Descarga mas libros en: http://librosdejoe.blogspot.com o busca en la web: librosdejoe Ejercicios resueltos de lgebraLineal SANZ yTORRES EJERCICIOS RESUELTOSDE LGEBRA LINEAL No est permitida la reproduccintotalo parcial de este libro,ni su tratamiento informtico, nila transmisin de ningunaformao por cualquier medio, yasea electrnico, mecnico, por fotocopia,por registrou otros mtodos, sin elpermiso previo y por escrito de los editores y autores. Ana Mara Daz Hernndez Luis Tejero Escribano Esther GilCid Elvira Hernndez Garca EDITORIAL SANZ yTORRES, S.L. Pinos Alta, 49 - 28029 Madrid Telfs.: 902400 415 - 913148782 www.sanzytorres. com editorial@sanzytorres.com libreria@sanzytorres.com ISBN:84-96094-35-9 Depsito legal:M-3S404-2004 Portada: Masterline, S.L. CI Las Minas,l . 28250 Torrelodones (Madrid) Composicin: Caslon, S.L.CI Matilde Hernndez, 31 , 3. A.28019 Madrid Impresin: Edigrafos,S.A.CI Volta,2, PoI.Ind.San Marcos.28906 Getafe (Madrid) Encuadernacin: Felipe Mndez, S.A. CI DelCarbn, 6 y 8, PoI.Ind.San Jos de Valderas 2. 289 J 8 Legans (Madrid) ACarlos Romera, compaero decuyo recuerdo estn impregnadas estas pginas. quin va dirigido este libro? todos los estudiantes que, adems de aprender, deseen entrenarse en la tarea de r pruebas tipo test. Consolidar los conceptos adquiridos previamente. Profundizar en los mtodos propios de la materia. bordar de forma gradual ejercicios yproblemas mscomplicados. 440 ejerciciosresueltospasoa paso,muchosdeellosseleccionados de entre los ........... ,,"" en anteriores pruebas presenciales, agrupados por secciones dentro de ca-ptulo y en orden creciente de dificultad. utilizado? Elcontenidoestorganizadodelamismaformaqueesteprlogo:mediante _,.uu.,"" que dirigen elproceso de razonamiento para resolver elproblema enun-hanincorporadoenmuchos ejerciciosconceptostericosbsicosadquiridos anterioridad a finde nodispersar la atencindelestudiante ensubsqueda. (El I Prlogo accesoa dichosconocimientoses inmediatoparalos poseedoresdeltexto"lgebra Lineal Bsica" en el C.D o en la Addenda que contiene). Consideramosesteprocedimiento,prximoalaenseanzaprogramada,elms adecuadopara el estudiante quenoestcontinuamentebajolamiradadelprofesor. 11 Madrid, agosto 2004. Ana Daz Hemndez Coordinadora Captulo1 ESPACIOS VECTORIALES Anlisisdecandounconjuntoconuna leyde composicininterna y aoperacin de suselementos con losnmeros reales esespacio vec-lOrial............... ........... .. ........ ....... ..... ... ... .................................. ............... ....1 Cundounsubconjuntodeunespaciovectorialessubespaciovecto-rial................. ... ...... ... ....... ........ ... ........... ......................... ....... .....................17 Cundo un sistema de vectores genera un espacio vectorial........ ..............27 Independencia lineal, bases y dimensin de espacios vectoriales finitos...41 Relacinentresubespaciosdeunespaciovectorialfinito,dimensiones, , suma y suma directa.................. .... ............ ...... ...... ........ ...................53 Captulo 2 APLICACIONESLINEALES Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios vectoriales.. ................ . La matriz asociada a una aplicacin lineal............................ .................... . raCIonescon matnces................... .... ... ...... .............. ........................ .... .Ope .. ubespacios ncleo e imagen de una aplicacin lineal............................ .. Cambios de base y matrices asociadas...... ............ .................................... . Operaciones elementales enuna matriz ............................ ................ ........ .. 111 65 75 85 101 113 131 ndice Captulo 3 DETERMINANTE DEUNA MATRIZ CUADRADA 3-1Determinante de una matriz cuadrada..... ... ........ ....... ......... ....... ........ ..........143 3-2Clculo de determinantes... ....... .. .......... ......... ... .. ..... ........................ ...........151 3-3Propiedades de los determinantes y su clculo a partir de ellas... ..... ..........159 3-4Clculo de la matriz inversa......................... .... ....... .. ... ....................... ........175 3-5Determinacin delrango deuna matriz; rango de unendomorfismo y ran-go de unsistema de vectores... ...... ......... ............................. ....... ........... ..... .191 Captulo 4 SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES 4-1Sistemasdeecuacioneslineales:Definiciones,expresinmatricial,rela-cin con las aplicaciones lineales,sistemas homogneos asociados........ ...203 4-2Clasificacin de sistemas de ecuaciones lineales................ .............. ... .......217 4-3Clculo de soluciones de unsistema de ecuaciones....... .... ....... ................. .237 4-4Factorizacin LU....... ......... ......... ............. ......... ... ............... .... ................... .251 Captulo 5 PRODUCTO ESCALARDE VECTORES Y ESPACIOEUCLDEO 5-1Definicin, propiedades y expresin matricial del producto escalar ..... ..... .261 5-2Normas y vectoresunitarios; ngulos y vectores ortogonales ... ........ .... ... ...273 5-3Sistemas ortogonales y ortonormales de vectores. Mtodo de ortonormali-zacin de Gram-Schmidt.. ......... ....... ......... ............................ ...... ......... .. .. ...285 5-4Subespacios ortogonales, sub espacios ortogonales complementarios y ma-trices ortogonales.. ......................................................... ..... ..... .. .... .... ..........295 Captulo 6 MATRICES SEMEJANTES 6-1Matrices semejantes,matrices equivalentes ymatrices congruentes... .......309 6-2Valores propios y vectores propios....... .......... ........ ......... .......... .... .. ...... .. ....317 6-3Diagonalizacin de matrices....................... ............. ......... ..... .... .................325 6-4Diagonalizacin de endomorfismos simtricos...................... ... .......... ........337 IV ndice Captulo 7 FORMAS BILlNEALES -1Definiciones,propiedadesyexpresinmatricialdelasaplicacionesbili-neales y las formasbilineales.......... ......... ...... ... ......... ........ ..... ............. .. .....345 -2Definicin, propiedades y expresin matricial de las formascuadrticas...357 -3Clasificacin de formascuadrticas.... .............. .... ..... ...... ....... ............... .. ...367 Captulo 8 ELPROBLEMA DELAPROGRAMACiN LINEAL 1Elproblema dela programacin lineal:Convexodesolucionesylasres-tricciones que lo limitan.... ..... ......... ...... ... ....... .... ...... .. ....... .... ............ ..... ....377 2Resolucin geomtrica del problema de la programacin lineal en dosva-riables............ .... ..........................................................................................387 3Expresin matricialdel problema general en nvariables ylostipos deso-luciones.......................................... ......... ....... ..... .... .... ......... ........................399 Conjuntos convexos..... ........ ... ... ....... ... ...... .... ........ ..... ....... ....... ....... ............403 5Teorema Fundamental de la Programacin Lineal.......... .... ... .. ......... ...... ....413 Fundamentos del Algoritmo Simplex.... .. ... ....... .. ........... ... ..... ..... ............. ...425 v ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios relativos a: 1.Cuando en elconjuntoV={O,1,2}seutilizanlaoperacioneshabituales de sumar y multiplicar por unnmero real,severifica: A)(V,+)no es una es-tructura algebraica; B) (V, +) es ungrupo; C) (V, +,IR)tiene estructura de espa-cio vectorial; D)Ninguna de lasanteriores . :.(V,*,0, )es una estructura algebraica ~Ves unconjunto en el que hay definidas una o ms operaciones:*,0, La respuesta evidente es A, ya que,la suma en este conjunto no es ley de com-posicin interna:1 + 2 = 3, que no es elemento de V. Por la misma razn no son correctas las dems opciones. 2.Si en el conjunto V = {(a,b)E1R2 / a > O}se define la ley de composicin interna(a,b)*(e,d)= (a e,b + d),escierto queelelementoneutrode(V,*) 1 Anlisis de cundo unconjunto conuna ley. .. verifica: A) Es (O,O);B) Existe pero no pertenece a V;C) No existe; D) Ningu-na de las anteriores . :.Losobjetosmatemticosque formanV sonparesdenmerosreales,tales que,su primera coordenada es mayor que O. Es(O,O)elemento neutro? (O,O)no eselelementoneutroporque no perteneceaV~Ano escorrecta. Existe elemento neutroH(C,el)"? 2 Si existiera unelemento neutro (e,el)debera verificar (a,b)* (e, el)= (a,b) y (e,el)* (a,b) = (a,b). (a, b) * (e, d) = (a, b) ~- ~- ~Eselementoneutroporla {ac-a{C-l b+d = bd =Oderecha.. Si (1, O)es el elemento neutro, debe verificar tambin que (e,el)* (a, b) = (a,b), porque no sabemos si la operacin es conmutativa, o no. (l, O)* (a,b) = (la, 0+ b) = (a,b) ~Es elemento neutro por la izquierda. ~Existe elemento neutroquees(1,O)ypertenece aV~Es correcta la op-cin D. 3.Sienelconjuntodenmerosenterossedefinelaoperacina* b= =ab - a - b + 2,se verifica: A) Hay nmeros enteros que no tienen unelemen-to simtrico entero; B) Existe un elemento neutro "e"; C) (l'.,*)tiene estructu-ra de grupo conmutativo; D) Ninguna de las anteriores . :.La operacin definida no es una operacin estndar, y hay que comprobar que el resultado de hacer la operacin con dosnmeros enteros cualesquiera es otro nmero entero; eS,evidente que esto es cierto, y por tanto,* es una operacin ce-rrada en l'.(ointerna),ypodemos empezar acomprobar quaxiomasverifica. Captulo1-1 Como una de las opciones es "ser grupo conmutativo", hay que ver si cum-ple todos y cada uno de los axiomas de grupo conmutativo, sino cumple algu-no no 10es. Es conmutativa? S es conmutativa porque a * b = b * a siendo a, b nmeros enteros cualesquiera. Primer miembro: a * b = ab - a - b + 2. Segundo miembro:b * a = ba - b - a + 2. Es asociativa? S es asociativa porque (a* b)* e = a * (b* e)siendo a, b,e,nmeros enteros cualesquiera. Primer miembro:(a* b)* e = (ab - a - b + 2)* e = =(ab- a - b + 2)e - (ab - a - b + 2) - e + 2 = abe - ae - be - ab + e + a + b. Segundo miembro: a * (b* e) = a * (be - b - e + 2) = =a (be - b - e +2) - a - (be - b - e + 2) +2 = abe - ae - be - ab + e + a + b. Existe elemento neutro"e"? Si existe un elemento unidad, o neutro,"e ", que es un nmero entero debe ve-rificar que a * e = e * a = a,siendo a cualquier nmero entero. a* e = ae - a - e + 2 = a=>ae - e = 2a - 2 =>e (a- 1) = 2 (a- 1)=>e = 2 si a-:;:.l. Si a = 1 no se puede simplificar, y comprobamos aparte que tambin se verifi-ca a * e = ae - a - e + 2 = a,porque1 * 2 = 1.2 - 1 - 2 + 2 = 1. 2esunnmeroenteroquetambinverifica2* a= a,yaque,2* a= = 2 a - 2 - a + 2 = a. 3 Anlisis de cundo un conjunto conuna ley. .. No hace falta comprobar que a * e = e * a,porque sabemos que es conmutativa. :::::}Existe elemento unidad y es2:::::}La opcin B es cierta. d)Cada nmero entero atiene un elemento simtrico"a' '' ? Si existe, debe verificar, para a "#1 que a* a' = aa' - a - a' + 2 = 2 ",a :::::}aa-a= a:::::}a=--a-l Esta propiedad no escierta porque,engeneral,elposiblesimtricopuede no ser un nmero entero. Elsimtricodea= 1nosepuedehallarpor ese procedimientoporquenose puede dividir por 0,siexiste debe verificarla' - 1 - a' + 2 = 2,expresin equi-valente a "1= 2", que es imposible. :::::}Es correcta la opcin Ay(7L,*)no tiene estructura de grupo. 4.SiconsideramoselconjuntoV= {Libro},yenV consunicoelemento definimosla operacin:Libro* Libro=Libro,ylaoperacinexterna conlos nmeros reales:A. (Libro)= Libro (siA es cualquier nmero real),se verifica: A) No es grupo conmutativo;B) Es espaciovectorial;C)(V,*)no es cerrado; D) Ninguna de las anteriores. Es V un conjunto cerrado con laoperacin *? El resultado de hacer la operacin con dos elementos de V es un elemento de V: Libro* Libro = Libro. es decir, la operacin es interna ( (V,*) cerrado) y la opcin e es falsa. a) Es asociativa laoperacin * en el conjunto V? 4 Esasociativa porque(a* b)* c= a* (b* c),yaque,elnicoelementodel conjunto es Libro y verifica:(Libro* Libro)* Libro = Libro* (Libro* Libro). Captulo1-1 Primer miembro:(Libro* Libro)* Libro = Libro* Libro = Libro. egundo miembro:Libro* (Libro* Libro) = Libro * Libro = Libro. Existe elemento neutro"e"? Existeunelementoneutro"e",queesunelementodelconjuntoyverifica a* e = e * a = a,siendo a cualquier elemento delconjunto. Se desprende de la definicin de esta operacin que Libro es el elemento neutro. Para cada elemento"a" del conjunto hay un elemento simtrico"a/"? Si existe, debe ser del conjunto yverificar a* a/ = a/ * a = Libro. Libro es el elemento simtrico de Libro. La operacin definida es conmutativa? Siloes,debeser cierto que a* b = b* asiendo a,belementos delconjunto. Es evidente que Libro* Libro = Libro * Libro,yla operacin es conmutativa. ~(V,*) tiene estructura de grupo conmutativo y es falsa la opcin A. Anlisisdelosaxiomasqueseverificanrespectoala operacin externa: Distributiva de los escalares respecto a los vectores:A. (x * Y)= (A X)* (A. Y) ? Debe verificarse:A. (Libro* Libro) = (A . Libro)* (A . Libro). Primer miembro:A (Libro* Libro) = A Libro = Libro. Segundo miembro: (A Libro)* (A Libro) = Libro * Libro = Libro. ~S verifica esta propiedad. Distributiva de los vectores respecto a los escalares: (A+ /-l) X = (A .X)* (.l. X)? Eneste casodebeverificarseque(A+ /-l)Libro= (ALibro)* (/-lLibro). 