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Funciones
Bosquejo Capítulo : F U N C I O N E SF U N C I O N E S
• 2.1 ¿Que es función?• 2.2 Gráficas de funciones• 2.3 Funciones crecientes y
decrecientes• 2.4 Transformaciones de funciones• 2.5 Funciones cuadráticas• 2.6 Modelado de funciones• 2.7 Combinación de funciones• 2.8 Funciones uno a uno y su inversa
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¿Qué es una función?¿Qué es una función?
• Una función es una regla. Para representar funciones, ha esta se le asignan letras, f, g, hf, g, h.
• Una función ff,es una que asigna a cada elemento xx en un conjunto A, exactamente, llamado f(x)f(x), en conjunto B.
3© copywriter
… … funciónfunción
• Cuando se escribe f(2)f(2), se entiende “aplicar la regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene f(2) = 2f(2) = 22 2 = 4= 4.
• De manera similar, f(3)f(3) = 32 = 9.
• Otra forma, f(4) f(4) = 42 = 16.
• En general; f(x) = xf(x) = x22.
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La función• El área de un círculo es una función de su radio.
• En número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo.
• El peso de un astronauta es una función de su elevación.
• El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo.
• La altura es una función de la edad.
• La temperatura es una función de la fecha.
• El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso. 5© copywriter
Ilustración de una función
a
x
)(
)(
af
xf
BBAA
ff
Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que se relacionan.flecha indica que se relacionan.
6© copywriter
Función cuadrática
• La función cuadrática asigna a cada número real xx su cuadrado xx22..
– Evaluar f(3), f(-2) y .
– Hallar el dominio y el rango de f.
– Trazar el diágrama de máquina para f.
xf
7© copywriter
Evaluar :Evaluar : Dominio y Rango:Dominio y Rango:
8
5)5()5(
4)2()2(
93(3)
2
2
2
f
f
f El dominio de ff es el conjunto R de todos los números reales. El rango consiste en los valores de f(x)f(x), es decir, los números de la forma x2. Como x2 ≥ 0 para todos los números reales xx, se puede ver que el rango de f es:
,00/ yy
Diágrama de máquina:Diágrama de máquina:
4)2(2
933
2
2
2
xx
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Evaluación de una funciónEvaluación de una función• Sea f(x) = 3x2 + x – 5. Evalúe cada valor de la
función dado.
9
5(__)(__)3)2() 2fa -2 -2 5-2 -2 5
5(__)(__)3)0() 2fb 0 0 - 5 0 0 - 5
5(__)(__)3)4() 2fc 4 4 47 4 4 47
5(__)(__)32
1) 2fd ½ ½ -15/4 ½ ½ -15/4
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Función definida por partesFunción definida por partes
10
Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como;
Determine C(100), C(400), C(480).
Solución:
)400(2.039
39)(
xxC
400
4000
x
xsi
si
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• Solución:
Una función es una regla.
Tarifa 1:
Tarifa 2:
Tarifa 3:
11
)400(2.039)100( xC
39)400400(2.039)100( CYa que 100 ≤ 400, se tiene C(100) = 39
)400(2.039)400( xCYa que 400 ≤ 400, se tiene C(400) = 39
39)400400(2.039)400( C
)400(2.039)480( xCYa que 480 > 400, se tiene C(480) = 55
55)400480(2.039)480( C
)400(2.039
39)(
xxC
400
4000
x
xsi
si
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Conclusión
• El plan tiene un cargo mensual de:
• $39.00 por 100 minutos.
• $39.00 por 400 minutos.
• $55.00 por 480 minutos.
12© copywriter
EjerciciosEjercicios
13
Sección 2.1Sección 2.1
Página 155Página 155
Ejercicios: 1 – 57Ejercicios: 1 – 57En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, 2424
Aplicación: 60, 62 y 64Aplicación: 60, 62 y 64
gráficas
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14
2.22.2Gráfica de FuncionesGráfica de Funciones
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2.2 Gráficas de Funciones2.2 Gráficas de Funciones
La gráfica de una funciónLa gráfica de una funciónSi f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados.
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
15
Axxfx /)(,
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Gráfica de funcionesGráfica de funciones
16
Trace la gráfica de las siguientes funciones.
