-
Integral Tertentu
1. Pengertian Integral Tertentu 2. Sifat-sifat integral tertentu
3. Integral Tak Wajar
-
59
I. Pengertian Integral Tertentu
Misalkan f(x) terdefinisi dalam [a,b] maka integral tertentu
dari f(x) pada [a,b] adalah :
dxxf )( ambil x0, x1, x2, , xn adalah partisi dan [a,b] dimana a
= x0
-
60
( ) ( )
++=
++=
+=
+=
==
=
n
nnn
nn
inn
nni
n
i
n
i
n
i
11
225
5
21255
251
5
551
2
12
1
1
maka : dxxfxiifb
a
n
in =D
=
)()(lim1
~j
( ) ( )
235
225
5
11
225
5lim
lim3
~
1
3
1 ~
=
+=
++=
D=+
=-
n
xiifdxx
n
n
in
j
( )
( ) ( ) ( )
-+--+=
+=
==+
-
-
)2(3221
33321
321
235
3
22
3
2
2
3
1
xx
Adxx
catatan :
1. 0)( = dxxfb
a
2. ( ) ( )dxxfdxxf ab
b
a -= Teorema dasar Kalkulus Misalkan f kontinu pada selang [a,b]
dan F anti turunan dari f yaitu F(x) = f(x) maka
( ) ( ) -=b
aaFbFdxxf )(
atau ditulis sebagai : ( ) ( ) ( )aFbFxF ba -= contoh :
-
61
( ) ( )
32
10
131
3931
1 3133
1
2
=
+-+=+=+ xxdxx
II. Sifat-sifat kelinearan integral tertentu Sifat-sifat
kelinearan integral tertentu : Misalkan f(x) dan g(x) terintegrasi
pada [a,b], maka berlaku :
1. ( ) Rdxxfdxxf ba
a
b= aaa ,)(
2. ( ) ( )( ) ( ) +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )(
3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ba
b
a
b
a -=- contoh :
( )
-=
-
20
20
20
cossin2
cossin2p p
p
xdxxdx
dxxx
[ ] ( )
( ) ( )112
011002
sincos2
cossin2
20
20
20
20
=-=---=
--=
-= pp
p p
xx
xdxx
Sifat-sifat lain integral tertentu : Teorema 1 : untuk c b[a,b],
maka :
( ) ( ) ( ) +=c
a
b
c
b
adxxfdxxfdxxf
atau f terintegralkan pada suatu selang yang s titik a, b, c
Teorema 2: Bila f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan f(x) =
g(x), maka :
dxxgdxxfb
a
b
a )()(
-
62
Teorema 3 : Bila f(x) terintegralkan pada [a,b] dan m = f(x) =
m, untuk semua x dalam [a,b], maka :
( ) ( )abmdxxfabm ba
-=- )( Teorema 4 : Misalkan f kontinu pada [a,b] dan andaikan x
sebuah titik [a,b], maka :
1. ( ) ( )xfdttfdxd x
a=
2. )()( xfdttfdxd b
x-=
3. ( )( ) ( )xgxgfdttfdxd xg
a'.)(
)(=
4. ( )( )
( )( ) ( )xgxgfdttfdxd b
xg'.-=
5. ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxgxgfdttfdxd xg
xg 12
2
1'.2 -=
contoh :
1.
xdtt
dxd
1
2
a. 2
3
3
1
3
1
2
31
3
31
33
xx
dxd
xtdtt
xx
=
-=
-=
=
b. 21
2 xdttdxd x
=
2. ( ) 1sin1sin2 --=
+ xdttdx
dx
p
3. ( ) [ ]( )22.322 2121
2
+++=
+
++xxxdtt
dxd xx
4. ( )( ) 2422222 2252
2 +-=+-=
+ xxdttdx
dx
-
63
5. ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )xxtgxxxxxdttdxd xx
tgxx
232224
cos
2 secsincos143.4113
+-++-=+++=
+
+
+
Teorema 5 : misalkan f kontinu pada [a,b], maka terdapat
bilangan c antara a dan b, sehingga :
( )( )abcfdxxfba
-= )( Teorema 6 : misalkan g memiliki turunan kontinu pada [a,b]
dan f kontinu pada daerah nilai dar g, maka :
( )( ) ( ) ( )( )
( )duufdxxgxgf
bg
ag
b
a = (' contoh :
( ) dxxxx
+++1
0 22 62
1
misalkan : 622 ++= xxu dan ( ) ( )dxxdxx 12222 +=+ . Bila u = 6,
untuk x = 0, dan u = 9, untuk x = 1, jadi :
( ) ( ) +++
=++
+ 10 22
1
0 22 62
2221
62
1dx
xx
xdx
xx
x
361
121
161
1.
