ1)=M인 ξ 1∈I가 존재한다. 또한 정

의에 의하여 M은 f (I )의 최대값이므로 f는 ξ1에서

최대값 M을 가진다. 같은 방법으로 ξ 2∈I가 존재하여

f는 ξ2에서 최소값 m을 가진다.

26. 공집합이 아닌 폐구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ

가 연속이면 f는 I에서 평등연속임을 증명하여라.

[풀이 ] 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f가 연속이

므로 임의의 ξ∈I에 대하여 양수 δξ가 존재하여

|x-ξ | < δ ξ ⇒ | f (x )- f (ξ ) | < ε (#)

을 만족한다. 이 때 C={B (ξ, δξ ) | ξ∈I }는 I의 개덮

개가 된다. 그런데 I가 컴팩트이므로 하이네-보렐 정리

에 의하여 C의 유한부분덮개

C'={B (ξ, δ ξ ) | ξ∈J }

이 I를 덮는다. 여기서 J는 유한집합이므로

δ= min {δξ |ξ∈J }

가 존재한다.

이제 x 1 , x 2가 |x 1- x 2 | < δ를 만족하는 I의 임의의

원소라고 하자. 그러면 x 1읖 덮는 B (ζ, δζ )∈C 1이 존

재한다. 여기서 δ≦δζ이므로 |x 1- x 2 | < δ ζ가 된다. 따

라서 C 1의 정의와 (#)에 의하여

| f (x 1)- f (x 2) | < ε

이 성립하므로 f는 I에서 평등연속이다.

27. 함수 f :ℝ→ℝ가 x=0에서 연속이고

f (a+b)= f (a)+f (b)

를 만족하면 f는 평등연속임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 f (0)= f (0)+f (0)이므로 f (0)=0이다.

또한 f가 0에서 연속이므로 임의의 실수 c에 대하여

limh→0f (c+h)= lim

h→0(f (c)+f (h))

= f (c)+ limh→0f (h)= f (c)

이어서 f는 c에서 연속이다. 따라서 f는 연속함수이다.

이제 f가 평등연속임을 보이자. 먼저 임의의 실수 x에

대하여

0= f (0)= f (x-x)= f (x)+f (-x)

이므로 f (-x)=-f (x)이다. 또한 f가 0에서 연속이

므로 임의의 양수 ε에 대하여

|x | < δ ⇒ | f (x ) | < ε

을 만족하는 양수 δ가 존재한다. 여기서 |x-y | < δ을

만족하는 임의의 실수 x , y에 대하여

| f (x )-f (y ) |= | f (x )+ f (-y) |= | f (x-y ) | < ε

이므로 f는 평등연속이다.

28. 함수 f가 유리수 x에 대해서는 f (x)= x , 무리수 x에

대해서는 f (x)=2-x로 정의되었을 때, f는 오직 한

점에서만 연속임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 x=1에서 연속임을 보이자. 임의로 주어진

양수 ε에 대하여 δ=ε이라고 하자. |x-1 | < δ임을 가

정하면, x가 유리수일 때

| f (x)- f (1) |= |x-1 | < δ=ε

이고 x가 무리수일 때는

| f (x)- f (1) |= | (2-x)-1 |= |x-1| < δ=ε

이므로 f는 x=1에서 연속이다.

- 56 -

이제 실수 r에 대하여 r /=1이라고 하자. f가 x= r에

서 연속이라고 가정하고 모순을 보이자. r에 수렴하는

유리수열 <qn>과 r에 수렴하는 무리수열 < s n>에 대

하여

r= limn→∞f (qn)= f (r)= lim

n→∞f ( sn)=2-r

이므로 r=2-r이다. 그러나 r /=1이므로 이것은 모순

이다. 따라서 f는 x= r에서 불연속이다.

29. 공집합이 아닌 구간 I=[a, b]에 대하여 f : I → ℝ가

연속함수이고 f (a) ≦ f (b)이면 C∈[f (a), f (b)]에 대

하여 f (ξ )=C인 ξ∈I가 존재함을 증명하여라.

[풀이 ] A=f (a) , B= f (b)라고 하자. 만약 A=C 또

는 B=C라면 ξ= a 또는 ξ= b로서 증명이 끝난다.

이제 A < C < B라고 하자. S={x∈I | f (x) <C }는 위

로 유계이므로 ξ= supS가 존재한다. 이제 f (ξ )=C임

을 보이자.

(ⅰ) 만약 f ( ξ) > C이면 양수 ε1이 존재하여

y∈B (f (ξ ), ε 1) ⇒ y > C

를 만족한다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ1이 존재하여

x∈B(ξ, δ1) ⇒ f (x) ∈B (f (ξ ), ε1) (1)

을 만족한다. ξ의 정의에 의하여 x 1∈S가 존재하여

ξ-δ 1 < x 1≦ξ

를 만족한다. 그러나 (1)에 의하여 그러한 x 1은 존재하지

않으므로 모순이다.

(ⅱ) 만약 f ( ξ ) <C이면 양수 ε2가 존재하여

y∈B( f (ξ )), ε 2) ⇒ y <C

를 만족한다. 또한 f가 연속이므로 양수 δ2가 존재하여

x∈B(ξ, δ2) ⇒ f (x) ∈B(f (ξ ), ε2) (2)

를 만족한다. x 2=ξ+2-1δ2라고 하자. 그러면 (2)에 의

하여 f (ξ+2-1δ) <C이므로 x 2∈S이다. 그러나 ξ의

정의에 의하여 x 2는 S의 원소가 될 수 없으므로 모순

이다.

이상으로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 f (ξ )=C이다.

30. 연속함수 f :ℝ→ℝ가 임의의 실수 x에 대하여

f (x+1)= f (x) , f (x+ 3)= f (x)

를 만족할 때 f는 상수함수임을 증명하여라.

[풀이 ] 주어진 조건에 의하여 임의의 정수 m , n에 대

하여 f (x+m+n 3)= f (x)이다. (1)

두 실수 a , b에 대하여 a < b라고 하자.

그러면 3-1 < 1이므로

( 3-1)n <b-a2

을 만족하는 자연수 n이 존재한다. 여기서

a <m ( 3-1) n < b

를 만족하는 정수 m이 존재한다. 또한 정수 p , q가 존

재하여 m( 3-1)n= p+q 3이 된다. 요컨대

a < p+ q 3 < b (2)

을 얻는다.

이제 실수 ξ와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. 그러

면 f는 ξ에서 연속이므로 양수 δ가 존재하여

|x-ξ | < δ ⇒ | f (x)- f (ξ ) | < ε

이다. 그런데 (2)에 의하여 두 정수 p , q가 존재하여

ξ < p+q 3 < ξ+δ

를 만족한다. 따라서 |p+q 3-ξ | < δ이므로

| f (p+q 3)- f (ξ ) | < ε

이다. 그런데 (1)에 의하여 f (p+q 3)= f (0)이므로

| f (0)- f (ξ ) | < ε

이다. 여기서 ε은 임의의 양수이므로 f (0)= f (ξ )이다.

또한 ξ는 임의의 실수이므로 f (x) ≡ f (0)을 얻는다. 따

라서 f는 상수함수이다.

31. 연속함수 f : [a, b ] →ℝ에 대하여

L-1n< f (xn ) <L+

1

n2

을 만족하는 수열 <xn>이 존재한다. <xn>이 수렴하고

그 극한을 c라고 할 때 f (c)=L임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 수열의 조임정리에 의하여

limn→∞f (xn)=L

이 성립한다. 이제 limx→cf (x )=L임을 보이자.

결론에 반하여 양수 ε0가 존재하여 임의의 양수 δ에 대

하여 0 < | x- c | < δ인 x가 존재하여

| f (x )-L |≧ε0

을 만족한다고 가정하자. 여기서 δ=1n이라고 하면

0 < | x n- c | <1n

, | f (xn )-L |≧ε0

을 만족하는 수열 <xn>이 [a, b]상에 존재한다. 여기

서 lim xn= c이지만 limf (xn) /=L이므로 모순이다.

따라서 limx→cf (x )=L이다.

또한 f가 연속함수이므로 f (c)= limx→cf (x)이다.

따라서 f (c)=L이다.

- 57 -

32. 함수 f가 폐구간 I=[a, b]에서 단조증가이면 f가 불

연속인 x∈I의 개수가 가산임을 증명하여라.

[풀이 ] f가 단조함수이므로 임의의 c∈(a, b )에 대하

여 f (c-0)과 f (c+0)이 존재한다. 따라서 f가 c에

서 연속이면 f (c-0)= f (c+0)이고 불연속이면

f (c+0) > f (c-0) (#)

이 된다. 여기서

Dn={x∈(a, b ) | f (x+0)- f (x-0) > 1n }이라고 하자. 그러면 f는 [a, b]에서 유계이므로 임의

의 자연수 n에 대하여 Dn은 유한집합이다. 이제

D= ∪∞

n=1Dn

이라고 하자. 여기서 가산집합이 가산 합집합은 가산집합

이므로 D는 가산집합이 된다.

만약 c∈(a, b )에서 f가 불연속이면 (#)에 의하여 자연

수 n이 존재하여

f (c+0)- f (c-0) >1n

이 된다. 따라서 D는 (a, b )상에서 f가 불연속인 점을

모두 포함하므로, 구간 I의 끝점을 제외한 모든 불연속

점을 포함한다. 여기서 D는 가산이고, 만약 f가 I의 양

끝점에서 불연속일지라도, 가산집합에 유한 개의 원소를

추가한 집합은 가산집합이므로 f가 불연속인 점의 개수

는 가산이다.

33. 함수 f : I →ℝ가 미분 가능하고 도함수가 유계이면 f

는 I에서 평등연속임을 보여라.

[풀이 ] f '이 유계이므로 양수 M이 존재하여 I의 임의

의 원소 x에 대하여 | f '(x) | <M이다.

여기서 x < y인 I의 임의의 원소 x , y에 대하여 평균

값정리에 의하여

| f (x)- f (y)x-y |= | f '(c) | <M인 c∈(x, y )⊆I가 존재한다. 따라서 임의의 x, y∈I에

대하여

| f (x)- f (y) | <M |x-y |

가 성립한다.

이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. M δ < ε인 양

수 δ를 택하면, |x-y | < δ일 때

| f (x)- f (y) | <M |x-y | <M δ < ε

이므로 f는 평등연속이다.

34. 임의의 두 실수 x , y에 대하여 부등식

| sinx- siny |≦|x-y |

이 성립함을 보여라.

[풀이 ] f (x)= sinx에 대하여 f '(x)= cosx이므로

| f '(x) |≦1 (#)

이다. 평균값정리에 의하여 임의의 실수 x , y에 대하여

f (x )-f (y )x-y

= f '( t )

인 t가 x와 y 사이에 존재한다. 그런데 (#)에 의하여

| f (x )-f (y )x-y |= | f '( t ) |≦1이 성립한다. 양변에 |x-y |를 곱하면

| sinx- siny |≦|x-y |

를 얻는다.

35. 함수 f :ℝ → ℝ가 임의의 실수 x , y에 대하여

| f (x )-f (y ) |≦|x-y | 2

을 만족하면 f는 상수함수임을 증명하여라.

[풀이 ] 임의의 실수 x와 0이 아닌 실수 h에 대하여

| f (x+h)-f (x)h |≦|h |가 성립한다. 따라서

limh→0 |

f (x+h)-f (x)h |≦ limh→0 |h |= 0

이므로 f '(x) ≡0이다. 따라서 f는 상수함수이다.

36. 실수의 부분집합 D상에서 정의된 함수 f는 미분 가능

한 점에서 연속임을 ε-δ를 이용하여 증명하여라.

[풀이 ] f가 a에서 미분 가능하다고 하자. 임의로 주어

진 양수 ε에 대하여 A= f '(a)라고 하면

|x-a | < δ 1 ⇒ | f (x)- f (a)x-a-A | < 1

을 만족하는 양수 δ1이 존재한다. 이 식을 정리하면

| f (x)-f (a) |≦ (|A |+1)|x-a |

를 얻는다. 이제 δ= min {δ1, ε|A |+1 }이라고 하면

|x-a | < δ

⇒ | f (x)-f (a) |≦ ( |A |+1)|x-a | < ε

이므로 f는 x=a에서 연속이다.

37. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 (a, b )에서 미분

가능하면 c∈(a, b )가 존재하여

f '(c)=f (b)-f (a)b-a

를 만족함을 증명하여라.

[풀이 ] 함수 ψ를 다음과 같이 정의하자.

ψ(x)= f (x)-f (b)-f (a)b-a

(x-a)-f (a)

- 58 -

그러면 ψ는 [a, b]에서 연속이고 (a, b )에서 미분 가

능하며 ψ(a)=ψ(b)이다. ψ는 [a, b]에서 연속이므로

최대값 M과 최소값 m을 가진다.

만약 M=m이면 f는 상수함수가 되므로 c∈(a, b )에

서 ψ'(c)=0이 된다.

이제 M > m이라고 가정하자. 그러면 M /=ψ (a)이거나

또는 m /=ψ(a)이다. 일반성을 잃지 않고 M /=ψ(a)라

고 하자. 그러면 M /=ψ(b)이므로 ψ(c)=M인 c가 개

구간 (a, b )에 존재한다. 여기서

x < c ⇒ ψ(x)-ψ(c)x-c

≧0 ,

c < x ⇒ ψ(x)-ψ(c)x-c

≦0

이므로 c에서 ψ의 좌미분계수는 음수가 아니고 우미분

계수는 양수가 아니다. 그런데 ψ는 c에서 미분 가능하

므로 우미분계수와 좌미분계수가 같아서 ψ '(c)=0이다.

여기서 ψ의 정의에 의하여

f '(c)=ψ '(c)+f (b)-f (a)b-a

=f (b)-f (a)b-a

가 성립한다.

38. 임의의 x∈(100, 102)에 대하여 부등식

|P (x)- 1x | <1

10000

을 만족하는 다항식 P(x)를 구하여라.

[풀이 ] f (x)=1x

, a=101이라고 하자.

임의의 t∈(100, 102)에 대하여

f(n+1)(t )(n+1)!

=(-1)n+1 (n+1)!t -(n+2)

(n+1)!

=(-1)n+1t -(n+2)

이므로

| f(n+1)( t )(n+1)! |= |t |

- (n+2) <1

100n+2

가 성립한다. 그런데 임의의 x∈(100, 102)에 대하여

|x-a |n+1=|x-101 |n+1≦1n+1=1

이다. 이제 n=1이라고 하면 테일러의 정리에 의하여

임의의 x∈(100, 102)에 대하여

| f (x)-P 1(x) |= | f( 1+1)(β )(1+1)! ||x-101 |

1+1 <1

1003

을 만족하는 β∈(100, 102)가 존재한다. 단, P 1(x)는

1차 테일러 다항식이다. P 1(x)를 구하면

P 1(x)= f (101)+f '(101)1!

(x-101)=2101-

x

1012

이 된다. P (x)=P 1(x)라고 하면 P (x)는 구하려는 다

항식이 된다.

39. 함수 f :ℝ→ℝ에 대하여 I=(0, 1)에서 f가 음이

아니고 세 번 미분 가능하다. 또한 c < d인 c, d∈I가

존재하여 f (c )= f (d )=0이다. 이 때 적당한 ξ∈I가

존재하여 f ( 3)(ξ )=0임을 보여라.

[풀이 ] 만약 f가 상수함수라면 한 점 ξ∈I에 대하여

당연히 f ( 3)(ξ )=0이 된다. 이제 f가 상수함수가 아니

라고 가정하자. 그러면 [c, d ]의 한 내점 η에서 f는

최대값을 갖고 f '(η )=0이 된다.

(ⅰ) f '(c)= f '(η )=0이므로 롤의 정리에 의하여 한

점 η1∈(c, η )가 존재하여 f ''(η 1 )=0이다.

(ⅱ) f '(η )= f '(d )=0이므로 롤의 정리에 의하여 한

점 η2∈(η, d )가 존재하여 f ''(η 2 )=0이다.

따라서 f ''(η 1 )= f ''(η2)=0이므로 롤의 정리에 의하

여 f ( 3)(ξ )=0인 ξ∈(η1, η2 )에 존재한다.

40. 도함수가 중간값 성질을 가짐을 보여라. 즉, [a, b]에

서 미분가능한 함수 f에 대하여 f '에 대한 중간값 정리

를 증명하여라.

[풀이 ] 일반성을 잃지 않고

A≔ f '(a) < f '(b) ≕B

라고 가정하자. 그리고 C∈(A, B )라고 하자.

g (x)= f (x)-Cx

라고 하면 g '(a) < 0이고 g '(b) > 0이므로

g (x 1 ) < g (a) , g (x 2 ) < g (b)

인 x 1∈(a, b )와 x 2∈(a, b )가 존재한다. 따라서 g는

폐구간 [a, b]의 내점에서 최소값을 가진다.

이제 g가 c∈(a, b )에서 최소값을 가진다고 하자. 그

러면 g '(c)=0이다. 따라서 f '(c)-C=0이므로

f '(c)=C

로서 f '은 중간값 성질을 가진다.

41. 함수 f , g에 대하여 f (x)g'(x)-f '(x)g (x) /=0이라

고 하자. f (x)=0이 두 개의 근을 가지면 g (x)=0의

근은 f (x)=0의 두 근 사이에 유일하게 존재함을 증명

하여라.

[풀이 ] α , β가 f (x)=0의 근이고 α < β라고 하자.

조건에 의하여 f (x)=0이면 f '(x) /=0 , g (x) /=0이다.

이제 h : (α, β ) →ℝ를

h (x)=g (x)f (x)

라고 하자. 임의의 x∈(α, β)에 대하여 f (x) /=0이므로

h는 잘 정의된 함수이다.

- 59 -

여기서

h'(x)=f (x)g'(x)-f '(x)g (x)

f (x)2 /=0

이므로 h는 증가만 하거나 감소만 한다. 만약 h가 단조

가 아니라면 도함수의 중간값 성질에 의하여 h '(x)=0

인 x∈(α, β)가 존재하게 되어 모순이다. 이제 일반성

을 잃지 않고 h가 증가함수라고 하자. 그러면

limx→α+

h (x)=-∞ , limx→α0-

h (x)=∞

이다. 따라서 연속함수의 중간값 정리에 의하여

h (x 0 )=0

인 x 0∈(α, β)가 존재한다. h가 증가함수이므로 그러

한 x 0는 유일하다. 여기서 h의 정의에 의하여

h (x)=0 ⇒ g (x)=0

이므로 x= x 0는 g (x)=0의 유일한 근이다.

42. 함수 f가 I=[a, b]에서 단조증가이면 f는 I에서 리

만적분 가능함을 보여라.

[풀이 ] 만약 f (a)= f (b)이면 f는 상수함수이므로 I에

서 적분 가능하다. 이제 f (a) < f (b)라고 하자. 임의의

양수 ε에 대하여

‖P‖ <ε

f (b)- f (a)

를 만족하는 분할 P를 택하면

0≦⌠⌡

b

af (x) dx-⌠⌡

b

af (x) dx≦U (f, P )-L (f, P )

=∑P(Mk-mk )Δx k≦‖P‖∑

P(Mk-mk )

=‖P‖( f (b )- f (a)) < ε

이다. 여기서 ε이 임의의 양수이므로

⌠⌡

b

af (x) dx-⌠⌡

b

af (x) dx=0

이 되어 f는 I에서 적분 가능하다.

43. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이면 f는 I에서 리만적

분 가능함을 보여라.

[풀이 ] 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. f는 I에서

평등연속이므로, 양수 δ가 존재하여

|x 1-x 2 | < δ ⇒ | f (x 1 )- f (x 2 ) | <εb-a

를 만족한다. ‖P‖ < δ인 I의 분할 P를 택하면

0≦⌠⌡

b

af (x) dx-⌠⌡

b

af (x) dx≦U (f, P )-L (f, P )

=∑P(Mk-mk )Δ x k <

εb-a ∑P

Δx k

=εb-a

(b-a)=ε

이다.

여기서 ε이 임의의 양수이므로

⌠⌡

b

af (x) dx-⌠⌡

b

af (x) dx=0

이 되어 f는 I에서 적분 가능하다.

44. 구간 I=[0, 1]에서 함수 f가

f (x)= { 1 if x∈ℚ0 if x /∈ℚ

로 정의되어 있을 때, I에서 f가 리만적분 가능한지 판

정하여라.

[풀이 ] I의 임의의 분할 P={x i | 0≦ i≦n }에 대하여

a= x 0 < x 1 < … < x n= b

라고 하자. 유리수와 무리수의 조 성에 의하여, i≦n인

임의의 자연수 i에 대하여 q∈[x i-1, x i ]인 유리수 q가

존재하며 또한 r∈[x i-1, x i ]인 무리수 r가 존재한다.

따라서

U ( f, P )= ∑n

k=1sup f ( [xk-1, xk ]) (xk-xk-1)

≧∑n

k=11⋅(xk-xk-1)=1

이고

L ( f, P )= ∑n

k=1inf f ( [xk-1, xk ]) (xk-xk-1)

≦∑n

k=10⋅(xk-xk-1)=0

이다. 따라서

⌠⌡

1

0f (x )dx= infU (f, P )≧1 ,

⌠⌡

1

0f (x )dx= supU ( f, P )≦0

이므로 f는 [0, 1]에서 리만적분 불가능하다.

45. 함수 f가 [0, 1]에서 단조증가일 때 n∈ℕ에 대하여

|⌠⌡1

0f (x )dx-

1n ∑

n

k=1f ( kn )|≦

| f (1)- f (0) |n

이 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] 구간 [a, b]의 분할 P를

P={0, 1n ,2n, …,

n-1n, 1 }

라고 정의하자. 그러면

L (f, P )=1n ∑n-1

k=0f ( kn )

이다. 따라서

|⌠⌡1

0f (x )dx-

1n ∑

n

k=1f ( kn )|= |⌠⌡

1

0f (x) dx-L (f, P ) |

≦U ( f, P )-L (f, P )=| f (1)-f (0) |

n

이 성립한다.

- 60 -

46. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 임의의 적분 가능

한 함수 φ에 대하여

⌠⌡

b

af (x) φ(x) dx=0

을 만족하면 f (x) ≡0임을 보여라.

[풀이 ] 결론에 반하여 f (r) /=0인 r∈I가 존재한다고

가정하자. 일반성을 잃지 않고 f (r) > 0이라고 하자. 함

수 f가 연속이므로 양수 δ가 존재하여

|x-r | < δ ⇒ | f (r)- f (x) | <12f (r) ≕M

을 만족한다. 따라서 J= I∩[r-δ, r+δ ]에 대하여

x∈J ⇒ f (x) ≧M

이 성립한다. 여기서 φ를

φ(x)= { 1 if x∈J0 if x /∈J

라고 하자. 구간 J의 길이를 L이라고 하면

⌠⌡

b

af (x)φ(x)dx=⌠⌡

b

af (x)dx≧LM > 0

이므로 모순이다. 따라서 f (x) ≡0이다.

47. 함수 f가 [a, b]에서 유계이고 적분 가능하면

|⌠⌡b

af (x) dx |≦⌠⌡

b

a| f (x) |dx

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] | f (x) |= f +(x)+ f -(x)이므로

⌠⌡

b

a| f (x) |dx=⌠⌡

b

af +(x) dx+⌠⌡

b

af -(x) dx (1)

이다. 또한 f (x)= f +(x)- f -(x)이고 ⌠⌡

b

af-(x) dx이

음이 아니므로 (1)의 우변에서 2⌠⌡

b

af-(x) dx을 빼면

⌠⌡

b

a| f (x) |dx≧⌠⌡

b

af +(x) dx-⌠⌡

b

af -(x) dx

=⌠⌡

b

af (x) dx (2)

를 얻는다.

같은 방법으로 (1)의 우변에서 2⌠⌡

b

af +(x) dx을 빼면

⌠⌡

b

a| f (x) |dx≧-⌠⌡

b

af+(x) dx+⌠⌡

b

af-(x) dx

=-⌠⌡

b

af (x) dx (3)

을 얻는다. (2)와 (3)을 결합하면

-⌠⌡

b

a| f (x) |dx≦⌠⌡

b

af (x) dx≦⌠⌡

b

a| f (x) |dx

가 되므로 원하는 부등식을 얻는다.

48. 구간 I=(0, 1)에서 함수 f : I → ℝ를

f (x)= {1n if x=

mn: irreducible

0 if x /∈ℚ

으로 정의했을 때 f가 I에서 리만적분 가능함을 보여라.

[풀이 ] J=[0, 1]이고 f (0)= f (1)=0이라고 하자. 그

리고 양수 ε이 임으로 주어졌다고 하자. 그러면

1n≧ε2

인 자연수 n의 개수는 유한이다. 따라서

D={q∈[0, 1] | f (q )≧ ε2 }는 유한집합이 된다. 또한 D의 모든 원소는 유리수이다.

이제 k= #D라고 하자. 여기서 #D는 D의 원소의 개

수이다. 그리고

‖P‖ <ε8k

를 만족하는 [a, b]의 분할 P={x i | 0≦ i≦v }를 택하

자. 일반성을 잃지 않고

a= x 0 < x 1 < … < x v= b

라고 할 수 있다. I t=[x t-1, x t]라고 하면 D의 원소를

포함하고 있는 I t는 많아야 2k개이다. 즉

sup f (I t )≧ε2

인 I t는 많아야 2k개이다. 또한 f는 1에 의하여 위로

유계이다. 따라서

U (f, P ) = ∑v

i=1sup f (I i ) (x i-x i-1 )

≦∑n

i=1

ε2(x i-x i-1)+2k⋅

ε8k

=ε2+2k⋅

ε8k< ε

이다. 그리고 f는 0에 의하여 아래로 유계이므로

L ( f, P )≧0

이다. 여기서

⌠⌡

1

0f (x )dx-⌠⌡

1

0f (x )dx≦U (f, P )-L (f, P ) < ε

이고 ε이 임의의 양수이므로 f는 [0, 1]에서 리만적분

가능하다. 또한 적분 가능한 구간의 부분구간에서는 적분

가능하므로 f는 (0, 1)에서 리만적분 가능하다.