5 Anlisis de cundo un conjunto conuna ley. .. Primer miembro:(A,+ J1) Libro = Libro. Segundo miembro: (A, Libro)* (J1. Libro) = Libro* Libro = Libro. =>S verifica esta propiedad. C) Es verdad que (A,J1) :x = A,(J1. X)? Analicemosambosmiembrosdela expresin(A,J1)Libro= A,(J1Libro). Primer miembro:(A,J1) Libro = Libro. Segundo miembro: A,(J1 Libro) = A,(Libro)= Libro. =>S verifica esta propiedad. D) Verificael escalar unidad"1" que1 .:x =:x? 6 1 Libro = Libro, es cierto con la definicin dada. =>Podemos afirmar que (V,*,IR)esunespacio vectorial y es correcta la op-cin B . :.Elconjuntodadoesespaciovectorial,elnicovectordelespacioesLibro. 5.Sabiendoque(1R2,+)esungrupoconmutativo,cuandodefinimoslasi-guiente operacin de suselementos conlosescalares:A,(Xl.X2)= (Ax"O)no se verifican lassiguientes propiedades: A)Distributiva de losescalares respec-toalosvectores;B)Distributivadelosvectoresrespectoalosescalares; C) Asociativa; D) Existencia de un escalar unidad . :.Losobjetos matemticoscon que estamos trabajandoson loselementos de 1R2,ylosescalares "A,"con que hacemosla operacin que hemosdefinidoson nmeros reales. Vamosa estudiar laspropiedades que tiene esta operacin demultiplicar esca-lar por vector. Captulo1-1 Distributiva de los escalares respecto a los vectores:A (x + Y)= (A. X)+ (A. Y) ? :=}S verifica esta propiedad. Distributiva de los vectores respecto a los escalares: (A + J.1) x = (A X)+ (A. X) ? :=}S verifica esta propiedad. IAsociativa (AJ.1) x = A. (J.1. X) ? Primer miembro:(AJ.1). (x"x2)=(AJ.1) x"O)=(Aj.1X, .O). Segundo miembro:A. (J.1. (x" x2)) = A. (j.1X"O)= (Aj.1X"O) . :=}S verifica esta propiedad. El escalar unidad cumple que1 x = x? Los dos miembros son distintos:=} No verifica esta propiedad y es cierta la op-cin D . :.Podemos afirmar que no esunespacio vectorial puesto que nocumple una de las condiciones necesarias. 7 Anlisis de cundo un conjunto conuna ley. .. 6.Elconjunto delosnmerosrealespositivos(distintosdeO)conla opera-cin demultiplicar estndar verifica que:A)No tiene elemento neutro;B) Hay elementos cuyo simtrico no esunnmero realpositivo; C) La operacin noes asociativa;D)La operacinnoes conmutativa . :.El resultado de hacer la operacin de multiplicar dos nmeros reales positi-vosdistintos de O es un nmero realpositivo,es decir,la multiplicacin esley de composicin interna para los nmeros reales positivos. Anlisis de los axiomas de grupo que verifica, o no, la operacin de multiplicar dos nmeros reales positivos distintos de O: a)Es asociativa? S porque (ab)e = a (be). b) Existe unelemento neutro? S, porque "1" es un nmero real positivo y verifica al = la = a,siendo a cual-quier nmero real positivo. e)Paracada nmeroreal positivo"a" delconjunto hayunnmeroreal positivo simtrico"a'''? Si existe, debe verificar aa' = a'a = 1 ~a' = l/a; (a' es real y positivo). d)La operacin definida es conmutativa? 8 S, porque ab = basiendo a,b nmeros reales positivos. ~No es cierta ninguna de las opciones dadas. 7.Sienelconjuntodelosnmerosrealespositivos(distintosdeO)"IR+" conlaoperacindemultiplicar estndar, definimoslasiguienteoperacinex-terna con losnmeros reales:A x = x\se verifican lassiguientes propiedades: A) A. (xy) = (A. x) (A. y); B) (A + f.l) x = (A. x)(J.l. x); C) (Af.l) x = A. (J.l. x); D)Existe un escalar unidad. (xy) = (A. X)(A. y)? Primer miembro:A. (xy) = (xy)" = x'y'. egundo miembro:(A x)(A . y) = x"/. ~S verifica esta propiedad ~Es cierta la opcin A. (A. + Ji) x = (A. x)(J1. x)? Primer miembro:(A + Ji) x = x"+!1 = x" Y!'. Segundo miembro:(A. x)(J1. x) = x" Y!'. ~S verifica esta propiedad ~Es cierta la opcin B. A.jL) . x = A. (J1.x) ? Primer miembro:(AJi) x = xAll. Segundo miembro: A. (J1. x) = A (Y!') = (Y!')" = xIl" = xAll. ~S verifica esta propiedad ~Es cierta la opcin C. El nmero real" 1" verifica1 x = x? Captulo1-1 1 x = Xl= X~S verifica esta propiedad ~Es cierta la opcin D. 8.Sien elconjunto de losnmeros realesposItivos(distintos de O)se define la operacin de multiplicar yla siguiente la operacin externa conlos nmeros reales:A x = x\severifica:A)Elconjuntodelosnmerosrealespositivos con la operacin de multiplicar no es grupo conmutativo; B) Elconjunto de los nmeros reales positivos conlaoperacin de multiplicar es grupo no conmuta-tivo;C) Elconjunto delosnmerosrealespositivos conambas operaciones es espacio vectorial; D)Ninguna de las anteriores. Como consecuenciadelaspropiedadesanalizadasen elejercicio6podemos decir que (IR+,.)tiene estructura de grupo conmutativo. 9 Anlisis de cundo un conjunto con una ley. .. Utilizandoelestudio hechoenelejercicio 7 junto alresultadoanterior,pode-mos decir que (IR+, .,-IR)tiene estructura de espacio vectorial. ~Es correcta la opcin C. 9.El conjunto V= {(Xl, X2)/XEIR+, X2 EIR}con la operacin (x , X2) * (y, Y2) = = (xY,X2 + Y2)verifica: A)Tiene elemento neutro;B) Todoelemento tieneun simtrico en V;C) Esasociativo; D) Es conmutativo . :.Los objetos matemticos delconjuntoVsonparesdenmeros reales,tales que, el primer elemento del par es positivo distinto de O. :.Elresultadodehacer la operacin propuesta esotropar de lasmismasca-ractersticas, es decir, la operacin es cerrada en V. .:.Laspropiedades de lasdiferentesopcionesson losaxiomasdegrupo,vea-mos los que verifica esta operacin: a)Es asociativa? Primer miembro: Segundo miembro: (X,X2) * (Y'Y2) * (z ,Z2) = (x,x2) * (yz 'Y2 + Z2) = (xyz,x2 + Y2 + Z2) b)Es conmutativa? 10 S, porque (x,X2)* (y, Y2)= (y, Y2)* (x, X2). Primer miembro:(x,X2)* (y, Y2)= (xy, X2+ Y2). Segundo miembro:(y, Y2)* (x, X2)= (yx, Y2+ X2). Captulo1-1 Existe elemento neutro? S, porque existe el par (el, e2),que verifica:(XI, X2)* (el, e2) = (e,e2) * (XI, X2)= = (XI, X2),siendo (XI, X2)cualquier par de V. {x,e, = x,{e,= 1 (x"x2)*(e"e2)=(x,e"x2+e2):.:::::> x2 + e2 = x2 e2 = O Elpar(1,O)es el elemento neutro. Es suficiente comprobar que (XI, X2)* (el,e2)= (XI, X2)porque la operacin es conmutativa. Para cada par (XI, X2)del conjunto hay un par simtrico (XI, xi)?, Si existe (XI, xi), debe ser cierto que (x,X2)* (XI, xi) = (1, O). .""= 1 Sedebe x2 +xz = O :,=> e, ,-x,) es elpa"imtrico de (x"x,j, que existe para cual-x2 --x2 cualquier valor de (XI, xz)y pertenece aV. Son ciertas las cuatro opciones dadas y (V,*) es un grupo conmutativo. 10.SienelconjuntoV = {(x" X2)/XIEIR+,X2EIR}conlaoperacin* del ejercicio anterior se define tambinla siguiente operacin de los elementos de V conlosnmerosreales:t . (x"Xz)= txz), t E IR, se verifica:A)Distri-butiva delosescalaresrespectoalosvectores;B)Distributiva delosvectores respecto a los escalares; C)(tf.1) . (x"xz) = t . (f.1 . (x"xz);D) Existe un esca-lar unidad . .:.Los elementos de V son pares de nmeros reales, el primero de los cuales es mayor que O. 11 Anlisis de cundo un conjunto conuna ley. .. A)Distributiva de los escalares respecto a los vectores: l. (xpx2) * (YPYJ) = (l. (X"X2)) * (l. (YPY2))? Segundo miembro:(l. (X"X2)) * (l. (YPY2)) =lx2) *lY2) = = ,lx2 + lY2) . =>S verifica esta propiedad porque ambos miembros son iguales => A es cierta. B)Distributiva de los vectores respecto a los escalares:(l + Ji). (XI ,x2) = = (l.(XpX2))*(Ji(x"x2))? Primer miembro:(l + Ji). (x px2) =,(l + Ji)x2). Segundo miembro:(l. (XI ,x2)) * (Ji. (XI' x2)) =lx2) * (xi ,J1X2) = =,lx2 + J1X2). =>S verifica esta propiedad porque ambos miembros son iguales => B es cierta. C)(lJi). (xpxJ = l. (Ji. (x"x2))? 12 Primer miembro:(lJi) . (x px2) = ,lJ1X2). =>S verifica esta propiedad =>C es cierta. =>S verifica esta propiedad =>Des cierta. :.Comoconsecuenciadelejercicioanteriorydestepodemosafirmarque (V,*,es un espacio vectorial. Captulo1- 1 11.Sabiendo que (1R2,+) esungrupo conmutativo, definimosla siguiente ope-racin producto de los escalarespor loselementos de 1R2: A - (XI,X2) = (MI, X2), entonces (1R2,+,-IR)verifica:A)Es espacio vectorial;B)Elproducto de esca-larespor la suma de elementos de 1R2 noes distributivo;C) Elproducto de ele-mentos de 1R2 por la suma de escalares noes distributivo; O) No hayunescalar que sea elemento unidad enlaoperacin externa definida. Distributiva delos escalares respecto a lasuma deelementos de1R2: i +y)=AX+Ay? Primer miembro: A- (X + y) = A- (XI+ Y"x2 + Y2) = (A(XI + YI),X2 + Y2) = (MI + Ay"X2 + yJ. Segundo miembro: A- (x"xJ + A - (Y"Y2) = (M" X2) + (AY"Y2) = (MI + Ay"x2 + Y2) S verifica esta propiedad ~Es falsa la opcin B. Distributiva delasuma deescalares respecto a los elementos de1R2: JI) - x = (A - x) + (/1 - x) ? Primer miembro:(A + /1) - (x"x2) = ((A + /1)(x"x2) = (MI + /1X"x2) Segundo miembro:A- (x"x2) + /1- (x"xJ = (M"X2) + (/1X"x2) = = (MI + /1X,,2xJ. No verifica esta propiedad ~Es cierta la opcin C. El escalar unidad verifica que1- x = x ? Segundo miembro:(Xl.X2). S verifica esta propiedad ~Es falsa la opcin D . :.Para que sea espacio vectorialdebe verificar todoslosaxiomas,como con-secuencia, tambin es falsa la opcin A. 13 Anlisis de cundo un conjunto con una ley. .. 12.Sien el conjunto de nmeros enteros se define la operacin x * y =xy + 1,la operacin dadatienelapropiedad:A) Asociativa;B)Existeelementoneutro; C) Es conmutativa; D) Ninguna de las anteriores. a)Asociativa? Para que verifique la propiedad asociativa debe cumplirse (x * y) * z =x * (y * z) . Primer miembro: (x * y)* z = (xy +1)* z = (xy +1)z +1 = xyz + Z +1. Segundo miembro: x* (y* z) = x* (yz +1) = x (yz +1) +1 = xyz + x +1. La opcin A es falsa porque lasdosexpresiones noson iguales. b) Existe elemento neutro? S.1dbrifix-l 1 eXiste e emento neutroee vecare * x = x * e = x ~ex + 1 = x ~e = --x que, en general,noser unnmero entero(para x= O noexiste)~La opcin B es falsa. c)Es conmutativa? La opcin e es cierta por la conmutatividad de (lL,.). 13.Sedefinelaoperacine(xI'X2)=().?XI'A.x2)siendoEIRy x = (xl'x2)E1R2.Deentrelassiguientesopciones,eljaselacorrecta: A)(+,u)ex=ex+,uex;B)e(x+y)=Lex+Ly;C)leX;x;D)Nin-guna de las anteriores. Es cierta laopcin A? Primer miembro: 14 Captulo1-1 egundo miembro: ~No es cierta porque el primero y elsegundo miembro no son iguales. cierta la opcin B ? Primer miembro: A. (XI'X2) + (YI'Y2)) = A. (XI+ YI'X2 + Y2)= (A2 (XI+ YI),A(X2 + Y2))' Segundo miembro: A. (xl'x2) + A. (YI' Y2) = (A2 Xl' Ax2)+ (A2yl' AY2) = (A2 XI+ A2yI' Ax2 + Ay2) ~S es cierta porque elprimero y elsegundo miembro son iguales. cierta laopcin C? El escalar unidad,1,verifica1. x = x : le (Xl'xJ = (12 xl,1x2)= (XI'X2) ~Noesciertaporque elprimeroyelsegundomiembrossoniguales,yla pregunta es "son distintos1. x yx?". cierta laopcin D? No es cierta la opcin D ya que se verifica una de las anteriores. 15 Captulo1-2 Ejercicios relativos a: Elconjunto5desolucionesdelaecuacinXI+ - 3X3= O verifica: ) Es un subespaciovectorialde (IR3,+,IR);B)La suma dedossoluciones de a ecuacin no essolucin de la ecuacin; C) El producto de un escalar por una olucin puede noser solucin; D) Ninguna de las anteriores. Para ver sies espacio vectorial, o no,podemos: a)Comprobar que verifica todos los axiomas. b)Utilizar la caracterizacin, ya que la ecuacin dada siempre tiene soluciones de la forma (SI,S2,S3) EIR3,y por tanto 5 es un subconjunto no vaCo de IR3. Optaremos por la segunda va, que es mucho ms corta. + Los elementos de 5sonsoluciones de la ecuacin dada,es decir,(SI.S2, S3) de IR3 que verifican SI+ 2s2 - 3s3 = O. a"5" lasuma de dos elementos de"5"? Si tomamos dos soluciones de la ecuacin: (SI,S2, S3) Y (tI.t2, t3),se debe verifi-car que (SI.S2, S3) + (tI.t2, t3) = (SI+ ti, S2 + t2, S3 + t3) E5. Comprobemos que es as: sumando miembro a miembro lasdos ecuaciones yreagrupando los sumandos obtenemos: 17 Cundo un subconjunto de un espaciovectorial... (s,+2S2 3s3) +(t,+2t2 - 3t3) = (s,+ tI)+2 (S2 +t2) - 3 (S3 + t3) = O,que de-muestra que (s"S2, S3) + (t"t2, t3) essolucin de la ecuacin dada, es decir,ve-rifica (s"S2,S3) + (t"t2, t3)ES. La suma de dos soluciones de la ecuacin es solucin de la ecuacin B es falsa. Pertenece a S el producto deun escalar por un elemento de S? EsciertoqueA(S"S2,S3)ES,Yesevidentequeesas,porque A (s,+ 2S2 - 3s3) = AO= O. El producto de un escalar por una solucin es solucin La opcin C es falsa. Severificaquelasumadedossolucionesdelaecuacinessolucindela ecuacin y elproducto deunescalar por una solucin essolucin S essu-bespacio vectorial y es correcta la opcin A. 2.ElsubconjuntoV = {(x" X2)/X2= 1}de1R2verifica:A)(V,+)no esgrupo conmutativo;B)(V,+)noessubgrupode(1R2,+);C)(V, +,IR)essubespacio vectorial de (1R2,+,IR);D) Ninguna de lasanteriores . :.Los elementos de V son pares de nmeros reales cuya segunda coordenada es1. Pertenece aVlasuma de doselementos deV? 18 La suma de doselementos deV no est enU. (x"1) + (y"1) = (x,+ y"2)que no pertenece a V porque la segunda coordena-da del par no es1. Vnoesgrupo,noessubgruponiessubespaciovectorialde(1R2,+,IR) Son correctas las opciones A y B,Y es falsa la C. (x,+ x2,2) __________-4____ (x2,1) Captulo1-2 En este caso es evidente que (U, +)no es grupo,ya que el elemento neutro O O) no es de U (no es1 susegunda coordenada). .El subconjuntoU = {(XI,X2)/XI = X2}de1R2 verifica:A)(U, +) no es grupo onmutativo;B)(U,+)noessubgrupo de(1R2,+);C) (U,+,IR)essubespacio torial de (1R2,+,IR);D) Ninguna de las anteriores. Los elementos deU son pares realesque tienen lasdoscoordenadas iguales . ....rDtece aU la suma de dos elementos deU? . porque (XI , XI)+(yl ' YI)= (XI+ YI , XI+ YI),que pertenece aU.(La segunda coordenada del par es igual que la primera). _w""p,'p aU el producto deun escalar por un elemento deU? El producto de un nmero por un elemento de U pertenece a U: A(Xl.XI) =(MI, MI)' u un subespacio vectorial de(1R2,+, IR) ? S, porque verifica las dos condiciones anteriores=>Es correcta la opcin e y 00 falsas Ay B porque (U, +,IR)es espacio vectorial. 