1ª Avaliação de Geometria Analítica

(Resolução)

1. Seja o triângulo ABC onde M é o ponto médio de BC e D é o ponto sobre o segmento

AC tal que a distância de D à A é quatro vezes a distância de D à C. Seja E a intersecção

de AM com BD. Se e , escreva o vetor em função de e .

i) Reescrevendo o vetor

Somando as equações acima temos:

(1)

ii) Reescrevendo o vetor

(2)

iii) Observando a figura, tiramos as relações:

(3)

Substituindo (1) em (3):

(

)

(4)

(5)

Substituindo (2) em (5):

(

)

(6)

iv) Observando a figura, tiramos as relações:

Mas, e

A B

C

M

E

D

Então

(7)

Mas, e

Então

(8)

v) Efetuando os cálculos

Substituindo as equações (4) e (6) nas equações (7) e (8), obtemos o seguinte sistema de

equações vetoriais:

(

)

(

)

A primeira equação do sistema só é satisfeita se:

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

Substituindo

na primeira equação:

A segunda equação do sistema só é satisfeita se:

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

Substituindo

na primeira equação:

Como esperado, para as duas equações foi encontrado o mesmo valor para e para .

Substituindo

na equação (4), encontramos a solução para o problema.

( )

( )

2. Seja o paralelepípedo formado pelos três vetores , e

. Determine o(s) valor(es) de a de modo que o volume desse

paralelepípedo seja 11 u.v.

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e é dado pelo módulo

do produto misto dos três vetores.

[ ] |

|

| |

3. Dados e , determine as equações paramétricas,

simétricas e reduzida em z da reta que passa por A e B. Também determine os pontos

onde essa reta intercepta os planos coordenados xy, xz e yz.

é o vetor diretor da reta e A pertence à ela.

Equações paramétricas:

Equações simétricas:

Equação reduzida em z:

Multiplicando todas as partes da dupla igualdade acima, obtemos

Subtraindo 5 unidades, temos

A reta intercepta o plano xy quando .

Substituindo na última equação paramétrica, obtemos

. Então, o ponto de

intersecção é (

).

A reta intercepta o plano xz quanto

Então . Substituindo nas equações, obtém-se .

A reta intercepta o plano yz quando .

Neste caso , então (

).

4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde

.

Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma , pois P

pertence à reta.

Pela condição do problema, devemos ter .

| | | |

√

| | | | √

√ √

Logo, a condição se satisfaz com qualquer valor de t. Portanto, todos os pontos de r são

equidistantes de A e B.