49. 함수 f가 I=[a, b]에서 연속이고 G가 f의 한 부정

적분일 때 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

⌠⌡

b

af (x) dx=G (b)-G (a)

[풀이 ] 구간 I에서 함수 F를 다음과 같이 정의하자.

F (x) =⌠⌡

x

af ( t )dt .

- 61 -

그러면 F '(x)= f (x)이므로 상수 c가 존재하여

F (x)=G (x)+c

이다. 그런데 F (a)=0이므로 c=-G (a)가 성립한다.

따라서

F (x)=G (x)-G (a)

이다. 여기에 x= b를 대입하면

F (b)=⌠⌡

b

af (x) dx=G (b)-G (a)

를 얻는다.

50. 함수 f가 I=[a, b]에서 미분 가능하고 f '이 적분 가

능할 때 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

⌠⌡

b

af '(x)dx= f (b)-f (a)

[풀이 ] 구간 I의 임의의 분할 P의 각 성분구간에 평균

값 정리를 적용하면

f (b)-f (a)=∑P[ f (xk )-f (xk-1)]

=∑Pf '(ξ k)Δx k

를 만족하는 수열 <ξ k>를 얻는다.

Mk'= sup f '(I k ) , mk'= inf f '( I k )

라고 하면

L (f ', P )=∑Pmk'Δx k≦ f (b)-f (a)

≦∑PMk'Δxk=U (f ', P )

이므로

⌠⌡

b

af '(x) dx≦ f (b)-f (a) ≦⌠⌡

b

af '(x) dx

이다. 여기서 f '이 적분 가능하므로

⌠⌡

b

af '(x)dx= f (b)-f (a)

이 성립한다.

51. 함수 f가 [a, b]에서 연속이고 적분 가능하면

f (ξ )=1b-a

⌠⌡

b

af (x) dx

를 만족하는 ξ∈(a, b )가 존재함을 보여라.

[풀이 ] 함수 F를

F (x)=⌠⌡

x

af ( t )dt

로 정의하자. 미분의 평균값 정리를 이용하면

F (b)-F (a)=F'(ξ )(b-a)= f (ξ )(b-a)

를 만족하는 ξ∈(a, b )가 존재한다.

52. 임의의 양수 x에 대하여

Γ(x) =⌠⌡

∞

0e- tt x-1dt

가 수렴하고, Γ는 (0, ∞)에서 연속임을 보여라.

[풀이 ] 두 함수 Γ1과 Γ2를

Γ1(x) =⌠⌡

1

0e- ttx-1dt , Γ2(x) =

⌠⌡

∞

1e- ttx-1dt

로 정의하면 Γ =Γ1+Γ2가 된다.

이제 x 0가 양의 실수라고 하면 0 < a < x 0 < b인 두 실

수 a , b가 존재한다. I=[a, b]라고 하자.

만약 0≦ t≦1이면

|e- t t x-1|= e- t t x-1≦ t a-1≕M 1( t )

이고 t≧1이면

|e tt x-1|≦e- t t b-1≕M 2( t )

이다. 그런데 두 적분

⌠⌡

1

0M 1( t )dt ,

⌠⌡

∞

1M 2( t )dt

가 각각 I에서 수렴하므로 Γ1 , Γ2는 I에서 평등수렴하

며 따라서 이들 두 함수는 I에서 연속이다. 이로써 Γ는

I에서 연속이므로 당연히 Γ는 x 0에서 연속이다. x 0가

임의의 양수이므로 Γ는 (0, ∞)에서 연속이다.

53. 수열 <an>에 대하여 L= limn→∞|an |

1n , S= ∑

∞

n=1an이

라고 하자. 만약 L < 1이면 S는 절대수렴하며 L > 1이

면 S는 발산함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 L < 1이라고 하자. 상극한의 성질에 의하

여 자연수 N이 존재하여

n > N⇒ |an |1n <1+L2

≕M

을 만족한다. 따라서 n > N이면 |an | <Mn이 성립한

다. 그런데 0≦M < 1이므로 급수 ∑Mn는 수렴하고

따라서 비교판정법에 의하여 ∑|an |도 수렴한다.

이번에는 L > 1이라고 하자. 상극한의 성질에 의하여 임

의의 자연수 N에 대하여 자연수 n이 존재하여

n > N 그리고 |an |1n > 1

을 만족한다. 즉 |an | > 1인 항 an의 개수가 무한이므

로 <an>은 0에 수렴하지 않는다. 따라서 ∑an은 발

산한다.

- 62 -

54. 급수 ∑∞

n=1

1n lnn

의 수렴 여부를 판정하여라.

[풀이 ] 코시의 응집 판정법을 사용하자.

∑∞

k=1

2k

2kln2

k = ∑∞

k=1

1k ln2

=1ln2 ∑

∞

k=1

1k

이므로 p -급수 판정법에 의하여 위 급수는 발산한다. 따

라서 코시 응집판정법에 의하여

∑∞

n=1

1n lnn

는 발산한다.

55. 다음 급수의 수렴 여부를 판정하여라.

∑∞

n=1

1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)

2n(n+1)!

[풀이 ] 라브(Raabe) 판정법을 이용하자.

an=1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)

2n(n+1)!

라고 하면

limn→∞n(anan+1

-1)= limn→∞ 2n(n+2)!-2n2-n

2n+1=∞

이므로 라브 판정법에 의하여

∑∞

n=1

1⋅3⋅5⋅…⋅(2n-1)

2 n(n+1)!

는 수렴한다.

56. 양항급수 ∑∞

n=1an이 수렴하면 ∑

∞

n=1an

2이 수렴함을 증

명하여라.

[풀이 ] ∑an이 수렴하므로 an → 0이다. 따라서 자연

수 N이 존재하여 n > N일 때 |a n | < 1이므로

| an2|≦ | an |

이 성립한다. 따라서

∑∞

n=1an

2= ∑

N

n=1an

2+ ∑

∞

n=N+1an

2≦ ∑

N

n=1an

2+ ∑

∞

n=N+1an

이고 오른쪽 변의 급수가 수렴하므로 비교판정에 의하여

∑∞

n=1an

2

도 수렴한다.

57. 무한급수 ∑∞

n=1

e- n

n의 수렴 여부를 판정하여라.

[풀이 ] f (x)=e - x

x라고 하면 f는 [0, ∞ )에서 단

조 감소이고 음이 아니다. 여기서

⌠⌡

∞

1f (x) dx=⌠⌡

∞

1

e x

xdx=⌠⌡

∞

12e- tdt2e

이므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.

58. 임의의 실수 x에 대하여

e x= ∑∞

k=0

xk

k!=1+x+

x2

2!+x3

3!+…

임을 증명하여라.

[풀이 ] 0에서 f (x)= ex의 n차 테일러 다항식은

Pn(x)= ∑n

k=1

f ( k)(0)k!

=1+x+x 2

2!+…+

xn

n!

이다. 이제 나머지 항이 0에 수렴함을 증명하자. 0이 아

닌 임의의 실수 x가 주어졌다고 하면 테일러 정리에 의

하여

|Rn+1(x) |= | f(n+1)(c)(n+1)! ||x |

n+1

을 만족하는 실수 c가 0과 x 사이에 존재한다.

따라서 n → ∞일 때

|Rn+1(x) |=ec|x |n+1

(n+1)!≦|x | c+n+1

(n+1)! → 0

이므로 Pn(x) → ex이다.

59. 수열 <r i>가 자연수집합 ℕ으로부터 [0, 1]∩ℚ에로

의 일대일 대응이라고 하자. 그리고 I=[0, 1]에서 두

함수열 < f n> , <gn>을

fn(x)= x (1+ 1n ) ,

gn(x)= { 1/n if x∈[0, 1]∖ℚi+1/n if x= r i, ∃i∈ℕ

으로 정의하자. 이 때 hn(x)= f n(x)gn(x)로 정의된 함

수열 <hn>이 I에서 평등수렴하는지 판정하여라.

[풀이 ] ε0=1이라고 하고 자연수 N이 임의로 주어졌

다고 하자. m=n+1=N+2라고 하면 m > n > N이

다. <r i>가 전사이므로 [1/2, 1 ]에 포함되는 항이 무

한개이다. 따라서 k > 2(n+1)n이고 rk∈[1/2, 1]인

자연수 k가 존재한다. 여기서

| fm(r k)- fn(rk ) |

=|r k m+1mmk+1m

-r kn+1n

nk+1n |

=| mn(n-m)+mnk(n-m)+(n2-m 2)

m 2n 2rk |

=(n+1)n+(n+1)nk+(m+n)

(n+1)2 n 2rk

≧k

(n+1)nrk≧

12

1(n+1)n

k > 1=ε0

이므로 코시 판정법에 의하여 <hn>은 평등수렴하지 않

는다.

- 63 -

60. 구간 I=[0, 1]에서 함수열 < f n>이

f n(x)=nx2

1+nx

으로 정의되었을 때, < f n>의 극한함수를 구하고 평등수

렴하는지 판정하여라.

[풀이 ] 임의의 x∈I에 대하여 f (x)= limfn(x)= x이

다. 따라서 fn의 극한함수는 f (x)= x이다.

이제 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하자. N > ε- 1인 자

연수 N을 택하면, n > N일 때 임의의 x∈I에 대하여

| f n(x )- f (x ) |= | x 2

x+1/n-x |= x/n

x+1/n

=1n (

nxnx+1 )=

1n (1-

1nx+1 )

≦1n<1N< ε

이므로 fn은 f에 평등수렴한다.

61. 구간 I에서 연속함수열 < f n>이 f에 평등수렴하면 극

한함수 f는 I에서 연속임을 증명하여라.

[풀이 ] 실수 c∈D와 양수 ε이 임의로 주어졌다고 하

자. < f n>이 평등수렴하므로 자연수 k가 존재하여 임의

의 x∈I에 대하여

| f k(x)- f (x) | <ε3

을 만족한다. 또한 f k는 연속이므로 양수 δ가 존재하여

|x-c | < δ ⇒ | f k(x)- f k(c) | <ε3

을 만족한다. 따라서 |x-c | < δ인 x∈I에 대하여

| f (x)- f (c) |≦| f (x)-f k(x) |+| f k(x)-f k(c) |

+| f k(c)- f (c) | < ε

이 성립하므로 f는 c에서 연속이다. 그런데 c가 I의

임의의 원소이므로 f는 I에서 연속이다.

62. 멱급수 S= ∑∞

n=1

xn

n 2의 수렴구간을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 급수의 계수에 비판정법을 적용하면

limn→∞

1/n 2

1/(n+1)2= lim

n→∞(n+1n )

2

= 1

이므로 수렴반경은 1이다. 또한 x= ±1일 때

S= ∑∞

n=1|xn

n 2 |= ∑∞

n=1

1

n 2

이므로 p-급수 판정법에 의하여 수렴한다.

따라서 구하는 수렴구간은 [-1, 1]이다.

63. 급수 ∑∞

n=1

n2

3n의 값을 구하여라.

[풀이 ] 구간 I=(-1, 1)에서 함수 f를

f (x)=11-x

= ∑∞

n=0xn

으로 정의하자. f는 I에서 평등수렴하므로 미적분을 자

유롭게 할 수 있다. f를 미분하면 다음을 얻는다.

f '(x)=1

(1-x) 2= ∑

∞

n=1nxn-1 .

양변에 x를 곱하면 다음을 얻는다.

xf '(x)=x

(1-x)2 = ∑

∞

n=1nxn .

다시 양변을 미분하고 x를 곱하면 다음을 얻는다.

x+x 2

(1-x) 3= ∑

∞

n=1n2xn .

여기서 x=13을 대입하면 다음을 얻는다.

32=(1/3)+(1/3)

2

(1-1/3)3 = ∑

∞

n=1

n2

3n

.

따라서 주어진 급수의 값은 32이다.

64. 양항수열 <an>에 대하여 f (x)= ∑∞

n=0anx

n의 수렴반

경이 1이고 limx→1-

f (x)=σ이면 급수 ∑∞

n=0an은 σ에 수

렴함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 ∑an이 유계임을 보이자. 만약 ∑an이

유계가 아니라면 자연수 N이 존재하여

n > N ⇒ ∑n

k=0a k > 3σ

을 만족한다. 또한 m > n > N인 자연수 m , n과 임의

의 양수 δ에 대하여 x∈(1-δ, 1 )이 존재하여

xm>12

을 만족한다. 이러한 x에 대하여

∑m

k= 0akx

k≧ x

m∑m

k= 0a k > 3σ x

m>32σ

이므로 limx→1-

f (x) ≧32σ가 되어 모순이다.

따라서 ∑an은 유계이고 양항급수이므로 수렴한다.

그런데 ∑an이 [0, 1]에서 수렴하므로 아벨의 정리에

의하여 ∑an은 [0, 1]에서 평등수렴한다. 평등수렴하

는 연속함수열의 극한함수는 연속이므로 f는 [0, 1]에

서 연속이다. 따라서

σ= limx→1-

f (x)= f (1)= ∑∞

n=0an

가 성립한다.

- 64 -

65. 다음과 같이 주어진 멱급수의 수렴구간을 구하여라.

∑∞

n=1

en

n 2+n(x-1) n

[풀이 ] 주어진 멱급수의 계수에 근판정법을 적용하면

limn→∞(

en

n2+n )

1/n

= limn→∞

e

(n2+n)

1/n = e

이므로 수렴반경은 1e이다. 또한 x= 1±

1e일 때

∑∞

n=1|en

n 2+n(x-1)n |= ∑

∞

n=1

1

n 2+n≦∑

∞

1

1

n 2

이고 p-급수 판정법에 의하여 오른쪽의 급수가 수렴하

므로 비교판정에 의하여 본래의 급수는 절대수렴한다. 즉

주어진 급수는 수렴반경의 끝점에서도 수렴한다.

따라서 구하는 수렴구간은 [1- 1e , 1+1e ]이다.

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- 65 -

위상수학 | Topology

1. 위상공간 (X,ℑ)과 X의 부분집합 A에 대하여

ℑA={A∩G |G∈ℑ }

는 A상에서의 위상이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] (ⅰ) 먼저

φ=A∩φ∈ℑA, A=A∩G=ℑA

이다.

(ⅱ) 이제 {Gi | i∈I }가 ℑA의 임의의 부분집합이라고

하자. 그러면 각 i∈I에 대하여 Hi∈ℑ가 존재하여

Gi=Hi∩A

를 만족한다. 여기서

∪i∈IGi= ∪

i∈IHi∩A=A∩∪

i∈IHi

이고 ∪Hi∈ℑ이므로 ∪Gi는 ℑA의 원소가 된다.

(ⅲ) 이제 {Gj | j∈J }가 ℑA의 임의의 유한부분집합이

라고 하자. 그러면 각 j∈J에 대하여 Hj∈ℑ가 존재하

여 Gj=Hj∩A를 만족한다. 여기서

∩j∈JGj= ∩

j∈JHj∩A=A∩∩

j∈JHj

이고 ∩Hj∈ℑ이므로 ∩Gj는 ℑA의 원소가 된다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ℑA는 A상에서의 위

상이 된다.

2. 집합 X에 대하여

ℑ={U⊆X | #(X∖U ) < #ℝ ∨ U=φ }

라고 하면 ℑ는 X상에서의 위상이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] ℑ가 위상의 조건을 만족함을 보이자.

(ⅰ) 먼저 φ∈ℑ이다. 또한 φ는 가산집합이므로

X∖X=φ∈ℑ

가 되어 X∈ℑ이다.

(ⅱ) {Gi | i∈I }를 ℑ의 임의의 부분집합이라고 하자.

그러면 I의 한 원소 j에 대하여 X∖Gj는 가산집합이

다. 가산집합의 부분집합은 가산집합이고

X∖∪i∈IG i=X∩(∪i∈IG i )

c

=X∩(∩i∈IGci )

= ∩i∈I(X∩Gci )⊆X∩G

cj=X∖Gj

이므로 X∖∪ i G i는 가산집합이다.

따라서 ∪ i G i∈ℑ이다.

(ⅲ) {Uj | j∈J }를 ℑ의 유한부분집합이라고 하자. 만약

적당한 k∈J에 대하여 Uk=φ이면 ∩ j U j=φ이므로

명백히 ∩ j U j∈ℑ이다. 이제 Uk=φ인 k∈J가 존재

하지 않는다고 가정하자.

그러면 임의의 Uj에 대하여 X∖Uj는 가산집합이다.

X∖∩j∈JU j=X∩(∩j∈JU j )

c

=X∩(∪j∈JU jc )

= ∪j∈J(X∩Uj

c )= ∪j∈J(X∖Uj

c )

인데 J가 유한집합이고, 유한개의 가산집합의 합집합은

가산집합이므로 X∖∩ j U j는 가산집합이다.

따라서 ∩ j U j∈ℑ이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ℑ는 위상의 조건을 만

족하므로 X상의 위상이다.

3. 정수 집합 ℤ 위의 위상 τ를 다음과 같이 정의한다.

τ= {U⊆ℤ |U=φ ∨ #(ℤ∖U ) < #ℕ }

이 때 서로 다른 an들로 이루어진 수열 <an>은 위상

공간 (ℤ, τ )에서 각각의 정수 m에 수렴함을 보여라.

[풀이 ] 임의의 정수 m이 주어졌다고 하자. 그러면 개집

합 U가 존재하여 m∈U이다. Uc가 유한집합이므로

유한개의 정수를 제외한 나머지는 모두 U에 포함된다.

즉 U에 포함되지 않는 <an>의 항은 유한개뿐이다. 즉

A={n∈ℕ |an /∈U }

는 유한집합이다. 따라서 N=maxA+1이라고 하면

n > N ⇒ an∈U

이므로 an은 m에 수렴한다.

4. 실수 ℝ상에서 β={ [a, b ) |a∈ℝ, b∈ℝ}를 기저로

하는 위상 T를 하한위상이라고 한다. ℝ상에서의 하한

위상 T와 보통위상 μ에 대하여 μ⊂T , μ /=T임을 보

여라.

[풀이 ] 공집합이 아닌 임의의 개구간 (a, b )이 주어졌

다고 하자.

an=a+b-an

이라고 하면 수열 {an }의 모든 항은 (a, b )에 포함되

며 극한이 a에 수렴하고 순감소한다. 따라서

(a, b )= ∪∞

n=1[an, b)

이므로 T는 (a, b ) 꼴의 모든 개구간을 포함한다. 따

라서 μ⊆T이다.

한편 [1, 2)는 T의 원소이지만 μ의 원소는 아니다.

이를 증명하기 위하여 결론에 반하여 [1, 2)∈μ라고

가정하자. 그러면 [1, 2)는 μ -개집합이므로 1은 내점

이 된다.

- 66 -

따라서 적당한 개구간 (a, b )가 존재하여

1∈(a, b )⊆[1, 2)

가 되어야 한다. 1∈(a, b )이려면 a < 1 < b가 되어야

한다. 그런데 (a, b )⊆[1, 2)이려면 1≦a가 되어야

한다. 이것은 모순이므로 [1, 2) /∈μ이다.

따라서 μ⊆T이고 μ /=T이다.

5. 위상공간 X , Y와 위상동형사상 f :X → Y에 대하여,

점 p가 A⊆X의 집적점일 때 f (p)가 f (A)의 집적점

임을 보이시오.

[풀이 ] G가 f (p)를 포함하는 임의의 개집합이라고 하

자. 그러면 U= f -1(G)도 개집합이다. 따라서

(U∖{p })∩A /=φ

가 성립한다. 이것은 x∈X가 존재하여

x∈(U∖{p })∩A

임을 의미한다. x∈U이므로 y∈G가 존재하여

f (x)= y

이다. 여기서 x /= p이므로 y /= f (p)이며 또한 x∈A이

므로 y∈f (A)이다. 즉 y∈(G∖{f (p) })∩ f (A)이므로

(G∖{f (p) })∩ f (A) /=φ

이다. 따라서 f (p)는 f (A)의 집적점이다.

6. 집합 En={k∈ℕ |n≦k }에 대하여, ℑ가

ℑ={En |n∈ℕ }∪ {φ }

으로 정의된 ℕ 위의 위상일 때 A={4, 13, 28, 37 }의

집적점을 구하여라.

[풀이 ] m이 37보다 작은 자연수라고 하자. 그러면 m

을 포함하는 임의의 개집합 U는 m 이상의 모든 자연

수를 포함한다. 그런데 m < 37이므로 37∈U∖{m }이

다. 즉 37∈(U∖{m })∩A이므로

(U∖{m })∩A /=φ

이다. 따라서 m은 A의 집적점이다.

이제 v가 37 이상의 자연수라고 하자. 그러면 Ev는 v

를 포함하는 개집합이다. 그런데 Ev∖{v }는 v보다 큰

자연수만을 포함하므로

(Ev∖{v })∩A=φ

이다. 따라서 v는 A의 집적점이 아니다.

따라서 A의 집적점은 37 미만의 모든 자연수이다.

7. 집합 X={a, b, c, d, e } 위에 위상 ℑ가 다음과 같이

주어졌다. ℑ={φ, X, {a }, {b }, {a, b }, {a, c, d },

{a, b, e }, {a, b, c, d }} . 다음 물음에 답하시오.

(1) 집합 A={b, c }의 도집합 A'을 구하시오.

(2) 집합 A={b, c }의 폐포 A를 구하시오.

[풀이 ] (1) A의 집적점을 구하면 다음과 같다.

p= a일 때 ( {a }∖{a })∩A=φ ,

p= b일 때 ( {b }∖{b })∩A=φ ,

p= c일 때 ( {a, c, d }∖{c })∩A=φ

이므로 a , b , c는 A의 집적점이 아니다.

이제 d를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, c, d }에 대

하여 ( {a, c, d }∖{d })∩A /=φ이므로 d는 A의 집적

점이다. e를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, b, e }에

대하여 ( {a, b, e }∖{e })∩A /=φ이므로 e는 A의 집

적점이다. 따라서 A의 집적점은 d , e이다.

(2) 집합 A의 폐포는 A=A∩A'이므로

A={b, c, d, e }

이다.

8. 집합 X={a, b, c, d, e } 위에 위상 ℑ가 다음과 같이

주어졌다. ℑ={φ, X, {a }, {b }, {a, b }, {a, c, d },

{a, b, e }, {a, b, c, d }} . A={a, b, c }에 대하여 다

음 물음에 답하시오.

(1) A의 내부 int(A)를 구하시오.

(2) A의 외부 ext(A)를 구하시오.

(3) A의 경계 bd(A)를 구하시오.

(4) 점 e∈X의 근방계 η e를 구하시오.

[풀이 ] (1) A의 내점을 모두 구하자.

a∈{a }⊆A , {a }∈ℑ ,

b∈{a, b }⊆A , {a, b }∈ℑ

이므로 a , b는 A의 내점이다. 그러나 c를 포함하는

가장 작은 개집합 {a, c, d }에 대하여

{a, c, d } /⊆A

이므로 c는 A의 내점이 아니다.

따라서 int(A)= {a, b }이다.

(2) ext(A)= int(Ac)이므로 Ac={d, e }의 내점을

구하자. d를 포함하는 가장 작은 개집합 {a, c, d }에

대하여 {a, c, d } /⊆Ac이다. 또한 e를 포함하는 가장

작은 개집합 {a, b, e }에 대하여 {a, b, e } /⊆Ac이다.

따라서 int(Ac)=φ이므로 ext(A)=φ이다.

(3) bd(A)=X∖( int(A) ∪ ext(A))이므로

bd(A)=X∖{a, b }= {c, d, e }

이다.

(4) e를 포함하는 가장 작은 개집합은 {a, b, e }이다.

여기서 {a, b, e }를 포함하는 집합을 모두 구하면

{a, b, e } , {a, b, c, e } , {a, b, d, e } , X

이다. 따라서 e의 근방계는 다음과 같다.

η e={ {a, b, e }, {a, b, c, e }, {a, b, d, e }, X } .

- 67 -

9. 위상공간 X의 부분집합 A가 폐집합이 되기 위한 필요

충분조건은 A'⊆A임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 A가 폐집합이라고 가정하자. 그러면 임의

의 x∈Ac에 대하여 Ac는 x의 개근방이다. 그런데

Ac∩(A∖{x })=φ

이므로 x /∈A'이다. 즉 x∈(A') c이다.

따라서 Ac⊆(A') c이므로 A'⊆A이다.

이제 역을 증명하기 위하여 A'⊆A라고 가정하고 A가

폐집합임을 보이자. x∈Ac라고 하면 x∈(A') c이다.

이것은 x가 A의 집적점이 아님을 의미하므로

x∈U , U∩(A∖{x })=φ

인 개집합 U가 존재한다. 여기서 x /∈A이므로

U∩A=φ

이다. 따라서 x∈U⊆Ac이므로 x는 Ac의 내점이다.

즉 임의의 x∈Ac가 Ac의 내점이므로 Ac는 개집합이

다. 따라서 A는 폐집합이다.

10. 집합 X={a, b, c }의 위상 τ={φ, {a }, X }에 대하

여 X의 조 한 부분집합을 구하여라.

[풀이 ] A=X가 되는 X의 부분집합 A를 구하자.

X에서 폐집합을 모두 구하면

φ , {b, c } , X

이다. 따라서 {b, c }의 부분이 아닌 집합 A를 포함하

는 폐집합은 X 뿐이다. 그러한 집합을 모두 구하면

{a, b } , {a, c } , X

이며 이들은 모두 X의 조 한 부분집합이다.

11. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여, x∈A일 필요

충분조건은 x의 임의의 근방 U가 U∩A /=φ를 만족

하는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] 대우를 사용하여 증명하자.

먼저 x /∈A라고 가정하자. 그러면 Ac는 x를 포함하

는 개집합이 된다. 따라서 개집합 U= Ac에 대하여

U∩A=φ

가 된다.

역으로 U∩A=φ를 만족하는 x의 개근방 U가 존재

한다고 가정하자. 그러면 A⊆U c이고 U c는 폐집합이

다. 폐포의 정의에 의하여 A⊆U c이다. 그런데 x /∈U c

이므로 x /∈A가 된다.

이로써 대우명제 x /∈A ⇔ ∃U : U∩A=φ임을 증명

하 으므로 증명을 마쳤다.

12. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여 A=A∪A'임

을 증명하여라.