4.El subconjunto U = {(XI, X2)/ XIX2 = O}de 1R2 verifica: A) La suma de dos ele-mentos de U pertenece a U; B) (U, +) es subgrupo de (1R2,+); C) (U,+, IR)es es-pacio vectorial de (1R2,+,IR);D)Ninguna de lasanteriores . :.Los elementos deU son pares reales, tales que, el producto de sus dos coor-denadas es O. rtenece aU lasuma de dos elementos deU? No,la suma de dos elementos deU puede no estar en U. (XI , X2) +(yl , Y2) = (XI+ YI,X2 + Y2),sabemos que XIX2 = YYIY2 = 0, pero no es suficiente para asegurar que(XI + YI)(X2+ Y2)= 0,ya que(XI+ YI)(X2 + Y2) = =XIX2 + XIY2 + YIX2 + YIY2 = XIY2+ YIX2 19 = Cundo un subconjunto de un espaciovectorial... As ocurre en el ejemplo siguiente: Sean (Xl.Xz)= (1,O);(yI. YZ)= (O,2)~(XI+ YI.Xz+ Y2) = (1,2); los pares dados son deV,pero no lo essusuma porque (XI+ YI)(X2+ Y2)= 1.2::f:. O ~(V, +,IR) no esgrupo nisubgrupo niespaciovectorial~Lasopciones A,B,Cson fal-sas; es correcta la D . :.Observemosquenoessuficientequeelelementoneutro,ounidad, perte-nezcaalsubconjuntoparaasegurarqueessubespaciovectorial,aunques es condicin necesaria . :.LarepresentacingrficadeVenIRz eselconjuntoformadoporlosdos ejes de coordenadas, y por tanto, no es un subespacio vectorial. .:.Los nicossubespacios propios deIRz son cada una de lasnietas que pasan por el origen, pero no la unin de dos o ms. 5.El subconjunto V = {(XI,X2,X3)/X21+ x\ + x\ ~l}de 1R3 verifica: A) La su-ma de doselementos deVpertenece aV;B)(V, +)no essubgrupo de(1R2,+); C) (V, +,IR)essubespacio vectorial de(1R2,+,IR);D)Ninguna de las anteriores. Pertenece aVlasuma de doselementos deV? 20 No, la suma de dos elementos deV puede no estar en U. Ejemplo: (1,1,1) es un elemento deV,ya que 1z + 1z + 12= 3 ~1. (-1, -1, -1) es un elemento de V,ya que (_1)z + (_1)z + (-1)z = 3 ~1. (1 ,1,1) + (-1, -1, -1) = (O,O,O)no es un elemento de V, ya que OZ+ OZ+ OZ= O < 1. ~Las opciones A,C,D son falsas,es correcta la B. 6.SonsubespaciosvectorialesdecualquierespaciovectorialrealV: A)El conjunto vaco;B)Elnmero real1;C)El elemento neutro dela opera-cin interna deV;D) Ninguna delasanteriores. Captulo1-2 De la definicin de subespacio se desprende que la opcin A es incorrecta. La opcinBtambinesincorrecta:Sielnicoelementodelconjuntoesel nmero reall, en general,noes el elemento neutro de la leydecomposicin interna yel conjunto nopuedeser subespacio sinocontiene dichoelemento neutro. La opcin C escorrecta, y,la D incorrecta. 7.Enelespaciovectorial(1R3,+,IR)sonsubespacios:A)Cualquierrecta; B) Cualquier plano; C){(O,0, O)};D)(1R3,+,IR). Del espacio vectorialIR3 quedan excluidos como subespacios todos los conjun-tosquenocontengan(0,0,O)~Lasopciones AyBsonfalsasporquehay rectasy planos que no pasan por el origen. Las opciones C y D son ciertas, el neutro de la ley de composicin interna y el espacio vectorial son subespacios impropios del espacio dado. 8.El conjuntodepolinomiosrealesdegradocuatroconlasoperacioneses-tndar de sumar y multiplicar por escalares verifica: A)La suma de dosdesus elementospertenecealconjunto;B)Elproduct{)deunpolinomioporunn-merorealpertenecealconjunto;C)Esespaciovectorial;D)Essubespacio vectorial del espacio de polinomios reales . .:.Los polinomios de grado cuatro tienen la forma ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e con a ;t O. suma de dos polinomios de grado cuatro es un polinomio de grado 4? La opcin Aesfalsaporquesilosdospolinomiostienenelcoeficientedex4 con el mismovalor absolutoy signodiferente,el coeficiente de x4 en el poli-nomio suma es O. Ejemplo: (_5x4 + 3x3 + 4X2 -x + 7) + (5x4 +-2X2 + x) = 3x3 + 6X2 + 7,que no es de grado 4. ~No es espacio vectorial y son falsaslas opciones C y D. 21 Cundo un subconjunto de un espaciovectorial... El productodeunescalar por un polinomiodegradocuatroesun polinomiode grado cuatro? A.(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e)es un polinomio de grado cuatro siA. *- o. Si A.= O se obtiene el polinomio Ox4 + Ox3 + OX2 + Ox + O,que no es del conjun-to, es de grado O => Es falsa la opcin B. 9.Elconjuntodepolinomiosrealesdegradomenor oigualque cuatrocon lasoperacionesestndar desumar ymultiplicar por escalaresverifica:A)La suma de dos de sus elementos pertenece alconjunto;B) El producto de un es-calar por un elemento del conjunto pertenece al conjunto; C) Es espacio vecto-rial; D) Es subespacio vectorial del espacio de polinomios reales . :.Lospolinomiosrealesdegradomenoroigualquecuatrotienenlaforma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,con a,b, e,d nmeros reales. La suma dedos polinomios degrado menor oigual quecuatroes un polinomio de grado menor o igual que cuatro? S,porque(ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e)+(a'x4 + b'x3 + c'x2 + d'x+e')= =(a+ a') x4 + (b + b') x3 + (e + e') X2+ (d + d') x + (e+ e'), que es un polinomio de grado menor oigual que cuatro. => La opcin Aes cierta. El producto deunescalar por polinomio degrado menor oigual quecuatroesun polinomio de grado menor o igual que cuatro? 22 A.(ax4 +bx3 +cx2 +dx+e)esunpolinomiodelmismogradoque ax4 + bx3 + cx2 + dx + e si A. *- O, Y el polinomio Ox4 + Ox3 + OX2 + Ox + O,si A. = O. => Es cierta la opcin B. => Es cierta la opcin e por ser ciertas Ay B. Captulo1-2 Dando por sabido que el conjunto de polinomios reales es un espacio vecto-rial, podemos asegurar que tambin es cierta la opcin D. 10.El subconjuntoSOformado por todas las n-uplas de nmeros reales, tales que los elementos de cada una de ellas forman una progresin aritmtica verifi-a que: A) La suma de dos progresiones aritmticas es una progresin aritmti-ca; B) El producto de una progresin aritmtica por un nmero real esuna pro-gresinaritmtica;C)Notieneelementoneutroparalasuma;D)Es ubespacio vectorial de Los elementos def.Json de la forma (a,a+ d,a+ 2d,...,a+ (n- 1) d), donde arepresenta el primer elemento, dla razn y n el nmero de elementos de la progresin. suma de dos progresiones aritmticas es una progresin aritmtica? La respuesta es s,porque (al' a+d,a +2d, ...,a+(n +2d', .. . +(n -1)d') = = (a ++ + (d + d'),(a + + 2(d + d'), .. . ,(a + + (n -1)(d +d')), es decir,la suma de dosprogresiones aritmticasesuna progresin aritmtica cuyoprimer trmino es la suma delprimer trmino de cada una de lasprogre-iones dadas,y, cuya razn esla suma de las razones. =>La opcin A es cierta. producto de un escalar por una progresin aritmtica es una progresin aritmtica? A(al'a +d,a +2d, ... ,a+(n-l)d)=(MI'M +M, M+2M, .. . ,M +(n-l)M), que es una progresin aritmtica de primer trmino My razn M. =>La opcin Bes cierta. una progresin aritmtica que sea elemento neutro de la suma? S, es la progresin cuyo primer elemento es O y cuya razn es O. 23 Cundo un subconjunto de un espaciovectorial... (al,al +d,a, +2d, ... ,a, +(n -l)d)+ (0,0,0 ... ,0) = =(a"al +d,a +2d, ... ,a, +(n-1)d). ~La opcin C es falsa. El conjuntofpformado por todas las progresiones aritmticas de n trminos es unsubespacio vectorial de IR"~La opcin Des cierta. 11.SiU,Vsonsubespaciosvectorialesde(IR",+,IR),UnVverifica: A)La suma de doselementos deUn Vpertenece aUn V;B) El producto de unnmero realpor unelemento deUn Vest enUnV;C) Puede ser vaca; D) (U n V,+ IR)es subespacio vectorial de (IR",+,IR). Est enU n V lasuma dedos elementos deU n V? Los elementos de la interseccin pertenecen a ambos conjuntos, por tanto: S - - UnV{XEU,XEV lX,y E~ yEU,yEV .{X+y EU__ por ser U,V subespaclOs~__~x + y EU nV~Es correcta A. X+YEV Est enU n V el producto deun nmero real por un elemento deU n V? 24 Si A esun nmero real cualquiera, y x EUnV,se verifica que {X E U ~ X X E U ~XXEunv ~Es correcta B. X E V ~ X X E V ~La C es falsa porque Un V,almenos, contiene el elemento neutro. ~Es correcta Dpor serlo Ay B. Captulo1-2 L .SiU,Vsonsubespaciosvectorialesde(IR",+,IR),UUVverifica: ) La suma de dos elementos de U UV siempre pertenece a U UV;B) Elpro-todeunnmerorealporunelementodeUUVsiempreesten UV;C) (U UV,+IR)essubespacio vectorial de(IR",+,IR);D) Ninguna de anteriores. Para ver que una afirmacin noescierta es suficiente encontrar un ejemplo en que dicha afirmacin no sea cierta. ParaverquelasumadedoselementosdeUUV puedenoestar enUUV, contruyamos elsiguiente ejemplo: iconsideramos el subespacioU de1R2formadopor los vectores de la recta XI = 0,yelsubespacioVde1R2 formadoporlosvectoresdelarectaXI= X2, ...{(0,5) EU => (0,5) EUUV bISectrIzdelpnmercuadrante,ocurreque,U' pero (3,3) EV=> (3,3) EUV elvectorsuma(3,8)~UUV,yaquenotienelaprimeracoordenada0, ni ambas coordenadas iguales. En general, U UV no es sub espacio vectorial de (1R2,+,IR) aunque lo sean U y V. => Las opciones A y e son falsas. oPara demostrar queunaafirmacinescorrecta hayque demostrarla,noes uficiente que sea cierta en unejemplo concreto. La opcin Bes correcta. Demostracin: Los vectores deUUV pertenecen aU o pertenecen a V,esdecir, {Si x EU =>lXEU S. - 1==> A.XEU UV,porqueestenUoestenV,queeslo l XEV=>;u,EV, que quenamos demostrar. 25 Cundo un subconjunto deun espaciovectorial... Enelejemploanterior,loselementosdeVUVsonpares(x),X2)talesque XI= O X,= X2. Si x = (x"X2)EV=>A.X EVporque A.(O,X2)= (O,Ax2),quetienesuprimera coordenada O. Si x= (x"X2)EV=>A.X EVporque A.(x), X2) = (Ax"Ax2), que tiene sus dos co-ordenadas iguales si x,= X2. 13.ElsubconjuntoV = {f:IR~IR/ f(x)= asenx + bcosx}delasfunciones reales, siendo a, b EIRY unngulo fijo x,verifica: A) La suma de dos elemen-tosdeVperteneceaV; B)(V,+)noessubgrupodelgrupoqueformanlas funcionesreales conla operacin de sumar;C)(V, +,IR)essubespacio vecto-rialde(IR2,+,IR);D) Ninguna de las anteriores . :.Los elementos de V son de la formaj(x) =asenx + bcosx. La suma de doselementos deVest enV? Si tomamos dos elementos cualesquiera:f,(x) = a,senx + b,cosx y !z(x) = a2senx + b2cosx,yhacemos su suma: f., (x) + f2 (x) = alsenx + blcosx + a2senx + b2cosx = =(al+ a2 )senx + (bl + b2 )COSXEV =>La opcin Aes cierta, (V, +) es subgrupo delgrupo que formanlas funcio-nes reales con la operacin de sumar, y la opcin Bes falsa. La multiplicacin deun elemento deV por unescalar est enV? 26 S, porque sia EIRa(asenx + bcosx) = aasenx + abcosx EVporqueaa yab son nmeros reales. =>La opcin e correcta. Captulo1-3 Ejercicios relativos a: 1.Elvector(1,O,O)generaelsiguientesubespacio de1R3:A)EjedelasX I; B){ (x,X2,X3 )/X2 = X3 = O};C){(XI,XZ,X3)/XI''O,X2= X3 = O};D)Ninguno de lasanteriores. Las combinaciones lineales posibles son: a[ ~H~J p ~ acumquier ar ~ L Cualquiera de estos vectores pertenece aleje de las X,independientemente del valor dea,que puede ser O ~Son correctas las opciones A y B,es falsala C. Las nicas combinaciones lineales que se pueden formar con unvector ni-co son multiplicaciones de un vector por un escalar. + Losvectoresobtenidossoncombinacioneslinealesdelvector(1,O,O),y, grficamente estn representados por el vector dado, ms grande o ms peque-o, cambiado de sentido o no. 27 Cundo un sistema de vectores genera un espacio ... lB x, (1 , O,O) (2,O, O) " X,' (-3, O, O) x, (2, O, O) =2 (1, O, O) (- 112,O, O) =- 112 (1 , O ,O) (-3, O,O) = - 3 (1, O, O) 2.EnIR'lossubespaciosquegeneraunvectordadoson:A)Lasrectasque pasanporelorigenycontienenadichovector;B)Elpropiovector; C) Nogenera ningn subespacio; D)Ninguna de lasanteriores. Es correcta la opcin A. Una recta que pasa por elorigen ycontiene el vector (x, ax) tiene por ecuacin y = ax, siendo aun nmero real dado. Los vectores que estn en ella son de la formaA{x,ax),y verifican Si U = {x}, (U, +)no es grupo porque x +x = 2x ~U ~La opcin B es falsa. ~Las opciones e y D son fal sas. Captulo1-3 { Vu, V E U:::::} U * V EU U es subespacio vectorial deV Y Vu EU, Vl EIR:::::}AAEU bconjunto no vaco de un espacio vectorialV. siendo Uun 3.Los vectoresobtenidos como combinacin lineal de (1,O,O)Y (O,1,O)per-necena:A)Planoquedetenninanlosejes XIyX2;B){(Xl.X2,X3)/X3= O};C) (Xl.X2,X3)/XI= X2 };D) Pueden ser cualquiera de 1R3. Todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores dados son: a, p,O)sonvectoresde1R3 dondecadaunadelasdosprimerascoordenadas puede tomar cualquier valor (no es necesario quesean iguales),y la tercera ha er necesariamente O, esdecir,slo son correctas las opciones Ay B. Los vectores del plano que detenninan los ejes XIy X2slo tienen que cum-plir X3= O. Esposibleescribirelvector(2,3,O)comocombinacinlinealde: (0,0, 1) y(0,1,O);B)(1,0, O)Y (O,1, O);C) (1,0, O)Y(0,0,1);D)Noes ible escribirlo como combinacin lineal de ninguno de los pares anteriores. Jlntasformas es posible escribir (2,3, O)como combinacin lineal de(1, 0, O) O)? Slo es posible la combinacinm~2m + {IJ~Es correcta la opcin B. Todas las dems son falsas: Cundo un sistema devectores genera un espacio ... De cuntas formas es posible escribir (a,{3,O)como combinacin lineal de(1 , 0, O) Y (0,1, O) ? Lanicadescomposicinposiblede(a,{3,O)comocombinacinlinealde (1,0, O)Y (0,1, O)es: Es posible escribir (2,3, O)como combinacin lineal de(0, 0,1) Y (0,1,O)? La opcin A no es posible porque no existen a, {3,nmeros reales, que verifiquen (2J(OJ(OJ{2 = Oa+O/3 3=a +{31,ya que,el sistema3=Oa+{3 1O=a+O{3 notienesolucin;no existen a, {3,que hagan 2 = Oa + 0{3 = O. Es posible escribir (2,3, O)como combinacin lineal de(1, 0,O)Y (0, 0, 1)? 30 La opcin e no es posible porque no existen a, {3,nmeros reales, que verifiquen

