第 11 章 證券投資組合

第 11 章 證券投資組合

1

11.1 證券投資組合之報酬率11.2 證券投資組合之風險

11.3 效率投資組合11.4 證券投資組合之應用

2

11.111.1 　證券投資組合之報酬　證券投資組合之報酬

率率

N 種證券之證券投資組合期望報酬率的公式如下：

其中E ( ) ‧ 為數學期望值wj 為購買第 j 種證券的比重Rj為第 j種證券的報酬率

ProtfolioC股票

B股票A股票

3

E (Rp) = j=1

N wj‧ E (Rj)， (11 1)

答： E (Rp) = 1 N

j=1

N E (Rj) =

1 N

(6% + 6.2% + 6.4%)

= 6.2%。

期望報酬率A 銀行年初購買了同樣金額的 X 、 Y 、 Z 三種債券，年底到期，票面利率各為 6%、 6.2%、 6.4% ，則期望報酬率為何？

4

11.211.2 證券投資組合之風證券投資組合之風

險險1. 證券投資組合範例

表 11.1 A 、 B 、 C 證券之報酬率 個股 % 證券組合

月 A B C AB AC1 8.80 4.40 -3.80 6.60 2.50

2 8.02 4.01 -3.02 6.02 2.50

3 -3.50 -1.75 8.50 -2.63 2.50

4 9.48 4.74 -4.48 7.11 2.50

5 -7.80 -3.90 12.80 -5.85 2.50

6 9.00 4.50 -4.00 6.75 2.50

均數 4.00 2.00 1.00 3.00 2.50

標準差 7.61 3.81 7.61 5.71 0.00

Portfolio

5

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

A

B

報酬率

A標準差 = 7.61%B標準差 = 3.81%

月

圖 11-1(A) A 與 B 證券之報酬率

(1) 證券組合 AB

6

◎ 證券組合 AB 的報酬率為證券 A 與證券 B 之平均。

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

報酬率

標準差

證券組合

= 5.71%

0.5A + 0.5B

圖 11-1(B) AB 證券投資組合之報酬率 7

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6A

C

報酬率

標準差 = 7.61%A

標準差C = 7.61%

圖 11-2(A) A 與 C 證券之報酬率

(2) 證券組合 AC

8

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

證券組合

標準差

報酬率

0.5A + 0.5C

= 0

圖 11-2(B) AC 證券投資組合之報酬率

◎ 證券組合 AC 的報酬率固定為 2.5% ，呈一條線， 標準差為 0 。

9

1 、表 11.2 列出 A 、 B 兩種證券比重不同時的證券組合報酬率：

表 11.2 A、 B 證券組合之報酬率 個股 證券組合 %

月 A B 0.8A+0.2B 0.6A+0.4B 0.4A+0.6B 0.2A+0.8B1 8.80 4.40 7.92 7.04 6.16 5.282 8.02 4.01 7.22 6.42 5.61 4.813 -3.50 -1.75 -3.15 -2.80 -2.45 -2.104 9.48 4.74 8.53 7.58 6.64 5.695 -7.80 -3.90 -7.02 -6.24 -5.46 -4.686 9.00 4.50 8.10 7.20 6.30 5.40均數 4.00 2.00 3.60 3.20 2.80 2.40標準差 7.61 3.81 6.85 6.09 5.33 4.57

2. 證券的相關性

10

0.00

2.00

4.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

報酬率

風險

0.2A+0.8B

0.8A+0.2B

A B 1與 之相關係數為

0.6A+0.4B0.4A+0.6B

圖 11-3 A、 B 證券組合之報酬率與風險

◎ A 、 B 兩種證券的相關係數為 1 ：

11

表 11.3 A、 C 證券組合之報酬率 個股 證券組合 %

月 A C 0.8A+0.2C 0.6A+0.4C 0.4A+0.6C 0.2A+0.8C1 8.80 -3.80 6.28 3.76 1.24 -1.282 8.02 -3.02 5.81 3.60 1.40 -0.813 -3.50 8.50 -1.10 1.30 3.70 6.104 9.48 -4.48 6.69 3.90 1.10 -1.695 -7.80 12.80 -3.68 0.44 4.56 8.686 9.00 -4.00 6.40 3.80 1.20 -1.40均數 4.00 1.00 3.40 2.80 2.20 1.60標準差 7.61 7.61 4.57 1.52 1.52 4.57