[풀이 ] x∈A∪A'라고 하자. 만약 x∈A이면 폐포의

정의에 의하여 당연히 x∈A⊆A이다. 이제 x /∈A이고

x∈A'라고 하자. x의 임의의 근방 U에 대하여

U∩(A∖{x }) /=φ

이므로 U∩A /=φ이다. 즉

x의 임의의 근방 U에 대하여 U∩A /=φ

가 성립하므로 x∈A이다. 따라서 A∪A'⊆A이다.

반대의 포함관계를 증명하기 위하여 x∈A라고 하자.

만약 x∈A라면 당연히 x∈A∪A'이다. 이제 x∈A

이고 x /∈A라고 하자. 그러면 x의 임의의 개근방 U에

대하여 U∩A /=φ이다. 그런데 본래 x /∈A이므로

U∩(A∖{x }) /=φ

이다. 즉 x는 A의 집적점이므로 A⊆A∪A'이다.

이로써 A=A∪A'임을 증명하 다.

13. 위상공간 X의 두 부분집합 A , B에 대하여

int(A∩B)= int(A) ∩int(B)

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] x∈int(A∩B)라고 하면 x의 개근방 U가 존

재하여 x∈U⊆A∩B⊆A이다. 따라서 x∈int(A)이

다. 같은 방법으로 x∈int(B)이다. 따라서

x∈int(A)∩int(B)

이므로 int(A∩B)⊆int(A)∩int(B)가 성립한다. (1)

또한 int(A) ⊆A이고 int(B) ⊆B이므로

int(A)∩int(B) ⊆A∩B

이다. 여기서 int(A)∩int(B)는 개집합이고, A∩B에

포함되는 가장 큰 개집합이 int(A∩B)이므로

int(A)∩int(B) ⊆int(A∩B) (2)

를 얻는다. 이로써 (1)과 (2)에 의하여

int(A∩B)= int(A) ∩int(B)

가 성립한다.

14. 위상공간 X의 부분집합 A에 대하여

A= int(A)∪bd(A)

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] A의 내부, 외부, 경계는 쌍마다 서로소이며

X= int(A)∪bd(A)∪ext(A)

이다. 따라서 ( int(A)∪bd(A)) c= ext(A)이다.

이제 (A)c= ext(A)임을 보이자.

- 68 -

먼저 x∈ext(A)라고 하자. 그러면 x∈int(Ac)이므로

개집합 U가 존재하여

x∈U⊆Ac

가 성립한다. 즉 U∩A=φ이다. 이것은 명제

x의 임의의 개집합 U에 대하여 U∩A /=φ

의 부정이므로 x /∈A이다.

따라서 x∈(A)c이므로 ext(A) ⊆(A) c이다. (1)

역으로 x∈(A)c라고 하자. (A) c가 개집합이므로

x∈U⊆(A) c

인 개집합 U가 존재한다. 그런데 A⊆A이므로

x∈U⊆(A) c⊆Ac

이다. 이것은

x∈int(Ac)= ext(A)

를 의미하므로 (A) c⊆ext(A)가 성립한다. (2)

이로써 (1), (2)에 의하여 (A)c= ext(A)임을 증명하

다. 따라서 A= int(A)∪bd(A)이다.

15. X , Y가 위상공간이고 β가 X의 기저이며 f가 X로

부터 Y로의 함수라고 하자. 만약 임의의 A∈β에 대하

여 f (A)가 Y의 개집합이면 f는 개사상임을 보이시오.

[풀이 ] G가 X의 임의의 개집합이라고 하자. 그러면

기저의 정의에 의하여 β의 부분집합 {β i | i∈I }가 존재

하여 G=∪ i β i가 된다. 그러면

f (G)= f (∪ iβ i )=∪ i f (β i )

이고 각 f (β i )가 개집합이므로 f (G)도 개집합이 된다.

따라서 f는 개사상이다.

16. 위상공간 (X, τ )에 속하는 점 p가 집합 A⊆X의 집

적점이 되기 위한 필요충분조건은, p의 국소기저 β p가

존재하여 G∈β p ⇒ (G∖{p })∩A /=φ를 만족하는 것

임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 p가 A의 집적점이라고 하자. 정의에 의하

여 p의 임의의 개근방 U에 대하여

(U∖{p })∩A /=φ

이다. 그런데 임의의 G∈β p는 p의 개근방이므로

(G∖{p })∩A /=φ

가 성립한다.

이제 역을 증명하기 위하여 p의 국소기저 β p에 대하여

G∈β p ⇒ (G∖{p })∩A /=φ

가 성립한다고 가정하자. U가 p의 임의의 개근방이라

고 하면, 국소기저의 정의에 의하여 G⊆U를 만족하는

개집합 G∈β p가 존재한다.

그런데

(G∖{p })∩A /=φ

이므로 y∈(G∖{p })∩A인 y∈X가 존재한다.

여기서 y∈(U∖{p })∩A를 만족하므로

(U∖{p })∩A /=φ

이다. 따라서 p는 A의 집적점이다.

17. 집합 X={a, b, c, d }상에서 위상 ℑ가

ℑ={X, φ, {a }, {a, b }, {a, c, d }}

으로 정의되었다. β={X, {a }, {a, b }, G }가 ℑ의 기

저가 되도록 하는 집합 G를 구하여라.

[풀이 ] ℑ의 원소 중에서

X , φ , {a } , {a, b }

가 β의 원소들의 합집합에 의하여 생성됨은 자명하다.

따라서 G를 적당히 정의하여 {a, c, d }가 생성되도록

해야 한다. 따라서 G={a, c, d }라고 하면 β는 ℑ를

생성한다.

18. 집합 X={a, b, c, d }와 Y={w, x, y, z }의 위상이

ℑX={X, φ, {a, b }, {c, d }} ,

ℑY={Y, φ, {y }, {x, y }, {y, z }, {x, y, z }

으로 주어져 있다. 이 때 함수

f={ (a, x ), (b, z ), (c, y ), (d, x ) }

가 연속인 점을 구하여라.

[풀이 ] f (a)= x∈{x, y }∈ℑY이고

f -1( {x, y })= {a, c, d } /∈ℑX

이므로 a는 f가 연속인 점이 아니다.

f (b)= z∈{y, z }∈ℑY이고

f -1( {y, z })= {b, c } /∈ℑX

이므로 b는 f가 연속인 점이 아니다.

f (c)= y∈{y }∈ℑY이고

f -1( {y })= {c } /∈ℑX

이므로 c는 f가 연속인 점이 아니다.

f (d )= x이고 x의 근방은

{x, y } , {x, y, z } , X

이다. 이들의 역상을 구해보면

f -1( {x, y })= {a, c, d }∈ℑX,

f -1( {x, y, z })=X∈ℑX,

f -1(Y )=X∈ℑX

이므로 f는 d에서 연속이다.

따라서 f가 연속인 점은 d뿐이다.

- 69 -

19. 두 위상공간 X , Y에서 함수 f :X→Y가 정의되었다.

이 때 f가 연속이기 위한 필요충분조건은 Y의 임의의

기저원소 B에 대하여 f -1(B)가 X에서 개집합이 되

는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] 함수 f가 연속일 때, Y의 기저원소 B는 개집

합이므로 연속의 정의에 의하여 f -1(B)는 개집합이다.

이제 역을 증명하기 위하여 Y의 임의의 기저원소 B에

대하여 f -1(B)가 X에서 개집합이 된다고 가정하자.

집합 U가 Y에서 개집합이라고 하자. 그러면 Y의 기

저원소들의 모임 {Bi | i∈I }가 존재하여

∪i∈IBi=U

가 성립한다. 각 i에 대하여 f -1(Bi)는 개집합이므로

∪i∈If -1(Bi)

는 개집합이 된다. 여기서

f-1(U )= f

-1(∪i∈I B i )= ∪i∈I f-1(Bi)

이므로 f -1(U )도 개집합이 된다.

따라서 f는 연속함수이다.

20. 위상공간 X , Y의 함수 f :X → Y에 대하여 다음 세

명제가 동치임을 증명하여라.

(1) f는 연속함수이다.

(2) 임의의 A⊆X에 대하여 f (A)⊆ f (A)이다.

(3) Y의 임의의 폐집합 B에 대하여 f -1(B)가 X의

폐집합이다.

[풀이 ] (1)⇒ (2) : A⊆X이고 f가 연속이라고 하자.

이제 y∈f (A)라고 하자. 그러면 f (x)= y인 x∈A가

존재한다. y의 근방 V에 대하여 f -1(V )는 x를 포함

하는 X의 개집합이다. 그런데 x∈A이므로

f -1(V )∩A /=φ

이고

f (f -1(V )∩A)⊆f ( f -1(V ))∩f (A) ⊆V∩f (A)

가 되어 V∩f (A) /=φ이다. 따라서 y∈ f (A)이다.

(2)⇒ (3) : B가 Y의 폐집합이고 A= f -1(B)라고 하

자. 그러면 f (A)= f (f -1(B)) ⊆B이다. 만약 x∈A이

면

f (x) ∈f (A)⊆ f (A)⊆B=B

이므로 x∈f -1(B)=A이다. 따라서 A⊆A이다. 그런

데 A⊆A이므로 A= A가 되어 A는 폐집합이다.

(3)⇒ (1) : V가 Y에서의 개잡합이고 B=Y∖V라고

하자. 그러면 B는 Y에서의 폐집합이고 여기서 (3)에 의

하여 f -1(B)는 X에서의 폐집합이 된다.

여기서

f -1(V )= f -1(Y∖B)= f -1(Y )∖f -1(B )

=X∖f -1(B)

이므로 f -1(V )는 X에서 개집합이다. 따라서 f는 연

속함수이다.

이로서 (1), (2), (3)이 동치임을 증명하 다.

21. 집합 X상의 두 거리 d 1 , d 2에 대하여 d 1에 의해 유

도된 위상을 ℑ 1, d 2에 의하여 유도된 위상을 ℑ 2

라

할 때 ℑ 1⊆ℑ 2이면 d 2가 d 1보다 더 우세하다고 한다.

이산거리는 임의의 거리보다 우세함을 증명하여라.

[풀이 ] 집합 X에 대하여 d 1이 이산거리함수이고 d는

임의의 거리함수라고 하자. 그리고 ℑ 1이 d 1에 의하여

유도된 위상이고 ℑ는 d에 의하여 유도된 위상이라고

하자. 임의의 x∈X에 대하여

B 1(x, 1)= {y∈X |d 1(x, y ) < 1 }= {x }∈ℑ 1

이므로 ℑ 1은 X의 단집합을 모두 포함한다. 즉 ℑ 1

은

이산위상이다. 따라서 명백히 ℑ⊆ℑ 1이 되므로 d 1은

d보다 우세하다.

22. 거리공간 (X, d )의 부분집합 A가 개집합이기 위한

필요충분조건은 임의의 개집합 G에 대하여 A∩G가

개집합이 되는 것임을 증명하시오.

[풀이 ] A가 개집합이라고 하자. 그리고 G가 임의의

개집합이라고 하자. 그러면 명백히 A∩G는 개집합이

된다.

이제 역을 증명하자. x∈A라고 하자. 그러면 양수 r에

대하여 개구체 G=B (x, r )는 개집합이므로 A∩G도

개집합이다. 또한 x∈A∩G이므로 적당한 양수 δ가 존

재하여 x∈B (x, δ)⊆A∩G이다. 여기서 B(x, δ)는 개

집합이고 x∈B(x, δ)⊆A이므로 x는 A의 내점이다.

따라서 A는 개집합이다.

23. 거리공간 (X, d )에서 임의의 x, y∈X에 대하여

d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )

로 정의할 때 (X, d 1)은 유계인 거리공간이 됨을 증명

하시오.

[풀이 ] 먼저 d 1이 거리함수가 됨을 밝히자.

x , y , z가 X의 임의의 원소라고 하자.

(ⅰ) d (x, y )≧0이므로 다음이 성립한다.

d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )

≧0 .

- 70 -

또한 명백히

d 1(x, x)=d (x, x)1+d (x, x )

=0

이며 d 1(x, y )=0이면 d (x, y )=0이므로 x= y이다.

(ⅱ) d (x, y )=d (y, x )이므로

d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )

=d (y, x )1+d (y, x )

=d 1(y, x )

이다. 따라서 d 1(x, y )= d 1(y, x )이다.

(ⅲ) d (x, y )≦d (x, y )+d (x, z )이므로

d 1(x, z )=d (x, z )1+d (x, z )

≦d (x, y )+d (y, z )1+d (x, y )+d (y, z )

=d (x, y )

1+d (x, y )+d (y, z )+

d (y, z )1+d (x, y )+d (y, z )

≦d (x, y )1+d (x, y )

+d (y, z )1+d (y, z )

=d 1(x, y )+d 1 (y, z )

이다. 따라서 d 1(x, z )≦d 1(x, y )+d 1(y, z )이다.

이상으로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 d 1은 거리함수이다.

또한 임의의 x, y∈X에 대하여

d 1(x, y )=d (x, y )1+d (x, y )

≦d (x, y )d (x , y )

=1

이므로 d 1은 유계이다.

따라서 (X, d 1)은 유계인 거리공간이다.

24. 거리공간 (X, d )의 부분집합 A에 대하여

A={x∈X |d (x, A )=0 }

임을 증명하여라.

[풀이 ] x∈A ⇔ d (x, A)=0을 증명하자.

먼저 d (x, A)=0이라고 가정하자. 그러면 거리위상의

정의에 의하여 x의 임의의 근방 U에 대하여 적당한 자

연수 n이 존재하여

x∈B (x, 1n )⊆U가 성립한다. 만약 적당한 자연수 k에 대하여

B (x, 1k )∩A=φ라고 가정하면 d (x, A)≧k-1 > 0이 되므로 모순이다.

따라서

φ /=B (x, 1k )∩A⊆U∩A이다. 즉 U∩A /=φ이므로 x∈A이다.

이제 역을 증명하기 위하여 x∈A라고 가정하자. 그러

면 임의의 자연수 n에 대하여

B (x, 1n )∩A /=φ이다.

여기서 B (x, 1/n )∩A의 한 원소 an에 대하여

0≦d (x, A )≦d (x, an) <1n

이다. 위 부등식은 임의의 자연수 n에 대하여 성립하므

로 d (x, A)=0이다.

따라서 A={x∈X |d (x, A)=0 }이다.

25. 거리공간 (X, d 1) , (Y, d 2)의 함수 f :X → Y가 연

속이기 위한 필요충분조건은 임의의 x∈X와 양수 ε에

대하여 조건

d 1(x, y ) < δ ⇒ d 2( f (x), f (y)) < ε (*)

을 만족하는 것임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 f가 조건 (*)를 만족하고 G가 Y에서 개

집합이라고 하자. a가 f -1(G)의 임의의 원소라고 하면

f (a)= b인 b∈G가 존재한다. 여기서 G가 개집합이므

로 양수 ε이 존재하여 b∈B (b, ε )⊆G를 만족한다. 함

수 f가 (*)를 만족하므로

d 1(x, a ) < δ ⇒ d 2( f (x)- f (a) ) < ε

을 만족하는 양수 δ가 존재한다. 이것은

a∈B (a, δ)⊆f-1(G)

를 의미하므로 f -1(G)는 개집합이다. 따라서 f는 연속

함수이다.

역으로 f가 연속이라고 하자. 그리고 양수 ε이 임의로

주어졌다고 하자. a가 X의 한 점이면

b≔ f (a) ∈Y

이다. 여기서 B ( f (a), ε)은 Y에서 개집합이 되므로

그 역상 E≔ f -1(B(f (a), ε ))는 X에서 개집합이다.

여기서 a는 E의 원소이므로 B(a, δ )⊆E인 양수 δ가

존재하여 f (B (a, δ ))⊆f (E )가 된다. 이것은

f (B (a, δ ))⊆f ( f -1(B(b, ε )))

을 의미하므로 f (B (a, δ ))⊆B(b, ε )인데 이것을 다시

풀어서 쓰면

x∈B (a, δ ) ⇒ f (x) ∈B (b, ε )

이 된다. 이것은 개구체의 정의에 의하여

d 1(x, a ) < δ ⇒ d 2( f (x), f (a) ) < ε

을 의미한다. 따라서 f는 (*)를 만족한다.

26. 이산거리공간 (X, d )의 부분집합 A에 대하여 X의

어떤 점도 A의 집적점이 아님을 보이시오.

[풀이 ] 이산거리 d에 의하여 유도된 위상 τ는 이산위

상이다. 따라서 X의 임의의 단원집합은 개집합이다.

임의의 x∈X에 대하여 {x }는 개집합이다. 여기서

( {x }∖{x })∩A=φ

이므로 x는 A의 집적점이 아니다.

- 71 -

27. 자연수 집합 ℕ의 두 원소 m , n에 대하여

ρ(m, n)= | 1m -1n |

일 때 ρ는 거리함수이지만 (ℕ, ρ)는 완비가 아님을

보여라.

[풀이 ] 먼저 ρ가 거리함수의 조건을 만족함을 보이자.

(ⅰ) 명백히 ρ(m, n )≧0이며

ρ(m, n )=0 ⇔ m=n

이 성립한다.

(ⅱ) ρ(m, n )= | 1m -1n |= |

1n-1m |=ρ(n,m ) .

(ⅲ) ρ(m, n )= | 1m -1n |≦ |

1m-1k |+|

1k-1n |

≦ρ(m, k )+ρ(k, n ) .

따라서 ρ는 거리함수이다. 또한 δ=1에 대하여

ρ(m, n )= | 1m -1n | < 1= δ

이라고 가정하면 m=n이므로 B (m, δ )={m }이 되

어 ρ는 이산위상을 유도한다.

이제 수열 {xn }을 xn=n으로 정의하자.

임의의 양수 ε에 대하여 2ε<N인 자연수 N을 택하면

m > N , n > N일 때

ρ(xm, xn)= | 1m -1n |≦

1m+1n< ε

이므로 {xn }는 코시 수열이다.

만약 {xn }이 수렴한다고 가정하면 결과적 상수가 된다.

즉 적당한 자연수 K에 대하여 n > K ⇒ an= aK가 된

다. 그러나 {xn }은 결과적 상수가 아니므로 수렴하지

않는다. 즉 {xn }은 코시 수열이지만 수렴하지 않으므로

주어진 공간 (ℕ, ρ)는 완비가 아니다.

28. 위상공간 X가 T 1 -공간이기 위한 필요충분조건은 임

의의 x∈X에 대하여 {x }가 폐집합이 되는 것임을 증

명하여라.

[풀이 ] X가 T 1 -공간이고 x∈X라고 하자.

만약 y∈X∖{x }이면 x /= y이므로 y의 개근방 V가

존재하여 x /∈V가 된다. 즉

y∈V⊆X∖{x }

이므로 X∖{x }는 개집합이고 {x }는 폐집합이 된다.

역으로 임의의 x∈X에 대하여 {x }가 폐집합이라고 하

자. 그러면 서로 다른 두 점 y, z∈X에 대하여

X∖{z } , X∖{y }

는 개집합이 된다. 이 때

y∈X∖{z } , z∈X∖{y }

이므로 X는 T 1 -공간이다.

29. 위상공간 X가 T 1 -공간이면 X의 유한부분집합은 집

적점을 갖지 않음을 보이시오.

[풀이 ] A가 유한집합이라고 하자. 그러면

A={a 1, a 2, a 3, …, an }

으로 쓸 수 있다. 각 i에 대하여 A∖{a i }는 유한집합

이므로 폐집합이다. 따라서 U=(A∖{ai })c는 개집합이

다. 여기서 (U∖{a i })∩A=φ이므로 ai는 A의 집적

점이 아니다. 즉 A의 원소중에는 A의 집적점이 존재

하지 않는다.

이제 x∈X∖A라고 하자. 그러면 (A∖{a 1 })c는 개집

합이다. 또한 X가 T 1 -공간이므로

x∈H , a 1 /∈H

인 개집합 H가 존재한다. G=H∩(A∖{a 1 })c라고 하

면 G는 개집합이고 x∈G이다. 그러나 G∩A=φ이므

로 x는 A의 집적점이 아니다.

따라서 A는 집적점을 갖지 않는다.

30. 집합 X={a, b, c, d } 위의 위상공간 (X, T )에 대

하여 T={X, φ, {a }, {b }, {c }, {d }, … }일 때 다음

물음에 답하시오.

(1) 위상공간 (X, T )가 T 1 -공간일 때 원소가 3개인

개부분집합을 구하시오.

(2) 위상공간 (X, T )가 R 1 -공간이 되도록 하는 최소

한의 위상 T에 대하여 모든 폐집합을 구하시오.

[풀이 ] (1) 위상 T가 X의 모든 단원부분집합을 포함

하므로 원소가 3개인 개집합은

{a, b, c } , {a, b, d } , {a, c, d } , {b, c, d }

가 된다.

(2) X가 T 1 -공간일 필요충분조건은 X의 모든 단원부

분집합이 폐집합이 되는 것이다. 그런데 유한개의 폐

집합의 합집합은 폐집합이므로 X의 모든 부분집합은

폐집합이 된다.

31. 위상공간 X가 점열컴팩트이고 A가 X의 폐부분집합

일 때 A는 점열컴팩트임을 보이시오.

[풀이 ] {an }이 A상에서 정의된 수열이라고 하자. 그

러면 {an }의 극한점 p∈X가 존재한다.

여기서 p /∈A라고 가정하자. 그러면 Ac는 개집합이므

로 {an }의 유한개를 제외한 모든 항이 Ac에 포함된다.

그런데 {an }의 모든 항은 A의 원소이므로 이것은 모

순이다. 따라서 p∈A이므로 A는 점열컴팩트이다.

- 72 -

32. 거리공간은 T 4 -공간임을 증명하여라.

[풀이 ] (X, d )가 거리공간이고 ℑ가 d에 의하여 유

도된 위상이라고 하자.

서로 다른 x, y∈X와 ε=d (x, y )에 대하여

U=B (x, ε ) , V=B (y, ε )

이라고 하자. 그러면 U , V는 서로소인 개집합이고

x∈U , y∈V이므로 (X, ℑ)는 T 1 -공간이다.

이제 E , F가 서로소인 두 폐집합이고 x∈E라고 하자.

그러면 양수 ε x가 존재하여 B (x, ε x )∩F=φ이다.

∵ 만약 임의의 양수 ε에 대하여 B (x, ε )∩F /=φ라

고 하면 x는 F의 집적점이 된다. F는 폐집합이므로

모든 집적점을 포함한다. 따라서 x∈F가 되는데 이는

모순이다.

또한 양수 δ y가 존재하여 B (x, δ y )∩E=φ이다.

U= ∪x∈EB (x, 12 ε x ) , V= ∪y∈F B (y,

12δ y )

라고 하면 U , V는 서로소인 개집합이다.

∵ 만약 z∈U∩V라고 하면 a∈E , b∈F가 존재하여

z∈B (a, 12 ε a )∩B (b,12δ b )

이고 d (a, b ) < (ε a+δ b)/2이다. 이것은

a∈B (b, 12 δ b ) 또는 b∈B (a,12ε a )

를 의미하므로 모순이다. 따라서 U∩V=φ이다.

그리고 정의에 의하여 E⊆U , F⊆V이다. 즉 X는 정

규공간이다. 따라서 X는 T 4 -공간이다.

33. 위상공간 X , Y에 대하여 f :X → Y가 연속이고 X

가 연결이면 Z= f (X )도 연결임을 보여라.

[풀이 ] f가 연속이므로 치역을 Z로 축소한 함수

g :X → Z

도 연속이며 전사이다. Z가 연결이 아니라고 가정하자.

그러면 공집합이 아니고 서로소인 개집합 A , B가 존재

하여 Z=A∪B , A∩Z /=φ , B∩Z /=φ가 된다. 그러므

로 g-1(A) , g -1(B)는 X에서의 개집합이고

g-1(A)∩g-1(B)= g-1(A∩B)=g-1(φ)=φ

가 되어 서로소이다. 또한 g가 전사이므로 g-1(A)와

g-1(B)는 공집합이 아니다. 왜냐하면, g-1(A)=φ라

고 가정하면 A= g(g-1(A))=g(φ)=φ가 되어 모순

이기 때문이다. 그리고

X=g-1(Z )=g-1(A∪B)=g-1(A)∪g-1(B)

가 되므로 X는 불연결공간이 된다. 이것은 모순이다.

따라서 Z는 연결공간이다.

34. X가 공집합이 아닌 두 개집합 C , D에 의하여 분할

된다고 하자. 만약 Y가 X의 연결부분집합이면 Y는

C와 D 중 어느 한쪽에 완전히 포함됨을 보여라.

[풀이 ] C와 D가 X에서 개집합이므로 두 집합

C 1=C∩Y , D 1=D∩Y

은 Y에서 개집합이고 서로소이다. 또한

C 1∪D 1=Y

가 된다. 만약 C 1과 D 1이 모두 공집합이 아니라고 가

정하면 Y는 연결집합이 아니게 되므로 모순이다. 따라

서 C 1과 D 1 중 하나는 공집합이다.

C 1이 공집합이면 Y=D 1이므로 Y⊆D이다.

D 1이 공집합이면 Y=C 1이므로 Y⊆C이다.

따라서 Y는 C , D 중 한쪽에 완전히 포함된다.

35. 위상공간 X의 부분공간 A가 연결공간이면 A도 연

결공간임을 증명하여라.

[풀이 ] A가 연결이 아니라고 가정하자. 그러면 공집합

이 아니고 서로소인 두 개집합 C , D가 존재하여

A=C∪D (#)

이다. 그런데 A⊆A이고 A가 연결이므로 A⊆C이거

나 또는 A⊆D이다. 일반성을 잃지 않고 A⊆C라고 하

자. 여기서 C⊆Dc이고 Dc는 폐집합이므로 A⊆Dc이

다. 그런데 (#)이 성립하므로 A⊆C이다. 이로써 D=φ

가 되어 모순이다. 따라서 A는 연결이다.

36. 위상공간 X , Y에 대하여 f :X →Y가 연속이고 X

가 컴팩트이면 f (X )도 컴팩트임을 보여라.

[풀이 ] C={Uj | j∈J }가 f (X )의 개덮개라고 하자.