=+ya que el sistema001O=Oa+{3 notienesolucin;no existena, {3,que hagan 3 =Oa + 0{3 =O. :.Para expresar que cualquier vector delsubespacio que formanlosvectores del plano que contiene los ejes XIy X2 dees una combinacin lineal de (l, 0, O) Y (O,1, O),es decir, que dicho subespacio est generado por {(l, 0, O),(0,1, O)}, se utiliza la notacin 1, 0, O),(O,1,O. . Captulo1-3 .Loscoeficientesdela combinacinlinealqueexpresaelvector(2,3,O) en funcinde(1,1,O)Y (O,-1/2, O)son:A)2,2;B)1,4;C)2,-2;D)Ningu-no de los anteriores. Es correcta la opcin C y falsas las otras, es muy fcilcomprobar que pueden encontrar directamente los coeficientes en la combinacin lineal re-h iendo el sistema de ecuaciones obtenido al igualar coordenada a coordena-en la siguiente expresin: J [J 2=a 21O2=a 3=a1 +/3[-1/2J =>3=a- ~=> {3=2- /3=> /3= -2. OOOO=Oa+O/32 En los ejerciciosanteriores hemos generado el vector (2, 3, O)como combi-in lineal de vectores de{(1, O,O),(O,1,O)}y como combinacin lineal de vectores de {(1,1, O),(O,-1/2, O)}de 1R3Cualquier vector de la forma (a, /3,O), decir,que esdelsubespacio X3= O se puede generar demsdeuna manera. Un sistema de generadores de un subespacio no es nico. 6.Sonciertaslas . siguientesrelacionesentresubespacios: ) (1,O,O),(O,1, O= (1,O,O),(O,1,O),(O,O,1; B) (1,1,O),(O,-l/2, O= = (1,O,O),(O,1, O;C) (0, O,O),(O,1, O= (0, 1, O;D) Ninguna de las an-teriores. subespacio genera{( 1, O,O),(O,1, O) } ? (1,O,O),(O,1,O={(Xl.X2,X3 )E1R3/ ( XI.X2,X3)=a(1 ,O,O)+ /3(0,1,O)}, iendoa, /3 nmeros reales cualesquiera. 9' Cundo un sistema devectores genera un espacio ... La nica condicin que deben cumplir lascoordenadasde (0, 0, O),(0,1, O) es: X3 = 0, es decir, la ecuacin cartesiana de (0, 0, O), (O,1, O)es:X3= O. La ecuacin X3 = es equivalente (define el mismo conjunto de vectores) a {X=a X:= f3, que son las ecuaciones paramtricas de (0, 0, O),(0,1, O). x3 =0 Qu subespacio genera{(1, O,O),(O,1, O),(O,O,l)}? ((1,0, O), (O, 1, O), (O, O, 1)) = {(XpX 2' X3)E~ 3/(xpX2' X3)= a(1,O,O) + f3(0, 1,0) + r(O,O, l)} [XlJ[lJ[OJ[OJ{Xl= a : := a~+ f3~+ r~: : :~Las coordenadas de 1, O,O),(O,1,O),(O,O,1)son independientes y definen todo~ 3 ,es decir, no hay ecuaciones cartesianas. Qu subespacio genera{(1,1, O),(O,-112, O)} ? 32 (1,1, O),(O,-112, O)= {(x], X2,X3)E~ 3/(X],X2,X3)= a(1,1, O)+ (3(0, -112, O)} siendoa,f3E~ . Captulo1-3 Lanicacondicinquedebencumplirlascoordenadasde(1 ,1,O), O,-1/2, O)esX3 = O, que essu ecuacin cartesiana. subespacio genera{(l, 1, O)}? ( 11, O)={(XI, X2, X3) EX2,X3) =a(l, 1,O)} (XIJ(1){XI = a{ x2 = a1x2 = a :1:, quesonlasecuacionescartesianasde XOX- O3- 1, 1, O). 33-Tienenlasmismasecuacionescartesianas(1,O,O),(O,1,O)Y 1,1, O), (O -1/2, O)Slo es correcta la opcin B. .Elvector(2,3,2)escombinacinlinealdelossiguientesvectores: (1,1,1), (2,O,2)Y (3,4,3); B)(1,1,1) Y (3,4,3); C)(2,O,2)Y (3,4,3); D) oe puede escribir como combinacin lineal de los conjuntos de vectores dados. e trata de encontrar nmeros realesa, [3,y,que verifiquen (2J(lJ(2J(3J{2 = la + 2[3 + 3y 3= a1+ [3O+ Y4,es decir,de resolver el sistema3 = la + 0[3+ 4y. 21232 = la + 2 [3 + 3y Las ecuaciones primera y tercera son iguales y se puede prescindir de una de las dl1f2 = la + 2[3 + 3y.hl os, eSIstema a resover es:, que tIene mucassoUClOnes. 3 = la+0[3+4y Aunquealgunassoluciones,como(a,[3,n = (-1,O,1),sevendeforma inmediata,haymuchasmsquesepuedenobteneralresolverelsistema: {2 = la+2[3+3y{2-a = 2[3+3y ,quedarunasolucinparacadavalordea. 3 = la+0,B+4y3-a = 4y Cundo un sistema de vectores genera un espacio ... Sia = -1se obtiene (a,/3, !?=(-1, 0,1),Y podemos afIrmar queson ciertas las opciones A y B. Para comprobar si es cierta la opcin C,repetimos elproceso con losvectores que fIguran en ella:

J1(!] J1=;A=--} 2232=2A+3J1J1 (2,3,2) = -!(2,0,2Tambin es cierta la opcin C. 84 .:.Las conclusiones que podemos sacar son: a)Losvectores(1,1,1),(2,0,2)Y (3,4,3)sonlinealmentedependientes. b)Sepuedegenerarelmismovectorcondistintosvectoresdeunsistema cuando dicho sistema es linealmente dependiente. c)Se puede interpretar geomtricamente como que el vector (2,3, 2)est en el mismo plano que los vectores (1,1,1), (2, 0,2)Y (3, 4,3). 8.Sabiendo que X, y;Z son vectores de 1R3 linealmente dependientes, es cierto que:A)Almenosunosepuede escribircomocombinacinlinealdelosotros (con ambos coefIcientes distintos de O);B) Cualquiera de los tres es combinacin lineal de los otros dos(con ambos coefIcientes distintos de O);C) Elsubespacio deIR) que generan X,y;Z slose puedegenerar con dosvectores;D)Ninguna de las anteriores. La opcin A es falsa, el vector elegido puede depender slo de uno de los otros dos. Ejemplo:Elsistema{(1,0,O),(0,1, O),(2,0,O)}es linealmente dependiente. (2,0, O)= 2 (1, 0, O)+ 0(0, 1, O)es la nica forma posible de escribir la depen-dencia lineal de (2, 0,O)de los otros dos vectores. 1 (1, 0,0);::: (0,1,0) + -(2,0,0) 2 Captulo1-3 (0,1, O)no se puede poner como combinacin lineal de los otros dos. La opcin B es falsa: (O,1,O)nosepuedeescribir comocombinacin linealdelosotrosdos(con ambos coeficientes distintos de O). La opcin e tambin es falsa. Ejemplo:El sistema {O, 0, O),(3,0, O),(2,0, O)}es linealmente dependiente y todos sus elementos dependen de uno: ~Es cierta la opcin D. 9.U = {(x), X2,XJ)E1R3/x)+ X2 + XJ::: O}es unsubespacio vectorial de IR)que puedesergeneradopor:A){O,0,-1)};B){(l,0,-1),(0,1,-l)}; C) {(O,1, O)};D) Ninguno de los conjuntos anteriores. LosvectoresdeUsepuedenescribir: ~x{ ~ J+x{ ~ Jpor tanto, el sub espacio U est generado por S ~{( 1, 0, -1), (0,1, -1) }, esdecir,U;::: + f3x = OX2+ Ox + O;igualando los coeficientes de x2, x y el trmino independiente en ambos miembros, se obtiene a =O, 13 = O =>La opcin B es cierta. t.base def.J 2? La opcin e no puede ser cierta porque{x2,X2 + x } no esgenerador def.J 2. 7.Sif.J2eselespacio vectorialrealde los polinomios de grado menor que 3 y una variable, S = {x2,X2+ x,2x,3}es: A) Un sistema generador def.J 2; B) Un istema libre;C) Una base dedichoespacio; D) Ninguna de lasopcionesante-riores. e.un sistema generador def.J 2? SiS = {x2,X2 + x,2x,3}esgenerador,severificarqueax2 + bx+ ese puedeescribircomocombinacinlinealdeloselementosdeS,esdecir, ax2 + bx + e = ro2 + f3(x2 + x) + 8(2x) + y3 = (a+ f3>x2 + (13+20) x + 3y. Al igualar los coeficientes de las variables que tienen el mismo grado en ambos miembros se obtiene: {a+f3=a 13 + 28 = b ,quemuestraclaramentequesepuedenobtenerlosvaloresde 3y=c a,b, e a partir de los valores dea, 13, 8,y=>La opcin A es correcta. 45 Independencia lineal, basesy dimensin de espacios ... S es un sistema un sistema libre? Si S esunsistema libre,cualquier combinacin linealque genere elneutro de f,h tiene que tener coeficientes nulos. Siax2 +/3= O=>La opcin Besfalsaporque r 3=0r a, 13,8,rno tienen que ser todos O necesariamente. S es base de f.h? La opcin C no puede ser cierta porque S no es libre. 8.Si S = {P(x), P'(x), P"(x), P'''(x)},esuna base del espacio vectorial de po-linomiosrealesdegradomenoroigualque3yunavariable,siendo P(x) = x3 + X2+ X +1,se verifica que las coordenadas de Q(x) = x3 + 4f + 9x +10 respecto a la base S son: A)(1, O,1, O);B) (1,1, 1,1); C) Cualquiera de las dos anteriores; D) Ninguna de las anteriores . :.Como S es base delespacio vectorial dado, cualquier vector de dicho espa-cioesunacombinacinlinealdesuselementos,yloscoeficientesendicha combinacin son sus coordenadas . :.S = {P(x),P'(x),P"(x),PIII(x)} = {x3 + X2 + X + 1,3x2 + 2x + 1,6x + 2,6}, porqueP(x) = x3 + X2+ X + 1 Y P'(x) = 3X2 +2x+ 1,P"(x) = 6x +2,PIII(x) = 6 son las derivadas sucesivas de P(x). Cules son las coordenadas deQ(x) respecto a S? 46 x3 +4x2 +9x+1O=a(x3 +x2 +x+l)+f3(3x2 +2x+l)+8(6x+2)+6r= = ax3 +x2(a + 313) +x(a+2,B +68) + (a +,B +28 +6y). Captulo1-4 Al igualar los coeficientes de las variables que tienen el mismo grado en ambos miembros se obtiene: a=l a+3{3=4 a+2{3+68=9 a+{3+28+6y= 10 D falsas. a=l {3=1L.,Bl A ~8 = 1 ~a opclones correcta, yas opciOnesy y=l La opcin C es falsaporque las coordenadas de unvector respectoauna base on nicas. 9.Cuando el vector (0, 6, 9) sustituye en B = {(l, 2,1,), (-1,0,2), (0,2,3)} a alguno de los vectores siguientes, elconjunto resultante es base de 1R3 si el sus-tituido es: A)0, 2,1); B)(-1, 0,2); C) (0,2,3); D)No es posible obtener una base a partir de losvectores dados. s vectores independientes hay en B? Entre los vectores dadossevemuy claro que hay dos independientes,y el ter-cero depende de ellos: Para que formen base de1R3 hay que aadir un vector que nosea combinacin lineal de los dos elegidos como independientes. (0, 6,9) es una combinacin lineal de los tres vectores de B: Independencia lineal, basesy dimensin de espacios ... 48 Cada vector de B es combinacin lineal de los otros dos vectores de B ~(0, 6, 9) escombinacin lineal de doscualesquiera de los vectores de B. Ejemplo: ~Slo es correcta la opcin D. 10.SiABCDEF eselhexgonoregulardecentro0(0,O)YS = {OA,OB} esunabasedelespaciovectorial1H2;lascoordenadasdeOC,OD,OE,OF respectoa Sson:A)Oe(1,l);OD(l,O);OE(O,-l);OF(1,-l);B)OC(-l,l); - - - - ---OD(-l,O);OE(O,-l);OF(1,-l); C)OC(1,-l);OD(-l,O);OE(O,l);OF(1,l); D) Ninguna de las anteriores . :.Para ver siescierta cada una de las opciones dadas tenemos dos posibilida-des,una escomprobar sison correctas,o no,lascoordenadasdadas,y otra es calculardichascoordenadasycomparar conlasdadasenlasdistintasopcio-nes.ste es elprocedimiento msconveniente cuando hayqueanalizar varias opciones. Escribamoscadaunodelosvectoresdadoscomocombinacinlinealdelos elementos de S: OA = lOA +OOB {::::}OA = (1,0) E Captulo1-4 OB = OOA + 10B OB = (0,1) EB oc = -OA+ 10B OC = (-1,1) EB OD = -OA +OOB OD = (-1,0) EB OE = OOA -10B OE = (0,-1) EB OF = lOA -10B OF = (1,-1) E Al comparar con las distintas opciones, podemos concluir que slo es vlida la B. 49 Independencia lineal, basesy dimensin de espacios ... 11.SiS = {(2,1,3), (-1, 2,3), (5,5,12),(0,5, 9)}, es cierto que: A) S es ba-sede1R3;B) Existeunabasede1R3 quecontienealmenosdosvectoresdeS; C) S contiene una base de 1R3;D) Ninguna de lasanteriores. Puede haber ms detresvectores independientes en 1R3? En 1R3 slo puede haber 3 vectoreslinealmente independientes=>S nopuede ser base porque tiene cuatro =>La opcin A es falsa. Los vectores (2,1,3), (-1, 2, 3) son independientes ? [OJ[2J[-lJ{O = 2a - {3 Si =a1+{32=>0=a+2{3=>a={3=O 330=3a+3{3 => La opcin B es correcta. Los vectores (5, 5,12), (0, 5, 9), son independientes delos otros dos ? 50 Deloscuatrovectoresslohaydosindependientes,yaque,losotrosdosse pueden escribir como combinacin lineal de los primeros: =>La opcin e es falsa porque en Sno hay tres vectores linealmente indepen-dientes . :.En captulos posteriores dispondremos de herramientas ms eficientes para calcular el nmero vectores independientes en unsistema dado. 12.Respectoa la base cannica elvector V"es(2,2,2), BI = {(2, 0,O),(O,2,O), (0,0, 2)}Y B2 = {(1 ,1,O),(0,1,1), Ca,b, c)}sonbases de 1R3 tales que V"tiene lasmismascoordenadasrespectoaambascuando(a,b,e)es:A)(-1,0,-1); B) (1, 0,1); C) (1,1,1); D)Ninguno de losvectores anteriores. Captulo1-4 de v respecto a BI? Illlfon!!S de (a,b,c) para que las coordenadas de v sean (1, 1,1)respecto a B2? Para que en la base B2 tenga coordenadas (1 ,1,1), ha de cumplirse que igualar componente a componente se obtiene el sistema: {2 = l+a 2 = 1 + 1 + b::::::>(a,b,c) ==(1,0,1) ==>Es cierta la opcin B. 2 =1+c 13.Sia,b,csontresnmerosrealescualesquiera,esciertoque B={(1,a,b),(O,l,c),(O,O,1)}esbasede1R3:A)Siempre;B)Slosia= 1, b =1,e =1; C) Nunca; D) Ninguna de las anteriores. La condicin para que sea base de 1R3 es que tenga tres vectores linealmente independientes. IOlIIltdoson independientes los vectores de B? (0](1](0](0]{o=a{o=a Si =aa+f31+r ==>O=aa+f3==>0=f3. be1O=ab+f3c+rO=r LostresvectoressonsiemprelinealmenteindependientesEsciertalaop-cin A y falsaslas dems. 51 Captulo1-5 Ejercicios relativos a: 1.Si F= {(x"X2,x, )E1R3/x,+ X2= X, },severifica:A)Fesunsubespacio vectorialdeIR' ; B){(l, 0, O),(0,1,O),(1,1,2)}es una base deF;C)F notie-ne base porque no es espacio vectorial; D) Ninguna de las anteriores. Los elementos de F son ternas de nmeros reales (x"X2,X3)E1R3,que veri-fican x, + X2= X3,es decir, la tercera coordenada es la suma de su primera ysu segunda coordenada. Aplicacin del teorema que caracteriza los subespacios vectoriales: roducto deun elemento deF por un nmero real es deF? => La opcin Aes correcta La opciI!.. e es falsa, por ser espacio vectorial (es subespacio de 1R3)finitodis-tinto de {O}tiene base. 53 Relacin entre subespacios de un espaciovectorial.. . {(1, 0,O),(0,1, O),(1,1,2)}es una base de F? La opcin B es falsa porque {(1, 0, O),(0,1, O),(1,1,2)} contiene vectores que no son de F. (1,0, O)Y (0,1,O)no son de Fporque no verifican que la tercera coordenada es suma de la primera y la segunda. 2.El espacio vectorial F = {(xX2,X3)E1R3/x+ X2 = X3}del ejercicio anterior verifica: A) El elemento neutro dela suma estndar de vectores no pertenece a F;B) F esunsubespacio vectorial de 1R3 de dimensin dos;C) F no es espacio vectorialporque nopuede haber ninguna base contenida en l;D) Ninguna de las anteriores. El elemento neutro delasuma estndar devectores no pertenece a F? Es evidente que (0,0,O)pertenece a F porque el elemento neutro siempre per-tenece al espacio vectorial, pero adems es muy fcil ver que + = O. La opcin Aes falsa. Se puede encontrar alguna base deF? 54 Los elementos &F son de la fonna(:: JJ+ { : Ja y preales cualesquiera, es decir,{(1, 0,1), (0,1,1)}genera F. Como adems (1 , 0,1)Y (0,1,1)son dos vectores linealmente independiente {(1,0,1), (O,1,1)}es una base de F. La opcin B es cierta y la opcin C es falsa. 3.Sabiendo queV ={(XI.X2,X) )/X2 =x) } essubespacio de 1R3,es correcto de-cir: A) Todas sus bases estn formadaspor dosvectores; B) Hayuna base de Captulo1-5 repecto ala cuallascoordenadas de unvectordeV son(2,3);C)La dimen-in deVes dos;D) Ninguna de lasanteriores. LosvectoresdeVsondelaforma(A,Ji,Ji),siendoA,Jidosnmeros realescualesquiera,ysepuedenexpresarmediantelacombinacinlineal ( ~)~;.m + {: ) => {(1, O, O} (0,1, l)}es un sistema de generadores de V, Losvectores(1 ,0,O) ,(0,1,1)sonlinealmenteindependientes~{(1,0,O), (0,1, 1)}es base deV ~Son correctas las opciones Ay C. Decir que las coordenadas de un vector (X I,X2,X3)de~ 3son (2,3) respecto a la base((1,O,O),(O,1,1)deV,indica quel:J{~)+ 3(:), por tanto,la opcin Bes correcta. La D es falsa por ser cierta alguna de las otras. 4.Sabiendo que es subespacio vectorial de ~ "elsubconjuntog;Jformado por todaslasn-uplasdenmerosreales,talesqueloselementosdecadaunade ellasformanunaprogresinaritmtica,severificaquesonbasedef.Jlossi-guientes conjuntos: A) Bl= {(1 ,1,1,... ,1), (0,1,2, ... , n -1)}; B) B2 ={primer trmino,razn};C)La dimensindef.Jesn;D)Ningunodelosanteriores. + Los elementos deg;Json de la forma (a" al+ d, al+ 2d,.. . , al + (n- 1) d) , donde al representa el primer elemento, n el nmero de elementos y d la razn de la progresin. puede generar cualquier elemento deg;Jcon BI? 55 Relacin entre subespacios de un espaciovectorial... 1o 11 La respuesta es s, porque:=al 1+d2 al +(n-l)d1n-l Sonindependientes los vectores de B I ? o1OO=a O11O=a+f3 SiO=a1 + 2 =>O=a+2f3=> a= f3= O,esdecir,sonvec-O1n-l O = a + (n -1)f3 tores linealmente independientes. Es BIbase def.J? S porque es sistema de generadores linealmente independiente => La opcin A es cierta. Es B2 base def.J ? fj(j Es evidente que es falsa la opcin Bporque los elementos de B2 son elementos de ~ ,no n-uplas. La dimensin def.Jes dos,que es el nmero de elementos de una cualquiera de sus bases. La opcin e es falsa porque todas las bases def.Jtienen el mismo nmero de elementos,esdecir dos,yelnmerodeelementosdef.Jesinfinito.Esta op-cin slo sera cierta en ~ 2 . Captulo1-5 5.SabiendoqueUI esunsubespaciode1R4,severifica:A)Hayunsub-espaciosuplementarionico,U2,deUI en1R4;B)Haymsdeunsubespacio suplementario deUI en1R4;C)La interseccindeUI y susuplementarioU2 es (O,0,0,O);D) La suma deUI y susuplementario U2 essuma directa. Son correctas las opciones A, C y D . :.Recordemosla definicin de suma directadelossubespaciosUI yU2,deV: Cada vector dela suma directaUI ESU2 dedossubespaciosUI yU2 se puede descomponer de forma nica como suma de un vector de UI y otro de U2 UI$U2 = {u =UI+ U2/UIEUh U2EU2},talque,la descomposicinde cada vector u es nica. ~La opcin A es cierta y la opcin B es falsa. De la definicin anterior se puede deducir la siguiente: - -u =UI+ U2=~UI =U2=0, 'l/u EUIEi)U2, que se puede expresar diciendo que cualquier u EU1 n U2 es U=6. ~La opcin C es cierta. .;.La suma deUI yU2 esdirecta siverificaUI + U2 = V Y UI nU2 = 0, dicha condicin la cumplen los espacios suplementarios. ~La opcin D es cierta. 6.SiS={(XI,X2,X3,X4)jX,=-X4}esunsubespaciode1R4,severifica: A) B = {(1, 0, 0, O),(0,1,0, O),(0,0,1, -1)} es una base de S;B) B'= {(O,0, 0, 1)} es una base de susuplementario; C)Una base de S yuna base desusuplemen-tario formanuna base de 1R4;D) La dimensin de S yla dimensin de susuple-mentario suman cuatro. + Los elementos de S son de la forma (XI,X2,X3,-X3) ' 57 Relacin entre subespacios de un espaciovectorial... Los vectores de B generan S? XI1OO x2 O1O S, porque=xl O +x2 O +x3 1x3 -x3 OO-1 Sonlinealmente independientes ? O1OO OO1O =>XI= x2 = x3 = O.S, porque si O =xl O +x2 O +x3 1 OOO-1 =>La opcin Aes correcta. La opcin e es cierta siempre. {(1, O, O, O), (O,1, O, O), (O,O, 1, -1), (O,O, O, 1)}es base de 1R4porque est for-mada por cuatrovectoreslinealmente independientes=>B Is esuna base del suplementario =>Es correcta la opcin B. Severifica Dim (UI + U2)+ Dim (UI n U2)= Dim UI + Dim U2? 58 Dimensin de S = 3. Dimensin del suplementario = 1. Dimensin de 1R4= 4. Dimensin de (UI n U2)= Dimensin de{(O,O, O, O)}= O => Es cierta la opcin D. 7.Sabiendo que U = {(XI ,X2,X3)/XI= X3}yw = {(x" X1,X3)/x1= O, X2 = O}son subespaciosde1R3,esciertoque:A)Nosepuedeformarunabasede1R3 con vectores de una base deU yuna base deW;B) Dos vectores cualesquiera deU yunocualquiera deWformanunabase de1R3;C) La suma deU yWes suma directa; D)UUWes subespacio de1R3. Captulo1-5 Es muy fcilver que B= {(1,0,1),(0,1,O)}es base deU;B' = {(O,0,1)}es base de W y{(1, 0,1), (0,1, O),(O,0,1)}es base de 1R3 ~Aes falsa. La opcin B no es correcta, porque si se eligen en U dos vectores linealmente de-pendientes, slo uno de ellos podra estar en la base de 1R3,y como W slo puede aportar un vector linealmente independiente, no se puede formar una base de 1R3 Ejemplo: ElijamoslosvectoresdeU:(1,1,1)= 1(1,0, 1) + 1(0,1, O)y(3,3,3) = = 3(1, 0,1) + 3(0,1, O) Ambos son dependientes:(3,3,3) = 3(1,1,1),slo uno de losdos puede for-mar parte de una base de 1R3,tomemos el(1,1,1). Elijamos cualquier vector de W,por ejemplo (0, 0,1). Para la base de 1R3 slo contaramos con losvectores(1,1,1)Y (0, 0,1) de los tres que son necesarios. directalasuma U + W? un W= {(O,0, O)}~e es cierta. U UWsub espacio vectorial de1R3? UUWest formado por losvectores que pertenecen aU W,oa ambos, y no verifica que, la suma de dos vectores deUUW pertenece aUUW. Ejemplo: (2,1,2) EU;(0,0,5) EW;(2,1,2) + (0, 0, 5) = (2,1,7)~UUW,ya que no verifica XI= X3ni XI= X2= O. ~Des falsa. 8.Si LIes elsub espacio de 1R3 generado por{(1, 0,O),(O,0,1)},y~elge-neradopor{(l,1,1)},severifica:A)LIn~noesunespaciovectorial; B)LasecuacionesparamtricasdeLIn~son(XI,X2,X3)=a(1,1,1); gg Relacin entre subespacios de un espaciovectorial... C)Hayvariasposibilidades dedescomponer elvector (2,5,9) como sumade un vector deL1 y uno d e ~ ;D) L1 + ~essuma directa. Es LIn Lz espacio vectorial? LIn Lz s es espacio vectorial (ver ejercicio 11de captulo 1-2) ~La opcin A es falsa. Cmo son los vectores de LI ? (XIJ(1J(OJ{XI= A. Los vectores de LI son de la forma:x2 = A. + J1 ~x2:. X 31x3- J1 Cmo son los vectores de Lz? (XIJ(1J{XI= a Los vectores de Lzson de la forma:x2 ==a1~x2:a . x3 1x3 - a Cmo son los vectores de LIn Lz? Los vectoresde LIn Lzpertenecen a LIy a Lz,por tanto, debenverificar am-bos sistemas de ecuaciones ~XI= X2= X3= a = O. LI n Lzest formado slo por el vector (0, 0, O)~La opcin Bes falsa. La opcin Aes cierta porque {(O, 0, O)}es siempre un subespacio de ~ 3con las operaciones estndar. Es LI + Lzsuma directa? 60 Cualquier vector de ~ 3se puede descomponer como suma de un vector de L1 y unodeLzpor existirunabasede~ 3formadapor unabasedeLIyunabase deL. Captulo1-5 Adems, por ser L,nL= {(O,O,O)}la suma de L,y Lessuma directa. L,+ L=L,$L~La opcin D es cierta. Por ser L,+ L= L,$Lsuma directa cualquier vector de [R3 se puede descom-poner como suma de un vector de L,yuno de Lde forma nica =>La opcin e es falsa. La descomposicin posible del vector (2, 5, 9) es la que proporciona la solucin del sistema de ecuaciones que se obtiene al igualar coordenada a coordenada en (2)(A)(a)f2 = A+ a laexpresinsiguiente:5=O+a=>5 = a=>A = -3;J1 = 4;a = 5, 9J1a9=J1+a que es la solucin nica del sistema. 9.SiL,eselsubespaciode[R4generadopor{(l,O,1,1),(1,O,O,O), (O,O,1,l)}, y Lelgenerado por {(l, O,O,O),(O,1, O,O),(O,O,1,O)},se veri-fica:A)Dim LI =DimL=3;B)LIn L={(O,O,O,O)};C)LI+ L=[R4; D) LI+ Les suma directa. Dimensin deL,? La dimensin de L,es2,porque {( 1,0,1,1) = (1,0,0,0) + (0,0,1, 1)Y {(1,0,0,0),(0,0,1,1) } es libre. Dimensin de L? La dimensin de Les 3,porque{(1,O,O,O),(O,1,O,O),(O,O,1,O)}esbase deL. => La opcin A es falsa. Relacin entre subespacios de un espaciovectorial... Ecuaciones de LI ? XI1 XI=a x2 X2 =0 Los vectores de LI son de la forma=a +=> =>La prime-x3 1 x3 = f3 x4 1 x4 = f3 ra coordenada puede tomar cualquier valor,la segunda debe ser 0,y,la tercera y la cuarta iguales =>Sus ecuaciones cartesianas son{X2 = x3 = x4' Ecuaciones de Lz? XI1 x2 =a + x3 Ecuaciones de LIn Lz? 62 Los vectores de la interseccin deben verificar las ecuaciones de los dossubes-{X-O pacios, esdecir,son las soluciones del sistemaX:: x4 x4 =0 Essolucindelsistema cualquier cuaterna quetengalastresltimascoorde-nadas0,ycualquiervalorenlaprimera~Lassolucionessondelaforma (XI,0, 0, O)=> La opcin B es falsa. Una base de LIn Lz es{(1, 0,0, O)}=>Su dimensin es1. Tambin es falsa la opcin D, porque LIn Lz "*{(O,0, 0, O)}. Captulo1-5 Al aplicar la frmula de Grassman: Dim LI + Dim = Dim (LI ++ Dim (LI n2 + 3 = Dim (LI ++ 1 (LI