2 、表 11.3 列出 A 、 C 兩種證券比重不同時的報酬率：

12

0.00

2.00

4.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

報酬率

風險

0.8A+0.2C

0.6A+0.4C

0.4A+0.6C

0.2A+0.8C

0.5A+0.5C

A C - 1與 證券相關係數為

圖 11-4 A、 C 證券組合之報酬率與風險

◎ A 、 C 兩種證券比重不同時的報酬率及其風險狀況：

13

3. 證券組合變異數

以 Rx 及 Ry 代表 X 及 Y 兩種證券的報酬率， s 及 s 代表變異數 ( 證券的風險 ) 。投資相同金額於 X 及 Y 兩種證券的變異數如下：

其中 wj 為投資於證券 j (x 或 y) 的比重， wx + wy =

1 ；14

p2 = Var (wxRx + wyRy)

= wx2‧ x2 + wy2‧ y2 + 2 wx wy Cov (Rx, Ry) ， (11 2)

Cov (Rx, Ry) = xy = 1 N

i=1

N

(Rxi x)(Ryi y)， (11 3) Cov (Rx, Ry) = xy = 1 N

i=1

N

(Rxi x)(Ryi y)， (11 3)

Cov (Rx, Ry) 為 Rx 與 Ry 的「共變數

(Covariance) 」，代表兩者之間相互變動的趨勢，計算公式如下：

其中 mx 為證券 x 之母體均數， N 為母體的總數。

15

◎ 當 xy = 1，代表 X 及 Y 兩種證券完全相關：

16

◎ 「相關係數」之定義：

xy = Cov (Rx, Ry)

x‧ y [Cov (Rx, Ry) = xy‧ x‧ y]，

代入證券組合變異數的公式可得：

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 + 2 wx wy x y = (wx x + wy y)2

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 + 2 xy wx wy x y ， (11 4)

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 2 wx wy x y = (wx x wy y)2

◎ 當證券的相關係數愈低，可分散風險的能力就愈高： xy = 1 xy = 0 xy = 1

─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─

(wx x + wy y)2 wx2‧ x2 + wy2‧ y2 (wx x wy y)2

證券組合風險 0

證券組合報酬率 E(R)

‧

‧ X

Y

降低風險%增 加

= -1.0xy

= 1.0xy

= -1.0xy 證

券的權數

Y

= 0xy

圖 11-5 兩種證券之相關係數與風險 17

答： sxy = 1

n 1 i=1

n

(Rxi －R x)‧ (Ryi －R y)

= 1 4 [(0.40 0.15) (0.28 0.15) + ( 0.10 0.15) (0.20 0.15)

+ (0.35 0.15) (0.41 0.15) + ( 0.05 0.15) ( 0.17 0.15)

+ (0.15 0.15) (0.03 0.15)] = 0.034，

相關係數：rxy = sxy

sx‧ sy =

0.034 (0.226)(0.226)

= 0.6657。

3 、 [ 證券組合標準差 ]

下表為 X 、 Y 股票於 5 個月以來的報酬率，兩者報酬率的均數皆為 15% ，標準差 22.6% 。

18

股 票 1 2 3 4 5 均 數 S.D.

X 40% -10% 35% -5% 15% 15% 22.6%

Y 28% 20% 41% -17% 3% 15% 22.6%

投資組合風險

系統性風險

非系統性風險

10 20 30 證券數目0

增加證券數目可降低0風險，但無法降為

圖 11-6 投資組合之證券數目與風險

4. 證券數目及風險

陰影區域為「系統性風險 (SYSTEMATIC RISK) 」。 因 證 券 數 目 增 加 所 降 低 的 風 險 為 「 非 系 統 性 風 險

(UNSYSTEMATIC RISK) 」 19

11.311.3 　效率投資組合 　效率投資組合 1. 效率組合

效率前緣

投資組合風險 0

投資組合期望報酬率 E(R)

A C

Z

8%4% 12%

(Efficient Frontier)

‧

‧ ‧

D‧

在相同的報酬率之A下， 的風險較低

B在相同的風險之下， 的C C D報酬率大於 ， 又大於

‧B

F‧

E‧

10%

14%

8%

18%

4%

圖 11-7 效率組合 20

◎ 比較圖 10-7 中的投資組合如下：

A A 與 與 CC ：兩者的期望報酬率相同 (10%) ，但 A 的標準差 (4%) 小於 C 的標準差 (8%) ，表示 A 比 C 要有 效率。

B B 與 與 CC ：兩者的標準差相同 (8%) ，但 B 的期望報酬率 (18%) 大於 C 的期望報酬率 (10%) ，表示 B 要 比 C 更有效率。 C C 與 與 DD ：兩者的標準差相同 (8%) ，但 C 的期望報酬率 (10%) 大於 D (4%) ，表示 C 要比 D 更有效率；