그러면 f가 연속이므로 f -1(Uj )는 X에서 개집합이고

X= f-1(f (X ))⊆f

-1(∪j∈JUj )= ∪j∈Jf-1(Uj )

이므로 { f-1(Uj ) | j∈J }는 X의 개덮개가 된다. X가

컴팩트이므로 유한부분덮개 {f-1(Ui ) | 1≦ i≦n }이 존

재한다. 그러면 임의의 x∈X에 대하여 적당한 i가 존

재하여 x∈f -1(Ui )이고 f (x) ∈Ui이다. 따라서

f (X )⊆∪n

i=1Ui

이므로 {Ui | 1≦ i≦n }은 f (X )의 유한부분덮개가 된

다. 따라서 f (X )는 컴팩트이다.

- 73 -

37. 위상공간 X가 T 2 -공간이고, X의 부분집합 Y가 컴

팩트이면 S는 폐집합임을 증명하여라.

[풀이 ] Y=X이면 Y는 명백히 컴팩트이다.

이제 Y /=X이고 x 0∈X∖Y라고 하자. 그러면 Y의

각 점 y에 대하여 x 0 /= y이므로 서로소인 x 0의 근방

U x 0와 y의 근방 Vy가 존재한다. 여기서

{Vy |y∈Y }

는 X에서의 개집합에 의한 Y의 덮개가 된다. Y가 컴

팩트이므로 유한부분덮개 {V y 1, V y 2, …, V yn}이 존재

한다. 이 때 각 V yi에 대응하여 V yi∩U yi=φ가 되는

x 0의 근방 Y yi를 택하면

V=V y 1∪V y 2∪…∪V yn

은 개집합이며 Y를 포함하므로 Y의 근방이 된다. 또

U=U y 1∩U y 2∩…∩U yn

은 개집합이며 x 0를 포함하므로 x 0의 근방이 된다. 여

기서 U , V는 서로소이므로

x 0∈U⊆X∖Y

가 되어 X∖Y는 개집합이고 Y는 폐집합이다.

38. 다음 두 도형이 위상동형인지 밝히고 그 이유를 설명하

시오.

[풀이 ] 왼쪽 도형은, 도형 위에 있지 않은 서로 다른 임

의의 두 점에 대하여 적당한 곡선으로 도형을 지나지 않

게 이을 수 있다.

그러나 오른쪽 도형은 점 P와 Q를 잇는 임의의 곡선이

도형을 지난다. 따라서 왼쪽 도형은 평면을 분할하지 않

지만 오른쪽 도형은 평면을 분할하므로 두 도형은 위상

동형이 아니다.

39. 다음 두 도형이 위상동형인지 밝히고 그 이유를 설명하

시오.

[풀이 ] 두 도형이 위상동형이라고 가정하자. 그리고 아

래 그림과 같이 점 P를 택하자.

그러면 점 P에 대응되는, 오른쪽 도형의 점이 존재한다.

그런데 점 P를 제거하면 왼쪽 도형은 네 개의 도형으로

분할되지만, 오른쪽 도형은 어떤 점을 제거해도 네 개의

도형으로 분할되지 않는다. 따라서 두 도형은 위상동형이

아니다.

- 74 -

선형대수학 | Linear Algebra

1. 임의의 정사각행렬 A는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로

표현될 수 있음을 증명하여라.

[풀이 ] 행렬 A에 대하여

B=12(A+At ) , C=

12(A-At )

라고 하자. 그러면

Bt=12(A+A

t)t=12{At+(At) t }

=12(At+A)=B ,

Ct=12(A-A)

t=12{At-(At) t }

=12(At-A)=-C

이므로 B는 대칭행렬이고 C는 교대행렬이다. 또한

B+C=12(A+At)+

12(A-At)=A

이므로 A는 대칭행렬 B와 교대행렬 C의 합으로 표현

된다.

2. 크라메르 공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.

{3x+2y+4z=12x-y+z=0x+2y+3z=1

[풀이 ] 주어진 연립방정식을 행렬로 표현하면

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

3 2 42 -1 11 2 3

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

xyz

ꀍ

ꀙ

︳︳︳=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

101

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. 따라서 크라메르 공식에 의하여 다음을 얻는다.

x=

︳

︳

︳︳︳

1 2 40 -1 11 2 3

︳

︳

︳︳︳

︳

︳

︳︳︳

3 2 42 -1 11 2 3

︳

︳

︳︳︳

=-15

, y=

︳

︳

︳︳︳

3 1 42 0 11 1 3

︳

︳

︳︳︳

︳

︳

︳︳︳

3 2 42 -1 11 2 3

︳

︳

︳︳︳

=0 ,

z=

︳

︳

︳︳︳

3 2 12 -1 01 2 1

︳

︳

︳︳︳

︳

︳

︳︳︳

3 2 42 -1 11 2 3

︳

︳

︳︳︳

=25

.

3. 정사각행렬 A=( a bc d )가 가역이기 위한 필요충분조건은 ad-bc /=0임을 보여라.

[풀이 ] 먼저 ad-bc /=0라고 가정하자.

A'=1

ad-bc (d -b

-c a )라고 두면 AA'= I가 되어 A는 가역행렬이다.

이제 A가 가역행렬이라고 가정하자.

만약 결론에 반하여 ad-bc=0이라면

B=( d -b-c a )

에 대하여

BA=( d -b-c a )(

a bc d )= (

0 00 0 )

이 된다. 그런데

B=B(AA-1)=(BA)A-1=OA-1=O

이므로 a= b= c= d=0이 된다. 따라서 A=O이다.

이것은 O=OA-1=AA-1= I라는 사실에 모순이다.

따라서 ad= bc /=0이다.

4. 벡터공간 V에 대하여 U , W를 V의 부분공간이라고

하자. V=U+W일 때 임의의 v∈V에 대하여

v=u+w ( u∈U, w∈W )

로 유일하게 표현될 필요충분조건은 U∩W={0 }임을

증명하여라.

[풀이 ] 먼저 임의의 v∈V가 v=u+w로 유일하게 표

현된다고 가정하자. 그리고 v∈U∩W라고 하자.

먼저 v∈U이므로 0∈W에 대하여 v= v+0이다. 또한

v∈W이므로 0∈U에 대하여 v=0+v이다. 따라서

표현의 유일성에 의하여 v=0+0=0이다.

역으로 U∩W={0 }라고 가정하자. 그리고 v∈V에 대

하여 u 1, u 2∈U , w 1, w 2∈W이 존재하여

v=u 1+w 1 , v=u 2+w 2

라고 하자. 그러면 u 1+w 1=u 2+w 2이므로

u 1-u 2=w 2-w 1∈U∩W={0 }

가 되어 u 1=u 2 , w 1=w 2가 된다. 따라서 U , W의

원소의 일차결합으로 v를 표현하는 형태는 유일하다.

5. 벡터공간 V가 함수 f :ℝ→ℝ 전체집합일 때 세 벡터

f ( t )= sin t , g( t )= cos t , h( t )= t

가 V에서 일차독립임을 보여라.

[풀이 ] 세 실수 a , b , c에 대하여

af+bg+ch=0

이라고 하자. 이것을 다시 쓰면

a sin t+b cos t+c t=0 (1)

이다. 양변을 두 번 미분하면

-a sin t-b cos t=0 (2)

이 된다.

- 75 -

다시 또 미분하면

-a cos t+bsin t=0 (3)

을 얻는다. (2) × sin t+ (3) × cos t를 정리하면 a=0을

얻는다. 이것을 (2)에 대입하면 bcos t=0인데 이것은 t

에 대한 항등식이므로 b=0을 얻는다. a= b=0을 다

시 (1)에 대입하면 c=0을 얻는다.

따라서 f , g , h는 일차독립이다.

6. 벡터공간 V가 함수 f :ℝ→ℝ 전체집합일 때

W={f∈V | f (7)= f (1) }

이 V의 부분공간임을 보여라.

[풀이 ] 임의의 f, g∈W와 임의의 a, b∈ℝ에 대하여

f (7)= f (1) , g (7)= g (1)

이 성립한다. 따라서

(af+bg )(7)=af (7)+bg(7)= af (1)+b g (1)

=(af+bg )(1)

이 성립하므로 af+bg∈W이다.

따라서 W는 V의 부분공간이다.

7. 벡터공간 ℝ 4의 부분공간

V={ (x, y, z, w ) |x+y+z+3w=0, x=w }

W=< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1)>

에 대하여 V+W와 V∩W이 기저를 구하여라.

[풀이 ] 먼저 V의 기저를 구하자.

x+y+z+3w=0 , x=w

에서 y+z+4w=0을 얻고, 여기서

y=-z-4w , x=w

이므로 임의의 (x, y, z, w )∈V에 대하여

(x, y, z, w)= (w, -z-4w, z, w)

= z(0, -1, 1, 0)+w(1, -4, 0, 1)

이다. 따라서 { (0, -1, 1, 0), (1, -4, 0, 1)}은 V의

한 기저이다.

이제 V+W의 기저를 구하기 위해 앞서 구한 V의 기

저와 W의 기저의 합집합의 일차독립성을 판별하자.

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

1 -4 0 10 -1 1 01 1 0 00 0 1 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳∼

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

1 -4 0 10 -1 1 00 0 1 -10 0 0 4

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

이므로

β={ (1, -4, 0, 1), (0, -1, 1, 0),

(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1) }

의 원소는 일차독립이다. 따라서 β는 은 V+W의 한

기저이다.

끝으로 V∩W의 기저를 구하자. 임의의 v∈V∩W에

대하여 v∈W이므로

v= s (1, 1, 0, 0)+t (0, 0, 1, -1)=(s, s, t, - t )

이다. 또한 v∈V이므로

s+s+ t-3t=0 , s=- t

가 되어 t=0 , s=0을 얻는다.

따라서 v=(0, 0, 0, 0)이 되고 V∩W={0 }인 공간

이 된다. 따라서 공간 V∩W의 기저는 없다.

8. 실수집합 ℝ 위의 벡터공간 V에서 벡터

u 1 , u 2 , … , ur , v 1 , v 2 , … , v s

가 일차독립일 때

<u 1, u 2, …, ur>∩<v 1, v 2, …, v s>={0 }

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 W=<u 1, …, ur>∩<v 1, …, v s>라고 하

면 자명하게 W ⊇{0 }이다.

이제 v∈W라고 하자. 그러면 실수 c i들과 di들이 존재

하여

v= c 1u 1+c 2u 2+…+crur ,

v= d 1v 1+d 2v 2+…+dsv s

를 만족한다. 이 둘을 연립하면

c 1u 1+…+crur+(-d 1 )v 1+…+(-ds)v s=0

을 얻는다. 여기서 ui들과 v i들이 일차독립이므로

c 1= c 2=…= cr= d 1= d 2=…=ds=0

을 얻는다.

따라서 v=0으로서 v∈{0 }이므로 W⊆{0 }을 얻는다.

이로써 W={0 }임을 증명하 다.

9. 일차독립인 벡터 u , v , w에 대하여 다음 세 벡터

u+v-2w , u-v-w , u+w

의 일차독립성을 판별하여라.

[풀이 ] V=<u, v, w>라고 하면 {u, v, w }는 V의

생성원이 된다. 여기서

v 1=1u+1v+(-2)w ,

v 2=1u+(-1)v+(-1)w ,

v 3=1u+0v+1w

라고 하자. 행렬

A=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 1 -21 -1 -11 0 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

에 대하여 det(A)=-5 /=0이므로 A의 행공간의 차

원은 3이다. 따라서 V가 3차원이므로 {u, v, w }는

일차독립이다.

- 76 -

10. 다음 연립방정식의 해공간의 차원을 구하여라.

{2x 1+2x 2-x 3+x 5=0-x 1-x 2+2x 3-3x 4+x 5=0x 1+x 2-2x 3-x 5=0x 3+x 4+x 5=0

[풀이 ] 주어진 연립방정식을 AX=0이라 하면

A=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

2 2 -1 0 1-1 -1 2 -3 11 1 -2 0 -10 0 1 1 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

이다. 여기서

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

2 2 -1 0 1-1 -1 2 -3 11 1 -2 0 -10 0 1 1 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳∼

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 -2 0 -10 0 1 1 10 0 0 -3 00 0 0 0 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

이므로 rank(A)=3이다. 따라서 AX=0의 해공간의

차원은 5- rank(A)=2이다.

11. 벡터공간 V , W와 선형사상 T :V→ W에 대하여

dimV= dim ( imT )+ dim ( kerT )

임을 증명하여라.

[풀이 ] 선형사상 T는 준동형사상이고 V , W는 덧셈에

대한 가환군이므로 제 1 동형정리에 의하여

V/kerT≅ imT

이다. 따라서 dim (V/kerT )= dim ( imT )이고 또한

dim (V/kerT )= dimV- dim ( kerT )

이므로 두 등식으로부터

dimV= dim ( imT )+ dim ( kerT )

을 얻는다.

12. 이차 정사각행렬의 선형공간 V에서 선형사상 T가

T(A)=At+A

로 정의되었을 때 T의 공간과 차원을 구하여라.

[풀이 ] 행렬 A=( a bc d )에 대하여

At+A=( 2a b+cb+c 2d )

이다. 따라서 공간은

kerT={A∈V |T(A)=0 }

={ ( a bc d ) | 2a=0, b+c=0, 2d=0 } ={ ( 0 -cc 0 ) | c∈ℝ } ={c( 0 -11 0 ) | c∈ℝ }이고 { ( 0 -11 0 ) }는 kerT의 한 기저이다.

따라서 dim ( kerT )=1이다.

13. 두 벡터공간 V와 W가 n차원 실벡터공간이라고 하자.

선형사상 L :V → W에 대하여 kerL={0 }이면 L은

동형사상임을 보여라.

[풀이 ] L이 전단사임을 보이자.

u, v∈V에 대하여 L(u)=L(v)라고 가정하자. 그러면

L(u-v)=L(u)-L(v)=0

이므로 u-v∈kerL={0 }이어서 u-v=0이다. 따라

서 L은 단사이다. 또한 dim ( kerL)=0이므로

dimV= dim ( ImL )+ dim ( kerL )= dim ( ImL )

이고 dim ( ImL )=n= dimW이므로 L은 전사이다.

따라서 L은 전단사이므로 동형사상이다.

14. 벡터공간 ℝ 3의 기저 S={v 1, v 2, v 3 }에 대하여

v 1= (1, 2, 1) , v 2= (0, 1, 2) , v 3= (0, 2, -1)

일 때 S에 관한 벡터 v=(4, -1, 3)의 좌표벡터를

구하여라.

[풀이 ] [v ]S=(a, b, c)라고 하면

v=av 1+bv 2+cv 3

이므로 다음 연립방정식을 얻는다.

{a=42a+b+2c=-1a+2b-c=3

이것을 풀면 a=4 , b=-115

, c=-175를 얻는다.

따라서 [v ]S=(4, - 115 , -175 )이다.

[다른 풀이 ] ℝ 3의 표준 기저 {e 1, e 2, e 3 }를 S에 대

응시키는 선형변환 T의 표현행렬을 구하면

T=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 0 02 1 21 2 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. 여기서 T의 역행렬을 구하면

T-1=15

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

5 0 0-4 1 2-3 2 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. [v ]S=(a, b, c)라고 하면

T(v)=T(a, b, c)=aT(e 1)+aT(e 2)+aT(e 3)

=av 1+bv 2+cv 3

=(4, -1, 3)

이므로

(a, b, c)=T-1(4, -1, 3)=15(4, -11, -17)

이다. 따라서 [v ]S=(4, - 115 , -175 )이다.

- 77 -

15. 벡터공간 ℝ 3의 표준기저 {e 1, e 2, e 3 }를 차례대로

(3, 1, -1) , (-1, -1, 2) , (0, 1, -1)

에 대응시키는 선형변환 T에 대하여 kerT의 차원을

구하여라.

[풀이 ] ImT={T(e 1), T(e 2), T(e 3) }이므로

dim ( ImT )= rankꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

T(e 1)T(e 2)T(e 3)

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳= rank

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

3 1 -1-1 -1 20 1 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

= rankꀌ

ꀘ

︳︳︳

3 1 -10 -2 50 0 3

ꀍ

ꀙ

︳︳︳=3

이다. 그런데

dimV= dim ( ImT )+ dim ( kerT )

이므로 dim ( kerT )=3-3=0이다.

[다른 풀이 ] T가 선형사상이므로 다음이 성립한다.

T(x, y, z)=T(xe 1+ye 2+ze 3)

= x(3, 1, -1)+y(-1, -1, 2)+z(0, 1, -1)

=(3x-y, x-y+z, -x+2y-z) .

그런데 kerT={ (x, y, z) |T (x, y, z)= (0, 0, 0) }이

므로 kerT의 차원은

{3x-y=0x-y+z=0-x+2y-z=0

을 만족하는 일차독립인 벡터의 개수이다. 이 연립방정식

을 풀면 x= y= z=0이므로

dim ( kerT )= dim {0 }=0

을 얻는다.

16. 벡터공간 V를 2차 이하의 다항식들의 집합이고 선형

사상 T가 T (P (x))= xP'(x)로 정의되었다고 하자.

벡터공간 V의 두 기저

B={x 2, x, 1 } , E={1, 1+x, 1+x+x 2 }

에 대하여 행렬 [T ]BB와 [T ]EE를 구하여라.

[풀이 ] 먼저 [T ]BB를 구하자.

T(x 2)=2x 2+0x+0⋅1 ,

T(x)=0x 2+1x+0⋅1 ,

T(1)=0x 2+0x+0⋅1

이므로 [T ]BB=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

2 0 00 1 00 0 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳이다.

(2) 다음으로 [T ]EE를 구하자.

T(1)=0⋅1+0(1+x)+0(1+x 2) ,

T(1+x)= (-1)⋅1+1(1+x)+0(1+x+x 2) ,

T(1+x+x 2)= (-1)⋅1+(-1)(1+x)

+2(1+x+x 2)

이므로 [T]EE=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

0 -1 -10 1 -10 0 2

ꀍ

ꀙ

︳︳︳이다.

17. 벡터공간 V의 두 기저

E={e 1, e 2, e 3, e 4 } , F={ f 1, f 2, f 3, f 4 }

에 대하여

f 1= e 1-2e 2+e 3+e 4 , f 2= e 1+e 3-3e 4 ,

f 3= e 3+5e 4 , f 4= e 4

의 관계가 성립한다. 선형사상 T가 V 위에서

T(e 1)=2e 1-3e 2+e 3 , T(e 2)=4e 1-5e 4 ,

T(e 3)= e 1+4e 3 , T(e 4)=5e 1+e 2-e 4

를 만족할 때 [T ]FE를 구하여라.

[풀이 ] 기저 E의 원소를 순서대로 기저 F의 원소에

대응시키는 추이행렬 P를 구하면

P=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 0 0-2 0 0 01 1 1 01 -3 5 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

이다. 또한 선형사상 T의 표현행렬 [T ]EE를 구하면 다

음과 같다.

[T ]EE=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

2 4 1 5-3 0 0 11 0 4 00 -5 0 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

따라서

[T ]FF=P-1[T ]EEP=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

0 -10 26 5-2 -23 57 117 37 -79 -10

-32 -246 535 107

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

을 얻는다.

18. 선형사상 T :M 2(ℝ) →ℝ3가

T ( a bc d )= (a+c, b-c, a-b+2c )로 정의되었을 때 T의 상과 핵의 차원을 구하여라.

[풀이 ] M 2(ℝ)의 표준기저

B={ ( 1 00 0 ), (0 10 0 ), (

0 01 0 ), (

0 00 1 ) }

와 ℝ 3의 표준기저

E={ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

에 대하여, B와 E에 관한 T의 행렬은

[T ]=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 0 1 00 1 -1 01 -1 2 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. 따라서 dim ( ImT )= rank[T ]=2이다. 또한

dim ( kerT )= dimM 2(ℝ)- rank[T ]=2

을 얻는다.

- 78 -

19. 두 행렬 A , B이 닮음일 때, 즉 가역행렬 P가 존재하

여 P-1AP=B일 때, 두 행렬의 고유치와 고유벡터는

서로 같음을 증명하여라.

[풀이 ] | λI-B |= |λP-1IP-P-1AP |

=|P-1(λI-A)P |= |P-1|| λI-A ||P |

=|P-1||P || λI-A |= |λI-A |

이므로 A와 B의 고유다항식이 일치한다. 따라서 두 행

렬의 고유치와 고유벡터도 각각 같다.

20. 행렬 A=( 1 23 2 )의 고유다항식, 고유치, 고유공간, 고

유벡터, 각 고유치에 대한 대수적․기하적 중복도를 구하

여라.

[풀이 ] A의 고유다항식은

p( t )= det( tI-A)= ( t+1)( t-4)

이므로 A의 고유치는 -1 , 4이고 각각의 대수적 중복

도는 1이다.

먼저 1에 대응되는 A의 고유공간은

ker (-I-A)= { ( xy ) |y=-x }=< (1

-1 )>이고 -1에 대응되는 A의 고유벡터는 (1, -1)이다.

또한 -1의 기하적 중복도는

dim ( ker (-I-A))=1

이다. 다음으로 4에 대응되는 A의 고유공간은

ker (4I-A)= { ( xy ) |y=32x }=< ( 23 )>

이고 4에 대응되는 A의 고유벡터는 (2, 3)이다.

또한 4의 기하적 중복도는

dim ( ker (3I-A))=1

이다.

21. 다음 행렬 A의 최소다항식을 구하여라.

A=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

2 -1 30 -1 00 0 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

[풀이 ] A의 고유다항식을 구하면

p(λ)= |λI-A |= (λ-2)(λ+1)2

이다. 여기서

p 1(λ)=(λ-2)(λ+1) ,

p 2(λ)=(λ-2)(λ+1)2

이라고 두면 케일리-헤 턴의 정리에 의하여

p 2(A)= 0 , p 2(A)=0

이다. 만약 p 1(A)= 0이면 A /=-I , A /=2I가 되므로

p 1(λ)가 행렬 A의 최소다항식이 된다. 또한

p 1(A)= (A-2I )(A+ I )

=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

0 -1 30 -3 00 0 -3

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

3 -1 30 0 00 0 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

0 0 00 0 00 0 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이므로 A의 최소다항식은 (λ-2)(λ+1)이다.

22. 다음 주어진 행렬 A의 고유치를 구하고 대수적 중복

도와 기하적 중복도를 구하여라.

A=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

-1 0 00 0 -11 1 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

[풀이 ] 행렬 A의 고유치를 λ라고 하면

| λI-A |=︳

︳

︳︳︳

λ+1 0 00 λ 1

-1 -1 λ

︳

︳

︳︳︳

=(λ+1)(λ+ i )(λ- i )=0

이므고 고유치는 -1 , i , - i이고 이들의 위수는 1이

다. 그러므로 이들 고유치의 대수적 중복도는 1이다.

이들 고유치에 해당하는 고유벡터를 구하자.

먼저 λ=-1일 때

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

0 0 00 -1 1

-1 -1 -1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳

x 1x 2x 3

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳=0

을 풀면 x 1=-2 , x 2= x 3=1이므로 고유벡터는

v 1=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

-211

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. 같은 방법으로 i , - i에 대한 고유벡터를 구하면

v 2=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

01- i

ꀍ

ꀙ

︳︳︳, v 3=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

01i

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다. 각 고유치에 대한 고유공간은 일차독립인 벡터 한

개씩으로 구성되므로 기학적 중복도는 각각 1이다.

23. 행렬 A=( 1 23 2 )에 대하여 A10을 구하여라.

[풀이 ] 먼저 A를 대각화하자. A의 고유치는

λ1=-1 , λ2=4

이다. λ 1=-1에 대하여

( 1 23 2 )(xy )= (-1) (

xy ) ⇔ x+y=0

⇔ ( xy )= x (1

-1 )이므로 -1에 대응되는 A의 고유벡터는 ( 1

-1 )이다.

또한 λ2=4에 대하여 다음이 성립한다.

( 1 23 2 )(xy )=4(

xy ) ⇔ 3x-2y=0

⇔ ( xy )=12x ( 23 ) .

- 79 -

따라서 4에 대응되는 A의 고유벡터는 ( 23 )이다.

이제 A의 대각화행렬 P를 구하면

P=( 1 2-1 3 )

이고 A를 대각화하면

P-1AP=(-1 00 4 )

이다. 여기서

P-1A10P=(P

-1AP)

10= ( (-1)

10 00 410 )

이므로

A10=P ( (-1)

10 00 410 )P

-1

을 얻는다.

24. 서로 다른 고유치와 고유벡터의 일차독립 n차원 벡터

공간 V 위의 선형변환 T가 서로 다른 고유치 λ i들을

가지면 이에 대응하는 고유벡터 v i들은 서로 일차독립임

을 보여라.

[풀이 ] 수학적 귀납법으로 증명하자.

n=1일 때 고유벡터 v 1은 아닌 벡터이므로 일차독

립이다. 이제 n= k일 때 고유벡터 v 1 , …, vk가 일차

독립이라고 가정하자. 일차결합에 의한 등식

a 1v 1+a 2v 2+…+akv k=0 (1)

의 양변에 λk+1을 곱하면

a 1λ k+1v 1+a 2λ k+1v 2+…+akλ k+1v k=0 (2)

를 얻는다. 또한 선형변환 T에 대하여

T (a 1v 1+a 2v 2+…+akvk=0)=T (0) ,

a 1T(v 1)+a 2T(v 2)+…+ak+1T(vk+1)=0

이므로

a 1λ 1v 1+a 2λ 2v 2+…+ak+1λ k+1v k+1=0 (3)

을 얻는다. (2)- (3)을 계산하여 정리하면

a 1(λ k+1-λ1)v 1+…+ak(λ k+1-λ k)vk=0

이고 각 λ i가 서로 다르며 v 1 , v 2 , … , vk가 일차독립

이므로 a 1= a 2=…= ak=0이다. 이를 (1)에 대입하면

ak+1vk+1=0이므로 ak+1=0을 얻는다.

따라서 a 1= a 2=…=ak+1=0이므로 n= k+1일 때

v 1 , v 2 , … , vk+1도 일차독립이다.

따라서 수학적 귀납법에 의하여 증명이 완료되었다.

25. 다음 행렬 A의 대각화행렬 P를 구하고 P-1AP를

구하여라.