2)() xxfa 3)() xxgb xxhc )()
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Gráfica de funciones Gráfica de funciones Valor AbsolutoValor Absoluto
17
x
x
x0
0
x
x
Traze la gráfica de xxf )(
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Funciones por parteFunciones por parte
18
12
)(
2
x
x
xf
1
1
x
x
f(x)=2x + 1x > 1
f(x)=x2
x 1
© copywriter
Ecuaciones que definen funcionesEcuaciones que definen funciones
19
2:
2)2
2
xySolucion
xya2
22
4:
4)
xySolucion
yxb
y = 2y2 = 4
Si es funciónNO es función
GRAFICA© copywriter
20
EjerciciosEjercicios
20
Sección 2.2Sección 2.2
Página 167Página 167
Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50Aplicación: 84, 86Aplicación: 84, 86
© copywriter
21
2.32.3Funciones crecientes y decrecientes; Funciones crecientes y decrecientes;
tasa de cambio promediotasa de cambio promedio
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2.3 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promediotasa de cambio promedio
• Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambientes.
• Es importante saber donde sube y gráfica y donde baja.
22© copywriter
Funciones crecientes y decrecientesFunciones crecientes y decrecientes
23
a b c d
B
A
C
D
)(xfy
f es CRECIENTE
f es DECRECIENTE
f es CRECIENTE
Solución:f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
dcyba ,,
cb,
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Definición
24
f es crecientecreciente en un intervalo l si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es decrecientedecreciente en un intervalo l f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
x1 x2
ff(x2)
x1 x2
f
f(x2)f(x1)
f(x1)
crecientecreciente decrecientedecreciente
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25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años)
W (lb)
200
150
100
50
Ejemplo: La siguiente gráfica da el peso WW de una persona de la edad x. Determine los intervalos en los que la función WW es creciente y en los que es decreciente.
Solución:f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE:
f es DECRECIENTE en: .
40,35,25,0
50,40
80,50,35,25
Esto significa que la persona ganó peso hasta los 25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50.
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Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función
a) Traze la gráfica de la función
b) Halle el dominio y el rango de la función.
c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye.
32
)( xxf
Solución: a) Traze la gráfica de la función:
3 23 232
)( xxxxf
26
-20 20-1
10
X Y
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Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función
27
Solución:
b) Halle el dominio y el rango de la función.
c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye.
,0Rango
Dominio
,0Crece
0,Decrece
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Tasa de cambio promedioTasa de cambio promedio
• La tasa de cambio promedio de la función y = f(x) entre x = a y x = b es:
28
ab
afbf
)()(
en x cambio
yen cambio promedio cambio de tasa
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f(b)y = f(x)
• La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)).
29
0 a b
f(b) – f(a)
b – a
f(a)
yy
xx
ab
afbf
)()(
promedio cambio de tasa
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Ejemplo• La función:
a) x = 1 y x = 3
30
2)3()( xxf
22
4013
)31()33(
13
)1()3(
)()(
22
ffab
afbf
9
16
4
© copywriter
31
Ejemplo• La función:
b) x = 4 y x = 7
31
2)3()( xxf
53
11647
)34()37(
47
)4()7(
)()(
22
ffab
afbf
9
16
4
© copywriter
Ejercicio 13; Pág. 179
32
5 f(b) 4; b
3 f(a) 1; a
:Datos
)(xfy
3
2
14
)3()5()()(
ff
ab
afbf
© copywriter
Práctica 2.3:
• En el salón: 14, 15, 16, 17, 18 y 19
• Asignación: 1 – 30
• Problemas de aplicación: 22, 24, 26, 32, 34,36 (Para Entregar; 35 pts)
33© copywriter
34
2.42.4Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones
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2.42.4 Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones
35
En esta sección se estudia como ciertas transformaciones de una función afectan una gráfica. Las transformaciones son desplazamiento, reflexión y estiramiento.
-20 20
10
2)( 2 xxh
2)( xxf
3)( 2 xxg
Veamos la definición
Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas
Gráfica© copywriter
Desplazamientos vérticalesDesplazamientos vérticales
36
x
y
cc
y = f(x) + c
y = f(x)
Suponga que c > 0Para gráficar y = f(x) + c, desplace cc unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x).