El nico subespacio decon dimensin 4 es Es cierta la opcin C. 10.Si L1 Y son lossubespacios dedel ejercicio anterior,se verifica que suplementariodeL1 es:A) B)Noexiste;C)Eselgeneradopor {(O,1,0, O),(0,0,0, 1)}; D) La base delsuplementario es nica. -Es L I n = (0, 0, 0, O)? LIn(XI,0, 0, 0)"* (0, 0,0, O)no es suplementario de LI La op-cin A es falsa. Base deL1 ? Una base de L1 est formada por dos vectoressuyoslinealmente independien-tes, por ejemplo:{(1, 0, 0,O),(0,0,1,1)}. -Base del suplementario de LI? Cualquier base del suplementario de L1 aadida a una base de L1 debe ser base deUna base deest formada por cuatro vectores linealmente independientesHay que buscar dos vectores de independientes entre s e independientes de los de la base elegida en LI. {(O,1,0, O),(0,0, 0,1)}verifica las condiciones pedidas C es cierta. Es evidente que la opcin Bes falsa. Enunabasesepuedesustituirunvectorporotroquecumpladetenninadas condiciones sin que vare el espacio generado La opcin Des falsa. 63 Relacin entre subespacios de un espaciovectorial... 64 11.Si A = (1,2,1,1),(-1, O,1,O),(2,2, O,1)Y B ={(XI ,X2, Xl, X4)/2.x1- 2X2 + 2x, - X4= O}sonsubespaciosde[R4verifican:A)Ladimensinde Aes3; B) La dimensin de B es3;C) La suma de Ay B esdirecta;O) Ninguna delas anteriores. Elsistema{(1,2,1,1),(-1,O,1,O),(2,2,O,l)}noeslibre,yaque: (1,2, 1,1) - (-1, O,1, O)= (2,2, O,1). Al quitar el vector dependiente queda el sistema {( 1, 2,1,1), (-1, O,1, O) }, que eslibre yformauna base delsubespacio A, cuya dimensinesdos=>La op-cin A es falsa.. El subespacio B de [R4 cuyas ecuaciones cartesianas son:2x1 - 2x2 + 2x3 - X4 = O tiene por ecuaciones paramtricas: XI=aXI 1OO X- f3x2 O1O 2 -~=a ++ losvectores(1 ,O,O,2), x3 =8X)OO 1' X4 =2a-2f3+28x4 2-22 (O,1, O,-2),(O,O,1,2) formanunsistema libre, por tanto una base de B, y la dimensin de este subespacio es tres=> La opcin B es correcta. A+ Bnopuede ser directa porque AyBsonsubespacios de[R4,y,silasuma fueradirecta,la dimensin de An B sera O,y como A + B tambin es unsu-bespaciode[R4,elmayorvalor quepuedetener sudimensinescuatro,yno podra cumplirse la igualdad:Dim (A+ B) + Dim (An B) = Dim A + Dim B. =>La opcin e es falsa. Tambin es falsa la Opor ser cierta la B. APLICACIONES LINEALES Ejercicios relativos a: 1.Si fIRIR'esunaaplicacintalque,J (x)= (x,1,-x),esciertoque: A)fconserva la suma; B)ftransfonna el neutro de (IR,+) en elneutro de (IR"+); C) f conserva elproducto por unescalar;D) f es una aplicacin lineal. Conservafla suma? xf(x) = (x,l,-x) yf(y) = (y,l,-y) x+y I(x+ y)noes igualaf(x) + I(y)porque tienenla segunda coordenada distinta La opcin A es falsa. ICM)igual aA/(x)? 65 Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios ... xhf(h) = (h,I,-h) porque tienen la segunda coordenada distinta. A (x,1, -x) = (h, A,-h):#; (h, 1, -h) =>La opcin e es falsa. Esf(O) = O? No,f(O) = (0,1,O):#;(0, 0, O)=>La opcin B es falsa. Esfuna aplicacin lineal? No,para justificarlo essuficiente comprobar que nocumple cualquiera delas tres condiciones anteriores. 2.Si f:IRIR'esunaaplicacintalque, f(x)= (x,0,-x),esciertoque: A)fconserva la suma; B)ftransforma elneutro de (IR,+) en el neutro de (IR' , +); C) f conserva elproducto por unescalar; D) f esuna aplicacinlineal. Conservafla suma? xyf(y) = (y,O,-y) x+y(x+y,O,-x-y) f(x+ y) = f(x)+ f( y) porque (xpO,-x)+(x2,0,-X2)= (x+x2,o,-x - x2). =>La opcin A es cierta. Conserva fel producto por escalares ? xhf(h) = (h,O,-h) f(h) = A/(x) => La opcin B es cierta. 66 Captulo 2-1 Esj(O)= O? S,j (O)= (O,O,O)=>La opcin C es cierta. juna aplicacin lineal? S, por conservar la suma y el producto por escalares. 3.f:1R2 ~1R2 / f(Xl,X2)= (Xl+ 2,X2)verifica:A)Esunaaplicacinlineal; B)Noesaplicacinlineal;C)EncualquieraplicacinlinealdeIR"~IR"la imagen de (O,O)puede noser (O,O);D)Ninguna deellas . :.Para ver que escierta la opcin A debemos comprobar que cumple las con-diciones dadas en la definicin de aplicacin lineal. .:.Para ver que la opcin Ano escierta essuficiente comprobar que notiene alguna de las propiedades que tienen todas las aplicaciones lineales. Una de esas propiedades es:"Para cualquier aplicacin linealf: V ~W,se ve-rifica quef(O) = O". Una forma de demostrar dicha propiedad para aplicaciones f:1R2 ~1R2 es: (O,O)= O (1 , O)+ O (O,1), Y sij: 1R2 ~1R2 esuna aplicacin lineal, se verifica: j(O, O)= Of(l, O)+ Of(O,1)= (O,O)para cualquier valor dej(1, O)y j(O,1) ~Es falsa la opcin C. Comprobemos que la aplicacin dada notiene esta propiedad: j(O, O)= (2, O)=>Es cierta la opcin B,y son falsas A y D. 4.Cuando se define la aplicacinf(a + bx + CX2) = (a + bx + CX2)+ (e + bx + ai) del espaciovectorialdepolinollosdegradomenor o igualquedosens llsmo, es cierto que: A) fconserva lasuma;B) jconserva elproductodepolinollos; C) f conserva el producto por unescalar;D) f es una aplicacin lineal. 67 Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios ... Conservafla suma? p=a +bx+cx2 =(a+bx+cx2)+(c +bx+ax2)= =(a +c)+2bx+(c+aJx2. P2 = a2 +b2x +C2X2 = (a2 + b2x +C2X2)+ (c2 + b2x +a2x2)= =(a2 +c2)+2b2x+(C2 +a2)x2 P+ P2 = (a+a2)+(b+b2)x+(c +C2)X2 + P2)= = (a+a2 +C+c2) +2(b+bJx+(c+C2 +a +a2)x2. f(P+ P2)= f(p)+ f(P2)La opcin Aes cierta. f conserva el producto de polinomios? Elproducto de dospolinomios de grado menor oigualque dos,puedeno ser unpolinomiodegradomenor oigualquedos,ynoestar definidasuimagen mediante la aplicacin dada. E1224 Jemp o:xx= x. La opcin Bes falsa. Conserva fel producto por escalares? P =a +bx+cx2 = (a+bx+cx2)+(c+bx+ax2)= = (a +c) +2bx+(c+a)x2 P = f(M +Abx + Acx2) = = (M+Ac)+2Abx+(M+Ac)x2 f (AP)= Al (P)La opcin e es cierta. Es funa aplicacin lineal ? 68 S, ya que son ciertas las opciones Ay e La opcin Des cierta. :.Paraverque fesaplicacinlinealessuficientecomprobarporelmismo procedimiento que se verificaf(P + aP2) = f(Pi) + a!(P2). / Captulo 2-1 5.Dada la aplicacin!:IR---?IR,talque,f (x) = cos x,es cierta laafirmacin: A)Alasuma deoriginalescorrespondelasuma deimgenes(conservalasu-ma);B) Alproductodeunescalar porunvector corresponde elescalar poral imagendelvector(conservaelproductoporescalares);C)Esunaaplicacin lineal; O) Ninguna de las anteriores. La grficadela funcin! (x)= cosxponedemanifiestodeformainmediata que no es una aplicacin lineal, ya que la suma de dos vectores, que estn en la grfica,no est en dicha grfica: - 21t-1t Vamosa comprobarlo analticamente: erva lasuma? x ,~!(x,) = COSX, x2 ~!(x2) = cosx2 x, +x2 ~!(x, +x2) = cos(x, +x2) 2 -1 -2 {!(x, +X2) = cos(x, + x2) = COSX, cosX2 - senx,senx2 !(x,)+ !(x2) = cosx, +cosx2 No conserva la suma ~La opcin A es falsa. 1t21t 69 Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios ... Conserva el producto por escalares ? 70 xf(x) = cosx hf(h) = cos(h) {Af(X) = ACOSX.. ;SIXes tal que cos xvale1,y A> 1 A cos x>1, ffilentras f(h) = cos(h) que cos (h) 1 No conserva el producto por escalares, la opcin B es falsa. Esobvio que la aplicacinf:IRIR/ f (x)= cos xno esuna aplicacin lineal La opcin C es falsa. La opcin D es cierta porque nolo esninguna de las anteriores. 6.Sif:1R2IR'esunaaplicacinlineal,talque,f(1,O)= 0,2,O)Y feO,1)= (0,3,1), severifica:A)f(5, 7)= (5,31,7);B)f(l, 1)= (1,0,1); C)Lasimgenesdetodoslosvectoresde1R2 estnenelplanodeecuacin 2x1 - X2 + 3x, = O;D)Ninguna de lasanteriores. Por ser f:1R2 1R3 una aplicacin lineal: )+{:H Es cierta la opcin A fe) = H Es frusa la opcin B. Captulo 2- 1 Cualquier vector de [R2 es de la forma (a,b). La imagen de (a,b) mediante la aplicacin linealf es un vector (Xl.X2,X3)de [R3 queverifica::a+3b=>La ima-x3 x3 x3 b gendecualquiervectorde[R2verifica2x1 - X2 +3X3=O,yaque 2a - (2a + 3b) + 3b = O =>Es correcta la opcin C. 7.Sif :[R2-7[R2esunaaplicacinlineal,talque,f (1,1)= (1,4)Y f(2,-1)= (-2,3),laimagende(3,-1)es:A)i); B)(-37, 136); (-812) C)3' 3; D)Ninguna de lasanteriores. B = {(1,1), (2, -1)} es una base de[R2? S, es fcilcomprobar que sus vectores son linealmente independientes. Se puede escribir (3, -1) como combinacin lineal delos vectores de B? S,cualquier vector de[R2 sepuedeescribir en funcindelosvectoresdeuna de sus bases. 71 Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios ... 72 (3J= a(l) + J 2 ){3 = a+ 2f3f3~la = ~~(!, i) son las coordenadas -11I-'l-1-1=a- f3=i33 3 en base B del vector que en la base cannica es (3, -1). Porser1 aplicacinlineal,severifica:1(3) =1(!(1) + i(2)) = -13 13-1 correcta la opcin B. 8.Si 1: 1R2 --71R3 esunaaplicacinlineal enla queseconocen lasimgenes deloselementos deunabasede1R2,severifica:A)Esposibleobtener laima-gendecualquier vector de1R2; B)CualquiervectordeIR'tieneunoriginalen 1R2; C) La imagen de 1R2 esIR' ; D)Ninguna delasanteriores. B = {O, O),(0,1)} es una base de 1R2~Cualquier vector de 1R2 se puede escri-bb '.(XI J(1)(0)lf como commaClOnlineal de sus vectores:x2 = XI + x2 1. Por serf aplicacin lineal{::)= fH ~)+ x,( ~ ))~x,{ ~)+ x,{ ~)=>La opcin A es correcta y la opcin D es falsa . :.La conclusinobtenida esvlidapara cualquier basede1R2. La demostra-cin a realizar es similar a la anterior. Paraver quelasopcionesByCson falsasessuficiente elsiguiente ejemplo: Captulo 2-1 Supongamoslaaplicacinlinealf:[R2 ~[R3,talque,J (x"X2)= (O,O:O),el nico elemento de [R3 que tiene unoriginal es(O,O,O). 9.Sif esuna aplicacinlinealdeunespacio vectorialVenV,severifica: A) Esfalsoquef(O)= Oyf(-X)= -f (X),siendox cualquiervectordeV; B)Es falsoquesi f(X)= f(Y)~f(x - Y)= O;C)Si S essubespaciodeV,en-toncesf(S) esunsubespacio def(V); D)Ninguna de lasanteriores. {feO) = f(Ox) = Of(x) = O Si feslinealescierto(falsoqueesfalso)que fe-x) = f(-1x) =- f(x) ~La opcin A es falsa. Si feslinealescierto(falsoqueesfalso)que f(x - Y)=f(X)- f(Y)= O si f (X)=f (Y)~La opcin B es falsa. Sif es lineal es cierto que la imagen de un subespacio es un subespacio, adems, como S est contenido enV,lasimgenesdeloselementos de S sonimgenes de los elementos de V,y por tanto, estn enf (V)~La opcin e es cierta. 73 Definicin de aplicacin lineal entre dos espacios.... 74 10.Si f:[R3[R2eslaaplicacinlineal f(XI,X2,X3)= (XI,X2),severifica: A) Si X,Yson linealmente independientes, entonces,f (X),f (Ji)sonlinealmente independientes;B)Si f(X), f(Ji)sonlinealmente dependientes,entonces,X,y son linealmente dependientes; C) Sif(X),f(Ji)son linealmente independientes, entonces,X,y sonlinealmenteindependientes;D)Ningunadelasanteriore. [R3(xl'x2'x3)X = (0, 1, O)f(x) = (0, 1) Y = (0, 1,1)f(y) = (0, 1) => L .,A{(0,1,0),(0,1,1) son linealmente independientes a opclOnes 1l.lSa,porque (0,1), (0, 1) son linealmente dependientes =>La opcin B tambin es falsa,para verlo basta tomar losvectores del ejem-plo anterior. Queremos ver si X,y son linealmente independientes cuando lo son f (X), f 00, para ello hay que demostrar que "A,x + IlY = O=>A.= 11= O". Enefecto: {Axl+ IlYI= _-1..Af(x) + Ilf(y) = 0,pero por ser f(x), f(Y)linealmentein-/\..t 2+ IlY2 = dependientes debe ser A.= 11= =>x,y son linealmente independientes=>La opcin e es cierta. Captulo 2-2 Ejercicios relativos a: S'tJ matriZ asocfada a una aPl1cacin1.Sif:[R'[R2esunaaplicacinlineal,talque,f(1,O,O)= O,1); feo,1, O)= O,l);f(O, O,1) = (1, O),se verifica: A) La matriz asociada aftiene dos filasytrescolumnas;B)La matrizasociadaa ftienetresfilasydoscolumnas; C) La imagen de cualquier vector de [R3se puede expresar en funcinde los vec-tores de cualquier base de [R2;D) Ninguna de las anteriores. atriz asociada a f? .:.Matriz asociada afes la matriz cuyas columnas son las imgenes (en [R2)de la base elegicla en [R3. Cualquier base de [R3 tiene tresvectores ysuimagen es unvector de[R2 (tiene dos coordenadas), por tanto, la matriz asociada tiene tres columnas y dos filas. Es correcta la opcin A,e incorrecta la opcin B. La matriz asociada af esA = (11 1) . 11O Expresin matricial dela aplicacin? uaciones cartesianas dela aplicacin? .:.La aplicacin dada transforma (x" X2, X3) en (y" Y2),las frmulas que permi-tenobtener la imagen(y" Y2)de cualquier original(x"X2,X3)sonlasecuacio-nes de la aplicacin. Jg Lamatriz asociada a una aplicacin lineal Las ecuaciones cartesianas de f obtenidas de su expresin matricial son {YI: XI +x2+X3 Y 2- XI +x2 Losvectores de la imagen de f estn encomo consecuencia se pueden ex-presar en funcinde cualquiera de sus bases, una forma de hacerlo es (:: :::H (x, + x, (:) +x{Es correcta la opcin C. La opcin D es incorrecta. 2.Sif:esunaaplicacinlineal,talque,f(1,O,O)= (1,1); f(O,1,O)=(1,1);1 (O,O,1)=(1O),laimagendelsubespaciodefinidopor XI+ X2 + X,= O verifica:A)Eselsubespacio XI= O deB) Tiene dimensin 2; C) Est generado por 0 , 1);O) Ninguna de las anteriores.(Tomando lasba-ses cannicas de y Matriz asociada af? A (1 1 1). .. =, como en el ejercICIOantenor. 11O Imagen del subespacio XI+ X2 + X3 = O? Unas ecuaciones paramtricas del subespacio XI+ X2 + X3 = O son: {XI= A(XI J( 1 J( OJ :2= j.1=>X2 = AO+ j.11 X3--A-j.1x3 -1-1 ::=> f(xl + X2+ X3 = O)est generado por (O,1). 76 Captulo 2-2 Unas ecuaciones paramtricas def( x, + x, + x, O)son: (:J ,{ J La coordenada X2 puedetenercualquiervalor,mientrasque XIdebeser Las ecuaciones cartesianas son: XI= Es correcta la opcin A. (.Para calcular la imagen de un subespacio es suficiente conocer la imagen de un sistema generador. :.{(1,0, -1), (0,1, -1)} es una base de XI+ X2+ X3= 0, por tanto({(l, 0, -1), f(O,1, -1)} es un sistema de generadores def(xl + X2+ X3= O) . :.Las aplicaciones lineales pueden no conservar la independencia lineal ni la dimensin de los subespacios. Dimensin de la imagen del subespacio XI+ X2+ X3= O? {(O,1)}es base de XI= 0, como est formada por un solo vector =>Dimensin (XI= O)= 1 Es incorrecta la opcin B. Es (l, 1) generador de XI= O? (l,1)genera=x2'peronopuede X2 1x2 - A generar elsubespacio XI= 0, porque de entre sus infinitos vectoresslo se po-dra obtener el (0, O)Es incorrecta la opcin C. 3.Sif:1R3 1R2 esunaaplicacinlineal ,talque,f(1,0,O)= (1,1); f(O,1,O)= (1,1);f (0,0,1)= (1,O),severifica:A)Laimagendelaaplica-cin es 1R2; B) La dimensin de imagen defes 1;C) Hayvectores de 1R2 queno tienenunoriginalen1R3;D)Ningunadelasanteriores.(Conlasbasescan-nicas). 77 La matriz asociada a una aplicacin lineal Matriz asociada af? A = (11 1) 11 Expresin matricial dela aplicacin? Ecuaciones dela aplicacin? Imagende f? Est formada por todos los vectores (yl ' Y2) de [R2. Para cualquier (yl, Y2) hay un elemento (XI>X2 ,X3 )de [R3 que satisface el sistema anterior =>Cualquier vector de [R2 tiene un original en [R3 =>La imagen de la aplicacin es [R2. Dimensin deimagen de f ? 78 Dimensin de imagen de f = Dimensin de [R2 = 2. Slo es correcta la opcin A. 4.Sif:[R'-7MMesunaaplicacinlineal,talque,f(1,O,O)= G~ ) : (1 -1)(2-2) f(O, 1,0) =-55Yf(O,O, I)=-14,esciertoque:A)Lamatriz asociada aftiene tres filasy tres columnas;B) La matriz asociada aftiene tre filasy cuatro columnas; C) La matrizasociada aftiene dosfilasy dos colum-nas; D) Ninguna de las anteriores. Captulo 2-2 .:.Se asocia afIa matriz cuyas columnas son las imgenes (en M2dde la ba-se de 1R3 elegida.(Comonose especifica otra cosa,utilizaremosla base can-nicadeM2d. Coordenadasde :) respectoaf (1,O,O)=G Son (3,1,2,4). Coordenadas deesrespecto a{(). ( ).(). ( m? ! (O,I,O)=es Son (1 , -1, -5, 5) Coordenadasde(:1-:) respecto a