A=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

2 1 11 2 11 1 2

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

[풀이 ] A의 고유다항식을 구하면

p ( t )= det( tI-A)= ( t-1)2 (t-4)

이다. 따라서 A의 고유치는 1 , 4이고 1의 대수적 중

복도는 2 , 4의 대수적 중복도는 1이다.

ker (A-I )=<ꀌ

ꀘ

︳︳︳

10

-1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳,ꀌ

ꀘ

︳︳︳

01

-1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳>이므로 1의 기하적 중복도는 2이다. 또한

ker (A-4I )=<ꀌ

ꀘ

︳︳︳

111

ꀍ

ꀙ

︳︳︳>이므로 4의 기하적 중복도는 1이다. 각 고유치의 기하

적 중복도와 대수적 중복도가 각각 같으므로 A는 대각

화 가능이다. 대각화행렬 P를 구하면

P=ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 0 10 1 1

-1 -1 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이고 P-1AP를 구하면

P-1AP=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳

1 0 00 1 00 0 4

ꀍ

ꀙ

︳︳︳

이다.

26. 내적공간 V의 두 벡터 u , v에 대하여 두 부등식

|u⋅v |≦|u | |v | , |u+v |≦|u |+|v |

이 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 |u⋅v |≦|u | |v |이 성립함을 증명하자.

만약 u=0 또는 v=0이라면 당연히 부등식이 성립한

다. 이제 u /=0 , v /=0이라고 하자. 임의의 실수 k에

대하여

0≦ (u-kv)⋅(u-kv)= |u | 2-2k(u⋅v)+k 2|v |

이다. 이 부등식이 임의의 k에 대하여 성립하려면, 위

식의 우변이 만드는 k에 관한 2차식의 판별식 D에 대

하여 D≦0을 만족해야 하므로

(u⋅v)2-|u |

2|v |

2≦0

이다. 따라서 |u⋅v |≦|u | |v |이고 a= kb일 때 등호가

성립한다. 또한

|u+v | 2= (u+v)⋅(u+v)= |u | 2+2(u⋅v)+|v | 2

≦|u | 2+2 |u | |v |+|v | 2= (|u |+|v |) 2

이므로 |u+v |≦|u |+|v |가 성립한다.

- 80 -

27. 다음과 같은 ℝ 4의 한 기저 {w 1, w 2, w 3, w 4 }로부터

정규직교기저를 구하여라.

w 1= (0, 2, 1, 0) , w 2= (1, -1, 0, 0) ,

w 3= (1, 2, 0, -1) , w 4= (1, 0, 0, 1)

[풀이 ] 그람 슈미트 직교화 과정을 이용하자.

먼저 직교기저를 구하면 다음과 같다.

v 1=w 1= (0, 2, 1, 0) ,

v 2=w 2- projw 2v 1=15(5, -1, 2, 0) ,

v 3=w 3- projw 3v 2- projw 3v 1=12(1, 1, -2, -2) ,

v 4=w 4- projw 4v 3- projw 4v 2- projw 4v 1

=445(1, 1, -2, 3) .

여기서 구한 직교기저 {v 1, v 2, v 3, v 4 }를 정규화한 기

저 {e 1, e 2, e 3, e 4 }의 원소를 나열하면 다음과 같다.

e 1=v 1|v 1|

= (0, 25 ,15, 0) ,

e 2=v 2|v 2|

= ( 530 ,-130,230, 0) ,

e 3=v 3|v 3|

= ( 110 ,110,-210,-210 ) ,

e 4=v 4|v 4|

= ( 115 ,115,-215,315 ) .

28. 실내적공간 V의 두 벡터 u , v에 대하여 |u |= |v |를

만족하면 u-v , u+v가 서로 수직임을 보여라.

[풀이 ] 내적의 성질에 의하여 다음 등식을 얻는다.

(u-v)⋅(u+v)=u⋅u+u⋅v-v⋅u-v⋅v

=u⋅u-v⋅v=|u | 2-|v | 2=0 .

따라서 u-v와 u+v는 서로 수직이다.

29. ℝ 2의 임의의 두 벡터 (x 1, x 2) , (y 1, y 2)에 대하여

< (x 1, x 2), (y 1, y 2) >= x 1y 1+x 2y 2

로 정의된 < , >는 ℝ 2상에서 내적이 됨을 증명하여라.

[풀이 ] 임의의 x, y, z∈ℝ 2에 대하여

x=(x 1, x 2) , y=(y 1, y 2) , z=(z 1, z 2)

으로 표현하자. 그리고 α가 임의의 실수라고 하자.

이제 < , >가 내적의 조건을 만족하는지 살펴보자.

(ⅰ) < x, y>= x 1y 1+x 2y 2= y 1x 1+y 2x 2= < y, x > .

(ⅱ) < x, y+z>= x 1(y 1+z 1)+x 2(y 2+z 2)

= x 1y 1+x 1z 1+x 2y 2+x 2z 2

=< x, y>+< x, z> .

(ⅲ) < αx, y>=ax 1y 1+ax 2y 2=α< x, y > .

(ⅳ) < x, x>= x21+x22≧0 ,

< x, x>= x21+x22=0 ⇔ (x 1, x 2)= (0, 0) .

따라서 < , >는 내적이다.

30. 벡터공간 V의 부분집합 E={v 1, …, vn }가 상호수직

이면 E는 일차독립임을 보여라.

[풀이 ] 스칼라 c i들에 대하여

c 1v 1+c 2 v 2+…+cnvn=0

이라고 하자. 그러면 임의의 i에 대하여

0 = v i⋅0 = v 1⋅ (c 1v 1+…+cnvn )

= c 1(v i⋅v 1)+…+c i (v i⋅vn)

= c i |v i |2

이다. 그런데 |v i |2 /=0이므로 c i=0이다. 따라서

c 1= c 2=…= cn=0

이므로 E는 일차독립이다.

- 81 -

복소해석학 | Complex Analysis

1. 임의의 복소수 a , b에 대하여 |a+b |≦|a |+|b |가

성립함을 증명하여라.

[풀이 ] |a+b | 2= (a+b) (a+b)= (a+b)( a+ b)

=|a | 2+|b | 2+ab+ ab=|a | 2+|b | 2+ab+ ab

=|a | 2+| b | 2+2Re(ab)≦|a | 2+|b | 2+2 |ab |

=|a | 2+|b | 2+2 |a ||b |= ( |a |+|b |) 2

이므로 |a+b | 2≦ ( | a |+|b |) 2이고 양변이 모두 음이

아닌 실수이므로 |a+b |≦|a |+|b |를 얻는다.

2. 다음 복소수의 주치(principal value)를 구하여라.

[ e2 (-1- 3 i )]3π i

[풀이 ] 지수함수와 로그함수의 정의를 이용하여 주어진

수를 변형하면 다음과 같다.

[ e2 (-1- 3 i )]3π i

= exp [ log { e2 (-1- 3 i )}3π i

] = exp [3π i log { e2 (-1- 3 i )}] .그런데 여기서

{ e2 (-1- 3 i )}= e exp { i (- 23 π+2kπ)}이므로

log { e2 (-1- 3 i )}= loge exp { i (- 23 π+2kπ)} =1+ i (- 23 π+2kπ )이다. 이로써

3π i log [ e2 (-1- 3i )]=3π i {1+ i (- 23 π+2kπ )} =3π i+2π2 ( k=0 )

이므로 다음을 얻는다.

[ e2 (-1- 3 i )]3π i

=e3πi+2π2

=-e2π2 .

따라서 주어진 복소수의 주치는 -e 2π2

이다.

3. 복소수 z와 컴팩트집합 A에 대하여 ρ :ℂ→ℝ를

ρ(z)= min {|x-z | |x∈A }

으로 정의하면 ρ는 평등연속임을 보여라.

[풀이 ] A가 컴팩트이므로 두 복소수 z 1 , z 2에 대하여

|z 1-z*1|=ρ(z 1) , |z 2-z

*2|=ρ(z 2)

인 두 점 z*1 , z*2가 A에 존재한다. 또한

ρ(z 1)= |z 1-z*1|≦ |z 1-z

*2|

가 성립한다.

따라서

| ρ(z 1)-ρ(z 2) |= | | z 1-z*1 |-| z 2-z

*2 | |

≦ | | z 1-z*2 |-| z 2-z

*2 | |

≦| (z 1-z*2)-(z 2-z

*2) |

=| z 1-z 2 |

이므로 다음을 얻는다.

| ρ(z 1)-ρ(z 2) |≦ | z 1-z 2 | (#)

이제 임의의 복소수 z 1 , z 2과 양수 ε이 주어졌다고 하

자. 그리고 0 < δ≦ε인 δ에 대하여 | z 1-z 2 | < δ라고

가정하자. 그러면 (#)에 의하여

| ρ(z 1)-ρ(z 2) |≦ | z 1-z 2 | < δ≦ε

이므로 | ρ(z 1)-ρ(z 2) | < ε이다. 따라서 ρ는 복소평면

전체에서 평등연속이다.

4. 다음과 같이 정의된 함수 f가 원점에서 극한값이 존재

하는지 밝혀라. 여기서 x , y는 실수이다.

f (x+ iy )= {x 2-3y 2

x 2+y 2+ i

4xy

x 2+y 2, x+ iy=0

0 , x+ iy /=0

[풀이 ] 원점에서 극한값이 존재한다고 가정하자. 그러면

원점에 이르는 경로에 관계없이 극한값이 일정하다.

경로 y=mx (단, m은 실수)에 대하여 원점에서 극한

을 구하면

limz→0f (z)= lim

x→0{x2(1-3m

2)

x2(1+m

2)+ i

x24m

x2(1+m

2) }

=1-3m

2

1+m2 + i

4m

1+m2

인데 이 값은 상수가 아니므로 가정에 모순이다. 따라서

주어진 복소함수는 0에서 극한값이 존재하지 않는다.

5. 복소함수 f가 개연결집합 D에서 해석적이고 | f (z) |가

상수함수이면 f (z)는 상수함수임을 보여라.

[풀이 ] 상수 c가 존재하여 | f (z) |≡c라고 하자.

만약 c=0이라면 당연히 f (z) ≡0이 되어 f (z)는 상

수함수가 된다.

이제 c > 0이라고 하자. f (z)=u(x, y )+ iv(x, y )에

대하여

{u (x, y )} 2+{v (x, y )} 2= c 2

가 성립한다. 양변을 x , y에 대하여 미분하면

uux+vvx=0 , uuy+vv y=0

을 얻는다. 여기서 코시-리만 방정식에 의하여

uux-vuy=0 , uuy+vux=0

을 얻는다.

- 82 -

여기서 uy를 소거하면

0=(u2+v

2)ux= c

2ux

이므로 ux=0이다. 같은 방법으로 uy= v x= v y=0을

얻는다. 따라서 f (z)=u+ iv는 상수함수이다.

6. 두 함수 u :ℝ 2→ℝ , v :ℝ 2→ℝ에 대하여

f (x+ iy)=u(x, y )+ iv(x, y )

로 정의된 복소함수 f가 해석적인 점에서

∂u∂x=∂v∂y

, ∂v∂x=-

∂u∂y

을 만족함을 증명하여라.

[풀이 ] f가 점 z에서 해석적이라고 하자. 해석적인 함

수는 미분 가능하므로 f는 z에서 미분 가능하며 따라서

일정한 편미분계수를 가진다.

먼저 실수축에서 f의 편도함수를 구하면

f '(x+ iy)= limh→0

u(x+h, y )-u (x, y )h

+ i limh→0

v (x+h, y )-v (x, y )h

=∂u∂x+ i∂v∂x=∂f∂x

이며 다음으로 허수축에서 f의 편도함수를 구하면

f '(x+ iy)= limh→0

u(x, y+h )-u (x, y )h

+ i limh→0

v (x, y+h )-v (x, y )h

=- i ( ∂u∂y + i∂v∂y )=- i

∂f∂y

이다. 이 때

f '(z)=∂u∂x+ i∂v∂x=- i

∂u∂y+∂v∂y

가 성립하므로 실부와 허부를 비교하면

∂u∂x=∂v∂y

, ∂v∂x=-

∂u∂y

을 얻는다.

7. 코시-리만 방정식이 함수 f가 한 점에서 미분가능하기

위한 충분조건은 아님을 보여라.

[풀이 ] 실수 x , y에 대하여

f (x+ iy )= {xy

x2+y

2 , z /=0

0 , z=0

라고 정의하자. 그러면

u (x, y )=xy

x2+y

2, v (x, y )=0

은 각각 f의 실부와 허부이다. 따라서

ux(0, 0)=uy(0, 0)= vx(0, 0)= vy(0, 0)=0

으로서 코시-리만 방정식을 만족한다.

이제 경로 h=m+ im을 택하여 m→ 0이라고 하면

f (0+h)-f (0)h

=f (m+ im)-f (0)

m+ im

=1

2(1+ i )m → ∞

이므로 f는 0에서 미분 불가능하다.

따라서 코시-리만 방정식은 한 점에서 미분가능하기 위

한 충분조건이 아니다.

8. 복소함수 f (x+ iy )=u (x, y )+ i v (x, y )가 해석적인

역에서 uxx+uyy=0 , vxx+v yy=0을 만족함을 보이

시오. 여기서 x , y는 실수이다.

[풀이 ] 먼저 f의 도함수를 구하면

f '(z)= f x(z)=- i f y(z)

로 표현된다. 각 편도함수를 다시 편미분하면

f ( 2)(z)=∂∂x (

∂f∂x )=

∂2f

∂x 2

f( 2)(z)=- i

∂∂y (- i

∂f∂y )=-

∂2f

∂y 2

이므로

∂2f

∂x 2+∂2f

∂y 2=0

을 얻는다. 이것을 실부와 허부를 분리하면

∂2u

∂x 2+∂2u

∂y 2=0 ,

∂2v

∂x 2+∂2v

∂y 2=0

을 얻는다.

9. 다음 조화함수의 조화공액을 구하여라.

u= Argz (-π < Arg z < π )

[풀이 ] 실수 x , y에 대하여 z= x+ iy라고 하면

u=Argz= tan -1yx

이다. 따라서 코시-리만 방정식에 의하여

ux=-y

x2+y

2 = vy , uy=x

x2+y

2 =-vx (#)

이다. vy를 y에 관하여 적분하면

v=-12log (x

2+y

2)+C (x)

이고 이것을 다시 x에 관하여 미분하면

vx=-x

x2+y

2 +C'(x)

이므로 (#)에 의하여 C'(x)=0이고 C'(x)=c이다.

따라서

v=-12log (x

2+y

2)+c =- log|z |+c

를 얻는다.

- 83 -

10. 다음 주어진 점 c를 중심으로 f (z)=5z-2z(z-1)

의 로

랑급수를 전개하시오.

(1) c=0 (2) c=1

[풀이 ] (1) f (z)=5z-2z(z-1)

=2-5zz

11-z

=( 2z -5)(1+z+z2+… )

=2z-3-3z-3z 2-… .

(2) f (z)=5(z-1)+3z-1

11-(1-z)

=(5+ 3z-1 ){1+(1-z)+(1-z)

2+(1-z) 3+… }

=3(z-1)-1+2-2(z-1)+2(z-1)2

-2(z-1)3+-… .

11. 다음의 특이점을 구하고 이를 분류하여라.

(1) f (z)=sinzz

(2) g (z)=1

z 2

(3) h (z)=cosz

z2sinz

[풀이 ] (1) limz→0

sinzz=1이므로 0은 f의 제거 가능한

특이점이다.

(2) limz→0|g (z) |=∞이고 lim

z→0(z-0)

2g (z)=1 /=0이

므로 0은 g의 위수 2인 극이다.

(3) limz→0|h (z) |=∞이고 lim

z→0z3g (z)=1이므로

0은 h의 위수 3인 극이다.

12. 다음 함수의 주어진 c를 중심으로 하는 로랑 전개를

구하시오. (단 |z-c | < 1 )

(1) 1

z(z+3)2, c=0

(2) sinzz-π

, c=π

[풀이 ] (1) 기하급수를 이용하여 다음을 얻는다.

1

z(z+3)2 =

1

z⋅32(1+z/3)

2 =1

9z(1+z/3)2

=19z (

11+z/3 )

2

=19z {1- z3 + z

2

3 2-z 3

3 3+-…}

2

=19z {1-

23z+13z 2-

427z 3+-…}

=19z-227+127z-

4243z2+…

(2) sinz의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

sinzz-π

=- sin (z-π)z-π

=-1z-π {

(z-π)1!

-(z-π)

3

3!+(z-π)

5

5!-+…}

=-1+(z-π)

2

3!-(z-π)

4

5!+(z-π)

6

7!-+…

13. 단극 z 0 , |z 0|= 1을 제외한 원판 |z | <R (R > 1 )에

서 f가 해석적일 때 전개식

f (z)=a 0+a 1z+a 2z2+…

에서 limn→∞(

anan+1 )= z 0임을 보이시오.

[풀이 ] 주어진 함수 f (z)=∑znzn은 1 < | z-z 0 | <R

에서 해석적이다. f가 z 0에서 단극을 가지므로

g (z)= f (z)-αz-z 0

로 정의된 g는 z= z 0에서 해석적으로 표현된다.

f (n)(z)=α(-1)n n!

(z-z 0 )n+1 +g

(n)(z) ,

f (n+1)(z)=α(-1)n+1 (n+1)!

(z-z 0 )n+2 +g (n+1)(z)

이므로

f (n)(0)=-αn!

zn+10

+g(n)(0) ,

f (n+1)(0)=-α (n+1)!

zn+20

+g(n+1)

(0)

이다. 따라서

limn→∞

anan+1

= limn→∞

f (n)(0)n!

f(n+1)

(0)(n+1)!

= limn→∞

(n+1)!n!

-αn!

zn+10

+g(n)(0)

-α(n+1)!

zn+20

+g (n+1)(0)

= limn→∞

{-αn!z 0+g(n)(0)z

n+20 }(n+1)!

{-α(n+1)!+g(n+1)

(0)zn+20 }n!

= limn→∞

-αz 0+g (n)(0)zn+20

n!

-α+g(n+1)

(0)zn+20

(n+1)!

=-αz 0-α

= z 0

14. 급수 ζ(z)= ∑∞

n=1

1

nz가 수렴하도록 하는 z의 범위를

구하여라.

[풀이 ] 복소수 z= x+ i y , x, y∈ℝ에 대하여 nz의

크기를 구하면 |nz |=nx이다.

- 84 -

따라서

∑∞

n=1|1

nz |= ∑∞

n=1

1

nx

이다. p -급수 판정법에 의하여 x > 1일 때에만 수렴하므

로 Re(z) > 1인 범위에서만 ζ(z)는 수렴한다.

15. 다음 주어진 무한급수가 평등수렴함을 보여라.

∑∞

n= 1

z2+!

nz+ 1

( 0 < ε≦ Re z≦R <∞ )

[풀이 ] 먼저 z= x+ iy에 대하여

| nz+1 |=| e ( z+1) logn |=| e ( x+ iy+1) logn |

=| e ( x+1) logn+ iy logn |

=| e ( x+1) logn || e iy logn |

=| e ( x+1) logn |=n ( x+1)≧n ε+1

이므로

| z2+1

nz+1 |≦ |z |

2+1

|nz+1|≦x2+y

2+1

nε+1 ≕Mn

이다. 따라서

∑∞

n=1|z2+1

nz+1 |≦ (x 2+y 2+1) ∑

∞

n=1

1

nε+1 = ∑

∞

n=1Mn

이고 ε+1 > 1이므로 p -급수 판정법에 의해 위의 오른

쪽 급수는 수렴한다.

따라서 바이에르슈트라스 M -판정법에 의하여 주어진 급

수는 평등수렴한다.

16. 복소함수 f가 단순연결 D에서 해석적이고 C가

D 내에 있는 단일폐곡선일 때 ⌠⌡Cf (z)dz=0임을 증명

하여라.

[풀이 ] 실수 x , y에 대하여

f (x+ iy )=u (x, y )+i v(x, y )

라고 하자. C의 내부와 경계를 포함하는 역을 E라고

하면 그린 정리에 의하여

⌠⌡Cf (z)dz=⌠⌡C

(u+iv)(dx+idy)

=⌠⌡C(u dx-vdy)+i⌠⌡C

(vdx+udy)

=⌠⌡⌠⌡E(-vx-uy)dxdy+i

⌠⌡⌠⌡E(ux-vy )dxdy

을 만족한다.

이 때 코시-리만의 방정식에 의해 위 적분은

⌠⌡⌠⌡E(-vx-(-vx))dxdy+i

⌠⌡⌠⌡E(ux-ux)dxdy

=⌠⌡⌠⌡E0dxdy+i⌠⌡

⌠⌡E0dxdy=0

으로 계산된다.

17. 복소평면상의 곡선 C가 z( t ) , a≦ t ≦b에 의하여 매

개화되고 C를 포함하는 역 D에서 f가 연속이라고

하자. 만약 F'(z) ≡ f (z)이면

⌠⌡Cf (z)dz=F (z(b))-F (z(a))

임을 증명하여라.

[풀이 ] 선적분의 정의에 의하여

⌠⌡Cf (z) dz=⌠⌡

b

af (z( t ))z'( t )dt

=⌠⌡

b

aF'(z ( t ))z'( t )dt

=⌠⌡

b

a

ddtF (z( t ))dt

=F (z(b))-F (z(a))

가 성립한다.

18. 복소평면의 한 역 D에서 연속인 함수 f가 D 내의

임의의 단일폐곡선 C에 대하여 ⌠⌡Cf (z)dz=0을 만족

하고 f ( i )=-3i일 때 다음 복소선적분값을 구하시오.

⌠⌡|z |=2

f (z)(z-i )

dz

[풀이 ] 모레라의 정리에 의하여 f는 |z |≦2에서 해석

적이다. 따라서 코시 적분공식을 이용하면

⌠⌡|z | =2

f (z)(z-i )

dz=2π i f ( i )=2π i f ( i )=6π

를 얻는다.

19. 곡선 C가 z( t )= (3cos t, 3sin t ) , (-π≦ t≦π)로

표현될 때 다음 물음에 답하여라.

(1) 곡선 C의 길이를 구하여라.

(2) 함수 f (z)=z

z에 대하여 ⌠

⌡Cf (z) dz를 구하여라.

(3) 함수 f (z)= z 2에 대하여 ⌠⌡Cf (z) dz를 구하여라.

(4) 함수 f (z)=1

z 2+13에 대하여 |⌠⌡C f (z) dz |이 유

계임을 보여라.

[풀이 ] (1) 정의에 의하여 곡선 C의 길이는

⌠⌡

b

ax '( t )

2+y '( t )

2dt=⌠⌡

b

a|z'( t ) |dt

=⌠⌡

π

-π3dt=6π .

(2) 곡선 C는 z=3e it으로 표현되고

z=3e- i t , dz=3ie itdt , f (z)=9e 2it

이므로

⌠⌡Cz

zdz=⌠⌡

2π

03e

3iti dt=e

3it |2π

0

=0 .

(3) dz=3ie itdt , z 2=9e 2it이므로

⌠⌡Cz2dz=⌠⌡

π

-π27e

2itieitdt=0 .

- 85 -

(4) 단일폐곡선 C : |z |=3에 대하여

|⌠⌡Cf (z)dz |≦⌠⌡C

1

13-|z |2 |dz |=

14⋅6π=

32π .

20. 선적분 ⌠⌡|z | = 2

(x2+7)e

2x

(z-3)(z+1)2 dz의 값을 구하여라.

[풀이 ] f (z)=(x 2+7)e 2x

z-3이라고 하면

⌠⌡|z | =2

(x2+7)e

2x

(z-3)(z+1)2 dz=

⌠⌡|z | =2

f (z)

(z+1)2 dz

이고 f는 |x |=2와 그 내부에서 해석적이다. 또한

f '(z)={2ze 2z+(z 2+7)2e 2z }(z-3)=(z 2+7)e 3z

(z-3)2

이므로 코시 적분공식에 의하여

⌠⌡|z |=2

f (z)

(z+1)2dz=⌠⌡|z | =2

f (z)

(z-(-1))2dz

=2π i f '(-1)=8πi

e 2.

21. 복소함수 f가 원 C : |z-z 0|= r를 포함하는 단순연

결 역 D에서 해석적이고 실수 M이 존재하여 z∈C

에 대하여 | f (z) |≦M가 성립할 때 다음 부등식을 증명

하여라.

| f(n)(z 0 ) |≦

n!M

rn

( n∈ℕ )

[풀이 ] 코시 적분공식에 의하여 다음이 성립한다.

| f(n)(z 0 ) |= |

n!2πi⌠⌡C

f (z)

(z-z 0 )n+1 dz |

≦n!2π⌠⌡C

M

|z-z 0|n+1 |dz |

=n!2π

M

rn+1 2πi=

Mn!

rn

22. 복소평면에서 해석적인 다항함수 f가

| f (z) |≦Mr 6 ( |z |≧ r > r 0 > 0)

을 만족하고 세 개의 중복도 2인 점 i , 3i , 5i를 갖

는 모닉 다항식으로 정의된다. 이 때 다음 복소 선적분값

을 구하여라.

⌠⌡|z | =2

1f (z)

dz

[풀이 ] 코시 부등식에 의하여

| f (n)(z 0 ) |≦n!Mr 6

rn, n∈ℕ

이므로 f (z)=anxn+an-1x

n-1+…+a 0에 대하여

|an |= | f(n)(z 0 )

n! |≦ M

rn-6

이다. 만약 n-6 > 0이면 limr→∞|an |= 0이다.

따라서 an /=0이면 n≦6이므로 f (z)는 6차 이하의

다항식이다. 그런데 f (z)는 중복도가 2인 세 개의 점

을 가지므로

f (z)= (z- i )2(z-3i )

2(z-5i )

2

이다. 따라서

1f (z)

=1

(z- i ) 2(z-3i ) 2(z-5i ) 2

은 |z |=2의 내부에서 z= i일 때 위수 2인 극점을 가

진다. 여기서

g(z) =1

(z-3i )2(z-5i )

2

는 |z |=2와 그 내부에서 해석적이므로 코시 적분공식

에 의하여

⌠⌡|z | =2

1f (z)

dz=⌠⌡|z | =2g (z)

(z-i )2 dz=2πig'(i )

이고

g'( i )=-4z+16i

(z-3i )3(z-5i )

3 |z= i

=-3i128

이므로

⌠⌡|z | =2

1f (z)

dz=364π .