Para gráficar y = f(x) – c, desplace cc unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).
x
y
cc
y = f(x)
y = f(x) – c
© copywriter
Ejemplo: Desplazamientos vérticalesEjemplo: Desplazamientos vérticales
37
Use la gráfica f(x) = x3 – 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica de cada función.
a) g(x) = x3 – 9x + 10 b) h(x) = x3 – 9x – 20
f(x) = xf(x) = x33 – 9x – 9x
g(x) = xg(x) = x33 – 9x + 10 – 9x + 10
h(x) = xh(x) = x33 – 9x – 20 – 9x – 20
-30
30
Hacer gráficas© copywriter
Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales
38
x
y
y = f(x)
y = f(x – c)
x
y
y = f(x + c) y = f(x)
cccc
Suponga que c > 0.Para gráficar y = f(x – c), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades.
Para gráficar y = f(x + c), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades.
© copywriter
Desplazamientos horizontalesDesplazamientos horizontales
39
g(x) = (x + 4)2 f(x) = x2 h(x) = (x – 2)2
- 4 0 2
Usemos la gráfica de f(x) = x2 para trazar la gráfica de las siguientes funciones.
a) g(x) = (x + 4)2 b) h(x) = (x – 2)2
Hacer gráficas© copywriter
Ejemplo: Combinación de desplazamientosEjemplo: Combinación de desplazamientos
40
Bosqueje la gráfica de: 43)( xxf
0
xy 3 xy
43)( xxf
(3, 4)
grafica
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Reflexión de gráficasReflexión de gráficas
41
x
y
y = f(x)
y = -f(x)
x
y
y = f(-x)
y = f(x)
Para gráficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.
Para gráficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.
© copywriter
Ejemplo: Reflexión de gráficasEjemplo: Reflexión de gráficas
42
Trace la gráfica de cada función:
0
2)( a) xxf xxg )( b)
xy xxg )(
2 xy
2)( xxf Hacer gráficas
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Pág. 190; Ejercicio 11
43
f(x) = x2
0 2
g(x) = (x – 2)2
0 2
11)
12)
f(x) = x3
g(x) = x3 + 3
© copywriter
Estiramiento y acortamiento vérticalEstiramiento y acortamiento vértical
44
Para gráficar y = cf(x)y = cf(x)::
Si c>1c>1, alarge verticalmente la gráfica de y = f(x)y = f(x) por un factor de cc.
Si 0 < c < 10 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) y = f(x) por un factor de cc.
x
y
x
y
y = cf(x)
y = f(x)
y = f(x)
y = cf(x)
c > 1 0 < c < 1
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Acortamiento y alargamiento horizontal Acortamiento y alargamiento horizontal
45
La gráfica de y = f(cx)y = f(cx):
Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
x
y
x
y
y = f(cx)
y = f(x)
y = f(cx)
y = f(x)
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f(-x)f(x)-x
x
46
Funciones par e imparFunciones par e imparSea f una función:
f es par si f(-x) = f(x) f(-x) = f(x) para toda xx en el dominio de ff.
f es impar si f(-x) = -f(x) f(-x) = -f(x) para toda xx en el dominio de ff.
x
y
x
y
f(x)f(-x)
-x x
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje x.
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
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47
Ejercicio de práctica:
Pág. 190
Ejercicio 19Ejercicio 19: Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.
a)a) y = f(x – 2)y = f(x – 2)b)b) y = f(x) – 2y = f(x) – 2c)c) y =2 f(x)y =2 f(x)d)d) y = -f(x) + 3y = -f(x) + 3e)e) y = f(-x)y = f(-x)f)f) y = ½ f(x – 1)y = ½ f(x – 1)
Gráfica
a) b)
c) d)
© copywriter
48
f)e)
Cont…
© copywriter
49
Problemas para resolverProblemas para resolver
Pág. 190Pág. 190
1 – 551 – 55
61 – 68 61 – 68
© copywriter
2.5 Funciones cuadráticas: 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimosmáximos y mínimos
50© copywriter
51
2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos
Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo.
En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras.