Son (2, -2, -1,4). atriz asociada a f ? 312 1-1-2 :::::}La matriz asociada tiene tres columnas y cuatro filas. 2-5-1 454 :::::}Es correcta la opcin D. 79 Lamatriz asociada a una aplicacin lineal 5.Si fesunaaplicacinlinealdelespaciovectorialdepolinomiosdegrado mximo dosens mismo,talque,f (1) = 3 + 2x + i;J (x)= 2 Yf (x2)= 2x2,es cierto que:A)Notenemosdatossuficientes para escribir lamatriz de f;B)No sepueden escribir lasecuaciones de f;C) Nohaydatossuficientespara encon-trarlaimagen delpolinomio x+ 3;D)Lascoordenadasdex+ 3 respectoa la base cannica son (11,6,3) . :.{1, x, x2}esla base cannica del espacio vectorial dado . :.Cuandoescribimoslascoordenadasdeunvectorrespectoaunabasehay queconservar elordendelascoordenadasrespectoalosvectoresdelabase. Se puede escribir la matriz de f? S,porqueconocemoslasimgenesdelosvectoresdeunabasedelespacio vectorial dado. Se pueden escribir las ecuaciones de f? S,laimagendecualquiervectordecoordenadas(x),X2,X3)eselvectorde coordenadas(yl'Y2,Y3)obtenidoapartirdelaexpresinmatricialdef. Se puede encontrar laimagen del polinomio x + 3? S, sustituyendo en cualquiera de las expresiones anteriores (XI,X2,X3)por (3,1, O): 80 Captulo 2-2 .:.La imagendelpolinomio x+3sepuedeencontrartambinsinutilizarla matriz asociada: (3,1,0) = 3.1 + lx+Ox2 =>f(3,1,0) =f(3.1 + lx+Ox2) = 3f(l) + lf(x) = = 3(3 + 2x + X2) + 2 = 11 + 6x + 3X2. Slo es cierta la opcin D. 6.Dado el espacio vectorial real de funcionesF = {j (x)= a sen x + b cos x}, la matrizasociadaalendomorfismodeFdefinidoporelclculodeladeri-vadaprimera,conlabase{senx,cosx}es:A)[ ~~ l ) ;B)[ ~~); C)[ ~~ l ) ;D)Ninguna de lasanteriores . :.Un endomorfismo es tina aplicacin lineal de un espacio vectorial en s mismo . :.Este endomorfismo esuna aplicacin lineal que transforma una funcinre-al de la formaf (x)= asen x + b cos x en suderivada!, (x)= a cos x - b sen x. Coordenadas delos vectores dela base ? {cosx=Osenx+lcos x=(O,1) Las coordenadas de los vectores de la base son: senx=lsenx+Ocosx=(1,O) 81 La matriz asociada a una aplicacin lineal Coordenadas de las imgenes de los vectores de la base? {1 sen x + cos x sen x + 1 cos x derivada derivada )sen x + 1 cos x = (0, 1) )lsen x + cos x = (-1, O) Matriz del endomOlfismo? (O-01). La matriz pedida es1 Slo es correcta la opcin A. 7.Si f:IR'~IR'/ f(XI,X2,X3)= (XI,XI- X2,X2 - XI)esuna aplicacinlineal referidaalabasecannicaB,esciertoquelamatrizasociadaes:A)Sim-[ 1 0][1 1] trica;B)1-1 ;C)I1 ;D)Ninguna de las anteriores. -11 1 Matriz asociada ala aplicacin en base B? 82 f:(xl' X2'x3)--7(xl' XI- x2' x2 - XI) (1,0,0)--7(1,1, -1) (0,1, O) --7(0, -1, 1) (0,0,1) --7(0, 0, O) La matriz asociada a la aplicacin e5'A =(i1~ l~J=>Es cierta la opcin B. Captulo 2-2 , Expresin matricial dela aplicacin? Uexpresin mamcilli de la aplicacin ~ aes:[ ~ }[ il~ ImJ Las opciones A,C yD son falsas . 8.Sien el espacio vectorialfJ 3depolinomios degrado menor que cuatro se definelaaplicacinlineal,talque,acadapolinomioleasignasu 100 100 derivada,lamatrizasociadaes:A)B) 1 1 C)D)Ningunadelasanteriores. 2 3 (1, X,X2,x3}) Coordenadas delasimgenes delos vectores dela base? 1 = (1,0,0,0)----70 = (0,0,0,0) x = (0,1,0, O) ----71 = (1,0,0, O) X 2= (0,0,1,0)----72x = (0,2,0,0) x3 = (0,0,0,1)----73x2 = (0,0,3,0) (Conlabasecannica 9J Lamatriz asociada a una aplicacin lineal Matriz asociada a laaplicacin? O1OO OO2O OOO3 OOOO ~Slo es correcta la opcin D. 84 Captulo 2-3 Ejercicios relativos a: 1.Si fA:1R2~1R2esunaaplicacinlineal,talque,fA(XI,Xl)= (X,2X2) ,y fB:1R2-7 1R2esunaaplicacinlineal,talque,fB(XI,X2)= (XI- X2,- XI+ X2),se [3 -2) verifica:A)Lamatrizasociadaa fA+ 2fBes;B)Lamatrizaso--24 [2 -1) ciadaa2fBes;C)LamatrizasociadaafAofBes -21 [ 1 -2) . -12' [ 1 -1) O)La matriz asociada afB o fAes. -22 .:.Utilizaremos{(1,O),(0,1)}como base en1R2 porque nose especifica otra. genes delos vectores delabase mediante fA? 1 R 2 ~ 1 R 2 .fA(XI,X2)= (XI,2x2) (1, O)~(1, 2.0) = (1,O) (O,1)~(0, 2.1) = (0, 2) ' genes delos vectores delabase mediantefB? 1 R 2 ~ 1 R 2 fB(XI,X2)= (XI- X2,-XI + X2) (1, O)-7 (1- 0, O - 1) = (1, -1) (O,1) -7 (O- 1,1 - O)= (-1, 1) 85 Operaciones con matrices Imgenes delos vectores delabase mediante 218?' 2/. )(1, O)-7 2 (1, -1) = (2, -2) (0,1) -7 2 (-1, 1) = (-2, 2) Matriz asociada a 218?' 2( 1 -1) = ( 2-2) -11-22 La opcin B es falsa. Matriz asociada alA + 218?' AplicacinMatriz asociada