23. 복소평면 전체에서 유계인 정함수는 상수함수임을 증명

하여라.

[풀이 ] 임의의 z∈ℂ에 대하여 | f (z) | <M이라고 하

자. 그리고 a가 임의로 주어진 복소수, r이 임의로 주

어진 양수라고 하자.

곡선 |z-a |= r의 경계와 내부를 포함하는 역을 D

라고 하면 f는 D에서 해석적이므로 코시 부등식에 의

하여

| f '(a) |≦Mr

이 성립한다. 여기서 r은 임의의 양수이므로

| f '(a) |=0

이다. 그런데 a가 임의의 복소수이므로

f '(z) ≡0

이다. 따라서 f는 상수함수이다.

24. 정함수 f가 임의의 z∈ℂ에 대하여 | f (z) |≦|ez |를

만족하면 적당한 상수 c가 존재하여 f (z) ≡cez임을

증명하여라.

[풀이 ] g (z)=f (z)

ez라고 하면 g (z)는 유계이고 정함

수이다. 따라서 루빌의 정리에 의하여 g (z)는 상수함수

이다. g (z) ≡c라고 하면 f (z) ≡cez가 된다.

- 86 -

25. 정함수 f가 임의의 z∈C에 대하여

f (z)= f (z+2)= f (z+ i )

를 만족하고 f (0)= i라고 한다. 이 때, f (1+ i )의 값

을 구하여라.

[풀이 ] 먼저 주어진 함수 f는 직사각형 역

D={x+ iy | 0≦x≦2, 0≦y≦1 }

에서 해석적이므로 유계이다. 여기서 | f(z) |의 D에서의

상계를 M이라고 하자.

임의의 x+ iy , ( x, y∈ℝ )에 대하여 정수 m , n이 존

재하여

0≦x+2m≦2 , 0≦y+n≦1

이므로 (x+2m)+ i(y+n) ∈D이므로

| f (x+ iy ) |= | f (x+2m+ iy) |

=| f (x+2m+ i(y+n)) |≦M

이다. 따라서 f는 복소평면 전체에서 유계이므로 루빌의

정리에 의하여 f는 상수함수이다. 그런데 f (0)= i이므

로 f (z) ≡ i이다. 따라서 f (1+ i )= i이다.

26. P (z)= z 10+10z 3-100의 점은 모두 1 < | z | < 2에

존재함을 증명하여라.

[풀이 ] (ⅰ) 먼저 모든 점이 |z | < 2에 존재함을 보이

자. f (z)= z 10 , g (z)=10z 3-100이라고 하면 |z |=2

인 임의의 z에 대하여

|g (z) |≦10 |z |3+100=180 < 2

10= |z |

10= | f (z) |

이다. 따라서 로시의 정리에 의하여 |z | < 2에서 P (z)

의 점의 수는 f (z)의 점의 수인 10과 같다.

대수학의 기본정리에 의하여 P (z)의 점의 개수는 10

이하이므로 P (z)의 모든 점은 |z | < 2에 존재한다.

(ⅱ) |z | < 1에 점이 존재하지 않음을 보이자.

f (z)=-100 , g (z)= z 10+10z 3

이라고 하면 |z |=1인 임의의 z에 대하여

|g (z) |≦|z | 10+10 |z | 3= 11 < 100= | f (z) |

이다. 따라서 로시의 정리에 의하여 |z | < 1에서 P (z)

의 점의 수는 f (z)의 점의 수인 0과 같다.

따라서 |z | < 1에서 P (z)의 점은 존재하지 않는다.

(ⅲ) 끝으로 |z |=1에는 점이 존재하지 않음을 보이

자. 만약 |z 0|= 1인 z 0가 존재하여 P (z 0 )=0이라고

가정하면

0= |z1000 +10z30-10 |≧100-|z

100 +10z

30|

≧100-(|z 0 |10+10 |z 0|

3 )

=100-(1+10)=89

이므로 모순이다. 이로써 (ⅰ)∼(ⅲ)에 의하여 P(z)의

점은 모두 1 < |z | < 2에 존재한다.

27. 임의의 계수 ak를 갖는 z의 대수방정식

p (z)=anzn+…+a 0=0 (n≧1, an /=0)

은 복소수의 범위에서 적어도 한 개의 해를 가짐을 증명

하여라.

[풀이 ] 다항식 p(z)가 n차이므로 충분히 큰 R에 대하

여 anRn > an-1R

n-1+…+a 0가 성립한다. 따라서

f (z)=anzn , g (z)=an-1z

n-1+…+a 0

는 |z |≦R에서 해석적이고 |z |=R일 때

|g (z) | < | f (z) |

를 만족한다. 그런데 |z | <R에서 f (z)= anzn은 점

을 가지므로 로시의 정리에 의하여 p (z)도 적어도 하나

의 점을 가진다.

[다른 풀이 ] p (z)=0을 만족하는 복소수 z가 존재하

지 않는다고 하자. 그러면

g (z)=1p (z)

는 정함수이고 limz→∞g (z)=0이므로 유계이다.

따라서 루빌의 정리에 의하여 g(z)는 상수함수이고 또

한 p (z)도 상수함수가 된다. 이것은 p(z)의 조건에 의

하여 모순이다.

28. 다음 특이적분값을 구하여라.

⌠⌡

∞

-∞

1

1+x 6dx

[풀이 ] f (z)=1

1+z 6이라고 하면 f는 z 6=-1일 때

극점을 갖는다. 따라서

z=ei ( π6 + π3 k) , 1≦k≦6

에서 극점을 갖는다. 이들 중에서 상반평면에 있는 것은

z 1=eπ6i, z 2=e

π2i, z 3=e

56π

이고 이들은 모두 단극이다.

각 극에서 f의 유수를 구하면

Res[f, z 1]=16 (-

32+12i ) ,

Res[f, z 2]=-16i ,

Res[f, z 3]=16 (

32-12i )

이므로

⌠⌡

∞

-∞

1

1+x6 dx=2πi∑

3

k=1Res[f, xk]=

23π .

- 87 -

29. 복소선적분 ⌠⌡|z | =

52

ez2

π cotπzdz의 값을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 복소함수는

f (z)= ez2

πcosπzsinπz

이고 sinπz=0일 때 극점을 가지므로

z=0 , z= ±1 , z= ±2

에서 단극을 갖는다. 각 극점에서 유수를 구하면

Res[f, 0]=ez

2

πcosπzπcosπz |

z= 0=1 ,

Res[ f, ±1]=e z

2

π cosπzπcosπz |

z= ±1= e ,

Res[ f, ±2]=e z

2

π cosπzπcosπz |

z= ±2= e

4

이므로 유수의 정리에 의하여

⌠⌡|z | =

52

f (z) dz=2π i (1+2e+2e 4)

를 얻는다.

30. 특이적분 P.V.⌠⌡

∞

-∞

x

x3-8

dx의 값을 구하여라.

[풀이 ] f (z)=z

z3-8

이라 두고 분모를 인수분해하면

f (z)=z

(z-2) (z+1+ 3i)(z+1- 3i)

이다. 여기서 2는 x축 위에 있는 극이고 -1+ 3i는

상반복소평면에 있는 극이다. 따라서 유수의 정리에 의하

여 적분을 계산하면 다음과 같다.

⌠⌡

∞

-∞

x

x3-8

dx=2πRes[f, -1+ 3i ]+πRes[f, 2]

=36π .

31. 유수의 정리를 이용하여 다음 적분을 구하여라.

⌠⌡

2π

0

1

1+3cos 2θdθ

[풀이 ] C를 복소평면상에 놓인 양의 방향으로의 단위

원이라고 하자. z=e iθ라고 치환하면

⌠⌡

2π

0

1

1+3cos2θdθ=⌠⌡C

1

1+34 (z+

1z )

21izdz

=⌠⌡C-4 iz

3z 4+10z 2+3dz

=2π i ( Res[f, i3 ]+ Res[f, -i3 ])

=2π i (- i4 -i4 )=π .

32. 세 점 0 , i , - i를 차례대로 1 , -1 , 0에 사상하는

일차분수변환을 구하고 부동점을 구하여라. 또, 등각사상

이 되는 점을 구하여라.

[풀이 ] 먼저 일차분수변환을 구하면

(w-1)(-1-0)(w-0)(-1-1)

=(z-0)( i-(- i ))(z-(- i ))( i-0)

이고 이것을 변형하면

w=i+zi-3z

이다. 여기서 w= z라고 하고 z에 대한 방정식을 풀면

z=i-16+146ei (- π4 + kπ )

이다. 따라서 부동점은

z 1=7+16

(1- i ) , z 2=-7+16

(1- i )

이다. 또한 f (z)=w=i+zi-3z

는 z /=i3에서 해석적이

고 z /=i3이 아닌 임의의 복소수 z에 대하여

f '(z)=4i

( i-3z ) 2/=0

이므로, 주어진 일차분수변화은 z /=i3인 임의의 z에서

등각이다.

- 88 -

미분기하학 | Differential Geometry

1. 유클리드공간 E 3에서 주어진 공간곡선

α(θ )=( cosθ-2, cosθ+2, 2 sinθ ) , 0≦θ < 2π

의 프레네 체계 T , N , B와 κ , τ를 구하고 어떤 종류

의 곡선인지 밝혀라.

[풀이 ] 정칙곡선의 프레네체계에 대한 정리를 활용하자.

α'(θ)= (- sinθ, - sinθ, 2 cosθ) ,

α''(θ)=(- cosθ, - cosθ, - 2 sinθ) ,

α'''(θ)= ( sinθ, sinθ, - 2 cosθ) ,

| α'(θ) |= 2 ,

α'(θ)×α''(θ)= ( 2, -2 2, 0 ) ,

| α'(θ )×α''(θ) |= 2 ,

α'(θ)×α''(θ)⋅α'''(θ)= 0

이므로 다음을 얻는다.

B=α'×α''| α'×α'' |

=12( 2, - 2, 0) ,

T=α'| α' |

=12(- sinθ, - sinθ, 2 cosθ) ,

N=B×T=12(- cosθ, - cosθ, - 2 sinθ) ,

κ=|α'×α'' |

| α' | 3=

22

,

τ=α'×α''⋅α'''

| α'×α'' |2 = 0 .

2. 유클리드공간 E 3에서 주어진 공간곡선

α( t )= (acos t, asin t, bt )

를 단위속력곡선으로 나타내고, 프레네 체계 T , N , B

와 κ , τ를 구하여라.

[풀이 ] α( t )를 t에 대하여 미분하면

α'( t )= (-asin t, acos t, b )

이므로 | α'( t ) |= a2+b

2≕M이다. 따라서 곡선의 길

이는

s ( t )=⌠⌡

t

0|α'( t ) |dt=Mt

이고 역함수를 구하면

t (s )=1Ms

이다. 이것을 이용하여 α의 재매개화를 구하면

β( s)= (acos sM , asinsM,bsM )

이다. 이제 T , N , B , κ , τ를 구하자.

β'( s)=1M(-a sin

sM, acos

sM, b )=T ,

β''(s)=1M (-a cos

sM, -a sin

sM, 0 )=T'

이므로 곡률 κ를 구하면 κ= |T' |=aM이다.

또한 단위법벡터장은

N=T'κ=MaT'=(- cos sM , - sin

sM, 0 )

이다. B= T×N으로부터

B=1M (bsin

sM, -b cos

sM, a )

를 얻는다. 또한 B'=-τN을 이용해 열률을 구하면

B'=1M (bcos

sM, bsin

sM, 0 )

=-bM (- cos sM , - sin

sM, 0 )=-τN

으로부터 τ=bM을 얻는다.

3. 정칙곡선 α가 직선일 필요충분조건은 κ(s) ≡0임을 증

명하여라.

[풀이 ] α가 직선의 매개화 함수라고 하자. 그러면 두

벡터 p , q가 존재하여 α( t )= p+ tq의 형태로 표현된

다. 여기서 α'( t )= q /=0이므로 α( t )의 호장함수는

s( t )=⌠⌡

t

0|q |du=|q |t

이다. 따라서 α( t )의 호장에 의한 재매개화는

β(s)=α(s-1(s))= p+

q|q |s

가 되고 T(s)=β '( s)=q|a |이므로 T'(s) ≡0이다.

따라서 κ( s)= |T'(s) |≡0이다.

역으로 κ(s) ≡0이라고 하면 T'(s) ≡0이 된다.

이로써 T는 상수함수이므로 T (s) ≡a이다.

따라서 α(s)= as+b가 되므로 α는 직선이다.

4. 공간 ℝ 3에서 주어진 곡선

α( t )= (3t- t3, 3t

2, 3t+ t

3)

에 대하여 t=1일 때 접촉평면방정식을 구하여라.

[풀이 ] 먼저 단위종법벡터 b를 구하자. α의 각 미분을

구하면 다음과 같다.

α'( t )= (3-3t 2, 6t, 3+3t 2) ,

α''( t )= (-6t, 6, 6t ) ,

α'( t )×α''( t )= (18t 2-18, -36t, 18t 2+18) ,

| α'( t )×α''( t ) |= 18 2( t 2+1) .

- 89 -

따라서

B( t )=α'( t )×α''( t )| α'( t )×α''( t ) |

=1

2( t 2+1)( t2-1, -2 t, t

2+1)

이다. 여기서

b=B(1)|B(1) |

=12(0, -1, 1)

이다. 벡터 b에 수직이고 α(1)을 지나는 평면의 방정식

을 구하면

0(x-2)-12(y-3)+

12(z-4)=0

이다. 이것을 정리하면 -y+z-1=0이다.

5. 곡률 κ가 양의 상수이고 τ( s) ≡0인 단위속력 정칙곡선

β는 지름이 1κ인 원의 일부임을 증명하여라.

[풀이 ] γ( s) ≔β( s)+1κN( s)라 두고 양변을 미분하면

프레네-세레 방정식에 의하여

γ '(s)=β'( s)+1κN'(s)

=T( s)+1κ(s)

(-κT(s)+τ(s) B(s))

=T(s)-T(s)=0

을 얻는다. 따라서 상수 c∈ℝ 3가 존재하여

γ (s) ≡c

이다. 따라서

|c-β( s) |= | 1κ N (s) |=1κ

이고 κ가 상수이므로 β는 중심이 c인 구면위의 곡선

이다. 그런데 τ( s) ≡0이므로 β는 평면위의 곡선이다.

따라서 β는 원의 일부이다.

6. 곡률이 κ > 0인 단위속력 정칙곡선 β가 평면곡선일 필

요충분조건은 τ(s) ≡0임을 증명하여라.

[풀이 ] 먼저 β가 평면곡선이라고 가정하자. 그러면 두

벡터 p , q가 존재하여

(β(s)-p)⋅q≡ 0

이다. 양변을 미분하여 정리하면

β'(s)⋅q=β''(s)⋅q=0

을 얻는다. 이것은

q⊥β'=T , q⊥β''=κN

을 의미하므로 결국 q와 B는 평행하다. 따라서

B( s)= ±q|q |

이므로 B'(s)=0이고 τ=-B'⋅N=0이 된다.

역으로 τ(s) ≡0이라고 하자. 고정된 c∈ℝ에 대하여

f ( s) ≔ (β( s)-β(c))⋅B(c)

으로 정의하자.

이제 f가 상수함수임을 보이자.

B'(s)=-τ(s)N( s)=0N(s)=0

이므로 B( s)=B(c)이다. 따라서

f '(s)= { (β( s)-β(c))⋅B(c)}'

=(β( s)-β(0))'⋅B(c)+(β( s)-β(0))⋅B'(c)

=β'(s)⋅B(c)=T(s)⋅B(s)=0

이므로 f는 상수함수이다. 또한

f (c)= (β(c)-β(c) )⋅B(c)=0

이므로 f (s) ≡0이다.

그러므로 β는 β(c)를 지나고 B(c)에 수직인 평면에

놓인 곡선이다.

7. 타원 α( t )= (2cos t, sin t, 0) , 0≦ t≦2π의 전곡률을

구하여라.

[풀이 ] α의 호장함수는 s( t )=⌠⌡

t

0 |dαdt |dt이므로

dsdt=| dαdt |= 4cos

2t+ sin

2t

이다. 또한

χ=χ( s( t ))=|α'×α'' |

| α' | 3=

2

(4cos 2t+ sin 2t) 3/2

이다. 따라서 타원 α의 길이를 l이라 하면 전곡률은

⌠⌡

l

0χ(s) ds=⌠⌡

2π

0χ(s ( t ))

dsdtdt

= 4⌠⌡

π/2

0χ( s ( t ))

dsdtdt

= 4⌠⌡

π/2

0

2 4cos 2t+ sin 2t

(4 cos 2t+ sin 2t ) 3/2dt

= 4⌠⌡

π/2

0

2sec2t

1+4tan2tdt

= 4⌠⌡

∞

0

du

1+u2 du ( u≔2tan t )

= 4tan -1u ]∞0 =2π .

8. 집합 S={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2-2x+yz= c }가 곡면이

되기 위한 상수 c의 조건을 구하여라.

[풀이 ] g (x, y, z)= x 2-2x+yz라 할 때 g는 미분

가능다. 또한

dg= gxdx+gydy+gzdz

=2(x-1)dx+zdy+ydz=0

일 필요충분조건은 (x, y, z)= (1, 0, 0)이다.

따라서 S가 곡면이 되려면 (1, 0, 0) /∈S이어야 한다.

즉 -1=g(1, 0, 0) /= c이어야 하므로

c /=-1

이면 S는 곡면이 된다.

- 90 -

9. 상반구면 x(u, v)= (u, v, 1-u 2-v 2) 위의 단위속

력곡선 β( s)= ( sin s, 0, cos s ) , -π2< s <

π2

위의

임의의 점에서 법곡률과 법곡률벡터를 구하여라.

[풀이 ] β'(s)= ( cos s, 0, - sin s ) ,

β''(s)= (- sin s, 0, - cos s ) ,

U=x u×x v| x u×x v |

= (u, v, 1-u 2-v 2)

이므로 점 ( sin s, 0, cos s )에서의 단위법벡터는

U=( sin s, 0, cos s )

이다. 따라서 β의 ( sin s, 0, cos s )에서의 법곡률은

κn=β''(s)⋅U

=(- sin s, 0, - cos s )⋅( sin s, 0, cos s )

=-1

이다. 또한 법곡률벡터는

kn=κnU=(- sin s, 0, - cos s )

이다.

10. 유클리드공간 E 3에서 다음 두 곡선

α( t )= (acos t, asin t, t ) ,

β( t )= (acos t, asin t, - t )

이 합동인지 아닌지 판단하여라.

[풀이 ] 먼저 각 곡선함수를 미분하면

α'( t )= (-a sin t, acos t, 1) ,

β'( t )= (-asin t, acos t, -1)

이다. 속도함수는

v α= |α'( t ) |= a2+1= |β'( t ) |= v β

이므로 v α= v β이다.

이제 두 곡선의 곡률과 열률을 비교하자.

α''( t )= (-acos t, -asin t, 0)=β''( t ) ,

α'''( t )= (asin t, -a cos t, 0)=β'''( t )

이므로

κ α=α'×α''

| α' |3 =

β'×β''

| β' |3 = κβ ,

τ α=α'×α''⋅α'''

| α'×α'' |2 =

β'×β''⋅β'''

| β'×β'' |2 = τ β

이다. 따라서 두 곡선은 합동이다.

11. 유클리드공간 ℝ 3에서 주어진 곡면

S={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2+y 10+z 6=1 }

이 단위구면과 미분동형임을 보이고 전곡률을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 곡면에서 x 2+y 10+z 6=1은

x 2+(y 5 ) 2+(z 3 ) 2=1

로 표현된다.

단위구면

U={ (x, y, z)∈ℝ 3 |x 2+y 2+z 2=1 }

위의 임의의 점 (x, y, z )에 대하여 F :U → S를

F (x, y, z)= (x, y 1/5, z 1/3 )

으로 정의하자. 이 때 함수 F는 연속이고 또한 미분 가

능하여 일대일 대응이다. 따라서

F -1(x, y, z)= (x, y 5, z 3 )

도 연속이다. 따라서 F는 미분사상이고 U와 S는 미분

동형이며 전곡률도 같다. 즉

⌠⌡⌠⌡SKdS=⌠⌡

⌠⌡UKdU

이다. 그런데 U의 오일러 표수는 χ(U )=2이다. 따라

서 가우스-보네의 정리에 의하여

⌠⌡⌠⌡UKdU=2πχ(U )=2π⋅2=4π

이다. 따라서 구하는 전곡률은 4π이다.

12. 유클리드공간 E 3에서 구면 S가 곡면임을 보여라.

[풀이 ] 구면 S를

(x 1-c 1)2+(x 2-c 2)

2+(x 3-c 3)

2= r

2

이라고 하자. 이를 음함수꼴로 표현하면

g (x 1, x 2, x 3)= ∑3

i=1(x i-c i )

2= r 2

이다. 여기서 g의 미분을 구하면

dg=∑3

i=12 (x i-c i)

2

이고 x i= c i일 때에만 dg=0이다. 그런데 c i /∈S이므

로 dg /=0이다. 따라서 S는 곡면이다.

13. 곡선 y= f (x) ( a≦x≦b )를 x축 둘레로 회전시킬 때

얻은 곡면의 표면적은

S=2π⌠⌡

b

a| f (x) | f '(x)

2+1dx

임을 증명하여라.

[풀이 ] 곡선 y=f (x)를 x축 둘레로 회전시켜 얻은 곡

선을 좌표조각사상으로 표현하면

X(x, θ)=(x, f (x) cosθ, f (x) sinθ)

가 된다. 이제

|Xx×X θ |= | f (x) | f '(x)2+1

이므로 면적형식은

dS=|Xx×X θ|dxdθ= | f (x) | f '(x)2+1dxdθ

이다. 따라서 주어진 회전곡면의 표면적은

S=⌠⌡⌠⌡SdS=⌠⌡

2π

0

⌠⌡

b

a| f (x) | f '(x) 2+1dxdθ

=2π⌠⌡

b

a| f (x) | f '(x)

2+1dx

이다.

- 91 -

14. 원 x 2+(y-4)2=1을 x축 둘레로 회전시킨 곡면을

S라고 할 때, S 위에서 가우스 곡률 K가 K < 0인 부

분의 면적을 구하여라.

[풀이 ] 곡면 S에서 K < 0인 부분은 최대곡률과 최소곡

률의 부호가 서로 다른 부분으로써

y=4- 1-x2 (-1≦x≦1 )

을 x축으로 회전시킨 입체의 곡면이다.

이 때 곡면의 표면적을 S'라고 하면

S'= 2π⌠⌡

1

-1y y'

2+1dx

= 2π⌠⌡

1

-1(4- 1-x

2)

1

1-x 2dx

= 8π⌠⌡

1

0

1

1-x2dx-4π

= 16π [ sin -1x ]1

0-4π

=8π2-4π .

15. 곡면 z=1-x 2-y 2에서 z≧0인 부분을 S라고 할

때 S 위에서의 면적분 ⌠⌡⌠⌡S

15-4z

dS를 계산하여라.

[풀이 ] 면적소를 구하면

dS= 1+z2x+z

2ydxdy= 1+4x

2+4y

2dxdy

이고 z=1-x 2-y 2 ≧0이므로 x 2+y 2≦1이다.

A={ (x, y ) |x 2+y 2≦1 }

이라고 하면

⌠⌡⌠⌡S

15-4z

dS =⌠⌡⌠⌡A

1+4x2+4y

2

1+4x 2+4y 2dxdy

=⌠⌡⌠⌡A1dxdy

이다. 그런데 A의 넓이는 π이므로

⌠⌡⌠⌡S

15-4z

dS=⌠⌡⌠⌡A1dxdy=π

이다.

16. 단위구면 X가

X(θ, ϕ)= ( cosθ sinϕ, sinθ sinϕ, cosϕ )

으로 정의되어 있다. X 위의 곡선

θ= log cot ( π4 -t2 ) , ϕ=

π2- t , 0≦ t≦

π2

의 상에 대하여 제 1 기본형식을 구하여라.

[풀이 ] X θ= (-snθ sinϕ, cosθ sinϕ, 0) ,

Xϕ=( cosθ cosϕ, sinθ cosϕ, - sinϕ) ,

X θ⋅X θ= sin2ϕ ≕E ,

X θ⋅Xϕ=0 ≔F ,

X ϕ⋅Xϕ=1 ≕G ,

dθdt=

1cos

t , dϕdt=-1

이므로 제 1 기본형식을 I라고 하면

I=E ( dθdt )2

+2F ( dθdt )(dϕdt )+G (

dϕdt )

2

= sin 2ϕ ( 1cos t )

2

+1=cos 2t

cos 2t+1=2

를 얻는다.

17. 곡면 M⊆E 3의 한 점 p와 주곡률 k 1 , k 2 그리고 주

벡터 e 1 , e 2에 대하여, p에서 주벡터 e 1과 단위접벡터

u가 이루는 각이 θ일 때 u방향의 법곡률은

k(u)= k 1cos2θ+k 2sin

2θ

임을 증명하여라.

[풀이 ] 단위벡터 u는 다음과 같이 표현된다.

u=( cosθ)e 1+( sinθ)e 2

이 때 모양연산자 S(u)를 구하면

S(u)=S( ( cosθ)e 1+( sinθ)e 2)

=( cosθ)S(e 1)+( sinθ)S(e 2)

=(k 1cosθ)e 1+(k 2sinθ)e 2

이다. 따라서 다음을 얻는다.

k(u)=S(u)⋅u={ (k 1cosθ)e 1+(k 2sinθ)e 2}

⋅{ ( cosθ)e 1+( sinθ)e 2 }

= k 1cos2θ+k 2sinθ .

18. 곡면 x(u, v )= (u, v, u 2-v 2 ) 위의 점 x(0, 0)에

서의 주곡률 κ1 , κ2와 평균곡률 H , 가우스곡률 K를

구하여라.

[풀이 ] x(0, 0)에서의 기본계수를 구하면

E=1 , F=0 , G=1 , L=2 , M=0 , N=-2

이다. 점 x(0, 0)에서의 법곡률은

κn=III=2(du

2-dv

2)

du2+dv

2

이다. κn은 비 du/db에만 의존하므로 du2+dv 2=1

이라고 가정하여 du= cosθ , db= sinθ라고 두고 정

리하면 κn=2cos2θ를 얻는다.

