MOMENT DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

KELOMPOK 71.ARNIATI2.FERAWATI DESRA3.OKTAMIRA

Definisi Momen

Definisi 1 :Momen ke r dari peubah acak x di sekitar 0 dinotasikan dengan µ’r dan didefenisikan sebagai berikut :

dimana r = 0, 1, 2, …

==∫

∑∞

∞

kontinu adalah jika )(

diskrit adalah jika)(

)(

-

'

Xdxxfx

XxfxXE

r

x

r

rrµ

Definisi 2 :Momen ke r dari peubah acak x di sekitar µ dinotasikan dengan : (r = 0, 1, 2, …)

( )[ ]

−

−

=−=∫

∑∞

∞

kontinu adalah jika )()(

diskrit adalah jika)()(

-

Xdxxfx

XxfxxE

r

x

r

rr

µ

µ

µµ

CONTOH 1

Bila x menyatakan nilai mata dadu dari pelambungan dadu yang setimbang tentukanlah :a. 3 momen pertamab. 3 momenc. variansi x

CONTOH 2Hitunglah rataan dan variansi peubah acak x yang mempunyai fungsi padat x

<<=

selainnya,0

2 x 0 ,2)(x

xf

Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 3 :Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X diperoleh dari E(etX) dan dinyatakan dengan MX(t). Sehingga

( ) ( )

==∫

∑∞

∞

kontinu adalah jika )(

diskrit adalah jika )(

-

Xdxxfe

XxfeeEtM

tx

x

tx

tXX

Fungsi Pembangkit – Momen hanya akan ada bila jumlah atau Integral pada definisi 3 konvergen. Bila fungsi pembangkit – momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Yang caranya diuraikan dalam teorema 1

Teorema Pembangkit Momen

Teorema 1 :Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit momen MX(t). Maka

( ) '

0r

tr

Xr

dttMd µ=

=

Contoh 1 :

Cari fungsi pembangkit momen untuk variabel random binomial X dan gunakanlah untuk memverifikasi bahwa µ = np dan σ2 = npq!

Contoh 2 : Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit –

momen peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan bervariansi σ2 adalah Mx(t) = eµt + σ2 t2/2

Teorema-teorema

1. (Teorema ketunggalan) Misalkan X dan Y dua peubah acak masing-masing dengan fungsi pembangkit-momen MX(t) dan MY(t), Jika MX (t) = MY (t) untuk semua nilai t, maka X dan Y memiliki distribusi peluang yang sama.

2. MX+a(t) = eatMX(t)

3. MaX(t) = MX(at)

4. Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen, masing-masing

dan Y = X1 + X2 + …+Xn maka

MY(t) =

)(),...,(),(21

tMtMtMnXXX

)()...()(21

tMtMtMnXXX