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4.1 Árboles.4.1.1 Definición.4.1.2 Representación en memoria de árboles.4.1.2.1 Árboles generales.4.1.2.2 Árboles binarios.4.1.3 Recorridos en un árbol binario.4.1.3.1 Preorden.4.1.3.2 Inorden.4.1.3.3 Postorden.4.1.4 Balanceo de árboles binarios.4.1.5 Clases para la implementación de árboles.4.2 Grafos.4.2.1 Definición.4.2.2 Tipos de grafos.4.2.3 Representación de grafos en memoria.4.2.4 Clases para la implementación de grafos.
Definición
Árbol
Un árbol es una estructura no lineal en la que cada nodo puede apuntar a uno o varios nodos.
También se suele dar una definición recursiva: un árbol es una estructura en compuesta por un dato y varios árboles.
Esto son definiciones simples. Pero las características que implican no lo son tanto.
* Nodo hijo: cualquiera de los nodos apuntados por uno de los nodos del árbol. En el ejemplo, 'L' y 'M' son hijos de 'G'.
* Nodo padre: nodo que contiene un puntero al nodo actual. En el ejemplo, el nodo 'A' es padre de 'B', 'C' y 'D'.
En cuanto a la posición dentro del árbol:
Nodo raíz: nodo que no tiene padre. Este es el nodo que usaremos para referirnos al árbol. En el ejemplo, ese nodo es el 'A'.
Nodo hoja: nodo que no tiene hijos. En el ejemplo hay varios: 'F', 'H', 'I', 'K', 'L', 'M', 'N' y 'O'.
Nodo rama: aunque esta definición apenas la usaremos, estos son los nodos que no pertenecen a ninguna de las dos categorías anteriores. En el ejemplo: 'B', 'C', 'D', 'E', 'G' y 'J'.
Un árbol en el que en cada nodo o bien todos o ninguno de los hijos existe, se llama árbol completo.
características del árbol, en relación a su tamaño
Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de orden tres, etc.
Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del árbol. En el árbol del ejemplo, el grado es tres, ya que tanto 'A' como 'D' tienen tres hijos, y no existen elementos con más de tres hijos.
Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus hijos uno. Así sucesivamente. En el ejemplo, el nodo 'D' tiene nivel 1, el nodo 'G' tiene nivel 2, y el nodo 'N', nivel 3.
Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura de ramas. El árbol del ejemplo tiene altura 3, la rama 'B' tiene altura 2, la rama 'G' tiene altura 1, la 'H' cero, etc.
Árboles generales
Intuitivamente el concepto de árbol implica una estructura en la que los datos se organizan de modo que los elementos de información están relacionados entre si a través de ramas. El árbol genealógico es el ejemplo típico más representativo del concepto de árbol general.
Árboles binarios
Es un árbol en el que ningún nodo puede tener mas de dos subárboles. En un árbol binario, cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho.
Operaciones en árboles binarios
Determinar su altura Determinar su número de elementos Hacer una copia Visualizar el árbol binario en pantalla o en
impresora Determinar si dos árboles binarios son idénticos Borrar (eliminar el árbol) Si es un árbol de expresión, evaluar la expresión Si es un árbol de expresión, obtener la forma de
paréntesis de la expresión.
Recorridos de un árbol binarioRecorrido. Requiere que cada nodo del árbol sea procesado (visitado) una vez y sólo en una secuencia predeterminada. Existen dos enfoques generales para la secuencia de recorrido, profundidad y anchura.
Recorrido en profundidad
El proceso exige un camino desde la raíz a través de un hijo, al descendiente más lejano del primer hijo antes de proseguir a un segundo hijo. En otras palabras, en el recorrido en profundidad, todos los descendientes de un hijo se procesan antes del siguiente hijo.
Recorrido en anchura
El proceso se realiza horizontalmente desde el raíz a todos sus hijos, a continuación a los hijos de sus hijos y así sucesivamente hasta que todos los nodos han sido procesados. En otras palabras, en el recorrido en anchura cada nivel se procesa totalmente antes que comience el siguiente nivel.
Preorden (NID)
Este recorrido conlleva los siguientes pasos:• Recorrer la raíz (N)• Recorrer el subárbol izquierdo (I)• Recorrer el subárbol derecho (D)
REGLA. La raíz se procesa antes que los subárboles izquierdo y derecho.
Inorden (IND)
Recorrer el subárbol izquierdo (I) Visitar el nodo raíz (N) Recorrer el subárbol derecho (D)
El significado in es que la raíz se procesa entre los subárboles.
Postorden (IDN)
Recorrer el subárbol izquierdo (I) Recorrer el subárbol derecho (D) Recorrer la raíz (N)
Se comienza situándose en la hoja mas izquierda
Balanceo de árboles binariosPara determinar si un árbol esta equilibrado, se calcula su factor de equilibrio. El factor de equilibrio de un árbol binario es la diferencia en altura entre los subárboles izquierdo y derecho. Si definimos la altura del subárbol izquierdo como H1 y la altura del subárbol derecho como HD, entonces el factor de equilibrio del árbol B se determina por la siguiente formula.
B= H1 - HD
grafos
*Tarea*
Fin de la presentación