주곡률은 최대값 κ1=2 , 최소값 κ2=-2이다.

평균곡률은 H=12(κ1+κ2)=0이다.

가우스곡률은 K=κ1κ2=-4이다.

- 92 -

19. 유클리드공간 E 3에서 좌표조각사상 X가

X(u, v)= (u, v, u 2+v 2)

으로 주어졌을 때, X 위의 점 t=1에서 곡선

u= t 2, v= t

의 법곡률을 구하여라.

[풀이 ] 법곡률을 κn이라고 하면 κn=III이다.

Xu=(1, 0, 2u) , Xv=(0, 2, 2v) ,

Xuu=(0, 0, 2) , Xvv=(0, 0, 2) ,

Xuv=(0, 0, 0) , Xu×Xv=(-2u, -2v, 1) ,

|Xu×Xv |= 4u2+4v

2+1 ,

U=1

4u2+4v

2+1(-2u, -2v, 1) ,

E=1+4u 2 , F=4uv , G=1+4v 2 ,

L=2

3u 2+3v 2+1, M=0 ,

N=2

4u2+4v

2+1

.

여기서 t=1일 때 u=1 , v=1이므로

L=23

, M=0 , N=23

이다. du=2tdt , dv=dt이므로 t=1일 때

du=2dt , dv= dt

이다. 따라서

I=5⋅22dt 2+2⋅4⋅2dt 2+5dt 2=41dt 2 ,

II=23⋅2

2dt2+0dt

2+23dt2=103dt2

이므로 κn=III=10123

이다.

20. 쌍곡포물면 M :z= y 2-x 2 위의 점 (0, 0, 0)은 쌍곡

점임을 보여라.

[풀이 ] M의 매개변수표현은

x(u, v)= (u, v, v2-u

2)

이다. 여기서 M의 기본계수를 구하자.

x u(u, v )= (1, 0, -2u) , x v=(u, v)= (0, 1, 2v) ,

x uu(u, v)= (0, 0, -2) , x vv(u, v)= (0, 0, 2) ,

x uv(u, v)= (0, 0, 0) ,

x u×x v=(2u, -2v, 1) .

따라서

U=x u×x v| x u×x v |

=(-2u, -2v, 1)

4u2+4v

2+1

,

L= x uu⋅U=-2

4u 2+4v 2+1,

M= xuv⋅U=0 ,

N= x vv⋅U=2

4u 2+4v 2+1

이므로 LN-M 2=-4

4u 2+4v 2+1< 0이다.

21. 주면 x(u, v)= (ucosv, usinv, u ) 위의 정칙곡선

x(e t/ 2, t )= (e t/ 2cost, e t/ 2sint, e t/ 2 )

의 호의 길이를 구하여라. (단, 0≦ t≦π )

[풀이 ] (u( t ), v ( t ))= (e t/ 2, t )라고 하면

dudt=12et/ 2 , dv

dt=1 ,

x u=( cosv, sinv, 1) ,

x v=(-usinv, ucosv, 0)

이므로 E=2 , F=0 , G=u 2이다. 따라서 호의 길이

를 구하면 다음과 같다.

s=⌠⌡

π

0E ( dudt )

2

+2F ( dudt )(dvdt )+G (

dvdt )

2

dt

=⌠⌡

π

02e t/ 2dt=2(e π/ 2-1) .

22. 함수 x : (0, 2π)×( 0, 2π) →ℝ 3가 x(u, v)

=( (R+rcosu)cosv, (R+rcosu) sinv, rsinu )

으로 정의되어 있을 때 x는 윤환면의 고유조각사상이

다. 윤환면의 면적을 구하여라.

[풀이 ] 윤환면의 제 1 기본계수는

E= r2 , F=0 , G=(R+rcosu) 2

이다. 따라서 W= (0, 2π)×( 0, 2π)에 대하여 x(W )의

면적 A는 다음과 같다.

A=⌠⌡⌠⌡W

EG-F2dudv

=⌠⌡

2π

0

⌠⌡

2π

0r(R+rcosu )dudv=4π

2rR .

23. 곡면 위의 점 P에서 평균곡률이 H일 때

H=1π⌠⌡

π

0kn(θ)dθ

임을 보여라. (단, kn(θ)는 고정된 방향과 각 θ를 이루

는 방향의 법곡률을 나타낸다.)

[풀이 ] 오일러의 정리를 이용하여 계산하자.

1π⌠⌡

π

0kn(θ)dθ=

1π⌠⌡

π

0(k 1cos

2θ+k 2sin

2θ)dθ

=1π⌠⌡

π

0 (k 1⋅1+ cos2θ2

+k 2⋅1- cos2θ2 )dθ

=12π⌠⌡

π

0(k 1+k 2)dθ+

12π⌠⌡

π

0(k 1-k 2)cos2θdθ

=k 1+k 22

+0=H .

24. 반지름이 r인 구면의 가우스 전곡률을 구하여라.

[풀이 ] M=S 2(r)의 전곡률을 구하면 다음과 같다.

⌠⌡⌠⌡MKdM=⌠⌡

⌠⌡M

1

r2 dM=

1

r2 4πr

2=4π .

- 93 -

25. 윤환면 T의 가우스 전곡률을 구하여라.

[풀이 ] T의 매개변수표현은 x(u, v)

=( (R+rcosu) cosv, (R+rcosu)sinv, rsinu )

이다. 여기서 x의 정의역은 D=[-π, π]2이다.

따라서

K( x(u, v))=cosu

r(R+rcosu),

EG-F 2= r (R+rcosu)dudv

이므로 T의 가우스 전곡률은 다음과 같다.

⌠⌡⌠⌡TKdT=⌠⌡

⌠⌡DK ( x(u, v )) EG-F

2dudv

=⌠⌡

π

-π

⌠⌡

π

-πcosududv=0 .

26. 상반구면 x(u, v )= (u, v, 1-u2-v

2) 위의 단위

속력곡선 β(s)= ( sin s, 0, cos s )는 측지선임을 보여라.

(단, -π/2 < s < π/2 )

[풀이 ] β'(s)= ( cos s, 0, - sin s ) ,

β''(s)= (- sin s, 0, - cos s ) ,

U=x u×x v| x u×x v |

= (u, v, 1-u 2-v 2)

이므로 점 ( sin s, 0, cos s )에서의 단위법벡터는

U=( sin s, 0, cos s )

이다. 여기서

κn=β''(s)⋅U

=(- sin s, 0, - cos s )⋅( sin s, 0, cos s )=-1 ,

κ= |β'' |=1

이므로 κ2g=1-1=κ2-κ2n=0이다.

따라서 β는 측지선이다.

27 몽쥬 조각사상 x(u, v)= (u, v, u 2-v 2)으로 주어진

곡면 M 위의 임의속력곡선 α( t )= ( t, 0, t 2)가 측지선

임을 보여라.

[풀이 ] α( t )의 단위속력곡선을 β( s)라고 하면

β'=α'dtds

, β''=α''( dtds )2

+α'd 2t

ds 2,

U(u( t ), v ( t ))=(-2t, 0, 1)

4t2+1

,

α'=(1, 0, 2t ) , α''=(0, 0, 2)

이므로

κ g= U⋅β'×β''= (U×α'×α'')( dsdt )3

= 0

이다. 따라서 α는 측지선이다.

28. 평면 위에서 양의 방향으로 반경 r인 원 위를 움직이

는 곡선 α의 전측지곡률을 구하여라.

[풀이 ] α는 평면곡선이므로 κn≡0이다. 여기서

1

r2 =κ

2=κ

2n+κ

2g=κ

2g

이고 양의 방향이므로 κg=1r을 얻는다. 따라서

⌠⌡ακ g ds=

1r(2πr )=2π

를 얻는다.

29. 곡면 M 위의 임의의 점에서 가우스곡률이 -12일 때,

M 위의 면적이 π인 측지삼각형 T의 세 내각의 합을

구하여라.

[풀이 ] T의 세 내각의 합을 i라고 하면 가우스-보네의

공식에 의하여

i=⌠⌡⌠⌡TKdM+π=⌠⌡

⌠⌡T(-

12 )dM+π

=-12×(M의 면적)+π= π

2.

30. 반지름이 1인 구면위에 북극점 N과 적도를 따라 거리

가 π2

떨어진 적도상의 두 점 A , B로 이루어진 측지

삼각형 T=ABN의 면적을 구하여라.

[풀이 ] 가우스-보네의 공식에서

⌠⌡⌠⌡TKdM=2π-⌠⌡∂T

κgds-(ε1+ε2+ε3)

이다. 여기서

κg=0 , K=1 , ε 1=ε2=ε3=π2

이므로 ABN의 면적은

S=2π-0-( π2 +π2+π2 )=

π2

이다.

31. 반지름이 1인 구면위에 놓여있는 측지정삼각형 T의

면적이 π일 때, 한 내각의 크기를 구하여라.

[풀이 ] 가우스-보네의 공식에 의하여

i 1+i 2+ i 3=⌠⌡⌠⌡TKdM+⌠⌡∂T

κg ds+π

이다. 여기서 κ g=0 , K=1 , i 1= i 2= i 3≕α이므로

3α=⌠⌡⌠⌡T1dM+⌠⌡∂T

0ds+π

=(정삼각형의 면적)+π=2π이다. 따라서 α=

23π이다.

- 94 -

32. 모든 점에서 가우스 곡률이 -1인 곡면이 있다. 이 곡

면위의 세 변이 측지선이고 한 내각이 π6인 정삼각형의

면적을 구하여라.

[풀이 ] 정삼각형을 T라고 하면 임의의 p∈T에서 가

우스곡률은 K(p)=-1이고 측지곡률은 κ g(p)=0이다.

또한 T의 임의의 꼭지점 p에 대하여

ε p=π- i p=π-π6=56π

이므로 가우스-보네의 공식

⌠⌡⌠⌡TKdA+⌠⌡∂T

κgds+∑pε p=2π

를 적용하면, 삼각형의 면적 A에 대하여

-A+0+( 56 π )×3= 2π

를 얻는다. 따라서 A=π2이다.

33. 다음 그림에서 곡면의 가우스 전곡률을 구하여라.

(1)

(2)

(3)

[풀이 ] 그림의 세 도형은 구멍이 3개씩 있다. 구면에 구

멍이 하나씩 늘 때마다 오일러 표수는 2만큼 감소한다.

즉 각 도형의 오일러 표수는

χ=2-2p=2(1-3)=-4

이다. 따라서 가우스-보네의 정리에 의하여 가우스 전곡

률은 2πχ=-8π이다.

- 95 -

확률과 통계 | Probability and Statistics

1. 두 사건 A , B가 독립이면 Ac와 Bc도 독립임을 증명

하여라.

[풀이 ] 두 사건 A , B가 독립이므로

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)

가 성립한다. 따라서

P(Ac∩Bc )=P( (A∪B) c )=1-P(A∪B)

=1-{P(A)+P(B)-P(A∩B)}

=1={P(A)+P(B)-P(A)P(B) }

=(1-P(A))(1-P(B))

=P(Ac )P(Bc )

이므로 Ac와 Bc는 독립이다.

2. 학생이 각각 200, 250, 400명인 A , B , C 세 학교의 전

학생을 상대로 설문조사를 하 더니, 세 학교에서 제대로

작성된 설문은 각각 75%, 80%, 85%이었다. 설문을 검토

하다 잘못 작성된 설문이 발견되었을 때, 이 설문이 작성

된 학교가 A일 확률을 구하여라.

[풀이 ] 각 학교에서 작성된 설문의 사건을 A , B , C라

고 하고 잘못 작성된 설문의 사건을 D라고 하자.

P(A)=200850

, P(B)=250850

, P(C)=400850

,

P(D |A)=0.25 , P(D |B)=0.2 , P(D |C)=0.15

이므로 베이즈 정리에 의하여

P(A |D)=P(A∩D)P(D)

=P(A∩D)

P(A∩D)+P(B∩D)+P(C∩D)

=P(A∩D)

P(D |A)P(A)+P(D |B)P(B)+P(D |C)P(C)

=516

이다. 따라서 구하는 확률은 516이다.

3. 세 개의 회사 A , B , C에서 특정한 상품을 전체시장의

각각 40%, 30%, 30%씩 생산하고 있으며 불량률은 각각

5%, 3%, 2%이다. 한 제품을 구입해서 불량품이었을 때,

그것이 B 회사 제품일 확률을 구하여라.

[풀이 ] A , B , C 회사에서 제품을 생산하는 사건을 각

각 α , β , γ라고 하고 불랼품이 발생하는 사건을 D라

고 하면

P(α)=0.4 , P(β)=0.3 , P(γ)=0.3 ,

P(D | α)=0.05 , P(D | β)=0.03 , P(D | γ)=0.02

이다.

따라서 베이즈의 정리에 의하여

P(β |D)=P(β∩D)P(D)

=P(β)P(D | β)

P(α)P(D | α)+P(β)P(D | β)+P(γ)P(D | γ)

=0.3×0.03

0.4×0.05+0.3×0.03+0.3×0.02

=0.0090.035

=935

이다. 따라서 구하는 확률은 935이다.

4. 확률변수 X의 확률 도함수가 다음과 같다.

f (x)= { kx, 0≦x≦60 , x < 0 or x > 6

확률 P (1≦X≦3 )의 값을 구하여라.

[풀이 ] 확률 도함수의 조건으로부터

⌠⌡

∞

-∞f (x)dx=⌠⌡

6

0kxdx=18k=1

이므로 k=118을 얻는다. 따라서

P (1≦X≦3) =⌠⌡

3

1

118xdx=

29

이므로 구하는 확률은 29이다.

5. 확률변수 X의 확률 도함수 f (x)가

f (x)= { ke-2x (x≧0)

0 (x < 0)

으로 정의되었을 때 k의 값을 정하고 기대값 E (X )와

분산 V (X )를 구하여라.

[풀이 ] 확률 도함수의 성질에 의하여

⌠⌡

∞

-∞f (x) dx=⌠⌡

∞

0ke-2xdx=

k2=1

이므로 k=2를 얻는다. 따라서

E (X )=⌠⌡

∞

-∞xf (x) dx=⌠⌡

∞

02xe

-2xdx=

12

이므로 기대값은 12이다. 또한

E (X2)=⌠⌡

∞

0x2f (x)dx=⌠⌡

∞

0x2⋅2e

-2xdx=

12

이므로

V(X )=E (X2)-[E(X )]

2=14

이다. 따라서 분산은 14이다.

- 96 -

6. 세 확률변수 X 1 , X 2 , X 3가 폐구간 [0, 2]에서

f (x)= {12x (0 ≦x≦2)

0 otherwise

으로 정의된 확률 도함수를 따른다. 이 때 확률변수

Y= max {X 1, X 2, X 3 }

의 확률 도함수를 구하여라.

[풀이 ] 확률변수 Y의 누적분포함수를 구하면

F (y)=P(Y≦y )

=P(X 1≦y, X 2≦y, X 3≦y )

=P(X 1≦y )3

이다. 그런데 0 < y≦2일 때

P (X 1≦y )3= (⌠⌡

y

0

12x dx )

3

=164y 6

이고 2 < y일 때 P(X 1≦y )3=1이므로 Y의 확률 도

함수는

g (y )=F'(y )= {0 (y≦0)332y 5 (0 < y≦2)

0 (2 < y )

이다.

7. 확률변수 X와 상수 a , b에 대하여

V(aX+b)= a 2V(X )

가 성립함을 증명하여라.

[풀이 ] V(X )=E(X 2)-[E(X )] 2이므로

V (aX+b )=E [ (aX+b) 2 ]= [E (aX+b) ] 2

=E (a 2X 2+2abX+b 2)-[aE(X )+b] 2

= a 2E (X 2 )+2abE(X )+b 2

-a 2 [E(X )] 2-2abE(X )-b 2

= a 2[ (E (X 2 )-E (X )] 2=a 2V(X )

가 성립한다.

8. 이산확률변수 X , Y의 결합확률분포표가 다음과 같다.

yx 0 1 2 f 1(x)

0 1/6 1/6 1/6 1/2

1 1/12 1/3 1/12 1/2

f 2(x) 1/4 1/2 1/4

(1) 조건부확률 f (X=0 |Y=1)을 구하여라.

(2) 조건부기대값 E (X |Y=1)을 구하여라.

(3) 공분산 Cov(X, Y )를 구하여라.

(4) 상관계수 ρ(X, Y )를 구하여라.

(5) 확률변수 X , Y의 독립성 여부를 말하여라.

[풀이 ] (1) f (X=0 |Y=1)=f (0, 1)f 2(1)

=13

.

(2) E (X |Y=1)= ∑1

x=0x f (X= x |Y=1)

=0×f (X=0 |Y=1)+1×f (X=1 |Y=1)=23

.

(3) E (XY )=∑x,yxy f (x, y )

=0+0+0+0+13+16=12

,

E (X )=∑xx f 1(x )=

12

,

E (Y )=∑yy f 2(y )=1

이므로 Cov(X, Y )=E(X )E(Y )-E(XY )=0 .

(4) ρX,Y=Cov(X, Y )σ(X )σ(Y )

=0 .

(5) f (1, 2)=112

, f 1(1) f 2(2)=18이므로

f (1, 2) /= f 1(1) f 2(2)이다. 따라서 X , Y는 독립이

아니다.

9. 어떤 약의 치유율은 임상실험결과 80%이다. 환자 400명

에게 이 약을 투여했을 때 치유되는 환자의 수를 확률변

수 X라고 하자. 이 때 3X-1의 기대값을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 확률변수 X는 이항분포를 따른다. 즉

X ∼ B(400, 45 )이다. 이 때 기대값을 구하면

E (X )= 400×45= 320

이다. 따라서

E (3X-1)=3E(X )-1=959

를 얻는다.

10. 종업원이 125명인 회사가 있다. 평균적으로 하루에 종업

원의 결근율은 전체 종업원의 2%정도라고 한다. 확률변

수 X를 결근자의 수라 하고 근사적으로 포아송 분포를

따를 때 다음 물음에 답하시오.

(1) 어떤 날에 결근자가 없을 확률을 구하여라.

(2) 어떤 날에 5명 이상 결근할 확률을 구하여라.

[풀이 ] 확률변수 X가 포아송분포를 따를 때 λ=np라

고 하면 확률질량함수는

f (x | λ)= e-λ λ

x

x!

이다. 확률변수 X는 이항분포를 따를 때

X ∼ B(125, 150 )이므로 λ= 125×

150=52이다.

- 97 -

(1) 조건에서 확률변수 X가 포아송 분포를 따르므로

f (X=0)= e-2.52.5

0

0!= e-2.5=0.0821

이다. 따라서 결근자가 없을 확률은 0.0821이다.

(2) 5명 미만 결근할 확률은

P (X < 5)= e-2.5{ 2.50

0!+2.5

1

1!+…+

2.54

4! } =0.8913

이므로 5명 이상 결근할 확률은

P (X≧5)=1-0.8913=0.1087

이다.

11. 오전 10시에서 11시 사이에 어느 회사의 교환대에서 걸

려오는 전화의 수가 매 분간 평균 3회이다. 이 때 어떠한

1분간 걸려오는 전화의 수가 2회 이하일 확률을 구하여

라.

[풀이 ] 확률변수 X를 1분간 걸려오는 전화의 수라고

하자. 그러면

X ∼ B(6000, 36000 )

이다. 여기서 n이 충분히 크므로 X는 포아송 분포에

근접한다. 여기서 np=3=m이므로 X의 확률 도함

수는

f (x)= e-3 3

x

x!

이 된다. 따라서

P(X≦2)= f (0)+f (1)+f (2)=17

e-3≒0.38

이므로 구하는 확률은 0.38이다.

12. 합격률이 0.2인 절대평가 시험에 400명의 학생이 응

시했을 때 100명 이상 합격할 확률을 구하여라.

[풀이 ] 확률변수 X를 합격자 수라고 하면

X ∼ B(400, 0.2)

이다. 여기서 응시생의 수가 충분히 많으므로

X ∼ N( 400×0.2, 400×0.2×0.8)

로 볼 수 있다. 확률변수 Z를

Z=X-808

이라고 두면 Z ∼ N(0, 1)이 된다. 따라서

P(X≧100)≒P(X≧100)=P(Z≧2.5)=0.006

이므로 구하는 확률은 약 0.006이다.

13. 바구니에 50개의 야구공이 들어 있다. 그 중에서 10개는

야구선수가 직접 사인을 새겨 넣은 공이다. 이 상자에서

10개의 야구공을 임의로 꺼낼 때 사인이 개셔진 야구공

이 1개 이하 나올 확률을 구하여라.

[풀이 ] 확률변수 X를 사인이 새겨진 야구공이 나오는

개수라고 하면 X는 초기하분포를 따른다. 따라서

P(X≦1)=P(X=0)+P(X=1)

=10C1⋅40C9

50C10=

40C10

50C10=13

이므로 구하는 확률은 13이다.

14. 모집정원이 400명인 공무원 임용시험에 5,000명이 응시

하 다. 응시자 전체의 성적분포는 100점 만점에 평균이

55점, 표준편차가 8점인 정규분포를 이루었다. 이 시험에

서 모집정원의 120%를 1차 합격자로 선발하고자 할 때,

1차 합격자의 최저점수를 구하시오.

(단, P(0≦z≦1.3)=0.4040 )

[풀이 ] 1차 합격자의 최저점수를 t라고 하자. 모집정원

의 120%를 1차 합격자로 선발하므로 1차에 합격할 확률

은 4805000

=0.096이다. X를 시험점수라고 하면

X ∼ N(55, 82)

이고 P(X≧ t )=0.096이다.

z=X-mσ

=t-558

이므로 P(z≧ t-558 )=0.096이고P(0≦z≦ t-558 )=0.4040

이다. 그런데 조건에서 P(0≦z≦1.3)=0.4040이므로

t-558

=1.3

이다. 따라서 t=65.4이므로 1차 합격자의 최저점수는

65.4점이다.

15. 여론조사회사에서 특정 후보에 대한 지지율을 조사하기

위해 300명을 임의 추출하여 조사하 더니 75명이 지지

하고 있었다. 후보의 실제의 지지율에 대한 95% 신뢰구

간을 구하여라.

[풀이 ] 1-0.05=P( |Z |≦1.96)이고

p(1- p)n

=0.25(1-0.25)

300=0.025

이다. 여기서

0.25-1.96×0.025= 0.201 ,

0.25+1.96×0.025= 0.299

이므로 실제의 지지율 p는 0.201≦p≦0.299이다.

- 98 -

16. 어느 지방에서 100가구를 대상으로 월 가계 지출액을

조사하 더니 평균 30만원이었다. 모표준편차가 30만원으

로 알려져있을 때 모평균을 95%로 구간추정하여라.

[풀이 ] 모평균을 m이라고 하면

| 30-m |≦1.96×30100

이므로 24.12≦m≦35.88을 얻는다.

17. 아침 8시 정각에서 5분 간격으로 지하철이 정차하는 지

하철역에 K씨는 아침 8시에서 8시 20분 사이에 도착한

다. K씨가 지하철을 2분 미만 기다릴 확률을 구하시오.

[풀이 ] 확률변수 X를 도착하는 시각이라고 하면 X는

연속균등분포를 따른다. 확률 도함수를 f라고 하면

f (x)=120

(0≦x≦20)

이고 구하는 확률은

∑3

n=0P(3+5n <X≦5+5n)= ∑

3

n=0

⌠⌡

5+5n

3+5nf (x) dx

=220×4=

25

이다. 따라서 구하는 확률은 25이다.

18. 평균이 m , 분산이 4인 정규분포에 따르는 모집단에서

크기 n인 임의표본을 추출하여 그 표본에서 얻은 평균

을 X라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) n=100 , X=10일 때, 신뢰도 95%로 m의 신뢰구

간을 구하시오.

(2) | X-m |≦12인 확률이 95% 이상이 되게 하려면

n의 크기를 얼마로 하면 되는지 구하시오.

[풀이 ] (1) σ=2에서

|m-X |≦k2n

(#)

이다. 그런데 X=10 , n=100 , 신뢰도 95%이므로

|m-10 |≦1.962100

, |m-10 |≦0.392

이다. 따라서 9.608≦m≦10.392이다.

(2) 앞의 (#)와 주어진 조건에 의하여

| X-m |≦1.962n≦12

가 되어야 한다. 이것을 풀면 n≧61.467이므로 n의 크

기는 67 이상으로 하면 된다.

19. 어떤 회사에서 생산되는 1kg들이 제품상자들 중에서 임

의로 64개를 추출하여 조사해보니 평균이 987.2g, 표준편

차가 40.8g이었다. 이 제품상자들이 중량표시를 옳다고

할 수 있는지 유의수준 5%로 검정하시오.

[풀이 ] 주어진 검정은 모평균 검정이다.

모평균 m=1000g이고 표본의 크기가 64 , 그리고 표본

평균이 987.2g이다. 모평균의 검정과정은 다음과 같다.

① 가설 m=1000g

② |z |= | X-mσ/ n |= |987.2-100040.8/ 64 |=2.5098…

③ |z |= 2.5098… > 1.96이므로 유의수준 5%에서 기각

이다.

따라서 이 제품의 상자들은 중량표시가 옳다고 볼 수 없

다.

20. 정규분포에 따르고 분산이 16인 모집단에서 크기가 64

인 표본을 임의추출하여 조사한 결과, 표본평균이 6.085

이었다. 이 때, 가설 ‘모평균은 5이다’를 기각하기 위한

최소의 유의수준을 구하여라.

β 1.88 1.96 2.17 2.58

P(0≦z≦β ) 0.47 0.475 0.485 0.495

[풀이 ] (1) 가설 H를 m=5로 두자.

(2) 유의수준 α인 양측검정은

1-α=P(-z α/2≦Z≦z α/2)

이다.

(3) H의 채택 역은 -z α/2≦Z≦z α/2이다.

(4) Z=X-mσ/ n

=6.085-54/ 64

=2.170이므로

H가 기각될 필요충분조건은

|Z |= 2.17 > z α/2

인 것이다. 이것은 0.485 > 0.5-α/2와 필요충분조건

이므로 α > 0.03을 얻는다.