Una función cuadrática es una función f de la forma:
f(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c
donde a, b y c son números reales y a ≠ o
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Forma estándar de una función cuadráticaForma estándar de una función cuadrática
52
Una función cuadrática f(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c se puede expresar en la forma estándarforma estándar
f(x) = a(x – h)2 + k
completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice (h, k); la parábola se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
0 h x
y
k
Vértice (h, k)
0 h x
y
k
Vértice (h, k)
f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0
© copywriter
53
Ejemplo: Ejemplo: Forma estándar de una función Forma estándar de una función cuadráticacuadrática
Sea f(x) = 2x2 – 12x + 23
c)Exprese f en forma estándard)Bosqueje la gráfica
Solución: Como el coeficiente de x2 no es 1, se debe factorizar este.
f(x) = 2x2 – 12x + 23
= 2(x2 – 6x) + 23 Ahora aplica completar al cuadrado
= 2(x2 – 6x + ___) + 23 – 2(___)= 2(x – 3)2 + 5
La forma estándar es f(x) = 2(x – 3)2 + 5
9 99 9
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54
Ejemplo: Ejemplo: Forma estándar de una función Forma estándar de una función cuadráticacuadrática
b) Bosqueje la gráfica
0 3 x
y
5
Vértice (3, 5)
f(x) = 2(x – 3)2 + 5
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55
Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática
Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h)2 + k. El valor máximo o míinimo de f ocurre en x = h.
Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k.
Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k.
0 h x
y
k
mínimo
0 h x
y
k
máximo
f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0
© copywriter
56
Ejemplo: Ejemplo: Valor mínimo de una función Valor mínimo de una función cuadráticacuadrática
f(x) = 5x2 – 30x + 49
Halla:d)Forma estándare)Gráficaf)Valor mínimo
a) Forma estándar:
f(x) = 5(x2 – 6x) + 49= 5(x2 – 6x + ____) + 49 – 5(____)= 5(x – 3)2 + 4
b) Gráfica
9 9 9 9
0 3 x
y
4
Valor mínimo 4
f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0
a) Valor mínimoComo el coeficiente de x2 es positivo, f tiene un valor mínimo. Valor mínimo es f(3) = 4
GRAFICA© copywriter
57
Ejemplo: Ejemplo: Valor máximo de una función Valor máximo de una función cuadráticacuadrática
f(x) = -x2 + x + 2
Halla:d)Forma estándare)Gráficaf)Valor mínimo
a) Forma estándar:
f(x) = -x2 + x + 2= -(x2 – x) + 2= -(x2 – x + ____) + 2 – (-1)(____)= -(x – ½)2 + 9/4
b) Gráfica
1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 2 x
y
½
Valor máximo es 9/4
f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0
a) Valor mínimoComo el coeficiente de x2 es negativo, f tiene un valor máximo. Valor máximo es f(1/2) = 9/4.
(1/2, 9/4)(1/2, 9/4)
GRAFICA© copywriter
58
Valor máximo o mínimo de una función cuadráticaValor máximo o mínimo de una función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c ocurre en:
Si a > 0, entonces el valor mínimo es
Si a < 0, entonces el valor máximo es
a
bx
2
a
bf
2
a
bf
2
© copywriter
59
Ejemplo: Ejemplo: Halla valores máximos y mínimos de Halla valores máximos y mínimos de funciónes cuadráticasfunciónes cuadráticas
Halla el valor máximo o mínimo de cada función cudrática.
c)f(x) = x2 + 4x b) g(x) = -2x2 + 4x – 5
Como a > 0, la función tiene el valor mínimo: f(-2) = -4
2)1(2
4
2
a
bx 1
)2(2
4
2
a
bx
Como a < 0, la función tiene evalor máximo: f(1) = -3
GRAFICA© copywriter
60
Página 200
Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón)
Ejercicios asignados: 1 – 58
Aplicación: 59
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61
2.7 Combinación de Funciones2.7 Combinación de Funciones
© copywriter
62
Combinación de FuncionesCombinación de Funciones
En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras.otras.
SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTESSUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES
Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f – g, f(g) y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide números reales. Se define la información f + g por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
© copywriter
63
Algebra de FuncionesAlgebra de Funciones
Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se definen como:definen como:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)(fg)(x) = f(x)g(x)
B A Dominio
B A Dominio
B A Dominio
0 g(x) / BAx Dominio )(
)()(
g
f
xg
xfx
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64
Ejemplo: Ejemplo: Combinación de funciones y sus dominiosCombinación de funciones y sus dominios
xxgx
xf
)( ;2
1)( Sea
dominios. susy ,y , , funciones las Encuentre )g
ffggfgfa
.4 ,4g ,4 ,4 Encuentre )
g
ffgfgfb
SoluciónSolución::
c)c)El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. La intersección de los dominios de f y g es:La intersección de los dominios de f y g es:
{x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞){x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞)
© copywriter
65
xx
xgxfxgf
2
1)()())((
xx
xgxfxgf
2
1)()())((
22
1)()())((
x
xx
xxgxfxfg
xxxxxg
xfx
g
f
2
11
2
1
)(
)()(
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2}
Solución:Solución:
En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0.
© copywriter
66
b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada función.función.
66
g( )f( )g)( )(f
2
1
2
1) () () )((
gfgf
2
2
1) () () )((
gffg
2
1
1
2
1
) (
) () (
g
f
g
f
4 4 4 44 4 4 444
Solución:Solución:
4 4 4 44 4 4 444
4 4 44 4 444
4444
44
444444 44 44 44 44
2
5
2
3
1
4
1
© copywriter
67
Ejemplo: Ejemplo: Determine la Determine la composicióncomposición de funciones de funciones
3 )( Sea 2 xg(x) yxxf
dominios. susy y funciones las Encuentre ) fggfa
.7y 5 Halle ) fggfb
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68
Solución:Solución:
a) Se tiene;a) Se tiene; 3 )( Sea 2 xg(x) yxxf
2
f
fxgf
g
gxfg
g(x)g(x) Definición de f compuesta con g.Definición de f compuesta con g.
x – 3x – 3 Definición de g. Definición de g.
x – 3x – 3 Definición de f. Definición de f.
f(x)f(x) Definición de g compuesta con f.Definición de g compuesta con f.
xx22 Definición de f. Definición de f.
xx22 – 3– 3 Definición de g. Definición de g.
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69
Solución:Solución:
b) Se tiene:b) Se tiene:
42)35()3g(5 22 fx-fgf
463493)7()())((7 22 xgxfgfg
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70
EjemploEjemplo Determine la composición Determine la composición de funcionesde funciones
dominios. susy funciones siguientes las
encuentre ,2 g(x)y x Si xf(x)
ggdf c) ff b) gg fa ) )
4 2
2
2
))(()( )
x
x
xf
xgfxgfa
El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2).
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71
x
xfgxfb) g
2
xg
))(()(
x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o bien x ≤ 4 x2 02 x 2x
0,4 cerrado intervaloun es dominio el tantoloPor fg
4
x
x
))(()(
x
f
xffxfc) f
0, es dominio El ff
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72
x
xg
xggxgd) g
22
2
))(()(
022y 02 cuando define seexpresión Esta xx
2 ,2 es de dominio el que así ,22 ggx
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73
Ejemplo: Una composición de tres funcionesEjemplo: Una composición de tres funciones
.3)(y )(,)1(
)( si Encuentre 10
xxhxxgx
xxfhgf
13
3
3
3
:
10
10
10
x
x
xf
xgf
xhgfxhgf
Solución
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74
Ejemplo: Cómo reconocer una composición de Ejemplo: Cómo reconocer una composición de funciones funciones
. que talesy funciones las encuentre,9 4 gfFgfxF(x)Dada
F(x)
x
xf
xgfxgf
x f(x) xg(x)
Solución
9
9
9
:
4
4
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75
2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón)
Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios:
2)( ,3)( )1 xxgxxf
13)( ,2)( )2 22 xxgxxxf
xxxf 1)( )7
413)( )9 xxh
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76
2.7 Ejercicios2.7 Ejercicios
1 – 101 – 10
13 – 5413 – 54
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77
2.8 Funciones 2.8 Funciones uno a uno y sus inversasuno a uno y sus inversas
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78
La inversainversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno.