2/.) 2B=( 2 -2 ) A+2B=( 3 -2 La opcin A es correcta. 86 Imagen de (x" X2)

(x,)(x,)(2X,-2x, ) 21B= hB= x2 x2 -2x, + 2x2 (1, + 2ft) (1,+,tJ= (x,)(3X,-2x, ) = I A+2 B= x2 -2x, +4x2 CIlIO ....... Matriz asociada a fBo fA? Aplicacin (x" x2)-7 (x" 2x2) (x"x2)-7(X-x2,-x +X2) 1R2 (x" 2x2)-7 (x- 2x2 , -XI + 2x2) - -La opcin D es incorrecta. Matriz asociada

(1 B= -1 BA=( 1 -1

Imagen de (XI.X2)mediante transformaciones sucesivas t) (x,J 2 x2 - 2x2

J J 1 2x2 - -Xl +2x2 (fB ofA)(x,x2 )= (x, J - -Xl +2x2 "tJ -, 2' () Matriz asociada afA o fB? AplicacinMatriz asociada B=( 1 -1) +X2) -11 A=G

(Xl+X2) (XI'2x2) 1R2 AB=G

(XI'X2) (XI- x2,-2xl +2x2)

=>La opcin e es incorrecta. Imagen de (Xl.X2)al aplicar transformaciones sucesivas

-t) (x,-x, ) 1 x2 - -XI +x2 ( (x,))(x, -x,) f Af B=f A= x2 -XI +x2 =G 0Xx, -x, ) (x,-x,) 2 -XI +x2 =-2xl +2x2 ' (fA ofB )( XI' x2) =(-t)= 2 x2 (x,-x,) - -2x, +2x2 el) Ql (') ..... O := (') O := 3 Q) .... ::::3. Captulo 2-3 2.SiA,Bsonelementosdelconjuntodematricesreales,severifica: A) AB = BA;B) AB = O =>A = O o B = O;C) AB = Be (con B :t:O)=>A= e; D) No es cierta ninguna de las anteriores . :.Para ver que no es cierta la opcin Autilizaremos el siguiente ejemplo: .(1O)(OOO)(OOO) SIA =Y B ==>AB =. 00012000 BAno se puede realizar porque B tiene 3 columnas mientras que A tiene 2 filas => La opcin A es falsa. El mismo ejemplo vale para comprobar que la opcin Bes falsa: El producto AB = O pero A :t:O Y B :t:O. Aunque hay razones de tipo terico, es suficiente utilizar el ejemplo anterior con (1 2 -IJ e =OOO,que verifica AB = Be (con B :t:O)siendo A :t:e =>Tampoco OOO. es cierta la opcin C. Es correcta la opcin D . :.HaymatricesparalasqueseverificanlasopcionesA,B,C,sinqueello quiera decir que el conjunto tenga dichas propiedades. Esunbuen ejerciciobuscar matricespara lasquese cumple,yotraspara las que no se cumple. 3.La composicin de aplicaciones verifica: A) Es conmutativa; B) La compo-sicinde dosaplicaciones nonulaspuede ser nula;C)Cualquier aplicacinse puede componer conotra queladejeinvariante;D)Ningunadelasanteriores. 89 Operaciones conmatrices 90 Fijadas unas bases cada matriz est asociada a una aplicacin lineal, el produc-to de matrices esla matriz asociada a la composicin deaplicaciones, y,como dichoproductonoesconmutativo,lacomposicin deaplicacionesnoescon-mutativa. La opcin A es falsa . :.El hecho de que el nmero de filas de la primera matriz debe ser igual al n-merodecolumnasdelasegundaparaquesepueda realizarsuproducto,es equivalente a que el espacio [mal en la primera aplicacin debe ser el inicial en la segunda para que se pueda hacer su composicin . :.Es muy fcilcomprobarlo con un ejemplo. Ejemplo: A =esuna matriz asociada a la aplicacin linealf A:1R2 1R2fijadas (0 0) unas basesy, B = 12a f B:1R31R2. f A:1R2 1R2f B:1R3 1R2

No esposible hacerf B of A = f B(JA(xi' x2))porque losoriginales de !s son d 1R3,mientras que los elementos deJA(XI,X2)son de 1R2. Captulo 2-3 fB:1R3 fA:1R2

(x, S esposible hacerf A ofB= fA (fB (XI'x2' x3) ) = f A(0,x2 + 2x3) = (0, O). Con este ejemplo vemos que la composicin de dos aplicaciones no nulas pue-de ser nula. La matriz asociada afAof Bes )()= ( ). La opcin B escierta. Cualquier aplicacin se puede componer con otra que la dejeinvariante? Si,conla aplicacinidentidad,asociada a la matrizLaopcin Ces cierta. 4.Paraqueunamatriz,A= (aij ) ,realycuadradadeordendosconmute conesnecesarioque:A) all= a22 ;B)aI2= a2J;C)Nopuedencon-mutar nunca;D)Conmutan siempre. 91 Operaciones con matrices / = ( ~~ )es el elemento unidad de M2X2.~Cualquier matriz, A,de M2X2.verifi-(all caA2/= 2/A= 2/A,esdecir, a2 l valores cualesquiera de los elementos de A. ~Es correcta la opcin D . :.Se poda haber llegado al mismo resultado haciendo directamente las multi-plicaciones. 5. .lax ElconjuntodematricesM(x) =~ o0J 1x, siendoa'#O unnmero O1 realdado y x un nmero real cualquiera, con la operacin de multiplicar verifi-ca:A)Tiene elemento neutro;B) Cada elementosuyotiene inverso;C)No e conmutativo; D) No es cierta ninguna de las anteriores. Es conmutativo el producto? 92 Para que el producto sea conmutativo se debe cumplir que M(x)M(y) = M(y)M(x) para valores cualesquiera de x, y. Veamos si se cumple: Captulo 2-3 Primer miembro:Segundo miembro: [a.O T' O ~ ) = [a'O o)[a.O O] O1xO1O1Y01x= OO1OOOO1OO1 [a'" O X7Y] [a'" O y:x] =O1 =O 1 OOOO Ambos miembros son iguales, por tanto, el producto es conmutativo. ~Es falsa la opcin C. . Existe elemento neutro? Si existe elemento neutro debe pertenecer al conjunto M(x), es decir, hay algn valor real "e" , tal que M(e) cumple M(e)M(x) = M(x). rae M(e)M(x) =M(x) ~ Primer miembro:Segundo miembro: l ~ O ;H O O)l a ~ ' O e:x) la' OO)11x=O1 O1x OO1OO OO1 93 Operaciones conmatrices Para que ambos miembros sean iguales debe ser e + x =x=>e =o. =>Lamatriz M(O)= [ ~~~ J= ( ~~~ Jeselelementoneutroouni-OO1OO1 . dad (por la izquierda) del conjunto M(x) para la multiplicacin. Por ser conmutativa no esnecesarioprobar quetambinlo espor la derecha. => La opcin Aes cierta. Existe elemento inverso para cada elemento del conjunto? 94 Si existe matriz inversa M(y) para cada matriz M(x) debe cumplir M(x) M(y) =M(O). Primer miembro:Segundo miembro: [ ~ ~~ I ~ o1O Para que ambos miembros sean iguales debe ser x + y = O => Y = -x. La matriz M(-x) es la simtrica de M(x)para la multiplicacin. => La opcin B es cierta. 6.Sabiendo que AEMMY BEM3x4 son tales que aij= i + 2j Y bij= 2i - j, las matricesA+ 2BY -2A + Bson:A)Inversas;B)Diagonales;C)Simtricasy opuestas; D)Ninguna de las anteriores. Captulo 2-3 El elemento de A + 2B que ocupa el lugar (i, j) es de la forma (i + 2])+ 2(2i - J) = =5i => Slo depende de la fila que ocupe, no de la columna. (5555J A+2B=10101010. 15151515 Elelementode-2A + Bqueocupa ellugar(i,j) esdela forma-2(i + 2j)+ + (2i - j) = -5j =>Slo depende de la columna que ocupe, no de la fila. (-5-10-15-20J -2A+B=-5-10-15-20. -5-10-15-20 Es evidente que no son cuadradas =>No son inversas ni diagonales. Para que fueran opuestas ysimtricas debera cumplirse cij= -Cj i' La condicin anterior no es cierta. Ejemplo:Cl 4no se puede comparar con C4 lporque C4 lno existe. => La opcin correcta es D. 7.Si 1 esla matriz unidad de orden 2,y Aesuna matriz cuadrada deorden 2, talque,all=O,paraqueseverifiquequeA2 =-1debeocurrir: A)all = O,a 22= O Y aI2a2l=1;B) all = O Y al2a2l=-1; C) a22= O Y al Za 2l=-1 ; D) Una relacin entre los elementos de Adistinta a lasanteriores. =>Es correcta la opcin C. 95 Operaciones conmatrices 8.Sabiendo que Aesuna matriz regular que verifica A 2 - 3A+ 1 = O,escier-toque K1 vale: A)3/- A;B) 1 - A;C) A- 3/;D)Ninguno delosvaloresante-riores . :.UnaformadehacerloesdeducirelvalordeA-1 desdelaexpresin A2_3A +1=0. A 2 - 3A + / = O A -1 (AA - 3A + /) = A -lOA - 31 + A - 1 = O A -1= 3/ - A. => Es correcta la opcin A. .:.Segundo procedimiento: A la misma conclusin se llegara al comprobar en cada una de las opciones A, B, C si Apor el valor propuesto para A - 1 es 1,o no, sabiendo que /= 3A - A 2 A(3/ - A) = 3A - A 2 = /Y (31 - A)A = 3A - A 2 = /=> Es correcta la opcin A. A(l- A) = A - A 2 * / =>Es falsa la opcin B. A(A - 3/) = A 2 - 3A = -/ * 1 =>Es falsa la opcin C. 01(all al/rB)AI/=n C)N=(a" nali-I O J;D)Ninguna de las anteriores. a" Es posible eliminar alguna opcin con operaciones sencillas? 96 Captulo 2-3 ValorValorValor Valorobtenido conobtenido conobtenido con Valor de acorrectola opcin Ala opcin Bla opcin C Cualquiera A=(: ~ ) A=(: ~ ) A=(: ~ ) A=(: ~ ) Valen las opciones A, B, C, no podemos decir que es falsa ninguna. 2(ao)(a0)(a2 ) Para n =2 : A== 1a 1a2aa2 ValorValorValor Valorobtenido conobtenido conobtenido con Valor de acorrectola opcin Ala opcin Bla opcin C a=3 A2 =(: ~ ) A2 =(: ~ ) A2 = ( ~ ~ ) A2 =(: ~ ) ~Son falsaslas opciones A y B. La opcin C es cierta para n = 2, para los valores que hemos comprobado hasta ahora,pero eso no permite asegurar que lo sea para cualquier valor de n supe-rior a 2. Para n = 3 A3 =(:~ X ~ : ~ 3)~LaopcinCvaleparaalgunosvalores bajos de n. 97 Operaciones con matrices 98 Podemos seguir comprobando si la opcin C sigue siendo vlida al aumentar n, pero seguiramos sin tener la certeza de si vale, o no,