따라서 구하는 최소의 유의수준은 α=0.03이다.

- 99 -

이산수학 | Discrete Mathematics

1. 한 모서리의 길이가 1인 단위정육면체를 7× 5×4개 붙

여서 모서리의 길이가 각각 7, 5, 4인 직육면체를 만들었

다. 한 꼭지점에서 각각의 단위정육면체의 모서리를 따라

서 대각선으로 맞은편 꼭지점에 이르는 최단거리의 경로

의 수를 구하여라.

[풀이 ] 단위정육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 a , b ,

c라고 하면 문제에서 제시된 두 꼭지점 사이의 경로의

집합은 A= {7×a, 5×b, 4×c }이다. 이 때 순열의 수

와 주어진 문제의 최단경로는 일대일 대응관계가 있다.

따라서 구하는 수는 다음과 같다.

(7+5+4)!7!5!4!

=1,441,440

2. 다음 방정식의 정수해의 개수를 구하여라.

x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=10 ,

x 1≧-1 , x 2≧1 , x 3≧0 , x 4≧2 , x 5≧2

[풀이 ] 중복조합을 활용하자. t 1= x 1+1 , t 2= x 2-1 ,

t 3= x 3 , t 4= x 4-2 , t 5= x 5-2이라고 하면 주어진 방

정식은 다음과 같이 표현된다.

t 1+ t 2+ t 3+ t 4+ t 5=6

여기서 각 t i는 음이 아닌 정수이다. 따라서 해의 개수는

다음과 같다.

5H6=10C6=10C4=10!6!4!

=210

3. 전체 11권의 책이 책꽂이에 나란히 꽂혀있다. 이 중 서로

인접한 두 권의 책은 선택되지 않도록, 4권을 선택하는

방법의 수를 구하여라.

[풀이 ] 선택한 책을 ○, 선택하지 않은 책을 ×로 나타

내자. 이를테면

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

× × ○ × ○ × × ○ × ○ ×

과 같이 나타내자. 이것은 다중집합

{○, ○, ○, ○, ×, ×, ×, ×, ×, ×, × }

의 순열로서 2개의 ○ 사이에 반드시 ×가 있는 것이다.

이러한 조합의 수는 다음 그림의 5개의 빈칸 ㉮, ㉯, ㉰,

㉱, ㉲에 7개의 ×를 넣되, ㉯, ㉰, ㉱에는 각각 1개 이상

들어가도록 넣는 방법의 수와 같다.

㉮ ○ ㉯ ○ ㉰ ○ ㉱ ○ ㉲

그러므로 구하는 경우의 수는

x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=7 ,

x 1≧0 , x 2≧1 , x 3≧1 , x 4≧1 , x 5≧0

의 정수해의 개수와 같다.

또한 이것은

t 1+ t 2+ t 3+ t 4+ t 5=4

의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 여기서

5H4=5+4-1 C4=8 C4=70

이므로 구하는 경우의 수는 70이다.

4. 한 변의 길이가 4인 정사각형의 내부에 17개의 점을

임의로 찍었을 때, 두 점 사이의 거리가 2 이하인 점이

반드시 존재함을 보여라.

[풀이 ] 주어진 정사각형을 한 변이 1인 16개의 단위정

사각형으로 분할할 수 있다. 그러면 17개의 점 중, 비둘

기집의 원리에 의하여, 2개의 점이 찍힌 단위 단위정사

각형이 적어도 하나 존재한다. 하나의 단위정사각형 내의

두 점 사이의 최대거리는 2이다. 따라서 두 점 사이의

거리가 2 이하인 점이 반드시 존재한다.

5. 쪽수가 n인 책이 있다. 이 책의 k쪽에서 l쪽까지 들어

있는 자 수가 n의 배수가 되는 k , l이 존재함을 증

명하여라. (단, 1≦k≦ l≦n )

[풀이 ] 1쪽에서 i쪽까지 들어있는 자 수를 ai라고 하

자. 만약 a ν |n인 ν가 존재한다면 k=1 , l=ν로 택하

면 된다.

이제 a i |n인 i가 존재하지 않는다고 하자. 각 i에 대하

여 ai를 n으로 나눈 나머지를 r i라고 하면

{r 1, r 2, …, rn }⊆{1, 2, …, n-1 }

이다. 따라서 비둘기집의 원리에 의하여 rp= r l인 두 자

연수 p , l이 존재한다. 여기서 1≦ p < l≦n이라고 해도

일반성을 잃지 않는다. 이 때 al-ap는 n의 배수이므

로 k= p+1이라고 하면 k쪽부터 l쪽까지 들어 있는

자 수는 n의 배수가 된다.

6. 치환군 Sn의 원소 중, i≦n인 임의의 자연수 i에 대하

여 σ( i ) /= i를 만족하는 σ의 개수를 Dn이라 할 때

Dn= n! ∑n

k=0

(-1) k

k!

임을 증명하여라.

[풀이 ] Ai={σ∈Sn | σ( i )= i }라고 하면 Dn은

Dn=n!-| ∪n

i=1Ai |

으로 표현된다.

- 100 -

집합 {1, 2, …, n }의 임의의 부분집합 J에 대하여

f J=|∩ i∈JA i |

고 하면 | J |= k일 때 f J=(n-k)!이다. 집합의 교집합

의 크기의 합은

nC k (n-k)!=n!k!

이므로 포함배제의 원리에 의하여 다음과 같은 관계가

성립한다.

| ∪n

i=1Ai |= n!1! -

n!2!+…+(-1)

n-1 n!n!

=n! ∑n

k=1

(-1) k-1

k!.

따라서 구하는 값은 다음과 같다.

Dn=n!-| ∪n

i=1Ai |=n! ∑

n

k=0

(-1)k

k!.

7. 여자 6명과 남자 6명이 미팅을 하 다. 각 여자들이 좋아

하는 남자는 각각 다르고, 각 남자들이 좋아하는 여자도

각각 다르다. 즉, 어느 한 남자를 두 여자가 좋아하지 않

고 또한 어느 한 여자를 두 남자가 좋아하지 않는다. 임

의로 둘씩 짝을 지어 여섯 쌍을 맺었을 때 서로 좋아하

는 커플이 하나도 생기지 않는 경우의 수를 구하여라.

[풀이 ] 교란수 Dn을 이용하자.

D 6= 6! ∑6

k=0

(-1)k

k!

=6!( 10! -11!+12!-13!+14!-15!+16! )

=6!2!-6!3!+6!4!-6!5!+6!6!

=360-120+30-6+1=265

이므로 구하는 경우의 수는 265이다.

8. 0 < k < n인 정수 n , k에 대하여, n명의 사람을 k개

의 그룹으로 나누는 수를 S(n, k)라고 할 때 등식

S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k )

이 성립함을 보여라.

[풀이 ] n명의 사람 1, 2, …, n을 k개의 그룹으로 나

누는 방법을 다음과 같이 두 가지로 나누어 볼 수 있다.

먼저 n이 혼자 한 개의 그룹을 형성할 때, 나머지 1부

터 n-1까지의 사람을 k-1개의 그룹으로 분할하면

n 자신의 그룹 {n }까지 포함하여 k개의 그룹이 생긴

다. 이 때 분할하는 수는 S(n-1, k-1)이다.

또, n이 다른 그룹에 끼어들어가는 경우 1부터 n-1

을 k개의 그룹으로 분할하고 그들 중 어느 한 그룹에

n을 포함시키면 분할 방법의 수는 kS(n-1, k)가 된

다. 따라서 이들을 더하면

S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k )

를 얻는다.

9. 자연수 255,255를 1보다 큰 세 자연수의 곱으로 표현하는

방법의 수를 구하여라.

[풀이 ] 255255를 소인수분해하면 다음가 같다.

255255 = 3×5×7×11×13×17

따라서 여섯 개의 소수 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17을 세 그

룹으로 묶는 경우의 수를 구해야 한다.

S(6, 3)=S(5, 2)+3S(5, 3)=90

이므로 구하는 경우의 수는 90이다.

10. 다음 그래프는 평면그래프가 아님을 보여라.

(1) K 5 (2) K 3,3

[풀이 ] (1) K 5에서 v=5 , e=5 C2=10이다.

v-e3=1.66… < 2

이므로 K 5는 평면그래프가 아니다.

(2) K 3,3은 v=6 , e=9인 이분그래프이다.

v-e2= 1.5 < 2

이므로 K 3,3은 평면그래프가 아니다.

11. 전체 100명의 사원이 있는 어느 회사의 비상연락망은 전

화를 받는 사람이 3명의 다른 사람에게 전화하도록 되어

있다. 전화를 받고 연락을 해야하는 사람은 몇 명인가?

[풀이 ] 비상연락망은 3진 트리이며, 중간점의 개수 i를

구하는 것이 문제이다. 중간점 및 뿌리가 전화를 해야하

므로 전화하는 사람의 수는 i+1이다. 그러므로 전화를

받는 사람의 수는 3( i+1)이다. 뿌리를 제외한 모든 사

람이 전화를 받으므로 3( i+1)=99이다. 따라서

i=993-1=32

를 얻는다.

12. 다음 두 그래프 G 1= (V 1, E 1) , G 2= (V 2, E 2)가 동

형인지 아닌지 판단하고 그 이유를 밝히시오.

[풀이 ] 함수 f :V 1 → V 2를 다음과 같이 정의하자.

f : a ↦p , b ↦ s , c ↦ t , d ↦r , e ↦q

그러면 f와 f -1는 연결상태를 보존하는 전단사 함수가

된다. 따라서 G 1과 G 2는 동형이다.

- 101 -

13. 다음 차수열이 그래프적인지 판정하여라.

(1) (6, 5, 5, 4, 3, 2, 2)

(2) (6, 5, 5, 3, 3, 3, 3)

[풀이 ] (1) 홀수점의 수가 홀수개이므로 이 수열을 차수

열로 하는 그래프는 존재하지 않는다.

(2) (6, 5, 5, 3, 3, 3, 3)에서 첫째 수 6을 없애고 남는

수 중 제일 큰 수 6개에서 1을 빼면

(4, 4, 2, 2, 2, 2)

이다. 여기서 첫째 수 4를 없애고 남는 수 중 제일 큰

수 4개에서 1을 빼면

(3, 1, 1, 1, 2)

이다. 이것을 큰 수부터 정렬하면 (3, 2, 1, 1, 1)이다.

여기서 첫째 수 3을 없애고 남는 수 주 제일 큰 수 3개

에서 1을 빼면

(1, 0, 0, 1)

이다. 이 수열은 명백히 그래프적이므로 문제에서 주어진

수열도 그래프적이다.

14. 다음 그래프 G의 생성부분그래프 중 변이 4개인 것을

3개 구하여라.

[풀이 ] 다음은 위 그래프의 부분그래프이다.

이들은 모두 G의 모든 꼭지점을 포함하고 변이 4개이며

고립된 꼭지점이 없으므로 문제의 조건을 만족한다.

15. 다음 그래프 G의 최소생성그래프를 구하여라. (단, 변

옆에 써 있는 수는 간선의 비중이다.)

[풀이 ] 다음은 크루스칼 알고리즘에 의하여 생성된 생성

그래프이다.

비중이 가장 큰 변 3개가 제거되었으며, 4개 이하의 변을

가진 부분그래프는 G를 생성할 수 없으므로 이 그래프

는 G의 최소생성그래프이다.

16. 다음의 다중그래프에서 오일러 경로와 회로가 존재하는

지 판단하고 그 이유를 설명하여라.

[풀이 ] 주어진 그래프는 두 정점 a , c에서 홀수차의 정

점을 갖고 나머지 정점에서는 작수차의 정점을 가진다.

그러므로 오일러 회로는 존재하지 않고 오일러 경로는

가진다. 여기서 오일러 경로는 홀수차 정점에서 시작하여

홀수차 정점에서 끝나면 된다. 따라서 오일러 경로 중 하

나를 구하면 다음과 같다.

a - b- c - a - d - b - d - c

17. 다음 그래프에서 해 턴 회로를 구하여라.

[풀이 ] 다음과 같은 탐색을 살펴보자.

a →e → f →k →p → s → t →r →q →o

→ l →g →c →b →d →h →m →n

→ i → j →a

위 경로는 모든 정점을 한 번 통과하고 시점과 종점이

동일하므로 해 턴 회로가 된다.

18. 다음 그래프는 어느 도시의 A, B, C, D 네 지점 사이에

서 자동차로 곧바로 갈 수 있는 경우를 화살표로 나타내

고 있다.

어떤 지점에서 다른 지점으로 갈 때, ‘곧바로 또는 한 지

점을 거쳐서’ 갈 수 있는지 없는지를 알 수 있는 행렬을

구하여라.

- 102 -

[풀이 ] 먼저 정점 A, B, C, D의 순서대로 각 행과 열로

배열하여 인접행렬을 구하면 다음과 같다.

M=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

0 1 1 10 0 1 01 0 0 01 0 1 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

여기서 Mk의 ( i, j ) 성분은 길이가 k인 ( i, j ) -경로의

개수가 된다. 따라서

M+M 2=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳

2 1 3 11 0 1 01 1 1 12 1 2 1

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳

을 통해서, (B, B ) , (B, D)를 제외한 모든 경우, 곧바

로 또는 한 지점을 거쳐서 갈 수 있음을 알 수 있다.

19. 다음 그래프의 채색수를 채색다항식을 이용하여 구하여

라.

[풀이 ] 점 p 1에서 채색수를 x라고 하면 p 2에서 채색수

는 x-1이고 p 3에서 채색수는 x-2이며 p 4에서 채색

수는 x-3이다. 이 때 채색다항식을 P 1(G, x )라고 하

면 P 1(G, x )= x(x-1)(x-2)(x-3)이다.

또한 다른 점으로부터 시작해도 동일한 다항식을 얻는다.

따라서 그래프 G의 채색다항식은 다음과 같다.

P(G, x )= x(x-1)(x-2)(x-3)

여기서 P(H, x)≧1이 되는 최소의 양의 정수 x의 값

은 x=4이므로 주어진 그래프는 4 -채색 가능이다.

20. 다음 그래프는 다섯 개 야구팀의 대전 결과를 나타내는

토너먼트이다.

두 개의 팀 x , y에 대하여 x가 y를 이겼을 때 직접적

으로 이겼다고 하고, x가 진 팀이 y를 이겼을 경우 간

접적으로 이겼다고 하자. 직접 이긴 경우 2점, 간접적으

로 이긴 경우 1점을 부여할 때, 이 대전 결과에 대한 팀

별 점수 순위를 결정하여라.

[풀이 ] 주어진 토너먼트를 T라고 하자.

여기서 A(T )는 직접 이기는 경기의 수를 성분으로 갖

는 행렬이고 A(T ) 2은 간접적으로 이기는 경기의 수를

성분으로 갖는 행렬이다.

A(T )=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0 0 1 1 01 0 1 0 10 0 0 1 00 1 0 0 01 0 1 1 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

, A(T ) 2=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0 1 0 1 01 0 2 3 00 1 0 0 01 0 1 0 10 1 1 2 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

이므로

A(T )+2A(T ) 2=

ꀌ

ꀘ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0 1 2 3 03 0 4 3 00 1 0 2 00 2 1 0 12 1 3 4 0

ꀍ

ꀙ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

이다. 위 행렬의 i행의 합을 r i는 꼭지점 i에 해당하는

팀의 점수이다.

r 1=6 , r 2=10 , r 3=3 , r 4=4 , r 5=10

이므로 2팀과 5팀이 1위, 1팀이 3위, 4팀이 4위, 3팀이 5

위임을 알 수 있다.

21. 동수네 마을에는 모두 6개의 교차로와 11개의 도로가

있다. 아래 지도에는 각 도로 옆에 도로의 길이와 도로에

서 달릴 수 있는 최고 속력이 적혀 있다.

A 지점에 있는 동수는 프라이드를 구입한 기념으로 직접

운전하여 F 도시에 사는 여자친구에게 가려고 한다. 동수

가 여자친구에게 가장 빠른 시간에 가려면 어떠한 교차

로를 거쳐서 가야 하는지 순서대로 쓰고, 그 때에 예상되

는 최단 운전 시간은 몇 분인지 구하여라.

[풀이 ] 각 교차로를 점으로, 각 단위 도로를 간선으로,

교차로간의 분 단위 이동시간을 각 간선의 비중으로 생

각하여 그래프로 표현하면 다음과 같다.

여기서 다익스트라 알고리즘으로 A에서 F까지 최단비중

경로를 구하면

A → B → C → D → E → F

가 된다. 이 때 걸리는 시간은 160분이다.

- 103 -

22. 다음은 가중 방향 그래프와 그래프의 정점 1로부터 다

른 정점까지의 최단거리를 다익스트라 알고리즘을 이용

하여 구하는 단계를 표로 나타낸 것이다.

단계 S w D[2] D[3] D[4] D[5]

0 {1} - 10 ∞

1 {1, 2} 2 30

2 {1, 2, 4} 4 90

3 3

4

여기서 D[i]는 1로부터 i까지의 최단거리를 의미한다. 표

를 완성하여라.

[풀이 ]

단계 S w D[2] D[3] D[4] D[5]

0 {1} - 10 ∞ 30 100

1 {1, 2} 2 10 60 30 100

2 {1, 2, 4} 4 10 50 30 90

3 {1, 2, 4, 3} 3 10 50 30 60

4 {1, 2, 4, 3, 5} 5 10 50 30 60

23. 식 2×3+ 5÷ ( 4- 1)을 이진 트리로 표현하고 전순위

탐방과 후순위 탐방의 결과를 쓰시오.

[풀이 ] 주어진 식을 이진 트리로 표현하면 다음과 같다.

전순위탐방은

+ ×÷235- 41

이고 후순위탐방은

23×541- ÷+

이다.

24. 다음은 문자 집합 S={ a, b, c, d, e }의 각 문자가

나타날 확률을 나타낸 표이다.

문자 a b c d e

확률 0.12 0.40 0.15 0.08 0.25

위 다섯 개의 문자에 대한 허프만 트리를 작성하고 최

적화된 이진코드를 구하여라.

[풀이 ] 허프만 트리를 작성하면 다음과 같다.

위 트리를 이용하여 최적화된 이진코드를 구하면

문자 a b c d e

이진코드 1111 0 110 1110 10

을 얻는다.

25. 수열 {an }에 대하여

a 0=1 , a 1=1 , an=5an-1-6an-2

이 성립할 때 {an }이 일반항을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 점화식의 특성방정식은 x 2-5x+6=0이

고 이 방정식의 근은 2 , 3이다.

an=α⋅2n+β⋅3n

으로 두면 초기값으로부터

α+β=1 , 2α+3β=1

을 얻는다. 즉 α=2 , β=1이므로 일반항은

an=2n+1-3n , n≧0

이다.

26. 한 종류의 1×1 보드와 흰 색, 검은 색 두 종류의 1×2

보드가 있다. 이 세 종류의 보드로써 1×n 보드를 덮는

방법의 수 an을 n에 관한 식으로 나타내어라.

[풀이 ] 명백히 a 1=1이다. 또한 1×2 보드를 덮는 방법

은 3가지이므로 a 2=3이다. n≧3일 때 1×n 보드를

덮는 방법은 다음 두 가지 경우로 나뉜다.

(ⅰ) 왼쪽 끝을 1×1 보드로 덮는 경우는 1×(n-1) 보

드를 덮는 방법의 수와 같으므로 an-1이다.

(ⅱ) 왼쪽 끝을 1×2 보드로 덮는 경우, 1×2 보드는 두

가지 종류가 있고 각각 1×(n-2) 보드를 덮는 방법

의 수와 같으므로 2an-2이다.

따라서 an=an-1+2an-2이다. 이 점화식의 특성방정

식은 x 2-x-2=0이고 그 근은 -1 , 2이다.

an=α(-1)n+β⋅2

n

이라고 하면 a 1=1 , a 2=3으로부터

α=13

, β=23

을 얻는다. 따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.

an=13{ (-1)n+2n+1 } .

- 104 -

27. 다음은 피보나치수열 {an }의 점화식이다.

a 0=1 , a 1=1 , an=an-1+an-2

이를 이용하여 {an }의 일반항을 구하여라.

[풀이 ] 주어진 점화식의 특성방정식 x 2-x-1=0의

근은 1+ 52

, 1- 52

이다. 여기서

an=α( 1+ 52 )

n

+β( 1- 52 )

n

이라고 두면 초기값으로부터

α=1+ 52 5

, β=-1- 52 5

를 얻는다. 따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.

an=15 (1+ 52 )

n+1

-15 (1- 52 )

n+1

.

28. 다음 조건을 만족하는 수열 {an }의 일반항을 구하여라.

a 0=1 , a 1=4 , an=4an-1-4an-2

[풀이 ] 점화식으로부터 특성방정식 x 2-4x+4=0을

얻는다. 이 방정식은 중근 2를 가진다.

an=α⋅2n+β⋅n⋅2

n

으로 두면 초기값으로부터 α=1 , β=1을 얻는다. 따라

서 구하는 일반항은 다음과 같다.

an=2n+2nn=(n+1) 2n .

29. 다음 조건을 만족하는 수열 {an }의 일반항을 구하여라.

a 0=2 , a 1=-2 , a 2=8 , a 3=-12 ,

an=-2an-1+2an-3+an-4 .

[풀이 ] 점화식으로부터 특성방정식

x 4+2x 3-2x-1=(x+1)3(x-1)=0

을 얻는다. 이 방정식은 삼중근 -1과 근 1을 가진다.

an=α(-1)n+β n (-1)n+γ n 2 (-1)n+δ 1 n

으로 두면 초기값으로부터 α=β=γ=δ=1을 얻는다.

따라서 구하는 일반항은 다음과 같다.

an=(1+n+n2)(-1)

n+1 .

30. 성과행렬이 A=( 2 -1 31 3 2 )인 게임에서 갑, 을의 최

적전략과 게임값을 구하여라.

[풀이 ] A=(a 1, a 2, a 3)= (a ij )라고 하면 a i 1 < a i3이

므로 갑의 임의의 전략 x=(x 1, x 2)t에 대하여

x ta 1 < xta 3

이다.

을의 최적전략을 y 0= (β1, β2, β3)t라고 하면

x tA y0= [ xta 1, x

ta 2, xta 3] y0

=β1xta 1+β2x

ta 2+β3xta 3 .

β 3 > 0이라고 하면 y 0'=(β1+β3, β2, 0)t로 둘 때,

xtAy0'=(β1+β3)x

ta 1+β2x

ta 2 < x

tA y0

이므로 β3=0이어야 하고 따라서 최적전략과 게임값은

B=( 2 -11 3 )를 성과행렬로 하는 게임의 최적전략과 게임값으로부터

구할 수 있다. 이 게임의 최적전략과 게임값은 각각

( 25 ,35 )

t

, ( 45 ,15 )

t

, 75

이다. 따라서 원래의 게임의 최적전략과 게임값은

x 0= ( 25 ,35 )

t

, y 0=( 45 ,15, 0 )

t

, 75

이다.

31. 갑, 을 두 TV 방송사는 어느 날 황금시간대에 방 할

수 있는 프로그램으로 갑은 x 1 , x 2 , x 3 , x 4를, 을은 y 1 ,

y 2 , y 3을 가지고 있다. 여론조사기관에서 조사한 예상

시청자 수의 비가 아래 표와 같다고 한다. 이 표의 셀 중

에서 ( i, j ) -성분은 갑이 x i를 방 하고 을이 y i를 방

할 때 갑을 시청하는 시청자 비의 백분율을 나타낸다.

갑과 을의 최적 전략과 게임의 값을 구하여라.

을갑 y 1 y 2 y 3

x 1 10 70 20

x 2 30 20 80

x 3 40 50 70

x 4 20 50 60

[풀이 ] 성과행렬의 안장점은 a 31=40이고, 따라서 이

게임은 강결점게임이다. 갑, 을에 대한 최적전략은 각각

p*= [0, 0, 1, 0]

t , q *= [1, 0, 0] t

이다. 즉 갑은 x 3을, 을은 y 1을 방 하는 것이 각각 최

적전략이다. 이 때 게임의 값은 40이고 이것은 갑은 전체

시청자의 40%, 을은 60%를 확보한다는 뜻이다.

32. 캠핑을 가기 위해 짐을 꾸리려고 한다. 가져갈 물품의

무게와 가치를 고려하여 아래와 같은 표를 만들었다.

물건 무게 (kg) 가치

물 20 9

쌀 15 7

텐트 10 4

약품 5 6

최고 30kg까지 가져갈 수 있을 때 가치가 최대가 되도록

짐을 꾸리는 방법을 구하시오.

- 105 -

[풀이 ] 배낭 꾸리기 알고리즘을 활용하자.

a=(20, 15, 10, 5) t , v=(9, 7, 4, 6) t

라고 하자. 둘레의 길이 4인 성분이 0과 1인 벡터는 16개

이다.

a 20 15 10 5 at x y

v 9 7 4 6 vtx

0 0 0 0 0 0 y 1=(0, 0, 0, 0)

0 0 0 1 5 6 y 2=(0, 0, 0, 1)

0 0 1 0 10 4 y 3=(0, 0, 1, 0)

0 0 1 1 15 10 y 4=(0, 0, 1, 1)

0 1 0 0 15 7 y 5=(0, 1, 0, 0)

0 1 0 1 20 13 y 6=(0, 1, 0, 1)

x 0 1 1 0 25 10 y 7=(0, 1, 1, 0)

0 1 1 1 40 17 y 8=(0, 1, 1, 1)

1 0 0 0 20 9 y 9=(1, 0, 0, 0)

1 0 0 1 25 15 y 10=(1, 0, 0, 1)

1 0 1 0 20 13 y 11=(1, 0, 1, 0)

1 0 1 1 35 × y 12=(1, 0, 1, 1)

1 1 0 0 35 × y 13=(1, 1, 0, 0)

1 1 0 1 40 × y 14=(1, 1, 0, 1)

1 1 1 0 45 × y 15=(1, 1, 1, 0)

1 1 1 1 50 × y 16=(1, 1, 1, 1)

위 표에서 v tx가 가장 큰 값은 17이고, 이 때 y는

y 8= (0, 1, 1, 1)

이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 배낭은 쌀, 텐트,

약품을 가져가야 한다.