A BA B A BA B
1
2
3
4
2
4
7
10
ff gg
1
2
3
4
2
4
10
f es funciónf es funcióng g NONO es función es función
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79
Definición de una función uno a unoDefinición de una función uno a uno
Una función con dominio A se llama función uno a uno si no Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, decir,
f(xf(x11) ≠ f(x) ≠ f(x22) ) siempre que siempre que xx1 1 ≠ x≠ x22
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80
Prueba de la recta horizontalPrueba de la recta horizontal
Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica de una vez;horizontal cruza su gráfica de una vez;
y = f(x)
f(x1) f(x2)
x1 x2
La función no es uno a uno porque f(xLa función no es uno a uno porque f(x11) = f(x) = f(x22).).
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81
Ejemplo: Decidir si una función es uno Ejemplo: Decidir si una función es uno a unoa uno
¿La función f(x) = x¿La función f(x) = x33 es uno a uno? es uno a uno?
f(x) = xf(x) = x33
Por la prueba horizontal Por la prueba horizontal es uno a uno.es uno a uno.
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82
Ejemplo: Decidir si una función es uno Ejemplo: Decidir si una función es uno a unoa uno
¿La función g(x) = x¿La función g(x) = x22 es uno a uno? es uno a uno?
g(x) = xg(x) = x22
Por la prueba horizontal Por la prueba horizontal es es NONO uno a uno. uno a uno.
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83
Ejemplo: Mostrar si una función es Ejemplo: Mostrar si una función es uno a unouno a uno
Muestre que la función Muestre que la función f(x) = 3x + 4 f(x) = 3x + 4 es uno a uno.es uno a uno.
Solución: Solución:
Suponga que hay números Suponga que hay números xx11 y y xx22 tales que tales que f(xf(x11) = f(x) = f(x22)). Entonces,. Entonces,
33xx11 + 4 = + 4 = 3 3xx22 + 4 + 4
33xx11 = = 33xx22
xx11 = x = x22
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84
Definición de la inversa de una funciónDefinición de la inversa de una función
Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa función inversa f f -1-1 tiene dominio en B y rango en A y está definida por; tiene dominio en B y rango en A y está definida por;
f f -1-1 (y) = x ↔ f(x) = y (y) = x ↔ f(x) = y
para cualquier para cualquier y y en B.en B.
A BA B
x f(x)y
ff
f f -1 -1
Dominio de fDominio de f -1 -1 = rango de f= rango de f
Rango de fRango de f -1 -1 = dominio de f = dominio de f
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85
Ejemplo: Encuentre Ejemplo: Encuentre ff -1 -1 para valores específicos para valores específicos
Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1 (5), f -1 (7) y f -1 (-10).
Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1;
f -1 (5) = 1 porque f(1) = 5
f -1 (7) = 3 porque f(3) = 7
f -1 (-10) = 8 porque f(8) = -10
11
33
88
55
77
-10-10
11
33
88
55
77
-10-10
AA B B C C D DEn forma de gráficaEn forma de gráfica:
ff f f -1 -1
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86
Propiedad de la función inversaPropiedad de la función inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa finversa f -1 -1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. satisface las siguientes propiedades de cancelación.
ff -1 -1 (f(x)) = x (f(x)) = x para toda x en Apara toda x en A
f(ff(f -1 -1(x)) = x(x)) = x para toda x en Bpara toda x en B
A la inversa, cualquier función fA la inversa, cualquier función f -1 -1 que satisface estas ecuaciones que satisface estas ecuaciones es la inversa de f.es la inversa de f.
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87
EjemploEjemplo Verificar que dos funciones son inversasVerificar que dos funciones son inversas
Muestre que f(x) = xMuestre que f(x) = x33 y g(x) = x y g(x) = x1/31/3 son inversas entre sí. son inversas entre sí.
Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales.
g(f(x)) = g( ) = ( ) = xg(f(x)) = g( ) = ( ) = x
f(g(x)) = f( ) = ( ) = xf(g(x)) = f( ) = ( ) = x
Por consiguiente, son inversas entre sí.Por consiguiente, son inversas entre sí.
xx33
xx1/31/3
xx33 1/31/3
xx1/31/3 33
Ejercicio 22, página 230:
f(x) = 2x – 5; g(x) =
Solución:
2
5x
f(g(x)) = f( ) = = 2
5x 2
5) (
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