由於 B 優於 C ，因此 B 要比 D 更有效率 。 ◎ 弧線 就是「效率前緣 (Efficient Frontier) 」

21

效率前緣

A

P‧ I1

I2

I3

( )無異曲線

( )甲投資人 惡風險程度較高

效用增加

( )乙投資人 惡風險程度較低

期望報酬率E(R)

投資組合

效率前緣

A

P‧

‧

( )無異曲線

J1

J2

J3

‧E

效用增加

期望報酬率E(R)

投資組合

投資組合風險 0投資組合風險 0

2. 效率組合之選擇

圖 11-8 投資人對效率組合的選擇 22

效率前緣

投資組合期望報酬率 E(R)

A

M

投資組合風險 0

Rf

N‧‧L

‧ W

E(Rm)

m

‧

‧

3. 資本市場線

圖 11-9 無風險利率與效率組合

◎ N 點比 L 點有效率 23

效率前緣

投資組合期望報酬率 E(R)

A

M

投資組合風險 0

Rf

借入

借出

W‧資本市場線

(CML)

m

E(Rm) ‧

‧

圖 11-10 無風險利率與效率組合

◎ RfW ：資本市場線 (Capital Market Line) ，

斜率： ◎ M 點為「資本市場線 (CML) 」與「效率前緣」的切點， 為「市場投資組合 (Market Portfolio) 」。

[E(RM) Rf]/m

24

11.4 11.4 證券投資組合之應證券投資組合之應

用用 [ 證券投資組合 ] A 、 B、 C 、 D 四種股票的報酬

率：

25

表 11.4 證券投資組合的報酬率及標準差 個股 % 證券組合 %

週 A B C D ABC ABD ACD BCD1 2.45 4.16 3.68 -1.24 3.43 1.79 1.63 2.202 8.92 3.20 6.78 2.56 6.30 4.89 6.09 4.183 -3.56 1.34 1.55 -1.45 -0.22 -1.22 -1.15 0.484 9.45 -6.89 4.56 10.46 2.37 4.34 8.16 2.715 -5.22 -3.11 -4.30 -16.50 -4.21 -8.28 -8.67 -7.976 6.21 4.32 9.65 9.58 6.73 6.70 8.48 7.857 0.56 2.73 2.34 6.57 1.88 3.29 3.16 3.888 -2.36 0.58 -5.67 -8.75 -2.48 -3.51 -5.59 -4.619 -2.77 -1.45 2.56 11.32 -0.55 2.37 3.70 4.14

10 1.26 -1.80 3.12 6.90 0.86 2.12 3.76 2.7411 -1.22 -2.63 -4.58 4.56 -2.81 0.24 -0.41 -0.8812 11.33 3.55 -1.32 18.96 4.52 11.28 9.66 7.0613 15.87 5.21 7.95 22.34 9.68 14.47 15.39 11.8314 -7.98 1.28 9.43 -16.24 0.91 -7.65 -4.93 -1.8415 4.22 1.02 -1.50 6.98 1.25 4.07 3.23 2.1716 4.67 0.56 3.22 11.58 2.82 5.60 6.49 5.1217 -3.27 -6.97 6.47 7.68 -1.26 -0.85 3.63 2.3918 2.67 1.25 4.32 -4.59 2.75 -0.22 0.80 0.33均數 2.29 0.35 2.68 3.93 1.77 2.19 2.97 2.32標準差 6.31 3.56 4.65 10.59 3.56 5.70 5.87 4.54

◎ 以 A 、 B、 C、 D 其中的三種股票作為證券組合 ( 共有 4 種組合 ) ：

圖 11-11 證券組合的報酬率及標準差

0

1

2

3

0 2 4 6 8

ABC

BCD ABD

ACD

平均報酬率

標準差

◎ 比較證券組合 BCD (p = 2.32%， p = 4.54%) 及 ABD (p = 2.19%， p = 5.70%) ABD 不屬於效率組合。 26

圖 11-12 開發中國家股市的報酬率及標準差 (1986 年 7 月至 1991 年 6 月 )

2 、 [ 國際證券投資組合 ]

開發中國家的年報酬率及標準差：

27

圖 11-13 單一市場與國際市場之效率組合

◎ 同時投資於國際市場，可供選擇的證券數目愈多，證券之間的關聯性愈低，更能夠降低風險：

單一市場

投資組合期望報酬率 E(R)

M

投資組合風險 0

國際市場

W‧‧

28