21
21 9
6
9
6
2
=
---=
-== - uduu
Teorema 7 : (Teorema Simetri)
1. jika f(x) fungsi ganjil, maka :
- =a
axf 0)(
2. jika f(x) fungsi genap, maka :
( ) - =a
adxxfdxxf 2
02)(
p
Contoh :
-
64
1. [ ] ( ) 2012sin.2cos2cos 202022
=-=== -ppp
p xxdxxdx
2. ( ) ganjilfungsikarenadxxxx ,0sin3 =++-p
p
III. Integral Tak Wajar
Tipe I : Bentuk ( ) ( ) ( ) - -~
~
~
~;;
a
bdxxfdandxxfdxxf
Metode Pemecahannya :
1. ( ) ( )dxxfdxxf baba = ~
~lim
2. ( ) ( )dxxfdxxfa
b
~~lim
--=
3. ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfe += --~~
~
~
~
( ) ( )dxxfdxxfa
c
aa ~~limlim
-+=
Integral tak wajar dikatakan konvergen apabila limitnya ada dan
berhingga dan dikatakan divergen apabila limitnya tidak ada,
termasuk ~ dan -~. Contoh :
1. +=+ b
bdx
xdx
x 1 2~
1 ~2 11
lim1
1
( )[ ]
442
1lim 11~
ppp=-=
-= --
tgbtgb
konvergen ke 4p
note : ztg =- ~1
2
~p
== ztgz
2. ++=++ --0
2~
0
~ 2 22lim
22 aa xxdx
xxdx
( )( )
( )[ ][ ] ( )
ppp
41
24
11lim
1lim
111
1lim
11
~
01
~
0
2~
=+=
+-=
+=
+++
=
--
-
-
-
-
atgtg
xtg
xdx
a
aa
aa
-
65
Note : ( )
2
~~1
p-=
-==--
z
tgzztg
3. dxx
xdx
xx
dxx
x +++=+ --
~
0 2
0
~ 2
~
~ 2 111
( ) ( )
1ln21
lim1ln21
lim
1ln21
1ln21
lim1ln21
1ln21
lim
1ln21
lim1ln21
lim
11
21
lim11
21
lim
2
~
2
~
2
~
2
~
02
~
02
~
0 2
2
~
0
~ 2
2
~
+++-=
-++
+-=
+++=
++
+++
=
-
-
-
ba
ba
xx
xxd
xxd
ba
ba
b
baa
b
ba
Karena )(~1ln21
lim 2~
divergenaa
-=+-
Maka : ( )- +~
~ 2 1divergendx
xx
Tipe II: Bentuk ( )dxxfba
Dimana ( ) ( ) ~lim~,lim ==-+
xfatauxfbxax
Atau ada ( ) ( ) ~lim, =
xfsehinggabaccx
Contoh :
-- --1
1 2
2
1 2
2
1;
4;
1 xdx
xdx
xdx
Metode Pemecahannya : 1. bila |f(x)| = ~ dan f kontinu pada
[a,b]
maka : ( ) ( )dxxfdxxf ba
b
a += ee 0lim
e+a
-
66
2. Bila ( ) ~||lim =
xfbx
dan f kontinu pada [a,b]
Maka : ( ) ( )dxxfdxxf ba
b
a -
=
d
d 0lim
3. Bila ( ) ~||lim =
xfcx
dan f kontinu pada [a,b] kecuali di c dengan a < c < b
Maka : ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf ca
b
c
b
a +=
( ) ( )dxcfdxxf bc
c
a +-
+
ee
d
d 00limlim
contoh :
1. ( ) + --=-2
1
2
1 01
11
lim1 ee
xdxx
dx
[ ]( )( )konvergen
x
2
22lim
1.2lim
0
2
10
=
-=
-=
+
ee
ee
2. -
--=
--
d
d
2
0 20
2
0 2 2lim
2 xxdx
xxdx
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )21
221
121121
12
12
-++-++
=-+
++-=
-+
+=
-+=
--
xxBAxBA
xxxBxA
xB
xA
xxxx
A + B = 0 -2A - B = 1 3A=-1? A = -1/3 B = 1/3
d-b
d-b e+a
-
67
( ) ( )
-
-++
+-=
-+
+
-=
--
- -
--
d d
d
dd
d
2
0
2
00
2
0
2
00
2
2
22
131
11
131
lim
231
131
lim2
xdx
xdx
dxx
dxxxx
dxo
( )divergen
xx
~
|2|ln31
||ln31
0|3|ln31
lim
|2|ln31
1ln31
lim
0
20
200
=
---+---=
-++-=
--
ddd
dd
d
3. -- +=0
1
1
0 22
1
1 2dx
xdx
xdx
xdx
+-+
-=
-+
-=
+=
-
-
+
-
-
ed ed
ed
d
d
ee
d
d
11lim1
1lim
1lim
1lim
1lim
1lim
00
1
01
0
1
0 20
0
1 20
xx
dxx
dxx
karena : ( )divergen~1lim0
= dd
maka : - 1
1 2divergen
xdx
